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人教A版选修2《空间向量的数量积运算》教案及教学反思教学目标通过本节课的学习，学生应该掌握以下知识： - 理解空间向量的数量积运算 - 掌握空间向量的数量积运算的定义和性质 - 熟悉空间向量的数量积运算的计算方法 - 能够应用空间向量的数量积运算解决实际问题教学内容1.空间向量的数量积概念和定义2.空间向量的数量积运算的性质3.空间向量的数量积运算的计算方法4.应用空间向量的数量积运算解决实际问题教学重点•掌握空间向量的数量积运算的定义和性质•熟悉空间向量的数量积运算的计算方法教学难点•理解空间向量的数量积运算的概念•应用空间向量的数量积运算解决实际问题教学方法•讲授法•提问法•实验法教具准备•平面直角坐标系•立体直角坐标系•白板和笔教学过程导入（5分钟）教师通过提问学生上一次课所学的知识，引出本节课所要学习的内容。
讲授（40分钟）1. 空间向量的数量积概念和定义•向量的数量积又叫点积，用符号 $\\vec a \\cdot \\vec b$ 表示，它是两个向量的数量乘积与它们夹角余弦的乘积。
•数量积可以计算向量的模长，夹角余弦，方向余弦等。
•数量积也可以表示两个向量共线或者垂直的关系。
2. 空间向量的数量积运算的性质•交换律：$\\vec a \\cdot \\vec b = \\vec b \\cdot \\vec a$•结合律：$(\\lambda\\vec a) \\cdot \\vec b = \\lambda(\\vec a \\cdot \\vec b) = \\vec a \\cdot (\\lambda \\vec b)$•分配律：$\\vec a \\cdot (\\vec b + \\vec c) = \\vec a \\cdot \\vec b + \\vec a \\cdot \\vec c$•数量积为零的条件：向量相互垂直3. 空间向量的数量积运算的计算方法•模长法：$\\vec a \\cdot \\vec b = |\\vec a| |\\vec b| \\cos \\theta$，其中 $\\theta$ 为两个向量间夹角。
3．1.3 空间向量的数量积运算【课标要求】1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律．2．掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题． 【核心扫描】1．空间向量的数量积运算．(重点)2．利用空间向量的数量积求夹角及距离．(难点) 3．空间向量数量积的运算律．(易错点)自学导引1．空间向量的夹角定义 已知两个非零向量a ，b ，在空间中任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角记法 〈a ，b 〉范围[0，π]．当〈a ，b 〉＝π2时，a ⊥b提示 〈a ，b 〉＝〈b ，a 〉，〈a ，－b 〉＝π－〈a ，b 〉． 2．空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a ，b ，则|a||b|cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a·b . (2)数量积的运算律数乘向量与向量 数量积的结合律(λa )·b ＝λ(a·b ) 交换律 a·b ＝b·a 分配律a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c(3)两个向量数量积的性质 (1)若a ，b 是非零向量，则a ⊥b ⇔a·b ＝0.(2)若a 与b 同向，则a·b ＝|a|·|b|；提示数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|·cos θ的乘积．名师点睛1．空间向量夹角的理解(1)任意两个空间向量均是共面的，故空间向量夹角范围同两平面向量夹角范围一样，即[0，π]；(2)空间向量的夹角在[0，π]之间，但空间两异面直线夹角在(0，π2]内，利用向量求两异面直线夹角时注意转化，两异面直线的夹角余弦值一定为非负数．2．平面向量与空间向量数量积的关系由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号、向量的模的概念和表示符号、以及运算律等都与平面向量相同．3．空间向量数量积的应用由于空间向量的数量积与向量的模和夹角有关，所以立体几何中的许多问题，如距离、夹角、垂直等问题的求解，都可借助于向量的数量积运算解决．(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，则cos〈a，b〉＝a·b|a||b|，可用来求两个向量的夹角．(2)a⊥b⇔a·b＝0，用于判断两个向量的垂直．(3)|a|2＝a·a，用于对向量模的计算，求两点间的距离或线段的长度．注意：①数量积运算不满足消去律若a，b，c(b≠0)为实数，则ab＝bc⇒a＝c；但对于向量就不正确，即a·b＝b·c(b≠0)⇒/ a＝c.②数量积运算不满足结合律数量积的运算只适合交换律，分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)．这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c 与a不一定共线．问题一：利用数量积求两点间的距离例1已知向量b a ⊥，向量c 与b a ,的夹角都是60，且,3,2,1===c b a 试求 （1）b a+ （2）2)(c b a -+思路：利用向量的平方等于模长的平方求解，老师先复习平面向量的基本知识，然后引导学生这两个例题，第一个稍微对下答案，第二个引导学生如何将三个向量的平方展开，中心思想就是将前面两个看成一个数，然后利用完全平方和展开.变式练习如图所示，平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，求AC 1的长．(学生上黑板演练，老师公布答案)[思路探索] 利用|AC 1→|2＝AC 1→2＝(AB →＋AD →＋AA 1→)2求解． 解 因为AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→， 所以AC 1→2＝(AB →＋AD →＋AA 1→)2＝AB →2＋AD →2＋AA 1→2＋2(AB →·AD →＋AB →·AA 1→＋AD →·AA 1→)． 因为∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，所以〈AB →，AD →〉＝90°，〈AB →，AA 1→〉＝〈AD →，AA 1→〉＝60° 所以AC 1→2＝1＋4＋9＋2(1×3×cos 60°＋2×3×cos 60°)＝23. 因为AC 1→2＝|AC 1→|2，所以|AC 1→|2＝23，|AC 1→|＝23，即AC 1＝23.规律方法 利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a |＝a·a 求解即可．问题二：求数量积例2：如图所示，已知正四面体O-ABC 的棱长为 1，求OB OA ⋅、AB ·OC .（第一个请学生回答，第二个引导学生发现直接找两个向量的夹角是行不通的，所以要将两个向量用其他向量表示，将未知向量转化成已知向量，最好是化成同起点的已知向量，更能方表找到夹角）解：2160cos ==⋅OB OA OB OA ,OA OB AB -=0)(=⋅-=⋅∴OC OA OB OC AB变式变式练习:已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，F 为A 1D 1的中点，试计算：BD · AF （学生自主完成，喊通学生黑板演练，适当讲评，总结一般在六面体中其他向量基本装化成同起点的三条棱为基本向量）探究：利用数量积求夹角如图所示，已知S 是边长为1的正三角形ABC 所在平面外一点，且SA ＝SB ＝SC ＝1，M 、N 分别是AB 、SC 的中点，求异面直线SM 与BN 所成角的余弦值．（学生自主探究，引导学生发现求夹角可以转化成求数量积和求模长两个问题）解 设SA →＝a ，SB →＝b ，SC →＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，且a ，b ，c 三个向量两两夹角均为60°， ∴a·b ＝b·c ＝a·c ＝12.∵SM →·BN →＝12(SA →＋SB →)·(SN →－SB →)＝12(a ＋b )·(12c －b ) ＝12(12a·c －a·b ＋12b ·c －b 2) ＝12(12×12－12＋12×12－1)＝－12. ∴cos 〈SM →，BN →〉＝SM →·BN →|SM →|·|BN →|＝－1232·32＝－23.所以，异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为23.思路探索] 可先求向量OA →与BC →的夹角，再根据异面直线的夹角与向量的夹角之间的关系得出最后结果．规律方法 在异面直线上取两个向量，则两异面直线所成角的问题可转化为两向量的夹角问题．需注意的是：转化前后的两个角的关系可能相等也可能互补六．小结（1）夹角、空间向量数量积、运算律（2）夹角、距离的求法 (五)课后巩固:1.已知空间四边形ABCD ，求AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·BD →的值．2.空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA ，BC 〉的值为( )．A ．12B ．22C ．－12 D ．03 如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，将它沿对角线AC 折起，使AB 与CD 成60°角，求B 、D 间的距离．。
3.1.3空间向量的数量积运算教学要求：1．掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2．掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；3．掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的长度，角度问题. 教学重点：两个向量的数量积的性质．教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用．教学过程：一、复习引入1.复习平面向量数量积定义：2. 平面向量中有两个平面向量的数量积，与其类似，空间两个向量也有数量积.二、新课讲授1. 两个向量的数量积：已知空间两个向量a与b，|a||b|cosθ叫做向量a、b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.注：两个非零向量夹角的概念：已知两个非零向量a与b，在空间中任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作＜a，b＞．注意：①在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的．②0≤θπ≤说明：⑴两个向量的数量积是一个实数，不是向量，它的符号由cosθ的符号决定⑵符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.2. 空间向量数量积的运算律：与平面向量的数量积一样，空间向量的数量积有如下运算律：⑴(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb ) (数乘结合律)；⑵ a ·b ＝b ·a (交换律)；⑶a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c (分配律)3. 空间数量积的性质：根据定义，空间向量的数量积和平面向量的数量积一样，具有以下性质：⑴a ·e ＝｜a ｜·cos ＜a ,e ＞；⑵a ⊥b ⇔a ·b ＝０⑶当a 与b 同向时，a ·b ＝｜a ｜·｜b ｜；当a 与b 反向时，a ·b ＝－｜a ｜·｜b ｜.⑷cos ＜a ,b ＞＝a b a b⋅⋅;⑸a ·a ＝｜a ｜2或｜a （6）｜a ·b ｜≤｜a ｜·｜b ｜.三、 教学例题例1.已知向量a b ⊥，向量c 与,a b 的夹角都是60，且||1,||2,||3a b c ===，下列各式的值：1）2()a b +；（2）(2)(2)a b b c -⋅-；（3）||b c -练习：在平行六面体ABCD-A 'B 'C 'D '中，AB=4，AD=3，AA '=5，∠BAD=90 ,∠BAA '=∠DAA '=60 求AC '的长例2. 在正四面体OABC 中，E 、F 分别是AB 、OC 的中点，求异面直线OE 与BF 所成的角的余弦值.练习．在空间四边形OABC 中，8OA =，6AB =4AC =，5BC =，45OAC ∠=，60OAB ∠=，求OA 与BC 的夹角的余弦值。
空间向量的数量积运算教案一、教学目标1. 知识目标：了解空间向量的概念和数量积运算的定义；掌握空间向量数量积的计算方法；理解空间向量数量积的几何意义。
2. 能力目标：能运用数量积的性质解决实际问题；能够运用向量的数量积计算向量的长度和夹角；能够通过数量积判断向量的垂直和平行关系。
3. 情感态度目标：培养学生对数学的兴趣和热爱；培养学生观察问题、分析问题、解决问题的能力；培养学生学会合作、分享以及互相帮助的品质。
二、教学重难点1. 教学重点：（1）空间向量的概念和性质；（2）空间向量数量积的定义和计算；（3）向量数量积的几何意义。
2. 教学难点：（1）利用数量积计算向量的长度和夹角；（2）判断空间向量的垂直和平行关系。
三、教学过程1.导入新课通过一个实际问题引入，例如：有一个空间中的物体用向量表示力，物体受力的情况如何影响其运动？引导学生思考并激发学生学习的兴趣。
2.概念讲解介绍空间向量的概念和性质，讲解向量的数量积的定义和性质，并通过具体的例子加深学生对概念的理解。
3. 数量积的计算方法（1）介绍向量数量积的计算公式；（2）讲解向量数量积的几何意义，如何通过数量积计算向量的长度和夹角。
4.练习与实践为了帮助学生更好地掌握数量积的计算方法，老师可以设计一些简单的计算练习题，并让学生进行练习，在练习中体会数量积的计算方法和几何意义。
5. 垂直和平行关系的判断介绍如何利用数量积判断向量的垂直和平行关系，通过具体的实例让学生掌握判断方法。
6. 课堂讨论让学生结合实际问题进行讨论和分享，提高学生自主探究和解决问题的能力。
7. 拓展与应用将向量数量积与实际问题相结合，引导学生解决实际问题，拓展学生的应用能力。
8. 归纳总结总结本节课的重点内容，强调向量数量积在几何问题中的应用，并巩固学生对相关概念的理解。
9. 作业布置布置相关的作业，让学生巩固所学内容，并在课后检查学生的作业情况。
四、教学反思通过本节课的教学，学生能够掌握空间向量数量积的概念、性质和计算方法，能够运用数量积解决实际问题，提高了学生的数学运算能力和应用能力。
能力提升20分钟思考：典例分析例1 如图3-1-10所示，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为A1B的中点，F为A1D1的中点．计算：（1）BC→·ED1→；（2）BF→·AB1→.小结1、应用数量积公式求空间向量数量积的两个关键点例2 (1)已知空间四边ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，那么AD与BC的位置关系为________．(填“平行”或“垂直”)(2)如图3-1-11所示，在四棱锥P -ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD，求证：PA⊥BD.交流问题，给每一个学生表现个人的机会。
学生板演3、4，注重步骤。
学生完成鼓励学生先尝试分析。
学生展示应用整合，强化新知教师补充知识点归纳不同层次的题目，层层递进，不断提高学生的能力。
不仅巩固新学的知识，而且让不同层次的学生得到不同的收获.通过典型例题让学生理解本节的知识点)(,b)3)()()()2)(,1.1bkakacbacbacbabba==•⋅⋅=⋅⋅=•=⋅则则若）判断真假：知识小结2分钟布置作业小结2、数量积证明空间垂直的实用性例3.如图所示，已知P A⊥平面ABC，∠ABC＝120°，P A＝AB＝BC＝6，则PC等于.小结3、求两点间的距离或长度的方法（向量法）例4 在空间四边形OABC中，连接AC，OB，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求直线OA与BC所成角的余弦值．四、课堂小结通过学习, 我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下问题：1、证明两直线垂直;2、求两点之间的距离或线段长度;3、求两直线所成角.五、作业全品P41 1～12题学生总结归纳所学知识作业：将所学知识进一步巩固培养学生总结归纳的能力使不同的学生得到不同的锻炼作业可以反映学生对本节知识的掌握程度。
空间向量的数量积运算【教学目标】1．掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2．掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；3．掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题。
【教学重点】两个向量的数量积的计算方法及其应用。
【教学难点】两个向量数量积的几何意义。
【授课类型】 新授课 【课时安排】 1课时 【教学过程】一、复习引入： 1 注：（1 （2 （3 2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下b a AB OA OB +=+=； ba OB OA BA-=-=；)(R a ∈=λλ 运算律：（1）加法交换律：a b b a+=+（2）加法结合律：)()(c b a c b a++=++ （3）数乘分配律：b a b aλλλ+=+)( 3．平行六面体：平行四边形ABCD 平移向量a到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A ''''它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。
4．平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量。
由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量。
向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa。
要注意其中对向量a的非零要求。
5．共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。
a 平行于b 记作b a //。
当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。
6．共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb 。
推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式 t +=a 。
1.1.2 空间向量的数量积运算一、教学内容及解析（一）教学内容本节主要学习空间向量的夹角、数量积和投影向量（二）内容解析空间向量的数量积运算，是继空间向量的加减法、数乘运算之后的又一种运算，是又一个从平面到空间推广的实例.学生在学习过程中，充分体验类比、归纳的数学学习方式，深刻理解空间向量的数量积运算本质，逐步体会数量积运算在解决垂直等问题中的应用价值，为后续学习坐标表示下的向量方法解决空间角、长度、垂直等问题奠定重要基础.高中数学中的多个核心素养贯穿本节课始终，数学运算素养、逻辑推理素养尤为凸显，因此本节课的教学过程是核心素养落地生根的过程，是一次知识、方法、思想、素养的融会贯通之旅。
二、教学目标及分析（一）教学目标1、掌握空间向量夹角的概念及表示方法2、掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律3、掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题（二）目标分析1、第一节学生已经学习过空间中的任意两个向量通过平移转化为同一平面内的向量，空间向量的夹角即可转化为平面向量的夹角，以此掌握空间向量的夹角的概念及表示方法2、学生通过类比平面向量的数量积得出空间向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算律3、教师利用例题讲解如何利用向量解决立体几何中的夹角、距离等一些简单问题，学生利用变式练习进一步巩固空间向量的运用三、教学重难点1、重点：空间向量数量积的概念及运算律2、难点：用向量的方法解决立体几何问题四、教学过程问题一、如何定义空间向量的夹角及数量积？问题1、平面向量的夹角及数量积是如何定义的？师生活动：学生回顾平面向量的夹角的定义及范围，教师指导设计意图：复习旧知，引入新知问题2、空间向量和平面向量有何关系？如何定义空间向量的夹角及数量积？师生活动：教师指出上节课已经探究过空间任意两个向量通过平移都可以平移到一个平面内，转化为同一平面内的向量，因此两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义，教师提问并板书，学生回答夹角、夹角范围、数量积及相关结论设计意图：通过类比转化，得出空间向量的夹角及数量积定义，学生容易接受并掌握新知问题二、类比平面向量投影的得到过程，在空间中一个向量在另一个向量上的投影，该怎么作呢？师生活动：学生回忆平面向量中投影向量的知识，教师板书平面中向量的投影向量推导过程，帮助学生回顾旧知，为空间向量的投影做准备。
《空间向量的数量积运算》教学设计与反思一、教学内容解析向量是一种重要的数学工具，是沟通代数（数）和几何（形）的桥梁.空间向量为处理立体几何问题提供了一个新的视角，是解决空间中图形位置关系与度量问题的有效手段.对实数的研究经验告诉我们：只要引进一种新的数，就要研究关于它的运算；引进一种新的运算，就要研究相应的运算律.空间向量的数量积运算，是人教社A 版数学《选修2-1》中继空间向量的加减法、数乘运算之后的又一种运算，是又一个从平面到空间推广的实例.学生在学习过程中，充分体验类比、归纳的数学学习方式，深刻理解空间向量的数量积运算本质，逐步体会数量积运算在解决垂直等问题中的应用价值，为后续学习坐标表示下的向量方法解决空间角、长度、垂直等问题奠定重要基础.高中数学中的多个核心素养贯穿本节课始终，数学运算素养、逻辑推理素养尤为凸显，因此本节课的教学过程是核心素养落地生根的过程，是一次知识、方法、思想、素养的融会贯通之旅。
二、教学目标设置根据《数学课程标准》总体设计思路，结合本章内容的教学构思和学情，制定教学目标如下：1.通过小组合作、自主探究、交流分享，在类比中归纳得出：空间任意两个向量都是共面的，空间任意两个向量的数量积就是平面向量的数量积；学生能进一步理解和掌握空间向量数量积的相关概念及运算.2.经历例1、2的分析、求解过程，学生能初步体验空间向量在解决立体几何有关问题中的重要价值，能基本掌握用数量积处理空间中线线、线面垂直问题.3.在解决具体问题的过程中，学生能强化数学应用意识，感悟数学思想（数形结合、化归转化等）的魅力.三、学生学情分析学生在经历空间向量的概念及线性运算之后，已初步感受到空间向量与平面向量之间的内在联系，能体会并运用类比的方法学习空间向量及其运算，明白了“空间任意两个向量都是共面的”；在平面向量的学习中，已经认识到平面向量的数量积在判定位置关系（垂直）、角与距离的计算中的应用价值，这为研究空间位置关系及相关度量提供了类比前提.即在平面向量的夹角和向量长度概念的基础上，类比引入空间向量的夹角、长度的概念和表示方法，类比平面向量的数量积的运算得到空间两个向量的数量积运算、运算律及其应用价值.空间向量的投影以及数量积的分配律，代数形式上与平面向量中完全一样，但是在几何直观上又有些许不同.这是学生在类比归纳中的一个难点，需要适时铺垫引导，逐个突破.数量积在解决立体几何中直线和平面垂直、直线和直线垂直等问题的过程中，学生对几何元素与空间向量之间的对应及如何用空间向量表示所涉及的几何元素困难较大，这是将立体几何问题转化为空间向量问题的关键.基于教学内容和学情分析，本节课的重点和难点确定如下：重点：通过类比归纳得出空间向量数量积运算的概念及运算律，在运用数量积运算解决空间垂直问题的过程中感悟数量积运算及运算律的重要价值.难点：理解空间向量的投影以及数量积的分配律；用空间向量表示几何元素并建立几何与向量的联系，将立体几何问题转化为向量计算问题；深刻体会“没有运算的向量只能起到路标作用，有了运算的向量力量无穷！”.四、教学策略分析王家瑾教授提出的师生课堂互动模型，对教学的启示是在教学中教师、学生和教学内容之间必须建立联系，形成互动，达成协调，才能共同达到最佳状态，取得满意的教学效果。
空间向量数量积运算教案一、教学目标1. 理解空间向量数量积的定义及物理意义。
2. 掌握空间向量数量积的运算律及性质。
3. 能正确运用空间向量数量积解决实际问题。
二、教学重点和难点1. 重点：空间向量数量积的运算律及性质。
2. 难点：运用空间向量数量积解决实际问题。
三、教学过程1. 导入新课：通过复习平面向量数量积的定义及性质，引出空间向量数量积的定义及性质。
2. 新课讲解：通过实例讲解空间向量数量积的运算律及性质，并给出证明过程。
3. 示范与探究：通过例题示范，让学生了解如何运用空间向量数量积解决实际问题，并引导学生探究多种解法。
4. 课堂练习：让学生自己动手完成课堂练习，巩固所学知识。
5. 归纳小结：总结本节课所学内容，强调重点和难点。
四、教学方法和手段1. 教学方法：讲解、示范、探究、练习。
2. 教学手段：PPT演示、板书、实物模型。
五、课堂练习、作业与评价方式1. 课堂练习：完成相关练习题，教师现场指导。
2. 作业：布置相关练习题，让学生在家中复习巩固所学知识。
3. 评价方式：通过作业、小测验等方式评价学生的学习情况。
六、辅助教学资源与工具1. 教学PPT：用于展示教学内容。
2. 黑板与粉笔：用于板书重要内容。
3. 实物模型：用于演示空间向量的运算过程。
4. 教学软件：用于计算和演示空间向量的运算结果。
七、结论本节课学习了空间向量数量积的定义及性质，掌握了其运算律及多种解法，能正确运用空间向量数量积解决实际问题。
在以后的学习中，需要进一步巩固和拓展所学知识，提高自己的解题能力。
八、教学反思本节课的教学内容比较抽象，需要学生具备一定的空间想象能力，因此在教学过程中需要注重培养学生的空间想象能力。
同时，还需要加强对空间向量数量积的应用的讲解，让学生更加了解其在实际问题中的应用。
在教学方法和手段上，需要进一步探索和创新，提高学生的学习积极性和参与度。
空间向量的数量积运算----教案【学习目标】知识目标：掌握空间向量夹角的概念;掌握空间向量的数量积的概念、性质及运算律;了解空间向量数量积的几何意义。
能力目标：培养和发展学生的推理论证能力、逻辑思维能力、空间想像能力和几何直观能力；情感目标：让学生在经历由平面向空间推广的过程中，感悟运算、推理在探索和发现中的作用，感受理性思维的力量，提高数学素养【教学重点】空间向量的数量积的概念、性质及运算律【教学难点】在空间几何体中，找准路径，利用数量积解决一些实际问题一、自主学习：阅读课本90页1. a 与b 的数量积定义 向量a ，b 夹角记作 a b ∙= 夹角的范围是2.00a ∙= 还是00a ∙= 为什么? 向量a 与b 垂直，则a b ∙=3.（ a ）2=4.设平面向量a ，b ，c 和实数λ，则平面向量的数量积满足下列运算律①a b ∙ = (交换律)②)a b λ∙ （= (交换律)③()a b c +∙ = （分配律）（注意)()(→→→→→→∙∙=∙∙c b a c b a 是不相等即没有结合律二、合作交流：在立体几何中证明 线与线;线与面 垂直有很多种方法你能说出一种方法吗？ 直线a ⊥ba ⊥α 既然我们学习了向量，证明 线与线;线与面垂直也能用向量的方法请写出垂直的原理 线与线垂直线与面垂直三、教师精讲例2 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.例3(试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理)已知直线m ,n 是平面 α 内的两条相交直线,如果 ⊥m , ⊥n ,求证: ⊥ .四、巩固练习：OABC OB OC AOB AOC OA BCθ=∠=∠=⊥1、已知空间四边形，，，求证：五、课堂小结 ：空间向量数量积可以解决的立体几何问题：1）线段的长（两点间的距离）；（ a ）2= （︳a ︳）2 2）证明垂直问题； 3）向量的夹角（两异面直线所成的角）；六课后作业;98第五题七、课后反思：A CB l l l α0;a b a b ⊥⇔⋅= cos ,a b a b a b ⋅<>=。
《空间向量的数量积运算》教学设计导入语上节课我们类比平面向量，把向量的概念及线性运算由平面向空间进行了推广，并用空间向量及其线性运算解决了一些立体几何问题．我们知道，平面向量除了线性运算以外，还有数量积运算．平面向量的数量积运算在研究角度、距离等几何问题时，有非常广泛的应用．今天我们就继续类比平面向量，来学习空间向量的数量积运算．任务一：回顾类比得到定义问题1：你还记得平面向量的数量积运算是怎么定义的吗？能否类比平面向量，得到空间向量的数量积运算的定义呢？答案：两个非零平面向量的数量积是一个实数，等于这两个向量的模和它们夹角余弦值的乘积，即：a ·b =|a||b|cos〈a，b〉.追问1：什么是平面向量的夹角？你能类比平面向量，给出空间向量夹角的定义吗？答案：可以．类比平面向量的夹角概念，得到空间向量的夹角概念如下：OA＝a，OB＝b，b的夹角，记作〈，b〉≤π．如果〈a，b〉＝2π，那么向量OA＝a OB＝b，b的夹角，记作〈，b〉≤π如果〈a，b〉＝2π，那么向量追问2：平面向量的数量积是怎么定义的？你能给出空间向量数量积的定义吗？答案：两个平面向量的数量积是一个实数，等于这两个向量的模和它们夹角余弦值的乘积．由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此两个空间向量数量积的定义和平面向量数量积的定义完全一致．即：已知非零向量a，b，|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a ·b . 即a ·b =|a||b|cos〈a，b〉.特别地，零向量与任意向量的数量积为零．由向量数量积定义，可以得到：a⊥b⇔ a ·b = 0a ·a = a 2 =|a||a|cos〈a，a〉=| a |2 .追问3：我们在平面向量中学习过投影向量的概念，你还记得什么是投影向量吗？能推广到空间向量中吗？答案：由于任意两个空间向量总能通过平移变成同一平面内的向量，因此平面向量的投影概念可以直接推广到空间中．AB＝a，CD=b，CD所在直线的垂线，垂足，得到A B，称上述变换为11的投影，A B叫向量11追问4：向量的数量积运算有哪些运算律？如何证明？答案：有如下运算律：①(λa)·b = λ(a ·b)，λ∈R；② a ·b= b ·a （交换律）;③ a · (b + c)= a ·b + a ·c （分配律）.其中①、②的证明和证明平面向量的数量积的运算律时完全一致，③的证明可以类比平面向量数量积分配律的证明，在空间中用投影向量证明任务二：辨析数量积运算问题2：空间向量数量积运算本质上与平面向量的数量积运算完全一致，但和向量的线性运算及实数的乘法有明显的区别．你能回答以下问题吗？追问1：由a·b＝0，能得到a＝0或b＝0吗？答案：不一定！因为a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝0，所以|a|＝0或|b|＝0或cos〈a，b〉＝0．即a＝0或b＝0或a⊥b．追问2：对于三个均不为零的数a，b，c，若ab＝ac，则b＝c．对于向量a，b，c，由a·b＝a·c，能得到b＝c吗？答案：不一定！由a·b = a·c，有a·(b－c)＝0，从而有b＝c或a⊥(b－c)．追问3：对于三个均不为零的数a，b，c，若ab＝c，则cab=或cba=.对于向量a，b，若a·b＝k，能得到k=ab或k=ba吗？答案：不能！向量没有除法运算．追问4：对于三个均不为零的数a，b，c，有(ab)c＝a(bc)．对于向量a，b，c，有(a·b)c ＝a(b·c)成立吗？答案：不一定！两个向量的数量积为一个实数，(a·b)c和a(b·c)分别表示与向量c和向量a 共线的向量，它们不一定相等．即向量的数量积运算没有结合律．任务三：数量积运算的应用问题3：我们可以用空间向量的数量积运算，解决空间中的哪些问题呢？答案：由于空间向量可以通过平移，转化成共面向量，因此能解决平面向量能解决的问题． 追问1：平面向量的数量积运算可以解决哪些问题？答案：由于向量数量积运算和两个向量的模以及它们的夹角余弦值有关，所以，平面向量数量积运算可以用来解决平面中求距离、夹角、证明垂直等很多问题． 追问2：空间中的这些问题是否也可以用它们解决?答案：任意两个空间向量总是共面的，空间中的这些问题仍然可以用数量积运算解决．平面向量数量积的应用空间向量数量积的应用(1)求线段长度（距离）：把所求线段看成一个向量的模，并用其他已知向量表示它，再用数量积运算求该向量的模； (2)求夹角：cos 〈a ，b 〉＝||||⋅a ba b ；(3)证明垂直：a ⊥b ⇔ a · b ＝0．问题4： 例1 如右图，在平行六面体ABCD －A'B'C'D'中，AB = 5，AD = 3， AA' = 7，∠ BAD = 60°， ∠BAA'= ∠DAA'= 45°． 求： (1)AB AD ⋅；(2)AC'的长（精确到0.1）． 追问1:如何计算AB AD ⋅？它们的长度，夹角是多少？答案：AB ，AD 的长度和夹角均已知，AB ＝5，AD ＝3， ∠BAD = 60°．所以AB AD ⋅=cos ,AB AD AB AD ⋅⋅<>o =53cos60=7.5⨯⨯．追问2: 为了求A 'C 的长，应该用哪些向量表示'AC ，为什么？如何表示？答案：可以根据已知条件和平行四边形法则，用,,'AB AC AA 来表示，因为它们的模长和夹角均为已知，方便进行数量积运算．(2) '='AC AB AD AA ++22''AC AB AD AA ∴=++ ()2'AB AD AA =++()222'2''AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅()222o o o 537253cos 60+57cos 45+37cos 45=+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯=≈．98+56213.3思路提炼：用已知向量表示所求向量，再由数量积运算求模长，是立体几何中求线段长度的常用向量方法．问题5：例2 如右图，m，n是平面α内的两条相交直线．如果l⊥m，l⊥n，求证：l⊥平面α．追问1：直线和平面垂直的定义是什么？答案：如果直线l和平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l垂直于平面α．追问2：如何用向量方法证明l和平面α内任意一条直线垂直？答案：在平面α内任取一条直线g，分别在直线l，m，n，g上取非零向量l，m，n，g作为方向向量，由向量共面的充要条件知，g可由m，n的线性组合表示. 由已知l⊥m，l⊥n，通过数量积运算，得到l⊥g，从而l⊥g，从而l⊥平面α．证明：在平面α内作任意直线g，分别在直线l，m，n，g上取非零向量l，m，n，g．因为直线m，n相交，所以m，n不共线．因此，存在唯一有序实数对(x，y)，使得g＝x m +y n．因为l⊥m，l⊥n，所以l⊥m，l⊥n，即l·m＝0，l·n＝0．于是l·g＝l·x n＋l·y m＝x l·n＋y l·m＝0，所以l⊥g．即l⊥g，所以l⊥平面α．思路提炼：用向量表示直线，用向量数量积为零刻画直线的垂直，是立体几何中的常用向量方法．任务四：总结提升问题6：回顾本节课学到的内容和收获？答案：本节课我们继续采用类比的方法，由平面向量的数量积运算，推广到空间向量的数量积运算，比较了它和平面向量数量积运算的异同，并研究了空间向量数量积运算在立体几何中的简单应用，在后续的学习中，我们还会体会到数量积运算在求角、证明垂直等方面的作用．在今后继续研究空间向量的过程中，我们也还会使用这样的方法，将更多的平面向量的内容，推广到空间向量当中，并研究其与平面向量的异同，解决更广泛的立体几何的问题．。
§3.1.3空间向量的数量积运算公开课教案教学目标: 知识目标：①掌握空间向量的数量积公式及向量的夹角公式；②运用公式解决立体几何中的有关问题。
能力目标：①比较平面、空间向量，培养学生观察、分析、类比转化的能力；②探究空间几何图形，将几何问题代数化，提高分析问题、解决问题的能力。
情感目标：①通过师生的合作与交流，体现教师为主导、学生为主体的教学模式；②通过空间向量在立体几何中的应用，提高学生的空间想象力，培养学生探索精神和创新意识，让学生感受数学，体会数学美的魅力，激发学生学数学、用数学的热情。
教学重点：空间向量数量积公式及其应用。
教学难点：如何将立体几何问题等价转化为向量问题；在此基础上，通过向量运算解决立体几何问题。
教学方法：采取启发引导、形数转化、反馈评价等方式；学生学法：体现自主探索、观察发现、类比猜想等形式。
授课过程：1.引入:”夹角与长度是两个最基本的几何量，而数量积公式是解决这两个问题的主要工具”.现在，请你类比平面向量的数量积公式，归纳出与空间向量的数量积的相关知识，完成下表。
2.新知归纳：（学生分小组自行探索填表，教师总结）OABaab b(1).两个空间向量数量积的定义:因为空间任意的两个向量总是共面的,所以对于两个非零向量,a b,总可以在空间中任取一点O ,,,OA a OB b ==使从而可知AOB a b ∠ 角为向量与的夹角，,a b 〈〉 记作：, 0,a b π≤〈〉≤范围：,,a b b a 〈〉〈〉＝, ,,2a b a b a b π〈〉=⊥ 特别的:时则称与互相垂直，并记作：注意:,,,OA OB OA OB OA OB π<->=<->=-<>而cos ,,,cos ,a b a b a b a b a b a b a b 〈〉⋅⋅=〈〉叫做空间两向量的数量积，记作：即(2)空间向量的数量积的几何意义:c o s ,.a ba ab a b a b ⋅〈〉数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积 (3)空间向量的数量积的主要性质:设,a b是两个非零向量①0a b a b ⊥⇔⋅=数量积为零是判定两非零向量垂直的充要条件②,;,a ba b a b a b a b a b ⋅=⋅⋅=-⋅当与同向时当向量与反向时2,a a a a ⋅== 特别地或用于计算向量的模③cos ,a ba b a b⋅〈〉=⋅用于计算向量的夹角(4)空间向量数量积满足的运算律①交换律:a b b a ⋅=⋅ ; ②对数乘的结合律:()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅③分配律:()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅注意:数量积不满足结合律,即:()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅αlAO P3.巩固与应用:22222.10,0,0()2),()3)()()4),()5)()a b a b a b a c b c p q p q k a b k a b p q p q p q ⋅===⋅=⋅=⋅=⋅⋅==+⋅-=- 练习 1判断下列命题真假：）若则则则2.,,2,________.a b a b a b ==⋅=已知则所夹的角为4,3,5,90,60,(1),,;(2)(3)例1.已知在平行六面体中,表示求的长;求异面直线与所成角的余弦值.ABCD A B C D AB AD AA BAD BAA DAA AB AD AA AC AC AC BA ''''-=='''=∠=︒∠=∠=︒'''''[析]：明确应用向量方法解决空间问题的基本方法。
3.1.3空间向量的数量积运算教学目标：1．掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。
教学重、难点：空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．教学过程一.复习引入平面向量的数量积及运算律.二.思考分析2008年5月12日，四川汶川发生特大地震．为了帮助地震灾区重建家园，某施工队需要移动一个大型的均匀的正三角形面的钢筋混凝土构件．已知它的质量为5 000 kg，在它的顶点处分别受大小相同的力F1，F2，F3并且每两个力之间的夹角都是60°(其中g＝10 N/kg)．问题1：向量F1和－F2夹角为多少？提示：120°.问题2：每个力最小为多少时，才能提起这块混凝土构件？提示：每个力大小为|F0|，合力为|F|，∴|F|2＝(F1＋F2＋F3)·(F1＋F2＋F3)＝(F1＋F2＋F3)2＝6|F0|2，∴|F|＝6|F0|，∴|F0|＝5 00066×10＝2 50063×10＝25 00063(N)．三.抽象概括1．空间向量的夹角2．空间向量的数量积定义已知两个非零向量a，b，则|a|·|b|·cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b运算律数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b＝λ(a·b)交换律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c两个向量数量积的性质(1)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0(2)若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|若反向，则a·b＝－|a|·|b|特别地：a·a＝|a|2或|a|＝a·a(3)若θ为a，b的夹角，则cos θ＝a·b|a|·|b|(4)|a·b|≤|a|·|b|应用(1)可以求向量的模或夹角，进而求两点间的距离或两直线所成角(2)可证明两非零向量垂直，进而证明两直线垂直1．两个非零向量才有夹角，当两个非零向量同向共线时，夹角为0，反向共线时，夹角为π.2．两个向量的数量积是数量，它可正、可负、可为零．3．数量积a·b的几何意义是：a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．四.例题分析及练习[例1]如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1，点E，F分别是OA，OC的中点．求下列向量的数量积：(1) OA·OB；(2) EF·BC；(3)( OA＋OB)·(CA＋CB)．[思路点拨]根据数量积的定义进行计算，求出每组向量中每个向量的模以及它们的夹角，注意充分结合正四面体的特征．[精解详析](1)正四面体的棱长为1，则|OA|＝|OB|＝1.△OAB为等边三角形，∠AOB ＝60°，于是：OA·OB＝|OA||OB|cos〈OA，OB〉＝|OA||OB|cos∠AOB＝1×1×cos 60°＝1 2.(2)因为E，F分别是OA，OC的中点，所以EF 平行且等于12AC ，于是E EF ·BC ＝|EF ||BC |cos 〈EF ，BC 〉 ＝12|CA |·|BC |cos 〈AC ，BC 〉 ＝12×1×1×cos 〈CA ，CB 〉 ＝12×1×1×cos 60°＝14. (3)( OA ＋OB )·(CA ＋CB )＝(OA ＋OB )·(OA －OC ＋OB －OC ) ＝(OA ＋OB )·(OA ＋OB －2OC )＝OA 2＋OA ·OB －2OA ·OC ＋OB ·OA ＋OB 2－2OB ·OC ＝1＋12－2×12＋12＋1－2×12＝1.[感悟体会] 在几何体中进行向量的数量积运算，要充分利用几何体的性质，把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算． 训练题组11.如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a ，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则下列向量的数量积等于a 2的是( )A ．2BA ·ACB ．2AD ·BDC ．2FG ·CAD ．2EF ·CB解析：2BA ·AC ＝－2 AB ·AC ＝－2a 2cos 60°＝－a 2，2 AD ·BD ＝2DA ·DB ＝2a 2cos 60°＝a 2,2FG ·CA ＝AC ·CA ＝－a 2，2EF ·CB ＝BD ·CB ＝－BD ·BC ＝－12a 2.答案：B2．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AA 1B 1B 的中心，F 为A 1D 1的中点．求下列向量的数量积：(1) BC ·1ED ； (2) BF ·1AB .解：如图所示，设AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c ， 则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0.(1) BC ·1ED ＝BC ·(1EA ＋11A D )＝b ·[12(c －a )＋b ]＝|b |2＝42＝16. (2) BF ·1AB ＝(1BA ＋1A F )·(AB ＋1AA )＝(c －a ＋12b )·(a ＋c )＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.[例2] 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，求异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值．[思路点拨] 先求1BA ·AC ，再由夹角公式求cos 〈1BA ，AC 〉，并由此确定异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值．[精解详析] ∵1BA ＝BA ＋1AA ＝BA ＋1BB ，AC ＝BC －BA ，且BA ·BC ＝1BB ·BA ＝1BB ·BC ＝0，∴1BA ·AC ＝－2BA ＝－1.又|AC |＝2，|1BA |＝1＋2＝3， ∴cos 〈1BA ，AC 〉＝1BA ·AC|1BA ||AC |＝－16＝－66，则异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值为66. [感悟体会] 利用数量积求异面直线所成角的余弦值的方法：训练题组23．已知a ，b 是异面直线，A ∈a ，B ∈a ，C ∈b ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a 与b 所成的角是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：设〈AB ，CD 〉＝θ，∵AB ·CD ＝(AC ＋CD ＋DB )·CD ＝|CD |2＝1，∴cos θ＝AB ·CD |AB ||CD |＝12.又θ∈[0，π]，∴θ＝60°.答案：C4．已知空间四边形OABC 各边及对角线长相等，E ，F 分别为AB ，OC 的中点，求OE 与BF 所成角的余弦值．解：如图，设OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，且|a |＝|b |＝|c |＝1，易知∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝π3，则a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.因为OE ＝12(a ＋b )，BF ＝12c －b ，|OE |＝|BF |＝32，∴OE ·BF ＝12(a ＋b )·(12c －b )＝14a ·c ＋14b ·c －12a ·b －12|b |2＝－12.∴cos 〈OE ，BF 〉＝OE ·BF |OE |·|BF |＝－23.∵异面直线所成的角为直角或锐角，∴异面直线OE 与BF 所成角的余弦值为23.[例3] 如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，从同一顶点出发的三条棱的长都等于1，且彼此的夹角都是60°，求对角线AC 1和BD 1的长．[思路点拨] 把向量AC 1和BD 1用已知向量AB ，AD ，AA 1 表示出来，再用数量积的定义运算．[精解详析] ∵AC 1＝AB ＋AD ＋AA 1，∴|AC 1|2＝AC 12＝(AB ＋AD ＋AA 1)2 ＝AB 2＋AD 2＋AA 12＋2(AB ·AD ＋AB ·AA 1＋AD ·AA 1)＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6.∴|AC 1|＝6，即对角线AC 1的长为 6. 同理，|BD 1|2＝BD 12＝(AD ＋AA 1－AB )2＝AD 2＋AA 12＋AB 2＋2(AD ·AA 1－AB ·AA 1－AD ·AB )＝1＋1＋1＋2(cos 60°－cos 60°－cos 60°)＝2.∴|1BD |＝2，即对角线BD 1的长为 2.[感悟体会] 求两点间的距离或某条线段的长度的方法：先将此线段用向量表示，然后用其他已知夹角和模的向量表示此向量，最后利用|a |2＝a ·a ，通过向量运算去求|a |，即得所求距离． 训练题组35.如图，已知P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，P A ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于( ) A ．6 2B ．6C ．12D ．144解析：∵PC ＝PA ＋AB ＋BC ，∴PC 2＝PA 2＋AB 2＋BC 2＋2AB ·BC ＋2PA ·AB ＋2PA ·BC ＝36＋36＋36＋2×6×6×cos 60°＋2×6×6×cos 90°＋2×6×6×cos 90°＝144， ∴|PC |＝12. 答案：C6．在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，将它沿对角线AC 折起，使AB 与CD 成60°角，求B ，D 间的距离．解：∵∠ACD ＝90°，∴AC ·CD ＝0，同理，AC ·BA ＝0. ∵AB 与CD 成60°角，∴〈BA ，CD 〉＝60°或120°.又BD ＝BA ＋AC ＋CD ，∴BD ·BD ＝|BA |2＋|AC |2＋|CD |2＋2BA ·AC ＋2BA ·CD＋2AC ·CD ＝3＋2×1×1×cos 〈BA ，CD 〉＝⎩⎨⎧4 〈BA ，CD 〉＝60°，2〈BA ，CD 〉＝120°，∴|BD |＝2或2，即B ，D 间距离为2或 2.[例4] 已知空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，求证：AD ⊥BC .[思路点拨] 先将已知条件转化为AB ·CD ＝0，AC ·BD ＝0，再证明AD ·BC ＝0.[精解详析]∵AB ⊥CD ，AC ⊥BD ， ∴AB ·CD ＝0，AC ·BD ＝0. ∴AD ·BC ＝(AB ＋BD )·(AC －AB ) ＝AB ·AC ＋BD ·AC －AB 2－AB ·BD ＝AB ·AC －AB 2－AB ·BD＝AB ·(AC －AB －BD )＝AB ·DC ＝0. ∴AD ⊥BC ，从而AD ⊥BC .[感悟体会] 用向量法证明垂直的方法：把未知向量用已知向量来表示，然后通过向量运算进行计算或证明． 训练题组47．已知向量a ，b 是平面α内两个不相等的非零向量，非零向量c 在直线l 上，则c ·a ＝0，且c ·b ＝0是l ⊥α的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：若l ⊥平面α，则c ⊥a ，c ·a ＝0，c ⊥b ，c ·b ＝0； 反之，若a ∥b ，则c ⊥a ，c ⊥b ，并不能保证l ⊥平面α. 答案：B8．已知空间四边形OABC 中，∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ，且OA ＝OB ＝OC ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是MN 的中点． 求证：OG ⊥BC .证明：连接ON ，设∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝θ，又设OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，则|a |＝|b |＝|c |.又OG ＝12(OM ＋ON )＝12[12OA ＋12(OB ＋OC )]＝14(a ＋b ＋c )，BC ＝c －b ，∴OG ·BC ＝14(a ＋b ＋c )·(c －b )＝14·(a ·c －a ·b ＋b ·c －b 2＋c 2－b ·c )＝14(|a |2·cos θ－|a |2·cos θ－|a |2＋|a |2)＝0. ∴OG ⊥BC ，即OG ⊥BC . 五.课堂小结与归纳1．求两向量的数量积时，关键是搞清楚两个向量的夹角．在求两个向量的夹角时，可用平移向量的方法，把一个向量平移到与另一个向量的起点相同．2．利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题．其基本思路是将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a |＝a ·a 求解即可．3．利用空间向量的数量积解决几何中的夹角垂直关系，其思路是将直线的方向向量用已知向量表示，然后进行数量积的运算． 六.当堂训练1．已知向量a 和b 的夹角为120°，且|a |＝2，|b |＝5，则(2a －b )·a ＝( ) A ．12 B ．8＋13 C ．4 D ．13解析：(2a －b )·a ＝2a 2－b ·a ＝2|a |2－|a ||b |cos 120°＝2×4－2×5×(－12)＝13.答案：D2．已知|a |＝1，|b |＝2，且a －b 与a 垂直，则a 与b 的夹角为( ) A ．60°B ．30°C ．135°D ．45°解析：∵a －b 与a 垂直，∴(a －b )·a ＝0，∴a ·a －a ·b ＝|a |2－|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉＝1－1·2·cos 〈a ，b 〉＝0， ∴cos 〈a ，b 〉＝22.∵0°≤〈a ，b 〉≤180°，∴〈a ，b 〉＝45°. 答案：D3．已知a ，b 是异面直线，a ⊥b ，e 1，e 2分别为取自直线a ，b 上的单位向量，且a ＝2e 1＋3e 2，b ＝ke 1－4e 2，a ⊥b ，则实数k 的值为( ) A ．－6B ．6C ．3D ．－3解析：由a ⊥b ，得a ·b ＝0，∴(2e 1＋3e 2)·(ke 1－4e 2)＝0. ∵e 1·e 2＝0，∴2k －12＝0，∴k ＝6. 答案：B4．设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB ·AC ＝0，AC ·AD ＝0，AB ·AD ＝0，则△BCD 是( ) A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定解析：BC ·BD ＝(AC －AB )·(AD －AB )＝AC ·AD －AC ·AB －AB ·AD ＋AB 2＝AB 2>0.同理，可证CB ·CD >0，DB ·DC >0. ∴三角形的三个内角均为锐角． 答案：B5．已知|a |＝13，|b |＝19，|a ＋b |＝24，则|a －b |＝________.解析：|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝132＋2a ·b ＋192＝242，∴2a ·b ＝46，|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝530－46＝484，故|a －b |＝22. 答案：226．如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝5，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，则对角线AC 1的长度等于________．解析：1AC 2＝(AB ＋AD ＋1AA )2＝AB 2＋AD 2＋1AA 2＋2AB ·AD ＋2AB ·1AA ＋2AD ·1AA ＝16＋9＋25＋2×4×3×cos 90°＋2×4×5×cos 60°＋2×3×5×cos 60° ＝50＋20＋15＝85， ∴|1AC |＝85. 答案：857.如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面边长为 2.(1)设侧棱长为1，求证：AB 1⊥BC 1； (2)设AB 1与BC 1的夹角为π3，求侧棱的长．解：(1) 1AB ＝AB ＋1BB ，1BC ＝1BB ＋BC .∵BB 1⊥平面ABC ，∴1BB ·AB ＝0，1BB ·BC ＝0.又△ABC 为正三角形， ∴〈AB ·BC 〉＝π－〈BA ·BC 〉＝π－π3＝2π3.∵1AB ·1BC ＝(AB ＋1BB )·(1BB ＋BC )＝AB ·1BB ＋AB ·BC ＋1BB 2＋1BB ·BC ＝|AB |·|BC |·cos 〈AB ，BC 〉＋1BB 2 ＝－1＋1＝0， ∴AB 1⊥BC 1.(2)结合(1)知1AB ·1BC ＝|AB |·|BC |·cos 〈AB ，BC 〉＋1BB 2＝1BB 2－1. 又|1AB |＝AB 2＋1BB 2＝2＋1BB 2＝|1BC |，∴cos 〈1AB ，1BC 〉＝1BB 2－12＋1BB 2＝12，∴|1BB |＝2，即侧棱长为2.8．在棱长为1的正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，E ，F 分别是D ′D ，DB 的中点，G 在棱CD 上，CG ＝14CD ，H 为C ′G 的中点．(1)求EF ，C ′G 所成角的余弦值； (2)求FH 的长．解：设AB ＝a ，AD ＝b ，AA '＝c ， 则a·b ＝b·c ＝c·a ＝0，|a |2＝a 2＝1，|b |2＝b 2＝1，|c |2＝c 2＝1.(1)∵EF ＝ED ＋DF －12c ＋12(a －b )＝12(a －b －c )，'C G ＝'C C ＋CG ＝－c －14a ，∴EF ·'C G ＝12(a －b －c )·(－c －14a )＝12(－14a 2＋c 2)＝38，|EF |2＝14(a －b －c )2＝14(a 2＋b 2＋c 2)＝34，|'C G |2＝(－c －14a )2＝c 2＋116a 2＝1716，∴|EF |＝32，|'C G |＝174，cos 〈EF ，'C G 〉＝EF ·'C G |EF ||'C G |＝5117， 所以EF ，C ′G 所成角的余弦值为5117. (2)∵FH ＝FB ＋BC ＋'CC ＋'C H ＝12(a －b )＋b ＋c ＋12'C G＝12(a －b )＋b ＋c ＋12(－c －14a ) ＝38a ＋12b ＋12c ， ∴|FH ―→|2＝(38a ＋12b ＋12c )2＝964a 2＋14b 2＋14c 2＝4164， ∴FH 的长为418.。
第6章 空间向量与立体几何6.1.2空间向量的数量积1．运用类比方法，理解向量的数量积运算由平面向空间推广的过程；2．掌握空间向量夹角的概念及空间向量的数量积的概念、性质和运算律，了解空间向量数量积的几何意义；3．会用向量的方法解决简单的立体几何问题.教学重点：空间向量的数量积运算及运算律、几何意义． 教学难点：应用空间向量的数量积运算解决简单的立体几何问题.一、新课导入想一想：平面向量夹角的概念是怎样的？答案：如图，a ⃗,b ⃗⃗是平面两个非零向量，在平面内任取一点O ，作OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗，则∠AOB 叫做向量a ⃗与b ⃗⃗的夹角，记作⟨a ⃗,b⃗⃗⟩，规定其范围是[0,π].想一想：平面向量的数量积是什么？ 答案：平面内两个非零向量的数量积记作a ⃗⋅b ⃗⃗ ,a ⃗⋅b ⃗⃗=|a ⃗||b ⃗⃗|cos⟨a ⃗,b⃗⃗⟩ 注意:1.平面向量的数量积为数值;2.当向量夹角为锐角时,数量积为正数;3.向量夹角为钝角时,数量积为负数;4.两向量垂直时,数量积为0.二、新知探究问题1：类比平面向量夹角的概念，是否能给出空间向量夹角的定义？下定义：如图，a ⃗,b ⃗⃗是空间两个非零向量，过空间任意一点O ，作OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗，则∠AOB =θ叫做向量a ⃗与b ⃗⃗的夹角，记作⟨a ⃗,b⃗⃗⟩.根据两个向量夹角的定义，容易知道◆教学目标◆教学重难点◆教学过程 a ⃗ b ⃗⃗ O a ⃗ b⃗⃗ ABa ⃗ b⃗⃗ a ⃗b⃗⃗ OAB⟨a ⃗,b ⃗⃗⟩=⟨b ⃗⃗,a ⃗⟩问题2：向量空间两向量的夹角范围是什么？ 追问1：平面两向量的夹角范围是什么？ 答案：平面两夹角范围是[0,π]同样,空间向量的夹角范围也是[0,π]注意：（1）如果⟨a ⃗,b ⃗⃗⟩=0，那么向量a ⃗与b⃗⃗同向； （2）如果⟨a ⃗,b ⃗⃗⟩=π，那么向量a ⃗与b ⃗⃗反向； （3）如果⟨a ⃗,b ⃗⃗⟩=π2，那么称向量a ⃗与b ⃗⃗互相垂直，并记作a ⃗⊥b⃗⃗. 问题3：类比平面向量数量积的概念，能否给出空间向量数量积的概念？ 下定义：设a ⃗,b ⃗⃗是空间两个非零向量，我们把数量|a ⃗||b ⃗⃗|cos⟨a ⃗,b ⃗⃗⟩叫做向量a ⃗,b⃗⃗的数量积，记作a ⃗⋅b ⃗⃗ ,即a ⃗⋅b ⃗⃗=|a ⃗||b ⃗⃗|cos⟨a ⃗,b⃗⃗⟩ 我们规定：零向量与任一向量的数量积为0.问题4：想一想平面向量夹角公式，你能得出空间向量夹角公式吗？答：空间两个非零向量a ⃗,b ⃗⃗的夹角⟨a ⃗,b ⃗⃗⟩可以由cos⟨a ⃗,b⃗⃗⟩=a⃗⃗⋅b ⃗⃗|a ⃗⃗||b⃗⃗|求得. 当⟨a ⃗,b ⃗⃗⟩=π2时， cos⟨a ⃗,b ⃗⃗⟩=0，由|a ⃗||b ⃗⃗|≠0，得到a ⃗⋅b ⃗⃗=0 即根据定义，可以得到a ⃗⊥b ⃗⃗⇔a ⃗⋅b ⃗⃗=0 (a ⃗,b ⃗⃗是两个非零向量） 同理，|a ⃗|2=|a ⃗|⋅|a ⃗|⋅cos0=a ⃗⋅a ⃗=a ⃗2 问题5：空间向量的数量积满足哪些运算律？ 追问：平面向量的数量积满足哪些运算律？ 答案：交换律、数乘结合律、分配律． 同样，空间向量的数量积也满足以下运算律：（1）交换律： a ⃗⋅b ⃗⃗=b ⃗⃗ ⋅a ⃗ （2）数乘结合律： ሺλa ⃗ሻ ⋅b ⃗⃗=λ൫a ⃗·b ⃗⃗൯ （3）分配律： ൫a ⃗+b ⃗⃗൯·c ⃗= a ⃗⋅c ⃗+b ⃗⃗ ⋅c ⃗根据数量积的定义，可以得到（1）a ⃗⋅b ⃗⃗=|a ⃗||b ⃗⃗|cos⟨a ⃗,b ⃗⃗⟩=|b ⃗⃗||a ⃗|cos⟨b ⃗⃗,a ⃗⟩= b ⃗⃗ ⋅a ⃗（2）ሺλa ⃗ሻ ⋅b ⃗⃗= |λa ⃗||b ⃗⃗|cos⟨λa ⃗,b ⃗⃗⟩=λ|a ⃗||b ⃗⃗|cos⟨a ⃗,b ⃗⃗⟩=λ൫a ⃗·b⃗⃗൯ 问题6：如何证明空间向量的数量积满足分配律？追问1：数量积公式中的|b ⃗⃗|cos⟨a ⃗,b ⃗⃗⟩形式还跟平面向量中的什么概念类似？ 答案：投影向量.下定义：对比平面向量中向量a ⃗向向量b ⃗⃗投影的概念，我们可以得到空间向量投影向量的概念：对于空间任意两个非零向量a ⃗,b ⃗⃗，设向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗，OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗（如图），过点A 作AA 1⊥OB ，垂直为A 1.上述由向量a ⃗得到向量OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的变换称为向量a ⃗向向量b ⃗⃗投影，向量OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗称为向量a ⃗在向量b⃗⃗上的投影向量.即a ⃗⋅b ⃗⃗=OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅b ⃗⃗，向量a ⃗,b ⃗⃗的数量积就是向量a ⃗在向量b ⃗⃗上的投影向量与向量b ⃗⃗的数量积.追问2：如何利用投影向量来证明空间向量的数量积满足分配律？答案：如图，设向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=c ⃗， ∠AOC =θ1，∠DAB =θ2，∠BOC =θ∵ |a ⃗+b ⃗⃗|cos θ= |a ⃗|cos θ1+|b⃗⃗|cos θ2 ∴ ൫a ⃗+b ⃗⃗൯·c ⃗=|a ⃗+b ⃗⃗||c ⃗|cos θ=|a ⃗||c ⃗|cos θ1+ |b ⃗⃗||c ⃗| cos θ2= a ⃗⋅c ⃗+b ⃗⃗⋅c ⃗ 【概念巩固】练1：判断下列说法是否正确？（1）向量AB → 与CD → 的夹角等于AB → 与DC →的夹角.（2）若a ⃗⋅b ⃗⃗=0，则a ⃗=0⃗⃗或b ⃗⃗ =0⃗⃗. （3）对于非零向量b ⃗⃗，由a ⃗⋅b ⃗⃗=b ⃗⃗⋅c ⃗，可得a ⃗=c ⃗.（4）若非零向量a ⃗,b ⃗⃗为共线且同向的向量，则a ⃗⋅b ⃗⃗=|a ⃗||b⃗⃗|. 答案：（1）向量AB → 与CD → 的夹角和AB → 与DC →的夹角互补.（2）当a ⃗⊥b ⃗⃗时，也能得到 a ⃗⋅b ⃗⃗=0. （3）a ⃗与c ⃗的方向可能不一样.（4）当非零向量a ⃗,b ⃗⃗共线且同向时， a ⃗⋅b ⃗⃗=|a ⃗||b ⃗⃗|cos0° =|a ⃗||b ⃗⃗|. 所以，（4）对，（1）（2）（3）错.设计意图：通过对平面向量夹角的相关概念，类比出空间向量夹角的定义、空间向量数量积的定义，并通过空间向量数量积的公式来推导出空间向量的夹角公式.通过平面向量数量积适用的运算律，来类比出空间向量数量积的运算律，通过空间向量的数量积以及投影向量的相关概念来证明空间向量运算律的正确性.最后通过实例，来巩固空间向量的夹角及数量积的相关概念.三、应用举例例1 如图，A ，B 为平面α外两点，点A ，B 在平面α上的射影分别为A ′，B ′，m ⃗⃗⃗为平面α内的向量.求证：AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅m ⃗⃗⃗=A ′B ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅m ⃗⃗⃗.a ⃗b⃗⃗分析：向量AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 如何用空间内其他向量表示？ 答案： AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AA ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+A ′B ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BB′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 证明：由AA ′⊥α,且m ⃗⃗⃗在α内可知 AA ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅m ⃗⃗⃗=0 同理 BB ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅m ⃗⃗⃗=0因此, AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅m ⃗⃗⃗=൫AA ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+A ′B ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BB ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗൯⋅m ⃗⃗⃗=AA ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅m ⃗⃗⃗+A ′B ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗+ BB ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅m ⃗⃗⃗=0 +A ′B ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗+ 0=A ′B ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗故命题成立.例2 如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为棱CC 1上任意一点.(1)确定向量AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗在平面ABC 上的投影向量，并求AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)确定向量AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗在直线BC 上的投影向量，并求AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗.解：(1)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，CC 1⊥平面ABC ，因此AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗即为AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗在平面ABC 上的投影向量.又因为BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗在平面ABC 内，所以 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗= AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=√2×1×cos 45°=1 (2)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ⊥BC ,CC 1⊥BC ，因此BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗即为AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗在直线BC 上的投影向量.从而AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗= BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2=1 设计意图：通过例题练习，对空间向量的数量积及其运算律的相关概念和空间投影向量的相关概念进行巩固，并让学生学会应用空间向量的数量积及空间投影向量解决简单的立体几何问题.方法总结：灵活应用空间向量数量积公式与夹角公式的转换，空间向量数量积与投影向量之间的联系，可以解决一些简单的立体几何问题. 向量的数量积结果均为一个数.四、课堂练习M1．如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求BC 1→ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗夹角的大小.2．如图，在平行六面体ABCD -A 'B 'C 'D '中，AB =4, AD =3, AA '=5,∠BAD =90︒,∠BAA '=∠DAA '=60︒.求AC '的长.参考答案：1．解： BC 1→ · AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=൫BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗൯·൫AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗൯ =൫AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗൯· ൫AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗൯=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗· AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+ AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+ AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗· AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+ AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗· AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 + AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2 +0 +0= AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2 =1又因为|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√2，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√2所以cos ⟨BC 1→ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⟩=BC 1→ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|BC 1→ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√2×√2=12即BC 1→ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角为π32．解：|AC′|2=AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2= ൫AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CC ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗൯2= ൫AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗൯2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+AA ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+ 2AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AA ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =42+32+52+2×4×3×cos 90°+2×4×5×cos 60°+2×3×5×cos 60°=85∴ |AC ′|=√85五、课堂小结1.空间向量夹角的定义：a ⃗,b ⃗⃗是空间两个非零向量，过空间任意一点O ，作OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗，则∠AOB =θ叫做向量a ⃗与b ⃗⃗的夹角，记作⟨a ⃗,b⃗⃗⟩． 空间向量的夹角范围也是[0,π].2.空间向量的数量积：设a ⃗,b ⃗⃗是空间两个非零向量，我们把数量|a ⃗||b ⃗⃗|cos⟨a ⃗,b ⃗⃗⟩叫做向量a ⃗,b ⃗⃗的数量积，记作a ⃗⋅b ⃗⃗ ,即a ⃗⋅b ⃗⃗=|a ⃗||b ⃗⃗|cos⟨a ⃗,b⃗⃗⟩. 3.空间向量的夹角公式：cos⟨a ⃗,b⃗⃗⟩=a ⃗⋅b⃗⃗|a ⃗||b⃗⃗| 4.空间向量数量积的运算律：（1）交换律： a ⃗⋅b ⃗⃗=b ⃗⃗ ⋅a ⃗（2）数乘结合律： ሺλa ⃗ሻ ⋅b ⃗⃗=λ൫a ⃗·b ⃗⃗൯ （3）分配律： ൫a ⃗+b ⃗⃗൯·c ⃗= a ⃗⋅c ⃗+b ⃗⃗ ⋅c ⃗ 5.空间投影向量的定义对于空间任意两个非零向量a ⃗,b ⃗⃗，设向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗（如图），过点A 作AA 1⊥OB ，垂直为A 1.上述由向量a ⃗得到向量OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的变换称为向量a ⃗向向量b ⃗⃗投影，向量OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗称为向量a ⃗在向量b⃗⃗上的投影向量.. 即a ⃗⋅b ⃗⃗=OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅b ⃗⃗，向量a⃗,b ⃗⃗的数量积就是向量a ⃗在向量b ⃗⃗上的投影向量与向量b ⃗⃗的数量积. 六、布置作业教材第11页练习第1，2题．。
3.1.3空间向量的数量积运算整体设计教材分析本节课在平面向量的夹角和向量长度的概念的基础上，引入了空间向量的夹角和向量长度的概念和表示方法，介绍了空间两个向量数量积的概念、计算方法、性质和运算律，并举例说明利用向量的数量积解决问题的基本方法．通常，按照传统方法解立体几何题，需要有较强的空间想象能力、逻辑推理能力以及作图能力，学生往往由于这些能力的不足造成解题困难．用向量处理立体几何问题，可使学生克服空间想象力的障碍而顺利解题，为研究立体几何提供了新的思想方法和工具，具有相当大的优越性；而且，在丰富学生思维结构的同时，应用数学的能力也得到了锻炼和提高．课时分配1课时教学目标知识与技能1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法；2．掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；3．掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题．过程与方法1．运用类比方法，经历向量的数量积运算由平面向空间推广的过程；2．引导学生借助空间几何体理解空间向量数量积运算的意义．情感、态度与价值观1．培养学生的类比思想、转化思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力；2．培养学生空间向量的应用意识．重点难点教学重点：1．空间向量的数量积运算及其运算律、几何意义；2．空间向量的数量积运算及其变形在空间几何体中的应用．教学难点：1．空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用；2．空间向量的数量积运算及其几何应用和理解．教学过程引入新课提出问题：已知在正方体ABCD—A′B′C′D′中，E为AA′的中点，点F在线段D′C′上，D′F＝12FC′，如何确定BE→，FD→的夹角？活动设计： 教师设问：平面向量的夹角问题是如何求得的？是否可将平面内求得两向量的夹角公式推广到空间？公式的形式是否会有所变化？学生活动：回顾平面向量数量积、向量夹角公式；类比猜想空间向量夹角公式的形式． 设计意图：问题的给出，一时之间可能会使学生感到突然，但预计应该会联想到平面向量的夹角公式，由此作一番类比猜想，起到温故知新的作用．探究新知提出问题1：空间向量的夹角应该怎样定义，怎样表示？夹角的取值范围是什么，怎样定义向量垂直？活动设计：教师指导学生回忆平面向量夹角的定义、表示方法和取值范围，并进行类比；学生回忆平面向量夹角的定义、表示方法和取值范围，并进行类比得到结论．活动成果：1．空间向量a ，b 的夹角：已知两个非零向量a ，b ，在空间中任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉．2．空间向量a ，b 的夹角的取值范围：0≤〈a ，b 〉≤π，且〈a ，b 〉＝〈b ，a 〉．当a ，b 同向共线时〈a ，b 〉＝0，当a ，b 反向共线时〈a ，b 〉＝π.3．两个向量垂直的定义：若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作：a ⊥b .设计意图：通过回忆平面向量夹角的定义和取值范围类比得出空间向量夹角的定义和取值范围．提出问题2：类比平面向量的数量积运算的定义，思考并尝试如何给空间向量定义数量积运算，并指出数量积运算满足怎样的运算律．活动设计：学生自由发言；教师板书并请不同的同学进行补充． 活动成果：1．已知两个非零向量a ，b ，则||a ||b cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a ·b ， 即a ·b ＝||a ||b cos 〈a ，b 〉； 2．规定零向量与任意向量的数量积为0； 3．两个向量的数量积满足的运算律： (1)(λa )·b ＝λ(a ·b )； (2)a ·b ＝b ·a ； (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c . 设计意图：由平面向量数量积的定义和运算律引导学生类比得出空间向量数量积的定义和运算律．理解新知提出问题1：a ，b ，c 为非零向量，有a ·b ·c ＝a ·(b ·c )成立吗？a ·b ＝b ·c 能得到a ＝c 吗？ 活动设计：学生先自己思考，然后小组讨论；教师巡视并和学生交流． 活动成果： 1．∵a ·b 是实数，∴a ·b ·c 是与c 共线的向量；同样a ·(b ·c )是与a 共线的向量； ∴a ·b ·c ＝a ·(b ·c )不一定成立，即数量积运算不满足结合律． 2．∵a ·b ＝b ·c ，∴(a －c )·b ＝0.∴(a －c )⊥b .不能得到a ＝c ，即数量积运算不满足消去律． 设计意图：深化对向量数量积运算的理解和对运算律的熟悉．提出问题2：数量积运算能否判断两个向量的平行或垂直关系，能否用来求角？活动设计：学生先自己思考，然后小组讨论；教师巡视并和学生交流． 活动成果： 1．若a ·b ＝||a ||b ，则a ，b 同向；若a ·b ＝－||a ||b ，则a ，b 反向；特别的a 2＝||a 2， ∴||a ＝a 2.2．若a ，b 为非零向量，则a ·b ＝0a ⊥b .3．cos 〈a ，b 〉＝a ·b||a ||b . 设计意图：由用数量积判断向量的关系引出空间向量数量积运算的变形，更好地理解数量积运算的定义．运用新知用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理．已知：m ，n 是平面α内的两条相交直线，如果l ⊥m ，l ⊥n.求证：l ⊥α.思路分析：要证明l ⊥α，就要证明l 垂直于α内的任一条直线g(直线和平面垂直的定义)．如果我们能在g 和m ，n 之间建立某种联系，并由l ⊥m ，l ⊥n 得到l ⊥g ，就能解决此问题．证明：在α内作不与m ，n 重合的任一直线g ， 在l ，m ，n ，g 上取非零向量l ，m ，n ，g . ∵m ，n 相交，∴向量m ，n 不平行．由共面定理可知， 存在唯一有序实数对(x ，y)，使g ＝x m ＋y n ， ∴l ·g ＝x l ·m ＋y l ·n .又∵l ·m ＝0，l ·n ＝0， ∴l ·g ＝0.∴l ⊥g .∴l ⊥g.所以，直线l 垂直于平面内的任意一条直线，即得l ⊥α.点评： 用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为用向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算取计算结果或证明结论．巩固练习已知空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，求证：AD ⊥BC.证明： AD →·BC →＝(AB →＋BD →)·(AC →－AB →)＝AB →·AC →＋BD →·AC →－AB →2－AB →·BD →＝AB →·(AC →－AB →－BD →)＝AB →·DC →＝0.∴AD ⊥BC.变练演编如图，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求OA 与BC 的夹角的余弦值．解：∵BC →＝AC →－AB →， ∴OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →||AC →|cos 〈OA →，AC →〉－|OA →||AB →|cos 〈OA →，AB →〉 ＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝24－16 2. ∴cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →||BC →|＝24－1628×5＝3－225.所以，OA 与BC 的夹角的余弦值为3－225.提出问题：要求OA 与BC 的夹角的余弦值，还可以给出哪几组条件？提示：可以将∠OAC ＝45°换成∠ABC 的值，将AC 的长换成边OC 的长，利用OC →＝OA →＋AB →＋BC →平方即可．设计意图：发散学生思维，提高学生整合知识的能力．达标检测1．已知向量a ⊥b ，向量c 与a ，b 的夹角都是60°，且|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3， 试求：(1)(a ＋b )2；(2)(a ＋2b －c )2；(3)(3a －2b )·(b －3c )．2．已知线段AB ，BD 在平面α内，BD ⊥AB ，线段AC ⊥α，如果AB ＝a ，BD ＝b ，AC ＝c ，求C 、D 间的距离．答案：1.(1)5 (2)11 (3)－722．解：∵AC ⊥α，AB ，BD α， ∴AC ⊥AB ，AC ⊥BD.又∵AB ⊥BD ， ∴AC →·AB →＝0，AC →·BD →＝0，AB →·BD →＝0. ∴|CD →|2＝CD →·CD →＝(CA →＋AB →＋BD →)2＝c 2＋a 2＋b 2.∴|CD|＝a 2＋b 2＋c 2. 课堂小结1．知识收获：空间向量的夹角的定义、表示方法、取值范围；两个空间向量的数量积运算和运算法则；利用空间向量的数量积证明共线和垂直以及求夹角和距离．2．方法收获：类比方法、数形结合方法、转化变形方法．3．思维收获：类比思想、转化思想． 布置作业课本习题3.1A 组3、4，补充练习． 补充练习 基础练习1．设a ⊥b ，〈a ，c 〉＝π3，〈b ，c 〉＝π6，且|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，求向量a ＋b ＋c 的模．2．已知|a |＝2，|b |＝5，〈a ，b 〉＝2π3，p ＝3a －b ，q ＝λa ＋17b ，问实数λ取何值时p 与q 垂直？3．若a ＋b ＋c ＝0，且|a |＝3，|b |＝2，|c |＝1，求a ·b ＋b ·c ＋c ·a 的值．答案：1.17＋63 2.40 3.－7 拓展练习4．在棱长为1的正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，E ，F 分别是D ′D ，DB 的中点，G 在棱CD 上，CG ＝14CD ，H 为C ′G 的中点，(1)求证：EF ⊥B ′C ；(2)求EF 与C ′G 所成角的余弦值； (3)求FH 的长．解：设AB →＝a ，AD →＝b ，'AA ＝c ，则a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0，|a |2＝a 2＝1，|b |2＝b 2＝1，|c |2＝c 2＝1. (1)∵EF →＝ED →＋DF →＝－12c ＋12(a －b )＝12(a －b －c )，'B C ＝BC →－'BB ＝b －c ，∴EF →·'B C ＝12(a －b －c )·(b －c )＝12(c 2－b 2)＝12(1－1)＝0.∴EF ⊥B ′C.(2)∵EF →＝ED →＋DF →＝－12c ＋12(a －b )＝12(a －b －c )，'G C ＝'C C ＋CG →＝－c －14a ，∴EF →·'G C ＝12(a －b －c )·(－c －14a )＝12(－14a 2＋c 2)＝38，|EF →|2＝14(a －b －c )2＝14(a 2＋b 2＋c 2)＝34，|'G C |2＝(－c －14a )2＝c 2＋116a 2＝1716.∴|EF →|＝32，|'G C |＝174，cos 〈EF →，'G C 〉＝''EF C G EF C G＝5117.所以EF ，C ′G 所成角的余弦值为5117.(3)∵FH →＝FB →＋BC →＋C'C ＋H'C ＝12(a －b )＋b ＋c ＋12'G C ＝12(a －b )＋b ＋c ＋12(－c －14a )＝38a ＋12b ＋12c ， ∴|FH →|2＝(38a ＋12b ＋12c )2＝964a 2＋14b 2＋14c 2＝4164，∴FH 的长为418.设计说明本节课介绍了空间向量的夹角、空间向量的数量积运算的定义及其应用．空间向量的夹角和空间向量的数量积运算的定义由平面向量的相关定义类比得到．空间向量的数量积运算的性质和运算律由学生发现，并在理解新知中经学生证明．本节课的重点是空间向量数量积运算的应用及其变形公式在立体几何中的应用，在变练演编中发散学生思维，帮助学生对所学知识进行整合，对方法进行归纳．本节课突出教师的主导作用和学生的主体地位，在教师所提问题的引导下，学生自主完成探究新知和理解新知的过程，在运用新知时进行变练演编，加深学生对知识的理解和问题转化的能力．备课资料备选例题1已知平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，AB ＝4，AD ＝3，AA ′＝5，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，求AC ′的长．思路分析：要求AC ′的长，只需将AC ′→用AB →，AD →，AA ′→表示出来即可． 解：|'AC |2＝(AB →＋AD →＋'AA )2＝|AB →|2＋|AD →|2＋|'AA |2＋2AB →·AD →＋2AB →·'AA ＋2AD →·'AA＝42＋32＋52＋2×4×3×cos90°＋2×4×5×cos60°＋2×3×5×cos60° ＝16＋9＋25＋0＋20＋15＝85，所以|'AC |＝85.2已知S 是边长为1的正三角形所在平面外一点，且SA ＝SB ＝SC ＝1，M ，N 分别是AB ，SC 的中点，求异面直线SM 与BN 所成角的余弦值．思路分析：要求异面直线SM 与BN 所成角的余弦值，只要求SM →与BN →所成角的余弦值，因此就要求SM →·BN →以及|SM →||BN →|，然后再用向量夹角公式求解．解：设SA →＝a ，SB →＝b ，SC →＝c ，∴a ·b ＝b ·c ＝a ·c ＝12.∵SM →·BN →＝12(SA →＋SB →)·(SN →－SB →)＝12(a ＋b )·(12c －b )＝12(12a ·c －a ·b ＋12b ·c －b 2)＝12(12×12－12＋12×12－1)＝－12，∴cos 〈SM →，BN →〉＝SM →·BN →|SM →||BN →|＝－1232×32＝－23.所以，异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为23.点评：设出空间的一个基底后，求数量积SM →·BN →的时候目标就更加明确了，只要将SM →与BN →都化为用基向量表示就可以了．本题中SM →与BN →的夹角是异面直线SM 与BN 所成角的补角．3如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝4，E 为A 1C 1与B 1D 1的交点，F 为BC 1与B 1C 的交点，又AF ⊥BE ，求长方体的高BB 1.思路分析：本题的关键是如何利用AF ⊥BE 这个条件，在这里可利用AF →⊥BE →AF →·BE →＝0 将其转化为向量数量积问题．解法一：∵AF →⊥BE →，∴AF →·BE →＝(AB →＋BF →)·(BB 1→＋B 1E →)＝[AB →＋12(BC →＋BB 1→)]·[BB 1→＋12(BC →－AB →)]＝0.∴14(2AB →＋BC →＋BB 1→)·(2BB 1→＋BC →－AB →)＝0. ∴－2|AB →|2＋|BC →|2＋2|BB 1|2＝0.∴|BB 1→|2＝8. 所求高BB 1＝2 2.解法二：设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0，|a |2＝a 2＝16，|b |2＝b 2＝16， BE →＝BB 1→＋B 1E →＝c ＋12(b －a )，AF →＝AB →＋BF →＝a ＋12(c ＋b )．∵AF ⊥BE ，∴BE →·AF →＝0， 即[c ＋12(b －a )]·[a ＋12(c ＋b )]＝0.∴12c 2＋14b 2－12a 2＝0. ∴|c |2＝c 2＝8，即所求高BB 1＝2 2.点评：本题从表面上看是求线段长度，但实际上却是充要条件：AF →⊥BE →AF →·BE →＝0的应用问题．(设计者：徐西文)。
