空间向量的数量积运算一

空间向量的数量积运算公式
空间向量的数量积公式是λa·b=a·λb，空间中具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模。

规定长度为0的向量叫做零向量，记为0，模为1的向量称为单位向量。

与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量。

记为-a方向相等且模相等的向量称为相等向量。

三个坐标面把空间分成八个部分，每个部分叫做一个卦限。

含有x轴正半轴、y 轴正半轴、Z轴正半轴的卦限称为第一卦限，其他第二、三、四卦限，在xoy 面的上方，按逆时针方向确定。

在第一、二、三、四卦限下面的部分分别称为第五、六、七、八卦限。

基本定理
1、共线向量定理
两个空间向量a，b向量（b向量不等于0），a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb。

2、共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是：存在唯一的一对实数x，y，使c=ax+by。

3、空间向量分解定理
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc。

任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示唯一。

2023暑假新高二第02讲空间向量的数量积运算（4种类型）【知识梳理】一、空间向量的数量积1．两个向量的数量积．已知两个非零向量a、b，则|a|·|b|cos 〈a，b〉叫做向量a 与b 的数量积，记作a·b，即a·b=|a|·|b|cos 〈a，b〉．要点诠释：（1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同．（2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．（3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆．2.空间向量数量积的性质设,a b 是非零向量，e 是单位向量，则①||cos ,a e e a a a e ⋅=⋅=<>；②0a b a b ⊥⇔⋅= ；③2||a a a =⋅ 或||a = ④cos ,||||a b a b a b ⋅<>=⋅ ；⑤||||||a b a b ⋅≤⋅ 3．空间向量的数量积满足如下运算律：（1）（λa）·b=λ（a·b）；（2）a·b=b·a（交换律）；1.定义：已知两个非零向量a、b，在空间任取一点D，作OA a =，OB b =，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a，b〉，如下图。

根据空间两个向量数量积的定义：a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉，那么空间两个向量a、b 的夹角的余弦cos ,||||a b a b a b ⋅〈〉=⋅。

要点诠释：1.规定：π>≤≤<b a ,02.特别地，如果0,>=<b a ，那么a 与b 同向；如果π>=<b a ,，那么a 与b 反向；如果090,>=<b a ，那么a 与b 垂直，记作b a ⊥。

空间向量的数量积，也称为内积或点积，是数学中的一种操作，用来衡量两个向量之间的相似性和夹角关系。

在几何学和物理学中，空间向量的数量积有着广泛的应用。

空间向量的数量积定义为：A·B = |A||B|cosθ其中，A和B分别是两个空间向量，|A|和|B|是它们的模长，θ是它们之间的夹角。

从这个定义可以看出，数量积的结果是一个实数。

数量积的计算方法为：将两个向量的对应分量相乘，并将结果相加。

设A=(x1, y1, z1)和B=(x2, y2, z2)为两个向量，则它们的数量积为：A·B = x1x2 + y1y2 + z1z2数量积具有以下几个重要性质：1.交换律：A·B = B·A2.分配律：A·(B+C) = A·B + A·C3.数量积为0的条件是两个向量垂直，即A·B = 0，则A和B垂直。

4.对于非零向量A，有A·A > 0，即一个向量的数量积不为0，除非它本身是零向量。

数量积可以用来判断两个向量之间的夹角关系。

具体来说，根据数量积的定义，当夹角θ为锐角时，cosθ大于0；当夹角θ为直角时，cosθ等于0；当夹角θ为钝角时，cosθ小于0。

因此，通过计算两个向量的数量积，可以判断它们之间的夹角是锐角、直角还是钝角。

空间向量的数量积在物理学中有着广泛的应用。

例如，在力学中，我们知道力可以用向量表示。

当两个力作用在同一物体上时，它们的数量积可以告诉我们它们之间的相似性和夹角关系。

如果两个力的数量积为正值，则表示它们的方向相同，具有相似的作用；如果数量积为负值，则表示它们的方向相反，具有相抵消的作用；如果数量积为零，则表示它们垂直，没有相互作用。

此外，在几何学中，空间向量的数量积能够帮助我们求解平面和立体几何中的问题。

例如，我们可以利用数量积来求解点、直线和平面的关系，求解三角形的面积等。

数量积的计算方法简单直观，极大地方便了我们进行空间几何的计算和分析。

1.1.2空间向量的数量积运算（1）。

教学目标：1.由平面向量的数量积定义、运算性质类比得出空间向量的数量积定义、运算性质；2.在立体图形中进行简单的数量积运算及求模运算.◎学科素养：1.类比认知新知，发展数学抽象素养；2.化归思想解题，发展数学运算素养.◎教学重点与难点：1.在立体图形中进行简单的数量积运算及求模运算；2.化归意识的强化.心敷学过程：一、空间向量数量积五、B是两个非零向量：L数量积五,另=|五IBlCOSV g, b >；2.-"αlb<=>d∙b = 0;3.d2 = ∖a∖2.二、典型例题【例I】已知四面体ABC。

，所有棱长均为2,点E,尸分别为棱48, CD的中点，则赤•CE =（）A. 1B. 2C. -1D. -2解题流程梳理:思考：直接用定义求“而•而”有什么弊端？［例2］如图，60。

的二面角的棱上有4 B两点、,直线AC, BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知AB = 4, AC = 6, BD = 8,则CO的长为（）A. √17B. 7C.2√17D. 9预备知识：（。

+8+。

）2=4+〃2+c 2+2αb+2αc+2bc.解题流程梳理：思考：有传统几何相比，利用向量运算求线段长有什么优势？三、巩固练习L 如图，在长方体ABCO -必BICIDl 中，设AD =2.在。

48C 。

中，AB = AC = 1,乙ACD = 90°,将它沿着对角线AC 折起，使AB 与CD 成60。

角，贝IJBO 的长度为（）A. 2B. 2或√∑C. √2练习失误处反馈:四、小结AA 1 = 1, AB = 2,则西.而等于（）A. 1B. 2C. 3 D 当D. 3√2βg2√21.直接求两个向量的数量积有困难，可以往哪个方向考虑？2.利用向量运算求线段长有什么优势？五、课后作业L在正四面体P-48C中，棱长为2,且E是棱AB中点，则屈•罚的值为()A. -1B. 1C. √33.如图，在棱长为√Σ的正方体力8CD-4l BιQDι中，而.而=() A. 2 B. 1 C. 2>∣2D. √24.直四棱柱ABC。

空间向量的数量积运算1．[多选]下列各命题中，正确的命题是( ) A ．a ·a ＝|a |B ．m (λa )·b ＝(mλ)a ·b (m ，λ∈R )C ．a ·(b ＋c )＝(b ＋c )·aD ．a 2b ＝b 2a解析：选ABC ∵a ·a ＝|a |2，∴a ·a ＝|a |，故A 正确． m (λa )·b ＝(mλa )·b ＝mλa ·b ＝(mλ)a ·b ，故B 正确．a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c ，(b ＋c )·a ＝b ·a ＋c ·a ＝a ·b ＋a ·c ＝a ·(b ＋c )，故C 正确．a 2·b ＝|a |2·b ，b 2·a ＝|b |2·a ，故D 不一定正确．2．已知e 1，e 2为单位向量，且e 1⊥e 2，若a ＝2e 1＋3e 2，b ＝k e 1－4e 2，a ⊥b ，则实数k 的值为( )A ．－6B ．6C ．3D ．－3解析：选B 由题意可得a ·b ＝0，e 1·e 2＝0，|e 1|＝|e 2|＝1，∴(2e 1＋3e 2)·(k e 1－4e 2)＝0，∴2k －12＝0，∴k ＝6.3．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE ―→·AF―→的值为( ) A ．a 2 B ．12a 2 C ．14a 2D ．34a 2解析：选C AE ―→·AF ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)·12AD ―→＝14(AB ―→·AD ―→＋AC ―→·AD ―→)＝14⎝⎛⎭⎪⎫a ×a ×12＋a ×a ×12＝14a 2.4．已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各条棱的长度都为2，E ，F 分别是AB ，A 1C 1的中点，则EF 的长是( )A ．2B ． 3C ． 5D ．7解析：选C 由于EF ―→＝EA ―→＋AA 1―→＋A 1F ―→，所以|EF ―→|＝(EA ―→＋AA 1―→＋A 1F ―→)2＝1＋4＋1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋0－12＝5，即EF 的长是 5.5.如图，已知P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，P A ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于( )A ．6 2B ．6C ．12D ．144解析：选C 因为PC ―→＝P A ―→＋AB ―→＋BC ―→，所以PC ―→2＝P A ―→2＋AB ―→2＋BC ―→2＋2P A ―→·AB ―→＋2P A ―→·BC ―→＋2AB ―→·BC ―→＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144，所以PC ＝12.6．已知|a |＝13，|b |＝19，|a ＋b |＝24，则|a －b |＝________. 解析：|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝132＋2a ·b ＋192＝242，∴2a ·b ＝46，|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝530－46＝484，故|a －b |＝22.答案：227.如图，已知四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是矩形，AB ＝4，AA 1＝3，∠BAA 1＝60°，E 为棱C 1D 1的中点，则AB ―→·AE―→＝________. 解析：AE ―→＝AA 1―→＋AD ―→＋12AB ―→，AB ―→·AE ―→＝AB ―→·AA 1―→＋AB ―→·AD ―→＋12AB ―→2＝4×3×cos 60°＋0＋12×42＝14.答案：148．已知e 1，e 2是夹角为60°的两个单位向量，则a ＝e 1＋e 2与b ＝e 1－2e 2的夹角是________．解析：a ·b ＝(e 1＋e 2)·(e 1－2e 2)＝e 21－e 1·e 2－2e 22＝1－1×1×12－2＝－32，|a |＝a 2＝(e 1＋e 2)2＝e 21＋2e 1·e 2＋e 22＝1＋1＋1＝3，|b |＝b 2＝(e 1－2e 2)2＝e 21－4e 1·e 2＋4e 22 ＝1－2＋4＝ 3.∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－323＝－12.∴〈a ，b 〉＝120°. 答案：120°9.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是C 1D 1，D 1D 的中点，正方体的棱长为1.(1)求〈CE ―→，AF ―→〉的余弦值；C 1E ―→ (2)求证：BD 1⊥EF .解：(1)AF ―→＝AD ―→＋DF ―→＝AD ―→＋12AA 1―→， CE ―→＝CC 1―→＋C 1E ―→＝AA 1―→＋12CD ―→＝AA 1―→－12AB ―→. 因为AB ―→·AD ―→＝0，AB ―→·AA 1―→＝0，AD ―→·AA 1―→＝0，所以CE ―→·AF ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫AA 1―→－12 AB ―→ ·⎝⎛⎭⎪⎫AD ―→＋12 AA 1―→ ＝12. 又|AF ―→|＝|CE ―→|＝52，所以cos 〈CE ―→，AF ―→〉＝25. (2)证明：因为BD 1―→＝BD ―→＋DD 1―→＝AD ―→－AB ―→＋AA 1―→， EF ―→＝ED 1―→＋D 1F ―→＝－12(AB ―→＋AA 1―→)，所以BD 1―→·EF ―→＝0，所以BD 1―→⊥EF ―→.即BD 1⊥EF . 10.如图，正四棱锥P -ABCD 的各棱长都为a . (1)用向量法证明：BD ⊥PC ； (2)求|AC ―→＋PC―→|的值． 解：(1)证明：∵BD ―→＝BC ―→＋CD―→， ∴BD ―→·PC ―→＝(BC ―→＋CD ―→)·PC ―→＝BC ―→·PC ―→＋CD ―→·PC ―→ ＝|BC ―→||PC ―→|·cos 60°＋|CD ―→||PC ―→|cos 120° ＝12a 2－12a 2＝0. ∴BD ⊥PC .(2)∵AC ―→＋PC ―→＝AB ―→＋BC ―→＋PC―→， ∴|AC ―→＋PC ―→|2＝|AB ―→|2＋|BC ―→|2＋|PC ―→|2＋2AB ―→·BC ―→＋2AB ―→·PC ―→＋2BC ―→·PC ―→＝a 2＋a 2＋a 2＋0＋2a 2cos 60°＋2a 2cos 60°＝5a 2，∴|AC ―→＋PC―→|＝5a .1．[多选]在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，则下列命题正确的是( )A ．(AA 1―→＋AD ―→＋AB ―→)2＝3AB ―→2B ．A 1C ―→·(A 1B 1―→－A 1A ―→)＝0 C ．AD 1―→与A 1B ―→的夹角为60° D ．正方体的体积为|AB ―→·AA 1―→·AD ―→| 解析：选AB 如图所示，(AA 1―→＋AD ―→＋AB ―→)2＝(AA 1―→＋A 1D 1―→＋D 1C 1―→)2＝AC 1―→2＝3AB ―→2； A 1C ―→·(A 1B 1―→－A 1A ―→)＝A 1C ―→·AB 1―→＝0；AD 1―→与A 1B ―→的夹角是D 1C ―→与D 1A ―→夹角的补角，而D 1C ―→与D 1A ―→的夹角为60°，故AD 1―→与A 1B ―→的夹角为120°；正方体的体积为|AB ―→||AA 1―→||AD ―→|.综上可知，A 、B 正确． 2．设空间上有四个互异的点A ，B ，C ，D ，已知(DB ―→＋DC ―→－2DA ―→)·(AB ―→－AC―→)＝0，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形解析：选B 因为DB ―→＋DC ―→－2DA ―→＝(DB ―→－DA ―→)＋(DC ―→－DA ―→)＝AB ―→＋AC ―→，所以(AB ―→＋AC ―→)·(AB ―→－AC ―→)＝|AB ―→|2－|AC ―→|2＝0，所以|AB ―→|＝|AC―→|，即△ABC 是等腰三角形． 3.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，P 是C 1D 1的中点，则B 1C ―→与A 1P ―→所成角的大小为________，B 1C ―→·A 1P ―→＝________.解析：法一：连接A 1D ，则∠P A 1D 就是B 1C ―→与A 1P ―→所成角．连接PD ，在△P A 1D 中，易得P A 1＝DA 1＝PD ＝2，即△P A 1D 为等边三角形，从而∠P A 1D ＝60°，即B 1C ―→与A 1P ―→所成角的大小为60°.因此B 1C ―→·A 1P ―→＝2×2×cos 60°＝1.法二：根据向量的线性运算可得B 1C ―→·A 1P ―→＝(A 1A―→＋)·⎝⎛⎭⎪⎫AD ―→＋12AB ―→ ＝AD ―→2＝1. 由题意可得P A 1＝B 1C ＝2，则2×2×cos 〈B 1C ―→，A 1P ―→〉＝1，从而〈B 1C ―→，A 1P ―→〉＝60°.答案：60° 14.在四面体OABC 中，各棱长都相等，E ，F 分别为AB ，OC 的中点，求异面直线OE 与BF 所成角的余弦值．解：取OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ， 且|a |＝|b |＝|c |＝1，则a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12. 又∵OE ―→＝12(a ＋b )，BF ―→＝12c －b ， ∴OE ―→·BF ―→＝12(a ＋b )·⎝⎛⎭⎪⎫12c －b ＝14a ·c ＋14b ·c －12a ·b －12|b |2＝－12.又|OE ―→|＝32，|BF ―→|＝32，∴cos 〈OE ―→，BF ―→〉＝OE ―→·BF ―→|OE ―→||BF―→|＝－23，∵异面直线夹角的范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，∴异面直线OE 与BF 所成角的余弦值为23.5．如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，沿着它的对角线AC 将△ACD 折起，使AB 与CD 成60°角，求此时B ，D 间的距离．解：∵∠ACD ＝90°，∴AC ―→·CD ―→＝0， 同理可得AC ―→·BA ―→＝0. ∵AB 与CD 成60°角，∴〈BA ―→，CD ―→〉＝60°或〈BA ―→，CD ―→〉＝120°. 又BD ―→＝BA ―→＋AC ―→＋CD―→， ∴|BD ―→|2＝|BA ―→|2＋|AC ―→|2＋|CD ―→|2＋2BA ―→·AC ―→＋2BA ―→·CD ―→＋2AC ―→·CD ―→＝3＋2×1×1×cos 〈BA ―→，CD ―→〉．∴当〈BA ―→，CD ―→〉＝60°时，|BD ―→|2＝4， 此时B ，D 间的距离为2；当〈BA ―→，CD ―→〉＝120°时，|BD ―→|2＝2， 此时B ，D 间的距离为 2.。

1.1.2 空间向量的数量积运算引言在空间解析几何中，空间向量是一个常见的概念。

空间向量的数量积运算是一种常用的计算方法。

本文将详细介绍空间向量的数量积运算，并给出相应的数学公式和示例。

数量积的定义空间中的向量a和b的数量积定义为两个向量的模长相乘再乘以它们的夹角的余弦值，表示为a·b。

数量积也被称为点积或内积。

两个向量a和b的数量积可以通过如下公式计算：a·b = |a| |b| cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示向量a 和b的夹角。

数量积的性质数量积具有如下一些性质：交换律对于任意向量a和b，有a·b = b·a。

结合律对于任意向量a，b和c，有(a·b)·c = a·(b·c)。

分配律对于任意向量a，b和c，有(a + b)·c = a·c + b·c。

零向量的数量积对于任意向量a，有a·0 = 0。

平行向量的数量积对于任意平行的向量a和b，有a·b = |a| |b|。

数量积的几何意义数量积可以用于计算两个向量之间的夹角。

具体来说，给定两个非零向量a和b，它们的数量积a·b的值是一个标量，它表示向量a在向量b方向上的投影，乘以向量b的模长。

数量积的计算方法计算两个向量的数量积可以使用向量的坐标表示方法。

假设向量a的坐标表示为(a1, a2, a3)，向量b的坐标表示为(b1, b2, b3)，则向量a和b的数量积可以计算为：a·b = a1b1 + a2b2 + a3b3示例下面以一个具体的示例来说明空间向量的数量积运算。

假设有两个向量a和b，它们的坐标分别为a(2, 3, 1)和b(4, -1, 2)。

首先计算向量a和向量b的模长：|a| = sqrt(2^2 + 3^2 + 1^2) = sqrt(14)|b| = sqrt(4^2 + (-1)^2 + 2^2) = sqrt(21)然后计算向量a和向量b的夹角的余弦值：cosθ = (2*4 + 3*(-1) + 1*2) / (sqrt(14) * sqrt (21)) ≈ 0.764最后计算向量a和向量b的数量积：a·b = sqrt(14) * sqrt(21) * 0.764 ≈ 9.101因此，向量a和向量b的数量积为9.101。

空间向量的数量积与向量积空间向量是在三维空间中具有大小和方向的量，可以表示为一个有序的三元组( x, y, z )。

向量的数量积和向量积是两个重要的运算，它们在物理学、工程学以及其他科学领域中经常被使用。

一、空间向量的数量积空间向量的数量积是指两个向量之间的数乘运算，表示为A·B。

假设有两个向量A和B，它们的数量积的定义如下：A·B = |A|·|B|·cosθ其中，|A|和|B|分别代表向量A和B的模长，θ表示两个向量之间的夹角。

数量积具有以下特性：1. A·B = B·A，即数量积的结果与向量的顺序无关。

2. 如果两个向量的数量积为零，即A·B = 0，则它们垂直于彼此，夹角为90°。

3. 如果两个向量的数量积大于零，即A·B > 0，则它们夹角小于90°，即锐角。

4. 如果两个向量的数量积小于零，即A·B < 0，则它们夹角大于90°，即钝角。

数量积的应用：1. 求解向量的夹角可以利用数量积的公式求解两个向量之间的夹角。

根据公式A·B = |A|·|B|·cosθ，可以通过已知的向量和夹角的模长计算出夹角的值。

2. 判定向量的垂直和平行关系如果向量A·B = 0，则可以判定向量A和B垂直。

如果向量A·B ≠ 0，则可以判定向量A和B不垂直。

3. 计算向量的投影通过数量积的计算，可以求一个向量在另一个向量上的投影。

投影是指一个向量在另一个向量上的映射。

二、空间向量的向量积空间向量的向量积是指两个向量之间的叉乘运算，表示为A×B。

假设有两个向量A和B，它们的向量积的定义如下：A×B = |A|·|B|·sinθ·n其中，|A|和|B|分别代表向量A和B的模长，θ表示两个向量之间的夹角，n是一个垂直于A和B所在平面的单位向量。