空间向量的数量积运算一
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空间向量的数量积运算公式
空间向量的数量积运算公式
空间向量的数量积公式是λa·b=a·λb，空间中具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模。
规定长度为0的向量叫做零向量，记为0，模为1的向量称为单位向量。
与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量。
记为-a方向相等且模相等的向量称为相等向量。
三个坐标面把空间分成八个部分，每个部分叫做一个卦限。
含有x轴正半轴、y 轴正半轴、Z轴正半轴的卦限称为第一卦限，其他第二、三、四卦限，在xoy 面的上方，按逆时针方向确定。
在第一、二、三、四卦限下面的部分分别称为第五、六、七、八卦限。
基本定理
1、共线向量定理
两个空间向量a，b向量（b向量不等于0），a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb。
2、共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是：存在唯一的一对实数x，y，使c=ax+by。
3、空间向量分解定理
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc。
任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示唯一。
数学《空间向量的数量积运算》
向量在三维空间中的方向
总结词
向量方向对数量积运算结果具有重要影响。
详细描述
在三维空间中，两个向量的数量积不仅与它们的长度和夹角有关，还与它们之间的方向关系有关。如 果两个向量方向相同或相反，它们的数量积将有不同的结果。
04 空间向量数量积运算的应 用
在物理中的应用
力的合成与分解
通过空间向量的数量积运算，可以方便地计算出力的合成与分解 结果，从而解决力学问题。
对未来研究的展望
• 展望：随着数学和物理学的发展，空间向量的数量积运算将继续发挥重要的作用。未来研究可以进一步探讨数量积运算的 性质和规律，例如探索数量积与其他向量运算之间的关系、数量积运算的几何意义等。此外，随着科技的发展，新的应用 领域将不断涌现，需要进一步拓展空间向量数量积运算的应用范围，例如在人工智能、数据分析和图像处理等领域的应用。 同时，随着数学教育的发展，如何更好地教授空间向量的数量积运算，提高学生对这一概念的理解和应用能力，也是未来 研究的一个重要方向。
速度和加速度的计算
在运动学中，空间向量的数量积运算可以用于计算速度和加速度， 帮助我们理解物体运动规律。
电磁学中的场强计算
在电磁学中，通过空间向量的数量积运算可以计算出电场强度和磁 场强度，进一步研究电磁场性质。
在工程中的应用
结构分析
在土木工程和机械工程中，空间 向量的数量积运算可以用于结构
分析，如计算应力和应变等。
数学《空间向量的数量积运算》
contents
目录
• 引言 • 空间向量的数量积运算性质 • 空间向量数量积运算的几何意义 • 空间向量数量积运算的应用 • 总结与展望
01 引言
空间向量的数量积运算的定义
定义
1.1.2 空间向量的数量积运算(教学课件)——高中数学人教A版(2019)选择性必修一
2
2
2
4
（2） EF · BD ＝ 1 BD · BD ＝ 1 | BD || BD |cos 〈 BD ， BD 〉＝ 1 ×1×1×cos 0°＝ 1 .
2
2
2
2
（3） EF · DC ＝ 1 BD · DC ＝ 1 | BD || DC |cos 〈 BD ， DC 〉＝ 1 ×1×1×cos 120°＝- 1 .
最后确定〈a，b〉.
四、利用数量积计算长度与距离问题
例1. 如图 所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角 线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D间的距离.
【解】 因为∠ACD＝90°，所以 AC ·CD ＝0. 同理可得 AC · BA ＝0. 因为AB与CD成60°角，
A1F
）·（
AB
AA1
）＝
c
a
1 2
b
·（a+c）
＝a·c-a2+ 1 b·a+c2-a·c+ 1 b·c
2
2
＝|c|2-|a|2＝22-22＝0.
（3）
EF
·
FC1
＝（
EA1
A1F
）·（
FD1
D1C1
）＝
1 2
(c
a)
1 2
b
·
1 2
b
a
＝
1 2
（-a+b+c）·
1 2
b
a
1 2
|a|2+
2
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积（inner product）， 记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
高中数学空间向量的数量积运算
三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线 垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直．
例2. 如图，m, n 是平面 内的两条相交直线， 如果l m, l n，求证：l ．
分析：根据直线和平面垂直的定义可知， 要证明l ，只需证明l 垂直平面
的任意一条直线．
例1 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．
已知：PO, PA分别是平面 的垂线 和斜线,AO是PA在平面 内 的射影，l , 且 l OA ， 求证：l PA .
分析：设直线l 的方向向量为a，
只需证明 a PA=0，
PA=PO OA,
解：由题设可得AC AB，
D b b a D'
CA , BD 120，
CD CA AB BD，
A
B
| CD |2 | CA |2 | AB |2 | BD |2 2CA AB 2CA BD 2 AB BD
b2 a2 b2 2b2 cos120 a2 b2
性质3)是求向量的长度(模)的依据.
空间向量的数量积满足如下运算律
1) ( a) b (a b)
2) a b b a (交换律）
3） a (b c) a b a c (分配律）
思考题：课本第90页 注意：
数量积不满足结合律
（a b) c a (b c)
②零向量与任意向量的数量积等于零.
2
空间向量的数量积性质 对非零向量a , b 有：
1) a e a cos a, e (e为单位向量)
2) a b a b 0
3.1.3 空间向量的数量积运算(一)
a、 b a b cos a , b 叫做 a 、 b 的数量积,记作 a b 即 a的数量积 已 知 空 间 两 个 非 零 向 量
, 则 .
注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
课堂练习
1. 已 知 a 2 2 , b 2 2 ,a b
2
,
则a 与b
135 的夹角大小为_____.
0, b 0
2.判断真假: 1)若 a b 0 , 则 a
2) (a b ) c a (b c ) 2 2 2 3) p q ( p q) 2 2 4) p q p q p q
(4)空间向量的数量积满足的运算律
⑴、⑵是显然成立的 思考：你能证明分配律成立吗？
另外 a b a 及a b 0 ¿ c ¿ b c a 0或 b 0
练习运算
数量积不满足结合律即 （a b ) c a ( b c ) 注意：
A'
B'
D C
4 3 5 2 ( 0 1 0 7 .5 )
2 2 2
A B
85 | A C |
85
空间向量的数量积运算(一)
引 入 数量积运 算定义 课堂练习
思考1数量 积的性质
思考2数量 积的运算律
空间向量的数量积运算(一)
F
S
W= |F| |s| cos
根据功的计算,我们定义了平面两向量的 数量积运算.一旦定义出来,我们发现这种运 算非常有用,它能解决有关长度和角度问题.
第02讲 空间向量的数量积运算(4种类型)(答案与解析)
2023暑假新高二第02讲空间向量的数量积运算（4种类型）【知识梳理】一、空间向量的数量积1．两个向量的数量积．已知两个非零向量a、b，则|a|·|b|cos 〈a，b〉叫做向量a 与b 的数量积，记作a·b，即a·b=|a|·|b|cos 〈a，b〉．要点诠释：（1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同．（2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．（3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆．2.空间向量数量积的性质设,a b 是非零向量，e 是单位向量，则①||cos ,a e e a a a e ⋅=⋅=<>；②0a b a b ⊥⇔⋅= ；③2||a a a =⋅ 或||a = ④cos ,||||a b a b a b ⋅<>=⋅ ；⑤||||||a b a b ⋅≤⋅ 3．空间向量的数量积满足如下运算律：（1）（λa）·b=λ（a·b）；（2）a·b=b·a（交换律）；1.定义：已知两个非零向量a、b，在空间任取一点D，作OA a =，OB b =，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a，b〉，如下图。
根据空间两个向量数量积的定义：a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉，那么空间两个向量a、b 的夹角的余弦cos ,||||a b a b a b ⋅〈〉=⋅。
要点诠释：1.规定：π>≤≤<b a ,02.特别地，如果0,>=<b a ，那么a 与b 同向；如果π>=<b a ,，那么a 与b 反向；如果090,>=<b a ，那么a 与b 垂直，记作b a ⊥。
空间向量的数量积
空间向量的数量积，也称为内积或点积，是数学中的一种操作，用来衡量两个向量之间的相似性和夹角关系。
在几何学和物理学中，空间向量的数量积有着广泛的应用。
空间向量的数量积定义为：A·B = |A||B|cosθ其中，A和B分别是两个空间向量，|A|和|B|是它们的模长，θ是它们之间的夹角。
从这个定义可以看出，数量积的结果是一个实数。
数量积的计算方法为：将两个向量的对应分量相乘，并将结果相加。
设A=(x1, y1, z1)和B=(x2, y2, z2)为两个向量，则它们的数量积为：A·B = x1x2 + y1y2 + z1z2数量积具有以下几个重要性质：1.交换律：A·B = B·A2.分配律：A·(B+C) = A·B + A·C3.数量积为0的条件是两个向量垂直，即A·B = 0，则A和B垂直。
4.对于非零向量A，有A·A > 0，即一个向量的数量积不为0，除非它本身是零向量。
数量积可以用来判断两个向量之间的夹角关系。
具体来说，根据数量积的定义，当夹角θ为锐角时，cosθ大于0；当夹角θ为直角时，cosθ等于0；当夹角θ为钝角时，cosθ小于0。
因此，通过计算两个向量的数量积，可以判断它们之间的夹角是锐角、直角还是钝角。
空间向量的数量积在物理学中有着广泛的应用。
例如，在力学中，我们知道力可以用向量表示。
当两个力作用在同一物体上时，它们的数量积可以告诉我们它们之间的相似性和夹角关系。
如果两个力的数量积为正值，则表示它们的方向相同，具有相似的作用；如果数量积为负值，则表示它们的方向相反，具有相抵消的作用；如果数量积为零，则表示它们垂直，没有相互作用。
此外，在几何学中，空间向量的数量积能够帮助我们求解平面和立体几何中的问题。
例如，我们可以利用数量积来求解点、直线和平面的关系，求解三角形的面积等。
数量积的计算方法简单直观，极大地方便了我们进行空间几何的计算和分析。
3.1.3空间向量的数量积运算
在四面体ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC． 中 在四面体 ⊥ ， ⊥ ，求证： ⊥ ．
3.1.3空间向量的数量积运算 空间向量的数量积运算
一、两个向量的夹角
两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角， 两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角，即取值范 而向量的夹角可以是钝角,其取值范围是 围是(0° ° 而向量的夹角可以是钝角 其取值范围是[0° ° 围是 °,90°],而向量的夹角可以是钝角 其取值范围是 °,180°]
(1)三垂线定理及其逆定理中都出 三垂线定理及其逆定理中都出 现了四条线AB， ， ， ， 现了四条线 ，AC，BC，l， 定理中所描述的是AC(斜线 、 斜线)、 定理中所描述的是 斜线 BC(射影 、l(面内的直线 之间的 射影)、 面内的直线 面内的直线)之间的 射影 关系． 关系． 在三垂线定理及其逆定理中， 在三垂线定理及其逆定理中， 涉及上面四条线， 涉及上面四条线，三个垂直 关系 垂线AB和平面 垂直； 和平面α ①垂线 和平面α垂直； 射影BC和直线 垂直； 和直线l垂直 ②射影 和直线 垂直； 斜线AC和直线 垂直， 和直线l垂直 ③斜线 和直线 垂直， 所以定理称为“ 所以定理称为“三垂线定 理”． (2)两个定理的区别 两个定理的区别 ①从两个定理的条件和结论上区分，三垂线定理是“线与射影垂直 从两个定理的条件和结论上区分，三垂线定理是“ 线与斜线垂直” 逆定理相反． 推出 线与斜线垂直”，逆定理相反． 从两个定理的作用上区分，三垂线定理解决已知“ ②从两个定理的作用上区分，三垂线定理解决已知“共面直线垂直 异面直线垂直” 逆定理相反． 推出 异面直线垂直”，逆定理相反．
四、空间向量数量积的运算律
与平面向量一样，空间向量的数量积满足如下运算律： 与平面向量一样，空间向量的数量积满足如下运算律：
1.1.2 空间向量的数量积运算1学生版
1.1.2空间向量的数量积运算（1）。
教学目标：1.由平面向量的数量积定义、运算性质类比得出空间向量的数量积定义、运算性质；2.在立体图形中进行简单的数量积运算及求模运算.◎学科素养：1.类比认知新知，发展数学抽象素养；2.化归思想解题，发展数学运算素养.◎教学重点与难点：1.在立体图形中进行简单的数量积运算及求模运算；2.化归意识的强化.心敷学过程：一、空间向量数量积五、B是两个非零向量：L数量积五,另=|五IBlCOSV g, b >；2.-"αlb<=>d∙b = 0;3.d2 = ∖a∖2.二、典型例题【例I】已知四面体ABC。
，所有棱长均为2,点E,尸分别为棱48, CD的中点，则赤•CE =（）A. 1B. 2C. -1D. -2解题流程梳理:思考：直接用定义求“而•而”有什么弊端？［例2］如图，60。
的二面角的棱上有4 B两点、,直线AC, BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知AB = 4, AC = 6, BD = 8,则CO的长为（）A. √17B. 7C.2√17D. 9预备知识：（。
+8+。
）2=4+〃2+c 2+2αb+2αc+2bc.解题流程梳理：思考：有传统几何相比，利用向量运算求线段长有什么优势？三、巩固练习L 如图，在长方体ABCO -必BICIDl 中，设AD =2.在。
48C 。
中，AB = AC = 1,乙ACD = 90°,将它沿着对角线AC 折起，使AB 与CD 成60。
角，贝IJBO 的长度为（）A. 2B. 2或√∑C. √2练习失误处反馈:四、小结AA 1 = 1, AB = 2,则西.而等于（）A. 1B. 2C. 3 D 当D. 3√2βg2√21.直接求两个向量的数量积有困难，可以往哪个方向考虑？2.利用向量运算求线段长有什么优势？五、课后作业L在正四面体P-48C中，棱长为2,且E是棱AB中点，则屈•罚的值为()A. -1B. 1C. √33.如图，在棱长为√Σ的正方体力8CD-4l BιQDι中，而.而=() A. 2 B. 1 C. 2>∣2D. √24.直四棱柱ABC。
空间向量的数量积运算
1.1.2空间向量的数量积运算
（第一课时）
• 问题一
• 两个非零空间向量的夹角：
已知两个非零向量a,b, 在空间中任取一点O, 作OA a,OB b,
则AOB叫做向量a,b的夹角.
• 记作：a,b.
aA b
• 规定：0 a, b
α O.
B
a, b＝b, a
• 如果 a, b ，那么向量a,b
• 记作：a b.
即 a b a b cosa, b.
• 规定：零向量与任意向量的数量积都等于零. • 两个向量的数量积是数量还是向量？ 数量!
• 问题二Leabharlann • 空间向量的数量积的性质：
（1）0·a = 0 （选择0还是0）.
证明垂直关系
（2）对于两个非零向量a，b，a⊥b ⟺ a·b ＝___0____.
b a
α O .c
• 投影向量c的长度？
c a cosa, b
• 问题三 • 向量a向直线l投影：
a
α O .c
l
• 问题三 • 向量a向直线l投影：
• 向量a向平面β投影：
B a A
A1 c B1
注：向量a与投影向量c的夹角 就是向量a所在的直线与平面β 所成的角
• 问题四 类比平面向量数量积的运算律，空间向量数量积满足哪些运算律？
（1）EF BA （2）EF BD （3）EF DC
【解】（2）EF BD= EF BD = 1 1= 1 22
（3）EF DC = EF DC cosEF , DC
= 1 1 cos120 = 1
2
4
• 问题三
在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影：
B a A
b C A1 B1 D
（第一课时）
• 问题一
• 两个非零空间向量的夹角：
已知两个非零向量a,b, 在空间中任取一点O, 作OA a,OB b,
则AOB叫做向量a,b的夹角.
• 记作：a,b.
aA b
• 规定：0 a, b
α O.
B
a, b＝b, a
• 如果 a, b ，那么向量a,b
• 记作：a b.
即 a b a b cosa, b.
• 规定：零向量与任意向量的数量积都等于零. • 两个向量的数量积是数量还是向量？ 数量!
• 问题二Leabharlann • 空间向量的数量积的性质：
（1）0·a = 0 （选择0还是0）.
证明垂直关系
（2）对于两个非零向量a，b，a⊥b ⟺ a·b ＝___0____.
b a
α O .c
• 投影向量c的长度？
c a cosa, b
• 问题三 • 向量a向直线l投影：
a
α O .c
l
• 问题三 • 向量a向直线l投影：
• 向量a向平面β投影：
B a A
A1 c B1
注：向量a与投影向量c的夹角 就是向量a所在的直线与平面β 所成的角
• 问题四 类比平面向量数量积的运算律，空间向量数量积满足哪些运算律？
（1）EF BA （2）EF BD （3）EF DC
【解】（2）EF BD= EF BD = 1 1= 1 22
（3）EF DC = EF DC cosEF , DC
= 1 1 cos120 = 1
2
4
• 问题三
在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影：
B a A
b C A1 B1 D
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空间向量的数量积运算(一)
引入
数量积运 算定义
课堂练习
思考1数量 积的性质
思考2数量 积的运算律
空间向量的数量积运算(一)
F
S
W= |F| |s| cos
根据功的计算,我们定义了平面两向量的 数量积运算.一旦定义出来,我们发现这种运 算非常有用,它能解决有关长度和角度问题.
空间向量数量积
类似地,我们可以定义空间向量的数量积运算: 1)两个向量的夹角的定义:
2
a
.
注：
性质② 是证明两向量垂直的依据；
性质③是求向量的长度（模）的依据；
运算律是否成立
(4)空间向量的数量积满足的运算律
⑴(a) b (a b)
这些运算律
⑵ a b b a (交换律)
成立,说明数量积 不仅有用,而且运
⑶ a (b c) a b a c (分配律) 算 起 来 还 极 为 方
AC
D' B'
C B
C'
解： AC AB AD AA
| AC |2 ( AB AD AA)2 | AB |2 | AD |2 | AA |2 2( AB AD AB AA AD AA) 42 32 52 2(0 10 7.5) 85
| AC | 85
A
a
A1
B1
b
B
类比平面向量,你能说 出 a b 的几何意义吗?
如 图 A1B1 是 b 在 a 方 向上的射影向量.
(3)空间两个向量的数量积性质 显然,对于非零向量 a 、b , e 是单位向
量有下列性质:
① a e a cos a, e ；
②a b ab 0;
2
③ a a a 也就是说 a
如图,已知两个非零向量 a 、b ,在空间任取
一点 O ,作 OA a , OB b ,则角 AOB 叫做向
量 a 与 b 的夹角,记作: a, b .
⑴范围: 0 ≤ a, b ≤ a a, b =0 时, a 与 b 同向;
b
a, b =π 时, a 与 b 反向
A
a
B O
b
⑵ a, b＝b, a
⑶如果 a, b ,则称 a 与 b 垂直,记为 a b
2
2）两个向量的数量积 已 知 空 间 两 个 非 零 向 量 a 、b , 则
a b cosa, b 叫做 a 、b 的数量积,记作 a b .
即 a b a b cosa, b .
注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
1)若 a b 0,则 a 0,c)
()
3)
2
p
2
q
(
p q)2
( )
2
2
4) p q p q p q
( )
ABCD ABCD AB 4
AD 3 , AA 5 , BAD 90 , BAA DAA 60
A' D A
便
⑴、⑵是显然成立的
思考：你能证明分配律成立吗？
注意：数量积不满足结合律即 （a b) c a (b c)
另外 a b a c b c 及ab 0 a 0或b 0
练习运算
课堂练习
1.已知 a 2 2 , b
2 ,ab
2,
2
则 a 与b 的夹角大小为_1_3__5_.
2.判断真假:
引入
数量积运 算定义
课堂练习
思考1数量 积的性质
思考2数量 积的运算律
空间向量的数量积运算(一)
F
S
W= |F| |s| cos
根据功的计算,我们定义了平面两向量的 数量积运算.一旦定义出来,我们发现这种运 算非常有用,它能解决有关长度和角度问题.
空间向量数量积
类似地,我们可以定义空间向量的数量积运算: 1)两个向量的夹角的定义:
2
a
.
注：
性质② 是证明两向量垂直的依据；
性质③是求向量的长度（模）的依据；
运算律是否成立
(4)空间向量的数量积满足的运算律
⑴(a) b (a b)
这些运算律
⑵ a b b a (交换律)
成立,说明数量积 不仅有用,而且运
⑶ a (b c) a b a c (分配律) 算 起 来 还 极 为 方
AC
D' B'
C B
C'
解： AC AB AD AA
| AC |2 ( AB AD AA)2 | AB |2 | AD |2 | AA |2 2( AB AD AB AA AD AA) 42 32 52 2(0 10 7.5) 85
| AC | 85
A
a
A1
B1
b
B
类比平面向量,你能说 出 a b 的几何意义吗?
如 图 A1B1 是 b 在 a 方 向上的射影向量.
(3)空间两个向量的数量积性质 显然,对于非零向量 a 、b , e 是单位向
量有下列性质:
① a e a cos a, e ；
②a b ab 0;
2
③ a a a 也就是说 a
如图,已知两个非零向量 a 、b ,在空间任取
一点 O ,作 OA a , OB b ,则角 AOB 叫做向
量 a 与 b 的夹角,记作: a, b .
⑴范围: 0 ≤ a, b ≤ a a, b =0 时, a 与 b 同向;
b
a, b =π 时, a 与 b 反向
A
a
B O
b
⑵ a, b＝b, a
⑶如果 a, b ,则称 a 与 b 垂直,记为 a b
2
2）两个向量的数量积 已 知 空 间 两 个 非 零 向 量 a 、b , 则
a b cosa, b 叫做 a 、b 的数量积,记作 a b .
即 a b a b cosa, b .
注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
1)若 a b 0,则 a 0,c)
()
3)
2
p
2
q
(
p q)2
( )
2
2
4) p q p q p q
( )
ABCD ABCD AB 4
AD 3 , AA 5 , BAD 90 , BAA DAA 60
A' D A
便
⑴、⑵是显然成立的
思考：你能证明分配律成立吗？
注意：数量积不满足结合律即 （a b) c a (b c)
另外 a b a c b c 及ab 0 a 0或b 0
练习运算
课堂练习
1.已知 a 2 2 , b
2 ,ab
2,
2
则 a 与b 的夹角大小为_1_3__5_.
2.判断真假: