目录1对弧长的曲线积分 （扩展）对弧长曲线积分的应用2对坐标的曲线积分 3格林公式及其应用 4对面积的曲面积分课后典型题1对弧长的曲线积分之前已经学过计算曲线长度的积分（1）对于y=y(x)（2）对于参数方程()()x x t y y t =⎧⎨=⎩（3）对于极坐标方程是()r r θ=，转成直角坐标()cos ()sin x r y r θθθθ== ，则'()'cos sin '()'sin cos x r r y r r θθθθθθ=-=+。
代入上面3个都是求弧长，现在求的是在弧长上对某个被积函数f(x,y)积分。
那么，如果把被积函数f(x,y)看成是密度，那么得到的就是曲线质量。
当然如果密度均匀为1，则求的弧长积分就是弧长。
如果把被积函数f(x,y)看成是高度z,那么得到的就是一个柱面表面积。
对弧长的曲线积分，称为“第一类曲线积分”。
扩展到空间，若被积函数是f(x,y,z)那么，就表示在空间曲线L 的密度，求得的结果就是空间的线质量。
定义：01(,)lim (,)niiii Lf x y ds f s λξη→==∆∑⎰ 计算步骤 1画出图形2写出L 的方程，指出自变量范围，确定积分上下限（下限必须小于上限） 3由L 类型写出对应ds 的表达式4因被积函数f(x,y)的点x ，y 在L 上变动，因此x ，y 必须满足L 的方程。
即把L 中的x ，y 代入被积函数f(x,y)中。
5写出曲线积分的定积分表达式，并计算。
注，二重积分中xy 在投影域D 内动，而被积函数的xy 在L 上动，故(x ，y)必须满足L 。
如，L 的方程y=k,则()LLf x ds kds ks ==⎰⎰（保留。
还不太懂）参数方程设曲线有参数方程()()x x t L y y t =⎧⎨=⎩，则有：显式方程 设曲线为L ：y=y(x) ，则有：设曲线为L ：x=x(y) ，则有： 极坐标方程 设曲线为:(),([,])L rr θθαβ=∈ 则有：空间曲线方程设曲线为空间曲线():()()x x t L y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩，则有： 设在L 上f(x,y)<=g(x,y)，则(,)(,)LLf x y dsg x y ds ≤⎰⎰，特别的，有(,)(,)LLf x y dsg x y ds ≤⎰⎰此性质不能用于第二类曲线积分扩展 对弧长曲线积分的应用（其实和二重积分一样，完全可以自己推导）质心坐标：LLx dsx dsρρ=⎰⎰ 、LLy dsy dsρρ=⎰⎰转动惯量：I=mr^2,因此有2(,)x LI y x y ds ρ=⎰设平面力场的力为(,)(,)(,)x y P x y Q x y =+F i j 求该力沿着曲线L 从a 到b 所做的功。
高数积分总结一、不定积分1、不定积分的概念也性质定义1：如果在区间I 上，可导函数F （x ）的导函数为f(x)，即对任一I x ∈,都有F`(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I 上的原函数。
定义2：在区间I 上，函数f （x ）的带有任意常数项的原函数称为f （x ）（或者f(x)dx ）在区间I 上的不定积分，记作⎰dx x f )(。
性质1：设函数f(x)及g(x)的原函数存在，则⎰⎰⎰+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([。
性质2：设函数f(x)的原函数存在，k 为非零常数，则⎰⎰=dx x f k dx x kf )()(。
2、换元积分法 (1)第一类换元法：定理1：设f(u)具有原函数，)(x ϕμ=可导，则有换元公式)(])([)(')]([x d f dx x x f ϕμμμϕϕ=⎰⎰=。
例：求⎰xdx 2cos 2解 ⎰⎰⎰⎰=•=•=μμd dx x x dx x xdx cos )'2(2cos 22cos 2cos 2 将x 2=μ代入，既得⎰+=C x xdx 2sin 2cos 2(2)第二类换元法：定理2：设)(t x ψ=是单调的、可导的函数，并且.0)('≠t ψ又设)(')]([t t f ψψ具有原函数，则有换元公式,])(')]([[)()(1x t dt t t f dx x f -=⎰⎰=ψψψ其中)(1x -ψ是)(t x ψ=的反函数。
例：求⎰>+)0(22a ax dx解 ∵t t 22sec tan 1=+，设⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22tan ππαt t x ，那么 tdt a dx t a t a t a a a x 2222222sec ,sec tan 1tan ==+=+=+，于是⎰⎰⎰==+tdt dt t a ta a x dxsec sec sec 222 ∴C t t ax dx ++=+⎰tan sec ln 22∵aa x t 22sec +=，且0tan sec >+t t ∴1222222)ln(ln C a x x C a ax a x a x dx+++=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=+⎰，a C C ln 1-=3、分部积分法定义：设函数)(x μμ=及)(x υυ=具有连续导数。
