曲线积分及格林公式(包括第一、二类曲线积分-图文并茂-自学必备)

曲线积分的计算方法曲线积分是微积分中的重要概念，它在物理学、工程学和数学分析中有着广泛的应用。

曲线积分的计算方法有多种，下面我们将介绍其中的一些常见方法。

首先，我们来看一下曲线积分的定义。

曲线积分是对曲线上的函数进行积分运算，它描述了函数沿着曲线的变化情况。

曲线积分可以分为第一类曲线积分和第二类曲线积分，它们分别对应着不同的计算方法。

对于第一类曲线积分，也称为向量场沿曲线的积分，计算方法如下，假设曲线的参数方程为r(t)=(x(t),y(t))，函数为P(x,y)dx+Q(x,y)dy，其中P、Q是定义在曲线上的连续函数。

那么第一类曲线积分的计算公式为∫C Pdx+Qdy=∫[a,b](P(x(t)),Q(y(t)))·(x'(t),y'(t))dt，其中[a,b]是曲线的参数区间。

对于第二类曲线积分，也称为标量场沿曲线的积分，计算方法如下，假设曲线的参数方程为r(t)=(x(t),y(t))，函数为f(x,y)，其中f是定义在曲线上的连续函数。

那么第二类曲线积分的计算公式为∫C f(x,y)ds=∫[a,b] f(x(t),y(t))·|r'(t)|dt，其中[a,b]是曲线的参数区间，|r'(t)|表示曲线在参数t处的切线长度。

除了以上介绍的基本计算方法外，还有一些特殊情况下的曲线积分计算方法，比如在极坐标系下的曲线积分、在三维空间中的曲线积分等。

这些方法在具体问题中有着重要的应用，需要根据具体情况进行灵活运用。

总之，曲线积分的计算方法是微积分中的重要内容，它涉及到向量场、标量场以及曲线的参数方程等多个概念。

掌握曲线积分的计算方法对于理解微积分的理论和应用具有重要意义，希望以上介绍能够对大家有所帮助。

第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分一 基本概念定义1 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分） （1）平面曲线()L AB 的积分：()()01(,)d lim(,)nkkkL AB T k f x y s f sλξη→==∆∑⎰（2）空间曲线()L AB 的积分：()()01(,,)d lim(,,)nkkkk L AB T k f x y z s f s λξηζ→==∆∑⎰其中()T λ表示分割曲线()L AB 的分法T 的细度，即n 段曲线弧长的最大值，(,)k k ξη或(,,)k k k ξηζ是第k 段弧上的任意一点。

物理意义：第一类曲线积分表示物质曲线L 的质量，其中被积函数(,)f x y 或(,,)f x y z 表示曲线的线密度。

定义2 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分） （1）平面曲线()L AB 的积分：()()01(,)d (,)d lim[(,)(,)]nkkkk k k L AB T k P x y x Q x y y f xf y λξηξη→=+=∆+∆∑⎰（2）空间曲线()L AB 的积分：()(,,)d (,,)d (,,)d L AB P x y z x Q x y z y R x y z z ++⎰()01lim[(,,)(,,)(,,)]nkkkk k k k k k k k k T k f x f y f z λξηζξηζξηζ→==∆+∆+∆∑其中()T λ表示分割曲线()L AB 的分法T 的细度，即n 段的最大弧长，(,)k k ξη是第k 段弧上的任意一点。

物理意义：第二类曲线积分表示变力F 沿曲线L 所作的功，被积函数(,),(,)P x y Q x y 或(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 表示力F 在各坐标轴上的分量。

二 基本结论定理1 （第一类曲线积分的性质） （1）无向性()()(,)d (,)d L AB L BA f x y s f x y s =⎰⎰．（2）线性性质 (1)(,)d (,)d LLk f x y s k f x y s =⎰⎰；(2)[(,)(,)]d (,)d (,)d LLLf x yg x y s f x y s g x y s ±=±⎰⎰⎰．（3）路径可加性 曲线L 分成两段1L 和2L （不重叠），则12(,)d (,)d (,)d LL L f x y s f x y s f x y s =+⎰⎰⎰．（4）弧长公式d Ls L =⎰(L 表示曲线L 的弧长)．（5）恒等变换 积函数可用积分曲线方程作变换． （6）奇偶性与对称性 如果积分弧段()L AB 关于y 轴对称，()(,)d L AB f x y s ⎰存在，则()()0,(,)(,)d 2(,)d (,)L AB L OB f x y x f x y s f x y s f x y x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰关于是奇函数,，关于是偶函数.其中O 点是曲线弧段()L AB 与y 轴的交点．定理2 （第二类曲线积分的性质） （1）有向性()()(,)d (,)d L AB L BA P x y x P x y x =-⎰⎰．（2）线性性质 (1)(,)d (,)d LLkf x y x k f x y x =⎰⎰；(2) [(,)(,)]d (,)d (,)d L L Lf x yg x y x f x y x g x y x ±=±⎰⎰⎰．（3）路径可加性 曲线L 分成两段1L 和2L （不重叠），则12(,)d (,)d (,)d LL L f x y x f x y x f x y x =+⎰⎰⎰．定理3 （第一类曲线积分与第二类曲线积分的关系）()()d d d d d d d d d d L AB L AB xy z P x Q y R z P Q R s ss s ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭⎰⎰()(cos cos cos )d L AB P Q R s αβγ=++⎰()d L AB =⋅⎰F s其中cos ,cos ,cos αβγ是曲线AB 上的点的切线的方向余弦，且d cos d ,d cos d ,d cos d x s y s z s αβγ===一般地，积分曲线的方向余弦是变量。

高数作业姓名：徐艳涛班级：电子商务1133学号：201161102348曲线积分和格林公式学习总结§1对弧长的曲线积分1．1由例子引入对弧长的曲线积分的定义给出性质，然后介绍将对弧长的曲线积分化为定积分的计算方法。

1、引例：求曲线形构件的质量 最后举例巩固计算方法的掌握。

2、s z y x f d ),,(⎰Γ为第一类曲线积分，其中Γ为曲线，被积函数),,(z y x f 中的点),,(z y x 位于曲线Γ上，即),,(z y x 必须满足Γ对应的方程，222dz dy dx ds ++=是弧微分、弧长元素。

若Γ是封闭曲线，则第一类曲线积分记为sz y x f d ),,(⎰Γ3、第一类曲线积分的应用：1）、曲线Γ的长s=s d ⎰Γ2）、若空间曲线形物体的线密度为),,(z y x f ，Γ∈),,(z y x ，则其质量M dsz y x f ),,(⎰Γ=;质心坐标为),,(z y x ，其中Mds z y x zf z Mds z y x yf y Mdsz y x xf x ),,(,),,(,),,(⎰⎰⎰ΓΓΓ===;对x 轴的转动惯量dsz y x f z y Ix),,()(22+=⎰Γ4、第一类曲线积分的计算方法：若空间曲线Γ参数方程为：⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，βα≤≤t ，则dt t z t y t x ds 222)]('[)]('[)]('[++=，s z y x f d ),,(⎰Γ=⎰βα))(),(),((t z t y t x f tt z t y t x d )]('[)]('[)]('[222++。

例1 计算⎰Γdsz y x )(222++，其中Γ：t x cos =，ty sin =，t z =，π20≤≤t解 因为222z y x ++=222sin cos t t t ++=21t +，dt dt t t ds 21)(cos )sin (22=++-=, 所以⎰Γds z y x )(222++)382(22)1(3220πππ+=+=⎰dt t例2⎰Γds y ||，其中Γ为球面2222=++z y x与平面yx =的交线；解 Γ的参数方程为tz t y x sin 2,cos ===，π20≤≤t ，dt dt z y x ds 2'''222=++=，根据对称性得到⎰Ldsy ||=24d cos 242=⎰t t π例3 计算⎰Γds z y x )(222++，其中:Γ⎪⎩⎪⎨⎧==+1222z ay x )0(>a解Γ:⎪⎩⎪⎨⎧===1sin cos z t a y ta x ,π20≤≤t ,dt t z t y t x ds 222)]('[)]('[)]('[++=adt dt t t a =+=)cos (sin 222∴⎰Γds z y x )(222++)1(2)1(2220+=+=⎰a a adt a ππ或解：被积函数222z y x ++中的点),,(z y x 位于曲线Γ上，即),,(z y x 必须满足Γ对应的方程 ，所以12222+=++a z y x ，⎰Γdsz y x )(222++=⎰Γdsa )1(2+=⎰+=+Γ)1(2)1(22a a ds a π1.2 第一类曲线积分公式：=应用前提:1.曲线L 光滑,方程可以写成为:2.函数在L 上有定义，且连续。

第一型曲线积分格林公式
曲线积分格林公式(Gauss Quadrature Formula)是一种高效的数值积
分的方法。

该方法可以有效的用有限的线性组合来近似曲线积分。

格林公式的一类是第一型格林公式，它提供一个比较容易实现的计算，有效的计算出一阶及二阶以上被积函数不论奇偶或异类在指定定积区
间的积分值。

这类公式可以用如下等式来描述：
$$
\int_{a}^{b}f(x)dx=\frac{b-a}{2}\sum_{k=1}^{n}w_{k}f\left(\frac{b-
a}{2}x_{k}+\frac{a+b}{2}\right)
$$
其中$w_{k}$和$x_{k}$分别为积分时要用到的权重及积分点。

使用第一型格林公式通常来说有以下优点：
- 可以完成计算可以使计算极为高效快速；
- 结果有更高的精确度，相比传统的梯形法与辛普森法有更优越准确的
结果；
- 第一型格林公式可以很容易的使用，不需要反复研究甚至编程就可以
实现曲线积分；
- 这类公式可以有效适用于一阶及二阶以上的被积函数；
- 其实现与容易计算使第一型格林公式在计算实数积分的应用很广泛。

*点击以上标题可直接前往对应内容格林公式设区域D组成.规定为:时, 区域D如图21-12 所示为负方向,记为定理20.1若函数(,),(,)P x y Q x y 在闭区域D 上有连续的一阶偏导数, 则有∂∂-=+∂∂⎛⎫⎪⎝⎭⎰⎰⎰d d d ,LD Q P P x Q y x y σ (1)这里L 为区域D 的边界曲线, 并取正方向.公式(1)称为格林公式.证根据区域D 的不同形状, 这里对以下三种情形(i)若D 既是x 型又是y 型区域(图21-13),作出证明:12()(),,x y x a x b ϕϕ≤≤≤≤又可表为12()(),.y x y y ψψαβ≤≤≤≤1()y x ϕ=2()y x ϕ=这里和分 CAE 分别是曲线和 CBE 的方程.ACBAEB 别为曲线和的方程,O x1()x ϕβαAb EaBC2()x ϕyD图21-13则D 可表为1()x y ψ=2()x y ψ=和则而d DQx σ∂∂⎰⎰21((),)d ((),)d Q y y y Q y y yββααψψ=-⎰⎰ (,)d (,)d CBECAEQ x y y Q x y y=-⎰⎰ (,)d (,)d CBEEACQ x y y Q x y y=+⎰⎰(,)d .LQ x y y =⎰于是,21()()d d y y Q y x x βψαψ∂=∂⎰⎰d (,)d .L DP P x y x y σ∂-=∂⎰⎰⎰ 将上述两个结果相加即得d d d .L D Q P P x Q y x y σ⎛⎫∂∂-=+ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰ (ii)若区域D 是由一条按段光滑的闭曲线围成,且可用几段光滑曲线将D 分成有限个既是x 型同理又可证得又是y 型的子区域, 格林公式, 然后相加即可.则可逐块按(i) 得到它们的如图21-14 所示的区域是y 型的区域1D d Q P σ⎛⎫∂∂- ⎪⎰⎰123d D D D Q P x y ⎛⎫∂∂=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰于是可将它分成三个既是123d d d d d d L L L P x Q y P x Q y P x Q y =+++++⎰⎰⎰d d .LP x Q y =+⎰后, D 的边界则由 23,,,,,,AB L BA AFC CE L ECCE 及构成. 由(ii)知CGAd D Q P x y σ⎛⎫∂∂- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰ {}23(d d )ABL BAAFCCEL ECCGAP x Q y =++++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()231(d d )L L L P x Q y =+++⎰⎰⎰ d d .LP x Q y =+⎰注1 并非任何单连通区域都可分解为有限多个既是x y 型又是型区域的并集, 31sin ,(0,1];1;0;1y x x y x x x=∈=-==所围成的区域便是如此.例如由注2为便于记忆, 格林公式(1) 也可写成下述形式:d d d .LDx y PQP x Q y σ∂∂∂∂=+⎰⎰⎰注3 应用格林公式可以简化某些曲线积分的计算.请看以下二例:第一象限部分(图21-16).解对半径为r 的四分之一圆域D, 应用格林公式:d d LDx y σ--=⎰⎰⎰d d d .OAABBOx y x y x y =++⎰⎰⎰由于d 0,d 0,OA BO x y x y ==⎰⎰ d d AB Dx y σ=-⎰⎰⎰例1 计算d ,ABx y ⎰其中曲线是半径为r 的圆在AB Ox2116-图BL-AD y因此21π.4r =-例2 计算22d d ,L x y y xI x y -=+⎰ 其中L 为任一不包含原点的闭区域D 的边界线.解因为2222222,()x y x x x y x y ⎛⎫∂-= ⎪∂++⎝⎭2222222,()y y xy x y x y ⎛⎫∂--= ⎪∂++⎝⎭于是，由格林公式2222=d 0,D x y x x y y x y σ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂--=⎢⎥ ⎪ ⎪∂+∂+⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰22d d L x y y x x y -+⎰在格林公式中, 令,,P y Q x =-=则得到一个计算平面区域D 的面积S D 的公式:1d d d .2D L DS x y y x σ==-⎰⎰⎰ (2)例3 计算抛物线2()(0)x y ax a +=>与x 轴所围图形的面积(图21-17).解曲线 AMO 由函数,[0,]y ax x x a =-∈表示, O NA 0,y =为直线于是1d d 2D S x y y x =-⎰ x2117-图O(,0)A a NMy 11d d d d 22ONA AMOx y y x x y y x =-+-⎰⎰1d d 2AMOx y y x =-⎰011)d 22a a x ax x x ax ⎡⎤⎛⎫=---⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰020111d d .2246a a a ax x x x a ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭⎰⎰在第二十章§2 中计算第二型曲线积分的开始两个例子中, B 为终点的曲线积分, 若所沿的路线不同, 则其积分值也不同, 点有关, 与路线的选取无关. 什么条件下, 它的值与所沿路线的选取无关.首先介绍单连通区域的概念. 若对于平面区域D 内任一封闭曲线, 皆可不经过D曲线积分与路线的无关性读者可能已经注意到, 在例1中, 以A 为起点但在例2 中的曲线积分值只与起点和终本段将讨论曲线积分在一封闭曲线所围成的区域只含有D 中的点.定理21.12更通俗地说, 单连通区域就是没有“洞”的区域, 复连通区域则是有“洞”的区域.设D 是单连通闭区域. 若函数(,),P x y (,)Q x y 在D 内连续, 且具有一阶连续偏导数, 下四个条件等价:(i)沿D 内任一按段光滑封闭曲线L ,有d d 0;LP x Q y +=⎰(ii)对D 中任一按段光滑曲线L ,曲线积分d d LP x Q y +⎰则以与路线无关, 只与L 的起点及终点有关;定理21.12d d P x Q y +(,)u x y (iii) 是D 内某一函数的全微分, 即在D 内有d d d ;u P x Q y =+(iv)在D 内处处成立.P Q y x∂∂=∂∂d d d d ARBBSAP x Q y P x Q y=+++⎰⎰ d d 0,ARBSAP x Q y =+=⎰所以d d d d .ARBASBP x Q y P x Q y +=+⎰⎰ d d d d ARBASBP x Q y P x Q y+-+⎰⎰2119-图BRS(i) 沿D 内任一按段光滑封闭曲线L , 有d d 0;LP x Q y +=⎰(ii)对D 中任一按段光滑曲线L ,曲线积分d d L P x Q y +⎰与路线无关, 只与L 的起点及终点有关;⇒ ARB ASB 证(i)(ii) 如图21-19, 设与为联结点A ,B 的任意两条按段光滑曲线, 由(i) 可推得D 内任意一点. dABP x ⎰故当(,)B x y 在积分值是(,B x y (,)d d .ABu x y P x Q y =+⎰取x ∆充分小, 使(,),C x x y D +∆∈则函数(,)u x y 对于x 的偏增量(图21-20)⇒(A (ii)(iii) 设(,x u u x x ∆=+∆ d ACP x Q =+⎰因为在D d ACP x Q ∴+⎰因直线段BC d d ABP x Q =+⎰(ii)对D 中任一按段光滑曲线L ,曲线积分d d L P x Q y +⎰与路线无关, 只与L 的起点及终点有关;d d P x Q y +(,)u x y (iii) 是D 内某一函数的全微分, 即在D 内有d d d ;u P x Q y =+00lim lim (,)(,).x x x u uP x x y P x y x x θ∆→∆→∆∂==+∆=∂∆同理可证(,).uQ x y y∂=∂所以证得d d d .u P x Q y =+d d x BC u P x Q y∆=+⎰(,)d (,),x xxP t y t P x x y x θ+∆==+∆∆⎰0 1.θ≤≤其中(,)P x y 根据在D 上连续, 于是有(ii)对D 中任一按段光滑曲线L ,曲线积分d d L P x Q y +⎰与路线无关, 只与L 的起点及终点有关;d d P x Q y +(,)u x y (iii) 是D 内某一函数的全微分, 即在D 内有d d d ;u P x Q y =+⇒(,),u x y (iii)(iv) 设存在函数使得d d d ,u P x Q y =+因此(,)(,),(,)(,).x y P x y u x y Q x y u x y ==于是由(,),(,),x y yx P Q u x y u x y y x∂∂==∂∂以及P , Q 具有一阶连续偏导数, 便可知道在D 内每一点处都有(,)(,),x y yx u x y u x y =d d P x Q y +(,)u x y (iii) 是D 内某一函数的全微分, 即在D 内有d d d ;u P x Q y =+(iv)在D 内处处成立.P Qy x∂∂=∂∂.P Qy x∂∂=∂∂即(iv)⇒(i) 设L 为D 内任一按段光滑封闭曲线, σ所围的区域为. 含在D 内. 的条件, 就得到由于D 为单连通区域, 所以区域σd d d 0.L Q P P x Q y xy σσ⎛⎫∂∂+=-= ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰ 上面我们将四个条件循环推导了一遍, 这就证明了它们是相互等价的.记L P Q y x∂∂=∂∂应用格林公式及在D 内恒有(i) 沿D 内任一按段光滑封闭曲线L , 有d d 0;LP x Q y +=⎰(iv)在D 内处处成立.P Qy x∂∂=∂∂应用定理21.12 中的条件(iv)考察第二十章§2 中的在例1中(,),(,).P x y xy Q x y y x ==-由于,1,,P Q P Qx y x y x∂∂∂∂==-≠∂∂∂∂故积分与路线有关.在例2 中(,),(,),P x y y Q x y x ==由于例1 与例2. 1,P Qy x∂∂==∂∂所以积分与路线无关.例4 计算22(0.5)d (0.5)d ,(0.5)L x y x x y yx y--+-+-+⎰其中到点D (0,1) 的路径(见图21-21). 分析如果第二型曲线积分路径无关的条件,L 为沿着右半圆周221(0)x y x +=≥由点A (0, -1)图21-21xyO(0,1)A -(1,1)B -(1,1)C (0,1)D1L 2L LE在某单连通区域内满足与积分路径, 使易于计算.则可改变记220.5(,),(0.5)x yP x y x y--=-+22222(0.5)2(0.5).[(0.5)]Q P x y y x x y x y ∂∂--++-==∂∂-+220.5(,).(0.5)x yQ x y x y-+=-+易知除去点E (0.5, 0) 外,处处满足1L (0,1)A -(1,1),B -(1,1),C 设为由点到点再到点最图21-21xyO(0,1)A -(1,1)B -(1,1)C (0,1)D1L 2L LE解(0,1)D 的折线段. 后到点1L L 因为与可被包含在某一不含奇点E 的单连通区域内, 所以有22(0.5)d (0.5)d (0.5)Lx y x x y yx y--+-+-+⎰1(,)d (,)d L P x y x Q x y y=+⎰()(,)d (,)d ABBCCDP x y x Q x y y=+++⎰⎰⎰1102220110.50.5 1.5d d d (0.5)10.25(0.5)1x y x x y x x y x -++-=++-++-+⎰⎰⎰4arctan0.52arctan2.=+注1 定理21.12中对“单连通区域”的要求是重要的.何不包含原点的单连通区域, 已证得在这个区域内的任何封闭曲线L 上, 皆有22d d 0.L x y y xx y -=+⎰(3)如本例若取沿y 轴由点A 到点D 的路径, 虽2L 然算起来很简单, 但却不可用. 的单连通区域必定含有奇点E . 又如本节例2, 对任2L L 与因为任何包含2222(,),(,)y x P x y Q x y x y x y-==++只在剔除原点外的任何区域D 上有定义, 含在某个复连通区域内. 的条件, 因而就不能保证(3)式成立. 为绕原点一周的圆:cos ,sin (02π),L x a y a θθθ==≤≤则有倘若L 为绕原点一周的封闭曲线, 则函数这时它不满足定理21.1222d d L x y y x x y -+⎰所以L 必事实上, 若取L 2222220cos sin d a a aπθθθ+=⎰==⎰20d 2.θππ注2 若(,),(,)P x y Q x y 满足定理21.12 的条件, 则由上述证明可看到二元函数(,)(,)d (,)d ABu x y P x y x Q x y y =+⎰00(,)(,)(,)d (,)d B x y A x y P x y x Q x y y=+⎰具有性质d (,)(,)d (,)d .u x y P x y x Q x y y =+我们也称(,)u x y 为d d P x Q y +的一个原函数.例5试应用曲线积分求(2sin )d (cos )d x y x x y y ++的原函数.解这里(,)2sin ,(,)cos ,P x y x y Q x y x y =+=在整个平面上成立cos .P Q y y x ∂∂==∂∂由定理21.12,曲线积分(2sin )d (cos )d ABx y x x y y ++⎰为此, 取(0,0),(,),O B x y 取路线为图21-22中的折只与起点A 和终点B 有关, 而与路线的选择无关.x 2122-图(,0)C x (,)B x y Oy ∙∙∙线段 .OCB00(,)2d cos d x yu x y t t x s s =+⎰⎰2sin .x x y C =++注由例4 可见, 若00[,][,],x x y y D ⨯⊂则求全微分的原函数可用公式于是有或000(,)(,)d (,)d .x y x y u x y P t y t Q x s s =+⎰⎰下例介绍用“凑微分”法求全微分的原函数. 00(,)(,)d (,)d x y x y u x y P t y t Q x s s =+⎰⎰例6 求全微分221sin d sin d x I x y xy x y x xy y y y ⎛⎫⎛⎫=+-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的原函数(,).u x y 221sin sin x x y xy y x xy y y x y ⎛⎫⎛⎫∂∂+-=-- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭21sin cos ,xy xy xy y=---因此I 是某个函数的全微分. (,)u x y 解由于由221sin d sin d x x y xy x y x xy y y y ⎛⎫⎛⎫+-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()221d d d d sin d sin d x x x y y x y y xy x x xy y y y ⎛⎫=++-+-- ⎪⎝⎭()2311d d d cos 23x x y xy y ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2311d cos ,23x x y xy y ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭可见2311(,)cos ,23x u x y x y xy C y=++++其中C 为任意常数.复习思考题验证格林公式的另一形式:d d [cos(,)cos(,)]d ,D D P Q x y P n x Q n y s x y ∂⎛⎫∂∂+=+ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰ n D D ∂其中是的边界上任一点处的外法线向量.。

一类曲线积分和二类曲线积分
曲线积分是数学中微积分的一个部分，主要研究曲线上的函数和与之相关的量。

一类曲线积分和二类曲线积分是两种不同类型的曲线积分，它们在定义和计算方法上有一些区别。

一类曲线积分，也称为第一类曲线积分，是标量函数的积分，其定义为：对于给定的曲线L 和标量函数f(x,y)，第一类曲线积分的值是∫f(x,y)ds，其中ds 是曲线L 上的弧长微元。

计算时，通常需要将曲线L 划分为若干个小段，然后在每个小段上近似弧长，最后求和得到整个曲线的积分值。

二类曲线积分，也称为第二类曲线积分，是向量函数的积分，其定义为：对于给定的曲线L 和向量函数F(x,y)，第二类曲线积分的值是∫F(x,y)·dr，其中dr 是曲线L 上的弧长微元。

计算时，同样需要将曲线L 划分为若干个小段，然后在每个小段上近似弧长和向量F(x,y)，最后求和得到整个曲线的积分值。

尽管两类曲线积分都涉及到曲线和函数，但它们的主要区别在于积分对象的性质。

一类曲线积分是标量函数的积
分，而二类曲线积分是向量函数的积分。

这意味着，一类曲线积分只涉及标量值，而二类曲线积分涉及向量值。

此外，两类曲线积分在物理应用中也有所不同。

一类曲线积分通常用于描述质量、长度、面积等标量量，例如物体运动的路程、曲线的长度等；而二类曲线积分则用于描述向量场中的力、速度等向量量，例如磁场中的力线、速度场的散度等。