曲线积分与曲面积分-格林公式

第十章 曲线积分与曲面积分学习指导一、内容提要(一) 对弧长的曲线积分1．定义：()()∑⎰=→∆=ni i i i Ls f dx y x f 1,lim ,ηξλ，其中()n i s i ,,2,1 =∆表示第i 个小弧段的弧长{}i ni s ∆=≤≤1max λ。

2．性质：具有与定积分类似的性质。

如线性性质，对积分路径的可加性等。

3．计算：(1) 若曲线L 的界数方程为()t x x =，()t y y =(βα≤≤t )且()t x '，()t y '在[]βα,上连续，()y x f ,在L 上连续，则()()()[]()()[]⎰⎰'+'=βαdt t y t x t y t x f ds y x f L22,,。

(2) 若曲线L 的方程为()x y y =()b x a ≤≤且()t y '在[]b a ,连续，()y x f ,L 上连续，则()()[]()[]⎰⎰'+=baLdx x y x y x f ds y x f 21,,。

(3) 若曲线L 的极坐标方程为()θρρ=(βθα≤≤)，且()θρ'在[]βα,上连续，()x f 在L 上连续，则()[]()()⎰⎰'+=βαθθρρθρθρd f ds y x f L2sin ,cos ,。

(4) 若空间曲线L 的方程为()t x '，()t y '，()t z '在[]βα,上连续()z y x f ,,在L 上连续，则()()()()[]()[]()[]()[]⎰⎰'+'+'=βαdt t z t y t x t z t y t x f ds z y x f L222,,,,。

(二) 对坐标的曲线积分1．定义：()()()()[]∑⎰=→∆+∆=+ni i i i i i i Ly Q x P dy y x Q dx y x P 1,,lim ,,ηξηξλ其物理意义是变务()()j y x Q i y x P F,,+=沿有向弧段L 所作的功，即()()⎰⎰+==LLdy y x Q dx y x P s d F W ,,2．性质：除了与弧长的曲线积分相同的性质外，应注意方向性()()()()⎰⎰-+-=+LLdy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P ,,,,3．计算：(1) 若曲线L 的参数方程为()t x x =，()t y y =，且曲线L 的起点和终点所对应的t 的值为α和β，又()t x '，()t y '在[]βα,或[]αβ,上连续，()y x P ,，()y x Q ,在L 上连续，则()()()()[]()()()[](){}dt t y t y t x Q t x t y t x P dy y x Q dx y x P L⎰⎰'+'=+βα,,,,(2) 若曲线L 的直角坐标方程为()x y y =，且曲线L 的起点和终点所对应的x 的值为a 和b ，又()x y '在[]b a ,或[]a b ,上连续，则()()()[]()[](){}dx x y x y x Q x y x P dy y x Q dx y x P baL⎰⎰'+=+,,,,(3) 若空间曲线L 的参数方程为()t x x =，()t y y =，()t z z =，且曲线L 的起点和终点所对应的t 的值为α和β，又()t x '，()t y '，()t z '在[]βα,或[]αβ,上连续，则()()()()()[]()()()()[](){⎰⎰'+'=++βαt y t z t y t x Q t x t z x y t x P Rdz dy y x Q dx y x P L,,,,,,()()()[]()}dt t z t z t y t x Q '+,,(三) 格林公式，曲线积分与路径无关的条件 1．格林公式设()y x P ,和()y x Q ,及一阶导数在闭区域D 上连续，则有()()⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂=+L D dxdy y Q x P dy y x Q dx y x P ,, 其中分段光滑曲线L 是区域D 的正向边界。

格林公式的推导
格林公式是一个重要的数学定理，它连接了曲线积分和曲面积分。

以下是格林公式的推导过程：
第一步，首先我们需要知道曲线积分的基本公式，即∫Pdx+Qdy=∫∫
(dQ/dx-dP/dy)dxdy（在曲线所围成的有界闭区域D上从A点出发到B点结束）。

第二步，根据线积分的基本公式，我们可以将格林公式左边∫Pdx+Qdy转化为一个二重积分。

第三步，接下来我们需要对二重积分进行化简。

利用散度定理，我们可以将二重积分转化为一个曲面积分。

第四步，根据曲面积分的基本公式，我们可以将格林公式右边转化为一个曲面积分。

第五步，最后我们需要将两个曲面积分相等，得到格林公式。

综上所述，格林公式的推导过程主要涉及到曲线积分的基本公式、散度定理和曲面积分的基本公式等知识点。

曲线、曲面积分一、第一类曲线积分（对弧长的曲线积分） （一）第一类曲线积分的性质 ①⎰⎰⎰±=±LLLds y x g k ds y x f k ds y x g k y x f k),(),()],(),([2121；②21,),(),(),(21L L L ds y x f ds y x f ds y x f L L L+=+=⎰⎰⎰设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==t t y t x L ),(),(:，则⎰⎰'+'=βαψϕψϕdt t t t t f ds y x f L)()()](),([),(22其中)(),(t t ψϕ在],[βα上有一阶连续导数且0)()(22≠'+'t t ψϕ注 1：若曲线L 由方程b x a x y ≤≤=),(ϕ确定，则⎰⎰'+=baLdx x x x f ds y x f )(1))(,(),(2ϕϕ注 2：若曲线L 由极坐标方程βθαθ≤≤=),(r r 表示，则θθθθθβαd r r r r f ds y x f L⎰⎰'+=)()()sin ,cos (),(22【例】计算⎰+Lds y x 22，其中L 为曲线y y x 222-=+【详解】曲线L 可参数化：⎩⎨⎧+-==,sin 1,cos :θθy x L 此时θ的变化范围为：,20πθ≤≤θθθθd d ds =+=22cos sin ，故⎰⎰⎰-=-+=+Ld d ds y x ππθθθθθ20202222sin 12)1(sin cos⎰-=πθθθ202cos 2sin2d ⎰⎰=-+-=πππθθθθθθ2228])2cos 2(sin )2sin 2(cos [2d d （三）计算第一类曲线积分的步骤1、根据积分曲线与被积函数的特征，将积分曲线参数化（有时题目可能会直接给你一个参数方程）2、利用公式dt t z t y t x ds)()()(222'+'+'=求出弧长微分ds 的值3、将参数方程和ds 的值代入积分，进行计算 二、第二类曲线积分（对坐标的曲线积分） （一）第二类曲线积分的性质 ①⎰⎰⎰+=+LLLdy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P ),(),(),(),(②⎰⎰⎰+++=+21),(),(),(),(),(),(L LL dy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P ，其中21L L L +=注：第二类曲线积分与曲线的方向有关，若L -表示L 的反方向，则⎰⎰-+-=+LLdy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P ),(),(),(),(（二）第二类曲线积分的计算设),(),,(y x Q y x P 在有向曲线弧L 上有定义且连续。

格林公式推导
格林公式是一种用于计算曲线或曲面的积分的方法。

它是由英国
数学家格林所提出的。

格林公式的推导可分为曲线积分和曲面积分两
种情况。

当计算曲线积分时，可以将其分为线积分和面积分部分。

线积分
可以表示为：
$\int_{C} Pdx + Qdy$
其中，C表示曲线，P与Q分别为C中每个点的横坐标和纵坐标。

然后，将它转化为形如以下的形式：
$\oint_{C} Pdx + Qdy = \iint_{D} \frac{\partial
Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} dA$
其中D为被C所围成曲线的内部区域。

这个公式可以通过斯托克
斯定理推导得出。

而当计算曲面积分时，可以表示为：
$\iint_{S} F\cdot n ds$
其中，F表示曲面上每个点的向量场，n为曲面上每个点的法向量，ds为曲面上每个点的微元面积。

这个公式可以通过高斯定理推导得出。

需要注意的是，这两种公式相似，但基于的原理不同。

但无论如何，通过这两个公式可以方便地计算曲线与曲面的积分。

第十章曲线积分与曲面积分【教学目标与要求】1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。

2.掌握计算两类曲线积分的方法.3.熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数.4.了解第一类曲面积分的概念、性质，掌握计算第一类曲面积分的方法。

【教学重点】1。

两类曲线积分的计算方法；2。

格林公式及其应用；3。

第一类曲面积分的计算方法；【教学难点】1。

两类曲线积分的关系及第一类曲面积分的关系；2.对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算;3。

应用格林公式计算对坐标的曲线积分；6.两类曲线积分的计算方法；7.格林公式及其应用格林公式计算对坐标的曲线积分;【参考书】[1]同济大学数学系.《高等数学(下)》，第五版.高等教育出版社。

[2］同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社.［3］同济大学数学系。

《高等数学习题全解指南(下)》，第六版.高等教育出版社§11.1 对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念与性质曲线形构件的质量:设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上,已知曲线形构件在点(x，y）处的线密度为μ(x，y)。

求曲线形构件的质量.把曲线分成n小段，∆s1，∆s2，⋅⋅⋅,∆s n(∆s i也表示弧长)；任取(ξi,ηi)∈∆s i,得第i小段质量的近似值μ（ξi,ηi）∆s i;整个物质曲线的质量近似为;令λ=max｛∆s1,∆s2,⋅⋅⋅,∆s n｝→0,则整个物质曲线的质量为.这种和的极限在研究其它问题时也会遇到。

定义设函数f（x，y）定义在可求长度的曲线L上，并且有界。

，将L任意分成n个弧段：∆s1,∆s2，⋅⋅⋅,∆s n,并用∆s i表示第i段的弧长;在每一弧段∆s i上任取一点(ξi，ηi）,作和；令λ=max｛∆s1,∆s2,⋅⋅⋅,∆s n}，如果当λ→0时,这和的极限总存在，则称此极限为函数f（x，y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分,记作,即.其中f(x,y)叫做被积函数,L叫做积分弧段。