格林公式·曲线积分和路线的无关性

第十七章 各类积分的联系回顾:一元函数积分学:)()()('a F b F dx x F ba -=⎰§17-1 格林公式及曲线积分与路径无关的条件一、格林公式概念:单连通区域, 复连通区域; 正向;格林定理:设闭区域2R D ⊂,是由有限多条分段光滑的闭曲线Γ所围成. 函数),(),,(y x Q y x P 在D 上具连续的一阶偏导,则有 σd yPx Q Qdy Pdx D)(∂∂-∂∂=+⎰⎰⎰Γ(格林公式) 其中Γ是取正向记: 图示 光设D(既是X 型又是Y 型)即穿过区域D 内部且平行于坐标轴的直线与D 的边办曲Γ的交点恰两点.设D:b x a ≤≤, )()(21x y x ϕϕ≤≤()()[]dx x x P x x P dy y y x P dx dxdy y Pb a b a x x D⎰⎰⎰⎰⎰-=∂∂=∂∂)(,)(,),(12)()(21ϕϕϕϕ ()()()()[]dxx x P x x P dx x x P dx x x P Pdx Pdx Pdx baa bb a⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=+=+=ΓΓΓ)(,)(,)(,)(,212112ϕϕϕϕ 因此 ⎰⎰⎰Γ=∂∂-Pdx dxdy yPD设D:d y c ≤≤ )(2)(1y y x ϕϕ≤≤ 类似可证 ⎰⎰⎰Γ=∂∂DQdy dxdy xQ即得格林公式例1:计算曲线积分ydx x dy xy 22-⎰ΓΓ:(1)222a y x =+ 逆时针(2)222a y x =+ 上半部分,x 轴,逆 解:y x P 2-= 2xy Q +=2x y P -=∂∂ 2y xQ=∂∂ 由Green 公式 (1)u a dr r d d x y ydx x dy xy aD-=⋅=+=-⎰⎰⎰⎰⎰Γ420322222)(πθσπ计算曲线积分(2)403022224)(a dr r d d x y ydx x dy xy aDπθσπ==+=-⎰⎰⎰⎰⎰Γ例2:计算椭圆12222=+by a x 所围面积A.解: Γ:常数方程 t a x cos = t b y sin = []ab dt t a t b t b t a ydx xdy A ππ=-⋅-⋅=-=⎰⎰Γ20)sin (sin cos cos 2121 例3:计算⎰Γ+-=22y x ydxxdy I ,其中Γ是(1)使所含区域D 不含原点的分段光滑封闭曲线,沿正向(2) 含原点但不径原点解:22y x y P +-= 22y x x Q += 22222)(y x x y y p x +-=∂∂=∂∂θ (1) 满足Green Th 连续条件 ⎰⎰⎰==+-=ΓDd y x ydxxdy I 0022σ(2) 不满足Green Th 连续条件选取适当小的0>ε,作圆周 :222ε=+y x (使 全部含于Γ所围区域) 记 +Γ围成D, 于是在1D 内, 格林公式成立 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-++ΓΓΓ=-=+==001D d σ 故⎰⎰+-=+-Γ 2222y x ydxxdy y x ydx xdy 法一:右式πθθθθεθεπ2)sin (cos 2sin ,cos 202=+==========⎰d y x 学数方程法二:右式⎰⎰⎰≤+=⋅==-=222221122επσεεy x G d ydx xdy公式二、平面上单边通区域内曲线积分与路径无关的等价条件概念:曲线积分⎰Γ+Qdy Qdx 与路径无关:⎰⎰ΓΓ+=+12Qdy Pdx Qdy Pdx图示 (且公与B A y y ,有关)定理:),(),,(y x Q y x P 和平面单连通域D 上具连续一阶偏导,则如下四条件等价. (1)xQ y P ∂∂=∂∂ D y x ∈),( (2)⎰Γ=+0Qdy Pdx D ∈Γ 分段光滑闭曲线(3)积分⎰Γ+ABQdy Pdx 在D 内与路径Γ无关,公与A,B 位置有关(4)存在单值函数),(y x u u =, D y x ∈),( 使它全微分 Qdy Pdx dy y u dx x u du +=∂∂+∂∂=即P xu =∂∂ Q y u =∂∂ 证明:同证)2()1(⇔, )3()2(⇔ 下证)1()4(⇒, )4()3(⇒, )1()4(⇒ 存在函数),(y x u 使 dy y x Q dx y x P du ),(),(+= 则),(y x P xu=∂∂ ),(y x Q y u =∂∂ 于是 y P y x u ∂∂=∂∂∂2 x Qx y u ∂∂=∂∂∂2 由条件 xy uy x u ∂∂∂=∂∂∂22 (连续) 故xQ y P ∂∂=∂∂ )4()3(⇒曲线积分⎰Γ+ABQdy Pdx 仅与 ),(00y x A ,),(y x B 有关, 记⎰+=),(),(00),(y x B y x A Qdy Pdx y x u (说明右式是y x ,函数)下证 P xu=∂∂ Q y u =∂∂xy x u y x x u x u x ∆-∆+=∂∂→∆),(),(lim 0 xQdyPdx Qdy Pdx y x x y x y x y x x ∆+-+=⎰⎰∆+→∆),(),(),(),(00000limxdxy x P x QdyPdx xx xx y x x y x x ∆=∆+=⎰⎰∆+→∆∆+→∆),(lim lim0),(),(0),(),(lim ),(lim 1y x P y P xxy P x x Th 连续中值===∆∆===→→∆ξξξ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∆+=∆∆∆+===→∆→∆≤≤),(),(lim ),(lim0010y x P y x x P x x y x x P x x θθθ 同理,),(y x Q yu=∂∂ 故 Qdy Pdx dy yu dx x u du +=∂∂+∂∂=推出公式: 图示 CB AC AB +=⋂AC:0y y = 10x x x ≤≤ 0=dy CB:1x x = 10y y y ≤≤ 0=dx 曲线积分计算公式dy y x Q dx y x P Qdy Pdx Qdy Pdx y y y x B y x A x x AB),(),(11100121),(),(0⎰⎰⎰⎰+=+∆+Γ原函数计算公式C dy y y Q dx y x P C Qdy Pdx y x u yy y x y x xx Th ++=++===⎰⎰⎰),(),(),(00000),(),(0过程特D ∈)0,0( ⎰⎰++=x y C dy y x Q dx x P y x u 0),()0,(),( 可证 ),(),(),(0011),(),(1100y x u y x u y x u Qdy Pdx Qdy Pdx ABy x B y x A B A -==+=+⎰⎰Γ------曲线积分的N-2公式 例4:计算dy x xydx OA⎰Γ+22 三路径.解: 图示 xy y x P 2),(= 2),(x y x Q =xQ x y P ∂∂==∂∂2 11)002(2212102)1,1()0,0(22=+⋅+⋅=+=+⎰⎰⎰⎰Γdy x dx x dy x xydx dy x xydx OA例5:计算dy y x x y dx x y y x I )sin sin 2()cos cos 2(22-++=⎰Γ.Γ是1)1(22=+-y x 的上半圆周.从)0,0(O 到)0,2(A解:xQ y P ∂∂=∂∂.I 值与路径无关0=⋅→y OA 0=O x 1=A x ,0=dy则⎰⎰===→242xdx I OA⎰Γ-=-=2I例6:dy x y x x y dx x y y x I )sin sin 2()cos cos 2(221+-++=⎰Γ.Γ:例5. 解一:xQ y P ∂∂+∂∂:不能用与路径无关的相关公式. Γ非闭 :才能用Green 公式.原始方法(第二类曲线积分) 图示 ⎩⎨⎧=+=t y t x sin 1cos 几乎不可能解二:(设法满足二之一: Γ闭)x y y x y P cos 2sin 2+-=∂∂,1sin 2cos 2+-=∂∂y x x y xQ 设1Γ:(从A 到O 直线段)0,0,1,0====dy x x y O A ,则1Γ+Γ构成闭曲线,顺进针.1Γ+Γ所围闭域D:πθ≤≤0, θcos 20≤≤r由Green 公式2)(1πσσ-=-=∂∂-∂∂-=⎰⎰⎰⎰⎰Γ+ΓD Dd d y P x Q (即⎰⎰ΓΓ-=+12π)而dy x y x x y dx x y y x )sin sin 2()cos cos 2(221+-++⎰Γ⎰-==0242xdx故⎰⎰ΓΓ-=--==12421ππI .解三:(设法满足二之另一,xQy P ∂∂=∂∂) .cos cos 22x y y x P += 设y x x y Q sin sin 221-= x Q =221Q Q Q +=则xQ y P ∂∂=∂∂1dy Q Pdx ⎰Γ+1与路径无关.dy Q dy Q Pdx I ⎰⎰ΓΓ++=2111⎰⎰⋅++=2cos )cos 1(2πtdt t xdx24π-=例7:(得用曲线积分求)dy y xy x dx y xy x )2()2(2222--+-+的原函数),(y x u . 并求⎰)2,2()0,1(.(其中Γ是从A(1,0)到B(2,2)的曲线段)解:222y xy x P -+= 222y xy x Q --= y x xQ y P 22-=∂∂=∂∂ C dy y xy x dx y xy x y x u y x +--+-+=⎰)2()2(),(222),()0,0(2C y xy y x x C dy y xy x dx x yx+--+=+--+=⎰⎰3223202023131)2(31),()2()2()2,2()0,1(222)2,2()0,1(2-==--+-+⎰y x u dy y xy x dx y xy x作业: 151P 1(1)(4) 2(已提示) 4(1) 5(2) 6(2)。

第二十一章 重积分3格林公式、曲线积分与路线的无关性一、格林公式概念：当区域D 的边界L 由一条或几条光滑曲线所组成时，规定边界曲线的正方向为：当人沿边界行走时，区域D 总在他的左边. 与正方向相反的方向称为负方向，记为-L.定理21.11：若函数P(x,y), Q(x,y)在闭区域D 上连续，且有连续的一阶偏导数，则有格林公式：⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰+L Qdy Pdx . L 为区域D 的边界曲线，并取正方向.证：根据区域D 的不同形状，可分三种情形来证明： (1)若区域D 既是x 型区域，又是y 型区域(如图1)，即 平行于坐标轴的直线和L 至多交于两点，该区域D 可表示为： φ1(x)≤y ≤φ2(x), a ≤x ≤b 或ψ1(x)≤x ≤ψ2(x), c ≤y ≤d.这里y=φ1(x)和y=φ2(x)分别为曲线⌒ACB 和⌒AEB 的方程, x=ψ1(x)和x=ψ2(x) 分别为曲线⌒CAE 和⌒CBE的方程, ∴⎰⎰∂∂Dd x Qσ=⎰⎰∂∂)()(21y y d c dx x Q dy ψψ=⎰d c dy y y Q )),((2ψ-⎰d c dyy y Q )),((1ψ=⎰⋂CBE dy y x Q ),(-⎰⋂CAE dy y x Q ),(=⎰⋂CBE dy y x Q ),(+⎰⋂EAC dy y x Q ),(=⎰L dy y x Q ),(.同理可证：-⎰⎰∂∂Dd y Pσ=⎰L dx y x P ),(. 即有⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰+L Qdy Pdx . (2)若区域D 是一条按段光滑的闭曲线围成(如图2)，则先用几段光滑曲线将D 分成有限个既是x 型又是y 型的子区域，然后逐块按(1)得到它们的格林公式，相加即可.图2中区域D 可分成三个既是x 型又是y 型的区域D 1,D 2,D 3，则有⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂1D d y P x Q σ+⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂2D d y P x Q σ+⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂3D d y P x Q σ =⎰+1L Qdy Pdx +⎰+2L Qdy Pdx +⎰+3L Qdy Pdx =⎰+L Qdy Pdx.(3)若区域D 由几条闭曲线所围成(如图3)， 可适当添加直线AB, CE,把区域转化为(2)的情况处理.图D 的边界线由AB,L 2,BA,⌒AFC ,CE,L 3,EC 及⌒CGA构成. 由(2)知 ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋂⋂CGA EC l CE AFCBA l AB32(Pdx+Qdy)=()⎰⎰⎰++132L L L (Pdx+Qdy)=⎰+L Qdy Pdx .注：格林公式可写为：⎰⎰∂∂∂∂Dd QP y x σ=⎰+L Qdy Pdx .例1：计算⎰AB xdy ，其中曲线AB 为半径为r 的圆在第一象限部分. 解：如图，对半径为r 的四分之一圆域D 应用格林公式有⎰⎰-D d σ=⎰-L xdy =⎰OA xdy +⎰AB xdy +⎰BO xdy =⎰AB xdy . ∴⎰AB xdy =⎰⎰-Dd σ=-41πr 2.例2：计算I=⎰+-Ly x ydxxdy 22, 其中L 为任一不包含原点的闭区域的边界线.解：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂22y x x x =22222)(y x x y +-, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂22y x y y =22222)(y x x y +- 在上述区域D 上连续且有界，∴⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂Dd yx yx y x x x σ2222=0. 由格林公式可得I=0.注：在格林公式中，令P=-y, Q=x ，则得到一个计算平面区域D 的面积S D 的公式：S D =⎰⎰Dd σ=⎰-L ydx xdy 21.例3：如图，计算抛物线(x+y)2=ax (a>0)与x 轴所围的面积.解：曲线⌒AMO由函数y=x ax -, x ∈[0,a]， 直线OA 为直线y=0， ∴S D =⎰-ydx xdy 21=⎰-OA ydx xdy 21+⎰⋂-AMO ydx xdy 21=⎰⋂-AMO ydx xdy 21=dx x ax ax ax a ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0)(1221=dx ax a ⎰-02121=dx x a a⎰4=62a .二、曲线积分与路线的无关性概念：若对于平面区域D 上任一封闭曲线，皆可不经过D 以外的点而连续收缩于属于D 的某一点，则称此平面区域为单连通区域，否则称为复连通区域。

§3 格林公式曲线积分与路线无关性教学目的：1.掌握格林公式，理解格林公式的证明，掌握格林公式应用的特殊技巧．2.掌握曲线积分与路线无关的条件，理解曲线积分与路线无关的条件的定 理的证明，掌握曲线积分与路线无关的条件定理应用的特殊技巧． 教学重点：格林公式，曲线积分与路线无关的条件. 教学难点：格林公式应用的技巧，以及曲线积分与路线无关的条件定理应用技巧. 教学过程 一、格林公式区域边界的正方向的规定：略定理21.11 若函数()y x P ,，()y x Q ,在闭区域上连续，且具有连续的一阶偏导数，则有⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰+L QdyPdx ， （1）这里是区域的边界曲线，并取正方向．公式（1）称为格林公式．证明 按区域的形状分三种情况来证明.（ⅰ）若区域既是型又是型区域（如图） 区域表示为：()()b x a x y x ≤≤≤≤,21ϕϕ， 又可表示为：()()βαψψ≤≤≤≤y y y y ,21⎰⎰∂∂D d x Q σ=()()⎰⎰∂∂βαψψy y dx x Q dy 21=()()⎰βαψdy y y Q ,2()()⎰-βαψdy y y Q ,1=()dy y x Q CBE⎰,()dyy x Q CAE⎰-, =()⎰Ldyy x Q ,，同理可证⎰⎰∂∂-Dd y Pσ=()⎰L dx y x P ,，上述两式相加即得⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰+L QdyPdx .（ⅱ）若区域由一条按段光滑的闭曲线围成，用几条光滑曲线将它分成有限个既是型又是型子区域，然后逐块应用（ⅰ）得到它的格林公式，并相加即可，如图中所示的情况则有⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂1D d y P x Q σ+⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂2D d y P x Q σ+⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂3D d y P x Q σ=⎰+1L Qdy Pdx +⎰+2L Qdy Pdx +⎰+LQdy Pdx =⎰+LQdyPdx ．（ⅲ）若区域为由若干条闭曲线所围成的多连通区域，如图为例，可添加直线段EC AB ,，把区域转化为（ⅱ）的情况来处理．⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=()Qdy Pdx CGA EC L CE AFC BA L AB +⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰32=()Qdy Pdx LL L +⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎰⎰⎰231=⎰+L Qdy Pdx ．格林公式的便于记忆的形式⎰⎰∂∂∂∂Dd Q Py x σ=⎰+L Qdy Pdx ．例1 计算⎰ABxdy ，其中曲线AB 是半径为的圆在第一象限的部分． 解 半径为的圆在第一象限的部分为区域，由格林公式⎰⎰-Dd σ=⎰-Lxdy =⎰⎰⎰++BOABOAxdyxdy xdy =0+⎰+OAxdy 0=⎰OAxdy,所以⎰OA xdy =⎰⎰-D d σ=42r π-例2 计算⎰+-=L y x ydxxdy I 22，其中为任一不包含原点的闭区域的边界．解 格林公式条件满足，故=⎰+-L y x ydx xdy 22=⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂D d y x x y y x y x σ2222=⎰⎰Dd σ0=0.例3 计算抛物线()()02>=+a ax y x 与轴所围的面积.解=⎰-L ydx xdy 21=⎰-AMO ydx xdy 21+⎰-ONA ydx xdy 21=⎰-AMO ydx xdy 21+0=()⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-02611221a a dx x ax ax ax ． 二、曲线积分与路径的无关性单连通区域的概念：若对平面区域内的任一封闭曲线，皆可不经过以外的点而连续收缩于内的某一点，称为单连通区域．否则称为复连通区域．单连通区域 复连通区域定理21.12设是单连通闭区域．若函数()y x P ,，()y x Q ,在内连续，且具有一阶连续偏导数，则以下四个条件等价：（ⅰ）对于内任一按段光滑的封闭曲线，有⎰+LQdyPdx =0；（ⅱ）对于内任一按段光滑的曲线，曲线积分⎰+LQdyPdx 与路线无关．只与的起点及终点有关；（ⅲ）Qdy Pdx +是内某一函数的全微分，即=du Qdy Pdx +；（ⅳ）在内处处成立x Q y P ∂∂=∂∂． 证明 （ⅰ）（ⅱ）如图⎰+ARBQdy Pdx ⎰+-ASBQdy Pdx =⎰+ARBQdy Pdx ⎰++BSAQdyPdx=⎰+ARBSAQdyPdx =0, 所以⎰+ARBQdy Pdx =⎰+ASBQdyPdx ．（ⅱ）（ⅲ）设()00,y x A 为内一定点，()y x B ,为内任意一点，由（ⅱ）曲线积分⎰+ABQdyPdx 与路线的选择无关，故当()y x B ,在内变动时，其积分值是()y x B ,的函数，即有()y x u ,=⎰+ABQdy Pdx ．取充分小，使()D y x x ∈∆+,，由于积分与路线无关故函数()y x u ,对于的偏增量()-∆+y x x u ,()y x u ,=⎰-+ACQdy Pdx ⎰+AB Qdy Pdx =⎰+BCQdy Pdx ,其中直线段BC 平行于轴由积分中值定理可得=()-∆+y x x u ,()y x u ,=⎰+BCQdy Pdx =()dx y x P xx x⎰∆+,=()x y x x P ∆∆+,θ,其中10<<θ，由()y x P ,在上的连续性x u ∂∂=()y x x P x ux x ,lim lim 00∆+=∆∆→∆→∆θ=()y x P ,.同理可证y u∂∂=()y x Q ,．因此Qdy Pdx du +=（ⅲ）（ⅳ）设存在()y x u ,，使得Qdy Pdx du +=,所以()y x P ,=x ∂∂()y x u ,，()y x Q ,=y ∂∂()y x u ,，因此y P ∂∂=y x u ∂∂∂2，x Q ∂∂=x y u ∂∂∂2,因()y x P ,，()y x Q ,在区域内有连续的偏导数，所以y x u ∂∂∂2=x y u ∂∂∂2,从而在内每一点处有y P ∂∂=x Q ∂∂．（ⅳ）（ⅰ）设为内任一按段光滑封闭曲线，记所围的区域为．由于为单连通区域，所以区域含在内．应用格林公式及在内恒有y P ∂∂=x Q∂∂的条件，就得到⎰+LQdyPdx =⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=0. 以上证明了所述四个条件是等价的．注1：第二十章§2中的例1，因不满足y P ∂∂=x Q∂∂，故积分与路线有关，而例2中y P ∂∂=x Q∂∂满足，故积分与路线无关．注2：条件单连通区域是证明要的本节例2中，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂2222y x x y y x y x =0 在除去原点的区域内是成立，但为绕原点的封闭曲线时，所围成的区域包含原点，y P ∂∂=x Q∂∂成立的区域不是单连通的，因而闭曲线积分可以不为零．事实上设为绕原点一周的圆时，：θcos a x =，θsin a y =，()πθ20≤≤,则有⎰+-L y x ydxxdy 22=⎰=ππθ202d ．若函数()y x u ,具有性质()()()dy y x Q dx y x P y x du ,,,+=,称()y x u ,为()()dy y x Q dx y x P ,,+的一个原函数.函数()y x P ,，()y x Q ,满足定理21.12时，在内的原函数可用路线积分的方法求出．例4 应用曲线积分求ydy x dx y x cos )sin 2(++的原函数.解 ()y x P ,=y x sin 2+，()y x Q ,=y x cos 在整个平面上有连续的偏导数，且y P ∂∂=x Q∂∂=y cos ,故积分与路线无关，取原点()0,0O 为起点，()y x B ,为终点，取如图的折线为积分路线，则有()ydy x dx siy x cos 2++的原函数为()⎰⎰+=xysdsx tdt y x u 0cos 2,=y x x sin 2+．图21-19作业1，2，5，6.。