第十一章曲线积分与曲面积分在第十章中，我们已经把积分的积分域从数轴上的区间推广到了平面上的区域和空间中的区域.本章还将进一步把积分的积分域推广到平面和空间中的一段曲线或一片曲面的情形.相应地称为曲线积分与曲面积分，它是多元函数积分学的又一重要内容.本章将介绍曲线积分与曲面积分的概念及其计算方法.以及沟通上述几类积分内在联系的几个重要公式：格林公式、奥-高公式和斯托克斯公式.第一节第一类曲线积分分布图示★引例 曲线形构件的质量★第一类曲线积分的概念★第一类曲线积分的性质★第一类曲线积分的物理意义★第一类曲线积分的计算★例1 ★例2 ★例3★例4 ★例5 ★例6★内容小结 ★课堂练习★习题11—1★返回内容要点一、引例设有一曲线形构件所占的位置是xOy 面内的一段曲线L （图10-1-1），它的质量分布不均匀，其线密度为),(y x ρ，试求该构件的质量.二、第一类曲线积分的定义与性质性质1设α，β为常数，则⎰⎰⎰+=+L L L ds y x g ds y x f ds y x g y x f ),(),()],(),([βαβα；性质2设L 由1L 和2L 两段光滑曲线组成(记为=L 21L L +)，则.),(),(),(2121⎰⎰⎰+=+L L L L ds y x f ds y x f ds y x f注：若曲线L 可分成有限段，而且每一段都是光滑的，我们就称L 是分段光滑的，在以后的讨论中总假定L 是光滑的或分段光滑的. 性质3设在L 有),(),(y x g y x f ≤，则ds y x g ds y x f L L⎰⎰≤),(),(性质4（中值定理）设函数),(y x f 在光滑曲线L 上连续，则在L 上必存在一点),(ηξ，使sf ds y x f L ⋅=⎰),(),(ηξ其中s 是曲线L 的长度. 三、第一类曲线积分的计算：)(),(),(βα≤≤⎩⎨⎧==t t y y t x xdt t y t x t y t x f ds y x f L )()(])(),([),(22'+'=⎰⎰βα(1.10)如果曲线L 的方程为b x a x y y ≤≤=),(，则 dx x y x y x f ds y x f ba L )(1])(,[),(2'+=⎰⎰(1.11)如果曲线L 的方程为d y c y x x ≤≤=),(，则 dy y x y y x f ds y x f dc L )(1]),([),(2'+=⎰⎰(1.12)如果曲线L 的方程为βθαθ≤≤=),(r r ，则 θθθθθβαd r r r r f ds y x f L )()()sin ,cos (),(22'+=⎰⎰ 例题选讲第一类曲线积分的计算例1（E01）计算曲线积分,)(22⎰+=L ds y x I 其中L 是中心在)0,(R 、半径为R 的上半圆周（图11-1-2）.解由于上半圆周的参数方程为 ⎩⎨⎧=+=tR y t R x sin )cos 1(),0(π≤≤t 所以I ds y x L ⎰+=)(22 ⎰++=π02222]sin )cos 1([t R t R dt t R t R 22)cos ()sin (+-⎰+=π03)cos 1(2dt t R π03]sin [2t t R +=.23R π=例2（E02）计算半径为R,中心角为α2的圆弧L 对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度1=ρ).解取坐标系如图(图10-1-3),则.2⎰=Lds y I 为计算方便,利用L 的参数方程,cos t R x =t R y sin =).(αα≤≤-t 故⎰=L ds y I 2θααd t R t R t R ⎰-+-=2222)cos ()sin (sin⎰-=ααtdt R 23sin αα-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=22sin 23t t R )2sin 2(23αα-=R ).cos sin (3ααα-=R 例3计算,⎰L ds y 其中L 是抛物线2x y =上点)0,0(O 与点)1,1(B 之间的一段弧.解如图(见系统演示),L 的方程 ),10(2≤≤=x x y ds dx x 22)(1'+=.412dx x +=因此 ds y L ⎰⎰+⋅=102241dx x x ⎰+=10241dx x x).155(121)41(121102/32-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=x例4计算⎰L yds ,其中积分弧段L 是由折线OAB 组成,而),0,1(A ).2,1(B 解在OA 上，,0=y ,dx ds = 所以.0=⎰OA yds在AB 上，,1=x ,dy ds =所以⎰AB yds ⎰=20ydy .2= 从而 ⎰OAB yds ⎰⎰+=AB OA yds yds 20+=.2=例5（E03）计算,||⎰L ds y 其中L 为双纽线（图10-1-4）)()(222222y x a y x -=+的弧.解双纽线的极坐标方程为.2cos 22θa r = 用隐函数求导得,2sin ,2sin 22r a r a r r θθ-='-=' .2sin 2224222θθθθd r a d r a r d r r ds =+='+= 所以.)22(2sin 4sin 4||2402402a d a d r a r ds y L -==⋅=⎰⎰⎰ππθθθθ 例6（E04）求,2⎰Γ=ds x I 其中Γ为球面2222a z y x =++被平面0=++z y x 所截得的圆周.解由对称性,知⎰Γds x 2⎰Γ=ds y 2,2⎰Γ=ds z 所以 I ⎰Γ++=ds z y x )(31222⎰Γ=ds a 231 ⎰Γ=ds a 32,323a π= 其中a ds π2=⎰Γ为球面的大圆周长. 课堂练习1.计算曲线积分⎰Γ++dsz y x )(222,其中Γ为螺旋线kt z t a y t a x ===,sin ,cos 上相应于t 从0到π2的一段弧. 2.有一段铁丝成半圆形,22x a y -=其上任一点处的线密度的大小等于该点的纵坐标,求其质量.。
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L分为AO和OB两部分:AO的方程为, x从1变到0; OB 的方程为, x从0变到1.因此.第二种方法: 以y为积分变量. L的方程为x=y2, y从-1变到1. 因此.例2. 计算.(1)L为按逆时针方向绕行的上半圆周x2+y2=a2 ;(2)从点A(a, 0)沿x轴到点B(-a, 0)的直线段.解 (1)L 的参数方程为x=a cosq, y=a sinq,q从0变到.因此 .(2)L的方程为y=0, x从a变到-a.因此 .例3 计算. (1)抛物线y=x2上从O(0, 0)到B(1, 1)的一段弧; (2)抛物线x=y2上从O(0, 0)到B(1, 1)的一段弧; (3)从O(0, 0)到A(1, 0), 再到R (1, 1)的有向折线OAB .解 (1)L: y=x2, x从0变到1. 所以.(2)L: x=y2, y从0变到1. 所以.(3)OA: y=0, x从0变到1; AB: x=1, y从0变到1.=0+1=1.例4. 计算, 其中G是从点A(3, 2, 1)到点B(0, 0, 0)的直线段.解: 直线AB的参数方程为x=3t, y=2t, x=t,t从1变到0. 所以所以 .例5. 设一个质点在M(x, y)处受到力F的作用, F的大小与M到原点O的距离成正比, F的方向恒指向原点. 此质点由点A(a, 0)沿椭圆按逆时针方向移动到点B(0, b), 求力F所作的功W.例5. 一个质点在力F的作用下从点A(a, 0)沿椭圆按逆时针方向移动到点B(0, b), F的大小与质点到原点的距离成正比, 方向恒指向原点. 求力F所作的功W.解: 椭圆的参数方程为x=acost, y=bsint , t从0变到., ,其中k>0是比例常数.于是 ..三、两类曲线积分之间的联系由定义, 得,其中F={P, Q}, T={cost, sint}为有向曲线弧L上点(x, y)处单位切向量, dr=Tds={dx, dy}.类似地有.其中F={P, Q, R}, T={cosa, cosb, cosg}为有向曲线弧G上点(x, y, z)处单们切向量, dr=Tds ={dx, dy, dz }.一、格林公式单连通与复连通区域:设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.对平面区域D的边界曲线L我们规定L的正向如下当观察者沿L的这个方向行走时 D内在他近处的那一部分总在他的左边区域D的边界曲线的方向:定理1设闭区域D由分段光滑的曲线围成, 函数P(x, y)及Q(x, y)在D上具有一阶连续偏导数, 则有,其中L是D的取正向的边界曲线.简要证明:仅就D即是X－型的又是Y－型的区域情形进行证明.设D={(x, y)|j1(x)y j2(x), a x b}. 因为连续, 所以由二重积分的计算法有.另一方面, 由对坐标的曲线积分的性质及计算法有.因此.设D={(x, y)|y1(y)x y2(y), c y d}. 类似地可证.由于D即是X－型的又是Y－型的, 所以以上两式同时成立, 两式合并即得.应注意的问题:对复连通区域D, 格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分, 且边界的方向对区域D来说都是正向.设区域D的边界曲线为L取P=-y, Q=x, 则由格林公式得, 或.例1. 椭圆x=a cosq , y=b sinq 所围成图形的面积A.分析: 只要, 就有.解: 设D是由椭圆x=acosq , y=bsinq 所围成的区域.令, , 则.于是由格林公式,=pab.例2 设L是任意一条分段光滑的闭曲线, 证明.证: 令P=2xy, Q=x2, 则.因此, 由格林公式有. (为什么二重积分前有“±”号？ )例3. 计算, 其中D是以O(0, 0), A(1, 1), B(0, 1)为顶点的三角形闭区域.分析要使, 只需P=0, .解: 令P=0, , 则. 因此, 由格林公式有.例4 计算, 其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线, L的方向为逆时针方向.解: 令, . 则当x2+y20时, 有.记L 所围成的闭区域为D. 当(0, 0)D时, 由格林公式得;当(0, 0)D时, 在D内取一圆周l: x2+y2=r 2(r>0). 由L及l围成了一个复连通区域D 1, 应用格林公式得,其中l的方向取逆时针方向.于是 =2.解记L 所围成的闭区域为D.当(0, 0)D时, 由格林公式得当(0, 0)D时, 在D内取一圆周l: x2+y2=r2(r0). 由L及l围成了一个复连通区域D1, 应用格林公式得,即其中l的方向取顺时针方向.于是 =2.分析这里, 当x2+y20时, 有.。
5考研专题解析第十一章 曲线积分与曲面积分1.(98年数一)设L 为椭圆,13422=+y x 其周长为a ,则._______)432(22=++⎰ds y x xy L179解析 L 关于x 轴（y 轴）对称，2xy 关于y （关于x ）为奇函数20Lxyds ⇒=⎰.又在L 上22222213412(34)121243LLx y x y x y ds ds a +=⇒+=⇒+==⎰⎰.因此，原式=222(34)12LLxyds x y ds a ++=⎰⎰.2.（09年数一）已知曲线2:(0L y x x =≤，则_______L xds =⎰180解析 直接代公式化第一类平面曲线积分为定积分得Lxds ==⎰1222014)(14)8x d x =++ 32212113(14)(271)83126x =⋅+=-=.1.(00年数一) 计算曲线积分,422⎰+-=L y x ydxxdy I 其中L 是以点(1,0)为中心,R 为半径的圆周(1>R ),取逆时针方向.181解析 记2222,44y xP Q x y x y-==++,则L I Pdx Qdy =+⎰直接计算较繁琐，想借助格林公式.当220x y +≠时，222224(4)Q P y x x y x y ∂∂-==∂∂+, 记L 围成的圆域为D ,因D 内含原点(0,0),而P Q 、在(0,0)无意义，所以不能直接在D 上用格林公式.现作一小椭圆C ε（取逆时针方向）：2224x y ε+=，0ε>充分小，使C ε位于D 内，记L 与C ε围成区域D ε，在D ε上用格林公式得()0LC D Q PPdx Qdy Pdx Qdy dxdy x yεε∂∂+-+=-=∂∂⎰⎰⎰⎰, 即222222222241122442L C C x y xdy ydx xdy ydx ydx xdy dxdy x y x y εεεεπεπεεε+≤--==-+===++⎰⎰⎰⎰⎰. 2.（04年数一） 设L 为正向圆周222x y +=在一象限中的部分，则曲线积分⎰-Lydx xdy 2的值为_______182解析 已知L的参数方程,x t y t =，t 从0到2π.直接代公式得202)()]Lxdy ydx t t t t dt π-=-⎰⎰,2220322sin 242dt tdt πππππ=+=+⋅=⎰⎰. 3.（08年数一）计算曲线积分2sin 22(1)LI xdx x ydy =+-⎰,其中L 是曲线sin y x =上从点(0,0)到点(,0)π的一段.183解析 将曲线L 的方程代入直接计算2sin 222LLI xdx ydy x ydy =-+⎰⎰(,0)220(0,0)1(cos 2)2sin cos 2x y x x xdx ππ=--+⎰221sin 2cos 22x xdx x d x ππ==-⎰⎰2001cos 2cos 22x x x xdx ππ=-+⎰201sin 222xd x ππ=-+⎰ 220011sin 2sin 22222x x xdx ππππ=-+-=-⎰.1.（97年数一）计算积分⎰-+-+-Cdz y x dy z x dx y z )()()(，其中C 是曲线⎩⎨⎧=+-=+,2,122z y x y x 从z 轴正向往z 轴负向看C 的方向是顺时针的.184 解析 用斯托克斯公式来计算.记S 为平面2x y z -+=上C 所围成有限部分，由L 的定向，按右手法则S 取下侧.()()()2CS dydz dzdx dxdy z y dx x z dy x y dz dxdy x y z z y x z x y∂∂∂-+-+-==∂∂∂---⎰⎰⎰, S 在xoy 平面上的投影区域22{(,)1}xy D x y x y =+≤.将第二类曲面积分化为二重积分得22Sdxdy π==-⎰⎰原积分.这里S 取下侧，故公式取负号. 2.（01年数一）计算222222()(2)(3)LI y z dx z x dy x y dz =-+-+-⎰，其中L 为平面2x y z ++=与柱面1=+y x 的交线，从z 轴正向看去，L 为逆时针方向.185解析 用斯托克斯公式来计算，记S 为平面2xy z ++=上L 所围部分.由L 的定向，按右手法则S==S 的单位法向量(cos ,cos ,cos )n a r β==，于是由斯托克斯公式得222222cos cos cos 23Sa r I ds x y z y z z x x y β∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰([(24(2622Sy z z x x y ds =----+--⎰⎰(423)2(6)S Sx y z dS x y z x y dS =++++=+-⎰⎰. 将第一类曲面积分化为二重积分得(62(6)S SI x y x y dxdy =+-=-+-⎰⎰， 其中D 为S 在xoy 平面上的投影区域1x y +≤.由D 关于,x y 轴的对称性及被积函数的奇偶性得()0Dx y dxdy -=⎰⎰,所以21224DI dxdy =-=-=-⎰⎰.专题二、求曲面积分与高斯公式∑体222x y x +≤内的部分.179解析 将曲面积分I 化为二重积分(,)xyD I f x y dxdy =⎰⎰首先确定被积函数(,)f x y==， 对锥面z =而言，==, 其次确定积分区域即∑在xOy 平面的投影区域22{(,)(1)1}xy D x y x y =-+≤xyD I =⎰⎰作极坐标变换cos ,sin x r y r θθ==，则{(,)02cos ,}22r D r r θππθθθ=≤≤-≤≤. 2cos 2cos 322000213I d r rdr r d θππθπθθ-=⋅==⎰2.（07年数一）设曲面:1x y z ∑++=，则()______x y dS ∑+=⎰⎰187 解析 ∑关于yoz 平面对称，x 对x 为奇函数⇒0xdS ∑=⎰⎰,由变量的轮换对称性⇒x dS y dS z dS ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰,⇒()111()1333I x y dS y dS x y z dS dS ∑∑∑∑=+==++==⋅∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰曲面的面积 记∑在第一卦限部分的面积为111cos ,2r σσ==即,因此118833I σ=⋅==1.（05年数一） 设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成的空间区域，∑是Ω的整个边界的外侧，则______xdydz ydzdx zdxdy ∑++=⎰⎰192解析 在Ω上用高斯公式得(111)31I dV dV ΩΩ=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰作球坐标变换：sin cos ,sin sin ,cos x y z ρϕθρϕθρϕ===，{(,,)0,0,02}4RπρϕθρϕθπΩ=≤≤≤≤≤≤,所以22240003sin (2RI d d d R ππθϕρϕρπ==⎰⎰⎰.2.（06年数一） 设∑是锥面1)z z =≤≤的下侧，则23(1)_____x d y d z y d z d x z d x d y ∑++-=⎰⎰192解析 添加辅助面221:1(1)z x y ∑=+≤，法向量朝上，123(1)0000xdydz ydzdx z dxdy ∑++-=++=⎰⎰,∑与1∑围成区域Ω，用高斯公式得123(1)(123)623xdydz ydzdx z dxdy dV ππ∑∑Ω++-=++=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰,原式202ππ=-=. 3.（08年数一）设曲面∑是z =的上侧，则2_________xydydz xdzdx x dxdy ∑++=⎰⎰193解析 直接代入公式将第二类曲面积分化为二重积分，曲面∑的方程是,)z x y D =∈,其中22{(,)4}D x y x y =+≤，z z x y ∂∂==∂∂所以22()()00D D z zxy x x dxdy x dxdy x y ⎡⎤∂∂-+-+=++⎢⎥∂∂⎣⎦⎰⎰⎰⎰221()42Dx y dxdy π=+=⎰⎰.1.（01年数一）设222z y x r ++=则(1,2,2)()______div gradr -=195解析 先求(,,)x y zgradr r r r =，再求()()()()x y zdiv gradr x r x r x r∂∂∂=++∂∂∂.2223331112()()()x y z r r r r r r r=-+-+-=.所以(1,2,2)2()3div gradr -=.When you are old and grey and full of sleep, And nodding by the fire, take down this book, And slowly read, and dream of the soft look Your eyes had once, and of their shadows deep; How many loved your moments of glad grace, And loved your beauty with love false or true, But one man loved the pilgrim soul in you, And loved the sorrows of your changing face; And bending down beside the glowing bars, Murmur, a little sadly, how love fled And paced upon the mountains overhead And hid his face amid a crowd of stars.The furthest distance in the world Is not between life and death But when I stand in front of you Yet you don't know thatI love you.The furthest distance in the worldIs not when I stand in front of youYet you can't see my loveBut when undoubtedly knowing the love from both Yet cannot be together.The furthest distance in the worldIs not being apart while being in loveBut when I plainly cannot resist the yearningYet pretending you have never been in my heart. The furthest distance in the worldIs not struggling against the tidesBut using one's indifferent heartTo dig an uncrossable riverFor the one who loves you.。
