格林公式及其在曲线积分求解中的应用

y
(1) 当( =0 由格林公式知 ∫L 2 2 x +y
(2) 当( 0,0) ∈ D 时,
o
x
作位于 D 内圆周 l : x + y = r ,
2 2 2
y
L
D1
记 D1 由 L 和 l 所围成,
应用格林公式,得
o
l
r
x
∫
L+ l −
xdy − ydx =0 2 2 x +y
N
1 0 a = ∫a x ( − 1)dx − ( ax − x )dx 2 2 ax
a a 1 2 = ∫0 xdx = 6 a . 4
x2 y2 例5 计算椭圆 D = {( x , y ) : 2 + 2 ≤ 1}的面积。 a b y 1 L 解 A = ∫ xdy − ydx ， x 2L O L : x = a cos t , t : 0 → 2π y = b sin t ,
D = {( x , y ) ϕ 1 ( x ) ≤ y ≤ ϕ 2 ( x ), a ≤ x ≤ b} D = {( x , y )ψ 1 ( y ) ≤ x ≤ ψ 2 ( y ), c ≤ y ≤ d }
d ψ ( y ) ∂Q ∂Q ∫∫ ∂x dxdy = ∫c dy ∫ψ ( y ) ∂x dx D
2 1
= ∫c Q(ψ 2 ( y ), y )dy − ∫c Q(ψ 1 ( y ), y )dy
d d
y
=
∫
CBE
Q( x , y )dy − ∫
CAE
Q( x , y )dy
d
x = ψ 1( y)
E D B
x = ψ 2 ( y)

L 2
∫
( 3,4 )
( 1, 2 )
(6 xy 2 − y 3 )dx + (6 x 2 y − 3 xy 2 )dy 在整个 xoy 面
内与路径无关, 内与路径无关,并计算积分值 .
五、利用格林公式,计算下列曲线积分: 利用格林公式,计算下列曲线积分: 1、 ∫ ( x 2 − y )dx − ( x + sin 2 y )dy 其中L 是在圆周
二、计算 ∫ ( 2 xy − x 2 )dx + ( x + y 2 )dy 其中L 是由抛物线 所围成的区域的正向边界曲线, y = x 和 y 2 = x 所围成的区域的正向边界曲线, 并 验证格林公式的正确性 . 利用曲线积分, 三、利用曲线积分, 求星形线 x = a cos 3 t , y = a sin 3 t 所 围成的图形的面积 . 四、证明曲线积分
∂P ∂Q 若 ≡ ∂y ∂x
可用积分法求 du = Pdx + Qdy 在D内的原函数 :
u( x , y ) = ∫
x x0
y
( x0 , y )
• B( x , y )
• A( x0 , y0 )
• C ( x , y0 )
o
Pdx + Qdy
y y0
x
B( x , y )
A ( x 0 , y0 )
∂P ∂Q (4) 在D内 , = 题 ∂y ∂x
∫C Pdx + Qdy = 0,闭曲线C ⊂ D 在D内∫ Pdx + Qdy与路径无关 L
证明 (1) (2) 内任意两条由A 设 L , L 为D 内任意两条由 到B 的有向分段光滑曲 1 2 线, 则
∫L Pdx + Qdy − ∫L Pdx + Qdy

那末 Pdx Qdy Pdx Qdy
L1
L2
由于 Pdx Qdy Pdx Qdy
L2
L2
即 Pdx Qdy 0 .
L1

L
2
L1 L2 是 G内一条有向闭曲线 .
因此 , G内由曲线积分与路径无关
可推出,在 G 内沿闭曲线的积分为零 .
G
DC
x
于是我们得到与定积分中莱布尼兹公式类似的公式 ,
(x, y) Pdx Qdy U (x, y) ( x0 , y0 )
(x , y) ( x0 , y0 )
U (x, y) U (x0 , y0 )
,
其中 L 为一条无重点 ` 分段光滑
且不经过坐标原点的连续曲线 , L的方向为逆时针方向.
解 令 P y , Q x .当 x2 y2 0 时,有
x2 y2
x2 y2
? ? Q
x
y2 x2 x2 y2 2
, P y
y 2 x2 , Q P . x 2 y 2 2 x y
记 L 所围的区域为 D : (1) 当 (0, 0) D , 由格林公式
y
L D

L
xdy x2

ydx y2



D
Q x

P y
dxdy

0
D
dxdy

0
.
o
x
(2) 当 (0, 0) D ,取 r 适当小, 作小圆l
l : x2 y 2 r 2 , 记 L l 所围的区域为 D1 .
y

数学与其他学科的交叉应用
格林公式在数学物理方程、电动力学、流体力学等领域有 广泛的应用，是连接数学与物理世界的重要桥梁。
格林公式的历史背景
发展历程
格林公式是微积分学中的重要内 容，它的起源可以追溯到19世纪 上半叶，当时数学家开始研究如 何将线积分转化为面积分的问题。
贡献人物
乔治·格林（George Green）在 1830年代对这一领域做出了重大 贡献，他通过引入所谓的“格林 函数”来研究平面上向量场的性 质。
格林公式在解决曲线积分问题中的优势
简化计算过程
通过格林公式，可以将复杂的曲线积分问题 转化为面积分问题，从而简化计算过程。
提供解决问题的新思路
格林公式为解决曲线积分问题提供了新的思 路和方法，有助于拓展解题思路。
04
曲线积分与路径无关的应用实例
物理学中的磁场问题
磁场线闭合
在磁场中，如果曲线积分的路径无关，那么磁场线必然是闭合的。这意味着磁场没有源点或漏点，即不存在磁单 极。
磁通量不变
在磁场中，如果曲线积分的路径无关，那么通过某一区域的磁通量将保持不变。这意味着磁场不会因为路径的改 变而发生改变。
电学中的电场问题
电势差恒定
在电场中，如果曲线积分的路径无关，那么电势差将保持恒定。这意味着电场不会因为路径的改变而 发生改变。
电场线闭合
在电场中，如果曲线积分的路径无关，那么电场线必然是闭合的。这意味着电场没有源点或漏点，即 不存在电荷聚集点。
通过格林公式，可以判断一个曲线积分是否 与路径无关，为解决相关问题提供依据。
格林公式与曲线积分的关系证明
利用向量场的散度性质
通过向量场的散度性质，可以推导出格林公 式，从而证明其与曲线积分的关系。

思考：如果L 取负向呢?
证明: 设 D 是 X 型区域,
D {( x , y ) a x b , 1 ( x ) y 2 ( x )}


P ( x , y )dx
L


L1



L2


L3

P ( x , y ) dx
L4
Pdx
L1 a b

Pdx
2( y)
1
x 1( y)
y
D
L3
L4
c
x 2( y)
[
c
D
Q ( x , y ) x
( y)
dx ]dy （把Q( x , y )看作x的函数
x dxdy .
Q
用牛顿 莱布尼兹公式）
如果D既是X型又是Y 型，则

L
P ( x , y ) dx
P y
，
则曲线积分 Pdx Qdy在该区域内与路径无关 .
L
( 2 ) 如果
Q x

P y
在复连通域内成立，则
曲线积分
不一定与路径无关。
前例，
xdy ydx x y
2 2
.
L
( 3)由定理的证明过程可知 u ( x, y)

( x, y) ( x 0 , y0 )
P ( x , y ) d x Q( x , y ) d y .
L3
( L2 , L4上 dx 0)
b a
L1 y ( x ) 2
L2

P ( x , 2 ( x )) dx
b a
P ( x , 1 ( x )) dx

u ( x, y)
P(x, y)dx Q(x, y)dy y
( x0 , y0 )
x
y

x0 P(x, y0 )dx
Q(x, y)dy
y0
或
u (x, y)
y
y0 Q(x0 , y)dy
x
P(x, y)dx
x0
y0
x0
x
©
格林公式及其应用
例 计算 ( x2 2xy)dx ( x2 y4 )dy.其中L为

y)dy
©
例4续

1 0
1 1＋y
y
2
dy

1 1 x 1 1＋x 2
dx

0 1 y 11＋y2 dy

2
01 1 1＋y 2
dy

1 xdx 1 1＋x 2

11 11＋x2 dx

4
01 11＋y 2
dy

0

4(arc tan y)
0 －1
P Q y x
©
证明 (4)
(1)
设L为D中任一分段光滑闭曲线,所围区域为 D D (如图) , 因此在 D上
P Q y x
D D L
利用格林公式 , 得

L
P
d
x

Q
d
y

D
(
Q x

Q x
)dxd
y
0
证毕
©
说明: 根据定理2 , 若在某区域内 P Q , 则 y x
所以
P ( x2 y2 ) 2 y( x－y)

4 1 cos 4 a 2 2 a 4 sin 2 2d 2 2 a 4 d 0 0 2 2


高 等 解法二: 利用圆的参数方程转化为定积分计算 数 学 x a cos ,dx a sin d 电 y a sin ,dy a cosd 2 2 y xdy x ydx 子 L 案
其中C是一条不经过原点的分段
光滑的不自相交的简单闭曲线，方向取逆时针方向.
解:
y x P 2 ,Q 2 2 x y x y2
y
C
2 2 Q y x P x 2 y 2 0时，有 2 x ( x y 2 ) 2 y
D
x
下面分两种情况计算.
ydx xdy Q P ( )dxdy (1)当(0,0) D时, 则C 2 2 D x x y y

顺时针
y 2 xdy x 2 ydx
逆时针
y 2 xdy x 2 ydx
Q p ( )dxdy ( x 2 y 2 )dxdy D x D y

2
0
d 2 d
0
a
a 4
2
高 等 数 学 电 子 案
ydx xdy , 例5 计算 C 2 2 x y
高 等 数 学 电 子 案
例1 求椭圆 x a cos , y b sin 的面积S.
解： S
1 xdy ydx 2 C
1 1 2 S (a cos b cos b sin a sin )d abd ab 2 C 2 0
高 等 数 学 电 子 案
二
平面上曲线积分与路径无关的条件

高等数学
格林公式及其应用
本节，我们将会讨论曲线积分与二重积分之间的关系．格林公式就是 连接两种积分的桥梁．
1.1 格林公式
格林公式给出了平面闭区域上二重积分与该闭区域边界曲线上第二类曲线积分之 间的关系．在介绍它们之间的关系前，我们首先给出单连通区域和复连通区域的定义．
定义 设 D 为平面区域，如果 D 内任意一条闭曲线所围成的部分都属于 D ，则称 D 为平面单连通区域（即 D 内部不含有“洞”），否则称为复连通区域．
1.1 格林公式
定理 1（格林公式） 设函数 P(x ，y) ， Q(x ，y) 在闭区域 D 上具有一阶连续偏 导数，则有
D
Q x
P y
dxdy
L
Pdx
Qdy
，
其中 L 为 D 的正向边界曲线．
（12-4）
1.1 格林公式
证 将区域 D 分为单连通区域和复连通区域两种情形来证明．
（1）如果 D 是单连通区域，则分以下两种情况讨论．
例 如 ， 区 域 {(x ，y) | x2 y2 1} 和 (x ，y) | y x 是 单 连 通 区 域 ； 环 状 区 域
{(x ，y) |1 x2 y2 4} 是复连通区域．
1.1 格林公式
关于平面区域 D 边界曲线的正负向规定如下：设平面区域 D 的边界曲线为 L ， 当沿着边界曲线 L 运动时，平面区域总在其左侧，此运动方向即为 L 的正向，此时 的反向即为 L 的负向．对于单连通区域来说，逆时针方向为正向．对于如图所示的 复连通区域来说，图中的箭头指向即为边界正向．
b a
P
(
x
，2
(
x))dx
b a
P
(
x

微积分是数学的一个分支，其中有一个重要概念就是曲线积分。

曲线积分是对曲线上的函数进行积分的过程，它在实际应用中具有广泛的意义和重要性。

而格林公式则是曲线积分的一个基本定理，它连接了曲线积分和面积积分之间的关系。

首先，我们来了解一下曲线积分的概念。

在平面坐标系中，考虑一条光滑曲线C，我们要对C上的一个函数f(x, y)进行积分。

曲线积分分为两种类型：第一类曲线积分和第二类曲线积分。

第一类曲线积分是对函数在曲线上的取值进行积分，记作∮Cf(x, y)ds。

第二类曲线积分则是将函数与曲线的切向量进行内积后再进行积分，记作∮Cf(x, y)·dr。

曲线积分的计算方法与路径有关，也与函数在路径上的取值有关。

接下来，我们介绍一下格林公式。

格林公式是曲线积分的一个基本定理，它说明了曲线积分与面积积分之间的关系。

设有一个光滑闭合曲线C，这个曲线将一个有限的区域D围起来。

设有两个偏导数连续的函数P(x, y)和Q(x, y)，则有∮C[P(x, y)dx + Q(x, y)dy] = ∬D(Qx - Py)dA其中，Qx和Py分别表示P和Q对x和y的偏导数，dA表示微小面积元。

利用格林公式，我们可以将曲线积分转化为面积积分的形式进行计算，这样更加方便和简化。

同时，格林公式还可以推广到更高维的情况下，用于计算空间中曲面积分和体积积分。

最后，我们来看一个实际应用中的例子。

假设有一个平面曲线C，它是一个三角形的边界，我们要计算曲线积分∮C(x^2 + y^2)ds。

首先，我们可以找到这个三角形的顶点，并确定它的边界方程。

然后，利用格林公式，将曲线积分转化为面积积分。

计算面积积分后，我们就可以得到曲线积分的结果。

总之，微积分中的曲线积分与格林公式是一个重要的内容。

曲线积分是对曲线上函数的取值进行积分的过程，而格林公式则把曲线积分与面积积分建立起了联系。

通过格林公式，我们可以将曲线积分转化为面积积分进行计算，这样更加方便和简化。

偏增量
( x, y ) ( x0 , y0 )
Pdx + Qdy −∫
( x+∆x, y) ( x, y )
Pdx + Qdy
=∫
=∫
( x, y ) ( x0 , y0 )
+∫
−∫
( x, y ) ( x0 , y0 )
Pdx + Qdy
( x+∆x, y)
( x+∆x, y) ( x, y )
Pdx + Qdy =∫
(1) ⇒(2) ⇒(3) ⇒(4) ⇒(1) (1) ⇒(2): ∀A, B ∈ G , ∀L, L′,
y
封闭曲线) 封闭曲线 有 L + ( − L′ ) = C (封闭曲线
A
o
⋅
L
⋅
B C
G
L′
x
∫
得
L+( − L′ )
Pdx + Qdy = ∫ Pdx + Qdy = 0
C
即 ∫ L Pdx + Qdy +∫ −L′ Pdx + Qdy = 0
一、格林（Green)公式及其应用 格林（ 公式及其应用 4.平面上曲线积分与路径无关的 . 等价条件
4.平面上曲线积分与路径无关的 . 等价条件 y
如果在区域D内 如果在区域 内,
∀L1 , L2 , 有
L 1

⋅B
L2
D
A o
⋅
∫L Pdx + Qdy = ∫L Pdx + Qdy
1
x
2
则称曲线积分
y = sin
πx
2
.

由格林公式知 xdy ydx 0 L x2 10 y 2
(2) L为正方形 x y 1 的正向.
作位于 D内圆周 l : x2 y2 a2 ,
取顺时针方向。
记 D1由 L和 l所围成, 应用格林公式,得
L
xdy x2
ydx y2
xdy ydx Ll x2 y2
xdy ydx l x2 y2
,
0 2
所围面积
1 2 (abcos2 absin2 ) d ab 20 14
例5 计算抛物线 ( x y)2 ax(a 0) 与 x 轴所围成
的面积.
解 ONA为直线 y 0.
曲线 AMO 由函数
y ax x, x [0,a]表示,
M
N
A(a,0)
1
A xdy ydx
计算
L
xdy x2
ydx , y2
(1) L为圆周(x 1)2 ( y 1)2 1的正向.
(2) L为正方形 x y 1的正向.
解 记 L所围成的闭区域为 D,
令
P
y x2 y2
,
Q
x2
x
y2
,
则当
x2 y2 0
时,有
Q x
y2 x2 ( x2 y2 )2
P .
y
(1) L为圆周(x 1)2 ( y 1)2 1的正向.
高等数学
第二十讲
第三节
第十一章
格林公式及其应用
一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件
一、 格林公式
区域 D 分类 单连通区域 ( 无“洞”区域 )
L
多连通区域 ( 有“洞”区域 )
D
域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左

格林公式及其在曲线积分求解中的应用.南昌工程学院《数分选讲》课程设计题目格林公式及其在曲线积分求解中的应用课程名称数分选讲系院理学院专业信息与计算科学班级XXXX年6月11日至XXXX年6月15日什么是曲线积分？？1. 设L为xOy平面上的一条光滑的简单曲线弧,f(x,y)在L上有界，在L上任意插入一点列M1,M2,M3…,Mn 把L 分成n 个小弧段ΔLi的长度为ds，又Mi(x,y)是L上的任一点，作乘积f(x,y)i*ds,并求和即Σ f(x,y)i*ds，记λ=max(ds) ，若Σ f(x,y)i*ds的极限在当λ→0的时候存在，且极限值与L的分法及Mi在L的取法无关，则称极限值为f(x,y)在L上对弧长的曲线积分，记为：∫f(x,y)*ds ；其中f(x,y)叫做被积函数，L叫做积分曲线，对弧长的曲线积分也叫第一类曲线积分。

2. 曲线积分的类别:曲线积分分为：对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）对坐标轴的曲线积分（第二类曲线积分）两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别；对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds；例如：对L的曲线积分∫f(x,y)*ds 。

对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy，例如：对L’的曲线积分∫P（x,y）dx+Q(x,y)dy。

但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号33。

3. 两种曲线积分的联系：对弧长的曲线积分和对坐标轴的曲线积分是可以互相转化的，利用弧微分公式ds=√[1+(dy/dx) ]*dx; 或者ds=√[1+(dx/dy) ]*dy;这样对弧长的曲线积分都可以转换成对坐标轴的曲线积分了。

在数学中，曲线积分或路径积分是积分的一种。

积分函数的取值沿的不是区间，而是特定的曲线，称为积分路径。

曲线积分有很多种类，当积分路径为闭合曲线时，称为环路积分或围道积分。

在曲线积分中，被积的函数可以是标量函数或向量函数。

微积分是数学的一门重要的分支，它研究的是函数的变化与极限。

在微积分中，曲线积分是一个重要的概念，它与格林公式有着密切的关系，并广泛应用于实际问题的求解中。

首先，我们来了解一下曲线积分的概念。

曲线积分是指在曲线上对向量场进行积分的过程。

对于一个曲线C，可以将其参数化为r(t)=<x(t), y(t)>，其中t是一个参数，x(t)和y(t)是关于t的函数。

向量场F=<P(x, y), Q(x, y)>可以表示为F=<P(r(t)), Q(r(t))>。

那么曲线积分可以表示为∫F·dr，其中dr是曲线上的微元向量。

曲线积分在物理、工程等领域有着广泛的应用。

例如，在机械工程中，可以用曲线积分来计算力的沿曲线的积分，以及在闭合路径上力的环量。

另外，在电磁学中，可以利用曲线积分来计算电场强度、磁感应强度等物理量。

接下来，我们来介绍一下格林公式。

格林公式是曲线积分与二重积分之间的重要联系。

它实质上是一个积分定理，可以将曲线上的积分转化为曲线所围成区域上的二重积分。

格林公式的数学表达为∮Pdx+Qdy=∬[∂Q/∂x-∂P/∂y]dxdy，其中P和Q是关于x和y的函数，[∂Q/∂x-∂P/∂y]是P和Q的二阶偏导数交叉相减的结果。

这个公式表明，在一个有界的、光滑的区域D上，曲线积分∮Pdx+Qdy等于区域D上∂Q/∂x-∂P/∂y的二重积分。

格林公式的应用范围很广泛。

它可以用于计算曲线围成的区域的面积、重心、质心等物理量。

例如，在工程中，常常需要计算复杂形状的物体的重心位置，可以通过将物体分解为小区域，然后运用格林公式来计算每个小区域的质心位置，最后将各个小区域的质心位置加权平均得到整个物体的重心位置。

此外，格林公式还可以用于计算闭合路径上的曲线积分，例如计算电场强度的环量。

在电磁学中，电场强度可以表示为E=<-∂Φ/∂x, -∂Φ/∂y>，其中Φ是电势函数，而电场强度的环量可以用曲线积分来表示。

第三节格林公式及应用第三节格林公式及应用第三节格林公式及应用3.1自学目标掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数.3.2内容提要1.格林公式设闭区域d由分段扁平的曲线l围起，函数p?x,y?,q?x,y?在d内具备一阶已连续略偏导数，则存有q?p?pdx?qdy?dxdy，lx?y?d?其中l是d的取正向的边界曲线．【备注】（1）格林公式阐明了二重积分与曲线分数的联系．（2）d可以就是为丛藓科扭口藓相连区域．（3）l为正向的封闭曲线，p?x,y?,q?x,y?在d内具有一阶连续偏导数，两者缺一不可．在利用格林公式计算曲线积分时，若l不封闭，则考虑适当补边使之封闭；若在d内函数有奇点，应考虑将奇点挖掉．（4）当p??y,q?x时，纡出来半封闭曲线所围区域的面积a?1xdy?ydx??l22.平面上曲线积分与路径无关的条件设立区域g就是一个单相连域，函数p?x,y?,q?x,y?在区域g内具备一阶已连续的偏导数，则曲线分数必须条件就是pdxqdy在g内与路径无关（或沿g内任意闭曲线的曲线积分为零）的充l?q?p??x?y在g内恒设立．【注】若曲线积分与路径无关，在进行曲线积分的计算时，可以在g内选择简单路径，选择折线是常用的方法．3.二元函数的全微分算草设区域g是一个单连通域，函数p?x,y?,q?x,y?在区域g内具有一阶连续的偏导数，则p(x,y)dx?q(x,y)dy在g内为某一函数u(x,y)的全微分的充要条件是qpxy在g内恒设立．(x,y)xyu(x,y)??或(x0,y0)p(x,y)dx?q(x,y)dy??p(x,y0)dx??q(x,y)dyx0y0yxu(x,y)??q(x0,y)dy??p(x,y)dx．y0x0其中m0(x0,y0)就是区域g内适度选取的一点．【注】设区域g是一个单连通域，函数p?x,y?,q?x,y?在区域g内具有一阶连续的偏导数，则以下四个命题等价：命题1曲线分数pdxqdy在g内与路径无关；l命题2在g内任一一条闭合曲线l，存有pdxqdy=0；l命题3表达式p?x,y?dx?q?x,y?dy在g内就是某个二元函数的全微分，即为存有u?x,y?使得du?p?x,y?dx?q?x,y?dy；命题4qp在g内每一点处成立．?x?yl4.计算pdxqdy的通常步骤qp，?x?y（1）首先验证是否（2）若qp，考察l是否封闭，若封闭用格林公式；?x?y??xt?,t求，若不封闭取参数?y??t,（3）若来求．qp，也实地考察l与否半封闭，若半封闭结果为0；若不半封闭，用折线或用补线?x?y3.3典型例题与方法基本题型i：利用格林公式谋第二类曲线分数基准1填空题x22(1)设f(x,y)在d:?y?1内具有连续的二阶偏导数，c为顺时针方向的椭圆4x2?y2?1，则??c[?3y?fx'(x,y)]dx?fy'(x,y)dy?________．42?2f??xyi?xyj促进作用下沿圆周x2?y2?a2的顺时针方向运动一周，(2)设立质点在力则力f所作的功w?________．求解（1）由格林公式，注意到曲线c为顺时针方向，得[?3y?f'(x,y)]dx?f'(x,y)dy[f\x,y)?f''(x,y)?3]d?3d?6?cxyyxxydd故应填?6?．222（2）设曲线c:x?y?a围成的区域为d，则2?a1422223wxydx?xydy??(x?y)dxdy??d??d?a?c?002d14故应填??a．2例2选择题22（1）设立曲线c为椭圆4x?y?1，并挑正向，则曲线分数??c?ydx?xdy等同于（）.4x2?y2（a）0；（b）2?；（c）??；（d）?．（2）已知xaydxydy就是某函数的全微分，则a等同于（）.2?x?y?（a）?1；（b）0；（c）?2；（d）2．22解（1）因为4x?y?1，代入得ydxxdy2dxdy．??c4x2?y2c?ydx?xdyd故挑选（d）．（2）p(x,y)?x?ay?x?y?,q(x,y)?2y?x?y?2,于是p(a2)xayq2y,,33yxxyxypq由可得a?2，故选（d）．?y?xx2y2例3计算??x?y?dx??x?y?dy，其中l为椭圆线2?2?1的正向.lab【分析】l为半封闭扁平曲线挑正向，合乎格林公式的条件，需用格林公式展开排序.求解x?y?dxx?y?dy=1?1?dxdy2dxdy2?ab，lddx2y2其中d为椭圆域2?2?1.ab例4计算x?y?dxx?y?dyx?y22l，其中l为圆x2?y2?a2的正向.【分析】此题可直接用公式x?acost,y?asint,0?t?2?计算.也可用积分曲线方程化简被积函数，再用格林公式计算．下面给出后一种解法.求解l?x?y?dxx?y?dy?x2?y21a2l?x?y?dxx?y?dya21?1?d?d??2?a2??2?.2a222【方法点击】该题不能直接利用格林公式计算，因为被积函数在d:x?y?a内不满足具有一阶连续偏导数的条件，但由曲线l的方程化简被积函数后，就满足了格林公式的条件，可再用格林公式计算.基准5排序3x2x?是半圆弧.(ye?my)dx?(3ye?m)dy,c为从e到f再到g,fg?cyf(2,1)oe(1,0)g(3,0)x图3-1【分析】似乎c为从e至g的分段扁平曲线，可以轻易化成的定分数展开排序，但排序较繁杂．如果补边ge，则可以沦为半封闭曲线，利用格林公式排序后再乘以ge上的分数，可以得所求分数值．但必须特别注意曲线的方向．pq3y2exm,3y2ex,解p?ye?my,q?3ye?m,?y?x3x2x?q?p??m.添加直线ge,利用格林公式得，?x?y?c(y3ex?my)dy?(3y2ex?m)dy+?pdx?qdy??gemdxdy??m(1?)．??4d??所以,c(y3exmy)dy(3y2exm)dy=(1)m-gepdxqdy=m(1).44【方法点击】补边是利用格林公式解决非封闭曲线积分的重要方法，但须满足格林公式的条件．例6计算段.2l?ydx?xdy，其中沿曲线自点?2,0?至?0,0?的存有向弧y?2x?x?ly图3-2ox【分析】本题可利用l的方程直接求解，得到解法一．还可以通过补边，使其满足格林公式的条件，再利用格林公式计算.数学分析一如图3-2右图，l的方程y?2x?x2,dy?0?1?x2??ydx?xdy??2x?x?x??l?2?2x?x2?1?x2x?x2dx，故dx.数学分析二补线l1:?由格林公式0x2（方向与x轴的方向一致），l1与曲线l围成闭区域d，y?0ydx?xdy??ll?l1?ydx?xdyydx?xdyl1而q?p?ydx?xdyl?l1xydxdy?2dxdy.dd从而l1ydxxdy0.ydx?xdy.l。

浅谈格林公式在计算曲线积分中的应用作者：李玉荣来源：《学业》2019年第05期摘要：本文通过举例展示了格林公式及由格林公式推导出的四个等价命题在计算第二型曲线积分中发挥着非常重要的作用。

关键词：格林公式;曲线积分格林公式将平面闭区域D上的二重积分与沿闭区域D的边界曲线L上的第二型曲线积分联系了起来。

一、下面先给出格林公式及由格林公式推导出的四个等价命题定理（格林公式）：设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，若函数P（x，y）及Q（x，y）在D上具有一階连续偏导数，则有其中L是D的取正向的边界曲线。

由格林公式可以推出以下四个等价命题，即在前提条件成立的情况下，以下四个命题是等价的。

这四个命题在曲线积分的计算中发挥着非常重要的作用。

条件：j区域D是单连通区域（若对于平面区域D上任一封闭曲线，皆可不经过D以外的点而连续收缩于属于D的某一点，则称此平面区域D为单连通区域，通俗地说，单连通区域是没有“洞”的区域）;k;P（x，y）及Q（x，y）在D内具有连续的一阶偏导数。

四个等价命题：1、在D内，与路径无关，只与起点、终点有关。

2、3、在D内存在，使4、在D注意：以上四个命题等价的两个条件缺一不可。

二、举例1、当给定曲线较复杂时，可以利用积分与路径无关，选取简单路线。

例1 计算，其中L为由点到点的曲线弧。

解：由于曲线较复杂，所以先检验积分是否与路径无关。

满足第4个命题，从而由命题1，原积分与路径无关。

所以选取L为的折线，2、当给定曲线较复杂，但积分与路径有关时，可以补充曲线使其封闭，然后利用格林公式来计算。

例2 计算，其中L为由点（a，0）到点（0，0）的上半圆周x2+y2=ax，y10。

解即，积分与路径有关。

补充曲线为（0，0）到（a，0）的线段，所以原式3、若是某个函数的全微分，则可利用曲线积分求出该函数，即解：由于所以是某一函数的全微分，且参考文献：[1]高等数学[M].北京：高等教育出版社.2014[2]数学分析[M].北京：高等教育出版社.2010。

。
再利用例 2 的注即可求出结果。】
例 4 在格林公式中，若 P y ， Q x ，则公式变为
ydx xdy 2 D d 2D ，即
D
1 2
ydx
xdy （平面图形的面积公式）。
2
2
试用上述公式再计算星形线
x a
3
y b
3
1（a
0，b
0 ）围成的平面图形
D
的体积
D 。
【
例 1 求 x2 ydx xy2dy ，其中 ： x2 y2 R2 ， 为顺时针。
【记 P x2 y ，Q xy2 ，显然它们在以 为边界的闭圆： x2 y2 R2 上连续可微。注意
到 为顺时针，所以，由格林公式得，
x2 ydx xy2dy x2 ydx xy2dy
我们总可以选择适当垂直于 x 的直线将 D 分解成有限个 x 型区域的并集。 不失一般性，仅就 D 为图（1）的情形证明。
-3-
数学分析/第 20 章 重积分
如图示， D D1 D2 ， D1 和 D2 都是 x 型区域， D1 的边界正向为
D1 A, B B, E E , F F, A ，
数学分析/第 20 章 重积分
§4 格林（Green）公式和曲线积分与路径无关性
作为二重积分计算的应用，本节我们将建立利用二重积分来计算沿平面封闭曲线的第二 型曲线积分的一种有效方法——格林公式。
本节，具体学习两个内容： 1、建立格林公式（特点：反映了沿平面曲线的第二型曲线积分与二重积分的关系。） 2、格林公式的应用。包括两个方面： 一是计算某些曲线积分和证明某些涉及曲线积分的积分等式； 二是建立曲线积分与路径无关的条件。
y)
，

u 5x4 3xy2 y3
x
u
3x2 y 3xy2
y2
y
由(1)得
u (5x4 3xy2 y3 )dx
（1） （2）
x5 3 x2 y2 y3 x ( y)
2
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u 3x2 y 3 y2x + '( y)
y
由(2)得 '( y) y 2
( y) y2dy y3 C 3
y x
C
Pdx Qdy
D
(
Q x
P y
)dxdy
0dxdy
D
0
第3页/共33页
y
G
C
即 C Pdx Qdy 0
D
曲线积分 L Pdx Qdy
在 G 内与路径无关 (命题）
x
2、必要性（反证法） 假设至少有一点 M0 G
使得
(
Q x
P y
)|M0
0
不妨设
(
Q x
P y
)|M0
0
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M0
有 Q P
x y 2
x 记 K 的边界曲线为 (方向取为
K 的边界曲线正向），则由格林公式，得
K
2
PdxddxyQd2yKdxKd(yQx
2
P y
)dxdy 0
第6页/共33页
y
G
U(M0)
K
M0
即 Pdx Qdy 0 曲线积分 L Pdx Qdy
在 G 内与路径无关
由命题，得
= lim
x0
1 x
MN
P( x,
y)dx Q( x,
y)dy