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第十七章 各类积分的联系回顾:一元函数积分学:)()()('a F b F dx x F ba -=⎰§17-1 格林公式及曲线积分与路径无关的条件一、格林公式概念:单连通区域, 复连通区域; 正向;格林定理:设闭区域2R D ⊂,是由有限多条分段光滑的闭曲线Γ所围成. 函数),(),,(y x Q y x P 在D 上具连续的一阶偏导,则有 σd yPx Q Qdy Pdx D)(∂∂-∂∂=+⎰⎰⎰Γ(格林公式) 其中Γ是取正向记: 图示 光设D(既是X 型又是Y 型)即穿过区域D 内部且平行于坐标轴的直线与D 的边办曲Γ的交点恰两点.设D:b x a ≤≤, )()(21x y x ϕϕ≤≤()()[]dx x x P x x P dy y y x P dx dxdy y Pb a b a x x D⎰⎰⎰⎰⎰-=∂∂=∂∂)(,)(,),(12)()(21ϕϕϕϕ ()()()()[]dxx x P x x P dx x x P dx x x P Pdx Pdx Pdx baa bb a⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=+=+=ΓΓΓ)(,)(,)(,)(,212112ϕϕϕϕ 因此 ⎰⎰⎰Γ=∂∂-Pdx dxdy yPD设D:d y c ≤≤ )(2)(1y y x ϕϕ≤≤ 类似可证 ⎰⎰⎰Γ=∂∂DQdy dxdy xQ即得格林公式例1:计算曲线积分ydx x dy xy 22-⎰ΓΓ:(1)222a y x =+ 逆时针(2)222a y x =+ 上半部分,x 轴,逆 解:y x P 2-= 2xy Q +=2x y P -=∂∂ 2y xQ=∂∂ 由Green 公式 (1)u a dr r d d x y ydx x dy xy aD-=⋅=+=-⎰⎰⎰⎰⎰Γ420322222)(πθσπ计算曲线积分(2)403022224)(a dr r d d x y ydx x dy xy aDπθσπ==+=-⎰⎰⎰⎰⎰Γ例2:计算椭圆12222=+by a x 所围面积A.解: Γ:常数方程 t a x cos = t b y sin = []ab dt t a t b t b t a ydx xdy A ππ=-⋅-⋅=-=⎰⎰Γ20)sin (sin cos cos 2121 例3:计算⎰Γ+-=22y x ydxxdy I ,其中Γ是(1)使所含区域D 不含原点的分段光滑封闭曲线,沿正向(2) 含原点但不径原点解:22y x y P +-= 22y x x Q += 22222)(y x x y y p x +-=∂∂=∂∂θ (1) 满足Green Th 连续条件 ⎰⎰⎰==+-=ΓDd y x ydxxdy I 0022σ(2) 不满足Green Th 连续条件选取适当小的0>ε,作圆周 :222ε=+y x (使 全部含于Γ所围区域) 记 +Γ围成D, 于是在1D 内, 格林公式成立 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-++ΓΓΓ=-=+==001D d σ 故⎰⎰+-=+-Γ 2222y x ydxxdy y x ydx xdy 法一:右式πθθθθεθεπ2)sin (cos 2sin ,cos 202=+==========⎰d y x 学数方程法二:右式⎰⎰⎰≤+=⋅==-=222221122επσεεy x G d ydx xdy公式二、平面上单边通区域内曲线积分与路径无关的等价条件概念:曲线积分⎰Γ+Qdy Qdx 与路径无关:⎰⎰ΓΓ+=+12Qdy Pdx Qdy Pdx图示 (且公与B A y y ,有关)定理:),(),,(y x Q y x P 和平面单连通域D 上具连续一阶偏导,则如下四条件等价. (1)xQ y P ∂∂=∂∂ D y x ∈),( (2)⎰Γ=+0Qdy Pdx D ∈Γ 分段光滑闭曲线(3)积分⎰Γ+ABQdy Pdx 在D 内与路径Γ无关,公与A,B 位置有关(4)存在单值函数),(y x u u =, D y x ∈),( 使它全微分 Qdy Pdx dy y u dx x u du +=∂∂+∂∂=即P xu =∂∂ Q y u =∂∂ 证明:同证)2()1(⇔, )3()2(⇔ 下证)1()4(⇒, )4()3(⇒, )1()4(⇒ 存在函数),(y x u 使 dy y x Q dx y x P du ),(),(+= 则),(y x P xu=∂∂ ),(y x Q y u =∂∂ 于是 y P y x u ∂∂=∂∂∂2 x Qx y u ∂∂=∂∂∂2 由条件 xy uy x u ∂∂∂=∂∂∂22 (连续) 故xQ y P ∂∂=∂∂ )4()3(⇒曲线积分⎰Γ+ABQdy Pdx 仅与 ),(00y x A ,),(y x B 有关, 记⎰+=),(),(00),(y x B y x A Qdy Pdx y x u (说明右式是y x ,函数)下证 P xu=∂∂ Q y u =∂∂xy x u y x x u x u x ∆-∆+=∂∂→∆),(),(lim 0 xQdyPdx Qdy Pdx y x x y x y x y x x ∆+-+=⎰⎰∆+→∆),(),(),(),(00000limxdxy x P x QdyPdx xx xx y x x y x x ∆=∆+=⎰⎰∆+→∆∆+→∆),(lim lim0),(),(0),(),(lim ),(lim 1y x P y P xxy P x x Th 连续中值===∆∆===→→∆ξξξ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∆+=∆∆∆+===→∆→∆≤≤),(),(lim ),(lim0010y x P y x x P x x y x x P x x θθθ 同理,),(y x Q yu=∂∂ 故 Qdy Pdx dy yu dx x u du +=∂∂+∂∂=推出公式: 图示 CB AC AB +=⋂AC:0y y = 10x x x ≤≤ 0=dy CB:1x x = 10y y y ≤≤ 0=dx 曲线积分计算公式dy y x Q dx y x P Qdy Pdx Qdy Pdx y y y x B y x A x x AB),(),(11100121),(),(0⎰⎰⎰⎰+=+∆+Γ原函数计算公式C dy y y Q dx y x P C Qdy Pdx y x u yy y x y x xx Th ++=++===⎰⎰⎰),(),(),(00000),(),(0过程特D ∈)0,0( ⎰⎰++=x y C dy y x Q dx x P y x u 0),()0,(),( 可证 ),(),(),(0011),(),(1100y x u y x u y x u Qdy Pdx Qdy Pdx ABy x B y x A B A -==+=+⎰⎰Γ------曲线积分的N-2公式 例4:计算dy x xydx OA⎰Γ+22 三路径.解: 图示 xy y x P 2),(= 2),(x y x Q =xQ x y P ∂∂==∂∂2 11)002(2212102)1,1()0,0(22=+⋅+⋅=+=+⎰⎰⎰⎰Γdy x dx x dy x xydx dy x xydx OA例5:计算dy y x x y dx x y y x I )sin sin 2()cos cos 2(22-++=⎰Γ.Γ是1)1(22=+-y x 的上半圆周.从)0,0(O 到)0,2(A解:xQ y P ∂∂=∂∂.I 值与路径无关0=⋅→y OA 0=O x 1=A x ,0=dy则⎰⎰===→242xdx I OA⎰Γ-=-=2I例6:dy x y x x y dx x y y x I )sin sin 2()cos cos 2(221+-++=⎰Γ.Γ:例5. 解一:xQ y P ∂∂+∂∂:不能用与路径无关的相关公式. Γ非闭 :才能用Green 公式.原始方法(第二类曲线积分) 图示 ⎩⎨⎧=+=t y t x sin 1cos 几乎不可能解二:(设法满足二之一: Γ闭)x y y x y P cos 2sin 2+-=∂∂,1sin 2cos 2+-=∂∂y x x y xQ 设1Γ:(从A 到O 直线段)0,0,1,0====dy x x y O A ,则1Γ+Γ构成闭曲线,顺进针.1Γ+Γ所围闭域D:πθ≤≤0, θcos 20≤≤r由Green 公式2)(1πσσ-=-=∂∂-∂∂-=⎰⎰⎰⎰⎰Γ+ΓD Dd d y P x Q (即⎰⎰ΓΓ-=+12π)而dy x y x x y dx x y y x )sin sin 2()cos cos 2(221+-++⎰Γ⎰-==0242xdx故⎰⎰ΓΓ-=--==12421ππI .解三:(设法满足二之另一,xQy P ∂∂=∂∂) .cos cos 22x y y x P += 设y x x y Q sin sin 221-= x Q =221Q Q Q +=则xQ y P ∂∂=∂∂1dy Q Pdx ⎰Γ+1与路径无关.dy Q dy Q Pdx I ⎰⎰ΓΓ++=2111⎰⎰⋅++=2cos )cos 1(2πtdt t xdx24π-=例7:(得用曲线积分求)dy y xy x dx y xy x )2()2(2222--+-+的原函数),(y x u . 并求⎰)2,2()0,1(.(其中Γ是从A(1,0)到B(2,2)的曲线段)解:222y xy x P -+= 222y xy x Q --= y x xQ y P 22-=∂∂=∂∂ C dy y xy x dx y xy x y x u y x +--+-+=⎰)2()2(),(222),()0,0(2C y xy y x x C dy y xy x dx x yx+--+=+--+=⎰⎰3223202023131)2(31),()2()2()2,2()0,1(222)2,2()0,1(2-==--+-+⎰y x u dy y xy x dx y xy x作业: 151P 1(1)(4) 2(已提示) 4(1) 5(2) 6(2)。
高数作业姓名：徐艳涛班级：电子商务1133学号：201161102348曲线积分和格林公式学习总结§1对弧长的曲线积分1．1由例子引入对弧长的曲线积分的定义给出性质，然后介绍将对弧长的曲线积分化为定积分的计算方法。
1、引例：求曲线形构件的质量 最后举例巩固计算方法的掌握。
2、s z y x f d ),,(⎰Γ为第一类曲线积分，其中Γ为曲线，被积函数),,(z y x f 中的点),,(z y x 位于曲线Γ上，即),,(z y x 必须满足Γ对应的方程，222dz dy dx ds ++=是弧微分、弧长元素。
若Γ是封闭曲线，则第一类曲线积分记为sz y x f d ),,(⎰Γ3、第一类曲线积分的应用：1）、曲线Γ的长s=s d ⎰Γ2）、若空间曲线形物体的线密度为),,(z y x f ，Γ∈),,(z y x ，则其质量M dsz y x f ),,(⎰Γ=;质心坐标为),,(z y x ，其中Mds z y x zf z Mds z y x yf y Mdsz y x xf x ),,(,),,(,),,(⎰⎰⎰ΓΓΓ===;对x 轴的转动惯量dsz y x f z y Ix),,()(22+=⎰Γ4、第一类曲线积分的计算方法：若空间曲线Γ参数方程为：⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，βα≤≤t ，则dt t z t y t x ds 222)]('[)]('[)]('[++=，s z y x f d ),,(⎰Γ=⎰βα))(),(),((t z t y t x f tt z t y t x d )]('[)]('[)]('[222++。
例1 计算⎰Γdsz y x )(222++，其中Γ：t x cos =，ty sin =，t z =，π20≤≤t解 因为222z y x ++=222sin cos t t t ++=21t +，dt dt t t ds 21)(cos )sin (22=++-=, 所以⎰Γds z y x )(222++)382(22)1(3220πππ+=+=⎰dt t例2⎰Γds y ||，其中Γ为球面2222=++z y x与平面yx =的交线；解 Γ的参数方程为tz t y x sin 2,cos ===，π20≤≤t ，dt dt z y x ds 2'''222=++=，根据对称性得到⎰Ldsy ||=24d cos 242=⎰t t π例3 计算⎰Γds z y x )(222++，其中:Γ⎪⎩⎪⎨⎧==+1222z ay x )0(>a解Γ:⎪⎩⎪⎨⎧===1sin cos z t a y ta x ,π20≤≤t ,dt t z t y t x ds 222)]('[)]('[)]('[++=adt dt t t a =+=)cos (sin 222∴⎰Γds z y x )(222++)1(2)1(2220+=+=⎰a a adt a ππ或解：被积函数222z y x ++中的点),,(z y x 位于曲线Γ上，即),,(z y x 必须满足Γ对应的方程 ，所以12222+=++a z y x ，⎰Γdsz y x )(222++=⎰Γdsa )1(2+=⎰+=+Γ)1(2)1(22a a ds a π1.2 第一类曲线积分公式：=应用前提:1.曲线L 光滑,方程可以写成为:2.函数在L 上有定义，且连续。
一、对弧长的曲线积分的概念与性质曲线形构件的质量:设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上,已知曲线形构件在点(x,y）处的线密度为μ（x，y）。
求曲线形构件的质量.把曲线分成n小段，∆s1，∆s2，⋅⋅⋅，∆s n(∆s i也表示弧长）;任取（ξi,ηi)∈∆s i，得第i小段质量的近似值μ（ξi，ηi)∆s i;整个物质曲线的质量近似为；令λ=max｛∆s1，∆s2,⋅⋅⋅，∆s n}→0,则整个物质曲线的质量为.这种和的极限在研究其它问题时也会遇到.定义设L为xOy面内的一条光滑曲线弧,函数f(x，y）在L上有界。
在L上任意插入一点列M1，M2,⋅⋅⋅,M n-1把L分在n个小段. 设第i个小段的长度为∆s i,又(ξi，ηi）为第i个小段上任意取定的一点,作乘积f(ξi，ηi）∆s i，（i=1, 2,⋅⋅⋅，n）,并作和，如果当各小弧段的长度的最大值λ→0,这和的极限总存在，则称此极限为函数f(x，y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记作，即.其中f(x，y)叫做被积函数,L叫做积分弧段。
设函数f(x,y）定义在可求长度的曲线L上,并且有界。
将L任意分成n个弧段：∆s1，∆s2,⋅⋅⋅,∆s n，并用∆s i表示第i段的弧长;在每一弧段∆s i上任取一点（ξi,ηi）,作和;令λ=max{∆s1，∆s2，⋅⋅⋅，∆s n}，如果当λ→0时,这和的极限总存在,则称此极限为函数f（x，y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分,记作，即.其中f（x,y)叫做被积函数，L叫做积分弧段。
曲线积分的存在性:当f（x,y)在光滑曲线弧L上连续时，对弧长的曲线积分是存在的。
以后我们总假定f(x,y）在L上是连续的。
根据对弧长的曲线积分的定义，曲线形构件的质量就是曲线积分的值，其中μ（x，y）为线密度.对弧长的曲线积分的推广：。
如果L(或Γ)是分段光滑的,则规定函数在L(或Γ)上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和.例如设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2,则规定.闭曲线积分：如果L是闭曲线，那么函数f（x,y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作。
微积分是数学的一个分支，其中有一个重要概念就是曲线积分。
曲线积分是对曲线上的函数进行积分的过程，它在实际应用中具有广泛的意义和重要性。
而格林公式则是曲线积分的一个基本定理，它连接了曲线积分和面积积分之间的关系。
首先，我们来了解一下曲线积分的概念。
在平面坐标系中，考虑一条光滑曲线C，我们要对C上的一个函数f(x, y)进行积分。
曲线积分分为两种类型：第一类曲线积分和第二类曲线积分。
第一类曲线积分是对函数在曲线上的取值进行积分，记作∮Cf(x, y)ds。
第二类曲线积分则是将函数与曲线的切向量进行内积后再进行积分，记作∮Cf(x, y)·dr。
曲线积分的计算方法与路径有关，也与函数在路径上的取值有关。
接下来，我们介绍一下格林公式。
格林公式是曲线积分的一个基本定理，它说明了曲线积分与面积积分之间的关系。
设有一个光滑闭合曲线C，这个曲线将一个有限的区域D围起来。
设有两个偏导数连续的函数P(x, y)和Q(x, y)，则有∮C[P(x, y)dx + Q(x, y)dy] = ∬D(Qx - Py)dA其中，Qx和Py分别表示P和Q对x和y的偏导数，dA表示微小面积元。
利用格林公式，我们可以将曲线积分转化为面积积分的形式进行计算，这样更加方便和简化。
同时，格林公式还可以推广到更高维的情况下，用于计算空间中曲面积分和体积积分。
最后，我们来看一个实际应用中的例子。
假设有一个平面曲线C，它是一个三角形的边界，我们要计算曲线积分∮C(x^2 + y^2)ds。
首先，我们可以找到这个三角形的顶点，并确定它的边界方程。
然后，利用格林公式，将曲线积分转化为面积积分。
计算面积积分后，我们就可以得到曲线积分的结果。
总之，微积分中的曲线积分与格林公式是一个重要的内容。
曲线积分是对曲线上函数的取值进行积分的过程，而格林公式则把曲线积分与面积积分建立起了联系。
通过格林公式，我们可以将曲线积分转化为面积积分进行计算，这样更加方便和简化。
曲线积分与格林公式学习总结王德才201121102340电子商务1133班一、 曲线积分1定义：设L 为xOy 平面上的一条光滑的简单曲线弧,f(x,y)在L 上有界，在L 上任意插入一点列M1,M2,M3…,Mn 把L 分成 n 个小弧段ΔLi 的长度为ds ，又Mi(x,y)是L 上的任一点，作乘积f(x,y)i*ds,并求和即Σ f(x,y)i*ds ，记λ=max(ds) ，若Σ f(x,y)i*ds 的极限在当λ→0的时候存在，且极限值与L 的分法及Mi 在L 的取法无关，则称极限值为f(x,y)在L 上对弧长的曲线积分，记为：∫f(x,y)*ds ；其中f(x,y)叫做被积函数，L 叫做积分曲线，对弧长的曲线积分也叫第一类曲线积分。
2、对弧长的曲线积分：s z y x f d ),,(⎰Γ为第一类曲线积分，其中Γ为曲线，被积函数),,(z y x f 中的点),,(z y x 位于曲线Γ上，即),,(z y x 必须满足Γ对应的方程，222dz dy dx ds ++=是弧微分、弧长元素。
若Γ是封闭曲线，则第一类曲线积分记为s z y x f d ),,(⎰Γ（1）第一类曲线积分的应用： 1）、曲线Γ的长s=s d ⎰Γ2）、若空间曲线形物体的线密度为),,(z y x f ，Γ∈),,(z y x ，则其质量M ds z y x f ),,(⎰Γ=;质心坐标为),,(z y x ，其中Mds z y x zf z Mds z y x yf y Mds z y x xf x ),,(,),,(,),,(⎰⎰⎰ΓΓΓ===;对x 轴的转动惯量ds z y x f z y Ix ),,()(22+=⎰Γ（2）第一类曲线积分的计算方法：若空间曲线Γ参数方程为：⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，βα≤≤t ，则dt t z t y t x ds 222)]('[)]('[)]('[++=，s z y x f d ),,(⎰Γ=⎰βα))(),(),((t z t y t x f t t z t y t x d )]('[)]('[)]('[222++。
例1 计算⎰Γds z y x )(222++，其中Γ：t x cos =，t y sin =，t z =，π20≤≤t解 因为222z y x ++=222sin cos t t t ++=21t +，dt dt t t ds 21)(cos )sin (22=++-=, 所以⎰Γds z y x )(222++)382(22)1(3220πππ+=+=⎰dt t3第一类曲线积分（1）公式：=应用前提:1）曲线L 光滑,方程可以写成为:2）函数在L 上有定义，且连续。
公式变形：若L 为平面曲线，L 方程为，则公式可以写成为：(2)常用计算法：1)对于曲线L 可以写成为参数形式的，可直接套用公式． 2）对于平面曲线，可以用公式的变形．3）计算中，根据图形特点，直接将ds 化为dx,dy 或dz ．如： ,其中：ds=P(x,y,z)dx ,x4）当Ｌ是简单的折线段时，可以将Ｌ分为几个连续线段的和，然后分别求积分，再求和。
（注意：由于折线段不连续，所以这种情况下不能对Ｌ直接套用公式，否则，公式中的将有无意义的点．4、对坐标的曲线积分：⎰Γ++dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(为第二类曲线积分，其中Γ是一条定向曲线，)),,(),,,(),,,((z y x R z y x Q z y x P F =为向量值函数，=r d ),,(dz dy dx 为定向弧长元素（有向曲线元）若曲线Γ的参数方程为：⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，则切向量))('),('),('(t z t y t x =τ ，单位切向量)cos ,cos ,(cos γβατ=e弧长元素ds =dt t z t y t x 222)(')(')('++定向弧长元素=r d),,(dz dy dx =))(',)(',)('(dt t z dt t y dt t x dt t z t y t x ))('),('),('(=ds t z t y t x t z t z t y t x t y t z t y t x t x ))(')(')(')(,)(')(')(')(',)(')(')(')('(222222222++'++++==ds e ds τγβα=)cos ,cos ,(cos⎰Γ++dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(=∙⎰ΓF r d =∙⎰ΓF ds e τ=ds z y x R z y x Q z y x P ⎰Γ++]cos ),,(cos ),,(cos ),,([γβα=ds t z t y t x t z z y x R t y z y x Q t x z y x P ⎰Γ++'+'+'222)(')(')(')(),,()(),,()(),,(上面的等式表明第二类曲线积分可以化为为第一类曲线积分。
例 1 把第二类曲线积分⎰Γ++dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(化成第一类曲线积分，其中Γ为从点)0,0,0(到点)1,22,22(的直线段。
解 方向向量=τ)1,22,22(，其方向余弦22cos ,21cos ,21cos ===γβα， 原式=ds z y x R z y x Q z y x P ⎰Γ++]cos ),,(cos ),,(cos ),,([γβα=ds z y x R z y x Q z y x P ⎰Γ++2),,(2),,(),,(。
5、第二类曲线积分的应用：（1）若一质点从点A 沿光滑曲线（或分断光滑曲线）Γ移动到点B ，在移动过程中，这质点受到力k z y x R j z y x Q i z y x P F),,(),,(),,(++=，则该力所作的功W=∙⎰ΓF r d=⎰Γ++dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(（2）第二类曲线积分的计算方法：1）若空间定向曲线Γ的参数方程b a t t z z t y y t x x →⎪⎩⎪⎨⎧===:)()()(，则⎰Γ++dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(=⎰++ba dt t z t z t y t x R t y t z t y t x Q t x t z t y t x P )]('))(),(),(()('))(),(),(()('))(),(),(([2）若平面定向曲线L 的参数方程：b a t t y y t x x →⎩⎨⎧==:)()(，则⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(=⎰+badt t y t y t x Q t x t y t x P )]('))(),(()('))(),(([例 1 计算⎰Γ-+ydz zdy dx x 2，其中Γ为曲线θθθsin ,cos ,a z a y k x ===上从0=θ到πθ=的一段弧。
解 ⎰Γ-+ydz zdy dx x 2=θθθθπd a a k ]cos sin [0222223⎰--=ππ2333a k -。
6两类曲线积分的联系设曲线上以(t,x),(t,y),(t,z)表示正向切线t 与三正向坐标系的夹角.于是,,,据二类曲线计算公式:;由一类曲线推导得:由曲线方程对称性的公式如下:对于平面时,公式可化为:平面上,设n 为法方向,t 为切向,则cos(t,x)=cos(n,y),cos(t,y)=-cos(n,x)于是:二、格林公式1格林(Green)公式是指出了沿闭曲线的第二型曲线积分与二重积分的关系.下面我们来规定L 的正向:设区域D 是由一条或几条光滑曲线所围成.边界曲线L 的正向规定为:当人沿着L 行走时,区域D 总在他的左边.若与L 的正向相反,就称为负方向.记作–L.定理1 设闭区域D 由分段光滑的闭曲线L 围成,函数),(y x P ,),(y x Q 在D 上具有一阶连续偏导数,则⎰+L Qdy Pdx =⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D dxdy y P x Q (1)其中左端的闭曲线积分是沿边界曲线L 的正方向.公式(1)称为格林公式.证:(i)首先我们证明一个特殊情况:D 既可表示为X-型区域,也可表示为Y-型区域.由D 可表示为X 型区域,不妨设D={(x,y) : a ≤x ≤b, )(1x ϕ≤y ≤)(2x ϕ} (如图)则 ⎰⎰∂∂Ddxdy y P=⎰b a dx dy yy x P x x ⎰∂∂)()(21),(ϕϕ=⎰-badx x x P x x P )]}(,[)](,[{12ϕϕ又 ⎰LPdx =⎰1L Pdx +⎰2L Pdx =⎰badx x x P )](,[1ϕ +⎰badx x x P )](,[2ϕ=⎰--badx x x P x x P )]}(,[)](,[{12ϕϕ因此有 ⎰L Pdx =⎰⎰∂∂-Ddxdy y P同理,D 可表示为Y-型区域,不难证明:⎰LQdy =⎰⎰∂∂Ddxdy xQ将上面两式相加得⎰+L Qdy Pdx =⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D dxdy y P x Q .(ii)对于一般的区域D,即如果闭区域Ｄ不满足上述条件(既可表示为X-型区域,也可表示为Y-型区域),则可以在D 内引进若干条辅助线把D 分成有限个部分闭区域,使每个部分满足上述条件.在每快小区域上分别运用Ｇreen 公式,然后相加即成.如图中D 的边界曲线L,通过作辅助线AE 将L 分为L 1,L 2,同时将区域D 分为D 1,D 2,它们都满足上述条件,于是⎰→++EAL QdyPdx 1=⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂1D dxdyy P x Q ,⎰→++AE L Qdy Pdx 2=⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂D dxdy y P x Q 上面两式相加,并注意到⎰→+EAL 1=⎰1L +⎰→EA,⎰→+AEL 2=⎰2L +⎰→AE,⎰→AE=⎰→-EA.又L=L 1+L 2, D= D 1+D 2, 于是⎰+L Qdy Pdx =⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂D dxdy y P x Q .注:在Ｇreen 公式中,当x Q =, y P -=时,有yPx Q ∂∂-∂∂=1–(–1)=2, 代入公式,得 ⎰+-Lxdy ydx = ⎰⎰Ddxdy 2=A 2 (其中A 为D 的面积)于是 ⎰-=L ydx xdy A 21. (2)[例5] 计算椭圆12222=+by a x 围成的面积.解: 椭圆的参数方程为 t a x cos =, t a y sin =, π20≤≤t . 由式(2) , 得 A=⎰--π20)]sin (sin sin .cos [dt t a t b t b t a=⎰+π2022)sin (cos 2dt t t ab =ab π. 三、平面曲线积分与路径无关的条件1、第二型曲线积分当积分路径起点,终点固定时,它的数值一般与积分曲线有关.如:⎰-++Ldy x y dx y x )()(中,当L 的端点固定在(1,1)点和(4,2)点时,若L 取不同的路径,所得到的积分值不一样.这说明积分值与所取的积分路径有关.然而,存在着另一种情况,即积分值与积分路径无关,只与起点和终点有关.亦即对任意两条以A 为起点,B 为终点的曲线1L 和2L ,有⎰+1L Qdy Pdx =⎰+2L Qdy Pdx .定理: 设Ｇ是一个单连通的开区域,函数),(y x P ,),(y x Q 在Ｇ内具有一阶连续偏导数,则下述命题是等价的 1)yPx Q ∂∂=∂∂在D 内恒成立; 2) 0=+⎰LQdy Pdx 对G 内任意闭曲线L 成立;3)⎰+LQdy Pdx 在G 内与积分路径无关;4) 存在可微函数),(y x u u =,使得Qdy Pdx du +=在G 内恒成立. 证 1)⇒2). 已知yPx Q ∂∂=∂∂在G 内恒成立,对G 内任意闭曲线L,设其所包围的闭区域为D,由格林公式=+⎰LQdy Pdx ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D dxdy y P x Q 00==⎰⎰D dxdy2) ⇒3).已知对G 内任一条闭曲线L,0=+⎰LQdy Pdx . 对G 内任意两点A 和B,设1L 和2L 是G 内从点A 到点B 的任意两条曲线(如图),则-+=21L L L 是G 内一条封闭曲线,从而有⎰+=LQdy Pdx 0=⎰+1L Qdy Pdx +⎰-+2L Qdy Pdx 。
