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塑性应力应变关系

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塑性理论课件-塑性变形时的应力应变关系

塑性理论课件-塑性变形时的应力应变关系
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3、如果從初始狀態先加純剪應力通過 屈服點B到達D點，這時的應力和應變見表 5.1的第3行。
4、如同樣經後繼屈服軌跡裏面的任意 路線變載到F點，則應力應變見表5.1第4行。
5、如果從初始狀態沿真線OF`F到達F 點，則應力和應變見表5.1第5行，這時主軸 重合。
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上述的第1、3、5種加載路線就是簡單加載。 由表中可看出，同樣的一種應力狀態σf、τf，由於 加載路線不同，就有好幾種應變狀態（如C、D點 應變）；同樣，一種應變狀態（如εc），也可有 幾種應力狀態（如C、F點應力），而且應力應變 主軸不一定重合。從上述簡單的例子中，我們可 以看到，離開加載路線來建立應力與全量塑性應 變之間的普遍關係是不可能的。因此，一般情況 下只能建立起應力和應變增量之間的關係爭然後 根據具體的加載路線，具休分析。另一方面，我 們從上述例子中也看到，在簡單加載的條件下， 應力和應變的主軸重合，而且它們之間有對應關 係，因此可以建立全量理論。
下一頁 返回
另一方面，從工程角度來看，對於一 些繁雜的問題，那怕是能給出定性結果也 很可貴，具體的定量問題可以從實驗中進 一步探索（由於如摩擦條件等數學模型還 未給出，要精確計算也很難辦到）。鑒於 壓力加工理論中關於成形規律闡述上存在 的一些問題，吸取了增量理論及全量理論 的共同點，提出了應力應變順序對應規律， 並使該規律的闡述逐漸簡明和便於應用。 現簡述如下：
返回
5.2增量理論（流動理論） 一、列維-密席斯方程 二、普朗特-勞斯方程
返回
一、列維-密席斯方程
列維-密席斯方程適用條件：
（1)材料是理想剛塑性材料，即彈性應變增 量為零，塑性應變增量就是總應變增量；
（2）材料符合密席斯屈服準則，即 s

第4章 塑性应力应变关系(本构方程)

第4章 塑性应力应变关系(本构方程)

强化材料卸载：
f ( ij ) 0,
f df d ij 0 ij
4.3 增量理论
在塑性变形时，全量应变和加载历史有关，要建立普遍的全量应变与应力 之间的关系是很困难的，所以主要研究应力和应变增量或应变速率之间的关系 。这种关系叫做增量理论，其中包括：密席斯方程、塑性流动方程和劳斯方程 。前两者适用于理想刚塑性材料，后者适用于弹塑性材料。
x

y 4G2 x y
2
2
2 2 6 xy 4G 2 xy 6
2 2 2 2 2 2 xy yz xz 等式左边为： x y y z z x 6
1 等效应力为：
1 i 2 1
2 2 2 yz xz x y y z z x 6 xy 2 2 2
则等效应变与弹性应变强度关系为： 当 =0.5 时
3 i = 2(1 )

i
弹性应力应变关系特点： 1.应力与应变成线性关系 2.弹性变形是可逆的，应力应变关系单值对 应 3.弹性变形时，应力球张量使物体产生体积 变化;物体形状的改变只是由应力偏张量引 起的。 4.应力主轴与应变2G
同理可得：
y m
1 - E 1 - E
x
z m z
m


1 y y 2G
1 z z 2G

m
x

1 x 2G
1 y y 2G 1 z z 2G
d
2 2 2 x d y d y d z d z d x 6 d xy d yz d xz 2 2 2

第二章 2.4金属塑性加工原理-塑性应力-应变关系

第二章 2.4金属塑性加工原理-塑性应力-应变关系
边缘， 边缘，x=w/2处， 处
σ y = 2K
2.5 塑性变形力的工程解法
（7）求变形力 ）求变形力F
F = ∫ σ y dA = 2l ∫
F
w 2 0
m w [2 K [1 + ( − x) ]]dx h 2
mw = 2 Klw(1 + ) 4h 4h
（8）求单位变形力 ）
F mw p= = 2 K (1 + ) lw 4h
2 塑性应力应变关系（本构关系） 塑性应力应变关系（本构关系）
特点： 特点：
（1）应力与应变之间的关系是非线性的，因此，全 应力与应变之间的关系是非线性的，因此， 量应变主轴与应力主轴不一定重合。 量应变主轴与应力主轴不一定重合。 （2）塑性变形时可以认为体积不变，即应变球张量 ）塑性变形时可以认为体积不变， 为零，松泊比ν＝ 为零，松泊比 ＝ 0.5 。 （3）对于应变硬化材料，卸载后再重新加载时的屈 ）对于应变硬化材料， 服应力就是卸载时的屈服应力， 服应力就是卸载时的屈服应力，比初始屈服应力 要高。 要高。 （4）塑性变形是不可逆的，与应变历史有关，即应 ）塑性变形是不可逆的，与应变历史有关， 应变关系不再保持单值关系。 力－应变关系不再保持单值关系。应力与应变不能 一一对应，与加载历史和加载路径有关。 一一对应，与加载历史和加载路径有关。
矩形工件的平锤压缩
2.5 塑性变形力的工程解法
主应力法的应用实例： 主应力法的应用实例： 平砧间长矩形板镦粗（直角坐标平面应变问题解析 直角坐标平面应变问题解析） 平砧间长矩形板镦粗 直角坐标平面应变问题解析） （1）简化为平面变形问题，即板坯长度方向几乎没有延伸， ）简化为平面变形问题，即板坯长度方向几乎没有延伸， 仅在x方向和 方向有塑性流动。 方向和y方向有塑性流动 仅在 方向和 方向有塑性流动。 （2）切取单元体，建立基元体的平衡微分方程 ）切取单元体，

材料力学中的应力与应变关系

材料力学中的应力与应变关系

材料力学中的应力与应变关系引言：材料力学是研究材料在外力作用下的力学性能和变形规律的学科，应力与应变是材料力学中最基础的概念之一。

应力与应变关系的研究对于材料的设计、工程应用以及材料力学理论的发展具有重要意义。

本文将从宏观和微观两个角度出发，探讨材料力学中的应力与应变关系。

一、宏观角度下的应力与应变关系宏观角度下的应力与应变关系是指在宏观尺度上，材料在外力作用下的力学响应。

我们可以通过引入应力和应变的概念来描述材料的力学行为。

1. 弹性应力与应变关系弹性应力与应变关系是指材料在弹性阶段内，应力与应变之间的关系。

弹性材料在受力后能够恢复到原始形状，且应力与应变呈线性关系。

根据胡克定律，应力与应变之间的关系可以表示为：σ = Eε其中，σ表示应力，E表示弹性模量，ε表示应变。

弹性模量是材料的一种力学性能参数，反映了材料对外力的抵抗能力。

2. 塑性应力与应变关系塑性应力与应变关系是指材料在超过弹性极限后，发生塑性变形时的应力与应变关系。

塑性材料在受力后会发生永久性变形，应力与应变之间不再呈线性关系。

根据真应力与真应变的定义，塑性应力与应变关系可以表示为：σ' = Kε'其中，σ'表示真应力，K表示材料的强度系数，ε'表示真应变。

强度系数是衡量材料塑性变形能力的指标。

3. 强化应力与应变关系强化应力与应变关系是指材料在受到强化处理后，应力与应变之间的关系。

强化处理是通过改变材料的晶体结构或添加外部组分来提高材料的力学性能。

强化应力与应变关系的表达式与具体的强化方式有关，可以通过试验或模型计算得到。

二、微观角度下的应力与应变关系微观角度下的应力与应变关系是指材料在微观尺度上，原子或分子之间的相互作用导致的力学响应。

我们可以通过分子动力学模拟或统计力学方法来研究材料的微观力学行为。

1. 分子动力学模拟分子动力学模拟是一种通过求解牛顿运动方程来模拟材料微观力学行为的方法。

通过分子动力学模拟，我们可以得到材料的应力与应变关系，并研究材料的力学性能和变形机制。

第五节塑性成形时应力应变关系-2013年编辑

第五节塑性成形时应力应变关系-2013年编辑

21
由于加载路线不同，同一种应力状态可以对
应不同的应变状态; 而且应力与应变主轴不一定重合。
同一种应变状态，也可以对应几种应力状态，
因此，一般情况下只能建立起应力和应变增 量之间的关系，仅在简单加载的条件下，应力主
轴与应变主轴重合，才可以建立全量关系。
22
τ D B I
初始屈服轨迹
F ( f , f )
及
x y y z z x xy yz zx 1 x y y z z x xy yz zx 2G
应 力 应 变 关 系
上式表明：应变莫尔圆与应力莫尔圆几何相似，且成 正比。
13
弹性变形时的应力应变关系的特点
20
清是哪条路径下的σ-ε关系。
加载路线A→C，应力为σc ，而应变为ε1=εc ， ε2=ε3 = -εc/2。 若卸载至E点，由于塑性变形不可逆，E点应变仍然为C 点应变，再施加切应力E→F，此时应力为σF、τF，而F 点应变仍然为C点应变，因此，F点C点应变状态相同(即 ε1=εc，ε2=ε3=-εc/2。)，而应力不同，不一一对应。
§应力与应变完全成线性关系。 §应力主轴与全量应变主轴重合
§弹性变形是可逆的，与应变历史 （加载过程无关），应力与应变 之间存在统一的单值关系.
§弹性变形时，应力张量使物体产 生体积变化，泊松比小于0.5.
1 2 m m 0,即： 1 2 0， 0.5 E
14
5.2
同理

'
y
1 ' y 2G
' ij

'
z
1 ' z 2G

第十七章 塑性应力应变关系(本构关系)

第十七章 塑性应力应变关系(本构关系)

• 广义胡克定律的比例式：
x y y z z x xy yz zx 1 x y y z z x xy yz zx 2G
弹性应力应变关系的特点
• 应力与应变完全呈线性关系，应力主轴与应变主 轴重合。 • 弹性变形是可逆的，应力与应变单值对应。 • 弹性变形时，应力球张量使物体产生体积变化， 泊松比υ＜0.5

' y

z

' z

xy
xy

yz
yz

zx
zx
d
d 3 2

x y
z x d x y y z z x 1 2 2 3 3 1 d 1 2 2 3 3 1
• 流动理论是描述材料处于塑性状态时，应 力与应变增量或应变速率之间关系的理论。 该理论针对是加载过程的任一瞬间，认为 应力状态确定的不是全量应变，而是该瞬 时的应变增量，从而撇开了加载路线和加 载历史的影响。
Levy—Mises方程
' ' ij ij d
x

' x

y
第五节 塑性应力应变关系（本构关系）
• 一、弹性应力应变关系———Hooke’s Law 对于各向同性材料，有广义虎克定律：
1 1 x y z ; xy xy E 2G 1 1 y y x z ; yz yz E 2G 1 1 z z x y ; zx zx E 2G
• 弹塑性
塑性应变

弹性与塑性应力应变关系

弹性与塑性应力应变关系

02
弹性应力应变关系
弹性应力应变定义
弹性应力
物体受到外力作用时，在内部产生的抵抗 力量。
弹性应变
物体在弹性应力作用下发生的形状变化。
弹性阶段
在弹性应力范围内，物体的应力和应变呈 线性关系，即应力与应变成正比。
胡克定律
胡克定律表述：在弹性范围内，物体的应力和应变满足线性关系，即应 力=弹性模量×应变。
多尺度与跨学科 研究
未来研究可以进一步探索不 同尺度下材料的应力应变行 为，从微观到宏观，深入了 解材料的内在机制。此外， 跨学科的研究方法将有助于 更全面地理解材料的力学性 能，推动相关领域的发展。
实验与数值模拟 的结合
结合实验与数值模拟的方法 ，可以更准确地预测材料的 应力应变行为。通过建立更 精确的数学模型和实验装置 ，可以进一步揭示材料的力 学特性，为工程应用提供更 有力的支持。
应变软化
在某些情况下，随着应变的增加，材 料的屈服强度和极限强度会降低，表 现出应变软化的现象。这种现象通常 出现在高温或长时间变形条件下。
05
实际应用
工程材料选择
弹性材料
在工程中，选择具有高弹性模量和良好稳定性的材料，以确保结构在承受载荷 时具有足够的刚度和稳定性。
塑性材料
对于需要承受较大塑性变形的结构，应选择具有良好塑性和韧性的材料，以避 免脆性断裂和灾难性失效。
应用领域
弹性与塑性应力应变关系在工程 领域中具有广泛的应用价值，如 结构分析、材料设计、机械零件 的强度校核等。了解材料的应力 应变关系有助于合理设计构件， 提高结构的稳定性和安全性。
对未来的展望
新材料与新技术 的应用
随着科技的发展，新型材料 和先进技术的应用将进一步 拓展弹性与塑性应力应变关 系的研究领域。例如，智能 材料、纳米材料等新型材料 的出现，将为该领域的研究 提供更多可能性。

工程塑性理论应力应变关系

工程塑性理论应力应变关系

2
E
m
y
m
1 E
y
z
x
1 2
E
m
z
m
1 E
z
x y ｛｝
1
2
E
m
x m , y m ,
x y
x m , y m ,
xy y z
xyzymmmm
,
z z m
z
z
m
Gz 2z1Em
x
1 2G
x
,
y
1 2G
y
,
z
1 2G
z
,
xy
yx
1 2G
xy
即应变增量张量就是应变增量偏张量。
在上述假设基础上，可假设应变增量与 应力偏张量成正比，即
d ij ij d
d x d y d z d xy d yz d zx d x m y m z m xy yz zx
式中：dλ—正的瞬时常数，在加载的不同 瞬时是变化的，在卸载时，dλ=0。
d ij ij d
d x x m d
x
x
y
3
z
d
2 3
d
x
1 2
y
z
d x
2 3
d
x
1 2
y
z
,
d y
2 3
d
y
1 2
z
x ,
d z
2 3
d
z
1 2
x
y
,
d xy
xy
d
d yz yzd
d zx zx d
将上式正应变两两相减，并写出切应变公式：
yz
2G
zx

3-5 应力应变关系(本构关系)

3-5 应力应变关系(本构关系)

例题：
有一立方块金属，分别在x、y和z方向 上作用200MPa、 200MPa和250MPa的压应 力，试求金属块的体积变化率（设E＝ 2.07×105MPa，ν＝0.3）
金属塑性成形原理
z 250MPa
200MPa
x
200MPa
y
解：
各方向应力为：σx＝－200MPa、 σy ＝－200MPa、 σz ＝－250MPa，
1 2G
ij
该式表明：应变偏张量与应力偏张量成正比，表明物体形状的改变只是
由应力偏张量引起的。
金属塑性成形原理
所以，广义虎克定律可写成张量形式：
ij
ij
ijm
1 2G
ij
1 2
E
ij m
广义虎克定律还可以写成比例及差比的形式
比例形式：
x y z yz zx xy 1 x y z yz zx xy 2G
金属塑性成形原理
3.5： 金属塑性变形的力学基础 ——本构关系
金属塑性成形原理
内容提纲
一、弹性变形时应力应变关系 二、塑性变形时应力应变关系的特点 三、增量理论 四、全量理论 五、应力应变顺序对应规律 六、屈服椭圆的应力分区及与成形时工作尺寸变化关系 小结
金属塑性成形原理
第五节 塑性变形时应力应变关系（本构关系）
[( x
y )2
( y
z )2
( z
x )2
6(
2 xy
2 yz
2 xz
)]
E i
i 称为弹性应变强度，且：
i
1
21
[பைடு நூலகம் x
y )2
( y
z )2
( z
x )2

塑性应力应变关系

塑性应力应变关系

z
z
ϕLeabharlann ij m(7.2—13) (7.2—14)
ε = ϕ ⋅τ ,
xy
xy
ε = ϕ ⋅τ ,
yz
yz
ε zx = ϕ ⋅τ zx
如果认为在整个变形过程中材料不可压缩，泊松比ν = 0.5 ，则 K 0 = 0 ，式(7.2—13) 简化为：
ε ij = ϕ (σ ij − δ σij m ) = ϕ ⋅ sij
（7.1—10）
可见，服从广义胡克定律的各向同性线弹性材料，其应力莫尔圆与应变莫尔圆在几何
上是相似的，应力罗代参数 µ σ 等于应变罗代参数 µ ε 。等效应力与等效应变之间也有简 单关系。由等效应力定义式得：
σ= 1 2
(σ 1
−σ
)2
2
+ (σ
2
−σ 3)2
+ (σ
3
−σ1)2
= 2G 2
(ε 1 − ε 2 ) 2 + (ε 2 − ε 3 ) 2 + (ε 3 − ε 1 ) 2
+
eP ij
+ δ ij ε m
=
1 2G
s ij
+
φ 2G
s ij
+ 1− 2ν E
δσ ij m
=
1+φ 2G
s ij
+ 1− 2ν E
δ ijσ m
(7.2—12)
令 1+φ 2G
=ϕ
， 1− 2ν E
=
K 0 ，式(7.2—12)可改写成汉基理论的常用表达式：
ε ij = ϕs ij + K 0 δ ij σ m
求解小弹塑性变形问题，等同于求解某一非线性弹性力学问题，因此获得了广泛的应用。

弹塑性力学 应力和应变之间的关系

弹塑性力学 应力和应变之间的关系

我所认识的应力和应变之间的关系在单向应力状态下，理想弹性材料的应力和应变之间的关系是满足胡克定律的一一对应的关系。

在三维应力状态下描述一点处的应力状态需要9个分量，相应的应变状态也要用9个应变分量来表示。

对于一个具体的理想弹性体来讲，如果在三维应力状态下，应力与应变之间仍然有线性一一对应关系存在，则称这类弹性体为线性弹性体。

所谓各向弹性体，从力学意义上讲，就是弹性体内的每一点沿各个方向的力学性质都完全相同的。

这类线性弹性体独立的唐兴常数只有两个。

各向同性体本构关系特点：1.主应力与主应变方向重合。

2.体积应力与体积应变成比例。

3.应力强度与应变强度成比例。

4.应力偏量与应变偏量成比例。

工程应用中，常把各向同性弹性体的本构方程写下成11()11()11()x y z xy xy y x z yz yz z y x xz xz E G E G E G εσμσσγτεσμσσγτεσμσσγτ⎧⎡⎤=-+=⎣⎦⎪⎪⎪⎡⎤=-+=⎨⎣⎦⎪⎪⎡⎤=-+=⎪⎣⎦⎩，式中分别为弹性模量、泊松比和剪切模量。

在E G μ、、这三个参数之间，实际上独立的常量只有两个，它们之间存在关系为()21E G μ=+。

屈服条件:弹性和塑性的最主要区别在于变形是可以恢复。

习惯上，根据破坏时变形的大小把工程材料分为脆性材料和塑性材料两类。

对于加载过程如图1OA: 比例阶段；线性弹性阶段AB: 非弹性变形阶段 BC ： 初始屈服阶段 s σσ≤ CDE ：强化阶段；应变强化硬化阶段EF ： 颈缩阶段；应变弱化，软化阶段s σσ≥ C 点为初始屈服点具有唯一性。

在应力超过屈服应力后，如果在曲线上任意一点D 处卸载，应力和应变之间将不再遵循原有的加载曲线规律，而是沿一条接近平行于OA 的直线DO ’变化，直到应力下降为零，这时应变并不为零，即有塑性应变产生。

如果用OD ’表示总应变ε，O ’D ’表示可以恢复的弹性应变eε，OO ’表示不能恢复的塑性应变p ε，则有e p εεε=+，即总应变等于弹性应变加上塑性应变。

工程塑性理论应力应变关系

工程塑性理论应力应变关系



2 zx
1 2
1 2 2 2 3 2 3 1 2
e
2 3
x y
2
y z
2
z x
2

6

2 xy

2 yz


2 zx
2 3
1 2 2 2 3 2 3 1 2
x
y

,
xy

3 2
e e
xy

y z

3 2
e e

yz

zx

3 2
e e
zx


与粘性流体的牛顿公式相似，故称为塑性流动方 程。Levy-Mises方程实际上是塑性流动方程的增量 形式。若不考虑应变速率对材料性能的影响，二者 是一致的。

1 2G

ij
x

1 2G
x
m

1 2G

x


x
y
3

z


1 3G


x
1 2
y
z

E 3G
x

1 E

x
1 2
y
塑性应力应变关系
1 弹性应力应变关系 2 塑性应力应变关系 3 等效应力—等效应变曲线的单一性 4 等效应力—等效应变曲线的简化模型
塑性力学的基本方程与弹性力学基本方 程的差别主要表现在应力应变关系上。
塑性变形时，应力不仅与应变有关，还 与变形历史、材料微观结构有关。
通常将塑性变形时的应力应变关系称为 本构关系，其数学表达式称为本构方程，也 叫做物理方程。

塑性变形时的应力应变关系

塑性变形时的应力应变关系

x
1 2
y z
;
xy xy
y
2
3
y
1 2
z
x ;
yz yz
z
2 3
z
1 2
x y
;
zx zx
例3-10 塑性应力应 变关系应用
受内压薄壁圆筒屈服，
半径r ，内压p，材料屈服应力S ，求应变增量各分量的比值 。
p 0;
p2r 2t
pr ; t
z
p r2 2r t
d ?
dx d y
2
x y
2 d 2
d y dz
2
y z
2 d 2
d z d x 2 z x 2 d 2
6d xy2 6 xy2d 2 6d yz2 6 yz2d 2 6d zx2 6 zx2d 2
dx dy
2
d y dz
2
dz dx
2 6 d xy2 d yz2 d zx2
2 yz
2 zx
1 E
2 1
x y
2
y z
2
z x
2 6
2 xy
2 yz
2 zx
i
1
2 1
x y
2
y z
2
z x
2 6
2 xy
2 yz
2 zx
应变强度
i
2
3
1
Ei
弹性变形时应力应变关系的特点
应力与应变成线性关系，是一一对应的关系；
弹性变形是可逆的，加载与卸载的规律完全相同；
材料是理想刚塑性材料，即 diej 0 ，dij dijp ；
材料符合密席斯屈服准则，即 S ；
每一加载瞬间，应力主轴与应变增量主轴重合； 塑性变形时体积不变，即dx dy dz d1 d2 d3 0 和 dij dij； 应变增量与应力偏量成正比（列维－密席斯方程）。

本构方程-塑性应力与应变关系

本构方程-塑性应力与应变关系

x y z
y ); z ); x);
xy
1 2G
xy
yz
1 2G
yz
zx
1 2G
zx
材料全量塑性本构关系
➢ 再利用等效应力和等效应变公式
1 2
x y
2 y z
2 z x
2
6
2 xy
2 yz
2 zx
2
3
( x
y )2
(
y
z
)2
( z
x )2
6(
2 xy
2 yz
➢应力与应变之间是线性关系
材料增量塑性本构关系
➢ 在塑性变形范围内，材料应力与应变的关系是 非线性的，与加载历史或应变路径有关。因此 用增量理论近似地描述加载历史和复杂的应变 路径
➢ 由于塑性变形比较复杂，历史上有许多学者提 出了各种不同的本构理论
➢ 应用广泛的有Levy-Mises理论和PrandtlReuss理论
d x d y
2
d y d z
2
d z d x
23 2
d
2 xy
d
2 yz
d
2 zx
材料增量塑性本构关系
➢ Levy—Mises理论 再利用等效应力公式
1 2
x y
2 y z
2 z x
2
6
2 xy
2 yz
2 zx
整理后可得瞬时比例系数d
d 3 d 2
材料增量塑性本构关系
❖ 理想弹塑性材料模型
❖ 理想刚塑性材料模型 ❖ 幂指数硬化（强化）材料模型
❖ 刚塑性非线性硬化材料模型 ❖ 弹塑性线性硬化材料模型 ❖ 刚塑性线性硬化材料模型
等效应力——等效应变简化模型

《弹塑性力学》第四章 应力应变关系(本构方程)

《弹塑性力学》第四章 应力应变关系(本构方程)
V V
ij ij dV WdV U
V V
W ijij ——W为 ij的函数。
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11
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的 本构关系
因为W只取决于弹性体的初始应变状态和最 终应变状态，与变形过程（加载路线）无关， 所以W 为它的全微分
本构关系
时刻达到 t +t：位移有增量
应变增量 外力功增量 ：
ij ei e j
A
V
u ui ei
f udV F udS
S
8
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§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的
本构关系
A

V
V
f udV F udS
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22 33 23 31 12
T
17
§4-2 线弹性体的本构关系
2.1 各向异性材料
{}=[c]{}
C11 C12 C C 21 22 C C 61 C 62
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C16 C 26 C 66
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的
本构关系
1.1 应变能U 和应变能密度 W（比能）
如果弹性体的外力的施加是缓慢进行的，物 体无动能，物体发生变形，产生变形能，也 无热能耗散，则根据能量守恒，外力实功转 化成应变能贮存在弹性体中。
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4
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的
本构关系
由于 ij = ji ，kl = lk
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§4-2 线弹性体的本构关系

第十九章 塑性应力—应变关系本构方程

第十九章 塑性应力—应变关系本构方程

第十九章塑性应力—应变关系本构方程塑性变形过程中应力与应变之间的函数关系称为本构方程，也叫做物理方程。

塑性本构方程从本质上反映了物体发生塑性变形时的特征，这一方程和屈服准则都是求解塑性成形问题的基本方程。

第一节弹性应力一应变关系在单向应力状态下，弹性变形时应力与应变之间的关系，由虎克定律表达，即对于一般应力状态下各向同性材料的应力与应变间的关系，则由广义虎克定律表达，即式中，E为弹性模量；为泊松比；G为切变模量。

三个弹性常数E，G间有以下关系若将式（19-1）中的三项相加整理后可得式(19—3)表明，物体弹性变形时其体积变化率与平均应力成正比，这说明应力球张量使物体产生弹性的体积改变。

若将式(19—1)中的前三式分别减去式(19-3)，例如式(19—6)表示应变偏张量与应力偏张量成正比，即表明物体形状的改变只是出应力偏张量引起。

由式(19—3)和式(19—5)，广义虎克定律可写成张量形式根据式(19—5)可推导出复杂应力状态下应力强度与弹性应变强度之间的关系。

因等效应力为根据式（19-5）可得将上式代入等效应力公式，得式(19—14)表明，在弹性变形范围内，应力强度与弹性应变强度成正比，比例系数仍为E。

可对应相同的应变状态。

同理，只要通过后继屈服轨迹CD里面的任一加载路线(如OACJF)到达F点，情况也是如此。

以上例子充分说明塑性变形时应力与应变之间的关系不是单值关系，而与加载路线(加载历史)有关。

因此，离开加载路线来建立应力与全量塑性应变之间的普遍关系是不可能的。

塑性变形时应力与应变关系的特点可总结如下：(1)应力与应变之间的关系是非线性的，因此，全量应变主轴与应力主轴不一定重合。

(2)塑性变形时可以认为体积不变，即有(3)对于等向强化的应变硬化材料，卸载后再重新加载时的屈服应力就是卸载时的屈服应力，比初始屈服应力要高。

(4)塑性变形是不可逆的，与应变历史有关，即应力一应变关系不再保持单值关系。

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2 加载条件
单轴情况
f 0, 且 f 0, 且 f 0, 且
多轴情况
f d ij 0时，加载 ij f d ij 0时，中性变载 ij f d《0时，卸载 ij ij
对理想塑性材料，则为
f f 0, and d ij 0 ij f f 0, and d ij 0 ij
5 塑性应力应变关系的推导
有
0
p ii
（塑性体积应变为零）
令
f f n / σ σ
（屈服面外法向单位向量）
f f f f f : σ σ σ ij ij
n :n 1
f d nij σ
p ij
（流动法则）
作为塑性变形的度量，引进等效塑性变形及其增量
加载或中性变载
卸载
f<0 and f>0是什么？
3 强化模型
各向同性强化：假设屈服面均匀膨胀，没有崎 变和移动，此时屈服面可表达为
f ( ij , k ) f ( ij ) k ( ) 0
强化模型实际上表示后继屈服面的变化规律， 即如何随硬化参数而变。强化参数可以取累积 塑性变形。
e d ij
1 1 d ij dsij d kk ij dsij 2G 9K 对刚塑性材料，不计弹性部分，为 d ij dsij 此为Levy Mises方程
d的确定 理想塑性
对理想塑性J 2材料，有 2 2 2 sij sij e2 y (1) 3 3 两边求导，有 2 sij dsij 0 (2) 偏应变增量可写为 1 dsij dsij (3) 2G 上式两边同乘以sij并求和有 deij sij deij 1 sij dsij dsij sij dsij sij 2G ( 4)
注意： 1、应力增量d ij 可由应变增量d ij唯一确定； 2、对于一个给定的应力增量d ij，只有在待定因子 d范围内才能定义应变增量d ij，即 C ep 的逆矩阵不存在。

d的确定 各向同性强化
对加功强化，屈服函数为 f [ ij , k (W p )] 0 式中W p为塑性功, W p ij d ijp。 对应变强化，屈服函数为 f [ ij , k ( p )] 0 式中 p为等效塑性应变，其定义为 d p 2 p p deij deij 3 (5)
where
3J 2 eq is the Mises equivalentstress
固上式表示Y等于mises 等效应力。进一步 假设Y只依赖于累积塑性变形，且
Y Y ( )
p
为材料函数，可由单向拉伸试验确定（见后）
f 有 sij ij 固d ijp deijp dsij 对弹性部分，假设为线性各向同性 1 1 dsij d kk ij 2G 9K 总的应力应变增量关系为
2 i E d12 3(1 2 ) 9 i d 33
i 3 i
例题
d ij 。请用 J 2 流动理论（各向同性强化）求出相应的塑性应变增量 d ijp
。（设 E p E p ( eq ) 是已知的）。
p 设一试件先受单向拉伸进入塑性，到达一定的塑性应变 p 11 ，然后施加一应力增量
塑性应力应变关系
存在一个屈服条件 有一个加载条件 有一个强化模型 流动法则
1 屈服条件
f ( ij , Y1 ,, Yn ) 0
Y1,….,Yn依赖于材料的当前状态，为硬化 参量，可以是标量，也可以是张量，如累 积塑性变形，累积塑性功等。上式决定应 力空间中的一曲面，称为后继屈服面。当 式中硬化参量都为零时，叫初始屈服面。
3 强化模型
随动强化：假设在塑性变形过程中，后继屈服面在应力 空间作刚体移动而没有转动，因此初始屈服面的大小、 形状和方向仍然保持不变。
f ( ij , ij ) f 0 ( ij ij ) k 0
式中的张量称为背应力张量，与塑性变 形有关；而k为常数。
4 流动法则
1、J 2流动理论 d ijp 3 nij nkl d kl 2E p
3 1 3 1 sij sij 2Y 2 2 1 1 因为skl 3 3 有 式中nij
p d 11
以下只讨论应变强化情形
有deijp deijp d2 sij sij 3 2 (d p ) 2 e2 d2 2 3 固d为 d 3 d p 2 e (8)
( 6)
利用式（ ）和式（5），上式可写为 1 (7 )
对J 2材料，应变强化参数为 sij sij k ( p ) 固有效应力 e ( 3 sij sij )为 2
给定一个应力增量，各塑性应变分量的增量的比率即 塑性应变增量的方向由流动法则确定，该法则可由 Drucker公设推出
f d d ij
p ij
此为相关联的流动法则，它表明塑性应变增量的方向与屈服 面外法线一致。 塑性应变增量的大小则由一致性条件确定：塑 性变形时，应力点停留在屈服面上
i 3G i
于是胡克定律可用下面等价形式描述：
kk
1 2 kk E 3 eij i sij 2 i
i 3G i
形变理论是弹塑性小变形理论的简称。它仅适应简单 加载（在加载过程中一点的应力各分量是按比例增长 的）。但它在数学上简单，而且在比例加载下通常可 得到满意结果。 形变理论假定：（1) 体积变形是弹性的；（2）在物 体所有各点，应力偏量与应变偏量平行（也即塑性应 变的方向与应力偏量平行，注意与增量理论的区别）； （3）应力强度与应变强度有确定的关系（从而可由单 轴拉伸标定，可把单向拉伸图形作为它们的曲线）； （4）卸载是弹性的 1 2 kk kk E i i eij sij
设Y以下列演化方程依赖于累积塑性变形 dY Y ' ( )d 有 1 f d : dσ f Y ' σ Y
p p p
p
从而有 1 f : dσ h σ
式中 1 3 1 h 2 f f Y' σ Y
最后有
这一关系只适应硬化材料，可由给定的应力增量求解应变增量。 对软化材料，给定应力增量，不能判断是加载还是卸载，如 下图单轴拉伸所示。因此，对软化材料必须在应变空间中讨 论，即给定应变增量，求解应力增量。
2 sx 3G 2 y
sx s y
2 sy
sx sz s y sz s z2
s x s xy s y s xy s z s xy
2 s xy
s x s yz s y s yz s z s yz s xy s yz
2 s yz
C
p
对称
对称
s x s zx s y s zx s z s zx s xy s zx s yz s zx 2 s zx
用矩阵表示为
d [C ep ]d T 其中d d x d y d z d xy d yz d zx d d x d y d z d xy d yz d zx T
[C ep ] [C p C ]
4 K 3 G [C ] 2 K G 3 4 K G 3 2 K G 3 2 K G 3 4 K G 3 0 0 0 0 0 0 0 G G G 0 0
6、增量理论弹塑性矩阵通式
7、A的确定
A
F T F K
1、如已知F与K之间的显示表达式，A就是一个确定的 量。 2、对金属材料，M ises屈服准则，等向强化材料，A 就是单轴拉伸应力与塑性应变曲线的斜率。
8 J2 理论矩阵显示表达式
对J2理论：
逆关系：用应变增量表示应力增量
ep d ij Cijkl d kl ep Cijkl Cijkl * H ij Cijmn
1 * H ij H kl H g ( g为塑性势） mn C pqkl
f g H h Cijkl ij kl
H kl
f pq
9 形变理论
弹性应力应变关系
3 ij m ij 2G E 1 2 m m E 1 eij sij , sii 0, 只有5个独立 2G
ij
i 3J 2 i
有
3 sij sij , 应力强度 2
2 eij eij ，应变强度 3
Cijkl ij kl ( ik jl il jk )
逆关系适应范围更广，不但适应理想塑性（h=0)，也适应应变软 化材料，由应变增量的方向判断加载或卸载。
6 J2 理论（Prandtl-Reuss增量方程）
Y2 1 Y2 f ( ij , Y ) J 2 sij sij 0 3 2 3
Dep
d11 d 12 d12 0 0 0 d11 d12 0 0 0 d11 0 0 0 d 33 0 0 d 33 0 sym d 33
D
ep
where d11
4 E i 3(1 2 ) 9 i
此式的逆关系存在，见后面的矩阵表达式
H‘的确定
H '
d e
p
d 1 1 1 E p Et E
Ep
为塑性模量，与累积塑性变形有关
由此式，可由图1－5（a)求塑性模量
用矩阵表示
1、总应变分解 2、弹性应变增量与应力增量关系 3、塑性应变增量由流动法则确定
4、由一致性条件求λ
5、增量应力应变关系
( )
下面说明的求法： 有eij eij 2 sij sij 3 i 固有＝ sij sij 2 i eij eij