弹塑性力学_第9章 弹性与塑性应力应变关系N

ζ ζ A’
T
Pl P l0 l T (1 ) A0l0 A0 l0
真实应力与应变曲线做法
B O‘
A
ε 1
§9-1 拉压问题的应力应变曲线
5、真实应力与对数应变问题 • 压缩试验----减小压头横向摩擦阻力----润滑 • 工程应变 H 0 H 1 H
• 弹性体积变化比能
1 1 1+ 2 + 3 W 0V ( 1+ 2 + 3 ) V 2 2 3 1-2 = ( 1+ 2 + 3 )2 6E
§9-4 Teresca和Mises屈服条件
W
1 ( 1 1+ 2 2 + 2 2 ) 2 1 2 2 2 = [ 1 + 2 + 3 2 ( 1 2 + 2 3 + 3 1) ] 2E
1 2 2 3 3 1 1 1 2 2 3 3 1 2G
• 上式表明应力莫尔圆与应变莫尔圆成比例
§3-３ 广义虎克定律
4、应力Lode参数与应变Lode参数之关系 由数学关系知 A C E E E A B , C D B D F F F A C E E A C (B D ) 所以有 B D F F
1 2k 2 2k 1 2 2k
ζ
ζ
2
2
1
1
3
§9-4 Teresca和Mises屈服条件
4、Mises屈服条件（1913年）
⑴基本观点：Mises认为：Teresca屈服条件在等倾面上6个点是来 自于实验；而6个点之间6直线连接是假设的。 ⑵Mises假设：圆弧连线--六点外切圆，应力空间为圆柱曲面（当 σ 3=0时，在π 平面上投影为椭圆）。 y ⑶屈服函数：在π 平面上，半径为R的圆的方程 2 x2+y2=R2 若用主应力来表示： 1
3(1-2 )
E
1 2

K:体积弹性模量
§9-4 Teresca和Mises屈服条件
1、塑性力学的特点 应力应变关系的非线性 应力应变关系非一一对称性 弹性变形与塑性变形的分界线问题 加载与卸载应力应变关系的差异 塑性状态加载：塑性应力应变关系 塑性状态卸载：弹性力学广义虎克定律 屈服条件： 单轴问题，ζ ～ε 曲线 双轴问题，ζ 1～ζ 2曲线 三轴问题，应力空间曲面的概念 屈服曲面，屈服函数～屈服条件
x - 0
1
E
[( 1 ) x - ] 1
1 - 2
E E
0 0
E
[( 1 ) x - 3 0] -
1 - 2
１
E
( x 0)
1+ 1 ex sx sx E 2G
ex ey ez
1 sx 2G 1 sy 2G 1 sz 2G
E E
3 "
2
E
3 "'
3
E
§9-３ 广义虎克定律
◆ 广义虎克定律----用应力表示应变的
1、应力分量与应变分量的关系


x

1
E
1
[

x
- (

y

§3-３ 广义虎克定律
• 由上式可得
ey xy yz ex ez zx 1 sx sy sz 2 xy 2 yz 2 zx 2G
e1 e2 e3 1 s1 s2 s3 2G
e1 e2 e2 e3 e3 e1 1 s1 s2 s2 s3 s3 s1 2G
2
1 3 11 2 2
1 1
III II
22 3 3
I
1方向上的应变： 2方向上的应变： 3方向上的应变：
1 1 ' 1 E 1 2 ' E 3 ' 1 E
2 1 " 2 2 " 2
E E
3 1 "' 2 "' 3 3
σ 1-σ
3
=2k
§3-4 Teresca和Mises屈服条件
当未知三主应力的大小顺序时，
1 - 2 2 - 3
2k 2k
ζ
3
3 - 1 2k
⑶应力空间的图像表示 六棱柱面 其内部为弹性区，外部塑性区 等倾面上投影：正六边形 特殊情形（σ 3=0）： （在σ 1～σ 2坐标上为六边形）
ζ
T
D3/H3 D2/H2 D1/H1
ζ
ε3＊
T
ε2＊ ε1＊
ε1＊ ε2＊ ε ＊ 3
ε
＊
D1/H1
D2/H2
D3/H3
D/H
§9-2 简化的力学模型
• 关于弹塑性力学常用力学模型的简化 材料力学性态与应力应变关系 • 延性材料应力应变关系 低碳钢应力应变关系 金属材料应力应变关系----相对稳定 • 脆性材料应力应变关系 岩石与混凝土应力应变关系 土层应力应变关系
1 3 x 1 ( 2 3), y ( 3) 2 2 2
x
3
代入圆的方程
1 3 2 [ 1 ( 2 3 )] [ ( 2 3)]2 R 2 2 2
( 1 2)2 (2 3)2 (3 1)2 2R 2
x y z
1 [(1 ) x - ], 1 [(1 ) y - ], 1 [(1 ) z - ],
xy yz zx
1
G
1
xy yz zx
G
1
G
§3-３ 广义虎克定律
3、应力偏量与应变偏量之间的关系
2、没有明显屈服点的材料的应力应变关系 • 0.2%塑性应变----ζ0.2 3、Bauschinger（包辛格）效应 关于拉伸与加压应力应变反向关系问题 一个方向屈服极限增加，另一方向屈服极限减小 • 理想Bauschinger效应
ζ
ζ
ε
ε
§9-1 拉压问题的应力应变曲线
4、真实应力与名义应力 • 名义应力σ =P/A0, • 真实应力σ T=P/A • 材料进入塑性状态，lA=l0A0 • 所以有：A=l0A0/l
比较： 材料力 学强度 理论
§9-4 Teresca和Mises屈服条件
2、材料屈服的发展过程 Galilieo观点：最大主应力所致 Saint Venant观点：最大主应变所致 试验否定之 Beltrami：弹性能极限值（形变能与体变能混淆，实 验无法证明之。） 3、Tresca屈服条件（1864) ⑴基本观点：材料屈服系最大剪切力所致（屈服时斜方向 条纹的产生与发展） ⑵数学表达式：屈服时最大剪应力k 当已知：σ 1≥σ 2 ≥ σ 3 时
• 由上述结果可知 当材料处于弹性阶段 应力莫尔圆与应变莫尔圆相似 应力Lode参数与应变Lode参数相等 应力形式指数与应变形式指数相等 可以说明两点 应力主轴和应变主轴重合 应力分量与相应的应变分量比值相同
§3-３ 广义虎克定律
◆ 广义虎克定律----用应变表示应力的形式
x
1
E
1
[ x x ( x y z )] [( 1 ) x
因而可得
1+ 3 -2 2 3 -1 2 2 -1- 3 1- 3 = = 或 1+ 3 -2 2 3 - 1 2 2 - 1- 3 1- 3
=
又因为 所以
= 3tg (

6
),
= 3tg (

6
)
=
§9-３ 广义虎克定律

z
)] )]
y
E
1
[ [
y
- ( - (
z
x
z
E
1

z

x
y
)]
xy
G
1
Байду номын сангаас
xy
yz
G
1
yz
zx
G
zx
2、平均应变与平均应力的关系 体应变：
x y z
§3-３ 广义虎克定律
令
1 [( x y z ) 2 ( x y z )] E 1 2 ( x y z ) E 1 2 x y z 3 0 E 1 2 x y z 3 0 0 0 E
ζ
ε
ζ
ε
§9-2 简化的力学模型
１、理想弹塑性模型
※分段分析
ζ =Eε ζ =Eε S=ζ
S
ζ
ε ≤ε S ε ＞ε S
tg-1E
※应用于强化不明显的材料
2、线性强化弹塑性模型
ζ
ε
※分段分析
ζ =Eε ζ = ζ S+ E 1( ε - ε S) ε ≤ε S ε ＞ε S
tg-1E1 tg-1E
H0 H0 H 1 H0
• 压缩时的对数应变
H0 1 ln ln H 1

• 塑性状态下体积为常数
• 真实应力
A0 H 0 AH A A0 H0 1 A0 H 1
P P T (1 ) A A0
§9-1 拉压问题的应力应变曲线
• 真实应力与对数应变关系的建立 压缩试验端部摩擦影响问题 试件直径D0越大，端部摩擦影响越大 理想压缩状态：D0/H=0 • 左图，三曲线对应不同径高比 • 右图，三曲线对应不同的对数应变
x 2G x y 2G y z 2G z xy G xy yz G yz zx G zx
前三式求和得
3 0 =3 2G 3 0 (3 2G ) =
=3K
K
E
CHAP 9 屈服条件与应力应变关系
• 材料的本构关系 与材料所处的力学性态有关 • 弹性问题： 材料受力立即变形，力解除则变形立即恢复。各向 同性体，各向异性体，横观各向同性体，正交各向异性 体等----虎克定律 • 流变问题： 受力物体随时间应力和应变都在变化，两个典型， 蠕变和应力松弛----不同模型描述 • 塑性问题： 材料受力立即变形，力解除则变形不恢复。 • 一般情况：材料表现弹性----还有残余变形 材料由弹性屈服进入塑性阶段----并非绝对 流变与时间相关----时间的相对性
§9-1 拉压问题的应力应变曲线
1、拉伸问题 延性材料拉伸时的应力应变关系（低碳钢为例） 应力与应变定义 ζ 几个概念： 比例极限 ε 弹性极限 屈服极限（上屈服极限、下屈服极限） 塑性流动阶段 强化现象 材料的记忆 颈缩现象（伸长率与截面收缩率） 弹性模量、剪切模量、泊松比等
§9-1 拉压问题的应力应变曲线
ε
※应用于具有线性强化特征的材料
§9-2 简化的力学模型
3、幂强化力学模型 ζ =Aε n 两种特殊情况 σ =Aε n=1 σ =A n=0 4、刚塑性模型
ζ﹤ζ ζ =ζ
S S
ζ
ε
ζ
ε =0 ε ↑
ζ ε
应用于弹性变形很小可忽略的情况 5、线性强化刚塑性模型 = S +E1
ε
§3-３ 广义虎克定律
塑性力学的特点
• • • • 应力应变关系非线性----与具体材料有关 应力应变关系非一一对应性----与加载历史有关 弹性变形与塑性变形的分界线问题 加载与卸载应力应变关系的差异 加载：塑性应力应变关系 卸载：弹性力学广义虎克定律 • 关于屈服 单轴问题：σ ～ε 曲线 比较材料力 双轴： σ 1～σ 2曲线 学强度理论 三轴： 应力空间曲面 屈服曲面的概念----屈服函数----屈服条件
本屈服条 件更接近 实际情况
§9-4 Teresca和Mises屈服条件
• 此方程在应力空间图像为圆柱面 • 在应力空间， 应力落在圆柱面上，材料屈服 应力落在圆柱面内，弹性状态 5、Hencky（德，1924）弹性形变比能理论 • 弹性比能：
ζ
3
ζ ζ
1
2
1 W ( 1 1+ 2 2 + 2 2 ) 2 1 2 2 2 = [ 1 + 2 + 3 2 ( 1 2 + 2 3 + 3 1) ] 2E
E
1 2
E
]
E E x x 1 (1 )(1 2 )
引入拉梅常数，以及E、G的关系 E E G ( 1 )( 1 2 ) 2(1+ ) 从而上式变成
x 2G x
§3-３ 广义虎克定律
用应变表示应力形式的广义虎克定律