【弹塑性力学】5塑性应力应变关系a【课件】

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塑性理论课件-塑性变形时的应力应变关系

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3、如果從初始狀態先加純剪應力通過屈服點B到達D點，這時的應力和應變見表 5.1的第3行。
4、如同樣經後繼屈服軌跡裏面的任意路線變載到F點，則應力應變見表5.1第4行。
5、如果從初始狀態沿真線OF`F到達F 點，則應力和應變見表5.1第5行，這時主軸重合。
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上述的第1、3、5種加載路線就是簡單加載。由表中可看出，同樣的一種應力狀態σf、τf，由於加載路線不同，就有好幾種應變狀態（如C、D點應變）；同樣，一種應變狀態（如εc），也可有幾種應力狀態（如C、F點應力），而且應力應變主軸不一定重合。從上述簡單的例子中，我們可以看到，離開加載路線來建立應力與全量塑性應變之間的普遍關係是不可能的。因此，一般情況下只能建立起應力和應變增量之間的關係爭然後根據具體的加載路線，具休分析。另一方面，我們從上述例子中也看到，在簡單加載的條件下，應力和應變的主軸重合，而且它們之間有對應關係，因此可以建立全量理論。
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另一方面，從工程角度來看，對於一些繁雜的問題，那怕是能給出定性結果也很可貴，具體的定量問題可以從實驗中進一步探索（由於如摩擦條件等數學模型還未給出，要精確計算也很難辦到）。鑒於壓力加工理論中關於成形規律闡述上存在的一些問題，吸取了增量理論及全量理論的共同點，提出了應力應變順序對應規律，並使該規律的闡述逐漸簡明和便於應用。現簡述如下：
返回
5.2增量理論（流動理論）一、列維-密席斯方程二、普朗特-勞斯方程
返回
一、列維-密席斯方程
列維-密席斯方程適用條件：
（1)材料是理想剛塑性材料，即彈性應變增量為零，塑性應變增量就是總應變增量；
（2）材料符合密席斯屈服準則，即 s

工程弹塑性力学-第三章_应力-应变关系

11 C1 C2 11 C2 22 C1 C2 22 C2 33 C1 C2 33 C2 23 2C3 23 31 2C3 31 12 2C312
JUST
C33 C44 C55
弹性矩阵
C11 C 22 D
则广义胡克定律又可写为：
C33 C44 C55
D
由于弹性举证为对称矩阵，即使各向异性材料其常数也为21个。
JUST
3.2 广义胡克定律 Jiangsu University of Science and Technology 江苏科技大学
C11 C11 C33 C1 C12 C23 C31 C2 C C C C 55 66 3 44
应力与应变关系
C1 C2 C 1 D
C2 C2 C1
0 0 0 C3
0 0 0 0 0 0 0 C3 0 C3 0
dA dK ij dV ij V dt dt
绝热过程
du dA dK dQ ij ij dV , 0 V dt dt dt dt
对于单位体积的内能：存在势函数：
dui* ij ij dt
dW ij d ij
dW
W d ij ij
得： ij 由
ij 1i j , ij 0i j
1 ij 11 22 33 ij E 1
1 1 11 22 33 11 11 11 22 33 E 1 E 1 22 22 11 33 12 1 12 , 13 1 13 , 23 1 23 E 2G 2G 2G 1 33 33 11 22 E

弹性与塑性力学基础-第五章屈服准则与塑性应力应变关系

0
m

0 0 m
Uv
1 3 ( m m m m m m ) m m 2 2 1 m ( 1 2 3 ) 3
1 m ( 1 2 3 ) 3
弹性与塑性力学基础
第五章屈服准则与塑性应力应变关系
积之和的一半(主坐标系中)
U
1 ( 1 1 2 2 3 3 ) 2
1 0 ij T 0 2 0 0
0 0 3
1 0 ij T 0 2 0 0
0 0 3
弹性与塑性力学基础
第五章屈服准则与塑性应力应变关系
§5-2 米塞斯屈服准则
5.2.1 米塞斯屈服准的物理意义米塞斯屈服准则 5.2.2
由广义虎克定律
1
1 2 [ 2 ( 1 3 )] E 1 3 [ 3 ( 1 2 )] E
式中，为波桑系数，于是可得
弹性与塑性力学基础
第五章屈服准则与塑性应力应变关系
§5-2 米塞斯屈服准则
5.2.1 米塞斯屈服准的物理意义米塞斯屈服准则 5.2.2
单位体积变化位能Uv确定
取应力球张量及应变球张量
m T0
由此得
0
m

0 0 m
m T0
§5-10 全量理论
5.10.1 问题的背景及引出 5.10.2 亨盖理论(1924年) 5.10.3 那达依理论(1937年) 5.10.4 伊留申理论(1943年) 5.10.5 全量理论的问题与发展
弹性与塑性力学基础

弹塑性力学第5章—塑性本构关系

3 2
sij
−
Cdε
p ij
sij −
Cdε
p ij
−σs = 0
C表征材料强化的大小，来自单向拉伸
5.3 后继屈服条件
1、等向强化模型
单向拉伸实验曲线中三个方向的塑性主应变为
ε1p
= ε p,
ε
p 2
=
ε
p 3
= − 1ε p
2
其中ε p为单向拉伸方向的塑性应变，由此得到等效塑性应变
( ) ( ) ( ) ε p =
4 3
J
′
2
=
2 9
⎡ ⎢⎣
ε1p
−
ε
p 2
2+
ε
p 2
−
ε
p 3
2+
ε
p 3
最大畸变能是材料屈服的原因
J2 = k2
J 2反映了材料的畸变能（ U0d
=
J2 2G
）
( ) J2
=
1 2
sij sij
=
1 6
(σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ3 − σ1)2
k 由实验确定，根据简单拉伸实验，在材料屈服时
[ ] J2
=1 6
(σ 0 − 0)2 + 0 + (0 −σ 0 )2
−0.8
屈服条件类似，主要区别是
−1.0
混凝土的抗压强度比抗拉强
−1.2
度高得多。
5.2 常用的屈服条件
5.2.3 混凝土的莫尔－库仑屈服条件
在实验基础上，提出线性化的莫尔－库仑屈服条件，σ
′
0
,
σ

弹塑性力学弹性与塑性应力应变关系详解

➢ 各向同性材料的胡克(Hooke)定律(一维问题，
1678)
单向拉压
E——拉压弹性模量；
纯剪切
G——剪切弹性模量；
——泊松比
横向与纵向变形关系
➢ 广义胡克定律——对复杂应力状态，在弹性力学假设条件下，应用叠加原理：
考虑x方向的正应变：
产生的x方向应变：
产生的x方向应变：
叠加后得
产生的x方向应变：
屈服下限
强化阶段软化阶段卸载
低碳钢在单向拉伸时的典型应力应变曲线
包辛格（Bauschinger）效应
➢ 具当有应强力化超性质着过后（的塑或屈，材性压服拉料变缩点伸随形）的应增力加的，硬屈服化极将限引在起一个反方向向加上载提
高时，压而在缩相
反（方或向拉降伸低）屈服应力的弱化
2 2 1 3 1 3 2 2 1 3 1 3
说明， =，=
3－4 特雷斯卡和米泽斯屈服条件
➢ 塑性变形——当作用在物体上的外力卸去后，物体中没有完全恢复的那部分永久变形称为塑性变形。
➢ 塑性力学——研究塑性变形和作用力之间的关系以及在塑性变形后物体内部应力分布规律的学科称为塑性力学。
如果s+s =2s，则称为理想包辛格效应
名义应力与真实应力
➢ 在体积不可压缩的假设前提下
荷载
➢ 拉伸（压缩）时的名义应力 P
A0
初始截面积
➢ 拉伸时的真实应力
➢ 压缩时的真实应力
T
P A
(1 )
变形后截面积
T
P A
(1 )
3－2 弹塑性力学中常用的简化力学模型
➢理想弹塑性
模型：
➢ 屈服条件——屈服条件又称塑性条件，它是判断材料处于弹性阶段还是处于塑性阶段的准则。

第五章：屈服准则与塑性应力应变关系

2
OP (1, 2 , 3 )
P点向OE投影，投影点N，则OP：。
O
OP ON NP
1
ON ( m , m , m )
第五章：屈服准则和塑性应力应变关系 5.4 两屈服准则的几何图形
所以：
3
P
N
E
NP ( 1 , 2 , 3 ) ( m , m , m ) ( 1 m , 2 m , 3 m ) ( '1 , '2 , '3 )
f ( J 2 , J3 ) C
对拉压性能相同时，以f()是J3的偶函数。注意：屈服准则方程也是进入塑性后应力需要准则。因为塑性行为的复杂性，对材料的单向应力状态下，应力应变关系作以下几种模型的假定，本教材主要用前两种：
第五章：屈服准则和塑性应力应变关系
5.1 屈服准则概念
屈服准则、屈服条件，描述材料从弹性进入塑性并使塑性变形继续的条件。对于单向应力采用：
s
作为屈服准则。但是对于复合应力状态，屈服准则与应力状态有关，屈服准则为：
f ( x , y , z , xy , yz , zx ) C
第五章：屈服准则和塑性应力应变关系 5.4 两屈服准则的几何图形
屈服函数表现出几何图形，对了解其性质和两种屈服准则的比较有积极作用。屈服函数是一曲面，首先看二维应力，即： 3 0
Mises屈服函数：
2 12 1 2 2 s2
为一椭圆。 Treasca屈服函数：
1 2 s 2 3 s 3 1 s
代表应力偏量。如果P应力状态代表塑性变形，对于Mises屈服准则：

塑性应力应变关系

z
z
ϕLeabharlann ij m(7.2—13) (7.2—14)
ε = ϕ ⋅τ ,
xy
xy
ε = ϕ ⋅τ ,
yz
yz
ε zx = ϕ ⋅τ zx
如果认为在整个变形过程中材料不可压缩，泊松比ν = 0.5 ，则 K 0 = 0 ，式(7.2—13) 简化为：
ε ij = ϕ (σ ij − δ σij m ) = ϕ ⋅ sij
（7.1—10）
可见，服从广义胡克定律的各向同性线弹性材料，其应力莫尔圆与应变莫尔圆在几何
上是相似的，应力罗代参数 µ σ 等于应变罗代参数 µ ε 。等效应力与等效应变之间也有简单关系。由等效应力定义式得：
σ= 1 2
(σ 1
−σ
)2
2
+ (σ
2
−σ 3)2
+ (σ
3
−σ1)2
= 2G 2
(ε 1 − ε 2 ) 2 + (ε 2 − ε 3 ) 2 + (ε 3 − ε 1 ) 2
+
eP ij
+ δ ij ε m
=
1 2G
s ij
+
φ 2G
s ij
+ 1− 2ν E
δσ ij m
=
1+φ 2G
s ij
+ 1− 2ν E
δ ijσ m
(7.2—12)
令 1+φ 2G
=ϕ
， 1− 2ν E
=
K 0 ，式(7.2—12)可改写成汉基理论的常用表达式：
ε ij = ϕs ij + K 0 δ ij σ m
求解小弹塑性变形问题，等同于求解某一非线性弹性力学问题，因此获得了广泛的应用。

《弹塑性力学》课件

结构弹塑性分析的方法包括有限元法、有限差分法、边界元法等数值计算方法。
材料的弹塑性行为模拟
材料的弹塑性行为模拟是研究材料在不同应力状态下表现出的弹塑性性质，对于理解材料的力学行为和优化材料设计具有重要意义。
材料弹塑性行为模拟的方法包括分子动力学模拟、有限元分析等。
通过实验和数值模拟相结合的方法，可以研究材料的微观结构和宏观性能之间的关系，预测材料的弹塑性行为。
THANKS
感谢观看
弹塑性力学在工程实践中的挑战与解决方案
工程实践中，由于材料和结构的复杂性，弹塑性力学应用面临诸多挑战，如非线性行为、边界条件和初始条件
的确定等。
为了解决这些挑战，需要采用先进的数值计算方法和实验技术，提高模拟精度和可
靠性。
此外，加强跨学科合作，将弹塑性力学与计算机科学、物理学等学科相结合，可以推动工程实践中的弹塑性力学应用不断发展。
《弹塑性力学》课件
目录
• 弹塑性力学概述 • 弹性力学基础 • 塑性力学基础 • 材料弹塑性性质 • 弹塑性力学在工程中的应用
01
弹塑性力学概述
弹塑性力学的定义

弹塑性力学是一门研究材料在弹性和塑性范围内行为的学科。它主要关注材料在外力作用下发生的变形行为，以及这种行为与材料内部应力、应变的关系。
塑性
材料在应力超过屈服极限后发生的不可逆变形。
屈服准则
描述材料开始进入塑性状态的应力条件。
塑性力学的基本方程
应力平衡方程
01
描述受力物体内部应力分布的平衡关系。
几何方程
02
描述材料在塑性变形过程中应变与位移的关系。
屈服准则
03
确定材料进入塑性状态的条件。

工程塑性理论应力应变关系.ppt

通常将塑性变形时的应力应变关系称为本构关系，其数学表达式称为本构方程，也叫做物理方程。
7.3.1 弹性应力应变关系
广义虎克定律：
x
1 E
x
y
z
,
y
1 E
y
z
x ,
z
1 E
z
x
y
,
xy
yx
xy
2G
yz
zy
yz
Hale Waihona Puke 2Gzxxz
zx
2G
式中：E—拉压弹性模量；ν—泊松比；
d xy xyd
d
yz
y
z
d
d zx
zx
d
代入以下公式
1
2
x y
2
y z
2
z x
2
6
2 xy
2 yz
2 zx
1 2
1 2 2 2 3 2 3 1 2
d 2
3 2
3
d x d y
2
d y d z
2
d z d x
2
6
d
2 xy
d
2 yz
1 E
z
x
y
,
xy
yx
xy
2G
yz
zy
yz
2G
zx
xz
zx
2G
1
2
x y
2
y z
2
z x
2
6
2 xy
2 yz
2 zx
1 2
1 2 2 2 3 2 3 1 2
2 3
x y
2
y z
2
z x

塑性力学基础知识ppt课件

• 由于材料的屈服极限是唯一的，所以应该用应力或应力的组合作为判断材料是否进入了塑性状态的准则。
• 根据不同应力路径所进行的实验，可以定出从弹性阶段进入塑性阶段的各个界限。这个分界面即称为屈服面，而描述这个屈服面的数学表达式称为屈服函数或称为屈服条件。
12
本标准适用于已投入商业运行的火力发电厂纯凝式汽轮发电机组和供热汽轮发电机组的技术经济指标的统计和评价。燃机机组、余热锅炉以及联合循环机组可参照本标准执行，并增补指标。
19
简单弹塑性力学问题本标准适用于已投入商业运行的火力发电厂纯凝式汽轮发电机组和供热汽轮发电机组的技术经济指标的统计和评价。燃机机组、余热锅炉以及联合循环机组可参照本标准执行，并增补指标。
• 梁的弯曲 • 圆柱体的扭转 • 旋转圆盘 • 受内压或外压作用的厚壁筒和
厚壁球体
20
本标准适用于已投入商业运行的火力发电厂纯凝式汽轮发电机组和供热汽轮发电机组的技术经济指标的统计和评价。燃机机组、余热锅炉以及联合循环机组可参照本标准执行，并增补指标。
塑性力学的任务
• 当作用在物体上的外力取消后，物体的变形不完全恢复，而产生一部分永久变形时，我们称这种变形为塑性变形，研究这种变形和作用力之间的关系，以及在塑性变形后物体内部应力分布规律的学科称为塑性力学。
2
本标准适用于已投入商业运行的火力发电厂纯凝式汽轮发电机组和供热汽轮发电机组的技术经济指标的统计和评价。燃机机组、余热锅炉以及联合循环机组可参照本标准执行，并增补指标。
屈服条件的概念，
• 屈服条件又称塑性条件，它是判断材料处于弹性阶段还是处于塑性阶段的准则。.

弹塑性力学课件

应力分析应变分析应力应变关系
.
第三讲：应力应变分析
. 弹塑性力学研究生核心课程任晓丹
同济大学建筑工程系
October 10, 2016
任晓丹
第三讲：应力应变分析
应力分析应变分析应力应变关系
EulerCauchy 应力原理
Ti
( n)
= lim
∆Fi dFi = ∆s→0 ∆S dS
任晓丹
任晓丹第三讲：应力应变分析
σij − σδij = 0
应力分析应变分析应力应变关系
应力偏量
定义静水应力： 1 1 1 σm = Tr(σ ) = σii = (σ1 + σ2 + σ3 ) 3 3 3 应力偏量定义为： sij = σij − σm δij 应力偏量表示纯剪应力状态，对于很多材料，是其重要的破坏控制机制，所以应力偏量应用十分广泛。 J1 、J2 和 J3 分别称为应力偏张量的第一、第二、第三不变量。由于 J1 = 0，因此，一点的应力状态也可以用 I1 、J2 和 J3 表示。
任晓丹
第三讲：应力应变分析
应力分析应变分析应力应变关系
（第二）平衡方程
合力矩为零 ∫ MO = ∫∂ Ω =
∂Ω
∫ r × TdS + ϵijk xj Tn k dS +
Ω
∫
r × FdΩ ϵijk xj Fk dΩ = 0
Ω
第一项 ∫ R1 =
∂Ω
∫ ϵijk xj σmk nm dS =
Ω
′ ′ βki tk = σij nl βlj ⇒ βmi βki tk = δmk tk = tm = βmi σij nl βlj
应力转轴公式 (张量表达)

工程弹塑性力学教学课件

实验设备与实验原理介绍
实验设备
弹塑性力学实验中常用的设备包括压力机、拉伸机、压缩机、弯曲机等。
实验原理
介绍弹塑性力学的基本原理，包括弹性变形和塑性变形的基本概念、应力应变关系、屈服准则等。
实验操作与数据处理方法介绍
实验操作
详细介绍实验操作步骤，包括试样制备、加载方式选择、数据采集等。
数据处理方法
工程弹塑性力学教学课件
目录
• 弹塑性力学概述 • 弹塑性力学基础知识 • 弹塑性力学分析方法 • 弹塑性力学在工程中的应用案例 • 弹塑性力学实验与实践教学 • 总结与展望
01 弹塑性力学概述
弹塑性力学定义与分类
弹塑性力学定义
弹塑性力学是研究物体在受力状态下，弹性变形和塑性变形相互作用的学科。
塑性力学的基本方程
包括屈服条件方程、流动法则方程、强化法则方程等。
弹塑性力学基本原理
弹塑性本构关系
描述材料在弹塑性状态下的应力应变关系。
弹塑性稳定性理论
研究结构在弹塑性状态下的稳定性问题。
弹塑性极限分析
确定结构在弹塑性状态下的极限承载能力。
03 弹塑性力学分析方法
弹性力学分析方法
弹性力学基本原理
弹塑性力学基础知识
02
弹性力学基础知识
弹性力学的基本假设
包括连续性假设、均匀性假设、各向同性假设等。
弹性力学的基本概念
包括应力、应变、弹性模量等。
弹性力学的基本方程
包括平衡方程、几何方程和物理方程等。
塑性力学基础知识
塑性力学的基本概念
塑性力学的基本应用
包括屈服条件、流动法则、强化法则等。
包括压力加工、材料强度、结构稳定性等。

弹塑性力学弹性与塑性应力应变关系详解课件

有限差分法
有限差分法（Finite Difference Method，简称FDM）是一种基于差分原理的数值模拟方法。
它通过将连续的时间和空间离散化为有限个差分节点，并利用差分近似代替微分方程中的导数项，从而将微分方程转化为差分方程进行求解。
有限差分法适用于求解偏微分方程，尤其在求解波动问题和热传导问题方面具有优势。
05
弹塑性力学的数值模拟方法
有限元法
有限元法（Finite Element Method，简称 FEM）是一种广泛应用于解决复杂工程问题的数值模拟方法。
它通过将连续的求解域离散化为有限个小的单元，并对每个单元进行数学建模，从而将复杂的连续场问题转化为离散的有限元问题。
有限元法具有灵活性和通用性，可以处理各种复杂的几何形状和边界条件，广泛应用于结构分析、热传导、流体动力学等领域。
与应变之间不再是线性关系。
重要性
03
了解塑性应力应变关系对于工程设计和结构安全评估具有重要
意义。
屈服准则
屈服准则定义
描述材料开始进入塑性变形阶段的条件。
常用屈服准则
例如，Von Mises屈服准则、 Tresca屈服准则等。
屈服准则的意义
为判断材料是否进入塑性变形阶段提供依据，是弹塑性力学中的重要概念。
弹塑性力学弹性与塑性应力应变关系详解课件
目录
• 弹性应力应变关系 • 塑性应力应变关系 • 弹塑性本构模型 • 弹塑性力学的数值模拟方法
01
弹塑性力学基础
弹塑性力学定义
01
02
03
弹塑性力学
是一门研究材料在弹性与塑性范围内应力应变关系的学科。
弹性
材料在受到外力作用后能够恢复到原始状态的性质。

工程弹塑性力学课件：第四章应力与应变的关系(肖)

1
弹性力学的基本方程
一、平衡方程应力分量满足平衡方程：
x yx zx X 0
x y z
xy y zy Y 0
(1.67)
x y z
xz yz z Z 0
x y z
ij, j Fi 0
二、几何方程
x
u x
y
v y
z
w z
xy
u y
v x
yz
v z
xy
120
1 4
x
+
3 4
y
3 4
xy
x y
190 10-6 130 10-6
xy 577 10-6
1,2
x
y
2
（ x - y
2
）2 +（ xy
2
）2 =30 10-6
330 10-6
1=360 10-6，2 =-300 10-6
2
0
=
arctan(
xy x -
y
)
61。
0
0
30.5。 120.5。
(1.82)
应变与位移的关系→本构关系
材料力学中： x
E x
x
1 E
x
y
z
1 E
x
广义虎克定律： ①正应力→正应变，与剪应变无关
②剪应力→剪应变，与正应变无关
例：贴三角形应变花。
0 =190 10-6，60 =200 10-6，120 =300 10-6，材料常数：E=206.8109 N / m2, 0.3。
2 y
z 2
2 z
y2
2 yz
yz
0
2 z
x2

塑性力学第五章本构关系ppt课件

（5-2）
将三个正应变相加，得：
kk
kk
2G
3
E
mkk
1 2
E
kk
记：平均正应变
m
1 3
kk
体积弹性模量 K E / 3(1 2 )
则平均正应力与平均正应变的关系：
m 3K m
（5-4）
（5-2）式用可用应力偏量 sij 和应变偏量 eij 表示为
1 eij 2G sij
（5-5）
包含5个独立方程
利用Mises屈服条件
J 2
2 s
2 s
3,
可以得到
本构关系
d dijdij d 3d
2 J 2
2 s 2 s
将（5-41）式代回（5-39）式，可求出
（5-41）
sij
d ij d
2 sdij d
2 sdij 3d
（5-44）
在（5-39）式中，给定 sij 后不能确定 dij ，但反之却可由 dij
确定 sij 如下：
J 2
1 2
sij sij
1
2(d)2
dijdij ,
将（5-38）式与（5-41）式加以比较就发现：
dW p s d s d
（5-45）
对于刚塑性材料 dW dW p
3、实验验证
本构关系
理想塑性材料与Mises条件相关连的流动法则：
d
p ij
d sij
对应于π平面上，d与p 二S 向量在由坐标原点发出的同一条射线上。
sij
（5-5）
We
1 2G
J 2
1
2
1 G 2
2
1
2
1

【弹塑性力学】5 弹性应力应变关系ppt课件

y z z x0 , z(xy )
5.1.6 弹性应变能
• 一维情况
一细长杆，长度L，横截面积S，两端受拉力P作用，伸长量为L，外力功为
L
U Pd(L) 0
由于应力x=P/S，x=L/L，上式可写成
x
USL xdx 0
• 单位体积的应变能W为
WU SL
x
xdx
0
x
W
1 2
Ex2
x
W x
W x
• 求应变能相对应变的偏导
x
W x
• 三维情况
考察微小六面体，应力分量ij产生的应变分量ij，各应
力分量ij都只在与它相同的应变分量ij上做功，
W ij 0
d ij ij
z
z
zx
yx xz
yz
xy
x
zy
yx zx
yz y
y
x
根据能量平衡，单位体积的应变能应是
所以
W ijdW ij
5.1.4 弹性常数的测定
静水压缩实验
1122331 3k k
体积模量
Kkkk /k 33 32G2 3G
• 单轴拉伸实验
x 0 0
ij
0
0
0
0 0 0
使用物理关系，有弹性模量和泊松比：
Exx G(2G G3)
相反，有
y x 2(G)
G E 2(1 )
E (1)(12)
纯剪实验
0 xy 0
zx - zy
z
x
1 2
yx
1 2
zx
1 2 xy
-
1 2 xz
y
-
1 2
yz

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d 1 p : d 2 p : d 3 p d 2 : d 1 : d 1 d 2 ( 1 ) : : 1
0 d1 1 d1d2
可在f1=0的法线n1与f2=0的法线n2之间变化，
这个变化区域称之为尖点应变锥
f
n n
f
• 一般地，在几个光滑势能面相交的奇异
点处，塑性应变增量表示成在该点相交
f5 = 3 1 s=0 f6 = 1 + 2 s=0
当应力点位于f1=0上
dipj
d1
f1 ij
(d1p:d2 p:d3 p)= (0 d1 d1)
当应力点位于f2=0上
dipj
d2
f2 ij
(d1p:d2 p:d3 p)= (d2 0 d2)
当应力点在f1=0和f2=0的交点上 dipd1 f1i d2 f2i
f
(
ij
d
ij
,
d
• 一致性条件：
f ij
dij
f
d
0
f (ij ,
• 随加载过程，内变量不断地增加 • 中性变载或者卸载时，则内变量保持不变
总之：内变量只会增加，不会减少。且只有产生新的塑性变形时，它才会增加。这是由塑性变形的不可逆性所决定的。
常用的强化模型
1. 等向强化 • 几何特点（在应力空间）：
• 其物理含义是：由本构方程，大小可以任意。但变形必须始终保持协调而受到相互限制。应变大小的确定需结合变形协调条件。
• 反过来若给定dij，则可以确定sij。
J21 2sijsijd2idjd2ij1 32 s
d 23dijdij s
sij 3 2sdij dijdij
dp 2dd2p1pd1dp3pd3p
的各面的法线方向所确定的增量的线性
组合：
dipj
n
dk
k1
gk
ij
5.3.3 强化法则
1）强化法则的概念在加载过程中，屈服面不断改变它的形状以使应力点总是位于它上面，从某一个屈服面如何进入后继屈服面的准则就是强化法则，也就是控制加载面发展的规则。
单轴拉伸下的强化
C
*
B
s
A'
p
A
O
E
p
经过塑性变形变化后的屈服条件就称加
载条件。
加载条件在应力空间内形成的曲面称为加载面。对理想塑性材料，加载条件和加载面不发生变化，都是最初的屈服面。
加卸载准则
在应力空间上的屈服面确定了当前弹性区的边界。
若应力状态改变时材料中有新的塑性变形产生，这种应力变化称加载（loading）；而当应力变化时材料回到弹性状态，不产生新的塑性变形，这种应力变化称卸载（unloading）。
当应力状态ij处在加载面上， f (ij，) = 0
施加增量dij：（1）加载：dij指向加载面外（2）中性变载：dij沿着加载面（3）卸载：dij指向加载面内
中性变载 ?d
n d 加载
卸载 ?d
ij 加载面
由于任何一种应力状态都不能位于加载面之外
• 增量前 f (ij，) = 0， • 增量后 f (ij+dij，+d) = 0
上述情况下应力应变关系是不同的。因此，要确定应力应变关系还需建立一个加载准则。对单轴受力的情况，加卸载准则可表为：
d 0 d 0
加载卸载
对于理想弹塑性材料，加卸载条件为
f 0
f
ij
dij
0
f 0
f
ij
dij
0
加载卸载
中性变载 ?d
n d 加载
卸载 ?d
ij 加载面
对于硬化材料在强化阶段，加卸载条件为：
dp
Tresca形式的塑性势能函数
• 在应力状态位于塑性势能面顶点或奇异点，塑性应变增量必须位于六边形两相邻边的法线方向之间。
不规定主应力大小顺序，Tresca屈服条件可写成
f1 = 2 3 s=0 f2 = 3 + 1 s=0
f3 = 1 2 s=0 f4= 2 + 3 s=0
5.3 塑性应力应变关系
• 5.3.1 加载条件 • 5.3.2 流动法则 • 5.3.3 强化法则 • 5.3.4 增量理论 • 5.3.5 全量理论 • 5.3.6 稳定公设 • 5.3.7 典型例题
5.3.1 加载条件
• 在塑性变形阶段，应力和应变关系是非线性的。
• 应变不仅和应力状态有关，而且还和变形历史有关。
•几何特点：加载面大小、位置和中心都改变，它是前
面两种情况的综合， • 数学表达：
f (ijij) k()= 0 与随动强化不同的是，这里k随加载的历史而变化。
• 说明：以上关于屈服条件和加载条件的讨论都是在
应力空间中进行的。对应变软化材料来说，应变空间中讨论会更
方便些。
谢谢欣赏
THANK YOU FOR WATCHING
背应力（back stress）提供了考虑Bauschinger效应的简单方法。
Prager随动强化模型
背应力增量应平行于塑性应变增量
dij=c
d
p ij
式中c是材料常数，由试验确定。
对于Mises屈服条件，该模型可写成
ijcipj 2 3sijcipj sijcipj s
3 混合强化
1．塑性功 w p wp ijdipj 是目前岩土弹
塑性理论中用得较多的。
2．塑性应变
p ij
3．等效塑性剪应变
p S 23dipjdipj
4．塑性体应变
p v
xp
yp
zp
• 使用一组内变量（=1，2，…，n）描述塑性变形历史，
• 后继屈服条件 f (ij，)=0
随塑性变形的发展，不断变化，后继屈服面或加载面也随之改变。
• 在大塑性流动中，忽略弹性变形，得到LevyMises方程：
dijdipj sijd
•相对弹性力学问题，增加了d未知数，也增
加了一个方程（屈服条件）
•理想弹塑性问题，考虑平衡方程＋几何方程＋物理方程＋屈服条件
讨论：
• 当给定应力sij，由本构方程可确定应变增量 dij各分量的比例关系，由于d未知，不能确定应变增量dij的大小。
dipj
d
g
ij
关联流动法则
g f
dipj
d
f
ij
非关联流动法则
g f
• 展开为
dx pdy pdzpdx pydy pzdzpxd sx sy sz 2xy 2yz 2zx
• 考虑弹性应变，得到：
deij deiejdeipj
deij d2Gsij sijd
• 这就是Prandtl-Reuss方程。
e
• 随加载，屈服极限会不断提高，称为强化或硬化
• 新的屈服极限：
(s)new = Max() • 后继屈服条件（也称加载条件）
＝(s)new <(s)new
处于屈服状态处于卸载状态
• Max()随塑性变形历史单调增长， Max()＝(p)
• 后继屈服条件即加载条件也可表示为 (p)＝0
复杂应力状态
为了描述强化性质，需要：（1）记录塑性加载的历史；（2）描述强化与塑性加载历史的关系。
表达加载历史的参量为硬化参量，它又称为内变量（internal- variable），它不能由观测仪器直接观测求出，而应力变形一类可由仪器直接测出的量称外变量。
硬化参量记为
目前常用的硬化参量有如下几种：
2 s
3
0
加载（后继屈服）条件
3J2 s 0
3J20
23sijsij 0
( dp)0
函数可通过单轴拉伸下实验曲线确定
2. 随动强化
• 几何特点（在应力空间）：形状和大小、方向保持不变，只是中心位置发生改变，加载面作刚体移动。
• 物理意义：材料在强化后为各向异性。
• 数学表示：
f (ijij) k = 0 ij是一个表征加载面中心移动的应力值，称为
加载面形状和中心位置都不变，大小变化，形状相似的扩大。 • 物理意义：假定材料在强化后仍保持各向同性的性质。
• 数学表示： f (ij) k() = 0
等向强化可理解为材料某一方向上因加载屈服极限得到提高，所有其它方向的屈服极限都将因此而得到同等程度的提高。
Mises初始屈服条件
J2
f 0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f
ij
dij
0
f 0
f
ij
dij
0
f 0
f
ij
dij
0
加载
中性变载
卸载
对于硬化材料在软化阶段，加卸载条件在应力空间无法体现。
可以在应变空间进行描述为：
0
ij
dij
0
0
ij
dij
0
0
ij
dij
0
加载中性变载
卸载
5.3.2 流动法则
塑性位势理论：Mises将弹性位势理论推广到塑性理论，提出塑性流动方向（塑性应变增量矢量的方向）与塑性势函数的梯度方向一致：
• 需要判断应变往塑性变形发展还是弹性变化，即需要加卸载条件判断。
• 塑性变形时，应变和应力的关系如何，需要流动法则来解决。
• 塑性变形后，材料屈服极限是否提高，屈服曲面如何变化，由强化法则来判断。
加载条件和加载面
在单轴试验中，当应力超过初始屈服应力后发生塑性变形，卸载后重新加载其屈服应力将提高（强化）或减小（软化）。推广到三维情况下，在空间应力条件下这就相当于是加载面的移动、扩大或缩小，