包含与排除

包含与排除集合与元素：就是集合与个体；包含与被包含的关系。

1、集合通常用A、B 、C……2、集合分类╱交集：几个集合共同元素的个数。

符号记作∣∩∣╲并集：几个集合合并在一起，所有元素的实际总个数，符号∣∪∣╱1、例举法例：A{1、2、3、5、7} B{1、3、4、6、8}3、表示方法－2、图示法例：╲3、数值法例：∣A∣＝5∣∣B∣＝5 ∣A∩B∣＝2 ∣A∪B∣＝8❉两项公式：∣A∪B∣＝∣A∣＋∣B∣－∣A∩B∣∣A∩B∣＝∣A∣＋∣B∣－∣A∪B∣1、某班学生去图书馆借书，每人都借了课外书，统计结果是：借语文书的有39人，借数学书的32人，语文、数学两种都借的有26人，全班一共几人？2、桥南小学三年级学生采集标本，采集昆虫标准有27人，采集植物的有21人，两种标本都采集的有8人，全班共有多少人？3、一个班有学生54人，参加数学课外活动的有38人，参加语文课外活动的有29人，至少有多少人两样活动都参加了？❉如果没有搞特殊的，总数＝并集如果有搞特殊的，总数＝并集+特殊的4、某班36人在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人，问：有几个同学两题都不对？5、一个班42人订报纸，订《少年报》的人有32人，订阅《小学生报》的有27人，有多少人订阅两种报纸？6、有40名运动员，其中有25人会摔跤，有20人会击剑，有10人击剑、摔跤都不会。

问：既会摔跤又会击剑的运动员有多少人？7、学校开运动会，参加田赛的26人，参加径赛的30人，其中既参加田赛又参加径赛的有12人，田赛和径赛的都没有参加的有4人，这个班有多少人？8、在50名出国人员中，有4人既不懂英语也不懂日语，但其中有37人懂英语，有43人懂日语。

有多少人既懂英语又懂日语？9、幼儿园里，会弹钢琴的有25人，会拉手风琴的有20人，既会钢琴又会手风琴的有15人，两样都不会的有10人，这个班一共多少人？10、全班50名同学，只参加数学小组的27人，既参加数学小组又参加作文小组的有5人，两个小组都没有参加的4人，求只参加作文小组的有几人？11、有50名同学参加短跑和跳远，短跑达标的38人，跳远达标的31名，两项都达标22名，两项都没达标的多少人？12、学校田径队有40人以上参加比赛，有18人参加田赛，有28人参加径赛，问只参加田赛与只参加径赛的人数是多少？13、某班成立英语和微机小组，有25人参加英语小组，其中10人既参加英语又参加微机小组，没有参加微机的有18人。

第4讲包含与排除内容概述有重叠部分的若干对象的计数问题。

能利用文氏图进行辅助分析，弄清文氏图中每部分的含以；结合文氏图理解两个对象和三个对象的容斥原理；灵活处理具有一些不确定性的计数问题，以及其他形式的重复计数问题。

兴趣篇1．某次练习共有2道题，做对第一题的有40人，这40人中有13人第2题做错了，那么第1题第2题全对的共有多少人？答案：27人解析：40-13=27人。

2．暑假里，萱萱和小高一起讨论“金陵十八景”。

他们发现十八景中的每一处都有人去过，而且有五处是两人都去过的。

如果萱萱去过其中的十二景，那么小高去过其中的几景？答案：11景解析：方法一：画文氏图：圆A是萱萱去过的地方，圆B是小高去过的地方。

这样①号部分表示的是只有萱萱去过的地方，②号部分表示的是两个人都去过的地方，③号部分表示的是只有小高去过的地方。

根据条件知：萱萱去过12景，也就是圆A共12景；他们一共去了18景，所以圆A与圆B一共包括18景；于是③有18-12=6景。

两人都去过的有5景，也就是说②有5景。

小高去过的是②和③，共5+6=11景。

方法二：运用容斥原理：对于两个对象A和B，有这样的公式：A与B的总数=A+B-A和B的重叠。

因此小高去过的有18+5-12=11景。

3．在一群小朋友中，有12人看过动画片《黑猫警长》，有21人看过动画片《大闹天宫》，并且有8人两部动画片都看过。

请问：至少看过其中一部的小朋友有多少人？答案：25人解析：方法一：画文氏图：圆A表示看过《黑猫警长》的人，圆B表示看过《大闹天宫》的人，这样②是两个都看过的人，有8人。

有12人看过《黑猫警长》，①②共12人；有21人看过《大闹天宫》，②③共21人；只看过《大闹天宫》的人是③，它有21-8=13人。

因此，①②③加起来共有12+13=25人。

方法二：根据容斥原理，得12+21-8=25人。

4．一群小朋友共有40人，他们都喜欢吃馒头或者米饭中的一种或者两种，喜欢吃馒头的有30人，两种都喜欢吃的有7人，那么喜欢吃米饭的有多少人？答案：17人解析：方法一：画出文氏图解答（图略，可参考前两题）．只喜欢吃馒头的有30-7=23人；喜欢吃米饭的有40-23=17人．方法二：根据容斥原理，得40+7-30=17人。

华杯赛计数专题：4包含与排除基础知识：1.包含与排除的思想，是为了解决计数分类的过程中，出现重复计数的情况.2.基本的想法：减去重复计算的，多算了几次，就减几次，常用工具文氏图.3.两个对象及三个对象的容斥原理，利用文氏图帮助理解.4.容斥原理中的最值问题，可以利用线段图.引子：从7本不同的数学书和8本不同的语文书中，选出6本书，不能全是同一种的书，那么有多少种不同的选法？用前面学的知识能解决吗？还有别的方法吗？总结：当正面计数比较繁琐、困难时，可以从反面考虑，即从总的数量减去不符合要求的数量.例1.学生要从八门课中选学三门，如果数学课与钢琴课时间冲突，不能同时学，那么共有几种选课的方法？【答案】50（种）【解答】所有的选课方法一共有种，数学课和钢琴课都选学的方法有种，其中代表数学课和钢琴课都选学，其中代表从剩余的课程中再选学1门.所以符合题意的选课方法一共有种.例2.从4台不同型号的TCL电视机和5台不同型号的Haier电视机中任意取出3台,其中至少要有TCL与Haier电视机各1台，不同的取法共有多少种?【答案】70（种）【解答】9台不同的电视，随意选取3台，一共有种方法.其中包括只选取Haier的方法一共种，还包括只选取TCL的方法一共种.所以符合题意的方法一共有84-10-4=70种.例3.7个同学站成一排，要求其中的甲不排头，乙不排尾，有多少种排法?思考：答案是吗？为什么【答案】3720（种）【解答】7个同学随意排列，共有种排法，若甲排在头，则剩下的6个同学全排列，一共有种排法，同理，若乙排在尾，一共有种排法，若同时满足甲在排头、乙在排尾，共有种排法，根据容斥原理，符合题意的排法共有种.例4.板报组有10名同学，每个人至少擅长绘画或写文章中的一种，已知其中7个人擅长绘画，5个人擅长写文章，要从中选出两个人担任组长，要求其中既有擅长绘画的也有擅长写文章的，那么有多少种选组长的方法？如果要从中选出两名同学去参赛，分别参加绘画比赛和作文比赛，那么有多少种参赛方法？【答案】32（种）【解答】因为10名同学中7个人擅长绘画，5个人擅长写文章，所以既擅长绘画又擅长写文章的有5＋7－10=2个人，所以只擅长绘画的有5个人，只擅长写文章的有3个人, 选组长可以分为三类：第一类：先从擅长绘画的人中选1个，再从剩下的人中选1个，共有5×5=25种选法；第二类：从既擅长绘画又擅长写文章的2个人选1个，再从擅长写文章的3个人中选1个，共有2×3=6种选法；第三类：选2个既擅长绘画又擅长写文章的，共有1种选法；综合共有25＋6＋+1=32种.例5.一次考试共有A、B、C三道题，一共有100个人参加了这次考试.其中，答对A 题的有50人，答对B题的有60人，答对C题的有20人.已知答对C题的人在A、B两道题中至少还答对了一道题，且只答对A题的有24人，只答对A题和B题的有10人，还有10个人A、B均未答对.那么有________个人只答对了B题.【答案】36（人）【解答】因为100人中有10人A、B两题均未答对，所以有90人至少答对A，B中的一道.又因为50人答对A题，60人答对B题，所以至少答对A、B两题的有50＋60－90=20人.即答对AB两题或答对ABC三题的人合起来有20个.而只答对AB两题的人有10个，所以ABC三个题全答对的人有20－10=10个.由于有24人只答对A题，所以还有50－24=26人答对A题和至少另外一道题.这26人答对的题目只有3种可能：AB、AC和ABC.由上面的结论知只答对AC两题的应该有26－20=6个人.由于答对C的人在A、B两题中至少答对一道，所以答对C的20个人答对的题目也只有三种可能：AC、BC和ABC.那么只答对BC两题的有20－6－10=4人.现在已知答对AB两题的有10人，答对BC两题的有4人，答对ABC的有10人，而至少答对B一个题目的一共有60人，所以只答对B一个题的有60－10－4－10=36人.例6.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有种.【答案】14（种）【解答】6个人中选4个，共有种选法，选4个男生，共有种选法，所以符合题意的选法共有种.例7.从6双手套中取出4只，则至少取出一双的方法有种.【答案】255（只）【解答】有6双手套，即12只，从12只中任选4只，共有种，若选出的4只均不同双，则分步进行，第一步，从6双中选出4双，共有种；第二步，在选出的4双中分别选出左手或右手，共有，根据乘法原理：若选出的4只均不同双的选法共有种，所以符合题意的选法共有种.例8.在4×4的方格表里写上两个A和两个B（每个方格里至多写一个字母），那么相同字母既不同行也不同列的写法有多少种？【答案】3960（种）【解答】写入两个A既不同行也不同列的写法共有种，同理写入两个B既不同行也不同列的写法共有种，依次写入A、B，共有种写法.若A、B写入同一个方格中，可以分为两类考虑，第一类：A、B有两个格子均重合，共有72种写法；第二类，A、B中有一个格子重合，共有种写法；所以若A、B写入同一个方格中共有种写法，综上符合题意的共有种写法。

教师1对1中小学课外辅导学生姓名：授课教师：贺琴年级：小升初 授课时间：包含与排除（容斥原理）集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数学中的最基本的概念之一。

如某班全体学生可以看作是一个集合， 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9便组成 一个数字集合。

组成集合的每个事物称为这个集合的元素。

如某班全体学生组成 一个集合，每一个学生都是这个集合的元素，数字集合中有 10个元素。

两个集合中可以做加法运算，把两个集合 A 、B 合并在一起，就组成了一个 新的集合CO 计算集合C 的元素的个数的思考方法主要是包含与排除： 先把A 、B 的一切元素都“包含”进来加在一起，再“排除” A 、B 两集合的公共元素的个数，减去加了两次的元素，即：C=A÷ B - ABb在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，搞清数量 关系的逻辑关系。

有些语言不易表达清楚的关系，用了适当的图形就显得很直观、 很清楚，因而容易进行计算。

1、六年级96名学生都订了报纸，有64人订了少年报，有48人订了小学生报。

两种报纸都订的有多少人?［分析］用左边的圆表示订少年报的 64人，右边的圆表示订小学报的 48人，中间重叠部 分表示两种报刊都订的人数。

显然，两种报刊都订的人数被统计了两次：64+ 48=112人，比总人数多112 — 96=16人，这16人就是两种报刊都订的人数。

【练习】1、一个班的52人都在做语文和数学作业。

有32人做完了语文作业，有35人做 完了数学作业。

语文、数学作业都做完的有多少人？科目：数学 学生签字：2、六年级有122人参加语文、数学考试，每人至少有一门功课得优。

其中语文得优的有65人，数学得优的有87人。

语文、数学都得优的有多少人？3、某班有50名学生，在一次测验中有26人满分，在第二次测验中有21人满分如果两次测验都没得过满分的学生有17人，那么，两次测验都得满分的有多少人？2、某校教师至少懂得英语和日语中的一种语言。

101中学坑班2013年春季四年级第十一讲包含与排除及答案一、 知识要点日常生活或数学问题中，在把一些数据按照某个标准分类时，常常出现其中的一部分数据同时属于两种或两种以上不同的类别，这样在计算总数时就会出现重复计算的情况，这类问题就叫做重叠问题，容斥原理就是重叠问题的解题原理，也叫包含与排除原理。

在数学里，我们把具有某种相同性质的对象放在一起考虑，这些相同性质的对象便组成了一个“集合”，每个集合总是由一些成员组成的，集合中的这些成员叫做这个集合的元素。

名词解释：（1）由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 、B 的并集（又叫A 与B 的和）。

记作A B ，记号“ ”读作“并”，A B 读作“A 并B ”。

（2）A 、B 两个集合公共的元素，也就是那些既属于A ，又属于B 的元素，它们所组成的集合叫做A 和B 的交集，记作“A B ”，记号“ ”读作“交”，A B 读作“A 交B ”。

二、 典型例题例1、四（1）班同学中有37人喜欢打乒乓球，26人喜欢打羽毛球，21人既爱打乒乓球又爱打羽毛球。

问全班喜欢打乒乓球或羽毛球活动的有多少人？解析：37+26-21=42人例2、四年级一班在期末考试中，语文得“优”的有15人，数学得“优”的有17人，老师请得“优”的同学都站起来，数了数有24人。

两科都得“优”的有几人？解析：15 + 17—24 = 8（人）或者15-（24-17）=8或者17-（24-15）=8例3、图新小学四年级二班有24人参加了美术小组，有18人参加了音乐小组，其中11人两个小组都参加，还有5人什么组都没参加。

这个班共有学生多少人？解析：24+18-11=31人 31+5=36人例4、某班学生参加音乐组的有11人，参加美术组的有8人，参加英语组的有12人，既参加音乐组又参加美术组的有5人，既参加音乐组又参加英语组的有3人，既参加美术组又参加英语组的有4人，三个组都参加的只有1人，问：至少参加一个组的有多少人？ 解析：11+8+12-5-4-3+1=20人例5、有82名参加数学与作文课外班的学生，其中参加作文班的有60人，参加数学班的有48人。

八、包含与排除姓名知识概要：包含与排除问题也叫容斥原理。

“容”是容纳、包含的意思，“斥”是排斥、排除的意思，从题目名称上看，比较抽象，主要是解决好重复部分的问题，下面我们结合具体实例来说明这种问题的思考方法。

例1、把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条。

已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？例2、某校一个歌舞表演队里，能表演独唱的有10人，能表演跳舞的有18人，两种都能表演的有7人。

这个表演队共有多少人能登台表演歌舞？例3、三年级四班组织了一次象棋和军棋的棋类比赛，参加象棋比赛的有35人，参加军棋比赛的有24人，有16人两项比赛都参加了。

这个班参加棋类比赛的共有多少人？例4、一班有45人，其中26人参加了数学竞赛，22人参加了作文比赛，12人两项比赛都参加了。

一班有多少人两项比赛都没有参加？例5、四1班有48名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有30人，写完数学作业的有20人，语文数学都没写完的有6人。

（1）问语文数学都写完的有多少人？（2）只写完语文作业的有多少人？超级训练：1、六年级206名学生都订了刊物，有164人订了少年报，有58人订了学生报，两种刊物都订的有多少人？2、某班有60名学生，在一次测验中有36人满分，在第二次测验中有31人满分，如果两次测验都没有得过满分的学生有17人，那么，两次测验都获满分的有多少人？3、五年级有50人参加棋类比赛，参加象棋比赛的有33人，参加军棋比赛的有26人，五年级两项比赛都参加的有多少人？4、在100个大学生中，懂英语的75人，懂日语的45人，其中必然有既懂英语又懂日语的学生，问：只懂英语的大学生有多少人？5、第一实验小学的每个学生至少爱好体育和文娱中的一种活动，已知有1200人爱好体育活动，有1400人爱好文娱活动，其中260人两种活动都爱好。

这个学校共有学生多少人？6、四年级有212人参加语文、数学考试，每人至少有一门功课得优，其中，语文得优的有115人，数学得优的有137人，语文、数学都得优的有多少人？7、一个班的52人都在做语文和数学作业，有32人做完了语文作业，有35人做完了数学作业，这个班数学语文作业都做完的有多少人？8、第一小组的同学们都在做两道数学思考题，做对第一题的有15人，做对第二题的有10人，两题都做对的有7人，两题都做错的有2人，第一小组一共有多少人？。

包含与排除（一）包含与排除问题也叫容斥原理。

“容”是容纳、包含的意思，“斥”是排斥、排除的意思，从题目名称上看，比较抽象，下面我们结合具体实例来说明这种问题的思考方法。

【典型例题】例1：如下图，桌面上放着两个正方形，求盖住桌面的面积。

（单位：厘米）分析与解：这是一个组合图形，是由两个正方形组成的，中间重合部分是一个长方形，要想求出盖住桌面的面积，可以有三种不同方法：方法一：方法二：方法三：答：盖住桌面的面积是64平方厘米。

例2：四（1）班同学中有37人喜欢打乒乓球，26人喜欢打羽毛球，21人既爱打乒乓球又爱打羽毛球。

问全班喜欢打乒乓球或羽毛球活动的有多少人？分析与解：根据题意可画图如下此类问题画集合图比画线段图更直观，更形象一些。

方法一：37 + 26—21 = 42（人）方法二：37—21 + 26 = 42（人）方法三：37 +（26—21）= 42（人）以上三种方法是紧密联系的，都是要从中减去重叠部分，可以从其中一部分中减去，再与另一部分合并，也可以从两部分之和中减去重叠部分。

三种方法比较，你喜欢哪一种解法呢？我们根据以上两个例题可以得出这样的数量关系：第一部分 + 第二部分—重叠部分 = 两部分之和例3：四年级一班在期末考试中，语文得“优”的有15人，数学得“优”的有17人，老师请得“优”的同学都站起来，数了数有24人。

两科都得“优”的有几人？分析与解：根据“第一部分 + 第二部分—重叠部分 = 两部分之和”可以求出两科都得“优”的人数。

15 + 17—24 = 8（人）另外，从下图中我们还能得出两种不同方法方法二：17—（24—15）= 8（人）15—（24—17）= 8（人）答：两科都得优的有8人。

例4：图新小学四年级二班有24人参加了美术小组，有18人参加了音乐小组，其中11人两个小组都参加，还有5人什么组都没参加。

这个班共有学生多少人？分析与解：这个题与例2相比，多了一个已知条件，那就是“有5个人什么组都没参加”。

| 四年级·提高班 教师版 | 第6讲包含与排除| 四年级·提高班 教师版 | 第6讲包含与排除的实质为容斥原理。

第一要点：如果被计数的事物有A 、B 两类，那么A 类或B 类元素个数=A 类元素个数+B 类元素个数一既是A 类又是B 类的元素个数。

第二要点：如果被计数的事物有A 、B 、C 三类，那么A 类或B 类或C 类元素个数=A 类元素个数+B 类元素个数+C 类的元素个数一既是A 类又是B 类的元素个数－既是B 类又是C 类的元素个数－既是C 类又是A 类的元素个数+既是A 类又是B 类且是C 类的元素个数。

例1：如右图所示，两个长方形A 和B 的面积分别是21和9平方厘米，它们重叠部分C 的面积为4平方厘米，这两个长方形盖住桌面的面积是多少？分析：长方形A 和B 的面积分别是21和9平方厘米，它们重叠部分C 的面积是4平方厘米，由图可知A 、B 两个长方形盖住桌面积为两个长方形的面积和减去重叠部分C 的面积。

专题解析典型例题解析A 21B 9C 4| 四年级·提高班 教师版 | 第6讲练习11.把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条。

已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？2.用一根6米长的竹竿测量井的深度，先将一端竖直插入水中，拿出来，再将另一端也竖直插入水中，两次共同弄湿的部分长2米，请问这口井深多少米？3.某校同学参加全市的数学和语文学科竞赛，结果有23人获得数学竞赛优胜奖，有15人获得语文竞赛优胜奖，其中有8人两门学科都获得优胜奖。

问这所学校有多少名学生获奖？4.某小学四年级四班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加。

这个班有多少人参加了兴趣小组？5.电视台向100人调查昨天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，11人两个频道都看过。

问：两个频道都没看过的有多少人？| 四年级·提高班 教师版 | 第6讲6.某校四年级共有132名学生，学生们自愿报名参加课外活动小组。

学生姓名: 年级:小升初科目:数学授课教师:贺琴授课时间: 学生签字:包含与排除(容斥原理)集合就是指具有某种属性得事物得全体,它就是数学中得最基本得概念之一。

如某班全体学生可以瞧作就是一个集合,0、1、2、3、4、5、６、7、8、９便组成一个数字集合。

组成集合得每个事物称为这个集合得元素。

如某班全体学生组成一个集合,每一个学生都就是这个集合得元素,数字集合中有10个元素。

两个集合中可以做加法运算,把两个集合A、B合并在一起,就组成了一个新得集合C。

计算集合C得元素得个数得思考方法主要就是包含与排除:先把A、B 得一切元素都“包含"进来加在一起,再“排除”Ａ、B两集合得公共元素得个数,减去加了两次得元素,即:C=A+B－AB。

在解包含与排除问题时,要善于使用形象得图示帮助理解题意,搞清数量关系得逻辑关系、有些语言不易表达清楚得关系,用了适当得图形就显得很直观、很清楚,因而容易进行计算。

1、六年级９６名学生都订了报纸,有64人订了少年报,有4８人订了小学生报。

两种报纸都订得有多少人？［分析］用左边得圆表示订少年报得6４人,右边得圆表示订小学报得48人,中间重叠部分表示两种报刊都订得人数。

显然,两种报刊都订得人数被统计了两次:６4+４8＝1１２人,比总人数多112—9６=1６人,这1６人就就是两种报刊都订得人数。

【练习】1、一个班得52人都在做语文与数学作业、有3２人做完了语文作业,有3５人做完了数学作业、语文、数学作业都做完得有多少人？2、六年级有1２2人参加语文、数学考试,每人至少有一门功课得优、其中语文得优得有６５人,数学得优得有87人。

语文、数学都得优得有多少人？3、某班有50名学生,在一次测验中有26人满分,在第二次测验中有21人满分。

如果两次测验都没得过满分得学生有1７人,那么,两次测验都得满分得有多少人？2、某校教师至少懂得英语与日语中得一种语言、已知有35人懂英语,３4人懂日语,两种语言都懂得有21人。