包含与排除练习题

和倍问题基本公式和÷（倍数和）=1倍数1倍数⨯倍数=几倍数例1 某校四年级选出48人到区里参加珠算竞赛，其中女同学是男同学的2倍，问：这个学校参加珠算竞赛的男、女生各多少人？练1 五年级学生参加文艺小组和科技小组的共有108人，参加文艺小组的人数是参加科技小组人数的2倍，参加两个小组的各有多少人？练2 师徒二人共加工零件42件，师傅加工数是徒弟的5倍，师徒各加工多少件？例2 小明买了14张画片，小刚买了10张画片，小明送给小刚几张后，小刚的画片张数是小明的3倍？练1 甲、乙两个数之和为72，甲数除乙数商是2，甲、乙两个数各是多少？练2 父子年龄的和是50岁，再过5年父亲的年龄是儿子的4倍，父子现在的年龄各是多少岁？例3 甲、乙二人共有钱810元，甲比乙的3倍还多10元，甲、乙二人各有钱多少元？练1 两个数的和是29，大数除以小数商是4，余数也是4，两个数各是多少？练2 一个除法算式，商是18，余数是4，被除数与除数的和是270，问：除数、被除数各是多少？例4 两个整数相除得商数是12，余数是26，被除数、除数、商数及余数的和等于454。

除数是多少？被除数是多少？练1 被除数比除数的3倍多1，并且被除数、除数、商、余数的和是81，求被除数、除数各是多少？练2 某公社有两个仓库共存粮84吨，已知甲仓库存粮比乙仓库的4倍少1吨，甲、乙两仓库各存粮多少吨？练3 甲站有车192辆，乙站有车48辆，每日从甲站开往乙站的有21辆，从乙站开往甲站的有24辆。

问：如此经过几天后，甲站车辆是乙站车辆的7倍？例5 白、红、黄三种棋子共56颗，白棋子是红棋子的2倍，红棋子是黄棋子的2倍，三种棋子各是多少颗？练1 红、黄、白三种棋子共48颗，红的是黄的3倍，白的是黄的2倍，三种棋子各是多少颗？练2 三个生产队合挖一条长1902米的水渠，第一队挖的是第二队的2倍，第三队挖的是第二队的3倍，三个队各挖了多少米？例6 甲、乙、丙三个数，甲数是乙数的2倍多100，乙数是丙数的2倍多50，已知三个数的和是950，三个数各是多少？练1 胜利化肥厂3天共生产2540袋，第二天生产的比第一天生产的2倍少60袋，第三天生产的比第一天生产的3倍少100袋，三天各生产了多少袋？练2 甲、乙、丙三人，甲的年龄比乙的年龄的2倍还大3岁，乙的年龄比丙的2倍小2岁，三个人年龄之和是109岁，分别求出三个人的年龄。

包含与排除知识要点在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。

求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B=+-U I (其中符号“U”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“I”读作“交”，相当于中文“且"的意思。

)，则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理。

图示如下:I，即阴影面积。

A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B1、先包含——A B+重叠部分A BI计算了2次，多加了1次；2、再排除——A B A B+-I把多加了1次的重叠部分A BI减去。

两者容斥【例 1】 把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条。

已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B U 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +（意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =I （意思是“排除”了重复计算的元素个数）。

A 类、B 类与C 类元素个数的总和=A 类元素的个数+B 类元素个数+C 类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数。

用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+U U I I I I I图示如下：图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数。

1. 先包含——A B C ++A B I 、B C I 、C A I 重叠了2次，多加了1次。

2. 再排除——A B C A B B C A C ++---I I I重叠部分A B C I I 重叠了3次，但是在进行A B C A B B C A C ++---I I I 计算时都被减掉了。

包含与排除例1、一个班有学生42人，参加体育代表队的有30人，参加文艺代表队的有25人，并且每个人都至少参加一个队，这个班两队都参加的有几个人？同类练习：1、一个班有学生45人，参加数学兴趣班小组的有30人，参加音乐兴趣班小组的有22人，并且每人至少参加一个组，这两个班两组都参加的有多少人？2、某纺织厂的女工，每人至少参加业余唱歌，舞蹈组中的一个组，有30人参加唱歌组，有36人参加舞蹈组，两个组都参加的有10人，大华纺织厂有女工多少人？例2、五年级某班62个同学在课堂小测验中，答对第一道题的有52人，答对第二题的有49人，两题都答对的有43人，两题都没有答对的有几个人？同类练习：1、某班39个同学在一项测试中，答对第一题的有28人，答对第二题的有26人，两题都答对的有18人，问两题都答对的有几人2、某班有58个同学，其中35人参加数学兴趣组，引入参加科技兴趣组，有27个人两个小组都参加那么有多少人两个小组都没有参加？例3、某班58人，参加数学竞赛的有29人，参加语文竞赛的有28人，如果两科都没有参加的有25人，同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？同类练习：1、一个旅行团有42人，其中会法语的有21人，会英语的有30人，两样都不会的有6人，两样都会的有多少人？2、四年级一班参加舞蹈队的有16人，参加合唱队的有28人，即参加合唱队又参加舞蹈队的有14人，这两堆都没有参加的有20人，请问这个班共有多少人？例4、同学们排成方队表演体操，不管是从前边还是后边数，不管是从左边还是从右边数，小晨都排在第11个，参加方队表演的一共有多少人？同类练习：1、同学们参加方队表演体操，不管是从前面还是后面数，不管是从左边还是右边数，小红都排在第8个，参加方队表演的一共有多少人？2、五（1）班同学排成4队做操，每队人数一样多，小华的位置是：从前面数第7个，从后面数第9个，这个班共有多少个学生？例5、育才小学举办学生美术作品展览，学校的橱窗里共展出各个年级学生作品，其中有22副不是四年级的，有28副部是五年级的，四、五年级的参展作品共有12副，其他年级参展的作品共有多少副？同类练习：1、新年到了，某小学把同学们制作的新年贺卡进行展览，学校的走廊里挂出各年级同学的作品，其中76张不是二年级的，有98张不是一年级的，一、二年级的参展作品共有24张，其他年级参展的作品共有多少张？2、儿童节那天学校举办各年级同学的书法作品展览，其中有26副不是五年级的，有30副不是六年级的，五、年年级的参展作品共20副，一、二年级参展的作品总数比三、四年级的作品总数少6副，三、四年级作品共有多少副？例6、在1~100的自然数中，即不是3年的倍数也不是5飞倍数的数，有多少个？同类练习：1、在1到100的自然数中，既不是6也不是7的倍数有多少个？2、在1到120的全班自然数中，既不是3的倍数也不是6的倍数有多少个？例7、全班同学对作文、数学、自然三科中至少有一门感兴趣，其中30人喜欢作文，32人喜欢数学，21喜欢自然，既喜欢作文又喜欢数学的有15人，既喜欢数学又喜欢自然的有12人，既喜欢作文又喜欢自然的有14人，三门都喜欢的有8人，求全班人数。

【例1】五年级二班40 名同学，其中有25 人没参加数学小组，有18 人参加航模小组，有10 人两个小组都参加．那么只参加了一个小组的学生有多少人？【试一试】1. 李老师出了两道题，全班40 人中，第一题有30 人做对，第2 题有12 人未做对，两题都做对的有20 人．（1）第1 题不对、第2 题对的有几个人？（2）两题都不对的有几个人？【例2】渔乡小学举行长跑和游泳比赛，共305 人参加．有150 名男生和90 名女生参加长跑比赛，有120 名男生和70 名女生参加游泳比赛，有110 名男生两项比赛都参加了．请问：只参加游泳而没参加长跑的女生有多少人？【试一试】1. 某校参加数学竞赛的有120 名男生、80 名女生，参加语文竞赛的有120 名女生、80 名男生．已知该校共有260 名学生参加竞赛，其中75 名男生两科竞赛都参加了，那么只参加数学竞赛而没有参加语文竞赛的女生有多少人？2、三位基金经理投资若干只股票．张经理买过其中66 只，王经理买过其中40 只，李经理买过23 只．张经理和王经理都买过的有17 只，王经理和李经理都买过的有13 只，李经理和张经理都买过的有9 只，三个人都买过的有6 只．请问：那么这三位经理一共买过多少只股票？3.卡莉娅用三块长方形桌布相互重叠地铺在一张长方形桌子上，正好将桌子完全覆盖．已知三块桌布的面积分别是40 平方分米、36 平方分米和27 平方分米，其中第一块和第二块桌布重叠的面积为5平方分米，第二块和第三块重叠了7 平方分米，而第一块和第三块则重叠了4 平方分米．如果三块重叠的部分等于2 平方分米，那么这张桌子的面积是多少？【例3】培英学校有学生1000 人，其中500 人订阅了《中国少年报》，350 人订阅了《少年文艺》，250 人订阅了《数学报》，至少订阅两种报刊的有400 人，订阅了三种报刊的有100 人．请问：这个学校有多少人没有订报？【试一试】1. 五年级一班共有41 个同学，将参加绘画、航模、舞蹈三个兴趣小组，要求每人都选其中的两项．已知航模组有27 人，那么同时选绘画和舞蹈的同学有多少人？图书室有100 本书，借阅图书者需在图书上签名．已知这100 本书中有甲、乙、丙签名的分别有33本、44本和55本，其中同时有甲、乙签名的图书为29本，同时有甲、丙签名的图书为25本，同时有乙、丙签名的图书为36本．问：这批图书中最少有多少本没有被借阅过？2. 五年级一班有46人，其中有40人会骑自行车，38人会打乒乓球，35人会打羽毛球，则该班这三项运动都会的至少有多少人？3. 有100 名同学回答A、B 两个问题．都没有回答对的有10 人，答对A 的有75 人，答对B 的有83 人，两题都答对的有多少人？4. 在游艺会上，有100 名同学抽到了标签分别为1 至100 的奖券．按奖券标签号发放奖品的规则如下：标签号为2 的倍数，奖2 支铅笔；标签号为3 的倍数，奖3 只铅笔；标签号既是2 的倍数，又是3 的倍数可重复领奖；其他标签号均奖1 支铅笔．那么游艺会应该准备多少支铅笔作为奖品？5. 一根长木棍上有两种刻度，第一种刻度线将木棍10 等分，第二种刻度线将木棍12 等分．如果沿每条刻度线将木棍锯断，那么木棍总共被锯成多少段？6. 中国田径队的40 名运动员们在训练基地进行封闭训练．其中男运动员有20 名，训练长跑的运动员有15 名，训练竞走的女运动员有8 名，那么训练长跑的男运动员有多少名？7. 五年级共有110 人，其中92 人参加了语文小组，51 人参加了英语小组，58 人参加了数学小组，至少参加2 个小组的有80 人，参加了三个小组的有20 人．那么五年级有多少人没有参加小组？。

四年级思维拓展之包含与排除1.把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条。

已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？2.某小学三年级四班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加。

这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？3.在前100个自然数中，能被2或3整除的数有多少个？4.某科室有12人，其中6人会英语，5人会俄语，5人会日语，有3人既会英语又会俄语，有2人既会俄语又会日语，有2人既会英语又会日语，有1人英、日、俄这三种语言全会，只会一种外语的人比一种外语也不会的人多多少人？5.全班有46名同学，仅会打乒乓球的有18人，既会打乒乓球又会打羽毛球的有7人，既不会打乒乓球又不会打羽毛球的有6人。

问：仅会打羽毛球的有多少人？6.某班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个小组都参加了。

这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？7.有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语。

问既懂英语又懂俄语的有多少人？8.三年级科技活动组共有63人。

在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有42人，装配好一架飞机模型的同学有34人。

每个同学都至少完成了一项活动。

问：同时完成这两项活动的同学有多少人？9.在春光小学“创造杯”展览会上，展品中有26件不是六年级的，有25件不是五年级的.已知五、六年级展品共35件，那么五年级的展品有____件.10.四1班有48名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有30人，写完数学作业的有20人，语文数学都没写完的有6人。

（1）问语文数学都写完的有多少人？（2）只写完语文作业的有多少人？参考答案1.【解答】分析：焊接部分为两根铁条的重合部分，由包含排除法知，焊接后这根铁条长：38＋53-4＝87(厘米)。

2.【解答】分析：如图所示，A圆表示参加语文兴趣小组的人，B圆表示参加数学兴趣小组的人，A与B重合的部分C(阴影部分)表示同时参加两个小组的人。

五年级奥数－包含与排除1.某班有40名学生，其中有15人参加数学小组，18人参加航模小组，有10人两个小组都参加。

那么有多少人两个小组都不参加？2.50名同学面向老师站成一行，老师先让大家从左至右按1，2，3， (49)50依次报数；再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转。

问：现在面向老师的同学还有多少名？3.在从1至100的自然数中，既不能被5除尽也不能被7除尽的数有多少个？4.在前1000个自然数（不包括0）中，既不是平方数也不是立方数的自然数有多少个？5.有三个面积各为20平方厘米的圆纸片放在桌上，见下图。

三个纸片共同重叠的面积是8平方厘米，三个纸片盖住桌面的总面积是36平方厘米。

问：图中阴影部分的面积之和是多少？五年级奥数－包含与排除答案1.解析：40=--人。

(+)171015182.解析：面向老师的学生包括报数既不是4的倍数也不是6的倍数、报数既是4的倍数也是6的倍数即12的倍数的同学，共计38+[=-+50-人。

)]44812(3.解析：1000=(-+-个。

142686200)284.解析：前1000个自然数中，平方数有：1，4，9，16，25，36， (900)961，共计31个；立方数有1，8，27，64，125，216，343，521，729，1000，共计10个；既是平方数又是立方数的有1，64，729，共计3个。

所以既不是平方数也不是立方数的有9621000=+-个。

-)3(10315.解析：2⨯-=-⨯。

88236320cm。

复习盈亏问题1、少先队员到山上植树，如果每人载4棵，还剩18棵树苗，如果每人栽8棵，则少6棵树苗。

问：有多少名少先队员？多少棵树苗？2、活动课某班同学们参加拔河比赛，分成若干组，每组8人。

后来改成12人，结果少两组。

问全班有多少人？3、老师给大班小朋友分桃子，若8位小朋友每人分到3个，其余小朋友各分到5个，则还余54，若每人分到7个则正好分完。

问小朋友人数和桃子总数？4同学们秋游去公园划船，如果租船增加1条，那么正好每条船坐6人，如果少一条那么正好每条船坐8人。

问这个班共有多少人？包含与排除1、同学们到图书馆借书。

四（1）同学每人都借到课外书，其中借文艺书有40人，借科技书的有30人，两种书都借的有25，四（1）班共有多少人？2、四年级二班有46人，其中会弹琴的有30人，会拉小提琴的有28人，则这个班既会弹钢琴又会拉小提琴的有多少人？3、期末考试小芳的语文成绩和自然成绩加起来是187分，语文成绩和数学成绩加起来195分，数学成绩和自然成绩加起来是190分，那么小芳的语文成绩是多少?4、小玲会唱19首歌，小丽会唱24首歌，两人一共会唱的歌有36首，两人会唱的歌有几首？5、一个班级有48人，班主任在会上问：“谁做完语文作业的？这时有37人举手，又问”谁做完数学作业的有42人举手。

最后问“谁语文、数学作业都没有做完的？没有人举手。

这个班级语文、数学作业都玩的有多少？6、某班级40人在一次体育达标测试中，立定跳远达标的有26人，50米跑达标的有24人，两项都达标的有15人，有多少人两项都没有达标？7、四年级有48人，23人参加科技小组，26人参加文艺小组，12人两个小组都参加了。

有多少人两个小组都没有参加？8、一个旅行团有40人，其中会英语的有24人，会俄语的有18人，两样都不会的有14人，那么，两样都会的有多少人？9、某校进行体育竞赛，项目有短跑、游泳、跳高。

其中参加短跑的有75人，游泳的有52人，跳高的有38人，同时参加短跑与游泳的有26人、短跑与跳高有22人、游泳与跳高的有10人；三项都参加的有2人。

包含与排除例1．五年级有168人参加语文、数学考试，每人至少有一门功课获优，其中语文获得优的有87人，数学获优的有109人，问，语文和数学都获优的有多少人？例2．某班有56名同学，在一次测验中有25人得满分，在第二次测验中有23人得满分，如果两次测验中都没有得过满分的学生有18人，那么，两次测验中都得满分的人有多少？例3．某班一次测验中有28人语文获优，有30人数学获优，其中语文、数学都获优的有13人，另外还有8人语文、数学均未获优，这个班共有多少学生？例4．80个英语、日语老师中，懂英语的有65人，懂日语的有35人，其中必有既有懂英语又懂日语的老师，问只懂英语的老师有多少人？例5．周老师针对42人做问卷调查，结果18人喜欢阅读，22人喜欢写作，16人喜欢朗诵，6人喜欢阅读和写作，8人喜欢阅读和朗诵，9人喜欢写作和朗诵，还有6人同时有三种爱好，有多少人这三中爱好都没有？例6．在1到100的自然数中，能被5或7整除的数共有多少个？例7．在1—100的全部自然数中，既不是6的倍数也不是5的倍数的数有多少个？例8．从100—1000的所有自然数中既不是3也不是5的倍数的数有多少个？练一练1.有20名同学做两道数学思考题，做对第一题的有10人，做对第二题的有15人，两题都做错的人有2人，求两道题都做对的有多少人？2.五年级有112名同学参加语文、数学考试，每人至少有一门获优，已知语文获优者60人，数学获优者73人，求只有语文获优的人数？3.一批教师会英语的有235人，会俄语的有218人，会法语的有207人，既会英语又会俄语的有112人，既会英语又会法语的有71人，既会俄语又会法语的有63人，三种都会的有19人，三种都不会的有17人，这批教师共有多少人？4.有50名同学面向老师站成一行，老师让大家从左到右按1、2、3、……49、50一次的报数，再让报数是4的倍数的同学向后转，再让报数是6的倍数的同学在向后转，问现在面向老师的同学有多少名？5.在1—1000这1000个自然数中，不能倍3、5、7整除的数有多少个？6.某外语学习班有40名学员，规定他们至少学习英语、日语、德语中的一种，结果学习英语的有20人，学习日语的有12人，学习德语的有18人，其中有5人既学习了英语又学习了日语，有2人既学习了日语又学习了德语，没有人同时学习三种语言，既学习英语又学习德语的有多少人？7. 在游艺会上，有100名同学抽到了标签分别为1至100的奖券。

五年级奥数：包含与排除五年级奥数：包含与排除1、某班有40名学生，其中有15人参加数学小组，18人参加航模小组，有10人两个小组都参加。

那么有多少人两个小组都不参加？解：两个小组共有（15+18）-10=23（人），都不参加的有40-23=17（人）答：有17人两个小组都不参加。

解：45-29-10+3=9（人）答：语文成绩得满分的有9人。

解：4的倍数有50/4商12个，6的倍数有50/6商8个，既是4又是6的倍数有50/12商4个。

4的倍数向后转人数=12，6的倍数向后转共8人，其中4人向后，4人从后转回。

面向老师的人数=50-12=38（人）答：现在面向老师的同学还有38名。

解：2的倍数有100/2商50个，3的倍数有100/3商33个，2和3人倍数有100/6商16个。

领2支的共准备（50-16）*2=68，领3支的共准备（33-16）*3=51，重复领的共准备16*（2+3）=80，其余准备100-（50+33-16）*1=33共需要68+51+80+33=232（支）答：游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有232支。

5、有一根长为180厘米的绳子，从一端开始每隔3厘米作一记号，每隔4厘米也作一记号，然后将标有记号的地方剪断。

问绳子共被剪成了多少段？解：3厘米的记号：180/3=60，最后到头了不划，60-1=59个4厘米记号：180/4=45，45-1=44个，重复的记号：180/12=15，15-1=14个，所以绳子中间实际有记号59+44-14=89个。

剪89次，变成89+1=90段答：绳子共被剪成了90段。

解：1，2，3，4，5年级共有16，1，2，3，4，6年级共有15，5，6年级共有25所以总共有（16+15+25）/2=28（幅），1，2，3，4年级共有28-25=3（幅）答：其他年级的画共有3幅。

7、有若干卡片，每张卡片上写着一个数，它是3的倍数或4的倍数，其中标有3的倍数的卡片占2/3，标有4的倍数的卡片占3/4，标有12的倍数的卡片有15张。

包含与排除（一）包含与排除问题也叫容斥原理。

“容”是容纳、包含的意思，“斥”是排斥、排除的意思，从题目名称上看，比较抽象，下面我们结合具体实例来说明这种问题的思考方法。

【典型例题】例1：如下图，桌面上放着两个正方形，求盖住桌面的面积。

（单位：厘米）分析与解：这是一个组合图形，是由两个正方形组成的，中间重合部分是一个长方形，要想求出盖住桌面的面积，可以有三种不同方法：方法一：方法二：方法三：答：盖住桌面的面积是64平方厘米。

例2：四（1）班同学中有37人喜欢打乒乓球，26人喜欢打羽毛球，21人既爱打乒乓球又爱打羽毛球。

问全班喜欢打乒乓球或羽毛球活动的有多少人？分析与解：根据题意可画图如下此类问题画集合图比画线段图更直观，更形象一些。

方法一：37 + 26—21 = 42（人）方法二：37—21 + 26 = 42（人）方法三：37 +（26—21）= 42（人）以上三种方法是紧密联系的，都是要从中减去重叠部分，可以从其中一部分中减去，再与另一部分合并，也可以从两部分之和中减去重叠部分。

三种方法比较，你喜欢哪一种解法呢？我们根据以上两个例题可以得出这样的数量关系：第一部分 + 第二部分—重叠部分 = 两部分之和例3：四年级一班在期末考试中，语文得“优”的有15人，数学得“优”的有17人，老师请得“优”的同学都站起来，数了数有24人。

两科都得“优”的有几人？分析与解：根据“第一部分 + 第二部分—重叠部分 = 两部分之和”可以求出两科都得“优”的人数。

15 + 17—24 = 8（人）另外，从下图中我们还能得出两种不同方法方法二：17—（24—15）= 8（人）15—（24—17）= 8（人）答：两科都得优的有8人。

例4：图新小学四年级二班有24人参加了美术小组，有18人参加了音乐小组，其中11人两个小组都参加，还有5人什么组都没参加。

这个班共有学生多少人？分析与解：这个题与例2相比，多了一个已知条件，那就是“有5个人什么组都没参加”。

答：有 5 人两题都没答对。
例 1. 四（一）班学生完成作业的情况是：每人至少完成了语文、数学中的一门作业，完成语文
作业的有 40 人，完成数学作业的有 36 人，语文、数学作业都完成的有 28 人。这个版学生 有多少人
试一试： 四（一）班有 48 人，在六一儿童节庆祝活动中，参加运动会体育比赛项目的有 35 人，参
人，两种棋都会下的有几人？ 5.有 100 位旅客，其中有 10 人既不懂英语，又不懂俄语，有 75 人懂英语，有 83 人懂俄
语，那么这 100 位旅客中，既懂英语又懂俄语的有多少人？
6.某校四年级有学生 135 人，报名参加体育组的有 120 人，参加文艺组的有 98 人，规定： 每人至少参加一项。问：只参加体育小组和只参加文艺小组的各有多少人？
例 1. 四（一）班学生完成作业的情况是：每人至少完成了语文、数学中的一门作业，完成语文
作业的有 40 人，完成数学作业的有 36 人，语文、数学作业都完成的有 28 人。这个版学生 有多少人 完成语文作业的有 40 人 完成数学作业的有 36 人 语文、数学（40+36）-28=48（人） 方法二：40+（36-28）=48（人） 方法三：36+（40-28）=48（人） 答：这个班学生有 48 人。 注意:对于包含与排除的问题，在求总和时，必须弄清部分关系。如果有重复，把各部分相 加，再去掉重复；如果没有重复，直接把各部分相加。 “圆圈图”（维恩图） 例 2. 某班 50 名学生没人至少订一种报纸，订《少年报》的有 33 人，订《小学生报》的有 29 人，两种都订的有多少人？
五（三）班有 56 人，在田径运动会上有 36 人参加径赛，有 30 人参加竞田赛，这两种都 没参加的有 18 人。两种都参加的有几人？

小学数学《包含与排除》练习题（含答案）内容概述同学们对这个题目可能很陌生，为了搞清楚什么是“包含与排除”，大家先一起回答两个问题：(1) 如右图（1），两个面积都是4厘米2的正方形摆在桌面上，它们遮盖住桌面的面积是8厘米2吗？(2) 如右图（2），一个正方形每条边上有6个点，四条边上一共有24个点吗？聪明的同学马上就会发现：(1) 两个正方形的面积和是8厘米2，现在它们有一部分重叠了。

因此盖住桌面的面积应当从两个正方形的面积和中减去重叠的这部分面积，所以盖住桌面的面积应少于8厘米2。

(2) 四个角上的点，每个点都在两条边上，因此被重复计算了，在求四条边上共有多少点时，应当减去重复计算的点，所以共有6×4-4＝20(个)点。

这两个问题，在计算时，都采用了“去掉”重复的数值(面积或个数)的方法。

当需要计数的两类事物互相包含（有部分重复交叉）时，应把重复计数的部分排除掉。

在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。

我们用|A|表示有限集A的元素个数。

求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成： |A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|，我们称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理。

图示如右:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A∩B，即阴影面积。

包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集A∪B的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求|A|+|B|（意思是把A、B的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C=|A∩B|（意思是“排除”了重复计算的元素个数）。

例题精讲【例1】 把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条。

已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？【例2】 某小学三年级四班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加。

【题目】 在桌面上放置着三个两两重叠 的圆纸片（如图,三个圆等大）,它们的面 积都是100cm2,并知A、B两圆重叠的面 积是20cm2,A、C两圆重叠的面积为 45cm2,B、C两圆重叠的面积为31cm2, 三个圆共同重叠的面积为15cm2,求盖住 桌子的总面积。
【答案】219
【解析】法一：直接套用公式：100×3-20-45-31+15=219cm2.套用公式必须在理解公式的基础上运 用,A、B、C三个圆的面积各包含了四块面积,例如A覆盖的部分包括,A与B共有而C没有的；A与C共有而B 没有的、A、B、C三个圆共有的、A独有的.这样如果将A、B、C的面积简单相加,A与B共有而C没有的、B 与C共有而A没有的、A与C共有而B没有的这三个部分被重复计算了2次,A、B、C三个部分的共有部分则 被计算了3次,如果再将A、C两圆重叠的；B、C两圆重叠的；A、B两圆重叠的部分各减去一遍,那么同时A、 B、C三个部分的共有部分则被减了3次,此时得到的结果中A、B、C三个部分的共有部分没有被计算过,所 以最后还要将这一部分加上.
【解析】设三项都参加的人数有X人,则参加朗诵小组的人数为7X人,参加绘画 小组又参加朗诵小组的人数为2X人,参加朗诵小组又参加合唱小组的人数为 2X人,于是有46=（24+20+7X-
2X-2X-10+X）,解得X=பைடு நூலகம்,所以参加朗诵小组的人数为21人。
【知识点】包含与排除
【题目】在1到2004的所有自然数中,既不是2的倍数,也不是3、5的倍数的数有多少个？ 【答案】535 【解析】1到2004中是2的倍数的有1002个,3的倍数的有668个,5的倍数的有[2004/5]=400个,6的倍数 的有334个,10的倍数的有[2004/10]=200个,15的倍数的有[2004/15]=133个,30的倍数的有 [2004/30]=66个。所以不是2、3、5的倍数有2004-1002-668-400+334+200+133-66=535个. （“[ ]”表示对[ ]内的数取整.）

练习十 (包含与排除)1．某班学生去图书室借书，每人都借了课外书，统计结果是：借语文书的有39人，借数学书的32人，语文、数学两种书都借的有26人。

全班学生共几人？2．桥南小学三年级学生采集标本，采集昆虫标本的有27人，采集植物标本的有21人，两种标本都采集的有8人。

全班共有学生多少人？ 3．一个班有学生54人，参加数学课外活动的有38人，参加语文课外活动的有29人。

至少有多少人两样活动都参加了？4．某班36个同学在一次测验中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。

问：有几个同学两题都不对，5．一个班42名学生都订了报纸，订阅《中国少年报》的有32人，订阅《小学生报》的有27人。

有多少人订阅两种报纸？6．有40名运动员，其中有25人会摔跤，有20人会击剑，有10人击剑、摔跤都不会。

问：既会摔跤又会击剑的运动员有多少人？7．某校开运动会，参加比赛项目的人数如下：参加田赛的有26人，参加径赛的有30人，其中既参加田赛又参加径赛的有12人，田赛和径赛都没参加的有4人。

这个班共有学生多少人？8．在50名出国人员中，有4人既不懂英语，也不懂日语，但其中有37人懂英语，有43人懂日语。

有多少人既懂英语又懂日语？9．明明幼儿园大班里，会弹钢琴的有25人，会拉手风琴的有20人，既会弹钢琴又会拉手风琴的有15人，这两样都不会的有10人，这个班一共有多少人？10．全班有50名同学，只参加数学小组的有27人，既参加教学小组又参加作文小组的有5人，两个小组都没参加的有4人，求只参加作文小组的有几人？11．有50名同学参加了短跑和跳远的达标测试，短跑达标的有38名，跳远达标的有31名，两项都达标的有22名。

这两项都没达标的有几名？ 12．学校田径队有40人上场参加比赛。

有18人参加田赛，有28人参加径赛，请问只参加田赛与只参加径赛的人数共是多少？13．某班成立英语和微机小组，有25人参加英语小组，其中10人既参加了英语小组又参加了微机小组，没有参加微机小组的有 18人。

包含与排除1、40人参加测验，答对第一题的有30人，答对第二题的有21人，两题都答对的有15人，两题没答对的有多少人？2、某班学生每人至少订一种报纸，订《少年报》的有27人，订《科技报》的有21人，两种都订的有8人，全班共有多少人？3、某班学生除5人没订报纸外，其余每人至少订一种报纸，订《少年报》的有27人，订《科技报》的有21人，两种都订的有8人，全班共有多少人？4、某班数学，英语期中考试的成绩如下：英语得100分的有12人，数学得100分的有10人，两门功课都得100分的有3人，两门功课都未得100分的有26人，这个班有学生多少人？5、一个班有42人，参加体育队的有30人，参加文艺队的有25人，有5人都没参加，两队都参加的有多少人？6、在1到10000的自然数中，能被5或7整除的数共有多少个？7、六年级有56名学生参加三项课外活动，每人至少参加一项，有32人参加数学竞赛班，有24人参加足球队，其中既参加数学竞赛班又参加足球队的有10人，既参加数学竞赛班又参加合唱队的有14人，既参加足球队又参加合唱队的有9人，27人参加合唱队，求三项课外活动都参加的有几人？8、小张、小王和小李练习投篮球，一共投100次，有43次没投进，已知小张和小王共投进32次，小王和小李一共投进了46次，小王投进了多少次？9、分母是1001的最简真分数共有多少个？10、某班全体学生进行短跑，游泳，篮球三项测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一项达到优秀，这部分学生达到优秀的项目人数如表：求这个班的学生数？11、25个小朋友吃三种食品，每人至少要二种，14人要蛋糕，12人要饼干，10人要糖果，4人既要蛋糕，又要饼干，但不要糖果，2人既要蛋糕又要糖果，但不要饼干，只有一位小朋友三种都要，问有多少小朋友要饼干和糖果而不要蛋糕？12、某班有49人，只订A杂志的有10人，订B杂志，但没订C杂志的有14 人，只订C 杂志的有7人，订A、B杂志的人数是同时订A、B、C杂志人数的3倍，只订B、C杂志的人数比同时订A、B、C杂志的人数少1人，只订A、C杂志的人数是只订B、C杂志人数的2倍，另外有5人A、B、C杂志都没订，求A、B、C杂志都订的有几人？13、某班有50名学生，都报名参加了语文、数学、英语三门学科的比赛，已知：35人参加语文比赛，40人参加数学比赛，37人参加英语比赛，问至少有多少人同时参加三种比赛？至少有多少人只参加两种比赛？14、某班有40名学生参加了语文、数学考试，其中语文得100分的8人，数学得100分的12人，两门都没得100分的24人，那么，两门都得100分的有多少人？15、六年级一班共有48名学生，仅会打篮球的有20人，会打篮球又会排球的有9人，不会打篮球也不会打排球的有8人，仅会打排球的有多少人？16、某班有40名学生参加了校春季运动会，参加跑类项目的有26人，参加跳类项目的有23人，参加投掷类项目的有22人，既参加跳又参加跑类项目的有14人，既参加跑又参加投掷类项目的有12人，既参加跳又参加投掷类项目的有13人，三种项目都参加的有多少人？17、某小学参加生物、无线电，文艺小组的各有18人，20人、23人，既参加生物小组又参加无线电小组的有8人，既参加无线电小组又参加文艺小组的有9人，既参加生物小组又参加文艺小组的有10人，三个小组都参加的有2人，参加这三个小组一共有多少人？18、某班有50人，其中28人爱打篮球，19人爱打排球，21人爱踢足球，11人爱打篮球又爱踢足球，6人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种都爱好，也没有一个人三种球都不爱好，既爱打篮球又爱打排球的有多少人？19、甲、乙、丙三个班一起去春游，老师统计人数时发现：甲班和乙班共84人，乙班和丙班共90人，甲班和丙班共96人，那么他们三个班一共有多少人？20、一个班42名学生都订了报纸，订《中国少年报》的有32人，订〈小学生报〉的有27人，有多少人订了两种报纸？21、从100到1000的所有自然数中，不是3也不是5的倍数有多少个？22、38人参加测验，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人，问有几个人两题都没答对？--23、在87人中，会下中国象棋的有68人，会下国际象棋的有50人，两种象棋都不会下的有10人，两种象棋都会下的有几人？24、在1-----500的整数中，能被3或5整除的数共有多少个？只能被3或5整除的数共有多少个？25、26个男生中，有13人爱打篮球，9人爱踢足球，12人爱打排球，有2人既爱打篮球又爱踢足球，另有2人既爱打排球又爱踢足球，但没有1人是三种都爱的，问有多少人爱打篮球和排球？26、一批教师会英语的有235人，会俄语的有218人，会法语的有207人，既会英语又会俄语的有112人，既会英语又会法语的有71人，既会俄语又会法语的有63人，三种都会的有19人，三种都不会的有17人，这批教师共有多少人？27、５０名学生参加各项比赛，每人至少得一项名次，但无人重复得同一名次．只得第一名次的有８人，得第二名次的有２５人，得第一、三名次的有10人，只得第二、三名次的有9人，得第一、二而没有得第三名次的人数比同时得第一、二、三名次的少一人，只得第三名次的是同时得第一、二、三名次人数的2倍，求同时得第一、二、三名次的人数是多少？28、在100名学生中，有音乐爱好者53名，体育爱好者72名，那么两项都爱好的至少有几名？至多有几名？29、在1-100的全部自然数中，既不是6的倍数也不是5的倍数的数有多少个？30、科技节那天，学校的展室里展出了每个年级学生的作品，其中有23件不是五年级的，有21件不是六年级的，五六年级参展的作品共有8件，其他年级参展的作品共有多少件？31、某班有学生50人，参加无线电小组、航模小组和生物小组的人数分别是20人、20人和12人，其中既参加无线电小组又参加航模小组的有4人，既参加航模小组又参加生物小组的有5人，既参加生物小组又参加无线电小组的有3人，已知全班每人都至少参加了以上三个小组中的某一个，那么三个小组都参加的学生有多少人？32、光明小学45名学生参加数学、作文、美术竞赛，有21人参加数学竞赛，15人参加作文竞赛，其中7人既参加作文竞赛又参加数学竞赛，3人既参加作文竞赛又参加美术竞赛，但没有一人既参加数学竞赛又参加美术竞赛。

包含与排除例题讲解：板块一：基础题型：1．暑假里，小悦和冬冬一起讨论“金陵十八景”．他们发现十八景中的每一处都有人去过，而且有五处是两人都去过的．如果小悦去过其中的十二景，那么冬冬去过其中的几景？答案：冬冬去的景有18+5-12=11处2．在一群小朋友中，有12人看过动画片《黑猫警长》，有21人看过动画片《大闹天宫》，并且有8人两部动画片都看过．请问：至少看过其中一部的小朋友有多少人？答案：至少看过一部的小朋友有12+21-8=25人3．五年级一班45个学生参加期末考试，成绩公布后，数学得满分的有10人，数学及语文均得满分的有3人，这两科都没有得满分的有29人．请问：语文成绩得满分的有多少人？答案：至少有一科得满分的人数是：45-29=16人，这样语文得满分的人数是：16+3-10=9人4．某餐馆有27道招牌菜．小悦吃过其中的13道，冬冬吃过其中的7道，而且有2道菜是两人都吃过的．请问：有多少道招牌菜是两人都没有吃过的？答案：至少有一人吃过的菜有13+7-2=18道，这样两人都没吃过的菜有27-18=9道。

5．如图，已知甲、乙、丙三个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6、8、5，同时被这三个圆覆盖的部分的面积为2．请问：(1)只被甲或乙覆盖，却不被丙覆盖的部分的面积是多少？(2)只被这3个圆中某一个圆覆盖的部分的面积是多少？答案：只被甲覆盖的部分有30-6-5+2=21，只被乙覆盖的部分有30-6-8+2=18，这样只被甲或乙覆盖的部分有21+18=39甲、乙、丙三个圆覆盖的总面积为30×3-6-8-5+2=73，73-6-8-5+2×2=586．在一个由30人组成的合唱队中，每个人都爱喝红茶、绿茶、花茶中的一种或者几种，其中有10个人爱喝红茶，12个人不爱喝红茶却爱喝绿茶，请问：只爱喝花茶的有多少人？答案：因为A+D+G+F=10，B+E=12，且一共是30人，所以只喝花茶的人是C在的部分，有30-10-12=8人7．光明小学五年级课外活动有体育、音乐、书法三个小组，参加的人数分别是54人、46人、36人．同时参加体育小组和音乐小组的有4人，同时参加体育小组和书法小组的有7人，同时参加音乐小组和书法小组的有10人，三组都参加的有2人．光明小学五年级参加课外活动的一共有多少人？答案：光明小学参加课外活动的人有54+46+36-4-7-10+2=117人8．卫生部对120种食物是否含有维生素A、C、E进行调查，结果发现：含维生素A的有62种，含维生素C的有90种，含维生素E的有68种，同时含维生素A和C的有48种，同时含维生素A和E的有36种，同时含维生素C和E的有50种，同时含这三种维生素的有25种．请问：(1)这三种维生素都不含的食物有多少种？(2)仅含维生素A的食物有多少种？答案：（1）至少含有一种维生素的食物有62+90+68-48-36-50+25=111种，所以都不含的食物有120-111=9种。

【专题精华】【教材深化】题1 同学们到图书馆借课外书。

四（1）班的同学没人都借了课外书，其中借文艺书的有40人，借科技书的有30人。

两种书都借有25人，求四（1）班共有_______人。

敏捷思维 由于两种书都借的有25人，故这25人既在借文艺书的40人当中，又在节科技书的30人之内，故此，要不重复计算这25人，要减去它。

全解 全班共有40+30-25=45（人）。

拓展探究 当有两部分A 、B ，它们有重复的部分C ，要不重复地算A 与B 的总个数D ，于是有D=A+B-C 。

1． 四（1）班46人，其中会弹钢琴的有30人，会拉小提琴的有28人，则这个班既会弹钢琴又会拉小提琴的有_______人。

2．期末考试，小芳的语文成绩和自然成绩加起来是187分，语文成绩和数学成绩加起来是195分，数学成绩和自然成绩加起来是190分，那么小芳的语文成绩是_______分。

3.全班38人排成一行，从左向右数第7名是小张，从右向左数第10名是小王，小张和小王之间有_______名同学。

题2 小玲会唱19首歌，小丽会唱的24首歌,两人都会唱的歌有_______首。

敏捷思维 小玲会唱的19首歌与小丽会唱的24首歌之和为什么会比她们共会唱的36首歌多呢？原因是她们都会唱的重复计算了。

全解 她们都会的有19+24-36=7（首）拓展探究 如下图，A 是小玲会唱的歌，B 是小丽会唱的歌，则C 表示小玲独自会唱的歌，D 表示小丽独自会唱的歌，E 是小玲和小丽都会唱的歌，则E=A+B-（C+E+D ）。

（C+E+D ）是两人共会唱的不重复的歌。

利用图解使我们解题更清晰。

1． 一个班有48人，班主任在班会上问“谁做完语文作业了？“这时有37人举手。

又问：“谁做完数学作业了？”这时有42个人举手。

最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。

这个班语文、数学作业都做完的有_______人。

第5讲 包含与排除2、某班每位同学都去图书馆借了课外书，借科技书的有28人，借文艺书的有40人，两种书都借的有26人，全班共有学生_______人。