学员编号：学员姓名：学科教师辅导讲义
年级：五年级
辅导科目：奥数
课时数：3
学科教师：
授课主题
授课类型T同步课堂第24讲——包含与排除
P实战演练S归纳总结
教学目标
①了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容
②掌握容斥原理在组合计数等各个方面的应用
授课日期及时段
T
（T extbook-Based）
——同步课堂
知识梳理
一、两量重叠问题
在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A U B=A+B-A I B，则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．
图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A I B，即阴影面积．图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A I B，即阴影面积．
1．先包含——A+B
重叠部分A I B计算了2次，多加了1次；
包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集A U B的元素的个数，可分以下两步进行：
第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求A+B(意思是把A、B的一切元素都“包含”进来，加在一起)；
第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C=A I B(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．
二、三量重叠问题
A类、B类与C类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数-既是A类又是B类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数．用符号表示为：A U B U C=A+B+C-A I B-B I C-A I C+A I B I C．图示如下：
图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数，
1．先包含：A+B+C
重叠部分A I B、B I C、C I A重叠了2次，多加了1次．
2．再排除：A+B+C-A I B-B I C-A I C
在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．
典例分析
考点一：两量重叠问题
例1、实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？
A C B
【解析】如图所示，A圆表示参加语文兴趣小组的人，B圆表示参加数学兴趣小组的人，A与B重合的部分C(阴影部分)表示同时参加两个小组的人．图中A圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴趣小组的人，有28-12=16(人)；图中B圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的人，有29-12=17(人)．
方法一：由此得到参加语文或数学兴趣小组的有：16+12+17=45(人)．
方法二：根据包含排除法，直接可得：
参加语文或数学兴趣小组的人=参加语文兴趣小组的人+参加数学兴趣小组的人-两个小组都参加的人，即：28+29-12=45(人)．
例2、对全班同学调查发现，会游泳的有20人，会打篮球的有25人．两项都会的有10人，两项都不会的有9人．这个班一共有多少人？
会游泳的A 两
项
都
会
的B
会
打
篮
球
的
两项都不会的
【解析】如图，用长方形表示全班人数，
A圆表示会游泳的人数，B圆表示会打篮球的人数，长方形中阴影部分表示两项都不会的人数．由图中可以看出，全班人数=至少会一项的人数+两项都不会的人数，至少会一项的人数为：
20+25-10=35(人)，全班人数为：35+9=44(人)．
例3、在46人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有18人，既采了樱桃又采了杏的有7人，既没采樱桃又没采杏的有6人，问：只采了杏的有多少人？
既采
A樱桃
又采
杏的
B
既没采樱桃
又没采杏的
【解析】如图，用长方形表示全体采摘人员46人，A圆表示采了樱桃的人数，B圆表示采了杏的人数．
长方形中阴影部分表示既没采樱桃又没采杏的人数．
由图中可以看出，全体人员是至少采了一种的人数与两种都没采的人数之和，
则至少采了一种的人数为：46-6=40(人)，
而至少采了一种的人数=只采了樱桃的人数+两种都采了的人数+只采了杏的人数，
所以，只采了杏的人数为：40-18-7=15(人)．
例4、育才小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的，五、六年级共展出25幅画，其他年级的画共有多少幅？
8 乙
丙
甲
A
B
【解析】通过 16 幅画不是六年级的可以知道，五年级和其他年级的画作数量之和是 16，
通过 15 幅画不是五年级的可以知道六年级和其他年级的画作数量之和是 15，
那也就是说五年级的画比六年级多 1 幅，我们还知道五、六年级共展出 25 幅画，
进而可以求出五年级画作有 13 幅，六年级画作有 12 幅，
那么就可以求出其他年级的画作共有 3 幅．
考点二：三量重叠问题
例 1、全班有 25 个学生，其中17 人会骑自行车，13 人会游泳， 8 人会滑冰，这三个运动项目没有人全会，至
少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了，但又都不是优秀．若全班有6 个人数学不及格，那么，
（1） 数学成绩优秀的有几个学生？
（2）有几个人既会游泳，又会滑冰？
【解析】（1）有 6 个数学不及格，那么及格的有： 25 - 6 = 19 (人)，
即最多不会超过19 人会这三项运动之一．
而又因为没人全会这三项运动，那么，
最少也会有：（17 + 13 + ）÷ 2 = 19 (人)至少会这三项运动之一．
于是，至少会三项运动之一的只能是19 人，
而这19 人又不是优秀，说明全班 25 人中除了19 人外，剩下的 6 名不及格，
所以没有数学成绩优秀的．
（2）上面分析可知，及格的19 人中，每人都会两项运动；
会骑车的一定有一部分会游泳，一部分会滑冰；
会游泳的人中若不会骑车就一定会滑冰，
而会滑冰的人中若不会骑车就一定会游泳，
但既会游泳又会滑冰的人一定不会骑自行车．所以，
全班有19 - 17 = 2 (人)既会游泳又会滑冰．
考点三：图形中的重叠问题
例 1、把长 38 厘米和 53 厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长4 厘米，焊接后这根铁条有多长？
- +
-
【解析】因为焊接部分为两根铁条的重合部分，
所以，由包含排除法知，焊接后这根铁条长38 + 53 - 4 = 87 (厘米)．
例 2、两张长 4 厘米，宽 2 厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？
4 厘 米
2厘米
图 3
【解析】两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，
重叠部分恰好是边长为 2 厘米的正方形，
如果利用两个 4 ? 2 的长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，
那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次，
而实际上这部分只需计算一次就可以了．
所以，被覆盖面积 = 长方形面积之和-重叠部分．
于是，被覆盖面积 = 4 ? 2 ? 2 - 2 ? 2 = 12 (平方厘米)．
例 3、三个面积均为 50 平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图)，三个纸片共同重叠的面积是10 平方厘米．三个
纸片盖住桌面的总面积是100 厘米．问：图中阴影部分面积之和是多少？
A
B
10
C
【解析】将图中的三个圆标上 A 、 B 、 C ．根据包含排除法，
三个纸片盖住桌面的总面积 = ( A 圆面积 +B 圆面积 +C 圆面积）（ A 与 B 重合部分面积 + A 与 C 重合部分面积
+B 与 C 重合部分面积） 三个纸片共同重叠的面积， 得：100 =（50 + 50 + 50）（A 与 B 重合部分面积 + A 与 C 重合部分面积 +B 与 C 重合部分面积）+ 10 ，
得到 A 、 B 、 C 三个圆两两重合面积之和为：160 - 100 = 60 平方厘米，
而这个面积对应于圆上的那三个纸片共同重叠的面积的三倍与阴影部分面积的和，
即： 60 = 10 ? 3 + 阴影部分面积，
则阴影部分面积为： 60 - 30 = 30 (平方厘米)．
3
考点四：容斥原理在数论问题中的应用
例 1、在1~100 的全部自然数中，不是 3 的倍数也不是 5 的倍数的数有多少个？
A
B
【解析】如图，用长方形表示1~100 的全部自然数，
圆表示1~100 中 3 的倍数， B 圆表示1~100 中 5 的倍数，
长方形内两圆外的部分表示既不是 3 的倍数也不是 5 的倍数的数．
由 100 ÷ 3 = 33L 1 可知，1~100 中 3 的倍数有 33 个；
由 100 ÷ 5 = 20 可知，1~100 中 5 的倍数有 20 个；
由 100 ÷（ ? 5）= 6L 10 可知，1~100 既是 3 的倍数又是 5 的倍数的数有 6 个．
由包含排除法， 3 或 5 的倍数有： 33 + 20 - 6 = 47 (个)．
从而不是 3 的倍数也不是 5 的倍数的数有100 - 47 = 53 (个)．
考点五：容斥原理中的最值问题
例 1、将 1～13 这 13 个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的 13 个区域中，然后把每个圆内
的 7 个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最大是多少？
【解析】越是中间，被重复计算的越多，
最中心的区域被重复计算四次，
将数字按从大到小依次填写于被重复计算多的区格中，
最大和为：13×4+（12+11+10+9）×3+（8+7+6+5）×2+（4+3+2+1）=240.
P(Practice-Oriented)——实战演练
实战演练
课堂狙击
1、一个班有48人，班主任在班会上问：谁做完语文作业？请举手！有37人举手。又问：谁做完数学作业？
“”“
请举手！”有42人举手。最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。
【解析】完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数。这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。
2、某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。问多少个同学两题都答得不对？
【解析】已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15=10人。又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人。所以，两题都答得不对的有36－33=3人。
3、某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？
【解析】要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：56－25=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24人。
4、在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？
【解析】从1到100的自然数中，减去5或6的倍数的个数。从1到100的自然数中，5的倍数有100÷5=20个，6的倍数有16个（100÷6=16……4），其中既是5的倍数又是6的倍数（即5和6的公倍数）的数有3个（100÷30=3……10）。因此，是6或5的倍数的个数是16＋20－3=33个，既不是5的倍数又不是6的倍数的
数的个数是：100－33=67个。
5、光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？
【解析】由题意知，24幅作品是一、二、三、四、六年级参展作品的总数，22幅是一、二、三、四、五年级参展作品的总数。24＋22=46幅，这是一个五、六年级和两个一、二、三、四年级参展的作品数，从其中去掉五、六两个年级共参展的10幅作品，即得到两个一、二、三、四年级参展作品的总数，再除以2，即可求出其他年级参展作品的总数。（24＋22－10）÷2=18幅。
课后反击
1、芳草地小学四年级有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？
A C B
【解析】如图，A圆表示学画画的人，B圆表示学钢琴的人，C表示既学钢琴又学画画的人，
图中A圆不含阴影的部分表示只学画画的人，有：43-37=6(人)，
图中B圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人，有：58-37=21(人)．
2、科技活动小组有55人．在一次制作飞机模型和制作舰艇模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：制作好一架飞机模型的同学有40人，制作好一艘舰艇的同学有32人．每个同学都至少完成了一项制作．问两项制作都完成的同学有多少人？
A C B
【解析】因为40+32=72，72>55，所以必有人两项制作都完成了．
由于每个同学都至少完成了一项制作，根据包含排除法可知：
全组人数=40+32-完成了两项制作的人数，
即55=72-完成了两项制作的人数．
所以，完成了两项制作的人数为：72-55=17(人)．
3、五年级一班共有36人，每人参加一个兴趣小组，共有A、B、C、D、E五个小组，若参加A组的有15人，参加B组的人数仅次于A组，参加C组、D组的人数相同，参加E组的人数最少，只有4人．那么，参加B组的有_______人．
【解析】参加B，C，D三组的总人数是36-15-4=17(人)，
C，D每组至少5人，
当C，D每组6人时，B组为5人，不符合题意，
所以参加B组的有17-5-5=7(人)．
4、如下图，一张长8厘米，宽6厘米，另一个正方形边长为6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长为4厘米的正方形，求这个组合图形的面积．
68
4
6图3
【解析】两个图形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，
重叠部分恰好是边长为4厘米的正方形，
如果利用长方形和正方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，
那么重叠部分在长方形和正方形面积中各被计算了一次，
而实际上这部分只需计算一次就可以了．
所以，组合图形的面积=长方形面积+正方形面积-重叠部分．
于是，组合图形的面积：8?6+6?6-4?4=68(平方厘米)．
5、甲、乙、丙同时给100盆花浇水．已知甲浇了78盆，乙浇了68盆，丙浇了58盆，那么3人都浇过的花
最少有多少盆?
【解析】只考虑甲乙两人情况，
有甲、乙都浇过的最少为：78+68-100=46盆，
此时甲单独浇过的为78-46=32盆，
乙单独浇过的为68-46=22盆；
欲使甲、乙、丙三人都浇过的花最少时，应将丙浇过的花尽量分散在两端．
于是三者都浇过花最少为58-32-22=4盆．
直击赛场
1、(第二届小学迎春杯数学竞赛)有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语．问既懂英语又懂俄语的有多少人？
【解析】方法一：在100人中懂英语或俄语的有：100-10=90(人)．
又因为有75人懂英语，所以只懂俄语的有：90-75=15(人)．
从83位懂俄语的旅客中除去只懂俄语的人，
剩下的83-15=68(人)就是既懂英语又懂俄语的旅客．
方法二：学会把公式进行适当的变换，由包含与排除原理，得：
A U B=A+B-A I B=75+83-90=68(人)．
(Summary-Embedded)——归纳总结
名师点拨
容斥原理的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。
学霸经验
本节课我学到了
我需要努力的地方是
五年级奥数 包含与排除 1、某班有40名学生，其中有15人参加数学小组，18人参加航模小组，有10人两个小组都参加。那么有多少人两个小组都不参加？ 解：两个小组共有（15+18）-10=23（人）， 都不参加的有40-23=17（人） 答：有17人两个小组都不参加。 -- 2、某班45个学生参加期末考试，成绩公布后，数学得满分的有10人，数学及语文成绩均得满分的有3人，这两科都没有得满分的有29人。那么语文成绩得满分的有多少人？ 解：45-29-10+3=9（人） 答：语文成绩得满分的有9人。 3、50名同学面向老师站成一行。老师先让大家从左至右按1，2，3，……，49，50依次报数；再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转。问：现在面向老师的同学还有多少名？ 解：4的倍数有50/4商12个，6的倍数有50/6商8个，既是4又是6的倍数有50/12商4个。 4的倍数向后转人数=12，6的倍数向后转共8人，其中4人向后，4人从后转回。 面向老师的人数=50-12=38（人） 答：现在面向老师的同学还有38名。 4、在游艺会上，有100名同学抽到了标签分别为1至100的奖券。按奖券标签号发放奖品的规则如下：（1）标签号为2的倍数，奖2支铅笔；（2）标签号为3的倍数，奖3支铅笔；（3）标签号既是2的倍数，又是3的倍数可重复领奖；（4）其他标签号均奖1支铅笔。那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支？ 解：2的倍数有100/2商50个，3的倍数有100/3商33个，2和3人倍数有100/6商16个。 领2支的共准备（50—16）*2=68，领3支的共准备（33—16）*3=51，重复领的共准备16*（2+3）=80，其余准备100-（50+33-16）*1=33 共需要68+51+80+33=232（支） 答：游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有232支。 5、有一根长为180厘米的绳子，从一端开始每隔3厘米作一记号，每隔4厘米也作一记号，然后将标有记号的地方剪断。问绳子共被剪成了多少段？ 解：3厘米的记号：180/3=60，最后到头了不划，60-1=59个 4厘米记号：180/4=45，45-1=44个，重复的记号：180/12=15，15-1=14个，所以绳子中间实际有记号5 9+44-14=89个。 剪89次，变成89+1=90段 答：绳子共被剪成了90段。
目录 第一讲奇妙的幻方 (3) 练习卷 (9) 第二讲可能性的大小（游戏与对策） (10) 练习卷 (12) 第三讲图形的面积（一） (13) 第四讲认识分数 (17) 练习卷 (21) 第五讲行程中的相遇（相遇问题） (22) 练习卷 (26) 第六讲公因数与公倍数 (27) 综合演练 (31) 第一讲幻方（第一课时） 【知识概述】 在一个n×n的正方形方格中，填入一些连续的数字，使得所有的横、竖、斜列所加之和都相等，这样的正方形方格叫做幻方。幻方一般分为奇数幻方和偶数幻方。（n是几就表示为几阶幻
方）。本讲，我们将来学习这方面的知识。 例题讲学 例1在一个3×3的表格内，填入1-9九个数，（不能重复，不能遗漏），使得3个横列、3个竖列和2个斜列所加之和都相等。可以怎样填？【和为15】 【思路分析】 这样的3×3幻方，在填写时有一定的规律和口诀： 二、四为肩，六、八为足， 左七右三，戴九履一，五为中央。【注：戴指头，履指脚。】 试试填一填吧！ 幻方（第二课时） 知识概述： 上一讲中，我们讲述了如何填写3×3的幻方，其实在幻方的知识世界里，像3×3、5×5、7×7……像这样幻方，称之为奇数
幻方，这一讲我们将来学习如何填写五阶幻方。 例题：在一个5×5的方格中，填入1-25这25个数字，使5个横列、5个竖列、2个斜列所加之和都相等。先试试看！ 看样子，要想顺利填写好这么多的表格，还真的不容易，没有口诀真的不行，下面这个口诀要记牢： 一居首行正中央，依次斜向右上方，右出框时左边写，上出框时下边放，双出占位写下方。29 你能按顺序继续写下去吗？试试看吧！ 幻方（第三课时） 根据上讲中的方法，把口诀运用到所有的奇数幻方中，可以继续填写七阶幻方、九阶幻方、十一阶幻方……，本讲，我们继续试着填写七阶幻方和九阶幻方。 【思路点拨】 再来重温一下口诀吧！
五年级奥数－包含与排除 1.某班有40名学生，其中有15人参加数学小组，18人参加航模小组，有10人 两个小组都参加。那么有多少人两个小组都不参加？ 2.50名同学面向老师站成一行，老师先让大家从左至右按1，2，3， (49) 50依次报数；再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转。问：现在面向老师的同学还有多少名？ 3.在从1至100的自然数中，既不能被5除尽也不能被7除尽的数有多少个？ 4.在前1000个自然数（不包括0）中，既不是平方数也不是立方数的自然数有 多少个？ 5.有三个面积各为20平方厘米的圆纸片放在桌上，见下图。三个纸片共同重叠 的面积是8平方厘米，三个纸片盖住桌面的总面积是36平方厘米。问：图中阴影部分的面积之和是多少？
五年级奥数－包含与排除答案 1.解析： 40= - -人。 ( + ) 17 10 15 18 2.解析： 面向老师的学生包括报数既不是4的倍数也不是6的倍数、报数既是4的倍数也是6的倍数即12的倍数的同学，共计38 + [= - + 50 -人。 )] 4 4 8 12 ( 3.解析： 1000= ( - + -个。 142 686 200 ) 28 4.解析： 前1000个自然数中，平方数有：1，4，9，16，25，36， (900) 961，共计31个；立方数有1，8，27，64，125，216，343，521，729，1000，共计10个；既是平方数又是立方数的有1，64，729，共计3个。所以既不是平方数也不是立方数的有962 1000= + -个。 - )3 ( 10 31 5.解析： 2 ? - = - ?。 8 8 2 36 3 20cm
小学五年级奥数专项练习 专题33 包含与排除
【理论基础】 集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数学中的最基本的概念之一。如某班全体学生可以看作是一个集合，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9便组成一个数字集合。组成集合的每个事物称为这个集合的元素。如某班全体学生组成一个集合，每一个学生都是这个集合的元素，数字集合中有10个元素。 两个集合中可以做加法运算，把两个集合A、B合并在一起，就组成了一个新的集合C。计算集合C的元素的个数的思考方法主要是包含与排除：先把A、B的一切元素都“包含”进来加在一起，再“排除”A、B两集合的公共元素的个数，减去加了两次的元素，即：C=A＋B－AB。 在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，搞清数量关系的逻辑关系。有些语言不易表达清楚的关系，用了适当的图形就显得很直观、很清楚，因而容易进行计算。
五年级96名学生都订了报纸，有64人订了少年报，有48人订了小学生报。两种报纸都订的有多少人？ 分析与解答： 用左边的圆表示订少年报的64人，右边的圆表示订小学报的48人，中间重叠部分表示两种报刊都订的人数。显然，两种报刊都订的人数被统计了两次：64＋48=112人，比总人数多112－96=16人，这16人就是两种报刊都订的人数。 练习一 1，一个班的52人都在做语文和数学作业。有32人做完了语文作业，有35人做完了数学作业。语文、数学作业都做完的有多少人？ 2，五年级有122人参加语文、数学考试，每人至少有一门功课得优。其中语文得优的有65人，数学得优的有87人。语文、数学都得优的有多少人？ 3，某班有50名学生，在一次测验中有26人满分，在第二次测验中有21人满分。如果两次测验都没得过满分的学生有17人，那么，两次测验都得满分的有多少人？
第___讲巧解余数与同余问题 第一节余数 方法和技巧： （1）被除数=商×除数+余数。 （2）借助约数和倍数的知识。 上面两个性质是解题的关键。 例1：一个两位数除310的余数是37，求这样的两位数。 做一做1：237除以一个两位数所得的余数是6，问：这样的两位数是多少？ 例2:一个两位数除以一个一位数，商仍是两位数，余数是8。那么，被除数、除数、商及余数之和是多少？ 做一做2：两数相除，商是498，余数是3。那么，被除数、除数、商及余数之和最小是多少？ 例3:两个数相除，商是22，余数是8，被除数、除数、商、余数之和是866。求这两个数。
做一做3：两数相除，商4余8，被除数、除数、商、余数之和等于415。问：被除数是多少？ 例4:伸出你的左手，从大拇指开始按右图所示的那样数数字：1，2,,3，…问：数到2003时，你数在哪个手指上？ 做一做4：将全体非零自然数按下列方式排列，问：数1000排在哪个字母的下面？ A B C D E F G ___________________________________ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 … 例5:把化为循环小数，问：小数点后1999个数字是几？这1999个数字的总和是几？ 做一做5：问：化成小数后，小数点的右边第1991位上的数字是多少？这1991个数字的和是多少？
例6:某数除以11余8，除以13余10，除以17余12，那么这个数的最小值能是多少？ 做一做6：一个自然数除以3余2，除以5余4，除以7余5。求这个自然数能取得的最小值。 例7:有一个自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,三个余数的和为25,那么这三个余数中最小的数是多少? 巩固练习： 1、填空： （1）顺次写出除以4余2，除以5余3的三个数__________________。 （2）被2,3,5除都余1，且不等于1的最小整数是_______________。 （3）有一队民兵在操场上列队，只知道民兵人数在90至110之间，排成三列无余，排成五列不足2人，排成七列不足4人，则共有民兵_______人。 （4）五（1）班同学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6行多5人，那么体育课的同学最少有________名。 （5）一个教练数田径队的学生，每4个一数，最后剩下2人；每5个一数，最后剩下1人。田径队女生比男生多，女生有15人，则男生有__________人。 （6）某会议有代表不到200人，分住房时，每5人一间多3人；吃饭时，每9人一桌少一人；开小组会时，每7人一组多6人，那么到会的代表有_______人。 （7）一个自然数除以19余9，除以23余7，那么这个自然数最小是_______。 （8）被4除余1，被5除余2，被6除余3的最小自然数是________。 2、1～100中的哪个自然数被3和5除余1，且能被7整除？
第五讲五年级奥数（巧求分数） 例1、 有一个分数约成最简分数是511 ，约分前分子分母的和是48，约分前的分数是多少？ 例2、 一个分数的分子、分母之和是100，将分子、分母都减去6，约分得到的最简分 数是35 。求原来的分数。 例3、 一个分数，分子加2等于35 ，分子减去2等于13 ，求这个分数。 例4、 分数5564 的分子减去一个数，而分母同时加上这个数后，所得的新分数化简后是413 ，减去的这个数是多少？ 例5、 有一个分数，分子加1，这个分数等于12 ，分母加1，这个分数等于13 ，求这个分数。
拓展练习 1、 一个分数约成最简分数是713 ，约分前分子分母的和是200，约分前的分数是多少？ 2、 一个分数约分后等于57 ，已知原分数的分子、分母之和是72，求原分数。 3、一个分数约分后等于411 ，已知原分数的分子、分母之差是63，求原分数。 4、一个最简分数的分子、分母之和是23，分子增加5后，得到的最简分数的分子、分母之和是4。求原来的分数。 5、 一个分数的分子、分母之和是21，分母增加19后，得到的最简分数是14 。求原来的分数。 6、、一个分数，分子加1等于23 ，分子减去4等于14 ，求这个分数。 7、有一个分数，分母加2等于25 ，分母减去3等于12 ，求这个分数。 8、分数823 的分子分母都加上同一个质数，分数变成58 ，这个质数是多少？ 9、 将分数1755 的分子加上一个自然数，、同时分母减去这个自然数，约分得到另一个分数为35 。求这个自然数。 10、有一个分数，分母加1等于12 ，分子减去1等于25 ，求这个分数。 星级擂台 有一个最简分数，将它得分子、分母同时加上它得分母，分数值将变为原来分数的10倍，求原来得分数。
第4讲包含与排除 内容概述 有重叠部分酌若干对象的计数问题．能利用文氏图进行辅助分析，弄清文氏图中每部分的含义；结合文氏图理解两个对象和三个对象酌容斥原理；灵活处理具有一些不确定性酌计数问题，以及其他形式的重复计数问题． 典型问题 兴趣篇 1．暑假里，小悦和冬冬一起讨论“金陵十八景”．他们发现十八景中的每一处都有人去过，而且有五处是两人都去过的．如果小悦去过其中的卜二景，那么冬冬去过其中的几景？ 2．在一群小朋友中，有12人看过动画片《黑猫警长》，有21人看过动画片《大闹天宫》，并且有8人两部动画片都看过．请问：至少看过其中一部的小朋友有多少人？ 3．五年级一班45个学生参加期末考试，成绩公布后，数学得满分的有10人，数学及语文均得满分的有3人，这两科都没有得满分的有29人．请问：语文成绩得满分的有多少人？4．某餐馆有27道招牌菜．小悦吃过其中的13道，冬冬吃过其中的7道，而且有2道菜是两人都吃过的．请问：有多少道招牌菜是两人都没有吃过的？ 5．如图4-I，已知甲、乙、丙三个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6、8、5，同时被这三个圆覆盖的部分的面积为2．请问： (1)只被甲或乙覆盖，却不被丙覆盖的部分的面积是多少？ (2)只被这3个圆中某一个圆覆盖的部分的面积是多少？ 6．在一个由30人组成的合唱队中，每个人都爱喝红茶、绿茶、花茶中的一种或者几种，其中有10个人爱喝红茶，12个人不爱喝红茶却爱喝绿茶，请问：只爱喝花茶的有多少人？7．光明小学五年级课外活动有体育、音乐、书法三个小组，参加的人数分别是54人、46 人、36人．同时参加体育小组和音乐小组的有4人，同时参加体育小组和书法小组的有7人，同时参加音乐小组和书法小组的有10人，三组都参加的有2人．光明小学五年级参加课外活动的一共有多少人？ 8．卫生部对120种食物是否含有维生素A、C、E进行调查，结果发现：含维生素A的有62种，含维生素C的有90种，含维生素E的有68种，同时含维生素A和C的有48种，同时含维生素A和E的有36种，同时含维生素C和E的有50种，同时含这三种维生素的有25种．请问： (1)这三种维生素都不含的食物有多少种？(2)仅含维生素A的食物有多少种？
第五讲同余的概念和性质 “师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。你会解答下面的问题吗？ 我国古代的读书人，从上学之日起，就日诵不辍，一般在几年内就能识记几千个汉字，熟记几百篇文章，写出的诗文也是字斟句酌，琅琅上口，成为满腹经纶的文人。为什么在现代化教学的今天，我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生，竟提起作文就头疼，写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在1978年就尖锐地提出:“中小学语文教学效果差，中学语文毕业生语文水平低，……十几年上课总时数是9160课时，语文是2749课
时，恰好是30%，十年的时间，二千七百多课时，用来学本国语文，却是大多数不过关，岂非咄咄怪事!”寻根究底，其主要原因就是腹中无物。特别是写议论文，初中水平以上的学生都知道议论文的“三要素”是论点、论据、论证，也通晓议论文的基本结构:提出问题――分析问题――解决问题，但真正动起笔来就犯难了。知道“是这样”，就是讲不出“为什么”。根本原因还是无“米”下“锅”。于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来，抄人家的名言警句，抄人家的事例，不参考作文书就很难写出像样的文章。所以，词汇贫乏、内容空洞、千篇一律便成了中学生作文的通病。要解决这个问题，不能单在布局谋篇等写作技方面下功夫，必须认识到“死记硬背”的重要性，让学生积累足够的“米”。问题1：今天是星期日，再过15天就是“六·一”儿童节了，问“六·一”儿童节是星期几？ 与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。可见，“教师”一说是比较晚的事了。如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教
第5讲分类数图形 一、知识要点 我们在数数的时候，遵循不重复、不遗漏的原则，能使数出的结果准确。但是在数图形的个数的时候，往往就不容易了。分类数图形的方法能够帮助我们找到图形的规律，从而有秩序、有条理并且正确地数出图形的个数。 二、精讲精练 【例题1】下面图形中有多少个正方形？ 【思路导航】图中的正方形的个数可以分类数，如由 一个小正方形组成的有6×3=18个，2×2的正方形有5× 2=10个，3×3的正方形有4×1=4个。因此图中共有18＋10＋4=32个正方形。 练习1： 1.下图中共有多少个正方形？ 2.下图中共有多少个正方形？ 3.下图中共有多少个正方形，多少个三角形？
【例题2】下图中共有多少个三角形？ 【思路导航】为了保证不漏数又不重复，我们可以分类来数三角形，然后再把数出的各类三角形的个数相加。 （1）图中共有6个小三角形； （2）由两个小三角形组合的三角形有3个； （3）由三个小三角形组合的三角形有4个； （4）由六个小三角形组合的三角形有1个。 所以共有6＋3＋4＋1=14个三角形。 练习2： 1.下面图中共有多少个三角形？ 2.数一数，图中共有多少个三角形。 3.数一数，图中共有多少个三角形？ 第1题第2题第3题 【例题3】数出下图中所有三角形的个数。 【思路导航】和三角形AFG一样形状的三角形有5个；和三角形ABF一样形状的三角形有10个；和三角形ABG一样形状的三角形有5个；和三角形ABE 一样形的三角形有5个；和三角形AMD一样形状的三角形有5个，共35个三角形。
练习3： 数出下面图形中分别有多少个三角形。 【例题4】如下图，平面上有12个点，可任意取其中四个点围成一个正方形，这样的正方形有多少个？ 【思路导航】把相邻的两点连接起来可以得到下面图形，从图中可以看出：（1）最小的正方形有6个； （2）由4个小正方形组合而成的正方形有2个； （3）中间还可围成2个正方形。 所以共有6＋2＋2=10个。 练习4： 1.下图中共有8个点，连接任意四点围成一个长方形，一共能围成多少个长方形？
五年级奥数训练——包含与排除（容斥原理） 姓名： 例1 五年级96名学生都订了报纸，有64人订了少年报，有48人订了小学生报。两种报纸都订的有多少人？ 练习一 一个班的52人都在做语文和数学作业。有32人做完了语文作业，有35人做完了数学作业。语文、数学作业都做完的有多少人？ 例2：某校教师至少懂得英语和日语中的一种语言。已知有35人懂英语，34人懂日语，两种语言都懂的有21人。这个学校共有多少名教师？ 练习二 某校的每个学生至少爱体育和文娱中的一种活动。已知有900人爱好体育活动，有850人爱好文娱活动，其中260人两种活动都爱好。这个学校共有学生多少人？ 例3：学校开展课外活动，共有250人参加。其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组的有83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人。问这250名同学中，象棋组、乒乓球组都不参加的有多少人？
五年级有250人，其中参加象棋组的有83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人。两个小组都不参加的有多少人？ 例4 实验小学各年级都参加的一次书法比赛中，四年级与五年级共有20人获奖，在获奖者中有16人不是四年级的，有12人不是五年级的。该校书法比赛获奖的总人数是多少人？ 练习四 五一小学举行小学生田径运动会，其中24名运动员不是六年级的，28名运动员不是五年级的，已知五、六年级运动员共有32名，求五、六年级和中低年级运动员各有多少名？ 例5 在100个外语教师中，懂英语的有75人，懂日语的有45人，其中必然有既懂英语又懂日语的老师。问：只懂英语的老师有多少人？ 练习五 40人都在做加试的两道题，并且至少做对了其中的一题。已知做对第一题的有30人，做对第二题的有21人。只做对第一题的有多少人？
学员编号：学员姓名：学科教师辅导讲义 年级：五年级 辅导科目：奥数 课时数：3 学科教师： 授课主题 授课类型T同步课堂第24讲——包含与排除 P实战演练S归纳总结 教学目标 ①了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容 ②掌握容斥原理在组合计数等各个方面的应用 授课日期及时段 T （T extbook-Based） ——同步课堂 知识梳理 一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A U B=A+B-A I B，则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理． 图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A I B，即阴影面积．图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A I B，即阴影面积． 1．先包含——A+B 重叠部分A I B计算了2次，多加了1次； 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集A U B的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求A+B(意思是把A、B的一切元素都“包含”进来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C=A I B(意思是“排除”了重复计算的元素个数)． 二、三量重叠问题
A类、B类与C类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数-既是A类又是B类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数．用符号表示为：A U B U C=A+B+C-A I B-B I C-A I C+A I B I C．图示如下： 图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数， 1．先包含：A+B+C 重叠部分A I B、B I C、C I A重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A+B+C-A I B-B I C-A I C 在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考． 典例分析 考点一：两量重叠问题 例1、实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？ A C B 【解析】如图所示，A圆表示参加语文兴趣小组的人，B圆表示参加数学兴趣小组的人，A与B重合的部分C(阴影部分)表示同时参加两个小组的人．图中A圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴趣小组的人，有28-12=16(人)；图中B圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的人，有29-12=17(人)． 方法一：由此得到参加语文或数学兴趣小组的有：16+12+17=45(人)． 方法二：根据包含排除法，直接可得：
五年级数学培优：包含与排除 【专题导引】 集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数字中的最基本的概念之一.如某班全体学生可以看做一个集合，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9便组成一个数字集合.组成集合的每个事物称为这个集合的元素.如某班全体学生组成一个集合，每一个学生都是这个集合的元素，数字集合中有10个元素. 两个集合中可以做加法运算，把两个集合A、B合并在一起，就组成了一个新的集合C.计算集合C的元素的个数的思考方法主要是包含与排除：先把A、B 的一切元素都“包含”进来加在一起，再“排除”A、B两集合的公共元素的个数，减去加了两次的元素，即：C=A+B-AB. 在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，搞清楚数量关系和逻辑关系.有些语言不易表达清楚的关系，用了适当的图形就显得很直观、很清楚，因而容易进行计算. 【典型例题】 【例1】五年级96名学生都订了刊物，有64人订了少年报，有48人订了小学生报，问两种刊物都订的有多少人？ 【试一试】 1、一个班的52人都在做语文和数学作业，有32人做完了语文作业，有35人做完了数学作业，这个班语文、数学作业都做完的有多少人？ 2、五年级有112人参加语文、数学考试，每人至少有一门功课得优，其中，语文得优的有65人，数学得优的有87人，问语文、数学都得优的有多少人？
【例2】某地区的外语教师中，每人至少懂得英语和日语中的一种语言.已知有35人懂英语，34人懂日语，两种语言都懂的有21人，这个地区有多少个外语教师？ 【试一试】 1、某校的每个学生至少爱好体育和文娱中的一种活动，已知有900人爱好体育活动，有850人爱好文娱活动，其中260人两种活动都爱好.这个学校共有学生多少人？ 2、某班在一次测验中有26人语文获优，有30人数学获优，其中语、数双优的有12人，另外还有8人语、数均未获优，这个班共有多少个学生？ 【例3】在100个外语教师中，懂英语的75人，懂日语的45人，其中必然有既
第六讲不定方程解应用题 大家已学过简单的列方程解应用题，一般都是未知数个数与方程的个 数一样多，例如中国古代著名的“鸡兔同笼”问题。 如果方程（组）中未知数的个数多于方程的个数，此方程（组）称为 不定方程（组）。 小学阶段主要是涉及整系数不定方程的整数解.试看一些例。 例1 有三张扑克牌，牌的数字互不相同，并且都在10以内.把三张牌洗好后，分别发给甲、乙、丙三人.每人记下自己牌的数字，再重新洗牌、 发牌、记数.这样反复几次后，三人各自记录的数字和分别为13、15、23.请问这三张牌的数字是什么？ 分析设三张牌为x、y、z（x＞y＞z）.再设共发牌n轮（每轮发3张）.记作x+y＋z＝S。 n·S＝13＋15＋23=51。 由于n和S都是整数，51＝3×17.只有n=3，S=17.现在转变为不定 方程：x＞y＞z且10＞x＞y＞z≥1的条件下： x+y＋z＝17 求整数解。 即x≥6.x可能值为6、7、8、9。 第一种情况，x=6＞y＞z，而y+z=17-6=11，而此时y+z最多为5+4.所以x≠6。 第二种情况，x=7＞y＞z，y＋z=17-7=10，只有y=6，z=4.但是丙三次牌数字和为23，而23显然不可能表示为｛7，6，4｝中任意三个（可 以重复的，下同）数之和。 第二种情况x=7亦被排除。 第三种情况，x=8＞y＞z，y＋z＝17-8=9，（y，z）可能情况有（7，2）；（6，3）；（5，4）。 而13（甲三次牌数字和）不能表示为｛8，7，2｝中任意三个数之和，23不能表示为｛8，6，3｝和｛8，5，4｝中任意三个数之和，故x=8亦被排除。
第四种情况，x=9＞y＞z，y＋z=17-9=8，观察知y=5，z=3.（可排除｛9，7，1｝和｛9，6，2｝.） 综上所述，三张牌为3、5、9。 例2 采购员用一张1万元支票去购物.购单价590元的A种物若干，又买单价670元的B种物若干，其中B种个数多于A种个数，找回了几张100元和几张10元的（10元的不超过9张）.如把购A种物品和B种物品的个数互换，找回的100元和10元的钞票张数也恰好相反.问购A物几个，B物几个？ 解：设购A种物x个，购B种物为x+y个，并设第一次购物找回r 张100元，s张10元，则 这是4个未知数，2个方程的不定方程组.解方程时，方程变形的一 些法则（方程两边同时乘或除以不为0的数，方程不变；方程两边同时加或减一个数，方程不变）仍适用.先将（1）（2）两边约去10，得 由于（3）（4）式的右边都等于1000，因此它们相等，整理后得8y ＋9r-9s=0， 再在方程两边同时加上9s-9r，得： 8y＝9（s-r）（5） 由于y是大于0的整数，所以s-r也是整数＞0。 因此8｜9·（s-r），9｜8y。 但是s是10元钱的张数，s≤9，r是100元钱的张数，所以k=1，因此y=9，s-r=8.显然s=9，r=1。 代回（3）式：得到x=3。 所以：x=3，x+y=3+9＝12，r＝1，s=9.采购员购A物3件，B物12件，找回1张100元，9张10元。 这两个例题已综合地体现了不定方程的“风味”。 例3 现有3米长和5米长钢管各6根，安装31米长的管道，问怎样接用最省料？ 解：设3米长用x根，5米长用y根，列成不定方程： 3x＋5y=31.分两种思路求解
一、甲、乙两地相距1800千米，一列快车和一列慢车同时从两地开出，相向而行，15小时相遇。已知快车每小时比慢车多行10千米，慢车每小时行多少千米？ 二、大、小两辆汽车同时从甲地开往乙地，小车行4.5小时到达乙地后立即原路返回，在离乙地31.5千米处与大车相遇，已知小车每小时比大车多行12千米，求小车每小时行多少千米？ 三、甲、乙两车从相距737千米的东西两市同时相向而行，甲车每小时行75千米，乙车比甲车每小时慢10千米，途中甲车修车用1小时，两车从出发到相遇用了多少小时？ 四、甲、乙两船从大连开往青岛。甲船每小时行60千米，乙船每小时行80千米。甲船开出1小时后乙船才出发，乙船经过几小时才追上甲船？ 五、甲、乙两运动员练习长跑，同时同地绕环形跑道同
向出发，甲每分跑120米，乙每分钟跑100米，已知甲第一次追上乙时用了20分钟，求跑道的一圈长多少米？ 六、一列火车长160米，全车通过440米的桥需要30秒。这列火车每秒行多少米？ 七、甲火车200米长，以每秒25米的速度行驶，车上一人向窗外看风景，对面驶过180米长的乙火车，已知4秒后此人又看到风景，乙火车每秒行多少米？ 八、一只船在一条河中顺水用了6小时行了108千米到达目的地，返回原处用了9小时，水流速度是多少？ 九、两地相距240千米，一艘慢船顺水用4小时，返回时用6小时，一艘快船顺水航行用3小时，返回时用多少小时？ 十、甲、乙两辆旅游车同时从东、西两个景点出发，相
向而行，20分钟相遇，相遇后，甲车继续行驶15分钟到达西面景点。乙车每分钟行2400米。东、西两个景点之间的公路长多少米？ 十一、小明从爷爷家出来2小时后，爸爸从相距24千米的家里出来接小明，又经过2.25小时相遇；如果爸爸从家里出发2小时后，小明再从爷爷家回来，又经过1.75小时相遇。小明和爸爸的速度各是多少？ 十二、李顺、李利结伴去春游，每分钟走50米，出发12分钟时，李顺回家取照相机，然后骑自行车以每分钟200米的速度赶李利。骑车多少分钟追上？ 十三、小明坐在公共汽车上看到姐姐向相反的方向走，90秒后小明下车向姐姐追去。如果他的速度比姐姐快1倍，汽车速度是小明步行的5倍。小明多长时间追上姐姐？ 1、甲、乙两人从两地同时相向而行，5小时相遇，如果两人每小时都多行5
五年级奥数：包含与排除 五年级奥数：包含与排除 1、某班有40名学生，其中有15人参加数学小组，18人参加航 模小组，有10人两个小组都参加。那么有多少人两个小组都不参加？ 解：两个小组共有（15+18）-10=23（人）， 都不参加的有40-23=17（人） 答：有17人两个小组都不参加。 解：45-29-10+3=9（人） 答：语文成绩得满分的有9人。 解：4的倍数有50/4商12个，6的倍数有50/6商8个，既是4 又是6的倍数有50/12商4个。 4的倍数向后转人数=12，6的倍数向后转共8人，其中4人向后，4人从后转回。 面向老师的人数=50-12=38（人） 答：现在面向老师的同学还有38名。 解：2的倍数有100/2商50个，3的倍数有100/3商33个，2 和3人倍数有100/6商16个。 领2支的共准备（50-16）*2=68，领3支的共准备（33-16） *3=51，重复领的共准备16*（2+3）=80，其余准备100-（50+33-16）*1=33 共需要68+51+80+33=232（支） 答：游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有232支。
5、有一根长为180厘米的绳子，从一端开始每隔3厘米作一记号，每隔4厘米也作一记号，然后将标有记号的地方剪断。问绳子 共被剪成了多少段？ 解：3厘米的记号：180/3=60，最后到头了不划，60-1=59个 4厘米记号：180/4=45，45-1=44个，重复的记号：180/12=15，15-1=14个，所以绳子中间实际有记号59+44-14=89个。 剪89次，变成89+1=90段 答：绳子共被剪成了90段。 解：1，2，3，4，5年级共有16，1，2，3，4，6年级共有15，5，6年级共有25 所以总共有（16+15+25）/2=28（幅），1，2，3，4年级共有 28-25=3（幅） 答：其他年级的画共有3幅。 7、有若干卡片，每张卡片上写着一个数，它是3的倍数或4的 倍数，其中标有3的倍数的卡片占2/3，标有4的倍数的卡片占3/4，标有12的倍数的卡片有15张。那么，这些卡片一共有多少张？ 解：12的倍数有2/3+3/4-1=5/12，15/（5/12）=36（张） 答：这些卡片一共有36张。 8、在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7 除尽的数有多少个？ 解：5的倍数有1000/5商200个，7的倍数有1000/7商142个，既是5又是7的倍数有1000/35商28个。5和7的倍数共有 200+142-28=314个。 1000-314=686 答：既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有686个。
第五讲进位制问题 例题1 （1）2013=（） 5=（） 8 =（） 12 =（） 16 （2）（2012） 5=（） 10 ；（3）（2012） 2 =（） 10 练习1 （3A2） 12=（） 10 ；（ADD） 16 =（） 10 ； （2012） 5=（） 12 ；（2012） 8 =（） 12 例题2 （1）把三进制数12120120110110121121改写为九进制，它从左向右数第1位数字是多少？ （2）（111011001） 2=（） 4 =（） 8 练习2 （120011221） 3=（） 9 例题3 （5453） 7+（6245） 7 =（） 7 练习3 （123） 5 （123） 5 =（） 5
例题4 在6进制中有三位数abc，化为9进制的cba，这个三位数在十进制中是多少？ 练习4 在7进制中有三位数abc，化为9进制为cba，这三位数在十进制中是多少？ 挑战极限 例题五一个天平，物品必须放在左盘，砝码必须放在右盘，那么为了能称出1克到1000克，至少需要多少个砝码？ 例题6 一本书共有2013页，第一天看一页书，从第二天起，每天看到的页数都是以前各天的总和。如果直到最后剩下的不足以看一次时就一次看完，共 需要多少天？
作业1、进制互化 （1）（11202） 4=（） 10 ；（2）（1CA） 16 =（） 10 （2）（3120） 10=（） 16 ；（4）（1248） 10 =（） 5 （5）（11202） 4=（） 9 ；（6）（157） 9 =（）16 2 、（1）（202） 4+（323） 4 =（） 4 ；（2）（21） 5 （322） 5 =（） 5 3 、一个十进制三位数（abc） 10 ，其中a，b，c均代表某个数码，它的二进制表达式 是一个七位数（1abcabc） 2 ，这个十进制的三位数是多少？ 4 、一个自然数用三进制和四进制表示都为三位数，并且它的各位数字的排列顺序恰好相反，这个自然数用十进制表示是多少？ 5 、 a，b是自然数，a进制下的数47和b进制下的数74相等，a与b的和的最小值是多少？
小学五年级奥数题——速算与巧算 在日常生活和解答数学问题时,经常要进行计算,在数学课里我们学习了一些简便计算的方法,但如果善于观察、勤于思考,计算中还能找到更多的巧妙的计算方法,不仅使你能算得 好、算得快,还可以让你变得聪明和机敏. 例1：计算：9.996＋29.98＋169.9＋3999.5 算式中的加法看来无法用数学课中学过的简算方法计算,但是,这几个数每个数只要增加一点,就成为某个整十、整百或整千数,把这几个数“凑整”以后,就容易计算了.当然要记 住,“凑整”时增加了多少要减回去. 9.996＋29.98＋169.9＋3999.5 =10＋30＋170＋4000－（0.004＋0.02＋0.1＋0.5） =4210－0.624 =4209.376 例2：计算：1＋0.99－0.98－0.97＋0.96＋0.95－0.94－0.93＋…＋0.04＋0.03－0.02－0.01 式子的数是从1开始,依次减少0.01,直到最后一个数是0.01,因此,式中共有100个数而式子中的运算都是两个数相加接着减两个数,再加两个数,再减两个数……这样的顺序排列 的. 由于数的排列、运算的排列都很有规律,按照规律可以考虑每4个数为一组添上括号,每组数的运算结果是否也有一定的规律?可以看到把每组数中第1个数减第3个数,第2个数减第4个数,各得0.02,合起来是0.04,那么,每组数（即每个括号）运算的结果都是0.04,整个算式100个数正好分成25组,它的结果就是25个0.04的和. 1＋0.99－0.98－0.97＋0.96＋0.95－0.94－0.93＋…＋0.04＋0.03－0.02－0.01 =（1＋0.99－0.98－0.97）＋（0.96＋0.95－0.94－0.93）＋…＋（0.04＋0.03－0.02－0.01） =0.04×25 =1 如果能够灵活地运用数的交换的规律,也可以按下面的方法分组添上括号计算： 1＋0.99－0.98－0.97＋0.96＋0.95－0.94－0.93＋…＋0.04＋0.03－0.02－0.01 =1＋（0.99－0.98－0.97＋0.96）＋（0.95－0.94－0.93＋0.92）＋…＋（0.03－0.02－0.01） =1 例3：计算：0.1＋0.2＋0.3＋…＋0.8＋0.9＋0.10＋0.11＋0.12＋…＋0.19＋0.20 这个算式的数的排列像一个等差数列,但仔细观察,它实际上由两个等差数列组成,0.1＋0.2＋0.3＋…＋0.8＋0.9是第一个等差数列,后面每一个数都比前一个数多0.1,而0.10＋0.11＋0.12＋…＋0.19＋0.20是第二个等差数列,后面每一个数都比前一个数多0.01,所以,应分为 两段按等差数列求和的方法来计算. 0.1＋0.2＋0.3＋…＋0.8＋0.9＋0.10＋0.11＋0.12＋…＋0.19＋0.20 =（0.1＋0.9）×9÷2＋（0.10＋0.20）×11÷2 =4.5＋1.65 =6.15 例4：计算：9.9×9.9＋1.99 算式中的9.9×9.9两个因数中一个因数扩大10倍,另一个因数缩小10倍,积不变,即这个乘法可变为99×0.99；1.99可以分成0.99＋1的和,这样变化以后,计算比较简便. 9.9×9.9＋1.99 =99×0.99＋0.99＋1 =（99＋1）×0.99＋1 =100
第五讲-计数应用 1.抽屉里有黑色小球13只，红色小球7只，现在要选3个球出来，至少要有2只红球的不同选法共有多少种？ A.308 B.378 C.616 D.458 2.用0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有多少个？ A.20 B.30 C.40 D.50 3.一条马路上有编号为l、2、…、9的九盏路灯，现为了节约用电，要将其中的三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种？ A.10 B.20 C.35 D.84 4.用0、1、2、3、4、5六个数字可组成多少个被10整除且数字不同的六位数？ A.120 B.300 C.600 D.720 5.7个人排成一排，甲不在最左边，乙不在最右边的情况有几种？ A.3120 B.3720 C.3600 D.7200 6.7个人站成一排，要求甲乙丙三人相邻的排法有几种？ A.120 B.300 C.600 D.720 7.将“PROBABILKIY”11个字母排成一列，排列数有多少种？ A.9979200 B.9979201 C.9979202 D.9979203 8.将“PROBABILlIY”11个字母排成一列，若保持P,R,O次序，则排列数有（）种？ A.90720 B.90721 C.90729 D.90726 9.从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作。若这三人中至少有1名女生，则选派方案共有多少种？ A.144 B.192 C.186 D.150 10.用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大并且百位数字不是3的没有重复数字的五位数有多少个？ A.72 B.76 C.78 D.84 11.甲，乙两个科室各有4名职员，且都是男女各半，现从两个科室中选出4人参加培训，要求女职员比重不得低于一半，且每个科室至少选1人，问有多少种不同的选法？【2011年国考】 A.67 B.63 C.53 D.51 12.有颜色不同的四盏灯，每次使用一盏、两盏、三盏或四盏，并按一定的次序挂在灯杆上表示信号，问共可表示多少种不同的信号？【2008浙江】 A.24 B.48 C.64 D.72 13.如图，圆被三条线段分成四个部分。现有红、橙、黄、绿四种涂料对这四个部分上色，假设每部分必须上色，且任意相邻的两个区 域不能用同一种颜色，问共有几种不同的上色方法？【2009年浙江】 A.64种 B.72种 C.80种 D.96种 14.同时扔出A、B两颗骰子（其六个面上的数字都为1，2，3，4，5，6）问两个骰子出现的数字的积为偶的情形有几种？【2007国考】