包含与排除(一).

第4讲包含与排除内容概述有重叠部分的若干对象的计数问题。

能利用文氏图进行辅助分析，弄清文氏图中每部分的含以；结合文氏图理解两个对象和三个对象的容斥原理；灵活处理具有一些不确定性的计数问题，以及其他形式的重复计数问题。

兴趣篇1．某次练习共有2道题，做对第一题的有40人，这40人中有13人第2题做错了，那么第1题第2题全对的共有多少人？答案：27人解析：40-13=27人。

2．暑假里，萱萱和小高一起讨论“金陵十八景”。

他们发现十八景中的每一处都有人去过，而且有五处是两人都去过的。

如果萱萱去过其中的十二景，那么小高去过其中的几景？答案：11景解析：方法一：画文氏图：圆A是萱萱去过的地方，圆B是小高去过的地方。

这样①号部分表示的是只有萱萱去过的地方，②号部分表示的是两个人都去过的地方，③号部分表示的是只有小高去过的地方。

根据条件知：萱萱去过12景，也就是圆A共12景；他们一共去了18景，所以圆A与圆B一共包括18景；于是③有18-12=6景。

两人都去过的有5景，也就是说②有5景。

小高去过的是②和③，共5+6=11景。

方法二：运用容斥原理：对于两个对象A和B，有这样的公式：A与B的总数=A+B-A和B的重叠。

因此小高去过的有18+5-12=11景。

3．在一群小朋友中，有12人看过动画片《黑猫警长》，有21人看过动画片《大闹天宫》，并且有8人两部动画片都看过。

请问：至少看过其中一部的小朋友有多少人？答案：25人解析：方法一：画文氏图：圆A表示看过《黑猫警长》的人，圆B表示看过《大闹天宫》的人，这样②是两个都看过的人，有8人。

有12人看过《黑猫警长》，①②共12人；有21人看过《大闹天宫》，②③共21人；只看过《大闹天宫》的人是③，它有21-8=13人。

因此，①②③加起来共有12+13=25人。

方法二：根据容斥原理，得12+21-8=25人。

4．一群小朋友共有40人，他们都喜欢吃馒头或者米饭中的一种或者两种，喜欢吃馒头的有30人，两种都喜欢吃的有7人，那么喜欢吃米饭的有多少人？答案：17人解析：方法一：画出文氏图解答（图略，可参考前两题）．只喜欢吃馒头的有30-7=23人；喜欢吃米饭的有40-23=17人．方法二：根据容斥原理，得40+7-30=17人。

【例1】五年级二班40 名同学，其中有25 人没参加数学小组，有18 人参加航模小组，有10 人两个小组都参加．那么只参加了一个小组的学生有多少人？【试一试】1. 李老师出了两道题，全班40 人中，第一题有30 人做对，第2 题有12 人未做对，两题都做对的有20 人．（1）第1 题不对、第2 题对的有几个人？（2）两题都不对的有几个人？【例2】渔乡小学举行长跑和游泳比赛，共305 人参加．有150 名男生和90 名女生参加长跑比赛，有120 名男生和70 名女生参加游泳比赛，有110 名男生两项比赛都参加了．请问：只参加游泳而没参加长跑的女生有多少人？【试一试】1. 某校参加数学竞赛的有120 名男生、80 名女生，参加语文竞赛的有120 名女生、80 名男生．已知该校共有260 名学生参加竞赛，其中75 名男生两科竞赛都参加了，那么只参加数学竞赛而没有参加语文竞赛的女生有多少人？2、三位基金经理投资若干只股票．张经理买过其中66 只，王经理买过其中40 只，李经理买过23 只．张经理和王经理都买过的有17 只，王经理和李经理都买过的有13 只，李经理和张经理都买过的有9 只，三个人都买过的有6 只．请问：那么这三位经理一共买过多少只股票？3.卡莉娅用三块长方形桌布相互重叠地铺在一张长方形桌子上，正好将桌子完全覆盖．已知三块桌布的面积分别是40 平方分米、36 平方分米和27 平方分米，其中第一块和第二块桌布重叠的面积为5平方分米，第二块和第三块重叠了7 平方分米，而第一块和第三块则重叠了4 平方分米．如果三块重叠的部分等于2 平方分米，那么这张桌子的面积是多少？【例3】培英学校有学生1000 人，其中500 人订阅了《中国少年报》，350 人订阅了《少年文艺》，250 人订阅了《数学报》，至少订阅两种报刊的有400 人，订阅了三种报刊的有100 人．请问：这个学校有多少人没有订报？【试一试】1. 五年级一班共有41 个同学，将参加绘画、航模、舞蹈三个兴趣小组，要求每人都选其中的两项．已知航模组有27 人，那么同时选绘画和舞蹈的同学有多少人？图书室有100 本书，借阅图书者需在图书上签名．已知这100 本书中有甲、乙、丙签名的分别有33本、44本和55本，其中同时有甲、乙签名的图书为29本，同时有甲、丙签名的图书为25本，同时有乙、丙签名的图书为36本．问：这批图书中最少有多少本没有被借阅过？2. 五年级一班有46人，其中有40人会骑自行车，38人会打乒乓球，35人会打羽毛球，则该班这三项运动都会的至少有多少人？3. 有100 名同学回答A、B 两个问题．都没有回答对的有10 人，答对A 的有75 人，答对B 的有83 人，两题都答对的有多少人？4. 在游艺会上，有100 名同学抽到了标签分别为1 至100 的奖券．按奖券标签号发放奖品的规则如下：标签号为2 的倍数，奖2 支铅笔；标签号为3 的倍数，奖3 只铅笔；标签号既是2 的倍数，又是3 的倍数可重复领奖；其他标签号均奖1 支铅笔．那么游艺会应该准备多少支铅笔作为奖品？5. 一根长木棍上有两种刻度，第一种刻度线将木棍10 等分，第二种刻度线将木棍12 等分．如果沿每条刻度线将木棍锯断，那么木棍总共被锯成多少段？6. 中国田径队的40 名运动员们在训练基地进行封闭训练．其中男运动员有20 名，训练长跑的运动员有15 名，训练竞走的女运动员有8 名，那么训练长跑的男运动员有多少名？7. 五年级共有110 人，其中92 人参加了语文小组，51 人参加了英语小组，58 人参加了数学小组，至少参加2 个小组的有80 人，参加了三个小组的有20 人．那么五年级有多少人没有参加小组？。

四年级思维拓展之包含与排除1.把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条。

已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？2.某小学三年级四班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加。

这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？3.在前100个自然数中，能被2或3整除的数有多少个？4.某科室有12人，其中6人会英语，5人会俄语，5人会日语，有3人既会英语又会俄语，有2人既会俄语又会日语，有2人既会英语又会日语，有1人英、日、俄这三种语言全会，只会一种外语的人比一种外语也不会的人多多少人？5.全班有46名同学，仅会打乒乓球的有18人，既会打乒乓球又会打羽毛球的有7人，既不会打乒乓球又不会打羽毛球的有6人。

问：仅会打羽毛球的有多少人？6.某班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个小组都参加了。

这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？7.有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语。

问既懂英语又懂俄语的有多少人？8.三年级科技活动组共有63人。

在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有42人，装配好一架飞机模型的同学有34人。

每个同学都至少完成了一项活动。

问：同时完成这两项活动的同学有多少人？9.在春光小学“创造杯”展览会上，展品中有26件不是六年级的，有25件不是五年级的.已知五、六年级展品共35件，那么五年级的展品有____件.10.四1班有48名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有30人，写完数学作业的有20人，语文数学都没写完的有6人。

（1）问语文数学都写完的有多少人？（2）只写完语文作业的有多少人？参考答案1.【解答】分析：焊接部分为两根铁条的重合部分，由包含排除法知，焊接后这根铁条长：38＋53-4＝87(厘米)。

2.【解答】分析：如图所示，A圆表示参加语文兴趣小组的人，B圆表示参加数学兴趣小组的人，A与B重合的部分C(阴影部分)表示同时参加两个小组的人。

五年级奥数－包含与排除1.某班有40名学生，其中有15人参加数学小组，18人参加航模小组，有10人两个小组都参加。

那么有多少人两个小组都不参加？2.50名同学面向老师站成一行，老师先让大家从左至右按1，2，3， (49)50依次报数；再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转。

问：现在面向老师的同学还有多少名？3.在从1至100的自然数中，既不能被5除尽也不能被7除尽的数有多少个？4.在前1000个自然数（不包括0）中，既不是平方数也不是立方数的自然数有多少个？5.有三个面积各为20平方厘米的圆纸片放在桌上，见下图。

三个纸片共同重叠的面积是8平方厘米，三个纸片盖住桌面的总面积是36平方厘米。

问：图中阴影部分的面积之和是多少？五年级奥数－包含与排除答案1.解析：40=--人。

(+)171015182.解析：面向老师的学生包括报数既不是4的倍数也不是6的倍数、报数既是4的倍数也是6的倍数即12的倍数的同学，共计38+[=-+50-人。

)]44812(3.解析：1000=(-+-个。

142686200)284.解析：前1000个自然数中，平方数有：1，4，9，16，25，36， (900)961，共计31个；立方数有1，8，27，64，125，216，343，521，729，1000，共计10个；既是平方数又是立方数的有1，64，729，共计3个。

所以既不是平方数也不是立方数的有9621000=+-个。

-)3(10315.解析：2⨯-=-⨯。

88236320cm。

“包含与排除” 学生姓名授课日期 教师姓名授课时长包含与排除是小学奥数中一个非常重要的知识点，很多杯赛和小升初选拔考试中都会有相关考察内容，是考察学生逻辑思维能力，以及理解利用新知识的一个非常重要的方面，其中容斥原理更是最关键的点，而且与数论和几何的综合性题目是历年考察的重点。

一、容斥原理公式1、若已知A 、B 、C 三部分的数量（如图），其中C 为重复部分，则图中的数量等于A+B-C. 即：A ∪B=A+B- A ∩B ，其中A ∩B=C.2、若已知A 、B 、C 三部分的数量（如图）， 则图中的数量等于A+B+C-（A 与B 重叠部分+ B 与C 重叠部分+ C 与A 重叠部分）+A 、B 、C 三者重叠的部分.即：A ∪B ∪C=A+B+C-（A ∩B+B ∩C+C ∩A ）+ A ∩B ∩C.以上概念中符号解释：“∪”表示并集，“A ∪B ”表示A 并B ，通俗的讲表示所有或属于A 、或属于B 的元素的数量（集合），“A ∪B ∪C ” 通俗的讲表示所有或属于A 、或属于B 、或属于C 的元素数量.“∩”表示交集，“A ∪B ”表示A 交B ，通俗的讲表示所有即属于A 、又属于B 的元素的数量（集合），“A ∩B ∩C ”通俗的讲表示所有即属于A ，又属于B ，还属于C 的元素数量C B A C B A【试题来源】【题目】某小学三年级四班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加。

这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？【试题来源】【题目】在桌面上放置着三个两两重叠的圆纸片（如图，三个圆等大），它们的面积都是100cm2，并知A、B两圆重叠的面积是20cm2，A、C两圆重叠的面积为45cm2，B、C两圆重叠的面积为31cm2,三个圆共同重叠的面积为15cm2，求盖住桌子的总面积。

【试题来源】【题目】东方大学有外语老师120名，其中教英语的有50名，教日语的45名，教法语的有40名，有15名教师既教英语又教日语，有10名教师既教英语又教法语，有8名教师既教日语又教法语，有4名教师会教英语、日语和法语三门课，求不教这三门课的外教有多少名？【试题来源】【题目】五年级三班有46名学生参加三项课外活动，其中24人参加了绘画小组，20人参加了合唱小组，参加朗诵小组的人数是既参加绘画小组又参加朗诵小组人数的3.5倍，又是三项活动都参加人数的7倍，既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数相当于三项都参加人数的2倍，既参加绘画小组又参加合唱小组的有10人，求参加朗诵小组的人数。

学生姓名: 年级:小升初科目:数学授课教师:贺琴授课时间: 学生签字:包含与排除(容斥原理)集合就是指具有某种属性得事物得全体,它就是数学中得最基本得概念之一。

如某班全体学生可以瞧作就是一个集合,0、1、2、3、4、5、６、7、8、９便组成一个数字集合。

组成集合得每个事物称为这个集合得元素。

如某班全体学生组成一个集合,每一个学生都就是这个集合得元素,数字集合中有10个元素。

两个集合中可以做加法运算,把两个集合A、B合并在一起,就组成了一个新得集合C。

计算集合C得元素得个数得思考方法主要就是包含与排除:先把A、B 得一切元素都“包含"进来加在一起,再“排除”Ａ、B两集合得公共元素得个数,减去加了两次得元素,即:C=A+B－AB。

在解包含与排除问题时,要善于使用形象得图示帮助理解题意,搞清数量关系得逻辑关系、有些语言不易表达清楚得关系,用了适当得图形就显得很直观、很清楚,因而容易进行计算。

1、六年级９６名学生都订了报纸,有64人订了少年报,有4８人订了小学生报。

两种报纸都订得有多少人？［分析］用左边得圆表示订少年报得6４人,右边得圆表示订小学报得48人,中间重叠部分表示两种报刊都订得人数。

显然,两种报刊都订得人数被统计了两次:６4+４8＝1１２人,比总人数多112—9６=1６人,这1６人就就是两种报刊都订得人数。

【练习】1、一个班得52人都在做语文与数学作业、有3２人做完了语文作业,有3５人做完了数学作业、语文、数学作业都做完得有多少人？2、六年级有1２2人参加语文、数学考试,每人至少有一门功课得优、其中语文得优得有６５人,数学得优得有87人。

语文、数学都得优得有多少人？3、某班有50名学生,在一次测验中有26人满分,在第二次测验中有21人满分。

如果两次测验都没得过满分得学生有1７人,那么,两次测验都得满分得有多少人？2、某校教师至少懂得英语与日语中得一种语言、已知有35人懂英语,３4人懂日语,两种语言都懂得有21人。

四年级第二学期讲义第十一讲 包含与排除一、 知识要点日常生活或数学问题中，在把一些数据按照某个标准分类时，常常出现其中的一部分数据同时属于两种或两种以上不同的类别，这样在计算总数时就会出现重复计算的情况，这类问题就叫做重叠问题，容斥原理就是重叠问题的解题原理，也叫包含与排除原理。

在数学里，我们把具有某种相同性质的对象放在一起考虑，这些相同性质的对象便组成了一个“集合”，每个集合总是由一些成员组成的，集合中的这些成员叫做这个集合的元素。

名词解释：（1）由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 、B 的并集（又叫A 与B 的和）。

记作A B ，记号“ ”读作“并”，A B 读作“A 并B ”。

（2）A 、B 两个集合公共的元素，也就是那些既属于A ，又属于B 的元素，它们所组成的集合叫做A 和B 的交集，记作“A B ”，记号“ ”读作“交”，A B 读作“A 交B ”。

二、 典型例题例1、四（1）班同学中有37人喜欢打乒乓球，26人喜欢打羽毛球，21人既爱打乒乓球又爱打羽毛球。

问全班喜欢打乒乓球或羽毛球活动的有多少人？例2、四年级一班在期末考试中，语文得“优”的有15人，数学得“优”的有17人，老师请得“优”的同学都站起来，数了数有24人。

两科都得“优”的有几人？例3、图新小学四年级二班有24人参加了美术小组，有18人参加了音乐小组，其中11人两个小组都参加，还有5人什么组都没参加。

这个班共有学生多少人？例4、某班学生参加音乐组的有11人，参加美术组的有8人，参加英语组的有12人，既参加音乐组又参加美术组的有5人，既参加音乐组又参加英语组的有3人，既参加美术组又参加英语组的有4人，三个组都参加的只有1人，问：至少参加一个组的有多少人？例5、有82名参加数学与作文课外班的学生，其中参加作文班的有60人，参加数学班的有48人。

那么两种课外班都参加的有多少人？例6、全班有46名同学，仅会打乒乓球的有18人，会打乒乓球又会打羽毛球的有7人，不会打乒乓球又不会打羽毛球的有6人。

包含与排除的教案教案标题：包含与排除的教案教案概述：本教案旨在引导教师设计包含与排除的教案，以满足不同学生的学习需求。

通过灵活运用教学资源和策略，教师可以为学生提供个性化的学习体验，同时确保教学内容的全面覆盖。

教案目标：1. 了解包含与排除的概念，以及其在教学中的重要性。

2. 掌握设计包含与排除的教案的方法和策略。

3. 能够根据学生的学习需求和特点，调整教学内容和方法。

教案步骤：1. 引入（5分钟）- 向学生介绍包含与排除的概念，并解释其在教学中的作用。

- 引发学生思考：为什么我们需要包含与排除的教学？2. 理论讲解（10分钟）- 解释包含教学的概念：包含教学是指在教学过程中，教师努力将不同学生的需求纳入教学内容和方法中。

- 解释排除教学的概念：排除教学是指教师根据学生的学习需求，有意地从教学内容和方法中排除一些元素。

- 分析包含与排除教学的优势和挑战。

3. 设计包含与排除的教案（15分钟）- 分组讨论：将学生分成小组，要求每个小组选择一个教学主题，并设计一个包含与排除的教案。

- 提示问题：如何根据学生的学习需求和特点，调整教学内容和方法？如何平衡包含与排除的要求？4. 小组分享与讨论（10分钟）- 每个小组展示他们设计的教案，并解释他们在设计过程中的思考和决策。

- 全班讨论：学生和教师一起探讨各组设计的教案的优点和改进之处。

5. 总结与反思（5分钟）- 教师总结包含与排除的教案设计原则和方法。

- 学生反思：你在设计教案时遇到了哪些挑战？你认为如何平衡包含与排除的要求？教案扩展：1. 学生可以在小组合作的基础上，独立设计一个包含与排除的教案，并与同学分享。

2. 教师可以提供更多的案例和资源，帮助学生更好地理解和应用包含与排除的教学原则。

3. 教师可以观察学生在实际教学中如何运用包含与排除的教学策略，并提供反馈和指导。

第33讲包含与排除（容斥原理）一、专题简析：集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数学中的最基本的概念之一。

如某班全体学生可以看作是一个集合，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9便组成一个数字集合。

组成集合的每个事物称为这个集合的元素。

如某班全体学生组成一个集合，每一个学生都是这个集合的元素，数字集合中有10个元素。

两个集合中可以做加法运算，把两个集合A、B合并在一起，就组成了一个新的集合C。

计算集合C的元素的个数的思考方法主要是包含与排除：先把A、B的一切元素都“包含”进来加在一起，再“排除”A、B两集合的公共元素的个数，减去加了两次的元素，即：＋B－。

在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，搞清数量关系的逻辑关系。

有些语言不易表达清楚的关系，用了适当的图形就显得很直观、很清楚，因而容易进行计算。

二、精讲精练例1五年级96名学生都订了报纸，有64人订了少年报，有48人订了小学生报。

两种报纸都订的有多少人？练习一1、一个班的52人都在做语文和数学作业。

有32人做完了语文作业，有35人做完了数学作业。

语文、数学作业都做完的有多少人？2、五年级有122人参加语文、数学考试，每人至少有一门功课得优。

其中语文得优的有65人，数学得优的有87人。

语文、数学都得优的有多少人？例2：某校教师至少懂得英语和日语中的一种语言。

已知有35人懂英语，34人懂日语，两种语言都懂的有21人。

这个学校共有多少名教师？练习二1、某校的每个学生至少爱体育和文娱中的一种活动。

已知有900人爱好体育活动，有850人爱好文娱活动，其中260人两种活动都爱好。

这个学校共有学生多少人？2、某班在一次测验中有26人语文获优，有30人数学获优，其中语文、数学双优的有12人，另外还有8人语文、数学均未获优。

这个班共有多少人？例3：学校开展课外活动，共有250人参加。

其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组的有83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人。

六年级奥数—包含与排除（含答案）A卷1.有长8厘米，宽6厘米的长方形与边长为5厘米的正方形，如图10-1，放在桌面上（阴影是图形的重叠部分），那么这两个图形盖住桌面的面积是平分厘米。

2.一个班有45个小学生，统计借课外书的情况是：全班学生都有借语文或数学课外书，借语文课外书的有39人，借数学课外书的有32人，语文、数学两种课外书都借的有人。

3.某班有30名男生，其中20人参加足球队，12人参加篮球队，10人参加排球队，已知没有一个人同时参加3个队，且每人至少参加一个队，有6人既参加足球队又参加篮球队，有2人既参加篮球队又参加排球队，那么既参加足球队又参加排球队的有人。

4.在100个学生中，音乐爱好者有56人，体育爱好者有75人，那么既爱好音乐又爱好体育的人最少人，最多有人。

5.某校有500名学生报名参加学科竞赛，数学竞赛参加者共312名，作文竞赛参加者共353名，其中这两科都参加的有292名，那么这两科都没有参加的人数为人。

6.全班有48人，每人至少订有一份《小学生报》或一份《少年先锋报》。

张老师在统计订报纸人数的时候，发现有38人订了《小学生报》，42人订了《少年先锋队》。

请你算一算，有同学订了两种报纸。

7.文凤小学五年级（1）班的同学都到学校图书馆借科技书和故事书，有45人借了科技书，35人借了故事书，30人既借了科技书，又借了故事书，这个班共有名学生。

8.有两个正方形，一个边长是4厘米，一个边长是6厘米。

把他们按如图10-2放置。

中间重叠的部分是一个边长为2厘米的小正方形。

被这两个正方形盖住的面积是。

9.在1~100中，是2或3的倍数的整数一共有个。

10.五年级（1）班有46人，其中有12人没有参加语文竞赛和数学竞赛。

参加语文竞赛的有20人，参加数学竞赛的有18人，既参加语文竞赛又参加数学竞赛的有人。

B卷1.在一次运动会中，甲班参加田赛的有15人，参加径赛的有12人，既参加田赛又参加径赛的有7人，没有参加比赛的有21人，那么甲班共有人。

第十二讲包含与排除同学们对这个题目可能很陌生，为了搞清楚什么是“包含与排除”，大家先一起回答两个问题：(1) 如右图(1)，两个面积都是4平方厘米的正方形摆在桌面上，它们遮盖住桌面的面积是8平方厘米吗？(2) 如右图(2)，一个正方形每条边上有6个点，四条边上一共有24个点吗？聪明的同学马上就会发现：(1) 两个正方形的面积和是8平方厘米，现在它们有一部分重叠了。

因此盖住桌面的面积应当从两个正方形的面积和中减去重叠的这部分面积，所以盖住桌面的面积应少于8平方厘米。

(2) 四个角上的点每个点都在两条边上，因此被重复计算了，在求四条边上共有多少点时，应当减去重复计算的点，所以共有6×4－4＝20(个)点。

这两个问题，在计算时，都采用了“去掉”重复的数值(面积或个数)的方法。

当需要计数的两类事物互相包含(有部分重复交叉)时，应把重复计数的部分排除掉。

在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。

我们用|A|表示有限集A的元素个数。

求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：|A∪B|=|A|+|B|－|A∩B|，我们称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理。

图示如右:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A∩B，即阴影面积。

包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集A∪B的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求|A|+|B|(意思是把A、B的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C=|A∩B|(意思是“排除”了重复计算的元素个数)。

在我们小学阶段的容斥问题除了上述的二元容斥外，还有三元容斥问题(如下图)。

整个图形的面积=三个圆的面积－重合二次部分的面积+重合三次部分的面积。

第六单元包含与排除第一课时基础篇【知识要点】1、概念；包含与排除问题也叫重叠问题。

它是集合方面的知识2、容斥原理（1）总量=A+B-AB（2）总量A+B+C-AB-BC-CA+ABC【准备知识】1、六（5）班同学中，有36人参加兴趣小组，有42人参加语文兴趣小组，有26人两样都参加。

六（5）班有多少人？2、六（6）班有56人，其中36人参加数学组，42人参加语文组，两样都参加的有多少人？例1、1到500的全部自然数中，不是7的倍数，也不是9的倍数的数有多少？想：（1）7的倍数；500÷7=71……3 即=71（个）9的倍数；500÷9=55（个）7，9的倍数500÷（7×9）=7（个）即77+55-7=119（个）（2）不是7，9的倍数；500-119=381（个）练：1.在1到200的自然数中,能被3或5整除的数共有多少个?2.在1～1000的自然数中,不能被5或7整除的数共有多少个?3.在从1到1998的自然数中,能被2整除,但不能被3或7整除的数有多少个?例2.李老师出了两道数学题,全班40人中,第一题有30人做对,第二题有12人末做对,两题都做对的的20人.问第二道题对第一题不对的有几个人?两题都不对的有几个人?想；（1）画图（2）A表示对1错2， B表示错1对2，C表示1，2都对， D表示1，2都错（3）列式；A+B+C+D=40 A+C=30A+D=12 D=20（4）类比法；比较（2）与（4）（3）与（5）A=10，D=2 即B=8整理；答对2错1的8人，两题都有错的有2人练；1.有40名运动员,其中有25人会摔跤,有20人会击剑,有10人击剑、摔跤都不会,问既会摔跤又会击剑的运动员有多少人?2.100个人参加测试,要求回答五道题,并且规定凡答对3题或3题以上的为测试合格.测试结果是:答对第一题的有81人,答对第二题的有91人,答对第三题的有85人,答对第四题的有79人,答对第五题的有74人,那么至少有多少人及格?3.在100名学生中,爱好音乐的有56人,爱好体育的有75人.那么既爱好音乐又爱好体育的人,最少有多少人?最多有多少人?作业；1.某班有36个同学,在一次测验中,答对第一题的有25人,答对第二题的有23人,两题都答对的有15人.那么两题都不对的有多少人?2.五一班期末考试语文得“优”的有15人,数学得“优”的有18人,两门功课都得“优”的有8人,两门功课都没得“优”的有20人,这个班共有多少人参加期末考试?3.六年级90名学生,每人至少订《少年报》和《小学生学习报》不的一种.有2/3的人订了《少年报》,有1/2的人订了《小学生学习报》.两种报刊都订的有多少人?第二课时较复杂的容斥问题【准备知识】将A，B，C，（AB），（AC），（BC），（ABC）标在图中，说给同座位同学听。

（二十九）包含与排除（上）《奥赛天天练》第二十一讲《包含与排除》。

包含与排除问题也叫重叠问题，从三年级奥数课堂开始由浅入深逐步学习，此类问题说明及容斥原理具体内容，请查阅：三年级奥数解析（三十九）重叠问题与容斥原理四年级奥数解析（二十九）容斥原理这一讲将在三、四年级学习的基础上，进一步学习运用容斥原理二解答稍复杂的包含与排除问题。

【容斥原理二】如果被计数的事物有A、B、C三类，则：三类元素总个数= A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类又是C类的元素个数。

【原理证明】如下图，三个圆片两两重叠，用红色圆片面积表示A类事物元素个数、黄色圆片面积表示B类事物元素个数、蓝色圆片面积表示C类事物元素个数，三个圆片覆盖的总面积就表示三类元素的总个数：A、B、C三个圆片共同重叠的正中间的一块，覆盖了三层圆片，重叠了2次；剩下的重叠部分都覆盖了两层圆片，重叠了1次。

三个圆片覆盖的总面积就等于三个圆片的面积之和减去重叠部分的面积，重叠1次的减去重叠面积，重叠2次的减去重叠面积的2倍。

但用三个圆片的总面积依次减去AB的重叠部分、AC的重叠部分和BC的重叠部分，重叠1次的面积正好减去了，可三个圆片共同重叠的部分既属于AB的重叠部分，也属于AC的重叠部分，同时属于BC的重叠部分。

这一块儿面积重叠2次，却减去了3次，多减了1次，要补上去。

所以：三类元素总个数= A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类又是C类的元素个数。

《奥赛天天练》第21讲，模仿训练，练习1【题目】：在参加数学竞赛的46人中，做对第二题的有32人，做对第4题的有24人，两道题都做对的有20人，两道题都没有做对的有几人？【解析】：如下图：用做对第2题与做对第4题的人数和，减去两题都做对的人数（重叠部分），求出的就是这两题中至少做对了一题的人数：32+24-20=36（人）。

涉及互相重复的两类或三类对象的计数问题．解题可利用计算所有对象总个数的容斥原理，以及图示包含与排除关系．1．某班有40名学生，其中有15人参加数学小组，18人参加航模小组，有10人两个小组都参加．那么有多少人两个小组都不参加?【分析与解】至少参加一个小组的同学有15+18-10=23人，所以有40-23=17人两个小组都不参加．2．某班45个学生参加期末考试，成绩公布后，数学得满分的有10人，数学及语文均得满分的有3人，这两科都没有得满分的有29人．那么语文成绩得满分的有多少人?【分析与解】数学、语文至少有一门得满分的学生有45-29=16人．所以语文成绩得满分的有16-10+3=9人．3．50名同学面向老师站成一行．老师先让大家从左至右按1，2，3，…，49，50依次报数；再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转．问：现在面向老师的同学还有多少名?【分析与解】在转过两次后，面向老师的同学分成两类：第一类是标号既不是4的倍数，又不是6的倍数；第二类是标号既是4的倍数又是6的倍数．1 50之间，4的倍数有504⎡⎤⎢⎥⎣⎦=12,6的倍数有506⎡⎤⎢⎥⎣⎦=8，即是4的倍数又是6的倍数的数一定是12的倍数，所以有5012⎡⎤⎢⎥⎣⎦=4．于是，第一类同学有50-12-8+4=34人，第二类同学有4人，所以现在共有34+4=38名同学面向老师．4．在游艺会上，有100名同学抽到了标签分别为1至100的奖券．按奖券标签号发放奖品的规则如下：①标签号为2的倍数，奖2支铅笔；②标签号为3的倍数，奖3支铅笔；③标签号既是2的倍数，又是3的倍数可重复领奖；④其他标签号均奖1支铅笔．那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支?【分析与解】 1～100，2的倍数有1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦=50，3的倍数有1003⎡⎤⎢⎥⎣⎦=33个，因为既是2的倍数，又是3的倍数的数一定是6的倍数，所以标签为这样的数有1006⎡⎤⎢⎥⎣⎦=16个． 于是，既不是2的倍数，又不是3的倍数的数在1～100中有100-50-33+16=33． 所以，游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有：50×2+33×3+33×1=232支.5. 有一根长为180厘米的绳子，从一端开始每隔3厘米作一记号，每隔4厘米也作一记号，然后将标有记号的地方剪断．问绳子共被剪成了多少段?【分析与解】 只需先计算剪了多少刀，再加上1即为剪成的段数． 从一端开始，将绳上距离这个端点整数厘米数的点编号，并将距离长度作为编号．有1～180，3的倍数有1803⎡⎤⎢⎥⎣⎦=60个，4的倍数有1804⎡⎤⎢⎥⎣⎦=45个，而既是3的倍数，又是4的倍数的数一定是12的倍数，所以这样的数有18012⎡⎤⎢⎥⎣⎦=15个． 注意到180厘米处的无法标上记号，所以剪了(60-1)+(45-1)-(15-1)=89，所以绳子被剪成89+1=90段．6. 东河小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的．现知道五、六年级共有25幅画，那么其他年级的画共有多少幅? 【分析与解】 将东河小学分成3个部分，六年级、五年级、其他年级，那么有五年级和其他年级共作画16幅，六年级和其他年级共作画15幅．而五、六年级共作画25幅，所以其他年级的画共有(16+15-25)÷2=3幅．7．有若干卡片，每张卡片上写着一个数，它是3的倍数或4的倍数，其中标有3的倍数的卡片占23，标有4的倍数的卡片占34，标有12的倍数的卡片有15张．那么，这些卡片一共有多少张?【分析与解】 设这些卡片的总数为“1”，而标有12的倍数的卡片既属于3的倍数又属于4的倍数．所以有"2""3"15"1"34+-=，解得“1”对应36张． 即这些卡片一共有36张．8．在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个?【分析与解】 l ～1000之间，5的倍数有10005⎡⎤⎢⎥⎣⎦=200个，7的倍数有10007⎡⎤⎢⎥⎣⎦=142个，因为既是5的倍数，又是7的倍数的数一定是35的倍数，所以这样的数有100035⎡⎤⎢⎥⎣⎦=28个． 所以既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有1000-200-142+-28=686个．9．五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项．其中有25人参加自然兴趣小组，35人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人，语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人．求这个班的学生人数． 【分析与解】 设参加自然兴趣小组的人组成集合A ，参加美术兴趣小组的人组成集合日，参加语文兴趣小组的人组成集合C ．A =25，B =35，C =27，B C =12，A B =8，A C =9，A B C =4. A B C =A B C A B A C B C A B C ++---+ .所以，这个班中至少参加一项活动的人有25+35+27-12-8-9+4=62，而这个班每人至少参加一项．即这个班有62人．10．如图8-1，已知甲、乙、丙3个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6，8，5，而3个圆覆盖的总面积为73．求阴影部分的面积．【分析与解】 设甲圆组成集合A ，乙圆组成集合B ，丙圆组成集合C ．A B C ===30，A B =6，B C =8，A C =5，A B C =73， 而A B C =A B C +--A B B C A C A B C --+ .有73=30×3-6-8-5+A B C ，即A B C =2，即甲、乙、丙三者的公共面积(⑧部分面积)为2．那么只是甲与乙(④)，乙与丙(⑥)，甲与丙(⑤)的公共的面积依次为6-2=4，8-2=6，5-2=3，所以有阴影部分(①、②、③部分之和)的面积为73-4-6-3-2=58．11．四年级一班有46名学生参加3项课外活动．其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3．5倍，又是3项活动都参加人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10人．求参加文艺小组的人数．【分析与解】 设参加数学小组的学生组成集合A ，参加语文小组的学生组成集合B ，参加文艺小组的学生组成集合G ．三者都参加的学生有z 人．有A B C =46，A =24，B =20，C =3.5，A C =7A B C ，B C =2A B C ，A B =10．因为A B C A B C A B A C B C A B =++---+ ，所以46=24+20+7x-10-2x-2x+x ，解得x=3，即三者的都参加的有3人．那么参加文艺小组的有3⨯7=21人．12．图书室有100本书，借阅图书者需在图书上签名．已知这100本书中有甲、乙、丙签名的分别有33，44和55本，其中同时有甲、乙签名的图书为29本，同时有甲、丙签名的图书为25本，同时有乙、丙签名的图书为36本．问这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过?【分析与解】 设甲借过的书组成集合A ，乙借过的书组成集合B ，丙借过的书组成集合C ．A =33,B =44，C =55，A B =29，A C =25，B C =36．本题只需算出甲、乙、丙中至少有一人借过的书的最大值，再将其与100作差即可． A B C A B C A B A C B C A B C =++---+ ,当A B C 最大时，A B C 有最大值.也就是说当三人都借过的书最多时，甲、乙、丙中至少有一人借过的书最多． 而A B C 最大不超过A 、B 、C 、A B 、B C 、A C 6个数中的最小值，所以A B C 最大为25．此时A B C =33+44+55-29-25-36+25=67，即三者至少有一人借过的书最多为67本，所以这批图书中最少有33本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过．13．如图8-2，5条同样长的线段拼成了一个五角星．如果每条线段上恰有1994个点被染成红色，那么在这个五角星上红色点最少有多少个?【分析与解】 如下图，下图中“ ”位置均有两条线段通过，也就是交点，如果这些交点所对应的线段都在“ ”位置恰有红色点，那么在五角星上重叠的红色点最多，所以此时显现的红色点最少，有1994×5-(2-1)×10=9960个．14．甲、乙、丙同时给100盆花浇水．已知甲浇了78盆，乙浇了68盆，丙浇了58盆，那么3人都浇过的花最少有多少盆?【分析与解】只考虑甲乙两人情况，有甲、乙都浇过的最少为：78+68-100=46盆，此时甲单独浇过的为78-46=32盆，乙单独浇过的为68-46=22盆；欲使甲、乙、丙三人都浇过的花最少时，应将丙浇过的花尽量分散在两端。

包含与排除1、40人参加测验，答对第一题的有30人，答对第二题的有21人，两题都答对的有15人，两题没答对的有多少人？2、某班学生每人至少订一种报纸，订《少年报》的有27人，订《科技报》的有21人，两种都订的有8人，全班共有多少人？3、某班学生除5人没订报纸外，其余每人至少订一种报纸，订《少年报》的有27人，订《科技报》的有21人，两种都订的有8人，全班共有多少人？4、某班数学，英语期中考试的成绩如下：英语得100分的有12人，数学得100分的有10人，两门功课都得100分的有3人，两门功课都未得100分的有26人，这个班有学生多少人？5、一个班有42人，参加体育队的有30人，参加文艺队的有25人，有5人都没参加，两队都参加的有多少人？6、在1到10000的自然数中，能被5或7整除的数共有多少个？7、六年级有56名学生参加三项课外活动，每人至少参加一项，有32人参加数学竞赛班，有24人参加足球队，其中既参加数学竞赛班又参加足球队的有10人，既参加数学竞赛班又参加合唱队的有14人，既参加足球队又参加合唱队的有9人，27人参加合唱队，求三项课外活动都参加的有几人？8、小张、小王和小李练习投篮球，一共投100次，有43次没投进，已知小张和小王共投进32次，小王和小李一共投进了46次，小王投进了多少次？9、分母是1001的最简真分数共有多少个？10、某班全体学生进行短跑，游泳，篮球三项测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一项达到优秀，这部分学生达到优秀的项目人数如表：求这个班的学生数？11、25个小朋友吃三种食品，每人至少要二种，14人要蛋糕，12人要饼干，10人要糖果，4人既要蛋糕，又要饼干，但不要糖果，2人既要蛋糕又要糖果，但不要饼干，只有一位小朋友三种都要，问有多少小朋友要饼干和糖果而不要蛋糕？12、某班有49人，只订A杂志的有10人，订B杂志，但没订C杂志的有14 人，只订C 杂志的有7人，订A、B杂志的人数是同时订A、B、C杂志人数的3倍，只订B、C杂志的人数比同时订A、B、C杂志的人数少1人，只订A、C杂志的人数是只订B、C杂志人数的2倍，另外有5人A、B、C杂志都没订，求A、B、C杂志都订的有几人？13、某班有50名学生，都报名参加了语文、数学、英语三门学科的比赛，已知：35人参加语文比赛，40人参加数学比赛，37人参加英语比赛，问至少有多少人同时参加三种比赛？至少有多少人只参加两种比赛？14、某班有40名学生参加了语文、数学考试，其中语文得100分的8人，数学得100分的12人，两门都没得100分的24人，那么，两门都得100分的有多少人？15、六年级一班共有48名学生，仅会打篮球的有20人，会打篮球又会排球的有9人，不会打篮球也不会打排球的有8人，仅会打排球的有多少人？16、某班有40名学生参加了校春季运动会，参加跑类项目的有26人，参加跳类项目的有23人，参加投掷类项目的有22人，既参加跳又参加跑类项目的有14人，既参加跑又参加投掷类项目的有12人，既参加跳又参加投掷类项目的有13人，三种项目都参加的有多少人？17、某小学参加生物、无线电，文艺小组的各有18人，20人、23人，既参加生物小组又参加无线电小组的有8人，既参加无线电小组又参加文艺小组的有9人，既参加生物小组又参加文艺小组的有10人，三个小组都参加的有2人，参加这三个小组一共有多少人？18、某班有50人，其中28人爱打篮球，19人爱打排球，21人爱踢足球，11人爱打篮球又爱踢足球，6人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种都爱好，也没有一个人三种球都不爱好，既爱打篮球又爱打排球的有多少人？19、甲、乙、丙三个班一起去春游，老师统计人数时发现：甲班和乙班共84人，乙班和丙班共90人，甲班和丙班共96人，那么他们三个班一共有多少人？20、一个班42名学生都订了报纸，订《中国少年报》的有32人，订〈小学生报〉的有27人，有多少人订了两种报纸？21、从100到1000的所有自然数中，不是3也不是5的倍数有多少个？22、38人参加测验，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人，问有几个人两题都没答对？--23、在87人中，会下中国象棋的有68人，会下国际象棋的有50人，两种象棋都不会下的有10人，两种象棋都会下的有几人？24、在1-----500的整数中，能被3或5整除的数共有多少个？只能被3或5整除的数共有多少个？25、26个男生中，有13人爱打篮球，9人爱踢足球，12人爱打排球，有2人既爱打篮球又爱踢足球，另有2人既爱打排球又爱踢足球，但没有1人是三种都爱的，问有多少人爱打篮球和排球？26、一批教师会英语的有235人，会俄语的有218人，会法语的有207人，既会英语又会俄语的有112人，既会英语又会法语的有71人，既会俄语又会法语的有63人，三种都会的有19人，三种都不会的有17人，这批教师共有多少人？27、５０名学生参加各项比赛，每人至少得一项名次，但无人重复得同一名次．只得第一名次的有８人，得第二名次的有２５人，得第一、三名次的有10人，只得第二、三名次的有9人，得第一、二而没有得第三名次的人数比同时得第一、二、三名次的少一人，只得第三名次的是同时得第一、二、三名次人数的2倍，求同时得第一、二、三名次的人数是多少？28、在100名学生中，有音乐爱好者53名，体育爱好者72名，那么两项都爱好的至少有几名？至多有几名？29、在1-100的全部自然数中，既不是6的倍数也不是5的倍数的数有多少个？30、科技节那天，学校的展室里展出了每个年级学生的作品，其中有23件不是五年级的，有21件不是六年级的，五六年级参展的作品共有8件，其他年级参展的作品共有多少件？31、某班有学生50人，参加无线电小组、航模小组和生物小组的人数分别是20人、20人和12人，其中既参加无线电小组又参加航模小组的有4人，既参加航模小组又参加生物小组的有5人，既参加生物小组又参加无线电小组的有3人，已知全班每人都至少参加了以上三个小组中的某一个，那么三个小组都参加的学生有多少人？32、光明小学45名学生参加数学、作文、美术竞赛，有21人参加数学竞赛，15人参加作文竞赛，其中7人既参加作文竞赛又参加数学竞赛，3人既参加作文竞赛又参加美术竞赛，但没有一人既参加数学竞赛又参加美术竞赛。