包含与排除(一).

第4讲包含与排除内容概述有重叠部分的若干对象的计数问题。

能利用文氏图进行辅助分析，弄清文氏图中每部分的含以；结合文氏图理解两个对象和三个对象的容斥原理；灵活处理具有一些不确定性的计数问题，以及其他形式的重复计数问题。

兴趣篇1．某次练习共有2道题，做对第一题的有40人，这40人中有13人第2题做错了，那么第1题第2题全对的共有多少人？答案：27人解析：40-13=27人。

2．暑假里，萱萱和小高一起讨论“金陵十八景”。

他们发现十八景中的每一处都有人去过，而且有五处是两人都去过的。

如果萱萱去过其中的十二景，那么小高去过其中的几景？答案：11景解析：方法一：画文氏图：圆A是萱萱去过的地方，圆B是小高去过的地方。

这样①号部分表示的是只有萱萱去过的地方，②号部分表示的是两个人都去过的地方，③号部分表示的是只有小高去过的地方。

根据条件知：萱萱去过12景，也就是圆A共12景；他们一共去了18景，所以圆A与圆B一共包括18景；于是③有18-12=6景。

两人都去过的有5景，也就是说②有5景。

小高去过的是②和③，共5+6=11景。

方法二：运用容斥原理：对于两个对象A和B，有这样的公式：A与B的总数=A+B-A和B的重叠。

因此小高去过的有18+5-12=11景。

3．在一群小朋友中，有12人看过动画片《黑猫警长》，有21人看过动画片《大闹天宫》，并且有8人两部动画片都看过。

请问：至少看过其中一部的小朋友有多少人？答案：25人解析：方法一：画文氏图：圆A表示看过《黑猫警长》的人，圆B表示看过《大闹天宫》的人，这样②是两个都看过的人，有8人。

有12人看过《黑猫警长》，①②共12人；有21人看过《大闹天宫》，②③共21人；只看过《大闹天宫》的人是③，它有21-8=13人。

因此，①②③加起来共有12+13=25人。

方法二：根据容斥原理，得12+21-8=25人。

4．一群小朋友共有40人，他们都喜欢吃馒头或者米饭中的一种或者两种，喜欢吃馒头的有30人，两种都喜欢吃的有7人，那么喜欢吃米饭的有多少人？答案：17人解析：方法一：画出文氏图解答（图略，可参考前两题）．只喜欢吃馒头的有30-7=23人；喜欢吃米饭的有40-23=17人．方法二：根据容斥原理，得40+7-30=17人。

【例1】五年级二班40 名同学，其中有25 人没参加数学小组，有18 人参加航模小组，有10 人两个小组都参加．那么只参加了一个小组的学生有多少人？【试一试】1. 李老师出了两道题，全班40 人中，第一题有30 人做对，第2 题有12 人未做对，两题都做对的有20 人．（1）第1 题不对、第2 题对的有几个人？（2）两题都不对的有几个人？【例2】渔乡小学举行长跑和游泳比赛，共305 人参加．有150 名男生和90 名女生参加长跑比赛，有120 名男生和70 名女生参加游泳比赛，有110 名男生两项比赛都参加了．请问：只参加游泳而没参加长跑的女生有多少人？【试一试】1. 某校参加数学竞赛的有120 名男生、80 名女生，参加语文竞赛的有120 名女生、80 名男生．已知该校共有260 名学生参加竞赛，其中75 名男生两科竞赛都参加了，那么只参加数学竞赛而没有参加语文竞赛的女生有多少人？2、三位基金经理投资若干只股票．张经理买过其中66 只，王经理买过其中40 只，李经理买过23 只．张经理和王经理都买过的有17 只，王经理和李经理都买过的有13 只，李经理和张经理都买过的有9 只，三个人都买过的有6 只．请问：那么这三位经理一共买过多少只股票？3.卡莉娅用三块长方形桌布相互重叠地铺在一张长方形桌子上，正好将桌子完全覆盖．已知三块桌布的面积分别是40 平方分米、36 平方分米和27 平方分米，其中第一块和第二块桌布重叠的面积为5平方分米，第二块和第三块重叠了7 平方分米，而第一块和第三块则重叠了4 平方分米．如果三块重叠的部分等于2 平方分米，那么这张桌子的面积是多少？【例3】培英学校有学生1000 人，其中500 人订阅了《中国少年报》，350 人订阅了《少年文艺》，250 人订阅了《数学报》，至少订阅两种报刊的有400 人，订阅了三种报刊的有100 人．请问：这个学校有多少人没有订报？【试一试】1. 五年级一班共有41 个同学，将参加绘画、航模、舞蹈三个兴趣小组，要求每人都选其中的两项．已知航模组有27 人，那么同时选绘画和舞蹈的同学有多少人？图书室有100 本书，借阅图书者需在图书上签名．已知这100 本书中有甲、乙、丙签名的分别有33本、44本和55本，其中同时有甲、乙签名的图书为29本，同时有甲、丙签名的图书为25本，同时有乙、丙签名的图书为36本．问：这批图书中最少有多少本没有被借阅过？2. 五年级一班有46人，其中有40人会骑自行车，38人会打乒乓球，35人会打羽毛球，则该班这三项运动都会的至少有多少人？3. 有100 名同学回答A、B 两个问题．都没有回答对的有10 人，答对A 的有75 人，答对B 的有83 人，两题都答对的有多少人？4. 在游艺会上，有100 名同学抽到了标签分别为1 至100 的奖券．按奖券标签号发放奖品的规则如下：标签号为2 的倍数，奖2 支铅笔；标签号为3 的倍数，奖3 只铅笔；标签号既是2 的倍数，又是3 的倍数可重复领奖；其他标签号均奖1 支铅笔．那么游艺会应该准备多少支铅笔作为奖品？5. 一根长木棍上有两种刻度，第一种刻度线将木棍10 等分，第二种刻度线将木棍12 等分．如果沿每条刻度线将木棍锯断，那么木棍总共被锯成多少段？6. 中国田径队的40 名运动员们在训练基地进行封闭训练．其中男运动员有20 名，训练长跑的运动员有15 名，训练竞走的女运动员有8 名，那么训练长跑的男运动员有多少名？7. 五年级共有110 人，其中92 人参加了语文小组，51 人参加了英语小组，58 人参加了数学小组，至少参加2 个小组的有80 人，参加了三个小组的有20 人．那么五年级有多少人没有参加小组？。

四年级思维拓展之包含与排除1.把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条。

已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？2.某小学三年级四班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加。

这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？3.在前100个自然数中，能被2或3整除的数有多少个？4.某科室有12人，其中6人会英语，5人会俄语，5人会日语，有3人既会英语又会俄语，有2人既会俄语又会日语，有2人既会英语又会日语，有1人英、日、俄这三种语言全会，只会一种外语的人比一种外语也不会的人多多少人？5.全班有46名同学，仅会打乒乓球的有18人，既会打乒乓球又会打羽毛球的有7人，既不会打乒乓球又不会打羽毛球的有6人。

问：仅会打羽毛球的有多少人？6.某班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个小组都参加了。

这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？7.有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语。

问既懂英语又懂俄语的有多少人？8.三年级科技活动组共有63人。

在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有42人，装配好一架飞机模型的同学有34人。

每个同学都至少完成了一项活动。

问：同时完成这两项活动的同学有多少人？9.在春光小学“创造杯”展览会上，展品中有26件不是六年级的，有25件不是五年级的.已知五、六年级展品共35件，那么五年级的展品有____件.10.四1班有48名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有30人，写完数学作业的有20人，语文数学都没写完的有6人。

（1）问语文数学都写完的有多少人？（2）只写完语文作业的有多少人？参考答案1.【解答】分析：焊接部分为两根铁条的重合部分，由包含排除法知，焊接后这根铁条长：38＋53-4＝87(厘米)。

2.【解答】分析：如图所示，A圆表示参加语文兴趣小组的人，B圆表示参加数学兴趣小组的人，A与B重合的部分C(阴影部分)表示同时参加两个小组的人。

五年级奥数－包含与排除1.某班有40名学生，其中有15人参加数学小组，18人参加航模小组，有10人两个小组都参加。

那么有多少人两个小组都不参加？2.50名同学面向老师站成一行，老师先让大家从左至右按1，2，3， (49)50依次报数；再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转。

问：现在面向老师的同学还有多少名？3.在从1至100的自然数中，既不能被5除尽也不能被7除尽的数有多少个？4.在前1000个自然数（不包括0）中，既不是平方数也不是立方数的自然数有多少个？5.有三个面积各为20平方厘米的圆纸片放在桌上，见下图。

三个纸片共同重叠的面积是8平方厘米，三个纸片盖住桌面的总面积是36平方厘米。

问：图中阴影部分的面积之和是多少？五年级奥数－包含与排除答案1.解析：40=--人。

(+)171015182.解析：面向老师的学生包括报数既不是4的倍数也不是6的倍数、报数既是4的倍数也是6的倍数即12的倍数的同学，共计38+[=-+50-人。

)]44812(3.解析：1000=(-+-个。

142686200)284.解析：前1000个自然数中，平方数有：1，4，9，16，25，36， (900)961，共计31个；立方数有1，8，27，64，125，216，343，521，729，1000，共计10个；既是平方数又是立方数的有1，64，729，共计3个。

所以既不是平方数也不是立方数的有9621000=+-个。

-)3(10315.解析：2⨯-=-⨯。

88236320cm。

“包含与排除” 学生姓名授课日期 教师姓名授课时长包含与排除是小学奥数中一个非常重要的知识点，很多杯赛和小升初选拔考试中都会有相关考察内容，是考察学生逻辑思维能力，以及理解利用新知识的一个非常重要的方面，其中容斥原理更是最关键的点，而且与数论和几何的综合性题目是历年考察的重点。

一、容斥原理公式1、若已知A 、B 、C 三部分的数量（如图），其中C 为重复部分，则图中的数量等于A+B-C. 即：A ∪B=A+B- A ∩B ，其中A ∩B=C.2、若已知A 、B 、C 三部分的数量（如图）， 则图中的数量等于A+B+C-（A 与B 重叠部分+ B 与C 重叠部分+ C 与A 重叠部分）+A 、B 、C 三者重叠的部分.即：A ∪B ∪C=A+B+C-（A ∩B+B ∩C+C ∩A ）+ A ∩B ∩C.以上概念中符号解释：“∪”表示并集，“A ∪B ”表示A 并B ，通俗的讲表示所有或属于A 、或属于B 的元素的数量（集合），“A ∪B ∪C ” 通俗的讲表示所有或属于A 、或属于B 、或属于C 的元素数量.“∩”表示交集，“A ∪B ”表示A 交B ，通俗的讲表示所有即属于A 、又属于B 的元素的数量（集合），“A ∩B ∩C ”通俗的讲表示所有即属于A ，又属于B ，还属于C 的元素数量C B A C B A【试题来源】【题目】某小学三年级四班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加。

这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？【试题来源】【题目】在桌面上放置着三个两两重叠的圆纸片（如图，三个圆等大），它们的面积都是100cm2，并知A、B两圆重叠的面积是20cm2，A、C两圆重叠的面积为45cm2，B、C两圆重叠的面积为31cm2,三个圆共同重叠的面积为15cm2，求盖住桌子的总面积。

【试题来源】【题目】东方大学有外语老师120名，其中教英语的有50名，教日语的45名，教法语的有40名，有15名教师既教英语又教日语，有10名教师既教英语又教法语，有8名教师既教日语又教法语，有4名教师会教英语、日语和法语三门课，求不教这三门课的外教有多少名？【试题来源】【题目】五年级三班有46名学生参加三项课外活动，其中24人参加了绘画小组，20人参加了合唱小组，参加朗诵小组的人数是既参加绘画小组又参加朗诵小组人数的3.5倍，又是三项活动都参加人数的7倍，既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数相当于三项都参加人数的2倍，既参加绘画小组又参加合唱小组的有10人，求参加朗诵小组的人数。

学生姓名: 年级:小升初科目:数学授课教师:贺琴授课时间: 学生签字:包含与排除(容斥原理)集合就是指具有某种属性得事物得全体,它就是数学中得最基本得概念之一。

如某班全体学生可以瞧作就是一个集合,0、1、2、3、4、5、６、7、8、９便组成一个数字集合。

组成集合得每个事物称为这个集合得元素。

如某班全体学生组成一个集合,每一个学生都就是这个集合得元素,数字集合中有10个元素。

两个集合中可以做加法运算,把两个集合A、B合并在一起,就组成了一个新得集合C。

计算集合C得元素得个数得思考方法主要就是包含与排除:先把A、B 得一切元素都“包含"进来加在一起,再“排除”Ａ、B两集合得公共元素得个数,减去加了两次得元素,即:C=A+B－AB。

在解包含与排除问题时,要善于使用形象得图示帮助理解题意,搞清数量关系得逻辑关系、有些语言不易表达清楚得关系,用了适当得图形就显得很直观、很清楚,因而容易进行计算。

1、六年级９６名学生都订了报纸,有64人订了少年报,有4８人订了小学生报。

两种报纸都订得有多少人？［分析］用左边得圆表示订少年报得6４人,右边得圆表示订小学报得48人,中间重叠部分表示两种报刊都订得人数。

显然,两种报刊都订得人数被统计了两次:６4+４8＝1１２人,比总人数多112—9６=1６人,这1６人就就是两种报刊都订得人数。

【练习】1、一个班得52人都在做语文与数学作业、有3２人做完了语文作业,有3５人做完了数学作业、语文、数学作业都做完得有多少人？2、六年级有1２2人参加语文、数学考试,每人至少有一门功课得优、其中语文得优得有６５人,数学得优得有87人。

语文、数学都得优得有多少人？3、某班有50名学生,在一次测验中有26人满分,在第二次测验中有21人满分。

如果两次测验都没得过满分得学生有1７人,那么,两次测验都得满分得有多少人？2、某校教师至少懂得英语与日语中得一种语言、已知有35人懂英语,３4人懂日语,两种语言都懂得有21人。

四年级第二学期讲义第十一讲 包含与排除一、 知识要点日常生活或数学问题中，在把一些数据按照某个标准分类时，常常出现其中的一部分数据同时属于两种或两种以上不同的类别，这样在计算总数时就会出现重复计算的情况，这类问题就叫做重叠问题，容斥原理就是重叠问题的解题原理，也叫包含与排除原理。

在数学里，我们把具有某种相同性质的对象放在一起考虑，这些相同性质的对象便组成了一个“集合”，每个集合总是由一些成员组成的，集合中的这些成员叫做这个集合的元素。

名词解释：（1）由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 、B 的并集（又叫A 与B 的和）。

记作A B ，记号“ ”读作“并”，A B 读作“A 并B ”。

（2）A 、B 两个集合公共的元素，也就是那些既属于A ，又属于B 的元素，它们所组成的集合叫做A 和B 的交集，记作“A B ”，记号“ ”读作“交”，A B 读作“A 交B ”。

二、 典型例题例1、四（1）班同学中有37人喜欢打乒乓球，26人喜欢打羽毛球，21人既爱打乒乓球又爱打羽毛球。

问全班喜欢打乒乓球或羽毛球活动的有多少人？例2、四年级一班在期末考试中，语文得“优”的有15人，数学得“优”的有17人，老师请得“优”的同学都站起来，数了数有24人。

两科都得“优”的有几人？例3、图新小学四年级二班有24人参加了美术小组，有18人参加了音乐小组，其中11人两个小组都参加，还有5人什么组都没参加。

这个班共有学生多少人？例4、某班学生参加音乐组的有11人，参加美术组的有8人，参加英语组的有12人，既参加音乐组又参加美术组的有5人，既参加音乐组又参加英语组的有3人，既参加美术组又参加英语组的有4人，三个组都参加的只有1人，问：至少参加一个组的有多少人？例5、有82名参加数学与作文课外班的学生，其中参加作文班的有60人，参加数学班的有48人。

那么两种课外班都参加的有多少人？例6、全班有46名同学，仅会打乒乓球的有18人，会打乒乓球又会打羽毛球的有7人，不会打乒乓球又不会打羽毛球的有6人。

包含与排除的教案教案标题：包含与排除的教案教案概述：本教案旨在引导教师设计包含与排除的教案，以满足不同学生的学习需求。

通过灵活运用教学资源和策略，教师可以为学生提供个性化的学习体验，同时确保教学内容的全面覆盖。

教案目标：1. 了解包含与排除的概念，以及其在教学中的重要性。

2. 掌握设计包含与排除的教案的方法和策略。

3. 能够根据学生的学习需求和特点，调整教学内容和方法。

教案步骤：1. 引入（5分钟）- 向学生介绍包含与排除的概念，并解释其在教学中的作用。

- 引发学生思考：为什么我们需要包含与排除的教学？2. 理论讲解（10分钟）- 解释包含教学的概念：包含教学是指在教学过程中，教师努力将不同学生的需求纳入教学内容和方法中。

- 解释排除教学的概念：排除教学是指教师根据学生的学习需求，有意地从教学内容和方法中排除一些元素。

- 分析包含与排除教学的优势和挑战。

3. 设计包含与排除的教案（15分钟）- 分组讨论：将学生分成小组，要求每个小组选择一个教学主题，并设计一个包含与排除的教案。

- 提示问题：如何根据学生的学习需求和特点，调整教学内容和方法？如何平衡包含与排除的要求？4. 小组分享与讨论（10分钟）- 每个小组展示他们设计的教案，并解释他们在设计过程中的思考和决策。

- 全班讨论：学生和教师一起探讨各组设计的教案的优点和改进之处。

5. 总结与反思（5分钟）- 教师总结包含与排除的教案设计原则和方法。

- 学生反思：你在设计教案时遇到了哪些挑战？你认为如何平衡包含与排除的要求？教案扩展：1. 学生可以在小组合作的基础上，独立设计一个包含与排除的教案，并与同学分享。

2. 教师可以提供更多的案例和资源，帮助学生更好地理解和应用包含与排除的教学原则。

3. 教师可以观察学生在实际教学中如何运用包含与排除的教学策略，并提供反馈和指导。

第33讲包含与排除（容斥原理）一、专题简析：集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数学中的最基本的概念之一。

如某班全体学生可以看作是一个集合，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9便组成一个数字集合。

组成集合的每个事物称为这个集合的元素。

如某班全体学生组成一个集合，每一个学生都是这个集合的元素，数字集合中有10个元素。

两个集合中可以做加法运算，把两个集合A、B合并在一起，就组成了一个新的集合C。

计算集合C的元素的个数的思考方法主要是包含与排除：先把A、B的一切元素都“包含”进来加在一起，再“排除”A、B两集合的公共元素的个数，减去加了两次的元素，即：＋B－。

在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，搞清数量关系的逻辑关系。

有些语言不易表达清楚的关系，用了适当的图形就显得很直观、很清楚，因而容易进行计算。

二、精讲精练例1五年级96名学生都订了报纸，有64人订了少年报，有48人订了小学生报。

两种报纸都订的有多少人？练习一1、一个班的52人都在做语文和数学作业。

有32人做完了语文作业，有35人做完了数学作业。

语文、数学作业都做完的有多少人？2、五年级有122人参加语文、数学考试，每人至少有一门功课得优。

其中语文得优的有65人，数学得优的有87人。

语文、数学都得优的有多少人？例2：某校教师至少懂得英语和日语中的一种语言。

已知有35人懂英语，34人懂日语，两种语言都懂的有21人。

这个学校共有多少名教师？练习二1、某校的每个学生至少爱体育和文娱中的一种活动。

已知有900人爱好体育活动，有850人爱好文娱活动，其中260人两种活动都爱好。

这个学校共有学生多少人？2、某班在一次测验中有26人语文获优，有30人数学获优，其中语文、数学双优的有12人，另外还有8人语文、数学均未获优。

这个班共有多少人？例3：学校开展课外活动，共有250人参加。

其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组的有83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人。