2020-2021学年湖南省雅礼中学高三(下)第二次月考数学试卷(理科) Word版含解析

2014-2015学年湖南省雅礼中学高三（下）第二次月考数学试卷（理科）一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.把答案填在答题卡中对应题号的框框内.）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，则A∩B等于（）A． {﹣2，﹣1，0，1} B． {﹣1，0，1} C． {﹣1，0，1，2} D． {﹣1，0，1，2，3}2．若A、B均是非空集合，则A∩B≠∅是A⊆B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件3．（中诱导公式、基本公式）已知，且，则tan（2π﹣α）的值为（）A．B．C．D．4．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为（）A． 2B．C． 2D． 45．已知向量满足：，与的夹角为，则=（）A． 2 B． 4 C． 2D． 86．设x，y满足约束条件，则目标函数z=的最小值为（）A． 2 B． 1 C．D．﹣27．设f（x）定义如下面数表，{x n}满足x0=5，且对任意自然数n均有x n+1=f（x n），则x2014的值为（）x 1 234 5f（x）4 13 5 2A． 4 B． 1 C． 3 D． 28．如图，长沙河西先导区某广场要划定一矩形区域ABCD，并在该区域内开辟出三块形状大小相同的矩形绿化区，这三块绿化区四周和绿化区之间设有1米宽的走道．已知三块绿化区的总面积为800平方米，则该矩形区域ABCD占地面积的最小值为（）平方米．A． 900 B． 920 C． 948 D． 9689．已知函数，若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2），则x1•f （x2）的取值范围为（）A．B．C．D．10．设定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），f′（x）是f（x）的导函数，当x∈[0，1]时，0≤f（x）≤1；当x∈（0，2）且x≠1时，x（x﹣1）f′（x）＜0．则方程f（x）=lg|x|根的个数为（）A． 12 B． 1 6 C． 18 D． 20二．填空题：本大题共1小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．（一）选做题（请考生在第11、12、13题中任选两题作答，如果全做，则按前两题给分）【几何证明选讲】11．如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，已知⊙O的半径为3，PA=2，则OE= ．【极坐标系与参数方程选讲】12．已知曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的极坐标方程为，它们的交点在平面直角坐标系中的坐标为．【不等式选讲】1011•天津）已知集合A={x∈R||x+3|+|x﹣4|≤9}，B=，则集合A∩B=．（二）必做题（14～16题）14．设（其中e为自然对数的底数），则的值为．15．动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t=0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是．16．已知数列{a n}的前n项和S n=（﹣1）n•n，若对任意正整数n，（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，则实数P的取值范围是．三．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．设函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．18．设数列{a n}的前n项和为S n，已知对任意正整数n，都有S n+2=2a n成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜3．19．如图所示，在平面四边形ABCD中，，与的夹角为，与的夹角为．（1）求△CDE的面积S；（2）求．20．已知函数f（x）=lnx﹣ax+﹣1（a∈R）（1）当a=﹣1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）当a≤时，讨论f（x）的单调性．21．若数列{a n}（n∈N*）满足：①a n≥0；②a n﹣2a n+1+a n+2≥0；③a1+a2+…+a n≤1，则称数列{a n}为“和谐”数列．（1）已知数列{a n}，（n∈N*），判断{a n}是否为“和谐”数列，说明理由；（2）若数列{a n}为“和谐”数列，证明：．（n∈N*）22．已知函数f（x）=（1）当x＞0时，证明：f（x）＞；（2）当x＞﹣1且x≠0时，不等式f（x）＜恒成立，求实数k的值．2014-2015学年湖南省雅礼中学高三（下）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.把答案填在答题卡中对应题号的框框内.）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，则A∩B等于（）A． {﹣2，﹣1，0，1} B． {﹣1，0，1} C． {﹣1，0，1，2} D． {﹣1，0，1，2，3}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：∵A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，∴A∩B={﹣1，0，1}，故选：B点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．若A、B均是非空集合，则A∩B≠∅是A⊆B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：规律型．分析：判断出“A∩B≠∅”成立推不出“A⊆B”反之，若“A⊆B”成立，则能推出A∩B≠∅”一定成立，利用充要条件的有关定义得到结论．解答：解：若“A∩B≠∅”成立推不出“A⊆B”反之，若“A⊆B”成立，则有A∩B=A≠∅，所以A∩B≠∅”一定成立，所以A∩B≠∅是A⊆B的必要不充分条件，故选B．点评：本题考查判断一个条件是另一个的什么条件，应该先化简各个条件，若条件是数集的形式，常转化为判断集合间的包含关系．3．（中诱导公式、基本公式）已知，且，则tan （2π﹣α）的值为（）A．B．C．D．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：先根据诱导公式化简已知条件，得到sinα的值，然后由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，把所求的式子利用诱导公式化简后，再根据同角三角函数间的基本关系把切化弦后，将sinα和cosα的值代入即可求出值．解答：解：由，又，得，则．故选B点评：此题考查学生灵活运用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．学生在求cosα的值时应注意α的范围．4．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为（）A． 2B．C． 2D． 4考点：简单空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：三棱柱的左视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高，在边长是2的等边三角形中做出底边上的高的长度，得到结果．解答：解：由题意知三棱柱的左视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高，在边长是2的等边三角形中，底边上的高是，∴侧视图的面积是2故选：A．点评：本题考查简单的空间图形三视图，考查三视图的面积的计算，考查通过原图观察三视图的大小，比较基础．5．已知向量满足：，与的夹角为，则=（）A． 2 B． 4 C． 2D． 8考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据向量的数量积的应用进行转化即可．解答：解：，与的夹角为，∴•=||||cos=1×=1，则===2，故选：A点评：本题主要考查向量长度的计算，根据向量数量积的应用是解决本题的关键．6．设x，y满足约束条件，则目标函数z=的最小值为（）A． 2 B． 1 C．D．﹣2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合数形结合即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：z=的几何意义为平面区域内的点到定点D（﹣1，﹣1）的斜率，由图象知BD的斜率最小，其中B（1，0），则z==，故选：C点评：本题主要考查线性规划以及斜率的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．7．设f（x）定义如下面数表，{x n}满足x0=5，且对任意自然数n均有x n+1=f（x n），则x2014的值为（）x 1 234 5f（x）4 13 5 2A． 4 B． 1 C． 3 D． 2考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：数列{x n}满足x0=5，且对任意自然数n均有x n+1=f（x n），利用表格可得：可得x1=f（x0）=f（5）=2，x2=f（x1）=f（2）=1，x3=f（x2）=f（1）=4，x4=f（x3）=f（4）=5，x5=f（x4）=f（5）=2，…，于是得到x n+4=x n，进而得出答案．解答：解：∵数列{x n}满足x0=5，且对任意自然数n均有x n+1=f（x n），利用表格可得：∴x1=f（x0）=f（5）=2，x2=f（x1）=f（2）=1，x3=f（x2）=f（1）=4，x4=f（x3）=f（4）=5，x5=f（x4）=f（5）=2，…，∴x n+4=x n，∴x2014=x503×4+2=x2=1．故选：B点评：本题考查了数列的周期性，根据已知分析出函数的周期为4，是解答的关键，属于中档题．8．如图，长沙河西先导区某广场要划定一矩形区域ABCD，并在该区域内开辟出三块形状大小相同的矩形绿化区，这三块绿化区四周和绿化区之间设有1米宽的走道．已知三块绿化区的总面积为800平方米，则该矩形区域ABCD占地面积的最小值为（）平方米．A． 900 B． 920 C． 948 D． 968考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：应用题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：设绿化区域小矩形的一边长为x，另一边长为y，推出3xy=800，从而得到矩形ABCD 的面积S=（3x+4）（y+2），然后利用基本不等式，由此能够求出结果．解答：解：设绿化区域小矩形的一边长为x，另一边长为y，则3xy=800，∴y=．即矩形区域ABCD的面积S=（3x+4）（y+2）=（3x+4）（+2）=800+6x++8≥808+2=968．当且仅当6x=，即x=时取“=”，∴矩形区域ABCD的面积的最小值为968平方米．故选D．点评：本题考查函数问题在生产生活中的实际应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用基本不等式求最值．9．已知函数，若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2），则x1•f （x2）的取值范围为（）A．B．C．D．考点：函数的零点；函数的值域；不等关系与不等式．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的解析式画出函数的图象，根据题意数形结合求得x1•f（x2）的取值范围．解答：解：①当0≤x＜时，≤f（x）=x+＜1．故当x=时，f（x）=．②当≤x≤1时，≤f（x）=3x2≤3，故当x=时，f（x）=1．若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2）=k，则≤x1 ＜≤x2 ＜1，如图所示：显然当k=f（x1）=f（x2）=时，x1•f（x2）取得最小值，此时，x1=，x2=，x1•f（x2）的最小值为=．显然，当k=f（x1）=f（x2）趋于1时，x1•f（x2）趋于最大，此时，x1趋于，x2趋于，x1•f（x2）趋于=．故x1•f（x2）的取值范围为，故选C．点评：本题考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．10．设定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），f′（x）是f（x）的导函数，当x∈[0，1]时，0≤f（x）≤1；当x∈（0，2）且x≠1时，x（x﹣1）f′（x）＜0．则方程f（x）=lg|x|根的个数为（）A． 12 B． 1 6 C． 18 D． 20考点：导数的运算；抽象函数及其应用；根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：依据函数的周期性，画出函数y=f（x）的图象，再在同一坐标系下画出y=lg|x|的图象（注意此函数为偶函数），数形结合即可数出两图象交点的个数解答：解：∵f（x+2）=f（x），∴函数y=f（x）的周期是2，又∵当x∈（0，2）且x≠1时，x（x﹣1）f′（x）＜0，∴当0＜x＜1时，x（x﹣1）＜0，则f′（x）＞0，函数在[0，1]上是增函数又由当x∈[0，1]时，0≤f（x）≤1，则f（0）=0，f（1）=1．而y=lg|x|是偶函数，当x＞0时，其图象为y=lgx的图象，即函数为增函数，由于x=10时，y=lg10=1，∴其图象与f（x）的图象在[0，2]上有一个交点，在每个周期上各有两个交点，∴在y轴右侧共有9个交点．∵y=lg|x|是偶函数，其图象关于y轴对称，∴在y轴左侧也有9个交点∴两函数图象共有18个交点．故选：C．点评：本体考查了函数的周期性，奇偶性及函数图象的画法，重点考查数形结合的思想方法，属基础题．二．填空题：本大题共1小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．（一）选做题（请考生在第11、12、13题中任选两题作答，如果全做，则按前两题给分）【几何证明选讲】11．如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，已知⊙O的半径为3，PA=2，则OE= ．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；立体几何．分析：利用切割线定理，求出PC，再利用等面积可得结论．解答：解：∵PC切圆O于点C，圆O的半径为3，PA=2，∴PC2=PA•PB=16，∴PC=4，又OC=3，∴OP=5，∴由等面积可得=，∴OE==．故答案为：．点评：本题考查切割线定理，考查学生的计算能力，正确运用切割线定理是关键．【极坐标系与参数方程选讲】12．已知曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的极坐标方程为，它们的交点在平面直角坐标系中的坐标为．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：曲线C的参数方程为（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1即可化为直角坐标方程．利用x=ρcosθ即可把直线l的极坐标方程，化为直角坐标方程，联立解出即可．解答：解：曲线C的参数方程为（θ为参数），化为=1．直线l的极坐标方程为，化为x=，把x=代入椭圆方程解得y=0．∴它们的交点在平面直角坐标系中的坐标为．故答案为：．点评：本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与椭圆的交点，考查了计算能力，属于基础题．【不等式选讲】1011•天津）已知集合A={x∈R||x+3|+|x﹣4|≤9}，B=，则集合A∩B={x|﹣2≤x≤5}．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合A，求出集合B，然后利用集合的运算法则求出A∩B．解答：解：集合A={x∈R||x+3|+|x﹣4|≤9}，所以A={x|﹣4≤x≤5}；集合，，当且仅当t=时取等号，所以B={x|x≥﹣2}，所以A∩B={x|﹣4≤x≤5}∩{x|x≥﹣2}={x|﹣2≤x≤5}，故答案为：{x|﹣2≤x≤5}．点评：本题是基础题，考查集合的基本运算，注意求出绝对值不等式的解集，基本不等式求出函数的值域，是本题解题是关键，考查计算能力．（二）必做题（14～16题）14．设（其中e为自然对数的底数），则的值为．考点：定积分．专题：计算题．分析：根据定积分的运算法则进行计算，将区间（0，e2）拆为（0，1）、（1，e2）两个区间，然后进行计算；解答：解：∵，∴则=+=+=+=+2=，故答案为．点评：此题主要考查定积分的计算，这是高考新增的内容，同学们要多加练习．15．动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t=0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是[0，1]和[7，12] ．考点：函数的单调性及单调区间．专题：创新题型．分析：点A的初始角为60°，当点A转过的角度在[0°，30°]或[210°，360°]时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增，再把角度区间转化为对应的时间区间．解答：解：t=0时，点A的坐标是，∴点A的初始角为60°，当点A转过的角度在[0°，30°]或[210°，360°]时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增，∵12秒旋转一周，∴每秒转过的角度是360°÷12=30°，210°÷30=7，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是[0，1]和[7，12]，故答案为：[0，1]和[7，12]．点评：本题考查函数的单调性及单调区间，体现了转化的数学思想．16．已知数列{a n}的前n项和S n=（﹣1）n•n，若对任意正整数n，（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，则实数P的取值范围是（﹣1，3）．考点：数列的函数特性．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：当n=1时，a1=S1=﹣1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1．即可得出a n．由于对任意正整数n，（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，分类讨论：n是奇数时，求得p的取值范围；当n是正偶数时，求得p的取值范围，再求其交集即可．解答：解：当n=1时，a1=S1=﹣1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（﹣1）n n﹣（﹣1）n﹣1（n﹣1）=（﹣1）n（2n﹣1）．∵对任意正整数n，（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，∴[（﹣1）n+1（2n+1）﹣p][（﹣1）n（2n﹣1）﹣p]＜0，①当n是奇数时，化为[p﹣（2n+1）][p+（2n﹣1）]＜0，解得1﹣2n＜p＜2n+1，∵对任意正奇数n都成立，取n=1时，可得﹣1＜p＜3．②当n是正偶数时，化为[p﹣（2n﹣1）][p+（1+2n）]＜0，解得﹣1﹣2n＜p＜2n﹣1，∵对任意正偶数n都成立，取n=2时，可得﹣5＜p＜3．联立，解得﹣1＜p＜3．∴实数P的取值范围是（﹣1，3）．故答案为：（﹣1，3）．点评：本题考查了“当n=1时，a1=S1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1”求数列的通项公式a n的方法、交集的运算法则、分类讨论思想方法，属于难题．三．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．设函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．考点：三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．专题：计算题．分析：（Ⅰ）利用诱导公式化简，再用二倍角公式化简，得到，化为求出周期．（Ⅱ）当时，求出的范围，然后求函数f（x）的最大值和最小值．解答：解：===．（6分）（Ⅰ），故f（x）的最小正周期为π．（7分）（Ⅱ）因为0≤x≤，所以．（9分）所以当，即时，f（x）有最大值0，（11分）当，即x=0时，f（x）有最小值．（13分）点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值，考查计算能力，是基础题．18．设数列{a n}的前n项和为S n，已知对任意正整数n，都有S n+2=2a n成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜3．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）通过S1+2=2a1可知a1=2．通过S n+2=2a n与S n+1+2=2a n+1作差、整理可知数列{a n}是公比为2的等比数列，进而计算可得结论；（2）通过写出T n、T n的表达式，利用错位相减法计算即得结论．解答：（1）解：当n=1时，S1+2=2a1，所以a1=2．因为S n+2=2a n，则S n+1+2=2a n+1．两式相减，得S n+1﹣S n=2（a n+1﹣a n），即a n+1=2（a n+1﹣a n），即a n+1=2a n．所以数列{a n}是首项为2、公比为2的等比数列，故．（2）证明：∵，∴．①．②①﹣②，得=．∴．∵，∴T n＜3．点评：本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．19．如图所示，在平面四边形ABCD中，，与的夹角为，与的夹角为．（1）求△CDE的面积S；（2）求．考点：余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理．专题：解三角形；平面向量及应用．分析：（1）由题意可得DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．设∠CED=α．运用余弦定理和正弦定理，再由面积公式，即可得到所求S；（2）求得cosα，以及cos∠AEB=cos（﹣α），再由解直角三角形，即可得到所求．解答：解：由题意可知：DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．设∠CED=α．（1）在△CDE中，由余弦定理，得EC2=CD2+DE2﹣2CD•DE•cos∠EDC，于是由题设知，7=CD2+1+CD，即CD2+CD﹣6=0，解得CD=2（CD=﹣3舍去）．在△CDE中，由正弦定理，得，于是，sinα===，即sin∠CED=．于是，；（2）由题设知，0＜α＜，于是由（1）知，cosα===．而∠AEB=﹣α，所以cos∠AEB=cos（﹣α）=cos cosα+sin sinα=﹣cosα+sinα=﹣×+×=．在Rt△EAB中，cos∠AEB==，故=BE===4．点评：本题主要考查余弦定理和正弦定理、面积公式的运用，同时考查向量垂直的条件，同角公式和两角差的余弦公式，属于中档题．20．已知函数f（x）=lnx﹣ax+﹣1（a∈R）（1）当a=﹣1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）当a≤时，讨论f（x）的单调性．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（1）求出当a=﹣1时的函数的导数，切线的斜率，切点坐标，再由点斜式方程，即可得到切线方程；（2）求出f（x）的导数，令g（x）=ax2﹣x+1﹣a，x＞0，对a讨论，当a=0时，当a≠0时，①a=，②若0＜a＜，③当a＜0时，函数的单调性，写出单调区间即可．解答：解：（1）当a=﹣1时，f（x）=lnx+x+﹣1（x＞0），f′（x）=+1﹣，f（2）=ln2+2，f′（2）=1，则切线方程为：y=x+ln2；（2）因为f（x）=lnx﹣ax+﹣1，所以f′（x）=﹣a=﹣（x＞0），令g（x）=ax2﹣x+1﹣a，x＞0，（i）当a=0时，g（x）=﹣x+1（x＞0），所以当0＜x＜1时g（x）＞0，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减，x∈（1，∞）时，g（x）＜0，f′（x）＞0此时函数f，（x）单调递增．（ii）当a≠0时，由f（x）=0，解得：x1=1，x2=1﹣，①a=，函数f（x）在x＞0上单调递减，②若0＜a＜，在（0，1），（﹣1，+∞）单调递减，在（1，﹣1）上单调递增．③当a＜0时，由于﹣1＜0，x∈（0，1）时，g（x）＞0，此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；x∈（1，∞）时，g（x）＜0，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．综上所述：当a≤0 时，函数f（x）在（0，1）上单调递减；函数f（x）在（1，+∞）上单调递增当a=时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减当0＜a＜时，函数f（x）在（0，1），（﹣1，+∞）单调递减，在（1，﹣1）上单调递增．点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．21．若数列{a n}（n∈N*）满足：①a n≥0；②a n﹣2a n+1+a n+2≥0；③a1+a2+…+a n≤1，则称数列{a n}为“和谐”数列．（1）已知数列{a n}，（n∈N*），判断{a n}是否为“和谐”数列，说明理由；（2）若数列{a n}为“和谐”数列，证明：．（n∈N*）考点：数列的求和；数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）通过对比“和谐”数列的三个条件，因此验证是否满足即可；（2）通过构造数列{c n}（c n=a n﹣a n+1），通过②可知c n≥c n+1，通过放缩可知a1+a2+…+a n≥，利用③化简即得结论．解答：（1）结论：数列{a n}为“和谐”数列．理由如下：对于数列{a n}数列{a n}，显然符合①．∵，∴符合②∵，∴符合③综上所述，数列{a n}为“和谐”数列．（2）证明：构造数列{c n}，令c n=a n﹣a n+1，由②可知a n﹣a n+1≥a n+1﹣a n+2，∴c n≥c n+1，a1+a2+…+a n=a1+（﹣a2+2a2）+（﹣2a3+3a3）+…+[﹣（n﹣1）a n+na n]≥a1+（﹣a2+2a2）+（﹣2a3+3a3）+…+[﹣（n﹣1）a n+na n]﹣na n+1=（a1﹣a2）+2（a2﹣a3）+…+n（a n﹣a n+1）=c1+2c2+…+nc n≥（1+2+…+n）c n=，由③知，∴，即：，∴．点评：本题考查在新概念“和谐”数列下数列的作差与求和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．22．已知函数f（x）=（1）当x＞0时，证明：f（x）＞；（2）当x＞﹣1且x≠0时，不等式f（x）＜恒成立，求实数k的值．考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．专题：导数的综合应用．分析：（1）令h（x）=ln（1+x）﹣，得到h′（x）=，从而求出h（x）在（0，+∞）上是增函数，故h（x）＞h（0）=0，结论证出；（2）不等式f（x）＜可化为：＜0，令g（x）=（1+x）ln（1+x）﹣x﹣kx2，则g′（x）=ln（1+x）﹣2kx，从而g″（x）=﹣2k，对x分情况进行讨论：①x＞0时，②﹣1＜x＜0时，从而证出结论．解答：解：（1）令h（x）=ln（1+x）﹣，∴h′（x）=，x＞0时，h′（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上是增函数，故h（x）＞h（0）=0，即：ln（1+x）＞．从而，x＞0时，f（x）＞得证．（2）不等式f（x）＜可化为：＜0，令g（x）=（1+x）ln（1+x）﹣x﹣kx2，则g′（x）=ln（1+x）﹣2kxg″（x）=﹣2k，①x＞0时，有0＜＜1，令2k≥1，则g″（x）＜0，故g′（x）在（0，+∞）上是减函数，即g′（x）＜g′（0）=0，∴g（x）在（0，+∞）上是减函数，从而，g（x）＜g（0）=0，∴k≥时，对于x＞0，有＜0，②﹣1＜x＜0时，有＞1，令2k≤1，则g″（x）＞0，故g′（x）在（﹣1，0）上是增函数，即：g′（x）＜g′（0）=0∴g（x）在（﹣1，0）上是减函数．从而，g（x）＞g（0）=0．∴当k≤时，对于﹣1＜x＜0，有＜0．综合①②，当k=时，在x＞﹣1且x≠0时，有f（x）＜．点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，不等式的证明，本题是一道中档题．。

雅礼中学高三第二次月考试卷数学（理科）命题人： 审题人：得分：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页。

时量120分钟。

满分150分。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合{}220A=x x x -<，(){}1B y y lg x ==-，则A B =U （ ）A ．()0,+∞B ．()12,C ．()2,+∞D ．()0,-∞ （2）设x 、y 是两个实数，则“x 、y 中至少有一个数大于1”是“222x y +>”成立的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件 （3）已知直线m 、n 和平面α,β满足m n,m α,αβ⊥⊥⊥，则（ ）A ．n β⊥B ．n α∥C ．n βn β⊂∥或D ．n αn α⊂∥或（4）ABC 中，点D 在AB 上，满足2AD DB =u u u r u u u r，若CB α=u u u r ，CA b =u u u r ，则CD =u u u r （ ）A ．1233a b +B ．2133a b +C ．3455a b +D ．4355a b + （5）设()2a lg e,b lg e ,c lg e ===，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>（6）现有四个函数：y x sin x =，y xcos x =，y x cos x =，2xy x =⋅的图像（部分）如下，但顺序打乱了，则按照从左到右将图像对应序号排列正确的组是（ ）A ．B ．C ．D ． （7）数列{}n a 满足：()12321112*n n n a ,a ,a ,a a a n N++==-=-=-∈，则数列{}na 的前2019项的和（ ）A ．1B ．2-C ．0D ．32-（8）若直线y x b =+与曲线234y x x =--有公共点，则b 的取值范围是（ ）A．1122,⎡⎤-+⎣⎦ B ．122122,⎡⎤-+⎣⎦ C ．1223,⎡⎤-⎣⎦ D ．123,⎡⎤-⎣⎦（9）若()0a ,π∈，()sin x,x af x cos x,x a >⎧=⎨≤⎩，的图像关于点()0a,对称，则()2f a =（ ）A ．1-B ．12-C ．0D ．3-（10）已知圆O 的半径为2，A 、B 是圆上两点，且23πAOB ∠=，MN 是一条直径，点C 在园内且满足()()101OC λOA λOB λ=+-<<u u u r u u u r u u u r，则CM CN ⋅u u u u r u u u r 的最小值为（ ）A ．3-B ．3-C ．0D ．2 （11）正三棱锥S ABC -的外接球半径为2，底边长AB =3，则此棱锥的体积为（ ）A ．934 B ．933344或 C ．2734D ．273344或 （12）已知函数()x a f x x e -=+， ()()24a x g x ln x e -=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x ，使得()()003f x g x -=成立（ ）A ．21ln --B ．21ln -C ．2ln -D ．2ln第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）~（21）题为必考题，每个试题考试必须作答．第（22）~（23）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．（13）已知实数x 、y 、z 满足102400x y x y x -+≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值为 ．（14）三棱锥S ABC -及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB 的长为 ．（15）等差数列{}n a 的公差0d ≠，3a 是2a ，5a 的等比中项，已知数列1224n k k k a ,a ,a ,a ,,a ,L L 为等比数列，数列{}n k 的前n 项和记为n T ，则29n T += ．（16）三次函数()32f x x mx nx p =+++有三个零点a ，b ，c ，且满足()()12f f -=<0，()1f =()40f >，则111a b c++的取值范围是 ． 三、解答题：共70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）如图所示，扇形AOB 中，圆心角∠AOB =4π，半径为2，在半径OA 上有一动点C ，过点C 作平行于OB 的直线交弧AB 于点P .(1)若C 是半径OA 的中点，求线段PC 的长；(2)设∠COP =θ，求△POC 面积的最大值及此时θ的值。

2020届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期第二次月考数学（理）试题一、单选题1．集合{}{}{}202,1,1A a B a A B ==⋂=，，，若，则a 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．-1D ．±1【答案】C【解析】{}{}221,02,1,A B A a a⋂==⇒=，又{}1,B a = ，1a ∴=- ，故选C.2．已知向量()()2,1,,2a b λ==r r ，若a b ⊥r r，则实数λ= （ ）A ．4-B ．1-C ．1D ．4【答案】B【解析】由题得=0a b ⋅r r，解方程即得解.【详解】因为a b ⊥r r，所以=220,1a b λλ⋅+=∴=-r r .故选B 【点睛】本题主要考查向量垂直的坐标表示，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.3．已知ABCD 是复平面内的平行四边形，A ，B ，C 三点对应的复数分别是2i -+，1i -，22i +，则点D 对应的复数为（ ）A ．4i -B ．32i --C ．5D ．14i -+【答案】D【解析】分析：利用平行四边形的性质得到AB DC =u u u r u u u r,再把点的坐标代入计算即得点D 的坐标，再写出点D 对应的复数.详解：由题得A(-2，1),B(1，-1),C(2，2),设D(x,y)，则(3,2),(2,2),AB DC x y =-=--u u u v u u u v因为AB DC =u u u r u u u r，所以2322x y -=⎧⎨-=-⎩，解之得x=-1,y=4.所以点D 的坐标为（-1，4）， 所以点D 对应的复数为-1+4i, 故选D.点睛：本题方法比较多，但是根据AB DC =u u u r u u u r求点D 的坐标，是比较简单高效的一种方法，大家解题时，注意简洁高效. 4．已知集合2{|0}1x A x x -=<+，{|}B x x a =<，若“1a =”是“B A ⊆”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不是充分条件也不是必要条件【答案】A【解析】化简两个集合，分别讨论充分性和必要性，可选出答案. 【详解】由题意，集合()()2{|0}{|120}{|12}1x A x x x x x x x -=<=+-<=-<<+， 先来判断充分性，若1a =，则{|11}B x x =-<<，满足B A ⊆，即“1a =”是“B A ⊆”的充分条件； 再来判断必要性，若B A ⊆，①集合B =∅，0a ≤，此时符合B A ⊆；②集合B ≠∅，此时21a a a a -<⎧⎪≤⎨⎪-≥-⎩，解得01a <≤.故B A ⊆时，1a ≤，即“1a =”不是“B A ⊆”的必要条件. 所以“1a =”是“B A ⊆”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查不等式的解法，考查集合的包含关系，考查充分性与必要性，考查学生的计算能力与逻辑推理能力，属于基础题.5．若关于x 的不等式2420x x a --->在区间()1,4内有解,则实数a 的取值范围是 A ．2a <- B ．2a >-C ．6a >-D ．6a <-【答案】A【解析】由题意可得224a x x +<-在区间(1,4)内成立，由224(2)4y x x x =-=--，求得顶点处的函数值和端点处的函数值，即可得到所求范围． 【详解】解：关于x 的不等式2420x x a --->在区间(1,4)内有解， 即为224a x x +<-在区间(1,4)内成立， 由224(2)4y x x x =-=--，可得2x =处函数y 取得最小值4-；1x =时，3y =-；4x =时，0y =； 则函数24y x x =-的值域为[)4,0-，可得20a +<， 解得2a <-． 故选：A ． 【点睛】本题考查不等式成立的条件，注意运用转化思想和二次函数的值域求法，考查运算能力，属于中档题．6．将函数()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍，所得函数()g x 图象的一个对称中心可以是（ ） A ．,012π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．5,012π⎛⎫⎪⎝⎭C ．,03π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．2,03π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】试题分析：()1sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，,2,263x k x k k Z ππππ+=∴=-∈，令0,3k x π==-，∴()g x 图象的一个对称中心是,03π⎛⎫-⎪⎝⎭． 【考点】三角函数图象的平移、三角函数的对称中心．7．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1BB 的中点，则异面直线DE 与AB 所成角的正切．．值为（ ）A ．2B C D【答案】C【解析】依据异面直线所成角的定义，结合//AB DC ，就得到异面直线DE 与AB 所成角，解三角形，即可求出异面直线DE 与AB 所成角的正切值. 【详解】如图，因为//AB DC ，所以EDC ∠（或其补角）即为异面直线DE 与AB 所成角， 连接EC ，设正方体棱长为2，利用勾股定理可以求得：2CD =，5CE =，3DE =，因此三角形DEC 是直角三角形，∴5tan EDC ∠=. 故选：C【点睛】本题考查了异面直线所成的角，属于基础题.8．已知以双曲线的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为，则双曲线的离心率为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】试题分析：由于，由题意知，，，因此，双曲线的离心率为，故选B.【考点】双曲线的离心率9．已知直线1:(3)10l mx m y +-+=，直线2:(1)10l m x my ++-=，若12l l ⊥则m =（ ）A ．0m =或1m =B ．1m =C ．32m =-D ．0m =或32m =- 【答案】A【解析】根据直线垂直的充要条件，列出等式，求解，即可得出结果. 【详解】因为直线1:(3)10l mx m y +-+=与直线2:(1)10l m x my ++-=垂直， 所以(1)(3)0m m m m ++-=，即(1)0m m -=，解得0m =或1m =. 故选A 【点睛】本题主要考查根据直线垂直求参数的问题，熟记直线垂直的充要条件即可，属于常考题型.10．已知函数2()log (46)x xf x a b =-+，满足2(1)1,(2)log 6f f ==，,a b 为正实数，则()f x 的最小值为（ ） A ．6- B ．3-C ．0D ．1【答案】D【解析】试题分析：22462{466a b a b -+=-+=，解得2{4b a ==， ∴222()log (44?26)log [(22)2]x x x f x =-+=-+，当1x =时，min ()1f x =，故选D .【考点】对数函数的性质11．直线l 是抛物线22x y =在点()2,2-处的切线，点P 是圆22420x y x y +--=上的动点，则点P 到直线l 的距离的最小值等于（ ）A 2BCD ．65【答案】C【解析】先由题意求出直线l 的方程，再求出圆22420x y x y +--=的圆心到直线的距离，减去半径，即为所求结果. 【详解】因为22x y =，所以y x '=，因此抛物线22x y =在点()2,2-处的切线斜率为22x y x =-==-'，所以直线l 的方程为22(2)y x -=-+，即22y x =--，又圆22420x y x y +--=可化为22(2)(1)5x y -+-=，所以圆心为(2,1)，半径r =则圆心到直线的距离为d ==又因点P 是圆22420x y x y +--=上的动点，所以点P 到直线l的距离的最小值等于d r -=. 故选C 【点睛】本题主要考查圆上的点到直线距离的最值问题，熟记直线与圆位置关系即可，属于常考题型.12．若对任意的1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式22ln 30x x x mx +-+≥恒成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．132e e+- B ．32e e++C ．2e 1-D ．4【答案】D【解析】通过分离变量将恒成立的不等式变为32ln m x x x≤++，由此可知当1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，min 32ln m x x x ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭，通过导数求解出右侧函数在区间内的最小值，从而得到结果. 【详解】22ln 30x x x mx +-+≥ 22ln 3mx x x x ⇒≤++ 32ln m x x x⇒≤++22ln 30x x x mx +-+≥在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立等价于min 32ln m x x x ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦令()32ln g x x x x =++，则()22223231x x g x x x x+-'=+-= 令()0g x '=，解得13x =-，21x =则1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减；(]1,x e ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增则1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()min 12ln1134g x g ==++= 4m ∴≤ 即m 的最大值为4 本题正确选项：D 【点睛】本题考查利用恒成立问题的求解，解题关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为所求变量与某一函数的最值比较的问题，通过求解函数最值得到所求参数的取值范围，属于恒成立问题中的常规题型.二、填空题13．已知抛物线24y x =-的准线经过椭圆2221(0)4x y b b+=>的焦点，则b =________． 【答案】3【解析】先根据抛物线的方程求得准线方程，根据椭圆的方程求得焦点，代入抛物线的准线方程求得b ． 【详解】解：依题意可得抛物线24y x =-的准线为1x =，又因为椭圆焦点为()240b ±-，所以有241b -=．即b 2＝3故b 3=． 故答案为3． 【点睛】本题主要考查了椭圆和抛物线的简单性质，椭圆的标准方程．考查了学生对圆锥曲线基础知识的掌握． 14．若实数x ，y 满足，则的取值范围是______．【答案】【解析】化简题设条件，得到的取值范围，再化简为x 的二次函数，借助二次函数的图象与性质，即可求解函数的最值，得到答案． 【详解】由题意，实数x ，y 满足，即，可得．则，则函数的对称轴为，开口向下，所以在上，时函数取得最大值6，时，函数取得最小值．所以的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用问题，其中解答中根据题设条件得到变量的取值范围，再结合二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题．15．设x，y满足约束条件20230x yx yx y--≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≤⎩，则46yx++的取值范围是__________．【答案】[]3,1-【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，由数形结合进行求解即可．【详解】作出不等式组对应的平面区域如图所示：则46yx++的几何意义是区域内的点到定点P（﹣6，﹣4）的斜率，由230x yx y-+=⎧⎨+=⎩得x＝﹣1，y＝1，即A（﹣1，1），则AP的斜率k＝1416+-+＝1，由20230x yx y--=⎧⎨-+=⎩得x＝﹣5，y＝﹣7，即B（﹣5，﹣7），则BP的斜率k＝7456-+-+＝﹣3，则46yx++的取值范围是[﹣3，1]故答案为：[﹣3，1]．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义是解决本题的关键，属于中档题.16．在数列{}n a 中，1253a a +=，()()11280n n n a na n N *+--+=∈，若()12n n n n b a a a n N *++=⋅⋅∈，则{}n b 的前n 项和取得最大值时n 的值为__________．【答案】10【解析】解法一：利用数列的递推公式，化简得122n n n a a a ++=+，得到数列{}n a 为等差数列，求得数列的通项公式313n a n =-，得到12100a a a >>>>L ，1112130a a a >>>>L ，得出所以1280b b b >>>>L ，90b <，100b >，1112130b b b >>>>L ，进而得到结论；解法二：化简得()128 11n n a a n n n n +-=---，令1n n a c n +=，求得11281n c c n ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，进而求得313n a n =-，再由0n b ≥，解得8n ≤或10n =，即可得到结论．【详解】解法一：因为()11280n n n a na +--+=① 所以()211280n n na n a ++-++=②，①-②，得122n n n na na na ++=+即122n n n a a a ++=+，所以数列{}n a 为等差数列． 在①中，取1n =，得1280a -+=即128a =，又1253a a +=，则225a =， 所以313n a n =-．因此12100a a a >>>>L ，1112130a a a >>>>L 所以1280b b b >>>>L ，99101180b a a a =⋅⋅=-<，10101112100b a a a =⋅⋅=>，1112130b b b >>>>L所以12389T T T T T <<L ， 9101112T T T T >>L 又1089108T T b b T =++>，所以10n =时，n T 取得最大值． 解法二：由()11280n n n a na +--+=，得()12811n n a a n n n n +-=---， 令1n n a c n +=，则11111282811n n c c n n n n -⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则11281n c c n ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即1211281281n c c a n n ⎛⎫⎛⎫=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，代入得()()1222812828n n a nc na n n a +==+-=+-，取1n =，得1280a -+=，解得128a =，又1253a a +=，则225a =，故1283n a n +=- 所以313n a n =-，于是()()()12313283253n n n n b a a a n n n ++=⋅⋅=---． 由0n b ≥，得()()()3132832530n n n ---≥，解得8n ≤或10n =， 又因为98b =-，1010b =， 所以10n =时，n T 取得最大值． 【点睛】本题主要考查了数列的综合应用，以及数列的最值问题的求解，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，合理利用数列的性质是关键，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等，属于中档试题.三、解答题17．在锐角ABC V 中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin 0a B =. （1）求角A 的大小；（2）若4a =，求ABC V 面积的最大值.【答案】（1）60A =︒（2）【解析】（1）由正弦定理可得sin sin 0A B B -=，结合sin 0B ≠，可求出sin A 与A ；（2）由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，结合基本不等式可得162bc bc bc ≥-=，即可求出16bc ≤，从而可求出1sin 2ABC S bc A =V 的最大值.【详解】解：（1）因为sin 0a B =，所以sin sin 0A B B =，又sin 0B ≠，所以3sin 2A=， 又ABC V 是锐角三角形，则60A =o .（2）因为2222cos a b c bc A =+-，60A =o ，4a =， 所以222211622b c bc b c bc =+-⨯=+-， 所以162bc bc bc ≥-=，即16bc ≤（当且仅当4b c ==时取等号）， 故11sin 16sin 432260ABC S bc A =≤⨯⨯=V o . 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的运用，考查了利用基本不等式求最值，考查了学生的计算能力，属于中档题.18．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量()1,2,,8i y i =⋅⋅⋅数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xyw()821ii x x =-∑()821ii w w =-∑ ()()81iii x x y y =-⋅-∑ ()()81iii w w y y =-⋅-∑46.6 5636.8289.8 1.6 1469 108.8表中i i w x =8118i i w w ==∑.（1）根据散点图判断，y a bx =+与y c x =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（3）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为0.2z y x =-.根据（2）的结果回答下列问题：（i ）年宣传费49x =时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为µ()()()121niii nii u u v v u u β==--=-∑∑，µµv u αβ=-. 【答案】（1）y c =+适宜（2）100.6y =+3）（i ）年销售量y 的预报值576.6，年利润的预报值66.32（ii ）46.24x =【解析】（1）根据所给的两个函数解析式的特点，结合图象直接选择即可； （2）令w =y 关于w 的线性回归方程，利用表中所给的数据求解即可.（3）（i ）由（2）知，把49x =代入，100.6y =+即可；（ii ）根据（2）的结果知，求出年利润z 的预报值的函数关系式，利用配方法求出当年利润的预报值最大时，年宣传费的值. 【详解】（1）由散点图可以判断，这些点明显不在同一条直线上，也不是在一条直线的附近，所以y c =+适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型. （2）令w =y 关于w 的线性回归方程，由于()()()81821108.8681.6iii i i w w y y d w w==--===-∑∑，56368 6.8100.6cy dw =-=-⨯=$， 所以y 关于w 的线性回归方程为100.668y w =+， 因此y 关于x的回归方程为100.6y =+（3）（i ）由（2）知，当49x =时，年销售量y的预报值100.6576.6y =+=，年利润的预报值0.2576.64966.32z=⨯-=$. （ii ）根据（2）的结果知，年利润z 的预报值()0.2100.66813.620.12x x x x z=+-=-++$， 所以当13.66.82x ==，即46.24x =时，z 取得最大值. 【点睛】本题考查了根据图象选择函数的解析式，考查了求线性回归方程，考查了线性回归方程的应用，考查了数学运算能力.19． 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD △为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA CD ⊥，2CD =，3AD =，（Ⅰ）设G H ，分别为PB AC ，的中点，求证：GH ∥平面PAD ； （Ⅱ）求证：PA ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值. 【答案】（I ）见解析；（II ）见解析；（III 3【解析】（I ）连接BD ，结合平行四边形的性质，以及三角形中位线的性质，得到GH PD P ，利用线面平行的判定定理证得结果；（II ）取棱PC 的中点N ，连接DN ，依题意，得DN PC ⊥，结合面面垂直的性质以及线面垂直的性质得到DN PA ⊥，利用线面垂直的判定定理证得结果；（III ）利用线面角的平面角的定义得到DAN ∠为直线AD 与平面PAC 所成的角，放在直角三角形中求得结果. 【详解】（I ）证明：连接BD ，易知AC BD H ⋂=，BH DH =，又由BG PG =，故GH PD P ，又因为GH ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ， 所以GH ∥平面PAD .（II ）证明：取棱PC 的中点N ，连接DN ，依题意，得DN PC ⊥， 又因为平面PAC ⊥平面PCD ，平面PAC I 平面PCD PC =， 所以DN ⊥平面PAC ，又PA ⊂平面PAC ，故DN PA ⊥， 又已知PA CD ⊥，CD DN D =I ， 所以PA ⊥平面PCD .（III ）解：连接AN ，由（II ）中DN ⊥平面PAC ， 可知DAN ∠为直线AD 与平面PAC 所成的角.因为PCD ∆为等边三角形，2CD =且N 为PC 的中点， 所以3DN =DN AN ⊥， 在Rt AND ∆中，3sin 3DN DAN AD ∠==， 所以，直线AD 与平面PAC 3【点睛】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力和推理能力.20．已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点.【答案】（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）见解析.【解析】(Ⅰ)由题意确定a ,b 的值即可确定椭圆方程；(Ⅱ)设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程确定OM ,ON 的表达式，结合韦达定理确定t 的值即可证明直线恒过定点. 【详解】（Ⅰ）因为椭圆的右焦点为(1,0)，所以1225； 因为椭圆经过点(0,1)A ,所以1b =，所以2222a b c =+=，故椭圆的方程为2212x y +=.（Ⅱ）设1122(,),(,)P x y Q x y联立2212(1)x y y kx t t ⎧+=⎪⎨⎪=+≠⎩得222(12)4220k x ktx t +++-=，21212224220,,1212kt t x x x x k k -∆>+=-=++，121222()212t y y k x x t k +=++=+，222212121222()12t k y y k x x kt x x t k-=+++=+. 直线111:1y AP y x x --=，令0y =得111x x y -=-，即111x OM y -=-； 同理可得221x ON y -=-. 因为2OM ON =,所以1212121212211()1x x x x y y y y y y --==---++；221121t t t -=-+，解之得0t =，所以直线方程为y kx =，所以直线l 恒过定点(0,0). 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 21．已知函数（I ）若在处的切线的斜率为，求的值；（Ⅱ），不等式恒成立，求整数的最大值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由题意得,解之即得a 的值；（Ⅱ）不等式或化为，设，再利用导数研究函数h(x)的图像和性质得解.【详解】 解：（Ⅰ），由题意得，则.（Ⅱ）不等式或化为.设，．设，当时，，则在单调递增. 又，，则在存在唯一零点满足.则当时，单调递减，当时，单调递增，则.又因为，则，因为，则，则整数的最大值为. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，考查函数的最值、单调性、零点问题的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 1sin x r y r ϕϕ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（0r >，ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的坐标方程为sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，若直线l 与曲线C 相切. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）在曲线C 上取两点M 、N 于原点O 构成MON ∆，且满足6MON π∠=，求面积MON ∆的最大值.【答案】（1）4sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭； （2）2. 【解析】（1）求出直线l 的直角坐标方程为y =+2，曲线C，1），半径为r 的圆，直线l 与曲线C 相切，求出r ＝2，曲线C 的普通方程为（x 2+（y ﹣1）2＝4，由此能求出曲线C 的极坐标方程． （2）设M （ρ1，θ），N （ρ2，6πθ+），（ρ1＞0，ρ2＞0），由126MONS OM ON sin π==V u u u u r u u u r 2sin （23πθ+）△MON 面积的最大值．【详解】（1）由题意可知将直线l的直角坐标方程为2y =+，曲线C是圆心为)，半径为r 的圆，直线l 与曲线C相切，可得：2r ==；可知曲线C的方程为(()2214x y +-=，∴曲线C的极坐标方程为2cos 2sin 0ρθρθ--=，即4sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （2）由（1）不妨设()1,M ρθ，2,6N πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，()120,0ρρ>>21211sin ?4sin ?sin 2sin cos 26432MONS OM ON πππρρθθθθθ∆⎛⎫⎛⎫===++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u v u u u vsin22sin 23πθθθ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭当12πθ=时，2MON S ∆≤MON ∴∆面积的最大值为2+.【点睛】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的最大值的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23．设函数()2f x x x a =--+． (1)当1a =时，求不等式()2f x <-的解集；(2)当()()(),22x y R f y f x f y a ∈-+≤≤+时，，求的取值范围． 【答案】（1）32x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭；（2）[]3,1-- 【解析】(1) 求出函数f （x ）的分段函数的形式，通过讨论x 的范围求出各个区间上的x 的范围，取并集即可；(2)()()()22f y f x f y -+≤≤+等价于()()()()max min 22f x f y f x f x ⎡⎤⎡⎤-≤⇔-≤⎣⎦⎣⎦，求出()f x 的最值即可.【详解】（1）当a =1时，()3,1,12,123,2x f x x x x ≤-⎧⎪=--<≤⎨⎪->⎩，可得()2f x <-的解集为32x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭（2）当,x y R ∈时，()()()()()()()max min 2222f y f x f y f x f y f x f x ⎡⎤⎡⎤-+≤≤+⇔-≤⇔-≤⎣⎦⎣⎦,因为()()222x x a x x a a --+≤--+=+， 所以()222a a +--+≤. 所以21a +≤，所以31a -≤≤-. 所以a 的取值范围是[-3，-1] 【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用.。

雅礼中学2025届高三月考试卷（二）数学得分：______本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}21,A x x k k==-∈N，{}1,0,1,2,3B=-，则A B=（）A. {}1,3 B. {}0,1,3 C. {}1,1,3- D. {}1,0,1,2,3-2. 若复数()21i68iz-=+，则z z+=（）A. B.25C.35D.453. 设a，b是单位向量，则()2a b a b+-⋅最小值是（）A. 1-B. 0C.34D. 14已知()2cos23cos0αββ+-=，则()tan tanααβ+=（）A. 5B.15C. -5D.15-5. 巴黎奥运会期间，旅客人数（万人）为随机变量X，且()2~30,2X N.记一天中旅客人数不少于26万人的概率为0p，则0p的值约为（）（参考数据：若()2~,X Nμσ，有()0.683P Xμσμσ-<≤+≈，()220.954P Xμσμσ-<≤+≈，()330.997P Xμσμσ-<≤+≈）A. 0.977B. 0.9725C. 0.954D. 0.6836. 已知抛物线C：24x y=的焦点为F，过点F的直线与C相交于M，N两点，则122MF NF+的最小值为（）的.A.92B. 4C.72D. 37. 若x ，0y ≥，1x y +=+）A. ⎡⎣B. []1,2 C. 2⎤⎦D. 12⎡⎢⎣8. 从重量分别为1，2，3，4，…，10克的砝码（每种砝码各2个）中选出若干个，使其总重量恰为9克的方法总数为m ，下列各式的展开式中9x 的系数为m 的选项是（ ）A. ()()()()23101111x xx x ++++ B. ()()()()11213110x x x x ++++ C. ()()()()()222222341011111x x x x x +++++ D. ()()()()22222232101111x x xx xxx xx++++++++++ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. (多选)下列选项中，正确的是（ ）A. 不等式220x x +->的解集为{|2x x <-或1}x >B. 不等式2112x x +≤-的解集为{|32}x x -≤<C. 不等式21x -≥的解集为{|13}x x ≤≤D. 设R x ∈，则“11x -<”是“405x x +<-”的充分不必要条件10. 如图，透明塑料制成的长方体容器1111ABCD A B C D -内灌进一些水，固定容器一边AB 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的命题有（）A. 没有水部分始终呈棱柱形B. 水面EFGH 所在四边形的面积为定值C. 随着容器倾斜度的不同，11A C 始终与水面所在平面平行D. 当容器倾斜如图（3）所示时，AE AH ⋅为定值11. 已知奇函数()f x 在R 上单调递增，()()f x g x '=，()()g x f x '=，若()()()22f x f x g x =，则（ ）A. ()g x 的图象关于直线0x =对称B. ()()()222g x gx f x =+C. ()00g =或1D. ()()221gx f x -=第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 从14，13，12，2，3，4，6，9中任取两个不同的数，分别记为m ，n ，记A =“log 0m n <”，则()P A =______.13. 如图，ABC V 中，6AB =，2AC BC =，D 为AB 中点，则tan BDC ∠的取值范围为______.14. 小军和小方两人先后在装有若干黑球的黑盒子与装有若干白球的白盒子（黑球数少于白球数）轮流取球，规定每次取球可以从某一盒子中取出任意多颗（至少取1颗），或者在两个盒子中取出相同颗数的球（至少各取1颗），最后不能按规则取的人输.已知两盒中共有11个球，且两人掷硬币后决定由小军先手取球.小方看了眼黑盒中的球，对小军说：“你输了！”若已知小方有必胜策略，则黑盒中球数为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知2a b -=，()sin sin sin 2A BA B +-=.（1）求c ；的（2）若ABC V 的内切圆在AB 上的切点为D ，求AD .16. 已知动圆P 过点()2,0A -且与圆B ：()22236x y -+=内切.（1）求动圆圆心P 轨迹E 的方程；（2）设动圆1C ：2221x y t +=，1C 与E 相交于,,,A B C D 四点，动圆2C ：()222212x y t t t +=≠与E 相交于,,,A B C D ''''四点.若矩形ABCD 与矩形A B C D ''''的面积相等，求2212t t +的值.17. 为提高我国公民整体健康水平，2022年1月，由国家卫生健康委疾控局指导、中国疾病预防控制中心和国家体育总局体育科学研究所牵头组织编制《中国人群身体活动指南（2021）》（以下简称《指南》）正式发布，《指南》建议18～64岁的成年人每周进行150～300分钟中等强度或75～150分钟高强度的有氧运动（以下简称为“达标成年人”），经过两年的宣传，某体育健康机构为制作一期《达标成年人》的纪录片，采取街头采访的方式进行拍摄，当采访到第二位“达标成年人”时，停止当天采访.记采访的18～64岁的市民数为随机变量X （2X ≥），且该市随机抽取的18～64岁的市民是达标成年人的概率为13，抽查结果相互独立.（1）求某天采访刚好到第五位可停止当天采访的概率；（2）若抽取的18～64岁的市民数X 不超过n 的概率大于13，求整数n 的最小值.18. 已知函数()12ex xf x x λ-=-.（1）当1λ=时，求()f x 的图象在点(1,f (1))处的切线方程；（2）若1x ≥时，()0f x ≤，求λ的取值范围；（3）求证：()1111111232124e 2e*n n n n nnn ++++-+++->∈N .19. 高斯-博内公式是大范围微分几何学的一个经典的公式，是关于曲面的图形（由曲率表征）和拓扑（由欧拉示性数表征）间联系的一项重要表述，建立了空间的局部性质和整体性质之间的联系.其特例是球面三角形总曲率x 与球面三角形内角和θ满足：πx θα=+，其中α为常数，（如图，把球面上的三个点用三个大圆（以球心为半径的圆）的圆弧联结起来，所围成的图形叫做球面三角形，每个大圆弧叫做球面三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面三角形的一个角.球面三角形的总曲率等于2SR，S 为球面三角形面积，R 为球的半径）.的的（1）若单位球面有一个球面三角形，三条边长均为π2，求此球面三角形内角和；（2）求α的值；（3）把多面体的任何一个面伸展成平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多面体.设凸多面体Ω顶点数为V ，棱数为E ，面数为F ，试证明凸多面体欧拉示性数()ΩV E F χ=-+为定值，并求出()Ωχ.雅礼中学2025届高三月考试卷（二）数学命题人：周芳芳 张博 审题人：周芳芳 伊波得分：______本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}21,A x x k k ==-∈N ，{}1,0,1,2,3B =-，则A B = （ ）A. {}1,3B. {}0,1,3 C. {}1,1,3- D. {}1,0,1,2,3-【答案】C 【解析】【分析】利用自然数集的含义描述集合A ，根据集合交集运算求解.【详解】根据题意，集合A 表示从1-开始的奇数的集合，即1,1,3,5,-L ，{}1,1,3A B ∴⋂=-.故选：C.2. 若复数()21i 68iz -=+，则z z +=（ ）A.B.25C.35D.45【答案】B 【解析】【分析】利用复数的运算对复数z 化简，再求,z z ，即可求解.【详解】由()()()()()21i 2i 68i 1612i 43i 68i68i 68i 1002525z --⨯---====--++⨯-，则43i 2525z =-+，则15z z ===，因此25z z +=，故选：B.3. 设a，b 是单位向量，则()2a ba b +-⋅的最小值是（ ）A. 1-B. 0C.34D. 1【答案】D 【解析】【分析】设a，b 的夹角为[]0,πθ∈，则[]cos 1,1a b θ⋅=∈-r r ，结合数量积的运算律分析求解.【详解】设a ，b 的夹角为[]0,πθ∈，因为1==a b r r，则[]cos cos 1,1a b a b θθ⋅=⋅=∈-r r r r ，可得()2222cos 1a b a b a b a b θ+-⋅=++⋅=+≥r r r r rr r r ，当且仅当cos 1θ=-时，等号成立，所以()2a ba b +-⋅的最小值是1.故选：D.4. 已知()2cos 23cos 0αββ+-=，则()tan tan ααβ+=（ ）A. 5 B.15C. -5D. 15-【答案】D 【解析】【分析】由角的变换()()2,αβααββαβα+=++=+-，利用余弦的和，差角公式和展开，从而可得答案.【详解】()2cos 23cos αββ+=，则()()2cos 3cos αβααβα++=+-则()()()()2cos cos 2sin sin 3cos cos 3sin sin ααβαβααβααβα+-+=+++，，即()()5sin sin cos cos αβααβα-+=+，所以()5tan tan 1αβα-+=，∴()1tan tan 5αβα+=-，故选：D5. 巴黎奥运会期间，旅客人数（万人）为随机变量X ，且()2~30,2X N .记一天中旅客人数不少于26万人的概率为0p ，则0p 的值约为（ ）（参考数据：若()2~,X N μσ，有()0.683P X μσμσ-<≤+≈，()220.954P X μσμσ-<≤+≈，()330.997P X μσμσ-<≤+≈）A. 0.977B. 0.9725C. 0.954D. 0.683【答案】A 【解析】【分析】根据正态分布对称性求得答案.【详解】因为()230,2X N :，所以30μ=，2σ=，()26340.954P X ∴<≤=，根据正态曲线的对称性可得，()()()010.954262634340.9540.9772p P X P X P X -=≥=<≤+>=+=.故选：A.6. 已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，过点F 的直线与C 相交于M ，N 两点，则122MF NF +的最小值为（ ）A.92B. 4C.72D. 3【答案】A 【解析】【分析】设过点F 的直线l 的方程为：1y kx =+，与抛物线C 的方程联立，利用根与系数的关系求出12y y 的值，再根据抛物线的定义知11MF y =+，21NF y =+，从而求出122MF NF +的最小值即可.【详解】由抛物线C 的方程为24x y =，焦点坐标为F (0,1)，设直线l 的方程为：()()11221,,,,y kx M x y N x y =+，联立方程241x yy kx ⎧=⎨=+⎩，整理得2440x kx --=，则12124,4x x k x x +==-，故221212144x x y y =⋅=，又1112p MF y y =+=+，2212pNF y y =+=+，则()()121211155922112222222MF NF y y y y +=+++=++≥+=，当且仅当121,22y y ==时等号成立，故122MF NF +的最小值为92.故选：A.7. 若x ，0y ≥，1x y +=+）A. ⎡⎣B. []1,2 C. 2⎤⎦D. 12⎡⎢⎣【答案】B 【解析】【分析】三角换元后结合辅助角公式和正弦函数的值域求解即可；【详解】因为1x y +=，设22cos ,sin x y a a ==，又由x ，0y ≥，不妨取π0,2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，πsin 2sin 3a a a æöç÷=+=+ç÷èø，因为π0,2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ5π,336a éù+Îêúêúëû，所以[]π2sin 1,23a æöç÷+Îç÷èø，的取值范围为[]1,2，故选：B.8. 从重量分别为1，2，3，4，…，10克的砝码（每种砝码各2个）中选出若干个，使其总重量恰为9克的方法总数为m ，下列各式的展开式中9x 的系数为m 的选项是（ ）A. ()()()()23101111x xx x ++++ B. ()()()()11213110x x x x ++++ C. ()()()()()222222341011111x x x x x +++++ D. ()()()()22222232101111x x x x x x x x x ++++++++++ 【答案】C 【解析】【分析】根据选的砝码个数可以分为一个砝码，两个砝码，三个砝码，四个砝码，五个砝码五种情况可求得m ，在分析各个选项9x 的系数，即可求解.【详解】一个砝码有，9一种情况，12C 2=种情况，两个砝码有1,8，2,7，36，，4,5几种情况1122C C 416⨯=种三个砝码有，1,1,7，1,2,6，1,3,5，1,4,4，2,2,5，2,3,4几种情况111122223C 3C C C 30⨯+⨯=种四个砝码有，1,1,2,5，1,1,3,4，1,2,2,4，1,2,3,3，11224C C 16⨯=种，五个砝码有，1,1,2,2,3，12C 2=种，总计66m =种.对A ，选项9x 系数为8，故不符合，所以A 错误；对B ，9x 的系数是选9个带x 的，其他的1个括号选常数项，可得910C 1066=>，故B 错误；对C ，()()()()()222222341011111x x x x x +++++ ()()()()()()()()()()23410234101111111111x x x x x x x x x x =++++++++++ 9x 系数为9x 单独组成，其他为常数，则有12C 2=种，系数为29x 有两项组成，系数为x 与8x 组成，其他为常数，1122C C 4⋅=，系数为4，9x 系数为2x 与7x 组成，其他为常数，1122C C 4⋅=，系数为4，9x 系数为3x 与6x 组成，其他为常数， 1122C C 4⋅=，系数为4，9x 系数4x 与5x 组成，其他为常数， 1122C C 4⋅=，系数为4，同理9x 由三项组成7,,x x x ，26,,x x x ，35,,x x x ，44,,x x x ，225,,x x x ，234,,x x x 几种情况，其他项为为常数，则系数为111122223C 3C C C 30⨯+⨯=同理9x 由四项组成25,,,x x x x ，34,,,x x x x ，224,,,x x x x ，233,,,x x x x 几种情况，其他常数，则系数11224C C 16⨯=，同理9x 由五项组成223,,,,x x x x x 其他项为常数，则系数为12C 2=，综上9x 系数为66m =，故C 正确；对D ，()()()()22222232101111x x x x xxx xx++++++++++ ()()()()2232101111x x x x x x x x x =++++++++++⨯()()()()2232101111x x x x x x x x x ++++++++++ ，5x 系数直接有5x 一项，其他是常数项，可有162C 12⨯=种情况，系数为12，5x 有x 与4x 组成，其他是常数项，可有11962C C 10860⋅=>,故D 错误.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. (多选)下列选项中，正确的是（ ）A. 不等式220x x +->的解集为{|2x x <-或1}x >B. 不等式2112x x +≤-的解集为{|32}x x -≤<C. 不等式21x -≥的解集为{|13}x x ≤≤D. 设R x ∈，则“11x -<”是“405x x +<-”的充分不必要条件【答案】ABD 【解析】【分析】解出各选项中的不等式后可判断．【详解】A 选项，220(1)(2)02x x x x x +->⇔-+>⇔<-或1x >，A 正确；B 选项，(3)(2)02121311003220222x x x x x x x x x x +-≤⎧+++≤⇔-≤⇔≤⇔⇔-≤<⎨-≠---⎩，B 正确；为C 选项，2121x x -≥⇔-≥或21x -≤-，即3x ≥或1x ≤，C 错误；D 选项，1102x x -<⇔<<，()()40450455x x x x x +<⇔+-<⇔-<<-，而{|02}x x <<是{|45}x x -<<的真子集，D 正确．故选：ABD ．10. 如图，透明塑料制成的长方体容器1111ABCD A B C D -内灌进一些水，固定容器一边AB 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的命题有（）A. 没有水的部分始终呈棱柱形B. 水面EFGH 所在四边形的面积为定值C. 随着容器倾斜度的不同，11A C 始终与水面所在平面平行D. 当容器倾斜如图（3）所示时，AE AH ⋅为定值【答案】AD 【解析】【分析】想象容器倾斜过程中，水面形状（注意AB 始终在桌面上），可得结论．【详解】由于AB 始终在桌面上，因此倾斜过程中，没有水部分，是以左右两侧的面为底面的棱柱，A 正确；图（2）中水面面积比（1）中水面面积大，B 错；图（3）中11A C 与水面就不平行，C 错；图（3）中，水体积不变，因此AEH △面积不变，从而AE AH ⋅为定值，D 正确．故选：AD ．【点睛】本题考查空间线面的位置关系，考查棱柱的概念，考查学生的空间想象能力，属于中档题．11. 已知奇函数()f x 在R 上单调递增，()()f x g x '=，()()g x f x '=，若()()()22f x f x g x =，则的（ ）A. ()g x 的图象关于直线0x =对称B. ()()()222g x gx f x =+C. ()00g =或1D. ()()221gx f x -=【答案】ABD 【解析】【分析】利用函数的奇偶性，结合题中的条件对抽象函数求导可以得到()()0f x f x ''--=，()()()()()2222f x f x g x f x g x '''=+，再结合选项进行判断即可.【详解】对于A ，由()f x 为R 上的奇函数，则()00f =，()()0f x f x +-=，则()()0f x f x ''--=，所以()()0g x g x --=，即()g x 为偶函数，因此关于直线0x =对称，故A 正确；对于B ，由()()()22f x f x g x =，则两边同时求导得：()()()()()2222f x f x g x f x g x '''=+，即()()()222g x g x f x =+，故B 正确；由()()()()0g x f x f x g x -=，则()()()()220g x g x f x f x -'='，即()()220g x f x ''⎡⎤⎡⎤-=⎣⎦⎣⎦，即()()220g x f x '⎡⎤-=⎣⎦，则()()22gx f x C -=（C 为常数），设()()()22h x g x f x C =-=（C 为常数），对于C ，由()()()222g x gx f x =+，则()()()22000g g f =+，即()()0010g g ⎡⎤-=⎣⎦，解得()00g =或()01g =，当()00g =，则()()()220000h gf =-=，则()()()220h xg x f x =-=，即()()f x g x =±，又()g x 为偶函数，则()f x 即是奇函数也是偶函数，与()f x 在R 上单调递增矛盾，因此()00g =不符合题意，则()01g =，故C 错误；对于D ，当()01g =时，则()()()220001h gf =-=，则()()()221h xg x f x =-=，即()()221g x f x -=，故D 正确；故选：ABD.【点睛】关键点点睛：奇偶函数的性质，及对抽象函数求导，比如()()()22f x f x g x =，求导可以得到()()()()()2222f x f x g x f x g x '''=+，再结合()()f x g x '=，()()g x f x '=，灵活变化，必要时可以对其进行赋值.第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 从14，13，12，2，3，4，6，9中任取两个不同的数，分别记为m ，n ，记A =“log 0m n <”，则()P A =______.【答案】1528【解析】【分析】根据对数的性质、排列知识和古典概型的概率公式可得结果.【详解】因为log 0m n <，所以01,1m n <<>或1,01m n ><<，从111,,,2,3,4,6,9432中任取两个不同的数，共可得到28A 56=取法，其中对数值为负数的有11113553A A A A 30+=个，所以()30155628P A ==.故答案：1528.13. 如图，ABC V 中，6AB =，2AC BC =，D 为AB 中点，则tan BDC ∠的取值范围为______.【答案】40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】以D 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标为系，结合题中条件确定tan yBDC x∠=的范围即可.【详解】以D 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则()3,0A -，()0,0D ，()3,0B ，设(),C x y ，又2AC BC =，则C 在第一象限或者第四象限，结合对称性，不妨设C 在第一象限，=，整理得()22516x y -+=且0y >，又tan yBDC x∠=，结合图象知，tan 0BDC ∠>，则22222210911tan 9101y x x BDC x x x x -+-⎛⎫∠===-+- ⎪⎝⎭，当159x =时，2tan BDC ∠取最大值为169，则40tan 3BDC <∠≤，即tan BDC ∠的取值范围为40,3⎛⎤⎥⎝⎦，故答案为：40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.14. 小军和小方两人先后在装有若干黑球的黑盒子与装有若干白球的白盒子（黑球数少于白球数）轮流取球，规定每次取球可以从某一盒子中取出任意多颗（至少取1颗），或者在两个盒子中取出相同颗数的球（至少各取1颗），最后不能按规则取的人输.已知两盒中共有11个球，且两人掷硬币后决定由小军先手取球.小方看了眼黑盒中的球，对小军说：“你输了！”若已知小方有必胜策略，则黑盒中球数为______.【答案】4【解析】【分析】分黑球和白球个数为()1,10，()2,9，()3,8，()4,7，()5,6进行讨论，若小方有必胜策略，重点在于小方取完后盒中球的情况为()1,2或()2,1时，则小方必胜.【详解】设黑球数为m ，白球数为n ，由11+=m n ，m n <，则(),m n 可能有以下几种情况：的①()1,10，小军可先手在白盒子中取8颗球，此时两盒球数为()1,2，则小方必不可能全部取完，小方后手取球后可能为(0,2)，(0,1)，()1,1，(1,0)，此时无论何种情况小军都可全部取完，故小军有必定获胜的策略，不符合题意；②()2,9，小军可先手在白盒子中取8颗球，此时两盒球数为(2,1)，同①进行分析可知，小军有必定获胜的策略，不符合题意；③()3,8，小军可先手在白盒子中取3颗球，此时两盒球数为()3,5，小方取球后，若两盒中球数一样或有一盒取空，则小军可全部取完，小军必胜；若两盒中球数不一样，且均不为0，则一定是以下三种情况之一：（1）两盒球数为()3,4；（2）有一盒中只有一个球，另一盒中多于两个球，即()1,3，()3,1，()1,5；（3）有一盒中有两个球，另一盒中多于两个球，即()2,4，()3,2，()2,5；无论为哪种情况，小军都可将其取为()1,2或(2,1)，知此时小军必胜，不符合题意；④()4,7，若小军只从白盒中取球，则两盒球数为()4,1，()4,2，()4,3时，由③的推理过程知，小方必胜；符合题意.若两盒球数为()4,6时，小方可将球数转为()3,5，知小方必胜；若两盒球数为()4,5时，小方可将球数转为()1,2，知小方必胜；若两盒球数为()4,4时，知小方必胜若小军从黑盒中取出了球，则黑盒中球数3≤，白盒中球数-黑盒中球数3≥，从而由③推理过程知小方必胜；⑤()5,6，小军可将球数转化为()1,2，小军必胜，不符合题意；因此小方有必胜策略，则黑盒中球数为4，故答案为：4.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于小方怎样将盒中的球变为()1,2或()2,1，则小方必胜.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知2a b -=，()sin sin sin 2A BA B +-=.（1）求c ；（2）若ABC V 的内切圆在AB 上的切点为D ，求AD .【答案】（1）4 （2）1【解析】【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理对()sin sin sin 2A BA B +-=进行边化角，再借助2a b -=即可求出c 的值；（2）利用内切圆的性质可得,,AD AM BD BN CM CN ===，再结合4,2c a b =-=，即可求出AD 的值.【小问1详解】由()sin sin sin 2A BA B +-=，则2sin cos 2cos sin sin sin A B A B A B -=+，整理得：()()sin 2cos 1sin 12cos A B B A -=+，则角化边可得：222222211222a c b b c a a b ac bc ⎛⎫⎛⎫+-+-⨯-=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理可得：()2c a b =-，又2a b -=，因此可得4c =.【小问2详解】由（1）知4,2c a b =-=，设ABC V 的内切圆在,AC BC 上的切点为,M N ，则,,AD AM BD BN CM CN ===,则4c AB AD BD AM BN ===+=+，()()2a b BC AC BN CN AM CM BN AM -=-=+-+=-=，因此可得1AM =，即1AD =.16. 已知动圆P 过点()2,0A -且与圆B ：()22236x y -+=内切.（1）求动圆圆心P 的轨迹E 的方程；（2）设动圆1C ：2221x y t +=，1C 与E 相交于,,,A B C D 四点，动圆2C ：()222212x y t t t +=≠与E 相交于,,,A B C D ''''四点.若矩形ABCD 与矩形A B C D ''''的面积相等，求2212t t +的值.【答案】（1）22195x y +=（2）14【解析】【分析】（1）设动圆半径为r ，根据题意可以得到64PA PB AB +=>=，利用椭圆的定义知动圆圆心P 的轨迹E 是以,A B 为焦点的椭圆，从而求出动圆圆心P 的轨迹E 的方程；（2）设()22,,(,)A x y A x y '，由矩形ABCD 与矩形A B C D ''''的面积相等，得112244x y x y =，再根据,A A '在椭圆上，从而求出所以22129x x +=， 22125y y +=，即可求出2212t t +的值.【小问1详解】设动圆半径为r ，则PA r =，6B PB r r r =-=-（内切），64PA PB AB ∴+=>=，所以点P 的轨迹是以,A B 为焦点的椭圆．623a a ∴=⇒=，242AB c c ==⇒=，2225b a c ∴=-=．则动圆圆心P 的轨迹E 的方程为：22195x y +=．【小问2详解】设()22,,(,)A x y A x y '，由矩形ABCD 与矩形A B C D ''''的面积相等，得112244x y x y =，故22221122x y x y =，因为点A ，A '均在椭圆上，所以，22221212515199x x x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理可得：()()2222121290x x x x ⎡⎤--+=⎣⎦，由12t t ≠，知12x x ≠，所以22129x x +=，同理可得22125y y += ，因此2222221211229514t t x y x y +=+++=+=.17. 为提高我国公民整体健康水平，2022年1月，由国家卫生健康委疾控局指导、中国疾病预防控制中心和国家体育总局体育科学研究所牵头组织编制的《中国人群身体活动指南（2021）》（以下简称《指南》）正式发布，《指南》建议18～64岁的成年人每周进行150～300分钟中等强度或75～150分钟高强度的有氧运动（以下简称为“达标成年人”），经过两年的宣传，某体育健康机构为制作一期《达标成年人》的纪录片，采取街头采访的方式进行拍摄，当采访到第二位“达标成年人”时，停止当天采访.记采访的18～64岁的市民数为随机变量X （2X ≥），且该市随机抽取的18～64岁的市民是达标成年人的概率为13，抽查结果相互独立.（1）求某天采访刚好到第五位可停止当天采访的概率；（2）若抽取的18～64岁的市民数X 不超过n 的概率大于13，求整数n 的最小值.【答案】（1）32243（2）4【解析】【分析】（1）依题意，可判断随机变量()2X X ≥服从二项分布，利用概率公式计算即得；（2）由题意，列出随机变量()2X X ≥的分布列，则得22222211123111212121C C C 33333333n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯>⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，利用错位相减法求和将其转化成()226243n n -⎛⎫>+⨯ ⎪⎝⎭，判断数列()22243n n a n -⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭的单调性，代值验证即得整数n 的最小值.【小问1详解】根据题意，某天采访刚好到第五位可停止当天采访，即采访的前四位中有一位是达标成年人，第五位必是达标成年人，所以随机变量()2X X ≥服从二项分布，所以某天采访刚好到第五位可停止当天采访的概率为31412132C 333243⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭.【小问2详解】依题意，随机变量()2X X ≥服从二项分布，则所以22222211123111212121C C C 33333333n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，化简得()2212221123193333n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯++-⨯>⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ，即()2222212313333n n -⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯++-⨯> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ，记()222221231333n S n -⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ①，则()23122222123133333n S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ②，由①-②，可得()221122221133333n n S n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，即()1121123123313n n S n --⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=-- ⎪⎝⎭-，解得()229243n S n -⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭，由此可得，()2292433n n -⎛⎫-+⨯> ⎪⎝⎭，即()226243n n -⎛⎫>+⨯ ⎪⎝⎭，设()22243n n a n -⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭，()*2,Nn n ≥∈，因为()()1122262631362243n n n n n a n a n n -+-⎛⎫+⨯ ⎪+⎝⎭==<+⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭，可得数列{}n a 是递减数列，又322010633a =⨯=>，2421612633a ⎛⎫=⨯=< ⎪⎝⎭，所以整数n 的最小值为4.18. 已知函数()12ex xf x x λ-=-.（1）当1λ=时，求()f x 的图象在点(1,f (1))处的切线方程；（2）若1x ≥时，()0f x ≤，求λ的取值范围；（3）求证：()1111111232124e2e*n n n n nnn ++++-+++->∈N .【答案】（1）0y = （2）[)1,+∞ （3）证明见详解【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）根据题意，由条件式恒成立分离参数，转化为212ln x x xλ≥+，求出函数()212ln xg x x x =+的最大值得解；（3）先构造函数()12ln x x x x ϕ=-+，利用导数证明11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，1x >，令11x n=+，可得()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭，迭代累加可证得结果.【小问1详解】当1λ=时，()12ex xf x x -=-，f (1)=0，则()12121e x x f x x x -⎛⎫=-+ ⎪⎝'⎭，则()0122e 0f =-='，所以()f x 在点(1,f (1))处的切线方程为0y =.【小问2详解】由1x ≥时，()0f x ≤，即12e 0x x x λ--≤，整理得212ln xx xλ≥+，对1x ≥恒成立，令()212ln x g x x x =+，则()()42321ln 222ln x x x x x g x x x x ---=-+'=，令()1ln h x x x x =--，1x ≥，所以()ln 0h x x '=-≤，即函数ℎ(x )在1x ≥上单调递减，所以()()10h x h ≤=，即()0g x '≤，所以函数()g x 在1x ≥上单调递减，则()()11g x g ≤=，1λ∴≥.【小问3详解】设()12ln x x x xϕ=-+，1x >，则()()222221212110x x x x x x x xϕ---+-='=--=<，所以φ(x )在(1,+∞)上单调递减，则()()10x ϕϕ<=，即12ln 0x x x-+<，11ln 2x x x ⎛⎫∴<- ⎪⎝⎭，1x >，令11x n=+，*N n ∈，可得1111111ln 1112211n n n n n ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫+<+-=+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎪+⎝⎭，所以()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭，()()111ln 2ln 1212n n n n ⎛⎫+-+<+ ⎪++⎝⎭，()()111ln 3ln 2223n n n n ⎛⎫+-+<+ ⎪++⎝⎭，…()()111ln 2ln 212212n n n n ⎛⎫--<+ ⎪-⎝⎭，以上式子相加得()112221ln 2ln 212212n n n n n n n ⎛⎫-<+++++ ⎪++-⎝⎭，整理得，11111ln 2412212n n n n n-<++++++-L ，两边取指数得，11111ln 2412212e e n n n n n -++++++-<L ，即得111114122122e e n n n n n -++++-<L ，()*Nn ∈得证.【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键是先构造函数()12ln x x x xϕ=-+，利用导数证明11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，1x >，令11x n=+，得到()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭.19. 高斯-博内公式是大范围微分几何学的一个经典的公式，是关于曲面的图形（由曲率表征）和拓扑（由欧拉示性数表征）间联系的一项重要表述，建立了空间的局部性质和整体性质之间的联系.其特例是球面三角形总曲率x 与球面三角形内角和θ满足：πx θα=+，其中α为常数，（如图，把球面上的三个点用三个大圆（以球心为半径的圆）的圆弧联结起来，所围成的图形叫做球面三角形，每个大圆弧叫做球面三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面三角形的一个角.球面三角形的总曲率等于2SR，S 为球面三角形面积，R 为球的半径）.（1）若单位球面有一个球面三角形，三条边长均为π2，求此球面三角形内角和；（2）求α的值；（3）把多面体的任何一个面伸展成平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多面体.设凸多面体Ω顶点数为V ，棱数为E ，面数为F ，试证明凸多面体欧拉示性数()ΩV E F χ=-+为定值，并求出()Ωχ.【答案】（1）3π2（2）1（3）证明见解析；()2χΩ=【解析】【分析】（1）由球面三角形边角定义，转化为大圆弧长可求圆心角，由球面三角形三条边长均为π2，得,,OA OB OC 两两垂直，从而得到面面垂直，进而求内角和可得；（2）将球面平均分割为8个全等的球面三角形，由特值代入公式πx θα=+待定α即可；（3）将球面分割为F 个球面多边形，再转化为球面三角形，借助球面三角形总曲率x 与球面三角形内角和θ关系，利用所有分割后的球面三角形面积之和（用,,V E F 表示）即为球面面积建立等量关系求证即可．【小问1详解】如图，设球心为O ，球面三角形三个顶点分别为,,A B C ，由球面三角形三边长均为π2，由题意，即每个大圆弧长均为π2.又单位球面的球半径1R =，则球面三角形每条边所对圆心角为π2，所以在三棱锥A OBC -中，,,OA OB OC 两两垂直.由,OA OB OA OC ⊥⊥，OB OC O = ，且OB ⊂平面OBC ，OC ⊂平面OBC ，则OA ⊥平面OBC ，OA ⊂平面OAB ，故平面OAB ⊥平面OBC ，同理平面OAB ⊥平面OCA ，平面OCA ⊥平面OBC ，即球面三角形任意两条边所在的半平面构成的二面角均为π2，故球面三角形的3个角均为π2，从而此球面三角形内角和为3π2.【小问2详解】若将地球看作一个球体，在地球上零度经线和90 经线所在大圆与赤道所在大圆将球面平均分成8个全等的球面三角形，由（１）可知，每个球面三角形的3个角均为π2，且球面三角形内角和3π2θ=，从而每个球面三角形的面积为224ππ82R R S ==，则每个球面三角形的总曲率为2π2S x R ==，设()f x θ=，由题意()πf x x α=+，且α为常数，则有ππ3ππ222f α⎛⎫=+=⎪⎝⎭，从而1α=.【小问3详解】将多面体的每个面视作可以自由伸缩的橡皮膜，使膨胀为一个半径为R 的球，每个顶点均在球面上，每条边变为球面上的边，每个多边形变为球面上的多边形，且膨胀前后()V E F χ=-Ω+不变.不妨记球面仍为单位球面，半径1R =，对于任意一个球面k 边形，可用球面上的边分割成(2)k -个球面三角形，由（2）可知，1α=，则每个球面三角形的内角和2πππSx S Rθ=+=+=+．即每个内角和为θ的球面三角形面积为πθ-，记21k jj ϕθ-==∑，称为分割成(2)k -个球面三角形的球面k 边形的内角和．所以球面k 边形面积为(2)πk ϕ--.由已知凸多面体Ω顶点数为V ，棱数为E ，面数为F ，则可记球面上多边形,1,2,,i i F α= ，对每一个球面多边形i α，设其边数为i l ，内角和为i ϕ，面积为i S ，则()()1112ππ2πF F Fiiiii i i i S l l ϕϕ===⎡⎤=--=-+⎣⎦∑∑∑，由球面三角形角的定义可知，每个顶点处所有球面多边形的角之和为2π，顶点数为V ，从而所有球面多边形内角和为12πFii V ϕ==∑，又球面多边形每条边被重复计算2次，棱数为E ，故1π2πi i Fl E ==∑，则()1π2π2π2π2πFii i l V E F ϕ=-+=-+∑，又所有球面多边形面积之和214π4πi FiSR ===∑，故2π2π2π4πV E F -+=，故()2V E F χ=+Ω-=.【点睛】关键点点睛：解决本题关键在于转化化归思想的应用，一是理解球面三角形及边角的定义，将球面内角和问题转化多面体的二面角之和求解；二是将凸多面体膨胀为球面后，凸多面体欧拉示性数()V E F χ=-Ω+没有变化，从而将凸多面体问题转化为球面问题处理；三是利用分割法将球面面积转化为球面三角形的面积之和，从而建立等量关系求解2V E F -+=．。

2019-2020学年高三第二学期月考数学试卷（理科）一、选择题.1．设复数z满足z（1+i）2＝4i，则复数z的共轭复数z=（）A．2B．﹣2C．﹣2i D．2i2．已知命题p：∀x∈R，x2﹣2x+3≥0；命题q：若a2＜b2，则a＜b，下列命题为假命题的是（）A．p∨q B．p∨（￢q）C．￢p∨q D．￢p∨（￢q）3．已知(x3+ax)n的展开式中各项的二项式系数之和为32，且各项系数和为243，则展开式中x7的系数为（）A．20B．30C．40D．504．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地．”请问第三天走了（）A．60里B．48里C．36里D．24里5．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若sin A，sin B，sin C成等比数列，且c ＝2a，则sin B的值为（）A．34B．√74C．1D．√336．执行如图所示的程序框图，若输出的k＝6，则输入整数p的最大值是（）A．32B．31C．15D．167．已知变量x，y具有线性相关关系，它们之间的一组数据如表所示，若y关于x的线性回归方程为y =1.3x ﹣1，则m 的值为（ ） x 1 2 3 4 y 0.11.8 m4A ．2.9B ．3.1C ．3.5D ．3.88．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F ，直线y =√3x 与C 相交于A ，B 两点，且AF ⊥BF ，则C 的离心率为（ ） A ．√2−12B ．√2−1C ．√3−12D ．√3−19．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，DC →=3BD →，|AD →|=2，则AC →⋅AD →的值为（ ）A ．3B ．8C ．12D ．1610．通过大数据分析，每天从岳阳来长沙的旅客人数为随机变量X ，且X ～N （3000，502）．则一天中从岳阳来长沙的旅客人数不超过3100的概率为（ ）（参考数据：若X ～N （μ，σ2），有P （μ﹣σ＜X ≤μ+σ）＝0.6826，P （μ﹣2σ＜X ≤μ+2σ）＝0.9544，P （μ﹣3σ＜X ≤μ+3σ）＝0.9974） A ．0.0456B ．0.6826C ．0.9987D ．0.977211．在水平地面上的不同两点处栽有两根笔直的电线杆，假设它们都垂直于地面，则在水平地面上视它们上端仰角相等的点P 的轨迹可能是（ ） ①直线②圆③椭圆④抛物线 A ．①②B ．①③C ．①②③D ．②④12．已知P ＝{α|f （α）＝0}，Q ＝{β|g （β）＝0}，若存在α∈P ，β∈Q ，使得|α﹣β|＜n ，则称函数f （x ）与g （x ）互为“n 距零点函数”若f （x ）＝log 2020（x ﹣1）与g （x ）＝x 2﹣ae x （e 为自然对数的底数）互为“1距零点函数”，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(1e2，4e ] B ．(1e，4e 2] C ．[4e2，2e ) D ．[4e 3，2e2) 二、填空题13．∫ 30|x ﹣1|dx ＝ ．14．已知函数y ＝cos x 与y =sin(2x +φ)(0＜φ＜π2)，它们的图象有一个横坐标为π6的交点，则φ的值是 ．15．一个圆上有8个点，每两点连一条线段．若其中任意三条线段在圆内不共点，则所有线段在圆内的交点个数为 （用数字回答）． 16．已知α，β，γ∈(0，π2)，且cos 2α+cos 2β+cos 2γ＝2，则cosα+cosβ+cosγsinα+sinβ+sinγ的最小值为 ． 三、解答题17．已知圆柱OO 1底面半径为1，高为π，ABCD 是圆柱的一个轴截面．动点M 从点B 出发沿着圆柱的侧面到达点D ，其距离最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示．将轴截面ABCD 绕着轴OO 1逆时针旋转θ（0＜θ＜π）后，边B 1C 1与曲线Γ相交于点P ． （1）求曲线Γ长度；（2）当θ=π2时，求点C 1到平面APB 的距离；（3）是否存在θ，使得二面角D ﹣AB ﹣P 的大小为π4？若存在，求出线段BP 的长度；若不存在，请说明理由．18．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＞0，S n 2＝a n +12﹣λS n +1，其中λ为常数． （1）证明：S n +1＝2S n +λ；（2）是否存在实数λ，使得数列{a n }为等比数列，若存在，求出λ；若不存在，说明理由．19．如图，过抛物线y 2＝2px （p ＞0）上一点P （1，2），作两条直线分别交抛物线于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时：（1）求y 1+y 2的值；（2）若直线AB 在y 轴上的截距b ∈[﹣1，3]时，求△ABP 面积S △ABP 的最大值．20．响应“文化强国建设”号召，某市把社区图书阅览室建设增列为重要的民生工程．为了解市民阅读需求，随机抽取市民200人做调查，统计显示，男士喜欢阅读古典文学的有64人，不喜欢的有56人；女士喜欢阅读古典文学的有36人，不喜欢的有44人． （1）能否在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关系？ （2）为引导市民积极参与阅读，有关部门牵头举办市读书交流会，从这200人中筛选出5名男代表和4名代表，其中有3名男代表和2名女代表喜欢古典文学．现从这9名代表中任选3名男代表和2名女代表参加交流会，记ξ为参加交流会的5人中喜欢古典文学的人数，求ξ的分布列及数学期望E ξ．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ． 参考数据： P （K 2＞k 0）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 k 00.4550.7081.3232.0722.7063.84121．已知函数f （x ）＝xlnx +ax +1，a ∈R ．（1）当时x ＞0，若关于x 的不等式f （x ）≥0恒成立，求a 的取值范围； （2）当n ∈N *时，证明：n 2n+4＜ln 22+ln 232+⋯+ln 2n+1n＜n n+1．22．已知直线l 的参数方程为{x =−1+t y =3−t曲线C 的参数方程为{x =1cosφy =2tanφ．（1）求曲线C 的右顶点到直线l 的距离；（2）若点P 的坐标为（1，1），设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|PA |•|PB |的值． 23．（1）已知a ，b ，c 都是正实数，证明：ba +a b+c+c b≥2；（2）已知a ，b ，c ，x ，y ，z 都是正实数，且满足不等式组：{a 2+b 2+c 2=4x 2+y 2+z 2=9ax +by +cz =6，求a+b+cx+y+z的值．参考答案一、选择题1．设复数z满足z（1+i）2＝4i，则复数z的共轭复数z=（）A．2B．﹣2C．﹣2i D．2i 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由z（1+i）2＝4i，得z=4i(1+i)2=4i2i=2，∴z=2．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．已知命题p：∀x∈R，x2﹣2x+3≥0；命题q：若a2＜b2，则a＜b，下列命题为假命题的是（）A．p∨q B．p∨（￢q）C．￢p∨q D．￢p∨（￢q）【分析】利用配方法判断命题p为真，举例说明命题q为假，再由复合命题的真假判断得答案．解：∵x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2＞0，∴命题p：∀x∈R，x2﹣2x+3≥0为真命题；由a2＜b2，不一定有a＜b，如a＝1，b＝﹣2，则命题q：若a2＜b2，则a＜b为假命题．∴p∨q为真命题；p∨（￢q）为真命题；￢p∨q为假命题；￢p∨（￢q）为真命题．故选：C．【点评】本题考查复合命题的真假判断，是基础题．3．已知(x3+ax)n的展开式中各项的二项式系数之和为32，且各项系数和为243，则展开式中x7的系数为（）A．20B．30C．40D．50【分析】由题意可得：2n＝32，（1+a）n＝243，解得n，a．再利用通项公式即可得出．解：由题意可得：2n＝32，（1+a）n＝243，解得n＝5，a＝2．∴展开式中通项公式T k+1=∁5k（x3）5﹣k(2x)k=2k∁5k x15﹣4k，令15﹣4k＝7，解得k＝2．∴x 7的系数=22∁52=40． 故选：C ．【点评】本题考查了二项式定理的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地．”请问第三天走了（ ） A ．60里B ．48里C ．36里D ．24里【分析】由题意得：每天行走的路程成等比数列{a n }、且公比为12，由条件和等比数列的前项和公式求出a 1，由等比数列的通项公式求出答案即可． 解：由题意得，每天行走的路程成等比数列{a n }，且公比为12，∵6天后共走了378里，∴S 6=a 1(1−126)1−12=378，解得a 1＝192，∴第三天走了a 3＝a 1×(12)2=192×14=48，故选：B ．【点评】本题考查等比数列的前项和公式、通项公式的实际应用，属于基础题． 5．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，且c ＝2a ，则sin B 的值为（ ） A ．34B ．√74C ．1D ．√33【分析】由已知结合正弦定理可得a ，b ，c 的关系，然后结合余弦定理及同角平方关系即可求解．解：由题意可得，sin 2B ＝sin A sin C ， 由正弦定理可得，b 2＝ac ， 又c ＝2a ，则可得b =√2a ，由余弦定理可得cos B =a 2+c 2−b 22ac =a 2+4a 2−2a 24a 2=34，所以sin B=√1−9=√74．16故选：B．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及同角平方关系的应用，属于基础试题．6．执行如图所示的程序框图，若输出的k＝6，则输入整数p的最大值是（）A．32B．31C．15D．16【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是利用循环计算变量k的值，模拟程序的运行，对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环S k循环前/1 1第一圈是 2 2第二圈是 4 3第三圈是8 4第四圈是16 5第五圈是32 6第六圈否可得：范围16＜p≤32，即输入整数p的最大值是32．故选：A．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．7．已知变量x ，y 具有线性相关关系，它们之间的一组数据如表所示，若y 关于x 的线性回归方程为y =1.3x ﹣1，则m 的值为（ ） x 1 2 3 4 y 0.11.8 m4A ．2.9B ．3.1C ．3.5D ．3.8【分析】利用线性回归方程经过样本中心点，即可求解．解：由题意，x =2.5，代入线性回归方程为y =1.3x ﹣1，可得y =2.25， ∴0.1+1.8+m +4＝4×2.25， ∴m ＝3.1． 故选：B ．【点评】本题考查线性回归方程经过样本中心点，考查学生的计算能力，比较基础． 8．已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的左焦点为F ，直线y =√3x 与C 相交于A ，B 两点，且AF ⊥BF ，则C 的离心率为（ ） A ．√2−12B ．√2−1C ．√3−12D ．√3−1【分析】可解得点A 、B 坐标，由AF ⊥BF ，得AF →•BF →=0，把b 2＝a 2﹣c 2代入该式整理后两边同除以a 4，得e 的方程，解出即可，注意e 的取值范围解：由{x 2a 2+y 2b 2=1y =√3x，消y 可得得（3a 2+b 2）x 2＝a 2b 2，解得x ＝±√3a 2+b 2，分别代入y＝±√3ab√3a 2+b2， ∴A （√3a 2+b 2，√3ab √3a 2+b 2），B （√3a 2+b ，√3ab √3a 2+b ），∴AF →=（√3a 2+b 2+c ，√3ab √3a 2+b 2），BF →=（c √3a 2+b ，√3ab √3a 2+b ）， ∴AF →•BF →=c 2−a 2b23a 2+b2−3a 2b23a 2+b2=0，∴c 2=4a 2b23a 2+b2，（*）把b 2＝a 2﹣c 2代入（*）式并整理得4a 2c 2﹣c 4＝4a 2（a 2﹣c 2）， 两边同除以a 4并整理得e 4﹣8e 2+4＝0，解得e 2＝4﹣2√3 ∴e =√3−1， 故选：D ．【点评】本题考查椭圆的简单性质、直线与椭圆的位置关系，考查学生的运算能力，属中档题．9．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，DC →=3BD →，|AD →|=2，则AC →⋅AD →的值为（ ）A ．3B ．8C ．12D ．16【分析】结合已知得到AC →=−3AB →+4AD →代入数量积的计算即可 解：∵在△ABC 中，AD ⊥AB ，DC →=3BD →，|AD →|=2， ∴AC →⋅AD →=（AB →+BC →）•AD →＝（AB →+4BD →）•AD →＝[AB →+4（AD →−AB →）]•AD →＝（﹣3AB →+4AD →）•AD →＝﹣3AB →⋅AD →+4AD →2 ＝0+4×22＝16； 故选：D ．【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力． 10．通过大数据分析，每天从岳阳来长沙的旅客人数为随机变量X ，且X ～N （3000，502）．则一天中从岳阳来长沙的旅客人数不超过3100的概率为（ ）（参考数据：若X ～N （μ，σ2），有P （μ﹣σ＜X ≤μ+σ）＝0.6826，P （μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974）A．0.0456B．0.6826C．0.9987D．0.9772【分析】利用正态分布的对称性来求解．解：P（X≤3100）＝P（X≤3000+2×50）＝1−12[1﹣P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）]＝0.9772，故选：D．【点评】本题考查正态分布的应用，属于基础题目．11．在水平地面上的不同两点处栽有两根笔直的电线杆，假设它们都垂直于地面，则在水平地面上视它们上端仰角相等的点P的轨迹可能是（）①直线②圆③椭圆④抛物线A．①②B．①③C．①②③D．②④【分析】先根据题意画出示意图，将题中仰角相等转化成比例式，从而得到线段相等，进而建立空间直角坐标系，化简即可得到点的轨迹解：设电线杆的下端分别为B，D且高度分别为a，b以B为原点，BD所在直线为y轴建系，由仰角的正切相等知a|PD|＝b|PB|，设D（0，t）P（x，y）⇒a√x2+(y−t)2)=b√x2+y2则当a＝b时，点P的轨迹为BD的垂直平分线，当a≠b时，点P的轨迹为圆，故选：A．【点评】本题的考点是圆锥曲线的轨迹问题，主要考查曲线方程的建立，考查方程与曲线的关系，解题的关键是“仰角相等”转化成比例式12．已知P＝{α|f（α）＝0}，Q＝{β|g（β）＝0}，若存在α∈P，β∈Q，使得|α﹣β|＜n，则称函数f（x）与g（x）互为“n距零点函数”若f（x）＝log2020（x﹣1）与g（x）＝x2﹣ae x （e 为自然对数的底数）互为“1距零点函数”，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(1e 2，4e] B ．(1e，4e 2] C ．[4e 2，2e) D ．[4e 3，2e 2) 【分析】由g （x ）＝x 2﹣ae x ＝0，得x 2＝ae x ，即a =x 2ex ．构造函数h(x)=x 2ex (x ∈(1，3))，结合导数可判断单调性，进而可求．解：易知函数f （x ）只有一个零点2，故P ＝{2}，由题意知|2﹣β|＜1，即1＜β＜3．由题意知，函数g （x ）在（1，3）内存在零点， 由g （x ）＝x 2﹣ae x ＝0，得x 2＝ae x ，所以a =x 2ex ．记h(x)=x 2ex (x ∈(1，3))，则h′(x)=2xe x −e x x 2(e x )2=x(2−x)e x，x ∈(1，3)． 所以当x ∈（1，2）时，h '（x ）＞0，函数h （x ）单调递增；当x ∈（2，3）时，h '（x ）＜0，函数h （x ）单调递减； 所以h(x)≤h(2)=4e 2，而h(1)=1e ，h(3)=9e 3＞1e ，1e ＜h(x)≤h(2)=4e 2， 所以实数a 的值范围为(1e ，4e 2]． 故选：B ．【点评】本题主要考查了利用但是研究函数的单调性求解函数的最值，属于中档试题 二、填空题 13．∫ 30|x ﹣1|dx ＝52．【分析】将：∫03|x ﹣1|dx 转化成∫01（1﹣x ）dx +∫13（x ﹣1）dx ，然后根据定积分的定义先求出被积函数的原函数，然后求解即可．解：∫03|x ﹣1|dx ＝∫01（1﹣x ）dx +∫13（x ﹣1）dx ＝（x −12x 2）|01+（ 12x 2﹣x ）|13=52．故答案为：52【点评】本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，同时考查了转化与划归的思想，属于基础题．14．已知函数y ＝cos x 与y =sin(2x +φ)(0＜φ＜π2)，它们的图象有一个横坐标为π6的交点，则φ的值是π3．【分析】直接利用函数的图象的应用求出结果．解：函数y ＝cos x 与y =sin(2x +φ)(0＜φ＜π2)，它们的图象有一个横坐标为π6的交点，所以cos π6=√32=sin(2×π6+φ）， 所以：φ=π3(0＜ϕ＜π2)． 故答案为：π3．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15．一个圆上有8个点，每两点连一条线段．若其中任意三条线段在圆内不共点，则所有线段在圆内的交点个数为 70 （用数字回答）．【分析】要求交点个数，等价转化为将8个点任意取4个分为一组，总共有多少组．由此结合排列组合公式加以计算，可得本题答案 解：在圆上任取4个点，组成一个凸四边形， 该四边形的两条对角线在圆内恰有一个交点， 故交点个数为C 84=70． 故答案为：70【点评】本题给出圆上的8个同的点，求经过其中任意两点作弦在圆内所得交点个数．着重考查了圆的性质和排列组合公式等知识，属于基础题 16．已知α，β，γ∈(0，π2)，且cos 2α+cos 2β+cos 2γ＝2，则cosα+cosβ+cosγsinα+sinβ+sinγ的最小值为√2 ．【分析】根据基本不等式可知sinα+sinβ≤√2(sin 2α+sin 2β)=√2cosγ，同理可得sin β+sin γ≤√2cosα，sin γ+sin α≤√2cosβ，进一步求出cosα+cosβ+cosγsinα+sinβ+sinγ的最小值．解：由题意，知sin 2α+sin 2β+sin 2γ＝1，由基本不等式可知sinα+sinβ≤√2(sin 2α+sin 2β)=√2cosγ， 同理sinβ+sinγ≤√2(sin 2β+sin 2γ)=√2cosα， sinγ+sinα≤√2(sin 2γ+sin 2α)=√2cosβ， 上述式子相加可得cosα+cosβ+cosγsinα+sinβ+sinγ≥√2．所以cosα+cosβ+cosγsinα+sinβ+sinγ的最小值为√2．故答案为：√2．【点评】本题考查了基本不等式和同角三角函数的基本关系，考查了转化思想，属基础题． 三、解答题17．已知圆柱OO 1底面半径为1，高为π，ABCD 是圆柱的一个轴截面．动点M 从点B 出发沿着圆柱的侧面到达点D ，其距离最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示．将轴截面ABCD 绕着轴OO 1逆时针旋转θ（0＜θ＜π）后，边B 1C 1与曲线Γ相交于点P ． （1）求曲线Γ长度；（2）当θ=π2时，求点C 1到平面APB 的距离；（3）是否存在θ，使得二面角D ﹣AB ﹣P 的大小为π4？若存在，求出线段BP 的长度；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将圆柱一半展开后底面的半个圆周变成长方形的边BA ，曲线Γ就是对角线BD ，从而可求曲线Γ长度；（2）当θ=π2时，点B 1恰好为AB 的中点，所以P 为B 1C 1中点，故点C 1到平面APB 的距离与点B 1到平面APB 的距离相等．（3）由于二面角D ﹣AB ﹣B 1为直二面角，故只要考查二面角P ﹣AB ﹣B 1是否为π4即可．解：（1）将圆柱一半展开后底面的半个圆周变成长方形的边BA ，曲线Γ就是对角线BD ． 由于AB ＝πr ＝π，AD ＝π，所以这实际上是一个正方形． 所以曲线Γ的长度为BD =√2π．（2）当θ=π2时，点B 1恰好为AB 的中点，所以P 为B 1C 1中点， 故点C 1到平面APB 的距离与点B 1到平面APB 的距离相等． 连接AP 、BP ，OP ．由AB ⊥B 1P 且AB ⊥A 1B 1知：AB ⊥平面APB ，从而平面A 1B 1P ⊥平面APB ．作B 1H ⊥OP 于H ，则B 1H ⊥平面APB ，所以B 1H 即为点B 1到平面APB 的距离． 在Rt △OB 1P 中，OB 1=1，B 1P =BB 1̂=π2，所以OP =√12+(π2)2=√π2+42．于是：B 1H =OB 1×B 1P OP =1×π2√π+42=√π+4． 所以，点C 1到平面APB 的距离为√π2+4．（3）由于二面角D ﹣AB ﹣B 1为直二面角，故只要考查二面角P ﹣AB ﹣B 1是否为π4即可． 过B 1作B 1Q ⊥AB 于Q ，连接PQ ．由于B 1Q ⊥AB ，B 1P ⊥AB ，所以AB ⊥平面B 1PQ ，所以AB ⊥PQ ． 于是∠PQB 1即为二面角P ﹣AB ﹣B 1的平面角． 在Rt △PB 1Q 中，B 1Q =sinθ，B 1P =BB 1̂=θ． 若∠PQB 1=π4，则需B 1P ＝B 1Q ，即sin θ＝θ．令f （x ）＝sin x ﹣x （0＜x ＜π），则f ′（x ）＝cos x ﹣1＜0， 故f （x ）在（0，π）单调递减．所以f （x ）＜f （0）＝0，即sin x ＜x 在（0，π）上恒成立． 故不存在θ∈（0，π），使sin θ＝θ．也就是说，不存在θ∈（0，π），使二面角D ﹣AB ﹣B1为π4．【点评】本题考查点到平面距离的计算，考查面面角，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n＞0，S n2＝a n+12﹣λS n+1，其中λ为常数．（1）证明：S n+1＝2S n+λ；（2）是否存在实数λ，使得数列{a n}为等比数列，若存在，求出λ；若不存在，说明理由．【分析】（1）利用已知条件通过a n+1＝S n+1﹣S n，推出S n+1（S n+1﹣2S n﹣λ）＝0，然后证明：S n+1＝2S n+λ；（2）求出数列的通项公式，利用数列是等比数列，求解即可．【解答】（1）证明：∵a n+1＝S n+1﹣S n，S n2=a n+12−λS n+1，∴S n2=(S n+1−S n)2−λS n+1，∴S n+1（S n+1﹣2S n﹣λ）＝0，∴a n＞0，∴S n+1＞0，∴S n+1﹣2S n﹣λ＝0；∴S n+1﹣2S n+λ（2）解：∵S n+1＝2S n+λ，S n＝2S n﹣1+λ（n≥2），相减得：a n+1＝2a n（n≥2），∴{a n}从第二项起成等比数列，∵S2＝2S1+λ即a2+a1＝2a1+λ，∴a2＝1+λ＞0得λ＞﹣1，∴a n={1，n=1(λ+1)2n−2，n≥2，若使{a n}是等比数列则a1a3=a22，∴2（λ+1）＝（λ+1）2，∴λ＝1经检验得符合题意．【点评】本题考查数列的应用，通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力．19．如图，过抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P（1，2），作两条直线分别交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时：（1）求y1+y2的值；（2）若直线AB在y轴上的截距b∈[﹣1，3]时，求△ABP面积S△ABP的最大值．【分析】（1）由P在抛物线上，将P的坐标代入抛物线方程可得p，进而点到抛物线方程，再由A，B的坐标满足抛物线方程，结合两直线的倾斜角互补，可得它们的斜率之和为0，化简计算可得所求值；（2）由点差法结合直线的斜率公式可得直线AB的斜率，设直线AB的方程为y＝﹣x+b （b∈[﹣1，3]），联立抛物线方程，消去y，可得x的二次方程，运用韦达定理和弦长公式、点到直线的距离公式，以及三角形的面积公式，结合三元均值不等式，计算可得所求最大值．解：（1）点P（1，2）为抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，可得2p＝4，即p＝2，可得抛物线的方程为y2＝4x，由题意可得y12＝4x1，y22＝4x2，k PA+k PB=y1−2x1−1+y2−2x2−1=y1−2y124−1+y2−2y224−1=4y1+2+4y2+2=0，则y1+y2＝﹣4；（2）由题意可得y12＝4x1，y22＝4x2，相减可得（y1﹣y2）（y1+y2）＝4（x1﹣x2），则k AB=y1−y2x1−x2=4y1+y2=−1，可设直线AB的方程为y＝﹣x+b（b∈[﹣1，3]），联立抛物线方程y2＝4x，可得x2﹣（2b+4）x+b2＝0，△＝（2b+4）2﹣4b2＝16（1+b）＞0，且x1+x2＝2b+4，x1x2＝b2，则|AB|=√1+1•|x1﹣x2|=√2•√(x1+x2)2−4x1x2=√2•√(2b +4)2−4b 2=4√2√1+b ， P （1，2）到直线AB 的距离为d =|1+2−b|2=3−b2， 可得S △ABP =12|AB |•d ＝2（3﹣b ）√1+b =√2•√(2+2b)(3−b)2≤√2•√(2+2b+3−b+3−b 3)3=32√39，当且仅当2+2b ＝3﹣b ，即b =13时，上式取得等号， 则S △ABP 的最大值为32√39． 【点评】本题考查抛物线的方程和运用，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式、点到直线的距离公式，考查直线的斜率公式的运用，以及方程思想和运算能力，属于中档题．20．响应“文化强国建设”号召，某市把社区图书阅览室建设增列为重要的民生工程．为了解市民阅读需求，随机抽取市民200人做调查，统计显示，男士喜欢阅读古典文学的有64人，不喜欢的有56人；女士喜欢阅读古典文学的有36人，不喜欢的有44人． （1）能否在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关系？ （2）为引导市民积极参与阅读，有关部门牵头举办市读书交流会，从这200人中筛选出5名男代表和4名代表，其中有3名男代表和2名女代表喜欢古典文学．现从这9名代表中任选3名男代表和2名女代表参加交流会，记ξ为参加交流会的5人中喜欢古典文学的人数，求ξ的分布列及数学期望E ξ．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ． 参考数据： P （K 2＞k 0）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 k 00.4550.7081.3232.0722.7063.841【分析】（1）根据所给条件，制作列联表，求出K 2的观测值k =43＞1.323，由所给临界值表得在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关． （2）设参加的交流会的5人中喜欢古典文学的男代表m 人，女代表n 人，则ξ＝m +n ，根据已知条件可得ξ＝1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．解：（1）根据所给条件，制作列联表如下：男 女 总计 喜欢阅读古典文学 64 36 100 不喜欢阅读古典文学56 44 100 总计12080200所以K 2的观测值k =n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=200×(64×44−56×36)2120×80×100×100=43，因为K 2的观测值k =43＞1.323， 由所给临界值表可知，在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关；（2）设参加的交流会的5人中喜欢古典文学的男代表m 人，女代表n 人，则ξ＝m +n ， 根据已知条件可得ξ＝1，2，3，4，5，P(ξ=1)=P(m =1，n =0)=C 31C 22C 53⋅C 22C 42=120， P(ξ=2)=P(m =1，n =1)+P(m =2，n =0)=C 31C 22C 53⋅C 21C 21C 42+C 21C 32C 53⋅C 22C 42=310， P （ξ＝3）＝P （m ＝1，n ＝1）+P （m ＝2，n ＝1）+P （m ＝3，n ＝0）=C 31C 22C 53+C 32C 21C 53+C 20C 32C 53⋅C 22C 42=715， P =(ξ=4)=P(m =2，n =2)+P(m =3，n =1)=C 32C 21C 53⋅C 22C 42+C 20C 33C 53⋅C 21C 21C 42=16； P(ξ=5)=P(m =3，n =2)=C 20C 33C 53⋅C 22C 42=160， 所以ξ的分布列是：ξ 12345p12031071516160所以Eξ=1×120+2×310+3×715+4×16+5×160=145． 【点评】本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21．已知函数f （x ）＝xlnx +ax +1，a ∈一、选择题．（1）当时x ＞0，若关于x 的不等式f （x ）≥0恒成立，求a 的取值范围；（2）当n∈N*时，证明：n2n+4＜ln22+ln232+⋯+ln2n+1n＜nn+1．【分析】（1）由f（x）≥0，得xlnx+ax+1≥0（x＞0）．整理，得−a≤lnx+1x恒成立，即−a≤(lnx+1x)min．令F(x)=lnx+1x．利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．（2）由n2n+4为数列{1(n+1)(n+2)}的前n项和，nn+1为数列{1n(n+1)}的前n项和．因此只需证明1(n+1)(n+2)＜ln2n+1n＜1n(n+1)即可．由（1），当a＝﹣1时，有xlnx﹣x+1≥0，即lnx≥x−1x．令x=n+1n＞1，即得lnn+1n＞1−nn+1=1n+1．可得ln2n+1n＞(1n+1)2＞1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2．现证明ln2n+1n＜1n(n+1)，即2ln√n+1n√n√n+1=√n√n+1=√n+1n−√n n+1．通过构造函数利用导数研究函数的单调性极值即可证明2lnx＜x−1x(x＞1)．解：（1）由f（x）≥0，得xlnx+ax+1≥0（x＞0）．整理，得−a≤lnx+1x恒成立，即−a≤(lnx+1x)min．令F(x)=lnx+1x．则F′(x)=1x−1x2=x−1x2．∴函数F（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．∴函数F(x)=lnx+1x的最小值为F（1）＝1．∴﹣a≤1，即a≥﹣1．∴a的取值范围是[﹣1，+∞）．（2）∵n2n+4为数列{1(n+1)(n+2)}的前n项和，nn+1为数列{1n(n+1)}的前n项和．∴只需证明1(n+1)(n+2)＜ln2n+1n＜1n(n+1)即可．由（1），当a＝﹣1时，有xlnx﹣x+1≥0，即lnx≥x−1 x．令x=n+1n＞1，即得lnn+1n＞1−nn+1=1n+1．∴ln2n+1n＞(1n+1)2＞1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2．现证明ln2n+1n＜1n(n+1)，即2ln√n+1n1n√n+1=n+1−nn√n+1=√n+1n−√n n+1．（*）现证明2lnx ＜x −1x(x ＞1)．构造函数G(x)=x −1x−2lnx （x ≥1），则G′(x)=1+1x2−2x=x 2−2x+1x 2≥0． ∴函数G （x ）在[﹣1，+∞）上是增函数，即G （x ）≥G （1）＝0． ∴当x ＞1时，有G （x ）＞0，即2lnx ＜x −1x成立． 令x =√n+1n，则（*）式成立．综上，得1(n+1)(n+2)＜ln 2n+1n＜1n(n+1)．对数列{1(n+1)(n+2)}，{ln 2n+1n}，{1n(n+1)}分别求前n 项和， 得n 2n+4＜ln 22+ln 232+⋯+ln 2n+1n＜n n+1．【点评】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、方程与不等式的解法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22．已知直线l 的参数方程为{x =−1+t y =3−t曲线C 的参数方程为{x =1cosφy =2tanφ． （1）求曲线C 的右顶点到直线l 的距离；（2）若点P 的坐标为（1，1），设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|PA |•|PB |的值． 【分析】（1）先求出直线l 和曲线C 的普通方法，然后利用点到直线的距离公式求出，曲线C 的右顶点到直线l 的距离；（2）将直线l 的方程改写为{x =1−√2t2y =1+√2t2，然后代入曲线C 中，再根据|PA |•|PB |＝|t 1t 2|求出|PA |•|PB |的值．解：（1）直线l 的普通方程为x +y ﹣2＝0， 曲线C 的普通方程为x 2−y 24=1，故曲线C 的右顶点（0，1）到直线l 的距离d =√22．（2）将直线l 的参数方程改为{x =1−√2t2y =1+√2t2，并代入x 2−y 24=1，得3t 2−10√2t −2=0，设其两根为t 1，t 2，则t 1+t 2=10√23，t 1t 2=−23，∴|PA |•|PB |＝|t 1t 2|=23．【点评】本题考查了参数方程化为普通方程，点到直线的距离公式和直线参数方程的几何意义，考查了转化思想，属中档题． 23．（1）已知a ，b ，c 都是正实数，证明：ba +a b+c+c b≥2；（2）已知a ，b ，c ，x ，y ，z 都是正实数，且满足不等式组：{a 2+b 2+c 2=4x 2+y 2+z 2=9ax +by +cz =6，求a+b+cx+y+z的值．【分析】（1）直接利用三元基本不等式求出ba+a b+c+c b的最小值，即可证明b a+a b+c+c b≥2；（2）柯西不等式可得（a 2+b 2+c 2）（x 2+y 2+z 2）≥（ax +by +cz ）2，再结合方程组即可得到a ，b ，c 之间的关系，进一步求出a+b+c x+y+z 的值．解：（1）由三元基本不等式知，ba+a b+c +c b=b a+a b+c+b+c b−1≥3√b a ⋅a b+c ⋅b+c b −1=2，当且仅当ba =a b+c =b+cb时取等号， ∴b a+a b+c+c b≥2．．（2）由柯西不等式可得（a 2+b 2+c 2）（x 2+y 2+z 2）≥（ax +by +cz ）2， ∵{a 2+b 2+c 2=4x 2+y 2+z 2=9ax +by +cz =6，结合上述不等式取等号，可设ax =b y=c z=k （k ＞0），即a ＝kx ，b ＝ky ，c ＝kz ，∴a 2+b 2+c 2＝k 2（x 2+y 2+z 2），∴4＝9k 2，∴k =23， ∴a+b+c x+y+z=k =23．【点评】本题考查了利用基本不等求最值和柯西不等式的应用，考查了转化思想，属中档题．。

雅礼中学2020届高考模拟卷（一）数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1. 若复数z 的共轭复数z 满足：31i z =+，则复数z 对应的点在（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知集合(){}2|log 11x P x =-<，2|1Q x x ⎧<=⎫⎨⎬⎩⎭，则()P Q R等于（ ）A. (]1,2B. []0,2C. 1,2D. (]03,3. 某商家统计了去年P ，Q 两种产品的月销售额（单位：万元），绘制了月销售额的雷达图，图中A 点表示P 产品2月份销售额约为20万元，B 点表示Q 产品9月份销售额约为25万元.根据图中信息，下面统计结论错误．．的是（ ） A. P 产品的销售额极差较大 B. P 产品销售额的中位数较大 C. Q 产品的销售额平均值较大D. Q 产品的销售额波动较小4. 《九章算术⋅衰分》中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱.欲以钱数多少衰出之,问各几何?”翻译为“今有甲持钱560,乙持钱350,丙持钱180,甲、乙、丙三个人一起出关，关税共计100钱,要按个人带钱多少的比例交税,问三人各应付多少税?”则下列说法中错误的是（ ） A. 甲付的税钱最多 B. 乙、丙两人付的税钱超过甲 C. 乙应出的税钱约为32D. 丙付的税钱最少5. 函数2233x y x =-的图象大致是（ ）A.B.CD.6. 抛物线216x y =的焦点到圆22:680C x y x +-+=上点的距离的最大值为（ ）A. 6B. 2C.14+D.164+ 7. 要得到函数πcos 26y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，可把函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ） A 向右平移π6B. 向右平移π12C. 向左平移π6D. 向左平移π128. 若曲线e x y =关于直线()0y x m m =+≠的对称曲线是()ln y x a b =++，则ba的值为（ ） A. 2B. 1-C. 1D. 不确定9. 如果()3*1nx n x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭N 的展开式中存在正的常数项，则n 的最小值为（ ） A. 2B. 4C. 8D. 2810. 若实数x ，y 满足10300x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，且()232x y k x +-≥-恒成立，则k 的取值范围是（ ）A. (],1-∞-B. (],1-∞C. [)1,-+∞D. [)1,+∞11. 设22221111483444541004M ⎛⎫=++++⎪----⎝⎭，则与M 最接近的整数为（ ）A. 18B. 20C. 24D. 25..12. 如图，四边形ABCD的面积为90ABD BDC ∠=∠=︒，把BCD 绕BD 旋转，使点C 运动到P ，此时向量BA 与向量DP 的夹角为90°.则四面体ABDP 外接球表面积的最小值为（ ）A.π3B.C. 8πD. 10π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 设随机变量X 服从正态分布()0,1N ，如果()10.8413P X ≤=，则()10P X -<<= ________. 14. 数列{}n a 是公差不为零的等差数列，它的前n 项的和为n S ，若515S =且2a ，4a ，5a 成等比数列，则9S 的值为________.15. 已知向量,a b 的夹角为θ，π2π33θ≤≤，a b a b λ==+，则λ的取值范围是________. 16. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>左，在焦点分别为1F ，2F ，A 为双曲线C 右支上一点，直线1F A 与双曲线C 的左支相交于B ，如果21:3:5B A F F =，且2ABF 的周长为14a ，则双曲线C 的离心率为________.三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()sin cos A B C -=.. （1）求B 的值； （2）求cos cos a C c Ab-的取值范围.18. 在四棱锥P ABCD -中，12AP PD DC CB BA ====，PB PC =,90APD DCB CBA ∠=∠=∠=︒. 的（1）证明：平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）求直线PB 与平面PCD 夹角的正弦值.19. 在平面直角标系xOy中，点P ⎛ ⎝⎭在椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>（1）求椭圆M 的标准方程；（2）过椭圆M 的右顶点A 作椭圆M 的两条弦AB 、AC ，记直线AB 、AC ，BC 的斜率分别为1k 、2k 、k ，其中1k 、2k 的值可以变化，当1k =，求1212k k k k --的所有可能的值.20. 已知函数()()ln 1sin f x ax x x =-+-.（1）若直线y x =与函数()y f x =的图象相切于原点，试判断()f x 在区间()0,∞+上的单调性； （2）若函数()f x 在区间()1,0-上有零点，求实数a 取值范围.21. 某校数学兴趣小组由水平相当n 位同学组成，他们的学号依次为1，2，3，…，n .辅导老师安排一个挑战数学填空题的活动，活动中有两个固定的题，同学们对这两个题轮流作答，每位同学在四分钟内答对第一题及四分钟内答对第二题的概率都为12，每个同学的答题过程都是相互独立的挑战的具体规则如下： ①挑战的同学先做第一题，第一题做对才有机会做第二题；②挑战按学号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮挑战； ③若第()1,2,3,,1i i n =-号同学在四分钟内未答对第一题，则认为第i 轮挑战失败，由第1i 号同学继续挑战； ④若第()1,2,3,,1i i n =-号同学在四分钟内答对了第一题，满四分钟后，辅导老师安排该生答第二题，若该生在四分钟内又答对第二题，则认为挑战成功挑战在第i 轮结束；若该生在四分钟内未答对第二题，则也认为第i 轮挑战失败，由第1i号同学继续挑战；⑤若挑战进行到了第n 轮，则不管第n 号同学答对多少题，下轮不再安排同学挑战.的的令随机变量n X 表示n 名挑战者在第()1,2,3,,n n X X n =⋅⋅⋅轮结束. （1）求随机变量4X 的分布列；（2）若把挑战规则①去掉，换成规则⑥：挑战的同学先做第一题，若有同学在四分钟内答对了第一题，以后挑战的同学不做第一题，直接从第二题开始作答.令随机变量n Y 表示n 名挑战者在第()1,2,3,,n n Y Y n =⋅⋅⋅轮结束. （ⅰ）求随机变量()*,2n Y n N n ∈≥的分布列； （ⅱ）证明()()()()()23453n E Y E Y E Y E Y E Y <<<<<<<.22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为33cos 1cos 62cos 1cos x y θθθθ-⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点、x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为：22π214θρ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=，曲线1C 与曲线2C 相交于点A 、B ，与y 轴相交于点P .（1）写出曲线1C 的普通方程及曲线2C 的直角坐标方程；（2）求11PA PB+的值. 23. 已知关于x 的不等式121x x m --+≥+有解，记实数m 的最大值为M . （1）求实数m 的取值范围；（2）正数a 、b 、c 满足22a b c M ++=，求证：1349a b b c c a++≥+++.。