2013-2014学年高三第二次月考数学理

2014-2015学年湖南省雅礼中学高三（下）第二次月考数学试卷（理科）一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.把答案填在答题卡中对应题号的框框内.）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，则A∩B等于（）A． {﹣2，﹣1，0，1} B． {﹣1，0，1} C． {﹣1，0，1，2} D． {﹣1，0，1，2，3}2．若A、B均是非空集合，则A∩B≠∅是A⊆B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件3．（中诱导公式、基本公式）已知，且，则tan（2π﹣α）的值为（）A．B．C．D．4．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为（）A． 2B．C． 2D． 45．已知向量满足：，与的夹角为，则=（）A． 2 B． 4 C． 2D． 86．设x，y满足约束条件，则目标函数z=的最小值为（）A． 2 B． 1 C．D．﹣27．设f（x）定义如下面数表，{x n}满足x0=5，且对任意自然数n均有x n+1=f（x n），则x2014的值为（）x 1 234 5f（x）4 13 5 2A． 4 B． 1 C． 3 D． 28．如图，长沙河西先导区某广场要划定一矩形区域ABCD，并在该区域内开辟出三块形状大小相同的矩形绿化区，这三块绿化区四周和绿化区之间设有1米宽的走道．已知三块绿化区的总面积为800平方米，则该矩形区域ABCD占地面积的最小值为（）平方米．A． 900 B． 920 C． 948 D． 9689．已知函数，若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2），则x1•f （x2）的取值范围为（）A．B．C．D．10．设定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），f′（x）是f（x）的导函数，当x∈[0，1]时，0≤f（x）≤1；当x∈（0，2）且x≠1时，x（x﹣1）f′（x）＜0．则方程f（x）=lg|x|根的个数为（）A． 12 B． 1 6 C． 18 D． 20二．填空题：本大题共1小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．（一）选做题（请考生在第11、12、13题中任选两题作答，如果全做，则按前两题给分）【几何证明选讲】11．如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，已知⊙O的半径为3，PA=2，则OE= ．【极坐标系与参数方程选讲】12．已知曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的极坐标方程为，它们的交点在平面直角坐标系中的坐标为．【不等式选讲】1011•天津）已知集合A={x∈R||x+3|+|x﹣4|≤9}，B=，则集合A∩B=．（二）必做题（14～16题）14．设（其中e为自然对数的底数），则的值为．15．动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t=0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是．16．已知数列{a n}的前n项和S n=（﹣1）n•n，若对任意正整数n，（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，则实数P的取值范围是．三．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．设函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．18．设数列{a n}的前n项和为S n，已知对任意正整数n，都有S n+2=2a n成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜3．19．如图所示，在平面四边形ABCD中，，与的夹角为，与的夹角为．（1）求△CDE的面积S；（2）求．20．已知函数f（x）=lnx﹣ax+﹣1（a∈R）（1）当a=﹣1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）当a≤时，讨论f（x）的单调性．21．若数列{a n}（n∈N*）满足：①a n≥0；②a n﹣2a n+1+a n+2≥0；③a1+a2+…+a n≤1，则称数列{a n}为“和谐”数列．（1）已知数列{a n}，（n∈N*），判断{a n}是否为“和谐”数列，说明理由；（2）若数列{a n}为“和谐”数列，证明：．（n∈N*）22．已知函数f（x）=（1）当x＞0时，证明：f（x）＞；（2）当x＞﹣1且x≠0时，不等式f（x）＜恒成立，求实数k的值．2014-2015学年湖南省雅礼中学高三（下）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.把答案填在答题卡中对应题号的框框内.）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，则A∩B等于（）A． {﹣2，﹣1，0，1} B． {﹣1，0，1} C． {﹣1，0，1，2} D． {﹣1，0，1，2，3}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：∵A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，∴A∩B={﹣1，0，1}，故选：B点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．若A、B均是非空集合，则A∩B≠∅是A⊆B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：规律型．分析：判断出“A∩B≠∅”成立推不出“A⊆B”反之，若“A⊆B”成立，则能推出A∩B≠∅”一定成立，利用充要条件的有关定义得到结论．解答：解：若“A∩B≠∅”成立推不出“A⊆B”反之，若“A⊆B”成立，则有A∩B=A≠∅，所以A∩B≠∅”一定成立，所以A∩B≠∅是A⊆B的必要不充分条件，故选B．点评：本题考查判断一个条件是另一个的什么条件，应该先化简各个条件，若条件是数集的形式，常转化为判断集合间的包含关系．3．（中诱导公式、基本公式）已知，且，则tan （2π﹣α）的值为（）A．B．C．D．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：先根据诱导公式化简已知条件，得到sinα的值，然后由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，把所求的式子利用诱导公式化简后，再根据同角三角函数间的基本关系把切化弦后，将sinα和cosα的值代入即可求出值．解答：解：由，又，得，则．故选B点评：此题考查学生灵活运用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．学生在求cosα的值时应注意α的范围．4．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为（）A． 2B．C． 2D． 4考点：简单空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：三棱柱的左视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高，在边长是2的等边三角形中做出底边上的高的长度，得到结果．解答：解：由题意知三棱柱的左视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高，在边长是2的等边三角形中，底边上的高是，∴侧视图的面积是2故选：A．点评：本题考查简单的空间图形三视图，考查三视图的面积的计算，考查通过原图观察三视图的大小，比较基础．5．已知向量满足：，与的夹角为，则=（）A． 2 B． 4 C． 2D． 8考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据向量的数量积的应用进行转化即可．解答：解：，与的夹角为，∴•=||||cos=1×=1，则===2，故选：A点评：本题主要考查向量长度的计算，根据向量数量积的应用是解决本题的关键．6．设x，y满足约束条件，则目标函数z=的最小值为（）A． 2 B． 1 C．D．﹣2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合数形结合即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：z=的几何意义为平面区域内的点到定点D（﹣1，﹣1）的斜率，由图象知BD的斜率最小，其中B（1，0），则z==，故选：C点评：本题主要考查线性规划以及斜率的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．7．设f（x）定义如下面数表，{x n}满足x0=5，且对任意自然数n均有x n+1=f（x n），则x2014的值为（）x 1 234 5f（x）4 13 5 2A． 4 B． 1 C． 3 D． 2考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：数列{x n}满足x0=5，且对任意自然数n均有x n+1=f（x n），利用表格可得：可得x1=f（x0）=f（5）=2，x2=f（x1）=f（2）=1，x3=f（x2）=f（1）=4，x4=f（x3）=f（4）=5，x5=f（x4）=f（5）=2，…，于是得到x n+4=x n，进而得出答案．解答：解：∵数列{x n}满足x0=5，且对任意自然数n均有x n+1=f（x n），利用表格可得：∴x1=f（x0）=f（5）=2，x2=f（x1）=f（2）=1，x3=f（x2）=f（1）=4，x4=f（x3）=f（4）=5，x5=f（x4）=f（5）=2，…，∴x n+4=x n，∴x2014=x503×4+2=x2=1．故选：B点评：本题考查了数列的周期性，根据已知分析出函数的周期为4，是解答的关键，属于中档题．8．如图，长沙河西先导区某广场要划定一矩形区域ABCD，并在该区域内开辟出三块形状大小相同的矩形绿化区，这三块绿化区四周和绿化区之间设有1米宽的走道．已知三块绿化区的总面积为800平方米，则该矩形区域ABCD占地面积的最小值为（）平方米．A． 900 B． 920 C． 948 D． 968考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：应用题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：设绿化区域小矩形的一边长为x，另一边长为y，推出3xy=800，从而得到矩形ABCD 的面积S=（3x+4）（y+2），然后利用基本不等式，由此能够求出结果．解答：解：设绿化区域小矩形的一边长为x，另一边长为y，则3xy=800，∴y=．即矩形区域ABCD的面积S=（3x+4）（y+2）=（3x+4）（+2）=800+6x++8≥808+2=968．当且仅当6x=，即x=时取“=”，∴矩形区域ABCD的面积的最小值为968平方米．故选D．点评：本题考查函数问题在生产生活中的实际应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用基本不等式求最值．9．已知函数，若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2），则x1•f （x2）的取值范围为（）A．B．C．D．考点：函数的零点；函数的值域；不等关系与不等式．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的解析式画出函数的图象，根据题意数形结合求得x1•f（x2）的取值范围．解答：解：①当0≤x＜时，≤f（x）=x+＜1．故当x=时，f（x）=．②当≤x≤1时，≤f（x）=3x2≤3，故当x=时，f（x）=1．若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2）=k，则≤x1 ＜≤x2 ＜1，如图所示：显然当k=f（x1）=f（x2）=时，x1•f（x2）取得最小值，此时，x1=，x2=，x1•f（x2）的最小值为=．显然，当k=f（x1）=f（x2）趋于1时，x1•f（x2）趋于最大，此时，x1趋于，x2趋于，x1•f（x2）趋于=．故x1•f（x2）的取值范围为，故选C．点评：本题考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．10．设定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），f′（x）是f（x）的导函数，当x∈[0，1]时，0≤f（x）≤1；当x∈（0，2）且x≠1时，x（x﹣1）f′（x）＜0．则方程f（x）=lg|x|根的个数为（）A． 12 B． 1 6 C． 18 D． 20考点：导数的运算；抽象函数及其应用；根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：依据函数的周期性，画出函数y=f（x）的图象，再在同一坐标系下画出y=lg|x|的图象（注意此函数为偶函数），数形结合即可数出两图象交点的个数解答：解：∵f（x+2）=f（x），∴函数y=f（x）的周期是2，又∵当x∈（0，2）且x≠1时，x（x﹣1）f′（x）＜0，∴当0＜x＜1时，x（x﹣1）＜0，则f′（x）＞0，函数在[0，1]上是增函数又由当x∈[0，1]时，0≤f（x）≤1，则f（0）=0，f（1）=1．而y=lg|x|是偶函数，当x＞0时，其图象为y=lgx的图象，即函数为增函数，由于x=10时，y=lg10=1，∴其图象与f（x）的图象在[0，2]上有一个交点，在每个周期上各有两个交点，∴在y轴右侧共有9个交点．∵y=lg|x|是偶函数，其图象关于y轴对称，∴在y轴左侧也有9个交点∴两函数图象共有18个交点．故选：C．点评：本体考查了函数的周期性，奇偶性及函数图象的画法，重点考查数形结合的思想方法，属基础题．二．填空题：本大题共1小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．（一）选做题（请考生在第11、12、13题中任选两题作答，如果全做，则按前两题给分）【几何证明选讲】11．如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，已知⊙O的半径为3，PA=2，则OE= ．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；立体几何．分析：利用切割线定理，求出PC，再利用等面积可得结论．解答：解：∵PC切圆O于点C，圆O的半径为3，PA=2，∴PC2=PA•PB=16，∴PC=4，又OC=3，∴OP=5，∴由等面积可得=，∴OE==．故答案为：．点评：本题考查切割线定理，考查学生的计算能力，正确运用切割线定理是关键．【极坐标系与参数方程选讲】12．已知曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的极坐标方程为，它们的交点在平面直角坐标系中的坐标为．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：曲线C的参数方程为（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1即可化为直角坐标方程．利用x=ρcosθ即可把直线l的极坐标方程，化为直角坐标方程，联立解出即可．解答：解：曲线C的参数方程为（θ为参数），化为=1．直线l的极坐标方程为，化为x=，把x=代入椭圆方程解得y=0．∴它们的交点在平面直角坐标系中的坐标为．故答案为：．点评：本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与椭圆的交点，考查了计算能力，属于基础题．【不等式选讲】1011•天津）已知集合A={x∈R||x+3|+|x﹣4|≤9}，B=，则集合A∩B={x|﹣2≤x≤5}．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合A，求出集合B，然后利用集合的运算法则求出A∩B．解答：解：集合A={x∈R||x+3|+|x﹣4|≤9}，所以A={x|﹣4≤x≤5}；集合，，当且仅当t=时取等号，所以B={x|x≥﹣2}，所以A∩B={x|﹣4≤x≤5}∩{x|x≥﹣2}={x|﹣2≤x≤5}，故答案为：{x|﹣2≤x≤5}．点评：本题是基础题，考查集合的基本运算，注意求出绝对值不等式的解集，基本不等式求出函数的值域，是本题解题是关键，考查计算能力．（二）必做题（14～16题）14．设（其中e为自然对数的底数），则的值为．考点：定积分．专题：计算题．分析：根据定积分的运算法则进行计算，将区间（0，e2）拆为（0，1）、（1，e2）两个区间，然后进行计算；解答：解：∵，∴则=+=+=+=+2=，故答案为．点评：此题主要考查定积分的计算，这是高考新增的内容，同学们要多加练习．15．动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t=0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是[0，1]和[7，12] ．考点：函数的单调性及单调区间．专题：创新题型．分析：点A的初始角为60°，当点A转过的角度在[0°，30°]或[210°，360°]时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增，再把角度区间转化为对应的时间区间．解答：解：t=0时，点A的坐标是，∴点A的初始角为60°，当点A转过的角度在[0°，30°]或[210°，360°]时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增，∵12秒旋转一周，∴每秒转过的角度是360°÷12=30°，210°÷30=7，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是[0，1]和[7，12]，故答案为：[0，1]和[7，12]．点评：本题考查函数的单调性及单调区间，体现了转化的数学思想．16．已知数列{a n}的前n项和S n=（﹣1）n•n，若对任意正整数n，（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，则实数P的取值范围是（﹣1，3）．考点：数列的函数特性．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：当n=1时，a1=S1=﹣1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1．即可得出a n．由于对任意正整数n，（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，分类讨论：n是奇数时，求得p的取值范围；当n是正偶数时，求得p的取值范围，再求其交集即可．解答：解：当n=1时，a1=S1=﹣1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（﹣1）n n﹣（﹣1）n﹣1（n﹣1）=（﹣1）n（2n﹣1）．∵对任意正整数n，（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，∴[（﹣1）n+1（2n+1）﹣p][（﹣1）n（2n﹣1）﹣p]＜0，①当n是奇数时，化为[p﹣（2n+1）][p+（2n﹣1）]＜0，解得1﹣2n＜p＜2n+1，∵对任意正奇数n都成立，取n=1时，可得﹣1＜p＜3．②当n是正偶数时，化为[p﹣（2n﹣1）][p+（1+2n）]＜0，解得﹣1﹣2n＜p＜2n﹣1，∵对任意正偶数n都成立，取n=2时，可得﹣5＜p＜3．联立，解得﹣1＜p＜3．∴实数P的取值范围是（﹣1，3）．故答案为：（﹣1，3）．点评：本题考查了“当n=1时，a1=S1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1”求数列的通项公式a n的方法、交集的运算法则、分类讨论思想方法，属于难题．三．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．设函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．考点：三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．专题：计算题．分析：（Ⅰ）利用诱导公式化简，再用二倍角公式化简，得到，化为求出周期．（Ⅱ）当时，求出的范围，然后求函数f（x）的最大值和最小值．解答：解：===．（6分）（Ⅰ），故f（x）的最小正周期为π．（7分）（Ⅱ）因为0≤x≤，所以．（9分）所以当，即时，f（x）有最大值0，（11分）当，即x=0时，f（x）有最小值．（13分）点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值，考查计算能力，是基础题．18．设数列{a n}的前n项和为S n，已知对任意正整数n，都有S n+2=2a n成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜3．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）通过S1+2=2a1可知a1=2．通过S n+2=2a n与S n+1+2=2a n+1作差、整理可知数列{a n}是公比为2的等比数列，进而计算可得结论；（2）通过写出T n、T n的表达式，利用错位相减法计算即得结论．解答：（1）解：当n=1时，S1+2=2a1，所以a1=2．因为S n+2=2a n，则S n+1+2=2a n+1．两式相减，得S n+1﹣S n=2（a n+1﹣a n），即a n+1=2（a n+1﹣a n），即a n+1=2a n．所以数列{a n}是首项为2、公比为2的等比数列，故．（2）证明：∵，∴．①．②①﹣②，得=．∴．∵，∴T n＜3．点评：本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．19．如图所示，在平面四边形ABCD中，，与的夹角为，与的夹角为．（1）求△CDE的面积S；（2）求．考点：余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理．专题：解三角形；平面向量及应用．分析：（1）由题意可得DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．设∠CED=α．运用余弦定理和正弦定理，再由面积公式，即可得到所求S；（2）求得cosα，以及cos∠AEB=cos（﹣α），再由解直角三角形，即可得到所求．解答：解：由题意可知：DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．设∠CED=α．（1）在△CDE中，由余弦定理，得EC2=CD2+DE2﹣2CD•DE•cos∠EDC，于是由题设知，7=CD2+1+CD，即CD2+CD﹣6=0，解得CD=2（CD=﹣3舍去）．在△CDE中，由正弦定理，得，于是，sinα===，即sin∠CED=．于是，；（2）由题设知，0＜α＜，于是由（1）知，cosα===．而∠AEB=﹣α，所以cos∠AEB=cos（﹣α）=cos cosα+sin sinα=﹣cosα+sinα=﹣×+×=．在Rt△EAB中，cos∠AEB==，故=BE===4．点评：本题主要考查余弦定理和正弦定理、面积公式的运用，同时考查向量垂直的条件，同角公式和两角差的余弦公式，属于中档题．20．已知函数f（x）=lnx﹣ax+﹣1（a∈R）（1）当a=﹣1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）当a≤时，讨论f（x）的单调性．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（1）求出当a=﹣1时的函数的导数，切线的斜率，切点坐标，再由点斜式方程，即可得到切线方程；（2）求出f（x）的导数，令g（x）=ax2﹣x+1﹣a，x＞0，对a讨论，当a=0时，当a≠0时，①a=，②若0＜a＜，③当a＜0时，函数的单调性，写出单调区间即可．解答：解：（1）当a=﹣1时，f（x）=lnx+x+﹣1（x＞0），f′（x）=+1﹣，f（2）=ln2+2，f′（2）=1，则切线方程为：y=x+ln2；（2）因为f（x）=lnx﹣ax+﹣1，所以f′（x）=﹣a=﹣（x＞0），令g（x）=ax2﹣x+1﹣a，x＞0，（i）当a=0时，g（x）=﹣x+1（x＞0），所以当0＜x＜1时g（x）＞0，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减，x∈（1，∞）时，g（x）＜0，f′（x）＞0此时函数f，（x）单调递增．（ii）当a≠0时，由f（x）=0，解得：x1=1，x2=1﹣，①a=，函数f（x）在x＞0上单调递减，②若0＜a＜，在（0，1），（﹣1，+∞）单调递减，在（1，﹣1）上单调递增．③当a＜0时，由于﹣1＜0，x∈（0，1）时，g（x）＞0，此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；x∈（1，∞）时，g（x）＜0，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．综上所述：当a≤0 时，函数f（x）在（0，1）上单调递减；函数f（x）在（1，+∞）上单调递增当a=时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减当0＜a＜时，函数f（x）在（0，1），（﹣1，+∞）单调递减，在（1，﹣1）上单调递增．点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．21．若数列{a n}（n∈N*）满足：①a n≥0；②a n﹣2a n+1+a n+2≥0；③a1+a2+…+a n≤1，则称数列{a n}为“和谐”数列．（1）已知数列{a n}，（n∈N*），判断{a n}是否为“和谐”数列，说明理由；（2）若数列{a n}为“和谐”数列，证明：．（n∈N*）考点：数列的求和；数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）通过对比“和谐”数列的三个条件，因此验证是否满足即可；（2）通过构造数列{c n}（c n=a n﹣a n+1），通过②可知c n≥c n+1，通过放缩可知a1+a2+…+a n≥，利用③化简即得结论．解答：（1）结论：数列{a n}为“和谐”数列．理由如下：对于数列{a n}数列{a n}，显然符合①．∵，∴符合②∵，∴符合③综上所述，数列{a n}为“和谐”数列．（2）证明：构造数列{c n}，令c n=a n﹣a n+1，由②可知a n﹣a n+1≥a n+1﹣a n+2，∴c n≥c n+1，a1+a2+…+a n=a1+（﹣a2+2a2）+（﹣2a3+3a3）+…+[﹣（n﹣1）a n+na n]≥a1+（﹣a2+2a2）+（﹣2a3+3a3）+…+[﹣（n﹣1）a n+na n]﹣na n+1=（a1﹣a2）+2（a2﹣a3）+…+n（a n﹣a n+1）=c1+2c2+…+nc n≥（1+2+…+n）c n=，由③知，∴，即：，∴．点评：本题考查在新概念“和谐”数列下数列的作差与求和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．22．已知函数f（x）=（1）当x＞0时，证明：f（x）＞；（2）当x＞﹣1且x≠0时，不等式f（x）＜恒成立，求实数k的值．考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．专题：导数的综合应用．分析：（1）令h（x）=ln（1+x）﹣，得到h′（x）=，从而求出h（x）在（0，+∞）上是增函数，故h（x）＞h（0）=0，结论证出；（2）不等式f（x）＜可化为：＜0，令g（x）=（1+x）ln（1+x）﹣x﹣kx2，则g′（x）=ln（1+x）﹣2kx，从而g″（x）=﹣2k，对x分情况进行讨论：①x＞0时，②﹣1＜x＜0时，从而证出结论．解答：解：（1）令h（x）=ln（1+x）﹣，∴h′（x）=，x＞0时，h′（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上是增函数，故h（x）＞h（0）=0，即：ln（1+x）＞．从而，x＞0时，f（x）＞得证．（2）不等式f（x）＜可化为：＜0，令g（x）=（1+x）ln（1+x）﹣x﹣kx2，则g′（x）=ln（1+x）﹣2kxg″（x）=﹣2k，①x＞0时，有0＜＜1，令2k≥1，则g″（x）＜0，故g′（x）在（0，+∞）上是减函数，即g′（x）＜g′（0）=0，∴g（x）在（0，+∞）上是减函数，从而，g（x）＜g（0）=0，∴k≥时，对于x＞0，有＜0，②﹣1＜x＜0时，有＞1，令2k≤1，则g″（x）＞0，故g′（x）在（﹣1，0）上是增函数，即：g′（x）＜g′（0）=0∴g（x）在（﹣1，0）上是减函数．从而，g（x）＞g（0）=0．∴当k≤时，对于﹣1＜x＜0，有＜0．综合①②，当k=时，在x＞﹣1且x≠0时，有f（x）＜．点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，不等式的证明，本题是一道中档题．。

2013-2014学年度上学期第二次考试高三数学理试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是（ ） A. 2- B. 0 C. 2 D. 42. 函数2sin()4y x π=-图象的一条对称轴方程是（ ）A. 34x π=B. 8x π=C. 2x π=D. 2x π=3. 把函数=()y sin x x R ∈的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是 A. =(2-),R 3y sin x x π∈ B. =(+),R 26x y sin x π∈C. =(2+),R 3y sin x x π∈D. 2=(2+),R 3y sin x x π∈ 4. 在△ABC 中角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若（2b ﹣c ）cosA=acosC ，则∠A 为（ ）A.6πB. 4πC. 3πD. 56π5. 对于ABC ∆，有如下四个命题:①若sin 2sin 2A B = ，则∆ABC 为等腰三角形， ②若sin cos B A =，则∆ABC 是直角三角形③若222sin sin sin A B C +<，则∆ABC 是钝角三角形其中正确的命题个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．46. 现有四个函数:①x x y sin =②x x y cos =③cox x y =④x x y 2=的图象(部分)如下,但顺序被打乱,则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ） A ．①④②③ B ．①④③② C ．④①②③ D ．③④②①7.函数3sin 4cos ,[0,]y x x x π=-∈的值域为( )A. [5,5]-B. [4,5]-C. [3,5]-D. [4,3]-8. 若函数()()2sin 0f x x ωω=>的图象在()0,2π上恰有一个极大值和一个极小值,则ω的取值范围是( ) A.3(,1]4 B. 5(1,]4C. 34(]45 D. 35(]449.已知函数()2cos 2[0,]2f x x x m π=+-在上有两个零点12,x x ,则12tan2x x +的值为（ ）AB．2 CD ．310 .设函数()ln f x x x a x =-++221有两个极值点x x 12、，且x x 12<，则A ．ln ()f x +<21224 B. ln ()f x -<21224C. ln ()f x ->21224D.ln ()f x +>21224二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11. 曲线1xy =与直线y=x 和y=3所围成的平面图形的面积为_________. 12. 己知△ABC 三边长成等比数列,则其最大角的余弦值为______. 13. 已知函数()cos ,(,3)2f x x x ππ=∈,若方程()f x m =有三个不同的实根,且从小到大依次成等比数列,则m 的值为_____________ .14. 已知函数3111,0,362()21,,112x x f x x x x ⎧⎡⎤-+∈⎪⎢⎥⎣⎦⎪=⎨⎛⎤⎪∈ ⎥⎪+⎝⎦⎩ ，函数π()sin()22,(0)6=-+>g x a x a a ，若存在[]12,0,1x x ∈，使得12()()f x g x =成立，则实数a 的取值范围是 。

一．基础题组1. 【河南省郑州市2014届高中毕业年级第一次质量预测试题】已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12-，则切点的横坐标为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．122. 【山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校2014届高三第二次联考】定积分=-⎰-dx x x 2222（ ） A.5B.6C.7D.83. 【山西省太原市太远五中2014届高三12月月考】已知函数xe xx f cos )(=，则函数)(x f 在点))0(,0(f 处切线方程为 . 【答案】10x y +-= 【解析】试题分析：∵'2sin cos ()()x xx xe xe f x e --=，∴1k =-，(0)1f =，∴1y x -=-，即10x y +-=. 考点：利用导数求曲线的切线.4. 【唐山市2013-2014学年度高三年级第一学期期末考试】已知0a >，函数32f(x)x ax bx c =+++在区间[2,2]-单调递减，则4a b +的最大值为 .5. 【河北省衡水中学2014届高三上学期四调考试】设()ln af x x x x=+, 32()3g x x x =--.（Ⅰ）当2a =时,求曲线()y f x =在1x =处的切线的方程;（Ⅱ）如果存在12,[0,2]x x ∈,使得12()()g x g x M -≥成立,求满足上述条件的最大整数M ;（Ⅲ）如果对任意的1,[,2]2s t ∈,都有()()f s g t ≥成立,求实数a 的取值范围.6. 【河北省唐山市一中2014届高三12月月考】（本小题满分12分）某地区注重生态环境建设，每年用于改造生态环境总费用为x 亿元，其中用于风景区改造为y 亿元。

该市决定制定生态环境改造投资方案，该方案要求同时具备下列三个条件：①每年用于风景区改造费用随每年改造生态环境总费用增加而增加；②每年改造生态环境总费用至少a 亿元，至多b 亿元；③每年用于风景区改造费用不得低于每年改造生态环境总费用的15%，但不得高于每年改造生态环境总费用的25%.若1=a ，4=b ，请你分析能否采用函数模型y ＝31(416)100x x ++作为生态环境改造投资方案.二．能力题组1. 【河北省唐山市一中2014届高三12月月考】已知函数()f x 对于一切实数x,y 均有()()()21f x y f y x x y +-=++成立，且()()110,0,21g 2a f x f x o x ⎛⎫=∈+ ⎪⎝⎭则当，不等式＜ 恒成立时，实数a 的取值范围是 .2. 【山西省太原市太远五中2014届高三12月月考】由曲线sin ,cos y x y x ==与直线0,2x x π==所围成的平面图形(图中的阴影部分)的面积是 .【答案】2 【解析】3. 【山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校2014届高三第二次联考】(本小题满分12分) 已知函数ln(1)()2x x f x x -=-.（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）设2()23g x x x =++,证明：对任意1(1,2)(2,)x ∈+∞ ,总存在2x R ∈,使得12()()f x g x >.试题解析：（1）''2212ln(1)1[ln(1)]ln(1)1()(2)(2)x x x x x x x f x x x --+------==-- .................1分设1()2ln(1)11h x x x x =--+---, 22'22(1)2(1)1(2)()0(1)(1)x x x h x x x ---+-==≥--∴()h x 在(1,)+∞是增函数，又(2)0h = ………………3分 ∴当(1,2)x ∈时, ()0h x < ,则'()0f x <,()f x 是单调递减函数; 当(2,)x ∈+∞时, ()0h x > ,则'()0f x >,()f x 是单调递增函数. 综上知：()f x 在(1,2)单调递减函数，()f x 在(2,)+∞单调递增函数 ……………………6分三．拔高题组1. 【山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校2014届高三第二次联考】0.50.521log log 1(1)(7)x mx x x +>---对任意x ∈[2,4]恒成立，则m 的取值范围为 .∴当4x =时，max 45y =，∴45m >.考点：1.对数函数的单调性；2.恒成立问题；3.利用导数求函数最值.2. 【唐山市2013-2014学年度高三年级第一学期期末考试】（本题满分12分）已知函数(x)1x x e f xe =+.（1）证明：0(x)1f <≤； （2）当0x >时，21(x)1f ax >+，求a 的取值范围.试题解析：（Ⅰ）设(x)xe 1x g =+，则'(x)(x 1)e xg =+．当(,1)x ∈-∞-时，'(x)0g <，(x)g 单调递减； 当(1,)x ∈-+∞时，'(x)0g >，(x)g 单调递增． 所以1(x)g(1)1e0g -≥-=->．又0xe >，故(x)0f >．…2分'2(1e )(x)(xe 1)x x x e f -=+ 当(,0)x ∈-∞时，'(x)0f >，(x)f 单调递增； 当(0,)x ∈+∞时，'(x)0f <，(x)f 单调递减． 所以(x)f(0)1f ≤=． 综上，有0(x)1f <≤．…5分3. 【河北省唐山市一中2014届高三12月月考】（本小题满分12分）已知)0()(>-=a e x x f ax．（1）曲线y=f （x ）在x=0处的切线恰与直线012=+-y x 垂直，求a 的值；（2）若x ∈[a ，2a]求f （x ）的最大值； （3）若f （x 1）=f （x 2）=0（x 1＜x 2），求证：．【答案】（1）13a =；（2）当ln a a a >，即a e <时，max ()()f x f a a e ==-，当ln 2a a a a ≤≤，即2e a e ≤≤时，max ()(ln )ln f x f a a a a a ==-，当2ln a a a <，即2a e >时，2max ()(2)2f x f a a e ==-；（3）证明过程详见解析. 【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性、最值、切线方程以及不等式的证明等基础知识，考查分类讨论思想，综合分析和解决问题的能力.第一问，对()f x 求导，将0x =代入得到切线的斜率，由已知切线与直线210x y -+=垂直得出方程，解出a 的值；第二问，先对()f x 求导，利用导数的正负判断出函数的单调区间，再讨论已知[,2]x a a ∈和单调区间的关系来决定最值的位置；第三问，利用第二问的结论，得出max ()ln f x a a a =-，因为12()()0f x f x ==，所以数形结合，得max ()0f x >，解得a e >，数形结合得出两组点的横坐标的关系21ln x x a a a ->-，又利用12()()0f x f x ==，得出11x a x e =，22x ax e =，进行转换得到所求证的不等式.（3）由（2）知，max ()(ln )ln f x f a a a a a ==-，∵12()()0f x f x ==，∴max ()(ln )ln 0f x f a a a a a ==->， ∴ln 1a >，得a e >，∴()0f a a e =->，且(ln )0f a a >. 得21ln x x a a a ->-，又11x a x e =，22x ax e =，∴1211()(ln )12x x a a a a a x e e e x a--=<=. 考点：1.利用导数求切线的斜率；2.两条直线垂直的充要条件；3.利用导数判断函数的单调性；4.利用导数求函数的最值.4. 【河南省郑州市2014届高中毕业年级第一次质量预测试题】（本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =，()(1)g x k x =-.（1）若()()f x g x ≥恒成立，求实数k 的值；（2）若方程()()f x g x =有一根为11(1)x x >，方程''()()f x g x =的根为0x ，是否存在实数k ，使1x k x =？若存在，求出所有满足条件的k 值；若不存在，说明理由. 试题解析：⑴解:注意到函数()f x 的定义域为(0,)+∞, 所以()()f x g x ≥恒成立()()f xg x x x⇔≥恒成立, 设(1)()ln (0)k x h x x x x-=->, 则221()k x kh x x x x -'=-=, ------------2分当0k ≤时,()0h x '>对0x >恒成立,所以()h x 是(0,)+∞上的增函数, 注意到(1)0h =,所以01x <<时,()0h x <不合题意.-------4分5. 【山西省曲沃中学2014届高三上学期期中考试】已知函数()e x f x =,点(,0)A a 为一定点,直线()x t t a =≠分别与函数()f x 的图象和x 轴交于点M ,N ,记AMN ∆的面积为()S t . （1）当0a =时,求函数()S t 的单调区间；（2）当2a >时, 若0[0,2]t ∃∈,使得0()e S t ≥, 求实数a 的取值范围.（II ）因为1()||e 2t S t t a =-，其中t a ≠ 当2a >，[0,2]t ∈时，1()()e 2tS t a t =-因为0[0,2]t ∃∈，使得0()e S t ≥，所以()S t 在[0,2]上的最大值一定大于等于e1'()[(1)]e 2t S t t a =---，令'()0S t =，得1t a =- …………………8分6. 【山西省太原市太远五中2014届高三12月月考】已知函数ln 1af x x a x =+∈+R ()()． （1）当92a =时，如果函数g x f x k =-()()仅有一个零点，求实数k 的取值范围； （2）当2a =时，试比较f x ()与1的大小； （3）求证：1111ln 135721n n +>+++++ ()n ∈*N ()一个交点，所以关键是()y f x =的图像，对()f x 求导，令'()0f x >和'()0f x <判断函数的单调性，确定函数的极值和最值所在位置，求出具体的数值，便可以描绘出函数图像，来决定k 的位置；第二问，先将2=a 代入，得到()f x 解析式，作差法比较大小，得到新函数()h x ，判断()h x 的正负即可，通过对()h x 求导，可以看出()h x 在(0,)+∞上是增函数且(1)0h =，所以分情况会出现3种大小关系；第三问，法一：利用第二问的结论，得到表达式1211ln+>+k k k ，再利用不等式的性质得到所证表达式的右边，左边是利用对数的运算性质化简，得证；法二，用数学归纳法证明，先证明当1n =时不等式成立，再假设当n k =时不等式成立，然后利用假设的结论证明当1n k =+时不等式成立即可.①当1>x 时，0)1()(=>h x h ，即1)(>x f ； ②当10<<x 时，0)1()(=<h x h ，即1)(<x f ；③当1=x 时，0)1()(==h x h ，即1)(=x f ． ……………………………8分（3）（法一）根据（2）的结论，当1>x 时，112ln >++x x ，即11ln +->x x x ． 令k k x 1+=，则有1211ln +>+k k k ， ∑∑==+>+∴n k nk k k k 111211ln ． ∑=+=+nk k k n 11ln )1ln( ， 1215131)1ln(++++>+∴n n ． …………………………………12分。

秘密★启用前2012年重庆一中高2013级高三上期第二次月考数 学 试 题 卷（理科） 2012.10数学试题共4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1、答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2、答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3、答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4、所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、选择题（每小题5分，共50分）1、如果命题“p q 或”为假命题，则（ ）A 、,p q 中至多有一个为假命题B 、,p q 均为假命题C 、,p q 均为真命题D 、,p q 中恰有一个为真命题2、函数y =） A 、()1,2 B 、()2,+∞ C 、()1,+∞ D 、[)2,+∞3、下列函数中既是偶函数，又是区间[]1,0-上的减函数的是（ ）A 、cos y x =B 、1y x =--C 、2ln 2x y x -=+D 、x x y e e -=+ 4、若()()2c o sf x x m ωϕ=++对任意实数x 都有()()88f x f x ππ+=-。

且()18f π=-，则实数m 的值等于（ ） A 、1± B 、3± C 、31-或D 、13-或 5、在ABC 中“0AB BC >”是“ABC 为钝角三角形”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件6、已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，若对于0x ≥，都有()()2f x f x +=-，且当[)0,2x ∈时，()()2log 1f x x =+，则()()20112012f f -+=（ ）A 、21log 3+B 、21log 3-+C 、1-D 、17、在直角梯形ABCD 中，//,,,22,4AB CD AD AB B AB CD M π⊥∠===为腰BC 的中点，则MA MD =（ ）A 、1B 、2C 、3D 、48、已知函数()()sin 0,0,,2f x A x A x R πωϕωϕ⎛⎫=+>><∈ ⎪⎝⎭在一个周期内的图象如图所示，则()y f x =的图象可由函数cos y x =的图象（纵坐标不变）（ ）得到A 、先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向左平移6π单位 B 、先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向左平移12π单位 C 、先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移6π单位 D 、先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移12π单位 9、已知向量,a b 满足2,0a b a b ==⋅=，若向量c a b -与共线，则a c +的最小值为（ ）A 、1BCD 、210、函数()1)f x x =<<，其在点(,())M t f t 处的切线为l ，l y 与轴和直线1y =分别交于点,P Q ，又点()0,1N ，若PQN 的面积为b 时的点M 恰好有两个，则b 的取值范围为（ ）A 、18,427⎛⎫ ⎪⎝⎭B 、80,27⎛⎫ ⎪⎝⎭ C 、1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ D 、1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭二、填空题（每小题5分，共25分）11、设集合{}{}21,0,1,,M N a a =-=则使M N N =成立的实数a 的值是12、积分()221cos x dx ππ+=⎰ 13、在ABC 中，已知sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则cos C =14、已知()43sin ,cos ,,0,552πααβαβ⎛⎫=+=-∈ ⎪⎝⎭，则sin β= 15、记函数()f x 的导数为()()1f x ，()()1f x 的导数为()()()()21,,n f x f x -的导数为()()()*n f x n N ∈。

福建省长乐第一中学2013-2014学年高二上学期第二次月考数学（理）试题1．设p 、q 为简单命题，则“p 且q ”为假是“p 或q ”为假的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．在下列命题中，真命题是（ ）A. “x=2时,x 2－3x+2=0”的否命题；B.“若b=3,则b 2=9”的逆命题;C. 若ac>bc,则a>b;D.“相似三角形的对应角相等”的逆否命题3．抛物线y = -2x 2的准线方程是（ ）A ．x=－21 Ｂ．x=21 C ．y=81 D ．y=－814、已知椭圆)100(12522<<=+m my x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为（ ） A ．2 B ．3 C ．5 D ．75、在一次跳伞训练中,甲.乙两位学员各跳一次,设命题p 是“甲降落在指定范围”,q 是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ） A ．()()p q ⌝∨⌝ B ．()p q ∨⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．p q ∨6．已知M (－2, 0)，N (2, 0)，||||3PM PN -=，则动点P 的轨迹是（ ） A 、双曲线 B 、双曲线左支 C 、双曲线右支 D 、不存在7．已知M 为抛物线x y 42=上一动点，F 为抛物线的焦点，定点()1,3P ，则||||MF MP +的最小值为（ ）A.3B.4C.5D.68．M 是椭圆221259x y +=上的点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，1260F MF ∠=，则12F MF ∆ 的面积等于（ ） A．B．C ．3D ．9. P 是椭圆15922=+y x 上的动点，过P 作椭圆长轴的垂线，垂足为M ，则PM 的中点的轨迹方程为( )A 159422=+y xB 154922=+y xC 120922=+y xD 153622=+y x 10．若双曲线1922=-my x 的渐近线方程为x y 35±=，则双曲线焦点F 到渐近线的距离为 ( ) A ． 2 B ．14 C ．5D ．2511、下列各组命题中，满足“p 或q 为真”，且“非p 为真”的是（ ） A ．:0p =∅；:0q ∈∅B ．:p 在ABC △中，若cos 2cos 2A B =，则A B =；:sin q y x =在第一象限是增函数C ．:)p a b a b +∈R ≥，；:q 不等式x x >的解集为(0)-∞，D ．:p 圆22(1)(2)1x y -+-=的面积被直线1x =平分；:q 椭圆22143x y +=的长轴长为4.二.填空题：（本题共4小题，每题4分，共计16分）13. 命题“042,2≤+-∈∀x x R x ”的否定为 。

2012-2013学年广东省肇庆市广宁中学高三（下）2月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．1．（5分）已知全集U=R，集合A={y|y=2x，x∈R}，则∁U A=（）2．（5分）已知a，b是实数，则“”是“a+b＞5”的（）”””“3．（5分）若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）5．（5分）已知i是虚数单位，复数=（）B解：==6．（5分）函数y=sin（2x+）的图象可由函数y=sin2x的图象（）向左平移个单位长度而得到向右平移个单位长度而得到向左平移个单位长度而得到向右平移个单位长度而得到2x+2x+）==的图象向左平移个单位长度得到函数2x+7．（5分）若实数x，y满足不等式组，则2x+4y的最小值是（）解：作出不等式组表示的平面区域，（﹣，﹣）8．（5分）对于直角坐标平面内的任意两点A（x1，y1）、B（x2，y2），定义它们之间的一种“距离”：‖AB‖=+，给出下列三个命题：①若点C在线段AB上，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；②在△ABC中，若∠C=90°，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖＞‖AB‖．其中真命题的个数为（）+ =二、填空题：（一）必做题（9-13题）9．（5分）函数的导数为．解：∵y'==故答案为：10．（5分）在递增等比数列{a n}中，a2=2，a4﹣a3=4，则公比q=2．30人，结果合唱社被抽出12人，则这三个社团人数共有150．=，属于基础题．=12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=，b=3，若△ABC的面积为，则c=．结合已知可求cosC===∴cosC==，解得c=故答案为：13．（5分）（2013•济南二模）已知F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点．若|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，则双曲线的离心率为．=故答案为：．三、填空题（选做题）（共1小题，每小题0分，满分0分）15．（2012•肇庆一模）（几何证明选讲选做题）如图，PAB、PCD为⊙O的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，AC=2，则BD等于6．∴，即三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）（2012•南京二模）设向量=（2，sinθ），=（1，cosθ），θ为锐角．（1）若•=，求sinθ+cosθ的值；（2）若∥，求sin（2θ+）的值．．再由同角三角函数的平方关系，可得）的值．）∵•=2+sin，∴．）∵∥=，==．+=+×+（﹣17．（12分）某中学校本课程共开设了A，B，C，D共4门选修课，每个学生必须且只能选修1门选修课，现有该校的甲、乙、丙3名学生：（1）求这3名学生选修课所有选法的总数；（2）求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率；（3）求A选修课被这3名学生选择的人数的数学期望．（=，==，=，×+1×+2×+3×=（18．（14分）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形（1）求证：BC∥平面C1B1N；（2）求证：BN⊥平面C1B1N；（3）设M为AB中点，在BC边上找一点P，使MP∥平面CNB1，并求的值．证出=0•，得知⊥∵•上一点，则∴⊥⇒•∴…19．（14分）已知等差数列{a n}的公差大于0，且a3＞a5是方程x2﹣14x+45=0的两根，数列{b n}的前n项的和为S n，且（n∈N*）．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）记c n=a n b n，求证：c n+1≤c n．．，当时，有，∴时，有，，∵，∴为首项，以为公比的等比数列．∴，∴，=20．（14分）已知椭圆c：=1（a＞b＞0），左、右两个焦点分别为F1、F2，上顶点A（0，b），△AF1F2是正三角形且周长为6．（1）求椭圆C的标准方程及离心率；（2）O为坐标原点，P是直线F1A上的一个动点，求的最小值，并求出此时点P的坐标．b=（（﹣，）（，的方程为；k=tan=y=，则，，可得，（解得，）的最小值为，此时点的坐标为（﹣，21．（14分）已知函数f（x）=+2x，g（x）=lnx．（1）如果函数y=f（x）在[1，+∞）上是单调减函数，求a的取值范围；（2）是否存在实数a＞0，使得方程=f（x）﹣（2a+1）在区间（，e）内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．）把方程）整理为，，）上是单调减函数，则﹣）把方程）整理为，）﹣=，令﹣）在（，，所以，解得．）。

山东省2014届理科数学一轮复习试题选编7：函数的综合问题一、选择题 1 ．（山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试理科数学）某学校要召开学生代表大会,规定根据班级人数每10人给一个代表名额,当班级人数除以10的余数大于6时,再增加一名代表名额.那么各班代表人数y与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x =([x]表示不大于*的最大整数)可表示为 （ ）A ．[]10x y = B ．3[]10x y += C ．4[]10x y += D ．5[]10x y += 2 ．（山东省寿光市2013届高三10月阶段性检测数学（理）试题）已知函数321,,1,12()111,0,.362x x x f x x x ⎧⎛⎤∈ ⎪⎥+⎪⎝⎦=⎨⎡⎤⎪-+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩函数π()sin()22(0)6g x a x a a =-+ ,若存在[]12,0,1x x ∈,使得12()()f x g x =成立,则实数a 的取值范围是 （ ）A ．14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦ C ．24,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦3 ．（山东省德州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）若对于定义在R 上的函数f(x),存在常数()t t R ∈,使得f(x+t)+tf(x)=0对任意实数x 均成立,则称f(x )是阶回旋函数,则下面命题正确的是（ ）A ．f(x)=2x是12-阶回旋函数 B ．f(x)=sin(πx)是1阶回旋函数C ．f (x)=x 2是1阶回旋函数D ．f(x)=log a x 是0阶回旋函数4 ．（山东省2013届高三高考模拟卷（一）理科数学）已知c b a ,,为互不相等的三个正实数,函数)(x f 可能满足如下性质:①)(a x f -为奇函数;②)(a x f +为奇函数;③)(b x f -为偶函数;④)(b x f +为偶函数;⑤()()f x c f c x +=-.类比函数2013sin y x =的对称中心、对称轴与周期的关系,某同学得到了如下结论:(i)若满足①②,则)(x f 的一个周期为4a ;(ii)若满足①③;则)(x f 的一个周期为||4b a -;(iii)若满足③④,则)(x f 的一个周期为||3b a -;(iv)若满足②⑤;则)(x f 的一个周期为||4c a +. 其中正确结论的个数为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．45 ．（山东省枣庄市2013届高三3月模拟考试数学（理）试题）已知函数2()1f x x =+的定义域为[,]()a b a b <,值域为[1,5],则在平面直角坐标系内,点(a,b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积是 （ ） A ．8 B ．6 C ．4 D ．2 6 ．（山东省德州市2013届高三3月模拟检测理科数学）已知函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称,且当(,0),()'()0x f x xf x ∈-∞+<成立若a=(20.2)·0.2(2),(12)f b n =·121(12),(1)4f n c og =·121(1)4f og ,则a,b,c 的大小关系是 （ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．a c b >>7 ．（2012年山东理）(12)设函数f (x)=,g(x )=ax 2+bx 若y=f(x)的图像与y=g(x)图像有且仅有两个不同的公共点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则下列判断正确的是 （ ） A ．当a<0时,x 1+x 2<0,y 1+y 2>0 B ．当a<0时, x 1+x 2>0, y 1+y 2<0 C ．当a>0时,x 1+x 2<0, y 1+y 2<0 D ．当a>0时,x 1+x 2>0, y 1+y 2>0 8 ．（山东省2013届高三高考模拟卷（一）理科数学）我们定义若函数)(x f 为D 上的凹函数须满足以下两条规则:(1)函数在区间D 上的任何取值有意义;(2)对于区间D 上的任意n 个值n x x x ,,,21 ,总满足)()()()(2121nx x x nf x f x f x f n n +++≥+++ ,那么下列四个图象中在]2,0[π上满足凹函数定义的是9 ．（山东省夏津一中2013届高三4月月考数学（理）试题）函数y=f(x),x∈D,若存在常数C,对任意的x l ∈D,仔在唯一的x 2∈D,使得C =,则称函数f(x)在D 上的几何平均数为C ．已知f(x)=x 3,x∈[1,2],则函数f(x)=x 3在[1,2]上的几何平均数为 （ ）AB ．2C ．4D ． 10．（山东省威海市2013届高三上学期期末考试理科数学）对于函数(f x ,如果存在锐角θ使得()f x 的图象绕坐标原点逆时针旋转角θ,所得曲线仍是一函数,则称函数()f x 具备角θ的旋转性,下列函数具有角4π的旋转性的是 （ ）A ．y =B ．ln y x =C ．1()2x y =D ．2y x =11．（山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试数学（理）试题）已知定义在R 上的函数()y f x =满足以下三个条件:①对于任意的x R ∈,都有(4)()f x f x +=;②对于任意的121212,,02,()();x x R x x f x f x ∈≤<≤<且都有③函数(2)y f x =+的图象关于y 轴对称,则下列结论中正确的是（ ）A ．(4.5)(7)(6.5)f f f <<B ．(7)(4.5)(6.5)f f f <<C ．(7)(6.5)(4.5)f f f <<D ．(4.5)(6.5)(7)f f f <<12．（山东省青岛市2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-,且[]0,2x ∈时,2()log (1)f x x =+,甲、乙、丙、丁四位同学有下列结论:甲:()31f =;乙:函数()f x 在[]6,2--上是减函数;丙:函数()f x 关于直线4x =对称;丁:若()0,1m ∈,则关于x 的方程()0f x m -=在[]8,8-上所有根之和为8-,其中正确的是（ ）A ．甲、乙、丁B ．乙、丙C ．甲、乙、丙D ．甲、丙二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.13．（山东省夏津一中2013届高三4月月考数学（理）试题）函数y = 1n|x-1|的图像与函数y=-2 cosπx(-2≤x≤4)的图像所有交点的横坐标之和等于（ ）A ．8B ．6C ．4D ．2 14．（山东省文登市2013届高三3月二轮模拟考试数学（理））对于正实数α,记M α为满足下述条件的函数()f x 构成的集合:12,x x R ∀∈且21x x >,有212121()()()()x x f x f x x x αα--<-<-.下列结论中正确的是（ ）A ．若12(),()f x M g x M αα∈∈,则12()()f x g x M αα++∈B ．若12(),()f x M g x M αα∈∈且12αα>,则12()()f x g x M αα--∈C ．若12(),()f x M g x M αα∈∈,则12()()f x g x M αα⋅⋅∈D ．若12(),()f x M g x M αα∈∈且()0g x ≠,则12()()f x M g x αα∈ 15．（2013年山东临沂市高三教学质量检测考试理科数学）已知集合M={(x,y )|y f (x )=},若对于任意11(x ,y )M ∈,存在22(x ,y )M ∈,使得12120x x y y +=成立,则称集合M 是“垂直对点集”.给出下列四个集合:①M={1(x,y )|y x=};②M={1(x,y )|y sin x =+}; ③M={2(x,y )|y log x =};④{(,)2}x M x y y e ==-.其中是“垂直对点集”的序号是 （ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④二、填空题 16．（山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理科数学）已知()f x 为R 上的偶函数,对任意x R ∈都有(6)()(3)f x f x f +=+且当[]12,0,3x x ∈, 12x x ≠ 时,有1212()()0f x f x x x ->-成立,给出四个命题:①(3)0f = ② 直线6x =-是函数()y f x =的图像的一条对称轴③ 函数()y f x =在[]9,6--上为增函数 ④ 函数()y f x =在[]9,9--上有四个零点 其中所有正确命题的序号为______________17．（山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学理（A ））若函数)(x f 满足0,≠∈∃m R m ,对定义域内的任意)()()(,m f x f m x f x +=+恒成立,则称)(x f 为m 函数,现给出下列函数: ①xy 1=; ②x y 2=; ③x y sin =; ④nx y 1=其中为m 函数的序号是.(把你认为所有正确的序号都填上)18．（2009高考(山东理)）已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则1234_________.x x x x +++=19．（山东省济宁市2013届高三第一次模拟考试理科数学 ）函数(x)f 的定义域为D,若存在闭区间[a,b]⊆D,使得函数f (x )满足:(1) f (x )在[a,b]内是单调函数;(2)f (x )在[a,b]上的值域为[2a,2b],则称区间[a,b]为y=f (x )的“和谐区间”.下列函数中存在“和谐区间”的是_______ (只需填符合题意的函数序号) ①20f (x )x (x )=≥;②xf (x )e (x R )=∈; ③10f (x )(x )x =>;④2401xf (x )(x )x =≥+. 20．（山东省烟台市2013届高三上学期期中考试数学试题(理科)）函数()f x 的定义域为A ,若12,x x A ∈且12()()f x f x =时总有12x x =,则称()f x 为单函数.例如:函数)(12)(R x x x f ∈+=是单函数.给出下列命题:①函数)()(2R x x x f ∈=是单函数; ②指数函数)(2)(R x x f x∈=是单函数;③若()f x 为单函数,12,x x A ∈且12x x ≠,则12()()f x f x ≠; ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数,其中的真命题是 ______________.(写出所有真命题的序号)21．（山东济南外国语学校2012—2013学年度第一学期高三质量检测数学试题（理科））具有性质:1()()f f x x=-的函数,我们称为满足“倒负”交换的函数,下列函数:①1;y x x =-②1;y x x=+ ③,(01)0,(1)1(1)x x y x x x⎧⎪<<⎪==⎨⎪⎪->⎩中满足“倒负”变换的函数是________________.22．（山东省日照市2013届高三12月份阶段训练数学(理)试题）定义在R 上的函数()yf x =,若对任意不等实数12,x x 满足()()12120f x f x x x -<-,且对于任意的,x y R ∈,不等式()()22220f x x f y y -+-≤成立.又函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称,则当14x ≤≤时,yx的取值范围为_______________. 23．（山东省青岛市2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知函数()f x 的定义域为R ,若存在常数0m >,对任意R x ∈,有()f x m x ≤,则称函数()f x 为F -函数.给出下列函数:①2()f x x =;②2()1x f x x =+;③()2xf x =;④()sin 2f x x =. 其中是F -函数的序号为_________________.24．（山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）已知函数()f x 在实数集R 上具有下列性质:①直线1x =是函数()f x 的一条对称轴;②()()2f x f x +=-;③当1213x x ≤<≤时,()()()21f x f x -⋅()210,x x -<则()2012f 、()2013f 从大到小的顺序为_______.25．（山东省莱芜市莱芜二中2013届高三4月模拟考试数学（理）试题）如图,已知边长为8米的正方形钢板有一个角锈蚀,其中4AE =米,6CD =米. 为了合理利用这块钢板,将在五边形ABCDE 内截取一个矩形块BNPM ,使点P 在边DE 上. 则矩形BNPM 面积的最大值为_________平方米 .A MEPDCB N F三、解答题26．（2009高考(山东理)）两县城A 和B 相距20km ，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧上选择一点C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为城A 与城B 的影响度之和，记C 点到城A 的距离为x km ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065.（1）将y 表示成x 的函数；（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离;若不存在，说明理由。

2015-2016学年某某省马某某市红星中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U是实数集R，M={x|y=ln（x2﹣2x） }，N={y|y=}，则图中阴影部分表示的集合是( )A．{x|﹣2≤x＜2} B．{x|1＜x≤2}C．{x|1≤x≤2}D．{x|x＜1}2．已知函数f（x）=且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）=( ) A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣3．给出如下命题，正确的序号是( )A．命题：∀x∈R，x2≠x的否定是：∃x0∈R，使得x02≠xB．命题：若x≥2且y≥3，则x+y≥5的否命题为：若x＜2且y＜3，则x+y＜5C．若ω=1是函数f（x）=cosωx在区间[0，π]上单调递减的充分不必要条件D．命题：∃x0∈R，x02+a＜0为假命题，则实数a的取值X围是a＞04．已知某几何体的三视图如图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )A．B．C．D．5．设F1、F2为椭圆+y2=1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，•的值等于( )A．0 B．2 C．4 D．﹣26．设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则( )A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b7．执行如图所示的程序框图，如果输入P=153，Q=63，则输出的P的值是( )A．2 B．3 C．9 D．278．若点（16，tanθ）在函数y=log2x的图象上，则=( ) A．B．C．4 D．49．已知函数f（x）=（）x﹣log3x，若实数x0是方程f（x）=0的解，且x0＜x1，则f（x1）的值( )A．恒为负B．等于零C．恒为正D．不大于零10．已知数列{a n}的前n项和为S n，过点P（n，S n）和Q（n+1，S n+1）（n∈N*）的直线的斜率为3n﹣2，则a2+a4+a5+a9的值等于( )A．52 B．40 C．26 D．2011．函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致是( )A．B． C．D．12．已知定义在R上的奇函数f（x），其导函数为f′（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），若g（x）=x2f（x），则不等式g（x）＜g（1﹣3x）的解集是( )A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（0，）D．（﹣∞，）∪（，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．计算：（）+lg+lg70+=__________．14．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值是__________．15．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），且在区间[0，2]上是增函数．若方程f（x）=m（m＞0）在区间[﹣8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=__________．16．关于函数f（x）=（x≠0），有下列命题：①f（x）的最小值是lg2；②其图象关于y轴对称；③当x＞0时，f（x）是增函数；当x＜0时，f（x）是减函数；④f（x）在区间（﹣1，0）和（1，+∞）上是增函数，其中所有正确结论的序号是__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，某某数m的取值X围．18．已知函数f（x）=﹣x2+2ex+m﹣1，g（x）=x+（x＞0）．（1）若y=g（x）﹣m有零点，求m的取值X围；（2）确定m的取值X围，使得g（x）﹣f（x）=0有两个相异实根．19．已知函数f（x）=log a（x+1）（a＞1），若函数y=g（x）的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f（x）的图象．（1）写出函数g（x）的解析式；（2）当x∈[0，1）时，总有f（x）+g（x）≥m成立，求m的取值X围．20．某机床厂今年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利总额y元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该机床开始盈利？（3）使用若干年后，对机床的处理有两种方案：①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．21．已知函数f（x）=+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．（1）讨论函数h（x）=的单调性；（2）如果对任意的s，t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立，某某数a的取值X围．四、选做题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．已知曲线C1的参数方程是（θ为参数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=﹣4cosθ．（1）求曲线C1与C2交点的极坐标；（2）A、B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．23．已知不等式|2x+2|﹣|x﹣1|＞a．（1）当a=0时，求不等式的解集（2）若不等式在区间[﹣4，2]内无解．某某数a的取值X围．2015-2016学年某某省马某某市红星中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U是实数集R，M={x|y=ln（x2﹣2x） }，N={y|y=}，则图中阴影部分表示的集合是( )A．{x|﹣2≤x＜2} B．{x|1＜x≤2}C．{x|1≤x≤2}D．{x|x＜1}【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【专题】应用题；集合思想；定义法；集合．【分析】由图知，阴影部分表示的集合中的元素是在集合N中的元素但不在集合M中的元素组成的，即N∩C U M．【解答】解：由韦恩图知阴影部分表示的集合为N∩（C U M）M={x|y=ln（x2﹣2x） }∴x2﹣2x＞0，解得x＜0，或x＞2，∴M={x|x＜0，或x＞2}，∴C U M={x|0≤x≤2}=[0，2]，N={y|y=}={y|y≥1}=[1，+∞），∴N∩（C U M）=[1，2]，故选：C【点评】本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、二次不等式的解法等基础知识，属于基础题2．已知函数f（x）=且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）=( ) A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【考点】分段函数的应用；函数的零点．【专题】函数的性质及应用．【分析】由f（a）=﹣3，结合指数和对数的运算性质，求得a=7，再由分段函数求得f（6﹣a）的值．【解答】解：函数f（x）=且f（a）=﹣3，若a≤1，则2a﹣1﹣2=﹣3，即有2a﹣1=﹣1＜0，方程无解；若a＞1，则﹣log2（a+1）=﹣3，解得a=7，则f（6﹣a）=f（﹣1）=2﹣1﹣1﹣2=﹣．故选：A．【点评】本题考查分段函数的运用：求函数值，主要考查指数和对数的运算性质，属于中档题．3．给出如下命题，正确的序号是( )A．命题：∀x∈R，x2≠x的否定是：∃x0∈R，使得x02≠xB．命题：若x≥2且y≥3，则x+y≥5的否命题为：若x＜2且y＜3，则x+y＜5C．若ω=1是函数f（x）=cosωx在区间[0，π]上单调递减的充分不必要条件D．命题：∃x0∈R，x02+a＜0为假命题，则实数a的取值X围是a＞0【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题；规律型；简易逻辑．【分析】利用命题的否定判断A的正误；四种命题的逆否关系判断B的正误；充要条件判断C 的正误；命题的真假判断D的正误；【解答】解：对于A，命题：∀x∈R，x2≠x的否定是：∃x0∈R，使得x02≠x0，不满足命题的否定形式，所以不正确；对于B，命题：若x≥2且y≥3，则x+y≥5的否命题为：若x＜2且y＜3，则x+y＜5，不满足否命题的形式，所以不正确；对于C，若ω=1是函数f（x）=cosx在区间[0，π]上单调递减的，而函数f（x）=cosωx在区间[0，π]上单调递减的，ω≤1，所以ω=1是函数f（x）=cosωx在区间[0，π]上单调递减的充分不必要条件，正确．对于D，命题：∃x0∈R，x02+a＜0为假命题，则命题：a≥0，∀x∈R，x2+a≥0是真命题；所以，命题：∃x0∈R，x02+a＜0为假命题，则实数a的取值X围是a＞0，不正确；故选：C．【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，基本知识的考查．4．已知某几何体的三视图如图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】图表型．【分析】先由三视图还原成原来的几何体，再根据三视图中的长度关系，找到几何体中的长度关系，进而可以求几何体的体积．【解答】解：由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥，下部分是半球，所以根据三视图中的数据可得：V=××=，故选C．【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是组合体的体积，一般组合体的体积要分部分来求．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视．5．设F1、F2为椭圆+y2=1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，•的值等于( )A．0 B．2 C．4 D．﹣2【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】通过题意可推断出当P、Q分别在椭圆短轴端点时，四边形PF1QF2面积最大．进而可根据椭圆的方程求得焦点的坐标和P的坐标，进而求得和，则•的值可求得．【解答】解：根据题意可知当P、Q分别在椭圆短轴端点时，四边形PF1QF2面积最大．这时，F1（﹣，0），F2（，0），P（0，1），∴=（﹣，﹣1），=（，﹣1），∴•=﹣2．故选D【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了学生数形结合的思想和分析问题的能力．6．设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则( )A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】分别讨论a，b，c的取值X围，即可比较大小．【解答】解：1＜log37＜2，b=21.1＞2，c=0.83.1＜1，则c＜a＜b，故选：B．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据指数和对数的性质即可得到结论．7．执行如图所示的程序框图，如果输入P=153，Q=63，则输出的P的值是( )A．2 B．3 C．9 D．27【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的R，P，Q的值，当Q=0时，满足条件Q=0，退出循环，输出P的值为3．【解答】解：模拟执行程序，可得P=153，Q=63不满足条件Q=0，R=27，P=63，Q=27不满足条件Q=0，R=9，P=27，Q=9不满足条件Q=0，R=0，P=9，Q=0满足条件Q=0，退出循环，输出P的值为9．故选：C．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的R，P，Q的值是解题的关键，属于基本知识的考查．8．若点（16，tanθ）在函数y=log2x的图象上，则=( ) A．B．C．4 D．4【考点】三角函数的化简求值．【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值．【分析】先根据对数的运算性质求出tanθ，再化简代值计算即可．【解答】解：点（16，tanθ）在函数y=log2x的图象上，∴tanθ=log216=4，∴====，故选：B．【点评】本题考查了二倍角公式，函数值的求法，以及对数的运算性质，属于基础题．9．已知函数f（x）=（）x﹣log3x，若实数x0是方程f（x）=0的解，且x0＜x1，则f（x1）的值( )A．恒为负B．等于零C．恒为正D．不大于零【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】函数的性质及应用．【分析】由函数的性质可知，f（x）=（）x﹣log3x在（0，+∞）上是减函数，且可得f（x0）=0，由0＜x0＜x1，可得f（x1）＜f（x0）=0，即可判断【解答】解：∵实数x0是方程f（x）=0的解，∴f（x0）=0．∵函数y（）x，y=log3x在（0，+∞）上分别具有单调递减、单调递增，∴函数f（x）在（0，+∞）上是减函数．又∵0＜x0＜x1，∴f（x1）＜f（x0）=0．∴f（x1）的值恒为负．故选A．【点评】本题主要考查了函数的单调性的简单应用，解题的关键是准确判断函数f（x）的单调性并能灵活应用．10．已知数列{a n}的前n项和为S n，过点P（n，S n）和Q（n+1，S n+1）（n∈N*）的直线的斜率为3n﹣2，则a2+a4+a5+a9的值等于( )A．52 B．40 C．26 D．20【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】首先根据题中的已知条件已知数列{a n}的前n项和为S n，过点P（n，S n）和Q（n+1，S n+1）（n∈N*）的直线的斜率为3n﹣2，进一步求出数列的通项公式，然后根据通项公式求出各项的值，最后确定结果．【解答】解：已知数列{a n}的前n项和为S n，过点P（n，S n）和Q（n+1，S n+1）（n∈N*）的直线的斜率为3n﹣2则：∴a n=3n﹣5a2+a4+a5+a9=40故选：B【点评】本题考查的知识点：根据点的斜率求出数列的通项公式，由通项公式求数列的项．11．函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致是( )A．B． C．D．【考点】对数的运算性质；函数的图象与图象变化．【分析】根据函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|知必过点（1，1），再对函数进行求导观察其导数的符号进而知原函数的单调性，得到答案．【解答】解：由y=e|lnx|﹣|x﹣1|可知：函数过点（1，1），当0＜x＜1时，y=e﹣lnx﹣1+x=+x﹣1，y′=﹣+1＜0．∴y=e﹣lnx﹣1+x为减函数；若当x＞1时，y=e lnx﹣x+1=1，故选D．【点评】本题主要考查函数的求导与函数单调性的关系．12．已知定义在R上的奇函数f（x），其导函数为f′（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），若g（x）=x2f（x），则不等式g（x）＜g（1﹣3x）的解集是( )A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（0，）D．（﹣∞，）∪（，+∞）【考点】函数奇偶性的性质．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】f（x）是定义在R上的奇函数，可得：f（﹣x）=﹣f（x）．对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），可得：xf′（x）+2f（x）＞0，由g（x）=x2f（x），可得g′（x）＞0．可得函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．即可得出．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）．对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），∴xf′（x）+2f（x）＞0，∵g（x）=x2f（x），∴g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）＞0．∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．又g（0）=0，g（﹣x）=x2f（﹣x）=﹣g（x），∴函数g（x）是R上的奇函数，∴g（x）是R上的增函数．由不等式g（x）＜g（1﹣3x），∴x＜1﹣3x，解得．∴不等式g（x）＜g（1﹣3x）的解集为：．故选：B．【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．计算：（）+lg+lg70+=．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据对数和幂的运算性质计算即可．【解答】解：（）+lg+lg70+=+lg（）+1﹣lg3=+lg+1=+1+1=，故答案为：．【点评】本题考查了对数和幂的运算性质，关键是掌握性质，属于基础题．14．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值是﹣8．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】将z=x﹣3y变形为，此式可看作是斜率为，纵截距为的一系列平行直线，当最大时，z最小．作出原不等式组表示的平面区域，让直线向此平面区域平移，可探求纵截距的最大值．【解答】解：由z=x﹣3y，得，此式可看作是斜率为，纵截距为的直线，当最大时，z最小．画出直线y=x，x+2y=2，x=﹣2，从而可标出不等式组表示的平面区域，如右图所示．由图知，当动直线经过点P时，z最小，此时由，得P（﹣2，2），从而z min=﹣2﹣3×2=﹣8，即z=x﹣3y的最小值是﹣8．故答案为：﹣8．【点评】本题考查了线性规划的应用，为高考常考的题型，求解此类问题的一般步骤是：（1）作出已知不等式组表示的平面区域；（2）运用化归思想及数形结合思想，将目标函数的最值问题转化为平面中几何量的最值问题处理．15．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），且在区间[0，2]上是增函数．若方程f（x）=m（m＞0）在区间[﹣8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=﹣8．【考点】奇偶性与单调性的综合；函数的周期性．【专题】数形结合．【分析】由条件“f（x﹣4）=﹣f（x）”得f（x+8）=f（x），说明此函数是周期函数，又是奇函数，且在[0，2]上为增函数，由这些画出示意图，由图可解决问题．【解答】解：此函数是周期函数，又是奇函数，且在[0，2]上为增函数，综合条件得函数的示意图，由图看出，四个交点中两个交点的横坐标之和为2×（﹣6），另两个交点的横坐标之和为2×2，所以x1+x2+x3+x4=﹣8．故答案为﹣8．【点评】数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．16．关于函数f（x）=（x≠0），有下列命题：①f（x）的最小值是lg2；②其图象关于y轴对称；③当x＞0时，f（x）是增函数；当x＜0时，f（x）是减函数；④f（x）在区间（﹣1，0）和（1，+∞）上是增函数，其中所有正确结论的序号是①②④．【考点】命题的真假判断与应用；奇偶性与单调性的综合．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】是结合复合函数单调性的关系进行判断．②根据基本由函数奇偶性的定义判断函数为偶函数判断；③利用对勾函数的单调性判断；④由对勾函数的最值及函数奇偶性的性质进行判断即可．【解答】解：①函数f（x）=lg，（x∈R且x≠0）．∵=2，∴f（x）=lg≥2，即f（x）的最小值是lg2，故①正确，②∵f（﹣x）==f（x），∴函数f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，故②正确；③当x＞0时，t（x）=，在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上得到递增，∴f（x）=lg在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上得到递增，故③错误；④∵函数f（x）是偶函数，由③知f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上得到递增，∴在（﹣1，0）上单调递增，在（﹣∞，﹣1）上得到递减，故④正确，故答案为：①②④【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了函数奇偶性的性质，考查了复合函数的单调性，是中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，某某数m的取值X围．【考点】必要条件；绝对值不等式的解法．【专题】规律型．【分析】先求出命题p，q的等价条件，利用￢p是￢q的必要不充分条件转化为q是p的必要不充分条件，建立条件关系即可求出m的取值X围．【解答】解：由||=，得|x﹣4|≤6，即﹣6≤x﹣4≤6，∴﹣2≤x≤10，即p：﹣2≤x≤10，由x2+2x+1﹣m2≤0得[x+（1﹣m）][x+（1+m）]≤0，即1﹣m≤x≤1+m，（m＞0），∴q：1﹣m≤x≤1+m，（m＞0），∵￢p是￢q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件．即，且等号不能同时取，∴，解得m≥9．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，将￢p是￢q的必要不充分条件转化为q 是p的必要不充分条件是解决本题的关键．18．已知函数f（x）=﹣x2+2ex+m﹣1，g（x）=x+（x＞0）．（1）若y=g（x）﹣m有零点，求m的取值X围；（2）确定m的取值X围，使得g（x）﹣f（x）=0有两个相异实根．【考点】函数零点的判定定理；根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）由基本不等式可得g（x）=x+≥2=2e，从而求m的取值X围；（2）令F（x）=g（x）﹣f（x）=x++x2﹣2ex﹣m+1，求导F′（x）=1﹣+2x﹣2e=（x﹣e）（+2）；从而判断函数的单调性及最值，从而确定m的取值X围．【解答】解：（1）∵g（x）=x+≥2=2e；（当且仅当x=，即x=e时，等号成立）∴若使函数y=g（x）﹣m有零点，则m≥2e；故m的取值X围为[2e，+∞）；（2）令F（x）=g（x）﹣f（x）=x++x2﹣2ex﹣m+1，F′（x）=1﹣+2x﹣2e=（x﹣e）（+2）；故当x∈（0，e）时，F′（x）＜0，x∈（e，+∞）时，F′（x）＞0；故F（x）在（0，e）上是减函数，在（e，+∞）上是增函数，故只需使F（e）＜0，即e+e+e2﹣2e2﹣m+1＜0；故m＞2e﹣e2+1．【点评】本题考查了基本不等式的应用及导数的综合应用，同时考查了函数零点的判断与应用，属于中档题．19．已知函数f（x）=log a（x+1）（a＞1），若函数y=g（x）的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f（x）的图象．（1）写出函数g（x）的解析式；（2）当x∈[0，1）时，总有f（x）+g（x）≥m成立，求m的取值X围．【考点】求对数函数解析式；函数解析式的求解及常用方法；函数最值的应用．【专题】计算题；转化思想．【分析】（1）由已知条件可知函数g（x）的图象上的任意一点P（x，y）关于原点对称的点Q （﹣x，﹣y）在函数f（x）图象上，把Q（﹣x，﹣y）代入f（x），整理可得g（x）（2）由（1）可令h（x）=f（x）+g（x），先判断函数h（x）在[0，1）的单调性，进而求得函数的最小值h（x）min，使得m≤h（x）min【解答】解：（1）设点P（x，y）是g（x）的图象上的任意一点，则Q（﹣x，﹣y）在函数f （x）的图象上，即﹣y=log a（﹣x+1），则∴（2）f（x）+g（x）≥m 即，也就是在[0，1）上恒成立．设，则由函数的单调性易知，h（x）在[0，1）上递增，若使f（x）+g（x）≥m在[0，1）上恒成立，只需h（x）min≥m在[0，1）上成立，即m≤0．m的取值X围是（﹣∞，0]【点评】本题（1）主要考查了函数的中心对称问题：若函数y=f（x）与y=g（x）关于点M （a，b）对称，则y=f（x）上的任意一点（x，y）关于M（a，b）对称的点（2a﹣x，2b﹣y）在函数y=g（x）的图象上．（2）主要考查了函数的恒成立问题，往往转化为求最值问题：m≥h（x）恒成立，则m≥h（x）m≤h（x）恒成立，max则m≤h（x）min20．某机床厂今年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利总额y元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该机床开始盈利？（3）使用若干年后，对机床的处理有两种方案：①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】计算题．【分析】（1）赢利总额y元即x年中的收入50x减去购进机床的成本与这x年中维修、保养的费用，维修、保养的费用历年成等差数增长，，（2）由（1）的结论解出结果进行判断得出何年开始赢利．（3）算出每一种方案的总盈利，比较大小选择方案．【解答】解：（1）y=﹣2x2+40x﹣98，x∈N*．（2）由﹣2x2+40x﹣98＞0解得，，且x∈N*，所以x=3，4，，17，故从第三年开始盈利．（3）由，当且仅当x=7时“=”号成立，所以按第一方案处理总利润为﹣2×72+40×7﹣98+30=114（万元）．由y=﹣2x2+40x﹣98=﹣2（x﹣10）2+102≤102，所以按第二方案处理总利润为102+12=114（万元）．∴由于第一方案使用时间短，则选第一方案较合理．【点评】考查审题及将题中关系转化为数学符号的能力，其中第二问中考查了一元二次不等式的解法，第三问中考查到了基本不等式求最值，本题是一个函数基本不等式相结合的题．属应用题中盈利最大化的问题．21．已知函数f（x）=+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．（1）讨论函数h（x）=的单调性；（2）如果对任意的s，t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立，某某数a的取值X围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（1）求导数，利用导数的正负，即可讨论函数h（x）=的单调性；（2）求出g（x）max=g（2）=1，当x∈[，2]时，f（x）=+xlnx恒成立，等价于a≥x﹣x2lnx 恒成立，然后利用导数求函数u（x）=x﹣x2lnx在区间[，2]上取得最大值，则实数a的取值X围可求．【解答】解：（1）h（x）==+lnx，h′（x）=，①a≤0，h′（x）≥0，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增②a＞0时，h'（x）＞0，则x∈（，+∞），函数h（x）的单调递增区间为（，+∞），h'（x）＜0，则x∈（0，），函数h（x）的单调递减区间为（0，），．（2）g（x）=x3﹣x2﹣3，g′（x）=3x（x﹣），x 2g′（x）0 ﹣0 +g（x）﹣递减极小值递增 13由上表可知，g（x）在x=2处取得最大值，即g（x）max=g（2）=1所以当x∈[，2]时，f（x）=+xlnx≥1恒成立，等价于a≥x﹣x 2lnx恒成立，记u（x）=x﹣x2lnx，所以a≥u（x）max，u′（x）=1﹣x﹣2xlnx，可知u′（1）=0，当x∈（，1）时，1﹣x＞0，2xlnx＜0，则u′（x）＞0，∴u（x）在x∈（，2）上单调递增；当x∈（1，2）时，1﹣x＜0，2xlnx＞0，则u′（x）＜0，∴u（x）在（1，2）上单调递减；故当x=1时，函数u（x）在区间[，2]，上取得最大值u（1）=1，所以a≥1，故实数a的取值X围是[1，+∞）．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了导数在最大值、最小值问题中的应用，考查了数学转化思想方法和函数构造法，训练了利用分离变量法求参数的取值X围，属于中档题．四、选做题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．已知曲线C1的参数方程是（θ为参数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=﹣4cosθ．（1）求曲线C1与C2交点的极坐标；（2）A、B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．【考点】参数的意义；简单曲线的极坐标方程．【专题】选作题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程．【分析】（1）把参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程，联立方程组求出交点的坐标，再把交点的直角坐标化为极坐标；（2）画出图象，由平面几何知识可知，A，C1，C2，B依次排列且共线时|AB|最大．【解答】解：（1）由（θ为参数），消去参数得：x2+（y﹣2）2=4，即x2+y2﹣4y=0；由ρ=﹣4cosθ，得ρ2=﹣4ρcosθ，即x2+y2=﹣4x．两式作差得：x+y=0，代入C1得交点为（0，0），（﹣2，2）．其极坐标为（0，0），（2，）；（2）如图，由平面几何知识可知，A，C1，C2，B依次排列且共线时|AB|最大．此时|AB|=2+4，O到AB的距离为．∴△OAB的面积为S=×（2+4）×=2+2．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．23．已知不等式|2x+2|﹣|x﹣1|＞a．（1）当a=0时，求不等式的解集（2）若不等式在区间[﹣4，2]内无解．某某数a的取值X围．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）求得f（x）=|2x+2|﹣|x﹣1|=在区间[﹣4，2]内的值域，结合|2x+2|﹣|x﹣1|＞a无解，求得a的X围．【解答】解：（1）当a=0时，不等式即|2x+2|﹣|x﹣1|＞0，可得①，或②，或③．解①求得 x＜﹣3，解②求得﹣＜x＜1，解③求得x≥1．综上可得，原不等式的解集为{x|x＜﹣3，或x＞﹣}．（2）当x∈[﹣4，2]，f（x）=|2x+2|﹣|x﹣1|=的值域为[﹣2，3]，而不等式|2x+2|﹣|x﹣1|＞a无解，故有a≤3．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想；还考查了分段函数的应用，求函数的值域，属于中档题．。

杭州二中2013学年第一学期高三年级期中考试数学试卷注意事项：考试时间：120分钟；满分：150分。

本场考试不得使用计算器，请考生用水笔或钢笔将所有试题的答案填写在答题纸上，答在试卷上的无效。

一．选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分） 1. 设b a 、为向量，则“a b a b ⋅=”是“//”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为( )A ．3 3B ．2 3C ．4 3 D. 33. 已知函数12()log 1f x x =-，则下列结论正确的是（ ）Ａ. 1()(0)(3)2f f f -<< Ｂ. 1(0)()(3)2f f f <-< Ｃ. 1(3)()(0)2f f f <-< Ｄ.1(3)(0)()2f f f <<- 4．将函数x x f y sin )('=的图象向左平移4π个单位，得到函数x y 2sin 21-=的图象，则)(x f 是（ ）A ．2cos xB ．x sin 2C ．sin xD ．cos x5．若4sin()sin cos()cos 5αββαββ---=，且α为第二象限角，则tan()4πα+=（ ） A ．7 B ．17 C ．7- D ．17-6.若数列{}{},n n a b 的通项公式分别是20132012(1)(1),2,n n n n a a b n++-=-=+且n n a b <对任意n N *∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1-12⎡⎫⎪⎢⎭⎣，B ．1-22⎡⎫⎪⎢⎭⎣，C ．3-22⎡⎫⎪⎢⎭⎣，D ．3-12⎡⎫⎪⎢⎭⎣，7．设函数f(x)=x 2－23x+60, g(x)=f(x)+|f(x)|，则g(1)+g(2)+…+g (20)=（ ） A ．0 B ．38 C ． 56 D ．112 8．设函数()()3402f x x x a a =-+<<有三个零点123,,x x x ，且123,x x x <<则下列结论正确的是（ ）A ．11x >-B ．20x <C ．201x <<D ．32x >9.已知()log (1),()2log (2)(1)a a f x x g x x t a =+=+>,若[0,1),[4,6)x t ∈∈时，)()()F x g x f x =-（有最小值4，则a 的最小值为（ ）A.1B.2C.1或2D. 2或410．已知定义在[1,)+∞上的函数4812(12)()1()(2)22x x f x x f x --≤≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，则 ( )A.在[1,6）上，方程1()06f x x -=有5个零点 B.关于x 的方程1()02n f x -=（n N *∈）有24n +个不同的零点 C.当1[2,2]n n x -∈（n N *∈）时，函数()f x 的图象与x 轴围成的面积为4 D.对于实数[1,)x ∈+∞，不等式()6xf x ≤恒成立 二．填空题（本大题有7小题，每小题4分，共28分） 11.已知4cos(),25πθ+=则cos 2θ的值是 . 12.平面向量a b 与的夹角为060，(2,0),223,a a b b =+==则 .13.函数()sin (),()2,()0,f x x x x R f f ωωαβ=∈=-=又且-αβ的最小值等于2π，则正数ω的值为 . 14.已知正实数a b 、满足21a b +=，则2214a b ab++的最小值为 . 15.记数列{}n a 的前n 和为n s ，若n n s a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为d 的等差数列，则{}n a 为等差数列时,d 的值为 . 16.设实数1x 、2x 、、n x 中的最大值为{}12max n x x x ，，，，最小值{}12min n x x x ，，，，设ABC ∆的三边长分别为a b c 、、，且a b c ≤≤，设ABC ∆的倾斜度为t =max min a b c a b c b c a b c a ⎧⎫⎧⎫⋅⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，，，，，设2=a ，则t 的取值范围是 .17.已知向量αβγ、、满足1α=，αββ-=，()()0αγβγ-⋅-=.若对每一确定的β，γ的最大值和最小值分别是m n 、，则对任意β，m n -的最小值是 .三．解答题（本大题有5小题，共72分） 18. （本题满分14分）已知集合{}2=320A x x x -+≤，集合{}2B=2y y x x a =-+，集合{}2C=40x x ax --≤.命题:p A B ≠∅，命题:q A C ⊆(Ⅰ)若命题p 为假命题，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)若命题p q ∧为真命题，求实数a 的取值范围.19. （本题满分14分）在数列{}n a 中，点1(,)(1,2,,)i i P a a i n +=在直线2y x k =+上，数列{}n b 满足条件：112,().n n n b b a a n N *+==-∈(Ⅰ)求数列{}n b 的通项公式； (Ⅱ)若2121log ,,n n n n nc b s c c c b ==+++求12602n n s n +->+成立的正整数n 的最小值.20.（本题满分14分）已知函数R x x x x f ∈--=,21cos 2sin 23)(2. (Ⅰ)当]125,12[ππ-∈x 时，求函数)(x f 的最小值和最大值 (Ⅱ)设△ABC 的对边分别为c b a ,,，且3=c ，0)(=C f ,若A B sin 2sin =，求ba ,的值. 21．（本小题满分15分） 已知函数()1ln(02)2xf x x x=+<<-. (Ⅰ)是否存在点(,)M a b ，使得函数()y f x =的图像上任意一点P 关于点M 对称的点Q 也在函数()y f x =的图像上？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；(Ⅱ)定义2111221()()()()n n i i n S f f f f n n n n-=-==++⋅⋅⋅+∑，其中*n ∈N ，求2013S ； （Ⅲ）在（2）的条件下，令12n n S a +=，若不等式2()1n am n a ⋅>对*n ∀∈N ，且2n ≥恒成立，求实数m 的取值范围. 22．（本小题满分15分）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，若()f x y x=在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“一阶比增函数”；若2()f x y x =在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为1Ω，所有“二阶比增函数”组成的集合记为2Ω.(Ⅰ)已知函数32()2f x x hx hx =--，若1(),f x ∈Ω且2()f x ∉Ω，求实数h 的取值范围；(Ⅱ)已知0a b c <<<，1()f x ∈Ω且()f x 的部分函数值由下表给出，求证：(24)0d d t ⋅+->； (Ⅲ)定义集合{}2()|(),,(0,)(),f x f x k x f x k ψ=∈Ω∈+∞<且存在常数使得任取,请问：是否存在常数M ，使得()f x ∀∈ψ，(0,)x ∀∈+∞，有()f x M <成立？若存在，求出M 的最小值；若不存在，说明理由.杭州二中2013学年第一学期高三年年级期中考试数学答案二、填空题 11.725-12.1 13.1 14.217 15.1或12 16. 17.12 三、解答题18.解;{}222(1)11,1y x x a x a a B y y a =-+=-+-≥-∴=≥-,{}{}232012A x x x x x =-+≤=≤≤, {}240C x x ax =--≤(Ⅰ)由命题p 是假命题，可得=A B ∅，即得12,3a a ->∴>. (Ⅱ) p q ∧为真命题，∴p q 、 都为真命题， 即AB ≠∅，且AC ⊆ ∴有121404240a a a -≤⎧⎪--≤⎨⎪--≤⎩，解得03a ≤≤.19.解: (Ⅰ)依题意1112,222()2n n n n n n n n n n n a a k b a k a a kb a k a k k a k b +++=+∴=+-=+∴=+=++=+=又12,b = 而12n nbb +=，∴数列{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列.即得1222n n n b -==，为数列{}n b 的通项公式. -------6分 (Ⅱ)由2211log 2log 2.2n n n n n n c b n b ==⋅=-⋅ 2312()1222322n n n s c c c n -=-+++=⨯+⨯+⨯++⨯23412122232(1)22n n n s n n +∴-=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯上两式相减得 23112(12)22222212n nn n n s n n ++-=++++-⨯=-⨯-11222n n n ++=-⨯-由12602n n s n +->+，即得11260,260n n n n ++⋅>∴>，又当4n ≤时，15223260n +≤=<，当5n ≥时，16226460.n +≥=>故使12602n n s n +->+成立的正整数的最小值为5. -------14分20.解: (Ⅰ)211+cos21()2cos 22222x f x x x x =--=--1)62sin(--=πx由]125,12[ππ-∈x ，∴26x π-∈2[,]33ππ-()f x ∴的最小值为.0,231最大值---------7分(Ⅱ)由0)(=C f 即得()sin(2)106f C C π=--=，而又(0,)C π∈，则112(,),266662C C πππππ-∈-∴-=，∴3C π=，则由22222222cos 3b a b a c a b ab C a b ab ==⎧⎧⎨⎨=+-=+-⎩⎩即 解得1,2a b ==. ----------14分21.（1）假设存在点(,)M a b ，使得函数()y f x =的图像上任意一点P 关于点M 对称的点Q 也在函数()y f x =的图像上，则函数()y f x =图像的对称中心为(,)M a b . 由()(2)2f x f a x b +-=，得21ln1ln 2222x a xb x a x-+++=--+， 即22222ln 0244x axb x ax a -+-+=-++-对(0,2)x ∀∈恒成立，所以220,440,b a -=⎧⎨-=⎩解得1,1.a b =⎧⎨=⎩所以存在点(1,1)M ，使得函数()y f x =的图像上任意一点P 关于点M 对称的点Q 也在函数()y f x =的图像上. -------5分（Ⅱ）由（1）得()(2)2(02)f x f x x +-=<<.令i x n =，则()(2)2i if f n n+-=(1,2,,21)i n =⋅⋅⋅-. 因为1221()()(2)(2)n S f f f f n n n n =++⋅⋅⋅+-+-①，所以1221(2)(2)()()n S f f f f n n n n=-+-+⋅⋅⋅++②，由①+②得22(21)n S n =-，所以*21()n S n n =-∈N . 所以20132201314025S =⨯-=.-------10分 （Ⅲ）由（2）得*21()n S n n =-∈N ，所以*1()2n n S a n n +==∈N .因为当*n ∈N 且2n ≥时，2()121ln ln 2n am n mn n m a n n ⋅>⇔⋅>⇔>-. 所以当*n ∈N 且2n ≥时，不等式ln ln 2n m n >-恒成立minln ln 2n m n ⎛⎫⇔>- ⎪⎝⎭. 设()(0)ln xg x x x =>，则2ln 1()(ln )x g x x -'=. 当0x e <<时，()0g x '<，()g x 在(0,)e 上单调递减； 当x e >时，()0g x '>，()g x 在(,)e +∞上单调递增. 因为23ln 9ln 8(2)(3)0ln 2ln 3ln 2ln 3g g --=-=>⋅，所以(2)(3)g g >， 所以当*n ∈N 且2n ≥时，[]min 3()(3)ln 3g n g ==. 由[]min ()ln 2m g n >-，得3ln 3ln 2m >-，解得3ln 2ln 3m >-.所以实数m 的取值范围是3ln 2(,)ln 3-+∞.-------15分22.解：(Ⅰ)1(),f x ∈Ω且2(),f x ∉Ω即2()()2f x g x x hx h x==--在(0,)+∞上是增函数，∴0h ≤2分而2()()2f x h h x x h x x==--在(0,)+∞不是增函数，而'2()1,h h x x =+当()h x 是增函数时0h ≥，∴()h x 不是增函数时，0h <，综上0h <4分.(Ⅱ)1(),f x ∈Ω且0a b c <<<a b c <++，则()()4,f a f a b c a a b c a b c++<=++++4()a f a d a b c ∴=<++，同理44(),()b cf b d f c t a b c a b c=<=<++++，则有4()()()()24a b c f a f b f c d t a b c++++=+<=++，240d t ∴+-<，又(),0d d d b a a b ab-<∴<， 而00b a d >>∴<，0d ∴<，(24)0d d t ∴+-> 8分.(Ⅲ){}2()(),,(0,),()f x f x k x f x k ψ=∈Ω∈+∞<且存在常数使得任取∴对任意()f x ∈ψ,存在常数k ，使得()f x k <，对(0,)x ∈+∞成立.先证明()0f x ≤对(0,)x ∈+∞成立，假设存在0(0,)x ∈+∞，使得0()0f x >，记02()0f x m x =>. ()f x 是二阶比增函数，即2()f x x 是增函数，0x x ∴>时，0220()()f x f x m x x >=，2()f x mx ∴>，∴一定可以找到一个10x x >，使得211()f x mx k >>，这与对(0,)x ∈+∞，()f x k <矛盾.11分∴()0f x ≤对(0,)x ∈+∞成立. 即任意()f x ∈ψ，()0f x ≤对(0,)x ∈+∞成立.下面证明()0f x =在(0,)x ∈+∞上无解:假设存在20x >，使得2()0f x =，一定存在320x x >>，3232()()0f x f x x x >=，这与上面证明的结果矛盾，()0f x ∴=在(0,)x ∈+∞上无解. 综上，对任意()f x ∈ψ，()0f x <对(0,)x ∈+∞成立，存在0,(0,)M x ≥∈+∞使，任意()f x ∈ψ，有()f x M <成立，min 0M ∴=. 15.。

山东省2014届理科数学一轮复习试题选编7：函数的综合问题一、选择题错误！未指定书签。

．（山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试理科数学）某学校要召开学生代表大会,规定根据班级人数每10人给一个代表名额,当班级人数除以10的余数大于6时,再增加一名代表名额.那么各班代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x =([x]表示不大于*的最大整数)可表示为 （ ） A ．[]10xy = B ．3[]10x y += C ．4[]10x y += D ．5[]10x y += 【答案】B 法一:特殊取值法,若x=56,y=5,排除 C ．D,若x=57,y=6,排除A,所以选B法二:设)90(10≤≤+=ααm x ,，时⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≤≤10103103,60x m m x αα 1101103103,96+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≤<x m m x αα时当,所以选B 错误！未指定书签。

．（山东省寿光市2013届高三10月阶段性检测数学（理）试题）已知函数321,,1,12()111,0,.362x x x f x x x ⎧⎛⎤∈ ⎪⎥+⎪⎝⎦=⎨⎡⎤⎪-+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩函数π()s i n ()22(0)6g x a x a a =-+ ,若存在[]12,0,1x x ∈,使得12()()f x g x =成立,则实数a 的取值范围是（ ）A ．14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦C ．24,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B错误！未指定书签。

．（山东省德州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）若对于定义在R 上的函数f(x),存在常数()t t R ∈,使得f(x+t)+tf(x)=0对任意实数x 均成立,则称f(x )是阶回旋函数,则下面命题正确的是 （ ） A ．f(x)=2x是12-阶回旋函数 B ．f(x)=sin(πx)是1阶回旋函数 C ．f (x)=x 2是1阶回旋函数 D ．f(x)=log a x 是0阶回旋函数【答案】B错误！未指定书签。