湖南省长沙市雅礼中学2023届高三下学期月考(六)数学试题含答案

雅礼中学2024届高三月考试卷（七）数 学（时量120分钟，满分150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集{}2,4,6,8,10,12U =，{}4,6,8M =，{}8,10N =，则集合{}2,12=（）A. M N ⋃B. M N ⋂C. ()U C M N ⋃D. ()U C M N2. 下列命题正确的是（ ）A. “ln ln m n <”是“e e m n <”的充分不必要条件B. 命题：0,ln 1x x x ∀>≤-的否定是：0000,ln 1x x x ∃>≥-C. 5πsin cos 2x x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭D. 函数21x y x +=+在()(),11,-∞--+∞ 上是减函数 3. 若复数z 满足|2i ||2i |8z z ++-=，则复数z 在复平面内所对应点的轨迹是（ ） A 椭圆B. 双曲线C. 圆D. 线段4. 已知D 是ABC 所在平面内一点，3255AD AB AC =+，则（ ）A. 25BD BC =B. 35BD BC = C. 32BD BC =D. 23BD BC =5. 我们把由0和1组成的数列称为01-数列，01-数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛应用，把斐波那契数列{}()12211,n n n n F F F F F F ++===+中的奇数换成0，偶数换成1可得到01-数列{}n a ，记.数列{}n a 的前n 项和为n S ，则100S 的值为（ ） A. 32B. 33C. 34D. 356. 我国元代瓷器元青花团菊花纹小盏如图所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突.器身施白釉，以青花为装饰，釉质润泽，底足露胎，胎质致密.碗内口沿饰有一周回纹，内底心书有一文字，碗外壁绘有一周缠枝团菊纹，下笔流畅，纹饰洒脱.该元青花团菊花纹小盏口径8.4厘米，底径2.8厘米，高4厘米，它的形状可近似看作圆台，则其侧面积约为（单位：平方厘米）（ ）12.2≈）A. 34πB. 27πC. 20πD. 18π7. 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n-=>>有共同的焦点1F ，2F ，且在第一象限内相交于点P ，椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ．若123F PF π∠=，则12e e ⋅的最小值是A.12B.C.D.328. 求值：2cos40cos80sin80+=（ ）A.B.C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 某市7天国庆节假期期间的楼房日认购量（单位：套）与日成交量（单位：套）的折线图如下图所示，小明同学根据折线图对这7天的日认购量与日成交量作出如下判断，则下列结论正确的是（ ）A. 日认购量与日期正相关B. 日成交量的中位数是26C. 日成交量超过日平均成交量的有2天D. 10月7日日认购量的增量大于10月7日日成交量的增量10. 抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景､丰富的性质产生了无穷的魅力.设,A B 是抛物线2:4C x y =上两个不同的点，以()()1122,,,A x y B x y 为切点的切线交于P 点.若弦AB 过点()0,1F ，则下列说法正确的有（ ） A. 124x x =-B. 若12x =，则A 点处的切线方程为10x y --=C. 存在点P ，使得0PA PB ⋅>D. PAB 面积的最小值为411. 已知函数()()()1e 1xf x x x =+--，则下列说法正确的有A. ()f x 有唯一零点B. ()f x 无最大值C. ()f x 在区间()1,+∞上单调递增D. 0x =为()f x 的一个极小值点三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 雅礼中学将5名学生志愿者分配到街舞社､戏剧社､魔术社及动漫社4个社团参加志愿活动，每名志愿者只分配到1个社团､每个社团至少分配1名志愿者，则不同分配方案共有__________种13. 已知圆221:(2)1C x y +-=与圆222:(2)(1)4C x y -+-=相交于,A B 两点，则()1211C C C A C B =⋅+__________.的14. 某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）.如图，已知锐角ABC 外接圆的半径为2，且三条圆弧沿ABC 三边翻折后交于点P .若3AB =，则sin PAC ∠=___________；若::6:5:4AC AB BC =，则PA PB PC ++的值为___________.四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 人工智能正在改变我们的世界，由OpenAI 开发的人工智能划时代标志的ChatGPT 能更好地理解人类的意图，并且可以更好地回答人类的问题，被人们称为人类的第四次工业革命.它渗透人类社会的方方面面，让人类更高效地生活.现对130人的样本使用ChatGPT 对服务业劳动力市场的潜在影响进行调查，其数据的统计结果如下表所示： 服务业就业人数的ChatGPT 应 用的广泛性减少 增加 合计广泛应用 60 10 70 没广泛应用 40 20 60 合计 10030130（1）根据小概率值0.01α=独立性检验，是否有99%的把握认为ChatGPT 应用的广泛性与服务业就业人数的增减有关？（2）现从“服务业就业人数会减少”的100人中按分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记抽取的3人中有X 人认为人工智能会在服务业中广泛应用，求X 的分布列和均值.的的附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.α 0.10.05 0.01x α 2.706 3841 6.63516. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,2,,120ABCD PA AB BC AD CD ABC ∠===== .（1）求证：平面PAC ⊥平面PBD；（2）若点M 为PB 的中点，线段PC 上是否存在点N ，使得直线MN 与平面PAC 所成角的正弦值为.若存在，求PN PC 的值；若不存在，请说明理由.17. 如图，圆C 与x 轴相切于点()2,0T ，与y 轴正半轴相交于,M N 两点（点M 在点N 的下方），且3MN =．(1)求圆C 的方程；(2)过点M 任作一条直线与椭圆22184x y +=相交于两点A B 、，连接AN BN 、，求证：ANM BNM ∠=∠．18. 已知函数()()2ln 3f x x x ax x a =--∈R ..（1）若1x =是函数()f x 的一个极值点，求实数a 的值； （2）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，其中12x x <， ①求实数a 的取值范围；②若不等式122ln 31ax k x k +>+恒成立，求实数k 的取值范围.19. 对于无穷数列{}n c ，若对任意*,m n ∈N ，且m n ≠，存在*k ∈N ，使得m n k c c c +=成立，则称{}n c 为“G 数列”.（1）若数列{}n b 的通项公式为2n b n =，试判断数列{}n b 是否为“G 数列”，并说明理由； （2）已知数列{}n a 为等差数列，①若{}n a 是“G 数列”，*128,a a =∈N ，且21a a >，求2a 所有可能的取值；②若对任意*n ∈N ，存在*k ∈N ，使得k n a S =成立，求证：数列{}n a 为“G 数列”.参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集{}2,4,6,8,10,12U =，{}4,6,8M =，{}8,10N =，则集合{}2,12=（）A. M N ⋃B. M N ⋂C. ()U C M N ⋃D. ()U C M N【答案】C 【解析】【分析】根据交集、并集、补集的定义分别计算各选项对应的集合，从而可得正确的选项. 【详解】{}4,6,810M N = ，而{}8M N = ， 故(){}U 2,12M N =U ð，(){}U 2,4,6,10,12M N = ð， 故选：C.2. 下列命题正确的是（ ）A. “ln ln m n <”是“e e m n <”的充分不必要条件B. 命题：0,ln 1x x x ∀>≤-的否定是：0000,ln 1x x x ∃>≥-C. 5πsin cos 2x x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭D. 函数21x y x +=+在()(),11,-∞--+∞ 上是减函数 【答案】A 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断A ，根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断B ，利用诱导公式判断C ，利用特殊值判断D.【详解】对于A ：由函数ln y x =为定义在()0,∞+上单调递增函数，因为ln ln m n <，可得0m n <<，又因为函数e x y =为单调递增函数，可得e e m n <，即充分性成立；反之：由e e m n <，可得m n <，当,m n 小于0时，此时ln ,ln m n 没意义，即必要性不成立， 所以“ln ln m n <”是“e e m n <”的充分不必要条件，故A 正确；对于B ：命题：0,ln 1x x x ∀>≤-的否定是：0000,ln 1x x x ∃>>-，故B 不正确； 对于C ：5ππsin sin cos 22x x x ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 不正确； 对于D ：当2x =-时0y =，当0x =时2y =，但20-<，可得02<， 所以函数21x y x +=+在()(),11,-∞--+∞ 上不是减函数，故D 不正确； 故选：A.3. 若复数z 满足|2i ||2i |8z z ++-=，则复数z 在复平面内所对应点的轨迹是（ ） A. 椭圆 B. 双曲线C. 圆D. 线段【答案】A 【解析】【分析】根据题意，利用复数的几何意义，以及椭圆的定义，即可求解. 【详解】设()()()12,,0,2,0,2P x y F F -，复数z 对应点P ， 因为复数z 满足|2i ||2i |8z z ++-=，由复数的几何意义，可得21128242PF PF a F F c +==>==，的所以复数z 对应的点满足椭圆的定义，复数z 在复平面内所对应点的轨迹是椭圆. 故选：A.4. 已知D 是ABC 所在平面内一点，3255AD AB AC =+，则（ ）A. 25BD BC =B. 35BD BC = C. 32BD BC =D. 23BD BC =【答案】A 【解析】【分析】由平面向量线性运算可得.【详解】由3255AD AB AC =+ ，得3255AB BD AB AC +=+得2255BD AB AC =-+，得()2255BD AB AC BC =-+= ， 故选：A5. 我们把由0和1组成的数列称为01-数列，01-数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛应用，把斐波那契数列{}()12211,n n n n F F F F F F ++===+中的奇数换成0，偶数换成1可得到01-数列{}n a ，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则100S 的值为（ ） A. 32 B. 33C. 34D. 35【答案】B 【解析】【分析】根据题意求得数列的前9项，通过观察找到规律，继而可求. 【详解】因为12211,n n n F F F F F ++===+，所以34567892,3,5,8,13,21,34,F F F F F F F ======= ， 所以数列{}n a 的前若干项为：1231567890,1,0,0,1,0,0,1,a a a a a a a a a ========= ，则1234567891a a a a a a a a a ++=++=++== ，所以100331033S =⨯+=. 故选:B.6. 我国元代瓷器元青花团菊花纹小盏如图所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突.器身施白釉，以青花为装饰，釉质润泽，底足露胎，胎质致密.碗内口沿饰有一周回纹，内底心书有一文字，碗外壁绘有一周缠枝团菊纹，下笔流畅，纹饰洒脱.该元青花团菊花纹小盏口径8.4厘米，底径2.8厘米，高4厘米，它的形状可近似看作圆台，则其侧面积约为（单位：平方厘米）（ ）12.2≈）A. 34πB. 27πC. 20πD. 18π【答案】B 【解析】【分析】根据题意结合圆台的侧面积公式分析求解. 【详解】设该圆台的上底面､下底面的半径分别为,R r ，由题意可知： 4.2, 1.4R r ==，则圆台的母线长l ==所以其侧面积为()()π 4.2 1.4π 4.2 1.44 1.2227π⨯+⨯≈⨯+⨯⨯≈. 故选：B.7. 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n-=>>有共同的焦点1F ，2F ，且在第一象限内相交于点P ，椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ．若123F PF π∠=，则12e e ⋅的最小值是A.12B.C.D.32【答案】C 【解析】 【分析】设共同的焦点为(,0)c -，(,0)c ，设1PF s =，2PF t =，运用椭圆和双曲线的定义，以及三角形的余弦定理和基本不等式，即可得到所求最小值． 【详解】解：设共同的焦点为(,0)c -，(,0)c ， 设1PF s =，2PF t =，由椭圆和双曲线的定义可得2s t a +=，2s t m -=， 解得s a m =+，t a m =-， 在12PF F ∆中，123F PF π∠=，可得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅⋅∠，即为222224()()()()3c a m a m a m a m a m =++--+-=+，即有222234a m c c+=，即为2221314e e +=，由221213e e +≥，可得12e e ⋅≥，当且仅当21e =， 故选C ．【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．8. 求值：2cos40cos80sin80+=（ ）A.B.C.D. 【答案】A 【解析】【分析】易知()cos40=cos 12080-，再利用两角差的余弦公式计算可得结果.【详解】()2cos 12080cos802cos40cos80sin80sin80-++=()2cos120cos80sin120sin80cos80sin80++===故选：A.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 某市7天国庆节假期期间的楼房日认购量（单位：套）与日成交量（单位：套）的折线图如下图所示，小明同学根据折线图对这7天的日认购量与日成交量作出如下判断，则下列结论正确的是（ ）A. 日认购量与日期正相关B. 日成交量的中位数是26C. 日成交量超过日平均成交量的有2天D. 10月7日日认购量的增量大于10月7日日成交量的增量 【答案】BD 【解析】【分析】根据正相关的定义结合图象即可判断A ；根据中位数的定义结合图象即可判断B ；根据图中数据进行计算即可求得平均数，即可判断C ；根据图中数据进行计算即可判断D . 【详解】由题图可以看出，数据点并不是从左下至右上分布，所以A 错； 将成交量数据按大小顺序排列，中位数为26，所以B 对； 日平均成交量为1383216263816642.77++++++≈，超过42.7的只有一天，所以C 错；10月7日认购量的增量为276112164-=， 成交量的增量为16638128-=，所以D 对， 故选:BD.10. 抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景､丰富的性质产生了无穷的魅力.设,A B 是抛物线2:4C x y =上两个不同的点，以()()1122,,,A x y B x y 为切点的切线交于P 点.若弦AB 过点()0,1F ，则下列说法正确的有（ ） A. 124x x =-B. 若12x =，则A 点处的切线方程为10x y --=C. 存在点P ，使得0PA PB ⋅>D. PAB 面积的最小值为4 【答案】ABD 【解析】【分析】联立方程组，结合韦达定理，可判定A 正确；求得12y x '=，得到切点坐标2111,4A x x ⎛⎫⎪⎝⎭，得出切线方程2111124y x x x =-，进而可判定B 正确；由直线AP 的斜率为112x ，直线BP 的斜率为212x ，得到12114x x =-，可判定C 错误；由过点B 的切线方程为2221124y x x x =-，结合弦长公式，得到()32241ABP S k=+ ，可D 正确.【详解】对于A 中，设直线:1AB y kx =+，联立方程组214y kx x y=+⎧⎨=⎩，整理得2440x kx --=， 再设()()1122,,,A x y B x y ，则12124,4x x k x x +=⋅=-，所以A 正确； 对于B 中，由抛物线24x y =.可得214y x =，则12y x '=， 则过点A 的切线斜率为112x ，且21114y x =，即2111,4A x x ⎛⎫⎪⎝⎭，则切线方程为：()21111142y x x x x -=-，即2111124y x x x =-， 若12x =时，则过点A 的切线方程为：10x y --=，所以B 正确；对于C 中，由选项B 可得：直线AP 的斜率为112x ，直线BP 的斜率为212x ， 因为12121111224x x x x ⋅==-，所以AP BP ⊥，即0PA PB ⋅= ，所以C 错误；对于D 中，由选项B 可知，过点B 的切线方程为2221124y x x x =-，联立直线,PA PB 的方程可得()12,1,,1,PF PF AB P k k k k PF AB k-=-⋅=-⊥，所以12ABP S AB PF =⋅ ，()2241AB x k =-===+，PF ===则()32241ABPSk=+ ，当0k =时，ABP S △有最小值为4，所以D 正确.故选：ABD.11. 已知函数()()()1e 1xf x x x =+--，则下列说法正确的有A. ()f x 有唯一零点B. ()f x 无最大值C. ()f x 在区间()1,+∞上单调递增D. 0x =为()f x 的一个极小值点 【答案】BCD 【解析】【分析】求出函数的零点判断A ；利用导数探讨函数()f x 在(2,)+∞上的取值情况判断B ；利用导数探讨单调性及极值情况判断CD.【详解】对于A ，依题意，()()100f f -==，即=1x -和0x =是函数()()()1e 1xf x x x =+--的零点，A 错误；对于B ，当0x >时，令()e 1xu x x =--，求导得()e 10xu x =->'，函数()u x 在()0,∞+上递增，当2x ≥时，()2e 31u x ≥->，而1y x =+在()0,∞+上递增，值域为()1,+∞，因此当2x ≥时，()1f x x >+，则()f x 无最大值，B 正确； 对于C ，()()2e 22xf x x x '=+--，令()()2e 22xg x x x =+--，求导得()()3e 2xg x x =+-'，当0x >时，令()()3e 2xh x x =+-，则()()4e 0xh x x '=+>，即()()g x h x '=在()0,∞+上递增，()()010g x g '='>>，则()()f x g x '=在()0,∞+上递增，()()00f x f ''>=，因此()f x 在()0,∞+上递增，即()f x 在()1,+∞上单调递增，C 正确； 对于D ，当10x -<<时，()22e 2xx x x ϕ+=-+， 求导得()22e (2)xx x ϕ=-+'，显然函数()x ϕ'在()1,0-上递增， 而()()11120,00e 2ϕϕ'-'=-<=>，则存在()01,0x ∈-，使得()00x ϕ'=， 当()0,0x x ∈时，()0x ϕ'>，函数()x ϕ在()0,0x 上单调递增，则()()00x ϕϕ<=， 即当()0,0x x ∈时，22e 2xx x +<+，则()()2e 220xf x x x '=+--<，又()00f '=， 因此0x =为()f x 的一个极小值点，D 正确. 故选：BCD【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：①直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．②零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[,]a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅＜，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．③利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 雅礼中学将5名学生志愿者分配到街舞社､戏剧社､魔术社及动漫社4个社团参加志愿活动，每名志愿者只分配到1个社团､每个社团至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有__________种 【答案】240 【解析】【分析】根据题意，先将5名学生志愿者分为4组，再将分好4组安排参加4个社团参加志愿活动，结合分步计数原理，即可求解.【详解】根据题意，分2步进行分析：①将5名学生志愿者分为4组，有25C 10=种分组方法，②将分好的4组安排参加4个社团参加志愿活动，有44A 24=种情况，的则有1024240⨯=种分配方案. 故答案为：240.13. 已知圆221:(2)1C x y +-=与圆222:(2)(1)4C x y -+-=相交于,A B 两点，则()1211C C C A C B =⋅+__________. 【答案】2 【解析】【分析】易知两圆公共弦AB 所在的直线方程为()()12210,0,2,2,1x y C C -+=，由点到直线距离公式可得向量1C A 在向量12C C 方向上的投影为d = 2.【详解】由题意可知两圆公共弦AB 所在的直线方程为()()12210,0,2,2,1x y C C -+=，如下图所示：所以点1C 到直线210x y -+=的距离为2d C ==，又易知12C C AB ⊥，所以向量1C A 在向量12C C 方向上的投影为d =所以1211C C C A ⋅== ，同理可得1211C C C B ⋅= ， 所以()12112C C C A C B ⋅+=.故答案为：214. 某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）.如图，已知锐角ABC 外接圆的半径为2，且三条圆弧沿ABC 三边翻折后交于点P .若3AB =，则sin PAC ∠=___________；若::6:5:4AC AB BC =，则PA PB PC ++的值为___________.【答案】 ①.②. 234##5.75【解析】【分析】第一空，由正弦定理求得3sin 4ACB ∠=，可得cos ACB ∠=角形诱导公式推得sin cos PAC ACB ∠∠=，即得答案；第二空，设,,CAB CBA ACB ∠θ∠α∠β===，由余弦定理求得它们的余弦值，然后由垂心性质结合正弦定理表示出()4cos cos cos PA PB PC θαβ++=++，即可求得答案. 【详解】设外接圆半径为R ，则2R =， 由正弦定理，可知324sin sin AB R ACB ACB∠∠===，即3sin 4ACB ∠=，由于ACB ∠是锐角，故cos ACB ∠= 又由题意可知P 为三角形ABC 的垂心，即⊥AP BC ,故π2PAC ACB ∠∠=-，所以sin cos PAC ACB ∠∠==； 设,,CAB CBA ACB ∠θ∠α∠β===， 则πππ,,222PAC PBA PAB ∠β∠θ∠α=-=-=-， 由于::6:5:4AC AB BC =，不妨假设6,5,4AC AB BC ===，由余弦定理知222222222654345614659cos ,cos ,cos 2654245824616θαβ+-+-+-======⨯⨯⨯⨯⨯⨯，设AD,CE,BF 为三角形的三条高，由于ππ,22ECB EBC PCD CPD ∠+∠=∠+∠= , 故EBC CPD ∠=∠ ,则得πππAPC CPD EBC ABC ∠∠∠=-∠=-=-，所以24ππsin sin sin sin 22PC PA AC ACR APC ABC∠∠βθ=====⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 同理可得24πsin sin sin 2PB AB ABR APB ACB∠∠α====⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以()319234cos cos cos 448164PA PB PC θαβ⎛⎫++=++=++=⎪⎝⎭,；234 【点睛】本题重要考查了正余弦定理在解三角形中的应用，涉及到三角形垂心的性质的应用，解答时要能灵活地结合垂心性质寻找角之间的关系，应用正余弦定理，解决问题.四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 人工智能正在改变我们的世界，由OpenAI 开发的人工智能划时代标志的ChatGPT 能更好地理解人类的意图，并且可以更好地回答人类的问题，被人们称为人类的第四次工业革命.它渗透人类社会的方方面面，让人类更高效地生活.现对130人的样本使用ChatGPT 对服务业劳动力市场的潜在影响进行调查，其数据的统计结果如下表所示：服务业就业人数的ChatGPT 应 用的广泛性减少 增加 合计广泛应用601070没广泛应用 40 20 60 合计 10030130（1）根据小概率值0.01α=的独立性检验，是否有99%的把握认为ChatGPT 应用的广泛性与服务业就业人数的增减有关？（2）现从“服务业就业人数会减少”的100人中按分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记抽取的3人中有X 人认为人工智能会在服务业中广泛应用，求X 的分布列和均值.附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.α 0.10.05 0.01x α 2.706 3.841 6.635【答案】（1）没有 （2）分布列见解析，95【解析】【分析】（1）根据题意求2χ，并与临界值对比判断；（2）根据分层抽样求各层人数，结合超几何分布求分布列和期望. 【小问1详解】零假设为0H ：ChatGPT 对服务业就业人数的增减无关.根据表中数据得220.01130(60204010) 6.603 6.635706010030x ⨯⨯-⨯=≈<=⨯⨯⨯χ，所以根据小概率值0.01α=的独立性检验， 没有充分证据推断0H 不成立，因此可以认为无关. 【小问2详解】由题意得，采用分层抽样抽取出的5人中， 有6053100⨯=人认为人工智能会在服务业中广泛应用，有4052100⨯=人认为人工智能不会在服务业中广泛应用， 则X 的可能取值为1,2,3，又()()()1231332323335355C C C C C 3311,2,3C 10C 5C 10P X P X P X =========， 所以X 的分布列为X1 2 3P310 35 110所以()3319123105105E X =⨯+⨯+⨯= 16. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,2,,120ABCD PA AB BC AD CD ABC ∠===== .（1）求证：平面PAC ⊥平面PBD ；（2）若点M 为PB 的中点，线段PC 上是否存在点N ，使得直线MN 与平面PAC 所成角的正弦值为.若存在，求PN PC 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，14PN PC =或38PN PC = 【解析】【分析】（1）设AC 的中点为O ，根据题意证得BD AC ⊥和BD PA ⊥，证得BD ⊥平面PAC ，进而证得平面PAC ⊥平面PBD .（2）以,OCOD 所在的直线为x 轴和y轴，建立空间直角坐标系，设()01PN PC λλ=≤≤，分别求得平面PAC和1,122MN λ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，结合向量的夹角公式，列出方程，即可求解..【小问1详解】设AC 的中点为O ，因为AB BC =，所以BO AC ⊥，因为AD CD =，所以DO AC ⊥，所以,,B O D 三点共线，所以BD AC ⊥， 因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD PA ⊥，因为PA AC A = ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ， 因为BD ⊂平面PBD ，所以平面PAC ⊥平面PBD . 【小问2详解】以,OC OD 所在的直线为x 轴和y 轴，过O 点作平行于AP 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则)()(),2,0,1,0CP B -，因为M 为PB的中点，所以1,12M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 设()01PN PC λλ=≤≤，所以()22N λ--，所以1,122MN λ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 由（1）知BD ⊥平面PAC ，所以平面PAC 的一个法向量为()0,1,0n =， 设直线MN 与平面PAC 所成角为θ，则sin cos ,MN n MN n MN n θ⋅====，即当14PN PC =或38PN PC =时，直线MN 与平面PAC.17. 如图，圆C 与x 轴相切于点()2,0T ，与y 轴正半轴相交于,M N 两点（点M 在点N 的下方），且3MN =．(1)求圆C 的方程；(2)过点M 任作一条直线与椭圆22184x y +=相交于两点A B 、，连接AN BN 、，求证：ANM BNM ∠=∠．【答案】（Ⅰ）()22525224x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；（Ⅱ）见解析【解析】【详解】分析：(1)设圆心坐标为()2,r ，根据3MN =.可由勾股定理求出r ，求得圆的方程． (2)讨论当斜率不存在时0ANM BNM ∠=∠= ；当斜率存在时，设出直线1y kx =+方程，联立椭圆方程，利用韦达定理表示出1212246,1212k x x x x k k+=-=-++，表示出AN BN k k 、，即可判定ANM BNM ∠=∠．详解：(1)由题可知圆心的坐标为()2,.r ∵22232553,2,242MN r r ⎛⎫=∴=+== ⎪⎝⎭∴圆C 方程为:()22525224x y ⎛⎫-+-=⎪⎝⎭ (2) 由圆C 方程可得()()0,1,0,4M N①当AB 斜率不存在时，0ANM BNM ∠=∠=②当AB 斜率存在时，设AB 直线方程为:1y kx =+. 设()()1122,,,A x y B x y()2222112460184y kx k x kx x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩ 1212246,1212k x x x x k k +=-=-++∴()22121212121226423234412120612AN BN k k kx x x x y y k k k k x x x x k ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪-+--++⎝⎭⎝⎭+=+===-+∴0AN BN k k +=综上所述ANM BNM ∠=∠点睛：本题考查了求圆标准方程，直线与椭圆的关系，通过韦达定理解决相交弦问题，也是高考的常考点，属于难点．18. 已知函数()()2ln 3f x x x ax x a =--∈R .（1）若1x =是函数()f x 的一个极值点，求实数a 的值； （2）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，其中12x x <， ①求实数a 的取值范围；②若不等式122ln 31ax k x k +>+恒成立，求实数k 的取值范围. 【答案】18. 1-19. ①310,2e ⎛⎫⎪⎝⎭，②[)1,+∞ 【解析】【分析】（1）对函数求导，依题意可得()10f '=，解得1a =-，经检验符合题意；（2）①将函数()f x 有两个极值点转化为方程ln 220x ax --=有两个不同的正数根，再由函数与方程的思想可知函数()ln 2x g x x-=与函数2y a =的图象在()0,∞+上有两个不同交点，利用数形结合可得310,2e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；②由两极值点的关系通过构造函数可将不等式恒成立问题转化为函数()()ln 11ln 0F t t t t k t t =-+---<对任意的01t <<恒成立，利用导数并对实数k 的取值分类讨论即可求得[)1,k ∞∈+. 【小问1详解】易知()ln 123ln 22f x x ax x ax =+--=--'，又1x =是函数()f x 的一个极值点，()10f ∴'=，即220,1a a --=∴=-.此时()ln 22f x x x +'=-，令()()1ln 22,20h x x x h x x+='=-+>， ()()f x h x ∴'=在()0,∞+上单调递增，且()10f '=，当()()0,1,0x f x ∈'<，当()()1,,0x f x '∈+∞>，()f x ∴在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增，所以1x =是()f x 的极小值点，即1a =-符合题意； 因此实数a 的值为1-. 【小问2详解】①因为()ln 22f x x ax -'=-，且()()2ln 3f x x x ax x a =--∈R 有两个极值点12,x x ，所以方程()0f x '=在()0,∞+上有两个不同的根，即方程ln 220x ax --=有两个不同的正数根，将问题转化为函数()ln 2x g x x-=与函数2y a =的图象在()0,∞+上有两个不同交点， 则()23ln x g x x -'=，令()23ln 0xg x x'-==，解得3e x =， 当3e x >时，()()0,g x g x '<单调递减，当30e x <<时，()()0,g x g x '>单调递增， 且当2e x >时，()()20,e0g x g >=，故作出()g x 的图象如下：由图象可得3120,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭满足题意，即310,2e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 即实数a 的取值范围为310,2e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭； ②由①知12,x x 是ln 220x ax --=的两个根，故11222ln 20,2ln 20x ax x ax -+-=-+-=，则1212ln ln 2x x a x x -=-，不妨设12x t x =，又120x x <<，所以()120,1x t x =∈可得21tx x =， 可得122212ln ln 2ln 0x x x x x x --+-=-，即122122ln2ln 0x x x x x x -+-=-，所以2ln ln 21tx t =+-； 故由122ln 31ax k x k +>+可得121212ln ln ln 31x x x k x k x x -+>+-，即2222ln ln 31t tx k x k tx x +>+-，所以2ln ln 311t tk x k t +>+-； 也即ln ln 23111t t t k k t t ⎛⎫++>+ ⎪--⎝⎭，化简得ln 11ln 11t t t t t k t t -+--⎛⎫> ⎪--⎝⎭， 由于01t <<，所以等价于()ln 11ln 0t t t k t t -+---<对任意的01t <<恒成立， 令()()ln 11ln F t t t t k t t =-+---，故()0F t <对任意01t <<恒成立，则()ln kF t t k t '=-+， 设()ln k m t t k t =-+，则()221k t km t t t t='-=-，（i ）当0k ≤时，()()()20,t km t m t F t t-=>'='单调递增，故()()()10,F t F F t '='<单调递减，故()()10F t F >=，不满足，舍去； （ii ）当1k ≥时，()()()20,t km t m t F t t -=<'='单调递减， 故()()()10,F t F F t '='>单调递增，故()()10F t F <=，故()0F t <恒成立，符合题意； （iii ）当01k <<时，令()20t km t t-'==，则t k =， 当1k t <<时，()()()0,m x m x F t >'='单调递增， 当0t k <<时，()()()0,m x m t F t <'='单调递减，又()10F '=，故1k t <<时，()()10F t F ''<=，此时()F t 单调递减，故()()10F t F >=，的因此当1k t <<时，()0F t >，不符合题意，舍去. 综上，实数k 的取值范围为[)1,+∞.【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用两极值点关系可得1212ln ln 2x x a x x -=-，并通过构造函数将不等式问题转化为函数在指定区间上恒成立问题，利用导函数求出函数最值即可求得实数k 的取值范围. 19. 对于无穷数列{}n c ，若对任意*,m n ∈N ，且m n ≠，存在*k ∈N ，使得m n k c c c +=成立，则称{}n c 为“G 数列”.（1）若数列{}n b 的通项公式为2n b n =，试判断数列{}n b 是否为“G 数列”，并说明理由； （2）已知数列{}n a 为等差数列，①若{}n a 是“G 数列”，*128,a a =∈N ，且21a a >，求2a 所有可能取值；②若对任意*n ∈N ，存在*k ∈N ，使得k n a S =成立，求证：数列{}n a 为“G 数列”. 【答案】（1）是，理由见解析（2）①2a 的可能值为9,10,12,16.②证明见解析 【解析】【分析】（1）根据题意，推得()222m n b b m n m n +=+=+，取k m n =+，得到m n k b b b +=，即可求解；（2）若{}n a 是“G 数列”，且为等差数列，得到()81n a n d =+-，进而得到存在*k ∈N ，使得m n k a a a +=，求得()18k m n d --+=，得到d 的值，进而求得2a 的可能值；②设数列{}n a 公差为d ，得到()3n a t n d =+-，求得()26m n a a t m n d +=++-，鸡儿推得k m n a a a =+，得到答案.【小问1详解】解：数列{}n b 的通项公式为2n b n =，对任意的*,,m n m n ∈≠N ，都有()2,2,222m n m n b m b n b b m n m n ==+=+=+， 取k m n =+，则m n k b b b +=，所以 {}n b 是“G 数列”.的【小问2详解】解：数列{}n a 为等差数列，①若{}n a 是“G 数列”，*128,a a =∈N ，且*2121,0,a a d a a d >=->∈N ，则()81n a n d =+-，对任意的()()*,,,81,81m n m n m n a m d a n d ∈≠=+-=+-N ，()882m n a a m n d +=+++-，由题意存在*k ∈N ，使得m n k a a a +=，即()()88281m n d k d +++-=+-，显然k m n ≥+， 所以()()281m n d k d +-+=-，即()18k m n d --+=，*1k m n --+∈N .所以d 是8的正约数，即1,2,4,8d =，1d =时，29,7a k m n ==++； 2d =时2,10,3a k m n ==++；4d =时2,12,1a k m n ==++；8d =时2,16,a k m n ==+.综上，2a 的可能值为9,10,12,16.②若对任意*n ∈N ，存在*k ∈N ，使得k n a S =成立， 所以存在*122,,3t t a a S a t ∈+==≥N ，设数列{}n a 公差为d ，则()()11121,2a d a t d a t d +=+-=-， 可得()()()213n a t d n d t n d =-+-=+-，对任意()()*,,,3,3m n m n m n a m d a n d ιι∈≠=+-=+-N ，则()26m n a a t m n d +=++-，取*3k t m n =++-∈N ，可得()()326k m n a t k d t m n d a a =-+=++-=+，所以数列{}n a 是“G 数列”.。

2024-2025学年湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考（三）数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.命题“存在x∈Z，x2+2x+m≤0”的否定是( )A. 存在x∈Z，x2+2x+m>0B. 不存在x∈Z，x2+2x+m>0C. 任意x∈Z，x2+2x+m≤0D. 任意x∈Z，x2+2x+m>02.已知集合A={ i , i2 , i3 ,i4 }(i是虚数单位)，B={ 1 , −1 }，则A∩B=( )A. { −1 }B. { 1 }C. { 1 , −1 }D. ⌀3.已知奇函数f(x)=(2x+m⋅2−x)cos x，则m=( )A. −1B. 0C. 1D. 124.已知m，l是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则下列可以推出α⊥β的是( )A. m⊥l,m⊂β,l⊥αB. m⊥l,α∩β=l,m⊂αC. m//l,m⊥α,l⊥βD. l⊥α,m//l,m//β5.已知函数f(x)=4cos(ωx+φ)(ω>0)图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则f(−6φπ)=( )A. 0B. 2φC. 4D. φ26.已知M是圆C:x2+y2=1上一个动点，且直线l1:mx−ny−3m+n=0与直线l2:nx+my−3m−n=0(m,n∈R,m2+n2≠0)相交于点P，则|PM|的取值范围是( )A. [3−1,23+1]B. [2−1,32+1]C. [2−1,22+1]D. [2−1,33+1]7.P是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点，F1、F2是C的两个焦点，PF1⋅PF2=0;点Q在∠F1PF2的平分线上，O为原点，OQ//PF1，且|OQ|=b.则C的离心率为( )A. 12B. 33C. 63D. 328.设集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|x i∈{−1,0,1},i=1,2,3,4,5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+ |x4|+|x5|≤3”的元素个数为( )A. 60B. 90C. 120D. 130二、多选题：本题共3小题，共18分。

大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（二）数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．时量120分钟，满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若12z i =+，则()1z z +⋅=（）A.24i --B.24i-+ C.62i- D.62i+【答案】C 【解析】【分析】根据复数的乘法运算和共轭复数的定义求解.【详解】()()()122i 12i 244i 2i 62i z z +⋅=+-=+-+=-．故选:C .2.全集U =R ，集合{2,3,5,7,9}A =，{4,5,6,8}B =，则阴影部分表示的集合是（）A.{2,3,5,7,9}B.{2,3,4,5,6,7,8,9}C.{4,6,8}D.{5}【答案】C 【解析】【分析】根据给定的条件利用韦恩图反应的集合运算直接计算作答.【详解】韦恩图的阴影部分表示的集合为()U A B ð，而全集U =R ，集合{2,3,5,7,9}A =，{4,5,6,8}B =，所以(){4,6,8}U A B ⋂=ð.故选：C 3.函数()2log 22xxx x f x -=+的部分图象大致是（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】利用函数的奇偶性和特殊点即得.【详解】易知()2log 22xxx x f x -=+的定义域为{}0x x ≠，因为()()22log log 2222xxxxx x x f x x f x -----==-=-++，所以()f x 为奇函数，排除答案B ，D ；又()2202222f -=>+，排除选项C ．故选:A ．4.在边长为3的正方形ABCD 中，点E 满足2CE EB = ，则AC DE ⋅=（）A.3 B.3- C.4- D.4【答案】A 【解析】【分析】建立直角坐标系，写出相关点的坐标，得到AC ，DE，利用数量积的坐标运算计算即可.【详解】以B 为原点，BC ，BA 所在直线分别为x ，y 轴，建立如图所示直角坐标系，由题意得()()()()0,3,1,0,3,0,3,3A E C D ，所以()3,3AC =- ，()2,3DE =--，所以()()()32333AC DE ⋅=⨯-+-⨯-=.故选：A.5.某校科技社利用3D 打印技术制作实心模型．如图，该模型的上部分是半球，下部分是圆台．其中半球的体积为3144πcm ，圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半．打印所用原料密度为31.5g/cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（）（1.5 4.7π≈）A.3045.6gB.1565.1gC.972.9gD.296.1g【答案】C 【解析】【分析】由题意可知所需要材料的体积即为半球体积与圆台体积之和，先求出圆台的体积，再利用组合体的体积乘以打印所用原料密度可得结果.【详解】设半球的半径为R ，因为332π144πcm 3V R ==半球，所以6R =，由题意圆台的上底面半径及高均是3，下底面半径为6，所以((223113π6π363πcm 33V S S h =+=⋅+⋅+⨯=下上圆台，所以该实心模型的体积为3144π63π207πcm V V V =+=+=半球圆台，所以制作该模型所需原料的质量为207π 1.5207 4.7972.9g ⨯≈⨯=故选：C6.已知数列{} n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，10a >，则“公比0q >”是“对于任意*n ∈N ，0n S >”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据等比数列的通项公式以及前n 项和公式，分别验证充分性以及必要性即可得到结果.【详解】若10a >，且公比0q >，则110n n a a q -=>，所以对于任意*n ∈N ，0n S >成立，故充分性成立；若10a >，且12q =-，则()111112212111101323212n n nn n a S a a ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦==-=--⨯>⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-- ⎪⎝⎭，所以由对于任意*n ∈N ，0n S >，推不出0q >，故必要性不成立；所以“公比0q >”是“对于任意*n ∈N ，0n S >”的充分不必要条件.故选:A7.若存在实数a ，对任意的x ∈[0，m ]，都有(sin x －a )·(cos x －a )≤0恒成立，则实数m 的最大值为()A.4πB.2πC.34π D.54π【答案】C 【解析】【分析】根据已知不等式得到，要求y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象不在y ＝a＝2的同一侧，利用正弦函数、余弦函数图象的性质进行解答即可．【详解】在同一坐标系中，作出y ＝sin x 和y ＝cos x的图象，当m ＝4π时，要使不等式恒成立，只有a＝2，当m ＞4π时，在x ∈[0，m ]上，必须要求y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象不在y ＝a＝2的同一侧.∴由图可知m 的最大值是34π.故选：C.8.已知函数()f x 的定义域为R ，()()()()2,24f x f x f f +=--=-，且()f x 在[)1,+∞上递增，则()10xf x ->的解集为（）A.()()2,04,∞-⋃+ B.()(),15,∞∞--⋃+C.()(),24,-∞-+∞ D.()()1,05,∞-⋃+【答案】D 【解析】【分析】根据()()2f x f x +=-可得()f x 关于直线1x =对称，根据()()24f f -=-可得()()240f f -==，结合函数()f x 的单调性可得函数图象，根据图象列不等式求解集即可.【详解】解：函数()f x ，满足()()2f x f x +=-，则()f x 关于直线1x =对称，所以()()()244f f f -==-，即()()240f f -==，又()f x 在[)1,+∞上递增，所以()f x 在(),1-∞上递减，则可得函数()f x 的大致图象，如下图：所以由不等式()10xf x ->可得，20210x x -<<⎧⎨-<-<⎩或414x x >⎧⎨->⎩，解得10x -<<或5x >，故不等式()10xf x ->的解集为()()1,05,∞-⋃+.故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.对于实数a ，b ，c ，下列选项正确的是（）A.若a b >，则2a ba b +>> B.若0a b >>，则a b>>C.若11a b>，则0a >，0b < D.若0a b >>，0c >，则b c ba c a+>+【答案】ABD 【解析】【分析】利用比较法、特例法逐一判断即可.【详解】对选项A ，因为a b >，所以022a b a b a +--=>，022a b a bb +--=>，所以2a ba b +>>，故A 正确；对选项B ，0a b >>1=>，所以a >因为1b =>b >，即a b >>，故B 正确；对选项C ，令2a =，3b =，满足11a b>，不满足0a >，0b <，故C 错误；对选项D ，因为0a b >>，0c >，所以()()()()()0a b c b a c c a b b c b a c a a a c a a c +-+-+-==>+++，故D 正确．故选：ABD ．10.已知函数()2sin cos 2f x x x x =-+，则下列说法正确的是（）A.()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B.函数()f x 的最小正周期为πC.函数()f x 的对称轴方程为()5πZ 12x k k π=+∈D.函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向右平移π3个单位长度得到【答案】AB 【解析】【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再结合正弦函数的图像性质逐项判断.【详解】()211cos 21πsin cos sin 2sin 2cos 2sin 22222223x f x x x x x x x x +⎛⎫=-+=--=- ⎪⎝⎭，所以A 正确；对于B ，函数()f x 的最小正周期为2ππ2=，所以B 正确；对于C ，由ππ2π32x k -=+，k ∈Z ，得5ππ122k x =+，Z k ∈，所以函数()f x 的对称轴方程为5ππ122k x =+，Z k ∈，所以C 不正确；对于D ，sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度，得ππsin 2sin 263y x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度得到，所以D 不正确．故选：AB ．11.设n S 是公差为d （0d ≠）的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题正确的是（）A.若0d <，则1S 是数列{}n S 的最大项B.若数列{}n S 有最小项，则0d >C.若数列{}n S 是递减数列，则对任意的：*N n ∈，均有0nS <D.若对任意的*N n ∈，均有0n S >，则数列{}n S 是递增数列【答案】BD 【解析】【分析】取特殊数列判断A ；由等差数列前n 项和的函数特性判断B ；取特殊数列结合数列的单调性判断C ；讨论数列{}n S 是递减数列的情况，从而证明D.【详解】对于A ：取数列{}n a 为首项为4，公差为2-的等差数列，2146S S =<=，故A 错误；对于B ：等差数列{}n a 中，公差0d ≠，211(1)(222n n n d dS na d n a n -=+=+-，n S 是关于n 的二次函数.当数列{}n S 有最小项，即n S 有最小值，n S 对应的二次函数有最小值，对应的函数图象开口向上，0d >，B 正确；对于C ：取数列{}n a 为首项为1，公差为2-的等差数列，22n S n n =-+，122(1)2(1)(2)210n n S n n n n S n =-+++-+---=+<＋，即1n n S S <＋恒成立，此时数列{}n S 是递减数列，而110S =>，故C 错误；对于D ：若数列{}n S 是递减数列，则10(2)n n n a S S n -=-<≥，一定存在实数k ，当n k >时，之后所有项都为负数，不能保证对任意*N n ∈，均有0n S >.故若对任意*N n ∈，均有0n S >，有数列{}n S 是递增数列，故D 正确．故选：BD12.如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别为棱11B C ，CD 上的动点（包含端点），则下列说法正确的是（）A.四面体11A D MN 的体积为定值B.当M ，N 分别为棱11B C ，CD 的中点时，则在正方体中存在棱与平面1A MN 平行C.直线MN 与平面ABCD 所成角的正切值的最小值为2D.当M ，N 分别为棱11B C ，CD 的中点时，则过1A ，M ，N 三点作正方体的截面，所得截面为五边形【答案】ACD 【解析】【分析】求出四面体的体积判断A ；把正方体的棱分成3类，再判断各类中的一条即可判断B ；作出线面角，并求出其正切表达式判断C ；利用线线、线面平行的性质作出截面判断D.【详解】点M ，N 在棱11B C ，CD 上运动时，M 到11A D 距离始终为2，N 到平面11A D M 的距离始终为2，所以四面体11A D MN 的体积11114222323N A MD V -=⨯⨯⨯⨯=恒为定值，A 正确；在正方体1111ABCD A B C D -中，棱可分为三类，分别是1111,,A A A B A D ，及分别与它们平行的棱，又1111,,A A A B A D 不与平面1A MN 平行，则在正方体1111ABCD A B C D -中，不存在棱与平面1A MN 平行，B 错误；正方体棱长为2，如图1，过M 作1MM BC ⊥于1M ，则有1MM ⊥平面ABCD ，于是MN 与平面ABCD 所成角即为1MNM ∠，于是11112tan MM MNM M N M N∠==，又1M N长度的最大值为MN 与平面ABCD所成角的正切值的最小值为2，C正确；如图2，取BC 中点M '，连接,AM MM ''，有11////MM BB AA '，且11MM BB AA '==，则四边形1AA MM '是平行四边形，有1//AM A M '，过N 作AM '的平行线交AD 于点E ，此时14DE DA =，则1//EN A M ，即EN 为过1A ，M ，N 三点的平面与平面ABCD 的交线，连接1A E ，在BC 上取点F ，使得14CF CB =，同证1//AM A M '的方法得11//A E B F ，在棱1CC 上取点G ，使113CG CC =，连接MG 并延长交直线BC 于H ，则112CH C M CF ==，即11FH C M B M ==，而1//FH B M ，于是四边形1FHMB 是平行四边形，有11////MG B F A E ，则MG 为过1A ，M ，N 三点的平面与平面11BCC B 的交线，连接NG ，则可得五边形1A MGNE 即为正方体中过1A ，M ，N 三点的截面，D 正确．故选：ABD【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若函数()ln f x x a x =-的图象在1x =处的切线斜率为3，则=a __________．【答案】2-【解析】【分析】求导，利用()13f '=求解即可.【详解】解：因为()ln f x x a x =-，所以()1a f x x'=-，又函数()ln f x x a x =-的图象在1x =处的切线斜率为3，则()1131af '=-=，所以2a =-．故答案为：2-14.在平面直角坐标系xOy 中，圆O 与x 轴的正半轴交于点A ，点B ，C 在圆O 上，若射线OB 平分AOC ∠，34,55B ⎛⎫⎪⎝⎭，则点C 的坐标为__________．【答案】724,2525⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【详解】由题意可知圆O 1=，设AOB BOC α∠=∠=，由题意可知4sin 5α=，3cos 5α=，则点C 的横坐标为271cos 212sin 25αα⨯=-=-，点C 的纵坐标为241sin 22sin cos 25ααα⨯==．故答案为：724,2525⎛⎫-⎪⎝⎭．15.已知函数()f x 的定义域为R ，()e xy f x =+是偶函数，()3e x y f x =-是奇函数，则()f x 的最小值为_____________．【答案】【解析】【分析】由题意可得()e 2e xxf x -=+，再结合基本不等式即可得答案.【详解】解：因为函数()e xy f x =+为偶函数，则()()e e x x f x f x --+=+，即()()ee xx f x f x ---=-，①又因为函数()3e xy f x =-为奇函数，则()()3e3e xx f x f x ---=-+，即()()3e 3ex xf x f x -+-=+，②联立①②可得()e 2e xxf x -=+，由基本不等式可得()e 2e x x f x -=+≥=，当且仅当e 2e x x -=时，即当1ln 22x =时，等号成立，故函数()f x 的最小值为故答案为：16.已知菱形ABCD 中，对角线BD =，将ABD △沿着BD 折叠，使得二面角A BD C --为120°，AC =，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为________.【答案】28π【解析】【分析】将 ABD 沿BD 折起后，取BD 中点为E ，连接AE ，CE ，得到120AEC ∠=︒，在AEC △中由余弦定理求出AE 的长，进一步求出AB 的长,分别记三角形ABD △与BCD △的重心为G 、F ，记该几何体ABCD 的外接球球心为O ，连接OF ，OG ，证明Rt OGE △与Rt OFE 全等，求出OE ，再推出BD OE ⊥，连接OB ，由勾股定理求出OB ，即可得出外接球的表面积.【详解】将 ABD 沿BD 折起后，取BD 中点为E ，连接AE ，CE ，则AE BD ⊥，CE BD ⊥，所以AEC ∠即为二面角A BD C --的平面角，所以120AEC ∠=︒；设AE a =，则AE CE a ==,在AEC △中2222cos120AC AE EC AE CE =+-⋅⋅︒，即2127222a a a ⎛⎫=-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭解得3a =，即3AE =，所以AB ==所以ABD △与BCD △是边长为的等边三角形.分别记三角形ABD △与BCD △的重心为G 、F ，则113EG AE ==，113EF CE ==；即EF EG =；因为ABD △与BCD △都是边长为所以点G 是ABD △的外心，点F 是BCD △的外心；记该几何体ABCD 的外接球球心为O ，连接OF ，OG ，根据球的性质，可得OF ⊥平面BCD ，OG ⊥平面ABD ，所以 OGE 与OFE △都是直角三角形，且OE 为公共边，所以Rt OGE △与Rt OFE 全等，因此1602OEG OEF AEC ∠=∠=∠=︒，所以2cos 60EFOE ==︒；因为AE BD ⊥，CE BD ⊥，AE CE E =I ，且AE ⊂平面AEC ，CE ⊂平面AEC ，所以BD ⊥平面AEC ；又OE ⊂平面AEC ，所以BD OE ⊥，连接OB，则外接球半径为OB ==所以外接球表面积为2428S ππ=⨯=.故答案为：28π【点睛】思路点睛：求解几何体外接球体积或表面积问题时，一般需要结合几何体结构特征，确定球心位置，求出球的半径，即可求解；在确定球心位置时，通常需要先确定底面外接圆的圆心，根据球心和截面外接圆的圆心连线垂直于截面，即可确定球心位置；有时也可将几何体补型成特殊的几何体（如长方体），根据特殊几何体的外接球，求出球的半径.四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n n S a a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设24n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：3n T <.【答案】（1）n a n =；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用,n n a S 的关系，结合已知条件以及等差数列的通项公式即可求得结果；（2）根据（1）中所求，利用裂项求和法求得n T ，即可证明.【小问1详解】依题意可得，当1n =时，2111122S a a a ==+，0n a >，则11a =；当2n ≥时，22n n n S a a =+，21112n n n S a a ---=+，两式相减，整理可得()()1110n n n n a a a a --+--=，又{}n a 为正项数列，故可得11n n a a --=，所以数列{}n a 是以11a =为首项，1d =为公差的等差数列，所以n a n =.【小问2详解】证明：由（1）可知n a n =，所以()42222n b n n n n ==-++，()44441324352n T n n =+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+22222222222222132435462112n n n n n n =-+-+-+-⋅⋅⋅+-+-+---++2221312n n =+--<++，所以3n T <成立.18.在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c )sin a C C =-.（1）求A ；（2）若8a =，ABC ABC 的周长.【答案】（1）2π3（2）18【解析】【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出tan A 的值，结合角A 的取值范围可求得角A 的值；（2）利用三角形的面积公式可得出182b c bc ++=，结合余弦定理可求得b c +的值，即可求得ABC 的周长.【小问1详解】解：因为)sin aC C =-，)sin sin B AC C =-，①因为πA B C ++=，所以()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，sin sin sin A C A C =-，又因为A 、()0,πC ∈，sin 0C ≠sin 0A A =-<，所以tan A =，又因为()0,πA ∈，解得2π3A =.【小问2详解】解：由（1）知，2π3A =，因为ABC 内切圆半径为所以()11sin 22ABC S a b c A =++⋅△，即()82b c ++=，所以，182b c bc ++=②，由余弦定理2222π2cos3a b c bc =+-⋅得2264b c bc ++=，所以()264b c bc +-=③，联立②③，得()()22864b c b c +-++=，解得10b c +=，所以ABC 的周长为18a b c ++=.19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11BC B C O = ，12BC BB ==，1AO =，160B BC ∠=︒，且AO ⊥平面11BB C C ．（1）求证：1AB B C ⊥；（2）求二面角111A B C A --的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）7【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质和判断定理可得1B C ⊥平面1ABC ，从而即可证明1AB B C ⊥；（2）建立以O 为原点，分别以OB ，1OB ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴的空间坐标系，利用空间向量求解即可.【小问1详解】证明：因为AO ⊥平面11BB C C ，1B C ⊂平面11BB C C ，所以1AO B C ⊥，因为1BC BB =，四边形11BB C C 是平行四边形，所以四边形11BB C C 是菱形，所以11BC B C ⊥．又因为1AO BC O ⋂=，AO ⊂平面1ABC ，1BC ⊂平面1ABC ，所以1B C ⊥平面1ABC ，因为AB ⊂平面1ABC ，所以1AB B C ⊥．【小问2详解】解：以O 为原点，分别以OB ，1OB ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示，则)B，()10,1,0B ，()0,0,1A，()1C ，所以()10,1,1AB =-，)11C B =，)110,1A B AB ==-，设平面11AB C 的一个法向量为()1111,,n x y z =，则11111111100n AB y z n C B y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取11x =，可得1y =1z =，所以(11,n =u r，设平面111B C A 的一个法向量为()2222,,n x y z =，则211221112200n A B z n C B y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取21x =，可得2y =，2z =所以(21,n =，设二面角111A B C A --的大小为θ，因为1212121,1,1cos ,7n n n n n n ⋅⋅〈〉===⋅，所以sin 7θ==，所以二面角111A B C A --的正弦值为7．20.如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点A ，右焦点为(c,0)F ，直线AF 交椭圆于B点，且满足||2||AF FB =，||2AB =．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线(0)y kx k =>与椭圆相交于,C D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值．【答案】（1）22132x y+=；（2）【解析】【分析】（1）由已知得b =，由||2||AF FB =且||2AB =，知||AF a ==，即可求出椭圆C 的标准方程；（2）直线AF的方程为0y +-=，与椭圆联立求出3(,22B -，求出点,A B 到直线(0)y kx k =>的距离为1d =，2d =y kx =与椭圆方程结合弦长公式求出CD ，求出四边形ACBD 的面积121()2S CD d d =+，整理化简利用二次函数求出最值.【详解】（1）A Q 为椭圆C上一点，b ∴=又||2||AF FB =，||2AB =可得，||AF =，即a =所以椭圆C 的标准方程是22132x y +=.（2）由（1）知(1,0)F，A ，∴直线AF的方程为0y +-=，联立221320x y y ⎧+=⎪+-=，整理得：22462(3)0x x x x -=-=，解得：1230,2x x ==，∴3(,22B -设点A，3(,22B -到直线(0)y kx k =>的距离为1d 和2d ，则1d =，2d =直线(0)y kx k =>与椭圆相交于,C D 两点，联立22132x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩，整理得：22(32)6k x +=，解得：34x x ==34CD x ∴=-=∴设四边形ACBD 面积为S ，则121()2S CD d d =+=(0)2k =>.设)t k =++∞，则k t =-363636222S ∴==⋅⋅362=当18t =，即3t k ===+3k =时，四边形ACBD面积有最大值.【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21.如图所示，A BCP -是圆锥的一部分(A 为圆锥的顶点)，O 是底面圆的圆心，23BOC π∠=，P 是弧BC 上一动点（不与B 、C 重合），满足COP θ∠=．M 是AB 的中点，22OA OB ==．（1）若//MP 平面AOC ，求sin θ的值；（2）若四棱锥M OCPB -的体积大于14，求三棱锥A MPC -体积的取值范围．【答案】（1）34（2）3,1212⎛ ⎝⎦【解析】【分析】（1）取OB 的中点N ，连接MN ，证明出//NP OC ，可得出3ONP π∠=，OPN θ∠=，然后在ONP △中利用正弦定理可求得sin θ的值；（2）计算得出四边形OCPB的面积3sin 264S πθ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，结合20,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可求得θ的取值范围，设三棱锥A MPC -的体积为2V ，三棱锥A BPC -的体积为3V ，计算得出2361133sin 2324V V πθ⎛⎫==+-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，结合正弦型函数的基本性质可求得结果.【小问1详解】解：取OB 的中点N ，连接MN ，M 为AB 的中点，则//MN OA ，MN ⊄ 平面AOC ，AO ⊂平面AOC ，则//MN 平面AOC ，由题设，当//MP 平面AOC 时，因为MP MN M ⋂=，所以，平面//MNP 平面AOC ，NP ⊂ 平面MNP ，则//NP 平面AOC ，因为NP ⊂平面OBPC ，平面OBPC 平面AOC OC =，则//NP OC ，所以，3ONP BOC ππ∠=-∠=，OPN COP θ∠=∠=，在OPN 中，由正弦定理可得sin sin3ON OP πθ=，故sin3sin 4ON OP πθ==.【小问2详解】解：四棱锥M OCPB -的体积1111323V OA S S =⋅⋅=，其中S 表示四边形OCPB 的面积，则112111sin sin sin cos sin 2232222S OP OC OP OB πθθθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅-=++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭333sin 4426πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以，1131sin 3664V S πθ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭，可得3sin 62πθ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，203πθ<<，则5666πππθ<+<，故2363πππθ<+<，解得,62ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.设三棱锥A MPC -的体积为2V ，三棱锥A BPC -的体积为3V ，由于M 是AB 的中点，则231112sin 2623V V OA S OB OC π⎛⎫==⋅-⋅ ⎪⎝⎭133333sin ,32412126πθ⎛⎛⎫=+-∈ ⎢ ⎪ ⎝⎭⎣⎦⎝⎦.22.混管病毒检测是应对单管病毒检测效率低下的问题，出现的一个创新病毒检测策略，混管检测结果为阴性，则参与该混管检测的所有人均为阴性，混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中至少有一人为阳性．假设一组样本有N 个人，每个人患病毒的概率相互独立且均为()01p p <<．目前，我们采用K 人混管病毒检测，定义成本函数()Nf X KX K=+，这里X 指该组样本N 个人中患病毒的人数．（1）证明：()E f X N ≥⎡⎤⎣⎦；（2）若4010p -<<，1020K ≤≤．证明：某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性．公众号：高中试卷君【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由均值的性质及基本不等式即可证明.（2）由二项分布的概率及条件概率化简即可证明.【小问1详解】由题意可得X 满足二项分布(),X B N p ，由()()E aX b aE X b +=+知，()()N N E f X K X E pN N K K K =+=+⋅≥⎡⎤⎣⋅⎦，当且仅当1Kp K=时取等号；【小问2详解】记P P =（混管中恰有1例阳性|混管检测结果为阳性），i P P =（混管中恰有i 例阳性）=()C 1K i i i K p p --，0,1,,i K = ，令()e 1xh x x =--，33210210x ---⨯<<⨯，则()e 1xh x '=-，当()3021,0x -⨯∈-时，()0h x '<，()h x 为单调递减，当()300,21x -∈⨯时，()0h x '>，()h x 为单调递增，所以()()00h x h ≥=，且()()332103210e 21010h ---⨯--⨯=--⨯-≈，()()332103210e 21010h --⨯-⨯=-⨯-≈，所以当33210210x ---⨯<<⨯，e 10x x --≈即e 1x x ≈+，两边取自然对数可得()ln 1x x ≈+，所以当4010p -<<，1020K ≤≤时，所以()()ln 11e e 1K K p Kp p Kp ---=≈≈-，则()()()()110111111111K K Kp K p Kp p P P K p P Kp p ---⎡⎤-⎣⎦==≈=--≈---．故某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性.。

雅礼中学2025届高三月考试卷（二）数学得分：______本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}21,A x x k k==-∈N，{}1,0,1,2,3B=-，则A B=（）A. {}1,3 B. {}0,1,3 C. {}1,1,3- D. {}1,0,1,2,3-2. 若复数()21i68iz-=+，则z z+=（）A. B.25C.35D.453. 设a，b是单位向量，则()2a b a b+-⋅最小值是（）A. 1-B. 0C.34D. 14已知()2cos23cos0αββ+-=，则()tan tanααβ+=（）A. 5B.15C. -5D.15-5. 巴黎奥运会期间，旅客人数（万人）为随机变量X，且()2~30,2X N.记一天中旅客人数不少于26万人的概率为0p，则0p的值约为（）（参考数据：若()2~,X Nμσ，有()0.683P Xμσμσ-<≤+≈，()220.954P Xμσμσ-<≤+≈，()330.997P Xμσμσ-<≤+≈）A. 0.977B. 0.9725C. 0.954D. 0.6836. 已知抛物线C：24x y=的焦点为F，过点F的直线与C相交于M，N两点，则122MF NF+的最小值为（）的.A.92B. 4C.72D. 37. 若x ，0y ≥，1x y +=+）A. ⎡⎣B. []1,2 C. 2⎤⎦D. 12⎡⎢⎣8. 从重量分别为1，2，3，4，…，10克的砝码（每种砝码各2个）中选出若干个，使其总重量恰为9克的方法总数为m ，下列各式的展开式中9x 的系数为m 的选项是（ ）A. ()()()()23101111x xx x ++++ B. ()()()()11213110x x x x ++++ C. ()()()()()222222341011111x x x x x +++++ D. ()()()()22222232101111x x xx xxx xx++++++++++ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. (多选)下列选项中，正确的是（ ）A. 不等式220x x +->的解集为{|2x x <-或1}x >B. 不等式2112x x +≤-的解集为{|32}x x -≤<C. 不等式21x -≥的解集为{|13}x x ≤≤D. 设R x ∈，则“11x -<”是“405x x +<-”的充分不必要条件10. 如图，透明塑料制成的长方体容器1111ABCD A B C D -内灌进一些水，固定容器一边AB 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的命题有（）A. 没有水部分始终呈棱柱形B. 水面EFGH 所在四边形的面积为定值C. 随着容器倾斜度的不同，11A C 始终与水面所在平面平行D. 当容器倾斜如图（3）所示时，AE AH ⋅为定值11. 已知奇函数()f x 在R 上单调递增，()()f x g x '=，()()g x f x '=，若()()()22f x f x g x =，则（ ）A. ()g x 的图象关于直线0x =对称B. ()()()222g x gx f x =+C. ()00g =或1D. ()()221gx f x -=第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 从14，13，12，2，3，4，6，9中任取两个不同的数，分别记为m ，n ，记A =“log 0m n <”，则()P A =______.13. 如图，ABC V 中，6AB =，2AC BC =，D 为AB 中点，则tan BDC ∠的取值范围为______.14. 小军和小方两人先后在装有若干黑球的黑盒子与装有若干白球的白盒子（黑球数少于白球数）轮流取球，规定每次取球可以从某一盒子中取出任意多颗（至少取1颗），或者在两个盒子中取出相同颗数的球（至少各取1颗），最后不能按规则取的人输.已知两盒中共有11个球，且两人掷硬币后决定由小军先手取球.小方看了眼黑盒中的球，对小军说：“你输了！”若已知小方有必胜策略，则黑盒中球数为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知2a b -=，()sin sin sin 2A BA B +-=.（1）求c ；的（2）若ABC V 的内切圆在AB 上的切点为D ，求AD .16. 已知动圆P 过点()2,0A -且与圆B ：()22236x y -+=内切.（1）求动圆圆心P 轨迹E 的方程；（2）设动圆1C ：2221x y t +=，1C 与E 相交于,,,A B C D 四点，动圆2C ：()222212x y t t t +=≠与E 相交于,,,A B C D ''''四点.若矩形ABCD 与矩形A B C D ''''的面积相等，求2212t t +的值.17. 为提高我国公民整体健康水平，2022年1月，由国家卫生健康委疾控局指导、中国疾病预防控制中心和国家体育总局体育科学研究所牵头组织编制《中国人群身体活动指南（2021）》（以下简称《指南》）正式发布，《指南》建议18～64岁的成年人每周进行150～300分钟中等强度或75～150分钟高强度的有氧运动（以下简称为“达标成年人”），经过两年的宣传，某体育健康机构为制作一期《达标成年人》的纪录片，采取街头采访的方式进行拍摄，当采访到第二位“达标成年人”时，停止当天采访.记采访的18～64岁的市民数为随机变量X （2X ≥），且该市随机抽取的18～64岁的市民是达标成年人的概率为13，抽查结果相互独立.（1）求某天采访刚好到第五位可停止当天采访的概率；（2）若抽取的18～64岁的市民数X 不超过n 的概率大于13，求整数n 的最小值.18. 已知函数()12ex xf x x λ-=-.（1）当1λ=时，求()f x 的图象在点(1,f (1))处的切线方程；（2）若1x ≥时，()0f x ≤，求λ的取值范围；（3）求证：()1111111232124e 2e*n n n n nnn ++++-+++->∈N .19. 高斯-博内公式是大范围微分几何学的一个经典的公式，是关于曲面的图形（由曲率表征）和拓扑（由欧拉示性数表征）间联系的一项重要表述，建立了空间的局部性质和整体性质之间的联系.其特例是球面三角形总曲率x 与球面三角形内角和θ满足：πx θα=+，其中α为常数，（如图，把球面上的三个点用三个大圆（以球心为半径的圆）的圆弧联结起来，所围成的图形叫做球面三角形，每个大圆弧叫做球面三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面三角形的一个角.球面三角形的总曲率等于2SR，S 为球面三角形面积，R 为球的半径）.的的（1）若单位球面有一个球面三角形，三条边长均为π2，求此球面三角形内角和；（2）求α的值；（3）把多面体的任何一个面伸展成平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多面体.设凸多面体Ω顶点数为V ，棱数为E ，面数为F ，试证明凸多面体欧拉示性数()ΩV E F χ=-+为定值，并求出()Ωχ.雅礼中学2025届高三月考试卷（二）数学命题人：周芳芳 张博 审题人：周芳芳 伊波得分：______本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}21,A x x k k ==-∈N ，{}1,0,1,2,3B =-，则A B = （ ）A. {}1,3B. {}0,1,3 C. {}1,1,3- D. {}1,0,1,2,3-【答案】C 【解析】【分析】利用自然数集的含义描述集合A ，根据集合交集运算求解.【详解】根据题意，集合A 表示从1-开始的奇数的集合，即1,1,3,5,-L ，{}1,1,3A B ∴⋂=-.故选：C.2. 若复数()21i 68iz -=+，则z z +=（ ）A.B.25C.35D.45【答案】B 【解析】【分析】利用复数的运算对复数z 化简，再求,z z ，即可求解.【详解】由()()()()()21i 2i 68i 1612i 43i 68i68i 68i 1002525z --⨯---====--++⨯-，则43i 2525z =-+，则15z z ===，因此25z z +=，故选：B.3. 设a，b 是单位向量，则()2a ba b +-⋅的最小值是（ ）A. 1-B. 0C.34D. 1【答案】D 【解析】【分析】设a，b 的夹角为[]0,πθ∈，则[]cos 1,1a b θ⋅=∈-r r ，结合数量积的运算律分析求解.【详解】设a ，b 的夹角为[]0,πθ∈，因为1==a b r r，则[]cos cos 1,1a b a b θθ⋅=⋅=∈-r r r r ，可得()2222cos 1a b a b a b a b θ+-⋅=++⋅=+≥r r r r rr r r ，当且仅当cos 1θ=-时，等号成立，所以()2a ba b +-⋅的最小值是1.故选：D.4. 已知()2cos 23cos 0αββ+-=，则()tan tan ααβ+=（ ）A. 5 B.15C. -5D. 15-【答案】D 【解析】【分析】由角的变换()()2,αβααββαβα+=++=+-，利用余弦的和，差角公式和展开，从而可得答案.【详解】()2cos 23cos αββ+=，则()()2cos 3cos αβααβα++=+-则()()()()2cos cos 2sin sin 3cos cos 3sin sin ααβαβααβααβα+-+=+++，，即()()5sin sin cos cos αβααβα-+=+，所以()5tan tan 1αβα-+=，∴()1tan tan 5αβα+=-，故选：D5. 巴黎奥运会期间，旅客人数（万人）为随机变量X ，且()2~30,2X N .记一天中旅客人数不少于26万人的概率为0p ，则0p 的值约为（ ）（参考数据：若()2~,X N μσ，有()0.683P X μσμσ-<≤+≈，()220.954P X μσμσ-<≤+≈，()330.997P X μσμσ-<≤+≈）A. 0.977B. 0.9725C. 0.954D. 0.683【答案】A 【解析】【分析】根据正态分布对称性求得答案.【详解】因为()230,2X N :，所以30μ=，2σ=，()26340.954P X ∴<≤=，根据正态曲线的对称性可得，()()()010.954262634340.9540.9772p P X P X P X -=≥=<≤+>=+=.故选：A.6. 已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，过点F 的直线与C 相交于M ，N 两点，则122MF NF +的最小值为（ ）A.92B. 4C.72D. 3【答案】A 【解析】【分析】设过点F 的直线l 的方程为：1y kx =+，与抛物线C 的方程联立，利用根与系数的关系求出12y y 的值，再根据抛物线的定义知11MF y =+，21NF y =+，从而求出122MF NF +的最小值即可.【详解】由抛物线C 的方程为24x y =，焦点坐标为F (0,1)，设直线l 的方程为：()()11221,,,,y kx M x y N x y =+，联立方程241x yy kx ⎧=⎨=+⎩，整理得2440x kx --=，则12124,4x x k x x +==-，故221212144x x y y =⋅=，又1112p MF y y =+=+，2212pNF y y =+=+，则()()121211155922112222222MF NF y y y y +=+++=++≥+=，当且仅当121,22y y ==时等号成立，故122MF NF +的最小值为92.故选：A.7. 若x ，0y ≥，1x y +=+）A. ⎡⎣B. []1,2 C. 2⎤⎦D. 12⎡⎢⎣【答案】B 【解析】【分析】三角换元后结合辅助角公式和正弦函数的值域求解即可；【详解】因为1x y +=，设22cos ,sin x y a a ==，又由x ，0y ≥，不妨取π0,2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，πsin 2sin 3a a a æöç÷=+=+ç÷èø，因为π0,2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ5π,336a éù+Îêúêúëû，所以[]π2sin 1,23a æöç÷+Îç÷èø，的取值范围为[]1,2，故选：B.8. 从重量分别为1，2，3，4，…，10克的砝码（每种砝码各2个）中选出若干个，使其总重量恰为9克的方法总数为m ，下列各式的展开式中9x 的系数为m 的选项是（ ）A. ()()()()23101111x xx x ++++ B. ()()()()11213110x x x x ++++ C. ()()()()()222222341011111x x x x x +++++ D. ()()()()22222232101111x x x x x x x x x ++++++++++ 【答案】C 【解析】【分析】根据选的砝码个数可以分为一个砝码，两个砝码，三个砝码，四个砝码，五个砝码五种情况可求得m ，在分析各个选项9x 的系数，即可求解.【详解】一个砝码有，9一种情况，12C 2=种情况，两个砝码有1,8，2,7，36，，4,5几种情况1122C C 416⨯=种三个砝码有，1,1,7，1,2,6，1,3,5，1,4,4，2,2,5，2,3,4几种情况111122223C 3C C C 30⨯+⨯=种四个砝码有，1,1,2,5，1,1,3,4，1,2,2,4，1,2,3,3，11224C C 16⨯=种，五个砝码有，1,1,2,2,3，12C 2=种，总计66m =种.对A ，选项9x 系数为8，故不符合，所以A 错误；对B ，9x 的系数是选9个带x 的，其他的1个括号选常数项，可得910C 1066=>，故B 错误；对C ，()()()()()222222341011111x x x x x +++++ ()()()()()()()()()()23410234101111111111x x x x x x x x x x =++++++++++ 9x 系数为9x 单独组成，其他为常数，则有12C 2=种，系数为29x 有两项组成，系数为x 与8x 组成，其他为常数，1122C C 4⋅=，系数为4，9x 系数为2x 与7x 组成，其他为常数，1122C C 4⋅=，系数为4，9x 系数为3x 与6x 组成，其他为常数， 1122C C 4⋅=，系数为4，9x 系数4x 与5x 组成，其他为常数， 1122C C 4⋅=，系数为4，同理9x 由三项组成7,,x x x ，26,,x x x ，35,,x x x ，44,,x x x ，225,,x x x ，234,,x x x 几种情况，其他项为为常数，则系数为111122223C 3C C C 30⨯+⨯=同理9x 由四项组成25,,,x x x x ，34,,,x x x x ，224,,,x x x x ，233,,,x x x x 几种情况，其他常数，则系数11224C C 16⨯=，同理9x 由五项组成223,,,,x x x x x 其他项为常数，则系数为12C 2=，综上9x 系数为66m =，故C 正确；对D ，()()()()22222232101111x x x x xxx xx++++++++++ ()()()()2232101111x x x x x x x x x =++++++++++⨯()()()()2232101111x x x x x x x x x ++++++++++ ，5x 系数直接有5x 一项，其他是常数项，可有162C 12⨯=种情况，系数为12，5x 有x 与4x 组成，其他是常数项，可有11962C C 10860⋅=>,故D 错误.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. (多选)下列选项中，正确的是（ ）A. 不等式220x x +->的解集为{|2x x <-或1}x >B. 不等式2112x x +≤-的解集为{|32}x x -≤<C. 不等式21x -≥的解集为{|13}x x ≤≤D. 设R x ∈，则“11x -<”是“405x x +<-”的充分不必要条件【答案】ABD 【解析】【分析】解出各选项中的不等式后可判断．【详解】A 选项，220(1)(2)02x x x x x +->⇔-+>⇔<-或1x >，A 正确；B 选项，(3)(2)02121311003220222x x x x x x x x x x +-≤⎧+++≤⇔-≤⇔≤⇔⇔-≤<⎨-≠---⎩，B 正确；为C 选项，2121x x -≥⇔-≥或21x -≤-，即3x ≥或1x ≤，C 错误；D 选项，1102x x -<⇔<<，()()40450455x x x x x +<⇔+-<⇔-<<-，而{|02}x x <<是{|45}x x -<<的真子集，D 正确．故选：ABD ．10. 如图，透明塑料制成的长方体容器1111ABCD A B C D -内灌进一些水，固定容器一边AB 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的命题有（）A. 没有水的部分始终呈棱柱形B. 水面EFGH 所在四边形的面积为定值C. 随着容器倾斜度的不同，11A C 始终与水面所在平面平行D. 当容器倾斜如图（3）所示时，AE AH ⋅为定值【答案】AD 【解析】【分析】想象容器倾斜过程中，水面形状（注意AB 始终在桌面上），可得结论．【详解】由于AB 始终在桌面上，因此倾斜过程中，没有水部分，是以左右两侧的面为底面的棱柱，A 正确；图（2）中水面面积比（1）中水面面积大，B 错；图（3）中11A C 与水面就不平行，C 错；图（3）中，水体积不变，因此AEH △面积不变，从而AE AH ⋅为定值，D 正确．故选：AD ．【点睛】本题考查空间线面的位置关系，考查棱柱的概念，考查学生的空间想象能力，属于中档题．11. 已知奇函数()f x 在R 上单调递增，()()f x g x '=，()()g x f x '=，若()()()22f x f x g x =，则的（ ）A. ()g x 的图象关于直线0x =对称B. ()()()222g x gx f x =+C. ()00g =或1D. ()()221gx f x -=【答案】ABD 【解析】【分析】利用函数的奇偶性，结合题中的条件对抽象函数求导可以得到()()0f x f x ''--=，()()()()()2222f x f x g x f x g x '''=+，再结合选项进行判断即可.【详解】对于A ，由()f x 为R 上的奇函数，则()00f =，()()0f x f x +-=，则()()0f x f x ''--=，所以()()0g x g x --=，即()g x 为偶函数，因此关于直线0x =对称，故A 正确；对于B ，由()()()22f x f x g x =，则两边同时求导得：()()()()()2222f x f x g x f x g x '''=+，即()()()222g x g x f x =+，故B 正确；由()()()()0g x f x f x g x -=，则()()()()220g x g x f x f x -'='，即()()220g x f x ''⎡⎤⎡⎤-=⎣⎦⎣⎦，即()()220g x f x '⎡⎤-=⎣⎦，则()()22gx f x C -=（C 为常数），设()()()22h x g x f x C =-=（C 为常数），对于C ，由()()()222g x gx f x =+，则()()()22000g g f =+，即()()0010g g ⎡⎤-=⎣⎦，解得()00g =或()01g =，当()00g =，则()()()220000h gf =-=，则()()()220h xg x f x =-=，即()()f x g x =±，又()g x 为偶函数，则()f x 即是奇函数也是偶函数，与()f x 在R 上单调递增矛盾，因此()00g =不符合题意，则()01g =，故C 错误；对于D ，当()01g =时，则()()()220001h gf =-=，则()()()221h xg x f x =-=，即()()221g x f x -=，故D 正确；故选：ABD.【点睛】关键点点睛：奇偶函数的性质，及对抽象函数求导，比如()()()22f x f x g x =，求导可以得到()()()()()2222f x f x g x f x g x '''=+，再结合()()f x g x '=，()()g x f x '=，灵活变化，必要时可以对其进行赋值.第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 从14，13，12，2，3，4，6，9中任取两个不同的数，分别记为m ，n ，记A =“log 0m n <”，则()P A =______.【答案】1528【解析】【分析】根据对数的性质、排列知识和古典概型的概率公式可得结果.【详解】因为log 0m n <，所以01,1m n <<>或1,01m n ><<，从111,,,2,3,4,6,9432中任取两个不同的数，共可得到28A 56=取法，其中对数值为负数的有11113553A A A A 30+=个，所以()30155628P A ==.故答案：1528.13. 如图，ABC V 中，6AB =，2AC BC =，D 为AB 中点，则tan BDC ∠的取值范围为______.【答案】40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】以D 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标为系，结合题中条件确定tan yBDC x∠=的范围即可.【详解】以D 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则()3,0A -，()0,0D ，()3,0B ，设(),C x y ，又2AC BC =，则C 在第一象限或者第四象限，结合对称性，不妨设C 在第一象限，=，整理得()22516x y -+=且0y >，又tan yBDC x∠=，结合图象知，tan 0BDC ∠>，则22222210911tan 9101y x x BDC x x x x -+-⎛⎫∠===-+- ⎪⎝⎭，当159x =时，2tan BDC ∠取最大值为169，则40tan 3BDC <∠≤，即tan BDC ∠的取值范围为40,3⎛⎤⎥⎝⎦，故答案为：40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.14. 小军和小方两人先后在装有若干黑球的黑盒子与装有若干白球的白盒子（黑球数少于白球数）轮流取球，规定每次取球可以从某一盒子中取出任意多颗（至少取1颗），或者在两个盒子中取出相同颗数的球（至少各取1颗），最后不能按规则取的人输.已知两盒中共有11个球，且两人掷硬币后决定由小军先手取球.小方看了眼黑盒中的球，对小军说：“你输了！”若已知小方有必胜策略，则黑盒中球数为______.【答案】4【解析】【分析】分黑球和白球个数为()1,10，()2,9，()3,8，()4,7，()5,6进行讨论，若小方有必胜策略，重点在于小方取完后盒中球的情况为()1,2或()2,1时，则小方必胜.【详解】设黑球数为m ，白球数为n ，由11+=m n ，m n <，则(),m n 可能有以下几种情况：的①()1,10，小军可先手在白盒子中取8颗球，此时两盒球数为()1,2，则小方必不可能全部取完，小方后手取球后可能为(0,2)，(0,1)，()1,1，(1,0)，此时无论何种情况小军都可全部取完，故小军有必定获胜的策略，不符合题意；②()2,9，小军可先手在白盒子中取8颗球，此时两盒球数为(2,1)，同①进行分析可知，小军有必定获胜的策略，不符合题意；③()3,8，小军可先手在白盒子中取3颗球，此时两盒球数为()3,5，小方取球后，若两盒中球数一样或有一盒取空，则小军可全部取完，小军必胜；若两盒中球数不一样，且均不为0，则一定是以下三种情况之一：（1）两盒球数为()3,4；（2）有一盒中只有一个球，另一盒中多于两个球，即()1,3，()3,1，()1,5；（3）有一盒中有两个球，另一盒中多于两个球，即()2,4，()3,2，()2,5；无论为哪种情况，小军都可将其取为()1,2或(2,1)，知此时小军必胜，不符合题意；④()4,7，若小军只从白盒中取球，则两盒球数为()4,1，()4,2，()4,3时，由③的推理过程知，小方必胜；符合题意.若两盒球数为()4,6时，小方可将球数转为()3,5，知小方必胜；若两盒球数为()4,5时，小方可将球数转为()1,2，知小方必胜；若两盒球数为()4,4时，知小方必胜若小军从黑盒中取出了球，则黑盒中球数3≤，白盒中球数-黑盒中球数3≥，从而由③推理过程知小方必胜；⑤()5,6，小军可将球数转化为()1,2，小军必胜，不符合题意；因此小方有必胜策略，则黑盒中球数为4，故答案为：4.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于小方怎样将盒中的球变为()1,2或()2,1，则小方必胜.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知2a b -=，()sin sin sin 2A BA B +-=.（1）求c ；（2）若ABC V 的内切圆在AB 上的切点为D ，求AD .【答案】（1）4 （2）1【解析】【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理对()sin sin sin 2A BA B +-=进行边化角，再借助2a b -=即可求出c 的值；（2）利用内切圆的性质可得,,AD AM BD BN CM CN ===，再结合4,2c a b =-=，即可求出AD 的值.【小问1详解】由()sin sin sin 2A BA B +-=，则2sin cos 2cos sin sin sin A B A B A B -=+，整理得：()()sin 2cos 1sin 12cos A B B A -=+，则角化边可得：222222211222a c b b c a a b ac bc ⎛⎫⎛⎫+-+-⨯-=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理可得：()2c a b =-，又2a b -=，因此可得4c =.【小问2详解】由（1）知4,2c a b =-=，设ABC V 的内切圆在,AC BC 上的切点为,M N ，则,,AD AM BD BN CM CN ===,则4c AB AD BD AM BN ===+=+，()()2a b BC AC BN CN AM CM BN AM -=-=+-+=-=，因此可得1AM =，即1AD =.16. 已知动圆P 过点()2,0A -且与圆B ：()22236x y -+=内切.（1）求动圆圆心P 的轨迹E 的方程；（2）设动圆1C ：2221x y t +=，1C 与E 相交于,,,A B C D 四点，动圆2C ：()222212x y t t t +=≠与E 相交于,,,A B C D ''''四点.若矩形ABCD 与矩形A B C D ''''的面积相等，求2212t t +的值.【答案】（1）22195x y +=（2）14【解析】【分析】（1）设动圆半径为r ，根据题意可以得到64PA PB AB +=>=，利用椭圆的定义知动圆圆心P 的轨迹E 是以,A B 为焦点的椭圆，从而求出动圆圆心P 的轨迹E 的方程；（2）设()22,,(,)A x y A x y '，由矩形ABCD 与矩形A B C D ''''的面积相等，得112244x y x y =，再根据,A A '在椭圆上，从而求出所以22129x x +=， 22125y y +=，即可求出2212t t +的值.【小问1详解】设动圆半径为r ，则PA r =，6B PB r r r =-=-（内切），64PA PB AB ∴+=>=，所以点P 的轨迹是以,A B 为焦点的椭圆．623a a ∴=⇒=，242AB c c ==⇒=，2225b a c ∴=-=．则动圆圆心P 的轨迹E 的方程为：22195x y +=．【小问2详解】设()22,,(,)A x y A x y '，由矩形ABCD 与矩形A B C D ''''的面积相等，得112244x y x y =，故22221122x y x y =，因为点A ，A '均在椭圆上，所以，22221212515199x x x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理可得：()()2222121290x x x x ⎡⎤--+=⎣⎦，由12t t ≠，知12x x ≠，所以22129x x +=，同理可得22125y y += ，因此2222221211229514t t x y x y +=+++=+=.17. 为提高我国公民整体健康水平，2022年1月，由国家卫生健康委疾控局指导、中国疾病预防控制中心和国家体育总局体育科学研究所牵头组织编制的《中国人群身体活动指南（2021）》（以下简称《指南》）正式发布，《指南》建议18～64岁的成年人每周进行150～300分钟中等强度或75～150分钟高强度的有氧运动（以下简称为“达标成年人”），经过两年的宣传，某体育健康机构为制作一期《达标成年人》的纪录片，采取街头采访的方式进行拍摄，当采访到第二位“达标成年人”时，停止当天采访.记采访的18～64岁的市民数为随机变量X （2X ≥），且该市随机抽取的18～64岁的市民是达标成年人的概率为13，抽查结果相互独立.（1）求某天采访刚好到第五位可停止当天采访的概率；（2）若抽取的18～64岁的市民数X 不超过n 的概率大于13，求整数n 的最小值.【答案】（1）32243（2）4【解析】【分析】（1）依题意，可判断随机变量()2X X ≥服从二项分布，利用概率公式计算即得；（2）由题意，列出随机变量()2X X ≥的分布列，则得22222211123111212121C C C 33333333n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯>⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，利用错位相减法求和将其转化成()226243n n -⎛⎫>+⨯ ⎪⎝⎭，判断数列()22243n n a n -⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭的单调性，代值验证即得整数n 的最小值.【小问1详解】根据题意，某天采访刚好到第五位可停止当天采访，即采访的前四位中有一位是达标成年人，第五位必是达标成年人，所以随机变量()2X X ≥服从二项分布，所以某天采访刚好到第五位可停止当天采访的概率为31412132C 333243⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭.【小问2详解】依题意，随机变量()2X X ≥服从二项分布，则所以22222211123111212121C C C 33333333n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，化简得()2212221123193333n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯++-⨯>⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ，即()2222212313333n n -⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯++-⨯> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ，记()222221231333n S n -⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ①，则()23122222123133333n S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ②，由①-②，可得()221122221133333n n S n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，即()1121123123313n n S n --⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=-- ⎪⎝⎭-，解得()229243n S n -⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭，由此可得，()2292433n n -⎛⎫-+⨯> ⎪⎝⎭，即()226243n n -⎛⎫>+⨯ ⎪⎝⎭，设()22243n n a n -⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭，()*2,Nn n ≥∈，因为()()1122262631362243n n n n n a n a n n -+-⎛⎫+⨯ ⎪+⎝⎭==<+⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭，可得数列{}n a 是递减数列，又322010633a =⨯=>，2421612633a ⎛⎫=⨯=< ⎪⎝⎭，所以整数n 的最小值为4.18. 已知函数()12ex xf x x λ-=-.（1）当1λ=时，求()f x 的图象在点(1,f (1))处的切线方程；（2）若1x ≥时，()0f x ≤，求λ的取值范围；（3）求证：()1111111232124e2e*n n n n nnn ++++-+++->∈N .【答案】（1）0y = （2）[)1,+∞ （3）证明见详解【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）根据题意，由条件式恒成立分离参数，转化为212ln x x xλ≥+，求出函数()212ln xg x x x =+的最大值得解；（3）先构造函数()12ln x x x x ϕ=-+，利用导数证明11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，1x >，令11x n=+，可得()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭，迭代累加可证得结果.【小问1详解】当1λ=时，()12ex xf x x -=-，f (1)=0，则()12121e x x f x x x -⎛⎫=-+ ⎪⎝'⎭，则()0122e 0f =-='，所以()f x 在点(1,f (1))处的切线方程为0y =.【小问2详解】由1x ≥时，()0f x ≤，即12e 0x x x λ--≤，整理得212ln xx xλ≥+，对1x ≥恒成立，令()212ln x g x x x =+，则()()42321ln 222ln x x x x x g x x x x ---=-+'=，令()1ln h x x x x =--，1x ≥，所以()ln 0h x x '=-≤，即函数ℎ(x )在1x ≥上单调递减，所以()()10h x h ≤=，即()0g x '≤，所以函数()g x 在1x ≥上单调递减，则()()11g x g ≤=，1λ∴≥.【小问3详解】设()12ln x x x xϕ=-+，1x >，则()()222221212110x x x x x x x xϕ---+-='=--=<，所以φ(x )在(1,+∞)上单调递减，则()()10x ϕϕ<=，即12ln 0x x x-+<，11ln 2x x x ⎛⎫∴<- ⎪⎝⎭，1x >，令11x n=+，*N n ∈，可得1111111ln 1112211n n n n n ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫+<+-=+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎪+⎝⎭，所以()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭，()()111ln 2ln 1212n n n n ⎛⎫+-+<+ ⎪++⎝⎭，()()111ln 3ln 2223n n n n ⎛⎫+-+<+ ⎪++⎝⎭，…()()111ln 2ln 212212n n n n ⎛⎫--<+ ⎪-⎝⎭，以上式子相加得()112221ln 2ln 212212n n n n n n n ⎛⎫-<+++++ ⎪++-⎝⎭，整理得，11111ln 2412212n n n n n-<++++++-L ，两边取指数得，11111ln 2412212e e n n n n n -++++++-<L ，即得111114122122e e n n n n n -++++-<L ，()*Nn ∈得证.【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键是先构造函数()12ln x x x xϕ=-+，利用导数证明11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，1x >，令11x n=+，得到()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭.19. 高斯-博内公式是大范围微分几何学的一个经典的公式，是关于曲面的图形（由曲率表征）和拓扑（由欧拉示性数表征）间联系的一项重要表述，建立了空间的局部性质和整体性质之间的联系.其特例是球面三角形总曲率x 与球面三角形内角和θ满足：πx θα=+，其中α为常数，（如图，把球面上的三个点用三个大圆（以球心为半径的圆）的圆弧联结起来，所围成的图形叫做球面三角形，每个大圆弧叫做球面三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面三角形的一个角.球面三角形的总曲率等于2SR，S 为球面三角形面积，R 为球的半径）.（1）若单位球面有一个球面三角形，三条边长均为π2，求此球面三角形内角和；（2）求α的值；（3）把多面体的任何一个面伸展成平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多面体.设凸多面体Ω顶点数为V ，棱数为E ，面数为F ，试证明凸多面体欧拉示性数()ΩV E F χ=-+为定值，并求出()Ωχ.【答案】（1）3π2（2）1（3）证明见解析；()2χΩ=【解析】【分析】（1）由球面三角形边角定义，转化为大圆弧长可求圆心角，由球面三角形三条边长均为π2，得,,OA OB OC 两两垂直，从而得到面面垂直，进而求内角和可得；（2）将球面平均分割为8个全等的球面三角形，由特值代入公式πx θα=+待定α即可；（3）将球面分割为F 个球面多边形，再转化为球面三角形，借助球面三角形总曲率x 与球面三角形内角和θ关系，利用所有分割后的球面三角形面积之和（用,,V E F 表示）即为球面面积建立等量关系求证即可．【小问1详解】如图，设球心为O ，球面三角形三个顶点分别为,,A B C ，由球面三角形三边长均为π2，由题意，即每个大圆弧长均为π2.又单位球面的球半径1R =，则球面三角形每条边所对圆心角为π2，所以在三棱锥A OBC -中，,,OA OB OC 两两垂直.由,OA OB OA OC ⊥⊥，OB OC O = ，且OB ⊂平面OBC ，OC ⊂平面OBC ，则OA ⊥平面OBC ，OA ⊂平面OAB ，故平面OAB ⊥平面OBC ，同理平面OAB ⊥平面OCA ，平面OCA ⊥平面OBC ，即球面三角形任意两条边所在的半平面构成的二面角均为π2，故球面三角形的3个角均为π2，从而此球面三角形内角和为3π2.【小问2详解】若将地球看作一个球体，在地球上零度经线和90 经线所在大圆与赤道所在大圆将球面平均分成8个全等的球面三角形，由（１）可知，每个球面三角形的3个角均为π2，且球面三角形内角和3π2θ=，从而每个球面三角形的面积为224ππ82R R S ==，则每个球面三角形的总曲率为2π2S x R ==，设()f x θ=，由题意()πf x x α=+，且α为常数，则有ππ3ππ222f α⎛⎫=+=⎪⎝⎭，从而1α=.【小问3详解】将多面体的每个面视作可以自由伸缩的橡皮膜，使膨胀为一个半径为R 的球，每个顶点均在球面上，每条边变为球面上的边，每个多边形变为球面上的多边形，且膨胀前后()V E F χ=-Ω+不变.不妨记球面仍为单位球面，半径1R =，对于任意一个球面k 边形，可用球面上的边分割成(2)k -个球面三角形，由（2）可知，1α=，则每个球面三角形的内角和2πππSx S Rθ=+=+=+．即每个内角和为θ的球面三角形面积为πθ-，记21k jj ϕθ-==∑，称为分割成(2)k -个球面三角形的球面k 边形的内角和．所以球面k 边形面积为(2)πk ϕ--.由已知凸多面体Ω顶点数为V ，棱数为E ，面数为F ，则可记球面上多边形,1,2,,i i F α= ，对每一个球面多边形i α，设其边数为i l ，内角和为i ϕ，面积为i S ，则()()1112ππ2πF F Fiiiii i i i S l l ϕϕ===⎡⎤=--=-+⎣⎦∑∑∑，由球面三角形角的定义可知，每个顶点处所有球面多边形的角之和为2π，顶点数为V ，从而所有球面多边形内角和为12πFii V ϕ==∑，又球面多边形每条边被重复计算2次，棱数为E ，故1π2πi i Fl E ==∑，则()1π2π2π2π2πFii i l V E F ϕ=-+=-+∑，又所有球面多边形面积之和214π4πi FiSR ===∑，故2π2π2π4πV E F -+=，故()2V E F χ=+Ω-=.【点睛】关键点点睛：解决本题关键在于转化化归思想的应用，一是理解球面三角形及边角的定义，将球面内角和问题转化多面体的二面角之和求解；二是将凸多面体膨胀为球面后，凸多面体欧拉示性数()V E F χ=-Ω+没有变化，从而将凸多面体问题转化为球面问题处理；三是利用分割法将球面面积转化为球面三角形的面积之和，从而建立等量关系求解2V E F -+=．。

湖南2024届高三月考试卷（六）数学（答案在最后）命题人：注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合{}{}2,3,5,1,4,5,7A B ==，则（）A.A B ⋂=∅B.A B⊆ C.A B A⋃= D.5A B∈⋃2.已知复数z 满足()727282i 3i4i z +=+，则z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.命题“[]21,3,0x x a ∃∈->”为假命题的一个充分不必要条件是（）A.9a B.9a C.10a D.10a 4.对于任意非零向量,,abc ，若,a b 在c上的投影向量互为相反向量，下列结论一定成立的是（）A.()a b - ∥cB.()a b + ∥cC.()a b c-⊥ D.()a b c+⊥5.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()1,t -，若sin 5α=，则πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.-3B.13-C.3D.136.若24,x y x y -=∈R ，则x y -的最小值为（）A.12B.32 C.54D.47.首钢滑雪大跳台是冬奥史上第一座与工业旧址结合再利用的竞赛场馆，它的设计创造性地融入了敦煌壁画中飞天的元素，建筑外形优美流畅，飘逸灵动，被形象地称为雪飞天.雪飞天的助滑道可以看成一条线段PQ 和一段圆弧QM 组成，如图所示.在适当的坐标系下圆弧QM 所在圆C 的方程为22(10)(3)128x y ++-=.若某运动员在起跳点M 以倾斜角为45 且与圆C 相切的直线方向起跳，起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在y 轴上的抛物线的一部分，则该抛物线的方程为（）A.()244x y =-+ B.2132y x =--C.()2321x y =-- D.()2144y x =-+8.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若121a a a -<<，则（）A.{}n a 为递减数列B.{}n a 为递增数列C.数列{}n S 有最小项D.数列{}n S 有最大项二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.一组数据10,11,11,12,13,14,16,18,20,22的第60百分位数为14B.若随机变量X 服从正态分布()23,X σ，且()40.7P X = ，则(34)0.2P X <<=C.若线性相关系数r 越接近1，则两个变量的线性相关性越强D.对具有线性相关关系的变量,x y ，其经验回归方程为ˆ0.3yx m =-，若样本点的中心为(,2.8)m ，则实数m 的值是-410.以下命题正确的是（）A.设()f x 与()g x 是定义在R 上的两个函数，若()()()()1212f x f x g x g x ++ 恒成立，且()f x 为奇函数，则()g x 也是奇函数B.若对任意12,x x ∈R ，都有()()()()1212f x f x g x g x ->-成立，且函数()f x 在R 上单调递增，则()()f x g x +在R 上也单调递增C.已知0,1a a >≠，函数(),1,,1,x a x f x a x x ⎧=⎨->⎩ 若函数()f x 在[]0,2上的最大值比最小值多52，则实数a 的取值集合为12⎧⎫⎨⎬⎩⎭D.已知函数()f x 满足()()2f x f x -+=，函数()1x g x x+=，且()f x 与()g x 的图象的交点为()()()112288,,,,,,x y x y x y ，则128128x x x y y y +++++++ 的值为811.已知函数()πsin (0,0π)2f x x λϕλϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的部分图象如图1所示，A B ､分别为图象的最高点和最低点，过A 作x 轴的垂线，交x 轴于A '，点C 为该部分图象与x 轴的交点.将绘有该图象的纸片沿x 轴折成直二面角，如图2所示，此时AB =，则下列四个结论正确的有（）A.λ=B.π3ϕ=C.图2中，5AB AC ⋅=D.图2中，S 是A BC ' 及其内部的点构成的集合.设集合{2}T Q SAQ =∈∣ ，则T 表示的区域的面积大于π4三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.()522x x y +-的展开式中52x y 的系数为__________.（用数字作答）13.已知椭圆2222:1(1)1x y C a a a +=>-的左，右焦点分别为12,F F ，过点1F 且垂直于x 轴的直线与椭圆交于,A B 两点，22,AF BF 分别交y 轴于,P Q 两点，2PQF 的周长为6，过2F 作21F AF ∠外角平分线的垂线与直线BA 交于点N ，则ON =__________.（O 为坐标原点）14.在三棱锥A SBC -中，,AB SA AC SB BC =⊥⊥，且,SA AC SB BC ==，若该三棱锥的体积为3，则三棱锥S ABC -外接球的体积为__________.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面,2ABCD AD DC SD ===，点M 在侧棱SC 上，60ABM ∠= .（1）证明：M 是侧棱SC 的中点；（2）求二面角S AM B --的正弦值.16.（15分）中国跳水队有“跳水梦之队”的称号，在国际赛场上有绝对的优势，同时跳水运动也得到了广泛推广，获得了越来越多的人的喜爱，现有A ，B ，C ，…，J 共10位跳水爱好者自发组建了跳水训练营，并邀请教练甲帮助训练.教练训练前对10位跳水员测试打分，得分情况如图中虚线所示；集训后再进行测试，10位跳水员得分情况如图中实线所示，规定满分为10分，记得分在8分以上的为“优秀”.（1）将上面的列联表补充完整，并根据小概率值0.01α=的独立性检验，判断跳水员的优秀情况与训练是否有关？并说明原因；（2）从这10人中任选3人，在这3人中恰有2人训练后为“优秀”的条件下，求这3人中恰有1人是训练前也为“优秀”的概率；（3）跳水员A 将对“5米､7.5米和10米”这三种高度进行集训，且在训练中进行了多轮测试.规定：在每轮测试中，都会有这3种高度，且至少有2个高度的跳水测试达到“优秀”，则该轮测试才记为“优秀”.每轮测试中，跳水员A 在每个高度中达到“优秀”的概率均为13，每个高度互不影响且每轮测试互不影响.如果跳水员A 在集训测试中要想获得“优秀”的次数平均值达到3次，那么理论上至少要进行多少轮测试？附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.α0.050.010.0050.001ax 3.8416.6357.87910.82817.（15分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:1(0)xy C a ba b+=>>与直线:(l x m m =∈R ），四个点()()()(3,1,,3,1,---中有三个点在椭圆C 上，剩余一个点在直线l 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）若动点P 在直线l 上，过P 作直线交椭圆C 于,M N 两点，使得PM PN =，再过P 作直线l MN '⊥，求证：直线l '恒过定点，并求出该定点的坐标.18.（17分）已知函数()()1ln e xf x k x k =+∈R .（1）若函数()y f x =为增函数，求k 的取值范围；（2）已知120x x <<.（i ）证明：2121e e1e e x x x x ->-；（ii ）若1212e ex x x x k ==，证明：()()121f x f x -<.19.（17分）已知等比数列{}n a 的公比为()1q q ≠，其所有项构成集合A ，等差数列{}n b 的公差为()0d d ≠，其所有项构成集合B .令C A B =⋃，集合C 中的所有元素按从小到大排列构成首项为1的数列{}n c .（1）若集合{}1,3,4,5,6,7,9C =，写出一组符合题意的数列{}n a 和{}n b ；（2）若()1*2n n a n -=∈N ，数列{}nb 为无穷数列，A B ⋂=∅，且数列{}nc 的前5项成公比为p 的等比数列.当15b a <时，求p 的值；（3）若数列{}n b 是首项为1的无穷数列，求证：“存在无穷数列{}n a ，使A B ⊆”的充要条件是“d 是正有理数”（有理数都能表示成(,mm n n∈Z ，且0,n m ≠与n 互质）的形式）.湖南2024届高三月考试卷（六）数学参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.D【解析】因为集合{}{}2,3,5,1,4,5,7A B ==，故{}5A B ⋂=，A 错误；由于2,3A A ∈∈，但2,3B B ∉∉，故A 不是B 的子集，B 错误，{}2,3,1,4,5,7,A B A C ⋃=≠错误；{}52,3,1,4,5,7A B ∈⋃=，D 正确，故选：D.2.A【解析】由()727282i3i4i z +=+，得()2i 43i z -=-，所以()()()()43i 2i 43i 112i 2i 2i 2i 55z -+-===---+，所以112i 55z =+，所以z 在复平面内对应的点为112,55⎛⎫⎪⎝⎭，位于第一象限.故选：A.3.C 【解析】因为命题“[]21,3,0x x a ∃∈->”为假命题，所以命题“[]21,3,0x x a ∀∈- ”为真命题，即2a x 对[]1,3x ∀∈恒成立，所以()2max9a x= ，因为[10,)∞+[9,)∞+所以命题“[]21,3,0x x a ∃∈->”为假命题的一个充分不必要条件是10a .故选：C.4.D 【解析】由题意得，a 在c 上的投影为cos ,a c a c a a c a c a c ⋅⋅=⨯=⋅，同理，b 在c 上的投影为b c c⋅ ，因为任意非零向量,a b在c上的投影向量互为相反向量，所以,a b在c上的投影互为相反数，所以0a c b c c c⋅⋅+=，则()0a b c +⋅= ，即()a b +⊥c .故选：D.5.C 5=，得2t =，所以角α终边上一点为()2πtan 11,2,tan 2,tan 3141tan αααα-⎛⎫-==--== ⎪-+⎝⎭.故选：C.6.C【解析】因为24x y =+所以(222424224224424444y xy y x y y yyy y-+++====++因为40y >，所以244y y += .所以5444x y -= ，即54x y - .当且仅当24,244yx yy ==13,42y x ==时等号成立，所以x y -的最小值为54.故选：C.7.A【解析】由题意知1CM k =-，又()10,3C -，∴直线CM 的方程为()310y x -=-+，即70x y ++=.由2270,(10)(3)128,x y x y ++=⎧⎨++-=⎩得2,5x y =-⎧⎨=-⎩或18,11,x y =-⎧⎨=⎩即()2,5M --或()18,11M -.又M 为靠近y 轴的切点，()2,5M ∴--.设飞行轨迹的抛物线方程为()20y ax c a =+≠，则2,y ax '= 在点M 处的切线斜率为1,41a ∴-=，解得14a =-，1544c ∴-=-⨯+，解得214,44c y x =-∴=--，即抛物线方程为()244x y =-+.故选：A.8.C 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q ≠，由11a a -<可得10a >，又21a a <，所以211a a <即1q <，又12a a -<，所以11a a q -<，即1q >-，故等比数列{}n a 首项10a >，公比q 满足10q -<<或01q <<.当10q -<<时，等比数列{}n a 为正负项交替的摆动数列，故不单调；当01q <<时，()11110n n n a a a q q -+-=-<，等比数列{}n a 单调递减，故A ，B 不正确；又()()111111nn n a q a S q qq-==---，且101a q >-，所以当10q -<<时，由于()()22112111n n n n n a aS S q q q q q q++-=-=---，则11113564212,011a aS a S S S S S a a q q=>>>>>>>>=+>-- ，此时数列{}n S 的最小项为2S ，最大项为1S ；当01q <<时，有()()111111011n n n n n n a aS S q q q a q q q++-=-=-=>--，则数列{}n S 为单调递增数列，有最小项1S ，无最大项，故C 正确，D 不正确.故选：C.二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.BCD 【解析】因为1060%6⨯=，所以第60百分位数为1416152+=，A 错误；若随机变量X 服从正态分布()23,X σ，且()40.7P X = ，则()(4)140.3P X P X >=-= ，则(34)0.5(4)0.2P X P X <<=->=，B 正确；若线性相关系数r 越接近1，则两个变量的线性相关性越强，C 正确；对于D ，样本点的中心为(,x y ，所以, 2.8x m y ==，而对于回归直线方程ˆˆˆy bx a =+，因为此时线性回归方程为.ˆ03yx m =-，所以.ˆ0.3,280.3b m m ==-，所以4m =-，D 正确.故选：BC D.10.ABD【解析】对于A ，令21x x =-，则()()()()1111f x f x g x g x +-+- ，因为()f x 为奇函数，所以()()()()1111f x f x g x g x +-+- 恒成立等价于()()110g x g x +- ，因此()()110g x g x +-=，即()()11g x g x -=-，可知()g x 也是奇函数，所以A 正确；对于B ，设21x x >，因为函数()f x 在R 上单调递增，所以()()12f x f x <，因为()()()()1212f x f x g x g x ->-恒成立，所以()()()()()()121221f x f x g x g x f x f x -<-<-；从而()()()()11220f x g x f x g x ⎡⎤+-+<⎣⎦.令()()()h x f x g x =+，则()()()()()()1211220h x h x f x g x f x g x ⎡⎤-=+-+<⎣⎦，可得()()12h x h x <，所以()()()h x f x g x =+在R 上也单调递增，B 正确.对于C ，若1a >，函数(),1,,1r a x f x a x x ⎧=⎨->⎩ 在[]0,2上的最大值为()1f a =，最小值为()01f =或()22f a =-，当512a -=时，解得72a =，此时()3212f =>，满足题意；当()522a a --=时，无解，舍去；若01a <<，当[]0,1x ∈时()xf x a =是单调递减，当(]1,2x ∈时，()f x x a =-+是单调递减，因为()011f a =>-+，所以函数最大值为()01f =，而()()2211f a a a f =-+<-+<=，所以函数最小值为()22f a =-+，因此()5122a --+=，解得12a =，符合题意；综上可知，实数a 的取值集合为17,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭，可得C 错误；对于D ，由()()2f x f x -+=可得函数()f x 关于()0,1成中心对称；而()1x g x x+=也关于()0,1成中心对称；所以()f x 与()g x 的图象的交点关于()0,1成中心对称；从而1281280,248x x x y y y +++=+++=⨯= ，即D 正确.故选：ABD.11.AC 【解析】函数()f x 的最小正周期为2π4π2T ==，在图2中，以点O 为坐标原点，OC A A '､的方向分别为y z ''､轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系O x y z -'''，设点()0,,0A t '，则点()()0,,,2,0A t B t λλ+､，22(0)(2)(0)2410AB t t λλλ--=-++-+-=+=，因为0λ>，解得3λ=A 正确；所以，()π3sin 2x f x ϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()303sin 2f ϕ==，可得1sin 2ϕ=，又因为函数()f x 在0x =附近单调递减，且0πϕ<<，所以，5π6ϕ=，故B 错误；因为()π5π3sin 326t f t ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，可得π5πsin 126t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又因为点A 是函数()f x 的图象在y 轴左侧距离y 铀最近的最高点，则π5ππ262l +=，可得23t =-，所以，()π5π3sin 26x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为点C 是函数()f x 在y 轴右侧的第一个对称中心，所以，π5ππ26C x +=，可得13C x =，翻折后，则有24120,33,,00,,00,,03333A B C A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝'⎭､､､，所以，(3,2,3,0,1,3AB AC ==，所以，在图2中，2021(3)5AB AC ⋅=+⨯+-=，故C 正确；在图2中，设点()2222,,0,(03)23Q x y AQ x y ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭ ，可得22213x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ ，())720,1,0,3,2,0,cos 7217A C A B A C A B BA C A C A B∠''''''⋅====⨯'⋅，易知BA C ∠'为锐角，则π04BA C ∠'<<，所以，区域T 是坐标平面x Oy ''内以点A '为圆心，半径为1A C '=，且圆心角为BA C ∠'的扇形及其内部，故区域T 的面积21ππ1248T S <⨯⨯=，故D 错误.故选：AC.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

雅礼中学2023届高三月考试卷（八）数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}²4120A x x x =∈--<Z ，{}sin B y y e x x ==∈R ，，则A B =（ ） A.{2,1,0,1,2}-- B.{}1|2x x -<< C.{1,0,1,2}-D.{2|x x ≥或}1x ≤-2.下列说法正确的是（ ）A.“a b ≥”是“22am bm ≥”的充要条件B.“4k x π=，k ∈Z ”是“tan 1x =”的必要不充分条件 C.命题“0x ∃∈R ，0012x x +≥”的否定形式是“x ∀∈R ，12x x +>”D.“1xy =”是“lg lg 0x y +=”的充分不必要条件3.斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数1，1，2，3，5，8，…为边长比例的正方形拼成矩形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线，如图，矩形ABCD 是由若干符合上述特点的正方形拼接而成，其中16AB =，则图中的斐波那契螺旋线的长度为（ ）A.11πB.12πC.15πD.16π4.在平面直角坐标系中，已知点(3,4)P 为角α终边上一点，若1cos()3αβ+=，(0,)βπ∈，则cos β=（ ）A.315+B.315-C.415+D.415- 5.已知直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，2AB =，4AC =，点P 在以A 为圆心且与边BC相切的圆上，则PB PC ⋅的最大值为（ ）C.165D.5656.已知0.75a =，52log 2b =，sin 5c π=，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A.c b a <<B.b c a <<C.c a b <<D.a c b <<7.若函数33()ln x e f x e x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭只有一个极值点，则a 的取值范围是（ ）A.2,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.(,0]-∞C.(]3,09e ⎧⎫-∞⎨⎬⎩⎭D.23,49e e ⎛⎤⎧⎫-∞⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭8.已知双曲线22122:1x y C a b==(0,0)a b >>与抛物线22:2C y px =(0)p >有公共焦点F ，过点F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ，延长FA 与抛物线2C 相交于点B ，若点A 为线段FB 的中点，双曲线1C 的离心率为e ，则2e =（ ）二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.上级某部门为了对全市36000名初二学生的数学水平进行监测，将获得的样本（数学水平分数）数据进行整理分析，全部的分数可0.040按照[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100分成5组，得到如图所示的频率分布直方图.则下列说法正确的是（ ）A.图中x 的值为0.025B.估计样本数据的80%分位数为84C.由样本数据可估计全市初二学生数学水平分数低于60分的人数约为360D.由样本数据可估计全市初二学生数学水平分数80分及以上的人数占比为3%10.一个质地均匀的正四面体表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件A 为“第一次向下的数字为偶数”，事件B 为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是（ ） A.1()2P A =B.1()2P B A =C.事件A 和事件B 互为对立事件D.事件A 和事件B 相互独立11.如图，正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，点P 是直线1A D 上的一个动点，则下列结论中正确的是（ ）A.BPB.PA PC +的最小值为C.三棱锥1B ACP -的体积不变D.以点B 1AB C 12.对于定义在区间D 上的函数()f x ，若满足：12,D x x ∀∈且12x x <，都有12()()f x f x ≤，则称函数()f x 为区间D 上的“非减函数”，若()f x 为区间[]0,2上的“非减函数”，且(2)2f =，()(2)2f x f x +-=，又当3,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2(1)f x x ≤-恒成立，下列命题中正确的有（ ） A.(1)1f =B.03,22x ⎡⎤∃⎢⎣∈⎥⎦，0()1f x <C.12257443184f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭D.10,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦， (())()2f f x f x ≤-+三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.51(21)x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中含4x 项的系数为__________.14.已知点P 为抛物线2:4C y x =上的一个动点，直线:1l x =-，点Q 为圆22:(3)(31)M x y +-=+上的动点，则点P 到直线l 的距离与PQ 之和的最小值为__________.15.已知三棱锥P ABC -满足1PA =，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，若23P ABC V -=，则其外接球体积的最小值为__________.16.“0，1数列”是每一项均为0或1的数列，在通信技术中应用广泛.设A 是一个“0，1数列”，定义数列()f A ：数列A 中每个0都变为“1，0，1”，A 中每个1都变为“0，1，0”，所得到的新数列.例如数列A ：1，0，则数列()f A ：0，1，0，1，0，1.已知数列1A ：1，0，1，0，1，且数列1()k k A f A +=，1k =，2，3，…，记数列k A 的所有项之和为k S ，则1k k S S ++=__________.四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 的前n 项和为Sn ，且22n n S s a t n n =⋅+⋅-，*n ∈N .（1）当3s =，0t =时，求证：数列12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （2）当0s =，3t =时，不等式1n na a λλ++≥对于任意2n ≥，*n ∈N 都成立，求实数λ的取值范围.18.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 2sin 2cos 2B CB b +=. （1）求角A 的大小；（2）若BC 边上的中线1AD =，求ABC △面积的最大值.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，AD DC ⊥，AB DC ∥，222AB AD CD ===，点E 是PB 的中点.（1）证明：平面EAC ⊥平面PBC ；（2）若直线PB 与平面PAC ，求二面角P AC E --的余弦值. 20.某数学兴趣小组为研究本校学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从学校抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：（2）在人工智能中常用(|)(|)(|)P B A L B A P B A =表示在事件A 发生的条件下事件B 发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，A 表示“选到的学生语文成绩不优秀”，B 表示“选到的学生数学成绩不优秀”，请利用样本数据，估计(|)L B A 的值；（3）现从数学成绩优秀的样本中，按分层抽样的方法选出8人组成一个小组，从抽取的8人里再随机抽取3人参加数学竞赛，求这3人中，语文成绩优秀的人数X 的概率分布列及数学期望. 附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，反射后必经过另一个焦点.若从椭圆2222:1(0)x y T a b a b+>>=的左焦点1F 发出的光线，经过两次反射之后回到点1F ，光线经过的路程为8，椭圆T 的离心率2. （1）求椭圆T 的标准方程；（2）设0(),D D x ，且D x a >，过点D 的直线l 与椭圆T 交于不同的两点M ，N ，点2F 是椭圆T 的右焦点，且2DF M ∠与2DF N ∠互补，求2MNF △面积的最大值. 22.已知函数31()6x f x e ax =-（a 为非零常数），记1()()n n f x f x +'=（n ∈N ）0()()f x f x =，.（1）当0x >时，0f x ≥（）恒成立，求实数a 的最大值； （2）当1a =时，设2()()nn i i g x f x ==∑，对任意的3n ≥，当nx t=时，()n y g x =取得最小值，证明：()0n n g t >且所有点(,())n n n t g t 在一条定直线上.。

雅礼中学2023届高三月考试卷（六）数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页．时量120分钟，满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若复数()()2i1ia++的实部和虚部相等，则实数a的值为（）A. 1-B. 0C. 1D. 22. 命题“2R,240x x x∀∈-+≤”的否定为（）A. 2R,240x x x∀∈-+≥ B. 2R,240x x x∀∈-+≤C. 2R,240x x x∃∈-+> D. 2R,240x x x∃∉-+>3. 已知向量(,3),(1,4),(2,1)a kb c===，且(23)a b c-⊥，则实数k=A.92- B. 0 C. 3 D.152 4. 已知,a b R∈，则1b a<<是1|1|a b->-（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 在ABC∆中，AC=BC=cos A=，则ABC∆的面积为A.52B. 5C. 10D.6. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有A. 12种B. 18种C. 36种D. 54种7. 设双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左、右焦点分别为12,F F，O为坐标原点．以12F F为直径的圆与双曲线的右支的一个交点为P，且以2OF为直径的圆与直线1PF相切，若18PF=，则双曲线的焦距等于（）A. B. 6 C. D. 3的8. 已知m ，n 为实数，()e 1x f x mx n =-+-，若()0f x ≥对x ∈R 恒成立，则nm的最小值是（ ）A. 1- B. 0C. 1D. 2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知,,a b c 满足c b a <<且0ac <，则下列不等式恒成立的是（ ）A.b c a a> B.0b ac ->C. 22b a c c>D.0a cac-<10. 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，12AA =，1AB BC ==，90ABC ∠=︒，外接球的球心为O ，点E 是侧棱1BB 上的一个动点．下列判断中正确的是A. 直线AC 与直线1C E 是异面直线B. 1A E 一定不垂直1AC C. 三棱锥1E AA O -的体积为定值D. 1AE EC +的最小值为11. 设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对任意x ∈R 有2()()f x f x x +-=，且在[0,)+∞上()f x x '>，若(2)2()2f a a f a -+>+，则实数a 的可能取值为（ ）A. 1- B. 0C. 1D. 212. 已知直线:cos sin 3sin cos 50l x y θθθθ⋅+⋅++-=，则下列说法正确的是（ ）A. 直线l 一定不过原点B. 存在定点P ，使得点P 到直线l 的距离为定值C. 点(0,3)M -到直线l的最小值为3-D. 若直线l 分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，则AOB 的周长可以等于12的第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 4(2)(13)x x --的展开式中，2x 的系数等于____________．（用数字作答）14. 点(3,2)M 到抛物线2:(0)C y ax a =>准线的距离为4，则实数=a ____________．15. 若正整数m 满足151210210,m m -<<则m =________.（参考数据:lg2≈0.3010）16. 在ABC 中，3,sin sin (2)AB B m A m ==⋅≥，则ABC 的面积最大值为____________．四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，对于任意N n *∈，满足关系22n n S a =-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且()221log n n b a =，求证：当4n ≥时，总有6136n T <．18 已知函数2π()cos 12f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，1()1sin 22g x x =+．（1）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值．（2）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间．19. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠= ，PA PB ⊥，2PC =．（1）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；（2）若PA PB =，求二面角A PC D --的余弦值.20. 为贯彻中共中央、国务院2023年一号文件，某单位在当地定点帮扶某村种植一种草莓，并把这种露天种植草莓搬到了大棚里，收到了很好的经济效益．根据资料显示，产出的草.的莓的箱数x （单位：箱）与成本y （单位：千元）的关系如下：x 13467y56.577.58y 与x 可用回归方程 lg y bx a =+ （其中 ,a b 为常数）进行模拟．（1）若农户卖出的该草莓的价格为150元/箱，试预测该水果100箱的利润是多少元．（利润=售价-成本）（2）据统计，1月份连续16天中农户每天为甲地可配送的该水果的箱数的频率分布直方图如图，用这16天的情况来估计相应的概率．一个运输户拟购置n 辆小货车专门运输农户为甲地配送的该水果，一辆货车每天只能运营一趟，每辆车每趟最多只能装载40箱该水果，满载发车，否则不发车．若发车，则每辆车每趟可获利500元；若未发车，则每辆车每天平均亏损200元．试比较3n =和4n =时，此项业务每天的利润平均值的大小．参考数据与公式：设lg t x =，则ty()()51i i i t t y y =--∑()521i i t t =-∑0.546.81.530.45线性回归直线 lg y bx a =+ 中，()()()121,niii ni i t t y y b aybt t t ==--==--∑∑ ．21. 如图，椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>和圆2222:C x y b +=，已知圆2C 将椭圆1C 的长轴三等分，椭圆1C 右焦点到右顶点的距离为3-，椭圆1C 的下顶点为E ，过坐标原点O 且与坐标轴不重合的任意直线l 与圆2C 相交于点A ，B ．的（1）求椭圆1C 的方程；（2）若直线,EA EB 分别与椭圆1C 相交于另一个交点为点P ，M ．求证：直线PM 经过定点．22. 已知函数2(),()ln f x x ax g x x =-=．（1）当1a =时，求证：()()f x x g x ≥⋅；（2）设1()()2ax r x f x g +⎛⎫=+⎪⎝⎭，若对任意的(1,2)a ∈，总存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式()()201r x k a >-成立，求实数k 的取值范围．雅礼中学2023届高三月考试卷（六）数学命题人：刘一波 审题人：张鎏本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页．时量120分钟，满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若复数()()2i 1i a ++的实部和虚部相等，则实数a 的值为（）A. 1-B. 0C. 1D. 2【答案】B 【解析】【分析】利用复数实部和虚部的概念及四则运算求解即可.【详解】由题设()()()()22i 1i 22i i i 22i a a a a a ++=+++=-++，因为复数()()2i 1i a ++的实部和虚部相等，所以22a a -=+，解得0a =，故选：B2. 命题“2R,240x x x ∀∈-+≤”的否定为（ ）A. 2R,240x x x ∀∈-+≥ B. 2R,240x x x ∀∈-+≤C. 2R,240x x x ∃∈-+> D. 2R,240x x x ∃∉-+>【答案】C 【解析】【分析】利用全称命题的否定是特称命题及相关概念求解即可.【详解】命题“2R,240x x x ∀∈-+≤”的否定为“2R,240x x x ∃∈-+>”故选：C3. 已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===，且(23)a b c -⊥，则实数k =A. 92-B. 0C. 3D.152【答案】C 【解析】【详解】试题分析：由题意得，23(23,6),(2,1)a b k c-=--=，因为(23)a b c -⊥，所以(23)4660a b c k -⋅=--=，解得3k =，故选C.考点：向量的坐标运算.4. 已知,a b R ∈，则1b a <<是1|1|a b ->-的（ ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合不等式的性质即可得到结论.【详解】因为211111a ba b a b a b a <+⎧->-⇔-<-<-⇔⎨<⎩，所以当1b a <<时，1|1|a b ->-成立，当1|1|a b ->-成立时，如取1,22b a ==，此时1b a <<不成立，所以1b a <<是1|1|a b ->-的充分不必要条件.故选：B.【点睛】本题考查充分不必要条件的定义，考查不等式的性质，属于基础题.5. 在ABC ∆中，AC =BC =cos A =，则ABC ∆的面积为A.52B. 5C. 10D.【答案】A 【解析】【分析】根据条件可利用余弦定理将AB 边求出，再将sin A 求出，利用三角形面积公式1sin 2S AB AC A =⋅⋅求出答案.【详解】在ABC 中，由余弦定理得2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅⋅,2105AB AB =+-整理得2450AB AB --=解得5,1AB AB ==-（舍）由cos A =可得sin A ==115=sin 5222ABC S AB AC A ∴⋅⋅=⨯ 故选A 项.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，三角形面积公式，属于简单题.6. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有A. 12种 B. 18种C. 36种D. 54种【答案】B 【解析】【详解】试题分析：由题意知，完成这一件事可分为两步：先将标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；再将其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选B.考点：排列与组合7. 设双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点．以12F F 为直径的圆与双曲线的右支的一个交点为P ，且以2OF 为直径的圆与直线1PF 相切，若18PF =，则双曲线的焦距等于（ ）A. B. 6C. D. 3【答案】A 【解析】【分析】设以2OF 为直径的圆与直线1PF 相切于点N ，圆心为M ，则1MN PF ⊥，因此121Rt PF F Rt NF M ∽，所以1212||F M NM PF F F =，由此可求出223cPF =，而12PF PF ⊥，再由勾股定理可得1PF =，而已知18PF =，从而可求出c 的值【详解】依题意知12PF PF ⊥，设以2OF 为直径的圆与直线1PF 相切于点N ，圆心为M ，则1MN PF ⊥，因此121Rt PF F Rt NF M ∽，所以1212||F MNM PF F F =．设双曲线的焦距为2c ，则23222c cPF c=，解得223cPF =，由勾股定理可得1PF ==8=，c =，故焦距2c =故选：A【点睛】此题考查圆与双曲线的性质的应用，考查数学转化思想和计算能力，属于基础题8. 已知m ，n 为实数，()e 1x f x mx n =-+-，若()0f x ≥对x ∈R 恒成立，则nm的最小值是（ ）A. 1- B. 0C. 1D. 2【答案】B 【解析】【分析】利用导数的性质，结合构造函数法进行求解即可.【详解】()e 1,()e x x f x mx n f x m =-+-=-'，当0m ≤时，()0f x '>恒成立，则()f x 单调递增，()0f n =，显然()0f x ≥不恒成立，当0m >时，(,ln )x m ∈-∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；(ln ,)x m ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，∴min ()(ln )ln 1f x f m m m m n ==-+-，∵()0f x ≥恒成立，∴ln 10m m m n -+-≥，∴ln 1n m m m ≥-+，∴ln 11ln 1n m m m m m m m-+≥=+-，令1()ln 1,0h m m m m=+->，22111(),()m h m h m m m m-=-='区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增，∴min ()(1)0h m h ==．故选：B【点睛】关键点睛：利用导数的性质，结合构造新函数法是解题的关键.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，在有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知,,a b c 满足c b a <<且0ac <，则下列不等式恒成立的是（ ）A.b c a a> B.0b ac ->C. 22b a c c>D.0a cac-<【答案】ABD 【解析】【分析】利用不等式的性质对各选项逐一判断即可.【详解】因为,,a b c 满足c b a <<且0ac <，所以0c <，0a >，b 符号不确定，选项A ：因为b c >，10a>，所以b ca a >，选项A 正确；选项B ：因为b a <，10c <，所以0b a -<，0b a c ->，选项B 正确；选项C ：因为b a <，10c<，当b a <时，22b a <，所以22b ac c>；当0b <且b a >时，22b a >，所以22b ac c<，选项C 错误；选项D ：因为c a <，10ac<，所以0a c ->，0a cac -<，选项D 正确；故选：ABD10. 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，12AA =，1AB BC ==，90ABC ∠=︒，外接球的球心为O ，点E 是侧棱1BB 上的一个动点．下列判断中正确的是A. 直线AC 与直线1C E 是异面直线B. 1A E 一定不垂直1ACC. 三棱锥1E AA O -的体积为定值D. 1AE EC +的最小值为【答案】ACD 【解析】【分析】由题意画出图形，由异面直线的概念判断A ；利用线面垂直的判定与性质判断B ；找出球心，由棱锥底面积与高为定值判断C ；设BE x =，列出1AE EC +关于x 的函数式，结合其几何意义求出最小值判断D ．【详解】解：如图，A ． 直线AC 经过平面11BCCB 内的点C ，而直线1C E 在平面11BCC B 内不过C ，∴直线AC 与直线1C E 是异面直线，故A 正确；B ．当11A E AB ⊥时，1A E ⊥平面11ABC ，则11A E AC ⊥，故B 错误；C ．由题意知，直三棱柱111ABC A B C -的外接球的球心为O 是1AC 与1AC 的交点，则1AAO 的面积为定值，由1//BB 平面11AACC ，E ∴到平面1AA O 的距离为定值，∴三棱锥1E AA O -的体积为定值，故C 正确；D ．设BE x =，则12B E x =-，1AE EC ∴+=．由其几何意义，即平面内动点(,1)x 与两定点(0,0)，(2,0)距离和最小值知，其最小值为D 正确．故选：ACD ．【点睛】本题考查异面直线的判定、垂直，三棱锥的体积的求法，以及距离最小值的求法，是中档题.11. 设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对任意的x ∈R 有2()()f x f x x +-=，且在[0,)+∞上()f x x '>，若(2)2()2f a a f a -+>+，则实数a 的可能取值为（ ）A. 1- B. 0C. 1D. 2的【答案】AB 【解析】【分析】构建2()()2x g x f x =-，根据题意分析可得：()g x 为奇函数，在R 上单调递增，利用单调性解不等式即可得结果.【详解】222()()()()()022x x f x f x x f x f x -+-=⇔-+--=令2()()2x g x f x =-，即()()0g x g x +-=，则()g x 为奇函数，当0x ≥时，()()0g x f x x ''=->，则()g x 在区间[0,)+∞上单调递增，故()g x 在区间(],0-∞上单调递增，则()g x 在R 上单调递增，∵(2)2()2f a a f a -+>+⇔22(2)(2)()22a a f a f a --->-，即()(2)g a g a ->，∴2a a ->，解得1a <，故A 、B 正确，C 、D 错误.故选：AB ．12. 已知直线:cos sin 3sin cos 50l x y θθθθ⋅+⋅++-=，则下列说法正确的是（ ）A. 直线l 一定不过原点B. 存在定点P ，使得点P 到直线l 的距离为定值C. 点(0,3)M -到直线l 的最小值为3-D. 若直线l 分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，则AOB 的周长可以等于12【答案】ABD 【解析】【分析】将原点()0,0代入直线方程解θ判断A ，设()0,Px y ，利用点到直线距离公式判断B ，由B 可得直线l 为圆()()22:1325P x y +++=的切线，利用直线和圆的位置关系判断C ，利用特殊点判断选项D.【详解】选项A ：将()0,0代入直线l 得3sin cos 50θθ+-=()5θϕ+=，其中cos ϕ=，sin ϕ=，因为()[]sin 1,1θϕ+∈-()5θϕ+=无解，选项A 正确；选项B ：设点()0,Px y ，则点P 到直线l 的距离00sin 3sin cos 5d x y θθθθ⋅+⋅++-，令00cos cos 0sin 3sin 0x y θθθθ⋅+=⎧⎨⋅+=⎩解得0013x y =-⎧⎨=-⎩，故当P 点坐标为()1,3--时，点P 到直线l 的距离为定值5，选项B 正确；选项C ：由选项B 可知直线l 为圆()()22:1325P x y +++=的切线，设点(0,3)M -到切线的距离为d ，所以d R MP ≥-，所以点(0,3)M -到直线l 的最小值min 4d R MP =-=，选项C 错误；选项D ：由图像可知随直线l 斜率由0∞-→，AOB 的周长先减小，再增大，存在最小值，不妨在圆上取一点(3,0)作切线，记为()()()31:0303l y x ---=----，即4312x y +=，所以()()3,0,0,4A B ，OAB的周长为3412+=，选项D 正确；故选：ABD第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 4(2)(13)x x --的展开式中，2x 的系数等于____________．（用数字作答）【答案】120【解析】【分析】利用二项式展开式分两种情况求出即可.【详解】由题意分两种情况：①()222242C 13108x x ⨯⨯⨯-=，②()()1324C 1312x x x -⨯⨯⨯-=，故2x 的系数为：10812120+=，故答案为：120.14. 点(3,2)M 到抛物线2:(0)C y ax a =>准线的距离为4，则实数=a ____________．【答案】18## 0.125【解析】【分析】由抛物线的标准方程可得准线方程，根据点(3,2)M 到准线的距离为4求解a 的值即可.【详解】抛物线2:(0)C y ax a =>即21x y a=的准线方程为14y a =-，因为点(3,2)M 到准线的距离为4，所以1244a +=，解得18a =，故答案为：1815. 若正整数m 满足151210210,m m -<<则m =________.（参考数据:lg2≈0.3010）【答案】155【解析】【分析】利用题中提示20.3010lg ≈，把不等式同时取以10为底的对数，再利用对数的运算性质，转化为关于m 的不等式求解即可．【详解】解：151210210m m -<< ，取以10为底的对数得151210210m m lg lg lg -<<，即15122m lg m -<⨯<又20.3010lg ≈ 1154.112m m ∴-<<，因为m 是正整数，所以155m =故答案为：155．16. 在ABC 中，3,sin sin (2)AB B m A m ==⋅≥，则ABC 面积最大值为____________．【答案】3【解析】【分析】先由正弦定理得到AC m BC =⋅，再建立平面直角坐标系求得点C 的轨迹，从而得到ABC 的面积关于m 的解析式，利用函数的单调性即可求得ABC 的面积最大值.的【详解】因为sin sin B m A =⋅，所以由正弦定理得b ma =，即AC m BC =⋅，以线段AB 所在直线为x 轴，以AB 的中点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，则33,0,,0,(,)22A B C x y ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由AC m BC =⋅m =因为2m ≥，所以整理得2222339014m x y x m ++-+=-，由此可知点C 的轨迹是以()2233,021m m ⎛⎫+ ⎪ ⎪-⎝⎭为圆心，以231m r m =-为半径的圆，所以当点C 在圆上运动时，点C 到x 轴的最大距离为半径231mr m =-，所以ABC 面积2139131212m S m m m=⨯⨯=⨯--在[)2,m ∈+∞上单调递减，所以max 9131222S =⨯=-．故答案为：3.四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，对于任意N n *∈，满足关系22n n S a =-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且()221log n n b a =，求证：当4n ≥时，总有6136n T <．【答案】（1）()2N n n a n *=∈（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用()12n n n a S S n -=-≥及等比数列的定义求解即可；的（2）利用放缩法和裂项相消求和即可.【小问1详解】因为11122a S a ==-，解得12a =，()22N n n S a n *=-∈①，所以()11222,N n n S a n n *--=-≥∈②，①-②得()1222,Nn n n a a a n n *-=-≥∈，即12nn aa -=，又因为0n a ≠，所以()122,N nn a n n a *-=≥∈，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以()2N n n a n *=∈．【小问2详解】因为对任意正整数n ，总有()22211log n n b n a ==，所以当4n ≥时，2222211111111122334(1)n T n n n=+++≤+++++⨯- 111111611611493413636n n n =+++-++-=-<- ．18. 已知函数2π()cos 12f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，1()1sin 22g x x =+．（1）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值．（2）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间．【答案】（1）34或54,（2）5ππππ1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，（Z k ∈）．【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）先利用倍角公式把函数解析式化为1π()[1cos(2)]26f x x =++，再由对称轴的计算方法得0π26x +πk =，即0π2π6x k =-（Z k ∈）．所以0011π()1sin 21sin(π)226g x x k =+=+-．最后分k 为奇数或偶数两种情况求出0()g x 的值为34或54．（Ⅱ）先求出1π3()sin 2232h x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再由πππ2π22π232k x k -≤+≤+，得函数的单调递增区间为5ππππ1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，（Z k ∈）试题解析：（I ）由题设知1π()[1cos(2)]26f x x =++．因为0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，所以0π26x +πk =，即0π2π6x k =-（Z k ∈）．所以0011π()1sin 21sin(π)226g x x k =+=+-．当k 为偶数时，01π13()1sin 12644g x ⎛⎫=+-=-= ⎪⎝⎭，当k 为奇数时，．（II ）1π1()()()1cos 21sin 2262h x f x g x x x ⎡⎤⎛⎫=+=++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1π3113cos 2sin 2sin 2262222x x x x ⎫⎡⎤⎛⎫=+++=++⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎭1π3sin 2232x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．当πππ2π22π232k x k -≤+≤+，即5ππππ1212k x k -≤≤+（Z k ∈）时，函数1π3()sin 2232h x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是增函数，故函数()h x 的单调递增区间是5ππππ1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，（Z k ∈）．考点 ：辅助角公式的应用 对称轴的求法 求三角函数单调性区间19. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠= ，PA PB ⊥，2PC =．（1）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；（2）若PA PB =，求二面角A PC D --的余弦值.【答案】（1）证明见解析； （2.【解析】【分析】（1）取AB 中点O ，连接,,AC CO PO ，利用线面垂直的判定定理证得CO ⊥平面PAB ，结合面面垂直的判定定理即可证明；（2）由(1)建立如图空间直角坐标系O xyz -，利用向量法分别求出平面APC 、平面PCD 的法向量，结合空间向量的数量积定义计算即可.【小问1详解】取AB 中点O ，连接,,AC CO PO ，因为四边形ABCD 是边长为2的菱形，所以2AB BC ==，因为60ABC ︒∠=,所以ABC 是等边三角形，所以CO AB OC ⊥=，,因为PA AB ⊥，所以112PO AB ==，因为2PC =，所以222OP OC PC +=，所以CO PO ⊥.因为AB PO O = ，AB PO ⊂、平面PAB ，所以CO ⊥平面PAB ，因为CO ⊂平面ABCD ，所以平面PAB ⊥平面ABCD ；【小问2详解】因为22222211OP OA PA +=+==，所以PO AO ⊥，由（1）知，平面PAB ⊥平面ABCD ，而平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PO ⊂平面PAB ，所以PO ⊥平面ABCD ，所以直线,,OC OB OP 两两垂直，以O 原点建立如图空间直角坐标系O xyz -，则()()()))()0,0,0,0,1,0,0,1,0,,2,0,0,0,1O A B CDP --，为所以())()0,1,1,1,0,2,0AP PC DC ==-=，设平面APC 的法向量为(),,m x y z =，由0000y z m AP m PC z +=⎧⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=-=⎩ ，取1x =，得(1,m = ，设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =，由00020n PC z n DC y ⎧⋅=-=⇒⎨⋅==⎪⎩⎩ ，取1x =，得(n = ，所以cos<,m n nm m n ⋅>==⋅，由图可知二面角A PC D --为锐二面角，所以二面角A PC D --.20. 为贯彻中共中央、国务院2023年一号文件，某单位在当地定点帮扶某村种植一种草莓，并把这种露天种植的草莓搬到了大棚里，收到了很好的经济效益．根据资料显示，产出的草莓的箱数x （单位：箱）与成本y （单位：千元）的关系如下：x 13467y56.577.58y 与x 可用回归方程 lg y bx a =+ （其中 ,a b 为常数）进行模拟．（1）若农户卖出的该草莓的价格为150元/箱，试预测该水果100箱的利润是多少元．（利润=售价-成本）（2）据统计，1月份的连续16天中农户每天为甲地可配送的该水果的箱数的频率分布直方图如图，用这16天的情况来估计相应的概率．一个运输户拟购置n 辆小货车专门运输农户为甲地配送的该水果，一辆货车每天只能运营一趟，每辆车每趟最多只能装载40箱该水果，满载发车，否则不发车．若发车，则每辆车每趟可获利500元；若未发车，则每辆车每天平均亏损200元．试比较3n =和4n =时，此项业务每天的利润平均值的大小．参考数据与公式：设lg t x =，则ty()()51i ii t t yy =--∑()521i i t t =-∑0.546.81.530.45线性回归直线 lg y bx a =+ 中，()()()121,niii ni i t t y y b ay bt t t ==--==--∑∑ ．【答案】（1）3236元（2）购置3辆小货车的利润平均值大于购置4辆小货车的利润平均值．【解析】【分析】（1）利用参考公式和表中数据求出线性回归直线方程，再将100x =代入即可求解；（2）根据题意设该运输户购3辆车和购4辆车时每天的利润分别为12,Y Y 元，根据题意列出分布列，根据分布列求出平均值即可求解.【小问1详解】根据题意，()()()515211.533.40.45iii i i t t y y bt t ==--===-∑∑ ，所以 6.8 3.40.54 4.964ay bt =-=-⨯= ，所以 3.4 4.964y t =+，又lg t x =，所以 3.4lg 4.964y x =+，所以100x =时， 6.8 4.96411.764y =+=（千元），即该水果100箱的成本为11764元，故该水果100箱的利润15000117643236-=（元）．【小问2详解】根据频率分布直方图，可知该农户每天可配送的该水果的箱数的概率分布表为：箱数[)40,80[)80,120[)120,160[]160,200P18141218设该运输户购3辆车和购4辆车时每天的利润分别为12,Y Y 元，则1Y 的可能取值为1500，800，100，其分布列为：1Y 1500800100P 581418故()151115008001001150848E Y =⨯+⨯+⨯=,2Y 的可能取值为2000，1300，600，100-，其分布列为：2Y 20001300600100-P 18121418故()2111120001300600(100)1037.58248E Y =⨯+⨯+⨯+⨯-=,即购置3辆小货车的利润平均值大于购置4辆小货车的利润平均值．21. 如图，椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>和圆2222:C x y b +=，已知圆2C 将椭圆1C 的长轴三等分，椭圆1C 右焦点到右顶点的距离为3-，椭圆1C 的下顶点为E ，过坐标原点O 且与坐标轴不重合的任意直线l 与圆2C 相交于点A ，B ．（1）求椭圆1C 的方程；（2）若直线,EA EB 分别与椭圆1C 相交于另一个交点为点P ，M ．求证：直线PM 经过定点．【答案】（1）2219x y += （2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意列式求解,,a b c ，即可得答案；（2）设直线、PE ME 的方程，与椭圆方程联立求P M 、的坐标，进而可求直线PM 的方程，即可得结果.【小问1详解】由题意可得：1223b a =⋅，则3a b =，∵22233a b c a c a b ⎧=+⎪⎪-=-⎨⎪=⎪⎩31a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆1C 的方程为2219x y +=.【小问2详解】由题意知直线,PE ME 的斜率存在且不为0，设直线PE 的斜率为k ，则直线:1PE y kx =-，联立方程22119y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得22218919191k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩或01x y =⎧⎨=-⎩，∴2221891,9191k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，∵AB 为圆2C 的直径，点E 在圆2C 上，则BE AE ⊥，即1AE BE k k ⋅=-，∴11BE AE k k k =-=-，则直线1:1ME y x k=--，故用1k -去替代k 得222189,99k k M k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，∵22222229191919181810919PMk k k k k k k k k k k ----++==+++，∴直线22229118:9109k k k PM y x k k k --⎛⎫-=+ ⎪++⎝⎭，即214105k y x k -=+，∴直线PM 经过定点40,5T ⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.22. 已知函数2(),()ln f x x ax g x x =-=．（1）当1a =时，求证：()()f x x g x ≥⋅；（2）设1()()2ax r x f x g +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若对任意的(1,2)a ∈，总存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式()()201r x k a >-成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【解析】【分析】（1）根据函数解析式，整理不等式，构造函数，利用导数求新函数的最值，可得答案；（2）由题意，整理函数解析式，求导研究其单调性，根据不等式能成立问题，可得关于k 和a 的不等式，构造以a 为变量、以k 为参数的函数，利用导数，结合分类讨论，可得答案.【小问1详解】要证()()f x x g x ≥⋅，只需证1ln x x -≥，令()1ln ,(0,)h x x x x =--∈+∞，11()1x h x x x-'=-=，由()0,1x ∈，()0h x '<，()1,x ∈+∞，()0h x '>，()h x 在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增，∴()(1)0h x h ≥=，即1ln 0x x --≥，∴()()f x x g x ≥⋅．【小问2详解】由题意得21()ln 2ax r x x ax +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，2222()211a ax x a a r x x a ax ax⎛⎫-- ⎪⎝⎭=-'+=++，∵22121122222a a a a -=-<-=，显然1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，()0r x '>，∴()r x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，∴01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0max 1(1)1ln 2a r x r a +==-+，∴()211ln 12a a k a +-+>-，设()21()1ln1((1,2)),(1)02a a a k a a ϕϕ+=-++-∈=，有()0a ϕ>在(1,2)a ∈时恒成立，∵()[2(12)]1a a ka k aϕ-'=-+，①0k =时，∵()1a a a ϕ-=+'，显然()0a ϕ'<，∴()a ϕ在(1,2)a ∈时单调递减，此时()(1)0a ϕϕ<=不符合；②0k <时，∵21()112ka a a a k ϕ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢+⎝⎭⎣'⎥⎦，显然()0a ϕ'<，∴()a ϕ在(1,2)a ∈时单调递减，此时()(1)0a ϕϕ<=不符合；③0k >时，∵21()112ka a a a k ϕ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢+⎝⎭⎣'⎥⎦，若1122k-≥，显然()0a ϕ'<，则()a ϕ在区间()1,2上单调递减，此时()(1)0a ϕϕ<=不符合；若11122k <-<，显然当11,12a k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0a ϕ'<，则()a ϕ在区间11,12k ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，此时()()10a ϕϕ<=，不符合；若1112k-≤时，则()a ϕ在区间(1,2)上单调递增，此时()(1)0a ϕϕ>=，符合．综上得01112k k>⎧⎪⎨-≤⎪⎩，解得14k ≥，即实数k 的取值范围为1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用，二是函数的零点，不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理.。

湖南省长沙市雅礼中学2023届高三下学期月考(七)数学时量：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合(){}1.5log 10A x x =->，{}24xB x =<，则（ ）A.A B =B.A B ⊇C.A B B =D.A B B =2.设b ，c R ∈，若2i -（i 为虚数单位）是一元二次方程20x bx c ++=的一个虚根，则（ ） A.4b =，3c = B.4b =，5c = C.4b =-，3c =D.4b =-，5c =3.圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上.其上、下底面的半径分别为4和5，则该圆台的体积为（ ） A.61πB.62πC.63πD.64π4.如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有（ ）A.72B.56C.48D.365.已知数列{}n a 满足：()()1131nn n a a n n *++-=-⊂N .则{}n a 的前60项的和为（ ） A.1240B.1830C.2520D.27606.已知R ω∈，函数()()()26sin f x x x ω=-⋅，存住常数a R ∈，使得()f x a +为偶函数，则ω的值可能为（ ） A.2π B.3π C.4π D.5π 7.已知1F ，2F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且1260F PF ∠=︒，()121PF PF λλ=>，若C 的λ的值为（ ）A.3C.28.若2021log 2022a =，2022log 2023b =，20222021c =，20232022d =，则a ，b ，c ，d 中最大的是（ ）A.aB.bC.cD.d二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.下列命题中，真命题有（ ）A.数据6，2，3，4，5，7，8，9，1，10的70%分位数是8.5B.若随机变量16,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则()49D X =C.若事件A ，B 满足()0P A <，()1P B <且()()()1P AB P A P B =⋅-⎡⎤⎣⎦，则A 与B 独立 D.若随机变量()22,X N σ~，()10.68P X >=.则()230.18P x ≤<= 10.已知23π是函数()()()sin 20f x x ϕϕπ=+<<的一个零点，则（ ） A.()f x 在区间50,12π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 B.()f x 在区间11,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭只有一个极值点 C.直线76x π=是曲线()y f x =的对称轴D.直线y x =-是曲线()y f x =的切线 11.已知O 为坐标原点，过抛物线()2:20C y px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(),0M p ，若AF AM =，则（ ）A.直线AB 的斜率为B.OB OF =C.4AB OF >D.180OAM OBM ∠+∠<︒12.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1BB 的中点，Q 为正方形11BB C C 内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（ ）A.若1D Q ∥平面1A PD ，则动点Q 的轨迹是一条线段B.存在Q 点，使得1D Q ⊥平面1A PDC.当且仅当Q 点落在棱1CC 上某点处时，三棱锥1Q A PD -的体积最大D.若12D Q =，那么Q 点的轨迹长度为24π 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知在n的展开式中，前3项的系数成等差数列，则展开式中当x 的一次项的系数为______. 14.若3sin sin αβ-=2παβ+=，则sin α=______，cos2β=______.15.已知1F ，2F 是椭圆22143x y +=的左、右焦点，点P 是椭圆上任意一点，以1PF 为直径作圆N ，直线ON 与圆N 交于点Q （点Q 不在椭圆内部），则12QF QF ⋅=______. 16.在数列{}n a 中给定1a ，且函数()()311sin 213n n f x x a x a x +=-+++的导函数有唯一的零点，函数()()()8sin cos g x x x x ππ=+-且()()()12918g a g a g a ++⋅⋅⋅+=.则5a =______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）记ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-. （1）证明：2222a b c =+； （2）若5a =，25cos 31A =，求ABC △的周长. 18.（本小题满分12分）设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项. （1）求{}n a 的公比；（2）若11a =，求数列{}n na 的前n 项和. 19.（本小题满分12分）如图，四面体ABCD 中，AD CD ⊥，AD CD =，ADB BDC ∠=∠，E 为AC 的中点.（1）证明：平面BED ⊥平面ACD ；（2）设2AB BD ==，60ACB ∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求CF 与平面ABD 所成角的正弦值.20.（本小题满分12分）浙江省东魁杨梅是现在世世界上最大果形的杨梅，有“乒乓杨梅”、“杨梅之皇”的美誉，东魁杨梅始于浙江黄岩区江口街道东香村一棵树龄约120多年的野杨梅树，经过东岙村和白龙岙村村民不断改良，形成了今天东魁杨梅的品种，栽培东魁杨梅一举多得，对开发山区资源，绿化荒山，保持水土，增加山区经济收入具有积极意义.根据多年的经验，可以认为东魁杨梅果实的果径()2,X N μσ~（单位：mm ），但因气候、施肥和技术的不同，每年的μ和σ都有些变化.现某农场为了了解今年的果实情况，从摘下的杨梅果实中随机取出1000颗，并测量这1000颗果实的果径，得到如下频率分布直方图.（1）用频率分布直方图估计样本的平均数x 近似代替μ，标准差s 近似代替σ，已知0.3s =.根据以往经验，把果径与μ的差的绝对值在2σ内的果实称为“标准果”.现从农场中摘取20颗果，请问这20颗果恰好有一颗不是“标准果”的概率.（结果精确到0.01）（2）随着直播带货的发展，该农场也及时跟进.网络销售在大大提升销量的同时，也增加了坏果赔付的成本.现该农场有一款“9A20”的主打产品，该产品按盒销售，每盒20颗，售价80元，客户在收到货时如果有坏果，每一个坏果该农场要赔付4元.根据收集到的数据：若采用A 款包装盒，成本()15a a ≤≤元，且每盒出现坏果个数1X 满足：()11,1,2,3,4,21,0,160,5,6,,20.ii P X i i i ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪===⎨⎪=⋅⋅⋅⎪⎪⎪⎩若采用B 款包装盒，成本87a元，且每盒出现坏果个数2X 满足 ()21,1,2,3,20,0,4,5,6,,20,im i P X i i ⎧⎛⎫=⎪ ⎪==⎨⎝⎭⎪=⋅⋅⋅⎩ （m 为常数）. 请运用概率统计的相关知识分析，选择哪款包装盒可以获得更大利润?参考数据：36.20.236.40.2536.60.736.80.837 1.137.20.837.4⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.6537.60.437.80.05380.05185+⨯+⨯+⨯=；()0.6827P X μσμσ-≤≤+=；()220.9545P X μσμσ-≤≤+=； ()330.9973P X μσμσ-≤≤+=；190.95450.412≈；200.95450.393≈.21.（本小题满分12分）已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆()22:41M x y ++=上点的距离的最小值为4.（1）求p ；（2）若点P 在圆M 上，P A ，PB 是C 的两条切线，A ，B 是切点，求PAB △面积的最大值. 22.（本小题满分12分）已知0a >，函数()[)()e sin 0,axf x x x =∈+∞，记n x 为()f x 的从小到大的第()n n *∈N 个极值点. 证明：（1）数列(){}n f x 是等比数列； （2）若a ≥，则对一切n *∈N ，()n n x f x <恒成立.湖南省长沙市雅礼实高2023届高三下学期月考(七)数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.C 【解析】过程略.注：《名师导学•新高考第二轮总复习》2P .2.D 【解析】过程略.注：《名师导学•新高考第二轮总复习》5P . 4.C 【解析】过程略.注：《名师导学•新高考第二轮总复习》11P .5.D 【解析】()1131nn n a a n ++-⋅=-，故212a a -=，325a a +=，438a a -=，5411a a +=，…. 故133a a +=，573a a +=，….从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于3；2413a a +=，6837a a +=，….从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以13为首项，以24为公差的等差数列. 故60151431513152427602S ⨯=⨯+⨯+⨯=. 故选D.注：《名师导学•新高考第二轮总复习》131P .二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.CD 【解析】对于A ，对数据排序得到1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，由1070%7⨯=，70%分位数是787.52+=，A 错误； 对于B ，由16,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭知()11461333D X ⎛⎫=⨯⨯-=⎪⎝⎭，故B 错误； 对于C ，因为()()()P AB P AB P A +=，即()()()P AB P A P AB =-，又()()()1P AB P A P B =⋅-⎡⎤⎣⎦， 即()()()()P A P B P A P AB =-，所以()()()P AB P A P B =，故A 与B 独立，故C 正确；对于D ，由题设，对应正态曲线关于2x =对称，所以()()23120.680.50.18P x P x ≤<=<≤=--，故D 正确.故选CD.10.ABD 【解析】由题意得：24sin 033f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以43k πϕπ+=，k ∈Z ，即43k πϕπ=-+，k ∈Z ，又0ϕπ<<，所以2k =时，23πϕ=，故()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 对A ，当50,12x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2232,332x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由正弦函数sin y u =图象知()y f x =在50,12π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；对B ，当11,1212x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，252,322x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由正弦函数sin y u =图象知()y f x =只有1个极值点，由23232x ππ+=，解得512x π=，即512x π=为函数的唯一极值点； 对C ，当76x π=时，2233x ππ+=，706f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，直线76x π=不是对称轴； 对D ，由22cos 213y x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭'得：21cos 232x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，解得222233x k πππ+=+或212233x k πππ+=+，k ∈Z ，从而得：x k π=或3x k ππ=+，k ∈Z . 所以函数()y f x =在点⎛ ⎝⎭处的切线斜率为022cos13x k y π=='==-，切线方程为：()0y x =--即y x =. 故选ABD.注：《名师导学•新高考第二轮总复习》17P . 11.ACD 【解析】对于A ，易得,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，由AF AM =可得点A 在FM 的垂直平分线上，则A 点横坐标为3224pp p +=， 代入拋物线可得2233242p y p p =⋅=，则34p A ⎛ ⎝⎭，则直线AB的斜率为2342p p =-A 正确；对于B ，由斜率为可得直线AB 的方程为2p x y =+，联立拋物线方程得220y py p --=，设()11,B x y 1p y p +=，则1y =，代入拋物线得212p x ⎛=⋅ ⎝⎭，解得13px =，则,3p B ⎛ ⎝⎭，则2p OB OF ==≠=，B 错误； 对于C ，由抛物线定义知：325244312p p pAB p p OF =++=>=，C 正确；对于D ，2333,043434p p p p p OA OB ⎛⎛⎛⋅=⋅=⋅=-< ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则AOB ∠为钝角，又2225,043436p p p p p MA MB ⎛⎛⎛⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅-+=-< ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则AMB ∠为钝角，又360AOB AMB OAM OBM ∠+∠+∠+∠=︒，则180OAM OBM ∠+∠=∠︒，D 正确.故选ACD.12.ACD 【解析】对于选项A ：取11B C ，1C C 中点E ，F ，连接1D E ，1D F ，EF ，PF ， 由1111PF B C A D ∥∥且1111PF B C A D ==知11A PFD 是平行四边形， ∴11D F A P ∥，∵1D F ⊄平面1A PD ，1A P ⊂平面1A PD ， ∴1D F ∥平面1A PD ，公众号：数学北极星 同理可得EF ∥平面1A PD ，∵1EFD F F =，∴平面1A PD ∥平面1D EF ，则Q 点的轨迹为线段EF ，A 选项正确； 对于选项B ：如图，建立空间直角坐标系，则()11,0,0A ，11,1,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,0,1D ，设(),1,Q x z ，0x ≤，1z ≤， 则()11,0,1A D =-，110,1,2A P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1,1,DQ x z =. 设(),,m a b c =为平面1A PD 的一个法向量，则110,0,m A D m A P ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,0,2a c c b -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得,.2a c cb =⎧⎪⎨=-⎪⎩ 取1c =，则11,,12m ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 若1D Q ⊥平面1A PD ，则1DQ m ∥，即存在λ∈R ，使得1DQ m λ=，则,1, 2,x z λλλ=⎧⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩，解得 []20,1x z ==-∉，故不存在点Q 使得1D Q ⊥平面1A PD ，B 选项错误；对于选项C ：1A PD △的面积为定值，∴当且仅当Q 到平面1A PD 的距离d 最大时，三棱锥1Q A PD -的体积最大.12332AQ m d x z m⋅==+-， ①若32x z +≤，则()213d x z =-+，故当0x z +=时，d 有最大值1； ②若32x z +>.则()213d x z =+-，故当2x z +=时，d 有最大值13；综上，当0x z +=，即Q 和1C 重合时，三棱锥1Q A PD -的体积最大，C 选项正确； 对于选项D ：11D C ⊥平面111BB C C，∴111D C C Q ⊥，1D Q ==，∴12C Q =，Q点的，圆心角为2π，D 选项正确.故选ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.358【解析】过程略.注：《名师导学・新高考第二轮总复习》12P .45【解析】过程略.注：《名师导学・新高考第二轮总复习》125P . 15.3 【解析】过程略.注：《名师导学・新高考第二轮总复习》145P . 16.14【解析】因为()()21cos 2n n f x x a x a +=-⋅+'有唯一的零点，()f x '为偶函数， 则()00f '=，可得12n n a a +-=，*n ∈N ，数列{}n a 为等差数列，所以212a a -=，又因为()1118sin cos 882444g x x x x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-=+-=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令()8h t t t π=，则()h t 为奇函数，因为()0h t '>，所以()h t 在R 上单调递增. 由题意得()()()1292220g a g a g a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-+⋅⋅⋅+-=⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ∵数列{}n a 是公差不为0的等差数列，其中129a a a <<⋅⋅⋅<. 则129111444a a a -<-<⋅⋅⋅<-.假设1911044a a ⎛⎫⎛⎫-+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1919191111110444444a a h a h a h a h a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫->--⇒->--⇒-+-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∵1928371651111111112444444444a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=-+-=-+-=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ∴1291110444h a h a h a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 假设1911044a a ⎛⎫⎛⎫-+-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理可得1291110444h a h a h a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+⋅⋅⋅+-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 综上，19195111104424a a a a a ⎛⎫⎛⎫-+-=⇒+=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 四、解答题：本题共6小题.共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.【解析】（1）因为()()sin sin sin sin C A B B C A -=-.所以sin sin cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos C A B C B A B C A B A C -=-，……2分所以2222222222222a c b b c a a b c ac bc ab ac bc ab +---+-⋅-⋅=-⋅，……3分即()22222222222a c b a b c b c a +-+--+-=-，所以2222a b c =+.……5分（2）因为5a =，25cos 31A =，由（1）得2250b c +=， 由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，则50502531bc -=，所以312x =，……8分故()2222503181b c b c bc +=++=+=，所以9b c +=， 所以ABC △的周长为14a b c ++=.……10分18.【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，因为1a 为2a ，3a 的等差中项，所以1232a a a =+，10a ≠，所以220q q +-=，又1q ≠，所以2q =-.……4分（2）设{}n na 的前n 项和为n S ，11a =，()12n n a -=-，()()()211122322n n S n -=⨯+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+-，①()()()()()()2312122232122n nn S n n --=⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+--+-，②……8分-①②得，()()()()21312222n nn S n -=+-+-+⋅⋅⋅+---()()()()()1211322123n nn n n ---+-=--=--， ∴()()11329nn n S -+-=.……12分19.【解析】（1）因为AD CD =，E 为AC 的中点，所以AC DE ⊥； 在ABD △和CBD △中，因为AD CD =，ADB CDB ∠=∠，DB DB =，所以ABD CBD ≅△△，所以AB CB =，又因为E 为AC 的中点，所以AC BE ⊥；……3分 又因为DE ，BE ⊂平面BED ，DEBE E =，所以AC ⊥平面BED ，因为AC ⊂平面ACD ，所以平面BED ⊥平面ACD .……5分（2）连接EF ，由（1）知，AC ⊥平面BED ，因为EF ⊂平面BED ，所以AC EF ⊥，所以12AFC S AC EF =⋅△， 当EF BD ⊥时，EF 最小，即AFC △的面积最小.……6分因为ABD CBD ≅△△，所以2CB AB ==，又因为60ACB ∠=︒，所以ABC △是等边三角形， 因为E 为AC 的中点，所以1AE EC ==，BE = 因为AD CD ⊥，所以112DE AC ==， 在DEB △中，222DE BE BD +=，所以BE DE ⊥.以E 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -，……8分则()1,0,0A，()B ，()0,0,1D ，所以()1,0,1AD =-，()AB =-， 设平面ABD 的一个法向量为(),,n x y z =，则0,0,n AD x z n AB x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩取y =，则()3,3,3n =， 又因为()1,0,0C -，34F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以31,4CF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以6cos ,721n CF n CF n CF⋅===⨯， 设CF 与平面ABD 所成的角为02πθθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭，所以43sin cos ,7n CF θ==， 所以CF 与平面ABD .……12分 20.【解析】（1）(36.20.236.40.2536.60.736.80.837 1.137.20.837.40.6537.60.4x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+)37.80.05380.050.237⨯+⨯⨯=.……2分所以()()36.437.63720.33720.30.9545P X P X ≤≤=-⨯≤≤+⨯=.……3分 所以恰好有一颗不是“标准果”的概率()191920C 0.954510.95450.37P =⨯⨯-≈.……5分（2）由1111248m m m ++=得，87m =.……6分 所以()28172iP X i ⎛⎫== ⎪⎝⎭，1i =，2，3.……7分采用A 款包装盒获得利润的数学期望为：()234111111478048041234.22222A E E X a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-⨯+⨯+⨯+⨯-=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦……8分采用B 款包装盒获得利润的数学期望为：()28421851688048041237777777B a a E E X a ⎛⎫=--=-⨯+⨯+⨯-=- ⎪⎝⎭.……9分因为14751683277714A B a E E a a ⎛⎫⎛⎫-=---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，15a ≤≤， 所以当312a ≤<时，A B E E <，选择B 款包装盒获得利润更大；……10分 当32a =时，A B E E =，选择A ，B 款包装盒获得利润一样；……11分 当352a <≤时，A B E E >，选择A 款包装盒获得利润更大.……12分 21.【解析】（1）抛物线C 的焦点为0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，42pFM =+， 所以，F 与圆()22:41M x y ++=上点的距离的最小值为4142p+-=， 解得2p =.……4分（2）拋物线C 的方程为24x y =，即24x y =，对该函数求导得2xy '=，设点()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ， 直线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，即112x xy y =-，即11220x x y y --=， 同理可知，直线PB 的方程为22220x x y y --=， 由于点P 为这两条直线的公共点，则10102020220,220,x x y y x x y y --=⎧⎨--=⎩所以，点A ，B 的坐标满足方程00220x x y y --=， 所以，直线AB 的方程为00220x x y y --=.……7分联立002220,,4x x y y x y --=⎧⎪⎨=⎪⎩可得200240x x x y -+=， 由韦达定理可得1202x x x +=，1204x x y =，所以，AB ===点P 到直线AB的距离为d =所以，()3220011422PABS AB d x y =⋅==-△， ∵()()2222000000041441215621x y y y y y y -=-+-=---=-++，由已知可得053y -≤≤-，所以，当05y =-时，PAB△的面积取最大值321202⨯=……12分22.【解析】（1）()()()e sin e cos e sin cos sin ax ax uxax f x a x x a x x x ϕ'=+=+=+，其中1tan a ϕ=，02πϕ<<. 令()0f x '=，由0x ≥得x m ϕπ+=，即x m πϕ=-，*m ∈N .对k ∈N ，若()221k x k πϕπ<+<+，即()221k x k πϕπϕ-<<+-，则()0f x '>； 若()()2122k x k πϕπ+<+<+，即()()2122k x k πϕπϕ+-<<+-，则()0f x '<. 因此，()f x 在区间()()1,m m ππϕ--与(),m m πϕπ-上的符号总相反.于是当()*x m m πϕ=-∈N 时，()f x 取得极值，所以()*n x n n πϕ=-∈N . 此时，()()()()()1esin 1e sin n a n a n n f x n πϕπϕπϕϕ+--=-=-.易知()0n f x ≠，而()()()()()()21111e sin e 1e sin n a n x n axn a n n f x f x ϕπϕϕϕ++-⎡⎤⎣⎦++--==--是常数，故数列(){}n f x 是首项为()()1e sin a x f x ϕϕ-=，公比为e a π-的等比数列.……5分（2）由（1）知，sin ϕ=*n ∈N ，()n n x f x <恒成立，即()a n n πϕπϕ--<恒()()e a n a n πϕπϕ-<-（*）恒成立（因为0a >）， 设()()e 0tg t t t=>，则()()2e 1t t g t t ='-.令()0g t '=得1t =， 当01t <<时，()0g t '<，所以()g t 在区间()0,1上单调递减； 当1t >时，()0g t '>，所以()g t 在区间()1,+∞上单调递增. 从而当1t =时，函数()g t 取得最小值()1e g =.……8分因此，要使（*()1e g<=，即只需a >.而当a =时，由1tan a ϕ==>02πϕ<<.于是23ππϕ-<<-2n ≥时，322n ππϕπϕ-≥->>因此对一切*n ∈N ，1n ax =≠，所以()()1e n g ax g a>==. 故（*）式亦恒成立. 综上所述，若a ≥，则对一切*n ∈N ，()n n x f x <恒成立.……12分。