2021届湖南省长沙市雅礼中学高三下学期高考二模考试数学试卷及解析

湖南省长沙市雅礼中学2023届高三二模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．频率分布直方图中a的值为0.004B．估计这20名学生考试成绩的第C．估计这20名学生数学考试成绩的众数为60,70内的学生人数为D．估计总体中成绩落在[)二、多选题三、填空题16．已知数表如图，记第m 行，第()()(2023,12023,22023,2023M a a a =+++ 0观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，函数模型dx y ce =分别对两个变量的关系进行拟合程为 0.296.54x y e -=，ln y 与x 的相关系数81i ii u y=∑u2u821ii u=∑183.40.340.115 1.53参考答案：10．BD【分析】先利用三角函数图象的变换得出的包含关系后代入选项利用三角函数的图象与性质一一计算即可f x=【详解】由题意可得：()2sin设长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为则222222749a ba cb c⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，解得abc⎧⎪⎨⎪⎩又因为三棱锥A BCD-'是长方体切掉四个角的余下部分，20．（1） 10011yx=+；（2）当产量为10千件时，每件产品的非原料成本为解析【分析】（1）令1ux=，则by ax=+可转化为y（2）直接利用相关关系公式求得y与1x的相关系数，可得拟合效果更好，取10x=，可得当10千件时，每件产品的分原料成本；（3）分别求出产品单价为100元与产品单价为1 u=by a=+y依题意，设直线l 的方程为(1)(y k x =-易得12x x <．联立方程组()221,1,4y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 并整理得令()()2e e xh x x =--，02x <<，则()()1e x h x x '=-．当()0,1x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；当()1,2x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减．故()()max 10h x h ==．即()002e e 0xx --≤，原不等式即证.【点睛】方法点睛：利用导数研究函数零点问题，不论哪种方法，其核心步骤都是构造函数.利用已知的函数或已知条件将问题转化，重新构造函数模型，通过导数研究函数模型的单调性、极值或最值等达到解决问题的目的.。

卜人入州八九几市潮王学校长郡2021届高三数学下学期第二次模拟考试试题理〔含解析〕一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分.在每一小题给出的四个选项里面.只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.，那么〔〕A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求出集合A中的元素，从而求出A的补集即可．或者者将分别代入检验.【详解】解法1：，故，所以选C.解法2：将分别代入检验，可得，故，所以选C.【点睛】此题考察了集合的运算，考察不等式解法，是根底题．为第二象限角．那么复数〔为虚数单位〕对应的点在〔〕A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】根据复数对应复平面的点，然后判断对应三角函数的符号即可得到答案.【详解】解：因为为第二象限角．所以，即复数的实部为负数，虚部为正数，所以对应的点在第二象限．应选：B．【点睛】此题主要考察复数对应的复平面的点的相关概念，难度较小.前9项的和为27，，那么A.100B.99C.98D.97【答案】C【解析】试题分析：由，所以应选C.【考点】等差数列及其运算【名师点睛】等差、等比数列各有五个根本量,两组根本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于根本量的方程〔组〕,因此可以说数列中的绝大局部运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.，条件，那么是的〔〕A.充分非必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件【答案】A【解析】试题分析：条件等价于，条件等价于集合，因为，且，所以是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件．考点：充分必要条件．，那么使成立的的取值范围是〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】通过判断原函数的单调性和奇偶性脱离f，建立不等式关系解出即可.【详解】解：根据题意，函数，那么，即函数为偶函数，当时，易得为增函数，那么，变形可得：，解可得或者，即的取值范围为应选：D．【点睛】此题主要考察函数的单调性，奇偶性以及通过函数性质解不等式问题，难度中等.6.如下列图，半径为1的圆是正方形的内切圆，将一颗豆子随机地扔到正方形内，用表示事件“豆子落在圆内〞，表示事件“豆子落在扇形〔阴影局部〕内〞，那么〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用几何概型先求出，，再由条件概率公式求出．【详解】如下列图，半径为1的圆O是正方形MNPQ的内切圆，将一颗豆子随机地扔到正方形MNPQ内，用A表示事件“豆子落在圆O内〞，B表示事件“豆子落在扇形阴影局部内〞，那么，，．应选：B．【点睛】此题考察概率的求法，考察几何概型、条件概率能等根底知识，考察运算求解才能，是根底题．7.某四棱锥的三视图如下列图，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】分析：根据三视图复原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.详解：由三视图可得四棱锥，在四棱锥中，，由勾股定理可知：，那么在四棱锥中，直角三角形有：一共三个，应选C.点睛：此题考察三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或者长方体中进展复原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进展棱长、外表积、体积等相关问题的求解.8.，那么的展开式中的系数为〔〕A. B.15 C. D.5【答案】D【解析】由题意得，故求的展开式中的系数．∵，展开式的通项为．∴展开式中的系数为．选D．的图象向左平移个单位长度，再把所得的图象上每个点的横、纵坐标都变为原来的2倍，得到函数的图象，并且的图象如下列图，那么的表达式可以为〔〕A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据条件先求出φ和ω，结合函数图象变换关系进展求解即可．【详解】∵g〔0〕＝2sinφ＝1，即sinφ，∴φ或者φ〔舍去〕那么g〔x〕＝2sin〔ωx〕，又当k=1,即g〔x〕＝2sin〔x〕，把函数g〔x〕的图象上所有点的横坐标缩短到到原来的，得到y＝2sin〔4x〕，再把纵坐标缩短到到原来的，得到y＝sin〔4x〕，再把所得曲线向右平移个单位长度得到函数g〔x〕的图象，即g〔x〕＝sin[〔x-〕]＝应选：B．【点睛】此题主要考察三角函数图象的应用，根据条件求出ω和φ的值以及利用三角函数图象平移变换关系是解决此题的关键．10.是双曲线的左、右焦点，假设点关于双曲线渐近线的对称点满足〔为坐标原点〕，那么双曲线的渐近线方程为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用对称求出点的坐标，根据可得，再利用两点间间隔得出关于方程，从而解得渐近线方程.【详解】解：设因为点关于渐近线的对称点为，不妨设渐近线方程为，故有，解得，因为，所以，根据两点间间隔可得，，即，即，即，即，可得，所以，故渐近线方程为，应选B.【点睛】此题考察了点关于直线对称点的知识，考察了双曲线渐近线方程、两点间间隔公式等知识，解题时需要有较强的运算才能.11.电子计算机诞生于20世纪中叶，是人类最伟大的技术创造之一．计算机利用二进制存储信息，其中最根本单位是“位〔bit〕〞，1位只能存放2种不同的信息：0或者l，分别通过电路的断或者通实现．“字节〔Byte〕〞是更大的存储单位，，因此1字节可存放从至一共256种不同的信息．将这256个二进制数中，所有恰有相邻两位数是1其余各位数均是0的所有数相加，那么计算结果用十进制表示为〔〕A.254B.381C.510D.765【答案】B【解析】【分析】将符合题意的二进制数列出，转化为十进制，然后相加得出结果.【详解】恰有相邻两位数是1其余各位数均是0的二进制数为，，，，，，，一共，应选B.【点睛】本小题主要考察二进制转化为十进制，阅读与理解才能，属于根底题.有唯一零点，那么a=A. B. C. D.1【答案】C【解析】函数的零点满足，设，那么，当时，；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，当时，函数获得最小值，为.设，当时，函数获得最小值，为，假设，函数与函数没有交点；假设，当时，函数和有一个交点，即，解得.应选C.【名师点睛】利用函数零点的情况求参数的值或者取值范围的方法：〔1〕利用零点存在性定理构建不等式求解.〔2〕别离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.〔3〕转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.满足，且，那么在方向上的投影为_____．【答案】1【解析】【分析】通过向量的数量积及投影的相关概念建立方程即可得到答案.【详解】解：向量满足，且，那么在方向上的投影为：．故答案为：1．【点睛】此题主要考察向量的数量积，及投影的相关概念，难度较小.14.设满足约束条，那么目的函数的最大值为_____．【答案】4【解析】【分析】画出不等式表示的平面区域，通过目的函数表示的斜率式观察图像即可得到答案.【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：〔阴影局部〕．目的函数的几何意义为区域内的动点到定点的斜率，由图象知的斜率最大，由得，此时的斜率，即的最大值为4．故答案为：4．【点睛】此题主要考察线性规划问题，在于考察学生的作图才能及转化才能，此题只需将目的函数化为斜率式即可得到答案.与抛物线相交于两点，为的焦点，假设，那么_____．【答案】【解析】【分析】画出几何图像，建立几何关系，通过建立方程即可得到答案.【详解】解：由题意利用定义，结合其他几何性质可得抛物线的焦点，准线．又直线过定点，因为，所以为中点，连接，所以．设，所以，．作，那么垂足为的中点，设，那么，，求得、，所以，故答案为：．【点睛】此题主要考察抛物线的几何性质及学生的计算才能，难度中等.的正四面体毛坯件切割成一个圆柱体零件，那么该圆柱体体积的最大值为_____．【答案】【解析】【分析】找出正四面体中内接圆柱的最大值的临界条件，通过体积公式即可得到答案.【详解】解：圆柱体体积最大时，圆柱的底面圆心为正四面体的底面中心，圆柱的上底面与棱锥侧面的交点在侧面的中线上．∵正四面体棱长为，∴，，，∴，设圆柱的底面半径为，高为，那么．由三角形相似得：，即，圆柱的体积，∵，当且仅当即时取等号．∴圆柱的最大体积为．故答案为：．【点睛】此题主要考察学生的空间想象才能,以及分析问题的才能，根本不等式的运用,难度较大.三、解答题：解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤.17.分别是的三个内角的对边，假设，角是最小的内角，且．〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕假设的面积为42，求的值．【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】【分析】(Ⅰ)由正弦定理，三角形内角和定理可得，结合，整理可得，又，利用同角三角函数根本关系式可求的值．(Ⅱ)由(Ⅰ)及三角形的面积公式可求的值，利用同角三角函数根本关系式可求的值，根据余弦定理可求的值．【详解】(Ⅰ)由、，及正弦定理可得：，由于，整理可得：，又，因此得：．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，又的面积为42，且，从而有，解得，又角是最小的内角，所以，且，得，由余弦定理得，即．【点睛】此题主要考察了正弦定理，三角形内角和定理，同角三角函数根本关系式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考察了计算才能和转化思想。

2022-2021学年湖南省雅礼中学高三（下）其次次月考数学试卷（理科）一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.把答案填在答题卡中对应题号的框框内.）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，则A∩B等于（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2，3}2．若A、B均是非空集合，则A∩B≠∅是A⊆B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件3．（中诱导公式、基本公式）已知，且，则tan（2π﹣α）的值为（）A．B．C．D．4．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为（）A．2B．C．2D．45．已知向量满足：，与的夹角为，则=（）A．2 B．4 C．2D．86．设x，y 满足约束条件，则目标函数z=的最小值为（）A．2 B．1 C．D．﹣27．设f（x）定义如下面数表，{x n}满足x0=5，且对任意自然数n均有x n+1=f（x n），则x2022的值为（）x 1 234 5f（x）4 135 2A．4 B．1 C．3 D．28．如图，长沙河西先导区某广场要划定一矩形区域ABCD，并在该区域内开拓出三块外形大小相同的矩形绿化区，这三块绿化区四周和绿化区之间设有1米宽的走道．已知三块绿化区的总面积为800平方米，则该矩形区域ABCD占地面积的最小值为（）平方米．A．900 B．920 C．948 D．9689．已知函数，若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2），则x1•f（x2）的取值范围为（）A．B．C．D．10．设定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），f′（x）是f（x）的导函数，当x∈[0，1]时，0≤f（x）≤1；当x∈（0，2）且x≠1时，x（x﹣1）f′（x）＜0．则方程f（x）=lg|x|根的个数为（）A．12 B．1 6 C．18 D．20二．填空题：本大题共1小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．（一）选做题（请考生在第11、12、13题中任选两题作答，假如全做，则按前两题给分）【几何证明选讲】11．如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，已知⊙O的半径为3，PA=2，则OE=．【极坐标系与参数方程选讲】12．已知曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的极坐标方程为，它们的交点在平面直角坐标系中的坐标为．【不等式选讲】1011•天津）已知集合A={x∈R||x+3|+|x﹣4|≤9}，B=，则集合A∩B=．（二）必做题（14～16题）14．设（其中e为自然对数的底数），则的值为．15．动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t=0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是．16．已知数列{a n}的前n项和S n=（﹣1）n •n，若对任意正整数n，（a n+1﹣p）（a n﹣p ）＜0恒成立，则实数P 的取值范围是．三．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．设函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．18．设数列{a n}的前n项和为S n，已知对任意正整数n，都有S n+2=2a n成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜3．19．如图所示，在平面四边形ABCD中，，与的夹角为，与的夹角为．（1）求△CDE的面积S；（2）求．20．已知函数f（x ）=lnx﹣ax+﹣1（a∈R）（1）当a=﹣1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）当a≤时，争辩f（x）的单调性．21．若数列{a n}（n∈N*）满足：①a n≥0；②a n﹣2a n+1+a n+2≥0；③a1+a2+…+a n≤1，则称数列{a n}为“和谐”数列．（1）已知数列{a n}，（n∈N*），推断{a n}是否为“和谐”数列，说明理由；（2）若数列{a n}为“和谐”数列，证明：．（n∈N*）22．已知函数f（x）=（1）当x＞0时，证明：f（x）＞；（2）当x＞﹣1且x≠0时，不等式f（x）＜恒成立，求实数k的值．2022-2021学年湖南省雅礼中学高三（下）其次次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.把答案填在答题卡中对应题号的框框内.）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，则A∩B等于（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2，3}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：依据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：∵A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，∴A∩B={﹣1，0，1}，故选：B点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．若A、B均是非空集合，则A∩B≠∅是A⊆B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的推断．专题：规律型．分析：推断出“A∩B≠∅”成立推不出“A⊆B”反之，若“A⊆B”成立，则能推出A∩B≠∅”确定成立，利用充要条件的有关定义得到结论．解答：解：若“A∩B≠∅”成立推不出“A⊆B”反之，若“A⊆B”成立，则有A∩B=A≠∅，所以A∩B≠∅”确定成立，所以A∩B≠∅是A⊆B的必要不充分条件，故选B．点评：本题考查推断一个条件是另一个的什么条件，应当先化简各个条件，若条件是数集的形式，常转化为推断集合间的包含关系．3．（中诱导公式、基本公式）已知，且，则tan（2π﹣α）的值为（）A．B．C．D．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：先依据诱导公式化简已知条件，得到sinα的值，然后由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，把所求的式子利用诱导公式化简后，再依据同角三角函数间的基本关系把切化弦后，将sinα和cosα的值代入即可求出值．解答：解：由，又，得，则．故选B点评：此题考查同学机敏运用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．同学在求cosα的值时应留意α的范围．4．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为（）A．2B．C．2D．4考点：简洁空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：三棱柱的左视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高，在边长是2的等边三角形中做出底边上的高的长度，得到结果．解答：解：由题意知三棱柱的左视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高，在边长是2的等边三角形中，底边上的高是，∴侧视图的面积是2故选：A．点评：本题考查简洁的空间图形三视图，考查三视图的面积的计算，考查通过原图观看三视图的大小，比较基础．5．已知向量满足：，与的夹角为，则=（）A．2 B．4 C．2D．8考点：平面对量数量积的运算．。

湖南省长郡中学、雅礼中学等四校2021届高三数学2月联考（线上）试题 理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}220A x x x =∈-++≥N ，则满足条件A B A ⋃=的集合B 的个数为( ) A. 3 B. 4 C. 7 D. 8【答案】D 【解析】 【分析】可以求出集合{}0,1,2A =，由A B A ⋃=可得B A ⊆，从而求集合A 的子集个数即可. 【详解】解：{}{}2200,1,2A x x x =∈-++≥=N ，∵A B A ⋃=， ∴B A ⊆，∴集合A 的子集个数为328=个. 故选：D.【点睛】本题考查并集的运算及理解，是基础题. 2.已知i 为虚数单位，,a b ∈R ，复数12ii a bi i+-=+-，则a bi -=（ ） A.1255i - B. 1255i + C. 2155i -D.21i 55+ 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法运算，可得(1)(2)12(2)(2)55i i i i i i a b i=+++-=--+，即可求解a b i -，得到答案．【详解】由题意，复数12ii a bi i+-=+-，得(1)(2)1312(2)(2)555i i a b i=i i i i i i ++++-=-=--+， 所以1255a b i=i -+，故选B ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3.已知()1,2A ，()2,3B ，()1,C m -，若BA BC BA BC +=-，则2AC =( )A. 6B.C. 16D. 20【答案】D 【解析】 【分析】代入坐标可求出(4,4),(2,2)BA BC m BA BC m +=---=-，利用模的坐标运算列方程可得6m =，进而可求出AC 的坐标，则2AC 可求.【详解】解：(1,1),(3,3)BA BC m =--=--，(2,2)CA m =-，(4,4),(2,2)BA BC m BA BC CA m ∴+=---==-，又BA BC BA BC +=-，2216(4)4(2)m m ∴+-=+-，解得6m =，(2,4)AC ∴=-，241620AC ∴=+=.故选：D.【点睛】考查根据点的坐标求向量的坐标的方法，向量坐标的加法运算，向量减法的几何意义，以及根据向量坐标求向量长度的方法，是基础题. 4.已知数列{}n a 满足211nn n a a a -+=（2n ≥），24804sin 2a a xdx π⋅=⎰，且40a >，则6tan 3a π⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭( )A. C. 【答案】C 【解析】 【分析】由211n n n a a a -+=（2n ≥），可知数列{}n a 是等比数列，利用微积分基本定理可求得20sin21xdx π=⎰，从而可求得24864a a a ⋅== ，而由40a >可知62a =，从而可求得答案.【详解】解：由211n n n a a a -+=（2n ≥），知数列{}n a 是等比数列，又20111sin 2cos 2122220xdx x ππ=-=+=⎰，所以24864a a a ⋅==，又40a >，所以60a >， 所以62a =，所以则62tan tan 33a ππ⎛⎫⋅== ⎪⎝⎭故选：C.【点睛】本题考查数列递推式的应用，考查微积分基本定理及等比数列的性质，求得62a =是关键，考查运算求解能力，属于中档题.5.将函数()2sin 1f x x π=-的图象向左平移ϕ（102ϕ<<）个单位长度后得到函数()g x 的图象，若使()()4f a g b -=成立的a 、b 有min 34a b -=，则下列直线中可以是函数()y g x =图象的对称轴的是( )A. 14x =-B. 12x =C. 34x =D. 54x =【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数平移关系求出()g x 的解析式，结合()()4f a g b -=成立的,a b 有min 34a b -=，求出,a b 的关系，结合最小值建立方程求出ϕ的值即可.【详解】解：将函数()2sin 1f x x π=-的图象向左平移ϕ（102ϕ<<）个单位长度后得到函数()g x 的图象，即()2sin ()1g x x πϕ=+-， 若()()4f a g b -=成立， 即|2sin 2sin (+)|=4a b ππϕ-， 即|sin sin ()|2a b ππϕ-+=，则sin a π与sin ()b πϕ+一个取最大值1，一个取最小值−1， 不妨设sin 1,sin ()1a b ππϕ=+=-， 则2,,()2,22a k k Zb n n Z πππππϕπ=+∈+=-∈，得112,222a kb n ϕ=+=--， 则2()1a b k n ϕ-=-++，∵min 34a b -=， ∴当0k n -=时，3||11,2a b ϕ⎛⎫-=+∈ ⎪⎝⎭， 当1k n -=-时，1|||1|,12a b ϕ⎛⎫-=-∈⎪⎝⎭， 3|1|4ϕ∴-=， 则314ϕ-=或314ϕ-=-，即14ϕ=或74ϕ=（舍），即1()2sin 12sin 144g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由,42x k k Z ππππ+=+∈，得1,4x k k Z =+∈， 当1k =时，对称轴方程为54x =. 故选：D.【点睛】本题考查三角函数的图象平移，以及三角函数的图象和性质，结合三角函数的最值性建立方程关系求出,a b 的大小，结合最小值求出ϕ的值是解决本题的关键.考查分析问题解决问题的能力，有一定难度.6.《海岛算经》中有这样一个问题，大意为：某粮行用芦席围成一个粮仓装满米，该粮仓的三视图如图所示（单位：尺，1尺0.33≈米），已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，则估算出该粮仓存放的米约为( )A. 43斛B. 45斛C. 47斛D. 49斛【答案】D 【解析】 【分析】首先判断该几何体的形状，然后根据其体积计算公式计算即可. 【详解】解：观察发现该几何体为圆台和圆柱的结合体，其体积为：2221179262211333ππππ⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=（尺）， 则该粮仓存放的米约为793 1.62493⨯÷≈（斛）. 故选：D.【点睛】考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是首先判断几何体的形状，难度不大.7.已知点G 在ABC ∆内，且满足2340GA GB GC ++=，现在ABC ∆内随机取一点，此点取自,,GAB GAC GBC ∆∆∆的概率分别记为123,,P P P ，则（ ） A. 123P P P ==B. 321P P P >>C. 123P P P >>D.213P P P >>【答案】C 【解析】 【分析】分别延长GA 到GA '，GB 到GB '，GC 到GC '，使得2GA GA '=，3GB GB '=，4GC GC '=，则有0GA GB GC '''++=，得到点G 为A B C '''∆的重心，所以GA B GA C GB C S S S ''''''∆∆∆==，进而求得16GAB GA B S S ''∆∆=，18GAC GAC S S '∆∆=，112GBC GB C S S '∆∆=，得出面积之间的关系，即可求解．【详解】由题意，分别延长GA 到GA '，GB 到GB '，GC 到GC '， 使得2GA GA '=，3GB GB '=，4GC GC '=，则有0GA GB GC '''++=， 所以点G 为A B C '''∆的重心，所以GA B GA C GB C S S S ''''''∆∆∆==，又16GAB GA B S S ''∆∆=，18GAC GAC S S '∆∆=，112GBC GB C S S '∆∆=， 从而得到::GAB GAC GBC S S S ∆∆∆=111::4:3:26812=， 则123:P :4:3:2P P =，即123P P>>P .故选C.【点睛】本题主要考查了平面向量的应用，以及几何概型思想的应用，其中解答中根据响亮的运算求得点G 的位置，得出面积之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．8.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为(),0F c ，点A 、B 分别在直线2a x c=-和双曲线C 的右支上，若四边形OABF （其中O 为坐标原点）为菱形且其面积为，则a =( )C. 2【解析】【分析】设点2,aA tc⎛⎫-⎪⎝⎭，0t>，因为OF AB c==，则2,aB c tc⎛⎫-+⎪⎝⎭，根据点B在双曲线上可得一个关于,,a b c方程，根据面积又可得一个关于,,a b c的方程，在加上222c a b-=，列方程求解即可.【详解】解：如图：设点2,aA tc⎛⎫-⎪⎝⎭，0t>，因为OF AB c==，则2,aB c tc⎛⎫-+⎪⎝⎭，又OB AF⊥，则221t ta ac cc c⋅=--+--，化简得2222(1)at bc=+，222,1a aB c bc c⎛∴-++⎝2222222(1)1a ac bc ca b∴-⎛⎫-++⎝⎭=⎪①，又22131512ac bc⨯⨯+=②，222c a b-=③，∴由①②③得3,3,3a b c===【点睛】本题考查双曲线的性质的应用，考查学生计算能力，根据条件列方程是本题的关键，是中档题.9.当x 为实数时，()trunc x 表示不超过x 的最大整数，如()trunc 3.13=.已知函数()()trunc f x x =（其中x ∈R ），函数()g x 满足()()6g x g x =-、()()11g x g x +=-，且[]0,3x ∈时，()22g x x x =-，则方程()()f x g x =的所有根的个数为( )A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】D 【解析】 【分析】由()()6g x g x =-，()()11g x g x +=-，得函数()g x 的图象关于直线1x =及直线3x =对称，又由()()()(2)624g x g x g x g x ⎡⎤=-=--=+⎣⎦可得()g x 的周期，通过作图观察的方法可得结果.【详解】解：由()()6g x g x =-，()()11g x g x +=-，得函数()g x 的图象关于直线1x =及直线3x =对称，()()()(2)624g x g x g x g x ⎡⎤∴=-=--=+⎣⎦，则()g x 为周期函数，且最小正周期为4.对于()f x ，当[0,1)x ∈时，()0f x = 当[1,2)x ∈时，()1f x =； 当[2,3)x ∈时，()2f x =； 当[3,4)x ∈时，()3f x =； 当[4,5)x ∈时，()4f x =；…；当[1,0)x ∈-时，()1f x =； 当[2,1)x ∈--时，()2f x =；当[3,2)x ∈--时，()3f x =； 当[4,3)x ∈--时，()4f x =； 当[5,4)x ∈--时，()5f x =； …综合已知条件可在同一直角坐标系内画出函数()f x 及()g x 的图象，由图可知，函数()y f x =与函数()y g x =共有6个交点， 即方程()()f x g x =的根的个数为6. 故选：D.【点睛】此题考查了函数的图象和性质，由数形结合求解，画出函数的图像很关键，是中档题.10.对四位数abcd （19a ≤≤，0b ≤、c ，9d ≤），若a b >、b c <、c d >，称abcd 为“吉祥数”，则“吉祥数”的个数为( ) A. 1695 B. 1696 C. 1697 D. 1698【答案】A 【解析】 【分析】由数的特点，先确定,b d 位置上的数，再安排,a c 位置上的数，列举出来算出个数即可. 【详解】解：由数的特点，先确定,b d 位置上的数，再安排,a c 位置上的数，列表如下： 其中第一列是d 取的数，第一行是b 取的数，中间是满足吉祥数的,a c 组合的数量， 如：0,0b d ==，,a c 组合有99⨯种可能，则吉祥数的个数为：9(987654321)8(887654321)⨯+++++++++⨯++++++++ 7(777654321)1(111111111)+⨯+++++++++⋯+⨯++++++++945844742639217191695=⨯+⨯+⨯+⨯+⋯+⨯+⨯=，故选：A.【点睛】本题考查列表分类求数量，关键是要在列举中发现规律，进而方便计算出结果，是中档题.11.ABC ∆中，所有内角都不是钝角，有以下命题：①sin 2sin 2A B A B =⇔=；②sin 2sin 2A B A B >⇔<；③cos2cos2A B A B >⇔<；④sin cos A B ≥.其中正确命题的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C 【解析】 【分析】利用三角公式变形和三角函数的性质逐一判断.【详解】解：①sin 2sin 2A B =，则22A B =或22A B π+＝，则A B =或A B π+＝２，故错误；②()()()()sin 2sin 2sin sin A B A B A B A B A B =++-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦－－()()()2cos sin 0sin 00A B A B A B A B A B =+->⇔-<⇔-<⇔<，故正确；③()()()()cos 2cos 2cos cos A B A B A B A B A B -=++--+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()2sin sin 0sin 00A B A B A B A B A B =-+->⇔-<⇔-<⇔<，故正确；④sin cos sin sin +222A B A B A B A B πππ⎛⎫≥⇔≥-⇔≥-⇔≥ ⎪⎝⎭，故正确. 故选：C.【点睛】本题考查三角形中角的关系的判断，考查应用公式变形的熟练程度，是中档题. 12.如图所示，将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻两个小方格的颜色不同，称他们的公共边为“分割边”，则分割边条数的最小值为( )A. 33B. 56C. 64D. 78【答案】B 【解析】 【分析】记分隔边的条数为L ，首先将方格按照按图分三个区域，分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边，将方格的行从上至下依次记为1233,,,A A A ，列从左至右依次记为1233,,B B B ，行jc 中方格出现的颜色数记为()i n A ，列i B 中方格出现的颜色个数记为()i n B ，三种颜色分别记为123,,c c c ，对于一种颜色j c ，设()j n c 为含有j c 色方格的行数与列数之和，定义当i A 行含有j c 色方格时，(),1i j A c δ=，否则(),0i j A c δ=，类似的定义(),i j B c δ，计算得到()()()3311()iiji j n A n B n c ==+=∑∑３，再证明()39(1,2,3)jn c j ≥=，再证明对任意133i ≤≤均有()()2,2i in A n B≥≥，最后求出分隔边条数的最小值.【详解】记分隔边的条数为L ，首先将方格按照按图分三个区域，分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边，此时共有56条分隔边，即56L=，其次证明：56L≥，将将方格的行从上至下依次记为1233,,,A A A，列从左至右依次记为1233,,B B B，行iA中方格出现的颜色数记为()in A，列iB中方格出现的颜色个数记为()in B，三种颜色分别记为123,,c c c，对于一种颜色jc，设()jn c为含有jc色方格的行数与列数之和，定义当iA行含有jc色方格时，(),1i jA cδ=，否则(),0i jA cδ=，类似的定义(),i jB cδ，所以()()()()()()()3333331111,,i i i j i j ji i i jn A n B A c B c n cδδ====⎫+=+=⎪⎭∑∑∑∑，由于染j c色的格有21333633⨯=个，设含有j c色方格的行有a个，列有b个，则j c色的方格一定再这个a行和b列的交叉方格中，从而363ab≥，所以()()223633839(1,2,3)j jn c a b ab n c j=+≥>⇒≥=①，由于在行i A中有()in A种颜色的方格，于是至少有()1in A-条分隔边，类似的，在列i B中有()in B种颜色的方格，于是至少有()1in B-条分隔边，则()()()()()()()3333113311166i i i ii i iL n A n B n A n B===≥-+-=+-∑∑∑②()3166jjn c==-∑③下面分两种情形讨论，(1)有一行或一列所有方格同色，不妨设有一行均为1c 色，则方格的33列均含有1c 的方格，又1c 色的方格有363个,故至少有11行有1c 色方格，于是()1113344n c ≥+=④ 由①③④得()()()123664439396656L n c n c n c ≥++-≥++-=，(2)没有一行也没有一列的所有方格同色, 则对任意133i ≤≤均有()()2,2i i n A n B ≥≥， 从而，由式②知：()()()33166334666656i i i L n A n B =≥+-≥⨯-=>∑，综上，分隔边条数的最小值为56. 故选：B.【点睛】本题主要考查染色问题，考查计数原理，考查分析推理能力，是一道难度极大的题目.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第1r +项为常数项，则r n =______. 【答案】23【解析】 【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得320r n -=，从而得到rn的值. 【详解】解：212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第1r +项为 .321(1)2n r r r r n nC x ⋅--⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭，再根据它为常数项，可得320r n -=，求得23r n =， 故答案为：23.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.14.我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”.其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高.原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图(1)，函数()[)()(]2sin ,2,0211,0,2xx f x x x π⎧∈-⎪=⎨⎪--∈⎩的图象与x 轴围成一个封闭区域A （阴影部分），将区域A （阴影部分）沿z 轴的正方向上移6个单位，得到一几何体.现有一个与之等高的底面为椭圆的柱体如图(2)所示，其底面积与区域A （阴影部分）的面积相等，则此柱体的体积为______.【答案】243ππ+【解析】 【分析】阴影区域在(0,2]上为半个圆，所以柱体的底面积为半圆的面积减去函数()f x 在[2,0)-上的积分，有了底面积，又知道高为6，即可得到柱体的体积. 【详解】解：由题意得，阴影区域在(0,2]上为半个圆，底面积12S S =圆0022124sincos |2222x x dx ππππππ---=+=+⎰， 所以该柱体的 体积为424632ππππ⎛⎫+⨯=+ ⎪⎝⎭. 故答案为：243ππ+.【点睛】本题考查定积分在求曲边梯形面积上的应用，考查计算能力.15.已知变量x、y满足约束条件280260yx yx y≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，在实数x、y中插入7个实数，使这9个数构成等差数列{}n a的前9项，则1a x=、9a y=，则数列{}n a的前13项和的最大值为______. 【答案】2216【解析】【分析】画出约束条件表示的平面区域，结合图形计算该等差数列{}n a的公差d，写出数列{}n a的前13项和13S，求出它的最大值.【详解】解：画出约束条件280260yx yx y≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域，如图所示；解方程组280260x yx y+-=⎧⎨+-=⎩，得410,33A⎛⎫⎪⎝⎭；记这个等差数列为{}n a，其公差为d，则1()918y xd y x-==--，所以数列{}n a的前13项和为()()1131371136()131313613(3)284a a y xS a a d x x y+-⎡⎤===+=+=+⎢⎥⎣⎦，作出直线:30l x y+=，由图形可知，当直线l过点A时，3z x y=+取得最大值，所以13S 的最大值为134********⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭. 故答案为：2216. 【点睛】本题考查了二元一次不等式组表示平面区域应用问题，也考查了等差数列应用问题，是中档题.16.若有且仅有一个正方形，其中心位于原点，且其四个顶点在曲线3y x ax =+上，则实数a =______.【答案】- 【解析】 【分析】设正方形ABCD 对角线AC 所在的直线方程为y kx =，则其斜率唯一确定，转化为二元方程只有唯一实数根，利用根的判别式求解即可.【详解】解：设正方形ABCD 对角线AC 所在的直线方程为,0y kx k =≠， 则对角线BD 所在的直线方程为1=-y x k. 由3y kx y x ax=⎧⎨=+⎩，解得2x k a =-， 所以()()()22222211x y kk A x k a O =+=+=+-，同理，222211111k a a k k O k B k ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-⋅--=-⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 又因为22AO BO =，所以3210a k k a k-++=， 即22110k a k k k ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，即21120k a k k k ⎛⎫⎛⎫---+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令1k t k-=得220t at -+=， 因为正方形ABCD 唯一确定，则对角线AC 与BD 唯一确定，于是1k k-值唯一确定， 所以关于t 的方程220t at -+=有且只有一个实数根，又1k t R k-=∈.所以280a ∆=-=，即22a =±， 因为20x k a =->，所以a k <； 又10a k -->，所以1a k<-，故0a <. 因此22a =-；反过来22a =-时，12,2t k k=--=-， 于是26126,k k -+--=-=；或26126,k k ---+=-=. 于是正方形ABCD 唯一确定. 故答案为：22-.【点睛】本小题主要考查函数的解析式的求法以及二次函数的性质，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图，多面体11ABC DB C -是正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）111ABC A B C -沿平面11DB C 切除一部分所得，其中平面ABC 为原正三棱柱的底面，12BC CC ==，点D 为1AA 的中点.(1)求证：1BC ⊥平面1B CD ；(2)求二面角1C BD C --的平面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；6【解析】 【分析】（1）设1BC 与1B C 交于点E ，连接DC 、DE ，由题意可得四边形11BB C C 是正方形，且AC AD ⊥，再由点D 为1AA 的中点，1AA 平行且等于1CC ，求得CD ，同理求得1DB ，得1DB CD =，可得1B C DE ⊥，由线面垂直的判定可得；（2）取BC 的中点O ，连接AO ，可得AO ⊥BC ，由正棱柱的性质可得AO ⊥平面11BCC B ，以O 为坐标原点，向量OB 、OE 、OA 分别为x 、y ，z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面CBD 与平面1BC D 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角1C BD C --的平面角的余弦值.【详解】(1)设1BC 与1B C 交于点E ，连接DC 、DE .∵多面体11ABC DB C -是正三棱柱沿平面11DB C 切除部分所得，12BC CC ==， ∴四边形11BB C C 是正方形，且AC AD ⊥. ∵点D 为1AA 的中点，1AA 平行且等于1CC ， ∴225CD CA AD =+=. 同理()22115DB BB AD AB =-+=，∴1DB CD =. ∵E 为1B C 的中点， ∴1B C DE ⊥. 又∵11B C BC ⊥，1BC DE E =，∴1B C ⊥平面1BC D ；(2)取BC 的中点O ，连接AO .∵ABC 为正三角形，AO BC ∴⊥.由正棱柱的性质可得，平面ABC ⊥平面11BCC B ， 且平面ABC平面11BCC B BC =，∴AO ⊥平面11BCC B .以点O 为原点，向量OB 、OE 、OA 分别为x 、y ，z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系Oxyz .则()1,0,0B ，()11,2,0B ，()1,0,0C -，(D ，(CD ∴=，(BD =-，()12,2,0B C =--.设平面CBD 的一个法向量为(),,n x y z =，则00n BD x y n CD x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=++=⎪⎩， 令1z =，得0x =，y =()0,3,1n =-由（1）可知，平面1BC D 的一个法向量为()12,2,0B C =--.()()102210cos ,n B C ⨯-+⨯-+⨯∴==，又∵二面角1C BD C --的平面角为锐角， ∴二面角1C BD C --的平面角的余弦值为4【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的大小，是中档题.18.已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的两焦点与短轴两端点围成面积为12的正方形.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)O 作椭圆C的“卫星圆”的两条切线，分别交椭圆C 于A 、B 两点，若直线OA 、OB 的斜率为1k 、2k ，当12k k +=时，求此时“卫星圆”的个数.【答案】(1)221126x y +=；(2)8个.【解析】 【分析】(1)由条件可得212b cbc =⎧⎨=⎩，解出来即可；(2) 设“卫星圆”的圆心为()00,x y ，由定义可得“卫星圆”的标准方程为()()22009x x y y -+-=，求其圆心到直线OA ，直线OB 的距离，整理可转化为1k 、2k 是方程()22200009290x k x y k y --+-=的两个不相等的实数根，则00122029x y k k x +=-，再加上12k k +=22001126x y +=，解方程即可.【详解】(1)∵椭圆C 的两焦点与短轴两端点围成面积为12的正方形， ∴由椭圆的定义和正方形的性质，可得212b cbc =⎧⎨=⎩，解得b c ==.又22212a b c =+=∴椭圆C 的标准方程为221126x y +=.(2)设“卫星圆”的圆心为()00,x y .3=.∴“卫星圆”的标准方程为()()22009x x y y -+-=. ∵直线OA ：1y k x =与“卫星圆”相切，3=，化简得()222010*******x k x y k y --+-=. 同理可得()222020*******x k x y k y --+-=.∴1k 、2k 是方程()22200009290x k x y k y --+-=的两个不相等的实数根，∴2090x -≠，由>0∆，得22009x y +>，将22001126x y +=代入得206x >，00122029x y k k x +=-. 又∵“卫星圆”的圆心()00,x y 在椭圆C 上，∴代入椭圆方程221126x y +=中，可得22001126x y +=.解得22062x y =-，()()()()220022242000012222222000462424240999x x x y x x k k x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭∴+====---. 当2010x =时，201y =；当20547x =时，20157y =， ∴满足条件的点()00,x y 共8个， ∴这样“卫星圆”存在8个.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，考查直线和椭圆的位置关系，注意韦达定理的应用，考查计算能力与分析能力，是一道中档题.19.已知首项为1a 的数列{}n a 各项均为正数，且()()211224n n n n n n a a a a a +++-=，n *∈N .(1)若数列{}n b 的通项n b 满足2n n b a =，且11a =，求数列{}n b 的前n 项和为n T ；(2)若数列{}n c 的通项n c 满足()4nn nb c S =，前n 项和为n Q ，当数列{}n c 是等差数列时，对任意的n *∈N ，均存在m *∈N ，使得24211816n a Q a n cm -=成立，求满足条件的所有整数1a 构成的集合.【答案】(1)()31419n n n T -+=；(2)11,a a n m ***⎧⎫⎪⎪=∈∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭N N N . 【解析】 【分析】(1)=，可得数列是以1a 为首项，以2为公比的等比数列，进而可得1n n a a -=，则214n n n b a n -==⋅，再利用错位相减法求和即可；(2)根据(1)求出2114a c S =，222216a c S =，233364a c S=，由数列{}n c 是等差数列，列方程可得1S =或3S =，分1S =和3S =讨论，通过条件对任意的n *∈N ，均存在m *∈N ，使得24211816n m a Q a n c -=成立，可得1a .【详解】(1)∵数列{}n a 各项均为正数，且()()211224n n n n n n a a a a a +++-=，()22141nn n a na+∴+=，即1n n +==. ∴数列是以1a 为首项，以2为公比的等比数列， 112n a -=⋅，∴数列{}n a 的通项公式为1n n a a -=.∵11a =，∴214n n n b a n -==⋅， ∴01211424344n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯， 12341424344n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯，两式相减，得0121344444n nn T n --=++++-⋅14414n nn -=-⋅-1443n n n -=-⋅-，()31419n nn T -+∴=，∴数列{}n b 的前n 项和()31419n nn T -+=； (2)∵数列{}n c 的通项()4nn nb c S =，∴由(1)得，()24nn na c S =，∴2114a c S =，222216a c S =，233364a c S=. 又数列{}n c 是等差数列，∴22232123216464a a a S S S=+. 22211121648416a a a S S∴=+，即2430S S -+=. 解得1S =或3S =. 又()21144n n nna c S -⋅=，∴当1S =时，214n na c =，{}n c 为等差数列，2211442n a na n Q ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=()22118n a na +=对任意的n *∈N ，均存在m *∈N ，使得24211816n m a Q a n c -=成立，()2221124211181684n a na ma a a n +∴⋅-=⋅，214na m ∴=，1a ∴=又1a 为正整数，∴满足条件的所有整数1a 的值构成的集合为11,a a n m ***⎧⎫⎪⎪=∈∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭N N N .当3S =时，2143n n na c =⨯，()21111243n n n n a c c ++--=⨯不是常数， ∴数列{}n c 不是等差数列，舍去.综上，满足条件的所有整数1a 的值构成的集合为112,,,m m a a n m n n ***⎧⎫⎪⎪=∈∈∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭N N N . 【点睛】本题考查由递推式求通项公式，考查错位相减法求和，考查数列中的存在性，任意性的问题，考查计算能力，是一道难度较大的题目.20.高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的小木块中，上面7层为高尔顿板，最下面一层为改造的高尔顿板，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以12的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2…，7的球槽内.例如小球要掉入3号球槽，则在前5次碰撞中有2次向右3次向左滚到第6层的第3个空隙处，再以12的概率向左滚下，或在前5次碰撞中有1次向右4次向左滚到第6层的第2个空隙处，再以12的概率向右滚下.(1)若进行一次高尔顿板试验，求小球落入第7层第6个空隙处的概率；(2)小明同学在研究了高尔顿板后，利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，8元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入X 号球槽得到的奖金为ξ元，其中205X ξ=-.（i ）求X 的分布列：（ii ）高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小明同学能盈利吗？ 【答案】(1)332；(2)（i ）分布列见解析；（ii ）能盈利. 【解析】 【分析】（1）记小球落入第7层第6个空隙处的事件为M ，小球落入第7层第6个空隙处，需要在6次碰撞中有1次向左5次向右，由此能求出这个小球掉入第7层第6个空隙处的概率； （2）X 的取值为1，2，3，4，5，6，7，由此能求出X 的分布列，进而可求出ξ的分布列和E ξ，从而能求出小明同学能盈利.【详解】(1)记小球落入第7层第6个空隙处的事件为M ，小球落入第7层第6个空隙处，需要在6次碰撞中有1次向左5次向右，则()5161132232P M C ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；(2)（i ）由已知X 的取值可为1，2，3，4，5，6，7.()()0606111722641P X P X C ⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎝⎭=⎪⎝⎭； ()()1516116326226432P X P X C ⎛⎫⎛⎫====== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； ()()24261115352264P X P X C ⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()3336112054226416P X C ⎛⎫⎛⎫====⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴X 的分布列为（ii ）205Xξ=-ξ∴的可能取值为0，5，10，15，()()50416P P X ξ====， ()()()1553532P P X P X ξ===+==， ()()()3102616P P X P X ξ===+==，()()()1151732P P X P X ξ===+==，∴()515317505101581632163216E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=<. ∴小明同学能盈利.【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用. 21.已知函数2()()af x x ax a R x=+-∈. （1）当1a =且1x >-时，求函数()f x 的单调区间； （2）当21e a e ≥+时，若函数2()()ln g x f x x x =--的两个极值点分别为1x 、2x ，证明12240()()1g x g x e <-<+.【答案】（1）()f x 的单调递增区间为()(1,0),0,-+∞，；无单调递减区间；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】(1)求得3222121()21x x f x x x x++'=++=，分类讨论，即可求解()f x 的单调区间，得到答案；(2)根据12,x x 是函数()g x '的两个零点，设12,x x 是方程20ax x a -+=的两个实数解，再根据二次函数的性质函数()g x 在1x 处取得极大值,在2x 处取得极小值，进而得到1211x a x =+，代入得()()22112121112ln 12x g x g x x x ⎛⎫--=- ⎪+⎝⎭，令21x t =，则211t e <<，得到11()2ln 12t g t t t -⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，设11()2ln 12x h x x x -⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解．【详解】(1)由题意，当1a =时，21()f x x x x =+-，3222121()21x x f x x x x'++∴=++=， ①当0x>时，()0f x '>恒成立，所以函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增；②当10x -<<时，记32()21x x x ϕ=++，则21()6263x x x x x ϕ'⎛⎫=+=+⎪⎝⎭， 所以当1,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'<，∴()x ϕ单调递减，且()(0)1x ϕϕ>=；当11,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，且(1)0ϕ-=，所以当(1,0)x ∈-时，()0x ϕ>，函数()f x 单调递增.综上所述，函数()f x 的单调递增区间为(1,0)-，(0,)+∞；无单调递减区间. (2)由2()()ln ln (R,0)ag x f x x x ax x a x x=--=--∈>， 2221()a ax x ag x a x x x '-+∴=+-=， 12,x x 是函数()g x '的两个零点，12,x x ∴是方程20ax x a -+=的两个实数解，由0>∆，且21e a e >+，得2112e a e <<+，则有121x x =， 不妨设12x x <，1201x x ∴<<<又121x x a +=，即得1111x x a +=， 2112e a e <<+，21112e e a e e+∴<<=+， 即得1211112x x x e x e <+=+<+，从而得到11ex <<，12x x <，且201ea e >>+， ∴由二次函数的图象及性质知函数()g x 在1x 处取得极大值,在2x 处取得极小值.()()()()1212g x g x g x g x ∴-=-112212ln ln a aax x ax x x x ⎛⎫⎛⎫=----- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111111ln ln a a ax x ax x x x ⎛⎫⎛⎫=----+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1112ln aax x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， （*）又1x 为方程20ax x a -+=的根，1211x a x ∴=+， 代人(*)式得()()2221112112221111112ln 2ln 1112x x g x g x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=--=- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭， 令21x t =，则211t e <<，11()2ln 12t g t t t -⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 设11()2ln 12x h x x x -⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，211x e <<，22(1)()0(1)x h x x x '--∴=<+，()h x ∴单调递减， 从而有22140(1)()1h h x h e e ⎛⎫=<<=⎪+⎝⎭，240()1g t e ∴<<+. ()()122401g x g x e ∴<-<+，即()()122401g x g x e <-<+得证. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题号涂黑. 选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为6x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为ρ=.(1)求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；(2)若M ，N 分别为曲线1C 和曲线2C 上的动点，求MN 的最大值.【答案】(1)()2262x y +-=，22110x y +=；(2)【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数关系式，消去参数，可得1C 直角坐标方程.利用222x y ρ=+，sin y ρθ=化简可得2C 的直角坐标方程；（2）设),sin N θθ，利用点到直线的距离公式和三角函数的有界限，求解MN 的最大值.【详解】(1)曲线1C 的直角坐标方程为()2262x y +-=. 由221019sin ρθ=+，222x y ρ=+，sin y ρθ=， 得222910x y y ++=，即2C 的直角坐标方程为：22110x y +=.(2)由(1)得1C 的圆心为()0,6A ，半径r =设),sin Nθθ，)()2220sin 6NA θθ=-+-则2210cos sin 12sin 36θθθ=+-+，229sin 503θ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭∴当2sin 3θ=-时，max NA =∴MN 的最大值为=【点睛】本题考察了参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的互换.利用参数设坐标，求解点到直线的距离的问题. 选修4-5：不等式选讲23.已知函数()2725f x x x =-+-. (1)解不等式()6f x ≥；(2)设函数()f x 的最小值为m ，已知正实数a ，b ，且221max ,a b k a b a b ⎧⎫+=⎨⎬++⎩⎭，证明：21k m ≥.【答案】(1)39,,22⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；(2)证明见解析.【解析】 【分析】(1)分类讨论去绝对值，解不等式即可；(2)由绝对值三角不等式可得()2f x ≥，得2m =，由()22222112a b a b a b a b a b ++⋅=≥+++得221k ≥，进而可证明.【详解】(1)不等式()6f x ≥， 即为不等式27256x x -+-≥， 当52x <时，不等式可化为()()27256x x ----≥，解得32x ≤； 当5722x ≤≤时，不等式可化为()()27256x x --+-≥，即26≥，无解； 当72x >时，不等式可化为()()27256x x -+-≥，解得92x ≥. 综上，不等式()6f x ≥的解集是39,,22⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭； (2)()()272527252f x x x x x =-+-≥---=，当且仅当()()27250x x --≤时取等号，2m ∴=.重点中学试卷 可修改 欢迎下载- 31 - ()22212a b a b +≥+， 22112a b a b a b +∴⋅≥++. 221max ,0a b k a b a b ⎧⎫+=>⎨⎬++⎩⎭， 222112a b k a b a b +∴≥⋅≥++， 221k ∴≥，即21k m ≥.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，考查计算能力与分析能力，是中档题.。

2021年高三下学期二模考试数学（理）试题含解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合21{|log,1},{|,2}U y y x x P y y xx==>==>，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】试题分析：由题意，，则，选C.考点：集合的运算.2.下列四个函数中，既是奇函数又是定义域上的单调递增的是（）A． B． C． D．【答案】C考点：函数的奇偶性与单调性.3.已知复数满足 (其中i为虚数单位)，则的虚部为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】试题分析：由题意，，虚部为.考点：复数的概念与运算.4.等比数列的前n项和为，已知，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】试题分析：，所以，即，所以.考点：等比数列的性质.5.设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．23【答案】B【解析】试题分析：作出约束条件表示的可行域，如图内部（含边界），作直线，平移直线，当过点时，取得最小值7.考点：线性规划.6.投掷两枚骰子，则点数之和是8的概率为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】试题分析：投掷两枚骰子，点数形成的事件空间有种，其中点数和为8的事件有共5种，因此所求概率为.考点：古典概型.7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．4【答案】A【解析】试题分析：由三视图知该几何体是一个三棱柱截去了一块，如图，它可以看作是一个三棱柱与四棱锥组合而成，.NM FEDA考点：三视图，几何体的体积.8.执行下方的程序框图，如果输入的，那么输出的的值为（）A． B．C ．D ．【答案】B 【解析】试题分析：由程序框图，每次循环中，参数的值依次为，，，，这里结束循环，输出结果为B. 考点：程序框图.9.在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点，则 （ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A 【解析】试题分析：由已知得，，所以，所以323sin(2)sin[2(2)]sin 1281232k ππππαπ-=+-==. 考点：三角函数的定义与求值.10.在四面体S-ABC 中，平面,120,2,1ABC BAC SA AC AB ∠====，则该四面体的外接球的表面积为 （ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D 【解析】试题分析：设的外心为，222222cos 12212cos120BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=+-⨯⨯︒，，则，该四面体外接球半径为，由于平面，则有2222212740(2)(2)2()33R SA O A =+=+=，所以.考点：球与多面体，球的表面积.11.已知F 是抛物线的焦点，直线与该抛物线交于第一象限内的点，若，则的值是 （ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】试题分析：设，由消去得，则①，②，又，，由已知③，由②③得，代入①得（在第一象限）. 考点：直线和抛物线位置关系. 12.设函数()()2212,2(),,0,1,2,,9999i if x x f x x x a i ==-==，记 ，则下列结论正确的是 （ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B考点：函数的单调性，比较大小．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知向量，且与共线，则x 的值为 【答案】 【解析】试题分析：，由与共线得，解得．考点：向量的共线．14.已知8280128(1)(1)(1)x a a x a x a x =+-+-++-，则【答案】8 【解析】 试题分析：，. 考点：二项式定理.15.设点P 、Q 分别是曲线是自然对数的底数）和直线上的动点，则P 、Q 两点间距离的最小值为 【答案】 【解析】试题分析：，令，即，，令，显然是增函数，且，即方程只有一解，曲线在处的切线方程为，两平行线和间的距离为.考点：导数与切线，方程的解，平行线间的距离.16.在平面直角坐标系中有一点列对，点在函数的图象上，又点构成等腰三角形，且 若对，以为边长能构成一个三角形，则的取值范围是 【答案】 【解析】试题分析：由题意点构成以为顶点的等腰三角形，则，，以为边长能构成一个三角形，因为，则有，，所以.考点：等腰三角形的性质，解一元二次不等式.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分） 在中，角的对边分别为，且满足 （1）求角B 的大小； （2）若的面积为，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】试题分析：（1）题设已知条件是边角的关系，要求的是角，因此利用正弦定理把边化为角，得（同时用诱导公式化简），整理得，在三角形中有，因此得，；（2）由面积公式有，从而得，再结合余弦定理可得.试题解析：（1）…………………………1分…………………………3分∴…………………………5分∴…………………………6分(2) 由得a c＝4…………………………8分.由余弦定理得b2＝a2＋c2+ac…………………10分∴ a＋c …………………………12分考点：正弦定理，两角和与差的正弦公式，三角形的面积公式，余弦定理.18.（本小题满分12分）4月23人是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书谜”，低于60分钟的学生称为“非读书谜”（1）根据已知条件完成下面的列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书谜”与性别有关？（2）将频率视为概率，现在从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书谜”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E（X）和方差D（X）【答案】（1）见解析，与性别有关；（2）分布列为X 0 1 2 3P期望为，方差为【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图,读书迷占比为40%，非读书迷占比为60%，再由表格中的两个数字可填全表格，根据计算公式得，因此有99%的把握认为“读书迷”与性别有关；（2）题意可知X～B（3，），P(x=i)= （i=0，1，2，3），可得X的分布列，由公式可得期望与方差. 试题解析：（1）完成下面的列联表如下非读书迷读书迷合计男40 15 55女20 25 45合计60 40 100……………… 3分≈8.2498.249 > 6.635，故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关.……………..6分（2）视频率为概率.则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率为. 由题意可知X～B（3，），P(x=i)= （i=0，1，2，3）………………8分从而分布列为X 0 1 2 3P.……………… 10分E(x)=np= (或0.6)，D(x)=np(1-p）= (或0.72) ……………… 12分考点：（1）频率分布直方图，独立性检验，随机变量的分布列，数学期望与方差.19.（本小题满分12分）已知平面,,,4,1ABCD CD AD BA AD CD AD AP AB ⊥⊥====. （1）求证：平面；（2）M 为线段CP 上的点，当时，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】试题分析：（1）证线面垂直，就是要证线线垂直，已有，寻找题设条件还有平面，从而有，因此可以证得线面垂直；（2）要求二面角的大小，由于图形中有三直线两两垂直，因此可以以它们为坐标轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角，建立如图所示的坐标系后，关键是要求出点的坐标（因为其它点的坐标都易得），设，利用与共线，及就能求出点的坐标，然后求出平面平面的法向量，由法向量夹角求得相应的二面角. 试题解析：（1）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，PA 平面ADP ，所以平面ADP ⊥平面ABCD. …………………………………………2分 又因为平面ADP ∩平面ABCD=AD ，CD ⊥AD ，所以CD ⊥平面ADP. ……………………………………………………4分（2）AD ，AP ，AB 两两垂直，建立如图所示空间坐标系，则A （0，0，0），B （0，0，1），C （4，0，4），P （0，4，0），则，，，.………………………………6分zxy设M（x, y , z), ，则.所以，，，.因为BM⊥AC，所以，，解得，法2：在平面ABCD内过点B作BH⊥AC于H，在平面ACP内过点H作HM∥AP交PC于点M，连接MB ………6分，因为AP⊥平面ABCD，所以HM⊥平面ABCD.又因为AC平面ABCD，所以HM⊥AC.又BH∩HM=H, BH平面BHM，HM平面BHM，所以AC⊥平面BHM.所以AC⊥BM，点M即为所求点. …………………………………………8分在直角中，AH=，又AC=，所以.又HM∥AP，所以在中，.在平面PCD内过点M作MN∥CD交DP于点N，则在中， .因为AB∥CD，所以MN∥BA.连接AN，由（1）知CD⊥平面ADP，所以AB⊥平面ADP.所以AB⊥AD，AB⊥AN.所以∠DAN为二面角C—AB—M的平面角.………………………10分在中，过点N 作NS ∥PA 交DA 于S ，则，所以AS=，，所以NA=.所以.所以二面角C —AB —M 的余弦值为. …………………………………………12分考点：线面垂直，二面角.20.（本小题满分12分）已知椭圆经过点，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）不垂直与坐标轴的直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线交y 轴于点，若，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】试题分析：（1）本题求椭圆的标准方程比较简单，只要把坐标代入椭圆方程，再由离心率及联立方程组可解得；（2）本题属于直线与椭圆相交问题，主要考查学生的运算能力，及分析问题解决问题的能力，这类问题的一般方法都是设直线方程为为，设交点为，把直线方程与椭圆方程联立消去得则有，，同时有；从而有12121222()214t y y kx t kx t k x x t k +=+++=++=+ ，目的是为了表示出中点坐标，设的中点为，则，，因为直线于直线垂直，所以得 ，结合，由条件可得，，其中，为点到直线的距离，由引可求得，.试题解析：（1）由1题意得，解得，．所以椭圆的方程是． ……………………… 4分（2）设直线的方程设为，设，联立消去得则有，，由；12121222()214t y y kx t kx t k x x t k+=+++=++=+ …………… 6分 设的中点为，则， 因为直线于直线垂直，所以得 ………… 8分因为所以,所以，由点到直线距离公式和弦长公式可得，AB == ………10分由2ABPD == ，直线的方程为或. ………… 12分解法二（2）设直线的斜率为，设，的中点为，所以 ，，由题意，式式得()()()()1212121204x x x x y y y y -++-+=⇒又因为直线与直线垂直，所以由14131ykxykx⎧+=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩解得…………… 6分因为所以,所以，………8分PD===设直线的方程设为，联立消去得()2222284141(14)44099k k kk x x+⎛⎫++-+-=⎪⎝⎭，，由AB==………10分，解得，满足.由得直线的方程为或. ……… 12分考点：椭圆的标准方程，直线和椭圆的位置关系.21.（本小题满分12分）已知函数是自然对数的底数，.（1）求函数的单调递增区间；（2）若为整数，，且当时，恒成立，其中为的导函数，求的最大值.故在上存在唯一的零点. .............................8分设此零点为，则.当时，；当时，；所以，在上的最小值为.由可得 ........10分所以，由于①式等价于.故整数的最大值为2. ....................................12分考点：导数与单调性，不等式恒成立，函数的零点.请考生在第（22）、（23）（24）三体中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图：的直径的延长线于弦CD的延长线相交于点P，E为上一点，交于点F.（1）求证：四点共圆；（2）求证：.【答案】证明见解析.【解析】试题分析：（1）证四点共圆，可证明四边形的对角互补或外角等于内对角等，本题中，由于，因此有，从而得证四点共圆；（2）有了（1）中的四点共圆，由割线定理得，又在圆中有，故结论成立.试题解析：（1）连接，，因为，所以，.................2分又因为，则，所以四点共圆.………………5分（2）因为和是的两条割线，所以，……………7分因为四点共圆,所以，又因为，则∽，所以，即则.………………10分考点：四点共圆，切割线定理.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：.（1）直线的参数方程化为极坐标方程；（2）求直线的曲线交点的极坐标（）【答案】（1）；（2） ，【解析】试题分析：（1）首先消去参数方程的参数，可把参数方程化为普通方程，然后利用公式可把直角坐标方程化为极坐标方程；（2）可把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，然后把直线与圆的直角坐标方程联立解得交点坐标，再把交点的直角坐标化为极坐标，也可把直线与圆的两个极坐标方程联立方程组解得交点的极坐标.试题解析：（1）将直线（为参数）消去参数，化为普通方程，……………………2分 将代入得.…………4分（2）方法一：的普通方程为.………………6分由解得：或………………8分所以与交点的极坐标分别为： ，.………………10分方法二：由，……………6分得：，又因为………………8分所以或所以与交点的极坐标分别为： ，.………………10分考点：参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，直线与圆交点.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()()221(0),2f x x a x a g x x =-++>=+.（1）当时，求不等式的解集；（2）若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）不等式为，用分类讨论的思想可求得解集，分类讨论的标准由绝对值的定义确定；（2）不等式恒成立，同样不等式为，转化为，令，因为,所以153,21()1,2231,2x a x a h x x a x a x a x ⎧-+-≤-⎪⎪⎪=-+--<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩，只要求出最小值，然后解不等式得所求范围. 试题解析：（1）当时，，无解，，………………………3分综上，不等式的解集为.………………5分（2），转化为，令，因为a>0,所以153,21()1,2231,2x a x a h x x a x a x a x ⎧-+-≤-⎪⎪⎪=-+--<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩， ………………8分在a>0下易得,令得………………10分考点：解绝对值不等式，不等式恒成立，函数的最值.40115 9CB3 鲳23063 5A17 娗24402 5F52 归36458 8E6A 蹪30653 77BD 瞽0tY36543 8EBF 躿> 40561 9E71 鹱27081 69C9 槉bX。

长沙市雅礼中学高三下学期第二次联考数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1.已知集合A =∅ ,∅ ，下列选项中均为A 的元素的是()(1)∅ (2)∅ (3)∅(4)∅ ,∅ A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(3)D.(2)(4)2.某圆锥高为1，底面半径为3，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为()A.2B.3C.2D.13.有一个非常有趣的数列1n 叫做调和数列，此数列的前n 项和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到它的近似公式：当n 很大时，1+12+13+⋯+1n ≈ln n +γ，其中γ称为欧拉-马歇罗尼常数，γ≈0.577215664901⋯，至今为止都还不确定γ是有理数还是无理数.由于上式在n 很大时才成立，故当n 较小时计算出的结果与实际值之间是存在一定误差的，已知ln2≈0.693，ln10≈2.303.用上式估算出的ln5与实际的ln5的误差绝对值近似为()A.0.003B.0.096C.0.121D.0.2164.在正三角形ABC 中，M 为BC 中点，P 为三角形内一动点，且满足PA =2PM ，则PAPB最小值为()A.1B.64C.22D.325.已知f x =x 3+6x 2+9x +11，f x 的一条切线g x =kx +b 与f (x )有且仅有一个交点，则()A.k =-3，b =3B.k =-3，b =-3C.k =3，b =3D.k =3，b =-36.从正360边形的顶点中取若干个，依次连接，构成的正多边形的个数为()A.360B.630C.1170D.8407.已知数列{c n }满足c 1=1,c n +1=c nc 3n +1,n ∈N *，则c 18∈()A.13,25B.27,13 C.14,27D.29,148.P 、Q 、R 是等腰直角三角形ABC ∠A =π2内的点，且满足∠APB =∠BPC =∠CPA ，∠ACQ =∠CBQ =∠BAQ ，sin ARA +sin BRB +sin CRC =0 ，则下列说法正确的是()A.PA ⋅PB >QA ⋅QB >RA ⋅RBB.QA ⋅QB >PA ⋅PB >RA ⋅RBC.RA ⋅RB >PA ⋅PB >QA ⋅QBD.RA ⋅RB >QA ⋅QB >PA ⋅PB二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

长沙市雅礼中学2024届模拟试卷（二）数 学本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 函数()x f =的定义域是（ ）A. []22-,B. ()2,2-C. {}2,2x x x -或D. {}2,2-2. 已知函数y=f （x ）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x ）的图象如图所示，则该函数的图象是（ ）A. B. C. D.3. 中心在坐标原点，离心率为53的圆锥曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为（ ） A. y =±54x B. y =±45xC. y =±43xD. y =±34x4. 已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，对任意x ∈R 都有()()11f x f x +=-，当()32f -=-时，则()2023f 等于（ ） A. 2B. 2-C. 0D. 4-5. 将函数()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像向右平移φ（0φ>）个单位长度，再将图像上每一点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），所得图像关于直线4x π=对称，则φ的最小值为 A.34π B.2πC.8πD.38π 6. 为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为8小时，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（ ） A 0.96B. 0.94C. 0.79D. 0.757. 在等腰△ABC 中，∠BAC ＝120°，AD 平分∠BAC 且与BC 相交于点D ，则向量BD u u u r在BA上的投影向量为（）A. 3BA 2B. 3BA 4C.D.BA8. 如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列结论一定成立的是（ ）A. 三棱锥1A A PD -的体积大小与点P 的位置有关B.1A P 与平面1ACD 相交C 平面1PDB ^平面11A BCD. 1AP D C ⊥二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题的..目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 设a ，b ，c ，d 为实数，且0a b c d >>>>，则下列不等式正确的有（ ） A. 2c cd <B. a c b d -<-C. ac bd <D.0c da b-> 10. 在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是（ ） A. 此人第二天走了九十六里路B. 此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C. 此人第三天走的路程占全程的18D. 此人后三天共走了42里路11. 三棱锥A BCD -的侧棱AB 垂直于底面BCD ，BC CD ⊥，2AB BC ==，三棱锥A BCD -的体积43A BCD V -=，则（ ） A. 三棱锥A BCD -的四个面都是直角三角形 B. 2CD =C. π2CDA ∠=D. 三棱锥A BCD -外接球的体积三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 在复数范围内，方程210x x ++=的根为________.13. 已知圆N ：22650x y y +-+=，直线1y =-，圆M 与圆N 外切，且与直线1y =-相切，则点M 轨迹方程为_____________．14. 若m ，*n ∈N ，3m ≥，2n m ≥+，则22111222A A A C A A mm m n m n m n ----=++_____________．（请用一个排列数来表示）四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在ABC 中，已知22sin cos 212A BC ++=，外接圆半径2R =. （1）求角C 的大小；（2）试求ABC 面积S 的最大值.16. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB =，1AD =，PD ⊥底面ABCD ．的（1）证明：PA BD ⊥；（2）若PD AD =，求二面角A PB C --的余弦值．17. 已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>，右焦点为(),斜率为1的直线l 与椭圆G 交于,A B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为(3,2)P -. （1）求椭圆G 的方程； （2）求PAB 的面积.18. 某手机App 为了答谢新老用户，设置了开心大转盘抽奖游戏，制定了如下中奖机制：每次抽奖中奖的概率为p ，n 次抽奖仍未中奖则下一次抽奖时一定中奖．每次中奖时有12的概率中积分奖，有12的概率中现金奖．若某一次中奖为积分奖，则下一次抽奖必定中现金奖，抽到现金奖后抽奖结束．（1）若2n =，12p =，试求直到第3次才抽到现金奖的概率； （2）若19n =，0.01p =，X 表示抽到现金奖时的抽取次数． （ⅰ）求X 的分布列（用p 表示即可）；（ⅱ）求X 的数学期望()E X ．（180.990.8345≈，结果四舍五入精确到个位数）19. 极值的广义定义如下：如果一个函数在一点的一个邻域（包含该点的开区间）内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值. 对于函数()y f x =，设自变量x 从0x 变化到0x x +∆，当0x ∆>，()()000limx f x x f x x∆→+∆-∆是一个确定的值，则称函数()y f x =在点0x 处右可导；当0x ∆<，()()000limx f x x f x x∆→+∆-∆是一个确定的值，则称函数()y f x =在点0x 处左可导.当函数()y f x =在点0x 处既右可导也左可导且导数值相等，则称函数()y f x =在点0x 处可导.（1）请举出一个例子，说明该函数在某点处不可导，但是该点是该函数极值点；的（2）已知函数()22132e sin e ax f x x x x x +=--.（ⅰ）求函数()21e sin e axg x x x +=--在0x =处的切线方程；（ⅱ）若0x =为()f x 的极小值点，求a 的取值范围.参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 函数()x f =的定义域是（ ）A. []22-,B. ()2,2-C. {}2,2x x x -或D. {}2,2-【答案】D 【解析】【分析】根据函数有意义得出不等式组，解之即得函数定义域.【详解】由()f x =224040x x ⎧-≥⎨-≥⎩，解得2x =±，即函数的定义域为{2,2}-. 故选：D.2. 已知函数y=f （x ）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x ）的图象如图所示，则该函数的图象是（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】【详解】由y ＝f′(x)的图象知，y ＝f(x)的图象为增函数，且在区间(－1,0)上增长速度越来越快， 而在区间(0,1)上增长速度越来越慢． 故选B.3. 中心在坐标原点，离心率为53的圆锥曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为（ ） A. y =±54x B. y =±45xC. y =±43xD. y =±34x【答案】D 【解析】【分析】根据离心率可求出43b a =，再根据焦点位置可得出渐近线方程. 详解】∵c a =53，∴222259a b a +=，∴43b a =. ∵双曲线的焦点在y 轴上，∴双曲线的渐近线方程为y =±abx . ∴所求双曲线的渐近线方程为y =±34x . 故选：D.4. 已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，对任意x ∈R 都有()()11f x f x +=-，当()32f -=-时，则()2023f 等于（ ） A. 2 B. 2-C. 0D. 4-【答案】A 【解析】【分析】根据函数的奇偶性和对称性推得函数()f x 的周期为4，利用周期性和奇函数特征即可求得()2023f 的值.【详解】定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且对任意x ∈R 都有()()11f x f x +=-，故函数()f x 的图象关于直线1x =对称，∴()()2f x f x =-，故()()()2f x f x f x -=+=-， ∴()()()24f x f x f x =-+=+，∴()f x 是周期为4的周期函数．【则()()()3(202350533)42f f f f =⨯+==--=． 故选：A ．5. 将函数()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移φ（0φ>）个单位长度，再将图像上每一点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），所得图像关于直线4x π=对称，则φ的最小值为 A.34π B.2πC.8πD.38π 【答案】D 【解析】【分析】根据三角函数的平移和伸缩变换，求得变换后的解析式；根据对称轴代入即可求得φ的表达式，进而求得φ的最小值．【详解】将函数()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移φ（0φ>）个单位长度，再将图像上每一点的横坐标缩短到原来的12倍后解析式变为 ()2sin 424f x x πφ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭因为图像关于直线4x π=对称所以42242x k ππφπ-+=+代入4x π=化简得38k πφπ=+，k ∈Z所以当k=0时，φ取得最小值为38π 所以选D【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换，三角函数对称轴的应用，属于中档题．6. 为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为8小时，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（ ） A. 0.96 B. 0.94C. 0.79D. 0.75【答案】B【解析】【分析】根据方差的计算公式求得正确答案. 【详解】该地区中学生每天睡眠时间的平均数为：8001200988.412008001200800⨯+⨯=++（小时），该地区中学生每天睡眠时间的方差为：()()228001200198.40.588.40.9412008001200800⎡⎤⎡⎤⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦++.故选：B7. 在等腰△ABC 中，∠BAC ＝120°，AD 平分∠BAC 且与BC 相交于点D ，则向量BD u u u r在BA上的投影向量为（）A. 3BA 2B. 3BA 4C.D.BA【答案】B 【解析】【分析】首先画出图形，根据投影的几何意义，计算结果.【详解】由余弦定理可知2222cos1201113BC AB AC AB AC =+-⋅⋅=++= ，BC ∴=，30ABC ∠= ，AD 平分∠BAC 且与BC 相交于点D ，ABC 是等腰三角形，D ∴是BC中点，BD =，由图可知向量BD u u u r在BA 上的投影向量为BE3cos304BE BD ==34BE BA = ，34BE BA ∴= .故选：B【点睛】本题考查向量的投影，重点考查数形结合分析问题，属于基础题型.8. 如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列结论一定成立的是（ ）A. 三棱锥1A A PD -的体积大小与点P 的位置有关B.1A P 与平面1ACD 相交C. 平面1PDB ^平面11A BCD. 1AP D C ⊥ 【答案】C 【解析】【分析】由11A A PD P AA D V V --=，结合正方体1111ABCD A B C D -的性质，可得判定A 不成立；由线面平行的判定定理，分别证得1//BC 平面1ACD 和1//BA 平面1ACD 得到平面11//BA C 平面1ACD ，可判断B 不成立；根据线面垂直的判定定理，证得1B D ⊥平而11A BC ，得到平面1PDB ^平面11A BC ，可判定C 成立；根据当B 与P 重合时，得到AP 与1D C 的夹角为4π，可判定D 不成立.【详解】对于A 中，由11A A PD P AA D V V --=，在正方体1111ABCD A B C D -中， 可得1//BC 平面1AA D ，所以P 到平面1AA D 的距离不变， 即三棱锥1P AA D -的高不变，又由1AA D △的面积不变， 因此三棱锥1P AA D -的体积不变，即三棱锥1A A PD -的体积与点P 的位置无关，故A 不成立.对于B 中，由于11//BC AD ，1AD ⊂平面1ACD ，1BC ⊄平面1ACD ， 所以1//BC 平面1ACD ，同理可证1//BA 平面1ACD ， 又由11BA BC B = ，所以平面11//BA C 平面1ACD ，因为1A P ⊂平面11BA C ，所以1//A P 平面1ACD ，所以B 不成立.对于C 中，因为11A C BD ⊥，111A C BB ⊥，1BD BB B ⋂=， 所以11A C ⊥平面1BB D ，则111A C B D ⊥，同理11A B B D ⊥， 又因为1111A C A B A = ，所以1B D ⊥平而11A BC .又由1B D ⊂平面1PDB ，所以平面1PDB ^平面11A BC ，所以C 成立. 对于D 中，当B 与P 重合时，可得AP 与1D C 的夹角为4π，所以D 不成立.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 设a ，b ，c ，d 为实数，且0a b c d >>>>，则下列不等式正确的有（ ）A. 2c cd <B. a c b d -<-C. ac bd <D.0c da b-> 【答案】AD 【解析】【分析】根据不等式的相关性质可得A ,D 项正确；通过举反例可说明B ,C 项错误. 【详解】对于A ，由0c d >>和不等式性质可得2c cd <，故A 正确； 对于B ，因0a b c d >>>>，若取2a =，1b =，1c =-，2d =-， 则3a c -=，3b d -=，所以a c b d -=-，故B 错误；对于C ，因0a b c d >>>>，若取2a =，1b =，1c =-，2d =-， 则2ac =-，2bd =-，所以ac bd =，故C 错误； 对于D ，因0a b >>，则110a b<<，又因0c d >>则0c d <-<-， 由不等式的同向皆正可乘性得，c d a b-<-，故0c da b ->，故D 正确．故选：AD ．10. 在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是（ ） A. 此人第二天走了九十六里路B. 此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C. 此人第三天走的路程占全程的18D. 此人后三天共走了42里路 【答案】ABD 【解析】【分析】设第n 天走a n 里路，则{a n }是首项为a 1，公比为12q =的等比数列，由S 6＝378求得首项，再逐一分析四个选项的答案．【详解】设此人第n 天走a n 里路，则{a n }是首项为a 1，公比为12q =的等比数列， 由等比数列前n 项和公式得：1661(1)2378112a S -==-，解得a 1＝192，A ：21192962a =⨯=，故此人第二天走了九十六里路，正确； 为B ：后五天所走的路程为378192186-=里，则第一天比后五天多走1921866-=里，正确；C ：31192484a =⨯=，而4813788>，错误； D ：456111192()4281632a a a ++=⨯++=，正确．故选：ABD11. 三棱锥A BCD -的侧棱AB 垂直于底面BCD ，BC CD ⊥，2AB BC ==，三棱锥A BCD -的体积43A BCD V -=，则（ ） A. 三棱锥A BCD -的四个面都是直角三角形 B. 2CD =C. π2CDA ∠=D. 三棱锥A BCD -外接球的体积【答案】ABD 【解析】【分析】根据题设条件构造长方体，计算分析推得正方体，判断其外接球直径即该正方体的体对角线长，推理计算即可一一判断各选项正误.【详解】因AB ⊥平面BCD ，则,AB BC AB CD ⊥⊥,又BC CD ⊥ 则可构造如图所示的长方体，则AD 为三棱锥A BCD -的外接球的直径．对于A ，因AB ⊥平面BCD ，因,,BC CD BD ⊂平面BCD ,则,AB BC AB CD ⊥⊥，AB BD ⊥， 因AB CD ⊥，BC CD ⊥，且AB BC B ⋂=,可得CD ⊥平面ABC ，又AC ⊂平面ABC ，故CD AC ⊥,即三棱锥A BCD -的四个面都是直角三角形，故A 正确； 对于B ，由11422323A BCD V CD -=⨯⨯⨯⨯=解得2CD =，即B 正确； 对于C ，由A 项分析得CD AC ⊥，故在Rt ACD △中，CDA ∠是锐角，故C 错误； 对于D ，设三棱锥A BCD -外接球的半径为R ，由2AB BC CD ===,知该长方体为正方体，则22AD R ===,解得R =，故其外接球体积为34π3V R ==，即D 正确. 故选:ABD ．【点睛】关键点点睛：本题主要考查三棱锥的相关性质的应用及外接球问题,属于难题.解此题的关键在于弄清题中,,AB BC CD 三条直线的两两垂直关系，构造长方体，从而将对三棱锥的性质探究转化为对长方体的探究，给解题带来了较大的方便.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 在复数范围内，方程210x x ++=的根为________.【解析】【分析】根据复数范围求根公式求解【详解】因为1430D =-=-<，所以方程210x x ++=【点睛】本题考查复数范围解实系数一元二次方程，考查基本分析求解能力，属基础题.13. 已知圆N ：22650x y y +-+=，直线1y =-，圆M 与圆N 外切，且与直线1y =-相切，则点M 的轨迹方程为_____________． 【答案】212x y = 【解析】【分析】设动圆的半径为r ，则点M 到l ＇：=3y -与点M 到点N 的距离相等，都是2r +，再利用抛物线的定义求解.【详解】由题意得，直线l ：1y =-，且圆N ：()2234x y +-=，设圆M 半径为r ，则点M 到l ＇：=3y -与点M 到点N 的距离相等，都是2r +， 故点M 的轨迹是以N 为焦点，以l ＇为准线的抛物线，故方程为212x y =． 故答案为：212x y =14. 若m ，*n ∈N ，3m ≥，2n m ≥+，则22111222A A A C A A m m m n m n m n ----=++_____________．（请用一个排列数来表示） 【答案】2A mn - 【解析】【分析】根据排列的意义及分类加法计数原理，对其中两个指定的元素,a b 分类求解即可. 【详解】从n 个元素中选取m 个元素排列到m 个位置上去，对于两个指定的元素,a b 进行分类，,a b 都被选出来，有222A A m m n --种排法，,a b 中有一个被选出来，有11122C A A m m n --种排法，,a b 都没有被选出来，有2A mn -种排法，所以221112222A A A C A A A mm m mn m n m n n -----=++． 故答案为：2A mn -.四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在ABC 中，已知22sin cos 212A BC ++=，外接圆半径2R =. （1）求角C 大小；（2）试求ABC 面积S 的最大值. 【答案】（1）3π（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式得到关于cos C 的方程，解出cos C ，进而得到C ；（2）根据正弦定理求得c ，根据余弦定理，结合基本不等式可得12ab ≤，代入三角形面积公式求得面积的最大值.的【详解】（1）由22sincos 212A BC ++=得：()2cos 212sin cos cos 2A B C A B C +=-=+=- 即22cos cos 10C C +-= 解得：1cos 2C =或cos 1C =-（舍） 3C π∴=（2）由正弦定理得：2sin 4sin3c R C π===由余弦定理得2221122cos 222c a b ab C ab ab ab ==+-≥-⋅=当且仅当a b ==ab 取得最大值1211sin 1222S ab C ∴=≤⨯=，即ABC ∆面积S 的最大值为【点睛】本题考查正余弦定理解三角形、三角形面积的最值问题，关键是能够利用余弦定理构造出基本不等式的形式，从而得到积的最大值.16. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB =，1AD =，PD ⊥底面ABCD ．（1）证明：PA BD ⊥；（2）若PD AD =，求二面角A PB C --的余弦值． 【答案】（1）证明见解析（2） 【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理求解即可；（2）以D 为坐标原点，,,DA DB DP 为,,x y z 轴建立坐标系，利用空间向量法求解即可. 【小问1详解】因为60DAB ∠=︒，2AB =，1AD =，所以在ABD △中，由余弦定理得2222cos DB AD AB AD AB DAB =+-⨯⨯∠，解得DB =，所以在ABD △中222AD DB AB +=，所以BD AD ⊥，又因为PD ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PD BD ⊥， 因为AD PD D =I ，,AD PD ⊂平面PAD ， 所以BD ⊥平面PAD ， 又因为PA ⊂平面PAD ， 所以PA BD ⊥.小问2详解】因为PD ⊥底面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PD AD ⊥， 结合（1）可知,,DP DA DB 两两垂直，以D 为坐标原点，,,DA DB DP 为,,x y z 轴建立如图所示坐标系，所以()0,0,1P ，()1,0,0A，()B，()C -，所以()1PB =- ，()1,0,1PA =-，()1PC =-- ，设平面APB 的法向量()111,,x n y z =，则11110PB n z PA n x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，解得n = ， 设平面CPB 的法向量()222,,m x y z =，则222220PB m z PC m x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，解得(m = ，所以cos ,n m n m n m⋅===，所以结合图像可得二面角A PB C --的余弦值为. 17. 已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>，右焦点为(),斜率为1的直线l 与椭圆G 交【于,A B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为(3,2)P -. （1）求椭圆G 方程； （2）求PAB 的面积.【答案】（1）221.124x y +=（2）92【解析】【分析】（1）根据椭圆的简单几何性质知a =，又2224b a c =-=，写出椭圆的方程；（2）先斜截式设出直线y x m =+，联立方程组，根据直线与圆锥曲线的位置关系，可得出AB 中点为00(,)E x y 的坐标，再根据△PAB 为等腰三角形知PE AB ⊥，从而得PE 的斜率为241334mk m -==--+，求出2m =，写出AB ：20x y -+=，并计算||AB =，再根据点到直线距离公式求高，即可计算出面积．【详解】（1）由已知得c =c a =a =，又2224b ac =-=， 所以椭圆G 的方程为221124x y +=．（2）设直线l 的方程为y x m =+，由22,{1124y x m x y ，=++=得22463120x mx m ++-=，① 设A 、B 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y （12x x <），AB 中点为00(,)E x y ， 则120324x x m x +==-，004my x m =+=， 因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE AB ⊥．所以PE 的斜率为241334mk m -==--+，解得2m =，此时方程①为24120x x +=．解得13x =-，20x =，所以11y =-，22y =，所以||AB =， 此时，点(3,2)P -到直线AB ：20x y -+=的距离d ， 的所以△PAB 的面积1922S AB d =⋅=． 考点：1、椭圆的简单几何性质；2、直线和椭圆的位置关系；3、椭圆的标准方程；4、点到直线的距离. 【思路点晴】本题主要考查的是椭圆的方程，椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离，属于难题．解决本类问题时，注意使用椭圆的几何性质，求得椭圆的标准方程；求三角形的面积需要求出底和高，在求解过程中要充分利用三角形是等腰三角形，进而知道定点与弦中点的连线垂直，这是解决问题的关键．18. 某手机App 为了答谢新老用户，设置了开心大转盘抽奖游戏，制定了如下中奖机制：每次抽奖中奖的概率为p ，n 次抽奖仍未中奖则下一次抽奖时一定中奖．每次中奖时有12的概率中积分奖，有12的概率中现金奖．若某一次中奖为积分奖，则下一次抽奖必定中现金奖，抽到现金奖后抽奖结束．（1）若2n =，12p =，试求直到第3次才抽到现金奖的概率； （2）若19n =，0.01p =，X 表示抽到现金奖时的抽取次数． （ⅰ）求X 的分布列（用p 表示即可）；（ⅱ）求X 的数学期望()E X ．（180.990.8345≈，结果四舍五入精确到个位数） 【答案】（1）14（2）（ⅰ）分布列见解析，（ⅱ）19 【解析】【分析】（1）先设抽到现金奖时共抽取了3次为事件A ，事件A 包括两种情况，分别算出概率即可. （2）X 的可能取值为1，2，3，…，19，20，21，由（1）可得2X =，3，…，19的概率，因为19次抽奖仍未中奖则下一次抽奖时一定中奖，所以求20X =的概率时，可以包括前18次没中第19次中了积分奖第20次一定中现金奖或前19次没中奖第20次中现金奖两种情况，分别写出概率列出分布列求期望即可.【小问1详解】设抽到现金奖时共抽取了3次为事件A ，则事件A 包括第一次未中奖第二次未中奖第三次中了现金奖或第一次未中奖第二次中了积分奖第三次中现金奖，其中中了积分奖的概率为111224⨯=， 则()1111111222244P A =⨯⨯+⨯⨯=，所以直到第3次才抽到现金奖的概率为14． 【小问2详解】（ⅰ）X 的可能取值为1，2，3，…，19，20，21．()112P X p ==， ()()()()()21211111121222i i i P X i p p p p p p p ---==-⋅⋅+-⋅=--，2i =，3，…，19， ()()()()18191811120111222P X p p p p ==-⋅+-⋅=-，()()()1919112111122P X p p ==-⋅⨯=-，所以X 的分布列为 X 12…i…2021P12p ()122p p - … ()()21212i p p p --- … ()18112p - ()19112p - 其中2i =，3，…，19． （ⅱ）()()()()()()12111112232121192222i E X p p p p p p i p p p -=⨯+⨯-+⨯--++⨯--++⨯ ()()()1719181112120(1)211222p p p p p --+⨯-+⨯- ()()()()()()217181911212231411911011222p p p p p p p p ⎡⎤=+-+-+-++-+-+-⎣⎦ ，令()()()21723141191S p p p =+-+-++- ，则()()()()()23181213141191p S p p p p -=-+-+-++- ， 作差得()()()()()23171821111191pS p p p p p =+-+-+-++--- ，则()()()17181112191p p pS p p⎡⎤---⎣⎦=+--，所以()()()()()18182111192221222p p p p p S p p p p ⎡⎤----⎣⎦-=-+---，()()()()()()()181818192111192122110112222p p p E X p p p p p p p⎡⎤----⎣⎦=+-+---+-+-，()()()()()()()1818181921219212110112222p p p E X p p p p p p --+=----+-+-，()()()()()18221921121012222p p E X p p p p p ⎡⎤-+=+----++-⎢⎥⎣⎦()18111122p p pp ⎛⎫=++--- ⎪⎝⎭，代入0.01p =，因为180.990.8345≈，所以得()19E X ≈， 所以X 的数学期望()E X 约为19.19. 极值的广义定义如下：如果一个函数在一点的一个邻域（包含该点的开区间）内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值. 对于函数()y f x =，设自变量x 从0x 变化到0x x +∆，当0x ∆>，()()000limx f x x f x x∆→+∆-∆是一个确定的值，则称函数()y f x =在点0x 处右可导；当0x ∆<，()()000limx f x x f x x∆→+∆-∆是一个确定的值，则称函数()y f x =在点0x 处左可导.当函数()y f x =在点0x 处既右可导也左可导且导数值相等，则称函数()y f x =在点0x 处可导.（1）请举出一个例子，说明该函数在某点处不可导，但是该点是该函数的极值点； （2）已知函数()22132e sin e ax f x x x x x +=--.（ⅰ）求函数()21e sin e axg x x x +=--在0x =处的切线方程；（ⅱ）若0x =为()f x 的极小值点，求a 的取值范围. 【答案】（1）y x =，说明见解析（2）（ⅰ）切线方程为0y =，（ⅱ）1ea ≥ 【解析】【分析】（1）根据题意，求出函数y x =的左导数和右导数，即可说明； （2）（ⅰ）根据导数的几何意义求切线； （ⅱ）()()221e sin e axf x xx x +=--，通过利用导数研究函数()g x 的性质，解决()f x 的极小值问题，从而求a 的取值范围.【小问1详解】y x =，0x =为该函数的极值点，当0x ∆>，()()000000lim lim lim 1x x x x f x f x x x x∆→∆→∆→∆-+∆-∆===∆∆∆， 当0x ∆<，()()000000lim lim lim 1x x x x f x f x x x x ∆→∆→∆→∆-+∆--∆===-∆∆∆，则该函数在0x =处的左导数为1-，右导数为1，所以该函数在0x =处不可导.【小问2详解】（ⅰ）根据题意，(0)0g =，则切点()0,0，又()212e sin cos ax g ax x x x x +'=--，则(0)0k g '==，所以切线方程为0y =；（ⅱ）()()22213221e sin e e sin e ax ax f x x x x x x x x ++=--=--， 因为当0x ≠时，20x >，故()f x 与()g x 同号，()21e sin e ax g x x x +=--，先考察()g x 的性质，由于()g x 为偶函数，只需分析其在()0,∞+上的性质即可，()212e sin cos ax g ax x x x x +'=--，()0,0g '=，设()()212e sin cos ,0,ax m ax x x x x x ∞+=--∈+，则()()222124e 2cos sin ax a a x x x x m x +=+-+'，()2e 20m a =-'，则必有()2002e a m =-'≥，即1ea ≥. ①否则，若()2002e a m =-<'，即1e a <， 则必存在一个区间()0,m ，使得()0m x '<，则()g x '在()0,m 单调递减，又()00g '=，则()g x '在区间()0,m 内小于0，则()g x 在()0,m 单调递减，又()00g =，故()g x 在区间()0,m 内小于0，故()f x 在区间()0,m 内小于0，则0x =不可能为()f x 的极小值点.②当1ea ≥时，()22111e e sin e e sin e x ax g x x x x x ++=----≥， 令()211e e sin e x h x x x +=--，()2112e sin cos ee x x h x x x x +'=--， 令()2112e sin cos ex e x x x x s x +=--， 则()2112e 224e 2cos sin e e x x x x x s x +'⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭， 易知2112e 224e e e x y x +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间()0,∞+上单调递增， 对2cos sin y x x x =-+，2sin sin cos 3sin cos y x x x x x x x '=++=+，则3sin cos y x x x '=+在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上大于0， 故2cos sin y x x x =-+在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增. 故()2112e 224e 2cos sin e e x x x x x s x +'⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增. 又()00s '=，故()0s x '≥，故()h x '在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 又()00h '=，故()0h x '≥，故()h x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 又()00h =，故()0h x >，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则()()21e sin e 0ax x x x g x h +=-->≥，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 故当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，由偶函数知π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x >， 故0x =为()f x 的极小值点，所以a 的取值范围为1ea ≥. 【点睛】关键点点睛：最后一问中由()()221e sin e ax f x x x x +=--，通过利用导数研究函数()g x 的性质，解决()f x 的极小值问题，从而求a 的取值范围.。

2021年高三第二次模考理科数学命题人： 审题人：试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 时量：120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在答题卡上. 1．设集合}30|{<≤=x x M ，}043|{2<--=x x x N ，则集合N M 等于A ．{|01}x x ≤<B ．{|01}x x ≤≤C ．{|03}x x ≤<D ．{|03}x x ≤≤2．复数22 ()i （其中i 为虚数单位）的虚部等于 A ．i -B ．1-C ．1D ．03．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果为 A .7B.6 C .5D.44．在ABC ∆中，“()sin()cos cos sin 1A B B A B B -+-≥”是“ABC ∆是直角三角形”的 A ．充分不必要条件 B ．充分必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是32， 则正视图中的x 的值是 A.2 B.92 C.32D.3 6．若数列{}n a 满足110n npa a +-=，*,n N p ∈为非零常数，则称数列{}n a 为“梦想数列”. 已知正项数列1nb ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“梦想数列”，且99123992b b b b =，则892b b +的最小值是A ．2B ．4C ．6D ．8 7．定积分1(2)x x dx -⎰的值为A.4π B.2πC.πD.2π 8．已知双曲线2221(0)9x y b b-=>，过其右焦点F 作圆229x y +=的两条切线，切点分别记作C 、D ,双曲线的右顶点为E ,150=∠CED ，其双曲线的离心率为 A 23．32C 3239. 定义在R 上的函数()f x 满足：()1()f x f x '>-，(0)6f =，()f x '是()f x 的导函数， 则不等式()5xxe f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为 A ．()0,+∞B ．()(),03,-∞+∞ C ．()(),01,-∞+∞ D ．()3,+∞10．已知(1,0)A ，曲线:C e ax y =恒过点B ，若P 是曲线C 上的动点，且AB AP ⋅的最小值为2，则a 的值为A.2-B.1-C.1D.2第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题:本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分. 把答案填在答题卡上的相应横线上.（一）选作题（请考生在11、12、13三题中任选2题作答，如果全做，则按前2题记分） 11.在极坐标系中，定点)2,2(πA ，点B 在直线0sin 3cos =+θρθρ上运动，则线段AB 长度的最小值为__________．12.如图,PAB 、PCD 为圆O 的两条割线,若5PA =，7AB =，11CD =，2AC =，则BD =.13.若不等式2373x x a a ++-≥-的解集为R ，则实数a 的取值范围是. （二）必做题（14~16题）14.某班有50名同学，一次数学考试的成绩X 服从正态分布2(105,10)N ，已 知(95105)0.34p X ≤≤=，估计该班学生数学成绩在115分以上的有_______ 人.15. 已知点),(y x P 满足条件0,,20x y x x y k ≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩（k 为常数），若3z x y =+的最大值为8，则k =.16.设()f x 是定义在R 上的增函数，对于任意的x 都有(1)(1)0f x f x -++=恒成立，若实数,m n满足22(623)(8)03f m m f n n m ⎧-++-<⎨>⎩，则22m n +的取值范围是________.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分12分)已知向量()sin ,cos x a x ωω→=，()cos 3x b x ωω→=，其中0>ω，若函数3()f x a b →→=⋅的最小正周期为π.（Ⅰ）求函数()x f 的单调递增区间；（Ⅱ）如果ABC ∆的三边c b a ,,所对的角分别为C B A ,,，且满足bc a c b 3222+=+, 求()A f 的值.18．（本小题满分12分）从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加一项竞技测试，每位同学通过测试的概率为0.7，试求：（Ⅰ）选出的三位同学中至少有一名女同学的概率；（Ⅱ）选出的三位同学中同学甲被选中并且通过测试的概率；（Ⅲ）设选出的三位同学中男同学的人数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望.19．（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B ⊥底面ABC ，侧棱1AA 与底面ABC 成60°的角，12AA =．底面ABC 是边长为2的正三角形，其重心为G 点， E 是线段1BC 上一点，且113BE BC =．（Ⅰ）求证：GE //侧面11AA B B ； （Ⅱ）求平面1B GE 与底面ABC 所成 锐二面角的正切值． 20．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，数列{b }n 是等比数列，113a b =，且对任意的+∈N n ，都有1112233(21)334n n n n a b a b a b a b +-+++++=…．（Ⅰ）求数列{}n n a b 的通项公式；（Ⅱ）若数列{b }n 的首项为3，公比为3，设11(1)2n a n n n c b λ+-=+-⋅，且对任意的+∈N n ，都有1n n c c +>成立，求实数λ的取值范围．21．(本小题满分13分)已知抛物线Γ：22(0)y px p =>的焦点为F ，若过点F 且斜率为1的直线与抛物线Γ相交于M 、N 两点，且|MN |=4．（Ⅰ）求抛物线Γ的方程；（Ⅱ）若点P 是抛物线Γ上的动点，点B 、C 在y 轴上，圆22(1)1x y -+=内切于PBC ∆，求PBC ∆面积的最小值．22．(本小题满分13分) 已知函数()ln f x x mx m =-+． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()0f x ≤在(0,)x ∈+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，对任意的0a b <<，求证：()()1(1)f b f a b a a a -<-+．怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷2021年高三二模 理科数学参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 89 10答案C BD A C B A D A C二、填空题 11、3 ； 12、6； 13、[]2,5-；14、 8 ； 15、6-； 16、(13,49). 三、解答题17解：（Ⅰ）因为()()sin ,cos cos 333)22o (s x x x f x a x b ωωωω→→=-=⋅⋅- 2sin cos 33s 2o x x x ωωω+-=3(cos 213sin 12)222x x ωω++-= sin(32)x πω+=……………………… 2分由()f x 的周期为π得 1ω=，即()sin 2)3(x f x π=+………… 4分由22(23)22x k k k Z πππππ+≤-≤+∈解得)(12125Z k k x k ∈+≤≤-ππππ， 所以()f x 的单调增区间为)(]12,125[Z k k k ∈+-ππππ…………………6分 （Ⅱ）由已知bc a c b 3222+=+及余弦定理2222cos a b c bc A =+-可知3cos A =8分 因为(0,)A π∈， 所以6A π=………………… 10分所以 3()()si 3n62f A f ππ===………………… 12分 18解：（Ⅰ）至少有一名女同学的概率为310361C C -.65611=-=…………… 4分（Ⅱ）同学甲被选中的概率为,10331029=C C则同学甲被选中且通过测试的概率为0.3×0.7=0.21 ………… 8分（Ⅲ）根据题意，ξ的可能取值为0、1、2、3，31)0(31034===C C P ξ，103)1(3102416===C C C P ξ， 21)2(3101426===C C C P ξ 61)3(31036===C C P ξ所以，ξ的分布列为：8.161321210313010)(=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ……………12分 19解法1：（Ⅰ）延长B 1E 交BC 于点F ，11B EC ∆∽△FEB ，BE =21EC 1，∴BF =21B 1C 1=21BC ，从而点F 为BC ∵G 为△ABC 的重心，∴A 、G 、F 三点共线．且11//,31AB GE FB FE FA FG ∴==， 又GE ⊄侧面AA 1B 1B ，∴GE //侧面AA 1B 1B （Ⅱ）在侧面AA 1B 1B 内，过B 1作B 1H ⊥AB ，垂足为H ，∵侧面AA 1B 1B ⊥底面ABC ，∴B 1H ⊥底面ABC ． 又侧棱AA 1与底面ABC 成60°1=2，∴∠B 1BH =60°，BH =1，B 1H =.3在底面ABC 内，过H 作HT ⊥AF T ，连B 1T ，由三垂线定理有B 1T ⊥AF ， 又平面B 1CE 与底面ABC 的交线为AF ，∴∠B 1TH 为所求二面角的平面角． ∴AH =AB +BH =3，∠HAT =30°，∴HT =AH 2330sin =︒． 在Rt △B 1HT 中，332tan 11==∠HT H B TH B ， 从而平面B 1GE 与底面ABC 成锐二面角的正切值为233…………… 12分解法2：（Ⅰ）∵侧面111成60°的角，∴∠A 1AB =60°，又AA 1=AB =2，取AB 的中点O ，则AO ⊥底面ABC ． 以O 为原点建立空间直角坐标系O —xyz 如图，则()0,1,0A -，()0,1,0B ，()3,0,0C，()10,0,3A ，()10,2,3B ，()13,1,3C ．∵G 为△ABC 的重心，∴3,0,03G ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． 113BE BC =，∴33,1,33E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，∴1310,1,33CE AB ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭．又GE ⊄侧面AA 1B 1B ，∴GE //侧面AA 1B 1B ． ……………5分（Ⅱ）设平面B 1GE 的法向量为(,,)a b c =n ，则由10,0.B E GE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得3230,3330.3a b c b c ⎧--=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可取()3,1,3=-n 又底面ABC 的一个法向量为()0,0,1=m设平面B 1GE 与底面ABC 所成锐二面角的大小为θ，则21cos ||||7θ⋅==⋅m n m n ．由于θ为锐角，所以227sin 1cos 7θθ=-=，进而23tan 3θ=．故平面B 1GE 与底面ABC 成锐二面角的正切值为233…………… 12分20解：（Ⅰ）因为 1112233(21)33a 4n n n n b a b a b a b +-+++++=…，当2n ≥时，11223311(23)33a 4n n n n b a b a b a b ---+++++=…，两式相减，得 3nn n a b n =⋅（2n ≥），又当1n =时，11a 3b =，适合上式，从而3nn n a b n =⋅（n N +∈） …………… 5分（Ⅱ）因为数列{b }n 的首项为3，公比为3，故3nn b =，n a n =，所以1111(1)23(1)2n a n n n n n n c b λλ+--+=+-⋅=+-⋅．因为对任意的n N +∈，都有1n n c c +>成立， 即12113(1)23(1)2n n n n n n λλ++-++-⋅>+-⋅恒成立，化简得 113(1)()32n n λ--<⋅…………… 9分当n 为奇数时，13()32n λ<⋅恒成立，所以113()32λ<⋅，即12λ<， 当n 为偶数时，13()()32n λ>-⋅恒成立，所以213()()32λ>-⋅，即34λ>-，综合可得31(,)42λ∈-…………… 13分21解：（Ⅰ）已知(,0)2p F ，则过点F 且斜率为1的直线方程为2py x =-．联立222p y x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩消去y 得： 22304p x px -+=， 设()1122(,),,M x y N x y ，则 123x x p +=， 所以 |MN |=124x x p p ++==4， 解得p=1．所以抛物线Γ的方程为22y x =………………………… 5分 （Ⅱ）设000(,)(0),(0,),(0,)P x y x B b C c ≠，不妨设b>c ，直线PB 的方程为 00y by b x x --=， 化简得 000()0y b x x y x b --+=，又圆心（1,0）到直线PB 的距离为1， 故()0022001()y b x =-+-，即22222000000()()2()y b x y b x b y b x b -+=-+-+， 不难发现02x >，上式又可化为2000(2)20x b y b x -+-=，同理有2000(2)20x c y c x -+-=， 所以b ，c 可以看做关于t 的一元二次方程2000(2)20x t y t x -+-=的两个实数根，则00002,(2)(2)y x b c bc x x --+==--，所以 ()2222000204(2)()4(2)x y x b c b c bc x +--=+-=- 因为点00(,)P x y 是抛物线Γ上的点，所以2002y x =，则22204()(2)x b c x -=-，又02x >，所以0022x b c x -=-． 所以20000014()248222PBCx S b c x x x x ∆=-==-++≥--， 当且仅当04x =时取等号，此时022y =±，所以PBC ∆面积的最小值为8 ………………………… 13分 22解：（Ⅰ）'11()((0,))mxf x m x x x-=-=∈+∞， 当0m ≤时，'()0f x >恒成立，则函数()f x 在(0,)+∞上单调递增， 此时函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间；当0m >时，由'11()0mxf x m x x-=-=>，得1(0,)x m ∈，由'11()0mx f x m x x -=-=<，得1(,)x m∈+∞，此时()f x 的单调递增区间为1(0,)x m ∈，单调递减区间为1(,)m+∞…………… 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当m ≤0时，f （x ）在(0,)+∞上递增，f （1）=0，显然不成立；当m ＞0时，max 11()()ln 1ln 1f x f m m m m m==-+=-- 只需ln 10m m --≤即可， 令()ln 1g x x x =--， 则'11()1x g x x x-=-=，(0,)x ∈+∞ 得函数()g x 在（0,1）上单调递减，在(1,)+∞上单调递增． ∴min ()(1)0g x g ==()0g x ≥对(0,)x ∈+∞恒成立，也就是ln 10m m --≥对(0,)m ∈+∞恒成立，∴ln 10m m --=，解1m =，∴若()0f x ≤在(0,)x ∈+∞上恒成立，则1m =…………… 8分（Ⅲ）证明：ln()()ln ln ln ln 1111b f b f a b a a b b a a b b a b a b a a a--+--==-=⋅-----，由（Ⅱ）得()0f x ≤在(0,)x ∈+∞上恒成立，即ln 1x x ≤-，当且仅当1x =时去等号，又由0a b <<得1ba>， 所以有 0ln 1b b a a <<-， 即ln11ba b a<-． 则2ln1111111(1)(1)1b a a a b a a a a a a a a--⋅-<-==<++-， 则原不等式()()1(1)f b f a b a a a -<-+成立 …………… 13分。

湖南省雅礼中学2021届高三月考试卷(三)数 学时量120分钟 满分150分.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2,3,4A =，集合{},2B m m =+，若{}2AB =，则m =( )A.0B.1C.2D.42.已知i 是虚数单位，复数12aii+-为纯虚数，则实数a 为( ) A.2B.2-C.12-D.123.古希腊时期，人们把宽与长之比为51510.618⎛⎫--≈ ⎪ ⎪⎝⎭的矩形称为黄金矩形，把这个比值51-称为黄金分割比例.下图为希腊的一古建筑，其中图中的矩形ABCD ，EBCF ，FGHC ，FGJI ，LGJK ，MNJK 均为黄金矩形，若M 与K 间的距离超过1.7m ，C 与F 间的距离小于12m ，则该古建筑中A 与B 间的距离可能是( )(参考数据：20.6180.382≈，30.6180.236≈，40.6180.146≈，50.6180.090≈，60.6180.056≈，70.6180.034≈)A.28mB.29.2mC.30.8mD.32.5m 4.已知平面向量a ，b 满足(1,1)=-a ，1=b ，22+=a b ，则a 与b 的夹角为( )A.6πB.56πC.4π D.34π 5.两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )A.30种B.20种C.15种D.10种6.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a >，149S S =，则满足0n S >的最大自然数n 的值为( )A.23B.22C.13D.127.已知A 是双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的右顶点，过左焦点F 与y 轴平行的直线交双曲线于P ，Q 两点，若APQ △是锐角三角形，则双曲线C 的离心率的取值范围是( )A.(B.(C.()1,2D.()2,+∞8.已知实数a ，b 满足0ab >，则2a aa b a b-++的最大值为( )A.3+B.2+C.2-D.3-二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.已知函数()11sin 2232f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则以下说法中正确的是( ) A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C.51,62π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心D.当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 10.已知由样本数据点集合(){},1,2,,ii x y i n =，求得的回归直线方程为ˆ 1.50.5yx =+，且3x =，现发现两个数据点()1.2,2.2和()4.8,7.8误差较大，去除后重新求得的回归直线l 的斜率为1.2，则( )A.变量x 与y 具有正相关关系B.去除后的回归方程为ˆ 1.2 1.4yx =+ C.去除后y 的估计值增加速度变快D.去除后相应于样本点()2,3.75的残差为0.0511.已知三棱锥P ABC -中，O 为AB 中点，PO ⊥平面ABC ，90APB ∠=︒，2PA PB ==，则下列说法中正确的是( )A.若O 为ABC △的外心，则2PC =B.若ABC △为等边三角形，则AP BC ⊥C.当90ACB ∠=︒时，PC 与平面PAB 所成角的范围为0,4π⎛⎤⎥⎝⎦D.当4PC =时，M 为平面PBC 内动点，若OM //平面PAC ，则M 在三角形PBC 内的轨迹长度为2 12.关于函数()2ln f x x x=+，下列说法正确的是( ) A.2x =是()f x 的极大值点B.函数()y f x x =-有且只有1个零点C.存在正整数k ，使得()f x kx >恒成立D.对任意两个正实数1x ，2x ，且12x x ≠，若()()12f x f x =，则124x x +> 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若函数()xf x a =(0a >，且1a ≠)的图象经过点12,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()1f -=________.14.()sin501︒+︒=________.15.O 为坐标原点，F 为抛物线2:4C y x =的焦点，P 为C 上一点，若4PF =，则POF △的面积为________.16.已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC △是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为________.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=. (1)求sin sin CA的值； (2)若1cos 4B =，2b =，求ABC △的面积.18.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，ABD △是边长为2的正三角形，PC ⊥底面ABCD ，AB BP ⊥，233BC =. (1)求证：PA BD ⊥；(2)若PC BC =，求二面角A BP D --的正弦值.19.(本小题满分12分)已知{}n a 为等差数列，1a ，2a ，3a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且1a ，2a ，3a 中的任何两个数都不在下表的同一列.请从①12a =，②11a =，③13a =的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数列{}n a 存在；并在此存在的数列{}n a 中，试解答下列两个问题.(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设数列{}n b 满足()121n n nb a +=-，求数列{}n b 的前n 项和n T . 20.(本小题满分12分)为了治疗某种疾病，某科研机构研制了甲、乙两种新药，为此进行白鼠试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.4轮试验后，就停止试验.甲、乙两种药的治愈率分别是25和34,55ββ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.(1)若35β=，求2轮试验后乙药治愈的白鼠比甲药治愈的白鼠多1只的概率； (2)已知A 公司打算投资甲、乙这两种新药的试验耗材费用，甲药和乙药一次试验耗材花费分别为3千元和()101β-千元，每轮试验若甲、乙两种药都治愈或都没有治愈，则该科研机构和A 公司各承担该轮试验耗材总费用的50%.若甲药治愈，乙药未治愈，则A 公司承担该轮试验耗材总费用的75%，其余由科研机构承担.若甲药未治愈，乙药治愈，则A 公司承担该轮试验耗材总费用的25%，其余由科研机构承担.以A 公司每轮支付试验耗材费用的期望为标准，求A 公司4轮试验结束后支付试验耗材最少费用为多少元？21.(本小题满分12分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为3，其右顶点为A ，下顶点为B ，定点()0,2C ，ABC △的面积为3，过点C 作与y 轴不重合的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，直线BP ，BQ 分别与x 轴交于M ，N 两点.(1)求椭圆C 的方程；(2)试探究M ，N 的横坐标的乘积是否为定值，说明理由.22.(本小题满分12分)已知函数()()2ln af x ax x a x=--∈R . (1)若()f x 是定义域上的增函数，求a 的取值范围；(2)设35a >，m ，n 分别为()f x 的极大值和极小值，若S m n =-，求S 的取值范围.数学参考答案一、选择题二、填空题14.1三、解答题17.【解析】(1)由正弦定理得2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =所以cos 2cos 22sin sin cos sin A C c a C AB b B---==即sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos B A B C C B A B -=- 即有()()sin 2sin A B B C +=+，即sin 2sin C A =，所以sin 2sin CA= (2)由(1)知sin 2sin c C a A==，即2c a = 又因为2b =，1cos 4B =，所以由余弦定理得： 2222cos b c a ac B =+-，即222124224a a a a =+-⨯⨯，解得1a =所以2c =，又因为1cos 4B =，所以sin 4B =故ABC △的面积为11sin 1222ac B =⨯⨯⨯=18.【解析】(1)证明：连接AC 交BD 于O∵PC ⊥底面ABCD ，∴PC AB ⊥ ∵AB BP ⊥，BPCP P =，∴AB ⊥平面PBC ，则AB BC ⊥∵233BC =，∴3tan 3BAC ∠=，即30BAC ∠=︒ ∵60ABD ∠=︒，∴90AOB ∠=︒即AC BD ⊥，∵PC BD ⊥，∴BD ⊥平面ACP ，∴PA BD ⊥(2)由(1)知O 是BD 的中点，过O 作OF //PC 交AP 于F ，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系则()0,1,0B ，()0,1,0D -，3,0,03C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，323,0,33P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭则()0,2,0DB =，323,1,33PB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面PBD 的一个法向量(),,x y z =n则00DB PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即20323033y x y z =⎧⎪⎨+-=⎪⎩，令1z =，则2x =，∴()2,0,1=n 取PB 的中点313,,623E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，连接CE∵PC BC =，∴CE PB ⊥，则CE ⊥平面ABP∴向量313,,623CE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭是平面ABP 一个法向量∴23103cos ,5253CE CE CE⋅〈〉===⨯n n n∴二面角A BP D --的正弦值为519.【解析】(1)若选择条件①，当第一行第一列为1a 时，由题意知，可能的组合有：12a =，26a =，37a =不是等差数列，12a =，29a =，38a =不是等差数列当第一行第二列为1a 时，由题意知，可能的组合有，12a =，24a =，37a =不是等差数列12a =，29a =，312a =不是等差数列；当第一行第三列为1a 时，由题意知，可能的组合有： 12a =，24a =，38a =不是等差数列，12a =，26a =，312a =不是等差数列则放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列{}n a 都不存在若选择条件②，则放在第一行第二列，结合条件可知11a =，24a =，37a = 则公差213d a a =-=，所以()1132n a a n d n =+-=-，*n ∈N 若选择条件③，当第一行第一列为1a 时，由题意知，可能的组合有：13a =，26a =，37a =不是等差数列，13a =，29a =，38a =不是等差数列；当第一行第二列为1a 时，由题意知，可能的组合有，13a =，24a =，37a =不是等差数列，13a =，29a =，312a =不是等差数列；当第一行第三列为1a 时，由题意知，可能的组合有： 13a =，24a =，38a =不是等差数列，13a =，26a =，312a =不是等差数列则放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列{}n a 都不存在综上可知：32n a n =-，*n ∈N .(2)由(1)知，()()12132n n b n +=--，所以当n 为偶数时22222212312341n n n n T b b b b a a a a a a -=++++=-+-++-()()()()()()1212343411n n n n a a a a a a a a a a a a --=+-++-+++-()()21231329333222n n n a a a a n n +-=-++++=-⨯=-+当n 为奇数时，()()()22219393113222222n n n T T b n n n n n -=+=--+-+-=-- ∴2*2*93,2,22932,21,22n n n n k k T n n n k k ⎧-+=∈⎪⎪=⎨⎪--=-∈⎪⎩N N .20.【解析】(1)记事件A 为“2轮试验后，乙药治愈的白鼠比甲药治愈的白鼠多1只”，事件B 为“2轮试验后，乙药治愈1只白鼠，甲药治愈0只白鼠”，事件C 为“2轮试验后，乙药治愈2只白鼠，甲药治愈1只白鼠”，则()1232331085555625P B C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()212233231085555625P C C C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴()()()108108216625625625P A P B P C =+=+=(2)一次实验耗材总费用为()102β+千元.设随机变量X 为每轮试验A 公司需要支付的试验耗材费用的取值， 则()11024X β=+，()11022β+，()31024β+ ()1310245P X ββ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭()()122311*********P X ββββ⎛⎫⎛⎫=+=+-⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()32102145P X ββ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭随机变量X 的分布列如下：()()()()()313112310210211025455254E X ββββββ⎛⎫=⋅++-⋅++-⋅+ ⎪⎝⎭25116225ββ=-++.令()25116225 f βββ=-++，34,55β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 易知()fβ在区间34,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 ∴()min 31855f f β⎛⎫==⎪⎝⎭(千元). 则A 公司4轮试验结束后支付实验耗材最少费用为1872414.455⨯==(千元). 即14400元.21.【解析】(1)由已知A ，B 的坐标分别是(),0A a ，()0,B b -，由于ABC △的面积为3∴1(2)32b a +=，又由e =2a b =，解得：1b =，或3b =-(舍去) ∴2a =，1b =∴椭圆C 的方程为2214x y +=. (2)设直线PQ 的方程为2y kx =+，P ，Q 的坐标分别为()11,P x y ，()22,Q x y则直线BP 的方程为1111y y x x +=-，令0y =，得点M 的横坐标111M xx y =+ 直线BQ 的方程为2211y y x x +=-，令0y =，得点N 的横坐标221N x x y =+ ∴()()()()()121212212121212113339M N x x x x x x x x y y kx kx k x x k x x ⋅===+++++++把直线2y kx =+代入椭圆2214x y +=，得()221416120k x kx +++=， ()22(16)41412k k ∆=-⋅+⋅0>，234k >由韦达定理得1221214x x k =+，1221614kx x k +=-+ ∴22222222121241412481248936391414M N k x x k k k k k k k +===-++-+++，是定值. 22.【解析】(1)()f x 的定义域为()0,+∞，()22222a ax x af x a x x x -+'=+-=∵()f x 在定义域内单调递增∴()0f x '≥，即220ax x a -+≥对0x >恒成立，则221xa x ≥+恒成立 ∴2max21x a x ⎛⎫≥⎪+⎝⎭∵2211xx ≤+，∴1a ≥. 所以a 的取值范围是[)1,+∞. (2)由2440a ∆=->且35a >，得315a << 设方程()0f x '=，即220ax x a -+=得两根为1x ，2x ，且120x x <<. 则()1m f x =，()2n f x = ∵121x x =，122x x a+=∴11121023x x a <+=< ∴1113x <<， 将S 表示为关于1x 的函数，112211212ln 2ln a a aS m n ax x ax x ax x x x ⎛⎫=-=-----=- ⎪⎝⎭11111112ln 2ln 22ln a ax ax x ax x x x ⎛⎫⎛⎫---+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵21120ax x a -+=∴12121x a x =+，代入得222111122111114ln 4ln 112x x S x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭令21x t =，则119t <<，得()11ln 12t g t t t -=-+，119t <<，则()4S g t =，()()()221021t g t t t --'=<+， ∴()g t 在1,19⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，从而()()119g g t g ⎛⎫<< ⎪⎝⎭即()40ln35g t <<-∴16 04ln35S<<-.。

雅礼中学2021届高考模拟卷（一）数 学注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}2430A x x x =-+<，{}230B x x =->，则A B =（ ）A. 33,2⎛⎫--⎪⎝⎭B. 33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭2. 若12z i =+，则41iz z =⋅-（ ）A. 1B. -1C. iD. i -3. 设0.46a =，0.4log 0.5b =，8log 0.4c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a b c << B. c b a <<C. c a b <<D. b c a <<4. 函数2sin ()1xf x x =+的图象大致为（ ） A. B.C. D.5. 某人在同一群体中调查了人们对6杯饮品口感的看法，得到数据如表：根据这些数据，可知这一群体意见分歧较大的两杯饮品是（ ） A. 第1杯与第3杯 B. 第2杯与第4杯 C. 第1杯与第5杯D. 第3杯与第5杯6. 过双曲线2214y x -=的左焦点1F 作一条直线l 交双曲线左支于P ，Q 两点，若4PQ =，2F 是双曲线的右焦点，则2PF Q △的周长是（ ） A. 6B. 8C. 10D. 127. 《掷铁饼者》取材于古希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂及肩近似看成一张“弓”，掷铁饼者的肩宽约为8π米，一只手臂长约为4π米，“弓”所在圆的半径约为1516米，则掷铁饼者双手之间的直线距离约为（ ）A.1516米 B.C.16米 D.32米 8. 已知函数()2sin (0)6f x x t πωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，点P ，Q ，R 是直线()0y m m =>与函数()f x 的图象自左至右的某三个相邻交点，且223PQ QR π==.若对0,2a b c π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦、、，以()f a 、()f b 、()f c 的值为边长可以构成一个三角形，那么实数t 的取值范围是（ ） A. ()1,+∞B. ()2,+∞C. ()3,+∞D. ()4,+∞二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 若0b a <<，则下列结论正确的是（ ） A. 22a b < B. 2ab b < C.11a b<D. a b a b +>+10. 新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出版产品供给，实现了行业的良性发展.下面是2017年至2021年我国新闻出版业和数字出版业营收情况，则下列说法正确的是（ ）A. 2017年至2021年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加B. 2021年我国数字出版业营收超过2017年我国数字出版业营收的2倍C. 2021年我国新闻出版业营收超过2017年我国新闻出版业营收的1.5倍D. 2021年我国数字出版业营收占新闻出版业营收的比例未超过三分之一11. 如图，AB 是圆O （O 为圆心）的一条弦，由下列一个条件能确定AB AO ⋅值的有（ ）A. 已知圆的半径长B. 已知弦长ABC. 已知OAB ∠大小D. 已知圆的半径长和OAB ∠大小12. 已知函数()y f x =，x A ∈，且A π∈，函数()y f x =，x A ∈的图象绕坐标原点顺时针旋转4n π所得新的函数图象与原函数图象重合，其中n 可以取任意正整数，则()fπ的值不可能为（ ）A. 0B.3C.πD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，415S =，则公比q 等于__________. 14. 若抛物线22y px =上一点()02,P y 到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为__________.15. 某学校从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人乒乓球队，要求球队中至少有1名女生，则共有__________种不同的选法. 16. 如图，在平面四边形PQRS 中，2QPS π∠=，2QSR π∠=，2PQ PS SR ===.将该平面图形沿线QS折成一个直二面角P QS R --，三棱锥P QRS -的体积为__________；三棱锥P QRS -的外接球的体积为__________.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -的上底面内有一点E ，点F 为线段1AA 的中点.（1）经过点E 在上底面画出一条线l 与CE 垂直，并说明画出这条线的理由； （2）若点E 为线段11A C 靠近1C 的三等分点，求CE 与平面11FB D 所成角的正切值. 18. 设ABC △的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知1a =，2b =，1cos 4C =. （1）求ABC △的周长. （2）求()cos A C -的值.19. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21nn S =-，数列{}n b 满足12b =，128n n n b b a +-=.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n T .20. 某工厂的一条流水线上生产一种产品，已知该产品的合格率为0.98.为了监控该流水线的生产情况，检验员每隔6个小时就需要从流水线上随机抽取5件产品进行检验（检验后的产品按废品处理，每天检验4次），如发现其中有不合格品，则马上去调整生产设备.各产品是否为不合格品是相互独立的. （1）求每次检验后，需要调整设备的概率（结果保留两位小数）.（2）用X 表示检验员一天内需要调整设备的次数，求X 的分布列及数学期望.（3）用Y 表示检验员一周（7天）内共发现的不合格品数，用这一周内不合格品数的比例估计该产品的不合格品率，求其绝对误差（即估计值与真实值之差的绝对值）不超过0.005的概率（结果保留两位小数）.参考数据：30.980.94≈，40.980.92≈，50.980.90≈，51351400.9827102759C ≈，41361400.98981095C ≈，31371400.9828198C ≈，21381400.98603C ≈. 21. 已知函数2()ln f x ax x bx ax =--.（1）曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为102x y ++=，求a ，b 的值； （2）若0a ≤，12b =时，()12,1,x x e ∀∈，都有()()12123f x f x x x -<-，求a 的取值范围.22. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，连接椭圆上任意两点的线段叫作椭圆的弦，过椭圆中心的弦叫做椭圆的直径.若椭圆的两直径的斜率之积为22b a -，则称这两直径为椭圆的共轭直径.特别地，若一条直径所在的斜率为0，另一条直径的斜率不存在时，也称这两直径为共轭直径.现已知椭圆E ：22143x y +=. （1）已知点31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为椭圆E 上两定点，求AB 的共轭直径的端点坐标.（2）过点()作直线l 与椭圆E 交于1A 、1B 两点，直线1A O 与椭圆E 的另一个交点为2A ，直线1B O 与椭圆E 的另一个交点为2B .当11AOB △的面积最大时，直径12A A 与直径12B B 是否共轭，请说明理由. （3）设CD 和MN 为椭圆E 的一对共轭直径，且线段CM 的中点为T .已知点P 满足：OP OT λ=，若点P 在椭圆E 的外部，求λ的取值范围.雅礼中学2021届高考模拟卷（一）数学参考答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1-5：DCBAB6-8：DCD5.【解析】第1杯饮品好评率与差评率的差值为0.870.130.74-=， 第2杯饮品好评率与差评率的差值为0.520.480.04-=， 第3杯饮品好评率与差评率的差值为0.780.220.56-=， 第4杯饮品好评率与差评率的差值为0.550.450.1-=， 第5杯饮品好评率与差评率的差值为0.980.020.96-=， 第6杯饮品好评率与差评率的差值为0.700.300.4-=， 其中较小的差值为第2杯与第4杯.故选B. 数学试题（推礼版）-116.【解析】由题意，得212PF PF -=，212QF QF -=.∵224PF QF PQ +-=，∴2244PF QF +-=，∴228PF QF +=. ∴2PF Q △的周长是228412PF QF PQ ++=+=.7.【解析】如图所示，弓所在弧AB 长为54488l ππππ=++=米，则其对应的圆心角52815316AOB αππ∠===，则两手之间的距离为152sin2316AB r π==⨯=.故选C.8.【解析】函数()2sin (0)6f x x t πωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，由223PQ QR π==，解得3PQ π=，∴T PQ QR π=+=，∴22T πω==.∴()2sin 26f x x t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， ∴[]2sin 21,26x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴[]()1,2f x t t ∈-++， 由题意可得()()()f a f b f c +>对任意的,,0,2a b c π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， ∴()()()()()max minf a f b f c +>，∵()()1122f a f b t t t +≥-+-+=-+，()2f c t ≤+，∴222t t -+>+，解得4t >.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. ABC 10. ABD 11. BD 12. AC 12.【解析】若()0fπ=，则通过连续顺时针旋转4π，依次可得22f ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，(0)f π=-，22f ⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭，()0f π-=，22f ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，此时2x =-对应2y =±，不符合函数概念，所以A 选项不可能对，同理C 选项也不可能对，而BD 有可能成立.所以选择AC.第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 2 14. 28y x = 15. 660 16.43； 13.【解析】因为23S =，415S =，4212S S -=，所以1234312a a a a +=⎧⎨+=⎩，两个方程左右两边分别相除，得24q =，因为数列是正项等比数列，所以2q =.15.【解析】方法一：只有1名女生时，先选1名女生，有12C 种方法；再选3名男生，有36C 种方法；然后排队长、副队长位置，有24A 种方法.由分步乘法计数原理知，共有132264480C C A =（种）选法.有2名女生时，再选2名男生，有26C 种方法；然后排队长、副队长位置，有24A 种方法.由分步乘法计数原理知，共有2264180C A =（种）选法.所以依据分类加法计数原理知，共有480180660+=（种）不同的选法.方法二：不考虑限制条件，共有2286A C 种不同的选法，而没有女生的选法有2264A C 种，故至少有1名女生的选法有22228664840180660A C A C -=-=（种）.16.【解析】因为平面PQS ⊥平面QRS ，QS SR ⊥，则SR ⊥平面PQS ，从而SR PQ ⊥.因为PQ PS ⊥，则PQ ⊥平面PRS ，从而PQ PR ⊥，所以QR 是外接球的直径.在Rt QSR △中，QR ==则球半径R =所以外接球的体积343V R π==，四面体PQRS 的体积为43.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【解析】（1）如图所示，连接1C E ，在上底面过点E 作直线1l C E ⊥即可， 因为1CC ⊥平面1111A B C D ，所以1CC l ⊥.根据作法知1l C E ⊥， 又因为111C EC C C =，所以l ⊥平面1CC E ，所以l CE ⊥.（2）以D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线为x 、y 、z 轴，如图建立空间直角坐标系， 设2DA =，平面11FB D 的法向量为(),,m x y z =，()112,2,0D B =，()12,0,1D F =-，则11122020D B m x y D F m x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩. 令1x =，则1y =-，2z =，所以平面11FB D 的一个法向量为()1,1,2m =-.22,,233CE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设CE 与平面11FB D 所成角的大小为θ，则224si 1c s n o ,m CE mCE m CEθ++==⋅==.所以CE 与平面11FB D 所成角的正切值为18.【解析】（1）∵22212cos 14444c a b ab C =+-=+-⨯=，∴2c =. ∴ABC △的周长为1225a b c ++=++=.（2）∵1cos 4C =，∴sin 4C ===.∴sin 4sin 28a C A c ===. ∵a c <，∴A C <，故A 为锐角，∴7cos 8A ===.∴7111cos()cos cos sin sin 848416A C A C A C -=+=⨯+⨯=. 19.【解析】（1）当1n =时，111211a S ==-=；当2n ≥时，()()11112121222n n n n n n n n a S S ----=-=---=-=.11a =也适合12n n a -=，因此，数列{}n a 的通项公式为12n n a -=. （2）∵21282n n n n b b a ++-==，等式两边同时除以12n +得，11222n n n n b b ++-=，且112b =.∴数列2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以2为公差的等差数列， ∴12(1)212nn b n n =+-=-，∴(21)2nn b n =-⋅.∴123123252(21)2n n T n =⨯+⨯+⨯++-⋅，得23121232(23)2(21)2n n n T n n +=⨯+⨯++-⋅+-⋅，两式相减得12312222222(21)2n n n T n +-=+⨯+⨯++⨯--⋅()31112122(21)2(32)2612n n n n n -++-=+--⋅=-⋅--，因此1(23)26n n T n +=-⋅+.20.【解析】（1）每次检验后，需要调整设备的概率为510.980.10p =-≈. （2）由题设知()~ 4.0.1X B ，X 的可能取值为0，1，2，3，4，则44()0.10.9(0,1,2,3,4)k k k P X k C k -==⋅⋅=，则X 的分布列为数学期望为()40.10.4E X =⨯=. （3）由题设知，即求0.020.005(2.1 3.5)140Y P P Y ⎛⎫-≤=≤≤ ⎪⎝⎭33137140(3)0.020.980.23P Y C ===≈. 21.【解析】（1）由题意，'()(1ln )2ln 2f x a x bx a a x bx =+--=-， 由()'121f b =-=-，得12b =，又()312f b a =--=-，∴1a =. 即1a =，12b =. （2）当0a ≤，12b =，()1,x e ∈时，'()ln 0f x a x x =-<， ()f x 在()1,e 上单调递减，不妨设12x x <，则()()12f x f x >，原不等式即为()()12213f x f x x x -<-.即()()122133f x f x x x -<-，即()()112233f x x f x x +<+.令()()3g x f x x =+，则()g x 在()1,e 上为单调增函数，∴有'()'()3ln 30g x f x a x x =+=-+≥在()1,e 上恒成立. 即3ln x a x -≥，()1,x e ∈，令3()ln x h x x -=，()1,x e ∈，23ln 1'()(ln )x x h x x +-=， 令3()ln 1t x x x =+-，22133'()0x t x x x x-=-=<. ∴()t x 在()1,e 上单调递减，()3()t x t e e >=， 则'()0h x >，()h x 在()1,e 上为单调增函数，∴()()3h x h e e <=-，即3a e ≥-.综上，30e a -≤≤.22.【解析】（1）由题设知32AB k =，设所求直线方程为：y kx =，则34AB k k ⋅=-，则12k =-. 故共轭直径所在直线方程为：12y x =-. 联立椭圆与12y x =-，可得：23x =，x =故端点坐标为2⎫-⎪⎪⎭和2⎛ ⎝⎭. （2）由题设知，l 不与x 轴重合，故设l：x my =-联立方程：()22223430143x my m y x y ⎧=⎪⇒+--=⎨+=⎪⎩，则12y y +=，122334y y m -=+，2122121234m x x m -=+，12S y y =-==63=≤=. 当且仅当2313m +=，即223m =时取等号， 此时121221222123312124A A B B y y b k k x x m a-⋅===-=--，故直径12A A 与直径12B B 共轭.（3）法1：设点()11,C x y ，()22,M x y ，则1212,22x x y y T ++⎛⎫ ⎪⎝⎭. 代入OP OT λ=，可得：1212,22x x y y P λλ++⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭. 若P 在椭圆E 的外部，则有：22121222143x x y y λλ++⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+>， 即()()22212123448x x y y λ⎡⎤+++>⎣⎦()()222221122121234346848x y x y x x y y λ⎡⎤⇒+++++>⎣⎦. 又因为C 、M 均在椭圆E 上，则22221122343412x y x y +=+=，又CD 和MN 为椭圆E 的一对共轭直径，故121234CD MN y y k k x x ⋅==-，即1212430y y x x +=. 从而22448λ>，即22λ>，即λ>λ<法2：设点()11,C x y ，()22,M x y ， 当CD 不与坐标轴重合时，设CD l ：y kx =，则MN l ：34y x k=-. 联立2222211221212,3434143y kx k x y x y k k =⎧⎪⇒==⎨+++=⎪⎩. 同理可得：22221634k x k =+，222934y k =+. 由椭圆的对称性，不妨设C 在第一象限，则M 必在第二象限或第四象限，则1x =1y = 若M在第二象限，则2x =2y =，从而T ⎪⎝⎭，则P ⎫⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭. 又P在椭圆外，则223412⎫⎪⎪+>⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简可得：22λ>，即λ>λ<若M 在第四象限，同理可得22λ>，即λ>λ<当CD 与x 轴垂直或重合时，由椭圆的对称性，不妨取()2,0C，(M，则,2P λ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 又P 在椭圆外，则2223341224λλλ+⋅>⇒>，即λ>λ<综上：λ>λ<。

一、单选题二、多选题1. “埃拉托塞尼筛法”是保证能够挑选全部素数的一种古老的方法.这种方法是依次写出2和2以上的自然数，留下第一个数2不动，剔除掉所有2的倍数；接着，在剩余的数中2后面的一个数3不动，剔除掉所有3的倍数；接下来，再在剩余的数中对3后面的一个数5作同样处理；……，依次进行同样的剔除.剔除到最后，剩下的便全是素数.在利用“埃拉托塞尼筛法”挑选2到20的全部素数过程中剔除的所有数的和为（ ）A ．130B ．132C ．134D ．1412. 设，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 某圆锥的三视图如图.圆锥表面上的点在正视图上的对应点为，圆锥表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆锥侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（）A．B．C．D．4. 已知为异面直线，为两个不同的平面，，直线满足，则A ．且B ．且C ．且D ．且5. 设函数的图象为，下列结论中正确的是（ ）．A．函数的最小正周期是B．图象关于点对称C．图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到D ．函数在区间上是增函数6. 若复数（为虚数单位），则（ ）A ．1B ．2C ．0D．7. 已知向量，，则（ ）A．B．C．D．8. 设复平面上表示和的点分别为点A 和点B ，则表示向量的复数在复平面上所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9. 已知双曲线的上、下焦点分别为、，过点且与一条渐近线垂直的直线与的上支交于点，且，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．10. 已知sinα、cosα是方程5x 2﹣x ﹣2＝0的两个实根，且α∈（0，π），则cos （α+）＝（ ）A．B．﹣C．D．﹣湖南省长沙市雅礼中学2023届高三二模数学试题三、填空题四、填空题五、解答题11. 已知函数和，若，则（ ）A．B．C．D．12.若函数的部分图像如图所示，则下列叙述正确的是（）A．是函数图象的一个对称中心B．函数的图象关于直线对称C ．函数在区间上单调递增D．函数的图像可由的图象向左平移个单位得到13. 对于函数，如果存在实数，使得，那么称函数有不动点，也称是函数的一个不动点.下列命题中的真命题有（ ）A ．有1个不动点B ．有2个不动点C ．有3个不动点D ．没有不动点14. 已知抛物线E ：的焦点为F ，准线l 交x 轴于点C ，直线m 过C 且交E 于不同的A ，B 两点，B 在线段上，点P 为A 在l 上的射影．下列命题正确的是（ ）A ．若，则B ．若P ，B ，F三点共线，则C ．若，则D ．对于任意直线m，都有15.已知函数若函数恰有个不同的零点，则实数的取值范围是__________．16. 已知函数存在反函数，则实数________17.已知向量=(4，-2)，=(-2，λ)，且与共线，则=___________.18. 已知，若，则_________，_________．19. 顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形看起来标准又美观.如图所示，是黄金三角形，，作的平分线交于点，易知也是黄金三角形.若，则______；借助黄金三角形可计算______.六、解答题七、解答题20.在中，，，．(1)求A 的大小；(2)求外接圆的半径与内切圆的半径．21. 对于数列，，的前n 项和，在学习完“错位相减法”后，善于观察的小周同学发现对于此类“等差×等比数列”，也可以使用“裂项相消法”求解，以下是她的思考过程：①为什么可以裂项相消？是因为此数列的第n ，n ＋1项有一定关系，即第n 项的后一部分与第n ＋1项的前一部分和为零②不妨将，也转化成第n ，n ＋1项有一定关系的数列，因为系数不确定，所以运用待定系数法可得，通过化简左侧并与右侧系数对应相等即可确定系数③将数列，表示成形式，然后运用“裂项相消法”即可！聪明的小周将这一方法告诉了老师，老师赞扬了她的创新意识，但也同时强调一定要将基础的“错位相减法”掌握．(1)（巩固基础）请你帮助小周同学，用“错位相减法”求的前n 项和；(2)（创新意识）请你参考小周同学的思考过程，运用“裂项相消法”求的前n项和．22. 为了减少雾霾，还城市一片蓝天，某市政府于12月4日到12月31日在主城区实行车辆限号出行政策，鼓励民众不开车低碳出行，某甲乙两个单位各有200名员工，为了了解员工低碳出行的情况，统计了12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人数，画出茎叶图如下：（1）若甲单位数据的平均数是122，求；（2）现从如图的数据中任取4天的数据（甲、乙两单位中各取2天），记其中甲、乙两单位员工低碳出行人数不低于130人的天数为，，令，求的分布列和期望.23.已知抛物线（p为常数，）．(1)若直线与H 只有一个公共点，求k ；(2)贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲线．法国数学象卡斯特利奥对贝塞尔曲线进行了图形化应用的测试，提出了De Casteljau 算法：已知三个定点，根据对应的比例，使用递推画法，可以画出地物线．反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应成比例的结论．如图，A ，B ，C 是H 上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点D ，E ，F ，证明：．24. 已知双曲线的离心率为，左､右焦点分别为，点坐标为，且.(1)求双曲线的方程；八、解答题九、解答题(2)过点的动直线与的左､右两支分别交于两点，若点在线段上，满足，证明：在定直线上.25. 某投资公司2012年至2021年每年的投资金额（单位：万元）与年利润增量（单位：万元）的散点图如图：该投资公司为了预测2022年投资金额为20万元时的年利润增量，建立了关于的两个回归模型；模型①：由最小二乘公式可求得与的线性回归方程：；模型②：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在由线：的附近，对投资金额做换元，令，则，且有，(1)根据所给的统计量，求模型②中关于的回归方程；(2)分别利用这两个回归模型，预测投资金额为20万元时的年利润增量（结果保留两位小数）；附：样本的最小乘估计公式为；参考数据：.26. 已知函数.(1)若是函数的极值点，求曲线在点处的切线方程；(2)若函数在上为单调增函数，求的取值范围.。