湖南省长沙市雅礼中学2020届高三月考试卷(五)数学理科试题含答案

2020届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期第3次月考数学（理）试题一、单选题1．若复数z 满足()11i z i +=-（其中i 是虚数单位），则1z +=（ ） A ．2 B ．3C ．2D ．5【答案】A【解析】对复数进行化简变形11iz i i-==-+，11z i +=-即可得解. 由题：()11i z i +=-，()()()()11121112i i i i z i i i i ----====-++-，112z i +=-=.故选：A此题考查复数的基本运算，涉及乘法运算和除法运算，求复数的模长. 2．下列命题中，真命题是（ ） A ．00,0x x R e∃∈≤B ．0a b +=的充要条件是0a b ==C ．若,0x R x ∀∈>D ．若,x y R ∈，且2x y +>，则,x y 至少有一个大于1 【答案】D【解析】试题分析：00,x e >∴Q A 假；0,,a b a b +=∴=-∴Q C 假；无意义，C 假，故选D. 【考点】命题的真假．3．已知2log 0.8a =，0.82b =，20.8c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c a b <<【答案】C【解析】根据指数函数和对数函数单调性，结合中间值1,0进行比较. 由题：22log 0.8log 10a =<=，0.80221b =>=，2000.80.81c <=<=，所以a c b <<. 故选：C此题考查指数对数的大小比较，关键在于熟练掌握指数函数和对数函数的性质，根据单调性结合特殊值进行比较.4．中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.2019年9月25日，中国科研人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的着陆位置，并再现了嫦娥四号的落月过程，该成果由国际科学期刊《自然·通讯》在线发表.如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①1122a c a c +=+；②1122a c a c -=-；③1212c c a a <；④1212c c a a >.其中正确的式子的序号是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【答案】D【解析】根据图形关系分析1212,a a c c >>，1122a c PF a c -==-，辨析为1221a c a c +=+平方处理，结合2212b b >即可得到离心率的关系.由图可知：1212,a a c c >>所以1122a c a c +>+，所以①不正确；在椭圆轨道Ⅰ中可得：11a c PF -=，椭圆轨道Ⅱ中可得：22PF a c =-， 所以1122a c a c -=-，所以②正确；1221a c a c +=+，同时平方得：22221212212122a c a c a c a c ++=++，所以22221112222122a c a c a c a c -+=-+，即2211222122b a c b a c +=+，由图可得：2212b b >，所以122122a c a c <，2121c c a a <，所以③错误，④正确. 故选：D此题考查椭圆的几何性质，根据几何性质辨析两个椭圆a ，b ，c 的基本关系，涉及等价变形处理离心率关系.5．函数()21sin 1xx e f x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的图象大致形状为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据函数解析式得函数为偶函数，计算()221s 202in 1e ef -=⋅<+即可得出选项. ()211sin sin 11x x xe xf x x e e -⎛⎫=-=⋅ ⎪++⎝⎭， ()()()()11sin sin sin 1111x x xx x xe e e x x xf x f x e e e ----=⋅-=⋅---=++⋅=+，所以()f x 为偶函数，排除CD ；()221s 202in 1e e f -=⋅<+，排除B ，故选：A此题考查根据函数解析式选择函数图象，涉及奇偶性与特殊值的辨析，此类图象问题常用排除法求解.6．一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形，侧视图是等腰三角形，则该几何体的表面积为（ ）A ．168B ．98C ．108D ．88【答案】D【解析】由三视图可知该几何体是直三棱柱，且三棱柱的高为4，底面是等腰三角形，三角形的底边边长为6，高为4，求出底面三角形的周长，利用侧面积公式与三角形的面积公式计算可得答案．由三视图知该几何体是直三棱柱，且三棱柱的高为4， 底面是等腰三角形，三角形的底边边长为6，高为4， ∴腰长为5，∴底面三角形的周长为5+5+6＝16， ∴几何体的表面积S ＝2×12×6×4+（5+5+6）×4＝24+64＝88． 故选：D ．本题考查了由三视图求几何体的表面积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量.7．在边长为2的正ABC ∆中，设2BC BD =u u u r u u u r ，3CA CE =u u u r u u u r ，则AD BE ⋅=u u u r u u u r（ ） A ．-2 B ．-1C ．23-D ．83-【答案】B【解析】根据平面向量线性关系表示出()12AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，23BE AC AB =-u u u r u u u r u u u r，结合数量积的运算量即可求解.边长为2的正ABC ∆中，22cos602AB AC ︒⋅=⨯⨯=u u u r u u u r设2BC BD =u u u r u u u r ，3CA CE =u u u r u u u r ，()12AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r23BE AE AB AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以AD BE ⋅=u u u r u u u r ()1223AB AC AC AB ⎛⎫+- ⎪⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u r 22121233AB AC AB AC ⎛⎫=-+-⋅ ⎪⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u r 1824233⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭1=-故选：B此题考查平面向量的基本运算，涉及线性运算和数量积运算，关键在于根据运算法则准确计算求解，此类问题常用一组基底表示其余向量求解.8．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若120C =︒，sin C A =，则（ ）A ．a b =B ．a b <C ．a b >D ．a 与b 的大小关系不能确定【答案】C【解析】根据120C =︒，sin C A =求出sin A A ==<=30A ︒>，则30B ︒<，结合正弦定理即可得解.由题：在ABC ∆中，120C =︒，A为锐角，sin C A =，A =，sin A A ==<=所以30A ︒>，则30B ︒<， 所以,sin sin A B A B >>， 根据正弦定理a b >. 故选：C此题考查根据三角形三内角和的关系求解三角函数值并根据三角函数值比较角的大小，结合正弦定理比较边的大小关系.9．在某种信息传输过程中，用6个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，例如001100就是一个信息.在所有信息中随机取一信息，则该信息恰有3个0的概率是（ ） A ．516B ．1132C ．2132D ．1116【答案】A【解析】求出6个数字表示的信息一共64个，该信息恰有3个0共20种情况，即可得到概率.用6个数字的一个排列（数字允许重复），所用数字只有0和1， 可以表示的信息一共6264=个，该信息恰有3个0：共有3620C =个，所以所有信息中随机取一信息，则该信息恰有3个0的概率是2056416=. 故选：A此题考查求古典概型，关键在于准确求出基本事件总数和恰有3个0包含的基本事件个数，其本质考查基本计数原理，组合的知识.10．关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的个数为（ ）①利用残差进行回归分析时，若残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内，则说明线性回归模型的拟合精度较高；②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，期望与方差均没有变化；③调查剧院中观众观后感时，从50排（每排人数相同）中任意抽取一排的人进行调查是分层抽样法；④已知随机变量X 服从正态分布()3,1N ，且()240.6826P X ≤≤=，则()40.1587P X >=.A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】①④说法正确，将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，期望发生改变，调查剧院中观众观后感时，从50排（每排人数相同）中任意抽取一排的人进行调查，没有明显层次，不是分层抽样法；根据利用残差进行回归分析可得①说法正确；将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差均没有变化，期望发生改变，所以②说法错误；调查剧院中观众观后感时，从50排（每排人数相同）中任意抽取一排的人进行调查，没有明显层次，不是分层抽样法，所以③错误；已知随机变量X 服从正态分布()3,1N ，且()240.6826P X ≤≤=，根据正态分布密度曲线特征则()10.682640.15872P X ->==，所以④正确. 故选：B此题考查回归分析，抽样方法，期望方差的性质，正态分布的特点，需要熟练掌握，统计相关概念及结论辨析和基本计算.11．关于函数()()()sin cos cos sin f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减； ③()f x 的周期是π；④()f x 的最大值为2. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②③ B ．②④C ．①②D ．①③【答案】C【解析】根据()f x -判断奇偶性，结合复合函数单调性判断②，利用反证法排除③④.()()()sin cos cos sin f x x x =+，()()()()()()()sin cos cos sin sin cos cos sin f x x x x x -=-+-=+- ()()()sin cos cos sin x x f x =+=，所以()f x 为偶函数，①正确；()()0,,sin 0,1,cos 0,12x x x π⎛⎫∈∈∈ ⎪⎝⎭，0,,sin 2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增，cos x 单调递减，()0,1,sin t t ∈单调递增，cos t 单调递减，根据复合函数单调性判断法则，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()sin cos ,cos sin y x y x ==均为减函数，所以()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，所以②正确；假设()f x 的周期是π，必有()()0ff π=()()()0sin cos0cos sin0sin111f =+=+>， ()()()sin cos cos sin sin1cos11f πππ=+=-+<，所以()()0ff π≠，所以()f x 的周期不可能是π，所以③错误；假设()f x 的最大值为2，取()2f a =，必然()()sin cos 1,cos sin 1a a ==， 则cos 2,2a k k Z ππ=+∈与[]cos 1,1a ∈-矛盾，所以()f x 的最大值小于2，所以④错误. 故选：C此题考查三角函数相关性质的辨析，涉及奇偶性单调性周期性的综合应用，以及利用反证法推翻命题.12．已知1F ，2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线与圆222x y a +=相切且分别交双曲线的左、右两支于A 、B 两点，若2AB BF =，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．30x y ±=B ．0y ±=C ．)10x y ±=D ．)10x y ±=【答案】C【解析】根据双曲线的定义结合几何性质，利用圆的切线形成的垂直关系和余弦定理构造齐次式求解.由双曲线的定义可知12112a BF BF BF AB AF =-=-=，2124AF a AF a =+=，在12AF F ∆中，()()()()()22212224cos 222a c a bAF F c a c +-=∠=， 整理得22220b ab a --=.解得1ba=所以双曲线的渐近线方程为(1y x =±+.故选：C此题考查双曲线的几何特征，结合直线与圆的位置关系和余弦定理解题，求渐近线方程或离心率常用到构造齐次式解题.二、填空题13．根据下列算法语句，当输入x 为80时，输出y 的值为______.【答案】33【解析】根据算法语句得出分段函数关系即可求值. 由算法语句可得，该程序的作用是：求解函数值， 当50x ≤时，0.5y x =，当50x >，()150.650y x =+-，所以当输入x 为80时，输出()150.6805033y =+-=. 故答案为：33此题考查根据算法语句输入数值，求输出的值，关键在于读懂算法语句表达的意思. 14．已知()()2*0121,2nnn x a a x a x a xn N n +=++++∈≥L ，若02a ，1a ，2a 成等差数列，则n =______. 【答案】4【解析】根据二项式定理求出系数，结合等差数列关系即可得解. 由题：()()2*0121,2nnn x a a x a x a xn N n +=++++∈≥L ，由二项式定理可得：012012,,n n n a C a C a C ===，()*2,n N n ∈≥02a ，1a ，2a 成等差数列，所以10222a a a =+，即10222n n n C C C =+，()1222n n n -=+， 2540n n -+=解得：4n =或1n =（舍去）， 所以4n =. 故答案为：4此题考查二项式定理，根据定理求出系数，根据某几项系数成等差数列关系列方程求解. 15．已知非负实数a ，b 满足2a b +≤，则关于x 的方程220x ax b ++=有实根的概率是______. 【答案】512【解析】根据非负实数a ，b 满足2a b +≤，可得有序数对(),a b 表示的区域面积，根据关于x 的方程220x ax b ++=有实根得出限制条件，结合定积分求出面积即可得解. 记区域0,02a b a b ≥≥⎧⎨+≤⎩的面积为12S =，区域20,02a b a b b a ≥≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩的面积为12312001115112326S x dx x=+⨯⨯=+=⎰， 因此21512S p S ==. 故答案为：512此题考查几何概型，属于面积型，关键在于根据关于x 的方程220x ax b ++=有实根得出限制条件，利用定积分准确计算面积.16．在四面体ABCD 中，已知2AB BD DC CA ====，则此四面体体积的最大值是______.【解析】以平面BCD 作为锥体底面，要使体积最大，平面ABC ⊥平面BCD ，设未知数表示出锥体体积根据函数单调性求体积最值即可.根据该锥体的几何特征，考虑平面ABC 与平面BCD 绕BC 旋转而成的几何体， 其体积等价于考虑平面ABD 与平面ACD 绕AD 旋转而成的几何体， 以平面BCD 作为锥体底面，要使体积最大，平面ABC ⊥平面BCD ，设,04BC x x =<<，取BC 中点E ，连接,AE DE ，有,AE BC DE BC ⊥⊥，244x AE DE ==-根据面面垂直的性质，AE ⊥平面BCD ， 所以锥体体积()222311444164464241132A BCD x x x x x x x V -⎛⎫--=-=-+ ⎪⎝⎭=⨯ 考虑函数()()3116,0424f x x x x =-+<< ()()()()21131643432424f x x x x '=-+=+，43x ⎛∈ ⎝⎭，()0f x ¢>，函数单调递增，434x ⎫∈⎪⎪⎝⎭，()0f x ¢<，函数单调递减，所以()3max4314343163163243327f x f ⎛⎛⎛ ==-+⋅= ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭163. 故答案为：327此题考查求几何体体积，涉及变量问题考虑函数结合单调性处理.三、解答题17．已知正数数列{}n a 的前n 项和n S ，满足()*11n n a a S S n N =+∈．（1）求{}n a 的通项公式； （2）设n nnb a =，求证：122n b b b +++<L ． 【答案】（1）()*2nn a n N =∈；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）当1n =时，2111a a a =+，又0n a >⇒12a =；当2n ≥时()122n n n n a S S a -=-=--()122n a --⇒12n n a a -=，因此{}n a 是以12a =为首项为公比的等比数列⇒()*2n n a n N =∈；（2）令12231232222n n n nT b b b L L =+++=++++，利用错位相减法求得()12222nn T n ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭．试题解析： （1）当1n =时，2111a a a =+，又0n a >，所以12a =；当2n ≥时，()()112222n n n n n a S S a a --=-=---，所以12n n a a -=，因此{}n a 是以12a =为首项为公比的等比数列，故()*2n n a n N =∈．（2）令12231232222n n n n T b b b L L =+++=++++， 则234111*********n n n n nT +-=+++++L ， 两式相减得23111111222222n n n nT +=++++-L ，所以()231111111222222222nn n n n T n -⎛⎫=+++++-=-+< ⎪⎝⎭L 【考点】1、数列的通项公式；2、数列前n 项和；3、错位相减法. 18．如图，已知AB 是半径为2的半球O 的直径，,P D 为球面上的两点且060DAB PAB ∠=∠=，6PD =（1）求证：平面PAB⊥平面DAB；（2）求二面角B AP D--的余弦值．【答案】（1）见解析（2）5【解析】试题分析：（1）P作PH AB⊥于点H，连HD，由勾股定理及三角形全等得PH HD⊥，根据线面垂直的判定定理得PH⊥平面ABD，进而可得结果；（2）以H为原点，,,HB HD HP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面APD与平面的APB一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果. 试题解析：（1）在PAB∆中，过P作PH AB⊥于点H，连HD．由Rt APB Rt ADB∆≅∆可知DH AB⊥，且3,1PH DH AH===，又222336PH HD PD+=+==，∴PH HD⊥．又AB HD H⋂=，∴PH⊥平面ABD，又PH⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABD．（2）由（1）可知,,HB HD HP两两垂直，故以H为原点，,,HB HD HP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系，可知()()()()1,0,0,3,0,0,0,3,0,0,0,3A B D P-．设平面APD的法向量为(),,m x y z=r，则·0·0m ADm AP⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u rru u u rr，即()()()(,,3,00,,30x y zx y z⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴3030xx z⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令3x=1y z==，∴()3,1,1m=-，又平面APB 的法向量()0,1,0n r=， ∴·cos ,m n m n m n 〈〉===r r r r r r， 而二面角B AP D --与,m n 的夹角相等，因此所求的二面角B AP D --的余弦值为【方法点晴】本题主要考查利用面面垂直的判定定理以及空间向量求法向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 19．已知函数()sin 1f x x x =-. （1）求曲线()y f x =在点,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程； （2）判断()f x 在()0,π内的零点个数，并加以证明.【答案】（1）10x y --=（2）()f x 在()0,π内有且仅有两个零点，证明见解析 【解析】（1）求出导函数，根据在某点处的切线方程即可得解； （2）结合函数的单调性和取值范围依据根的存在性定理讨论零点个数. （1）()'sin cos f x x x x =+，所以切线方程为'222y f f x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即1y x =-，亦即10x y --=.（2）①当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()'sin cos 0f x x x x =+>，所以()f x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，且()010f =-<，1022f ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，故()f x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦内有唯一的零点1x .②当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，令()()'g x f x =，则()'2cos sin 0g x x x x =-<，所以()g x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，且102g π⎛⎫=> ⎪⎝⎭，()0g ππ=-<，所以存在,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0g α=，所以当,2x πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()'0f x g x =>，即()f x 在,2πα⎛⎫⎪⎝⎭递增， 当(),x απ∈时，()()'0f x g x =<，即()f x 在(),απ递减. 又()1022f f ππα⎛⎫>=->⎪⎝⎭，()10f π=-<. 故()f x 在(),απ内有唯一的零点2x .综上，()f x 在()0,π内有且仅有两个零点1x ，2x .此题考查导数的综合应用，涉及导数的几何意义，求在某点处的切线，根据导函数讨论函数单调性处理零点个数问题，综合性比较强.20．某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A ，B 两种奶制品.生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1 000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1 200元.要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产A ，B 两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W (单位：吨)是一个随机变量，其分布列为该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z (单位：元)是一个随机变量. (I)求Z 的分布列和均值；(II)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10 000元的概率.【答案】（Ⅰ）Z 的分布列见解析，()9708E Z =；（Ⅱ）0．973．【解析】（Ⅰ）设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ，相应的获利为z ，则有2 1.5,1.512,{?20,0,? 0.x y W x y x y x y +≤+≤-≥≥≥（1）目标函数为10001200z x y =+．当12W =时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为(0,?0),?(2.4,?4.8),?(6,?0)A B C ．将10001200z x y =+变形为，当 2.4,?4.8x y ==时，直线l ：在y 轴上的截距最大，最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=．当15W =时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为(0,?0),?(3,?6),?(7.5,?0)A B C ．将10001200z x y =+变形为，当3,?6x y ==时，直线l ：在y 轴上的截距最大，最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=． 当18W =时，（1）表示的平面区域如图3，四个顶点分别为(0,?0),?(3,?6),?(6,?4),?(9,?0)A B C D ． 将10001200z x y =+变形为，当6,4x y ==时，直线l ：在y 轴上的截距最大，最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=． 故最大获利y 的分布列为y8160 10200 10800 Z0．30．50．2因此，()81600.3102000.5108000.29708.E Z =⨯+⨯+⨯= （Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为3311(1)10.30.973.p p =--=-=【考点】线性规划的实际运用，随机变量的独立性，分布列与均值，二项分布．21．已知曲线1C 上任意一点M 到直线l ：4y =的距离是它到点()0,1F 距离的2倍；曲线2C 是以原点为顶点，F 为焦点的抛物线. （1）求1C ，2C 的方程；（2）设过点F 的动直线与曲线2C 相交于A ，B 两点，分别以A ，B 为切点引曲线2C 的两条切线1l ，2l ，设1l ，2l 相交于点P .连接PF 的直线交曲线1C 于C ，D 两点. （i ）求证：CD AB ⊥； （ii ）求AD CB ⋅u u u r u u u r的最小值.【答案】（1）1C 的方程为22134x y +=，2C 的方程为24x y =（2）（i ）证明见解析（ii ）7【解析】（1）根据几何特征列方程即可求解曲线方程；（2）联立直线与曲线方程，结合韦达定理处理，（i ）证明斜率之积为-1，（ii ）化简代数式根据基本不等式求解最值.（1）设(),M x y ，则由题意有4y =-，化简得：22134x y +=. 故1C 的方程为22134x y +=，()0,1F 为抛物线的焦点，设其方程22x py =，1,22pp == 易知2C 的方程为24x y =.（2）（i ）由题意可设AB 的方程为1y kx =+，代入24x y =得2440x kx --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则121244x x k x x +=⎧⎨=-⎩，由214y x =有1'2y x =，所以1l ，2l 的方程分别为2111124y x x x =-，2221124y x x x =-.故1212,24x x x x P +⎛⎫⎪⎝⎭， 即()2,1P k -，1PF k k=-，从而CD AB ⊥. （ii ）可设CD 的方程为11y x k =-+，代入22134x y +=得()22224384120ky k y k +-+-=，设()33,C x y ，()44,D x y ，则2342234284341243k y y k k y y k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 所以()()AD CB AF FD CF FB ⋅=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r AF CF FD CF F FB F D A FB +=⋅+⋅⋅⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rAF FB FD CF =+u u u r u u u r u u u r u u u r ()()123411114422y y y y =+++-⋅-()()()()1234122444kx kx y y =+++--()()21212343412444k x x k x x y y y y =++++-++()()22291139414344k k t k t +⎛⎫=++=++ ⎪+⎝⎭（其中2433t k =+≥）. 设()()934t t f t t =+≥，则()2229491044'f t t t t-=-=>，故()f t 在[)3,+∞单调递增， 因此139133374444t A B t D C ⎛⎫=++≥++= ⎪⎭⋅⎝=u u u r u u u r ， 当且仅当3t =即0k =等号成立. 故AD CB ⋅u u u r u u u r的最小值为7.此题考查求曲线轨迹方程，直线与曲线的综合问题，将几何关系转化成代数关系，利用韦达定理处理与根有关的问题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2222111t x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（t 为参数）.在极坐标系（与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半sin 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.（1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；（2）设P 是曲线C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值.【答案】（1）曲线C 的普通方程为221x y +=；直线l 的直角坐标方程为30x y -+=（2）12+ 【解析】（1）根据参数方程与普通方程的转化关系，极坐标方程与直角坐标方程的转化关系求解；（2）结合圆的参数方程设点的坐标和点到直线距离公式求解最值.（1）因为222222221111t t x y t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以曲线C 的普通方程为221x y +=.sin 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭展开得sin cos 3ρθρθ-=，即3y x -=，因此直线l 的直角坐标方程为30x y -+=.（2）设()cos ,sin P θθ，则点P 到直线l 的距离为d ==1≤. 等号成立当且仅当sin 14πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即()724k k Z πθπ=+∈，即P ⎝⎭. 因此点P 到直线l1+. 此题考查坐标系与参数方程相关知识，涉及极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，利用参数方程解决点到直线距离问题. 23．（1）设a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=，证明：1119a b c++≥； （2）解关于x 不等式：2323x x x x <-<. 【答案】（1）证明见解析；（2）1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】（1）根据柯西不等式处理()2111a b c a b c ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭即可得证； （2）根据不等式形式分析出0x <，再去绝对值解不等式. （1）a ，b ，c 均为正数，由柯西不等式有()2111a b c a b c ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭9=， 所以有1119a b c++≥. （另解()111111a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭332229b a c a c b a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++≥+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭）（2）由2323x x x x <-<有x x <可知0x <.因此原不等式等价于2323x x x x <-<-，即21231x x >->-.即22123231x x x x ⎧>-⎪⎨->-⎪⎩，2221032031x x x x -+>--<⎧⎪⎨⎪⎩， 23210x x -+>恒成立，只需解23210x x --<且0x <解之得103x -<<. 因此原不等式的解集为1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭.此题考查不等式的证明和解不等式，考查对柯西不等式的应用，也可对乘积拆开用基本不等式求解，解含绝对值不等式，先结合题意分析绝对值内部符号，避免分类讨论.。

2022-2021学年湖南省雅礼中学高三（下）其次次月考数学试卷（理科）一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.把答案填在答题卡中对应题号的框框内.）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，则A∩B等于（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2，3}2．若A、B均是非空集合，则A∩B≠∅是A⊆B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件3．（中诱导公式、基本公式）已知，且，则tan（2π﹣α）的值为（）A．B．C．D．4．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为（）A．2B．C．2D．45．已知向量满足：，与的夹角为，则=（）A．2 B．4 C．2D．86．设x，y 满足约束条件，则目标函数z=的最小值为（）A．2 B．1 C．D．﹣27．设f（x）定义如下面数表，{x n}满足x0=5，且对任意自然数n均有x n+1=f（x n），则x2022的值为（）x 1 234 5f（x）4 135 2A．4 B．1 C．3 D．28．如图，长沙河西先导区某广场要划定一矩形区域ABCD，并在该区域内开拓出三块外形大小相同的矩形绿化区，这三块绿化区四周和绿化区之间设有1米宽的走道．已知三块绿化区的总面积为800平方米，则该矩形区域ABCD占地面积的最小值为（）平方米．A．900 B．920 C．948 D．9689．已知函数，若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2），则x1•f（x2）的取值范围为（）A．B．C．D．10．设定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），f′（x）是f（x）的导函数，当x∈[0，1]时，0≤f（x）≤1；当x∈（0，2）且x≠1时，x（x﹣1）f′（x）＜0．则方程f（x）=lg|x|根的个数为（）A．12 B．1 6 C．18 D．20二．填空题：本大题共1小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．（一）选做题（请考生在第11、12、13题中任选两题作答，假如全做，则按前两题给分）【几何证明选讲】11．如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，已知⊙O的半径为3，PA=2，则OE=．【极坐标系与参数方程选讲】12．已知曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的极坐标方程为，它们的交点在平面直角坐标系中的坐标为．【不等式选讲】1011•天津）已知集合A={x∈R||x+3|+|x﹣4|≤9}，B=，则集合A∩B=．（二）必做题（14～16题）14．设（其中e为自然对数的底数），则的值为．15．动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t=0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是．16．已知数列{a n}的前n项和S n=（﹣1）n •n，若对任意正整数n，（a n+1﹣p）（a n﹣p ）＜0恒成立，则实数P 的取值范围是．三．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．设函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．18．设数列{a n}的前n项和为S n，已知对任意正整数n，都有S n+2=2a n成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜3．19．如图所示，在平面四边形ABCD中，，与的夹角为，与的夹角为．（1）求△CDE的面积S；（2）求．20．已知函数f（x ）=lnx﹣ax+﹣1（a∈R）（1）当a=﹣1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）当a≤时，争辩f（x）的单调性．21．若数列{a n}（n∈N*）满足：①a n≥0；②a n﹣2a n+1+a n+2≥0；③a1+a2+…+a n≤1，则称数列{a n}为“和谐”数列．（1）已知数列{a n}，（n∈N*），推断{a n}是否为“和谐”数列，说明理由；（2）若数列{a n}为“和谐”数列，证明：．（n∈N*）22．已知函数f（x）=（1）当x＞0时，证明：f（x）＞；（2）当x＞﹣1且x≠0时，不等式f（x）＜恒成立，求实数k的值．2022-2021学年湖南省雅礼中学高三（下）其次次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.把答案填在答题卡中对应题号的框框内.）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，则A∩B等于（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2，3}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：依据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：∵A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，∴A∩B={﹣1，0，1}，故选：B点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．若A、B均是非空集合，则A∩B≠∅是A⊆B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的推断．专题：规律型．分析：推断出“A∩B≠∅”成立推不出“A⊆B”反之，若“A⊆B”成立，则能推出A∩B≠∅”确定成立，利用充要条件的有关定义得到结论．解答：解：若“A∩B≠∅”成立推不出“A⊆B”反之，若“A⊆B”成立，则有A∩B=A≠∅，所以A∩B≠∅”确定成立，所以A∩B≠∅是A⊆B的必要不充分条件，故选B．点评：本题考查推断一个条件是另一个的什么条件，应当先化简各个条件，若条件是数集的形式，常转化为推断集合间的包含关系．3．（中诱导公式、基本公式）已知，且，则tan（2π﹣α）的值为（）A．B．C．D．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：先依据诱导公式化简已知条件，得到sinα的值，然后由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，把所求的式子利用诱导公式化简后，再依据同角三角函数间的基本关系把切化弦后，将sinα和cosα的值代入即可求出值．解答：解：由，又，得，则．故选B点评：此题考查同学机敏运用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．同学在求cosα的值时应留意α的范围．4．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为（）A．2B．C．2D．4考点：简洁空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：三棱柱的左视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高，在边长是2的等边三角形中做出底边上的高的长度，得到结果．解答：解：由题意知三棱柱的左视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高，在边长是2的等边三角形中，底边上的高是，∴侧视图的面积是2故选：A．点评：本题考查简洁的空间图形三视图，考查三视图的面积的计算，考查通过原图观看三视图的大小，比较基础．5．已知向量满足：，与的夹角为，则=（）A．2 B．4 C．2D．8考点：平面对量数量积的运算．。

绝密★启用前湖南省长沙市雅礼中学2020届高三年级上学期第一次高考适应性月考数学(理)试题(解析版)本试卷分第I 卷(选择题)和第I 卷(非选择题)两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 的共轭复数z 满足：()12i z i -=，则复数z 等于（ ）A. 1i +B. 1i -+C. 1i -D. 1i -- 【答案】D【解析】【分析】由()12i z i -=得出21i z i=-,利用复数的除法法则求出z ,利用共轭复数的概念可求出复数z . 【详解】()12i z i -=Q ,()()()()2121211112i i i i z i i i i +-∴====-+--+,因此,1i z =--, 故选：D. 【点睛】本题考查复数的除法运算,同时也考查了共轭复数计算,考查计算能力,属于基础题.2.已知集合{}{}/10,/A x x B x x a =-<<=≤,若A B ⊆,则a 的取值范围为( )A. (,0]-∞B. [0,)+∞C. (),0-∞D. ()0,∞+【答案】B【解析】【分析】画出集合,A B 的数轴表示,利用数轴解题. 【详解】画出集合A,B 的数轴表示,因为A B ⊆,所以0a ≥,故选B.考点：集合包含关系判断及其应用3.在ABC △中,(BC uuu r +BA u u u r )·AC u u u r =|AC u u u r |2,则ABC △的形状一定是A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】C【解析】 由(BC uuu r +BA u u u r )·AC u u u r =|AC u u u r |2,得AC u u u r ·(BC uuu r +BA AC -u u u r u u u r )=0,即AC u u u r ·(BC uuu r +BA u u u r +CA u u u r )=0,∴2AC u u u r ·BA u u u r =0,∴AC u u u r ⊥BA u u u r,∴A =90°.即ABC V 的形状一定是直角三角形.本题选择C 选项.4.我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程,比如在222+++⋅⋅⋅,但原式却是个定值x ,这可以通过方程2x x +=确定出来2x =,类似的不难得到11111+=++⋅⋅⋅（ ） 51-- 51- 51+ 51-+ 【答案】C【解析】。

2020届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期第二次月考数学（理）试题及答案一、单选题1．集合{}{}{}202,1,1A a B a A B ==⋂=，，，若，则a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．±1【答案】C【解析】{}{}221,02,1,A B A a a ⋂==⇒=，又{}1,B a = ，1a ∴=- ，故选C.2．已知向量()()2,1,,2a b λ==，若a b ⊥，则实数λ= （ ） A ．4- B ．1-C ．1D ．4【答案】B【解析】由题得=0a b ⋅，解方程即得解. 【详解】因为a b ⊥，所以=220,1a b λλ⋅+=∴=-. 故选B 【点睛】本题主要考查向量垂直的坐标表示，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.3．已知ABCD 是复平面内的平行四边形，A ，B ，C 三点对应的复数分别是2i -+，1i -，22i +，则点D 对应的复数为（ ）【答案】D【解析】分析：利用平行四边形的性质得到AB DC =,再把点的坐标代入计算即得点D 的坐标，再写出点D 对应的复数.详解：由题得A(-2，1),B(1，-1),C(2，2),设D(x,y)，则(3,2),(2,2),AB DC x y =-=-- 因为AB DC =，所以2322x y -=⎧⎨-=-⎩，解之得x=-1,y=4.所以点D 的坐标为（-1，4）， 所以点D 对应的复数为-1+4i, 故选D.点睛：本题方法比较多，但是根据AB DC =求点D 的坐标，是比较简单高效的一种方法，大家解题时，注意简洁高效. 4．已知集合2{|0}1x A x x -=<+，{|}B x x a =<，若“1a =”是“B A ⊆”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不是充分条件也不是必要条件 【答案】A【解析】化简两个集合，分别讨论充分性和必要性，可选【详解】由题意，集合()()2{|0}{|120}{|12}1x A x x x x x x x -=<=+-<=-<<+， 先来判断充分性，若1a =，则{|11}B x x =-<<，满足B A ⊆，即“1a =”是“B A ⊆”的充分条件；再来判断必要性，若B A ⊆，①集合B =∅，0a ≤，此时符合B A ⊆；②集合B ≠∅，此时21a a a a -<⎧⎪≤⎨⎪-≥-⎩，解得01a <≤.故B A ⊆时，1a ≤，即“1a =”不是“B A ⊆”的必要条件. 所以“1a =”是“B A ⊆”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查不等式的解法，考查集合的包含关系，考查充分性与必要性，考查学生的计算能力与逻辑推理能力，属于基础题.5．若关于x 的不等式2420x x a --->在区间()1,4内有解,则实数a 的取值范围是 A ．2a <- B ．2a >- C ．6a >- D ．6a <-【答案】A【解析】由题意可得224a xx +<-在区间(1,4)内成立，由224(2)4y x x x =-=--，求得顶点处的函数值和端点处的函数解：关于x 的不等式2420x x a --->在区间(1,4)内有解， 即为224a xx +<-在区间(1,4)内成立，由224(2)4y x x x =-=--，可得2x =处函数y 取得最小值4-；1x =时，3y =-；4x =时，0y =；则函数24y x x =-的值域为[)4,0-， 可得20a +<， 解得2a <-． 故选：A ． 【点睛】本题考查不等式成立的条件，注意运用转化思想和二次函数的值域求法，考查运算能力，属于中档题．6．将函数()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍，所得函数()g x 图象的一个对称中心可以是（ ）A ．,012π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．5,012π⎛⎫⎪⎝⎭C ．,03π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．2,03π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】试题分析：()1sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，,2,263x k x k k Z ππππ+=∴=-∈，令0,3k x π==-，∴()g x 图象的一个对称中心是,03π⎛⎫-⎪⎝⎭．7．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1BB 的中点，则异面直线DE 与AB 所成角的正切．．值为（ ） A ．2B ．32C ．5 D ．7【答案】C【解析】依据异面直线所成角的定义，结合//AB DC ，就得到异面直线DE 与AB 所成角，解三角形，即可求出异面直线DE 与AB 所成角的正切值. 【详解】如图，因为//AB DC ，所以EDC ∠（或其补角）即为异面直线DE 与AB 所成角，连接EC ，设正方体棱长为2，利用勾股定理可以求得：2CD =，5CE =，3DE =，因此三角形DEC 是直角三角形，∴5tan 2EDC ∠=.故选：C【点睛】本题考查了异面直线所成的角，属于基础题.8．已知以双曲线的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】试题分析：由于，由题意知，，，因此，双曲线的离心率为，故选B.【考点】双曲线的离心率9．已知直线1:(3)10l mx m y +-+=，直线2:(1)10l m x my ++-=，若12l l ⊥则m =（）A ．0m =或1m =B ．1m =C ．32m =-D ．0m =或32m =-【答案】A【解析】根据直线垂直的充要条件，列出等式，求解，即可得出结果. 【详解】因为直线1:(3)10l mx m y +-+=与直线2:(1)10l m x my ++-=垂直， 所以(1)(3)0m m m m ++-=，即(1)0m m -=，解得0m =或1m =. 故选A 【点睛】本题主要考查根据直线垂直求参数的问题，熟记直线垂直的充要条件即可，属于常考题型.10．已知函数2()log (46)x x f x a b =-+，满足2(1)1,(2)log 6f f ==，,a b 为正实数，则()f x 的最小值为（ ） A ．6- B ．3- C ．0 D ．1【解析】试题分析：22462{466a b a b -+=-+=，解得2{4b a ==，∴222()log (44?26)log [(22)2]x x x f x =-+=-+，当1x =时，min ()1f x =，故选D .【考点】对数函数的性质11．直线l 是抛物线22x y =在点()2,2-处的切线，点P 是圆22420x y x y +--=上的动点，则点P 到直线l 的距离的最小值等于（ ）A2B CD ．65【答案】C【解析】先由题意求出直线l 的方程，再求出圆22420x y x y +--=的圆心到直线的距离，减去半径，即为所求结果. 【详解】因为22x y =，所以y x '=，因此抛物线22x y =在点()2,2-处的切线斜率为22x y x =-==-'， 所以直线l 的方程为22(2)y x -=-+，即22y x =--， 又圆22420x y x y +--=可化为22(2)(1)5x y -+-=， 所以圆心为(2,1)，半径r =；则圆心到直线的距离为d ==又因点P 是圆22420x y x y +--=上的动点，所以点P 到直线l 的距离的最小值等于d r -=故选C本题主要考查圆上的点到直线距离的最值问题，熟记直线与圆位置关系即可，属于常考题型.12．若对任意的1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式22ln 30x x x mx +-+≥恒成立，则实数m 的最大值为（ ）A ．132e e +-B ．32e e++C ．2e1- D ．4【答案】D【解析】通过分离变量将恒成立的不等式变为32ln m x x x ≤++，由此可知当1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，min 32ln m x x x ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭，通过导数求解出右侧函数在区间内的最小值，从而得到结果. 【详解】22ln 30x x x mx +-+≥22ln 3mx x x x ⇒≤++32ln m x x x⇒≤++22ln 30x x x mx +-+≥在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立等价于min 32ln m x x x ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦令()32ln g x x x x =++，则()22223231x x g x x x x+-'=+-= 令()0g x '=，解得13x =-，21x =则1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减；(]1,x e ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增则1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()min 12ln1134g x g ==++= 4m ∴≤即m 的最大值为4本题正确选项：D【点睛】本题考查利用恒成立问题的求解，解题关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为所求变量与某一函数的最值比较的问题，通过求解函数最值得到所求参数的取值范围，属于恒成立问题中的常规题型.二、填空题13．已知抛物线24y x=-的准线经过椭圆2221(0)4x ybb+=>的焦点，则b=________．【答案】3【解析】先根据抛物线的方程求得准线方程，根据椭圆的方程求得焦点，代入抛物线的准线方程求得b．【详解】解：依题意可得抛物线24y x=-的准线为1x=，又因为椭圆焦点为()240b±-，所以有241b-=．即b2＝3故b3=．故答案为3．【点睛】本题主要考查了椭圆和抛物线的简单性质，椭圆的标准方程．考查了学生对圆锥曲线基础知识的掌握．14．若实数x，y满足，则的取值范围是______．【答案】【解析】化简题设条件，得到的取值范围，再化简为x的二次函数，借助二次函数的图象与性质，即可求解函数的最值，得到答案．【详解】由题意，实数x，y 满足，即，可得．则，则函数的对称轴为，开口向下，所以在上，时函数取得最大值6，时，函数取得最小值．所以的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用问题，其中解答中根据题设条件得到变量的取值范围，再结合二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题．15．设x，y满足约束条件20230x yx yx y--≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≤⎩，则46yx++的取值范围是__________．【答案】[]3,1-【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的【详解】作出不等式组对应的平面区域如图所示：则46y x ++的几何意义是区域内的点到定点P （﹣6，﹣4）的斜率，由230x y x y -+=⎧⎨+=⎩得x ＝﹣1，y ＝1，即A （﹣1，1），则AP 的斜率k ＝1416+-+＝1，由20230x y x y --=⎧⎨-+=⎩得x ＝﹣5，y ＝﹣7，即B （﹣5，﹣7），则BP 的斜率k ＝7456-+-+＝﹣3，则46y x ++的取值范围是[﹣3，1]故答案为：[﹣3，1]．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义是解决本题的关键，属于中档题.16．在数列{}n a 中，1253a a +=，()()11280n n n a na n N *+--+=∈，若()12n n n n b a a a n N *++=⋅⋅∈，则{}n b 的前n 项和取得最大值时n 的值为__________． 【答案】10【解析】解法一：利用数列的递推公式，化简得122n n n a a a ++=+，得到数列{}n a 为等差数列，求得数列的通项公式313n a n =-，得到12100a a a >>>>，1112130a a a >>>>，得出所以1280b b b >>>>，90b <，100b >，1112130b b b >>>>，进而得到结论；解法二：化简得()128 11n n a a n n n n +-=---，令1n n a c n +=，求得11281n c c n ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，进而求得313n a n =-，再由0n b ≥，解得8n ≤或10n =，即可得到结论．【详解】解法一：因为()11280n n n a na +--+=① 所以()211280n n na n a ++-++=②，①-②，得122n n n na na na ++=+即122n n n a a a ++=+，所以数列{}n a 为等差数列．在①中，取1n =，得1280a -+=即128a =，又1253a a +=，则225a =， 所以313n a n =-．因此12100a a a >>>>，1112130a a a >>>>所以1280b b b >>>>，99101180b a a a =⋅⋅=-<，10101112100b a a a =⋅⋅=>，1112130b b b >>>> 所以12389T T T T T <<， 9101112T T T T >>又1089108T T b b T =++>，所以10n =时，n T 取得最大值．解法二：由()11280n n n a na +--+=，得()12811n n a a n n n n +-=---， 令1n n a c n +=，则11111282811nn c c n n n n -⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则11281n c c n ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即1211281281n c c a n n ⎛⎫⎛⎫=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 代入得()()1222812828n n a nc na n n a +==+-=+-，取1n =，得1280a -+=，解得128a =，又1253a a +=，则225a =，故1283n a n +=-所以313n a n =-，于是()()()12313283253n n n n b a a a n n n ++=⋅⋅=---． 由0n b ≥，得()()()3132832530n n n ---≥，解得8n ≤或10n =， 又因为98b =-，1010b =， 所以10n =时，n T 取得最大值． 【点睛】本题主要考查了数列的综合应用，以及数列的最值问题的求解，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，合理利用数列的性质是关键，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等，属于中档试题.三、解答题 17．在锐角ABC 中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin 02a B -=. （1）求角A 的大小； （2）若4a =，求ABC 面积的最大值.【答案】（1）60A =︒（2）【解析】（1）由正弦定理可得sin sin 0A B B =，结合sin 0B ≠，可求出sin A 与A ；（2）由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，结合基本不等式可得162bc bc bc ≥-=，即可求出16bc ≤，从而可求出1sin 2ABCS bc A =的最大值. 【详解】解：（1）因为sin 0a B =，所以sin sin 0A B B =，又sin 0B ≠，所以sin A =，又ABC 是锐角三角形，则60A =.（2）因为2222cos a b c bc A =+-，60A =，4a =， 所以222211622b c bc b c bc =+-⨯=+-，所以162bc bc bc ≥-=，即16bc ≤（当且仅当4b c ==时取等号）， 故11sin 16sin 432260ABCSbc A =≤⨯⨯=【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的运用，考查了利用基本不等式求最值，考查了学生的计算能力，属于中档题.18．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量()1,2,,8i y i =⋅⋅⋅数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.x y w()821ii x x =-∑()821ii w w =-∑ ()()81iii x x y y =-⋅-∑ ()(81iii w w y y =-⋅-∑ 46.6 563 6.8289.81.61469108.8表中i i w x =8118ii w w ==∑.（1）根据散点图判断，y a bx =+与y c x=+为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（3）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为0.2z y x =-.根据（2）的结果回答下列问题：（i ）年宣传费49x =时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121niii nii u u v v u u β==--=-∑∑，v u αβ=-.【答案】（1）y c =+适宜（2）100.6y =+3）（i ）年销售量y 的预报值576.6，年利润的预报值66.32（ii ）46.24x = 【解析】（1）根据所给的两个函数解析式的特点，结合图象直接选择即可； （2）令w =y 关于w 的线性回归方程，利用表中所给的数据求解即可.（3）（i ）由（2）知，把49x =代入，100.6y =+后求出年利润的预报值即可；（ii ）根据（2）的结果知，求出年利润z 的预报值的函数关系式，利用配方法求出当年利润的预报值最大时，年宣传费的值. 【详解】（1）由散点图可以判断，这些点明显不在同一条直线上，也不是在一条直线的附近，所以y c =+适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型. （2）令w =y 关于w 的线性回归方程，由于()()()81821108.8681.6iii i i w w y y d w w==--===-∑∑，56368 6.8100.6c y dw =-=-⨯=， 所以y 关于w 的线性回归方程为100.668y w =+，因此y 关于x 的回归方程为100.6y =+（3）（i ）由（2）知，当49x =时，年销售量y 的预报值100.66849576.6y =+=，年利润的预报值0.2576.64966.32z =⨯-=. （ii ）根据（2）的结果知，年利润z 的预报值()0.2100.66813.620.12x x x x z =+-=-++，所以当13.66.82x ==，即46.24x =时，z 取得最大值. 【点睛】本题考查了根据图象选择函数的解析式，考查了求线性回归方程，考查了线性回归方程的应用，考查了数学运算能力.19． 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD △为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA CD ⊥，2CD =，3AD =，（Ⅰ）设G H ，分别为PB AC ，的中点，求证：GH ∥平面PAD ； （Ⅱ）求证：PA ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值. 【答案】（I ）见解析；（II ）见解析；（III 3【解析】（I ）连接BD ，结合平行四边形的性质，以及三角形中位线的性质，得到GH PD ，利用线面平行的判定定理证得结果；（II）取棱PC的中点N，连接DN，依题意，得DN PC⊥，结合面面垂直的性质以及线面垂直的性质得到DN PA⊥，利用线面垂直的判定定理证得结果；（III）利用线面角的平面角的定义得到DAN∠为直线AD与平面PAC所成的角，放在直角三角形中求得结果.【详解】（I）证明：连接BD，易知AC BD H⋂=，BH DH=，又由BG PG=，故GH PD，又因为GH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，所以GH∥平面PAD.（II）证明：取棱PC的中点N，连接DN，依题意，得DN PC⊥，又因为平面PAC⊥平面PCD，平面PAC平面PCD PC=，所以DN⊥平面PAC，又PA⊂平面PAC，故DN PA⊥，又已知PA CD=，⊥，CD DN D所以PA⊥平面PCD.（III）解：连接AN，由（II）中DN⊥平面PAC，可知DAN∠为直线AD与平面PAC所成的角.因为PCDCD=且N为PC的中点，∆为等边三角形，2所以3⊥，DN=DN AN在Rt AND ∆中，sin 3DN DAN AD ∠==，所以，直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值为【点睛】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力和推理能力.20．已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点. 【答案】（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）见解析.【解析】(Ⅰ)由题意确定a ,b 的值即可确定椭圆方程； (Ⅱ)设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程确定OM ,ON 的表达式，结合韦达定理确定t 的值即可证明直线恒过定点. 【详解】（Ⅰ）因为椭圆的右焦点为(1,0)，所以1225；因为椭圆经过点(0,1)A ,所以1b =，所以2222a b c =+=，故椭圆的方程为2212x y +=. （Ⅱ）设1122(,),(,)P x y Q x y联立2212(1)x y y kx t t ⎧+=⎪⎨⎪=+≠⎩得222(12)4220k x ktx t +++-=，21212224220,,1212kt t x x x x k k -∆>+=-=++，121222()212t y y k x x t k +=++=+，222212121222()12t k y y k x x kt x x t k -=+++=+.直线111:1y AP y x x --=，令0y =得111x x y -=-，即111x OM y -=-；同理可得221x ON y -=-.因为2OM ON =,所以1212121212211()1x x x x y y y y y y --==---++；221121t t t -=-+，解之得0t =，所以直线方程为y kx =，所以直线l 恒过定点(0,0).【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 21．已知函数（I ）若在处的切线的斜率为，求的值；（Ⅱ），不等式恒成立，求整数的最大值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由题意得,解之即得a 的值；（Ⅱ）不等式或化为，设，再利用导数研究函数h(x)的图像和性质得解. 【详解】 解：（Ⅰ），由题意得，则.（Ⅱ）不等式或化为.设，．设，当时，， 则在单调递增. 又，，则在存在唯一零点满足.则当时，单调递减，当时，单调递增，则. 又因为，则，因为，则，则整数的最大值为.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，考查函数的最值、单调性、零点问题的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 1sin x r y r ϕϕ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（0r >，ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的坐标方程为sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，若直线l 与曲线C 相切. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）在曲线C 上取两点M 、N 于原点O 构成MON ∆，且满足6MON π∠=，求面积MON ∆的最大值.【答案】（1）4sin3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭； （2）2+.【解析】（1）求出直线l 的直角坐标方程为y=+2，曲线C，1），半径为r 的圆，直线l 与曲线C相切，求出r ＝2，曲线C 的普通方程为（x2+（y ﹣1）2＝4，由此能求出曲线C 的极坐标方程．（2）设M （ρ1，θ），N （ρ2，6πθ+），（ρ1＞0，ρ2＞0），由126MONSOM ON sin π==2sin （23πθ+）由此能求出△MON面积的最大值． 【详解】（1）由题意可知将直线l 的直角坐标方程为2y =+，曲线C 是圆心为)，半径为r 的圆，直线l 与曲线C 相切，可得：2r ==；可知曲线C 的方程为(()2214x y +-=，∴曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin 0ρθρθ--=，即4sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （2）由（1）不妨设()1,M ρθ，2,6N πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，()120,0ρρ>>21211sin ?4sin ?sin 2sin cos 26432MON S OM ON πππρρθθθθθ∆⎛⎫⎛⎫===++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin22sin 23πθθθ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭当12πθ=时，2MON S ∆≤MON ∴∆面积的最大值为2.【点睛】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的最大值的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 23．设函数()2f x x x a =--+．(1)当1a =时，求不等式()2f x <-的解集；(2)当()()(),22x y R f y f x f y a ∈-+≤≤+时，，求的取值范围． 【答案】（1）32x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭；（2）[]3,1-- 【解析】(1) 求出函数f （x ）的分段函数的形式，通过讨论x 的范围求出各个区间上的x 的范围，取并集即可；(2)()()()22f y f x f y -+≤≤+等价于()()()()max min 22f x f y f x f x ⎡⎤⎡⎤-≤⇔-≤⎣⎦⎣⎦，求出()f x 的最值即可.【详解】 （1）当a =1时，()3,1,12,123,2x f x x x x ≤-⎧⎪=--<≤⎨⎪->⎩，可得()2f x <-的解集为32x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭（2）当,x y R ∈时，()()()()()()()max min 2222f y f x f y f x f y f x f x ⎡⎤⎡⎤-+≤≤+⇔-≤⇔-≤⎣⎦⎣⎦,因为()()222x x a x x a a --+≤--+=+，所以()222a a +--+≤.所以21a+≤，所以31-≤≤-.a所以a的取值范围是[-3，-1]【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用.。

2020届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期第2次月考数学（理）试题一、单选题1．集合{}21|20,|2A x x x B x x ⎧⎫=+-<=≤⎨⎬⎩⎭，则A B =I （ ） A ．1(0,]2B ．1(1,0)[,2)2-UC ．1(2,0)[,1)2-UD ．1[,1)2【答案】C【解析】先求解不等式化简集合A 和B ，再根据集合的交集运算求得结果即可. 【详解】因为集合{}2|20{|21}A x x x x x =+-<=-<<，集合1|2{|0B x x x x ⎧⎫=≤=<⎨⎬⎩⎭或1}2x …，所以1(2,0),12A B ⎡⎫=-⋃⎪⎢⎣⎭I . 故本题正确答案为C. 【点睛】本题考查一元二次不等式，分式不等式的解法和集合的交集运算，注意认真计算，仔细检查，属基础题. 2．已知复数21z i=-，则下列结论正确的是 A ．z 的虚部为i B ．2z = C ．2z 为纯虚数 D ．1z i =-+【答案】C【解析】先利用复数的除法将复数z 化为一般形式，然后利用复数的基本知识以及四则运算法则来判断各选项的正误． 【详解】()()()()2121211112i i z i i i i ++====+--+Q ，z ∴的虚部为1，z ==()2221122z i i i i =+=++=为纯虚数，1z i =-，故选C.【点睛】本题考查复数的四则运算、复数的概念、共轭复数等的理解，解题的关键就是将复数化为一般形式，借助相关概念进行理解，考查计算能力，属于基础题．3．已知2513a⎛⎫= ⎪⎝⎭2523b⎛⎫= ⎪⎝⎭131log5c=则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a 【答案】D【解析】对于,a b看成幂函数，对于c与,a b的大小和1比较即可【详解】因为25y x=在()0,∞+上为增函数，所以b a>，由因为2513113a⎛⎫<⎛⎫= ⎪⎝=⎪⎝⎭⎭，2523213b⎛⎫<⎛⎫= ⎪⎝=⎪⎝⎭⎭，113311log log153c=>=，所以c b a>>，所以选择D【点睛】本题主要考查了指数、对数之间大小的比较，常用的方法：1、通常看成指数、对数、幂函数比较．2、和0、1比较．4．函数1()ln1xf xx-=+的大致图像为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】本题采用特值法判断即可，选择有效特值代入即可判断正确答案【详解】从选项中可知，采用特值法进行代入求解，对于函数1 ()ln1xf xx-=+取2x =得，()12ln03f=<，排除A ，D ； 取2x =-得，()2ln30f -=>，排除C ； 得到答案选B 【点睛】本题考查函数图像问题，适用特值法求解，属于基础题5．如图所示的长方形内，两个半圆均以长方形的一边为直径且与对边相切，在长方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．3π- B ．33π-C ．33π-D ．3π-【答案】C【解析】将阴影部分拆分为两个小弓形，根据长度关系可知弓形所在的扇形圆心角为120o ，从而可求得弓形面积，进而得到阴影部分面积，利用几何概型概率公式求得结果. 【详解】 如下图所示：设长方形的长为4，宽为2，则120AOB ∠=o∴阴影部分的面积21182223123323S ππ⎛⎫=⨯⨯-⨯=- ⎪⎝⎭∴所求概率为：823334234p ππ-==-⨯ 本题正确选项：C 【点睛】本题考查几何概型中的面积型的概率的求解，关键是能够将阴影部分拆分为两个弓形，进而求得阴影部分面积.6．若()2,4,a b a b a ==+⊥r r r r r ,则a r 与b r的夹角为( )A ．23π B ．3π C ．43π D ．π【解析】由（ a b +rr）⊥a r，可得（ a b +rr）a r⋅=0，解出 4a b ⋅=-rr ，再利用两个向量的数量积的定义求出cosθ 的值，则夹角可求． 【详解】∵（ a b +r r ）⊥a r ，∴（ a b +r r ）2a a a ⋅=+⋅r r r b =r 4+a ⋅r b =r 0，得4a b ⋅=-r r∴4a b ⋅=-=rr |a r ||b r|cosθ∴cosθ12=-，又[]20,,3θπθπ∈∴= 故选：A 【点睛】本题考查两个向量的数量积的定义，向量的夹角的求法，向量垂直的性质，是基础题 7．从0，2中选一个数字．从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为( ) A ．24 B ．18 C ．12 D ．6【答案】B 【解析】【详解】由于题目要求的是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇；偶奇奇．如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种选择)，之后十位(2种选择)，最后百位(2种选择)，共12种；如果是第二种情况偶奇奇，分析同理：个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0，一种情况)，共6种，因此总共12+6=18种情况．8．设数列{}n a ，{}2n a (*n N ∈)都是等差数列，若12a =，则23452345a a a a +++等于（ ） A ．60 B ．62 C ．63 D ．66【答案】A【解析】设数列{}n a 的公差为d ，则由题意可得2222132a a a =+，求得d 的值，得到数列的通项公式，即可求解23452345a a a a +++得值，得到答案.【详解】由题意，数列{}n a ，{}2n a 都是等差数列，且12a =，设数列{}n a 的公差为d ，则有2222132a a a =+，即2222(2)2(22)d d ⨯+=++， 解得0d =，所以2n a =，24n a =，所以2345234548163260a a a a +++=+++=，故选A.本题主要考查了等差数列的定义，以及等差数列的通项公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9．设实数,x y满足条件223x yx yy x+≤⎧⎪+≥-⎨⎪≥⎩，则目标函数23z x y=-+的最大值为( ) A．16B．6C．4D．14【答案】D【解析】画出约束条件对应的可行域，找出取最大值的点，解方程组求得最优解，代入求得结果.【详解】画出约束条件对应的可行域，如图所示：画出直线23y x=+，上下移动，得到23z x y=-+在点A处取得最大值，解方程组223x yx y+=⎧⎨+=-⎩，得(5,7)A-，代入23z x y=-+，求得max2(5)7314z=⨯--+=，故选D.【点睛】该题考查的是有关线性规划的问题，涉及到的知识点有根据约束条件画出可行域，找出目标函数取最值时对应的点，注意目标函数的形式，属于简单题目.10．如图所示点F 是抛物线28y x =的焦点，点A 、B 分别在抛物线28y x =及圆()22216x y -+=的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则FAB ∆的周长的取值范围是（ ）A ．()6,10B ．()8,12C ．[]6,8D ．[]6,12【答案】B【解析】根据抛物线的定义，结合圆的几何性质，求得则FAB ∆的周长的表达式，进而求得其取值范围. 【详解】抛物线28y x =焦点()2,0F ，准线方程为2x =-，圆()22216x y -+=的圆心为()2,0，半径4r =，故圆()22216x y -+=与准线相切.根据抛物线的定义以及//AB x 轴可知，FAB ∆的周长4AF AB BF AF AB ++=++，等价于B 到准线2x =-的距离加4.由()2222168x y y x⎧-+=⎪⎨=⎪⎩解得2x =，所以()2,6B x ∈，所以B 到准线2x =-的距离的取值范围是()4,8，所以FAB ∆的周长的取值范围是()8,12. 故选：B 【点睛】本小题主要考查抛物线的几何性质，考查圆的几何性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，115a =，且满足()()21252341615n n n a n a n n +-=-+-+，已知*,n m N ∈，n m >，则n m S S -的最小值为（ ） A ．494-B ．498-C ．14-D ．28-【答案】C【解析】分析：首先对题中所给的数列的递推公式进行变形，整理得出数列25n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列，确定首项和公差，从而得到新数列的通项公式，接着得到{}n a 的通项公式，利用其通项公式，可以得出哪些项是正的，哪些项是负的，哪些项等于零，从而能够判断出n m S S -在什么情况下取得最小值，并求出最小值的结果. 详解：根据题意可知1(25)(23)(25)(23)n n n a n a n n +-=-+--， 式子的每一项都除以(25)(23)n n --，可得112325n na a n n +=+--，即112(1)525n n a an n +-=+--，所以数列25n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以15525=--为首项，以1为公差的等差数列， 所以5(1)1625na n n n =-+-⋅=--，即(6)(25)n a n n =--，由此可以判断出345,,a a a 这三项是负数，从而得到当5,2n m ==时，n m S S -取得最小值，且5234536514n m S S S S a a a -=-=++=---=-，故选C.点睛：该题考查的是数列的有关问题，需要对题中所给的递推公式变形，构造出新的等差数列，从而借助于等差数列求出{}n a 的通项公式，而题中要求的n m S S -的值表示的是连续若干项的和，根据通项公式判断出项的符号，从而确定出哪些项，最后求得结果. 12．已知()'f x 是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有()()()'23x f x e x f x =++（e 是自然对数的底数），()01f =，若不等式()0f x k -<的解集中恰有两个整数，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,0e ⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．21,0e ⎛⎤-⎥⎝⎦ D ．21,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】利用构造函数法，结合()()()'23xf x ex f x =++以及()01f =，求得()f x 解析式.利用导数求得()f x 的单调区间和极值，由此画出()f x 函数图像，结合图像求得k 的取值范围. 【详解】 构造函数()()()()()''23x xf x f x f xg x g x x e e -=⇒==+，可令：()23g x x x c =++，所以()()23x x x e f c x =++，由()01f c ==，得：()()231x f x x x e =++.由()0f x =，解得123322x x --+==.由()0f x <，得：2310x x ++<得出解为3322x ---<<，其中恰有两个整数-2，-1.当x <x >()0f x >.而()()'254x f x x x e =++⋅()()14x x x e =++⋅，所以()f x 在(),4-∞-和()1,-+∞上递增，在()4,1--上递减. 当x →-∞时，()0f x →.且()()4151,4f f e e-=--=，()01f =.由此画出()f x 的图像如下图所示，由图可知，当0k =时，()0f x <恰好有两个整数解2,1--. 当0k >时，()f x k <不止两个整数解.当k 0<时，要使()f x k <有两个整数解，则()212f k e -=-<，故210k e -<<. 综上所述，k 的取值范围是21,0e ⎛⎤- ⎥⎝⎦.故选：C【点睛】本小题主要考查导数运算，考查利用导数研究不等式的解，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.二、填空题13．已知函数()sin 21f x x x x =+-，则()f π'=_________． 【答案】2π-【解析】求导，代入数据得到答案. 【详解】()sin 21'()sin cos 2'()2f x x x x f x x x x f ππ=+-⇒=++⇒=-+故答案为2π- 【点睛】本题考查了导数的计算，属于简单题.14．甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分.若甲、乙两人射击的命中率分别为35和p，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为920.假设甲、乙两人射击互不影响，则p 值为______.【答案】34【解析】根据甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为920列方程，解方程求得p 的值. 【详解】甲、乙两人各射击一次得分之和为2，可能是甲击中乙未击中，或者乙击中甲未击中，故()339115520p p ⎛⎫⋅-+⋅-= ⎪⎝⎭，解得34p =. 故答案为：34【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率计算，属于基础题.15．已知函数()()()2cos 22f x x x πϕϕϕ⎛⎫---<⎝=⎪⎭的图象向右平移12π个单位后关于y 轴对称，则()f x 在区间,02p轾-犏犏臌上的最小值为______.【答案】【解析】利用辅助角公式化简()f x 的解析式，根据图象变换后所得函数的对称性，求得ϕ的值，进而求得()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值. 【详解】依题意()π2cos 23f x x ϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，向右平移π12个单位得到ππ2cos 2123x ϕ⎡⎤⎛⎫--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π2cos 26x ϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，而π2cos 26y x ϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭关于y 轴对称，所以πππ,π66k k ϕϕ-==-，由于2πϕ<，所以π6ϕ=.所以()π2cos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.当π02x -≤≤时，5πππ2666x -≤+≤，所以()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为5πππ2cos 2cos π2cos 666⎛⎫⎛⎫-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：3- 【点睛】本小题主要考查辅助角公式，考查三角函数图像变换，考查三角函数最值的求法，考查三角函数的对称性，属于中档题.16．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为23，动点P 在对角线1BD 上，过点P 作垂直于1BD 的平面，记这样得到的截面多边形（含三角形）的面积为y ，设BP x =，则当[]1,5x ∈时，函数()y f x =的值域为______.【答案】33,93⎣ 【解析】【详解】 如图：∵正方体1111ABCD A B C D -的棱长为23∴正方体的对角线长为6， ∵[]1,5x ∈，当1x =或5时，三角形的面积最小，设截面三角形的边长为t ，由等体积法得：221311221343222t t ⎛⎫⨯⨯=⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭， ∴6t =∴2min 3336y ==. 当3x =，即P 在1BD 中点时，截面为正六边形的面积最大，此时正六边形的边长为()()22336+=23663=故答案为：33,932⎡⎢⎣【点睛】本小题主要考查正方体截面面积的最大值，考查空间想象能力，属于中档题.三、解答题17．已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，函数()()2sin cos sin f x x A x A =-+，且当512x π=时，()f x 取最大值. （1）若关于x 的方程()f x t =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有解，求实数t 的取值范围； （2）若5a =，且43sin sin 5B C +=，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）3(2-；（21334【解析】（1）利用两角和差的正弦公式整理()f x 可得：()sin(2)A f x x =-，再利用已知可得：522122A k πππ⨯-=+（k Z ∈），结合已知可得：3A π=，求得：(0,)2x π∈时，3sin(2)123x π-<-≤，问题得解. （2）利用正弦定理可得：3sin sin )+=+B C b c ，结合43sin sin B C +=可得：8+=b c ，对a 边利用余弦定理可得：2222cos a b c bc A =+-，结合已知整理得：13=bc ，再利用三角形面积公式计算得解.【详解】解：（1）()2sin()cos sin f x x A x A =-+2sin()cos sin[()]x A x x x A =-+--2sin()cos sin cos()cos sin()x A x x x A x x A =-+---sin cos()cos sin()x x A x x A =-+-sin(2)x A =-.因为()f x 在512x π=处取得最大值， 所以522122A k πππ⨯-=+，k Z ∈, 即2,3A k k Z ππ=-+∈. 因为(0,)A π∈，所以3A π=，所以()sin(2)3f x x π=-.因为(0,)2x π∈，所以22(,)333x πππ-∈-所以sin(2)13x π<-≤，因为关于x 的方程()f x t =有解，所以t 的取值范围为(．（2）因为5a =，3A π=，由正弦定理sin sin sin b c a B C A ==于是sin sin )10+=+B C b c ．又sin sin 5B C +=，所以8+=b c . 由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，整理得：2225=+-b c bc ，即225()3643=+-=-b c bc bc ， 所以13=bc ，所以1sin 2ABC S bc A ∆==【点睛】本题主要考查了两角和、差的正弦公式应用，还考查了三角函数的性质及方程与函数的关系，还考查了正弦定理、余弦定理的应用及三角形面积公式，考查计算能力及转化能力，属于中档题．18．如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是圆内接四边形，1CB CD CE ===，3AB AD AE ===，EC BD ⊥.（1）求证：平面BED ⊥平面ABCD ；（2）设线段AE 的中点为M ，线段AB 的中点为N ，且P 在线段MN 上运动，求直线DP 与平面ABE 所成角的正弦值的最大值. 【答案】（1）证明见解析（2）427【解析】（1）连接AC ，交BD 于点O ，连接EO ，通过证明AC BD ⊥、EC BD ⊥证得BD ⊥平面AEC ，由此证得OE BD ⊥.证得OE AC ⊥，从而证得EO ⊥平面ABCD ，进而证得平面BED ⊥平面ABCD .（2）建立空间直角坐标系，设()01MP MN λλ=≤≤u u u r u u u u r，通过直线DP 的方向向量和平面ABE 平面而的法向量求得直线DP 与平面ABE 所成角的正弦值 【详解】（1）证明：如图，连接AC ，交BD 于点O ，连接EO ， ∵AD AB =，CD CB =，AC AC =，∴ADC ABC ∆≅∆， 易得ADO ABO ∆≅∆，∴90AOD AOB ∠=∠=︒，∴AC BD ⊥. 又EC BD ⊥，EC AC C ⋂=，,EC AC ⊂平面AEC ， ∴BD ⊥平面AEC ，又OE ⊂平面AEC ，∴OE BD ⊥. 又底面ABCD 是圆内接四边形，∴90ADC ABC ∠=∠=︒， 在Rt ADC ∆中，由3AD =1CD =，可得2AC =，32AO =， ∴90AEC ∠=︒，3AE AO AC AE ==易得AEO ACE ∆∆:，∴90AOE AEC ∠=∠=︒， 即OE AC ⊥.又,AC BD ⊂平面ABCD ，AC BD O =I ，∴EO ⊥平面ABCD ，又EO ⊂平面BED ，∴平面BED ⊥平面ABCD .（2）解：点P 在线段MN 上.以O 为坐标原点，OA ，OB ，OE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则3,0,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3E ⎛ ⎝⎭，33,0,44M ⎛ ⎝⎭，30,2D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，33,44N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，∴33,,022AB ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，33,0,22⎛=- ⎝⎭u u u r AE ，333,424DM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u ur ，330,,44MN ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r ，设平面ABE 的法向量为(),,n x y z =r ，则00AB n AE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v vu u u v v ，即3030x y x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，令1x =，则(3,3n =r，设()01MP MN λλ=≤≤u u u r u u u u r ，可得333334DP DM MP ⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u u r u u u r ，设直线DP 与平面ABE 所成的角为θ，则sin cos ,n DP n DP n DPθ⋅==⋅r u u u r r u u u r r u u u r 224241154224λλλ==⨯++⎛⎫⨯++ ⎪⎝⎭， ∵01λ≤≤，∴当0λ=时，sin θ取得最大值427. 故直线DP 与平面ABE 所成角的正弦值的最大值为427. 【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的最大值的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19．在平面直角坐标系中，()2,0A -，()2,0B ，设直线AC 、BC 的斜率分别为1k 、2k 且1212k k ⋅=- ，（1）求点C 的轨迹E 的方程；（2）过()F 作直线MN 交轨迹E 于M 、N 两点，若MAB △的面积是NAB △面积的2倍，求直线MN 的方程．【答案】(1) 22142x y +=（0y ≠）(2) 07x y -+=或07x y +=【解析】（1）由题意，设(),C x y ，得到12y k x =+，22y k x =-，根据1212k k =-，即可求解椭圆的标准方程；（2）设直线:MN x my =-1212,y y y y +，再由2MAB NAB S S =V V ，得到122y y =-，列出关于m 的方程，即可求解．【详解】（1）由题意，设(),C x y ，则12y k x =+，22yk x =-，又由2122142y k k x ==--，整理得22142x y +=，由点,,A B C 不共线，所以0y ≠，所以点C 的轨迹方程为221(0)42x y y +=≠.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，易知直线MN 不与x轴重合，设直线:MN x my =联立方程组22142x my x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，整理得得()22220m y +--=，易知>0∆，且1222y y m +=+，122202y y m -=<+ 由2MAB NAB S S =V V ，故122y y =，即122y y =-，从而()2212122122141222y y y y m y y m y y +-==++=-+， 解得227m =，即m =，所以直线MN的方程为07x y -+=或07x y ++=． 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．20．由甲、乙、丙三个人组成的团队参加某项闯关游戏，第一关解密码锁，3个人依次进行，每人必须在1分钟内完成，否则派下一个人.3个人中只要有一人能解开密码锁，则该团队进入下一关，否则淘汰出局.根据以往100次的测试，分别获得甲、乙解开密码锁所需时间的频率分布直方图.（1）若甲解开密码锁所需时间的中位数为47，求a 、b 的值，并分别求出甲、乙在1分钟内解开密码锁的频率；（2）若以解开密码锁所需时间位于各区间的频率代替解开密码锁所需时间位于该区间的概率，并且丙在1分钟内解开密码锁的概率为0.5，各人是否解开密码锁相互独立. ①按乙丙甲的先后顺序和按丙乙甲的先后顺序哪一种可使派出人员数目的数学期望更小.②试猜想：该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目X 的数学期望达到最小，不需要说明理由.【答案】（1）0.024a =；0.026b =；甲在1分钟内解开密码锁的频率是0.9；乙在1分钟内解开密码锁的频率是0.7（2）①按乙丙甲派出的顺序期望更小②先派出甲，再派乙，最后派丙【解析】（1）根据甲解开密码锁所需时间的中位数求得b ，根据频率求得a ，由此求得甲在1分钟内解开密码锁的频率.通过频率分布直方图求得乙在1分钟内解开密码锁的频率. （2）①分别求得两个不同顺序的方法对应的数学期望，由此求得期望更小的安排方法. ②按照解锁概率大的人员排前面，期望值最小.通过计算前两位、后两位人员交换时，期望值的变化情况，来确定最优的排法. 【详解】（1）甲解开密码锁所需时间的中位数为47，∴0.0150.014550.0345b ⨯+⨯+⨯+⨯()0.0447450.5+⨯-=，解得0.026b =； ∴0.0430.032550.010100.5a ⨯+⨯+⨯+⨯=，解得0.024a =； ∴甲在1分钟内解开密码锁的频率是10.01100.9f =-⨯=甲；乙在1分钟内解开密码锁的频率是10.03550.02550.7f =-⨯-⨯=乙；（2）由（1）知，甲、乙、丙在1分钟内解开密码锁的概率分别是10.9p =，20.7p =，30.5p =且各人是否解开密码锁相互独立；设按乙丙甲的顺序对应的数学期望为()1E X ，按丙乙甲的顺序对应的数学期望为()2E X则()121P X p ==，()()23112P X p p =-=，()()()231131p p P X =--=，()()()()21332223111E X p p p p p +-+--=232332p p p p =--+，∴()()1232323E X p p p p p =-++-， ①∴()()1232323 1.45E X p p p p p =-++-= 同理可求得()()2232333 1.65E X p p p p p =-++-= 所以按乙丙甲派出的顺序期望更小. ②答案：先派出甲，再派乙，最后派丙， （下面是理由，给老师和学生参考）设按先后顺序自能完成任务的概率分别为1p ，2p ，3p ，且1p ，2p ，3p 互不相等， 根据题意知X 的取值为1，2，3；则()11P X p ==，()()1221P X p p ==-，()()()12131p P p X =--=，()()()()1221121311E X p p p p p +-+--=121232p p p p =--+，∴()()121213E p p p p p X =-++-，若交换前两个人的派出顺序，则变为()121223p p p p p -++-，由此可见，当12p p >时，交换前两人的派出顺序会增大均值，故应选概率最大的甲先开锁；若保持第一人派出的人选不变，交换后两人的派出顺序，∵交换前()()()121211123321p p p p p E p X p p =-++-=---， ∴交换后的派出顺序则期望值变为()113321p p p ---，当23p p >时，交换后的派出顺序可增大均值；所以先派出甲，再派乙，最后派丙， 这样能使所需派出的人员数目的均值（教学期望）达到最小. 【点睛】本小题主要考查随机变量分布列和数学期望的求法，考查频率分布直方图频率、中位数有关计算，考查分析、思考与解决问题的能力，属于中档题. 21．已知函数()()2()1ln 1(0)f x a x x x ax a =++-->是减函数.（1）试确定a 的值； （2）已知数列{}()()*123ln 11n n n n n a a T a a a a n N n +==∈+L L ，求证：()ln 212n nn T +<-⎡⎤⎣⎦. 【答案】（Ⅰ）2a =（Ⅱ）见证明【解析】（Ⅰ）求导得()()ln 12f x a x x +'=-，由()f x 是减函数得，对任意的()1,x ∈-+∞，都有()()ln 120f x a x x +-'=≤恒成立，构造函数()()ln 12g x a x x =+-，通过求导判断它的单调性，令其最大值小于等于0，即可求出a ；（Ⅱ）由()f x 是减函数，且()00f =可得，当0x >时，()0f x <，则()0f n <，即()()221ln 12n n n n ++<+，两边同除以()221n +得，()ln 1121211n n n n n n ++<⋅⋅+++，即12211n n n a n n +<⋅⋅++，从而12311233452...............223412341n n nn n T a a a a n n +⎛⎫⎛⎫=<⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭11221n n n ++=⋅+，两边取对数()()()212ln 2ln 21n n n n T n +⎡⎤+⎡⎤+<⎢⎥⎣⎦+⎢⎥⎣⎦()()()2ln 2ln 11ln2n n n =+-+-+，然后再证明()()()2ln 2ln 11ln2102nn n n +-+-++-<恒成立即可，构造函数()()()()2ln 2ln 11ln212xh x x x x =+-+-++-，[)1,x ∈+∞，通过求导证明()0h x <即可．【详解】解：（Ⅰ）()f x 的定义域为()1,-+∞，()()ln 12f x a x x +'=-.由()f x 是减函数得，对任意的()1,x ∈-+∞，都有()()ln 120f x a x x +-'=≤恒成立.设()()ln 12g x a x x =+-.∵()2121a x g x x ⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'=+，由0a >知112a->-， ∴当1,12a x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()'0g x >；当1,2a x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，∴()g x 在1,12a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， ∴()g x 在12ax =-时取得最大值. 又∵()00g =，∴对任意的()1,x ∈-+∞，()()0g x g ≤恒成立，即()g x 的最大值为()0g .∴102a-=，解得2a =. （Ⅱ）由()f x 是减函数，且()00f =可得，当0x >时，()0f x <， ∴()0f n <，即()()221ln 12n n n n ++<+.两边同除以()221n +得，()ln 1121211n n n n n n ++<⋅⋅+++，即12211n n n a n n +<⋅⋅++. 从而12311233452 (2234)12341n n nn n T a a a a n n +⎛⎫⎛⎫=<⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭ 11221n n n ++=⋅+， 所以()()()212ln 2ln 21n n n n T n +⎡⎤+⎡⎤+<⎢⎥⎣⎦+⎢⎥⎣⎦()()()2ln 2ln 11ln2n n n =+-+-+①.下面证()()()2ln 2ln 11ln2102nn n n +-+-++-<；记()()()()2ln 2ln 11ln212xh x x x x =+-+-++-，[)1,x ∈+∞.∴()22111ln2ln2212322x h x x x x x =--+=-++'+++ 11ln2223x x=-+++，∵2y x x=+在[)2,+∞上单调递增， ∴()h x '在[)2,+∞上单调递减，而()()()()11112ln223ln22ln806233h x h ≤=-+=-=-'<'， ∴当[)2,x ∈+∞时，()0h x '<恒成立，∴()h x 在[)2,+∞上单调递减，即[)2,x ∈+∞时，()()22ln4ln33ln2ln2ln30h x h ≤=--=-<，∴当2n ≥时，()0h n <.∵()1912ln3ln22ln2ln 028h =---=-<， ∴当*n N ∈时，()0h n <，即()()()2ln 2ln 11ln212n n n n +-+-+<-②. 综上①②可得，()ln 212n n n T ⎡⎤+<-⎣⎦. 【点睛】 本题考查了导数与函数的单调性的关系，考查了函数的最值，考查了构造函数的能力，考查了逻辑推理能力与计算求解能力，属于难题．，22．曲线1C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），曲线2C 的直角坐标方程为10x +-=.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的极坐标方程；（2）若直线:l y kx =与曲线1C ，2C 的交点分别为A ，B （A ，B 异于原点），当斜率3k ∈⎣时，求1||||OA OB +的取值范围. 【答案】(1) 1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，2C 的极坐标方程为cos sin 1ρθθ+=.(2) 3,⎡⎣【解析】(1)由题意首先将参数方程化为普通方程，然后转化为极坐标方程即可；(2)利用(1)中求得的极坐标方程和极坐标的几何意义将原问题转化为三角函数求值域的问题，结合三角函数的性质可得1||||OA OB +的取值范围. 【详解】（1）由1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩消θ得()2211x y -+=，即2220x y x +-= 将cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+代入1C ，2C 得1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，2C的极坐标方程为cos sin 1ρθθ=. （2）设直线l 的极坐标方程为θα=，ρ∈R ，,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 联立方程可得A 2cos ρα=，B ρ=所以1||2cos ||OA OB α+=+cos 3cos ααα+=3παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 又,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则有2,323πππα⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即sin 3πα⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦综上1||OA OB +的取值范围为3,⎡⎣ 【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程、极坐标方程的转化，极坐标方程的几何意义，三角函数的取值范围等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23．已知函数()21f x x x =-++.（1）解关于x 的不等式()4f x x ≥-；（2）设(){},|a b y y f x ∈=,试比较()2a b +与4ab +的大小.【答案】（1）(,3][1,)-∞-⋃+∞；（2）2()4a b ab +<+.【解析】试题分析：（1）零用零点分段法去绝对值，化21(1)()21{3(12)21(2)x x f x x x x x x -+<-=-++=-≤≤->，分别令()4f x x ≥-，可求得解集为(,3][1,)-∞-⋃+∞；（2）由（1）易知()3f x ≥，所以3,3a b ≥≥，利用差比较法，作差，2()(4)224(2)(2)0a b ab a ab b a b +-+=-+-=--<，所以2()4a b ab +<+. 试题解析：（1）21(1)()21{3(12)21(2)x x f x x x x x x -+<-=-++=-≤≤->所以1{3214x x x x <-⇒≤--+≥-或12{1234x x x -≤≤⇒≤≤≥-，或2{2214x x x x >⇒>-≥-. 所以不等式的解集为(,3][1,)-∞-⋃+∞.（2）由（1）易知()3f x ≥，所以3,3a b ≥≥，由于2()(4)224(2)(2)a b ab a ab b a b +-+=-+-=--，因为3,3a b ≥≥，所以20,20a b ->-<，即(2)(2)0a b --<， 所以2()4a b ab +<+.【考点】不等式选讲.。

雅礼中学2020届高三月考试卷（五）数学（理科）一、选择题1.复数z 满足()214z i i +=，则复数z 的共轭复数z =（ ）A. 2B. -2C. 2i -D. 2i【答案】A【分析】根据复数的乘法与除法运算,化简即可求得复数z .结合共轭复数的定义即可得z .【详解】将式子()214z i i +=化简可得 ()244221ii z ii ===+ 根据共轭复数定义可知2z =故选:A【点睛】本题考查了复数乘法与除法的运算,共轭复数的概念,属于基础题.2.已知命题p ：x R ∀∈，2230x x -+≥；命题q ：若22a b <，则a b <，下列命题为假命题的是（ ）A. p q ∨B. ()p q ∨⌝C. p q ⌝∨D. ()p q ⌝∨⌝【答案】C【分析】解不等式可判断命题p ,根据不等式性质可判断q ,即可由复合命题的性质判断命题真假.【详解】命题p :x R ∀∈,2230x x -+≥因为()2120x -+≥,所以命题p 为真命题命题q ：若22a b <,则a b <,当1,4a b ==-时不等式不成立,所以命题q 为假命题由复合命题真假判断可知p q ∨为真命题;()p q ∨⌝为真命题;p q ⌝∨为假命题;()p q ⌝∨⌝为真命题 综上可知,C 为假命题 故选:C【点睛】本题考查了命题真假的判断,复合命题真假的判断,属于基础题. 3.已知3na x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中各项的二项式系数之和为32，且各项系数和为243，则展开式中7x 的系数为（ ）A. 20B. 30C. 40D. 50【答案】C 【分析】根据二项式系数和可求得n 的值,由各项系数和可求得a 的值,进而由二项定理展开式的通项求得7x 的系数即可. 【详解】因为3n a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中各项的二项式系数之和为32 则232n =,解得5n = 所以二项式53a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 因为53a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式各项系数和为243 令1x =,代入可得()5512433a ==+ 解得2a = 所以二项式为532x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 则该二项式展开式的通项为()5315415522rr r r r r r T C x C x x --+⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭ 所以当展开式为7x 时,即1547r x x -= 解得2r =则展开式的系数为225241040C ⋅=⨯= 故选：C【点睛】本题考查了二项定理的综合应用,二项式系数与项的系数概念,二项展开式的通项及应用,属于基础题.4.中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样的一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起其因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达了目的地，问此人第三天走的路程里数为（ ）A. 192B. 48C. 24D. 88 【答案】B【分析】根据题意可知此人行走的里程数为等比数列,设出第一天行走的里程,即可由等比数列的前n 项和公式,求得首项.即可求得第三天行走的路程里数.【详解】由题意可知此人行走的里程数为等比数列设第一天行走的路程为m ,且等比数列的公比为12q =则由等比数列的前n 项和公式()111n n a q S q -=- 代入可得6112378112m ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=- 解得192m = 根据等比数列的通项公式11n n a a q -=代入可得231192482a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭ 故选:B 【点睛】本题考查了等比数列通项公式及前n 项和公式的实际应用,对题意理解要正确,属于基础题. 5.ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，且2c a =，则sin B 的值为（ ） A. 34B. C. 1D. 【答案】B【分析】根据sin A ,sin B ,sin C 成等比数列,再由正弦定理可得2b ac =.结合2c a =,代入余弦定理,即可求得cos B ,再由同角三角函数关系式即可求得sin B .【详解】因为sin A ,sin B ,sin C 成等比数列则2sin sin sin B A C =⋅ 由正弦定理sin ,sin ,sin ,222a b c A B B R R R===代入可得2b ac = 又因为2c a =,代入余弦定理2222cos b a c ac B =+- 代入化简可得2223cos 24b ac B ac +-== 因为0B π<<,所以sin 0B >而由同角三角函数关系式,可知sin B === 故选:B 【点睛】本题考查了等比中项定义及应用,正弦定理与余弦定理解三角形,同角三角函数关系式应用,综合性强,但难度不大,属于中档题.6.执行如图所示的程序框图，若输出的ｋ＝6，则输入整数p 的最大值是（ ）。

湖南省长沙市雅礼中学2020届高三上学期第3次月考数学试题（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.若复数z 满足()11i z i +=-（其中i 是虚数单位），则1z +=（ ）A.B.C. 2D.『答案』A『解析』由题：()11i z i +=-，()()()()11121112i i i iz i i i i ----====-++-，11z i +=-故选：A2. 下列命题中，真命题是（ ） A. 00,0x x R e∃∈≤B. 0a b +=的充要条件是0a bC. 若0x R ∀∈>D. 若,x y R ∈，且2x y +>，则,x y 至少有一个大于1『答案』D 『解析』00,x e >∴A 假；0,,a b a b +=∴=-∴C 假；无意义，C 假，故选D.3.已知2log 0.8a =，0.82b =，20.8c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. a b c <<B. b c a <<C. a c b <<D. c a b <<『答案』C『解析』由题：22log 0.8log 10a =<=，0.80221b =>=， 2000.80.81c <=<=，所以a c b <<. 故选：C4.中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.2019年9月25日，中国科研人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的着陆位置，并再现了嫦娥四号的落月过程，该成果由国际科学期刊《自然·通讯》在线发表.如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①1122a c a c +=+；②1122a c a c -=-；③1212c c a a <；④1212c ca a >.其中正确的式子的序号是（ ）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④『答案』D『解析』由图可知：1212,a a c c >>所以1122a c a c +>+，所以①不正确；在椭圆轨道Ⅰ中可得：11a c PF -=，椭圆轨道Ⅱ中可得：22PF a c =-， 所以1122a c a c -=-，所以②正确；1221a c a c +=+，同时平方得：22221212212122a c a c a c a c ++=++，所以22221112222122a c a c a c a c -+=-+，即2211222122b a c b a c +=+，由图可得：2212b b >，所以122122a c a c <，2121c c a a <，所以③错误，④正确. 故选：D 5.函数()21sin 1xx e f x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象大致形状为（ ） A. B.C. D.『答案』A『解析』()211sin sin 11x x xe xf x x e e -⎛⎫=-=⋅ ⎪++⎝⎭， ()()()()11sin sin sin 1111x x xx x xe e e x x xf x f x e e e----=⋅-=⋅---=++⋅=+， 所以()f x 为偶函数，排除CD ；()221s 202in 1e e f -=⋅<+，排除B ，故选：A6.一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形，侧视图是等腰三角形，则该几何体的表面积为（ ）A. 168B. 98C. 108D. 88『答案』D『解析』由三视图知该几何体是直三棱柱，且三棱柱的高为4，底面是等腰三角形，三角形的底边边长为6，高为4， ∴腰长为5，∴底面三角形的周长为5+5+6＝16， ∴几何体的表面积S ＝2×12×6×4+（5+5+6）×4＝24+64＝88． 故选D ．7.在边长为2的正ABC ∆中，设2BC BD =，3CA CE =，则AD BE ⋅=（ ） A -2B. -1C. 23-D. 83-『答案』B『解析』边长为2的正ABC ∆中，22cos602AB AC ︒⋅=⨯⨯=设2BC BD =，3CA CE =，()12AD AB AC =+ 23BE AE AB AC AB =-=-，所以AD BE ⋅=()1223AB AC AC AB ⎛⎫+- ⎪⎝⎭.22121233AB AC AB AC ⎛⎫=-+-⋅ ⎪⎝⎭1824233⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭1=-故选：B8.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若120C =︒，sin C A =，则（ ） A. a b = B. a b <C. a b >D. a 与b 的大小关系不能确定『答案』C『解析』由题：在ABC ∆中，120C =︒，A 为锐角，sin C A =，所以2A =，sin 4442A A ==<=所以30A ︒>，则30B ︒<， 所以,sin sin A B A B >>， 根据正弦定理a b >. 故选：C9.在某种信息传输过程中，用6个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，例如001100就是一个信息.在所有信息中随机取一信息，则该信息恰有3个0的概率是（ ） A.516B.1132C.2132D.1116『答案』A『解析』用6个数字的一个排列（数字允许重复），所用数字只有0和1， 可以表示的信息一共6264=个，该信息恰有3个0：共有3620C =个，所以所有信息中随机取一信息，则该信息恰有3个0的概率是2056416=.故选：A10.关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的个数为（ ）①利用残差进行回归分析时，若残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内，则说明线性回归模型的拟合精度较高；②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，期望与方差均没有变化；③调查剧院中观众观后感时，从50排（每排人数相同）中任意抽取一排的人进行调查是分层抽样法；④已知随机变量X 服从正态分布()3,1N ，且()240.6826P X ≤≤=，则()40.1587P X >=.A. 1B. 2C. 3D. 4『答案』B『解析』根据利用残差进行回归分析可得①说法正确；将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差均没有变化，期望发生改变，所以②说法错误；调查剧院中观众观后感时，从50排（每排人数相同）中任意抽取一排的人进行调查，没有明显层次，不是分层抽样法，所以③错误；已知随机变量X 服从正态分布()3,1N ，且()240.6826P X ≤≤=，根据正态分布密度曲线特征则()10.682640.15872P X ->==，所以④正确. 故选：B11.关于函数()()()sin cos cos sin f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减； ③()f x 的周期是π；④()f x 的最大值为2. 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①②③B. ②④C. ①②D. ①③『答案』C『解析』()()()sin cos cos sin f x x x =+，()()()()()()()sin cos cos sin sin cos cos sin f x x x x x -=-+-=+- ()()()sin cos cos sin x x f x =+=，所以()f x 为偶函数，①正确；()()0,,sin 0,1,cos 0,12x x x π⎛⎫∈∈∈ ⎪⎝⎭，0,,sin 2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增，cos x 单调递减，()0,1,sin t t ∈单调递增，cos t 单调递减，根据复合函数单调性判断法则，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()sin cos ,cos sin y x y x ==均为减函数，所以()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，所以②正确； 假设()f x 的周期是π，必有()()0f f π=()()()0sin cos0cos sin0sin111f =+=+>， ()()()sin cos cos sin sin1cos11f πππ=+=-+<，所以()()0ff π≠，所以()f x 的周期不可能是π，所以③错误；假设()f x 的最大值为2，取()2f a =，必然()()sin cos 1,cos sin 1a a ==， 则cos 2,2a k k Z ππ=+∈与[]cos 1,1a ∈-矛盾，所以()f x 的最大值小于2，所以④错误. 故选：C12.已知1F ，2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点，过1F 的直线与圆222x y a +=相切且分别交双曲线的左、右两支于A 、B 两点，若2AB BF =，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. 30x y ±=B. 0y ±=C.)10x y ±=D.)10x y ±=『答案』C『解析』由双曲线的定义可知12112a BF BF BF AB AF =-=-=，2124AF a AF a =+=，在12AF F ∆中，()()()()()22212224cos 222a c a bAF F c a c +-=∠=， 整理得22220b ab a --=.解得1ba=+所以双曲线的渐近线方程为(1y x =±+. 故选：C第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.根据下列算法语句，当输入x 为80时，输出y 的值为______.『答案』33『解析』由算法语句可得，该程序的作用是：求解函数值，当50x ≤时，0.5y x =，当50x >，()150.650y x =+-，所以当输入x 为80时，输出()150.6805033y =+-=. 故『答案』为：3314.已知()()2*0121,2nn n x a a x a x a x n N n +=++++∈≥，若02a ，1a ，2a 成等差数列，则n =______.『答案』4『解析』由题：()()2*0121,2nn n x a a x a x a x n N n +=++++∈≥，由二项式定理可得：012012,,n n n a C a C a C ===，()*2,n N n ∈≥02a ，1a ，2a 成等差数列，所以10222a a a =+，即10222n n n C C C =+，()1222n n n -=+， 2540n n -+=解得：4n =或1n =（舍去）， 所以4n =. 故『答案』为：415.已知非负实数a ，b 满足2a b +≤，则关于x 的方程220x ax b ++=有实根的概率是______.『答案』512『解析』记区域0,02a b a b ≥≥⎧⎨+≤⎩的面积为12S =， 区域20,02a b a b b a ≥≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩的面积为12312001115112326S x dx x=+⨯⨯=+=⎰， 因此21512S p S ==.故『答案』为：51216.在四面体ABCD 中，已知2AB BD DC CA ====，则此四面体体积的最大值是______.『解析』根据该锥体的几何特征，考虑平面ABC 与平面BCD 绕BC 旋转而成的几何体，其体积等价于考虑平面ABD 与平面ACD 绕AD 旋转而成的几何体， 以平面BCD 作为锥体底面，要使体积最大，平面ABC ⊥平面BCD ，设,04BC x x =<<，取BC 中点E ，连接,AE DE ，有,AE BC DE BC ⊥⊥，AE DE ==根据面面垂直的性质，AE ⊥平面BCD ，所以锥体体积()231141664241132A BCD x x x x x V -⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭=⨯ 考虑函数()()3116,0424f x x x x =-+<< ()()()()211316442424f x x '=-+=，0,3x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，0f x ，函数单调递增，4x ⎫∈⎪⎪⎝⎭，0f x ，函数单调递减，所以()3max11624f x f ⎛ ==-+= ⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故『答案』为：27三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知正数数列{}n a 的前n 项和n S ，满足()*11n n a a S S n N =+∈．（1）求{}n a 的通项公式； （2）设n nnb a =，求证：122n b b b +++<．解：（1）当1n =时，2111a a a =+，又0n a >，所以12a =；当2n ≥时，()()112222n n n n n a S S a a --=-=---，所以12n n a a -=，因此{}n a 是以12a =为首项为公比的等比数列，故()*2n n a n N =∈．（2）令12231232222n n n n T b b b =+++=++++， 则234111*********n n n n n T +-=+++++， 两式相减得23111111222222n n n nT +=++++-，所以()231111111222222222nn n n n T n -⎛⎫=+++++-=-+< ⎪⎝⎭考点：1、数列的通项公式；2、数列前n 项和；3、错位相减法. 18.如图，已知AB 是半径为2的半球O 的直径，,P D 为球面上的两点且060DAB PAB ∠=∠=，PD =（1）求证：平面PAB ⊥平面DAB ； （2）求二面角B AP D --的余弦值．（1）证明：在PAB ∆中，过P 作PH AB ⊥于点H ，连HD ． 由Rt APB Rt ADB ∆≅∆可知DH AB ⊥，且1PH DH AH ===， 又 222336PH HD PD +=+==，∴PH HD ⊥．又AB HD H ⋂=， ∴PH ⊥平面ABD ，又PH ⊂平面PAB ， ∴平面PAB ⊥平面ABD ．（2）解：由（1）可知,,HB HD HP 两两垂直，故以H 为原点，,,HB HD HP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系，可知()()()(1,0,0,3,0,0,,A B D P -．设平面APD 的法向量为(),,m x y z = ，则·0·0m AD m AP ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即()()()(,,0,,0x y z x y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴00x x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，令x =1y z ==，∴()m =， 又平面APB 的法向量()0,1,0n =，∴·cos ,55?1m n m n m n 〈〉===， 而二面角B AP D--与,m n 的夹角相等，因此所求的二面角B AP D --的余弦值为5．19.已知函数()sin 1f x x x =-. （1）求曲线()y f x =在点,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程； （2）判断()f x 在()0,π内的零点个数，并加以证明. 解：（1）()'sin cos f x x x x =+，所以切线方程为'222y f f x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即1y x =-，亦即10x y --=.（2）①当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()'sin cos 0f x x x x =+>，所以()f x 0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，且()010f =-<，1022f ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，故()f x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦内有唯一零点1x .②当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，令()()'g x f x =，则()'2cos sin 0g x x x x =-<，所以 ()g x 在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，且102g π⎛⎫=> ⎪⎝⎭，()0g ππ=-<，所以存在,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0g α=，所以当,2x πα⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()()'0f x g x =>，即()f x 在,2πα⎛⎫⎪⎝⎭递增， 当(),x απ∈时，()()'0f x g x =<，即()f x 在(),απ递减. 又()1022ff ππα⎛⎫>=-> ⎪⎝⎭，()10f π=-<. 故()f x 在(),απ内有唯一的零点2x .综上，()f x 在()0,π内有且仅有两个零点1x ，2x .20.某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A ，B 两种奶制品.生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1 000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1 200元.要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产A ，B 两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W (单位：吨)是一个随的机变量，其分布列为该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z (单位：元)是一个随机变量. (I)求Z 的分布列和均值；(II)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10 000元的概率.解：（Ⅰ）设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ，相应的获利为z ，则有2 1.5,1.512,{?20,0,? 0.x y W x y x y x y +≤+≤-≥≥≥（1）目标函数为10001200z x y =+．当12W =时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为(0,?0),?(2.4,?4.8),?(6,?0)A B C ． 将10001200z x y =+变形为，当 2.4,?4.8x y ==时，直线l ：在y 轴上的截距最大，最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=．当15W =时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为(0,?0),?(3,?6),?(7.5,?0)A B C ． 将10001200z x y =+变形为，当3,?6x y ==时，直线l ：在y 轴上的截距最大，最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=． 当18W =时，（1）表示的平面区域如图3，四个顶点分别为(0,?0),?(3,?6),?(6,?4),?(9,?0)A B C D ． 将10001200z x y =+变形为，当6,4x y ==时，直线l ：在y 轴上的截距最大，最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=． 故最大获利y 的分布列为因此，()81600.3102000.5108000.29708.E Z =⨯+⨯+⨯=（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=， 由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为3311(1)10.30.973.p p =--=-=21.已知曲线1C 上任意一点M 到直线l ：4y =的距离是它到点()0,1F 距离的2倍；曲线2C 是以原点为顶点，F 为焦点的抛物线. （1）求1C ，2C 的方程； （2）设过点F动直线与曲线2C 相交于A ，B 两点，分别以A ，B 为切点引曲线2C 的两条切线1l ，2l ，设1l ，2l 相交于点P .连接PF 的直线交曲线1C 于C ，D 两点. （i ）求证：CD AB ⊥；（ii ）求AD CB ⋅的最小值.解：（1）设(),M x y ，则由题意有4y =-，化简得：22134x y +=. 故1C 的方程为22134x y +=，的()0,1F 为抛物线的焦点，设其方程22x py =，1,22pp == 易知2C 的方程为24x y =.（2）（i ）由题意可设AB 的方程为1y kx =+，代入24x y =得2440x kx --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则121244x x k x x +=⎧⎨=-⎩，由214y x =有1'2y x =，所以1l ，2l 的方程分别为2111124y x x x =-，2221124y x x x =-.故1212,24x x x x P +⎛⎫⎪⎝⎭， 即()2,1P k -，1PF k k=-，从而CD AB ⊥. （ii ）可设CD 的方程为11y x k =-+，代入22134x y +=得()22224384120ky k y k +-+-=，设()33,C x y ，()44,D x y ，则2342234284341243k y y k k y y k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 所以()()AD CB AF FD CF FB ⋅=++AF CF FD CF F FB F D A FB +=⋅+⋅⋅⋅+AF FB FD CF =+()()123411114422y y y y =+++-⋅- ()()()()1234122444kx kx y y =+++-- ()()21212343412444k x x k x x y y y y =++++-++()()22291139414344k k t k t +⎛⎫=++=++ ⎪+⎝⎭（其中2433t k =+≥）. 设()()934t t f t t =+≥，则()2229491044'f t t t t-=-=>，故f t 在[)3,+∞单调递增， 因此139133374444t A B t D C ⎛⎫=++≥++= ⎪⎭⋅⎝=，当且仅当3t =即0k =等号成立. 故AD CB ⋅的最小值为7.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2222111t x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（t 为参数）.在极坐标系（与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，sin 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.（1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；（2）设P 是曲线C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值.解：（1）因为222222221111t t x y t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭，所以曲线C 的普通方程为221x y +=.sin 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭展开得sin cos 3ρθρθ-=，即3y x -=，因此直线l 的直角坐标方程为30x y -+=.（2）设()cos ,sin P θθ，则点P 到直线l 的距离为d ==1≤+. 等号成立当且仅当sin 14πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即()724k k Z πθπ=+∈，即P ⎝⎭. 因此点P 到直线l的距离的最大值为12+. 23.（1）设a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=，证明：1119a b c++≥； （2）解关于x 不等式：2323x x x x <-<.解：（1）a ，b ，c 均为正数，由柯西不等式有()2111a b c a b c ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭9=， 所以有1119a b c++≥. （另解()111111a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭332229b a c a c b a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++≥+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭）（2）由2323x x x x <-<有x x <可知0x <.因此原不等式等价于2323x x x x <-<-，即21231x x >->-.即22123231x x x x ⎧>-⎪⎨->-⎪⎩，2221032031x x x x -+>--<⎧⎪⎨⎪⎩， 23210x x -+>恒成立，只需解23210x x --<且0x <解之得103x -<<. 因此原不等式的解集为1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭.。

湖南省2020届雅礼中学高三5月质量检测卷
理科数学
（本试卷满分 150 分，考试时间： 120 分钟）
第I卷选择题（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
l已知集合A={xlx2-x-6>0},B={-4,-3,3,4}, 则AnB=
A.{-4,-3,3,4}
B.{-4,-3,3} c.{-4,3,4} D.{-4,-3,4}
2已知复数Z沥足z(l一i)= 3-4i, 其中1为虚数单位则在复平面内，复数；对应的点在
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限D第四象限
3. 已知a=log心，b=log32,c=22, 则a,b,c的大小关系是
A. a >b>c
B. a > c >b
C. c>a >b
D.c>b> a
4若直线x+ay-2=0与3x-6y+I=0乖且，则三项式（矿－乌5的展开式中x的系数为A.-2 B.-2 C.2D.2
5已知函数/(x)足定义在R上的偶函数，在仅间[o,+oo)上单调递Jfl'且，/(2)=0, 则不等式/(l o g2x)> 0的解织为
I
A.(-oo,-)U(4,+co)
4
I
C.(一，1)U(4,+oo)
4 B. (一，2)U(2,4)
4
D.(O, 一）UC4, 如）
4
6 《宋人扑枣图轴》处作T-宋朝的中闪如画，现收藏丁·中因台北故宫博物院．该作品简介：
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2020年湖南省长沙市雅礼中学高考数学质检试卷2（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|2x2+x>0}，B={x|2x+1>0}，则A∩B=()A. {x|x>−12} B. {x|x>12} C. {x|x>0} D. R2.已知i为虚数单位，复数z−(2+i)=3+2i，则下列结论正确的是()A. z的共轭复数为85−15i B. z的虚部为−15C. z在复平面内对应的点在第二象限D. |z|=953.设a=1.60.3，b=log219，c=0.81.6，则a，b，c的大小关系是()A. a<b<cB. b<a<cC. b<c<aD. c<a<b4.在(2x2−1x)5的二项展开式中，x的系数为()A. −10B. 10C. −40D. 405.已知f(x)是定义在R上的偶函数，它在[0,+∞)上是减函数，如果f(lgx)>f(1)，那么x的取值范围是()A. (110,1) B. (0,110)∪(1,+∞)C. (110,10) D. (0,1)∪(10,+∞)6.济南市某公交线路某区间内共设置四个站点(如图)，分别记为A，A1，A2，A3，现有甲、乙两人同时从A站点上车，且他们中的每个人在站点A i(i=0,1，2，3)下车是等可能的.则甲、乙两人不在同一站点下车的概率为()A. 23B. 34C. 35D. 127.在数列{a n}中，a1=1，a n−a n−1=n(n≥2)，则a n等于()A. nB. (n+1)nC. n22D. n(n+1)28.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，若|PF1|−|PF2|=2，且双曲线的一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直，则双曲线的方程为()A. x 24−y 2=1B. x 2−4y 2=1C. x 2−y 24=1D. 4x 2−y 2=19. 直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∠ACB =90°，AC =AA 1=a ，则点A 到平面A 1BC 的距离是( )A. aB. √2aC. √22a D. √3a10. 已知△ABC 是边长为1的等边三角形，则(AB⃗⃗⃗⃗⃗ −2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(3BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=( ) A. −132B. −112C. −6−√32 D. −6+√3211. 设函数f(x)=|sin(2x +π3)|，则下列关于函数f(x)的说法中正确的是( )A. f(x)是偶函数B. f(x)最小正周期为πC. f(x)图象关于点(−π6,0)对称D. f(x)在区间[π3,7π12]上是增函数12. 如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O.D 、E 、F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D 、E 、F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm 3)的最大值为( )A. 4√15cm 3B. √15cm 3C. 2√15cm 3D. 3√15cm 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知f(x)为奇函数，当x ≤0时，f(x)=x 2−3x ，则曲线y =f(x)在点(1,−4)处的切线方程为_______．14. 某中学教务处采用系统抽样方法，从学校高一年级全体1000名学生中抽50名学生做学习状况问卷调查．现将1000名学生从1到1000进行编号．在第一组中随机抽取一个号，如果抽到的是17号，则第8组中应取的号码是_______． 15. 设A,B 分别是椭圆C:x 24+y 2=1的上下两个顶点，P 为椭圆C 上任意一点(不与点A,B 重合)，直线PB,PA 分别交x 轴于M,N 两点，若椭圆C 在P 点的切线交x 轴于Q 点，则|MQ −NQ |=__________．16. 若数列{a n }的前n 项的和为S n ，且a n =3S n −2，则{a n }的通项公式______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若(a −c)(sinA +sinC)=b(sinA −sinB)．(1)求角C ；(2)若△ABC的外接圆半径为2，求△ABC周长的最大值．18.如图四棱锥P−ABCD中，△ABD为正三角形，∠BCD=2π，CD=CB=CP，PB⊥PD．3(Ⅰ)求证：AC⊥平面PBD；(Ⅱ)若PB=PD，求二面角A−PB−C的余弦值．19.2013年11月，习近平总书记到湖南湘西考察时首次作出了“实事求是、因地制宜、分类指导精准扶贫”的重要指示.2014年1月，中央详细规制了精准扶贫工作模式的顶层设计，推动了“精准扶贫”思想落地.2015年1月，精准扶贫首个调研地点选择了云南，标志着精准扶贫正式开始实行．某市扶贫办立即响应党中央号召，要求某单位对某村贫困户中的A 户进行定点帮扶，该单位每年年底调查统计，从2015年至2018年统计数据如下(y 为人均年纯收入)：(Ⅰ)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂，并估计A户在2019年能否脱贫；(注：国家规定2019年脱贫标准：人均年纯收入为3747元)(Ⅱ)2019年初，该市扶贫办对全市贫困户进行脱贫统计，脱贫率为90%，以该频率代替概率，现从该市贫困户中随机抽取3户进行调查(已知该市各户脱贫与否相互独立)，记X 表示脱贫户数，求X 的分布列和数学期望． 参考公式：b ̂=∑x i n i=1y i −nx −⋅y−∑x i 2n i=1−nx−2，a ̂=y −−b ̂x −，其中x −，y −为数据x ，y 的平均数．20. 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，经过点M(x 0,1)，并且点M 到抛物线焦点的距离为2． (1)求抛物线的标准方程及焦点坐标；(2)若直线l ：y =34x +1与抛物线交于A ，B 两点，求△AOB 的面积．x2+x+1(a∈R)．21.已知函数f(x)=xlnx−a2(1)若y=f(x)在(0,+∞)上单调递减，求a的取值范围；(2)当0<a<1时，函数y=f(x)−x有两个极值点x1，x2(x1<x2)，证明：x1+x2>2．22.将圆x2+y2=4上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的1，得曲线C2(Ⅰ)写出C的参数方程；(Ⅱ)设直线l：x+2y−2=0与曲线C相交，交点分别为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．23.已知a>0，b>0，函数f(x)=|x+a|+|x−b|的最小值为4．(1)求a+b的值；b2的最小值．(2)求a2+14-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：A ={x|x <−12,或x >0},B ={x|x >−12}； ∴A ∩B ={x|x >0}． 故选：C ．可求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.答案：B解析：解：由z −(2+i)=3+2i ，得z −=3+2i 2+i=(3+2i)(2−i)(2+i)(2−i)=85+15i ，∴z =85−15i ， 则z 的虚部为−15． 故选：B ．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 及z −，然后逐一核对四个选项得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：C解析： 【分析】本题考查比较大小，考查指数函数和对数函数的单调性，属于基础题． 利用中间值0，1，得出a ，b ，c 的范围，可得答案． 【解答】解：a =1.60.3>1，b =log 219<0，c =0.81.6∈(0,1)． 可得b <c <a ． 故选：C ．)5的二项展开式的通项公式为T r+1=C5r⋅25−r⋅x10−2r⋅(−1)r⋅(x)−r=(−1)r⋅解析：解：在(2x2−1xC5r⋅25−r⋅x10−3r．令10−3r=1，可得r=3，故x的系数为(−1)3⋅25−3⋅C53=−40，故选：C．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求出r的值，即可求得x的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．5.答案：C解析：【分析】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性的关系进行转化是解决本题的关键，属于基础题．根据函数奇偶性和单调性的关系进行求解即可．【解答】解：根据题意知f(x)为偶函数，则f(lgx)=f(|lgx|)，又∵x∈[0,+∞)时，f(x)是减函数，且f(lgx)=f(|lgx|)>f(1)，可得所以|lgx|<1，<x<10．∴−1<lgx<1，解得110故选C．6.答案：A解析：【分析】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．甲、乙两人下车包含的基本事件个数n=3×3=9，甲、乙两人不在同一站点下车包含的基本事件个数m=A32=6，由此能求出甲、乙两人不在同一站点下车的概率．解：济南市某公交线路某区间内共设置四个站点(如图)，分别记为A0，A1，A2，A3，现有甲、乙两人同时从A0站点上车，且他们中的每个人在站点A i(i=0,1，2，3)下车是等可能的．则甲、乙两人包含的基本事件个数n=3×3=9，甲、乙两人不在同一站点下车包含的基本事件个数m=A32=6，∴甲、乙两人不在同一站点下车的概率为p=mn =69=23．故选A．7.答案：D解析：解：数列{a n}中，a1=1，a n−a n−1=n(n≥2)，a1=1，a2−a1=2，a3−a2=3，a4−a3=4，…a n−a n−1=n，累加可得：a n=1+2+3+4+⋯+n=n(n+1)2，故选：D．利用累加法转化求解数列的通项公式即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力．8.答案：C解析：解：∵双曲线的一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直，∴ba=2，又|PF1|−|PF2|=2a=2，∴a=1，∴双曲线方程为：x 2−y 24=1．故选：C ．根据直线垂直得出ba =2，根据双曲线的定义可得2a =2，从而可求出a ，b 的值，得出双曲线方程． 本题考查了双曲线的定义域性质，属于中档题．9.答案：C解析：解：取A 1C 的中点O ，连接AO ． ∵AC =AA 1，∴AO ⊥A 1C . 又该三棱柱是直三棱柱， ∴平面A 1A ⊥平面ABC ．又∵，∠ACB =90°∴BC ⊥AC ，∴BC ⊥AO ．因此AO ⊥平面A 1BC ，即A 1O 等于A 到平面ABC 的距离．解得A 1O =√22a.故选C取A 1C 的中点O ，连接AO.说明A 1O 等于A 到平面ABC 的距离，直接求解即可．本题考查点、线、面间的距离计算，正确分析题目的条件，找出几何体中的直线与平面之间的关系，即可获得解题思路．利用几何体的特征是本题的关键．10.答案：B解析：解：(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(3BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −4AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −6BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+8BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3×1×1×cos120°−4×1×1×cos60°−6×12+8×1×1×cos60° =−32−2−6+4=−112．故选：B ． 将式子展开计算．本题考查了平面向量的数量积运算，判断各向量的夹角是关键．11.答案：D解析：解：A.由于f(−x)=|sin(−2x+π3)|=|sin(2x−π3)|≠f(x)，故A错；B.由于f(x+π2)=|sin[2(x+π2)+π3]|=|sin(2x+π3+π)|=|sin(2x+π3)|=f(x)，故f(x)最小正周期为π2，故B错；C.函数f(x)=|sin(2x+π3)|的图象可看作由函数f(x)=|sin2x|的图象平移可得，而函数f(x)=|sin2x|的图象无对称中心，如图，故C错；D.由于函数f(x)=|sin2x|的增区间是[kπ2,kπ2+π4]，k∈Z，故函数f(x)的增区间为[kπ2−π6,kπ2+π12]，k∈Z，k=1时即为[π3,7π12]，故D正确．故选D．应用函数的奇偶性定义，结合诱导公式，即可判断A；由周期函数的定义，结合诱导公式即可判断B；根据函数f(x)=|sin2x|的图象无对称中心，再由图象平移，即可判断C；由函数f(x)=|sin2x|的增区间，得到函数f(x)的增区间，即可判断D．本题主要考查三角函数的图象与性质，考查函数的周期性、奇偶性、单调性和对称性，属于中档题．12.答案：A解析：解：由题意，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=√36BC，即OG的长度与BC的长度成正比，设OG=x，则BC=2√3x，DG=5−x，三棱锥的高ℎ=√DG2−OG2=√25−10x+x2−x=√25−10x，S△ABC=12×√32×(2√3x)2=3√3x2，则V=13S△ABC×ℎ=√3x2×√25−10x=√3⋅√25x4−10x5，令f(x)=25x4−10x5，x∈(0,52)，f′(x)=100x3−50x4，令f′(x)≥0，即x4−2x3≤0，解得x≤2，则f(x)≤f(2)=80，∴V≤√3×√80=4√15cm3，∴体积最大值为4√15cm3．故选A．BC，设OG=x，则BC=2√3x，DG=5−x，由题，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=√36S△ABC×ℎ=√3⋅√25x4−10x3，令f(x)=三棱锥的高ℎ=√25−10x，求出S△ABC=3√3x2，V=13)，f′(x)=100x3−50x4，f(x)≤f(2)=80，由此能求出体积最大值．25x4−10x5，x∈(0,52本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、函数性质、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．13.答案：5x+y−1=0解析：【分析】本题考查切线方程的求法，函数的解析式的求法，考查转化思想以及计算能力．求出函数的解析式，然后求解函数的导数，求出切线的斜率，然后求解切线方程．【解答】解：设x>0，则−x<0，∴f(−x)=(−x)2−3(−x)=x2+3x．又f(x)为奇函数，∴−f(x)=x2+3x，∴f(x)═−x2−3x(x>0)，∴f′(x)=−2x−3，∴f′(1)=−2−3=−5，f(1)=−4，∴y+4=−5(x−1)=−5x+5，∴5x+y−1=0．故答案为：5x+y−1=014.答案：157解析：【分析】本题考查系统抽样，是基础题．确定分组数，即抽取间隔数，利用系统抽样的概念可求解． 【解答】解：从学校高一年级全体1000名学生中抽50名，需分成50组，每组20人， 所以第8组中应取的号码是17+7×20=157． 故答案为157．15.答案：0解析：本题考查椭圆的性质，属于中档题． 设P(m,n),A(0,1),B(0,−1)，则PA:y =n−1mx +1，N(m 1−n ,0)．PB:y =n+1mx −1，M(m1+n ,0)，在P点的切线方程为：mx 4+ny =1,Q(4m ,0)，因为m 24+n 2=1，所以MN 中点横坐标为12(m1−n +m1+n )=m 1−n =4m ，即为Q 点，因此|MQ −NQ |=0．16.答案：a n =(−12)n−1解析：解：由a n =3S n −2，① 得a 1=3S 1−2=3a 1−2，解得a 1=1； 当n ≥2时，a n−1=3S n−1−2，②①−②得：a n −a n−1=3a n ，即a n =−12a n−1(n ≥2)， ∴数列{a n }是以1为首项，以−12为公比的等比数列， 则a n =1×(−12)n−1=(−12)n−1． 故答案为：a n =(−12)n−1．由已知数列递推式求得数列首项，并得到{a n }是以1为首项，以−12为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式得答案．本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了等比数列通项公式的求法，是中档题．17.答案：解：(1)由正弦定理得：(a −c)(a +c)=b(a −b)，∴a2−c2=ab−b2∴a2+b2−c22ab =12即cosC=12，∴由余弦定理：cosC=12 ∵C∈(0,π)∴C=π3；(2)由正弦定理：2r=csinC =bsinB=asinA=4，∴a=4sinA;b=4sinB;c=4sinC=2√3，∴周长l=a+b+c，=4sinA+4sinB+2√3=4sinA+4sin(2π3−A)+2√3=4sinA+4×√32cosA+4×12sinA+2√3=6sinA+2√3cosA+2√3=4√3sin(A+π6)+2√3∵A∈(0,2π3)∴A+π6∈(π6,5π6)，∴当A+π6=π2即A=π3时l max=4√3+2√3=6√3，∴当A=B=π3时ΔABC周长最大值为6√3.解析：本题主要考查正弦定理的应用，熟悉余弦定理公式是解答本题的关键，属于中档题．(1)由正弦定理得：(a−c)(a+c)=b(a−b)，化简即可求解；(2)由正弦定理：2r=csinC =bsinB=asinA=4，化简即可求解．18.答案：(Ⅰ)证明：设AC 与BD 相交于点O ，连接PO ，BC =CD 且△ABD 为正三角形，则O 为BD 的中点， 在△BCD 中，设BC =CD =CP =2a ，∠BCD =2π3，则，OC =a ，OB =√3a ，∵PB ⊥PD ，O 为BD 的中点， ∴OP =√3a ， 又PC =2a ， ∴PC 2=PO 2+OC 2， ∴PO ⊥OC ，又AC ⊥BD ，PO ∩BD =O ，且PO ，BD ⊂平面PBD ， ∴AC ⊥平面PBD ；(Ⅱ)由PB =PD ，∴PO ⊥BD ， 又AC ⊥PO ，AC ⊥BD ，故以O 为坐标原点建立空间直角坐标系，则O(0,0，0)，P(0,0,√3a)，B(0,√3a,0)，A(3a,0，0)，C(−a,0，0)， AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3a,√3a,0),CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,√3a,0),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3a,−√3a)， 设平面PAB 法向量为n →=(x 1,y 1,z 1)， 由{AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ⃗ =−3ax 1+√3ay 1=0PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ⃗ =−√3az 1+√3ay 1=0, 令y 1=√3，得平面PAB 法向量n ⃗ =(1,√3,√3)， 同理可得平面PBC 法向量m ⃗⃗⃗ =(−3,√3,√3)，，由图可得二面角A −PB −C 的平面角为钝角， 故钝二面角A −PB −C 的余弦值为．解析：本题考查了线面垂直的判定和利用空间向量求面面的夹角，是中档题．(Ⅰ)设BC =2a ，则OC =a ，OB =√3a ，由PC 2=PO 2+OC 2，计算可得PO ⊥OC ，由线面垂直的判定定理即可证得AC ⊥平面PBD ；(Ⅱ)以O 为原点，OA ，OB ，OP 为x 轴，y 轴，z 轴正向建立空间直角坐标系，再求得平面PAB 和平面PCB 法向量，即可求得求二面角A −PB −C 的余弦值．19.答案：解：(Ⅰ)根据表格中的数据可得：x −=1+2+3+44=52，y −=25+28+32+354=30，b ̂=∑x i n i=1y i −nx −y−∑x i 2n i=1−nx−2=3.4，a ̂=y −−b ̂x −=30−3.4×52=21.5．故y 关于x 的线性回归方程y ̂=3.4x +21.5， 当x =5时，y ̂=38.5(百元)，∵3850>3747，∴A 户在2019年能脱贫； (Ⅱ)由题意可知，X ～B(3,910)，P(X =0)=C 30⋅(910)0⋅(110)3=11000，P(X =1)=C 31⋅(910)1⋅(110)2=271000， P(X =2)=C 32⋅(910)2⋅(110)=2431000，P(X =3)=C 33⋅(910)3⋅(110)=7291000．X 的分布列为： X 0123P 11000 271000 2431000 7291000∴E(ξ)=0×11000+1×271000+2×2431000+3×7291000=2710．解析：(Ⅰ)根据表格中的数据可得：b ̂与a ̂，可得y 关于x 的线性回归方程y ̂=3.4x +21.5，取x =5求得y 值得答案；(Ⅱ)由题意可知，X ～B(3,910)，利用二项分布求概率，再由期望公式求期望．本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，考查离散型随机变量的分布列及其期望，是中档题．20.答案：解：(1)依题意设抛物线的方程为：x 2=2py ，(p >0)，因为点M 到抛物线焦点的距离为2， 所以点M 到准线y =−p2的距离为2， 因为M(x 0,1)，所以1+p2=2，解得p =2，所以抛物线的方程为x 2=4y ，焦点坐标为(0,1)； (2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立方程可得{x 2=4y y =34x +1，消y 可得x 2−3x −4=0，解得x 1=4，x 2=−1， 因为直线l 过焦点，所以S △AOB =S △AOF +S △BOF =12×1×|x 1−x 2|=52．解析：(1)根据抛物线的性质和准线方程可得1+p2=2，解得p =2，即可求出抛物线的方程和焦点坐标，(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立方程可得{x 2=4y y =34x +1，求出x 1=4，x 2=−1，可得S △AOB =S △AOF +S △BOF =12×1×|x 1−x 2|本题考查了抛物线的简单性质和直线和抛物线的位置关系，考查了运算能力和转化能力，属于中档题21.答案：解：(1)f′(x)=lnx −ax +2(x >0)，由题意得f′(x)≤0在(0,+∞)恒成立， 得a ≥(lnx+2x)max ，x ∈(0,+∞)， 令g(x)=lnx+2x，x ∈(0,+∞)，g′(x)=−lnx−1x 2≥0，解得：x ≤1e ，令g′(x)≤0，解得：x ≥1e ， 故g(x)在(0,1e )递增，在(1e ,+∞)递减， 故a ≥g(1e )=e ， 故a ≥e ；(2)函数y =f(x)−x =xlnx −a2x 2+1有2个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)， 即f′(x)−1=lnx −ax +1有2个不同的零点，且均为正， 令F(x)=f′(x)−1=lnx −ax +1， 由F′(x)=1x −a =1−ax x(x >0)，可知：y =F(x)在(0,1a )递增，在(1a ,+∞)递减， 且0<x 1<1a ，构造2a −x 1>1a ，构造函数m(x)=F(2a −x)−F(x)=ln(2a −x)−a(2a −x)−(lnx −ax)，(0<x ≤1a )， 则m′(x)=1x−2a−1x +2a =2a(x−1a )2x(x−2a)<0，故m(x)在区间(0,1a )递减，又由于0<x 1<1a ，则m(x 1)>m(1a )=0， 即有m(x 1)>0在(0,1a )上恒成立， 即有F(2a −x 1)>F(x 1)=F(x 2)成立，由于x 2>1a ，2a −x 1>1a ，y =F(x)在(1a ,+∞)递减， 故x 2>2a −x 1， 故x 1+x 2>2a >2成立．解析：(1)求出函数的导数，问题转化为a ≥(lnx+2x)max ，x ∈(0,+∞)，令g(x)=lnx+2x，x ∈(0,+∞)，根据函数的单调性求出a 的范围即可；(2)求出函数的导数，问题转化为f′(x)−1=lnx −ax +1有2个不同的零点，且均为正，令F(x)=f′(x)−1=lnx −ax +1，根据函数的单调性构造2a −x 1>1a ，构造函数m(x)=F(2a −x)−F(x)=ln(2a −x)−a(2a −x)−(lnx −ax)，(0<x ≤1a )，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是一道综合题．22.答案：解：(Ⅰ)设(x 1,y 1)为圆上的点，在已知变形下变为曲线C 上的点(x,y)，则得到：{x =x 1y =12y 1，由x 12+y 12=4，得到：x 2+(2y)2=4．即：x 24+y 2=1．(Ⅱ)由{x 24+y 2=1x +2y −2=0，解得：{x =2y =0或{x =0y =1．不妨设P 1(2,0)，P 2(0,1)， 则：线段P 1P 2的中点坐标为(1,12)， 所求的直线的斜率k =2，所以：所求的直线方程为：y −12=2(x −1)， 整理得：4x −2y −3=0．转换为极坐标方程为：4ρcosθ−2ρsinθ−3=0．解析：(Ⅰ)直接利用曲线的伸缩变换求出结果．(Ⅱ)利用中点的坐标建立等量关系求出直线的方程，最后转换为极坐标方程．本题考查的知识要点：曲线的伸缩变换的应用，参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化．23.答案：解：(1)因为f(x)=|x +a|+|x −b|≥|(x +a)−(x −b)|=a +b ，当且仅当−a ≤x ≤b 时，等号成立，所以f(x)的最小值为a +b =4．(2)由(1)知a +b =4，由柯西不等式得(a 2+14b 2)(12+22)≥(1⋅a +2⋅12b)2=16． 即a 2+14b 2≥165，当且仅当a1=12b 2，即a =45，b =165时，等号成立．所以a 2+14b 2的最小值为165．解析：本题考查绝对值不等式，考查柯西不等式的运用，属于中档题．(1)利用绝对值不等式，结合条件求a+b的值；b2的最小值．(2)由(1)知a+b=4，由柯西不等式求a2+14。