湖南省长沙市雅礼中学2021届高三月考数学试卷(三)

2021年高三数学月考试卷（三）理（含解析）湘教版一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．函数f（x）=sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A． 2，﹣B．2，﹣C．4，﹣D．4，解答：解：由图知，∴T=π，即=π，解得：ω=2．由五点作图的第二点可知，2×+φ=，即φ=﹣，满足|φ|＜，∴ω，φ的值分别是2，﹣．故选：A．点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解函数解析式，解答的关键是由五点作图的某一点列式求解φ的值，是基础题．2．在等比数列{an }中，若a4，a8是方程x2﹣3x+2=0的两根，则a6的值是（）A．B．C．D．±2解答：解：∵a4，a8是方程x2﹣3x+2=0的两根，∴a4a8=2，a4+a8=3＞0．∴a4＞0，a8＞0．由等比数列{a n}，，∴．由等比数列的性质可得：a4，a6，a8同号．∴．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系、等比数列的性质，属于基础题．3．从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为（）A． 2097 B．2112 C．xx D．2090解答：解：根据如图所示的规则排列，设最上层的一个数为a，则第二层的三个数为a+7，a+8，a+9，第三层的五个数为a+14，a+15，a+16，a+17，a+18，这9个数之和为a+3a+24+5a+80=9a+104．由9a+104=xx，得a=212，是自然数．故选C．点评：本题考查简单的合情推理，得出9个数的关系是关键．4．“2a＞2b”是“lga＞lgb”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解答：解：∵2a＞2b等价于a＞b，当0≥a＞b或a＞0≥b时，lga＞lgb不成立；∴充分性不成立；又∵lga＞lgb等价于a＞b＞0，能得出2a＞2b；∴必要性成立；∴“2a＞2b”是“lga＞lgb”的必要不充分条件．故选：B．点评：本题考查了充分与必要条件的判定问题，解题时需要判定充分性是否成立，必要性是否成立，是基础题．5．过双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F作圆x2+y2=a2的切线FM（切点为M），交y轴于点P．若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率是（）A．B．C．2 D．∴OP=OF，∴∠OFP=45°∴|0M|=|OF|•sin45°，即a=c•∴e==故选A点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是利用圆的切线的性质和数形结合的数学思想的运用．6．如图是函数f（x）=x2+ax+b的部分图象，则函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（）A．（）B．（1，2）C．（，1）D．（2，3）解答：解：由函数f（x）=x2+ax+b的部分图象得0＜b＜1，f（1）=0，从而﹣2＜a＜﹣1，而g（x）=lnx+2x+a在定义域内单调递增，g（）=ln+1+a＜0，g（1）=ln1+2+a=2+a＞0，∴函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（，1）；故选C．点评：本题主要考查了导数的运算，以及函数零点的判断，同时考查了运算求解能力和识图能力，属于基础题．7．多面体MN﹣ABCD的底面ABCD为矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则AM的长（）A．B．C．D．考点：点、线、面间的距离计算；简单空间图形的三视图．专题：空间位置关系与距离．分析：取E，F分别为AD，BC的中点，则MNEF为等腰梯形，利用正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，求出ME，AE的长，即可求AM的长．解答：解：如图所示，E，F分别为AD，BC的中点，则MNEF为等腰梯形．由正（主）视图为等腰梯形，可知MN=2，AB=4，由侧（左）视图为等腰三角形，可知AD=2，MO=2∴ME==在△AME中，AE=1，∴=故选C．点评：本题考查三视图与直观图的关系，考查学生的读图能力，考查学生的计算能力，属于中档题．8．如图，在透明塑料制成的长方体ABCD﹣A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC 固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH的面积不改变；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；④当E∈AA1时，AE+BF是定值．其中正确说法是（）A．①②③B．①③C．①②③④D．①③④考点：棱柱的结构特征．专题：综合题．分析：①水的部分始终呈棱柱状；从棱柱的特征平面判断即可；②水面四边形EFGH的面积不改变；可以通过EF 的变化EH不变判断正误；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；利用直线与平面平行的判断定理，推出结论；④当E∈AA1时，AE+BF是定值．通过水的体积判断即可．解答：解：①水的部分始终呈棱柱状；从棱柱的特征平面AA1B1B平行平面CC1D1D即可判断①正确；②水面四边形EFGH的面积不改变；EF是可以变化的EH不变的，所以面积是改变的，②是不正确的；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；由直线与平面平行的判断定理，可知A1D1∥EF，所以结论正确；④当E∈AA1时，AE+BF是定值．水的体积是定值，高不变，所以底面面积不变，所以正确．故选D．点评：本题是基础题，考查棱柱的结构特征，直线与平面平行的判断，棱柱的体积等知识，考查计算能力，逻辑推理能力．9．抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积为36π，则p=（）A． 2 B．4 C．6 D．8考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，可得△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求p的值．解答：解：∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径∵圆面积为36π，∴圆的半径为6，又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|=，∴+=6，∴p=8，故选：D．点评：本题考查圆与圆锥曲线的综合，考查学生的计算能力，属于基础题．10．若存在正数x使2x（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣2，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣1，+∞）考点：其他不等式的解法；函数单调性的性质．专题：计算题；压轴题；不等式的解法及应用．分析：转化不等式为，利用x是正数，通过函数的单调性，求出a的范围即可．解答：解：因为2x（x﹣a）＜1，所以，函数y=是增函数，x＞0，所以y＞﹣1，即a＞﹣1，所以a的取值范围是（﹣1，+∞）．故选D．点评：本题考查不等式的解法，函数单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．已知复数z1=m+2i，z2=3﹣4i，若为实数，则实数m的值为．考点：复数代数形式的混合运算；复数的基本概念．分析：复数z1=m+2i，z2=3﹣4i，代入后，把它的分子、分母同乘分母的共轭复数，化为a+bi（ab∈R）的形式，令虚部为0，可求m 值．解答：解：由z1=m+2i，z2=3﹣4i，则===+为实数，得4m+6=0，则实数m的值为﹣．故答案为：点评：本题考查复数的基本概念，复数代数形式的混合运算，是基础题．12．将长、宽分别为4和3的长方形ABCD沿对角线AC折起，得到四面体A﹣BCD，则四面体A﹣BCD的外接球的体积为．考点：球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离；球．分析：折叠后的四面体的外接球的半径，就是长方形ABCD沿对角线AC的一半，求出球的半径即可求出球的表面积．解答：解：由题意可知，直角三角形斜边的中线是斜边的一半，∴长宽分别为3和4的长方形ABCD沿对角线AC折起二面角，得到四面体A﹣BCD，则四面体A﹣BCD的外接球的半径，是AC=所求球的体积为：×=．故答案为：．点评：本题考查球的内接多面体，求出球的半径，是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．13．已知x，y满足约束条件，则x2+4y2的最小值是．考点：简单线性规划．专题：数形结合．分析：令t=2y，把原问题转化为在条件下求x2+t2的最小值，作出可行域后由点到直线的距离公式求出原点到直线2x+t=2的距离，则答案可求．解答：解：∵x2+4y2=x2+（2y）2，令t=2y，则问题转化为在条件下求x2+t2的最小值．作可行域如图，，则x2+t2≥．故答案为：．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法及数学转化思想方法，是中档题．14．已知数列{a n}的首项a1=2，其前n项和为S n．若S n+1=2S n+1，则a n= ．考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：把已知递推式两边加1，得到等比数列{S n+1}，求出其通项公式后，由a n=S n﹣S n﹣1（n≥2）求解数列{a n}的通项公式．解答：解：∵S n+1=2S n+1，∴S n+1+1=2（S n+1），∵S1+1=a1+1=3≠0，∴．∴数列{S n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴S n+1=3•2n﹣1，∴S n=3•2n﹣1，∴a n=S n﹣S n﹣1=3•2n﹣1﹣1﹣3•2n﹣2+1=3•2n﹣2（n≥2），n=1时，a1=2不满足上式，∴．故答案为：．点评：本题考查了数列递推式，关键是把已知递推式变形，得到新的等比数列，是中档题．15．过x轴正半轴上一点P的直线与抛物线y2=4x交于两点A、B，O是原点，A、B的横坐标分别为3和，则下列：①点P是抛物线y2=4x的焦点；②•=﹣2；③过A、B、O三点的圆的半径为；④若三角形OAB的面积为S，则＜S＜；⑤若=λ，则λ=3．在这五个命题中，正确的是①③④⑤．考点：命题的真假判断与应用．专题：阅读型；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：①设P（a，0），设直线方程，联立抛物线方程，消去y，得到二次方程，由两根之积，即可得到a；②求出A，B的坐标，由向量的数量积的坐标表示，即可得到；③运用两种方法求出三角形ABO的面积，注意面积公式S△ABC=absinC=；④由△ABO的面积，即可判断；⑤=λ，即=，由A，F，B的坐标，即可得到．解答：解：由图可得A（3，2），B（，﹣）①设P（a，0），过P的直线为y=k（x﹣a），联立抛物线方程消去y，得k2x2﹣（2ak2+4）x+k2a2=0，则3×=a2，a=1，即P（1，0）即为焦点F，故①对；②=（3，2）•（，﹣）=3×﹣2×=﹣3，故②错；③S△ABO=×1×（2）===，R=，故③对；④S△ABO=＞，＜，故④对；⑤若=λ，即=，λ==3，故⑤对．故答案为：①③④⑤点评：本题考查抛物线的定义、性质和方程，考查直线方程和抛物线方程联立，消去未知数，得到二次方程，应用韦达定理求解，同时考查平面向量的数量积的坐标表示，和向量共线定理，以及求外接圆的半径应用面积公式，属于中档题．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB﹣ccosB．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）若，且，求a和c的值．考点：正弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；余弦定理．专题：计算题；转化思想．分析：（1）首先利用正弦定理化边为角，可得2RsinBcosC=3×2RsinAcosB﹣2RsinCcosB，然后利用两角和与差的正弦公式及诱导公式化简求值即可．（2）由向量数量积的定义可得accosB=2，结合已知及余弦定理可得a2+b2=12，再根据完全平方式易得a=c=．解答：解：（I）由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，则2RsinBcosC=6RsinAcosB﹣2RsinCcosB，故sinBcosC=3sinAcosB﹣sinCcosB，可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，即sin（B+C）=3sinAcosB，可得sinA=3sinAcosB．又sinA≠0，因此．（6分）（II）解：由，可得accosB=2，，由b2=a2+c2﹣2accosB，可得a2+c2=12，所以（a﹣c）2=0，即a=c，所以．（13分）点评：本题考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的正弦公式、诱导公式、向量数量积的定义等基础知识，考查了基本运算能力．17．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）若二面角M﹣BQ﹣C为30°，设PM=tMC，试确定t的值．考点：用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．专题：综合题．分析：（Ⅰ）法一：由AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，知四边形BCDQ为平行四边形，故CD∥BQ．由∠ADC=90°，知QB⊥AD．由平面PAD⊥平面ABCD，知BQ⊥平面PAD．由此能够证明平面PQB⊥平面PAD．法二：由AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，知四边形BCDQ为平行四边形，故CD∥BQ．由∠ADC=90°，知∠AQB=90°．由PA=PD，知PQ⊥AD，故AD⊥平面PBQ．由此证明平面PQB⊥平面PAD．（Ⅱ）由PA=PD，Q为AD的中点，知PQ⊥AD．由平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，知PQ⊥平面ABCD．以Q为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出t=3．解答：（本小题满分15分）（Ⅰ）证法一：∵AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°，即QB⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BQ⊥平面PAD．∵BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．…（9分）证法二：AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°．∵PA=PD，∴PQ⊥AD．∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ．∵AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．…（9分）解：（Ⅱ）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC的法向量为；Q（0，0，0），，，．设M（x，y，z），则，，∵，∴，∴…（12分）在平面MBQ中，，，∴平面MBQ法向量为．…（13分）∵二面角M﹣BQ﹣C为30°，∴，∴t=3．…（15分）点评：本题考查平面与平面垂直的证明，求实数的取值．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，合理地运用向量法进行解题．18．（12分）某市近郊有一块大约500m×500m的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米．（1）分别用x表示y和S的函数关系式，并给出定义域；（2）怎样设计能使S取得最大值，并求出最大值．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题；压轴题．分析：（1）总面积为xy=3000，且2a+6=y，则y=，（其中6≤x≤500），从而运动场占地面积为S=（x﹣4）a+（x﹣6）a，代入整理即得；（2）由（1）知，占地面积S=3030﹣6x﹣=3030﹣（6x+），由基本不等式可得函数的最大值，以及对应的x的值．解答：解：（1）由已知xy=3000，∴，其定义域是（6，500）．S=（x﹣4）a+（x﹣6）a=（2x﹣10）a，∵2a+6=y，∴，∴，其定义域是（6，500）．（2），当且仅当，即x=50∈（6，500）时，上述不等式等号成立，此时，x=50，y=60，S max=2430．答：设计x=50m，y=60m时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米．点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查应用基本不等式求函数最值，构建函数关系式是关键，属于中档题．19．（13分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4S2，a2n=2a n+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足=1﹣，n∈N*，求{b n}的前n项和T n．考点：数列递推式；等差数列的前n项和；数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2a n+1得到关于a1与d的方程组，解之即可求得数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a n=2n﹣1，继而可求得b n=，n∈N*，于是T n=+++…+，利用错位相减法即可求得T n．解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2a n+1得：，解得a1=1，d=2．∴a n=2n﹣1，n∈N*．（Ⅱ）由已知++…+=1﹣，n∈N*，得：当n=1时，=，当n≥2时，=（1﹣）﹣（1﹣）=，显然，n=1时符合．∴=，n∈N*由（Ⅰ）知，a n=2n﹣1，n∈N*．∴b n=，n∈N*．又T n=+++…+，∴T n=++…++，两式相减得：T n=+（++…+）﹣=﹣﹣∴T n=3﹣．点评：本题考查数列递推式，着重考查等差数列的通项公式与数列求和，突出考查错位相减法求和，考查分析运算能力，属于中档题．20．（13分）已知圆N：（x+2）2+y2=8和抛物线C：y2=2x，圆N的切线l与抛物线C交于不同的两点A，B．（Ⅰ）当直线Z酌斜率为1时，求线段AB的长；（Ⅱ）设点M和点N关于直线y=x对称，问是否存在直线l，使得⊥？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；向量与圆锥曲线．分析：（1）由圆N：（x+2）2+y2=8，知圆心N为（﹣2，0），半径r=2，设A（x1，y1），B （x2，y2），设l的方程为y=x+m，由直线l是圆N的切线，知，解得直线l的方程为y=x﹣2，由此能求出弦长|AB|．（2）设直线l的方程为y=kx+m，由直线l是圆N的切线，得，解得此时直线l的方程为y=﹣x+2；当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=2﹣2，则得不成立．综上所述，存在满足条件的直线l，其方程为y=﹣x+2．解答：解：（1）∵圆N：（x+2）2+y2=8，∴圆心N为（﹣2，0），半径r=2，设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线的斜率为1时，设l的方程为y=x+m，即x﹣y+m=0，∵直线l是圆N的切线，∴，解得m=﹣2，或m=6（舍去）此时直线l的方程为y=x﹣2，由，消去x得y2﹣2y﹣4=0，∴△=（﹣2）2+16=20＞0，y1+y2=2，y1•y2=4，，∴弦长|AB|=．（2）（i）设直线l的方程为y=kx+m，即kx﹣y+m=0（k≠0），∵直线l是圆N的切线，∴，得m2﹣4k2﹣4mk﹣8=0，①由，消去x得ky2﹣2y+2m=0，∴△=4﹣4k×2m＞0，即km＜且k≠0，，，∵点M与点N关于直线y=x对称，∴M（0，﹣2），∴，，∵，∴x1x2+（y1+2）（y2+2）=0，将A，B在直线y=kx+m上代入并化简，得，代入，，得，化简，得m2+4k2+2mk+4k=0，②①+②得2m2﹣2mk+4k﹣8=0，即（m﹣2）（m﹣k+2）=0，解得m=2，或m=k﹣2．当m=2时，代入①，解得k=﹣1，满足条件，且k≠0，此时直线l的方程为y=﹣x+2．当m=k﹣2时，代入①整理，得7k2﹣4k+4=0，无解．（ii）当直线l的斜率不存在时，因为直线l是圆N的切线，所以l的方程为x=2﹣2．则得，y1+y2=0，，即，由①得：=x1x2+y1y2+2（y1+y2）+4=20﹣12≠0，当直线l的斜率不存在时，不成立．综上所述，存在满足条件的直线l，其方程为y=﹣x+2．点评：本题考查线段长的求法，探索直线是否存在，具体涉及到圆的简单性质、抛物线的性质及其应用、直线与圆锥曲线的位置关系的应用．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．21．（13分）设函数f（x）=1﹣e﹣x，函数g（x）=（其中a∈R，e是自然对数的底数）．（1）当a=0时，求函数h（x）=f′（x）•g（x）的极值；（2）若f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）由f（x）=1﹣e﹣x，知f′（x）=﹣e﹣x•（﹣1）=e﹣x，故函数h（x）=f′（x）•g（x）=xe﹣x，h′（x）=（1﹣x）•e﹣x，由此能求出函数h（x）=f′（x）•g（x）的极值．（Ⅱ）由题1﹣e﹣x≤在[0，+∞）上恒成立，由x≥0，1﹣e﹣x∈[0，1），知≥0，分类讨论能够得到不等式f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立时，实数a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=1﹣e﹣x，∴f′（x）=﹣e﹣x•（﹣1）=e﹣x，函数h（x）=f′（x）•g（x）=xe﹣x，∴h′（x）=（1﹣x）•e﹣x，当x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0，故该函数在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．∴函数h（x）在x=1处取得极大值h（1）=．（Ⅱ）由题1﹣e﹣x≤在[0，+∞）上恒成立，∵x≥0，1﹣e﹣x∈[0，1），∴≥0，若x=0，则a∈R，若x＞0，则a＞﹣恒成立，则a≥0．不等式1﹣e﹣x≤恒成立等价于（ax+1）（1﹣e﹣x）﹣x≤0在[0，+∞）上恒成立，令μ（x）=（ax+1）（1﹣e﹣x），则μ′（x）=a（1﹣e﹣x）+（ax+1）e﹣x﹣1，又令v（x）=a（1﹣e﹣x）+（ax+1）e﹣x﹣1，则v′（x）=e﹣x（2a﹣ax﹣1），∵x≥0，a≥0．①当a=0时，v′（x）=﹣e﹣x＜0，则v（x）在[0，+∞）上单调递减，∴v（x）=μ′（x）≤v（0）=0，∴μ（x）在[0，+∞）上单减，∴μ（x）≤μ（0）=0，即f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立；（7分）②当a≥0时，v′（x）=﹣a•e﹣x（x﹣）．ⅰ）若2a﹣1≤0，即0＜a≤时，v′（x）≤0，则v（x）在[0，+∞）上单调递减，∴v（x）=μ′（x）≤v（0）=0，∴μ（x）在[0，+∞）上单调递减，∴μ（x）≤μ（0）=0，此时f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立；ⅱ）若2a﹣1＞0，即a＞时，若0＜x＜时，v′（x）＞0，则v（x）在（0，）上单调递增，∴v（x）=μ′（x）＞v（0）=0，∴μ（x）在（0，）上也单调递增，∴μ（x）＞μ（0）=0，即f（x）＞g（x），不满足条件．综上，不等式f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立时，实数a的取值范围是[0，]．点评：本题考查函数极值的求法，求实数的取值范围．考查数列、不等式知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识，属于难题．24268 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2021届湖南省长沙市雅礼中学高三下学期高考二模考试数学试卷★祝考试顺利★(含答案)一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．设集合M，N，P均为R的非空真子集，且M∪N＝R，M∩N＝P，则M∩（∁R P）＝（）A．M B．N C．∁R M D．∁R N解：集合M，N，P均为R的非空真子集，且M∪N＝R，M∩N＝P，如图所示：所以M∩（∁R P）＝∁R N．故选：D．2．已知||＝2，||＝1，且与的夹角为，则（）＝（）A．B．1 C．2 D．3解：||＝2，||＝1，且与的夹角为，则（）＝+•＝1+2×＝2．故选：C．3．已知某圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则它的体积为（）A．B．C．D．解：∵圆锥的轴截面是正三角形ABC，边长等于4，如图：∴圆锥的高AO＝×4＝2，圆锥的底面半径r＝×4＝2，因此，该圆锥的体积V＝πr2•AO＝π×22×2＝．故选：C．4．若双曲线＝1（a＞0）的一条渐近线方程为y＝﹣x，则其离心率为（）A．B．2 C．D．解：双曲线＝1（a＞0）的一条渐近线方程为y＝﹣x，所以a＝2，b＝1，则c＝，则离心率e＝＝．故选：C．5．地铁某换乘站设有编号为A，B，C，D，E的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：安全出口编号A，B B，C C，D D，E A，E疏散乘客时间（s）120 220 160 140 200则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（）A．A B．B C．D D．E解：同时开放A、E两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为200s，同时开放D、E两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为140s，得到D疏散乘客比A快；同时开放A、E两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为200s，同时开放A、B两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s，得到A疏散乘客比E快；同时开放A、B两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s，同时开放B、C两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s，得到A疏散乘客比C快；同时开放B、C两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s，同时开放C、D两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为160s，得到D疏散乘客比B快．综上，疏散乘客最快的一个安全出口的编号是D．故选：C．6．老师要从6篇课文中随机抽取3篇让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格，某同学只能背诵其中的4篇，该同学能及格的概率为（）A．B．C．D．解：老师要从6篇课文中随机抽取3篇让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格，某同学只能背诵其中的4篇，基本事件总数n＝＝20，该同学能及格包含的基本事件个数m＝＝16，∴该同学能及格的概率P＝＝＝．故选：D．7．如图，E是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱C1D1上的一点E（不与端点重合），BD1∥平面B1CE，则（）A．BD1∥CE B．AC1⊥BD1C．D1E＝2EC1D．D1E＝EC1解：如图，设B1C∩BC1＝O，可得面D1BC1∩面B1CE＝EO，∵BD1∥平面B1CE，根据线面平行的性质可得D1B∥EO，∵O为B1C的中点，∴E为C1D1中点，∴D1E＝EC1．故选：D．8．若2a+＝3b+＝5c+，则（）A．cln5＞aln2＞bln3 B．aln2＞cln5＞bln3C．bln3＞cln5＞aln2 D．aln2＞bln3＞cln5解：由函数，，可知，x∈（0，e），f'（x）＞0，x∈（e，+∞），f'（x）＜0，又，，所以．故选：A．二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈（0，2π））的图象如图，则（）A．ω＝2 B．φ＝C．A＝2 D．x＝时，f（x）取最小值解：由题意知：＝﹣（﹣）＝，则T＝π，故ω＝＝2，故A正确；函数图像由y＝A sinωx的图像向左平移而得，故f（x）＝A sin[2（x+）]＝A sin（2x+），故φ＝，故B正确；f（0）＝A sin＝1，解得：A＝，故C错误；x＝时，2x+＝2π，f（x）不取最小值，故D错误；故选：AB．10．关于函数f（x）＝|ln|2﹣x||，下列描述正确的有（）A．函数f（x）在区间（1，2）上单调递增B．函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称C．若x1≠x2，但f（x1）＝f（x2），则x1+x2＝4D．函数f（x）有且仅有两个零点解：函数f（x）＝|ln|2﹣x||的图象如下图所示：由图可得：函数f（x）在区间（1，2）上单调递增，A正确；函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称，B正确；根据图象，由x1≠x2，但f（x1）＝f（x2），则x1+x2不一定等于4，C错误；函数f（x）有且仅有两个零点，D正确．故选：ABD．11．设z1，z2是复数，则下列命题中的真命题是（）A．若|z1﹣z2|＝0，则＝B．若z1＝，则＝z2C．若|z1|＝|z2|，则z1•＝z2•D．若|z1|＝|z2|，则z12＝z22解：对（A），若|z1﹣z2|＝0，则z1﹣z2＝0，z1＝z2，所以为真；对（B）若，则z1和z2互为共轭复数，所以为真；对（C）设z1＝a1+b1i，z2＝a2+b2i，若|z1|＝|z2|，则，，所以为真；对（D）若z1＝1，z2＝i，则|z1|＝|z2|为真，而，所以为假．故选：ABC．12．已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线l交x轴于点C，直线m过C且交E于不同的A，B两点，B在线段AC上，点P为A在l上的射影，下列命题正确的是（）A．若AB⊥BF，则|AP|＝|PC|B．若P，B，F三点共线，则|AF|＝4C．若|AB|＝|BC|，则|AF|＝2|BF|D．对于任意直线m，都有|AF|+|BF|＞2|CF|解：如图示：由题意E的焦点为F（1，0），准线l：x＝1，C（﹣1，0），不妨设l AB：my＝x+1，联立，则y2＝4（my﹣1），即y2﹣4my+4＝0，则y1+y2＝4m，y1y2＝4，设A（，y1），B（，y2），F（1，0），对于A：•＝0，则（1﹣，﹣y2）•（，y1﹣y2）＝0，整理得：（4﹣）（y1+y2）＝16y2，则m（4﹣）＝4y2，假设|AP|＝|PC|，则直线的斜率为1，即m＝1时，解方程（4﹣）＝4y2，得y1＝2+2，y2＝2﹣2，故y1+y2＝4≠4，故A错误；对于B：点P为A在l上的射影，则P（﹣1，y1），P，B，F三点共线时，有＝＝，解得：y2＝，y1＝2，故A（3，2），故|AF|＝4，故B正确；对于C：作BH⊥l于H，由|AB|＝|BC|，得2|BH|＝|AP|，故|AF|＝2|BF|，故C正确；对于D：由|AF|+|BF|＝|BH|+|AP|＝2++＝2+[﹣2y1y2]＝4m2，而|CF|＝2，由m（4﹣）＝4y2，得△＝16m2﹣16＞0，解得：m2＞1，故4m2＞4＝2|CF|，故D正确；故选：BCD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．曲线y＝2x•lnx在点（1，0）处的切线方程为y＝2x﹣2 ．解：由题意，，∴所求切线方程的斜率k＝2ln1+2＝2，∴所求切线方程为y﹣0＝2（x﹣1），即y＝2x﹣2．故答案为：y＝2x﹣2．14．已知（x﹣1）n＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a3（x+1）3+a4（x+1）4+a5（x+1）5+a6（x+1）6（a6≠0），则n＝ 6 ，a3＝﹣160 ．解：等式左边x的最高次幂为x n，等式右边x的最高次幂为x6，故n＝6．∵（x﹣1）6＝[（x+1）﹣2]6，其通项，令6﹣r＝3，解得r＝3，故，故答案为：6，﹣160．15．若函数f（x）＝sin（x+φ）+cos x为偶函数，则常数φ的一个取值为（答案不唯一）．解：根据题意，函数f（x）＝sin（x+φ）+cos x为偶函数，则f（﹣x）＝f（x），即sin（﹣x+φ）+cos（﹣x）＝sin（x+φ）+cos x，变形可得：sin（x+φ）+sin（x﹣φ）＝0，则有2sin x cosφ＝0，必有cosφ＝0，则φ＝kπ+，故答案为：（答案不唯一）．16．如图，假定两点P，Q以相同的初速度运动．点Q沿直线CD作匀速运动，CQ＝x；点P沿线段AB（长度为107单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离（PB＝y）．令P与Q同时分别从A，C出发，那么，定义x为y的纳皮尔对数，用现在的数学符号表示x与y的对应关系是，其中e为自然对数的底，当点P从线段AB的三等分点移动到中点时，经过的时间为．解：设P运动到第一个三等分点的时间为t1，此时Q运动的距离为x1，P运动到中点的时间为t2，此时Q运动的距离为x2，∵两点P，Q以相同的初速度运动，设点Q的运动速度为v＝107，∴，，∴，，∴＝．故答案为：．四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}中，a1＝1，且a n+1＝a n+n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和T n．解：（1）∵a n+1＝a n+n，∴a n+1﹣a n＝n．∴a1＝1，a2﹣a1＝1，a3﹣a2＝2，⋯，a n﹣a n﹣1＝n﹣1，∴，∴；（2）由（1）知，，因此，．18．如图，在平面四边形ABCD中，AD⊥CD，∠BAD＝，2AB＝BD＝4．（1）求cos∠ADB；（2）若BC＝，求CD．解：（1）△ABD中，由余弦定理得，cos∠DAB＝，cos∠ADB＝，因为∠BAD＝，AB＝2，BD＝4，故AD＝，cos∠ADB＝，（2）由（1）得sin∠ADB＝＝，因为AD⊥CD，即∠ADC＝90°，所以cos∠ADC＝cos（∠ADB+∠BDC）＝0，解得，cos∠BDC＝，根据余弦定理得，cos∠BDC＝，所以＝，故CD＝3或CD＝﹣（舍），故CD＝3．19．已知某射手射中固定靶的概率为，射中移动靶的概率为，每次射中固定靶、移动靶分别得1分、2分，脱靶均得0分，每次射击的结果相互独立，该射手进行3次打靶射击：向固定靶射击1次，向移动靶射击2次．（1）求“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”的概率；（2）求该射手的总得分X的分布列和数学期望．解：（1）记“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”为事件D，射中固定靶为事件A，射中移动靶分别为事件B，C，则D＝AB+A C，其中AB+A C互斥，A，B，C，，相互独立，P（A）＝，P（B）＝P （C）＝，∴P（D）＝P（AB）+P（A C）＝+＝．即该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次的概率为．（2）X的可能取值为0，1，2，3，4，5．P（X＝0）＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝2＝，P（X＝3）＝2＝，P（X＝4）＝（1﹣）×＝，P（X＝5）＝＝，该射手的总得分X的分布列为：X 0 1 2 3 4 5P∴E（X）＝0×+1×+2×＝．20．在空间直角坐标系O﹣xyz中，以坐标原点O为圆心．r为半径的球体上任意一点P（x，y，z），它到坐标原点O的距离d＝≤r，可知以坐标原点为球心，r为半径的球体可用不等式x2+y2+z2≤r2表示．还有很多空间图形也可以用相应的不等式或者不等式组表示．记P1满足的不等式组表示的几何体为W1．（Ⅰ）当z＝h表示的图形截W1所得的截面面积为12π时，求实数h的值；（Ⅱ）请运用祖暅原理求证：记P2满足的不等式组所表示的几何体W2，当z＝h时，W与W1的体积相等，并求出体积的大小．（祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意2思是：所有等高处横截面积相等的两个同高立体，其体积也必然相等）解：（Ⅰ）当z＝h时，x2+y2≤16﹣h2，截面为圆面，依题意，16﹣h2＝12，解得h＝±2，又h≥0，故h＝2；（Ⅱ）证明：在W1中，平面z＝h所截的截面为圆，其面积为（16﹣h2）π，在W2中，平面z＝h所截的截面为圆环，其面积为（16﹣h2）π，即z＝h截W1，W2所得面积均相等，从而由祖暅原理知，W1，W2的体积相等，由W1为半球可知，．21．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，O为坐标原点，直线l：x＝1与C的两个交点和O，B构成一个面积为的菱形．（1）求C的方程；（2）圆E过O，B，交l于点M，N，直线AM，AN分别交C于另一点P，Q，点S，T满足，，求O到直线ST和直线PQ的距离之和的最大值．解：（1）直线l与椭圆C在第一象限的交点为（1，y0），则S菱形＝ay0＝，又因为（0，0）与（a，0）关于（1，0）对称，所以a＝2，y0＝，将（1，）代入椭圆方程有+＝1，所以b2＝2，所以椭圆C的方程为+＝1．（2）设k为（1，0），由O，M，B，N共圆，可得|OK|•|KB|＝|MK|•|NK|，设M（0，m），N（0，﹣n），则mn＝1，所以k AP•k AQ＝•＝﹣，设直线PQ的方程为b＝k（x+2）﹣y，联立椭圆的方程为（x+2）2+2y2﹣4（x+2）•＝0，所以1+2（）2﹣4•＝0，所以2（）2﹣•+1﹣＝0，令t＝x+2，则2t2﹣t+1﹣＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则k AP＝，k BP＝，不妨设t1＝k AP＝，t2＝k BP＝，所以t1，t2为方程2t2﹣t+1﹣＝0的两个根，所以t1t2＝k AP•k BP＝＝﹣，解得b＝k，所以直线PQ的方程为k＝k（x+2）﹣y，即直线PQ：y＝k（x﹣）恒过点（，0），所以|AG|＝，因为＝，＝，所以ST∥PQ，设ST与x轴交于点H，则AH＝HG，即ST恒过定点H，则O到ST和PQ的距离之和最大值为|HG|＝，|AG|＝．22．已知函数f（x）＝sin x+e﹣x．（Ⅰ）求函数f（x）在[]的最大值；（Ⅱ）证明：函数g（x）＝x+2e﹣x﹣f（x）在（0，2π）有两个极值点x1，x2，并判断x1+x2与2π的大小关系．【解答】（Ⅰ）解：函数f（x）＝sin x+e﹣x，所以f'（x）＝cos x﹣e﹣x，则f''（x）＝﹣sin x+e﹣x，所以当x∈[]时，﹣sin x＞0，故f''（x）＞0，所以函数f'（x）在[]上单调递增，又f'（）＜0，f'（2π）＝1﹣e﹣2π＞0，所以f'（x）在[]上有唯一的零点t，当x∈（）时，f'（x）＜0，当x∈（t，2π）时，f'（x）＞0，故f（x）在（）上单调递减，在（t，2π）上单调递增，又，f（2π）＝e﹣2π＞0，所以f（x）在[]上的最大值为e﹣2π；（Ⅱ）证明：g'（x）＝，①当时，g'（x）单调递增，又，，所以g'（x）在有唯一的零点，此时当x∈（0，t1）时，g'（x）＜0，则g（x）单调递减，当时，g'（x）＞0，则g（x）单调递减，故x＝t1是极小值点，不妨设x1＝；②当时，cos x＜0，所以，故g（x）在上单调递增，故g（x）没有极值点；③当，g''（x）＝sin x+e﹣x＝f（x），由（Ⅰ）知，f（x）在（）上单调递减，在（t，2π）上单调递增，且，f（2π）＝e﹣2π＞0，故g''（x）由唯一的零点，则当时，g''（x）＜0，则g'（x）单调递减，当x∈（t0，2π）时，g''（x）＞0，则g'（x）单调递增，又，，所以g'（x）在由唯一的零点，此时时，g'（x）＞0，则g（x）单调递增，当x∈（t2，2π）时，g'（x）＜0，所以x＝t2是极大值点，即，且，由于，所以cos x1＜cos x2＝cos（2π﹣x2），因为，所以x1＞2π﹣x2，即x1+x2＞2π．。

2020届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期第2次月考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．集合{}21|20,|2A x x x B x x ⎧⎫=+-<=≤⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ） A ．1(0,]2B ．1(1,0)[,2)2-C ．1(2,0)[,1)2-D ．1[,1)2 2．已知复数21z i=-，则下列结论正确的是 A ．z 的虚部为i B ．2z =C ．2z 为纯虚数D ．1z i =-+3．已知2513a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 2523b ⎛⎫= ⎪⎝⎭131log 5c = 则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞b ＞a 4．函数1()ln 1x f x x -=+的大致图像为（ ） A ． B ．C ．D ．5．如图所示的长方形内，两个半圆均以长方形的一边为直径且与对边相切，在长方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．4πB ．32π-C ．34π-D ．3π6．若()2,4,a b a b a ==+⊥,则a 与b 的夹角为( )A ．23πB ．3πC ．43πD ．π7．从0，2中选一个数字．从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为( )A ．24B ．18C ．12D ．68．设数列{}n a ，{}2n a (*n N ∈)都是等差数列，若12a =，则23452345a a a a +++等于（ ）A ．60B ．62C ．63D ．669．设实数,x y 满足条件223x y x y y x +≤⎧⎪+≥-⎨⎪≥⎩，则目标函数23z x y =-+的最大值为( )A ．16B ．6C ．4D ．1410．如图所示点F 是抛物线28y x =的焦点，点A 、B 分别在抛物线28y x =及圆()22216x y -+=的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则FAB ∆的周长的取值范围是（ ）A ．()6,10B ．()8,12C ．[]6,8D ．[]6,1211．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，115a =，且满足()()21252341615n n n a n a n n +-=-+-+，已知*,n m N ∈，n m >，则n m S S -的最小值为（ ）A ．494-B ．498-C ．14-D ．28-12．已知()'f x 是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有()()()'23x f x e x f x =++（e 是自然对数的底数），()01f =，若不等式()0f x k -<的解集中恰有两个整数，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B ．1,0e⎛⎤- ⎥⎝⎦ C ．21,0e ⎛⎤- ⎥⎝⎦ D ．21,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭二、填空题13．已知函数()sin 21f x x x x =+-，则()f π'=_________．14．甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分.若甲、乙两人射击的命中率分别为35和p ，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为920.假设甲、乙两人射击互不影响，则p 值为______.15．已知函数()()()2cos 22f x x x πϕϕϕ⎛⎫--< ⎝=⎪⎭的图象向右平移12π个单位后关于y 轴对称，则()f x 在区间,02上的最小值为______.16．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为P 在对角线1BD 上，过点P 作垂直于1BD 的平面，记这样得到的截面多边形（含三角形）的面积为y ，设BP x =，则当[]1,5x ∈时，函数()y f x =的值域为______.三、解答题17．已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，函数()()2sin cos sin f x x A x A =-+，且当512x π=时，()f x 取最大值. （1）若关于x 的方程()f x t =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有解，求实数t 的取值范围；（2）若5a =，且sin sin 5B C +=，求ABC ∆的面积. 18．如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是圆内接四边形，1CB CD CE ===，AB AD AE ===，EC BD ⊥.（1）求证：平面BED ⊥平面ABCD ；（2）设线段AE 的中点为M ，线段AB 的中点为N ，且P 在线段MN 上运动，求直线DP 与平面ABE 所成角的正弦值的最大值.19．在平面直角坐标系中，()2,0A -，()2,0B ，设直线AC 、BC 的斜率分别为1k 、2k 且1212k k ⋅=- ， （1）求点C 的轨迹E 的方程；（2）过()F 作直线MN 交轨迹E 于M 、N 两点，若MAB △的面积是NAB △面积的2倍，求直线MN 的方程．20．由甲、乙、丙三个人组成的团队参加某项闯关游戏，第一关解密码锁，3个人依次进行，每人必须在1分钟内完成，否则派下一个人.3个人中只要有一人能解开密码锁，则该团队进入下一关，否则淘汰出局.根据以往100次的测试，分别获得甲、乙解开密码锁所需时间的频率分布直方图.（1）若甲解开密码锁所需时间的中位数为47，求a 、b 的值，并分别求出甲、乙在1分钟内解开密码锁的频率；（2）若以解开密码锁所需时间位于各区间的频率代替解开密码锁所需时间位于该区间的概率，并且丙在1分钟内解开密码锁的概率为0.5，各人是否解开密码锁相互独立. ①按乙丙甲的先后顺序和按丙乙甲的先后顺序哪一种可使派出人员数目的数学期望更小.②试猜想：该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目X 的数学期望达到最小，不需要说明理由.21．已知函数()()2()1ln 1(0)f x a x x x ax a =++-->是减函数. （1）试确定a 的值；（2）已知数列{}()()*123ln 11n n n n n a a T a a a a n N n +==∈+，求证：()ln 212n n n T +<-⎡⎤⎣⎦. 22．曲线1C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），曲线2C 的直角坐标方程为10x +-=.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的极坐标方程；（2）若直线:l y kx =与曲线1C ，2C 的交点分别为A ，B （A ，B 异于原点），当斜率k ∈⎣时，求1||||OA OB +的取值范围. 23．已知函数()21f x x x =-++.（1）解关于x 的不等式()4f x x ≥-；（2）设(){},|a b y y f x ∈=,试比较()2a b +与4ab +的大小.参考答案1．C【解析】【分析】先求解不等式化简集合A 和B ，再根据集合的交集运算求得结果即可.【详解】因为集合{}2|20{|21}A x x x x x =+-<=-<<， 集合1|2{|0B x x x x ⎧⎫=≤=<⎨⎬⎩⎭或1}2x ， 所以1(2,0),12A B ⎡⎫=-⋃⎪⎢⎣⎭. 故本题正确答案为C.【点睛】本题考查一元二次不等式，分式不等式的解法和集合的交集运算，注意认真计算，仔细检查，属基础题.2．C【分析】先利用复数的除法将复数z 化为一般形式，然后利用复数的基本知识以及四则运算法则来判断各选项的正误．【详解】()()()()2121211112i i z i i i i ++====+--+，z ∴的虚部为1，z == ()2221122z i i i i =+=++=为纯虚数，1z i =-，故选C.【点睛】本题考查复数的四则运算、复数的概念、共轭复数等的理解，解题的关键就是将复数化为一般形式，借助相关概念进行理解，考查计算能力，属于基础题．3．D【分析】对于,a b 看成幂函数，对于c 与,a b 的大小和1比较即可【详解】 因为25y x =在()0,∞+上为增函数，所以b a >，由因为25013113a ⎛⎫<⎛⎫= ⎪⎝= ⎪⎝⎭⎭，25023213b ⎛⎫<⎛⎫= ⎪⎝= ⎪⎝⎭⎭，113311log log 153c =>=，所以c b a >>，所以选择D 【点睛】本题主要考查了指数、对数之间大小的比较，常用的方法：1、通常看成指数、对数、幂函数比较．2、和0、1比较．4．B【解析】【分析】本题采用特值法判断即可，选择有效特值代入即可判断正确答案【详解】 从选项中可知，采用特值法进行代入求解，对于函数1()ln1x f x x -=+ 取2x =得，()12ln 03f =<，排除A ，D ； 取2x =-得，()2ln30f -=>，排除C ；得到答案选B【点睛】本题考查函数图像问题，适用特值法求解，属于基础题5．C【分析】将阴影部分拆分为两个小弓形，根据长度关系可知弓形所在的扇形圆心角为120，从而可求得弓形面积，进而得到阴影部分面积，利用几何概型概率公式求得结果.【详解】如下图所示：设长方形的长为4，宽为2，则120AOB ∠=∴阴影部分的面积2118221323S ππ⎛⎫=⨯⨯-⨯=- ⎪⎝⎭∴所求概率为：83423p ππ-==⨯本题正确选项：C【点睛】本题考查几何概型中的面积型的概率的求解，关键是能够将阴影部分拆分为两个弓形，进而求得阴影部分面积.6．A【解析】【分析】由（ a b + ）⊥a ，可得（ a b + ）a ⋅=0，解出 4a b ⋅=-，再利用两个向量的数量积的定义求出cos θ 的值，则夹角可求．【详解】∵（ a b + ）⊥a ，∴（ a b + ）2a a a ⋅=+⋅ b =4+a ⋅ b =0，得4a b ⋅=- ∴4a b ⋅=-=|a ||b |cos θ∴cos θ12=-，又[]20,,3θπθπ∈∴= 故选：A【点睛】本题考查两个向量的数量积的定义，向量的夹角的求法，向量垂直的性质，是基础题 7．B【详解】由于题目要求的是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇；偶奇奇．如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种选择)，之后十位(2种选择)，最后百位(2种选择)，共12种；如果是第二种情况偶奇奇，分析同理：个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0，一种情况)，共6种，因此总共12+6=18种情况．8．A【解析】【分析】设数列{}n a 的公差为d ，则由题意可得2222132a a a =+，求得d 的值，得到数列的通项公式，即可求解23452345a a a a +++得值，得到答案.【详解】由题意，数列{}n a ，{}2n a 都是等差数列，且12a =，设数列{}n a 的公差为d ，则有2222132a a a =+，即2222(2)2(22)d d ⨯+=++，解得0d =，所以2n a =，24n a =，所以2345234548163260a a a a +++=+++=，故选A. 【点睛】本题主要考查了等差数列的定义，以及等差数列的通项公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9．D【分析】画出约束条件对应的可行域，找出取最大值的点，解方程组求得最优解，代入求得结果.【详解】画出约束条件对应的可行域，如图所示：画出直线23y x =+，上下移动，得到23z x y =-+在点A 处取得最大值，解方程组223x y x y +=⎧⎨+=-⎩，得(5,7)A -，代入23z x y =-+，求得max 2(5)7314z =⨯--+=， 故选D. 【点睛】该题考查的是有关线性规划的问题，涉及到的知识点有根据约束条件画出可行域，找出目标函数取最值时对应的点，注意目标函数的形式，属于简单题目. 10．B 【分析】根据抛物线的定义，结合圆的几何性质，求得则FAB ∆的周长的表达式，进而求得其取值范围. 【详解】抛物线28y x =焦点()2,0F ，准线方程为2x =-，圆()22216x y -+=的圆心为()2,0，半径4r =，故圆()22216x y -+=与准线相切.根据抛物线的定义以及//AB x 轴可知，FAB ∆的周长4AF AB BF AF AB ++=++，等价于B 到准线2x =-的距离加4.由()2222168x y y x⎧-+=⎪⎨=⎪⎩解得2x =，所以()2,6B x ∈，所以B 到准线2x =-的距离的取值范围是()4,8，所以FAB ∆的周长的取值范围是()8,12. 故选：B 【点睛】本小题主要考查抛物线的几何性质，考查圆的几何性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 11．C 【解析】分析：首先对题中所给的数列的递推公式进行变形，整理得出数列25n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列，确定首项和公差，从而得到新数列的通项公式，接着得到{}n a 的通项公式，利用其通项公式，可以得出哪些项是正的，哪些项是负的，哪些项等于零，从而能够判断出n m S S -在什么情况下取得最小值，并求出最小值的结果.详解：根据题意可知1(25)(23)(25)(23)n n n a n a n n +-=-+--， 式子的每一项都除以(25)(23)n n --，可得112325n na a n n +=+--，即112(1)525n n a an n +-=+--，所以数列25n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以15525=--为首项，以1为公差的等差数列， 所以5(1)1625na n n n =-+-⋅=--，即(6)(25)n a n n =--，由此可以判断出345,,a a a 这三项是负数，从而得到当5,2n m ==时，n m S S -取得最小值，且5234536514n m S S S S a a a -=-=++=---=-，故选C.点睛：该题考查的是数列的有关问题，需要对题中所给的递推公式变形，构造出新的等差数列，从而借助于等差数列求出{}n a 的通项公式，而题中要求的n m S S -的值表示的是连续若干项的和，根据通项公式判断出项的符号，从而确定出哪些项，最后求得结果. 12．C 【分析】利用构造函数法，结合()()()'23xf x ex f x =++以及()01f =，求得()f x 解析式.利用导数求得()f x 的单调区间和极值，由此画出()f x 函数图像，结合图像求得k 的取值范围. 【详解】 构造函数()()()()()''23x xf x f x f xg x g x x e e-=⇒==+，可令：()23g x x x c =++，所以()()23xx x e f c x =++，由()01f c ==，得：()()231xf x x x e =++.由()0f x =，解得12x x ==.由()0f x <，得：2310x x ++<得出解为3322x --<<，其中恰有两个整数-2，-1.当32x -<或32x -+>时，()0f x >.而()()'254x f x x x e =++⋅()()14x x x e =++⋅，所以()f x 在(),4-∞-和()1,-+∞上递增，在()4,1--上递减. 当x →-∞时，()0f x →.且()()4151,4f f e e-=--=，()01f =.由此画出()f x 的图像如下图所示，由图可知，当0k =时，()0f x <恰好有两个整数解2,1--. 当0k >时，()f x k <不止两个整数解.当k 0<时，要使()f x k <有两个整数解，则()212f k e -=-<，故210k e-<<. 综上所述，k 的取值范围是21,0e ⎛⎤- ⎥⎝⎦. 故选：C【点睛】本小题主要考查导数运算，考查利用导数研究不等式的解，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.13．2π-【分析】求导，代入数据得到答案.【详解】()sin21'()sin cos2'()2f x x x x f x x x x fππ=+-⇒=++⇒=-+故答案为2π-【点睛】本题考查了导数的计算，属于简单题.14．3 4【分析】根据甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为920列方程，解方程求得p的值.【详解】甲、乙两人各射击一次得分之和为2，可能是甲击中乙未击中，或者乙击中甲未击中，故()339115520p p ⎛⎫⋅-+⋅-= ⎪⎝⎭，解得34p =. 故答案为：34【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率计算，属于基础题.15．【分析】利用辅助角公式化简()f x 的解析式，根据图象变换后所得函数的对称性，求得ϕ的值，进而求得()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值. 【详解】依题意()π2cos 23f x x ϕ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，向右平移π12个单位得到ππ2cos 2123x ϕ⎡⎤⎛⎫--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π2cos 26x ϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，而π2cos 26y x ϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭关于y 轴对称，所以πππ,π66k k ϕϕ-==-，由于2πϕ<，所以π6ϕ=.所以()π2cos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.当π02x -≤≤时，5πππ2666x -≤+≤，所以()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为5πππ2cos 2cos π2cos 666⎛⎫⎛⎫-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：【点睛】本小题主要考查辅助角公式，考查三角函数图像变换，考查三角函数最值的求法，考查三角函数的对称性，属于中档题.16．2⎡⎢⎣【详解】 如图：∵正方体1111ABCD A B C D -的棱长为6， ∵[]1,5x ∈，当1x =或5时，三角形的面积最小，设截面三角形的边长为t ，由等体积法得：221111343222t ⎛⎫⨯⨯=⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，∴t =2min y ==. 当3x =，即P 在1BD 中点时，截面为正六边形的面积最大，此时正六边形的边长为=26=故答案为：2⎡⎢⎣【点睛】本小题主要考查正方体截面面积的最大值，考查空间想象能力，属于中档题.17．（1）(2-；（2. 【分析】（1）利用两角和差的正弦公式整理()f x 可得：()sin(2)A f x x =-，再利用已知可得：522122A k πππ⨯-=+（k Z ∈），结合已知可得：3A π=，求得：(0,)2x π∈时，sin(2)13x π<-≤，问题得解.（2）利用正弦定理可得：sin sin )10+=+B C b c ，结合sin sin 5B C +=可得：8+=b c ，对a 边利用余弦定理可得：2222cos a b c bc A =+-，结合已知整理得：13=bc ，再利用三角形面积公式计算得解. 【详解】解：（1）()2sin()cos sin f x x A x A =-+2sin()cos sin[()]x A x x x A =-+--2sin()cos sin cos()cos sin()x A x x x A x x A =-+--- sin cos()cos sin()x x A x x A =-+-sin(2)x A =-.因为()f x 在512x π=处取得最大值， 所以522122A k πππ⨯-=+，k Z ∈, 即2,3A k k Z ππ=-+∈. 因为(0,)A π∈，所以3A π=，所以()sin(2)3f x x π=-.因为(0,)2x π∈，所以22(,)333x πππ-∈-所以sin(2)13x π<-≤，因为关于x 的方程()f x t =有解，所以t 的取值范围为(2-．（2）因为5a =，3A π=，由正弦定理sin sin sin b c a B C A ==于是sin sin )+=+B C b c ．又sin sin 5B C +=，所以8+=b c . 由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，整理得：2225=+-b c bc ，即225()3643=+-=-b c bc bc ， 所以13=bc ，所以1sin 2ABC S bc A ∆==【点睛】本题主要考查了两角和、差的正弦公式应用，还考查了三角函数的性质及方程与函数的关系，还考查了正弦定理、余弦定理的应用及三角形面积公式，考查计算能力及转化能力，属于中档题．18．（1）证明见解析（2）7【分析】（1）连接AC ，交BD 于点O ，连接EO ，通过证明AC BD ⊥、EC BD ⊥证得BD ⊥平面AEC ，由此证得OE BD ⊥.证得OE AC ⊥，从而证得EO ⊥平面ABCD ，进而证得平面BED ⊥平面ABCD .（2）建立空间直角坐标系，设()01MP MN λλ=≤≤，通过直线DP 的方向向量和平面ABE 平面而的法向量求得直线DP 与平面ABE 所成角的正弦值【详解】（1）证明：如图，连接AC ，交BD 于点O ，连接EO ， ∵AD AB =，CD CB =，AC AC =，∴ADC ABC ∆≅∆， 易得ADO ABO ∆≅∆，∴90AOD AOB ∠=∠=︒，∴AC BD ⊥. 又EC BD ⊥，EC AC C ⋂=，,EC AC ⊂平面AEC ， ∴BD ⊥平面AEC ，又OE ⊂平面AEC ，∴OE BD ⊥. 又底面ABCD 是圆内接四边形，∴90ADC ABC ∠=∠=︒，在Rt ADC ∆中，由AD =1CD =，可得2AC =，32AO =， ∴90AEC ∠=︒，AE AO AC AE ==AEO ACE ∆∆，∴90AOE AEC ∠=∠=︒， 即OE AC ⊥.又,AC BD ⊂平面ABCD ，AC BD O =，∴EO ⊥平面ABCD ，又EO ⊂平面BED ，∴平面BED ⊥平面ABCD .（2）解：点P 在线段MN 上.以O 为坐标原点，OA ，OB ，OE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则3,0,02A ⎛⎫⎪⎝⎭，0,2B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，0,0,2E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3,0,44M ⎛ ⎝⎭，0,2D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，3,44N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，∴3,,022AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，32⎛=- ⎝⎭AE，34DM ⎛= ⎝⎭，MN ⎛= ⎝⎭，设平面ABE 的法向量为(),,n x y z =，则00AB n AE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令1x =，则(1,3,n =，设()01MP MN λλ=≤≤，可得3,42444DP DM MP λλ⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭，设直线DP 与平面ABE 所成的角为θ，则sin cos ,n DP n DP n DPθ⋅==⋅==， ∵01λ≤≤，∴当0λ=时，sin θ.故直线DP 与平面ABE. 【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的最大值的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19．(1) 22142x y +=（0y ≠）(2) 07x y -+=或07x y +=【分析】（1）由题意，设(),C x y ，得到12y k x =+，22y k x =-，根据1212k k =-，即可求解椭圆的标准方程；（2）设直线:MN x my =1212,y y y y +，再由2MABNABSS=，得到122y y =-，列出关于m 的方程，即可求解．【详解】（1）由题意，设(),C x y ，则12yk x =+，22y k x =-， 又由2122142y k k x ==--，整理得22142x y +=，由点,,A B C 不共线，所以0y ≠，所以点C 的轨迹方程为221(0)42x y y +=≠.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，易知直线MN 不与x轴重合，设直线:MN x my =-联立方程组22142x my x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，整理得得()22220m y +--=，易知>0∆，且1222y y m +=+，122202y y m -=<+ 由2MABNABSS=，故122y y =，即122y y =-，从而()2212122122141222y y y y m y y m y y +-==++=-+， 解得227m =，即7m =±， 所以直线MN的方程为07x y -+=或07x y ++=． 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．20．（1）0.024a =；0.026b =；甲在1分钟内解开密码锁的频率是0.9；乙在1分钟内解开密码锁的频率是0.7（2）①按乙丙甲派出的顺序期望更小②先派出甲，再派乙，最后派丙 【分析】（1）根据甲解开密码锁所需时间的中位数求得b ，根据频率求得a ，由此求得甲在1分钟内解开密码锁的频率.通过频率分布直方图求得乙在1分钟内解开密码锁的频率. （2）①分别求得两个不同顺序的方法对应的数学期望，由此求得期望更小的安排方法. ②按照解锁概率大的人员排前面，期望值最小.通过计算前两位、后两位人员交换时，期望值的变化情况，来确定最优的排法. 【详解】（1）甲解开密码锁所需时间的中位数为47，∴0.0150.014550.0345b ⨯+⨯+⨯+⨯()0.0447450.5+⨯-=，解得0.026b =； ∴0.0430.032550.010100.5a ⨯+⨯+⨯+⨯=，解得0.024a =； ∴甲在1分钟内解开密码锁的频率是10.01100.9f =-⨯=甲；乙在1分钟内解开密码锁的频率是10.03550.02550.7f =-⨯-⨯=乙；（2）由（1）知，甲、乙、丙在1分钟内解开密码锁的概率分别是10.9p =，20.7p =，30.5p =且各人是否解开密码锁相互独立；设按乙丙甲的顺序对应的数学期望为()1E X ，按丙乙甲的顺序对应的数学期望为()2E X 则()121P X p ==，()()23112P X p p =-=，()()()231131p p P X =--=，()()()()21332223111E X p p p p p +-+--=232332p p p p =--+，∴()()1232323E X p p p p p =-++-，①∴()()1232323 1.45E X p p p p p =-++-= 同理可求得()()2232333 1.65E X p p p p p =-++-= 所以按乙丙甲派出的顺序期望更小. ②答案：先派出甲，再派乙，最后派丙， （下面是理由，给老师和学生参考）设按先后顺序自能完成任务的概率分别为1p ，2p ，3p ，且1p ，2p ，3p 互不相等， 根据题意知X 的取值为1，2，3；则()11P X p ==，()()1221P X p p ==-，()()()12131p P p X =--=，()()()()1221121311E X p p p p p +-+--=121232p p p p =--+，∴()()121213E p p p p p X =-++-，若交换前两个人的派出顺序，则变为()121223p p p p p -++-，由此可见，当12p p >时，交换前两人的派出顺序会增大均值，故应选概率最大的甲先开锁； 若保持第一人派出的人选不变，交换后两人的派出顺序，∵交换前()()()121211123321p p p p p E p X p p =-++-=---， ∴交换后的派出顺序则期望值变为()113321p p p ---，当23p p >时，交换后的派出顺序可增大均值；所以先派出甲，再派乙，最后派丙， 这样能使所需派出的人员数目的均值（教学期望）达到最小. 【点睛】本小题主要考查随机变量分布列和数学期望的求法，考查频率分布直方图频率、中位数有关计算，考查分析、思考与解决问题的能力，属于中档题.21．（Ⅰ）2a =（Ⅱ）见证明 【分析】（Ⅰ）求导得()()ln 12f x a x x +'=-，由()f x 是减函数得，对任意的()1,x ∈-+∞，都有()()ln 120f x a x x +-'=≤恒成立，构造函数()()ln 12g x a x x =+-，通过求导判断它的单调性，令其最大值小于等于0，即可求出a ；（Ⅱ）由()f x 是减函数，且()00f =可得，当0x >时，()0f x <，则()0f n <，即()()221ln 12n n n n ++<+，两边同除以()221n +得，()ln 1121211n n n n n n ++<⋅⋅+++，即12211n n n a n n +<⋅⋅++，从而12311233452 (2234)12341n n nn n T a a a a n n +⎛⎫⎛⎫=<⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭11221n n n ++=⋅+，两边取对数()()()212ln 2ln 21n n n n T n +⎡⎤+⎡⎤+<⎢⎥⎣⎦+⎢⎥⎣⎦()()()2ln 2ln 11ln2n n n =+-+-+，然后再证明()()()2ln 2ln 11ln2102nn n n +-+-++-<恒成立即可，构造函数()()()()2ln 2ln 11ln212xh x x x x =+-+-++-，[)1,x ∈+∞，通过求导证明()0h x <即可． 【详解】解：（Ⅰ）()f x 的定义域为()1,-+∞，()()ln 12f x a x x +'=-.由()f x 是减函数得，对任意的()1,x ∈-+∞，都有()()ln 120f x a x x +-'=≤恒成立. 设()()ln 12g x a x x =+-.∵()2121a x g x x ⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'=+，由0a >知112a->-， ∴当1,12a x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()'0g x >；当1,2a x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<， ∴()g x 在1,12a⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，∴()g x 在12ax =-时取得最大值. 又∵()00g =，∴对任意的()1,x ∈-+∞，()()0g x g ≤恒成立，即()g x 的最大值为()0g .∴102a-=，解得2a =. （Ⅱ）由()f x 是减函数，且()00f =可得，当0x >时，()0f x <， ∴()0f n <，即()()221ln 12n n n n ++<+.两边同除以()221n +得，()ln 1121211n n n n n n ++<⋅⋅+++，即12211n n n a n n +<⋅⋅++. 从而12311233452 (2234)12341n n nn n T a a a a n n +⎛⎫⎛⎫=<⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭ 11221n n n ++=⋅+， 所以()()()212ln 2ln 21n n n n T n +⎡⎤+⎡⎤+<⎢⎥⎣⎦+⎢⎥⎣⎦()()()2ln 2ln 11ln2n n n =+-+-+①.下面证()()()2ln 2ln 11ln2102nn n n +-+-++-<；记()()()()2ln 2ln 11ln212xh x x x x =+-+-++-，[)1,x ∈+∞.∴()22111ln2ln2212322x h x x x x x =--+=-++'+++ 11ln2223x x=-+++，∵2y x x=+在[)2,+∞上单调递增，∴()h x '在[)2,+∞上单调递减， 而()()()()11112ln223ln22ln806233h x h ≤=-+=-=-'<'， ∴当[)2,x ∈+∞时，()0h x '<恒成立， ∴()h x 在[)2,+∞上单调递减，即[)2,x ∈+∞时，()()22ln4ln33ln2ln2ln30h x h ≤=--=-<， ∴当2n ≥时，()0h n <. ∵()1912ln3ln22ln2ln 028h =---=-<， ∴当*n N ∈时，()0h n <，即()()()2ln 2ln 11ln212nn n n +-+-+<-②.综上①②可得，()ln 212n nn T ⎡⎤+<-⎣⎦. 【点睛】本题考查了导数与函数的单调性的关系，考查了函数的最值，考查了构造函数的能力，考查了逻辑推理能力与计算求解能力，属于难题．，22．(1) 1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，2C 的极坐标方程为cos sin 1ρθθ=.(2)3,⎡⎣ 【解析】 【分析】(1)由题意首先将参数方程化为普通方程，然后转化为极坐标方程即可；(2)利用(1)中求得的极坐标方程和极坐标的几何意义将原问题转化为三角函数求值域的问题，结合三角函数的性质可得1||||OA OB +的取值范围. 【详解】 （1）由1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩消θ得()2211x y -+=，即2220x y x +-=将cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+代入1C ，2C 得1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，2C 的极坐标方程为cos sin 1ρθθ=.（2）设直线l 的极坐标方程为θα=，ρ∈R ，,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 联立方程可得A 2cos ρα=，B ρ=所以1||2cos ||OA OB α+=+cos 3cos ααα=3παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭又,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则有2,323πππα⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即sin 3πα⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦综上1||OA OB+的取值范围为3,⎡⎣ 【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程、极坐标方程的转化，极坐标方程的几何意义，三角函数的取值范围等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 23．（1）(,3][1,)-∞-⋃+∞；（2）2()4a b ab +<+. 【解析】试题分析：（1）零用零点分段法去绝对值，化21(1)()21{3(12)21(2)x x f x x x x x x -+<-=-++=-≤≤->，分别令()4f x x ≥-，可求得解集为(,3][1,)-∞-⋃+∞；（2）由（1）易知()3f x ≥，所以3,3a b ≥≥，利用差比较法，作差，2()(4)224(2)(2)0a b ab a ab b a b +-+=-+-=--<，所以2()4a b ab +<+.试题解析：（1）21(1)()21{3(12)21(2)x x f x x x x x x -+<-=-++=-≤≤->所以1{3214x x x x <-⇒≤--+≥-或12{1234x x x -≤≤⇒≤≤≥-，或2{2214x x x x>⇒>-≥-.所以不等式的解集为(,3][1,)-∞-⋃+∞. （2）由（1）易知()3f x ≥，所以3,3a b ≥≥，由于2()(4)224(2)(2)a b ab a ab b a b +-+=-+-=--， 因为3,3a b ≥≥，所以20,20a b ->-<，即(2)(2)0a b --<， 所以2()4a b ab +<+. 考点：不等式选讲.。

雅礼中学2025届高三月考试卷（三）数学命题人：审题人：得分：________本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“存在，”的否定是A.存在，B.不存在，C.任意，D.任意，2.若集合（i 是虚数单位），，则等于A. B. C. D.3.已知奇函数，则A.-1B.0C.1D.4.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列可以推出的是A.，， B.，，C.，， D.，，5.已知函数图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则A.0B. C.4D.x ∈Z 220x x m ++…x ∈Z 220x x m ++>x ∈Z 220x x m ++>x ∈Z 220x x m ++…x ∈Z 220x x m ++>{}2341,i ,i ,i A ={}1,1B =-A B ⋂{}1-{}1{}1,1-∅()()22cos x x f x m x -=+⋅m =12m l αβαβ⊥m l ⊥m β⊂l α⊥m l ⊥l αβ⋂=m α⊂m l m α⊥l β⊥l α⊥m l m β()()4cos (0)f x x ωϕω=+>6f ϕπ⎛⎫-=⎪⎝⎭2ϕ2ϕ6.已知是圆上一个动点，且直线与直线（，，）相交于点，则的取值范围为A. B.C. D.7.是椭圆上一点，，是的两个焦点，，点在的角平分线上，为原点，，且.则的离心率为A.8.设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为A.60B.90C.120D.130二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是A.这10年粮食年产量的极差为16B.这10年粮食年产量的第70百分位数为35C.这10年粮食年产量的平均数为33.7D.前5年的粮食年产量的方差小于后5年粮食年产量的方差10.已知函数满足，，并且当时，，则下列关于函数说法正确的是M 22:1C x y +=1:30l mx ny m n --+=2:30l nx my m n +--=m n ∈R 220m n +≠P PM 1,1⎤-+⎦1⎤-⎦1,1⎤-+⎦1⎤+⎦P 2222:1(0)x y C a b a b+=>>1F 2F C 120PF PF ⋅= Q 12F PF ∠O 1OQPF OQ b =C 12(){}{}{}12345,,,,|1,0,1,1,2,3,4,5iAx x x x x x i ∈-=A 1234513x x x x x ++++……()f x ()()22f x f x ππ+=-()()0fx f x ππ++-=()0,x π∈()cos f x x =()f xA. B.最小正周期C.的图象关于直线对称D.的图象关于对称11.若双曲线，，分别为左、右焦点，设点是在双曲线上且在第一象限的动点，点为的内心，，则下列说法不正确的是A.双曲线的渐近线方程为B.点的运动轨迹为双曲线的一部分C.若，，则D.不存在点，使得取得最小值答题卡题号1234567891011得分答案第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中的系数为________.13.各角的对应边分别为，，，满足，则角的取值范围为________.14.对任意的，不等式（其中e 是自然对数的底）恒成立，则的最大值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）设为正项等比数列的前项和，，.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，，求数列的前项和.302f π⎛⎫=⎪⎝⎭2T π=()f x x π=()f x (),0π-22:145x y C -=1F 2F P I12PF F △()0,4A C 045x y±=I 122PF PF =12PI xPF yPF =+ 29y x -=P 1PA PF +523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭4x ABC △a b c 1b ca c a b+++…A *n ∈N 11e 1nan n n ⎛⎫⎛⎫+⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭…a n S {}n a n 21332S a a =+416a ={}n a {}n b 11b =1222log log n nn n b a b a ++={}n b n n T16.（本小题满分15分）如图，在四棱锥，，，，点在上，且，.（1）若为线段的中点，求证：平面；（2）若平面，求平面与平面所成夹角的余弦值.17.（本小题满分15分）已知函数有两个极值点为，，.（1）当时，求的值；（2）若（e 为自然对数的底数），求的最大值.18.（本小题满分17分）已知抛物线的焦点为，为上任意一点，且的最小值为1.（1）求抛物线的方程；（2）已知为平面上一动点，且过能向作两条切线，切点为，，记直线，，的斜率分别为，，，且满足.①求点的轨迹方程；②试探究：是否存在一个圆心为，半径为1的圆，使得过可以作圆的两条切线，，切线，分别交抛物线于不同的两点，和点，，且为定值？若存在，求圆的方程，不存在，说明理由.19.（本小题满分17分）对于一组向量，，，…，（且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”.（1）设，且，若是向量组，，的“长向量”，求实数的取值范P ABCD -BCAD 1AB BC ==3AD =E AD PE AD ⊥2DE PE ==F PE BFPCD AB ⊥PAD PAB PCD ()21ln 2f x x x ax =+-1x ()212x x x <a ∈R 52a =()()21f x f x -21e x x …()()21f x f x -2:2(0)E x py p =>F H E HF E P P E M N PM PN PF 1k 2k 3k 123112k k k +=P ()0,(0)Q λλ>P Q 1l 2l 1l 2l E ()11,A s t ()22,B s t ()33,C s t ()44,D s t 1234s s s s Q 1a 2a 3a n a N n ∈3n …123n n S a a a a =++++{}()1,2,3,,p a p n ∈ p n p a S a - …p a(),2n a n x n =+n ∈N 0n >3a 1a 2a 3ax围；（2）若，且，向量组，，，…，是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由；（3）已知，，均是向量组，，的“长向量”，其中，.设在平面直角坐标系中有一点列，，，…，，满足为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与（且）关于点对称，求的最小值.sin,cos 22n n n a ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭n ∈N 0n >1a 2a 3a 7a 1a 2a 3a 1a2a3a()1sin ,cos a x x =()22cos ,2sin a x x = 1P 2P 3P n P 1P 2P 3a 21k P +2k P 1P 22k P +21k P +k ∈N 0k >2P10151016P P参考答案一、二、选择题题号1234567891011答案DCADCBCDACDADABD1.D2.C 【解析】集合，，.故选C.3.A【解析】是奇函数，，，，，.故选A.4.D 【解析】有可能出现，平行这种情况，故A 错误；会出现平面，相交但不垂直的情况，故B 错误；，，，故C 错误；，，又由，故D 正确.故选D.5.C 【解析】设的最小正周期为，函数图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则有，得，则有，解得，所以，所以.故选C.6.B 【解析】依题意，直线恒过定点，直线恒过定点，显然直线，因此，直线与交点的轨迹是以线段为直径的圆，其方程为：，圆心，半径，而圆的圆心，半径，如图：，两圆外离，由圆的几何性质得：，{}i,1,1,i A =--{}1,1B =-{}1,1A B ⋂=-()f x ()()22cos x x f x m x -=+⋅()()()2222x x x xf x f x m --⎡⎤∴+-=+++⎣⎦cos 0x =()()122cos 0x x m x -∴++=10m ∴+=1m =-αβαβm l m α⊥l βαβ⊥⇒ l α⊥m l m α⇒⊥ m βαβ⇒⊥ ()f x T 224254T ⎛⎫+= ⎪⎝⎭12T =212πω=6πω=()4cos 6f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭664cos 4cos046f ϕϕπϕππ⎛⎫⎛⎫-=-⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()1:310l m x n y ---=()3,1A ()()2:130l n x m y -+-=()1,3B 12l l ⊥1l 2l P AB 22(2)(2)2x y -+-=()2,2N 2r =C ()0,0C 11r =12NC r r =>+12min1PMNC r r =--=-，所以的取值范围为.故选B.7.C 【解析】如图，设，，延长交于点，由题意知，为的中点，故为中点，又，即，则，又由点在的角平分线上得，则是等腰直角三角形，故有化简得即代入得，即，又，所以，所以，.故选C.8.D 【解析】因为或，所以若，则在中至少有一个，且不多于3个.所以可根据中含0的个数进行分类讨论.①五个数中有2个0，则另外3个从1，-1中取，共有方法数为，②五个数中有3个0，则另外2个从1，-1中取，共有方法数为，③五个数中有4个0，则另外1个从1，-1中取，共有方法数为，所以共有种.故选D.9.ACD 【解析】将样本数据从小到大排列为26，28，30，32，32，35，35，38，39，42，这10年的粮食年产量极差为，故A 正确；，结合A 选项可知第70百分位数为第7个数和第812max1PMNC r r =++=+PM 1⎤-+⎦1PF m =2PF n =OQ 2PF A 1OQ PF O 12F F A 2PF 120PF PF ⋅= 12PF PF ⊥2QAP π∠=Q 12F PF ∠4QPA π∠=AQP △2222,4,11,22m n a m n c b n m ⎧⎪+=⎪+=⎨⎪⎪+=⎩2,2,m n b m n a -=⎧⎨+=⎩,,m a b n a b =+⎧⎨=-⎩2224m n c +=222()()4a b a b c ++-=2222a b c +=222b a c =-2223a c =223e =e =0i x =1i x =1234513x x x x x ++++……()1,2,3,4,5i x i =1i x =i x 2315C 2N =⋅3225C 2N =⋅435C 2N =⋅23324555C 2C 2C 2130N =⋅+⋅+⋅=422616-=1070%7⨯=个数的平均数，即，故B 不正确；这10年粮食年产量的平均数为，故C 正确；结合图形可知，前5年的粮食年产量的波动小于后5年的粮食产量波动，所以前5年的粮食年产量的方差小于后5年的粮食年产量的方差，故D 正确.故选ACD.10.AD 【解析】由于时，，并且满足，则函数的图象关于直线对称.由于，所以，故，故，故函数的最小正周期为，根据，知函数的图象关于对称.由于时，，，故A 正确，由于函数的最小正周期为，故B 错误；由函数的图象关于对称，易知的图象不关于直线对称，故C 错误；根据函数图象关于点对称，且函数图象关于直线对称，知函数图象关于点对称，又函数的最小正周期为，则函数图象一定关于点对称，故D 正确.故选AD.11.ABD 【解析】双曲线，可知其渐近线方程为，A 错误；设，，的内切圆与，，分别切于点，，，可得，，，由双曲线的定义可得：，即，又，解得，则点的横坐标为，由点与点的横坐标相同，即点的横坐标为，故在定直线上运动，B 错误；由，且，解得，，，，则，同理可得：，设直线，直线，联立方程得，设的内切圆的半径为，则，解得，即，353836.52+=()13232302835384239263533.710⨯+++++++++=()0,x π∈()cos f x x =()()22f x f x ππ+=-()f x 2x π=()()0fx f x ππ++-=()()fx f x ππ+=--()()()()()22f xf x f x f x ππππ--+=+=--=-()()()24f x f x f x ππ=-+=+4π()()0fx f x ππ++-=()f x (),0π()0,x π∈()cos f x x =3cos 022222f f ff πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=--=-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭4π()f x (),0π()f x x π=(),0π2x π=()3,0π4π(),0π-22:145x y C -=02x =1PF m =2PF n =12PF F △1PF 2PF 12F F S K T PS PK =11F S FT =22F T F K =2m n a -=12122F S F K FT F T a -=-=122FT F T c +=2F T c a =-T a I T I 2a =I 2x =122PF PF =1224PF PF a -==18PF =24PF =1226F F c ==126436167cos 2868PF F ∠+-∴==⨯⨯12sin PF F ∠==12tan PF F ∠∴=21tan PF F ∠=)1:3PF y x =+)2:3PF y x =-(P 12PF F △r ()12118684622PF F S r =⨯⨯=⨯++⋅△r =I ⎛ ⎝，，，由，可得解得，，故，C 正确；，，当且仅当，，三点共线取等号，易知，故存在使得取最小值，D 错误.故选ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.90 【解析】展开式的通项公式为，令，解得，所以展开式中的系数为.13. 【解析】从所给条件入手，进行不等式化简，观察到余弦定理公式特征，进而利用余弦定理表示，由可得，可得.14. 【解析】对任意的，不等式（其中e 是自然对数的底）恒成立，只需恒成立，只需恒成立，只需恒成立，2,PI ⎛∴=- ⎝ (17,PF =- (21,PF =- 12PI xPF yPF =+ 27,,x y -=--⎧⎪⎨=⎪⎩29x =49y =29y x -=1224PF PF a -== 12244PA PF PA PF AF ∴+=+++…A P 2F ()1min549PA PF +=+=P 1PA PF +523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()()521031553C C 3rr rrr r r T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭1034r -=2r =4x 225C 310990⋅=⨯=0,3π⎛⎤⎥⎝⎦()()1b c b a b c a c a c a b+⇒+++++……()()222a c a b b c a bc ++⇒++…cos A 222b c a ac +-…2221cos 22b c a A bc +-=…0,3A π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦11ln2-*n ∈N 11e 1n an n n ⎛⎫⎛⎫+⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭…11e n an +⎛⎫+ ⎪⎝⎭…()1ln 11n a n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭…11ln 1a n n -⎛⎫+ ⎪⎝⎭…构造，，，.下证，再构造函数，，，，设，，，令，，，，在时，，单调递减，，即，所以递减，，即，所以递减，并且，所以有，，所以，所以在上递减，所以的最小值为.，即的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）因为是正项等比数列，所以，公比，因为，所以，即，则，解得（舍去）或，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（3分）又因为，所以，所以数列的通项公式为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6分）（2）依题意得，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（7分）当时，，所以，因为，所以，当时，符合上式，所以数列的通项公式为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（10分）()()11ln 1m x x x =-+(]0,1x ∈()()()()()22221ln 11ln 1x x x m x x x x ++-=++'(]0,1x ∈()(]22ln 1,0,11x x x x+<∈+()()22ln 11x h x x x =+-+(]0,1x ∈()()()2221ln 12(1)x x x xh x x ++-'-=+(]0,1x ∈()()()221ln 12F x x x x x =++--()()2ln 12F x x x =+-'(]0,1x ∈()()2ln 12G x x x =+-(]0,1x ∈()21xG x x=-+'(]0,1x ∈(]0,1x ∈()0G x '<()G x ()()00G x G <=()0F x '<()F x ()()00F x F <=()0h x '<()h x ()00h =()22ln 11x x x+<+(]0,1x ∈()0m x '<()m x (]0,1x ∈()m x ()111ln2m =-11ln2a ∴-…a 11ln2-{}n a 10a >0q >21332S a a =+()121332a a a a +=+21112320a q a q a --=22320q q --=12q =-2q =3411816a a q a ===12a ={}n a 2n n a =1222222log log 2log log 22n n n n n n b a nb a n +++===+2n …()324123112311234511n n b b b b n b b b b n n n --⨯⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=++ ()121n b b n n =+11b =()21n b n n =+1n =1n b ={}n b ()21n b n n =+因为，所以.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13分）16.【解析】（1）设为的中点，连接，，因为是中点，所以，且，因为，，，，所以四边形为平行四边形，，且，所以，且，即四边形为平行四边形，所以，因为平面平面，所以平面.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6分）（2）因为平面，所以平面，又，所以，，相互垂直，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（7分）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（9分）设平面的一个法向量为，则取，则，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（11分）设平面的一个法向量为，()211211n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭1111112212221223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭M PD FM CM F PE FMED 12FM ED =AD BC 1AB BC ==3AD =2DE PE ==ABCE BC ED 12BC ED =FM BC FM BC =BCMF BFCM BF ⊄,PCD CM ⊂PCD BF PCD AB ⊥PAD CE ⊥PAD PE AD ⊥EP ED EC E ()0,0,2P ()0,1,0A -()1,1,0B -()1,0,0C ()0,2,0D ()1,0,0AB = ()0,1,2AP = ()1,0,2PC =- ()1,2,0CD =-PAB ()111,,m x y z =1110,20,m AB x m AP y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 11z =-()0,2,1m =- PCD ()222,,n x y z =则取，则，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13分）设平面与平面所成夹角为，则∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（15分）17.【解析】（1）函数的定义域为，则，当时，可得，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（2分）当或时，；当时，；所以在区间，上单调递增，在区间上单调递减；∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（4分）所以和是函数的两个极值点，又，所以，；所以，即当时，.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6分）（2）易知，又，所以，是方程的两个实数根，则且，，所以，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（9分）所以，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（11分）设，由，可得，令，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13分）则，所以在区间上单调递减，222220,20,n PC x z n CD x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 21z =()2,1,1n = PAB PCD θcos θ=()21ln 2f x x x ax =+-()0,+∞()211x ax f x x a x x -+=+-='52a =()()2152122x x x x f x x x'⎛⎫---+ ⎪⎝⎭==10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()2,x ∈+∞()0f x '>1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()2,+∞1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭12x =2x =()f x 12x x <112x =22x =()()()211115152ln225ln 2ln222848f x f x f f ⎛⎫⎛⎫-=-=+--+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭52a =()()21152ln28f x f x -=-()()()()22221212111ln2x f x f x x x a x x x -=+---()21x ax f x x-+='1x 2x 210x ax -+=2Δ40a =->120x x a +=>121x x =2a >()()()()()()()2222222121212112211111lnln 22x x f x f x x x a x x x x x x x x x x -=+---=+--+-()()222222221212111121121111lnln ln 222x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫=--=-⋅-=-- ⎪⎝⎭21x t x =21e x x (21)e x t x =…()11ln 2g t t t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭e t …()222111(1)1022t g t t t t-⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭'()g t [)e,+∞得，故的最大值为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（15分）18.【解析】（1）设抛物线的准线为，过点作直线于点，由抛物线的定义得，所以当点与原点重合时，，所以，所以抛物线的方程为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（4分）（2）①设，过点且斜率存在的直线，联立消去，整理得：，由题可知，即，所以，是该方程的两个不等实根，由韦达定理可得∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6分）又因为，所以，，由，有，所以，因为，，，所以点的轨迹方程为.②由①知，设，，且，∙∙∙∙∙∙∙∙∙（9分）联立消去，整理得，又，，，，由韦达定理可得，同理可得，所以，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（11分）又因为和以圆心为，半径为1的圆相切，，即.同理，所以，是方程的两个不等实根，()()11e 1e 1e 12e 22eg t g ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭…()()21f x f x -e 1122e -+E l 2py =-H 1HH ⊥l 1H 1HF HH =H O 1min 12pHH ==2p =E 24x y =(),P m n P ():l y k x m n =-+()24,,x y y k x m n ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩y 24440x kx km n -+-=()2Δ164440k km n =--=20k mk n -+=1k 2k 1212,,k k m k k n +=⎧⎨=⎩()0,1F 31n k m -=0m ≠123112k k k +=121232k k k k k +=21m m n n =-0m ≠12n n -=1n ∴=-P ()10y x =-≠(),1P m -()14:1l y k x m =--()25:1l y k x m =--1m ≠±0m ≠()244,1,x y y k x m ⎧=⎪⎨=--⎪⎩y 2444440x k x k m -++=()11,A s t ()22,B s t ()33,C s t ()44,D s t 12444s s k m =+34544s s k m =+()()()212344515454444161616s s s s k m k m k k m m k k =++=+++1l ()0,(0)Q λλ>1()()2224412120m k m k λλλ-++++=()()2225512120m k m k λλλ-++++=4k 5k ()()22212120m k m k λλλ-++++=所以由韦达定理可得∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（14分）所以，若为定值，则，又因为，所以，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（16分）所以圆的方程为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（17分）19.【解析】（1）由题意可得：，解得.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（3分）（2）存在“长向量”，且“长向量”为，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（5分）理由如下：由题意可得，若存在“长向量”，只需使，又，故只需使，即，即，当或6时，符合要求，故存在“长向量”，且“长向量”为，.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（8分）（3）由题意，得，，即，即，同理，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（10分）三式相加并化简，得，即，，所以，设，由得∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（12分）设，则依题意得：∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13分）()452245221,12,1m k k m k k m λλλ⎧++=-⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩()()()22222123445452216161616162221621611m m s s s s k k m m k k m m λλλλ=+++=+--+=-+--1234s s s s 220λ-=0λ>λ=Q 22(1x y +=312a a a +…40x -……2a 6a1n a ==p a1n p S a - …()()712371010101,01010100,1S a a a a =++++=+-+++--+++-+=-71p S a -=== 022cos12p π+ (1)1cos 22p π--……2p =2a 6a123a a a + (2)2123a a a + …()22123a a a +...222123232a a a a a ++⋅ (2)22213132a a a a a ++⋅ …222312122a a a a a ++⋅…2221231213230222a a a a a a a a a +++⋅+⋅+⋅…()21230a a a ++…1230a a a ++ …1230a a a ++=()3,a u v = 1220a a a ++= sin 2cos ,cos 2sin ,u x x v x x =--⎧⎨=--⎩(),n n n P x y ()()()()()()212111222222222121,2,,,,2,,,k k k k k k k k x y x y x y x y x y x y ++++++⎧=-⎪⎨=-⎪⎩得，故，，所以，，当且仅当时等号成立，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（16分）故.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（17分）()()()()2222221122,2,,,k k k k x y x y x y x y ++⎡⎤=-+⎣⎦()()()()2222221122,2,,,k k x y k x y x y x y ++⎡⎤=-+⎣⎦()()()()2121221122,2,,,k k x y k x y x y x y ++⎡⎤=--+⎣⎦()()()212222212221221112,4,,4k k k k k k P P x x y y k x y x y k PP ++++++⎡⎤=--=-=⎣⎦22212(sin 2cos )(cos 2sin )58sin cos 54sin21PP x x x x x x x =--+--=+=+ …()4x t t ππ=-∈Z 10151016min1014420282P P =⨯=。

2022-2021学年湖南省雅礼中学高三（下）其次次月考数学试卷（理科）一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.把答案填在答题卡中对应题号的框框内.）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，则A∩B等于（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2，3}2．若A、B均是非空集合，则A∩B≠∅是A⊆B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件3．（中诱导公式、基本公式）已知，且，则tan（2π﹣α）的值为（）A．B．C．D．4．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为（）A．2B．C．2D．45．已知向量满足：，与的夹角为，则=（）A．2 B．4 C．2D．86．设x，y 满足约束条件，则目标函数z=的最小值为（）A．2 B．1 C．D．﹣27．设f（x）定义如下面数表，{x n}满足x0=5，且对任意自然数n均有x n+1=f（x n），则x2022的值为（）x 1 234 5f（x）4 135 2A．4 B．1 C．3 D．28．如图，长沙河西先导区某广场要划定一矩形区域ABCD，并在该区域内开拓出三块外形大小相同的矩形绿化区，这三块绿化区四周和绿化区之间设有1米宽的走道．已知三块绿化区的总面积为800平方米，则该矩形区域ABCD占地面积的最小值为（）平方米．A．900 B．920 C．948 D．9689．已知函数，若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2），则x1•f（x2）的取值范围为（）A．B．C．D．10．设定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），f′（x）是f（x）的导函数，当x∈[0，1]时，0≤f（x）≤1；当x∈（0，2）且x≠1时，x（x﹣1）f′（x）＜0．则方程f（x）=lg|x|根的个数为（）A．12 B．1 6 C．18 D．20二．填空题：本大题共1小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．（一）选做题（请考生在第11、12、13题中任选两题作答，假如全做，则按前两题给分）【几何证明选讲】11．如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，已知⊙O的半径为3，PA=2，则OE=．【极坐标系与参数方程选讲】12．已知曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的极坐标方程为，它们的交点在平面直角坐标系中的坐标为．【不等式选讲】1011•天津）已知集合A={x∈R||x+3|+|x﹣4|≤9}，B=，则集合A∩B=．（二）必做题（14～16题）14．设（其中e为自然对数的底数），则的值为．15．动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t=0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是．16．已知数列{a n}的前n项和S n=（﹣1）n •n，若对任意正整数n，（a n+1﹣p）（a n﹣p ）＜0恒成立，则实数P 的取值范围是．三．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．设函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．18．设数列{a n}的前n项和为S n，已知对任意正整数n，都有S n+2=2a n成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜3．19．如图所示，在平面四边形ABCD中，，与的夹角为，与的夹角为．（1）求△CDE的面积S；（2）求．20．已知函数f（x ）=lnx﹣ax+﹣1（a∈R）（1）当a=﹣1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）当a≤时，争辩f（x）的单调性．21．若数列{a n}（n∈N*）满足：①a n≥0；②a n﹣2a n+1+a n+2≥0；③a1+a2+…+a n≤1，则称数列{a n}为“和谐”数列．（1）已知数列{a n}，（n∈N*），推断{a n}是否为“和谐”数列，说明理由；（2）若数列{a n}为“和谐”数列，证明：．（n∈N*）22．已知函数f（x）=（1）当x＞0时，证明：f（x）＞；（2）当x＞﹣1且x≠0时，不等式f（x）＜恒成立，求实数k的值．2022-2021学年湖南省雅礼中学高三（下）其次次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.把答案填在答题卡中对应题号的框框内.）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，则A∩B等于（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2，3}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：依据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：∵A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，∴A∩B={﹣1，0，1}，故选：B点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．若A、B均是非空集合，则A∩B≠∅是A⊆B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的推断．专题：规律型．分析：推断出“A∩B≠∅”成立推不出“A⊆B”反之，若“A⊆B”成立，则能推出A∩B≠∅”确定成立，利用充要条件的有关定义得到结论．解答：解：若“A∩B≠∅”成立推不出“A⊆B”反之，若“A⊆B”成立，则有A∩B=A≠∅，所以A∩B≠∅”确定成立，所以A∩B≠∅是A⊆B的必要不充分条件，故选B．点评：本题考查推断一个条件是另一个的什么条件，应当先化简各个条件，若条件是数集的形式，常转化为推断集合间的包含关系．3．（中诱导公式、基本公式）已知，且，则tan（2π﹣α）的值为（）A．B．C．D．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：先依据诱导公式化简已知条件，得到sinα的值，然后由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，把所求的式子利用诱导公式化简后，再依据同角三角函数间的基本关系把切化弦后，将sinα和cosα的值代入即可求出值．解答：解：由，又，得，则．故选B点评：此题考查同学机敏运用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．同学在求cosα的值时应留意α的范围．4．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为（）A．2B．C．2D．4考点：简洁空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：三棱柱的左视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高，在边长是2的等边三角形中做出底边上的高的长度，得到结果．解答：解：由题意知三棱柱的左视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高，在边长是2的等边三角形中，底边上的高是，∴侧视图的面积是2故选：A．点评：本题考查简洁的空间图形三视图，考查三视图的面积的计算，考查通过原图观看三视图的大小，比较基础．5．已知向量满足：，与的夹角为，则=（）A．2 B．4 C．2D．8考点：平面对量数量积的运算．。

炎德·英才大联考雅礼中学2023届高三月考试卷(三)数学参考答案一、单项选择题二、多项选择题三、填空题13.14 14.1.5 15.π16.2四、解答题17.【解析】(1)27sin 2cos 22cos 1249ππβββ⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2)∵02παβπ<<<<， ∴3444πππβ<-<，322ππαβ<+<.∴sin 04πβ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，()cos 0αβ+<，∵1cos 43πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()4sin 5αβ+=，∴sin 43πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()3cos 5αβ+=-.∴()3143cos cos 44535315ππααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+--=-⨯+⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.18.【解析】(1)以A 为原点，分别以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴建系，则()0,0,0A ，()B ，()C ，()0,2,0D ，()0,0,3P ，∴()0,0,3AP =，()23,6,0AC =，()BD =-，∴0BD AP ⋅=，0BD AC ⋅=，∴BD AP ⊥，BD AC ⊥，PAAC A =，∴BD ⊥平面PAC .(2)设平面ABD 的法向量为()0,0,1=m ，平面PBD 的法向量为(),,1x y =n ，由0BP ⋅=n ，0BD ⋅=n ，∴30,320,2x y y ⎧⎧=⎪⎪-+=⎪⎪⇒⎨⎨-+=⎪⎪=⎪⎪⎩⎩∴3,12⎫=⎪⎪⎝⎭n ， ∴1cos ,2=m n ， ∴二面角P BD A --的大小为60︒19.【解析】(1)设前三个小组的频率分别为1p ，2p ，3p ， 由条件得()21311233,22,10.0050.02010,p p p p p p p ⎧=⎪⎪⎨=⎪++=-+⨯⎪⎩ 解得：116p =，214p =，313p =， 由2115604p n n ==⇒=. (2)由(1)知一个高中生身高超过160厘米的概率为()370.0050.0201012p p =++⨯=， 由于高中生人数很多，所以X 服从二项分布，7~3,12X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()3375C 1212k k k P X k -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,3k =，773124EX =⨯=. (3)将表中的数据代入公式()()()()()22p ad bc a b c d a c b d χ-=++++， 得到()2250181589 5.059>5.024********χ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，查表知()2 5.0240.025P χ≥=，即说明在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为喜欢玩游戏与作业量的多少有关系.20.【解析】(1)1(0)2f =，1211224a -==+，()()()11020010n n f f f f +⎡⎤==⎣⎦+， ∴()()()()()()()()1112101101001120242020221012n n n n n n n n n n f f f f a a f f f f +++--+-====-⋅=-+++-++， ∴112n n a a +=-， ∴数列{}n a 是首项为14，公比为12-的等比数列，11142n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭. (2)21232232n n T a a a na +=+++，212321111123222222n n T a a a na ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 两式相减得：221211142311124212n n n T n -⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⨯- ⎪⎝⎭+， 22131192n n n T +⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 21.【解析】(1)设双曲线E 的方程为()222210,0x y a b a b -=>>， 则(),0B c -，(),0D a ，(),0C c .由3BD DC =，得()3c a c a +=-，即2c a =.∴22216,124,2.AB AC a AB AC a AB AC a ⎧-=⎪+=-⎨⎪-=⎩解得1a =，∴2c =，b .∴双曲线E 的方程为2213y x -=. (2)设在x 轴上存在定点(),0G t ，使()BC GM GN λ⊥-.设直线的方程为x m ky -=，()11,M x y ，()22,N x y .由MP PN λ=，得120y y λ+=， 即12y y λ=-.① ∵()4,0BC =，()1212,GM GN x t x t y y λλλλ-=--+-，∴()()12BC GM GN x t x t λλ⊥-⇔-=-.即()12ky m t ky m t λ+-=+-.②把①代入②，得 ()()121220ky y m t y y +-+=.③把x m ky -=代入2213y x -=，并整理得()()222316310k y kmy m -++-=. 其中2310k -≠且0∆>， 即213k ≠，且2231k m +>. 122631km y y k -+=-，()21223131m y y k -=-. 代入③，得()()22261603131k m km m t k k ---=--，化简得kmt k =，当1t m =时，上式恒成立. 因此，在x 轴上存在定点1,0G m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使()BC GM GN λ⊥-. 22.【解析】(1)()121f x x x a'=--+， ∵0x =时，()f x 取得极值，∴()00f '=，故120100a-⨯-=+， 解得1a =.经检验1a =符合题意.(2)由1a =知()()2ln 1f x x x x =+--， 由()52f x x b =-+， 得()23ln 102x x x b +-+-=， 令()()23ln 12x x x x b ϕ=+-+-， 则()52f x x b =-+在区间[]0,2上恰有两个不同的实数根等价于()0x ϕ=，在区间[]0,2上恰有两个不同的实数根.或()()()()4511321221x x x x x x ϕ-+-'=-+=++， 当[]0,1x ∈时，()0x ϕ'>，于是()x ϕ在[]0,1上单调递增；当(]1,2x ∈时，()0x ϕ'<，于是()x ϕ在(]1,2上单调递减.依题意有()()()()()00,31ln 1110,22ln 12430,b b b ϕϕϕ⎧=-≤⎪⎪=+-+->⎨⎪=+-+-≤⎪⎩ 解得，1ln 31ln 22b -≤<+. (3)()()2ln 1f x x x x =+--的定义域为{}1x x >-， 由(1)知()()231x x f x x -+'=+.令()0f x '=得，0x =或32x =-(舍去)， ∴当10x -<<时，()0f x '>，()f x 单调递增；当0x >时，()0f x '<，()f x 单调递减.∴()0f 为()f x 在()1,-+∞上的最大值.∴()()0f x f ≤，故()2ln 10x x x +--≤(当且仅当0x =时，等号成立)，对任意正整数n ，取10x n =>，得2111ln 1n n n ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭， ∴211ln n n n n ++⎛⎫<⎪⎝⎭. 故()23413412ln 2ln ln ln ln 14923n n n n n ++++++>++++=+.。

雅礼中学2022届高三月考试卷（三）数 学得分：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅰ卷（非选择题）两部分，共8页．时量120分钟．满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}3A x x =>，104x B xx -⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，则A B =（ ） A ．∅B ．（3，4]C ．（3，4）D ．（4，+∞） 2．若1a >，则“x y a a >”是“log log a a x y >”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列各组函数中，()f x ，()g x 是同一函数的是（ ）A ．()2f x x =，()4g x = B ．()2log a f x x =，()2log a g x x =C ．()41x x f x -=，()21x g x =+D ．()f x =()g x =4．已知x y >，a b <，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．x b y a ->-B ．ax by ay bx +<+C ．ay bx <D ．ax by > 5．国内生产总值（GDP ）指按市场价格计算的一个国家（或地区）所有常住单位在一定时期内生产活动的最终成果．下图是我国2014~2018年连续5年的GDP 及增速图，则下列结论错误的是（ ）A ．连续5年中我国GDP 保持6%以上的增长B ．2014～2018年我国GDP 增速整体呈现下降趋势C ．2018年GDP 为这5年最高，GDP 增速为这5年最低D ．2018年GDP 相对2014年GDP 增长了一倍以上6．函数2ln y kx x =-有两个零点1x ，2x （120x x <<），则下列说法正确的是（ ）A ．1x >B ．1x <C ．2x e >D ．2x e <绩是A 等的概率为（ ）A ．1115 B ．1720 C ．1719 D ．1130 8．已知圆锥的表面积为2π，则其体积的最大值为（ ）A ．3πB ．2πC ．πD ．2π二、选择题：本题共4小题．每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知i 为虚数单位，复数11i z =+，22i z =-，则下列结论正确的是（ ）A ．1zB ．2z 的虚部为1-C ．12z z ⋅对应的点位于复平面第一象限D ．1z 的共轭复数为1i -- 10．关于函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，下列说法正确的是（ ） A ．由sin 2y x =的图象向左平移3π个单位得到 B ．对称轴为212k x ππ=+，k ∈Z C ．在区间（6π-，6π）上单调递增 D ．在区间[23π-，2π]上恰有3个零点 11．平行六面体ABCD —A'B'C'D'中，各棱长均为2，设ⅠA'AB=ⅠA'AD=ⅠDAB=θ，则下列结论中正确的有（ ）A ．当2πθ=时，'AC =B ．AC'和BD 总垂直C ．θ的取值范围为（0，23π）D ．θ=60°时，三棱锥C —C'B'D'的外接球的体积是12．已知数列{}n a 、{}n b 都是等比数列，且111b a -=，222b a -=，332b a -=，若等比数列{}n a 唯一，则在下列各值中，1a 不可能为（ ）A ．1B ．12-C ．13D ．1-三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a ，b 满足a ·b =1，|a |=|b |=2，则+=a b ．14．动圆P 的圆心在抛物线24y x =上运动，且保持与直线116y =-相切，则动圆P 经过定点的坐标为 ．15．清华大学有6名同学准备在北京2022年冬奥会期间担任志愿者，去A ，B 两个场馆进行工作．现需制定工作方案，将6人分成2组，每组3人，每组各指定一名组长，再将两组分别指派到A ，B 两个场馆，则不同的工作方案数为 ．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （0，2-），点B （1，1-），P 为圆222x y +=上一动点，则PB PA的最大值是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

雅礼中学2021届高三上学期第五次月考数学试题第Ⅰ卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．已知集合{24}A x x =-<∣，{53}B x x =-<∣，则A B ⋂=（ ）A ．{54}x x -<<∣B ．{52}x x -<-∣C ．{23}x x -∣D ．{34}x x <∣ 2．设134z i =-，223z i =-+，则12z z +在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．从5名同学中选若干名分别到图书馆食堂做志愿者，若每个地方至少去2名，则不同的安排方法共有（ ） A.20种 B ．50种 C ．80种 D ．100种4．党的十九大报告中指出：从2020年到2035年，在全面建成小康社会的基础上，再奋斗15年，基本实现社会主义现代化．若到2035年底我国人口数量增长至14.4亿，由2013年到2019年的统计数据可得国内生产总值（GDP ）y （单位：万亿元）关于年份代号x 的回归方程为 6.6050.36(1,2,3,4,5,6,7)y x x =+=，由回归方程预测我国在2035年底人均国内生产总值（单位：万元）约为（ ） A ．14.04万元 B ．202.16万元 C ．13.58万元 D ．14.50万元5．随着网络技术的发达，电子支付变得愈发流行，若电子支付只包含微信支付和支付宝支付两种．某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（ ）A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.76．牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为0T ，则经过一定时间t 后的温度T 将满足()012ta a T T T T ⎛⎫⎪⎭⋅-=- ⎝，其中a T 是环境温度，h 称为半衰期．现有一杯85℃的热茶，放置在25℃的房间中，如果热茶降温到55℃，需要10分钟，则欲降温到45℃，大约需要多少分钟？（lg 20.3010≈，1g 30.4771≈）（ ）A ．12B ．14C ．16D ．18 7．在直角三角形ABC 中，90A ︒∠=，2AB =，4AC =，P 在ABC 斜边BC 的中线AD 上，则()AP PB PC ⋅+的最大值为（ ）A ．258 B ．52 C ．254 D ．2528．已知()f x 是定义在R 上的函数，且对任意x R ∈都有(2)(2)4(2)f x f x f +=-+，若函数(1)y f x =+的图象关于点(1,0)-对称，且(1)3f =，则(2021)f =（ ）A ．6B ．3C ．0D ．3-二、多项选择题：本大题共4小题．每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9.如果a 、b 、c 满足c b a <<，且0ac <，那么下列选项成立的是（ ）A ．ab ac >B ．22cb ab < C ．()0c b a -> D ．()0ac a c -< 10．已知方程2225 3102x y ax ay a a +++++-=，若方程表示圆，则a 的值可能为（ ） A ．2- B ．0 C ．1 D ．3 11.．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论正确的是（ ）A ．异面直线1BD 与1BC 所成的角大小为90° B ．四面体1D DBC 的每个面都是直角三角形 C ．二面角11D BC B --的大小为30°D ．正方体1111ABCD A B C D -12．在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受得到．而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数．函数41sin[(21)]()21i i x f x i =-=-∑的图象就可以近似地模拟某种信号的波形，则（ ）A ．函数()f x 为周期函数，且最小正周期为πB ．函数()f x 的图象关于点(2,0)π对称C ．函数()f x 的图象关于直线2x π=对称 D ．函数()f x 的导函数()f x '的最大值为4 第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题每小题5分，共20分．13．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，直线:2l y x b =+经过抛物线C 的焦点，且与C 相交于A 、B 两点．若||5AB =，则p =________．14．数列1，2-，2，3-，3，3-，4，4-，4，4-，5，5-，5，5-，5，…的项正负交替，且项的绝对值为1的有1个，2的有2个，…，n 的有n 个，则该数列第2021项是________．15．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，如左下图．假定在水流量稳定的情况下，半径为3m 的筒车上的每一个盛水桶都按逆时针方向作角速度为rad /min 3π的匀速圆周运动，平面示意图如右下图，已知筒车中心O 到水面BC 的距距离为2m ，初始时刻其中一个盛水筒位于点0P 处，且0(// ) 6POA OA BC π∠=，则8min 后该盛水筒到水面的距离为________m ．16．正方体1111ABCD A B C D -的长为1，E ，F 分别为BC ，1CC 的中点．则平面AEF 截正方体所得的截面面积为________；以点E 11ACC A 的交线长为________． 四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在①sin 2B B +=，②cos220B B +-=，③222b ac -=这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．问题：已知ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，若4a =，c =，________，求ABC的面积．18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足()2*12323n a a a na n n N ++++=∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()1(1)n n n n b a a +=-+，求数列{}n b 的前2020项和2020S ．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，1PA AB ==，D= 2BC C =，//AB CD ，2ADC π∠=．（1）求证：PD AB ⊥；（2）求直线AC 与平面PBC 所成角的正弦值．20．（本小題满分12分）在2019年女排世界杯中，中国女子排球队以11连胜的优异战绩成功夺冠，为祖国母亲七十华诞献上了一份厚礼．排球比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局（第五局）采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜，在每局比赛中，发球方贏得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分．现有甲、乙两队进行排球比赛：（1）若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局接下来两队赢得每局比赛的概率均为12，求甲队最后赢得整场比赛的概率；（2）若前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛．在决胜局（第五局）中，两队当前的得分为甲、乙各 14分，且甲已获得下一发球权．若甲发球时甲赢1分的概率为25，乙发球时甲赢1分的概率为35，得分者 获得下一个球的发球权．设两队打了(6)x x 个球后甲赢得整场比赛，求x 的值及相应的概率()p x ．21．（本小题满分12分）如图，点A 为椭圆221:21C x y +=的左顶点，过A 的直线1l 交抛物线22:2(0)C y px p =>于B ，C 两点，点C 是AB 的中点．（1）若点A 在抛物线2C 的准线上，求抛物线2C 的标准方程；（2）若直线2l 过点C ，且倾斜角和直线1l 的倾斜角互补，交椭圆1C 于M ，N 两点． （i ）证明：点C 的横坐标是定值，并求出该定值； （ii ）当BMN 的面积最大时，求p 的值．22．（本小题满分12分）已知函数()21xf x ae x =+-，（其中常数 2.71828e =，是自然对数的底数）（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：对任意的1a ，当0x >时， ()()f x x ae x +．参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．2．D 【解析】由题134z i =-，223z i =-+，则121z z i +=-，对应点为(1,1)-．3．B 【解析】当去4个人时，安排方法有4254C C 30=种，当去5个人时，安排方法有3152C C 20=种．综上，不同的安排方法共有50种．故选B ．4．A 【解析】到2035年底对应的年份代号为23，由回归方程ˆ 6.6050.36yx =+得，我国国内生产总值约为6.602350.36202.16⨯+=（万亿元），又202.1614.0414.4≈，所以到2035年底我国人均国内生产总值约为14.04万元．故选A ．5．B 【解析】设事件A 为只用现金支付，事件B 为只用非现金支付，则()()()()P A B P A P B P AB ⋃=++．因为()0.45P A =，()0.15P AB =，所以()0.4P B =．故选B ．6．C 【解析】根据题意有：1015525(8525)102hh ⎛⎫-=-⇒=⎪⎝⎭， ∴101211lg30.47714525(8525)log 101015.852103lg 20.3010t t t ⎛⎫-=-⇒=⇒=⨯=⨯≈⎪⎝⎭，故选C ． 7．B 【解析】以A 为坐标原点，以AB ，AC 方向分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，则(2,0)B ，(0,4)C ，中点(1,2)D ，设(,2)P x x ，所以(,2)AP x x =，(1,22)PD x x =--，()2()(2)2[(1)2(22)]10AP PB PC AP PD x x x x x x ⋅+=⋅=-+-=--， 12x =时，最大值为52．故选B ． 8．D 【解析】令0x =，得(2)(2)4(2)f f f =+，即(2)0f =，(2)(2)f x f x +=-， 因为函数(1)y f x =+的图象关于点(1,0)-对称， 所以函数()y f x =的图象关于点(0,0)对称， 即()()f x f x -=-，所以(2)(2)(2)f x f x f x +=-=--，即(4)()f x f x +=-，(8)()f x f x +=，则(2021)(25383)(3)(1)3f f f f =⨯-=-=-=-，故选D ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．由,0c b ca ab a <⎧⇒<⎨>⎩，所以A 选项正确． 当0b =时，22cb ab =，所以B 选项错误．0,()00b a c b a c -<⎧⇒->⎨<⎩，所以C 选项正确． 0,()00a c ac a c ac ->⎧⇒-<⎨<⎩，所以D 选项正确．故选ACD ． 10．AB 【解析】因为方程22253102x y ax ay a a +++++-=表示圆， 所以2225(3)4102a a a a ⎛⎫+-+-> ⎪⎝⎭， 解得1a <，所以满足条件的只有2-与0． 故选AB ．11．ABD 【解析】连接1BC ，易知11BC B C ⊥，又正方体中11C D ⊥平面11BCC B ， 从而有111C D B C ⊥，1111C D BC C ⋂=，1B C ⊥平面11BD C ，从而得11B C BD ⊥，异面直线1BD 与1B C 所成的角大小为90°，A 正确； 正方体中1DD ⊥平面ABCD ，则1DD BD ⊥，1DD CD ⊥， 同理BC CD ⊥，1BC CD ⊥，∴四面体1D DBC 的四个面都是直角三角形，B 正确；由1BC CD ⊥，1BC CC ⊥，知11D CC ∠是二面角11D BC B --的平面角， 为45°，即二面角11D BC B --为45°，C 错误； 易知1BD 的中点是正方体外接球和内切球的球心，12，，D 正确． 故选ABD ．12．BCD 【解析】∵sin3sin5sin7()sin 357x x xf x x =+++， sin[3()]sin[5()]sin[7()]()sin()357x x x f x x πππππ++++=++++sin3sin5sin7sin ()()357x x xx f x f x =----=-≠， 所以，π不是函数()y f x =的最小正周期，A 选项错误； ∵sin(3)sin(5)sin(7)sin3sin5sin7()sin()sin 357357x x x x x xf x x x ----=-+++=----， sin[3(4)]sin[5(4)]sin[7(4)](4)sin(4)357x x x f x x πππππ++++=++++sin3sin5sin7sin ()357x x xx f x =+++=， 所以，函数()y f x =的图象关于直线2x π=对称，C 选项正确； ()cos cos3cos5cos7f x x x x x '=+++，∵1cos 1x -，1cos31x -，1cos51x -，1cos71x -，则()cos cos3cos5cos74f x x x x x '=+++，又 (0)4f '=，所以函数()y f x '=的最大值为4，D 选项确．故选BCD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．2【解析】法1：由题意知，直线:2l y x b =+，即 22b y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． ∵直线l 经过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点， ∴22b p-=，即b p =-． ∴直线l 的方程为2y x p =-．设()11,A x y 、()22,B x y ，联立22,2,y x p y px =-⎧⎨=⎩，消去y 整理可得22460x px p -+=，由韦达定理得1232px x +=，又||5AB =， ∴12552x x p p ++==，则2p =． 法2：设直线的倾斜角为θ，则tan 2k θ==，得sin θ=，∴2222||5sin p pAB θ===，得2p =． 14．64【解析】将绝对值相同的数字分为一组，则每组数字个数构成等差数列n a n =， 因为(1)6364202163201622n n n +⨯⇒⇒=，前2021项共包含63个完整组，且第63组最后一个数字为第2016项， 故2021项为第64组第5个数字，由奇偶项正负交替规律，其为64． 15．72【解析】根据题意可得，8分钟后盛水桶所转过的角为8833ππ⨯=，而除去一圈，82233πππ-=，所以转8分钟之后0P 所转到的位置P 满足25366POA πππ∠=+=， 所以点P 到水面的距离5723sinm 62d π=+=． 16．98【解析】如图，连接1AD ，则11////EF BC AD ， ∴等腰梯形1AEFD 为平面AEF 截正方体所得截面图形， 由正方体棱长为1，得1AD =，EF =，AE ==，则E 到1AD 的距离为4=，∴1192248AEFD S ⎛=+⨯= ⎝． ∵平面11AA C C ⊥平面ABCD ，且平面11AA C C ⋂平面ABCD AC =， 过E 作EH AC ⊥于H ，则EH ⊥平面11ACC A ，∵E 为BC 中点，∴144EH AC ==，以点E 11ACC A 的交线为圆弧，2=，由4CH =， 2HN =，得 3NHC π∠=，∴23MHN π∠=，所求交线为劣弧MN ，长度为2323π⨯=．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解析】选①：由sin 2B B +=得：sin 13B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又 (0,)B π∈， 所以6B π=． 3分选②：由cos220B B +-=得：22cos 30B B +-=，解得cos B =，又 (0,)B π∈，所以6B π=． 3分选③：由222b ac -=-得：222c a b +-=，得222cos 2a c b B ac +-===，又 (0,)B π∈，所以6B π=． 3分又因为sin sin C cB b==1sin 2C B ===由(0,)C π∈，所以3C π=或23C π=． 6分 当3C π=时，2A π=，又因为4a =，所以2b =，c =．所以面积122S =⨯⨯=． 8分当23C π=时，6A π=，所以A B =． 又因为4a =，所以4b =．所以面积1442S =⨯⨯= 10分 18．【解析】（1）由()2*12323n a a a na n n N ++++=∈，可得2123123(1)(1)n a a a n a n -++++-=-，所以22(1)21n na n n n =--=-， 3分 即()*122,n a n n N n=-∈，当1n =，11a =也满足， 所以()*12n a n N n=-∈． 6分 （2）2020122020S b b b =+++111111112222222212232019202020202021⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-+-+-+--+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12020120212021=-=． 12分 19．【解析】（1）由PA ⊥平面ABCD ，得PA AB ⊥， 由2ADC π∠=，得AD CD ⊥， 2分 ∵//AB CD ，∴AD AB ⊥， 3分∵AD PA A ⋂=，∴AB ⊥平面PAD ，∵PD ⊂平面PAD ，∴PDAB ⊥． 5分（2）以射线AB ,AD ,AP 为x ,y ,z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系． 则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，D ，(0,0,1)P ，C ，AC =，(1,0,1)PB =-，1)PC =-． 7分设平面PBC 的法向量(,,)n x y z =．则由0,0,n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,20.x z x z -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩ 9分取31,n ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则||3|cos ,|7||||AC n AC n AC n ⋅〈〉==⋅． 11分故直线AC与平面PBC12分20．【解析】（1）甲队最后贏得整场比赛的情况为第四局贏或第四局输第五局赢，所以甲队最后赢得整场比赛的概率为11132224+⨯=．4分（2）根据比赛规则，x的取值只能为2,4或6，对应比分为16:14,17:15,18:16.两队打了2个球后甲赢得整场比赛，即打第一个球甲发球甲得分，打第二个球甲发球甲得分，此时概率为224(2)5525p=⨯=；6分两队打了4个球后甲赢得整场比赛，即打第一个球甲发球甲得分，打第二个球甲发球甲失分，打第三个球乙球甲发球甲得分，打第四个球甲发球甲得分，此时概率为2332332272 (4)55555555625p=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=．8分两队打了6个球后甲赢得整场比赛，6个球的胜负情况如图（胜者用√表示），(6)55555555555555555555555515625 p=⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=．12分21．【解析】（1）由题意得(1,0)A-，1分点A在抛物线2C的准线上，则12p=，即2p =， 2分 所以抛物线2C 的标准方程为24y x =． 3分 （2）（i ）证明：因为过A 的直线1l 和抛物线交于两点， 所以1l 的斜率存在且不为0，设1l 的方程为1x my =-，其中m 是斜率的倒数， 4分 设()11,B x y ，()22,C x y ， 联立方程组21,2,x my y px =-⎧⎨=⎩ 整理得2220y pmy p -+=，0∆>且12122,2,y y pm y y p +=⎧⎨=⎩ 5分因为C 是AB 的中点，所以122y y =， 所以223pm y =，294m p =，2222111332pm p x m m =⋅-=-=， 所以点C 的橫坐标为定值． 6分（ⅱ）因为直线2l 的倾斜角和直线1l 的倾斜角互补， 所以2l 的斜率和1l 的斜率互为相反数． 设直线2l 的方程为2132pm x m y ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭,(),M M M x y ，(),N N N x y ， 即2x my =-+， 联立方程组222,210,x my x y =-+⎧⎨+-=⎩整理得()222430m y my +-+=， ()222(4)1224240m m m ∆=-+=->，所以26m >，242M N m y y m +=+，232M Ny y m =+． 8分 因为点C 是AB 中点，所以BMNAMNS S=，因为(1,0)A -到MN的距离d =，M N MN y =-，所以1||2AMNSMN d =⋅= 10分令26t m =-，则13288AMNS===⨯+，当且仅当8t =，214m =时等号成立， 所以9144p=， 956p =． 12分 22．【解析】（1）()2xf x ae '=+．①当0a 时，()0f x '>，函数()f x 在R 上单调递增； 2分 ②当0a <时，由()0f x '>解得2ln x a ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，由()0f x '<解得2ln x a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭．故()f x 在2,ln a ⎛⎫⎛⎫-∞-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增，在2ln ,a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递减． 4分 综上所述，当0a 时，()f x 在R 上单调递增； 当0a <时，()f x 在2,ln a ⎛⎫⎛⎫-∞-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增，在2ln ,a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减． （2）证法一：原不等式等价于120x e x e x a ax a--+-． 6分 令12()x e x g x e x a ax a =--+-，则()2(1)e 1()xx a x g x ax'---=． 当1a 时，11x x ae x e x ----， 8分令()1xh x e x =--，则当0x >时，()10xh x e '=->， ∴当0x >时，()h x 单调递增，即()(0)0h x h >=， 9分∴当01x <<时，()0g x '<；当1x =时，()0g x '=；当1x >时，()0g x '>， ∴()(1)0g x g =． 11分即120x e x e x a ax a--+-，故()()f x x ae x +． 12分 证法二：原不等式等价于()2(1)xa e exx --．令()x g x e ex =-，则()xg x e e '=-．当1x <时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>．∴()(1)0g x g =，即0x e ex -，当且仅当1x =时等号成立． 6分 当1x =时，()2(1)xa e exx --显然成立；当0x >且1x ≠时，0x e ex -． 欲证对任意的1a ，()2(1)xa e exx --成立，只需证2(1)x e ex x --． 8分思路1：∵0x >，∴不等式2(1)xe ex x --可化为120x e x e x x---+， 令1()2x e h x x e x x =---+，则()2(1)1()xx e x h x x'---=， 10分 易证当0x >时，10xe x -->，∴当01x <<时，()0h x '<，当1x >时，()0h x '>， ∴函数()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， ∴min ()(1)0h x h ==，∴()0h x ，即120x e x e x x---+， 从而，对任意的1a ，当0x >时，()(e)f x x a x +． 12分思路2：令2(1)()x x ex x e ϕ-+=，则(1)(3)()xx x e x e ϕ'--+-=．()031x e x ϕ'>⇒-<<，()01x x ϕ'<⇒>或03x e <<-， 10分∴()x ϕ在(0,3)e -上单调递减，在(3,1)e -上单调递增，在(1,)+∞上单调递减． ∵(0)(1)1ϕϕ==，∴2(1)()1xx ex x eϕ-+=，即2 (1)xx e ex --． 从而，对任意的1a ，当0x >时，()()f x x ae x +． 12分 证法三：原不等式等价于2210x ae x x aex +---．令2()(2)1xg x ae x ae x =----，()2(2)xg x ae x ae '=---． 令()2(2)xh x ae x ae =---，则()2xh x ae '=-，其中0x >． 6分 ①当2a 时，()0h x '>，()h x 在(0,)+∞上单调递增．注意到(1)0h =，故当(0,1)x ∈时，()()0g x h x '=<；当(1,)x ∈+∞时，()()0g x h x '=>．∴()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增． ∴min ()(1)0g x g ==，即 ()()f x x ae x +． 8分 ②当12a <时，20ln 1a ⎛⎫<< ⎪⎝⎭． 当20ln x a ⎛⎫<< ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 单调递减；当2ln x a ⎛⎫> ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 单调递增．（i ）若221a e <-，则(0)(1e)20h a =-+．∵2ln(1)0h h a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭， ∴当(0,1)x ∈时，()()0g x h x '=<；当(1,)x ∈+∞时，()()0g x h x '=>． 与①同，不等式成立． 10分 （ⅱ）若211a e <-，则(0)(1)20h a e =-+>， ∵2ln(1)0h h a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭， ∴020,ln x a ⎛⎫⎛⎫∃∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得()00h x =，且当()00,x x ∈时，()()0g x h x '=>； 当()0,1x x ∈时，()()0g x h x '=<；当(1,)x ∈+∞时，()()0g x h x '=>． ∴()g x 在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，在(1,)+∞上单调递增． ∵(0)10g a =-，(1)0g =， 此时，()0g x ，即()()f x x ae x +． 综上所述，结论得证． 12分。

2021年湖南省长沙市雅礼中学高三4月月考理科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知复数z 满足(12)z i i ⋅-=，则复数对应的点在复平面对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．若集合1{|01},{|lg}xM x x N x y x-=≤≤==，则R M C N = （ ）A ．{0}B ．{0,1}C ．{|01}x x ≤≤D ．{|0x x <或1}x > 3．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下（单位：克）125 120 122 105 130 114 116 95 120 134，则样本数据落在[114.5，124.5）内的频率为（ ） A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.54．一个用流程图表示的算法如图所示，则其运行后输出的结果为（ ）A ．1320B ．11880C ．132D ．以上都不对 5．123()x x +的展开式中，含x 的正整数次幂的项共有（ ）A ．3项B ．4项C ．2项D ．6项 6．如图是某四棱锥的三视图，则该棱锥的体积是 （ ）A ．48B ．243．16 D ．837．在公差不为零的等差数列{}n a 中，23711220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a = 则268log ()b b 的值为 （ ）A ．2B ．4C ．8D ．1 8．已知53()8af x x bx x =++-，且f （-2）=10，则f （2）= （ ） A ．-26B ．-18C ．-10D ．109．已知抛物线22y px =（0p >）与双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）有相同的焦点F ，点A 是两条曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，则该双曲线经过一、三象限的渐近线的倾斜角所在的区间是（ ） A ．06π⎛⎫⎪⎝⎭，B ．32ππ⎛⎫⎪⎝⎭， C ．43ππ⎛⎫⎪⎝⎭， D ．64ππ⎛⎫⎪⎝⎭， 10．若1212(,),(,)a a a b b b ==，定义一种运算：1122(,)a b a b a b ⊗=，已知1(2,)2m = ， (,0)3n π=，且点(,)P x y ，在函数sin y x =的图象上运动，点Q 在函数()y f x =的图象上运动，且OQ m OP n =⊗+（其中O 为坐标原点），则函数()y f x =的最大值A 和最小正周期T 分别为（ ） A ．2,A T π== B ．2,4A T π== C ．1,2A T π== D ．1,42A T π==二、填空题11．如图AB 是圆O 的直径，延长AB 至D ，使,BD OB DC =切圆O 于C ，则:AC AD = ．12．已知在平面直角坐标系xOy 中圆C 的参数方程为：33cos 13sin x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，（θ为参数），以Ox 为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：,0)6cos(=+πθρ则圆C 截直线所得弦长为 ．13．若关于x 的不等式226x x a -+-<的解集不空，则a 的取值范围是 ． 14．函数22()sincos()336x x f x π=+-图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 ．15．已知函数f(x)=x +sinx(x ∈R)，且f(y 2−8x +11)+f(x 2−6y +10)≤0，则当y ≥3时，函数F(x,y)=x 2+y 2的最小值与最大值的和为 ． 16．记{},min ,{,b a b a =a b a b≥<，当正数x 、y 变化时， 22min ,y t x x y ⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭也在变化，则t 的最大值为 ．三、解答题17．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一票.约定甲先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响.[来（Ⅰ） 求甲获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望18．（本小题满分12分） 如图,边长为2的正方形ABCD 中,点E 是AB 的中点,点F 是BC 的中点,将△AED 、△DCF 分别沿DE 、DF 折起,使A 、C 两点重合于点A ',连接EF ,A B '．（Ⅰ）求证:A D EF '⊥;（Ⅱ）求二面角A EF D '--的余弦值．19．（本小题满分12分）已知A B 、分别在射线CM CN 、（不含端点C ）上运动，23MCN ∠=π，在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ． （Ⅰ）若a 、b 、c 依次成等差数列，且公差为2．求c 的值； （Ⅱ）若3c =ABC ∠=θ，试用θ表示ABC ∆的周长，并求周长的最大值．20．（本小题满分13分） 某生产流水线由于改进了设备，预计改进后第一年年产量的增长率为160%，以后每年的增长率是前一年的一半，设原来的产量是.a（Ⅰ） 写出改进设备后的第一年、第二年、第三年的产量，并写出第n 年与第1n -年的产量之间的关系式(2,)n n N ≥∈；（Ⅱ） 由于设备不断老化，估计每年将损失年产量的5%，如此下去，以后每年的产量是否始终是逐年提高？若是，请给予证明；若不是，请说明从第几年起，产量将比上一年减少？21．（本小题满分13分） 已知椭圆E 中心在原点，一个焦点为(0) ，离心率e = （Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）AB 是长为52的椭圆E 动弦，O 为坐标原点，求AOB ∆面积的最大值与最小值 22．已知函数f(x)=ln(x +a)−x 2−x 在x =0处取得极值. （1）求实数a 的值；（2）若关于x 的方程f(x)=−52x +b 在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围；（3）证明：对任意的正整数n ，不等式2+34+49+⋯+n+1n 2>ln(n +1)都成立.参考答案1．B 【解析】试题分析：∵(12)z i i ⋅-=，∴(12)(12)2112(12)(12)555i i i i i z i i i i ++====-+--+，∴复数对应的点在复平面对应的点为21(,)55-，∴复数对应的点在复平面对应的点位于第二象限． 考点：复数的除法计算． 2．B 【解析】试题分析：∵1{|lg}x N x y x -==，∴10xx->，∴01x <<，∴{|01}N x x =<<， ∴{|01}R C N x x x =≤≥或，∴{0,1}R MC N =．考点：对数函数定义域、集合的补集和交集运算． 3．C 【解析】试题分析：从所给的十个数字中找出落在所要求的范围中的数字，共有4个，利用这个频数除以样本容量，得到要求的频率．解：∵在125 120 122 105 130 114 116 95 120 134十个数字中， 样本数据落在[114.5，124.5）内的有116，120，120，122共有四个， ∴样本数据落在[114.5，124.5）内的频率为=0.4，故选C点评：本题考查频率分布表，频数、频率和样本容量三者之间的关系是知二求一，这种问题会出现在选择和填空中，有的省份也会以大题的形式出现，把它融于统计问题中． 4．A 【解析】 试题分析：12,1;i S ==11212,11;S i =⨯==1211132,10;S i =⨯==132101320,9;S i =⨯==输出1320S =．考点：程序框图．5．A 【解析】试题分析：∵16126+11212=r r rrr r T C C x--=，当x 为正整数次幂时，0,6,12r =共3项．考点：二项式定理． 6．C 【解析】试题分析：由三视图知，这是一个底面是矩形的四棱锥，矩形的长和宽是6和2，底面上的高与底面交于底面一条边的中点，四棱锥的体积是4，四棱锥的体积为：1264163⨯⨯⨯=． 考点：由三视图求面积和体积． 7．B 【解析】试题分析：∵23711220a a a -+=，∴231172()a a a +=，∴2772(2)a a =，∴74a =，∴774b a ==，而226827272log ()log 2log 2log 44b b b b ====．考点：等差数列等比数列的性质、对数的运算． 8．A 【解析】()538a f x x bx x=++-,()()()()53 8a f x x b x x -=-++---. ()() 16f x f x +-=-.()210f -=,所以()()216226f f =---=-.故选A.点睛：本题主要考查函数的中心对称性，由()()2f x f x m +-=，知函数()f x 关于()0,?m 中心对称；由()()2f x a f a x m ++-=, 知函数()f x 关于()n,?m 中心对称. 9．B 【详解】分析：因为抛物线与双曲线有相同的焦点，所以可得p 与c 之间的关系， 因为AF x ⊥轴，则点A 的坐标可以由抛物线求出，将其代入双曲线方程， 再由a 、b 、c 之间的关系，可求出离心率，由离心率公式可得ba，即斜率的值，由斜率求出倾斜角的范围.详解：因为抛物线与双曲线焦点相同，所以2p c =，因为AF 与x 轴垂直，所以可求得点A的坐标为,2p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将其代入双曲线方程可得：222214p p a b-=，因为222b c a =-，代入上式可得：2222241c c a c a --=， 化简得：422460c c a a -+=，两边同时除以4a 得：42610e e -+=，解得23e =+3-，设渐近线斜率为k ，由22222211c b e k a a==+=+，解得223k =+>，所以倾斜角应大于60，所以区间可能是,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选B.点睛：本题主要考查抛物线与双曲线的几何性质，由焦点与公共点建立系数之间的联系，渐近线斜率与离心率有关，所以由系数求出离心率并求得斜率，与特殊倾斜角的斜率作对比，求出倾斜角取值范围. 10．D 【解析】试题分析：由条件1(2,sin )32OQ x x π=+，所以1(2)sin 32f x x π+= ，从而求得1()sin()226x f x π=-，1,4.2A T π∴==考点：向量的数量积、三角函数的最值和周期．11．【解析】试题分析：设圆半径为r ，连结OC 、BC ，则OC BC ⊥，由条件有：BD OB r ==，在Rt OCD ∆中，OC r =，2OD r =，则CD =，B 是OD 中点，则12CB OD r ==，弦切角CBD A α∠=∠=，D D ∠=∠，∴ACD ∆与CBD ∆相似，∴AC CB AD CD === 考点：三角形相似．12．【解析】试题分析：∵圆C 的参数方程为：3cos 13sin x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，∴圆C ：22((1)9x y -+-=，圆心C ，3r =，∵直线极坐标方程为：,0)6cos(=+πθρ0y -=，∴1d ==，弦长||AB ===考点：点到直线的距离、弦长、圆的参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化． 13．(2,4).- 【解析】试题分析：∵关于x 的不等式226x x a -+-<的解集不空，∴min (22)6x x a -+-<， 而2222x x a a -+-≥-，∴226a -<，即24a -<<． 考点：不等式的性质． 14．32π【解析】 试题分析：∵222222()sincos()sin cos cos sin sin sin()3363363633x x x x x x f x ππππ=+-=++=+，∴2323T ππ==，∴函数22()sincos()336x x f x π=+-图象的相邻两条对称轴之间的距离等于32π．考点：三角函数的周期、两角和与差的正弦余弦公式． 15．62【解析】试题分析：因为f(x)=x +sinx(x ∈R)是奇函数，又f ′(x)=1+cosx ≥0所以f(x)=x +sinx(x ∈R)为增函数，所以f(y 2−8x +11)≤f(−x 2+6y −10)，由单调性得y 2−8x +11≤−x 2+6y −10， 即(x −4)2+(y −3)2≤4，又y ≥3，则(x,y)对应可行域是以(4,3)为圆心，2为半径的上半圆面，易求得F(x,y)min =13,F(x,y)max =49，其和为62． 考点：函数的奇偶性和单调性．【方法点睛】抽象函数不等式问题具有抽象性、综合性、技巧性、隐蔽性等特点，加之解决这类问题时，要求学生基础知识扎实，综合应用数学知识解决问题的能力比较高，一直备受命题者的关注.解决这类问题的关键是如何巧妙地利用函数的性质,把抽象函数不等式中的函数符号“f”全部“脱掉”，转化为具体的不等式(组)来求解，或画出符合题意的一个最简单的、最熟悉的函数f(x)的大致图象，或画模拟图象来求解. 16．2【解析】试题分析：222112y x x y x y y==++，当12x x≥即x ≥， 2222min ,y y t x x y x y⎧⎫==⎨⎬++⎩⎭，而22122y x x y x ≤≤≤+，当2212y x x y x ≤≤+时，即0x <≤22min ,y t x x x y ⎧⎫==⎨⎬+⎩⎭，而x ≤，综上t． 考点：函数的最值 17．：（Ⅰ）1327（Ⅱ）139【解析】：设,,k k A B 分别表示甲、乙在第k 次投篮中，则11(),(),(1,2,3)32k k p A p B k === （Ⅰ）记“甲获胜”为事件C ，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知111211223()()()()p C p A p A B A p A B A B A =++ 111211223()()()()()()()()()p A p A p B P A p A p B P A P B p A =++22121121111113()()3323323392727=+⨯⨯+⨯=++=（Ⅱ）ξ的所有可能值为1，2，3． 由独立性知1111212(1)()()3323p p A p A B ξ==+=+⨯= 22112112221212(2)()()()()32329p p A B A p A B A B ξ==+=⨯+⨯=221122211(3)()()()329p p A B A B ξ===⨯=综上知，ξ有分布列从而，1233999E ξ=⨯+⨯+⨯= （次） 【考点定位】本题考查离散型随机变量的分布列和期望即相互独立事件的概率，考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，注意应用相互独立事件同时发生的概率公式18．（1）证明详见解析；（2）13． 【解析】试题分析：本题主要考查线线垂直、线面垂直、空间向量法、向量的夹角等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑思维能力、计算能力．第一问，通过A D A E ''⊥,A D A F ''⊥，利用线面垂直的判定，得A D '⊥平面A EF '，再利用线面垂直的性质，得A D EF '⊥；第二问，根据已知条件证明出A E ',A F ',A D '相互垂直，则建立空间直角坐标系，求出平面DEF 和平面A EF '的法向量，利用夹角公式求二面角的余弦值． 试题解析：（Ⅰ）在正方形ABCD 中,有AD AE ⊥,CD CF ⊥则A D A E ''⊥,A D A F ''⊥ 又A EA F A '''=∴A D '⊥平面A EF '而EF ⊂平面A EF ',∴A D EF '⊥ 5分（Ⅱ）方法一: ∵正方形ABCD 的边长为2,点E 是AB 的中点,点F 是BC 的中点, ∴1BE BF A E A F ''====, ∴2EF =∴222A E A F EF ''+=,∴A E A F ''⊥ 由（Ⅰ）得A D '⊥平面A EF ',∴分别以A E ',A F ',A D '为x ,y , z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz '-,则(0,0,0)A ',(1,0,0)E , (0,1,0)F ,(0,0,2)D ∴(1,0,2)DE =-,(0,1,2)DF =-,设平面DEF 的一个法向量为1(,,)n x y z =,则由112020n DE x z n DF y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩, 可取1(2,2,1)n =又平面A EF '的一个法向量可取2(0,0,1)n = ∴1212121cos ,3||||4411n n n n n n ⋅<>===++⋅∴二面角A EF D '--的余弦值为1312分 方法二: 连接BD 交EF 于点G ,连接A G '∵在正方形ABCD 中,点E 是AB 的中点,点F 是BC 的中点, ∴BE BF =,DE DF =,∴点G 为EF 的中点, 且BD EF ⊥∵正方形ABCD 的边长为2,∴1A E A F ''==,∴A G EF '⊥ ∴A GD '∠为二面角A EF D '--的平面角 由（Ⅰ）可得A D A G ''⊥, ∴△A DG '为直角三角形 ∵正方形ABCD 的边长为2, ∴22BD =,2EF =,∴22BG =,2322222DG =-=, 又2A D '= ∴ 2292422A G DG A D ''=-=-= ∴212cos 332A G A GD DG ''∠===∴二面角A EF D '--的余弦值为13考点：线线垂直、线面垂直、空间向量法、向量的夹角． 19．（1）7c =；（2）()2sin()33f πθθ=++23+【解析】试题分析：本题主要考查等差数列、余弦定理、正弦定理、两角和与差的正余弦公式、三角函数的最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力．第一问，利用等差数列的公差将a 、b 用c 表示，在MCN ∆中利用余弦定理解出c 的值；第二问，在ABC ∆中，利用正弦定理将AC 、BC 表示出来，再将表达式化简，利用两角和与差的正弦公式化简，再利用角θ的取值范围求三角函数的最值．试题解析：（Ⅰ）a 、b 、c 成等差，且公差为2，∴4a c =-、2b c =-．又23MCN ∠=π，1cos 2C =-， ∴222122a b c ab +-=-， ∴()()()()2224212422c c c c c -+--=---，恒等变形得 29140c c -+=，解得7c =或2c =．又4c >，∴7c =． 6分（Ⅱ）在ABC ∆中，sin sin sin AC BC ABABC BAC ACB==∠∠∠，∴22sin sin sin 33ACBC ===ππθ⎛⎫-θ ⎪⎝⎭，2sin AC =θ，2sin 3BC π⎛⎫=-θ ⎪⎝⎭．∴ABC ∆的周长()f θAC BC AB =++2sin 2sin 3π⎛⎫=θ+-θ⎪⎝⎭12sin 2⎡⎤=θθ+⎢⎥⎣⎦2sin 3π⎛⎫=θ++ ⎪⎝⎭又0,3π⎛⎫θ∈ ⎪⎝⎭，∴2333πππθ<+<, ∴当32ππθ+=即6πθ=时，()f θ取得最大值2+ 12分考点：等差数列、余弦定理、正弦定理、两角和与差的正余弦公式、三角函数的最值． 20．（1）详见解析；（2）从第6年起，年产量比上一年减少． 【解析】试题分析：本题主要考查数列的递推公式、指数不等式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力．第一问，利用已知直接写出123,,a a a 的值，并化简，根据前3项的规律直接写出n a 和1n a -的关系；第二问，通过123,,a a a 的大小和n a 和1n a -的关系可观察出数列中的项越来越少，即411(1)(15%) 1.52n -+⨯-<，解出n 的值． 试题解析：（Ⅰ） 设第n 年的产量为n a ，则123(1160%),(1160%)(180%),(1160%)(180%)(140%),a a a a a a =+=++=+++123111413117819,,.525125111(1160%)(1)(2,).252n n n n n a a a a a a a a a n n N ----∴===∴=+⨯=+⨯≥∈6分（Ⅱ） 依题意得，1411(1)(15%).52n n n a a --=+⨯-若以后每年的产量逐年减少，即1n n a a -<，也即411(1)(15%) 1.52n -+⨯-< 所以 442111120191,2,5219519192,2,42,6,,55n n n n n n a a ---+⨯<∴>><∴-≥≥<即时故从第6年起，年产量比上一年减少 13分 考点：数列的递推公式、指数不等式．21．（1）22182x y +=；（2）max 2S =，min S =．【解析】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系、韦达定理、点到直线的距离、三角形面积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，利用焦点坐标、离心率解出,,a b c 的值，代入椭圆的标准方程中；第二问，直线AB 的方程与椭圆方程联立，消参，利用韦达定理得到12x x +、12x x ，代入三角形面积公式中，利用分离常数法求面积的取值范围，当直线AB 的斜率不存在时，通过分析求面积的最值．试题解析：（Ⅰ）设椭圆方程：22221x y a b += 由条件知2c c a ==，又222a b c =+，解得2228,6,2a c b ===所以椭圆方程为22182x y += 4分 （Ⅱ）当直线AB 斜率存在时，设1122(,),(,),:A x y B x y AB y kx b =+代入椭圆方程2248x y +=得，222(41)84(2)0k x kbx b +++-=，212122284(2),.4141kb b x x x x k k -∴+=-=++由2222221212222516(1)||(1)[()4][2(41)]4(41)k AB k x x x x k b k +==++-==+-+， 得2222225(41)2(41).64(1)k b k k +=+-+ 又原点O 到AB， 8分所以54AOBS ∆=2241,1k u k +=+ 则22262512862564()4().102425102425S u u u =--=--因为2224134[1,4)11k u k k +==-∈++所以[2]32S ∈，当直线AB 斜率不存在时，8S =[,2]32∈，所以max 2S =，此时64,25u =即6k =±；min 32S =，此时1u =，即0.k = 13分 考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系、韦达定理、点到直线的距离、三角形面积公式．22．（1）a =1（2）ln3−1≤b <ln2+12；（3）见解析 【解析】试题分析：(1)f ′(x)=1x+a −2x −1, ∵x =0时,f(x)取得极值,∴f ′(0)=0, 故10+a−2×0−1=0,解得a =1.经检验a =1符合题意.（2）由a =1知f(x)=ln(x +1)−x 2−x,由f(x)=−52x +b ,得ln(x +1)−x 2+32x −b =0, 令φ(x)=ln(x +1)−x 2+32x −b,则f(x)=−52x +b 在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根等价于φ(x)=0在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根.φ′(x)=1x+1−2x +32=−(4x+5)(x−1)2(x+1),当x ∈[0,1]时,φ′(x)>0,于是φ(x)在[0,1)上单调递增; 当x ∈(1,2]时,φ′(x)<0,于是φ(x)在(1,2]上单调递减.依题意有{φ(0)=−b≤0φ(1)=ln(1+1)−1+32−b>0φ(2)=ln(1+2)−4+3−b≤0,解得,ln3−1≤b<ln2+12.(3)f(x)=ln(x+1)−x2−x的定义域为{x|x>−1},由(1)知f′(x)=−x(2x+3)(x+1),令f′(x)=0得,x=0或x=−32(舍去),∴当−1<x<0时,f′(x)>0,f(x)单调递增; 当x>0时,f′(x)<0,f(x)单调递减.∴f(0)为f(x)在(−1,+∞)上的最大值.∴f(x)≤f(0),故ln(x+1)−x2−x≤0(当且仅当x=0时,等号成立)对任意正整数n,取x=1n >0得,ln(1n+1)<1n+1n,∴ln(n+1n)<n+1n故2+34+49+⋯+n+1n>ln2+ln32+ln43+⋯+ln n+1n=ln(n+1).（方法二）数学归纳法证明：当n=1时，左边=1+112=2，右边=ln(1+1)=ln2，显然2>ln2，不等式成立.假设n≥k(k∈N∗,k≥1)时，2+34+49+⋯+k+1k2>ln(k+1)成立，则n=k+1时，有2+34+49+⋯+k+1k2+k+2(k+1)2>k+2(k+1)2+ln(k+1).做差比较：ln(k+2)−ln(k+1)−k+2(k+1)2=ln k+2k+1−k+2(k+1)2=ln(1+1k+1)−(1k+1+1(k+1)2)构建函数F(x)=ln(1+x)−x−x2 ,x∈(0 , 1)，则F′(x)=−x(2x+3)x+1<0，∴ F(x)在(0 , 1)单调递减，∴ F(x)<F(0)=0.取x=1k+1 (k≥1 , k∈N∗)，ln(1+1k+1)−(1k+1+1(k+1)2)<F(0)=0即ln(k+2)−ln(k+1)−k+2(k+1)2<0，亦即k+2(k+1)2+ln(k+1)>ln(k+2)，故n=k+1时，有2+34+49+⋯+k+1k2+k+2(k+1)2>k+2(k+1)2+ln(k+1)>ln(k+2)，不等式成立.，综上可知，对任意的正整数n,不等式2+34+49+⋯+n+1n2>ln(n+1)都成立.考点：利用导数研究函数的极值函数与方程的综合运用不等式的证明．点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，注意函数与方程的综合运用，以及会进行不等式的证明．。

雅礼中学2021届高三月考试卷（七）数 学 第Ⅰ卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集为实数集，集合{}3|6A x x =-<<，{}2|9140B x x x +-=<，则()U A B ⋂=A ．(2,6)B ．(2,7)C ．(]3,2-D ．()3,2-2．若3112i z i i+=⋅-，则z 的虚部为 A ．15B ．15C ．35D ．353．函数2()()1x x x e e f x x --=-的图象大致是 A ． B ．C ．D ．4．某新晋网红一线城市鹅城人口模型近似为0.012250024t P e =，其中0t =表示2020年的人口数量，则鹅城人口数量达到320000的年份大约是（ln20.693≈，ln3 1.099≈，ln5 1.609≈） A ．2040年B ．2045年C ．2030年D ．2050年5．我们打印用的A4，之所以是这个比值，是因为把纸张对折，得到纸张的形状不变．已知圆柱的母线长小于底面圆的直径长（如图所示），它的轴截面ABCD 为一张A4纸，若点E 为上底面圆上弧AB 的中点，则异面直线DE 与AB 所成的角约为A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π 6．十二生肖，又称十二属相，与中国传统文化中的十二地支呈现一一对应关系，分别为子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、西鸡、戌狗、亥猪．现有十二生肖吉祥物各一件，甲、乙、丙三位同学分别随机抽取一件作为礼物．甲同学喜欢马、牛，乙同学喜欢马、龙、狗，丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢，则这三位同学恰好都抽到各自喜欢的礼物的概率是 A ．388B ．344C ．120D ．9447．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221x y +≤，若将军从点(2,0)A 处出发，河岸线所在直线方程为3x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为A ．1B ．1-C ．D ．8．将函数()4sin()22f x x ππ=-和直线()1g x x =-的所有交点从左到右依次记为1A ，2A ，⋅⋅⋅，n A 若P 点坐标为(，则12||n PA PA PA +++=A ．0B ．2C ．6D ．10二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到如下整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、“90后”从事互联网行业闵位分布条形图，则下列结论中正确的是注：“90后”指1990年及以后出生的人，“80后”指1980—1989年之间出生的人，“80前”指1979年及以前出生的人．A ．互联网行业从业人员中“90后”占一半以上B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C ．互联网行业中从事运营岗位的人数“90后”比“80前”多D ．互联网行业中从事技术闵位的人数“90后”比“80后”多 10．设1a b >>，01c <<，则下列不等式中，成立的是A ．c c a b <B ．b c a b >C ．log log b a c c <D ． log log c c b a <11．已知等比数列{}n a 首项11a >，公比为q ，前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，函数127()()()()f x x x a x a x a =+++，若(0)1f '=，则A ．{lg }n a 为单调递增的等差数列B ．01q <<C ．11n a S q --⎧⎫⎨⎬⎩⎭为单调递增的等比数列D ．使得1n T >成立的n 的最大值为612．已知直线l ：220kx y kp --=与抛物线2:2(0)C y px p =>相交于A ，B 两点，点(1,1)M --是抛物线C 的准线与以AB 为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是 A ．2p =B ．2k =-C ．MAB 的面积为D ．5AB = 第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．曲线21y x x=+在点(1,2)处的切线方程为_____． 14．在5(12)(2)x x -+展开式中，4x 的系数为_____．15．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为_____．16．设双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 直线l 分别与双曲线左、右两支交于M ，N 两点，且22F M F N ⊥，22F M F N =，则双曲线C 的离心率为_____． 四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）从条件①2(1)n n S n a =+(2)n a n =≥，③0n a >，2=2nn n a a S +中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，___．若1a ，k a ，2k S +成等比数列，求k 的值． 18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AB CD ∥，2AB DC ==，AC BD F ⋂=且PAD 与ABD 均为正三角形，G 为PAD 的重心．（1）求证：GF ∥平面PDC ；（2）求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值． 19．（本小题满分12分）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知(sin cos )0b a C C +-=． （1）求A ；（2）若D 为BC 边上一点，且AD BC ⊥，2)BC AD =，求sin2B ． 20．（本小题满分12分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>离心率12e =，椭圆上的点到左焦点1F 的距离的最大值为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）求椭圆C 的外切矩形（即矩形的四边所在的直线均与椭圆相切）ABCD 的面积S 的取值范围．21．（本小题满分12分）随着中美贸易战的不断升级，越来越多的国内科技巨头加大了科技研发投入的力度．某科技公司拟对“麒麟”手机芯片进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入x （亿元）与科技升级直接收益y （亿元）的数据统计如下模型①：ˆ 4.111.8yx =+；模型②：ˆ14.4y =． 当17x >时，确定y 与x 满足的线性回归方程为ˆ0.7yx a =-+． （1）根据下列表格中的数据，比较当017x <≤时模型①、②的相关指数2R 的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“麒麟”手机芯片科技升级的投入为17亿元时的直接收益．（附：刻画回归效果的相关指数22121ˆ()1()ii i n ii yyR yy ==-=--∑∑ 4.1≈）（2）为鼓励科技创新，当科技升级的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，比较科技升级投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小．（附：用最小二乘法求线性回归方程ˆˆˆybx a =+的系数ˆb =1122211()()ˆ()nni iii i i nniii i x ynx yxx y y bxnx xx ====-⋅--==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-） （3）科技升级后，“麒麟”芯片效率X 大幅提高，经实际试验得X 大致服从正态分布20.52,0.01)(N ,公司对科技升级团队的奖励方案如下：若芯片的效率不超过50%，不予奖励；若芯片的效率超过50%，但不超过53%，每部芯片奖励2元；若芯片的效率超过53%，每部芯片奖励4元，记Y 为每部芯片获得的奖励，求(Y)E （精确到0.01）． （附：若随机变量）2~(,)(0)P N μσσ>，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=．22．（本小题满分12分）已知函数()x f x e ax =-，()ln g x x ax =-，a ∈R ． （1）当a e <时，讨论函数()f x 的零点个数；（2）记函数()()()F x f x g x =-的最小值为m ，求()ln 2x m G x e e =-的最小值．雅礼中学2021届高三月考试卷（七）数学参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．C ∵29140{27}B xx x x x =-+<=<<∣∣，∴ 2 7UB x x x =≤≥∣或，∴(){}32(3,2]U A B x x ⋂=-<≤=-∣．故选C ．2．A 因为3111(1)(12)331()121212(12)(12)555i i i i i i z i i i i i i i i ++--++=⋅=⋅-====+----+， 所以z 的虚部为15，故选A ．3．D ()()22e e e e ()()11x x x x x x f x f x x x ------===--，()f x 是偶函数，排除A ，0x >时，e e x x ->，即e e 0x x-->，当1x >时，又有210x ->，因此()0f x >，排除B ，C ，故选D ．4．A 由已知，得0.012320000ln ln e250024t⎛⎫= ⎪⎝⎭，则320000ln 2500240.012t ⎛⎫ ⎪⎝⎭=， 近似于5ln 22ln 520.5830.012-≈，过20年或21年，结合选项选A ，故选A ．5．C ∵//AB CD ，∴EDC ∠（或补角）为异面直线DE 与AB 所成的角，设CD 的中点为O ，过E 作EF ⊥底面⊙O ，连接OE ，OF ， ∵E 是弧AB 的中点，∴F 是弧CD 的中点，∴CD OF ⊥， 又EF ⊥平面⊙O ，∴EF CD ⊥，EF OF F ⋂=， ∴CD ⊥平面OEF ，∴OD OE ⊥． 设1AD =，则CD =2OF =，1EF =， 于是OE ==∴tan2OEEDOOD∠===，∴3EDOπ∠=．故选C．6．A 依题意可分类：①甲同学选马，则有112918C C=种情况符合要求；②甲同学选牛，则有113927C C=种情况符合要求；三位同学抽取礼物的所有情况有312A种，则这三位同学恰好都抽到各自喜欢的礼物的概率3121827388PA+==．故选A．7．A 设点A关于直线3x y+=的对称点(,)A a b'，AA'的中点为2,22a b+⎛⎫⎪⎝⎭，2AAbka'=-，故(1)1,223,22baa b⎧⋅-=-⎪⎪-⎨+⎪+=⎪⎩解得3,1,ab=⎧⎨=⎩，要使从点A到军营总路程最短，即为点A'到军营最短的距离，1，故选A．8．D 函数()4cos2f x xπ=与()1g x x=-的所有交点从左往右依次记为1A、2A、3A、4A和5A，且1A和5A，2A和4A都关于点3A对称，如图所示：则125355(1,PA PA PA PA +++==， 所以1210n PA PA PA +++=．故选D ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数的56%39.6%22.176%⨯=，超过20%，所以互联网行业从业人员（包括“90后”“80后”“80前”）从事技术岗位的人数超过总人数的20%，B 正确； 互联网行业从业人员中“90后”从事运营岗位的人数占总人数的56%17%9.52%⨯=，超过“80前”的人数占总人数的比例，且“80前”中从事运营岗位的比例未知，C 正确；互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数的56%39.6%22.176%⨯=，小于“80后”的人数占总人数的比例，但“80后”中从事技术岗位的比例未知，D 不一定正确．故选ABC ．10．BC 01c c c a b <<⇒>，故A 错误；因为1a b >>，01c <<，所以b b c a b b >>，故B 正确； 由对数函数的单调性可得log log c c b a >，故D 错误； 因为1log log b c c b =，1log log a a c a=，0log log c c b a >>，所以log log a b c c <，故C 正确．故选BC ．11．BCD 令()()()127()g x x a x a x a =+++，则()()f x xg x =，∴()()()f x g x xg x ''=+，∴127(0)(0)1f g a a a '===，因为{}n a 是等比数列，所以712741a a a a ==，即3411a a q ==，∵11a >，∴01q <<，B 正确； ∵()111lg lg lg (1)lg n n a a q a n q -==+-，∴{}lg n a 是公差为1gq 的递减等差数列，A 错误； ∵()111111111n n n a a a qS q q q q q --=--=⋅---， ∴11n a S q ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是首项为101a qq <-，公比为q 的递增等比数列，C 正确； ∵11a >，01q <<，41a =，∴3n ≤时，1n a >，5n ≥时，01n a <<， ∴4n ≤时，1n T >， ∵7712741T a a a a ===，∴8n ≥，78971n n T T a a a T =<=，又75671T T a a =>，7671TT a =>，所以使得1n T >成立的n 的最大值为6，D 正确．故选BCD ．12．ABD 由题意知，抛物线C 的准线为1x =-，即12p=，解得2p =，故选项A 正确； 因为2p =，所以抛物线C 的方程为：24y x =，其焦点为(1,0)F ， 又直线l ：220kx y kp -=一，即(1)y k x =-， 所以直线l 恒过抛物线的焦点(1,0)F ，设点()11,A x y ，()22,B x y ，因为A ，B 两点在抛物线C 上，联立方程21122244,,y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减可得，1212124y y k x x y y -==-+， 设AB 的中点为()00,Q x y ，则02y k=， 因为点()00,Q x y 在直线l 上，解得0221x k=+，所以点2221,Q kk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是以AB 为直径的圆的圆心，由抛物线的定义知，圆Q 的半径012222222222x x x AB r k+++====+， 因为2222222||21QM r k k ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22222222212k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得2k =-，故选项B 正确；因为2k =-，所以直线l 为2(1)0y x +-=，由点到直线的距离公式可得， 点M 到直线l 的距离为22512d ==+，所以11||522MABSd AB =⋅⋅==，故选项C 错误； 因为2k =-，所以弦长222||2222254AB r k ⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选项D 正确；故选ABD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．1y x =+设()y f x =，则21()2f x x x '=-， 所以(1)211f '=-=， 所以曲线21y x x=+在点(1,2)处的切线方程为21(1)y x -=⨯-，即1y x =+． 14．80555(12)(2)2(12)(12)x x x x x -+=-+-，二项式5(12)x -的展开式的第1r +项为15(2)r r r r T C x +=-， 令3r =，则333345(2)80T C x x =-=-， 令4r =，则444455(2)80T C x x =-=，则5(12)(2)x x -+展开式中，4x 的系数为2808080⨯-=．15．6每个三角形面积是112S =⨯=由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，可求出该四面体的高为=，故四面体体积1312=，因此该六面体体积是正四面体的2．16如图，作2F D MN ⊥于D ，根据双曲线定义212MF MF a -=，122NF NF a -=， 所以12||22NF NF MN a a -=-=，所以||4MN a =，所以22MF NF ==，12)MF a =，22F D a =，1F D =．在12Rt F F D 中，2224)(2)c a =+，化简得223c a =，所以c e a==四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．若选择①，因为2(1)n n S n a =+，*n ∈N ，所以112(2)n n S n a ++=+，*n ∈N ， 两式相减得112(2)(1)n n n a n a n a ++=+-+，整理得1(1)n n na n a +=+． 即11n n a a n n +=+，*n ∈N ，所以n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列． 111n a a n ==，所以n a n =．（或由11n n a n a n++=，利用相乘相消法，求得n a n =） 所以k a k =，2(2)(12)(2)(3)22k k k k k S ++++++==，又1a ，k a ，2k S +成等比数列，所以2(2)(3)2k k k ++=， 所以2560k k --=，解得6k =或1k =-（舍），所以6k =． 若选择②，(2)n a n =≥1n n S S -=-，=，易知0n S >1=，所以为等差数列．1==n =，2n S n =， ∴121(2)n n n a S S n n -=-=-≥，又1n =时，11a =也满足上式，所以21n a n =-． 因为1a ，k a ，2k S +成等比数列，∴22(2)(21)k k +=-，∴3k =或13k =-，又*k ∈N ，∴3k =．若选择③，因为()2*2n n n a a S n +=∈N ，所以21112(2)n n n a a S n ---+=≥， 两式相减得22111222(2)n n n n n n n a a a a S S a n ----+-=-=≥，整理得()()111(2)n n n n n n a a a a a a n ----+=+≥，因为0n a >，∴11(2)n n a a n --=≥，所以{}n a 是等差数列， 所以1(1)1n a n n =+-⨯=．2(2)(12)(2)(3)22k k k k k S ++++++==．又1a ，k a ，2k S +成等比数列，∴2(2)(3)2k k k ++=， ∴6k =或1k =-，又*k ∈N ，∴6k =．18．（1）设PD 的中点为E ，连接AE ，CE ，GF ．∵//AB CD，=2 AB DC ，=AC BD F ⋂，∴==2AF AB FC CD． 又∵G 为PAD 的重心G ， ∴2AGGE=，∴//GF CE ． 又∵GF ⊄面PDC ，CE ⊂面PDC ， ∴//GF 平面PDC ．（2）设O 为AD 的中点，PAD 为正三角形，则PO AD ⊥． ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =， ∴PO ⊥平面ABCD ．过O 分别作BC ，AB 的平行线，建系如图.∵(0,0,3)P，32B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，32C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 易知平面PAD 的法向量1(1,3,0)n =． 设平面PBC 的法向量为()2222,,n x y z =，∴3,322PB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，(3,0,0)BC =-，∴222222330,230,PB n x y z BC n x ⎧⋅=+-=⎪⎨⎪⋅=-=⎩得232n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，121212cos ,721n nn n n n ⋅===， 从而，平面PAD 与平面PBC ．19．（1）因为(sincos )0b a C C +-=，所以sin sin (sin cos )0B A C C +-=，所以sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ++-=， 即cos sin sin sin 0A C A C +=． 因为0C π<<，所以sin 0C ≠， 所以sin cos 0A A +=，则tan 1A =-． 因为0A π<<，所以34A π=…6分 （2）因为AD BC ⊥，所以11sin 22ABCSbc A a AD ==⋅，即2a AD =⋅．因为2)BC AD =，所以AD =，所以2(2a bc =+．由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，则22(2bc b c +=++，整理得2()0b c -=，即b c =，故B C =． 因为34A π=，所以8B π=，所以sin 2sin 42B π==…12分20．（1）由题设条件可得12c a =，3a c +=， 解得2a =，1c =，∴2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程为22143x y +=．…4分 （2）当矩形ABCD 的一组对边斜率不存在时，得矩形ABCD的面积S =当矩形ABCD 四边斜率都存在时，不妨设AB ，CD 所在直线斜率为k ，则BC ，AD 斜率为1k-，设直线AB 方程为y kx m =+，与椭圆联立22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()2224384120kx kmx m +++-=，由()()222(8)4434120km k m ∆=-+-=，得2243m k =+． 由对称性知直线CD 的直线方程为y kx m =-，直线AB ，CD间的距离1d === 同理可求得BC ，AD间的距离为2d == 所以四边形ABCD 面积为12ABCD S d d ====14=≤=（等号当且仅当1k =±时成立）．又ABCD S >=故由以上可得外切矩形面积的取值范围是．…12分21．（1）由表格中的数据，182.479.2>，所以()()772211182.479.2iii i y y y y ==>--∑∑，所以()()772211182.479.211iii i y y y y ==-<---∑∑．可见模型①的相关指数21R 小于模型②的相关指数22R ．所以回归模型②的拟合效果更好．所以当17x =亿元时，科技升级直接收益的预测值为ˆ21.314.421.3 4.114.472.93y=≈⨯-=（亿元）．…4分 （2）当17x >时，由已知可得2122232425235x ++++==，68.56867.5666667.25y ++++==．所以0.767.20.72383.3a y x =+=+⨯=．所以当17x >时，y 与x 满足的线性回归方程为ˆ0.783.3yx =-+． 当20x =时，科技升级直接收益的预测值为ˆ0.72083.369.3y=-⨯+=亿元． 当20x =亿元时，实际收益的预测值为69.3574.3+=亿元72.93>亿元， 所以技术升级投入20亿元时，公司的实际收益更大．…8分 （3）因为20.50μσ-=，0.53μσ+=，所以(0.500.53)(2)P X P X μσμσ<≤=-<≤+(2)()P X P X μσμσμσμσ=-<≤-+-<≤+ 0.95450.68270.68270.81862-=+=；10.6827(0.53)()2P X P X μσ->=>+=． 所以10.6827()020.81864 2.2718 2.272E Y -=+⨯+⨯=≈（元）．…12分 22．（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，()e x f x a '=-．①当0a <时，()e 0x f x a '=->，()f x 单调递增，又(0)1f =，11e 10a f a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以函数()f x 有唯一零点；②当0a =时，()e 0x f x =>恒成立，所以函数()f x 无零点； ③当0a e <<时，令()e 0x f x a '=-=，得ln x a =． 当ln x a <时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当ln x a >时，()0f x '>，()f x 单调递增． 所以ln min ()(ln )e ln (1ln )a f x f a a a a a ==-=-， 故当0a e <<时，(ln )0f a >，所以函数()f x 无零点． 综上所述，当0a e ≤<时函数()f x 无零点； 当0a <，函数()f x 有一个零点．…4分（2）由题意得，()ln x F x e x =-，则1()e x F x x'=-，令1()e x h x x =-，则21()e 0x h x x'=+>， 所以()h x 在(0,)+∞上为增函数，即()F x '在(0,)+∞上为增函数．又(1)e 10F '=->，1202F ⎛⎫'=< ⎪⎝⎭，所以()F x '在(0,)+∞上存在唯一零点0x ，且01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0001e 0x F x x '=-=，即001e x x =．当()00,x x ∈时，()0F x '<，()F x 在()00,x 上为减函数， 当()0,x x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 在()0,x +∞上为增函数，()F x 的最小值()000e ln x m F x x ==-． 因为001e x x =，所以00ln x x =-，所以0012m x x =+>．由()e e ln xmG x x =-得e ()e mxG x x'=-，易知()G x '在(0,)+∞上为增函数． 因为2m >，所以(1)e e 0m G '=-<，e 1()e e 10m mm G m m m '⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭，所以()G x '在(0,)+∞上存在唯一零点1x ，且1(1,)x m ∈，()111e e 0mx G x x '=-=，当()10,x 时，()0G x '<，()G x 在()10,x 上为减函数， 当()1,x x ∈+∞时，()0G x '>，()G x 在()1,x +∞上为增函数， 所以()G x 的最小值为()11e e ln x m G x x =-，因为11e e mx x =，所以11ln x m x =-，所以11ln m x x =+，又000011e ln ln x m x x x =-=+，所以110011ln ln x x x x +=+， 又函数ln y x x =+在(0,)+∞上为增函数，所以101x x =， ()000000111111ln 1000001111e e ln e e ln e e ln x x x x x x mG x x x x x +=-⋅=-⋅=-⋅⋅()0011000000111e ln e ln x x x x x x x x ⎛⎫=⋅⋅-=⋅⋅+ ⎪⎝⎭．因为00ln 0x x +=，所以()10G x =， 即()G x 在(0,)+∞上的最小值为0．…12分。

湖南省雅礼中学2021届高三月考试卷(三)数 学时量120分钟 满分150分.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2,3,4A =，集合{},2B m m =+，若{}2AB =，则m =( )A.0B.1C.2D.42.已知i 是虚数单位，复数12aii+-为纯虚数，则实数a 为( ) A.2B.2-C.12-D.123.古希腊时期，人们把宽与长之比为51510.618⎛⎫--≈ ⎪ ⎪⎝⎭的矩形称为黄金矩形，把这个比值51-称为黄金分割比例.下图为希腊的一古建筑，其中图中的矩形ABCD ，EBCF ，FGHC ，FGJI ，LGJK ，MNJK 均为黄金矩形，若M 与K 间的距离超过1.7m ，C 与F 间的距离小于12m ，则该古建筑中A 与B 间的距离可能是( )(参考数据：20.6180.382≈，30.6180.236≈，40.6180.146≈，50.6180.090≈，60.6180.056≈，70.6180.034≈)A.28mB.29.2mC.30.8mD.32.5m 4.已知平面向量a ，b 满足(1,1)=-a ，1=b ，22+=a b ，则a 与b 的夹角为( )A.6πB.56πC.4π D.34π 5.两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )A.30种B.20种C.15种D.10种6.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a >，149S S =，则满足0n S >的最大自然数n 的值为( )A.23B.22C.13D.127.已知A 是双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的右顶点，过左焦点F 与y 轴平行的直线交双曲线于P ，Q 两点，若APQ △是锐角三角形，则双曲线C 的离心率的取值范围是( )A.(B.(C.()1,2D.()2,+∞8.已知实数a ，b 满足0ab >，则2a aa b a b-++的最大值为( )A.3+B.2+C.2-D.3-二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.已知函数()11sin 2232f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则以下说法中正确的是( ) A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C.51,62π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心D.当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 10.已知由样本数据点集合(){},1,2,,ii x y i n =，求得的回归直线方程为ˆ 1.50.5yx =+，且3x =，现发现两个数据点()1.2,2.2和()4.8,7.8误差较大，去除后重新求得的回归直线l 的斜率为1.2，则( )A.变量x 与y 具有正相关关系B.去除后的回归方程为ˆ 1.2 1.4yx =+ C.去除后y 的估计值增加速度变快D.去除后相应于样本点()2,3.75的残差为0.0511.已知三棱锥P ABC -中，O 为AB 中点，PO ⊥平面ABC ，90APB ∠=︒，2PA PB ==，则下列说法中正确的是( )A.若O 为ABC △的外心，则2PC =B.若ABC △为等边三角形，则AP BC ⊥C.当90ACB ∠=︒时，PC 与平面PAB 所成角的范围为0,4π⎛⎤⎥⎝⎦D.当4PC =时，M 为平面PBC 内动点，若OM //平面PAC ，则M 在三角形PBC 内的轨迹长度为2 12.关于函数()2ln f x x x=+，下列说法正确的是( ) A.2x =是()f x 的极大值点B.函数()y f x x =-有且只有1个零点C.存在正整数k ，使得()f x kx >恒成立D.对任意两个正实数1x ，2x ，且12x x ≠，若()()12f x f x =，则124x x +> 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若函数()xf x a =(0a >，且1a ≠)的图象经过点12,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()1f -=________.14.()sin501︒+︒=________.15.O 为坐标原点，F 为抛物线2:4C y x =的焦点，P 为C 上一点，若4PF =，则POF △的面积为________.16.已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC △是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为________.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=. (1)求sin sin CA的值； (2)若1cos 4B =，2b =，求ABC △的面积.18.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，ABD △是边长为2的正三角形，PC ⊥底面ABCD ，AB BP ⊥，233BC =. (1)求证：PA BD ⊥；(2)若PC BC =，求二面角A BP D --的正弦值.19.(本小题满分12分)已知{}n a 为等差数列，1a ，2a ，3a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且1a ，2a ，3a 中的任何两个数都不在下表的同一列.请从①12a =，②11a =，③13a =的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数列{}n a 存在；并在此存在的数列{}n a 中，试解答下列两个问题.(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设数列{}n b 满足()121n n nb a +=-，求数列{}n b 的前n 项和n T . 20.(本小题满分12分)为了治疗某种疾病，某科研机构研制了甲、乙两种新药，为此进行白鼠试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.4轮试验后，就停止试验.甲、乙两种药的治愈率分别是25和34,55ββ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.(1)若35β=，求2轮试验后乙药治愈的白鼠比甲药治愈的白鼠多1只的概率； (2)已知A 公司打算投资甲、乙这两种新药的试验耗材费用，甲药和乙药一次试验耗材花费分别为3千元和()101β-千元，每轮试验若甲、乙两种药都治愈或都没有治愈，则该科研机构和A 公司各承担该轮试验耗材总费用的50%.若甲药治愈，乙药未治愈，则A 公司承担该轮试验耗材总费用的75%，其余由科研机构承担.若甲药未治愈，乙药治愈，则A 公司承担该轮试验耗材总费用的25%，其余由科研机构承担.以A 公司每轮支付试验耗材费用的期望为标准，求A 公司4轮试验结束后支付试验耗材最少费用为多少元？21.(本小题满分12分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为3，其右顶点为A ，下顶点为B ，定点()0,2C ，ABC △的面积为3，过点C 作与y 轴不重合的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，直线BP ，BQ 分别与x 轴交于M ，N 两点.(1)求椭圆C 的方程；(2)试探究M ，N 的横坐标的乘积是否为定值，说明理由.22.(本小题满分12分)已知函数()()2ln af x ax x a x=--∈R . (1)若()f x 是定义域上的增函数，求a 的取值范围；(2)设35a >，m ，n 分别为()f x 的极大值和极小值，若S m n =-，求S 的取值范围.数学参考答案一、选择题二、填空题14.1三、解答题17.【解析】(1)由正弦定理得2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =所以cos 2cos 22sin sin cos sin A C c a C AB b B---==即sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos B A B C C B A B -=- 即有()()sin 2sin A B B C +=+，即sin 2sin C A =，所以sin 2sin CA= (2)由(1)知sin 2sin c C a A==，即2c a = 又因为2b =，1cos 4B =，所以由余弦定理得： 2222cos b c a ac B =+-，即222124224a a a a =+-⨯⨯，解得1a =所以2c =，又因为1cos 4B =，所以sin 4B =故ABC △的面积为11sin 1222ac B =⨯⨯⨯=18.【解析】(1)证明：连接AC 交BD 于O∵PC ⊥底面ABCD ，∴PC AB ⊥ ∵AB BP ⊥，BPCP P =，∴AB ⊥平面PBC ，则AB BC ⊥∵233BC =，∴3tan 3BAC ∠=，即30BAC ∠=︒ ∵60ABD ∠=︒，∴90AOB ∠=︒即AC BD ⊥，∵PC BD ⊥，∴BD ⊥平面ACP ，∴PA BD ⊥(2)由(1)知O 是BD 的中点，过O 作OF //PC 交AP 于F ，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系则()0,1,0B ，()0,1,0D -，3,0,03C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，323,0,33P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭则()0,2,0DB =，323,1,33PB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面PBD 的一个法向量(),,x y z =n则00DB PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即20323033y x y z =⎧⎪⎨+-=⎪⎩，令1z =，则2x =，∴()2,0,1=n 取PB 的中点313,,623E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，连接CE∵PC BC =，∴CE PB ⊥，则CE ⊥平面ABP∴向量313,,623CE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭是平面ABP 一个法向量∴23103cos ,5253CE CE CE⋅〈〉===⨯n n n∴二面角A BP D --的正弦值为519.【解析】(1)若选择条件①，当第一行第一列为1a 时，由题意知，可能的组合有：12a =，26a =，37a =不是等差数列，12a =，29a =，38a =不是等差数列当第一行第二列为1a 时，由题意知，可能的组合有，12a =，24a =，37a =不是等差数列12a =，29a =，312a =不是等差数列；当第一行第三列为1a 时，由题意知，可能的组合有： 12a =，24a =，38a =不是等差数列，12a =，26a =，312a =不是等差数列则放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列{}n a 都不存在若选择条件②，则放在第一行第二列，结合条件可知11a =，24a =，37a = 则公差213d a a =-=，所以()1132n a a n d n =+-=-，*n ∈N 若选择条件③，当第一行第一列为1a 时，由题意知，可能的组合有：13a =，26a =，37a =不是等差数列，13a =，29a =，38a =不是等差数列；当第一行第二列为1a 时，由题意知，可能的组合有，13a =，24a =，37a =不是等差数列，13a =，29a =，312a =不是等差数列；当第一行第三列为1a 时，由题意知，可能的组合有： 13a =，24a =，38a =不是等差数列，13a =，26a =，312a =不是等差数列则放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列{}n a 都不存在综上可知：32n a n =-，*n ∈N .(2)由(1)知，()()12132n n b n +=--，所以当n 为偶数时22222212312341n n n n T b b b b a a a a a a -=++++=-+-++-()()()()()()1212343411n n n n a a a a a a a a a a a a --=+-++-+++-()()21231329333222n n n a a a a n n +-=-++++=-⨯=-+当n 为奇数时，()()()22219393113222222n n n T T b n n n n n -=+=--+-+-=-- ∴2*2*93,2,22932,21,22n n n n k k T n n n k k ⎧-+=∈⎪⎪=⎨⎪--=-∈⎪⎩N N .20.【解析】(1)记事件A 为“2轮试验后，乙药治愈的白鼠比甲药治愈的白鼠多1只”，事件B 为“2轮试验后，乙药治愈1只白鼠，甲药治愈0只白鼠”，事件C 为“2轮试验后，乙药治愈2只白鼠，甲药治愈1只白鼠”，则()1232331085555625P B C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()212233231085555625P C C C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴()()()108108216625625625P A P B P C =+=+=(2)一次实验耗材总费用为()102β+千元.设随机变量X 为每轮试验A 公司需要支付的试验耗材费用的取值， 则()11024X β=+，()11022β+，()31024β+ ()1310245P X ββ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭()()122311*********P X ββββ⎛⎫⎛⎫=+=+-⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()32102145P X ββ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭随机变量X 的分布列如下：()()()()()313112310210211025455254E X ββββββ⎛⎫=⋅++-⋅++-⋅+ ⎪⎝⎭25116225ββ=-++.令()25116225 f βββ=-++，34,55β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 易知()fβ在区间34,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 ∴()min 31855f f β⎛⎫==⎪⎝⎭(千元). 则A 公司4轮试验结束后支付实验耗材最少费用为1872414.455⨯==(千元). 即14400元.21.【解析】(1)由已知A ，B 的坐标分别是(),0A a ，()0,B b -，由于ABC △的面积为3∴1(2)32b a +=，又由e =2a b =，解得：1b =，或3b =-(舍去) ∴2a =，1b =∴椭圆C 的方程为2214x y +=. (2)设直线PQ 的方程为2y kx =+，P ，Q 的坐标分别为()11,P x y ，()22,Q x y则直线BP 的方程为1111y y x x +=-，令0y =，得点M 的横坐标111M xx y =+ 直线BQ 的方程为2211y y x x +=-，令0y =，得点N 的横坐标221N x x y =+ ∴()()()()()121212212121212113339M N x x x x x x x x y y kx kx k x x k x x ⋅===+++++++把直线2y kx =+代入椭圆2214x y +=，得()221416120k x kx +++=， ()22(16)41412k k ∆=-⋅+⋅0>，234k >由韦达定理得1221214x x k =+，1221614kx x k +=-+ ∴22222222121241412481248936391414M N k x x k k k k k k k +===-++-+++，是定值. 22.【解析】(1)()f x 的定义域为()0,+∞，()22222a ax x af x a x x x -+'=+-=∵()f x 在定义域内单调递增∴()0f x '≥，即220ax x a -+≥对0x >恒成立，则221xa x ≥+恒成立 ∴2max21x a x ⎛⎫≥⎪+⎝⎭∵2211xx ≤+，∴1a ≥. 所以a 的取值范围是[)1,+∞. (2)由2440a ∆=->且35a >，得315a << 设方程()0f x '=，即220ax x a -+=得两根为1x ，2x ，且120x x <<. 则()1m f x =，()2n f x = ∵121x x =，122x x a+=∴11121023x x a <+=< ∴1113x <<， 将S 表示为关于1x 的函数，112211212ln 2ln a a aS m n ax x ax x ax x x x ⎛⎫=-=-----=- ⎪⎝⎭11111112ln 2ln 22ln a ax ax x ax x x x ⎛⎫⎛⎫---+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵21120ax x a -+=∴12121x a x =+，代入得222111122111114ln 4ln 112x x S x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭令21x t =，则119t <<，得()11ln 12t g t t t -=-+，119t <<，则()4S g t =，()()()221021t g t t t --'=<+， ∴()g t 在1,19⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，从而()()119g g t g ⎛⎫<< ⎪⎝⎭即()40ln35g t <<-∴16 04ln35S<<-.。