雅礼中学2020高三月考(六)数学(理)答案

注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、考号填写在试卷和答题卡上，并将考号条形码粘贴在答 题卡上的指定位置。

2．请在答题卡上各题号对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答 题区域均无效。

3．选择题用 2B 铅笔把所选答案的标号涂黑，非选择题用黑色签字笔作答。

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合=+<∈=P x x x N Q |log (1)1,,1,3,56}{}{，M ＝P ∪Q ，则集合M 中的元素共有（ ） A ．4个B ．6个C ．8个D ．无数个2．设函数f x mx mx =−−2()1，命题“x ∃∈1,3][，f x m ≤−+()2是假命题”，则实数m 的取值范围是（ ）A ．,37−∞⎛⎝⎤⎦⎥ B ．−∞,3]( C ．37,+∞⎛⎝ ⎫⎭⎪ D ．3,+∞)(3．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章有弧田面积计算问题， 计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一.其大意是，弧田面积的计算公式为：弧田面积=21（弦×矢+矢×矢）.弧田是由圆弧（简称为弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称为弧田弦）围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田弦的长，“矢”等于弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差.现有一弧田，其弦长AB 等于6m ，其弧所在圆为圆O ，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为2m 72，则∠=AOB cos （ ）A ．251 B ．−257C ．51D ．257 4．已知⎝⎭ ⎪+=⎛⎫απ32sin 1，则⎝⎭ ⎪+⎛⎫απ6sin 2的值为（ ）A ．21B ．−21CD5．如图，在棱长为2的正方体−ABCD A B C D 1111中，E ，F 分别是棱AA 1，CC 1的中点，过BE 的平面α与直线A F 1平行，则平面α截该正方体所得截面的面积为（ ） AB．C ．4D ．56．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x 的图象在点A (1，f (1))处的切线方程为y ＝4x －3，则函数y ＝f (x)湖南省雅礼中学高三年级第一次月考 数学试卷的极大值为（ ） A ．1B ．527−C ．−2527D ．－17. 20222022202232022322022212022020202222C C C C C +−+−的值为A ．0B ．1C ．－1D ．202228．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的x ∈R ，均有(2)()f x f x +=且(1)0f =，当[0,1)x ∈时，()21x f x =−，则方程()1||0f x g x −=的实根个数为（ ） A ．6B ．8C ．10D ．12二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知由样本数据点集合{}(,)123,i i x y i n =，，，，求得的回归直线方程为 1.50.5y x =+，且3x =，现发现两个数据点12,2(2)..和4.8,(7)8.误差较大，去除后重新求得的回归直线l 的斜率为1.2，则（ ）A ．变量x 与y 具有正相关关系B ．去除后y 的估计值增加速度变快C ．去除后与去除前均值x ，y 不变D ．去除后的回归方程为 1.2 1.4y x =+10．如图所示，是一个3×3九宫格，现从这9个数字中随机挑出3个不同的数字，记事件A 1：恰好挑出的是1、2、3；记事件A 2：恰好挑出的是1、4、7；记事件A 3：挑出的数字里含有数字1.下列说法正确的是（ ）12 B ．事件A 1，A 2是独立事件 C ．P (A 1|A 3)＝P (A 2|A 3)D ．P (A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)11．在正四面体ABCD 中，若AB = ） A ．该四面体外接球的表面积为3πB ．直线与平面BCDC ．如果点M 在CD 上，则AM BM +D ．过线段一个三等分点且与 12．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()2f x x =（R x ∈），()1g x x=（0x <），()2eln h x x =（e 为自然对数的底数），则（ ）A ．()()()m x f x g x =−在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增B ．()f x 和()g x 间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[]4,1−C ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为1−三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知随机变量X 服从正态分布()28,X N σ~，(10)P x m ≥=，(68)P x n ≤≤=，则182m n+的最小值为____________．14．某中学元旦晚会由6个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在节目乙的前面,节目丙不能排在最后一位,则该晚会节目演出顺序的编排方案共有_________． 15．=−−20cos 6420cos 120sin 3222_________． 16．已知函数()eln 2x f x x =，()22x g x x m=−，若函数()()()h x g f x m =+有3个不同的零点x 1，x 2，x 3(x 1＜x 2＜x 3)，则()()()1232f x f x f x ++的取值范围是_________．四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17．已知.2,4,53)4sin(,4,0,553cos sin ⎪⎭⎫⎝⎛∈=−⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=+ππβπβπααα （1）求α2sin 和α2tan 的值； （2）求()βα2cos +的值.18．已知2mx⎛⎝的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为.（1）求m 的值；（2）求展开式中所有项的系数和与二项式系数和； （3）将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率.19．已知函数2()(,)f x x bx c b c R =++∈，且()0f x ≤的解集为[1,2]−. （1）求函数()f x 的解析式；（2）解关于x 的不等式mf(x)>2(x −m −1)；（3）设g(x)=2f(x)+3x−1，若对于任意的x 1,x 2∈[−2,1]都有()()12g x g x M −≤，求M 的最小值.20．某学校共有2000名学生，其中女生1200人，为了解该校学生在学校的月消费情况，采取分层抽样随机抽取了200名学生进行调查，月消费金额分布在550～1050元之间．根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示，将月消费金额不低于850元的学生称为“高消费群”．(1)求a 的值，并估计该校学生月消费金额的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）(2)若样本中属于“高消费群”的男生有10人，完成下列2×2列联表，并判断是否有99.9%以上的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关．（()()()()()2n ad bc K a b c d a c b d −=++++，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ）21．在多面体ABCDE 中，平面ACDE ⊥平面ABC ，四边形ACDE 为直角梯形，CD ∥AE ，AC ⊥AE ，AB ⊥BC ，CD =1，AE =AC =2，F 为DE 的中点，且点E 满足4EB EG =．（1）证明：GF ∥平面ABC ；（2）当多面体ABCDE 的体积最大时，求二面角A -BE -D 的余弦值．22．已知函数()e cos x f x x x =+．(1)判断函数()f x 在[0,)+∞上的单调性，并说明理由；(2)对任意的0x ≥，e sin cos 2x x x x ax ++≥+，求实数a 的取值范围．湖南省雅礼中学高三年级第一次月考数学试卷参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．B 2．B 3．D 4．B 5．B 6．A 7．B 8．D二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．ACD 10．AC 11．ACD 12．AD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．25 14．300种 15．-32 16．()11002⎛⎫−⋃ ⎪⎝⎭，，四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17．18．（1）展开式的通项为()152222122rrm m rrr r r mm T C x x C x −−−+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭， ∴展开式中第4项的系数为332m C ⋅，倒数第4项的系数为332m m m C −−⋅，33332122m m m m C C −−⋅∴=⋅，即611,722m m −=∴=. （2）令1x =可得展开式中所有项的系数和为732187=，展开式中所有项的二项式系数和为72128=.（3）展开式共有8项，由（1）可得当522rm −为整数，即0,2,4,6r =时为有理项，共4项， ∴由插空法可得有理项不相邻的概率为484485 114A A A =. 19．（1）因为()0f x ≤的解集为[1,2]−，所以20x bx c ++=的根为1−，2， 所以1b −=，2c =−，即1b =−，2c =−；所以2()2f x x x =−−；（2）mf(x)>2(x −m −1)，化简有()222(1)m x x x m −−>−−，整理得(2)(1)0mx x −−>，所以当0m =时，不等式的解集为(,1)−∞，当02m <<时，不等式的解集为2(,1),⎛⎫−∞+∞ ⎪⎝⎭m ，当2m =时，不等式的解集为(,1)(1,)−∞+∞， 当2m >时，不等式的解集为()2(,)1,−∞+∞m，（3）因为[2,1]x ∈−时2()3123f x x x x +−=+−，根据二次函数的图像性质，有2()3123[4,0]f x x x x +−=+−∈−， 则有2()3123()22f x x xx g x +−+−==，所以，1(),116⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦g x ，因为对于任意的x 1,x 2∈[−2,1]都有()()12g x g x M −≤， 即求()()12max g x g x M −≤，转化为()()−≤max min g x g x M ， 而()(1)1==max g x g ， 1()(1)16min g x g =−=， 所以，此时可得1516M ≥， 所以M 的最小值为1516. 20．（1）由频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1得到方程，解得a ，再根据频率分布直方图中平均数计算公式计算可得；（2）按照分层抽样求出样本中男生、女生的人数，再由频率分布直方图求出“高消费群”的人数，即可完善列联表，计算出卡方，即可判断； （1）解：由频率分布直方图可得()1000.00150.00350.00150.0011a ⨯++++=，解得0.0025a =， 所以样本的平均数为()6000.00157000.00358000.00259000.001510000.001100770⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=（元）（2）解：依题意知，样本中男生20001200200802000−⨯=人，女生12002001202000⨯=人，属于“高消费群”的有()0.00150.00110020050+⨯⨯=人，列出下列22⨯列联表：所以22001080407011.1110.828 5015080120K⨯−⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99.9%以上的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关．21．（1）取AB，EB中点M，N，连接CM，MN，ND．在梯形ACDE中，DC∥EA且DC=12EA，且M，N分别为BA，BE中点，∴MN//EA，MN=12EA，∴MN//CD，MN=CD，即四边形CDNM是平行四边形，∴CM//DN，又14EG EB=，N为EB中点，∴G为EN中点，又F为ED中点，∴GF//DN，即GF//CM，又CM⊂平面ABC，GF⊄平面ABC，∴GF∥平面ABC．（2）在平面ABC内，过B作BH⊥AC交AC于H．∴平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE平面ABC=AC，BH⊂平面ABC，BH⊥AC，∴BH⊥平面ACDE，则BH为四棱锥B-ACDE的高，又底面ACDE 面积确定，要使多面体ABCDE 体积最大，即BH 最大，此时AB =BC过点H 作HP ∥AE ，易知HB ，HC ，HP 两两垂直，以{HB ,HC ,HP }为正交基底建立如图所示的平面直角坐标系H -xyz ，∴A (0,−1,0)，B (1,0,0)，E (0,−1,2)，D (0,1,1)，则AB =(1,1,0)，BE =(−1,−1,2)，DE =(0,−2,1)．设n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,x 1)为平面ABE 的一个法向量，则1100n AB n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11111020x y x y z +=⎧⎨−−+=⎩，取n 1⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)，设n 2⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2)为平面DBE 的一个法向量，则220n DE n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222222020y z x y z −+=⎧⎨−−+=⎩，取n 2⃗⃗⃗⃗ =(3,1,2)， ∴1212127cos ,7n n n n n n ⋅<>==⋅，由图知：二面角A −BE −D 为钝二面角，∴二面角A −BE −D 的余弦值为. 22．(1)解：函数()f x 在[0,)+∞上是单调增函数，理由如下： 因为()e cos x f x x x =+，所以()e cos (sin )x f x x x x =+−'+． 记()e 1x g x x =−−，则()e 1x g x '=−，令()0g x '=，得0x =． 当0x >时，()0,()'>g x g x 为单调增函数； 当0x <时，()0,()g x g x '<为单调减涵数，所以min ()(0)0g x g ==，所以()e 10x g x x =−−≥，即e 1x x ≥+． 又sin 1,cos 1x x ≤≥−，所以()1cos (sin )(1sin )(1cos )0f x x x x x x x x ≥+++−=−++≥'， 所以函数()f x 在[0,)+∞上是单调增函数． (2)解：记()e sin cos 2(0)x p x x x ax x =++−−≥，是()e cos x p x x x a =+−'． 由（1）知，()e cos x p x x x a =+−'为[0,)+∞上的单调增函数．1°当10a −≥时，(0)10p a =−≥'，所以()(0)0p x p ''≥≥，所以()p x 为[0,)+∞上的单调增函数，所以()(0)0p x p ≥=，即e sin cos 2x x x x ax ++≥+．所以1a ≤符合题意． 2°当10a −<时，(0)10p a =−<'，又()e cos e 2a a p a a a a a =−≥'+−． 记()e 2(1)x q x x x =−>，则()e 2e 20x q x =−>−>'，所以()q x 为(1,)+∞上的单调增函数，所以()(1)e 20q x q >=−>， 所以e 20(1)x x x −>>，所以()e 20a p a a ≥−>'．又()p x 在[0,)+∞上的图象不间断，且()p x 为[0,)+∞上的单调增函数， 根据零点存在性定理知，存在唯一的零点0(0,)x ∈+∞，使得()00p x =． 所以当00x x ≤≤时，()0p x '≤，()p x 单调递减，所以()0(0)0p x p <=， 这与任意的0x ≥，e sin cos 2x x x x ax ++≥+矛盾， 所以1a >不符合题意 综上可得1a ≤．。

2024-2025学年湖南省长沙市雅礼中学高三（上）月考数学试卷（一）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={x |log 2x >1}，B ={x |0<x <4}，则A ∩B =( )A. {x |2<x <4}B. {x |2⩽x <4}C. {x |0<x⩽2}D. {x |x⩽2}2.已知复数z 满足(1―i )z =2i ，且z +ai (a ∈R )为实数，则a =( )A. 1B. 2C. ―1D. ―23.设向量a =(1,0)，b =(12,12)，则下列结论中正确的是( )A. |a |=|b | B. a ⋅b = 22 C. a ―b 与b 垂直 D. a //b4.已知a 是函数f (x )=2x ―log 12x 的零点，若0<x 0<a ，则f (x 0)的值满足( )A. f (x 0)=0B. f (x 0)>0C. f (x 0)<0D. f (x 0)的符号不确定5.若sinx +cosx =13，x ∈(0,π)，则sinx ―cosx 的值为( )A. ± 173 B. ― 173 C. 13 D. 1736.用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )A. 8B. 24C. 48D. 1207.函数y =f (x )的图象如图①所示，则如图②所示的函数图象所对应的函数解析式可能为( )A. y =f (1―12x )B. y =―f (1―12x )C. y =f (4―2x )D. y =―f (4―2x )8.刍曹是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美.如图，某屋顶可视为五面体ABCDEF ，四边形ABFE 和CDEF 是全等的等腰梯形，△ADE 和△BCF 是全等的等腰三角形.若AB =25m ，BC =AD =10m ，且等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角的正切值均为145.为这个模型的轮廓安装灯带(不计损耗)，则所需灯带的长度为( )A. 102mB. 112mC. 117mD. 125m二、多选题：本题共3小题，共18分。

2022-2021学年湖南省雅礼中学高三（下）其次次月考数学试卷（理科）一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.把答案填在答题卡中对应题号的框框内.）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，则A∩B等于（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2，3}2．若A、B均是非空集合，则A∩B≠∅是A⊆B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件3．（中诱导公式、基本公式）已知，且，则tan（2π﹣α）的值为（）A．B．C．D．4．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为（）A．2B．C．2D．45．已知向量满足：，与的夹角为，则=（）A．2 B．4 C．2D．86．设x，y 满足约束条件，则目标函数z=的最小值为（）A．2 B．1 C．D．﹣27．设f（x）定义如下面数表，{x n}满足x0=5，且对任意自然数n均有x n+1=f（x n），则x2022的值为（）x 1 234 5f（x）4 135 2A．4 B．1 C．3 D．28．如图，长沙河西先导区某广场要划定一矩形区域ABCD，并在该区域内开拓出三块外形大小相同的矩形绿化区，这三块绿化区四周和绿化区之间设有1米宽的走道．已知三块绿化区的总面积为800平方米，则该矩形区域ABCD占地面积的最小值为（）平方米．A．900 B．920 C．948 D．9689．已知函数，若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2），则x1•f（x2）的取值范围为（）A．B．C．D．10．设定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），f′（x）是f（x）的导函数，当x∈[0，1]时，0≤f（x）≤1；当x∈（0，2）且x≠1时，x（x﹣1）f′（x）＜0．则方程f（x）=lg|x|根的个数为（）A．12 B．1 6 C．18 D．20二．填空题：本大题共1小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．（一）选做题（请考生在第11、12、13题中任选两题作答，假如全做，则按前两题给分）【几何证明选讲】11．如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，已知⊙O的半径为3，PA=2，则OE=．【极坐标系与参数方程选讲】12．已知曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的极坐标方程为，它们的交点在平面直角坐标系中的坐标为．【不等式选讲】1011•天津）已知集合A={x∈R||x+3|+|x﹣4|≤9}，B=，则集合A∩B=．（二）必做题（14～16题）14．设（其中e为自然对数的底数），则的值为．15．动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t=0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是．16．已知数列{a n}的前n项和S n=（﹣1）n •n，若对任意正整数n，（a n+1﹣p）（a n﹣p ）＜0恒成立，则实数P 的取值范围是．三．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．设函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．18．设数列{a n}的前n项和为S n，已知对任意正整数n，都有S n+2=2a n成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜3．19．如图所示，在平面四边形ABCD中，，与的夹角为，与的夹角为．（1）求△CDE的面积S；（2）求．20．已知函数f（x ）=lnx﹣ax+﹣1（a∈R）（1）当a=﹣1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）当a≤时，争辩f（x）的单调性．21．若数列{a n}（n∈N*）满足：①a n≥0；②a n﹣2a n+1+a n+2≥0；③a1+a2+…+a n≤1，则称数列{a n}为“和谐”数列．（1）已知数列{a n}，（n∈N*），推断{a n}是否为“和谐”数列，说明理由；（2）若数列{a n}为“和谐”数列，证明：．（n∈N*）22．已知函数f（x）=（1）当x＞0时，证明：f（x）＞；（2）当x＞﹣1且x≠0时，不等式f（x）＜恒成立，求实数k的值．2022-2021学年湖南省雅礼中学高三（下）其次次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.把答案填在答题卡中对应题号的框框内.）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，则A∩B等于（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2，3}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：依据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：∵A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，∴A∩B={﹣1，0，1}，故选：B点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．若A、B均是非空集合，则A∩B≠∅是A⊆B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的推断．专题：规律型．分析：推断出“A∩B≠∅”成立推不出“A⊆B”反之，若“A⊆B”成立，则能推出A∩B≠∅”确定成立，利用充要条件的有关定义得到结论．解答：解：若“A∩B≠∅”成立推不出“A⊆B”反之，若“A⊆B”成立，则有A∩B=A≠∅，所以A∩B≠∅”确定成立，所以A∩B≠∅是A⊆B的必要不充分条件，故选B．点评：本题考查推断一个条件是另一个的什么条件，应当先化简各个条件，若条件是数集的形式，常转化为推断集合间的包含关系．3．（中诱导公式、基本公式）已知，且，则tan（2π﹣α）的值为（）A．B．C．D．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：先依据诱导公式化简已知条件，得到sinα的值，然后由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，把所求的式子利用诱导公式化简后，再依据同角三角函数间的基本关系把切化弦后，将sinα和cosα的值代入即可求出值．解答：解：由，又，得，则．故选B点评：此题考查同学机敏运用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．同学在求cosα的值时应留意α的范围．4．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为（）A．2B．C．2D．4考点：简洁空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：三棱柱的左视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高，在边长是2的等边三角形中做出底边上的高的长度，得到结果．解答：解：由题意知三棱柱的左视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高，在边长是2的等边三角形中，底边上的高是，∴侧视图的面积是2故选：A．点评：本题考查简洁的空间图形三视图，考查三视图的面积的计算，考查通过原图观看三视图的大小，比较基础．5．已知向量满足：，与的夹角为，则=（）A．2 B．4 C．2D．8考点：平面对量数量积的运算．。

雅礼中学2020届高三月考试卷（六）数 学（文科）注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.集合{}13A x x =<<，集合{}2,B y y x x A ==-∈，则集合A B =（ ）A. {}13x x << B. {}13x x -<<C. {}11x x -<<D. ∅【答案】D 【解析】 【分析】求出集合B ，利用交集的定义可求得集合AB .【详解】因为{}13A x x =<<，{}{}2,11B y y x x A y y ==-∈=-<<，所以A B =∅，故选：D.【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题. 2.复数12z i =-的虚部为( ) A. 2i B. 2i -C. 2D. -2【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的概念可知复数12z i =-的虚部.【详解】形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数，a 和b 分别叫它的实部和虚部,所以复数12z i =-的虚部为-2. 故选：D.【点睛】考查复数的概念，知识点较为基础.3.已知()f x 是定义在R 上的偶函数,且在(],0-∞上是减函数,设()20.3a f =,()2log 5b f =,()0.32c f =,则,,a b c 的大小关系是()A. b c a <<B. a b c <<C. c b a <<D. a c b <<【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数的对称性可知()f x 在[)0,+∞上为增函数；通过临界值比较出自变量的大小关系，根据单调性可得结果. 【详解】()f x 是R 上的偶函数，且在(],0-∞上为减函数 ()f x ∴在[)0,+∞上为增函数0.30222log 5log 422210.30>=>>=>>()()()0.322log 520.3f f f ∴>>，即a c b <<本题正确选项：D【点睛】本题考查根据函数单调性比较函数值大小的问题，关键是能够利用奇偶性的性质得到函数在自变量所在区间内的单调性，通过自变量大小关系的比较得到函数值的大小关系. 4.若实数x ，y 满足x +y ＞0，则“x ＞0”是“x 2＞y 2”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的判定方法，结合不等式的性质，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，实数x ，y 满足x +y ＞0，若x ＞0，则未必有x 2＞y 2， 例如x ＝1，y ＝2时，有x 2＜y 2；反之，若x 2＞y 2，则x 2﹣y 2＞0，即（x +y ）（x ﹣y ）＞0；由于x +y ＞0，故x ﹣y ＞0，∴x ＞y 且x ＞﹣y ，∴x ＞0成立；所以当x +y ＞0时，“x ＞0”推不出“x 2＞y 2”，“x 2＞y 2”⇒“x ＞0”； ∴“x ＞0”是“x 2＞y 2”的必要不充分条件． 答案：B ．【点睛】本题主要考查了不等式的性质，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记充分条件、必要条件的判定方法，结合不等式的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．5.在长方形ABCD 中，2AB =，1AD =，点E 为BC 的中点，点F 为CD 的中点，则AE BF ⋅=（ ）A. 1-B. 32-C. 2-D. 52-【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到12=+=+AE AB BE AB AD ，12BF BC CF AD AB =+=-，再由向量数量积的运算法则，直接计算，即可得出结果.【详解】因为在长方形ABCD 中，2AB =，1AD =，点E 为BC 的中点，点F 为CD 的中点，所以12=+=+AE AB BE AB AD ，12BF BC CF AD AB =+=- 1122⎛⎫∴⋅=+⋅⎛⎫ ⎪⎝-+ ⎪⎝⎭⎭AE BF A D A B A AB D 2211313222422AB AD AB AD =-++⋅=-+=-.故选：B【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，熟记运算法则即可，属于常考题型.6.一只小虫在边长为2的正方形内部爬行，到各顶点的距离不小于1时为安全区域，则小虫在安全区域内爬行的概率是（ ） A. 14π-B.4πC. 16π-D.6π【解析】 【分析】作出正方形，并作出安全区域，将安全区域的面积与正方形的面积相除可得出所求事件的概率.【详解】如下图所示，由于小虫到每个顶点的距离不小于1为安全区域，则安全区域为以正方形每个顶点为圆心半径为1的扇形弧以及扇形以外的部分，为图中阴影部分，其面积22214S ππ=⨯-⨯=-，故概率4144P ππ-==-. 故选：A.【点睛】本题为平面区域型几何概率问题，确定事件所围成的区域是解题的关键，考查数形结合思想与计算能力，属于中等题.7.已知函数()2sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的最小正周期为π，若将()f x 的图象向左平移3π个单位后得到函数()g x 的图象关于y 轴对称，则函数()f x 的图象（ ） A. 关于直线2x π=对称 B. 关于直线3x π=对称 C. 关于点(,0)2π对称 D. 关于点(,0)3π对称【答案】B 【解析】 【详解】由条件知22,w wππ=⇒= 2()2sin(2)()2sin(2())2sin(2)33f x xg x x x ππϕϕϕ=+⇒=++=++ 关于y 轴对称，可得(0)2g =±，可得2,6k k z πϕπ=-+∈ ，0ϕπ<<，所以56πϕ=，故得5()2sin(2)6f x x π=+，当,() 2.3x f x π==- 对称中心为：5,0212k k z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭C ，D ，均不正确.点睛：此题考查的是函数图像的平移和对称，周期性，先根据周期的公式得到2w =， 再根据平移公式得到()g x ，根据轴对称性得到56πϕ=，故得5()2sin(2)6f x x π=+，可以根据选项代入表达式，比如B 选项，可以带入函数判断函数值是否为最值；8.已知实数x ，y 满足521802030x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≥⎩，若直线10kx y -+=经过该可行域，则实数k 的最大值是（ ） A. 1 B.32C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用直线20kx y -+=过定点()0,1，再利用k 的几何意义，只需求出直线10kx y -+=过点()2,4B 时，k 值即可． 【详解】直线20kx y -+=过定点()0,1， 作可行域如图所示，，由5218020x y x y +-=⎧⎨-=⎩，得()2,4B ．当定点()0,1和B 点连接时，斜率最大，此时413202k -==-，则k 的最大值为：32故选：B ．【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题． 9.两个等差数列{}n a 和{}n b ，其前n 项和分别为n S ，n T ，且723n n S n T n +=+，则220715a ab b +=+（ ） A.49B.378C.7914D.14924【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质前n 项和的性质进行求解即可.【详解】因为等差数列{}n a 和{}n b ,所以2201111715111122a a a a b b b b +==+,又211121S a =,211121T b =,故令21n =有2121721214921324S T ⨯+==+,即1111211492124a b =,所以111114924a b = 故选D.【点睛】本题主要考查等差数列的等和性质：若{}n a 是等差数列,且(,,,*)m n p q m n p q N +=+∈,则m n p q a a a a +=+ 与等差数列{}n a 前n 项和n S 的性质*21(21),()n n S n a n N -=-∈10.已知三个实数2、b 、8成等比数列，则双曲线22219y x b-=的渐近线方程为（ ）A. 340±=x yB. 430x y ±=20y ±=D.9160x y ±=【答案】A 【解析】 【分析】根据等比中项的定义求得2b 的值，可得出双曲线的标准方程，进而可求得双曲线的渐近线方程.【详解】由题意，三个实数2、b 、8成等比数列，可得216b =，即双曲线221916y x -=的渐近线方程为340±=x y ，故选：A.【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求解，解答的关键就是求出双曲线的标准方程，考查计算能力，属于基础题.11.定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,∞+单调递增，且()f 21-=，则()f x 21-≤的x 的取值范围是（ ） A. []0,4 B. (][),22,∞∞--⋃+ C. (][),04,∞∞-⋃+ D. []2,2-【答案】A 【解析】 【分析】先得()21f =，再根据偶函数化简()21f x -≤，即为()()22fx f -≤，由单调性可得22x -≤，运用绝对值不等式的解法可得x 的取值范围.【详解】定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞单调递增， 且()21f -=，可得()()221f f =-=，()21f x -≤，即为()()22f x f -≤，可得22x -≤， 即222x -≤-≤， 解得04x ≤≤，即x 的取值范围是[]0,4，故选A.【点睛】首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内.12.已知函数(),()ln 1xf x e eg x x =-=+，若对于1x ∀∈R ，()20x ∃∈+，∞，使得()()12f x g x ＝，则12x x -的最大值为（ ）A. eB. 1-eC. 1D. 11e-【答案】D 【解析】 【分析】不妨设f(1x )=g(2x )＝a ，从而可得12x x -的表达式，求导确定函数的单调性，再求最小值即可．【详解】不妨设f(1x )=g(2x )＝a ， ∴1x e e -＝21lnx +=a ， ∴1x ＝ln(a+e)，2x ＝1a e -， 故12x x -＝ln(a+e)-1a e -，（a ＞-e ） 令h （a ）＝ln(a+e)-1a e -，h ′（a ）11a e a e-=-+， 易知h ′（a ）在（-e ，+∞）上是减函数， 且h ′（0）＝0，故h （a ）在a 0=处有最大值， 即12x x -的最大值为11e-； 故选D ．【点睛】本题考查了函数的性质应用及导数的综合应用，考查了指对互化的运算，属于中档题．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若1sin()43πα-=，则cos()4πα+=__________．【答案】13;【解析】由题意得，1()cos()sin()424443πππππαααα+=--⇒+=-=.14.已知向量a ，b 的夹角为34π，()3,4,10a a b =-⋅=-，则b 的模长是______．【答案】22 【解析】 【分析】由平面向量模的运算及数量积的运算得：由向量，的夹角为，=（-3，4），=-10，得=||||cos =-10，即||==2，得解．【详解】由向量，的夹角为，=（-3，4），=-10，得=||||cos=-10，即||==2，故答案为2．【点睛】本题考查了平面向量模的运算及数量积的运算，属中档题．15.直角ABC 的三个顶点都在球O 的球面上，2AB AC ==，若球O 的表面积为12π，则球心O 到平面ABC 的距离等于__________． 【答案】1 【解析】直角ABC 的斜边CB 为ABC 所在截面小圆的直径，则该截面小圆的半径为2r =的表面积为12π可得球的半径3R ，球心O 到平面ABC 的距离221d R r =-=.16.设(),()f x g x 是定义在R 上两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，2()1(1)f x x =--，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中0k >.若在区间(0]9，上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是_____.【答案】12,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭.【解析】【分析】分别考查函数()f x和函数()g x图像的性质，考查临界条件确定k的取值范围即可.【详解】当(]0,2x∈时，()2()11,f x x=--即()2211,0.x y y-+=≥又()f x为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4，如图，函数()f x与()g x的图象，要使()()f xg x=在(]0,9上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可.当1g()2x=-时，函数()f x与()g x的图象有2个交点；当g()(2)x k x=+时，()g x 的图象为恒过点()2,0-的直线，只需函数()f x与()g x的图象有6个交点.当()f x与()g x图象相切时，圆心()1,0到直线20kx y k-+=的距离为1，即2211k kk+=+，得24k=，函数()f x与()g x的图象有3个交点；当g()(2)x k x=+过点1,1（）时，函数()f x与()g x的图象有6个交点，此时13k=，得13k=.综上可知，满足()()f xg x=在(]0,9上有8个实根的k的取值范围为1234⎡⎢⎣⎭，.【点睛】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出函数图象的交点而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取值范围.三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且满足274cos cos 2()22A B C -+= （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若3b c +=，求a 的最小值． 【答案】（Ⅰ）60o A ∴= （Ⅱ）32【解析】 （Ⅰ）A B C π++=，2274cos cos 2()2(1cos )cos 22cos 2cos 322A B C A A A A ∴-+=+-=-++=， 212cos 2cos 02A A ∴-+=．1cos 2A ∴=，0A π<<，60o A ∴=．（Ⅱ）由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=，得222bc b c a =+-．2229()39393()24b c a b c bc bc +∴=+-=-≥-=， 32a ∴≥．所以a 的最小值为32， 当且仅当32b c ==时取等号．18.2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X （单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图．（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数x 和中位数a （a 的值精确到0.01）； （2）为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间为[6.5,7.5)，[7.5,8.5)的学生中抽取9名参加座谈会． （i ）你认9个名额应该怎么分配？并说明理由；（ii ）座谈中发现9名学生中理工类专业的较多．请根据200名学生的调研数据，填写下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为学生阅读时间不足（每周阅读时间不足8.5小时）与“是否理工类专业”有关？阅读时间不足8.5小时 阅读时间超过8.5小时 理工类专业 40 60 非理工类专业附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（n a b c d =+++）.临界值表：20()P K k ≥ 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828【答案】（1）平均数9，中位数8.99；（2）（i ）按照1:2进行名额分配；理由见详解； （ii ）有.【解析】 【分析】（1）根据平均数，中位数的定义进行求解即可（2）完成列联表，计算2K 的观测值，结合独立性检验的性质进行判断即可. 【详解】（1）该组数据的平均数60.0370.180.290.35100.19x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯110.09120.049+⨯+⨯=，因为0.030.10.20.350.680.5+++=>，所以中位数[8.5,9.5)a ∈， 由0.030.10.2(8.5)0.350.5a +++-⨯=，解得0.50.338.58.990.35a -=+≈；（2）（i ）每周阅读时间为[6.5,7.5)的学生中抽取3名，每周阅读时间为[7.5,8.5)的学生中抽取6名．理由：每周阅读时间为[6.5,7.5)与每周阅读时间为[7.5,8.5)是差异明显的两层，为保持样本结构与总体结构的一致性，提高样本的代表性，宜采用分层抽样的方法抽取样本；因为两者频率分别为0.1，0.2，所以按照1:2进行名额分配．（ii ）由频率分布直方图可知，阅读时间不足8.5小时的学生共有200(0.030.10.2)66⨯++=人，超过8.5小时的共有20066134-=人．于是列联表为：2K 的观测值2200(40742660)4.432 3.84166134100100k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 所以有95%的把握认为学生阅读时间不足与“是否理工类专业”有关．【点睛】本题主要考查独立性检验的应用，根据数据计算出K 2的观测值是解决本题的关键．考查学生的计算能力．19.如图1，等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，2AB AE BE CD ====，4BC ED ==，O 为BE 中点，F 为BC 中点.将ABE △沿BE 折起到A BE '的位置，如图2.（1）证明：CD ⊥平面AOF '；（2）若平面A BE '⊥平面BCDE ，求点F 到平面A EC '的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）32. 【解析】 【分析】（1）先证CD EC ⊥，接着证CD OF ⊥，根据已知条件得AO CD '⊥，即可得结论；（2）点F 到平面A EC '的距离转化为点B 到平面A EC '的距离的一半，取A E '的中点记为H ，证明BH ⊥平面A EC '，求出BH ，即可得结论.【详解】（1）23EC =，∴222BE EC BC +=，即BE EC ⊥， ∵CDBE ，∴CD EC ⊥O 为BE 中点，F 为BC 中点.∴OF EC ∥，∴CD OF ⊥∵A B A E ''=，O 为BE 中点，∴AO BE '⊥，∴AO CD '⊥ 而AO OF O '⋂=，∴CD ⊥平面AOF'.（2）OF EC ∥∴点F 到平面AEC 的距离即为点O 到平面A EC '的距离， 即点B 到平面A EC '的距离的一半.取A E '的中点记为H ，连结BH ，则BH A E '⊥∵平面A BE '⊥平面BCDE ，且交线为BE ， 由（1）知EC BE ⊥，∴EC ⊥平面A BE '，∴EC BH ⊥， 又EC A E E '⋂=∴BH ⊥平面A EC '，BH =， ∴B 到平面A EC '∴点F 到平面A EC '【点睛】本题考查了平面立体转化的问题，运用好折叠之前，之后的图像，考查线面垂直以及点的面的距离，解题的关键是对空间直线与平面的位置关系定理要熟练，属于中档题.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点()2,1，且离心率e =(1)求椭圆C 的方程； (2)已知斜率为12的直线l 与椭圆C 交于两个不同点,A B ，点P 的坐标为()2,1，设直线PA 与PB 的傾斜角分别为,αβ，证明:αβπ+=.【答案】（1）22:182x y C +=（2）证明见解析【解析】 【分析】（1）根据题意，由椭圆的几何性质可得，解可得a 、b 的值，将a 、b 的值代入椭圆的方程即可得答案；22411a b e ⎧+=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩（2）证明αβπ+=即证明直线PA 与PB 的斜率120k k +=，根据题意，设直线1:2l y x m =+，联立直线与椭圆的方程，将韦达定理代入1211221122y x k k y x +--+=--变形即可证明．【详解】()1由题意得22411a b e ⎧+=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩228,2a b ==，所以椭圆的方程为：22:182x y C +=()2设直线1:2l y x m =+，由2212182y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得，222240x mx m ++-=，2248160m m =-+>解得22m -<<，当0m =时，12y x =（舍） 设()()1122,,,A x y B x y ，则212122,24x x m x x m +=-=- 由题意，易知PA 与PB 的斜率存在，所以,2παβ≠，设直线PA 与PB 的斜率分别为12,k k则1tan k α=，2tan k β=，要证αβπ+=，即证()tan tan tan απββ=-=-，只需证120k k +=12121211,,22y y k k x x --==-- 故()()()()()()1221121122121212112222y x y x y y x x x x k k --+----+=-=---+又111,2y x m =+2212y x m =+ 所以()()()()12211212y x y x --+--=()()122111121222x m x x m x ⎛⎫⎛⎫+--++--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()()1212241x x m x x m =+-+--()()()2122422410x x m m m m =-+----=120,k k ∴+=αβπ+=【点睛】本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系。

雅礼中学2023届高三月考试卷（六）生物学本试题卷包括选择题、非选择题两部分，共10页。

时量75分钟，满分100分。

一、单项选择题（本题共 12小题，每小题2分，共24分。

每小题只有一个选项符合题目要求。

）1.3NO -和NH 4+是植物利用的主要无机氮源，转运机制如下图所示，图中AMTs 、NRT1.1、SLAH3为根细胞膜上的三种转运蛋白。

过量施用NH 4+会加剧土壤的酸化，引起植物生长受到严重抑制，这一现象被称为铵毒。

研究发现当3NO -存在时，植物可以通过减轻土壤酸化来缓解铵毒症状，NRT1.1和SLAH3参与缓解铵毒的过程。

以下分析错误的是A ．根细胞膜对物质的吸收具有选择透过性，这与细胞膜上的蛋白质种类不同有关B ． AMTs 运输NH 4+的方式与NRT1.1运输3NO -的方式均为协助扩散C ．推测植物通过调用NRT1. 1来加速对胞外3NO -/H +的同向转运从而降低了胞外H +浓度，缓解了铵毒D ．外源施加3NO -或者由SLAH3外排3NO -均可能缓解植物的铵毒症状2.生物学实验设计中应遵循单一变量原则和对照原则，在对照实验中可以采用加法原理或减法原理实现对自变量的控制。

下列有关实验的叙述中正确的是A ．在“比较过氧化氢在不同条件下的分解”实验中利用了减法原理来控制自变量B ．在探索生长素类调节剂促进插条生根的最适浓度”实验中，预实验和正式实验均需要设置空白对照C ．在“观察紫色洋葱鳞片叶外表皮细胞质璧分离与复原”的实验中不存在对照D ．在“探究唾液淀粉酶的最适pH ”的实验中，先将每一组温度控制在37°C 属于对无关变量的控制3.细胞中几乎所有的化学反应都是由酶催化的，酶的活性受到多种因素的影响。

酶的作用原理如图一所示，酶促反应速率与影响因素的关系如图二所示。

下列叙述错误的是A．图一中有酶催化时反应进行所需要的活化能是BC段B．如果将酶催化改为无机催化剂催化，则图一的纵坐标轴上B点对应的虚线应上移C．图二中曲线②和③分别表示pH和温度对酶促反应速率的影响D．图二中若横轴表示反应物浓度，曲线①的BC段对应数值保持不变的原因主要是酶的数量有限4.某昆虫体色有灰体和黄体，分别由等位基因B、b控制，腿型有粗腿和细腿，分别由等位基因D、d控制，其中B、b基因位于常染色体上（D、d基因不位于Y染色体上）。

2023-2024学年湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考试卷（六）化学试题1. 2023年中国航天大会的主题是“格物致知，叩问苍穹”。

下列关于航天飞船上所用材料说法正确的是A．航天飞船上太阳能电池板的材料主要成分为SiO 2B．航天飞船制作发动机喷管套筒的碳纤维属于有机高分子材料C．发射航天飞船的新一代运载火箭成功应用液氧煤油发动机，煤油是烃的混合物D．航天飞船上用于燃气管路隔热层的纳米二氧化硅是胶体2.下列说法错误的是A．反-2-丁烯的结构简式：B．基态的价电子轨道表示式：C．的空间填充模型：D．和在光照下充分反应，反应前后的分子总数不变3.设N A为阿伏加德罗常数的值。

下列有关叙述正确的是A．的盐酸中含HCl分子的数目为N AB．通入水中发生反应，转移的电子数为N AC．标准状况下，中含有的硫原子数为N AD．中含有共用电子对的总数为1.5 N A4.下列指定反应的离子方程式正确的是A．饱和氯水中通入至溶液颜色褪去：B．溶液中加入过量浓氨水：C．向滴有酚酞的溶液中滴入盐酸至红色恰好褪去：D．溶液中加入足量石灰乳：5.高氯酸钾是一种强氧化剂，易溶于水。

以氯化钠为原料制备高氯酸钾的一种流程如图：下列说法错误的是A．“电解”生成气体的主要成分为H 2B．“高温分解”反应中氧化剂和还原剂的物质的量之比为1∶3 C．本实验条件下，KClO 4在水中的溶解度比NaClO 4大D．母液经分离、提纯可制得食盐6.如图所示装置能达到实验目的的是A．制取B．制取C．利用此装置可较长时间看到白色絮状沉淀D．该改进装置可用于性质的探究实验7.探究汽车尾气中NO的无害化处理，催化剂作用下在容积均为1L的两个容器中发生反应2NO(g)⇌N2(g)+O2(g) △H1，有CO存在时发生反应2NO(g)+2CO(g)⇌N2(g)+2CO2(g) △H2。

容器①充入0.1molNO，容器②0.1molNO和0.1molCO。

2020届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期第二次月考数学（理）试题及答案一、单选题1．集合{}{}{}202,1,1A a B a A B ==⋂=，，，若，则a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．±1【答案】C【解析】{}{}221,02,1,A B A a a ⋂==⇒=，又{}1,B a = ，1a ∴=- ，故选C.2．已知向量()()2,1,,2a b λ==，若a b ⊥，则实数λ= （ ） A ．4- B ．1-C ．1D ．4【答案】B【解析】由题得=0a b ⋅，解方程即得解. 【详解】因为a b ⊥，所以=220,1a b λλ⋅+=∴=-. 故选B 【点睛】本题主要考查向量垂直的坐标表示，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.3．已知ABCD 是复平面内的平行四边形，A ，B ，C 三点对应的复数分别是2i -+，1i -，22i +，则点D 对应的复数为（ ）【答案】D【解析】分析：利用平行四边形的性质得到AB DC =,再把点的坐标代入计算即得点D 的坐标，再写出点D 对应的复数.详解：由题得A(-2，1),B(1，-1),C(2，2),设D(x,y)，则(3,2),(2,2),AB DC x y =-=-- 因为AB DC =，所以2322x y -=⎧⎨-=-⎩，解之得x=-1,y=4.所以点D 的坐标为（-1，4）， 所以点D 对应的复数为-1+4i, 故选D.点睛：本题方法比较多，但是根据AB DC =求点D 的坐标，是比较简单高效的一种方法，大家解题时，注意简洁高效. 4．已知集合2{|0}1x A x x -=<+，{|}B x x a =<，若“1a =”是“B A ⊆”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不是充分条件也不是必要条件 【答案】A【解析】化简两个集合，分别讨论充分性和必要性，可选【详解】由题意，集合()()2{|0}{|120}{|12}1x A x x x x x x x -=<=+-<=-<<+， 先来判断充分性，若1a =，则{|11}B x x =-<<，满足B A ⊆，即“1a =”是“B A ⊆”的充分条件；再来判断必要性，若B A ⊆，①集合B =∅，0a ≤，此时符合B A ⊆；②集合B ≠∅，此时21a a a a -<⎧⎪≤⎨⎪-≥-⎩，解得01a <≤.故B A ⊆时，1a ≤，即“1a =”不是“B A ⊆”的必要条件. 所以“1a =”是“B A ⊆”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查不等式的解法，考查集合的包含关系，考查充分性与必要性，考查学生的计算能力与逻辑推理能力，属于基础题.5．若关于x 的不等式2420x x a --->在区间()1,4内有解,则实数a 的取值范围是 A ．2a <- B ．2a >- C ．6a >- D ．6a <-【答案】A【解析】由题意可得224a xx +<-在区间(1,4)内成立，由224(2)4y x x x =-=--，求得顶点处的函数值和端点处的函数解：关于x 的不等式2420x x a --->在区间(1,4)内有解， 即为224a xx +<-在区间(1,4)内成立，由224(2)4y x x x =-=--，可得2x =处函数y 取得最小值4-；1x =时，3y =-；4x =时，0y =；则函数24y x x =-的值域为[)4,0-， 可得20a +<， 解得2a <-． 故选：A ． 【点睛】本题考查不等式成立的条件，注意运用转化思想和二次函数的值域求法，考查运算能力，属于中档题．6．将函数()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍，所得函数()g x 图象的一个对称中心可以是（ ）A ．,012π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．5,012π⎛⎫⎪⎝⎭C ．,03π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．2,03π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】试题分析：()1sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，,2,263x k x k k Z ππππ+=∴=-∈，令0,3k x π==-，∴()g x 图象的一个对称中心是,03π⎛⎫-⎪⎝⎭．7．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1BB 的中点，则异面直线DE 与AB 所成角的正切．．值为（ ） A ．2B ．32C ．5 D ．7【答案】C【解析】依据异面直线所成角的定义，结合//AB DC ，就得到异面直线DE 与AB 所成角，解三角形，即可求出异面直线DE 与AB 所成角的正切值. 【详解】如图，因为//AB DC ，所以EDC ∠（或其补角）即为异面直线DE 与AB 所成角，连接EC ，设正方体棱长为2，利用勾股定理可以求得：2CD =，5CE =，3DE =，因此三角形DEC 是直角三角形，∴5tan 2EDC ∠=.故选：C【点睛】本题考查了异面直线所成的角，属于基础题.8．已知以双曲线的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】试题分析：由于，由题意知，，，因此，双曲线的离心率为，故选B.【考点】双曲线的离心率9．已知直线1:(3)10l mx m y +-+=，直线2:(1)10l m x my ++-=，若12l l ⊥则m =（）A ．0m =或1m =B ．1m =C ．32m =-D ．0m =或32m =-【答案】A【解析】根据直线垂直的充要条件，列出等式，求解，即可得出结果. 【详解】因为直线1:(3)10l mx m y +-+=与直线2:(1)10l m x my ++-=垂直， 所以(1)(3)0m m m m ++-=，即(1)0m m -=，解得0m =或1m =. 故选A 【点睛】本题主要考查根据直线垂直求参数的问题，熟记直线垂直的充要条件即可，属于常考题型.10．已知函数2()log (46)x x f x a b =-+，满足2(1)1,(2)log 6f f ==，,a b 为正实数，则()f x 的最小值为（ ） A ．6- B ．3- C ．0 D ．1【解析】试题分析：22462{466a b a b -+=-+=，解得2{4b a ==，∴222()log (44?26)log [(22)2]x x x f x =-+=-+，当1x =时，min ()1f x =，故选D .【考点】对数函数的性质11．直线l 是抛物线22x y =在点()2,2-处的切线，点P 是圆22420x y x y +--=上的动点，则点P 到直线l 的距离的最小值等于（ ）A2B CD ．65【答案】C【解析】先由题意求出直线l 的方程，再求出圆22420x y x y +--=的圆心到直线的距离，减去半径，即为所求结果. 【详解】因为22x y =，所以y x '=，因此抛物线22x y =在点()2,2-处的切线斜率为22x y x =-==-'， 所以直线l 的方程为22(2)y x -=-+，即22y x =--， 又圆22420x y x y +--=可化为22(2)(1)5x y -+-=， 所以圆心为(2,1)，半径r =；则圆心到直线的距离为d ==又因点P 是圆22420x y x y +--=上的动点，所以点P 到直线l 的距离的最小值等于d r -=故选C本题主要考查圆上的点到直线距离的最值问题，熟记直线与圆位置关系即可，属于常考题型.12．若对任意的1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式22ln 30x x x mx +-+≥恒成立，则实数m 的最大值为（ ）A ．132e e +-B ．32e e++C ．2e1- D ．4【答案】D【解析】通过分离变量将恒成立的不等式变为32ln m x x x ≤++，由此可知当1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，min 32ln m x x x ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭，通过导数求解出右侧函数在区间内的最小值，从而得到结果. 【详解】22ln 30x x x mx +-+≥22ln 3mx x x x ⇒≤++32ln m x x x⇒≤++22ln 30x x x mx +-+≥在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立等价于min 32ln m x x x ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦令()32ln g x x x x =++，则()22223231x x g x x x x+-'=+-= 令()0g x '=，解得13x =-，21x =则1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减；(]1,x e ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增则1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()min 12ln1134g x g ==++= 4m ∴≤即m 的最大值为4本题正确选项：D【点睛】本题考查利用恒成立问题的求解，解题关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为所求变量与某一函数的最值比较的问题，通过求解函数最值得到所求参数的取值范围，属于恒成立问题中的常规题型.二、填空题13．已知抛物线24y x=-的准线经过椭圆2221(0)4x ybb+=>的焦点，则b=________．【答案】3【解析】先根据抛物线的方程求得准线方程，根据椭圆的方程求得焦点，代入抛物线的准线方程求得b．【详解】解：依题意可得抛物线24y x=-的准线为1x=，又因为椭圆焦点为()240b±-，所以有241b-=．即b2＝3故b3=．故答案为3．【点睛】本题主要考查了椭圆和抛物线的简单性质，椭圆的标准方程．考查了学生对圆锥曲线基础知识的掌握．14．若实数x，y满足，则的取值范围是______．【答案】【解析】化简题设条件，得到的取值范围，再化简为x的二次函数，借助二次函数的图象与性质，即可求解函数的最值，得到答案．【详解】由题意，实数x，y 满足，即，可得．则，则函数的对称轴为，开口向下，所以在上，时函数取得最大值6，时，函数取得最小值．所以的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用问题，其中解答中根据题设条件得到变量的取值范围，再结合二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题．15．设x，y满足约束条件20230x yx yx y--≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≤⎩，则46yx++的取值范围是__________．【答案】[]3,1-【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的【详解】作出不等式组对应的平面区域如图所示：则46y x ++的几何意义是区域内的点到定点P （﹣6，﹣4）的斜率，由230x y x y -+=⎧⎨+=⎩得x ＝﹣1，y ＝1，即A （﹣1，1），则AP 的斜率k ＝1416+-+＝1，由20230x y x y --=⎧⎨-+=⎩得x ＝﹣5，y ＝﹣7，即B （﹣5，﹣7），则BP 的斜率k ＝7456-+-+＝﹣3，则46y x ++的取值范围是[﹣3，1]故答案为：[﹣3，1]．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义是解决本题的关键，属于中档题.16．在数列{}n a 中，1253a a +=，()()11280n n n a na n N *+--+=∈，若()12n n n n b a a a n N *++=⋅⋅∈，则{}n b 的前n 项和取得最大值时n 的值为__________． 【答案】10【解析】解法一：利用数列的递推公式，化简得122n n n a a a ++=+，得到数列{}n a 为等差数列，求得数列的通项公式313n a n =-，得到12100a a a >>>>，1112130a a a >>>>，得出所以1280b b b >>>>，90b <，100b >，1112130b b b >>>>，进而得到结论；解法二：化简得()128 11n n a a n n n n +-=---，令1n n a c n +=，求得11281n c c n ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，进而求得313n a n =-，再由0n b ≥，解得8n ≤或10n =，即可得到结论．【详解】解法一：因为()11280n n n a na +--+=① 所以()211280n n na n a ++-++=②，①-②，得122n n n na na na ++=+即122n n n a a a ++=+，所以数列{}n a 为等差数列．在①中，取1n =，得1280a -+=即128a =，又1253a a +=，则225a =， 所以313n a n =-．因此12100a a a >>>>，1112130a a a >>>>所以1280b b b >>>>，99101180b a a a =⋅⋅=-<，10101112100b a a a =⋅⋅=>，1112130b b b >>>> 所以12389T T T T T <<， 9101112T T T T >>又1089108T T b b T =++>，所以10n =时，n T 取得最大值．解法二：由()11280n n n a na +--+=，得()12811n n a a n n n n +-=---， 令1n n a c n +=，则11111282811nn c c n n n n -⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则11281n c c n ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即1211281281n c c a n n ⎛⎫⎛⎫=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 代入得()()1222812828n n a nc na n n a +==+-=+-，取1n =，得1280a -+=，解得128a =，又1253a a +=，则225a =，故1283n a n +=-所以313n a n =-，于是()()()12313283253n n n n b a a a n n n ++=⋅⋅=---． 由0n b ≥，得()()()3132832530n n n ---≥，解得8n ≤或10n =， 又因为98b =-，1010b =， 所以10n =时，n T 取得最大值． 【点睛】本题主要考查了数列的综合应用，以及数列的最值问题的求解，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，合理利用数列的性质是关键，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等，属于中档试题.三、解答题 17．在锐角ABC 中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin 02a B -=. （1）求角A 的大小； （2）若4a =，求ABC 面积的最大值.【答案】（1）60A =︒（2）【解析】（1）由正弦定理可得sin sin 0A B B =，结合sin 0B ≠，可求出sin A 与A ；（2）由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，结合基本不等式可得162bc bc bc ≥-=，即可求出16bc ≤，从而可求出1sin 2ABCS bc A =的最大值. 【详解】解：（1）因为sin 0a B =，所以sin sin 0A B B =，又sin 0B ≠，所以sin A =，又ABC 是锐角三角形，则60A =.（2）因为2222cos a b c bc A =+-，60A =，4a =， 所以222211622b c bc b c bc =+-⨯=+-，所以162bc bc bc ≥-=，即16bc ≤（当且仅当4b c ==时取等号）， 故11sin 16sin 432260ABCSbc A =≤⨯⨯=【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的运用，考查了利用基本不等式求最值，考查了学生的计算能力，属于中档题.18．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量()1,2,,8i y i =⋅⋅⋅数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.x y w()821ii x x =-∑()821ii w w =-∑ ()()81iii x x y y =-⋅-∑ ()(81iii w w y y =-⋅-∑ 46.6 563 6.8289.81.61469108.8表中i i w x =8118ii w w ==∑.（1）根据散点图判断，y a bx =+与y c x=+为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（3）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为0.2z y x =-.根据（2）的结果回答下列问题：（i ）年宣传费49x =时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121niii nii u u v v u u β==--=-∑∑，v u αβ=-.【答案】（1）y c =+适宜（2）100.6y =+3）（i ）年销售量y 的预报值576.6，年利润的预报值66.32（ii ）46.24x = 【解析】（1）根据所给的两个函数解析式的特点，结合图象直接选择即可； （2）令w =y 关于w 的线性回归方程，利用表中所给的数据求解即可.（3）（i ）由（2）知，把49x =代入，100.6y =+后求出年利润的预报值即可；（ii ）根据（2）的结果知，求出年利润z 的预报值的函数关系式，利用配方法求出当年利润的预报值最大时，年宣传费的值. 【详解】（1）由散点图可以判断，这些点明显不在同一条直线上，也不是在一条直线的附近，所以y c =+适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型. （2）令w =y 关于w 的线性回归方程，由于()()()81821108.8681.6iii i i w w y y d w w==--===-∑∑，56368 6.8100.6c y dw =-=-⨯=， 所以y 关于w 的线性回归方程为100.668y w =+，因此y 关于x 的回归方程为100.6y =+（3）（i ）由（2）知，当49x =时，年销售量y 的预报值100.66849576.6y =+=，年利润的预报值0.2576.64966.32z =⨯-=. （ii ）根据（2）的结果知，年利润z 的预报值()0.2100.66813.620.12x x x x z =+-=-++，所以当13.66.82x ==，即46.24x =时，z 取得最大值. 【点睛】本题考查了根据图象选择函数的解析式，考查了求线性回归方程，考查了线性回归方程的应用，考查了数学运算能力.19． 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD △为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA CD ⊥，2CD =，3AD =，（Ⅰ）设G H ，分别为PB AC ，的中点，求证：GH ∥平面PAD ； （Ⅱ）求证：PA ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值. 【答案】（I ）见解析；（II ）见解析；（III 3【解析】（I ）连接BD ，结合平行四边形的性质，以及三角形中位线的性质，得到GH PD ，利用线面平行的判定定理证得结果；（II）取棱PC的中点N，连接DN，依题意，得DN PC⊥，结合面面垂直的性质以及线面垂直的性质得到DN PA⊥，利用线面垂直的判定定理证得结果；（III）利用线面角的平面角的定义得到DAN∠为直线AD与平面PAC所成的角，放在直角三角形中求得结果.【详解】（I）证明：连接BD，易知AC BD H⋂=，BH DH=，又由BG PG=，故GH PD，又因为GH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，所以GH∥平面PAD.（II）证明：取棱PC的中点N，连接DN，依题意，得DN PC⊥，又因为平面PAC⊥平面PCD，平面PAC平面PCD PC=，所以DN⊥平面PAC，又PA⊂平面PAC，故DN PA⊥，又已知PA CD=，⊥，CD DN D所以PA⊥平面PCD.（III）解：连接AN，由（II）中DN⊥平面PAC，可知DAN∠为直线AD与平面PAC所成的角.因为PCDCD=且N为PC的中点，∆为等边三角形，2所以3⊥，DN=DN AN在Rt AND ∆中，sin 3DN DAN AD ∠==，所以，直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值为【点睛】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力和推理能力.20．已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点. 【答案】（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）见解析.【解析】(Ⅰ)由题意确定a ,b 的值即可确定椭圆方程； (Ⅱ)设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程确定OM ,ON 的表达式，结合韦达定理确定t 的值即可证明直线恒过定点. 【详解】（Ⅰ）因为椭圆的右焦点为(1,0)，所以1225；因为椭圆经过点(0,1)A ,所以1b =，所以2222a b c =+=，故椭圆的方程为2212x y +=. （Ⅱ）设1122(,),(,)P x y Q x y联立2212(1)x y y kx t t ⎧+=⎪⎨⎪=+≠⎩得222(12)4220k x ktx t +++-=，21212224220,,1212kt t x x x x k k -∆>+=-=++，121222()212t y y k x x t k +=++=+，222212121222()12t k y y k x x kt x x t k -=+++=+.直线111:1y AP y x x --=，令0y =得111x x y -=-，即111x OM y -=-；同理可得221x ON y -=-.因为2OM ON =,所以1212121212211()1x x x x y y y y y y --==---++；221121t t t -=-+，解之得0t =，所以直线方程为y kx =，所以直线l 恒过定点(0,0).【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 21．已知函数（I ）若在处的切线的斜率为，求的值；（Ⅱ），不等式恒成立，求整数的最大值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由题意得,解之即得a 的值；（Ⅱ）不等式或化为，设，再利用导数研究函数h(x)的图像和性质得解. 【详解】 解：（Ⅰ），由题意得，则.（Ⅱ）不等式或化为.设，．设，当时，， 则在单调递增. 又，，则在存在唯一零点满足.则当时，单调递减，当时，单调递增，则. 又因为，则，因为，则，则整数的最大值为.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，考查函数的最值、单调性、零点问题的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 1sin x r y r ϕϕ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（0r >，ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的坐标方程为sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，若直线l 与曲线C 相切. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）在曲线C 上取两点M 、N 于原点O 构成MON ∆，且满足6MON π∠=，求面积MON ∆的最大值.【答案】（1）4sin3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭； （2）2+.【解析】（1）求出直线l 的直角坐标方程为y=+2，曲线C，1），半径为r 的圆，直线l 与曲线C相切，求出r ＝2，曲线C 的普通方程为（x2+（y ﹣1）2＝4，由此能求出曲线C 的极坐标方程．（2）设M （ρ1，θ），N （ρ2，6πθ+），（ρ1＞0，ρ2＞0），由126MONSOM ON sin π==2sin （23πθ+）由此能求出△MON面积的最大值． 【详解】（1）由题意可知将直线l 的直角坐标方程为2y =+，曲线C 是圆心为)，半径为r 的圆，直线l 与曲线C 相切，可得：2r ==；可知曲线C 的方程为(()2214x y +-=，∴曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin 0ρθρθ--=，即4sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （2）由（1）不妨设()1,M ρθ，2,6N πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，()120,0ρρ>>21211sin ?4sin ?sin 2sin cos 26432MON S OM ON πππρρθθθθθ∆⎛⎫⎛⎫===++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin22sin 23πθθθ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭当12πθ=时，2MON S ∆≤MON ∴∆面积的最大值为2.【点睛】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的最大值的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 23．设函数()2f x x x a =--+．(1)当1a =时，求不等式()2f x <-的解集；(2)当()()(),22x y R f y f x f y a ∈-+≤≤+时，，求的取值范围． 【答案】（1）32x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭；（2）[]3,1-- 【解析】(1) 求出函数f （x ）的分段函数的形式，通过讨论x 的范围求出各个区间上的x 的范围，取并集即可；(2)()()()22f y f x f y -+≤≤+等价于()()()()max min 22f x f y f x f x ⎡⎤⎡⎤-≤⇔-≤⎣⎦⎣⎦，求出()f x 的最值即可.【详解】 （1）当a =1时，()3,1,12,123,2x f x x x x ≤-⎧⎪=--<≤⎨⎪->⎩，可得()2f x <-的解集为32x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭（2）当,x y R ∈时，()()()()()()()max min 2222f y f x f y f x f y f x f x ⎡⎤⎡⎤-+≤≤+⇔-≤⇔-≤⎣⎦⎣⎦,因为()()222x x a x x a a --+≤--+=+，所以()222a a +--+≤.所以21a+≤，所以31-≤≤-.a所以a的取值范围是[-3，-1]【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用.。

雅礼中学2020届高三月考试卷（三）数学（理科）得分： ____________本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1. 若复数z 满足()11i z i +=-（其中i 是虚数单位），则1z +=（ ）A.B.C. 2D.2. 下列命题中，真命题是（ ） A. 0x R ∃∈，00xe ≤B. 0a b +=的充要条件是0a b ==C. x R ∀∈0>D. 若,x y R ∈，且2x y +>，则x ，y 至少有一个大于1 3. 已知2log 0.8a =，0.82b =，20.8c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. a b c <<B. b c a <<C. a c b <<D. c a b <<4. 中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.2019年9月25日，中国科研人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的着陆位置，并再现了嫦娥四号的落月过程，该成果由国际科学期刊《自然·通讯》在线发表.如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①1122a c a c +=+；②1122a c a c -=-；③1212a c c a <；④1212c ca a >. 其中正确的式子的序号是（ ）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④5. 函数()21sin 1xx e f x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象大致形状为（ ） A. B.C. D.6. 一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形，侧视图是等腰三角形，则该几何体的表面积为（ ）A. 168B. 98C. 108D. 987. 在边长为2的正ABC ∆中，设2BC BD =u u u r u u u r ，3CA CE =u u u r u u u r ，则AD BE ⋅=u u u r u u u r（ ）A. -2B. -1C. 23-D. 83-8. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若120C =︒，sin 2C A =，则（ ）A. a b =B. a b <C. a b >D. a 与b 的大小关系不能确定9. 在某种信息传输过程中，用6个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，例如001100就是一个信息.在所有信息中随机取一信息，则该信息恰有3个0的概率是（ ） A.516B.1132C.2132D.111610. 关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的个数为（ ）①利用残差进行回归分析时，若残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内，则说明线性回归模型的拟合精度较高；②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，期望与方差均没有变化；③调查剧院中观众观后感时，从50排（每排人数相同）中任意抽取一排的人进行调查是分层抽样法； ④已知随机变量X 服从正态分布()3,1N ，且()240.6826P X ≤≤=，则()40.1587P X >=. A. 1B. 2C. 3D. 411. 关于函数()()()sin cos cos sin f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减； ③()f x 的周期是π；④()f x 的最大值为2. 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①②③B. ②④C. ①②D. ①③12. 已知1F ，2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线与圆222x y a +=相切且分别交双曲线的左、右两支于A 、B 两点，若2AB BF =，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. 30x y ±=B. 0y ±=C.)10x y ±=D.)10x y ±=第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 根据下列算法语句，当输入x 为80时，输出y 的值为______.14. 已知()()2*0121,2nnn x a a x a x a xn N n +=++++∈≥L ，若02a ，1a ，2a 成等差数列，则n =______.15. 已知非负实数a ，b 满足2a b +≤，则关于x 的方程220x ax b ++=有实根的概率是______. 16. 在四面体ABCD 中，已知2AB BD DC CA ====，则此四面体体积的最大值是______. 三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知正数数列{}n a 的前n 项和n S 满足()*11n n a a S S n N =+∈. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n nnb a =，求证：122n b b b +++<L . 18. 如图，已知AB 是半径为2的半球O 的直径，P ，D 为球面上的两点且60DAB PAB ∠=∠=︒，6PD =.（Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面DAB ； （Ⅱ）求二面角B AP D --的余弦值. 19. 已知函数()sin 1f x x x =-.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程； （Ⅱ）判断()f x 在()0,π内的零点个数，并加以证明.20. 某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A ，B 两种奶制品.生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元.要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产A ，B 两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W （单位：吨）是一个随机变量，其分布列为该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z （单位：元）是一个随机变量.（Ⅰ）求Z 的分布列和均值；（Ⅱ）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率. 21. 已知曲线1C 上任意一点M 到直线l ：4y =的距离是它到点()0,1F 距离的2倍；曲线2C 是以原点为顶点，F 为焦点的抛物线. （Ⅰ）求1C ，2C 的方程；（Ⅱ）设过点F 的动直线与曲线2C 相交于A ，B 两点，分别以A ，B 为切点引曲线2C 的两条切线1l ，2l ，设1l ，2l 相交于点P .连接PF 的直线交曲线1C 于C ，D 两点. （i ）求证：CD AB ⊥；（ii ）求AD CB ⋅u u u r u u u r的最小值.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2222111t x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（t 为参数）.在极坐标系（与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线的方程为sin 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设P 是曲线C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值. 23. 选修4—5：不等式选讲（Ⅰ）设a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=，证明：1119a b c++≥； （Ⅱ）解关于x 不等式：2323x x x x <-<.雅礼中学2020届高三月考试卷（三）数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1-5：ADCDA6-10：DBCAB11-12：CC11. C 【解析】易知①正确，③错误，因此选C.12. C 【解析】由双曲线的定义可知12112a BF BF BF AB AF =-=-=，2124AF a AF a =+=，在12AF F ∆中，()()()()()22212224cos 222a c a bAF F c a c +-=∠=，整理得22220b ab a --=.解得1ba=，所以双曲线的渐近线方程为(1y x =±. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 33 14. 4 15.51216.15. 512 【解析】记区域0,02a b a b ≥≥⎧⎨+≤⎩的面积为12S =，区域20,02a b a b b a ≥≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩的面积为1220151126S x dx =+⨯⨯=⎰，因此21512S p S ==.16.【解析】法1：设BC x =，DA y =，则111212V =≤12=.令xy t =，()f t =由()0'f t ==得163t =.故max 1639f f ⎛⎫==⎪⎝⎭，所以max V =.（此时x y ==法2：设BC x =，DA y =，则112V ==≤=（等号成立当且仅当3x y ==）. 三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【解析】（Ⅰ）当1n =时，2111a a a =+，又0n a >，所以12a =；当2n ≥时，()()112222n n n n n a S S a a --=-=---，所以12n n a a -=. 因此{}n a 是以12a =为首项，2为公比的等比数列.故()*2n n a n N =∈.（Ⅱ）令12231232222n n n nT b b b =++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+，① 则234111*********n n n n nT +-=+++⋅⋅⋅++，② ①－②得23111111222222n n n nT +=+++⋅⋅⋅+-，所以2311111122222n n n n T -=++++⋅⋅⋅+-()12222nn ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭.18.【解析】（Ⅰ）在PAB ∆中，过P 作PH AB ⊥于点H ，连接HD .则由Rt APB Rt ADB ∆≅∆，可知DH AB ⊥，且PH DH ==1AH =.又222336PH HD PD +=+==，所以PH HD ⊥，又AB HD H =I ，所以PH ⊥平面ABD ，又PH ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面ABD .（Ⅱ）由（Ⅰ）可知HB 、HD 、HP 两两垂直，故以H 为原点，HB 、HD 、HP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴所示的空间直角坐标系，则()0,0,0H ，()1,0,0A -，()3,0,0B ，()D ，(P ，()AD =u u u r ，(AP =u u u r.设平面APD 的法向量为(),,m x y z =u r ，则由0m AD m AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u ru r u u u r，得()3,1,1m =-u r ；又平面APB 的法向量为()0,1,0n =r .所以5cos ,551m n m n m n⋅===⨯⋅u r ru r r u r r . 又二面角B AP D --与m u r 、n r的夹角相等，因此，二面角B AP D --的余弦值为55.19.【解析】（Ⅰ）()'sin cos f x x x x =+，所以切线方程为'222y f f x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即1y x =-，亦即10x y --=.（Ⅱ）①当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()'sin cos 0f x x x x =+>，所以()f x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，且()010f =-<， 1022f ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，故()f x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦内有唯一的零点1x . ②当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，令()()'g x f x =，则()'2cos sin 0g x x x x =-<，所以 ()g x 在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，且102g π⎛⎫=> ⎪⎝⎭，()0g ππ=-<，所以存在,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0g α=，所以当,2x πα⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()()'0f x g x =>，即()f x 在,2πα⎛⎫⎪⎝⎭递增， 当(),x απ∈时，()()'0f x g x =<，即()f x 在(),απ递减. 又()1022f f ππα⎛⎫>=->⎪⎝⎭，()10f π=-<. 故()f x 在(),απ内有唯一的零点2x .综上，()f x 在()0,π内有且仅有两个零点1x ，2x .20.【解析】（Ⅰ）设每天A ，B 两种产品的生产数量分别为x ，y ，相应的获利为z ，则有()2 1.51.512*200,0x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩， 目标函数为10001200z x y =+.当12W =时，应用线性规划知识由()*可求得 最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=.同理，当15W =时，最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=； 当18W =时，最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=. 故最大获利Z 的分布列为()81600.3102000.5108000.29708E Z =⨯+⨯+⨯=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率()1100000.50.20.7p P Z =>=+=， 由二项分布，3天中至少有一天最大获利超过10000元的概率为()3311110.30.973p p =--=-=.21.【解析】（Ⅰ）设(),M x y ，则由题意有4y =-，化简得：22134x y +=.故1C 的方程为22134x y +=，易知2C 的方程为24x y =. （Ⅱ）（i ）由题意可设AB 的方程为1y kx =+，代入24x y =得2440x kx --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则121244x x k x x +=⎧⎨=-⎩，由214y x =有1'2y x =，所以1l ，2l 的方程分别为2111124y x x x =-，2221124y x x x =-.故1212,24x x x x P +⎛⎫⎪⎝⎭，即()2,1P k -，1PF k k=-，从而CD AB ⊥. （ii ）可设CD 的方程为11y x k=-+，代入22134x y +=得 ()22224384120ky k y k +-+-=，设()33,C x y ，()44,D x y ，则2342234284341243k y y k k y y k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，所以()()AD CB AF FD CF FB ⋅=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rAF CF FD CF F FB F D A FB +=⋅+⋅⋅⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rAF FB FD CF =+u u u r u u u r u u u r u u u r ()()123411114422y y y y =+++-⋅-()()()()1234122444kx kx y y =+++--()()21212343412444k x x k x x y y y y =++++-++()()22291139414344k k t k t +⎛⎫=++=++ ⎪+⎝⎭（其中2433t k =+≥）. 设()()934t t f t t =+≥，则()2229491044'f t t t t -=-=>，故()f t 在[)3,+∞单调递增，因此 139133374444t A B t D C ⎛⎫=++≥++= ⎪⎭⋅⎝=u u u r u u u r ，当且仅当3t =即0k =等号成立.故AD CB ⋅u u u r u u u r的最小值为7.22.【解析】（Ⅰ）因为222222221111t t x y t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以曲线C 的普通方程为221x y +=.sin 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭展开得sin cos 3ρθρθ-=，即3y x -=，因此直线l 的直角坐标方程为30x y -+=.（Ⅱ）设()cos ,sin P θθ，则点P 到直线l 的距离为d ==12≤+.等号成立当且仅当sin 14πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即()724k k Z πθπ=+∈，即22P ⎛- ⎝⎭.因此点P 到直线l 的距离的最大值为12+. 23.【解析】（Ⅰ）由柯西不等式有()2111a b ca b c ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭9=， 所以有1119a b c++≥. （另解()111111a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭ 332229b a c a c b a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++≥+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭） （Ⅱ）由2323x x x x <-<有x x <可知0x <.因此原不等式等价于 2323x x x x <-<-，即21231x x >->-.解之得103x -<<. 因此原不等式的解集为1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭.。

雅礼中学2020届高三月考试卷（五）数学（理科）一、选择题1.复数z 满足()214z i i +=，则复数z 的共轭复数z =（ ）A. 2B. -2C. 2i -D. 2i【答案】A【分析】根据复数的乘法与除法运算,化简即可求得复数z .结合共轭复数的定义即可得z .【详解】将式子()214z i i +=化简可得 ()244221ii z ii ===+ 根据共轭复数定义可知2z =故选:A【点睛】本题考查了复数乘法与除法的运算,共轭复数的概念,属于基础题.2.已知命题p ：x R ∀∈，2230x x -+≥；命题q ：若22a b <，则a b <，下列命题为假命题的是（ ）A. p q ∨B. ()p q ∨⌝C. p q ⌝∨D. ()p q ⌝∨⌝【答案】C【分析】解不等式可判断命题p ,根据不等式性质可判断q ,即可由复合命题的性质判断命题真假.【详解】命题p :x R ∀∈,2230x x -+≥因为()2120x -+≥,所以命题p 为真命题命题q ：若22a b <,则a b <,当1,4a b ==-时不等式不成立,所以命题q 为假命题由复合命题真假判断可知p q ∨为真命题;()p q ∨⌝为真命题;p q ⌝∨为假命题;()p q ⌝∨⌝为真命题 综上可知,C 为假命题 故选:C【点睛】本题考查了命题真假的判断,复合命题真假的判断,属于基础题. 3.已知3na x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中各项的二项式系数之和为32，且各项系数和为243，则展开式中7x 的系数为（ ）A. 20B. 30C. 40D. 50【答案】C 【分析】根据二项式系数和可求得n 的值,由各项系数和可求得a 的值,进而由二项定理展开式的通项求得7x 的系数即可. 【详解】因为3n a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中各项的二项式系数之和为32 则232n =,解得5n = 所以二项式53a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 因为53a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式各项系数和为243 令1x =,代入可得()5512433a ==+ 解得2a = 所以二项式为532x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 则该二项式展开式的通项为()5315415522rr r r r r r T C x C x x --+⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭ 所以当展开式为7x 时,即1547r x x -= 解得2r =则展开式的系数为225241040C ⋅=⨯= 故选：C【点睛】本题考查了二项定理的综合应用,二项式系数与项的系数概念,二项展开式的通项及应用,属于基础题.4.中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样的一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起其因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达了目的地，问此人第三天走的路程里数为（ ）A. 192B. 48C. 24D. 88 【答案】B【分析】根据题意可知此人行走的里程数为等比数列,设出第一天行走的里程,即可由等比数列的前n 项和公式,求得首项.即可求得第三天行走的路程里数.【详解】由题意可知此人行走的里程数为等比数列设第一天行走的路程为m ,且等比数列的公比为12q =则由等比数列的前n 项和公式()111n n a q S q -=- 代入可得6112378112m ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=- 解得192m = 根据等比数列的通项公式11n n a a q -=代入可得231192482a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭ 故选:B 【点睛】本题考查了等比数列通项公式及前n 项和公式的实际应用,对题意理解要正确,属于基础题. 5.ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，且2c a =，则sin B 的值为（ ） A. 34B. C. 1D. 【答案】B【分析】根据sin A ,sin B ,sin C 成等比数列,再由正弦定理可得2b ac =.结合2c a =,代入余弦定理,即可求得cos B ,再由同角三角函数关系式即可求得sin B .【详解】因为sin A ,sin B ,sin C 成等比数列则2sin sin sin B A C =⋅ 由正弦定理sin ,sin ,sin ,222a b c A B B R R R===代入可得2b ac = 又因为2c a =,代入余弦定理2222cos b a c ac B =+- 代入化简可得2223cos 24b ac B ac +-== 因为0B π<<,所以sin 0B >而由同角三角函数关系式,可知sin B === 故选:B 【点睛】本题考查了等比中项定义及应用,正弦定理与余弦定理解三角形,同角三角函数关系式应用,综合性强,但难度不大,属于中档题.6.执行如图所示的程序框图，若输出的ｋ＝6，则输入整数p 的最大值是（ ）。

湖南省长沙市雅礼中学2020届高三月考（六）数学（理）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x ∈N |x ≤3}，B ＝{x |﹣1≤x ≤5}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2，3}B ．{0，1，2}C ．{0，1，2，3}D ．{﹣1，0，1，2，3}2．若复数z 满足|z +1|+|z ﹣1|＝4，则|z|的最小值为（ ） A ．1B ．√2C ．√3D ．23．已知a →=(−2，−1)，b →=(λ，1)，则λ＞−12是“a →与b →的夹角为钝角”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充分必要D ．既不充分也不必要4．函数y ＝xlnx 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．5．在等差数列{a n }中，其公差d ≠0，若S 7＝S 12，现有以下四个命题：①S 19＝0；②S 10＝S 9；③若d ＞0，则S n 有最大值；④若d ＞0，则S n 有最小值． 则关于这四个命题，正确的是（ ） A ．①②③B ．①②④C ．①④D ．②③．6．甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相，则甲．乙两人中至少有一人站在两端的概率为（ ） A ．56B ．12C ．13D ．237．在空间中，a 、b 、c 是三条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b B ．若a ⊂α，b ⊂β，则a ⊥bC ．若a ∥α，b ∥β，α∥β，则a ∥bD ．若α∥β，a ⊂α，则a ∥β8．已知变量x ，y 之间的线性回归方程为y =−0.7x +10.3，且变量x ，y 之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（ ） x 6 8 10 12 y6m32A ．变量x ，y 之间呈现负相关关系B ．可以预测，当x ＝20时，y ＝﹣3.7C ．m ＝4D ．该回归直线必过点（9，4） 9．cos10°sin10°−4cos10°＝（ ） A ．1B ．√2C ．√3D ．210．设a =log 23，b =log 45，c =212，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＞c ＞bB ．a ＞b ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞＞a11．在数列{a n }中，a 1＝a ，a n +1＝2a n ﹣1，若a n 为递增数列，则a 的取值范围为（ ） A ．a ＞0B ．a ＞1C ．a ＞2D ．a ＞312．双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)上存在一点P ，使sin∠PF 2F1sin∠PF 1F 2=ca ，则双曲线C 的离心率的取值范围为（ ） A ．(1，1+√2)B ．（1，2]C ．(1+√2，+∞)D ．[2，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若x ，y 满足约束条件{x −y +1≥0x +y −3≥0x −3≤0，则z ＝x ﹣2y 的最小值为 ．14．点P 为椭圆C ：x 2a 2+y 2a 2−1=1（a ＞1）上的任意﹣一点，AB 为圆M ：（x ﹣1）2+y 2＝1的任意一条直径，若PA →⋅PB →的最大值为15，则a ＝ ．15．在（x +y +z ）6的展开式中，所有形如x 3y a z b （a ∈N ，B ∈N ）的项的系数之和为 ． 16．函数f （x ）=1sinx+8cosx(0＜x ＜π2)的最小值为 ．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知（a +b ）（sin A ﹣sin B ）＝（c ﹣b ）sin C ． （1）求角A 的大小； （2）求b+c a的取值范围．18．（12分）在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，所有棱长均为2，∠AA 1D 1＝∠AA 1B 1＝60°，∠D 1A 1B 1＝90°． （1）求证：A 1C ⊥B 1D 1； （2）求对角线AC 1的长；（3）求二面角C 1﹣AB 1﹣D 1的平面角的余弦值的大小．19．（12分）已知中心在原点的双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，且该双曲线过点（2，2）． （1）求双曲线C 的标准方程；（2）点A 为双曲线C 上任一点，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，过其中的一个焦点作∠F 1AF 2的角平分线的垂线，垂足为点P ，求点P 的轨迹方程． 20．（12分）已知函数f （x ）＝lnx ﹣ax +a ，a ∈R ． （1）求f （x ）的单调区间；（2）当x ≥1时，恒有g （x ）＝（x +1）f （x ）﹣lnx ≤0恒成立，求a 的取值范围..21．（12分）现有甲、乙、丙、丁四个人相互之间传球，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙、丙、丁中的任何一个人，依此类推．（1）通过三次传球后，球经过乙的次数为ξ，求ξ的分布列和期望； （2）设经过n 次传球后，球落在甲手上的概率为a n ， （i ）求a 1，a 2，a n ；（ii ）探究：随着传球的次数足够多，球落在甲、乙、丙、丁每个人手上的概率是否相等，并简单说明理由．请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l 的参数方程为{x =1+t y =3+2t （t 为参数），曲线C 的极坐标方程为ρ2=91+8sin 2θ．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，P （1，3），求1|PA|+1|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x ﹣1|+|2x ﹣6|（x ∈R ），记f （x ）的最小值为c ． （1）求c 的值；（2）若实数a 、b 满足a ＞0，b ＞0，a +b ＝c ，求a 2a+1+b 2b+1的最小值．一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．【详解详析】∵集合A ＝{x ∈N |x ≤3}＝{0，1，2，3}， B ＝{x |﹣1≤x ≤5}， ∴A ∩B ＝{0，1，2，3}． 故选：C ．2．【详解详析】设z 对应的点为（x ，y ），则x 24+y 23=1，所以 |z|最小值=√3． 故选：C ．3．【详解详析】∵a →=(−2，−1)，b →=(λ，1)， ∴a →与b →的夹角为钝角⇔﹣2λ﹣1＜0且﹣2+λ≠0， 即λ＞−12且λ≠2．∴λ＞−12是“a →与b →的夹角为钝角”的必要不充分条件．故选：B ．4．【详解详析】当x →0+时，lnx →﹣∞，∴xlnx ＜0，排除A 、B 选项， 当x →+∞时，xlnx →+∞，排除C 选项， 故选：D ．5．【详解详析】在等差数列{a n }中，其公差d ≠0，若S 7＝S 12， 则：a 8+a 9+a 10+a 11+a 12＝0，整理得5a 10＝0， 所以a 10＝0， 所以A ：S 19=19(a 1+a 19)2=19a 10＝0．B ：由S 10＝S 9；整理得a 10＝0，C ：若d ＞0，则S n 有=na 1+n(n−1)2d =d 2n 2+(a 1−d2)n ，所以S n 有最小值． 故；①②④正确． 故选：B ．6．【详解详析】∵甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相，基本事件总数n=A44=24，甲、乙两人中至少有一人站在两端包含的基本事件个数m=A44−A22A22=20，∴甲．乙两人中至少有一人站在两端的概率为：P=mn =2024=56．故选：A．7．【详解详析】对于选项A：若a⊥c，b⊥c，则a和b可能是异面直线，故错误．对于选项B：若a⊂α，b⊂β，则a和b不能判定有垂直和平行的关系，故错误．对于选项C：若a∥α，b∥β，α∥β，则a和b可能异面，故错误．对于选项D：若α∥β，a⊂α，则a∥β，正确．故选：D．8．【详解详析】对于A：根据b的正负即可判断正负相关关系．线性回归方程为y=−0.7x+10.3，b＝﹣0.7＜0，负相关．对于B，当x＝20时，代入可得y＝﹣3.7．对于C：根据表中数据：x=14(6+8+10+12)=9．可得y=−0.7×9+10.3=4．即14(6+m+3+2)=4，解得：m＝5．对于D：由线性回归方程一定过（x，y），即（9，4）．故选：C．9．【详解详析】原式=cos10°−2sin20°sin10°=cos10°−2sin(30°−10°)sin10°=√3sin10°sin10°=√3．故选：C．10．【详解详析】log23＞log2232＞log2√5=log45，∴a＞32＞b，又log45＜log4443=43＜212＜32，∴a＞c＞b．故选：A．11．【详解详析】∴a n+1＝2a n﹣1，∴a n+1﹣1＝2（a n﹣1），∴a n+1−1a n−1=2，又∵a1﹣1＝a﹣1，∴数列{a n﹣1}是首项为a﹣1，公比为2的等比数列，∴a n−1=(a−1)2n−1，∴a n =(a −1)2n−1+1， 又∵{a n }为递增数列，∴a n+1−a n =(a −1)2n −(a −1)2n−1=12(a −1)2n ＞0， ∴a ﹣1＞0，∴a ＞1， 故选：B ．12．【详解详析】设P 在右支上，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ﹣n ＝2a ， 又因为sin∠PF 2F 1sin∠PF 1F 2=c a =m n ，可得c−a a=m−n n，所以2a n =c−a a，所以n =2a 2c−a ＞c ﹣a ，即c 2﹣2ac ﹣a 2＜0，即e 2﹣2e ﹣1＜0，解得1−√2＜e ＜1+√2， 由于e ＞1，所以可得1＜e ＜1+√2， 故选：A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．【详解详析】由约束条件{x −y +1≥0x +y −3≥0x −3≤0作出可行域如图，联立{x =3x −y +1=0，解得B （3，4）．化目标函数z ＝x ﹣2y 为y =12x −12z ，由图可知，当直线y =12x −12z 过B （3，4）时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为：3﹣2×4＝﹣5．故答案为：﹣5．14．【详解详析】圆M ：（x ﹣1）2+y 2＝1的圆心M （1，0），半径为1， AB 为圆M 的直径，可得MB →=−MA →， 椭圆C ：x 2a 2+y 2a 2−1=1（a ＞1）的焦点为（﹣1，0），（1，0），则PA →⋅PB →=（PM →+MA →）•（PM →+MB →）＝（PM →+MA →）•（PM →−MA →）＝|PM →|2﹣|MA →|2＝|PM →|2﹣1，又P 为椭圆上一点，M为椭圆的右焦点，可得|PM →|2﹣|MA →|2≤（a +c ）2﹣1＝15，当P 为椭圆的左顶点（﹣a ，0），上式取得等号， 则a +c ＝4，又c ＝1，可得a ＝3． 故答案为：3．15．【详解详析】（x +y +z ）6表示6个因式（x +y +z ）的乘积，其中有3个因式都取x ，得C 63⋅x 3，另外的三个因式取y 或z ，即可得到形如x 3y a z b （a ∈N ，B ∈N ）的项． 而（y +z ）3的各项系数和为23，故所有形如x 3y a z b （a ∈N ，B ∈N ）的项的系数之和为C 63•23＝160，故答案为：160． 16．【详解详析】f′(x)=−cosx sin 2x+8sinx cos 2x=8sin 3x−cos 3x (sinxcosx)2=(2sinx−cosx)(4sin 2x+2sinxcosx+cos 2x)(sinxcosx)2，由f ′（x ）＝0可得cos x ＝2sin x 即tan x =12， 又因为0＜x ＜12π，根据导数与单调性的关系可知，当tan x =12时，函数取得最小值，此时sin x =5cos x =5，故f （x ）min ＝5√5．故答案为：5√5．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．【详解详析】（1）∵（a +b ）（sin A ﹣sin B ）＝（c ﹣b ）sin C ． 由正弦定理可得：（a +b ）（a ﹣b ）＝（c ﹣b ）c ． 化为b 2+c 2﹣a 2＝bc ， 由余弦定理可得：cos A =b 2+c 2−a 22bc=12，∵A ∈（0，π）， ∴A =π3． （2）∵A =π3， ∴a 2＝b 2+c 2﹣bc ≥(b+c)22−（b+c 2）2=(b+c)24，∴（b+c a）2≤4，∴b+c a≤2，可得b+c a的最大值为2，又b +c ＞a ， ∴b+c a的取值范围为（1，2]．18．【详解详析】（1）证明：（1）∵在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，所有棱长均为2， ∴AD 1＝AB 1＝2，连结A 1C 1，B 1D 1，交于点O ，连结AO ， ∵∠AA 1D 1＝∠AA 1B 1＝60°，∠D 1A 1B 1＝90°．∴AO ⊥B 1D 1， ∵四边形A 1B 1C 1D 1为正方形，∴B 1D 1⊥A 1C 1， ∴B 1D 1⊥平面A 1ACC 1，∵A 1C ⊂平面A 1ACC 1，∴B 1D 1⊥A 1C ．（2）解：在△AB 1D 1中，AO =√2，A 1O =√2，AA 1＝2， ∴AO 2+A 1O 2=A 1A 2，∴AO ⊥A 1O ， ∵AO ⊥B 1D 1，∴AO ⊥平面A 1B 1C 1D 1， ∴AO ⊥OC 1，∴AC 1=√AO 2+OC 12=2． （3）解：由（2）知AO ⊥平面A 1B 1C 1D 1，以点O 为原点，OA 1为x 轴，OB 1为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系， A （0，0，√2），B 1（0，√2，0），C 1（−√2，0，0）， AB 1→=（0，√2，−√2），AC 1→=（−√2，0，−√2），设平面AB 1C 1的法向量m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅AB 1→=√2y −√2z =0m →⋅AC 1→=−√2x −√2z =0，取x ＝1，得m →=（1，﹣1，﹣1）， 平面AB 1D 1的法向量n →=（1，0，0）， 设二面角C 1﹣AB 1﹣D 1的平面角为θ， 则cosθ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√3=√33， ∴二面角C 1﹣AB 1﹣D 1的平面角的余弦值为√33．19．【详解详析】（1）根据题意，双曲线的渐近线方程是y ＝±2x ，则设双曲线方程为：4x 2﹣y 2＝λ，（λ≠0）， 点（2，2）代入得：λ＝12， 则双曲线方程为：4x 2﹣y 2＝12， 即x 23−y 212=1，（2）∵F 1，F 2是双曲线x 23−y 212=1的左右焦点，过F 2作角的平分线AB 的垂线，垂足为P ，并且交AF 1于Q ，连接OP ，则OP =∥12F 1Q ，由角的平分线定理可得：|AQ |＝|AF 2|，∴|F 1Q |＝|AF 1|﹣|AQ |＝|AF 1|﹣|AF 2|＝2a ，∴|OP |＝a =√3，由圆的定义可知，点P 的轨迹是以点O 为圆心，√3为半径的圆，所以P 的轨迹方程为：x 2+y 2＝3．20．【详解详析】（1）函数的定义域（0，+∞），f′(x)=1x −a =1−ax x，（i ）当a ≤0时，f ′（x ）＞0恒成立，f （x ）在（0，+∞）上单调递增，（ii ）当a ＞0时，由f ′（x ）＞0可得，0＜x ＜1a ，此时函数单调递增，由f ′（x ）＜0可得，x ＞1a ，此时函数单调递减，（2）当x ≥1时，g （x ）＝（x +1）（lnx ﹣ax +a ）﹣lnx ＝xlnx ﹣ax 2+a ，g ′（x ）＝lnx +1﹣2ax ， 令h （x ）＝lnx +1﹣2ax ，则h ′（x ）=1x −2a ，（i ）当a ≤0时，h ′（x ）＞0恒成立，h （x ）在[1，+∞）上单调递增，h （x ）≥h （1）＝1﹣2a ＞0， 即g ′（x ）》0，故g （x ）在[1，+∞）上单调递增，g （x ）≥g （1）＝0，不合题意；（ii ）当0＜a ＜12时，h （x ）在[1，12a ]上单调递增，h （x ）≥h （1）＝1﹣2a ＞0，此时g （x ）在[1，12a ]上单调递增，所以g （12a ）＞g （1）＝0，不合题意；（iii ）当a ≥12时，h ′（x ）≤0，h （x ）在[1，+∞）上单调递减，所以h （x ）≤h （1）＝1﹣2a ＜0，故g ′（x ）≤0， 所以g （x ）在[1，+∞）上单调递减，所以g （x ）≤g （1）＝0，所以g （x ）≤0恒成立． 21．【详解详析】（1）由题意得ξ的取值为0，1，2， P （ξ＝0）=23×23×23=827，P （ξ＝1）=13×1×23+23×13×1+23×23×13=1627，P （ξ＝2）=13×1×13=19， ∴ξ的分布列为： ξ 0 1 2 P827162719∴E （ξ）=0×827+1×1627+2×19=2227． （2）（i ）由题意可知，a 1=0，a 2=13，a n =13(1−a n−1)，n ≥2，∴a n −14=−13（a n−1−14），（n ≥2）， ∴a n −14=（a 1−14）×（−13）n ﹣1， ∴a n =14−14×(−13)n−1．11 （ii ）由（i ）可知，当n →+∞时，a n →14， ∴当传球次数足够多时，球落在甲手上的概率趋向于一个常数14，又第一次从甲开始传球，而且每一次都是等可能地把球传给任何一个人，∴球落在每个人手上的概率都相等，∴球落在乙、丙、丁手上的概率为（1−14）÷3=14，∴随着传球的次数足够多，球落在甲、乙、丙、丁每个人手上的概率相等，都是14． 请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【详解详析】（1）直线l 的参数方程为 {x =1+t y =3+2t（t 为参数），消去参数，可得直线l 的普通方程y ＝2x +1，曲线C 的极坐标方程为ρ2=91+8sin 2θ，即8ρ2sin 2θ+ρ2＝9，∴x 2+y 2+8y 2＝9，∴曲线C 的直角坐标方程为x 29+y 2＝1；（2）直线的参数方程改写为 {x =1+√55t y =3+2√55t（t 为参数）， 代入x 29+y 2＝1，375t 2√5t +73＝0，t 1+t 2=−√5375，t 1t 2=73375， 1|PA|+1|PB|=|t 1−t 2t 1t 2|=√5×73=22√573． ∴当直线l 与曲线C 相交时，1|PA|+1|PB|=22√573． [选修4-5：不等式选讲]23．【详解详析】（1）f （x ）＝|x ﹣1|+|2x ﹣6＝|x ﹣1|+|x ﹣3|+|x ﹣3|，f （x ）表示数轴上的点到数轴上1，3，3对应点的距离之和．∴f （x ）min ＝f （3）＝2，∴c ＝2．（2）∵a +b ＝2，∴a 2a+1+b 2b+1=14[（a +1）+（b +1）]（a 2a+1+b 2b+1）； =14[a 2+b 2+(b+1)a 2a+1+(a+1)b 2b+1]≥14（a 2+b 2+2ab ）=14（a +b ）2＝1；当且仅当{a +b =2(b+1)a 2a+1=(a+1)b 2b+1，即{a =1b =1时，有最小值1．。

雅礼中学2020届高三月考试卷(一)数学(理科)本试卷分第I 卷(选择题)和第I 卷(非选择题)两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 的共轭复数z 满足：()12i z i -=，则复数z 等于（ ） A. 1i + B. 1i -+ C. 1i - D. 1i --【答案】D 【解析】 【分析】由()12i z i -=得出21iz i=-，利用复数的除法法则求出z ，利用共轭复数的概念可求出复数z .【详解】()12i z i -=Q ，()()()()2121211112i i i i z i i i i +-∴====-+--+，因此，1i z =--， 故选：D.【点睛】本题考查复数的除法运算，同时也考查了共轭复数计算，考查计算能力，属于基础题.2.已知集合{}{}/10,/A x x B x x a =-<<=≤,若A B ⊆,则a 的取值范围为( ) A. (,0]-∞ B. [0,)+∞C. (),0-∞D. ()0,∞+【答案】B 【解析】 【分析】画出集合,A B 的数轴表示,利用数轴解题.【详解】画出集合A,B 的数轴表示,因为A B ⊆,所以0a ≥,故选B. 考点：集合包含关系判断及其应用3.在ABC △中,(BC uuu r +BA u u u r )·AC u u u r =|AC u u u r|2,则ABC △的形状一定是 A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形【答案】C 【解析】由(BC uuu r +BA u u u r)·AC u u u r =|AC u u u r |2,得AC u u u r ·(BC uuu r +BA AC -u u u r u u u r )=0,即AC u u u r ·(BC uuu r +BA u u u r +CA u u u r )=0,∴2AC u u u r ·BA u u u r =0,∴AC u u u r ⊥BA u u u r,∴A =90°.即ABC V 的形状一定是直角三角形. 本题选择C 选项.4.我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在222+++⋅⋅⋅x ，这可以通过方程2x x +=确定出来2x =，类似的不难得到11111+=++⋅⋅⋅（ ）51-- 51- 51+ 51-+ 【答案】C 【解析】分析：通过类比推理的方法，得到求值的方法：列方程，求解（舍去负根）即可.详解：由已知代数式求值方法，列方程，求解，舍负根. 可得 11(0)x x x+=> 解得x x ==（舍） 故选C.点睛：类比推理方法的前提是两种对象部分有共同属性，由特殊点向特殊点推理.通过类比推理考核研究问题的深度、思维散发情况和观察的仔细程度.5.()6211x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为（ ） A. 35- B. 5-C. 5D. 35【答案】A 【解析】 【分析】将二项式()6211x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭表示为()666221111x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得出其通项，令x 的指数为零，求出参数的值，再将参数的值代入通项可得出展开式中的常数项.【详解】()666221111x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q ， 展开式通项为()()626628266661111krk r k k r r k k rr C x x C x C x C x x x ----⎛⎫⎛⎫⋅⋅--⋅⋅-=⋅-⋅-⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令620820k r -=⎧⎨-=⎩，得34k r =⎧⎨=⎩，因此，二项式()6211x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为346635C C --=-，故选：A.【点睛】本题考查二项式展开式中指定项系数的计算，解题的关键就是写出二项展开式的通项，根据指数求出参数的值，进而求解，考查计算能力，属于中等题.6.给出三个命题：①直线上有两点到平面的距离相等，则直线平行平面；②夹在两平行平面间的异面直线段的中点的连线平行于这个平面；③过空间一点必有唯一的平面与两异面直线平行.正确的是（ ） A. ②③ B. ①②C. ①②③D. ②【答案】D 【解析】 【分析】通过举反例可判断出命题①的正误；利用平面与平面平行的性质定理以及直线与平面平行的性质定理可判断出命题②的正误；通过实例判断出命题③的正误.【详解】对于命题①，如果这两点在该平面的异侧，则直线与该平面相交，命题①错误； 对于命题②，如下图所示，平面//α平面β，A α∈，C α∈，B β∈，D β∈，且E 、F 分别为AB 、CD 的中点，过点C 作//CG AB 交平面β于点G ，连接BG 、DG .设H 是CG 的中点，则//EH BG ，BG ⊂Q 平面β，EH ⊄平面β，//EH ∴平面β. 同理可得//HF 平面β，EH HF H =Q I ，∴平面//EFH 平面β. 又Q 平面//α平面β，∴平面//EFH 平面α，EF ⊂Q 平面EFH ，//EF ∴平面α，//EF 平面β，命题②正确；对于命题③，如下图所示，设AB 是异面直线a 、b 的公垂线段，E 为AB 上一点，过点E 作//a a '，//b b '，当点E 不与点A 或点B 重合时，a '、b '确定的平面α即为与a 、b 都平行的平面；若点E 与点A 或点B 重合时，则a α⊂或b α⊂，命题③错误.故选：D.【点睛】本题考查线线、线面、面面平行关系的判定与性质，解题时要注意这三种平行关系的相互转化，考查推理能力与空间想象能力，属于中等题.7.执行如图所示的程序框图,若输出k的值为8,则判断框内可填入的条件是()A. s≤34?B. s≤56?C. s≤11 12?D. s≤25 24?【答案】C 【解析】试题分析：模拟执行程序框图，k的值依次为0,2,4,8,，因此1111124612s=++=（此时6k=），因此可填1112s≤，故选C.考点：程序框图及循环结构.8.若01,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得200210x x λ-+<成立是假命题，则实数λ的取值范围是（ ）A. (-∞B. (⎤⎦C. 92⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. {}3【答案】A 【解析】 【分析】由题意得知，全称命题“1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2210x x λ-+≥”是真命题，利用参变量分离法得出12x x λ≤+，然后利用基本不等式求出12x x+的最小值，可得出实数λ的取值范围.【详解】因为01,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得200210x x λ-+<成立是假命题，所以1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2210x x λ-+≥恒成立是真命题， 即1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，12x xλ≤+恒成立是真命题， 当1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦时，由基本不等式得12x x +≥=1,222x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦时，等号成立，λ∴≤λ的取值范围是(-∞，故选：A.【点睛】本题考查利用特称命题的真假求参数的取值范围，在求参数的取值范围时，可灵活利用参变量分离法，转化为函数的最值求解，考查运算求解能力，属于中等题.9.圆锥的母线长为2，其侧面展开图的中心角为θ弧度，过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为2，则θ的取值范围是（ ）A. ),2πB. π⎡⎤⎣⎦C.}D. ,2π⎫⎪⎪⎣⎭【答案】A 【解析】 【分析】设轴截面的中心角为α，过圆锥顶点的截面的顶角为β，且βα≤，由过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为2，明确β能取到2π，从而明确轴截面的中心角为α的范围，进而得到结果. 【详解】设轴截面的中心角为α，过圆锥顶点的截面的顶角为β，且βα≤ 过圆锥顶点的截面的面积为：122sin β2sin β2⨯⨯⨯=， 又过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为2， 故此时β2π=，故απ2π≤＜圆锥底面半径r )2sin22α=∈ ∴侧面展开图的中心角为θ弧度2sin222πsin22απα⨯⨯==∈),2π 故选：A.【点睛】本题考查圆锥侧面展开图扇形圆心角的计算，解题时要弄清楚圆锥底面圆的周长与侧面展开图扇形的互相相等来建立等量关系，考查空间想象能力，属于中等题.10.已知()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，a 为非正的常数，且当0x >时，()2f x ax x =-.若存在实数m n <，使得()f x 的定义域与值域都为[],m n ，则实数a 的取值范围是（） A. ∞(-,1) B. (]1,0-C. (],0∞-D. ∅【答案】B 【解析】 【分析】由题意得出函数()y f x =在R 上单调递减，结合题意得出0m n <<，由题意得出22am m nan n m⎧+=⎨-=⎩，两式相加得出0m n +=，可得出1a m =--，从而可得出实数a 的取值范围. 【详解】Q 函数()y f x =为R 上的奇函数，则()00f =，适合()2f x ax x =-.当0a ≤且0x ≥时，函数()2f x ax x =-为减函数.设0x <，则0x ->，()()()22f x a x x x ax -=⋅---=--， 此时，()()2f x f x x ax =--=+，且该函数在(),0-∞上单调递增，所以，函数()y f x =在实数集R 上单调递减，由题意可得()()f m nf n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，则点(),m n 和点(),n m 在函数()y f x =的图象上，且这两点关于直线y x =对称.若0m n <<，则这两点均为第二象限，都在直线y x =的上方，不可能关于直线y x =对称； 若0n m >>，则这两点均为第四象限，都在直线y x =的下方，不可能关于直线y x =对称. 因此，0m n <<.由()()f m n f n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得22am m n an n m⎧+=⎨-=⎩，两式相加得()()()220a m n m n m n ++--+=， 即()()10m n a m n ++--=，10a n m ∴=-+>（舍去）或0m n +=，则n m =-. 代入2am m n +=，得2am m m +=-，11a m ∴=-->-，又0a ≤Q ，10a ∴-<≤. 因此，实数a 的取值范围是(]1,0-，故选：B.【点睛】本题考查函数单调性的应用，考查函数的定义域与值域问题，解题时要分析出函数的单调性及其他基本性质进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.11.椭圆与双曲线共焦点1F 、2F ，它们的交点P 对两公共焦点1F 、2F 的张角为122F PF θ∠=，椭圆与双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则（ ）A.222212cos sin 1e e θθ+= B. 222212sin cos 1e e θθ+=C. 2212221cos sin e e θθ+=D. 2212221sin cos e e θθ+=【答案】B 【解析】 【分析】设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a ，并设1PF m =，2PF n =，利用椭圆和双曲线的定义以及余弦定理可得出1a 、2a 关于c 的等式，从而可得出1e 、2e 的关系式. 【详解】设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a ，并设1PF m =，2PF n =，焦距为2c ，在12PF F ∆中，由余弦定理得()2222cos22m n mn c θ+-=， 由椭圆和双曲线的定义得1222m n a m n a +=⎧⎨-=⎩，解得1212m a a n a a =+⎧⎨=-⎩.代入()2222cos22m n mn c θ+-=，得()()()()222121212122cos 24a a a a a a a a c θ++--+-=，即()222221221cos 22a a a a c θ++-=，()()222121cos21cos22a a c θθ∴-++=，即22222122sin 2cos 2a a c θθ+=，22221222sin cos 1a a c c θθ∴+=，因此，222212sin cos 1e e θθ+=. 故选：B.【点睛】本题考查共焦点和共交点的椭圆和双曲线的综合问题，要充分结合椭圆、双曲线的定义以及余弦定理列等式求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12.在ABC ∆sin sin A B C +的最大值为（ ）12B. 2【答案】B 【解析】 【分析】 解法1：利用()sin sin A C B =+，得出sin sin A B C +=)sin sin cos C C B C B +，然后利用辅助角公式以sin sin A B C +的最大值；解法2：sin sin A B C +=()()cos cos 2B C B C A --++，然后利用()cos 1B C -≤sin sin A B C +的最大值. 【详解】法1：()sin sin sin sin A B C C B B C +=++cos sin sin sin C B C B B C =+)sin sin cos C C B C B =++≤=2=≤=，当且仅当sin sin B C ==sin A 时，等号成立，sin sin A B C +的最大值为2，故选：B ； 法2：()()cos cossin sin 2B C B C A B C A --++=+1cos 111cos 22222A A A A ++=++≤=≤，当且仅当sin sin 3B C ==，sin 3A =时，等号成立，sin sin A B C +的最大值为2，故选：B.【点睛】本题考查三角形中的最值的求解，涉及到三角恒等变换中的一些变形技巧，解题时要注意化异角为同角，充分利用辅助角公式来求解，考查运算求解能力，属于难题.第Ⅱ卷（共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数sin xy e x =的图象在原点处的切线方程是__________． 【答案】0x y -= 【解析】 【分析】易知原点在函数sin xy e x =的图象上，利用导数求出切线的斜率，然后写出直线的点斜式方程，可得出所求切线方程.【详解】易知原点在函数sin xy e x =的图象上，()sin cos xy e x x '=+，当0x =时，1y '=.因此，所求切线方程为y x =，即0x y -=，故答案为：0x y -=.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数求函数图象的切线方程，解题时要熟悉导数求切线方程的基本步骤，考查计算能力，属于中等题.14.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为,M N 为抛物线上的一点，且满足32NF MN =，则NMF ∠为 . 【答案】【解析】【详解】过N 作NH 垂直准线，垂足为H ， 则|NF|=|NH|，因为32NF =， 所以32NH =， 3cos cos NH NMF MNH MN∴∠=∠==6NMF π∴∠=，故答案为6π.15.已知函数()()2sin 16f x x x R πω⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴为x π=，其中ω为常数，且()1,2ω∈，则函数()f x 的最小正周期为__________．【答案】65π 【解析】 【分析】 由题意得出()62k k Z ππωππ-=+∈，可得出ω的表达式，结合()1,2ω∈可求出ω的值，然后利用正弦型函数的周期公式2T πω=可得出函数()y f x =的最小正周期.【详解】由函数()()2sin 16f x x x R πω⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭图象的一条对称轴为x π=. 可得62k ππωππ-=+，k Z ∈，23k ω∴=+，又()1,2ω∈，53ω∴=.因此，函数()y f x =的最小正周期为26553T ππ==，故答案为：65π. 【点睛】本题考查利用正弦型函数的对称轴求参数，同时也考查了正弦型函数周期的计算，要结合题意得出参数的表达式，结合参数的取值范围求出参数的值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.16.已知实数a 、b 、c 满足a b c <<，6.9a b c ab bc ca ++=⎧⎨++=⎩下列命题中：①01a <<；②13b <<；③34c <<；④()()55b c --的最小值是154，所有真命题为__________． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】构造函数()()()()3269x f x x a x b x c x x abc =-+=----，利用导数分析函数()y f x =的单调性，可得出()()()3 0f x f f ==极小值，()()()14f x f f ==极大值，再由a 、b 、c 为函数()y f x =的三个零点可判断出命题①、②、③的正误，由题中条件得出6b c a +=-，()()2963bc a a a =--=-，代入()()55b c --可判断出命题④的正误.【详解】令()()()()f x x a x b x c =---，则()3269f x x x x abc =-+-.()()() '313f x x x =--，()()()3 0f x f abc f ==-=极小值，()()()14 4f x f abc f ==-=极大值，如下图所示：易知函数() y f x =的三个零点分别为a 、b 、c ，由于a b c <<，由图象可知，01a <<，13b <<，34c <<，则命题①、②、③正确；由题中条件可知6b c a +=-，()()2963bc a a a =--=-. 因此()()()()()2255253562545b bc b c a a a a c -=-++=---+=-+-=211515244a ⎛⎫ ⎪+≥⎝⎭-，命题④也为真命题，故答案为：①②③④.【点睛】本题考查不等式真假的判断，解题的关键就是根据等式结构构造新函数求判断，并将参数转化为函数的零点，在考查函数的综合问题时，要充分利用导数研究函数的单调性，考查函数方程思想，属于难题.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22.23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题:60分.17.已知数列{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，12n n S a a a =+++L . （1）若n S 、98、1n a -成等差数列，求n 的值； （2）证明*n N ∀∈，有312112231222112n n n n a a a S S S S S S ++++++<-L . 【答案】（1）3n =；（2）详见解析. 【解析】 【分析】（1）先利用等比数列的通项公式和前n 项和公式分别求出n a 、n S ，由题意条件得出194n n S a -+=，即为111292224n n ---+=，从而解出n 的值； （2）将112k k k a S S ++裂项为()111112222k k k k k k k k k S S a S S S S S S +++++-==-，利用裂项法求出31212231222n n n a a a S S S S S S +++++L ，再利用放缩法可得出所证不等式. 【详解】（1）由等比数列的通项公式得1111122n n n a --⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭， 由等比数列的前n 项和公式得11111221212n n n S -⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==--， n S Q 、98、1n a -成等差数列，所以，194n n S a -+=，即121192224n n ---+=，化简得11124n -=，解得3n =；（2）()()1111122221,2,3,kkkk k k k k kS SakS S S S S S+++++-==-=⋅⋅⋅Q，且11212nn nS++-=，因此，31212231122311122222222222nn n n n na aaS S S S S S S S S S S S S S++++++⋅⋅⋅+=-+-++-=-L111121121121212nn n n++++=-=-<---.【点睛】本题考查等比数列通项公式与求和公式，同时也考查了裂项求和法，解题时要熟悉裂项求和法对数列通项结构的要求，考查运算求解能力，属于中等题.18.已知在正方体1111ABCD A B C D-中E，F分别是1,DD BD的中点，G在棱CD上，且14CG CD=．（1）求证：1EF B C⊥；（2）求二面角1F EG C--的余弦值．【答案】(1)见解析；（2）二面角1F EG C--的余弦值为1414-.【解析】【详解】试题分析：（1）如图建立空间直角坐标系O xyz-，设正方体棱长为4，则求出相应点和相应向量的坐标可证1EF B C⊥；（2）平面11D DCC的一个法向量为()4,0,0BC=-u u u v，设并求出平面EFG的一个法向量(),,n x y z=v，应用向量的夹角公式，最后由图可知，二面角为钝角，可得到二面角1F EG C--的余弦值．试题解析：（1）如图建立空间直角坐标系O xyz -，设正方体棱长为4，则()()()()()()()110,0,2,2,2,0,0,4,0,4,4,0,0,4,4,4,4,4,0,3,0E F C B C B G ()()12,2,2,4,0,4EF B C =-=--u u u v u u u v，∴()()()12420240EF B C ⋅=⨯-+⨯+-⨯-=u u u v u u u v∴1EF B C ⊥u u u v u u u v，∴1EF B C ⊥（2）平面11D DCC 的一个法向量为()4,0,0BC =-u u u v设平面EFG 的一个法向量为(),,n x y z =v∴00n EF n FG ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 即020x y z x y +-=⎧⎨-+=⎩∴23y x z x =⎧⎨=⎩令1x =，则2,3y z ==，∴可取()1,2,3n =v∴14cos ,144n BC n BC n BC⋅===-⨯⋅u u u v v u u u v vu u u v v 如图可知，二面角为钝角，∴二面角1F EG C --的余弦值为1414-19.某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元），如下图所示：（1）将去年的消费金额超过 3200 元的消费者称为“健身达人”，现从所有“健身达人”中随机抽取 2 人，求至少有 1 位消费者，其去年的消费金额超过 4000 元的概率； （2）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制，详情如下表：预计去年消费金额在(] 0,1600内的消费者今年都将会申请办理普通会员，消费金额在(]1600,3200内的消费者都将会申请办理银卡会员，消费金额在(] 3200,4800内的消费者都将会申请办理金卡会员. 消费者在申请办理会员时，需-次性缴清相应等级的消费金额.该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动，现有如下两种预设方案：方案 1：按分层抽样从普通会员， 银卡会员， 金卡会员中总共抽取 25 位“幸运之星”给予奖励: 普通会员中的“幸运之星”每人奖励 500 元； 银卡会员中的“幸运之星”每人奖励 600 元； 金卡会员中的“幸运之星”每人奖励 800 元.方案 2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从-个装有 3 个白球、 2 个红球（球只有颜色不同）的箱子中， 有放回地摸三次球，每次只能摸-个球.若摸到红球的总数消费金额/元为 2，则可获得 200 元奖励金； 若摸到红球的总数为 3，则可获得 300 元奖励金；其他情况不给予奖励. 规定每位普通会员均可参加 1 次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加 2 次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加 3 次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立） . 以方案 2 的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪-种方案投资较少？并说明理由. 【答案】（1）1933（2）预计方案2投资较少.详见解析 【解析】 【分析】（1）由题意，随机变量X 的可能值为“0,1,2”，得(1)(1)(2)P X P X P X ≥==+=，即可求解。