湖南长沙一中雅礼中学高三联考数学文科

长沙市2024届高三年级统一模拟考试文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则（）A. B. C. D.2.在复平面内表示复数（，为虚数单位）的点位于其次象限，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.3.下列函数中，图象关于原点对称且在定义域内单调递增的是（）A. B.C. D.4.某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机，想听电台的整点报时，则他等待的时间不多于5分钟的概率为（）A. B. C. D.5.设，，表示不同直线，，表示不同平面，下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，，则.真命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 46.若，满意，则的取值范围是（）A. B. C. D.7.已知，是双曲线的上、下焦点，点是其一条渐近线上一点，且以为直径的圆经过点，则的面积为（）A. B. C. D.8.若，，，则的最小值为（）A. 2B. 4C. 6D. 89.已知是函数图象的一个最高点，，是与相邻的两个最低点.若，则的图象对称中心可以是（）A. B. C. D.10.在中，，，，且是的外心，则（）A. 16B. 32C. -16D. -3211.已知抛物线的焦点为，点在上，.若直线与交于另一点，则的值是（）A. 12B. 10C. 9D. 4.512.已知，若函数有三个零点，则实数的取值范围是A. B. C. D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设曲线在点处的切线与直线垂直，则__________．14.在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则__________．15.在正方体中，点在线段上运动，则异面直线与所成角的取值范围是__________．16.中，内角，，所对的边分别为，，.已知，且，则面积的最大值是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列的首项，，且对随意的，都有，数列满意，.（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）求使成立的最小正整数的值.18.如图，已知三棱锥的平面绽开图中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求三棱锥的表面积和体积.19.为了解某校学生参与社区服务的状况，采纳按性别分层抽样的方法进行调查.已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为的样本，得到一周参与社区服务的时间的统计数据好下表：超过1小时不超过1小时男20 8女12 m（Ⅰ）求，；（Ⅱ）能否有95%的把握认为该校学生一周参与社区服务时间是否超过1小时与性别有关？（Ⅲ）以样本中学生参与社区服务时间超过1小时的频率作为该事务发生的概率，现从该校学生中随机调查6名学生，试估计6名学生中一周参与社区服务时间超过1小时的人数.附：0.050 0.010 0.0013.841 6.635 10.82820.已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为、，为椭圆上一点，，且.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆的左、右顶点为、，过、分别作轴的垂直、，椭圆的一条切线与、交于、两点，求证：的定值.21.已知函数， .（Ⅰ）试探讨的单调性；（Ⅱ）记的零点为，的微小值点为，当时，求证.请考生在22、23两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系中，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的参数方程为（为参数），过原点且倾斜角为的直线交于、两点.（Ⅰ）求和的极坐标方程；（Ⅱ）当时，求的取值范围.23.已知函数.（Ⅰ）当，求的取值范围；（Ⅱ）若，对，都有不等式恒成立，求的取值范围.长沙市2024届高三年级统一模拟考试文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】写出集合N，然后对集合M,N取交集即可得到答案.【详解】,则故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简洁题.2.在复平面内表示复数（，为虚数单位）的点位于其次象限，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法运算将复数化简为a+bi的形式，然后依据复数对应点位于其次象限，即可得到m范围. 【详解】,复数对应的点为（），若点位于其次象限，只需m>0,故选：C.【点睛】本题考查复数的有关概念和复数的商的运算，属于基础题.3.下列函数中，图象关于原点对称且在定义域内单调递增的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可知函数为奇函数，由奇函数和单调性对四个选项逐个进行检验即可得到答案.【详解】由函数图象关于原点对称知函数为奇函数，选项B，函数定义域为，不关于原点对称，不具有奇偶性，故解除；选项C，因为f(x)=f（-x）,函数为偶函数，故解除；选项A，函数为奇函数且f’(x)=cosx-1可知函数在定义域上单调递减，故解除；选项D，函数为奇函数，由指数函数单调性可知函数在定义域上单调递增，故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的推断方法，属于基础题.4.某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机，想听电台的整点报时，则他等待的时间不多于5分钟的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由于电台的整点报时之间的间隔60分，等待的时间不多于5分钟，依据几何概型的概率公式可求．【详解】设电台的整点报时之间某刻的时间x，由题意可得，0≤x≤60，等待的时间不多于5分钟的概率为P＝＝，故选：B．【点睛】本题考查几何概型，先要推断概率模型，对于几何概型，它的结果要通过长度、面积或体积之比来得到，属于基础题．5.设，，表示不同直线，，表示不同平面，下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，，则.真命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】利用线面平行和线线平行的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择．【详解】对于①,由平行公理4,可知正确；对于②，若a⊂α，明显结论不成立，故②错误；对于③，若a∥α，b∥α，则a，b可能平行，可能相交，可能异面，故③错误；对于④，a∥β，a⊂α，b⊂β，a与b平行或异面，故④错误；真命题的个数为1个，故选：A.【点睛】本题考查命题真假的推断，考查空间中线线、线面间的位置关系等基础学问，考查空间想象实力，是中档题．6.若，满意，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案.【详解】依据约束条件画出可行域如图，即y=2x-z,由图得当z＝2x﹣y过点O（0，0）时，纵截距最大，z最小为0．当z＝2x﹣y过点B（1，-1）时，纵截距最小，z最大为3．故所求z＝2x﹣y的取值范围是故选：A．【点睛】本题考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值和范围，求目标函数范围的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（肯定要留意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最终通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值，从而得到范围.7.已知，是双曲线的上、下焦点，点是其一条渐近线上一点，且以为直径的圆经过点，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由双曲线方程得到渐近线方程和以为直径的圆的方程，设点P坐标，依据点P在渐近线上和圆上，得点P坐标，从而可得三角形的面积.【详解】等轴双曲线的渐近线方程为，不妨设点在渐近线上，则以为直径的圆为又在圆上，解得，，故选：.【点睛】本题考查双曲线方程和渐近线的简洁应用，考查三角形面积的求法，属于基础题.8.若，，，则的最小值为（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式即可干脆得到所求最小值.【详解】，于是或（舍），当时取等号，则a+b的最小值为4，故选.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值问题，属于基础题.9.已知是函数图象的一个最高点，，是与相邻的两个最低点.若，则的图象对称中心可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据题意可得函数周期，从而得点B,C的坐标，，即是图象的对称中心. 【详解】因为P是函数图象的一个最高点，，是与相邻的两最低点，可知|BC的周期，半个周期为3，则得，，由图像可知（-1,0），都是图象的对称中心，故选：.【点睛】本题考查函数的周期性和对称性，属于基础题.10.在中，，，，且是的外心，则（）A. 16B. 32C. -16D. -32【答案】D【解析】【分析】利用数量积公式和投影的定义计算即可得到答案.【详解】，又是的外心，由投影的定义可知则故选.【点睛】本题考查向量的数量积的运算，考查投影定义的简洁应用，属于基础题.11.已知抛物线的焦点为，点在上，.若直线与交于另一点，则的值是（）A. 12B. 10C. 9D. 4.5【答案】C【解析】【分析】由点A在抛物线上得点A坐标，又F(2,0)，设直线AF方程并与抛物线方程联立，利用抛物线的定义即可得到弦长.【详解】法一：因为在上，所以，解得或（舍去），故直线的方程为，由，消去，得，解得，，由抛物线的定义，得，所以.故选.法二：直线过焦点，，又，所以，故选.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查利用抛物线定义求过焦点的弦长问题，考查学生计算实力.12.已知，若函数有三个零点，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本道题将零点问题转化成交点个数问题，利用数形结合思想，即可。

2019-2019学年度湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考（一）数学（文科）全卷满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试卷和草稿纸上无效。

3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试卷和草稿纸上无效。

考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，只需上交答题卡。

第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑。

1．已知集合{}{}2lg(4),2,0,1,2A x y x B ==-=-，则A B =A ．{}0,1B ．{}1,0,1-C ．{}2,0,1,2-D ．{}1,01,2-2．在复平面内，复数121i i-+的共轭复数对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3执行如图所示的程序图，如果输入1a =，2b =，则输出的a 的值为A ．7B ．8C ．12D ．164．若变量x ，y 满足约束条件30101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为A ．1B ．3C ．4D ．55．已知回归直线的斜率的估计值是1．23，样本点的中心为（4，5），则回归直线的方程是A ． 1.234y x ∧=+B ． 1.230.8y x ∧=+C ． 1.230.08y x ∧=+D ． 1.230.08y x ∧=-6．在数列{}n a 中，11a =，数列{}n a 是以3为公比的等比数列，则20193log a 等于 A ．2017 B ．2018 C ．2019 D ．20207．设()s i n ()c o s ()5f x a x b x παπβ=++++，且(2018)2f =，则(2019)f 等于 A ．2 B ．2- C ．8 D ．8-8．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为A ．32π B．π．52π+．32π+9．将函数sin 2y x =的图象向右平移16π个单位后得到的函数为()f x ，则函数()f x 的图象 A ．关于点（12π，0）对称 B ．关于直线12x π=对称 C ．关于直线512x π=对称 D ．关于点（5,012π）对称 10．若函数6,2()(03log ,2x a x x f x a x -+≤⎧=>⎨+>⎩且1a ≠）的值域是［4，＋∞），则实数a 的取值范围是A ．(1,2]B ．(0,2]C ．[2,)+∞ D．(1 11．已知点F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是饨角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是A ．(1,)+∞B ．(1,2) C．[1,1 D ．(2,)+∞12．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为△ABC 所在平面内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是A ．32-B ．2-C ．43- D ．1- 第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试題考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小題，每小题5分，共20分13．锐角△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，△ABC 的面积为BC ＝_______。

英才大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（六）数 学（时量120分钟，满分150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{A x y ==，{|0}4xB x x =≤-，则A B = （ ）A. ()2,4B. [)2,4C. (]2,4D. φ2. 已知20231i(R)1ia z a +=∈+，若z 纯虚数，则z =（ ）A.B. 1C. 2D.3. 已知等比数列{}n a 的前3项和为168，2542a a -=，则6a =（ ） A. 14B. 12C. 6D. 34. 色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中：已知该产品的色度y 和色差x 之间满足线性相关关系，且ˆˆ0.8yx a =+，现有一对测量数据为(30,23.6)，则该数据的残差为（ ） 色差x 21 23 25 27 色度y 15181920A. 0.96-B. 0.8-C. 0.8D. 0.96为5. 81()y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中26x y 的系数为（ ） A. 28-B. 28C. 84-D. 846. “方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，现有“方斗”容器如图所示，已知4AB =，112A B =，现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度的一半时，用米38kg ，则该“方斗”可盛米的总质量为（ ）A. 74kgB. 114kgC. 76kgD. 112kg7. 学校从高一3名男数学老师和3名女数学老师中选派4人，担任本次模拟考试数学阅卷任务，则在选派的4人中至少有2名男老师的条件下，有2名女老师的概率为（ ） A.45B.34C.35D.12258. 已知对任意实数x 都有()2()(0)1x f x e f x f '=+=-，，若不等式()(1)f x a x <-，（其中1a <）的解集中恰有两个整数，则a 的取值范围是 A. 3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C. 253,32e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 25,13e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 若1,a b c >>∈R ，则下列说法一定正确的是（ ） A. ac bc > B. log 1b a >C.114a b+≤ D. 若4a b +=，则228a b +>10. 抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点（点A 在x 轴的下方），则下列结论正确的是（ ）A. 若8AB =，则AB 中点到y 轴的距离为4B. 弦AB 的中点的轨迹为抛物线C. 若3BF FA =，则直线AB的斜率k =D. 4AF BF +的最小值等于911. 如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，160,2,BAD AB AA P ∠===为1CC 的中点，点Q 满足][()10,1,0,1DQ DC DD λμλμ⎡⎤=+∈∈⎣⎦，则下列结论正确的是（ ）A. 若13λμ+=，则四面体1A BPQ 的体积为定值 B. 若1A BQ △的外心为O ，则11A B AO ⋅为定值2C.若1A Q =，则点QD. 若1λ=且12μ=，则存在点1E A B ∈，使得AE EQ +三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，12. 已知向量()()1,,2,1a m b ==-.若()2a b + ()//2a b - ，则实数m 的值为__________.13. 若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos tan 22sin ααα=-，则tan α＝__________． 14. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，F 为右焦点，过点F 作FA x ⊥轴交双曲线于第一象限内的点A ，点B 与点A 关于原点对称，连接AB ，BF ，当ABF ∠取得最大值时，双曲线的离心率为______．四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.的的15. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．已知cos sin a b C B =． （1）求角B ；（2）过B 作BD BA ⊥，交线段AC 于D ，且2AD DC =，求角C ．16. 在三棱锥S ABC -中，ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC，SA SC ==，,M N 分别为,AB SB 的中点.（1）证明：AC SB ⊥；（2）求二面角N CM B --的正弦值的大小.17. 为落实立德树人的根本任务，坚持“五育”并举，全面推进素质教育，某校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛阶段比赛的12名队员来自3个不同校区，3个校区的队员人数分别是3，4，5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛（每场比赛都采取5局3胜制），根据积分选出最后的冠军.积分规则如下：比赛中以3：0或3：1取胜的队员积3分，失败的队员积0分；以3：2取胜的队员积2分，失败的队员积1分（1）若每名队员获得冠､亚军的可能性相同，则比赛结束后，冠､亚军恰好来自不同校区的概率是多少？ （2）已知第10轮小李对抗小王，设每局比赛小李取胜的概率均为(01)p p <<. ①记小李以3：1取胜的概率为()f p .若当0p p =时，()f p 取最大值.求0p 的值； ②若以①中0p 的值作为p 的值，这轮比赛小李所得积分为X ，求X 分布列及均值，18. 已知()()2,0,2,0B C -为ABC 的两个顶点，P 为ABC 的重心，边,AC AB 上的两条中线长度之和为（1）求点P 轨迹Γ的方程；（2）过C 作不平行于坐标轴的直线交Γ于D ，E 两点，若DM x ⊥轴于点M ，EN x ⊥轴于点N ，直线DN 与EM 交于点Q.的①求证：点Q 在一条定直线上，并求此定直线； ②求DEQ 面积的最大值. 19 给出下列两个定义：I.对于函数()y f x =，定义域为D ，且其在D 上是可导的，若其导函数定义域也为D ，则称该函数是“同定义函数”.II.对于一个“同定义函数”()y f x =，若有以下性质：①()()()f xg f x '=；②()()()f x h f x ='，其中()(),yg x yh x ==为两个新的函数，()y f x '=是()y f x =的导函数.我们将具有其中一个性质的函数()y f x =称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数()y f x =称之为“双向导函数”，将()y g x =称之为“自导函数”.（1）判断函数tan y x =和ln y x =是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写出其对应的“自导函数”；（2）已知命题():p y f x =是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，命题():(,0,1)x q f x k a k a a =⋅∈>≠R .判断命题p 是q 的什么条件，证明你的结论；（3）已知函数()()e axf x x b =-.①若()f x 的“自导函数”是y x =，试求a 的取值范围； ②若1a b ==，且定义()()34e 3xI x f x kx kx =-+，若对任意][1,2,0,k x k ⎡⎤∈∈⎣⎦，不等式()I x c ≤恒成立，求c 的取值范围.参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{A x y ==，{|0}4xB x x =≤-，则A B = （ ）A ()2,4B. [)2,4C. (]2,4D. φ..【答案】B 【解析】【分析】根据函数式有意义列出不等式，求解不等式，利用集合的交集定义即得.【详解】在y =20x -≥得2x ≥，即[)2,A ∞=+，又由04xx ≤-可得：(4)040x x x -≤⎧⎨-≠⎩，解得：04x ≤<，即[)0,4B =， 故[)2,4A B ⋂=. 故选:B. 2. 已知20231i(R)1ia z a +=∈+，若z 为纯虚数，则z =（ ）A.B. 1C. 2D.【答案】B 【解析】【分析】结合虚数单位的性质以及复数的除法运算，化简z ，根据z 为纯虚数求出a 的值，即可求得答案. 【详解】由题意得20231i 1i (1i)(1i)1i 1i (1i)(1i)a a a z ++++====+--+(1)(1)i2a a -++， 因为z 为纯虚数，所以1010a a -=⎧⎨+≠⎩，故1a =，所以i z =，故1z =， 故选：B ．3. 已知等比数列{}n a 的前3项和为168，2542a a -=，则6a =（ ） A. 14 B. 12C. 6D. 3【答案】D 【解析】【分析】设等比数列{}n a 的公比为,0q q ≠，易得1q ≠，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为,0q q ≠， 若1q =，则250a a -=，与题意矛盾，所以1q ≠，则()31123425111168142a q a a a qa a a q a q ⎧-⎪++==⎨-⎪-=-=⎩，解得19612a q =⎧⎪⎨=⎪⎩， 所以5613a a q ==. 故选：D .4. 色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中：已知该产品的色度y 和色差x 之间满足线性相关关系，且ˆˆ0.8yx a =+，现有一对测量数据为(30,23.6)，则该数据的残差为（ ） 色差x 21 23 25 27 色度y 15181920A. 0.96-B. 0.8-C. 0.8D. 0.96【答案】C 【解析】【分析】根据表中的数据求出x ，y ，根据回归直线方程必过样本中心，即可求出ˆa，从而得到回归直线方程，再将30x =代入回归方程，求出预测值，从而求出残差. 【详解】由题意可知，21232527244x +++==，151********y +++==，将()24,18代入ˆˆ0.8yx a =+，即ˆ180.824a =⨯+，解得ˆ 1.2a =-， 所以ˆ0.8 1.2yx =-， 当30x =时，ˆ0.830 1.222.8y=⨯-=， 所以该数据的残差为23.622.80.8-=. 故选：C. 5. 81()y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中26x y 的系数为（ ）A. 28-B. 28C. 84-D. 84【答案】A 【解析】【分析】求出8()x y +展开式的通项，进而多项式的展开运算可得展开式中26x y 的系数. 【详解】8()x y +展开式的通项为88C r rr x y -，则81()y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中含26x y 项为6265352688C C 28y x y x y x y x-=-， 即26x y 的系数为28-. 故选：A.6. “方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，现有“方斗”容器如图所示，已知4AB =，112A B =，现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度的一半时，用米38kg ，则该“方斗”可盛米的总质量为（ ）A. 74kgB. 114kgC. 76kgD. 112kg【答案】D 【解析】【分析】设线段1AA 、1BB 、1CC 、1DD 的中点分别为2A 、2B 、2C 、2D ，利用台体的体积公式计算出棱台1111ABCD A B C D -与棱台11112222A B C D A B C D -的体积之比，即可得出原“方斗”可盛米的总质量. 【详解】设线段1AA 、1BB 、1CC 、1DD 的中点分别为2A 、2B 、2C 、2D ，如下图所示：易知四边形11AA B B 为等腰梯形，因为线段1AA 、1BB 的中点分别为2A 、2B ， 则112242322AB A B A B ++===， 设棱台11112222A B C D A B C D -的高为h ，体积为1V ， 则棱台1111ABCD A B C D -的高为2h ，设其体积为V ，则()221119232333V h h =++⨯=，则()221564224233V h h =++⨯⋅=， 所以，152********h V h V ==，所以，该“方斗”可盛米的总质量为5638112kg 19⨯=.故选：D.7. 学校从高一3名男数学老师和3名女数学老师中选派4人，担任本次模拟考试数学阅卷任务，则在选派的4人中至少有2名男老师的条件下，有2名女老师的概率为（ ） A.45B.34C.35D.1225【答案】B 【解析】【分析】根据条件概率的计算公式，结合组合数的计算公式，即可求解【详解】记“选派4人中至少有2名男老师”为事件A ，“选派4人中有2名女老师”为事件B ，则()223133334645C C C C P A C +==，()22334635C C P B C ==， 显然()()35P AB P B ==，所以()()()()()3|4P AB P B P B A P A P A === 故选：B.8. 已知对任意实数x 都有()2()(0)1x f x e f x f '=+=-，，若不等式()(1)f x a x <-，（其中1a <）的解集中恰有两个整数，则a 的取值范围是 A. 3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C. 253,32e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 25,13e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】.【分析】构造函数()()x f x g x e=，求导利用已知条件，得出()(21)x f x x e =-，求导，得出函数()f x 的单调性，令()(1)h x a x =-，利用()h x 过定点(1,0)以及函数()f x 的图像，数形结合列出不等式组，求解即可.【详解】令()()xf xg x e =()()2()()()2x x xf x f x e f x f xg x e e'-+-'=== ，即()2g x x c =+，(c 为常数) 则()(2)x f x x c e =+因为(0)1f =-，所以1c =-，即()(21)x f x x e =-()(21)x f x x e '=+1()02f x x '>⇒>- ，1()02f x x '<⇒<-()f x ∴在区间1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ 上单调递减，在区间1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增 令()(1)h x a x =-，由于()h x 过定点(1,0)，则函数()f x 和()h x 图像如下图所示要使得()()f x h x <的解集中恰有两个整数，则有253(2)(2)(1)(1)322af eh f h ae⎧-≥-⎪-≥-⎧⎪⎨⎨-<-⎩⎪-<⇒-⎪⎩ 解得：25332a e e≤< 故选C【点睛】本题主要考查了利用导数构造函数以及求参数范围，关键是看出()h x 过定点(1,0)，结合函数()f x 的图像，数形结合来分析问题，属于难题.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 若1,a b c >>∈R ，则下列说法一定正确的是（ ）A. ac bc >B. log 1b a >C. 114a b+≤ D. 若4a b +=，则228a b +> 【答案】BCD【解析】【分析】举例说明判断A ；利用对数函数单调性判断B ；利用不等式性质判断C ；利用基本不等式判断D.【详解】对于A ，当0c =时，0ac bc ==，A 错误；对于B ，由1a b >>，得log log 1b b a b >=，B 正确；对于C ，由1a b >>，得1101a b<<<，则1124a b +<≤，C 正确； 对于D ，由1a b >>，4a b +=，得222a b >>，228a b +>==，D 正确.故选：BCD10. 抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点（点A 在x 轴的下方），则下列结论正确的是（ ）A. 若8AB =，则AB 中点到y 轴距离为4B. 弦AB 的中点的轨迹为抛物线C. 若3BF FA = ，则直线AB的斜率k =D. 4AF BF +的最小值等于9【答案】BCD【解析】【分析】根据焦半径公式及中点坐标公式判断A ，设直线l 方程为1x ty =+并联立抛物线方程，应用韦达定理，利用中点坐标关系表示出中点坐标，消去t 可得轨迹判断B ，结合向量的坐标运算求出点,A B 的坐标，的然后利用两点式斜率公式求解判断C ，由题可得111AF BF+=，然后根据基本不等式求解判断D. 【详解】抛物线2:4C y x =的焦点()1,0F ，准线方程为=1x -，设()()1122,,,A x y B x y ，对于A ，依题意，1228=++==+x A x B AF BF ，解得126x x +=，线段AB 中点的横坐标1232x x +=，该点到y 轴的距离为1232x x +=，A 错误； 对于B ，显然直线l 不垂直于y 轴，设直线l ：1x ty =+，由214x ty y x=+⎧⎨=⎩消去x 得2440y ty --=，()2Δ4160t =-+>， 则124y y t +=，124y y =-，()21212242x x t y y t +=++=+， 设线段AB 中点坐标为(),M x y ，则2121221222x x x t y y y t +⎧==+⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，消去t 可得222y x =-，因此弦AB 中点轨迹为抛物线，B 正确；对于C ，显然2211),)(1,(1,BF x y FA x y =--=- ，由3BF FA = ，得()21131x x -=-，213y y -=，由选项B 知124y y =-，有()21212144y y x x ==⨯，又10y <，则1(,3A，(3,B ， 因此直线AB的斜率1212y y k x x -===-C 正确； 对于D ，由选项B 知124y y =-，121=x x ， 则12121212121222111111112x x x x AF BF x x x x x x x x +++++=+===+++++++，因此4114(4)()559BF AF AF BF AF BF AF BF AF BF +=++=++≥+， 当且仅当4AF BFBF AF =，即23BF AF ==时取得等号，D 正确. 故选：BCD的11. 如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，160,2,BAD AB AA P ∠===为1CC 的中点，点Q 满足][()10,1,0,1DQ DC DD λμλμ⎡⎤=+∈∈⎣⎦ ，则下列结论正确的是（ ）A. 若13λμ+=，则四面体1A BPQ 的体积为定值 B. 若1A BQ △的外心为O ，则11A B AO ⋅ 为定值2C. 若1A Q =，则点QD. 若1λ=且12μ=，则存在点1E A B ∈，使得AE EQ +【答案】ACD【解析】 【分析】A 选项，作出辅助线，结合空间向量基本定理得到,,W Q F 三点共线，得到//WF 平面1PA B ，故点Q 为平面1PA B 的距离为定值，四面体1A BPQ 的体积为定值，A 正确；B 选项，作出辅助线，结合空间向量数量积的几何意义得到11114A B A O A B AT ⋅=⋅= ；C 选项，建立空间直角坐标系，设()0,2,2Q λμ，表达出()()2221222λμ++-=，故Q 点的轨迹为以()1,2S -为半径的圆，落在正方形11CDD C 内的部分，结合弧长公式求出答案；D 选项，求出()0,2,1Q ，)2,2E a a -，得到AE EQ +=，画出图形，数形结合得到其最小值.【详解】A 选项，在1,CD DD 上分别取,F W ，使得13DF DC =，113DW DD =， 因为1DQ DC DD λμ=+ ，所以33DQ DF DW λμ=+ ， 因为13λμ+=，所以331λμ+=，即()313DQ DF DW λλ=+- ， 故33DQ DW DF DW λλ--= ，即3WQ WF λ= ，所以,,W Q F 三点共线，因为1//WF CD ，11//A B CD ，所以1//WF AB ，故//WF 平面1PA B ，故点Q 为平面1PA B 的距离为定值，又1PA B S 为定值，故四面体1A BPQ 的体积为定值，A 正确；B 选项，取1A B 的中点T ，因为1A BQ △的外心为O ，所以OT ⊥1A B ，又题意得1A B ==则11114A B A O A B AT ⋅=⋅== ，B 错误；C 选项，取AB 的中点R ，因为底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，故DR ⊥DC ，以D 为坐标原点，以DR ，1,DC DD 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，故)11,2A -，设()0,2,2Q λμ，则1AQ ==， 化简得()()2221222λμ++-=，点Q 满足][()10,1,0,1DQ DC DD λμλμ⎡⎤=+∈∈⎣⎦ ， 即点Q 在正方形11CDD C 内，包括边界，故Q 点的轨迹为以()1,2S -为半径的圆，落在正方形11CDD C 内的部分，如图所示：因为SH =11SD =，故11D H ==，故1SD H 为等腰直角三角形，π4S ∠=，故点Q 的轨迹长度为π4=，C 正确； D 选项，若1λ=且12μ=，112DQ DC DD =+ ， 即()()()10,2,00,0,20,2,12DQ =+= ，即()0,2,1Q ，又)11,2A -，)B ，设()111,,E x y z ，设()[]10,2,2,0,1EB a A B a a a ==-∈ ，即)()111,1,0,2,2x y z a a ---=-，解得11112,2x y a z a ==-=，即)2,2E a a -，AE EQ +===， 如图所示，设11,22KJ GV JG ===，且KJ ⊥JG ，JG ⊥GV ， 在线段JG 上取一点L ，设GL a =，则12LJ a =-，故KL VL +=， 显然，直接连接KV ，此时KL VL +取得最小值，最小值即为KV ，由勾股定理得KV ==，故AE EQ +=的最小值为= D 正确.故选：ACD【点睛】空间向量解决几何最值问题，通常有两种思路：①形化，即用空间向量的几何意义将问题转化为空间几何中的最值或取值范围问题，然后根据图形的特征直接进行求解；②数化，即利用空间向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，12. 已知向量()()1,,2,1a m b ==- .若()2a b + ()//2a b - ，则实数m 的值为__________.【答案】12-##0.5- 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标运算即可.【详解】因为()()1,,2,1a m b ==- ，所以()()24,21,23,2a b m a b m +=--=-+ .又()2a b + ()//2a b - ， 所以()()423210m m ++-=，解得12m =-. 故答案为：12-. 13. 若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos tan 22sin ααα=-，则tan α＝__________．【解析】 【分析】由商数关系，二倍角公式变形后求得sin α，再由同角关系式求得cos α，tan α． 【详解】因为cos tan 22sin ααα=-， 所以2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααααααα===--， 因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以cos 0α≠， 所以22sin 112sin 2sin ααα=--， 解得1sin 4α=，所以cos α==，所以sin tan cos ααα==14. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，F 为右焦点，过点F 作FA x ⊥轴交双曲线于第一象限内的点A ，点B 与点A 关于原点对称，连接AB ，BF ，当ABF ∠取得最大值时，双曲线的离心率为______．【解析】【分析】由条件求tan ABF ∠，结合基本不等式求其取最大值的条件，由此可得,a c 的齐次方程，化简可得双曲线的离心率.【详解】解：如图，根据题意(),0F c ，2,b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,b B c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∴212BF b k k ac ==，2212BA b k k k ac===， 设直线,BA BF 的倾斜角为αβ，，∴()1121112tan tan 1tan tan 11tan tan 122k k ABF k k k αβαβαβ--∠=-===≤-++，当且仅当212b k ac ==即2b =，22c a -=，210e -=，又1e >∴e =四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．已知cos sin a b C B =． （1）求角B ；（2）过B 作BD BA ⊥，交线段AC 于D ，且2AD DC =，求角C ．【答案】（1）2π3 （2）π6【解析】【分析】（1）根据正弦定理结合三角恒等变换求解即可；（2）根据平面向量基本定理可得2133BD BC BA =+ ，再根据BD BA ⊥数量积为0求解得c a =即可. 【小问1详解】由正弦定理得：sin cos sin sin A C B C B =． ∵()πA B C =-+，∴()sin sin A B C =+，∴()sin sin cos cos sin cos sin sin B C B C B C C B C B +=+=∴cos sin sin B C C B =， 又sin 0C ≠，∴tan B =，又B 为三角形内角，∴2π3B =． 【小问2详解】 因为D 在AC 边上，且2AD DC =，所以2133BD BC BA =+ ． 因为BD BA ⊥，所以120033BD BA BA BC BA ⎛⎫⋅=⇒+⋅= ⎪⎝⎭220BA BC BA ⇒+⋅= ， 所以2c ac c a =⇒=．在ABC 中，c a =，2π3B =，∴π6C =．16. 在三棱锥S ABC -中，ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA SC ==，,M N 分别为,AB SB 的中点.（1）证明：AC SB ⊥；（2）求二面角N CM B --的正弦值的大小.【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】（1）取AC 得中点O ，得SO AC ⊥，BO AC ⊥，可知AC ⊥平面SBO ，进而得结论； （2）建立空间直角坐标系，求出平面CMN 与平面MBC 的法向量，根据向量的夹角公式求解.【小问1详解】取AC 得中点O ，连接,SO BO ，SA SC = ，AB BC =，SO AC ∴⊥，BO AC ⊥，又SO BO O ⋂=，SO ⊂平面SBO ，BO ⊂平面SBO ，所以AC ⊥平面SBO ，又SB ⊂平面SBO ，AC SB ∴⊥；【小问2详解】∵平面SAC ⊥平面ABC ，平面SAC 平面ABC AC =，SO ⊂平面SAC ，SO AC ⊥， ∴SO ⊥平面ABC ，以OA 为x 轴，OB 为y 轴，OS 为z 轴建立空间直角坐标系O xyz -,如图，则(2,0,0),(0,(2,0,0),(0,0,A B C S M N -，∴(30),(10CM MN ==-,， 设(),,n x y z = 为平面CMN的一个法向量，则30=0CM n x MN n x ⎧⋅==⎪⎨⋅-=⎪⎩ ， 取1z =，则==x yn =- ，又(0,0,OS =为平面MBC 的一个法向量，1cos ,3n OS n OS n OS ⋅∴===，sin ,n OS ∴= ， 故二面角N CM B --. 17. 为落实立德树人的根本任务，坚持“五育”并举，全面推进素质教育，某校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛阶段比赛的12名队员来自3个不同校区，3个校区的队员人数分别是3，4，5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛（每场比赛都采取5局3胜制），根据积分选出最后的冠军.积分规则如下：比赛中以3：0或3：1取胜的队员积3分，失败的队员积0分；以3：2取胜的队员积2分，失败的队员积1分（1）若每名队员获得冠､亚军的可能性相同，则比赛结束后，冠､亚军恰好来自不同校区的概率是多少？ （2）已知第10轮小李对抗小王，设每局比赛小李取胜的概率均为(01)p p <<.①记小李以3：1取胜的概率为()f p .若当0p p =时，()f p 取最大值.求0p 的值；②若以①中0p 的值作为p 的值，这轮比赛小李所得积分为X ，求X 分布列及均值，【答案】（1）4766（2）①034p =；②分布列见解析，()1323512E X =【解析】【分析】（1）利用互斥事件的概率公式求解即可；（2）由题可得()()331f p p p =-，然后利用导数可求最值，再利用条件可求随机变量的分布列，期望. 【小问1详解】比赛结束后，冠､亚军恰好来自不同校区的概率是111111344535212C C C C C C 47C 66p ++==； 【小问2详解】①由题可知()()()2333C 131f p p p p p =-=-， ()()()()2323311334f p p p p p p '⎡⎤=-+⨯-=-⎣⎦， 令()0f p '=，得34p =， 当30,4p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '>，()f p 在30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 当3,14p ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f p '<，()f p 在3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以()f p 的最大值点034p =； ②X 的可能取值为0,1,2,3，()()()333311333331301C 11C 1444256P X p p p ⎛⎫⎛⎫==-+-=-+⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()2332224433271C 1C 144512P X p p ⎛⎫⎛⎫==-=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()222242243332812C 1C 144451P p X p p ⎛⎫⎛⎫ ⨯==-=⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()3232223333331893C 1C 14444256P X p p p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+-=+⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以X 的分布列为 X 0 1 2 3P 13256 27512 81512 189256X 的期望为()13278118913230123256512512256512E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 18. 已知()()2,0,2,0B C -为ABC 的两个顶点，P 为ABC 的重心，边,AC AB 上的两条中线长度之和为（1）求点P 的轨迹Γ的方程；（2）过C 作不平行于坐标轴的直线交Γ于D ，E 两点，若DM x ⊥轴于点M ，EN x ⊥轴于点N ，直线DN 与EM 交于点Q .①求证：点Q 在一条定直线上，并求此定直线；②求DEQ 面积的最大值.【答案】（1）(22162x y x +=≠ （2）①证明见解析，3x =【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义求解即可；（2）①求出直线DN 与EM 方程，得到Q 点坐标，即可判定；②将面积表示出来，然后换元，利用基本不等式求最值 【小问1详解】 因为P 为ABC的重心，且边,AC AB上的两条中线长度之和为所以23PB PC BC +=⨯=>， 故由椭圆的定义可知P 的轨迹Γ是以()()2,0,2,0B C -为焦点的椭圆（不包括长轴的端点）， 且2a c ==，所以b =，所以P 的轨迹Γ的方程为(22162x y x +=≠. 【小问2详解】.①依题意，设直线DE 方程为()20x my m =+≠. 联立222162x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()223420m y my ++-=， 易知()()222Δ16832410m m m =++=+>设()11,D x y ，()22,E x y ，则12243m y y m +=-+，12223y y m ⋅=-+. 因为DM x ⊥轴，EN x ⊥轴，所以()1,0M x ，()2,0N x .所以直线DN ：()1212y y x x x x =--， 直线EM ：()2121y y x x x x =--， 联立解得()()122112211212121222223Q my y my y x y x y my y x y y y y y y ++++===+=+++. 从而点Q 在定直线3x =上. ②因为1212121113222DEQ Q S EN x x y x y my y =⋅-=⋅-=- ， 又121212my y y y =+，则1211211224DEQ y y S y y y +=-=-==， 1t =>，则2122DEQ t S t t t==≤++ ，当且仅当2t t=，即1m =±时，等号成立， 故DEQ.19. 给出下列两个定义：I.对于函数()y f x =，定义域为D ，且其在D 上是可导的，若其导函数定义域也为D ，则称该函数是“同定义函数”.II.对于一个“同定义函数”()y f x =，若有以下性质：①()()()f x g f x '=；②()()()f x h f x ='，其中()(),yg x yh x ==为两个新的函数，()y f x '=是()y f x =的导函数.我们将具有其中一个性质的函数()y f x =称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数()y f x =称之为“双向导函数”，将()y g x =称之为“自导函数”.（1）判断函数tan y x =和ln y x =是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写出其对应的“自导函数”；（2）已知命题():p y f x =是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，命题():(,0,1)x q f x k a k a a =⋅∈>≠R .判断命题p 是q 的什么条件，证明你的结论；（3）已知函数()()e a xf x x b =-. ①若()f x 的“自导函数”是y x =，试求a 的取值范围；②若1a b ==，且定义()()34e 3x I x f x kx kx =-+，若对任意][1,2,0,k x k ⎡⎤∈∈⎣⎦，不等式()I x c ≤恒成立，求c 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）既不充分也不必要条件；证明见解析（3）452[e ,)3-+∞ 【解析】【分析】（1）由()tan f x x =和()ln f x x =，结合题设中函数的定义，即可得到答案；（2）由q 成立，得到()ln xf x ka a '=，设()lng x x a =，得出()f x 为“单向导函数”，再设()ln xh x a=，得到()f x 为“双向导函数”，结合()g x 不是常值函数，求得p 不是q 的必要条件；再由p 成立，得到()(())f x g f x m '==，进而得出结论；（3）①由题意得到10a ax -=，求得0a =；②由题意求得()22(21)e 4x I x x kx k '=--+且1()02I '=，令()22(21)e 4x p x x kx k =--+，求得()24(e 2)x p x x k '=-，得到存在0x 使得02e 20x k -=，进而得到()p x 单调性，分类讨论，即可求解.【小问1详解】解：对于函数()tan f x x =，则()21tan '=+f x x ， 这两个函数的定义域都是π{|π,Z}2x x k k ≠+∈， 所以函数()f x 为“同定义域函数”，此时，()21g x x =+， 由函数的定义，对于4πx =±，()(())f x h f x '=无法同时成立， 所以()f x 为“单向导函数”，其“自导函数”为()21g x x =+，对于函数()ln f x x =，则()1f x x'=， 因为这两个函数的定义域不同，所以不是“同定义函数”.【小问2详解】解：若q 成立，()x f x ka =，则()ln x f x ka a '=，设()ln g x x a =，则()(())f x g f x '=，所以()f x 为“单向导函数”，又设()ln x h x a=，则()(())f x h f x '=，所以()f x 为“双向导函数”， 但()g x 不是常值函数，所以p 不是q 的必要条件；若p 成立，则()g x m =，所以()(())f x g f x m '==，所以()f x mx n =+，所以q 不成立，所以p 是q 的既不充分也不必要条件.【小问3详解】解：①由题意，()1()e a a x f x ax x b -'=+-，且1()e ()e a a x a x ax x b x b -+-=-，所以10a ax -=，所以0a =；②由题意()234(1)e 3xI x x kx kx =--+，所以()22(21)e 4x I x x kx k '=--+且1()02I '=， 令()[][]22(21)e 4,0,,1,2x p x x kx k x k k =--+∈∈，可得()21e 30p k =->，且()224e 84(e 2)x xp x x kx x k '=-=-， 因为2e 2x y k =-为单调递增函数，且20|120,|e 20k x x k y k y k ===-<=->， 所以存在01ln 2(0,)2x k k =∈使得02e 20x k -=， 且当0[0,]x x ∈时，()0p x '≤，()p x 单调递减；当0[,]x x k ∈时，()0p x '≥，()p x 单调递增，（i ）当011ln 222x k ==时，即e 2k =， 所以2min 0000()()(21)24(21)0p x p x x k kx k k x ==-⋅-+=--=，此时()0I x '≥，()I x 在[0,]x k ∈上单调递增，可得()()max I x I k =；（ii ）当1k =时，(0)110p =-+=，此时()200min 1ln 2,(21)02x p x k x ==--<， 所以当1[0,]2x ∈时，()0I x '≤，()I x 单调递减； 当1[,1]2x ∈时，()0I x '≥，()I x 单调递增，又由()()()10I k I I =>，所以()()max I x I k =；（iii ）当(1,2]k ∈且e 2k ≠时，()20min (21)0,(0)0p x k x p =--<>， 所以函数()I x 在(0,1)上存在两个极值点， 若011ln 222x k =>，即e 22k <≤时，极大值点为12； 若011ln 222x k =<，即e 12k <<时，极大值点为11x 2<， 则()max I x 为函数的极大值或()I k ， 由当102x ≤≤时，()()23242414(1)e 10,(1)e 323x k I x x kx kx k I k k k k =--+≤-+≤=--+， 令()[]2424(1)e ,1,23k t k k k k k =--+∈，则()[]2316(21)e 2,1,23k t k k k k k '=--+∈，设()[]2316(21)e 2,1,23k s k k k k k =--+∈， 则()2224e 1624(e 4)20k k s k k k k k '=-+=-+>， 所以()s k ，即()t k '单调递增，所以()()2161e 203t k t ''≥=-+>， 所以()t k 单调递增，所以()()4522e 03t k t ≤=->， 综上可得，()4max 52e 3I x c =-≤，所以实数c 的取值范围为452[e ,)3-+∞. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．。

湖南省2012届高三·长沙市一中、雅礼中学联考文科数学试卷总分:150分 时量:120分钟 考试时间:2012年3月31日下午2:30～4:30一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡中对应位置. 1.已知全集U R =,集合{}1,2,3,4,[3,A B ==+∞),则图中阴影部分( ) A. {}1,2 B. {}0,1,2 C. {}1,2,3 D. {}0,1,2,3 2.在复平面内,复数1(1)i i -++对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.甲乙两名篮球运动员在某几场比赛得分的茎叶图如左下图所示,则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是( ) A. 56 B. 57 C. 58 D. 594.某程序框图如右上图所示,则输出S 的值是( )A. 22B. 27C. 31D. 565.设椭圆22221x y a b +=、双曲线22221y x a b-=、抛物线22()y a b x =+(其中0a b >>)的离心率依次为123,,e e e ,则下列判断正确的是( )A. 123e e e >B. 123e e e <C. 123e e e =D.12e e 与3e 的大小不确定 6.设,,αβγ为平面,,,m n l 为直线,则l β⊥的一个充分条件是( ) A.,m l m αβ,αβ⊥=⊥ B. ,,l αγαγβγ=⊥⊥ C. ,,l αγβγα⊥⊥⊥ D. ,,n n l αβα⊥⊥⊥7.已知变量,x y 满足420,0x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥≥⎩,若目标函数z mx y =+仅在点(3,1)处取得最大值,则m 的取值范围是( )A. 1m <-B. 1m ≤-C. 1m >D. 1m ≥8.若圆222240x y ax a +++-=关于斜率为k 的直线l 对称,且直线l 与该圆在第一象限内有交点的概率为16,则a 等于( ) A. -1 B. 1 C. 2 D. -1或19.函数()f x 的定义域为D ,若对于任意12,x x D ∈,当12x x <时,都有12()()f x f x ≤,则称函数()f x 在D 上为非减函数,设函数()f x 在[0,1]上为非减函数,且满足以下三个条件,①(0)0f =;②1()()32x f f x =;③(1)1()f x f x -=-,则11()()927f f +等于( ) A. 12 B. 23 C. 34 D. 38二、填空题:本大题共8个小题,考生作答7个小题,每小题5分,共35分,把答案填写在题中的横线上.(一)选做题(请在第10、11两题中任选一题作答,如果全做,则按前一题记分) 10.用0.618法寻找最佳点时,达到精度0.03的要求,至少需 次试验. (参考数据:lg0.6180.209,lg30.4771≈-≈).11.已知曲线1C 的参数方程为1cos (sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数),曲线2C 的极坐标方程为()4R θρπ=∈,若曲线2C 与曲线1C 交于点,A B ,则||AB 的值为 .(二)必做题(12〜16题)12.如图是一个几何体的三视图,其正视图与侧视图是边长为2的正三角形,俯视图轮廓为正方形,则这个几何体的侧面积是 . 13.设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和,若123421,2a a a a +==,则n n S a += .14.已知函数()y f x =是偶函数,当0x >时,()lg ,f x x =则1(())10f f 的值为 . 15.已知向量OA 与1OA关于y 轴对称,(1,0)i =,则满足不等式210i OA AA +⋅≤ 的点(,)A x y 到直线10x y ++=的距离的最小值为 .16.小明喜欢玩一个蚂蚁跳跃的电子游戏,其游戏规划是:一只蚂蚁在平面直角坐标上从点(1,1)开始按如下规则跳跃:(1)该蚂蚁从任一点(,)m n 跳到点(2,)m n 或(,2)m n ;(2)如果m n >,该蚂蚁能从(,)m n 跳到(,)m n n -,如果m n <,该蚂蚁能从(,)m n 跳到(,)m n m -. 则在①(2,1),②(3,8),③(24,5),④(30,24)四点中,蚂蚁能到达的点是 ;蚂蚁跳到(800,4)至少要跳跃 次.正视图侧视图俯视图三、解答题：本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)已知向量(,),(,)m n a c b a c b a =-=+-,且0m n ⋅=,其中A B C 、、是ABC ∆的三内角,a b c 、、分别是角A B C 、、的对边,且c =(Ⅰ)求角C 的大小；(Ⅱ)求ABC ∆周长的取值范围．18.(本小题满分12分)长沙市为增强市民交通安全意识,面向全市征召宣传 志愿者.现从符合条件的志原者中随机抽取100名按年龄 分组:第1组[20,25),第2组[25,30),第3组[30,35),第 4组[35,40),第5组[40,45),得到的频率分布直方图如图所示.(Ⅰ)若从第1,4,5组中用分层抽样的方法抽取7名志愿者参加安全宣讲活动,它从第1,4,5组各抽取多少名志愿者?(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,该市决定从第4组抽取的志愿者中再选取2名,从第5组抽取的志愿者中再选取1名,共3名志愿者介绍宣传经验,求第4组中志愿者1B 和第5组中志愿者1C 同时被选中的概率.19.(本小题满分12分)如图所示,在平行四边形ABCD 中,24,120,AB BC ABC N ==∠= 为线段AB 中点,E 为线段DN 的中点,将ADN ∆沿直线DN 翻折到1A DN ∆,使二面角1A DN C --的平面角为60 ,M 为线段1AC 的中点. (Ⅰ)求证:BM 平面1A DN ; (Ⅱ)求三棱锥1A DNC -的体积;ADE MA 120.(本小题满分13分)某公司为了激发销售人员开发市场的热情,每建立一处销售网点都要给予奖励.制定了三种奖励方案:第一种,每建立一处销售网点奖励100元;第二种,每建立一处销售网点奖励50元,以后每建立一处都比前面建立的一处多奖励4元;第三种,建立第一处销售网点奖励5元,以后每建立一处都比前面建立的一处奖励翻一番(即增加1倍),且三种方案可任意选择.(Ⅰ)设销售人员建立*(,n n N ∈且12)n ≤处销售网点按三种奖励方案获得的奖金依次为,,n n n A B C ,试求出,,n n n A B C 的表达式；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,如果你是该公司的一名销售人员,为了得到最多的奖金,你应如何选择奖励方案？21.(本小题满分13分)已知椭圆1C 中心在原点,焦点在x 轴上,且过点,等轴双曲线2C 的渐近线与直线l 平行,直线l 过双曲线的右焦点F ,且与椭圆1C 相交于A B 、两点. (Ⅰ)求椭圆1C 的标准方程;(Ⅱ)求AOB ∆面积的最大值及此时双曲线2C 的方程.22.(本小题满分13分) 已知函数2()2ln ,()1a axg x ax x h x x x =--=+. (Ⅰ)若2a =,求曲线()g x 在点(2,(2))g 处的切线方程;(Ⅱ)若0a >,求函数()g x 的单调递增区间;(Ⅲ)若[1,]u e ∃∈,使()2g u >成立,同时[1,]v e ∃∈,使()2h v >成立,求实数a 的取值范围.湖南省2012届高三·长沙市一中、雅礼中学联考文科数学参考答案一.选择题10. 9 11. 12. 8 13. 1 14. 0 1 16.(1) ①②③ ,(2) 15 三.解答题17.【解】(Ⅰ)由0m n ⋅=得,()()()0a c a c b b a -++-=,即2220a b c ab +--=………………2分由余弦定理得2221cos 222a b c ab C ab ab +-===………………………………………………3分又因为0C <<π,所以3C π=…………………………………………………………………5分(Ⅱ)(一法)由 (Ⅰ)知,2222122cos60()3c a b ab a b ab ==+-=+- ,…………………………6分即2312()ab a b =-+由于2222()4(a b ab a b ab +≥⇔+≥当且仅当a b =时取等号) ………………………7分所以223312()()4ab a b a b =-+≤+,即2()48a b +≤,…………………………………10分由于0a b c +>=,所以a b <+≤11分也所以a b c <++≤即ABC ∆周长的取值范围为………………12分 (二法)由(Ⅰ)知4sin sin sin a b cA B C===,所以4sin ,sin a A b B ==,……………………7分所以ABC ∆周长4(sin sin )L a b c A B =++=+而22,33A B C B A ππ+=π-==-,代入上式得234[s i n s i n (234s i n c o s )322L a b c A A A A π=++++-+)6A π=+……………………………………………………………………9分又因为203A π<<,所以5666A πππ<+<,所以1sin()126A π<+≤,从而)6A π+≤11分ACD E MHOF A1其中不等式右边当且仅当62A ππ+=,即3A π=时等号. 即ABC ∆周长的取值范围为……………………………………………………12分 18.【解】(Ⅰ)由题知,第1,4,5组中人数分别有:100(0.015)5,100(0.045)20,100(0.025)10⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=…………………………………3分 因为第1,4,5组共有35名志愿者,所以利用分层抽样的方法从中抽取7名,每组的抽取人数分别为77751,204,102353535⨯=⨯=⨯= 所以应从第1,4,5组分别抽取人数为1人,4人,2人. ……………………………………6分(Ⅱ)依题意设第4组中的4名志愿者的编号分别为1234,,,B B B B ;第5组中两名志愿者编号分别为12,C C ,由题得基本事件有:112113114123124134,,,,,C B B C B B C B B C B B C B B C B B ;212213,,C B B C B B 214223224234,,,C B B C B B C B B C B B ,共12种,…………………………………………………10分又事件A ={志愿者1B 和志愿者1C 同时被选中}发生有112113114,,C B B C B B C B B 共3种……11分所以由古典概型知,31()124P A ==,即求……………………………………………………12分 19.【证明】(Ⅰ)〖证法一〗如图取1A D 中点H ,连接MH ,则12MH CD ………………2分又12BN CD ,所以BN HM ,即四边形HMBN 是平行四边形,………………………4分所以BM HN ,……………………………………………………………………………5分 又BM ⊄平面1A DN ,而HN ⊂平面1A DN ,所以BM 平面1A DN .……………………6分 〖证法二〗如图,取CD 中点F ,连接FM FB 、,则易知,112MF A D,又FM ⊄平面1A DN ,而1A D ⊂平面1A DN , 所以FM 平面1A DN ,同理,由BN DF ,可知BF DN ,所以BF 平面1A DN , 又由于FB FM F = ,且,BF FM ⊂平面BFM , 所以平面BFM 平面1A DN ,又BM ⊂平面BFM ,所以BM 平面1A DN .(Ⅱ)由题知,ADN ∆是边长为2的正三角形,所以2DN =,又BNC ∆是顶角为120 ,腰长为2的等腰三角形,由余弦定理知,CN =所以222DN CN CD +=,即90DNC ∠=,DNC S ∆=又延长AE 交CD 于点F ,易知菱形AFND 中AF DN ⊥,也所以1A E DN ⊥ 所以1A EF ∠为1A DN C --的平面角,即160A EF ∠= ,又AE EF =,所以1A EF ∆为正三角形,取FE 中点O ,连接1AO ,则1AO EF ⊥, 又易知1DN AO ⊥,DN EF E = ,所以1AO ⊥平面ABCD .又113sin 602AO A E === ,所以1113A DNC DNC V S AO -∆=⨯⨯=即求. 20.【解】(Ⅰ)由题知,100,n A n =…………………………………………………………………2分25054[504(1)]248n B n n n =++++⨯-=+ ………………………………………4分155252525n n n C -=+⨯++⨯=⨯- ;其中*,n N ∈且12n ≤;……………………6分(Ⅱ)由函数图象可令,n n A B >得,2100248n n n >+,解得026n <<,又因为012n <≤,所以n n A B >恒成立;……………………………………………………8分 又令n n A C >,即1005(21)n n >-,2012n n +>,可得07n <≤……………………………10分 所以当7n ≤时,n A 最大;当812n ≤≤时,n C 最大;…………………………………………12分 综上,如果销售网点未超过7个时,应选择第一种方案;当销售网点超过7个时应选择第三种方案; ………………………………………………13分21.【解】(Ⅰ)由题设椭圆1C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>,则a =2分又2c e a ==所以1c =,…………………………………………………………………3分 又2221b a c =-=,所以椭圆1C 的方程为2212x y +=………………………………………4分(Ⅱ)设等轴双曲线2C 的方程为:222(x y λλ-=>则其渐近线方程为y x =±,右焦点,0)F 不妨设直线l 与直线y x =平行,所以直线:l x y =+,设1122(,),(,A x y B x y 则12121|||||2AOB S OF y y y y ∆=⨯-=-=又2222x y x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩,得2232(1)0y y λ++-=…………8分 由22824(1)0λλ∆=-->得,2302λ<< ……①……………9分且212122(1),33y y y y λ--+==…………………………10分所以AOB S ∆=11分又因为22232322AOBS λλ∆+-≤⨯=…………………………12分 (亦可将根号下视为2λ的二次函数来求解,同样按步骤给分)当且仅当22232λλ=-,即233(0,)42λ=∈时取等号;所以AOB ∆此时双曲线2C 的方程2234x y -=.…………………13分 〖表示法二〗设等轴双曲线的右焦点为(,0)(0)F t t >,则直线:l x y t =+,双曲线方程:2222t x y -=;又设1122(,),(,)A x y B x y ,则12121||||||22AOB t S OF y y y y ∆=⨯-=-=…7分又2222x y tx y =+⎧⎨+=⎩,得223220y ty t ++-=………………………………………………………8分 由22412(2)0t t ∆=-->得,203t << ……①………………………………………………9分且2121222,33t t y y y y --+==…………………………………………………………………10分所以AOBS ∆===………11分 所以当23(0,3)2t =∈时,AOB S ∆………………………………………………12分 所以此时双曲线2C 的方程2234x y -=.………………………………………………………13分〖表示法三〗同表示法二前半部分,但1||2ABO S AB d ∆=,其中d 是点O 直线AB的距离=所以121|2ABO S y y ∆=-=后面同表示法二.22.【解】(Ⅰ)当2a =时,2()22ln (0)g x x x x x =-->,222(2)32ln 2,()2g g x x x'=-=+-……1分所以曲线()g x 在点(2,(2))g 处的切线斜率为3(2)2g '=, 所以切线方程为3(32ln 2)(2)2y x --=-,即32ln 22y x =-……………………………3分 (Ⅱ)当0a >时,22222()a ax x ag x a x x x -+'=+-=…………………………………………………4分由于方程220ax x a -+=的判别式244a ∆=-,所以①当2440a ∆=-≤,即1a ≥时,()0g x '≥,所以函数()g x 的递增区间为(0,)+∞;……………5分②当440a ∆=->,即01a <<时,220ax x a -+=的两根为120x x <<=所以当12(0,)(,)x x x ∈+∞ 时,()0g x '>,即此时函数()g x 的递增区间为)+∞;…………………………………………………………………6分综上,1a ≥时,()g x 的递增区间为(0,)+∞,01a <<时()g x 的递增区间为)+∞;…………………………7分 (Ⅲ)由题知2()21ax h x x =>+在[1,]x e ∈上有解,即12a x x >+有解, 易知函数211(10)y x y x x'=+=-≥在[1,]x e ∈单调递增,所以2y ≥即只须2,42aa >>………①……………………………………………………………………9分同理()2ln 2ag x ax x x=-->在[1,]x e ∈上有解, 〖一法〗即max ()2g x >成立,下面求函数max ()g x由(Ⅱ)知,22222()a ax x ag x a x x x -+'=+-=且由①知,4a >,所以2440a ∆=-<,所以()0g x '>恒成立, ……………………………11分 所以()g x 在[1,]e 上单调递增,所以1max ()()2g x a e e -=-- 也所以1max ()()22g x a e e -=-->,即14a e e ->-,…………………………………………12分 显然有144e e->-, 综上可知4a >时,符合题意; …………………………………………………………………13分〖二法〗即11ln 2a xx x -+>-在1,]x e ∈(上有解(1x =时,原不等式显然不成立); 令11ln ()(1)xh x x e x x -+=<≤-,则22122ln ln ()0()x x x h x x x x ----'=<⋅-………………………………11分 所以()h x 在定义域上单调递减,所以min 12()()h x h e e e -==- 即只须1124,2a a e e e e -->>--,…………………………………………………………………12分 显然有144e e ->-,综上可知4a >时,符合题意; …………………………………………………………………13分。

大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（三）数学第Ⅰ本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．时量120分钟，满分150分．卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数1i z =-（i 为虚数单位），z 是z 的共轭复数，则1z的值为A ．1B．2C ．12D2．设全集U R =，{A x y ==，{}2,x B y y x R ==∈，则()U A B =ðA ．{}x x <B ．{}01x x <≤C ．{}12x x <≤D ．{}2x x >3．已知向量a ，b满足7a b += ，3a = ，4b = ，则a b -=A ．5B ．3C ．2D ．14．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先成果，哥德巴赫猜想如下：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数（一个整数除了1和它本身没有其他约数的数称为素数）的和，如30723=+，633=+，在不超过25的素数中，随机选取2个不同的数，则这2个数恰好含有这组数的中位数的概率是A ．14B ．13C ．29D ．385．若函数()32132x a f x x x =-++在区间1,32⎛⎫⎪⎝⎭上有极值点，则实数a 的取值范围是A ．52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．52,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．102,3⎛⎫⎪⎝⎭D ．102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．已知3log 2a =，ln 3ln 4b =，23c =．则a ，b ，c 的大小关系是A ．a b c<<B ．a c b <<C ．c a b<<D ．b a c<<7．已知tan tan 3αβ+=，()sin 2sin sin αβαβ+=，则()tan αβ+=A ．6-B ．32-C ．6D ．48．已知函数()()32sin 4x f x x x x π=-+的零点分别为1x ，2x ，…，n x ，*n N ∈），则22212n x x x +++= A ．12B ．14C ．0D ．2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知随机变量X 服从正态分布()2100,10N ，则下列选项正确的是（参考数值：随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-+≈≤≤，()220.9545P μσξμσ-+≈≤≤，()330.9973P μσξμσ-+≈≤≤）A ．()100E X =B ．()10D X =C ．()900.84135P X ≈≥D ．()()12090P X P X =≤≥10．下列说法正确的是A ．若不等式220ax x c ++<的解集为{}12x x x <->或，则2a c +=B ．若命题p ：()0,x ∀∈+∞，1ln x x ->，则p 的否定为：()0,x ∃∈+∞，1ln x x -<C ．在△ABC 中，“sin cos sin cos A A B B +=+”是“A B =”的充要条件D ．若2320mx x m ++<对[]0,1m ∀∈恒成立，则实数x 的取值范围为()2,1--11．已知函数()()sin 4f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，08πϕ<<）的部分图象如图所示，若将函数()f x 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的14，再将所得图象向右平移6π个单位长度，可得函数()g x 的图象，则下列说法正确的是A ．函数()f x 的解析式为()12sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．函数()g x 的解析式为()2sin 26g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．函数()f x 图象的一条对称轴是3x π=-D ．函数()g x 在区间4,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增12．已知三棱锥P -ABC 内接于球O ，PA ⊥平面ABC ，8PA =，AB ⊥AC ，4AB AC ==，点D 为AB 的中点，点Q 在三棱锥P -ABC 表面上运动，且4PQ =，已知在弧度制下锐角α，β满足：4cos 5α=，cos 5β=，则下列结论正确的是A ．过点D 作球的截面，截面的面积最小为4πB ．过点D 作球的截面，截面的面积最大为24πC ．点Q 的轨迹长为44αβ+D ．点Q 的轨迹长为48αβ+第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．数据2，4，6，8，10，12，13，15，16，18的第70百分位数为．14．已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，()1,4A ，P 是双曲线右支上的一动点，则PF PA +的最小值为．15．若1nx ⎫-⎪⎭的展开式中第4项是常数项，则7n除以9的余数为．16．已知函数()f x 的定义域为[)0,+∞，且()[)()[)()[)221,0,1log 3,1,222,2,x x f x x x f x x ⎧-∈⎪=-∈⎨⎪-∈+∞⎩，函数()()122x g x f x -=-在区间[]0,a 内的所有零点为i x （1i =，2，3，…，n ）．若116nii x==∑，则实数a 的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）半径为R 的圆内接△ABC，AB =，∠ACB 为锐角．（1）求∠ACB 的大小；（2若∠ACB 的平分线交AB 于点D ，2CD =，2AD DB =，求△ABC 的面积．18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为21n n +．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()12n an n b a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分）如图①，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，224CD AB EF ===，M 为DF 的中点．现将四边形BEFC 沿EF 折起，使平面BEFC ⊥平面AEFD ，得到如图②所示的多面体．在图②中，图①图②（1）证明：EF ⊥MC ；（2）求平面MAB 与平面DAB 夹角的余弦值．20．（本小题满分12分）已知函数()2ln x xf x =+．（1）讨论函数()y f x x =-零点的个数；（2）是否存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立．21．（本小题满分12分）某梯级共20级，某人上梯级（从0级梯级开始向上走）每步可跨一级或两级，每步上一级的概率为13，上两级的概率为23，设他上到第n 级的概率为n P ．（1）求他上到第10级的概率10P （结果用指数形式表示）；（2）若他上到第5级时，求他所用的步数X 的分布列和数学期望．22．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为2，其左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是坐标平面内一点，且123,24OP PF PF =⋅=（O 为坐标原点）．（1）求椭圆C 的方程；（2过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭且斜率为k 的动直线l 交椭圆于A ，B 两点，在y 轴上是否存在定点M ，使以AB 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标和△MAB 面积的最大值；若不存在，说明理由．大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（三）数学参考答案一、二、选择题题号123456789101112答案BDDCCBAAACADABDABD2．D【解析】易知{}02A x x =≤≤，{}0B y y =>，∴{}02U A x x x =<>或ð，故(){}2U A B x x => ð．故选D ．3．D【解析】由条件a b a b +=+ 知a ，b同向共线，所以1a b a b -=-= ，故选D ．4．C【解析】不超过25的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23共9个，中位数为11，任取两个数含有1l 的概率为182982369C p C ===，故选C ．5．C【解析】由题意()2'1f x x ax =-+在区间1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上有零点，∴1a x x =+，1,32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴1023a <≤，又当2a =时，()()2'10f xx =-≥，()f x 单调，不符合，∴2a ≠，∴1023a <<，故选C ．6．B 【解析】∵2333332log 3log log log 23c a===>=，∴c a>，又23442log 4log 3c ===<44ln 3log log 3ln 4b ===，∴c b <，∴a c b <<．故选B ．7．A【解析】由条件知cos cos 0αβ≠，sin cos cos sin 2sin sin αβαβαβ⇒+=，两边同除以cos cos αβ得：tan tan 2tan tan αβαβ+=，∴3tan tan 2αβ=，从而()tan tan tan 61tan tan αβαβαβ++==--，故选A ．8．A【解析】由()()210sin 04f x x x x x π⎡⎤=⇒-⋅+=⎢⎥⎣⎦，0x =为其中一个零点，令()()21sin 4g x x x x π=-+，∵()00g ≠，∴令()()2140sin x g x x xπ+=⇒=，∵()1sin 1x π-≤≤∴2141x x +≤，∴214x x +≤，∴2102x ⎛⎫- ⎪⎝⎭≤，∴12x =±，所以()f x ）共有三个零点12-，0，12，∴2221212n x x x +++= ，故选A ．9．AC【解析】∵随机变量X 服从正态分布()2100,10N ，正态曲线关于直线100X =对称，且()100E X =，()210100D X ==，从而A 正确，B 错误，根据题意可得，()901100.6827P X ≈≤≤，()801200.9545P X ≈≤≤，∴()1900.50.68270.841352P X ≈+⨯=≥，故C 正确；()120P X ≤与()90P X ≥不关于直线100X =对称，故D 错误．故选AC ．10．AD【解析】对于A ，不等式220ax x c ++<解集为{}12x x x <->或，则方程220ax x c ++=的两根为1-，2，故212a c a⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则2a =-，4c =，所以2a c +=，故A 正确；对于B ，全称命题的否定是特称命题，量词任意改成存在，结论进行否定应是小于等于，故B 不正确；对于C ，sin cos sin cos 2sin A A B B A +=+⇒cos 2sin cos sin 2sin 2A B B A B ⋅=⋅⇒=，又0222A B π<+<，所以2A B π+=或A B =，显然不是充要条件，故C 错误；对于D ，令()()223f m x m x =++，则()0f m <，对[]0,1m ∀∈恒成立，则()()20301320f x f x x =<⎧⎪⎨=++<⎪⎩，解得21x -<<-，故D 正确，故选AD ．11．ABD【解析】由图知，2A =，4T π=，∴24T ππω==，得12ω=．故()12sin 42f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．∵点()0,1在函数图象上，∴2sin 41ϕ=，即1sin 42ϕ=．又∵08πϕ<<，∴042πϕ<<，∴46πϕ=．故函数()f x 的解析式为()12sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，故A 正确；将()f x 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的14，可得2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将所得图象向右平移6π个单位长度，可得()2sin 22sin 2666g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，故B 正确；当3x π=-时，2sin 003f π⎛⎫-== ⎪⎝⎭，不是最值，故直线3x π=-不是()f x 图象的一条对称轴，故C 不正确；当4,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,2662x πππππ⎡⎤-∈-+⎢⎥⎣⎦，则()2sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在4,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦还上单调递增，故D 正确，故选ABD ．12．ABD【解析】三棱锥P -ABC 的外接球即为以AB ，AC ，AP 为邻边的长方体的外接球，∴2R ==，∴R =，取BC 的中点1O ，∴1O 为△ABC 的外接圆圆心，∴1OO ⊥平面ABC ，如图．当OD ⊥截面时，截面的面积最小，∵OD ===，此时截面圆的半径为2r ==，∴最小截面面积为24r ππ=，A 对；当截面过球心时，截面圆的面积最大为224R ππ=，B 对；由条件可得BPC α∠=，BPA CPA β∠=∠=，则点Q 的轨迹分别是以点P 为圆心，4为半径的三段弧，其中一段弧圆心角为α，两段弧圆心角为β，弧长为()2448αβαβ+⨯=+，D 对．故选ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．14【解析】因为70107100⨯=为整数，所以第70百分位数为第7个数13和第8个数15的平均值14．14．9【解析】因为F 是双曲线221412x y -=的左焦点，所以()4,0F -，设其右焦点为()4,0H ，则由双曲线定义得224459PF PA a PH PA a AH +=+++=+=+=≥．15．1【解析】由题知，()5111rn rn rr r rr r nn T C C xx ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因第4项为常数项，所以当3r =时，3305n --=，所以18n =，则()1818792=-，而()61862891==-，1除9的余数为1，所以7n被9除余1．16．[)7,9【解析】函数()()122x g x f x -=-的零点转化为()y f x =与122x y -=的交点的横坐标，作出函数()f x 和122x y -=（0x >）的图象可知，11x =，23x =，35x =，47x =，…，若116nii x==∑，则4n =，所以实数a 的取值范围为[)7,9．四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解析】（1）由正弦定理2sin sin 2AB R C C =⇒=，又角C 为锐角，所以3C π=．（2）∵CD 为∠ACB 的平分线，2AD DB =，∴2b a =，又∵ACD BCD ABC S S S ∆∆∆+=，∴1112sin 2sin sin 262623b a a b πππ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，则有2322a a =，∴a =，∴1sin 232ABC S ab π∆==．18．【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，令1n =，得12113a a =，所以123a a =．①令2n =，得12231125a a a a +=，所以2315a a =．②解①②得11a =，2d =，所以21n a n =-．（2）由（1）知21224n n n b n n -=⋅=⋅，所以1214244nn T n =⨯+⨯++⨯ ，所以231414244n n T n +=⨯+⨯++⨯ ，两式相减，得12134444nn n T n +-=+++-⋅ ()11414134441433n n n n n ++--=-⋅=--．所以()1143143144999n n n n n T +++--=⨯+=．19．【解析】（1）证明：由题意，可知在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点，∴EF ⊥CD ．∴折叠后，EF ⊥DF ，EF ⊥CF ．∵DF CF F = ，DF ，CF ⊂平面DCF ，∴EF ⊥平面DCF ．又MC ⊂平面DCF ，∴EF ⊥MC ．（2）∵平面BEFC ⊥平面AEFD ，平面BEFC 平面AEFD EF =，且平面DF ⊥EF ，DF ⊂平面AEFD ，∴DF ⊥平面BEFC ，又CF ⊂平面BEFC ，∴DF ⊥CF ，∴DF ，CF ，EF 两两垂直．以F 为坐标原点，分别以FD ，FC ，EF 所在直线为．x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系F -xyz．由题意知1DM FM ==．∴()1,0,0M ，()2,0,0D ，()1,0,2A ，()0,1,2B ．∴()0,0,2MA = ，()1,1,0AB =- ，()1,0,2DA =-．设平面MAB ，平面ABD 的法向量分别为()111,,m x y z = ，()222,,n x y z =，由00MA m AB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得111200z x y =⎧⎨-+=⎩，取11x =，则()1,1,0m =为平面MAB 的一个法向量．由00DA n AB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2222200x z x y -+=⎧⎨-+=⎩，取22x =，则()2,2,1n =为平面ABD 的一个法向量．∴22cos ,3m n m n m n⋅<>===，平面MAB 与平面DAB夹角的余弦值3．20．【解析】（1）设()()g x f x x =-，则()222171224'10x g x x x x⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=--=-<，可知()g x 在()0,+∞上单调递减，又()110g =>，()2ln 210g =-<，所以方程()0g x =有且仅有一个根，即函数()y f x x =-有且只有1个零点．（2）令()f x kx >得2ln x kx x +>（0x >），即22ln x k x x +>（0x >）．设()22ln x h x x x =+，()0,x ∈+∞，则()()32341ln 1'ln 4x h x x x x x x x -=-+=--，设()ln 4H x x x x =--，()0,x ∈+∞，则()()3'H x h x x =，因为()'1ln 1ln H x x x =--=-，当01x <<时，()'ln 0H x x =->，当1x >时，()'ln 0H x x =-<，所以函数()H x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()max 110430H x H ==--=-<，则()()3'0H x h x x =<恒成立，所以函数()h x 在()0,+∞上单调递减，又x →+∞，()0h x →，所以不可能存在正实数k ，使得()22ln x h x k x x=+>恒成立．21．【解析】（1）由条件知113P =，22217339P ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，且121233n n n P P P --=+（2n ≥）．所以112212221333n n n n P P P P P P ---+=+==+= ，所以1323535n n P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，又134515P -=-，∴13425153n n P -⎛⎫-=-⨯- ⎪⎝⎭，∴223535nn P ⎛⎫=⨯-+ ⎪⎝⎭．∴1010223535P ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭．（2）由（1）知此人上到第5级的概率为55223133535243P ⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭，X 的可能取值为3，4，5()21312108333133133243C P X ⎛⎫ ⎪⎝⎭===，()3142124334133133243C P X ⎛⎫ ⎪⎝⎭===，()15133P X ==所以X 的分布列为X345P 108133241331133所以()108241425345133133133133E X =⨯+⨯+⨯=．22．【解析】（1）设()00,P x y，()1,0F c -，()2,0F c ，则由2OP =；得220074x y +=，由1234PF PF ⋅= 得()()00003,,4c x y c x y ---⋅--=，即2220034x y c +-=．所以1c =．又因为2c a =，所以22a =，21b =．因此所求椭圆C 的方程为2212x y +=．（2）设动直线l 的方程为：13y kx =-，由221312y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得()2241621039k x kx +--=．设()11,A x y ，()22,B x y ．则()1224321k x x k +=+，()12216921x x k =-+．假设在y 上存在定点()0,M m ，满足题设，则()11,MA x y m =- ，()22,MB x y m =- ．()()()21212121212MA MB x x y m y m x x y y m y y m ⋅=+--=+-++。

大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（二）数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．时量120分钟，满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若12z i =+，则()1z z +⋅=（）A.24i --B.24i-+ C.62i- D.62i+【答案】C 【解析】【分析】根据复数的乘法运算和共轭复数的定义求解.【详解】()()()122i 12i 244i 2i 62i z z +⋅=+-=+-+=-．故选:C .2.全集U =R ，集合{2,3,5,7,9}A =，{4,5,6,8}B =，则阴影部分表示的集合是（）A.{2,3,5,7,9}B.{2,3,4,5,6,7,8,9}C.{4,6,8}D.{5}【答案】C 【解析】【分析】根据给定的条件利用韦恩图反应的集合运算直接计算作答.【详解】韦恩图的阴影部分表示的集合为()U A B ð，而全集U =R ，集合{2,3,5,7,9}A =，{4,5,6,8}B =，所以(){4,6,8}U A B ⋂=ð.故选：C 3.函数()2log 22xxx x f x -=+的部分图象大致是（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】利用函数的奇偶性和特殊点即得.【详解】易知()2log 22xxx x f x -=+的定义域为{}0x x ≠，因为()()22log log 2222xxxxx x x f x x f x -----==-=-++，所以()f x 为奇函数，排除答案B ，D ；又()2202222f -=>+，排除选项C ．故选:A ．4.在边长为3的正方形ABCD 中，点E 满足2CE EB = ，则AC DE ⋅=（）A.3 B.3- C.4- D.4【答案】A 【解析】【分析】建立直角坐标系，写出相关点的坐标，得到AC ，DE，利用数量积的坐标运算计算即可.【详解】以B 为原点，BC ，BA 所在直线分别为x ，y 轴，建立如图所示直角坐标系，由题意得()()()()0,3,1,0,3,0,3,3A E C D ，所以()3,3AC =- ，()2,3DE =--，所以()()()32333AC DE ⋅=⨯-+-⨯-=.故选：A.5.某校科技社利用3D 打印技术制作实心模型．如图，该模型的上部分是半球，下部分是圆台．其中半球的体积为3144πcm ，圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半．打印所用原料密度为31.5g/cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（）（1.5 4.7π≈）A.3045.6gB.1565.1gC.972.9gD.296.1g【答案】C 【解析】【分析】由题意可知所需要材料的体积即为半球体积与圆台体积之和，先求出圆台的体积，再利用组合体的体积乘以打印所用原料密度可得结果.【详解】设半球的半径为R ，因为332π144πcm 3V R ==半球，所以6R =，由题意圆台的上底面半径及高均是3，下底面半径为6，所以((223113π6π363πcm 33V S S h =+=⋅+⋅+⨯=下上圆台，所以该实心模型的体积为3144π63π207πcm V V V =+=+=半球圆台，所以制作该模型所需原料的质量为207π 1.5207 4.7972.9g ⨯≈⨯=故选：C6.已知数列{} n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，10a >，则“公比0q >”是“对于任意*n ∈N ，0n S >”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据等比数列的通项公式以及前n 项和公式，分别验证充分性以及必要性即可得到结果.【详解】若10a >，且公比0q >，则110n n a a q -=>，所以对于任意*n ∈N ，0n S >成立，故充分性成立；若10a >，且12q =-，则()111112212111101323212n n nn n a S a a ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦==-=--⨯>⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-- ⎪⎝⎭，所以由对于任意*n ∈N ，0n S >，推不出0q >，故必要性不成立；所以“公比0q >”是“对于任意*n ∈N ，0n S >”的充分不必要条件.故选:A7.若存在实数a ，对任意的x ∈[0，m ]，都有(sin x －a )·(cos x －a )≤0恒成立，则实数m 的最大值为()A.4πB.2πC.34π D.54π【答案】C 【解析】【分析】根据已知不等式得到，要求y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象不在y ＝a＝2的同一侧，利用正弦函数、余弦函数图象的性质进行解答即可．【详解】在同一坐标系中，作出y ＝sin x 和y ＝cos x的图象，当m ＝4π时，要使不等式恒成立，只有a＝2，当m ＞4π时，在x ∈[0，m ]上，必须要求y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象不在y ＝a＝2的同一侧.∴由图可知m 的最大值是34π.故选：C.8.已知函数()f x 的定义域为R ，()()()()2,24f x f x f f +=--=-，且()f x 在[)1,+∞上递增，则()10xf x ->的解集为（）A.()()2,04,∞-⋃+ B.()(),15,∞∞--⋃+C.()(),24,-∞-+∞ D.()()1,05,∞-⋃+【答案】D 【解析】【分析】根据()()2f x f x +=-可得()f x 关于直线1x =对称，根据()()24f f -=-可得()()240f f -==，结合函数()f x 的单调性可得函数图象，根据图象列不等式求解集即可.【详解】解：函数()f x ，满足()()2f x f x +=-，则()f x 关于直线1x =对称，所以()()()244f f f -==-，即()()240f f -==，又()f x 在[)1,+∞上递增，所以()f x 在(),1-∞上递减，则可得函数()f x 的大致图象，如下图：所以由不等式()10xf x ->可得，20210x x -<<⎧⎨-<-<⎩或414x x >⎧⎨->⎩，解得10x -<<或5x >，故不等式()10xf x ->的解集为()()1,05,∞-⋃+.故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.对于实数a ，b ，c ，下列选项正确的是（）A.若a b >，则2a ba b +>> B.若0a b >>，则a b>>C.若11a b>，则0a >，0b < D.若0a b >>，0c >，则b c ba c a+>+【答案】ABD 【解析】【分析】利用比较法、特例法逐一判断即可.【详解】对选项A ，因为a b >，所以022a b a b a +--=>，022a b a bb +--=>，所以2a ba b +>>，故A 正确；对选项B ，0a b >>1=>，所以a >因为1b =>b >，即a b >>，故B 正确；对选项C ，令2a =，3b =，满足11a b>，不满足0a >，0b <，故C 错误；对选项D ，因为0a b >>，0c >，所以()()()()()0a b c b a c c a b b c b a c a a a c a a c +-+-+-==>+++，故D 正确．故选：ABD ．10.已知函数()2sin cos 2f x x x x =-+，则下列说法正确的是（）A.()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B.函数()f x 的最小正周期为πC.函数()f x 的对称轴方程为()5πZ 12x k k π=+∈D.函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向右平移π3个单位长度得到【答案】AB 【解析】【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再结合正弦函数的图像性质逐项判断.【详解】()211cos 21πsin cos sin 2sin 2cos 2sin 22222223x f x x x x x x x x +⎛⎫=-+=--=- ⎪⎝⎭，所以A 正确；对于B ，函数()f x 的最小正周期为2ππ2=，所以B 正确；对于C ，由ππ2π32x k -=+，k ∈Z ，得5ππ122k x =+，Z k ∈，所以函数()f x 的对称轴方程为5ππ122k x =+，Z k ∈，所以C 不正确；对于D ，sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度，得ππsin 2sin 263y x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度得到，所以D 不正确．故选：AB ．11.设n S 是公差为d （0d ≠）的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题正确的是（）A.若0d <，则1S 是数列{}n S 的最大项B.若数列{}n S 有最小项，则0d >C.若数列{}n S 是递减数列，则对任意的：*N n ∈，均有0nS <D.若对任意的*N n ∈，均有0n S >，则数列{}n S 是递增数列【答案】BD 【解析】【分析】取特殊数列判断A ；由等差数列前n 项和的函数特性判断B ；取特殊数列结合数列的单调性判断C ；讨论数列{}n S 是递减数列的情况，从而证明D.【详解】对于A ：取数列{}n a 为首项为4，公差为2-的等差数列，2146S S =<=，故A 错误；对于B ：等差数列{}n a 中，公差0d ≠，211(1)(222n n n d dS na d n a n -=+=+-，n S 是关于n 的二次函数.当数列{}n S 有最小项，即n S 有最小值，n S 对应的二次函数有最小值，对应的函数图象开口向上，0d >，B 正确；对于C ：取数列{}n a 为首项为1，公差为2-的等差数列，22n S n n =-+，122(1)2(1)(2)210n n S n n n n S n =-+++-+---=+<＋，即1n n S S <＋恒成立，此时数列{}n S 是递减数列，而110S =>，故C 错误；对于D ：若数列{}n S 是递减数列，则10(2)n n n a S S n -=-<≥，一定存在实数k ，当n k >时，之后所有项都为负数，不能保证对任意*N n ∈，均有0n S >.故若对任意*N n ∈，均有0n S >，有数列{}n S 是递增数列，故D 正确．故选：BD12.如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别为棱11B C ，CD 上的动点（包含端点），则下列说法正确的是（）A.四面体11A D MN 的体积为定值B.当M ，N 分别为棱11B C ，CD 的中点时，则在正方体中存在棱与平面1A MN 平行C.直线MN 与平面ABCD 所成角的正切值的最小值为2D.当M ，N 分别为棱11B C ，CD 的中点时，则过1A ，M ，N 三点作正方体的截面，所得截面为五边形【答案】ACD 【解析】【分析】求出四面体的体积判断A ；把正方体的棱分成3类，再判断各类中的一条即可判断B ；作出线面角，并求出其正切表达式判断C ；利用线线、线面平行的性质作出截面判断D.【详解】点M ，N 在棱11B C ，CD 上运动时，M 到11A D 距离始终为2，N 到平面11A D M 的距离始终为2，所以四面体11A D MN 的体积11114222323N A MD V -=⨯⨯⨯⨯=恒为定值，A 正确；在正方体1111ABCD A B C D -中，棱可分为三类，分别是1111,,A A A B A D ，及分别与它们平行的棱，又1111,,A A A B A D 不与平面1A MN 平行，则在正方体1111ABCD A B C D -中，不存在棱与平面1A MN 平行，B 错误；正方体棱长为2，如图1，过M 作1MM BC ⊥于1M ，则有1MM ⊥平面ABCD ，于是MN 与平面ABCD 所成角即为1MNM ∠，于是11112tan MM MNM M N M N∠==，又1M N长度的最大值为MN 与平面ABCD所成角的正切值的最小值为2，C正确；如图2，取BC 中点M '，连接,AM MM ''，有11////MM BB AA '，且11MM BB AA '==，则四边形1AA MM '是平行四边形，有1//AM A M '，过N 作AM '的平行线交AD 于点E ，此时14DE DA =，则1//EN A M ，即EN 为过1A ，M ，N 三点的平面与平面ABCD 的交线，连接1A E ，在BC 上取点F ，使得14CF CB =，同证1//AM A M '的方法得11//A E B F ，在棱1CC 上取点G ，使113CG CC =，连接MG 并延长交直线BC 于H ，则112CH C M CF ==，即11FH C M B M ==，而1//FH B M ，于是四边形1FHMB 是平行四边形，有11////MG B F A E ，则MG 为过1A ，M ，N 三点的平面与平面11BCC B 的交线，连接NG ，则可得五边形1A MGNE 即为正方体中过1A ，M ，N 三点的截面，D 正确．故选：ABD【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若函数()ln f x x a x =-的图象在1x =处的切线斜率为3，则=a __________．【答案】2-【解析】【分析】求导，利用()13f '=求解即可.【详解】解：因为()ln f x x a x =-，所以()1a f x x'=-，又函数()ln f x x a x =-的图象在1x =处的切线斜率为3，则()1131af '=-=，所以2a =-．故答案为：2-14.在平面直角坐标系xOy 中，圆O 与x 轴的正半轴交于点A ，点B ，C 在圆O 上，若射线OB 平分AOC ∠，34,55B ⎛⎫⎪⎝⎭，则点C 的坐标为__________．【答案】724,2525⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【详解】由题意可知圆O 1=，设AOB BOC α∠=∠=，由题意可知4sin 5α=，3cos 5α=，则点C 的横坐标为271cos 212sin 25αα⨯=-=-，点C 的纵坐标为241sin 22sin cos 25ααα⨯==．故答案为：724,2525⎛⎫-⎪⎝⎭．15.已知函数()f x 的定义域为R ，()e xy f x =+是偶函数，()3e x y f x =-是奇函数，则()f x 的最小值为_____________．【答案】【解析】【分析】由题意可得()e 2e xxf x -=+，再结合基本不等式即可得答案.【详解】解：因为函数()e xy f x =+为偶函数，则()()e e x x f x f x --+=+，即()()ee xx f x f x ---=-，①又因为函数()3e xy f x =-为奇函数，则()()3e3e xx f x f x ---=-+，即()()3e 3ex xf x f x -+-=+，②联立①②可得()e 2e xxf x -=+，由基本不等式可得()e 2e x x f x -=+≥=，当且仅当e 2e x x -=时，即当1ln 22x =时，等号成立，故函数()f x 的最小值为故答案为：16.已知菱形ABCD 中，对角线BD =，将ABD △沿着BD 折叠，使得二面角A BD C --为120°，AC =，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为________.【答案】28π【解析】【分析】将 ABD 沿BD 折起后，取BD 中点为E ，连接AE ，CE ，得到120AEC ∠=︒，在AEC △中由余弦定理求出AE 的长，进一步求出AB 的长,分别记三角形ABD △与BCD △的重心为G 、F ，记该几何体ABCD 的外接球球心为O ，连接OF ，OG ，证明Rt OGE △与Rt OFE 全等，求出OE ，再推出BD OE ⊥，连接OB ，由勾股定理求出OB ，即可得出外接球的表面积.【详解】将 ABD 沿BD 折起后，取BD 中点为E ，连接AE ，CE ，则AE BD ⊥，CE BD ⊥，所以AEC ∠即为二面角A BD C --的平面角，所以120AEC ∠=︒；设AE a =，则AE CE a ==,在AEC △中2222cos120AC AE EC AE CE =+-⋅⋅︒，即2127222a a a ⎛⎫=-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭解得3a =，即3AE =，所以AB ==所以ABD △与BCD △是边长为的等边三角形.分别记三角形ABD △与BCD △的重心为G 、F ，则113EG AE ==，113EF CE ==；即EF EG =；因为ABD △与BCD △都是边长为所以点G 是ABD △的外心，点F 是BCD △的外心；记该几何体ABCD 的外接球球心为O ，连接OF ，OG ，根据球的性质，可得OF ⊥平面BCD ，OG ⊥平面ABD ，所以 OGE 与OFE △都是直角三角形，且OE 为公共边，所以Rt OGE △与Rt OFE 全等，因此1602OEG OEF AEC ∠=∠=∠=︒，所以2cos 60EFOE ==︒；因为AE BD ⊥，CE BD ⊥，AE CE E =I ，且AE ⊂平面AEC ，CE ⊂平面AEC ，所以BD ⊥平面AEC ；又OE ⊂平面AEC ，所以BD OE ⊥，连接OB，则外接球半径为OB ==所以外接球表面积为2428S ππ=⨯=.故答案为：28π【点睛】思路点睛：求解几何体外接球体积或表面积问题时，一般需要结合几何体结构特征，确定球心位置，求出球的半径，即可求解；在确定球心位置时，通常需要先确定底面外接圆的圆心，根据球心和截面外接圆的圆心连线垂直于截面，即可确定球心位置；有时也可将几何体补型成特殊的几何体（如长方体），根据特殊几何体的外接球，求出球的半径.四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n n S a a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设24n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：3n T <.【答案】（1）n a n =；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用,n n a S 的关系，结合已知条件以及等差数列的通项公式即可求得结果；（2）根据（1）中所求，利用裂项求和法求得n T ，即可证明.【小问1详解】依题意可得，当1n =时，2111122S a a a ==+，0n a >，则11a =；当2n ≥时，22n n n S a a =+，21112n n n S a a ---=+，两式相减，整理可得()()1110n n n n a a a a --+--=，又{}n a 为正项数列，故可得11n n a a --=，所以数列{}n a 是以11a =为首项，1d =为公差的等差数列，所以n a n =.【小问2详解】证明：由（1）可知n a n =，所以()42222n b n n n n ==-++，()44441324352n T n n =+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+22222222222222132435462112n n n n n n =-+-+-+-⋅⋅⋅+-+-+---++2221312n n =+--<++，所以3n T <成立.18.在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c )sin a C C =-.（1）求A ；（2）若8a =，ABC ABC 的周长.【答案】（1）2π3（2）18【解析】【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出tan A 的值，结合角A 的取值范围可求得角A 的值；（2）利用三角形的面积公式可得出182b c bc ++=，结合余弦定理可求得b c +的值，即可求得ABC 的周长.【小问1详解】解：因为)sin aC C =-，)sin sin B AC C =-，①因为πA B C ++=，所以()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，sin sin sin A C A C =-，又因为A 、()0,πC ∈，sin 0C ≠sin 0A A =-<，所以tan A =，又因为()0,πA ∈，解得2π3A =.【小问2详解】解：由（1）知，2π3A =，因为ABC 内切圆半径为所以()11sin 22ABC S a b c A =++⋅△，即()82b c ++=，所以，182b c bc ++=②，由余弦定理2222π2cos3a b c bc =+-⋅得2264b c bc ++=，所以()264b c bc +-=③，联立②③，得()()22864b c b c +-++=，解得10b c +=，所以ABC 的周长为18a b c ++=.19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11BC B C O = ，12BC BB ==，1AO =，160B BC ∠=︒，且AO ⊥平面11BB C C ．（1）求证：1AB B C ⊥；（2）求二面角111A B C A --的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）7【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质和判断定理可得1B C ⊥平面1ABC ，从而即可证明1AB B C ⊥；（2）建立以O 为原点，分别以OB ，1OB ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴的空间坐标系，利用空间向量求解即可.【小问1详解】证明：因为AO ⊥平面11BB C C ，1B C ⊂平面11BB C C ，所以1AO B C ⊥，因为1BC BB =，四边形11BB C C 是平行四边形，所以四边形11BB C C 是菱形，所以11BC B C ⊥．又因为1AO BC O ⋂=，AO ⊂平面1ABC ，1BC ⊂平面1ABC ，所以1B C ⊥平面1ABC ，因为AB ⊂平面1ABC ，所以1AB B C ⊥．【小问2详解】解：以O 为原点，分别以OB ，1OB ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示，则)B，()10,1,0B ，()0,0,1A，()1C ，所以()10,1,1AB =-，)11C B =，)110,1A B AB ==-，设平面11AB C 的一个法向量为()1111,,n x y z =，则11111111100n AB y z n C B y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取11x =，可得1y =1z =，所以(11,n =u r，设平面111B C A 的一个法向量为()2222,,n x y z =，则211221112200n A B z n C B y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取21x =，可得2y =，2z =所以(21,n =，设二面角111A B C A --的大小为θ，因为1212121,1,1cos ,7n n n n n n ⋅⋅〈〉===⋅，所以sin 7θ==，所以二面角111A B C A --的正弦值为7．20.如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点A ，右焦点为(c,0)F ，直线AF 交椭圆于B点，且满足||2||AF FB =，||2AB =．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线(0)y kx k =>与椭圆相交于,C D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值．【答案】（1）22132x y+=；（2）【解析】【分析】（1）由已知得b =，由||2||AF FB =且||2AB =，知||AF a ==，即可求出椭圆C 的标准方程；（2）直线AF的方程为0y +-=，与椭圆联立求出3(,22B -，求出点,A B 到直线(0)y kx k =>的距离为1d =，2d =y kx =与椭圆方程结合弦长公式求出CD ，求出四边形ACBD 的面积121()2S CD d d =+，整理化简利用二次函数求出最值.【详解】（1）A Q 为椭圆C上一点，b ∴=又||2||AF FB =，||2AB =可得，||AF =，即a =所以椭圆C 的标准方程是22132x y +=.（2）由（1）知(1,0)F，A ，∴直线AF的方程为0y +-=，联立221320x y y ⎧+=⎪+-=，整理得：22462(3)0x x x x -=-=，解得：1230,2x x ==，∴3(,22B -设点A，3(,22B -到直线(0)y kx k =>的距离为1d 和2d ，则1d =，2d =直线(0)y kx k =>与椭圆相交于,C D 两点，联立22132x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩，整理得：22(32)6k x +=，解得：34x x ==34CD x ∴=-=∴设四边形ACBD 面积为S ，则121()2S CD d d =+=(0)2k =>.设)t k =++∞，则k t =-363636222S ∴==⋅⋅362=当18t =，即3t k ===+3k =时，四边形ACBD面积有最大值.【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21.如图所示，A BCP -是圆锥的一部分(A 为圆锥的顶点)，O 是底面圆的圆心，23BOC π∠=，P 是弧BC 上一动点（不与B 、C 重合），满足COP θ∠=．M 是AB 的中点，22OA OB ==．（1）若//MP 平面AOC ，求sin θ的值；（2）若四棱锥M OCPB -的体积大于14，求三棱锥A MPC -体积的取值范围．【答案】（1）34（2）3,1212⎛ ⎝⎦【解析】【分析】（1）取OB 的中点N ，连接MN ，证明出//NP OC ，可得出3ONP π∠=，OPN θ∠=，然后在ONP △中利用正弦定理可求得sin θ的值；（2）计算得出四边形OCPB的面积3sin 264S πθ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，结合20,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可求得θ的取值范围，设三棱锥A MPC -的体积为2V ，三棱锥A BPC -的体积为3V ，计算得出2361133sin 2324V V πθ⎛⎫==+-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，结合正弦型函数的基本性质可求得结果.【小问1详解】解：取OB 的中点N ，连接MN ，M 为AB 的中点，则//MN OA ，MN ⊄ 平面AOC ，AO ⊂平面AOC ，则//MN 平面AOC ，由题设，当//MP 平面AOC 时，因为MP MN M ⋂=，所以，平面//MNP 平面AOC ，NP ⊂ 平面MNP ，则//NP 平面AOC ，因为NP ⊂平面OBPC ，平面OBPC 平面AOC OC =，则//NP OC ，所以，3ONP BOC ππ∠=-∠=，OPN COP θ∠=∠=，在OPN 中，由正弦定理可得sin sin3ON OP πθ=，故sin3sin 4ON OP πθ==.【小问2详解】解：四棱锥M OCPB -的体积1111323V OA S S =⋅⋅=，其中S 表示四边形OCPB 的面积，则112111sin sin sin cos sin 2232222S OP OC OP OB πθθθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅-=++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭333sin 4426πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以，1131sin 3664V S πθ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭，可得3sin 62πθ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，203πθ<<，则5666πππθ<+<，故2363πππθ<+<，解得,62ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.设三棱锥A MPC -的体积为2V ，三棱锥A BPC -的体积为3V ，由于M 是AB 的中点，则231112sin 2623V V OA S OB OC π⎛⎫==⋅-⋅ ⎪⎝⎭133333sin ,32412126πθ⎛⎛⎫=+-∈ ⎢ ⎪ ⎝⎭⎣⎦⎝⎦.22.混管病毒检测是应对单管病毒检测效率低下的问题，出现的一个创新病毒检测策略，混管检测结果为阴性，则参与该混管检测的所有人均为阴性，混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中至少有一人为阳性．假设一组样本有N 个人，每个人患病毒的概率相互独立且均为()01p p <<．目前，我们采用K 人混管病毒检测，定义成本函数()Nf X KX K=+，这里X 指该组样本N 个人中患病毒的人数．（1）证明：()E f X N ≥⎡⎤⎣⎦；（2）若4010p -<<，1020K ≤≤．证明：某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性．公众号：高中试卷君【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由均值的性质及基本不等式即可证明.（2）由二项分布的概率及条件概率化简即可证明.【小问1详解】由题意可得X 满足二项分布(),X B N p ，由()()E aX b aE X b +=+知，()()N N E f X K X E pN N K K K =+=+⋅≥⎡⎤⎣⋅⎦，当且仅当1Kp K=时取等号；【小问2详解】记P P =（混管中恰有1例阳性|混管检测结果为阳性），i P P =（混管中恰有i 例阳性）=()C 1K i i i K p p --，0,1,,i K = ，令()e 1xh x x =--，33210210x ---⨯<<⨯，则()e 1xh x '=-，当()3021,0x -⨯∈-时，()0h x '<，()h x 为单调递减，当()300,21x -∈⨯时，()0h x '>，()h x 为单调递增，所以()()00h x h ≥=，且()()332103210e 21010h ---⨯--⨯=--⨯-≈，()()332103210e 21010h --⨯-⨯=-⨯-≈，所以当33210210x ---⨯<<⨯，e 10x x --≈即e 1x x ≈+，两边取自然对数可得()ln 1x x ≈+，所以当4010p -<<，1020K ≤≤时，所以()()ln 11e e 1K K p Kp p Kp ---=≈≈-，则()()()()110111111111K K Kp K p Kp p P P K p P Kp p ---⎡⎤-⎣⎦==≈=--≈---．故某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性.。

湖南省长沙市雅礼中学2020届高三下学期月考(六)文科数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知点A,B,C,D 在同一个球的球面上，AB = BC = y/2, AC = 2>若四面体A3C 刀外接球的球心。

恰好在侧棱ZM 上，DC = 2也,则四面体A3CD 的体积为()也 也 2右A. 3 b . 2 C. 3D.右2. 已知抛物线C ： y2=2px(’>0)的焦点为F ,准线为I, I 与x 轴的交点为P,点A 在抛物线C 上,3过点A 作AA'Ll,垂足为A ，.若四边形AA'PF 的面积为14,且cosZFAA'^-,则抛物线C 的方程为( )a . y = 8xb . y = 4工c . y = 2工d ,= x3. 设函数，则 /(x) = sin|2x + ^ j + cos|2x + ^ L 则()A. y = /(x)在0号 单调递增，其图象关于直线x = S 对称B. y = /(x)在0号 单调递增，其图象关于直线% = |对称C. y = /(x)在［°』单调递减，其图象关于直线x = S 对称「0,司 x = -D. ，= '(》)在］''J 单调递减，其图象关于直线“一 对称4.若关于x 的不等式4' -tog fl x<|在上恒成立，则实数a 的取值范围是()「1 "(1"「3 、(3]-,10,--,10,-A.l_4 JB.1 4_C.l_4 JD.1 4」5.如图1为某省2019年1~4月快递义务量统计图，图2是该省2019年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是()A.2019年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B.2019年1~4月的业务量同比增长率超过50%,在3月最高C.从两图来看2019年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D.从1~4月来看，该省在2019年快递业务收入同比增长率逐月增长。

大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（一）数 学（时量120分钟，满分150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合{}2|log 4M x x =<，{}|21N x x =≥，则M N ⋂=（ ）A. {}08x x ≤<B. 182xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C. {}216x x ≤<D. 1162xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭2. 记等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 6＝16，S 5＝35，则{a n }的公差为（ ） A. 3B. 2C. －2D. －33. 已知1z ，2z 是关于x 的方程2220x x +=-的两个根.若11i z =+，则2z =（ ）A.B. 1C.D. 24. 函数sin exx xy =的图象大致为（ ）AB..C. D.5. 已知220x kx m +-<解集为()(),11t t -<-，则k m +的值为（ ） A. 1B. 2C. -1D. -26. 古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点A 是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B ，C 两点与点A 在同一条直线上，且在点A 的同侧，若在B ，C 处分别测量球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC =100m ，则该球体建筑物的高度约为（ ）（cos10°≈0.985）A. 45.25mB. 50.76mC. 56.74mD. 58.60m7. 已知定义域是R 的函数()f x 满足：x ∀∈R ，()()40f x f x ++-=，()1f x +为偶函数，()11f =，则()2023f =（ ）A. 1B. -1C. 2D. -38. 如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD 的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD棱长为 ）的A. 6πB. 9πC.31π4D. 21π二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列命题为真命题的是（ ）A. 若2sin 23α=，则21cos 46πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ B. 函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度得到函数()2sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象 C. 函数()2sin cos cos 26f x x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的单调递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦D. ()22tan 1tan xf x x =-的最小正周期为2π 10. 如图所示，该几何体由一个直三棱柱111ABC A B C -和一个四棱锥11D ACC A -组成，12AB BC AC AA ====，则下列说法正确的是（ ）A. 若AD AC ⊥，则1AD A C ⊥B. 若平面11AC D 与平面ACD 的交线为l ，则AC //lC. 三棱柱111ABC A B C -外接球的表面积为143πD. 当该几何体有外接球时，点D 到平面11ACC A11. 同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为()e e x x f x a b -=+（其中a ，b 是非零常数，无理数e 2.71828=⋅⋅⋅），对于函数()f x以下结论正确的是的（ ）A. a b =是函数()f x 为偶函数的充分不必要条件；B. 0a b +=是函数()f x 为奇函数的充要条件；C. 如果0ab <，那么()f x 为单调函数；D. 如果0ab >，那么函数()f x 存极值点.12. 设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且满足条件11a >，202220231a a >⋅，()()20222023110a a -⋅-<，则下列选项正确的是（）A. {}n a 为递减数列B. 202220231S S +<C. 2022T 是数列{}Tn 中的最大项D. 40451T >第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知(2,),(3,1)a b λ=-=，若()a b b +⊥ ，则a = ______ .14. 已知函数51,2()24,2xx f x x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩，则函数()()g x f x =的零点个数为______.15. 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则平面α截此正方体所得截面面积的最大值为______.16. 如图1所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和音质.图2是根据图1绘制的古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2中，每根弦都垂直于x 轴，相邻两根弦间的距离为1，雁柱所在曲线的方程为 1.1x y =，第n 根弦（n ∈N ，从左数首根弦在y 轴上，称为第0根弦）分别与雁柱曲线和直线l ：1y x =+交于点(),n n n A x y 和(),n n n B x y ''，则20n n n y y ='=∑______.（参考数据：取221.18.14=.）在四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2CA CB ==，AB =13AA =，M 为AB 的中点.（1）证明：1//AC 平面1B CM ； （2）求点A 到平面1B CM 的距离.18. 记锐角ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin()sin()cos cos A B A C B C--=．（1）求证：B C =； （2）若sin 1a C =，求2211a b+的最大值． 19. 甲、乙足球爱好者为了提高球技，两人轮流进行点球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得1-分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲、乙每次踢球命中的概率均为12，甲扑到乙踢出球的概率为12，乙扑到甲踢出球的概率13，且各次踢球互不影响． （1）经过1轮踢球，记甲的得分为X ，求X 的分布列及数学期望； （2）求经过3轮踢球累计得分后，甲得分高于乙得分的概率． 20. 已知数列{}n a 中，10a =，()12n n a a n n N*+=+∈.（1）令11n n n b a a +=-+，求证：数列{}n b 是等比数列； （2）令3nn n a c =，当n c 取得最大值时，求n 的值． 21. 已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的焦距为10，且经过点M ．A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，P 为直线2x =上的动点，连接PA ，PB 交双曲线E 于点C ，D （不同于A ，B ）． （1）求双曲线E 标准方程．（2）直线CD 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．22. 设函数()()2cos 102x f x x x =-+≥.（1）求()f x 的最值；（2）令()sin g x x =，()g x 的图象上有一点列()*11,1,2,...,,22i ii A g i n n ⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭N ，若直线1i i A A +的斜率为()1,2,...,1i k i n =-，证明：1217 (6)n k k k n -+++>-. 参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合{}2|log 4M x x =<，{}|21N x x =≥，则M N ⋂=（ ）A. {}08x x ≤< B. 182xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C. {}216x x ≤<D. 1162xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】【分析】直接解出集合,M N ，再求交集即可.【详解】{}{}2|log 4|016M x x x x =<=<<，1|2N x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，则1162M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭.故选：D.2. 记等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 6＝16，S 5＝35，则{a n }的公差为（ ） A. 3B. 2C. －2D. －3的【答案】A 【解析】【分析】由题得a 3＝7，设等差数列的公差为d ，解方程组11+27516a d a d =⎧⎨+=⎩即得解.【详解】解：由等差数列性质可知，S 5＝152a a +×5＝5a 3＝35，解得a 3＝7， 设等差数列的公差为d ， 所以11+27516a d a d =⎧⎨+=⎩，解之得3d =.故选：A.3. 已知1z ，2z 是关于x 的方程2220x x +=-的两个根.若11i z =+，则2z =（ ）A.B. 1C.D. 2【答案】C 【解析】【分析】由1z ，2z 是关于x 的方程2220x x +=-的两个根，由韦达定理求出2z ，再由复数的模长公式求解即可.【详解】法一：由1z ，2z 是关于x 的方程2220x x +=-的两个根，得122z z +=， 所以()21221i 1i z z =-=-+=-，所以21i z =-=.法二：由1z ，2z 是关于x 的方程2220x x +=-的两个根，得122z z ⋅=， 所以21221i z z ==+，所以2221i 1i z ====++. 故选：C . 4. 函数sin exx xy =的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】分析函数sin exx xy =的奇偶性及其在()0,π上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】令()sin e x x xf x =，该函数的定义域为R ，()()()sin sin e ex xx x x x f x f x ----===， 所以，函数sin exx xy =为偶函数，排除AB 选项， 当0πx <<时，sin 0x >，则sin 0exx xy =>，排除C 选项. 故选：D.5. 已知220x kx m +-<的解集为()(),11t t -<-，则k m +的值为（ ） A. 1 B. 2C. -1D. -2【答案】B 【解析】【分析】由题知=1x -为方程220x kx m +-=的一个根，由韦达定理即可得出答案. 【详解】因为220x kx m +-<的解集为()(),11t t -<-， 所以=1x -为方程220x kx m +-=的一个根， 所以2k m +=．故选:B ．6. 古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点A 是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B ，C 两点与点A 在同一条直线上，且在点A 的同侧，若在B ，C 处分别测量球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC =100m ，则该球体建筑物的高度约为（ ）（cos10°≈0.985）A. 45.25mB. 50.76mC. 56.74mD. 58.60m【答案】B 【解析】【分析】数形结合，根据三角函数解三角形求解即可；【详解】设球的半径为R ，,tan10RAB AC == ，100tan10R BC =-=， 25250.760.985R R == 故选:B.7. 已知定义域是R 的函数()f x 满足：x ∀∈R ，()()40f x f x ++-=，()1f x +为偶函数，()11f =，则()2023f =（ ）A. 1B. -1C. 2D. -3【答案】B 【解析】【分析】根据对称性可得函数具有周期性，根据周期可将()()()2023311f f f ==-=-.【详解】因为()1f x +为偶函数，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，所以()()2=f x f x -，又由()()40f x f x ++-=，得()()4f x f x +=--，所以()()()846f x f x f x +=---=-+，所以()()2f x f x +=-，所以()()4f x f x +=，故()f x 的周期为4，所以()()()2023311f f f ==-=-．故选:B ．8. 如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD 的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD 棱长为 ）A. 6πB. 9πC.31π4D. 21π【答案】B 【解析】【分析】作出辅助线，先求出正四面体的内切球半径，再利用三个球的半径之间的关系得到另外两个球的半径，得到答案.【详解】如图，取BC 的中点E ，连接DE ，AE ，则CE BE ==，AE DE ===，过点A 作AF ⊥底面BCD ，垂足在DE 上，且2DF EF =，所以DF EF ==4AF ===，点O 为最大球的球心，连接DO 并延长，交AE 于点M ，则DM ⊥AE ， 设最大球的半径为R ，则OF OM R ==，因为Rt AOM △∽Rt AEF ，所以AO OMAE EF ==1R =，即1OM OF ==，则413AO =-=，故1sin 3OM EAF AO ∠== 设最小球的球心为J ，中间球的球心为K ，则两球均与直线AE 相切，设切点分别为,H G ，连接,HJ KG ，则,HJ KG 分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为,a b ， 则33,33AJ HJ a AK GK b ====，则33JK AK AJ b a =-=-， 又JK a b =+，所以33b a a b -=+，解得2b a =，又33OK R b AO AK b =+=-=-，故432b R =-=，解得12b =， 所以14a =， 模型中九个球的表面积和为2224π4π44π44π4ππ9πR b a +⨯+⨯=++=.故选：B【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列命题为真命题的是（ ）A 若2sin 23α=，则21cos 46πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ B. 函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度得到函数()2sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象 C. 函数()2sin cos cos 26f x x x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭的单调递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.D. ()22tan 1tan xf x x =-的最小正周期为2π 【答案】AC 【解析】【分析】利用二倍角公式和诱导公式可求得2cos 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭，知A 正确； 根据三角函数平移变换可求得()2sin 2g x x =，知B 错误；利用三角恒等变换公式化简得到()f x 解析式，利用整体对应的方式可求得单调递增区间，知C 正确； 利用特殊值判断D 错误.【详解】对于A ，21cos 21sin 212cos 4226παπαα⎛⎫++ ⎪-⎛⎫⎝⎭+=== ⎪⎝⎭，A 正确； 对于B ，()f x 向右平移6π个单位长度得：2sin 26f x x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即()2sin 2g x x =，B 错误； 对于C ，()13sin 22sin 2sin 222226f x x x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭， 则由222262k x k πππππ-+≤+≤+，Z k ∈得：36k x k ππππ-+≤≤+，Z k ∈，()f x \的单调递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，C 正确； 对于D ，()π002f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，无意义，∴2π不是函数的周期，D 错误. 故选：AC.10. 如图所示，该几何体由一个直三棱柱111ABC A B C -和一个四棱锥11D ACC A -组成，12AB BC AC AA ====，则下列说法正确的是（ ）A. 若AD AC ⊥，则1AD A C ⊥B. 若平面11AC D 与平面ACD 的交线为l ，则AC //lC. 三棱柱111ABC A B C -的外接球的表面积为143πD. 当该几何体有外接球时，点D 到平面11ACC A 【答案】BD 【解析】【分析】根据空间线面关系，结合题中空间几何体，逐项分析判断即可得解. 【详解】对于选项A ，若AD AC ⊥，又因为1AA ⊥平面ABC ， 但是D 不一定在平面ABC 上，所以A 不正确；对于选项B ，因为11//A C AC ，所以//AC 平面11AC D ， 平面11AC D ⋂平面ACD l =，所以//AC l ，所以B 正确； 对于选项C ，取ABC ∆的中心O ，111A B C ∆的中心1O ，1OO 的中点为该三棱柱外接球的球心，所以外接球的半径R ==，所以外接球的表面积为22843R ππ=，所以C 不正确； 对于选项D ，该几何体的外接球即为三棱柱111ABC A B C -的外接球，1OO 的中点为该外接球的球心，该球心到平面11ACC A点D 到平面11ACC A 的最大距离为R =，所以D 正确. 故选：BD11. 同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为()e e x x f x a b -=+（其中a ，b 是非零常数，无理数e 2.71828=⋅⋅⋅），对于函数()f x 以下结论正确的是（ ）A. a b =是函数()f x 为偶函数的充分不必要条件；B. 0a b +=是函数()f x 为奇函数的充要条件；C. 如果0ab <，那么()f x 为单调函数；D. 如果0ab >，那么函数()f x 存在极值点. 【答案】BCD 【解析】【分析】根据奇偶函数的定义、充分条件和必要条件的定义即可判断AB ；利用导数，分类讨论函数的单调性，结合极值点的概念即可判断CD.【详解】对于A ，当a b =时，函数()f x 定义域为R 关于原点对称，()()e e =x x f x a b f x --=+，故函数()f x 为偶函数；当函数()f x 为偶函数时，()()=0f x f x --，故()()0e e x xa b b a --+-=，即()()2e =xa b a b --，又2e 0x >，故a b =，所以a b =是函数()f x 为偶函数的充要条件，故A 错误； 对于B ，当0a b +=时，函数()f x 定义域为R 关于原点对称，()()=e e ()()=0x x f x f x a b a b -+-+++，故函数()f x 为奇函数，当函数()f x 为奇函数时，()()=e e ()()=0xxf x f x a b a b -+-+++，因为e 0x >，e 0x ->，故0a b +=.所以0a b +=是函数()f x 为奇函数的充要条件，故B 正确； 对于C ，()=e exxa f xb --'，因为0ab <，若0,0a b ><，则()e e 0=xxa xb f -->'恒成立，则()f x 为单调递增函数，若0,0a b <>则()e e 0=x xa xb f --<'恒成立，则()f x 为单调递减函数，故0ab <，函数()f x 单调函数，故C 正确；为对于D ，()2e e e ==e x xxxa ba b f x ---'，令()=0f x '得1=ln 2bx a，又0ab >， 若0,0a b >>， 当1,ln 2b x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，()0f x '<，函数()f x 为单调递减. 当1ln ,2b x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，()0f x ¢>，函数()f x 为单调递增.函数()f x 存在唯一的极小值. 若0,0a b <<， 当1ln2b x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，，()0f x ¢>，函数()f x 为单调递增. 当1ln ,2b x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，()0f x '<，函数()f x 为单调递减.故函数()f x 存在唯一的极大值. 所以函数存在极值点，故D 正确. 故答案为：BCD.12. 设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且满足条件11a >，202220231a a >⋅，()()20222023110a a -⋅-<，则下列选项正确的是（）A. {}n a 为递减数列B. 202220231S S +<C. 2022T 是数列{}Tn 中的最大项D. 40451T >【答案】AC 【解析】【分析】根据题意先判断出数列{}n a 的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1.再对四个选项一一验证：对于A ：利用公比的定义直接判断；对于B ：由20231a <及前n 项和的定义即可判断；对于C ：前n 项积为n T 的定义即可判断；对于D ：先求出4045T 40452023a =，由20231a <即可判断.【详解】由()()20222023110a a -⋅-<可得：20221a -和20231a -异号，即202220231010a a ->⎧⎨-<⎩或202220231010a a -<⎧⎨->⎩. 而11a >，202220231a a >⋅，可得2022a 和2023a 同号，且一个大于1，一个小于1.因为11a >，所有20221a >，20231a <，即数列{}n a 的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1. 对于A ：公比202320221a q a =<，因为11a >，所以11n n a a q -=为减函数，所以{}n a 为递减数列.故A 正确； 对于B ：因为20231a <，所以2023202320221a S S =-<，所以202220231S S +>.故B 错误；对于C ：等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，且数列{}n a 的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1，所以2022T 是数列{}Tn 中的最大项.故C 正确； 对于D ：40451234045T a a a a =()()()240441111a a q a q a q = 404512340441a q +++= 4045202240451a q ⨯= ()404520221a q =40452023a =因为20231a <，所以404520231a <，即40451T <.故D 错误.故选：AC第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知(2,),(3,1)a b λ=-=，若()a b b +⊥ ，则a = ______ .【答案】【解析】【分析】根据题意求得(1,1)a b λ+=+ ，结合向量的数量积的运算公式求得λ的值，得到a的坐标，利用向量模的公式，即可求解．【详解】因为(2,),(3,1)a b λ=-= ，可得(1,1)a b λ+=+，又因为()a b b +⊥，可得()(1,1)(3,1)310b b a λλ=+⋅=++=⋅+ ，解得4λ=-，所以(2,4)a =--，所以a ==故答案为：14. 已知函数51,2()24,2xx f x x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩，则函数()()g x f x =的零点个数为______. 【答案】3 【解析】【分析】令()0g x =得()f x =()f x，y =的大致图象，由图象可知，函数()y f x =与y =的图象有3个交点，即可得出答案．【详解】令()0g x =得()f x =，可知函数()g x 的零点个数即为函数()f x与y =的交点个数，在同一直角坐标系中作出()f x，y =由图象可知，函数()y f x =与y =的图象有3个交点，即函数()g x 有3个零点， 故答案为：3.15. 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则平面α截此正方体所得截面面积的最大值为______.【解析】【分析】利用正方体的结构特征，判断平面α所在的位置，然后求得截面面积的最大值即可.【详解】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，可知在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AB D 与直线1AA ，11A B ，11A D 所成的角是相等的，所以平面11AB D 与平面α平行，由正方体的对称性：要求截面面积最大，则截面的位置为过棱的中点的正六边形（过正方体的中心），边，所以其面积为26S ==.. 16. 如图1所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和音质.图2是根据图1绘制的古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2中，每根弦都垂直于x 轴，相邻两根弦间的距离为1，雁柱所在曲线的方程为 1.1x y =，第n 根弦（n ∈N ，从左数首根弦在y 轴上，称为第0根弦）分别与雁柱曲线和直线l ：1y x =+交于点(),n n n A x y 和(),n n n B x y ''，则20n n n y y ='=∑______.（参考数据：取221.18.14=.）【答案】914 【解析】【分析】根据题意可得1, 1.1n n n y n y '=+=，进而利用错位相减法运算求解. 【详解】由题意可知：1, 1.1n n n y n y '=+=， 则()2020119200011.11 1.12 1.120 1.121 1.1n nn n n yy n =='=+=⨯+⨯++⨯+⨯∑∑L ，可得2012202101.11 1.12 1.120 1.121 1.1n nn yy ='⨯=⨯+⨯++⨯+⨯∑L ， 两式相减可得：2120120212101 1.10.1 1.1 1.1 1.121 1.121 1.11 1.1n n n y y =-'-⨯=+++-⨯=-⨯-∑L 2121221 1.10.121 1.11 1.118.1491.40.10.10.1-+⨯⨯++====----，所以20914nn n yy ='=∑.故答案：914.四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2CA CB ==，AB =13AA =，M 为AB 的中点.（1）证明：1//AC 平面1B CM ； （2）求点A 到平面1B CM 的距离. 【答案】（1）证明见解析（2【解析】为【分析】(1)利用线面平行的判定定理证明； (2)利用等体积法求解. 【小问1详解】连接1BC 交1B C 于点N ，连接MN ， 则有N 为1BC 的中点，M 为AB 的中点， 所以1//AC MN ，且1AC ⊄平面1B CM ，MN ⊂平面1B CM ， 所以1//AC 平面1B CM . 【小问2详解】连接1AB ,因为2CA CB ==，所以C M A B ⊥,又因为1AA ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，所以1AA CM ⊥，1AB AA A ⋂=,所以CM ⊥平面11ABB A , 又因为1MB ⊂平面11ABB A ,所以1CM MB ⊥,又222CA CB AB +=，所以ABC 是等腰直角三角形，112CM AB MB ====,所以1112CMB S CM MB =⋅=△1111222ACM ACB S S CA CB ==⨯⋅=△△, 设点A 到平面1B CM 的距离为d ，因为11A B CM B ACM V V --=,所以111133B CM ACM S d S AA ⨯⨯=⨯⨯ ,所以11ACM B CM S AA d S ⨯== .18. 记锐角ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin()sin()cos cos A B A C B C--=．（1）求证：B C =； （2）若sin 1a C =，求2211a b+的最大值． 【答案】（1）见解析；（2）2516. 【解析】【分析】（1）运用两角和与差正弦进行化简即可； （2）根据（1）中结论运用正弦定理得sin 2sin sin 12ba C R Ab A R === ，然后等量代换出2211a b+，再运用降次公式化简，结合内角取值范围即可求解. 【小问1详解】 证明：由题知sin()sin()cos cos A B A C B C--=，所以sin()cos sin()cos A B C A C B -=-，所以sin cos cos cos sin cos sin cos cos cos sin cos A B C A B C A C B A C B -=-, 所以cos sin cos cos sin cos A B C A C B = 因为A 为锐角，即cos 0A ≠ ， 所以sin cos sin cos B C C B =， 所以tan tan =B C ， 所以B C =. 【小问2详解】 由（1）知：B C =， 所以sin sin B C =， 因为sin 1a C =，所以1sin C a=， 因为由正弦定理得：2sin ,sin 2b a R A B R==， 所以sin 2sin sin 12ba C R Ab A R=== , 所以1sin A b=， 因为2A B C C ππ=--=- ， 所以1sin sin 2A C b==， 所以222211sin sin 2a bC C+=+ 221cos 2(1cos 2)213cos 2cos 222CC C C -=+-=--+因为ABC 是锐角三角形，且B C =， 所以42C ππ<<，所以22C ππ<<，所以1cos 20C -<<，当1cos 24C =-时，2211a b +取最大值为2516， 所以2211a b +最大值为：2516. 19. 甲、乙足球爱好者为了提高球技，两人轮流进行点球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得1-分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲、乙每次踢球命中的概率均为12，甲扑到乙踢出球的概率为12，乙扑到甲踢出球的概率13，且各次踢球互不影响． （1）经过1轮踢球，记甲的得分为X ，求X 的分布列及数学期望； （2）求经过3轮踢球累计得分后，甲得分高于乙得分的概率． 【答案】（1）分布列见解析；期望为112（2）79192【解析】【分析】（1）先分别求甲、乙进球的概率，进而求甲得分的分布列和期望；（2）根据题意得出甲得分高于乙得分的所有可能情况，结合（1）中的数据分析运算. 【小问1详解】记一轮踢球，甲进球为事件A ，乙进球为事件B ，A ，B 相互独立， 由题意得：()1111233P A ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，()1111224P B ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭， 甲的得分X 的可能取值为1,0,1-，()()()()11111346P X P AB P A P B ⎛⎫=-===-⨯= ⎪⎝⎭，()()()()()()()11117011343412P X P AB P AB P A P B P A P B ⎛⎫⎛⎫==+=+=⨯+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()11111344P X P AB P A P B ⎛⎫====⨯-= ⎪⎝⎭，所以X 的分布列为：X 1-1p16 712 14()1711101612412E X =-⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得1-分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分，甲3轮各得1分的概率为3111464P ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分的概率为2223177C 41264P ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，甲3轮中有2轮各得1分，1轮得1-分的概率为2233111C 4632P ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭， 甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分的概率为21431749C 412192P ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以经过三轮踢球，甲累计得分高于乙的概率1714979646432192192P =+++=. 20. 已知数列{}n a 中，10a =，()12n n a a n n N*+=+∈.（1）令11n n n b a a +=-+，求证：数列{}n b 是等比数列； （2）令3nn na c =，当n c 取得最大值时，求n 的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）3n =. 【解析】 【分析】（1）求得21a =，12b =，利用递推公式计算得出12n n b b +=，由此可证得结论成立；（2）由（1）可知112nn n a a +-+=，利用累加法可求出数列{}n a 的通项公式，可得出213n n nn c --=，利用定义法判断数列{}n c 的单调性，进而可得出结论.【详解】（1）在数列{}n a 中，10a =，12n n a a n +=+，则21211a a =+=，11n n n b a a +=-+ ，则12112b a a =-+=，则()()()111112211212n n n n n n n n b a a a n a n a a b ++--=-+=+-+-+=-+=， 所以，数列{}n b 为等比数列，且首项为2，所以，1222n n n b -=⨯=；（2）由（1）可知，2n n b =即121nn n a a +-=-，可得2123211212121n n n a a a a a a ---=-⎧⎪-=-⎪⎨⎪⎪-=-⎩ ，累加得()()()()1211212222112112n n n n a a n n n ----=+++--=--=--- ，21n n a n ∴=--.213n n n n c --∴=，()111112112233n n n n n n n c +++++-+---==， 11112221212333n n nn n n n n n n n c c ++++----+-∴-=-=， 令()212nf n n =+-，则()11232n f n n ++=+-，所以，()()122nf n f n +-=-.()()()()1234f f f f ∴=>>> ，()()1210f f ==> ，()310f =-<，所以，当3n ≥时，()0f n <.所以，123c c c <<，345c c c >>> . 所以，数列{}n c 中，3c 最大，故3n =.【点睛】方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式()11n a a n d +-=或11n n a a q -=进行求解；（2）前n 项和法：根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行求解；（3）n S 与n a 的关系式法：由n S 与n a 的关系式，类比出1n S -与1n a -的关系式，然后两式作差，最后检验出1a 是否满足用上面的方法求出的通项；（4）累加法：当数列{}n a 中有()1n n a a f n --=，即第n 项与第n 1-项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（5）累乘法：当数列{}n a 中有()1nn a f n a -=，即第n 项与第n 1-项的商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（6）构造法：①一次函数法：在数列{}n a 中，1n n a ka b -=+（k 、b 均为常数，且1k ≠，0k ≠）. 一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+，得到()1b k m =-，1b m k =-，可得出数列1n b a k ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以k的等比数列，可求出n a ；②取倒数法：这种方法适用于()112,n n n ka a n n N ma p*--=≥∈+（k 、m 、p 为常数，0m ≠），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于1n n a ka b -=+的式子；⑦1nn n a ba c +=+（b 、c 为常数且不为零，n N *∈）型的数列求通项n a ，方法是在等式的两边同时除以1n c +，得到一个1n n a ka b +=+型的数列，再利用⑥中的方法求解即可.21. 已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的焦距为10，且经过点M ．A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，P 为直线2x =上的动点，连接PA ，PB 交双曲线E 于点C ，D （不同于A ，B ）． （1）求双曲线E 的标准方程．（2）直线CD 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】（1）221169x y -= （2）直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)． 【解析】【分析】（1）方法一：将M 代入方程，结合222+=a b c 求得,a b 得双曲线方程；方法二：根据双曲线定义求得a 得双曲线方程.（2）方法一：设CD 的方程为x my t =+，与双曲线联立，由A 点与C 点写出AC 方程，求出p y ，由B 点与D 点写出BD 方程，求出p y ，利用两个p y 相等建立关系式，代入韦达定理可求得t 为定值.方法二：设CD 的方程为,(2,)x my t P n =+，与双曲线联立，由P 点与A 点写出AC 方程，由P 点与B 点写出BD 方程，将()()1122,,,C x y D x y 代入以上两方程，两式相比消去n 建立关系式，代入韦达定理可求得t 为定值. 【小问1详解】法一．由222225,64271,a b ab ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解得2216,9a b ==，∴双曲线E 的标准方程为221169x y -=． 法二．左右焦点为()()125,0,5,0F F -，125,28c a MF MF ∴==-==，22294,a b c a ∴===-，∴双曲线E 的标准方程为221169x y -=． 【小问2详解】直线CD 不可能水平，故设CD 的方程为()()1122,,,,x my t C x y D x y =+，联立221169x my t x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去x 得()()2222916189144=0,9160m y mty t m -++--≠，12218916mt y y m -∴+=-，21229144916t y y m -=-，12y y -=，AC 方程为11(4)4y y x x =++，令2x =，得1164p y y x =+， BD 的方程为22(4)4y y x x =--，令2x =，得2224p y y x -=-，1221112212623124044y y x y y x y y x x -∴=⇔-++=+- ()()21112231240my t y y my t y y ⇔+-+++=()()1212431240my y t y t y ⇔+-++=()()()()12121242480my y t y y t y y ⇔+-++--=()22249144(24)180916916m t t mt m m --⇔-±=--3(8)(0m t t ⇔-±-=(8)30t m ⎡⇔-=⎣，解得8t =3m =±，即8t =或4t =（舍去）或4t =-（舍去）， ∴CD 的方程为8x my =+，∴直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)．方法二．直线CD 不可能水平，设CD 的方程为()()1122,,,,,(2,)x my t C x y D x y P n =+，联立22,1,169x my t x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去x 得()2229161891440m y mty t -++-=，的2121222189144,916916mt t y y y y m m --∴+==--， AC 的方程为(4)6n y x =+，BD 的方程为(4)2ny x =--， ,C D 分别在AC 和BD 上，()()11224,462n ny x y x ∴=+=--， 两式相除消去n 得()211211223462444x y y y x x x y ---=⇔+=+-， 又22111169x y -=，()()211194416x x y ∴+-=． 将()2112344x y x y --+=代入上式，得()()1212274416x x y y ---=⇔()()1212274416my t my t y y -+-+-=()()221212271627(4)27(4)0m y y t m y y t ⇔++-++-=⇔()22222914418271627(4)27(4)0916916t mtm t m t m m --++-+-=--．整理得212320t t +=-，解得8t =或4t =（舍去）．∴CD 的方程为8x my =+，∴直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)．【点睛】圆锥曲线中直线过定点问题通法，先设出直线方程y kx m =+，通过韦达定理和已知条件若能求出m 为定值可得直线恒过定点，若得到k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可得到直线恒过定点.22. 设函数()()2cos 102x f x x x =-+≥.（1）求()f x 的最值；（2）令()sin g x x =，()g x 的图象上有一点列()*11,1,2,...,,22i ii A g i n n ⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭N ，若直线1i i A A +的斜率为()1,2,...,1i k i n =-，证明：1217 (6)n k k k n -+++>-.【答案】（1）()f x 在[)0,∞+上的最小值为()00f =，()f x 在[)0,∞+上无最大值.（2）见解析 【解析】【分析】（1）求出原函数二阶导数后可判断二阶导数非负，故可判断导数非负，据此可求原函数的最值.（2）根据（1）可得3sin (0)6x x x x ≥-≥，结合二倍角的正弦可证：2271162i i k +>-⨯，结合等比数列的求和公式可证题设中的不等式. 【小问1详解】()sin f x x x '=-+，设()sin s x x x =-+，则()cos 10s x x '=-+≥（不恒为零），故()s x 在()0,∞+上为增函数， 故()()00sx s >=，所以()0f x ¢>，故()f x 在[)0,∞+上为增函数，故()f x 在[)0,∞+上的最小值为()00f =，()f x 在[)0,∞+上无最大值. 【小问2详解】先证明一个不等式：3sin (0)6x x x x ≥-≥，证明：设()3sin ,06x u x x x x =-+≥，则()2cos 1()02x u x x f x '=-+=≥（不恒为零），故()u x 在[)0,∞+上为增函数， 故()()00u x u ≥=即3sin (0)6x x x x ≥-≥恒成立.当*N i ∈时，11111111222sin sin 112222i ii i i i i ig g k ++++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭==- ⎪⎝⎭-11111111111122sin cos sin 2sin 2cos 122222i i i i i i i +++++++⎛⎫⎛⎫=-=⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由（1）可得()2cos 102x x x ≥->，故12311cos 1022i i ++≥->， 的故111112311112sin2cos 12sin 2112222i i i i i i ++++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯-≥⨯-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1112213322111112sin121222622i i i i i i i +++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-≥-- ⎪ ⎪⎪⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222224422117111711111622626262i i i i i +++++⎛⎫⎛⎫=--=-⨯+⨯>-⨯ ⎪⎪⨯⎝⎭⎝⎭, 故1214627111...16222n nk k k n -⎛⎫+++>--+++⎪⎝⎭41111771112411166123414n n n n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=--⨯=--⨯-⨯ ⎪⎝⎭- 771797172184726n n n n =--+⨯>->-. 【点睛】思路点睛：导数背景下数列不等式的证明，需根据题设中函数的特征构成对应的函数不等式，从而得到相应的数列不等式，再结合不等式的性质结合数列的求和公式、求和方法等去证明目标不等式.。

定义行列式的计算方法ana21 a12a22 -ana22 - a21 a12,贝U 函数湖南省长沙市一中、长郡中学、湖南师大附中、雅礼中学2019届高三四校联考试卷数学（文科）时量：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1 •已知集合A、B,则"A B 二B"是"A ' B = A"的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2 .数列｛a n｝满足a；=：a n」a n.1（ n_ 2且N*）, a^4，则下列各式等于16的是（）A. a2nB. a1 a2n/ C・a1 a2n -1 D. a1 a2n/2X 23. 直线y =k（x 3）,当k变化时，直线被椭圆y2=1截得的最大弦长是（）4443A. 4B. 2C.D.不能确定34.ABC的三个内角A B、C成等差数列，（AB CB）・AC =0 ,则ABC 一定是（）A.直角三角形B.等边三角形C.锐角三角形D.钝角三角形5.一正四棱锥的高为2 2，侧棱与底面所成的角为45°,则此正四棱锥的斜高等于（）A. 2 3B. 4、3C. 2 6D. 2 26 .若实数x, y满足条件：3乞x • y乞5,-1岂x - y岂1,则实数x 2y的取值范围为（）A. [2, 8]B. [4, 8]C. [6, 8]D. [3, 6]7.将r x 3x）12的展开式中各项重新排列，使含x的正整数次幕的项互不相邻的排法共有多少种？,3 ,10"10 "3,4 ,9_ 10 _ 3A. A]3 A13B. A10 AnC.A13 A9D. A10 A19•设向量 a =(1,-1),b =(2,5),则 |a b| =10. 若偶函数g(x)的定义域为｛x||x ，3-a|：：：a,a 0｝,则a 的值为 _________________ 11. 某次数学竞赛后，指导老师统计了所有参赛学生的成绩(成绩都为整数，满分 120分)并且绘制了“得分情况分布图”如图，则得分在 70—100分以上的同学所占比 例约为 (用分数形式表示)。

湖南省长沙市长郡、雅礼、一中、附中2021届高三上学期11月份联考数学（文科）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．）1．已知集合A＝{x||x|≤2，x∈Z}，B＝{x|x2-x-6＜0}，则A∩B＝A．{-2，-1，0，1，2，3} B．{-2，-1，0，1，2}C．{-1，0，1，2} D．{-2，-1，0，1}2．若z(1+i)＝1-i，则z＝A．1-i B．1+i C．-i D．i3．在等比数列{a n}中，已知a n a n+1＝9n，则该数列的公比是A．-3 B．3 C．±3 D．94．已知数据x1，x2，…，x10，2的平均值为2，方差为1，则数据x1，x2，…，x10相对于原数据A．一样稳定B．变得比较稳定C．变得比较不稳定D．稳定性不可以判断5．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹．古代用算筹（一根根同样长短和粗细的小棍子）来进行运算．算筹的摆放有纵式、横式两种（如图所示）．当表示一个多位数时，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位数用横式表示，以此类推，遇零则置空．例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹应表示为A．B．C．D．6．过抛物线E：y2＝2x焦点的直线交E于A，B两点，线段AB中点M到y轴距离为1，则|AB|＝A．2 B．52C．3 D．47．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF ⋅=，则AE BF ⋅的值是A ．22−B ．1C ．2D ．28．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出x +y 的值是A ．-4B ．-3C ．-2D ．-1 9．已知函数2ln ()xf x ax x=−，若曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线与直线2x -y +1＝0平行，则a ＝A ．12−B ．12C ．1D ．210．如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为A ．42236++B ．42436++C ．2320+D ．4263+11．函数f (x )＝A sin(ωx +φ)(A ＞0，0＜φ＜π)的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与f (x )的图象交于M ，N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是A ．函数f (x )在3π,π2⎛⎫−− ⎪⎝⎭上单调递增B ．函数f (x )的图象关于点π,03⎛⎫− ⎪⎝⎭成中心对称C ．函数f (x )的图象向右平移5π12个单位后关于直线5π6x =成轴对称D ．若圆半径为5π12，则函数f (x )的解析式为3ππ()23f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 12．若0＜a ＜b ＜c ，且abc ＝1，则下列结论正确的是 ①2a +2b ＞4 ②lg a +lg b ＜0 ③a +c 2＞2 ④a 2+c ＞2 A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．①③ 二、填空题13．若x ，y 满足约束条件2,0,20,x x y x y ≥−⎧⎪+≥⎨⎪−+≤⎩则z ＝x -2y 的最大值为________．14．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝23，S n ＝360，S n -5＝183，则n ＝________．15．过双曲线22221(0,0)y x a b a b−=>>的下焦点F 1作y 轴的垂线，交双曲线于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆恰好过其上焦点F 2，则双曲线的离心率为________．16．四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是矩形，侧面PAD ⊥平面ABCD ，∠APD ＝120°，AB ＝PA ＝PD ＝2，则该四棱锥P -ABCD 外接球的体积为________．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．） （一）必考题17．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3c ，3sin cos a c A a C =−． （1）求∠C ；（2）求△ABC 周长的最大值．18．如图，四边形ABCD 为矩形，BC ⊥平面ABE ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ．（1）求证：AE ⊥BE ；（2）设点M 为线段AB 的中点，点N 为线段CE 的中点．求证：MN ∥平面DAE ． 19．一汽车厂生产A ，B ，C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如表（单位：辆）：轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 100 150 z 标准型300450600按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A 类轿车10辆． （1）求z 的值；（2）用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；（3）用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分x 的值如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数x i (1≤i ≤8，i ∈N )，设样本平均数为x ，求||0.5i x x −≤的概率． 20．设函数f (x )＝a e x +cos x ，其中a ∈R ． （1）若a ＝1，证明：当x ＞0时，f (x )＞2；（2）若f (x )在区间[0，π]内有两个不同的零点，求a 的取值范围．21．已知点P 是圆Q ：(x +2)2+y 2＝32上任意一点，定点R (2，0)，线段PR 的垂直平分线l 与半径PQ 相交于M 点，当P 在圆周上运动时，设点M 的运动轨迹为Γ． （1）求点M 的轨迹Γ的方程；（2）若点N 在双曲线22142x y −=（顶点除外）上运动，过点N ，R 的直线与曲线Γ相交于A ，B ，过点N ，Q 的直线与曲线Γ相交于C ，D ，试探究|AB |+|CD |是否为定值，若为定值请求出这个定值，若不为定值，请说明理由．（二）选考题：请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为8,242xttyt⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若射线π(0)4θρ=>与直线l和曲线C分别交于A，B两点，求|AB|的值．23．选修4-5：不等式选讲：已知函数f(x)＝|3x+2|．（1）解不等式f(x)＜4-|x-1|；（2）若a＞0且|x-a|-f(x)≤4恒成立，求实数a的取值范围．湖南省长沙市长郡、雅礼、一中、附中2021届高三上学期11月份联考数学（文科）参考答案一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．） 1．C2．C 【解析】因为21i (1i)2ii 1i (1i)(1i)2z −−−====−++−，所以选C ． 3．B 【解析】由a n a n +1＝9n＞0，∴11111999nn n n n n n n a a a a a a ++−−−===，∴q 2＝9，故q ＝3或q ＝-3， 当q ＝-3时，a n a n +1＜0不符合题意．故选B ． 4．C 【解析】由题可得：12101210222011x x x x x x +++=⇒++=⇒……平均值为2， 由22221210(2)(2)(2)(22)111x x x −+−+−+−=…，2221210(2)(2)(2) 1.1110x x x −+−+−=>…，所以变得不稳定．故选C ．5．C 【解析】由算筹的定义，得，所以8771用算筹应表示为，故选C ．6．C 【解析】设焦点为F ，过A ，B ，M 分别作准线12x =−的垂线，垂足为A ′，B ′，M ′，则有AA ′＝AF ，BB ′＝BF ，AA ′+BB ′＝2MM ′，∵M 到y 轴距离为1，∴32MM '=，∴AB ＝AF +BF ＝2MM ′＝3．故选C ．7．D 【解析】据题意，分别以AB 、AD 所在直线为x ，y 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：A (0，0)，(2,0)B ，(2,1)E ，设F (x ，2)；∴(2,0)(,2)22AB AF x x ⋅=⋅==∴x ＝1；∴F (1，2)，(2,1)AE =， (12,2)BF =；∴2222AE BF ⋅=−+=D ． 8．D9．A 【解析】函数2ln ()x f x ax x =−的导数为21ln ()2xf x ax x−'=−，可得曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线的斜率为k ＝1-2a ，由切线与直线2x -y +1＝0平行，可得1-2a ＝2，解得12a =−．10．A 【解析】由已知中的三视图可得：此棱锥的直观图如右图所示：其底面ABCD 为一个底边长是222的矩形，侧面PBC 是边长为22ABP ，ADP ，CDP 均是边长为2的等腰直角三角形，其表面积为232222)3S =⨯+⨯ 21242362⨯=，故选A ． 11．D 【解析】由图易得点C 的横坐标为π3，所以f (x )的周期T ＝π，所以ω＝2，又π06f ⎛⎫−= ⎪⎝⎭，所以π3ϕ=，因此π()sin 23f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．函数f (x )的图象不关于点π,03⎛⎫− ⎪⎝⎭成中心对称．若圆半径为5π122235ππ123A ⎛⎫⎛⎫=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴3πA =，函数f (x )的解析式为3π()f x = π23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故选D ．12．B 【解析】由题意0＜a ＜b ＜c 且abc ＝1，∴0＜a ＜1，c ＞1，0＜ab ＜1，bc ＞1． 2a +2b -4＝2a +2b -2abc -2abc ＝2a (1-2bc )+2b (1-2ac )，∵0＜a ＜b ＜c ，∴bc ＞0，ac ＞0，2bc ＞1，2ac ＞1，所以2a+2b-4＜0，所以①错． lg a +lg b ＝lg ab ＜0，②正确． 2212a c ac abc +，所以a +c 2＞2，③正确． 由题意，令b ＝1，则1c a =，221a c a a +=+，令21()f a a a=+，(0＜a ＜1)，则322121()2a f a a a a −'=−=， 令f ′(a )＝0，得1301(0,1)2a a ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，所以f (a )在(0，a 0)上单调递减，在(a 0，1)上单调递增， 所以f (a 0)＜f (1)＝2，所以④错误．故选B ． 二、填空题13．-3 【解析】由x ，y 满足约束条件2,0,20,x x y x y ≥−⎧⎪+≥⎨⎪−+≤⎩作出可行域如图，化目标函数z ＝x -2y 为122z y x =−， 由图可知，当直线122zy x =−过点A (-1，1)时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为-3．14．18 【解析】由题意知S 5＝a 1+a 2+a 3+a 4+a 5＝23， S n -S n -5＝a n +a n -1+a n -2+a n -3+a n -4＝360-183＝177， 两式相加可得：(a 1+a n )+(a 2+a n -1)+(a 3+a n -2)+(a 4+a n -3)+(a 5+a n -4)＝23+177＝200， 所以a 1+a n ＝40，1203602nn a a S n n +=⨯==，因此n ＝18． 15．12+ 【解析】过双曲线22221(0,0)y x a b a b −=>>的下焦点F 1作y 轴的垂线，交双曲线于A ，B 两点，则22||b AB a =，以AB 为直径的圆恰好过其上焦点F 2，可得：22b c a=，∴c 2-a 2-2ac＝0，可得e 2-2e -1＝0，解得12e =+，12e =−（舍去）．故答案为：12+．16．205π3【解析】取AD 的中点E ，连接PE ，△PAD 中，∠APD ＝120°，PA ＝PD ＝2，∴PE ＝1，23AD =，设ABCD 的中心为O ′，球心为O ，则122O B BD '==，设O 到平面ABCD 的距离为d ，则R 2＝d 2+22＝12+(1+d )2，∴d ＝1，5R =，∴四棱锥P -ABCD 的外接球的体积为34205ππ33R =．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）17．【解析】（1）∵3sin cos a c A a C =−， 由正弦定理得：sin 3sin sin sin cos A C A A C =−，∵sin A ≠0，∴3sin cos 1C C −=，即π1sin 62C ⎛⎫−= ⎪⎝⎭， 又0＜C ＜π，∴ππ5π666C −<−<，故ππ66C −=，即π3C =；（2）由（1）可知，π3C =， 在△ABC 中，由余弦定理得a 2+b 2-2ab cos C ＝3， 即a 2+b 2-ab ＝3，∴223()()334a b a b ab ++−=≤，∴23a b +≤，当且仅当a ＝b 时取等号，∴a b c ++33≤，即△ABC 周长的最大值为33．18．【解析】（1）因为BC ⊥平面ABE ，AE ⊂平面ABE ，所以AE ⊥BC ， 又BF ⊥平面ACE ，AE ⊂平面ACE ，所以AE ⊥BF ， 又BF ∩BC ＝B ，所以AE ⊥平面BCE ， 又BE ⊂平面BCE ，所以AE ⊥BE ．（2）取DE 的中点P ，连结PA ，PN ，因为点N 为线段CE 的中点．所以PN ∥DC ，且12PN DC =， 又四边形ABCD 是矩形，点M 为线段AB 的中点，所以AM ∥DC ，且12AM DC =， 所以PN ∥AM ，且PN ＝AM ， 故四边形AMNP 是平行四边形，所以MN ∥AP ， 而AP ⊂平面DAE ，MN ⊄平面DAE ，所以MN ∥平面DAE ． 19．【解析】（1）设该厂这个月共生产轿车n 辆，由题意得5010100300n =+，所以n ＝2000． 则z ＝2000-(100+300)-(150+450)-600＝400． （2）设所抽样本中有a 辆舒适型轿车，由题意40010005a=，得a ＝2． 因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车． 用A 1，A 2表示2辆舒适型轿车，用B 1，B 2，B 3表示3辆标准型轿车，用E 表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有： (A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，共10个． 事件E 包含的基本事件有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，共7个． 故7()10P E =，即所求概率为710．（3）样本平均数1(9.48.69.29.68.79.39.08.2)98x =⨯+++++++=． 设D 表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D 包括的基本事件有：9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0共6个， 所以63()84P D ==，即所求概率为34． 20．【解析】（1）f ′(x )＝e x -sin x ， 由x ＞0，得e x ＞1，sin x ∈[-1，1]， 则f ′(x )＝e x -sin x ＞0，即f (x )在(0，+∞)上为增函数． 故f (x )＞f (0)＝2，即f (x )＞2． （2）由f (x )＝a e x +cos x ＝0，得cos e x x a =−． 设函数cos ()ex xh x =−，x ∈[0，π]， 则()h x '= sin cos e x x x +． 令h ′(x )＝0，得3π4x =． 则3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，h ′(x )＞0，3π,π4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，h ′(x )＜0， 所以h (x )在3π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3π,π4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减． 又因为h (0)＝-1，h (π)＝e -π，3π43π4h −⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以当3ππ4e ,2a −−⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，方程cos e x x a =−在区间[0，π]内有两个不同解， 即所求实数a的取值范围为3ππ4e −−⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 21．【解析】（1）依题意：|MP |＝|MR |，且||||||||||4||MR MQ MQ MP PQ RQ +=+===， 由椭圆定义知点M 的轨迹为以R ，Q 为焦点，长轴长为焦距为4的椭圆，即：a =c ＝2，b ＝2， 故Γ：22184x y +=．（2）设N (x 0，y 0)，则2200142x y −=，x 0≠±2，∴直线NR ，NQ 的斜率都存在，分别设为k 1，k 2，则220001222000021222442x y y y k k x x x x −=⋅===+−−−， 将直线NR 的方程y ＝k 1(x -2)代入28x + 214y =得2222111(21)8880k x k x k +−+−=， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则211221821k x x k +=+，12x x 21218821k k −=+，∴21211||21k AB k ++，同理可得||CD = 2222121k k ++，∴22222112112222121121131(21)11142||||12121212112k k k k k AB CD k k k k k ⎛⎫++⎪⎫+++⎪+=+=+=⎪++++⎪⎭+ ⎪⎝⎭=1122．【解析】（1）直线l 的参数方程为8,242x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数），消去参数可得普通方程：y +x ＝4(x ≠0)． 曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ．即ρ2＝2ρsin θ，可得普通方程：x 2+y 2＝2y ．（2）射线π(0)4θρ=>，即y ＝x (x ＞0)． 联立,4,y x x y =⎧⎨+=⎩解得2,2,x y =⎧⎨=⎩ 联立22,2,y x x y y =⎧⎨+=⎩解得1,1.x y =⎧⎨=⎩与直线l 和曲线C 分别交于A (2，2)，B (1，1)，||AB 23．【解析】（1）函数f (x )＝|3x +2|，∴不等式f (x )＜4-|x -1|化为|3x +2|+|x -1|＜4， 当23x <−时，不等式化为-3x -2-x +1＜4，解得5243x −<<−； 当213x −≤≤时，3x +2-x +1＜4，解得2132x −≤<； 当x ＞1时，3x +2+x -1＜4，无解； 综上，不等式的解集为51,42⎛⎫− ⎪⎝⎭； （2）令g (x )＝|x -a |-f (x )， 则222,,32()|||32|42,,322,;x a x g x x a x x a x a x a x a ⎧++<−⎪⎪⎪=−−+=−−+−≤≤⎨⎪−−−>⎪⎪⎩当23x =−时，g (x )取得最大值为max 2()3g x a =+； 欲使不等式g (x )≤4恒成立，只需243a +≤，解得103a ≤； 又因为a ＞0，所以1003a <≤，即a 的取值范围是100,3⎛⎤ ⎥⎝⎦．。

2021年湖南省长郡、雅礼、一中、附中四校高考数学联考试卷（文科）（九）（全国卷）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合A ={x|x 2−4x +3<0}，B ={x|2x −3>0}，则A ∩B =( )A. {x|−3<x <−32} B. {x|−3<x <32} C. {x|1<x <32}D. {x|32<x <3}2. 若z =1+2i ，则4iz⋅z −−1=( )A. 1B. −1C. iD. −i3. 设a =60.4，b =log 0.40.5，c =log 50.4，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a <b <cB. c <b <aC. c <a <bD. b <c <a4. 函数f(x)=sinxx 2+1的图象大致为( )A.B.C.D.5. 某人在同一群体中调查了人们对6杯饮品口感的看法，得到数据如表：饮品 第1杯第2杯第3杯第4杯第5杯第6杯 好评率 0.13 0.52 0.22 0.45 0.98 0.30 差评率0.870.480.780.550.020.70根据这些数据，可知这一群体意见分歧较大的两杯饮品是( )A. 第1杯与第3杯B. 第2杯与第4杯C. 第1杯与第5杯D. 第3杯与第5杯6. ABCD 为长方形，AB =2，BC =1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为( )A. π4B. 1−π4C. π8D. 1−π87. 《掷铁饼者》取材于古希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂及肩近似看成一张“弓”，掷铁饼者的肩宽约为π8米，一只手臂长约为π4米，“弓”所在圆的半径约为1516米，则掷铁饼者双手之间的直线距离约为( )A. 1516米B. 15√216米 C. 15√316米 D. 15√332米 8. 新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出版产品供给，实现了行业的良性发展，下面是2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收增长情况，则下列说法错误的是( )A. 2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加B. 2016年我国数字出版业营收超过2012年我国数字出版业营收的2倍C. 2016年我国新闻出版业营收超过2012年我国新闻出版业营收的1.5倍D. 2016年我国数字出版业营收占新闻出版业营收的比例未超过三分之一9. 若b <a <0，则下列结论不正确的是( )A. a 2<b 2B. ab <b 2C. 1a <1bD. |a|+|b|>|a +b|10. 已知函数f(x)=lna+lnxx在[1,+∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是( )A. a ≤ eB. 0<a ≤ eC. a ≥ eD. 0<a <1e11. 如图，AB 是圆O(O 为圆心)的一条弦，由下列一个条件能确定AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 值的有( )A. 已知圆的半径长B. 已知弦长|AB|C. 已知∠OAB大小D. 已知点O到弦AB的距离12.已知函数f(x)=2sin(ωx−π6)+t(ω>0)，点P，Q，R是直线y=m(m>0)与函数f(x)的图象自左至右的某三个相邻交点，且2|PQ|=|QR|=2π3.若对∀a、b、c∈[0,π2]，以f(a)、f(b)、f(c)的值为边长可以构成一个三角形，那么实数t的取值范围是()A. (1,+∞)B. (2,+∞)C. (3,+∞)D. (4,+∞)二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13.若抛物线y2=2px上一点P(2,y0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为______ ．14.已知直线l1，l2是双曲线C：x24−y2=1的两条渐近线，点P是双曲线C上一点，若点P到渐近线l1的距离的取值范围是[12,1]，则点P到渐近线l2的距离的取值范围是______ ．15.如图，在平面四边形PQRS中，∠QPS=π2，∠QSR=π2，PQ=PS=SR=2.将该平面图形沿线QS折成一个直二面角P−QS−R，三棱锥P−QRS的体积为______ ，三棱锥P−QRS的外接球的体积为______ ．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.设正项等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2=3，S4=15，则公比q=(1)，S6=(2)．四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n−1.数列b1=2，b n+1−2b n=8a n．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{b n}的前n项和T n．18.如图，在底面是菱形的四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，∠ABC=60°，AA1=AC=2，A1B=A1D=2√2，点E在A1D上．(1)求证：AA1⊥平面ABCD；(2)当E为线段A1D的中点时，求点A1到平面EAC的距离．19.网购是当前民众购物的新方式，某公司为改进营销方式，随机调査了100名市民，统计其周平均网购的次数，并整理得到如右的频数直方图，将周平均网购次数不小于4次的民众称为网购迷．这100名市民中，年龄不超过40岁的有65人，且网购迷中有5名市民的年龄超过40岁．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提条件下认为网购迷与年龄不超过40岁有关？网购迷非网购迷合计年龄不超过40岁年龄超过40岁合计(2)现从网购迷中按分层抽样选5人代表进一步进行调查，若从5人代表中任意挑选2人，求挑选的2人中有年龄超过40岁的概率．附：K2=n(ad−bc)2，n=a+b+c+d．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k)0.500.250.150.10.050.0250.01k00.4551.3232.0722.7063.8415.0246.63520. 已知函数f(x)=axlnx −bx 2−ax ．(Ⅰ)曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x +y +12=0，求a ，b 的值； (Ⅱ)若a ≤0，b =12时，∀x 1，x 2∈(1,e)，都有|f(x 1)−f(x 2)||x 1−x 2|<3，求a 的取值范围．21. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，连接椭圆上任意两点的线段叫作椭圆的弦，过椭圆中心的弦叫做椭圆的直径.若椭圆的两直径的斜率之积为−b 2a2，则称这两直径为椭圆的共轭直径.特别地，若一条直径所在的斜率为0，另一条直径的斜率不存在时，也称这两直径为共轭直径.现已知椭圆E ：x 24+y 23=1．(1)已知点A(1,32)，B(−1,−32)为椭圆E 上两定点，求AB 的共轭直径的端点坐标．(2)过点(−√3,0)作直线l 与椭圆E 交于A 1、B 1两点，直线A 1O 与椭圆E 的另一个交点为A 2，直线B 1O 与椭圆E 的另一个交点为B 2，当△A 1OB 1的面积最大时，直径A 1A 2与直径B 1B 2是否共轭，请说明理由． (3)设CD 和MN 为椭圆E 的一对共轭直径，且线段CM 的中点为T ，已知点P 满足：OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOT ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若点P在椭圆E的外部，求λ的取值范围．22.在以原点O为极点；x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ．(1)求曲线C2的直角坐标方程；(2)过原点O且倾斜角为α(π6<α≤π4)的射线l与曲线C1，C2分别相交于A，B两点(A,B异于原点)，求|OA|・|OB|的取值范围．23.已知定义在R上的函数f(x)=|x+1|+|x−2|的最小值为a．(1)求a的值；(2)若p，q是正实数，且满足p+q=a，求证：1p +1q≥43．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查集合的交集及其运算，属于基础题．解不等式求出集合A，B，结合交集的定义，可得答案．【解答】解：∵A={x|x2−4x+3<0}={x|1<x<3}，B={x|2x−3>0}={x|x>32}，∴A∩B={x|32<x<3}．故选D．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查复数的代数形式的混合运算，共轭复数的概念，属于基础题．利用复数的四则运算法则化简求解即可．【解答】解：因为z=1+2i，所以z−=1−2i，则4iz·z−−1=4i(1+2i)(1−2i)−1=4i5−1=i，故选C．3.【答案】B【解析】解：a=60.4>1，0<b=log0.40.5<log0.40.4=1，c=log50.4<0，则a，b，c的大小关系是c<b<a．故选：B．利用指数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查由函数的性质确定函数图象，其研究规律一般是先研究单调性与奇偶性，再研究某些特殊值．先研究函数的性质，可以发现它是一个奇函数，再研究函数在原点附近的函数值的符号，从而即可得出正确选项．【解答】解：函数f(x)定义域为R，f(−x)=sin (−x)(−x)2+1=−sinxx2+1=−f(x)所以此函数是一个奇函数，故可排除C，B两个选项；f(π2)=1(π2)2+1>0，故可排除D，A选项符合，故选A．5.【答案】C【解析】解：第1杯饮品好评率与差评率的差值为0.87−0.13=0.64，第2杯饮品好评率与差评率的差值为0.52−0.48=0.04，第3杯饮品好评率与差评率的差值为0.79−0.22=0.56，第4杯饮品好评率与差评率的差值为0.55−0.45=0.1，第5杯饮品好评率与差评率的差值为0.98−0.02=0.96，第6杯饮品好评率与差评率的差值为0.70−0.30=0.4，其中较大的差值为第1杯与第5杯．故选：C．通过比较每一杯饮品好评率与差评率的差值，找出较大的两个差值对应的饮品即可．本题考查了简单的合情推理的应用，解题的关键是正确读取表格中的数据，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：已知如图所示： 长方形面积为2，以O 为圆心，1为半径作圆， 在矩形内部的部分(半圆)面积为π2 因此取到的点到O 的距离大于1的概率P =2−π22=1−π4故选：B ．本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出点到O 的距离大于1的点对应的图形的面积，并将其和长方形面积一齐代入几何概型计算公式进行求解．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A 的基本事件对应的“几何度量”N(A)，再求出总的基本事件对应的“几何度量”N ，最后根据P =N(A)N求解．7.【答案】C【解析】 【分析】本题考查了根据实际问题建立函数模型的问题，涉及到弧长、圆心角等知识，属于中档题． 画出图形，求出弓所在的弧长以及对应的圆心角，进而可以求解． 【解答】解：如图所示，弓所在弧长为AB ⏜=π4+π4+π8=5π8， 则其对应的圆心角∠AOB =α=5π81516=2π3，则两手之间的距离为AB =2rsin π3=2×1516×√32=15√316，故选C ．8.【答案】C【解析】解：根据题意知，16635.3×1.5=24952.95>23595.8，所以2016年我国新闻出版业营收没有超过2012年我国新闻出版业营收的1.5倍，C错误．故选：C．根据题意计算16635.3×1.5>23595.8，判断C错误．本题考查了频率分布条形图的应用问题，是基础题．9.【答案】D【解析】解：A：∵b<a<0，∴a2−b2=(a−b)(a+b)<0，故A正确，B：∵b<a<0，∴ab−b2=b(a−b)<0，故B正确，C：∵b<a<0，两边同除以ab，可得1a <1b，故C正确，D：a|+|b|=|a+b|，故D错误，故选：D．利用作差法证明A、B正确，根据不等式证明C正确，D错误本题考查了不等式的性质应用，以及作差法比较大小关系是属于基础题10.【答案】C【解析】解：f′(x)=1−lna−lnxx2，由f′(x)≤0在[1,+∞)上恒成立，即1−lna−lnx≤0在[1,+∞)上恒成立，∴lnx≥ln ea恒成立，∴ln ea ≤ln1，即ea≤1，∴a≥e故选：C．先求导，由函数f(x)在[1,+∞)上为减函数，转化为f′(x)≤0在[1,+∞)上恒成立问题求解．本题主要考查用导数法研究函数单调性问题，基本思路是，当函数是增函数时，则f′(x)≥0在D上恒成立；当函数是减函数时，则f′(x)≤0在D 上恒成立．11.【答案】B【解析】解：如图所示，过点O 作OC ⊥AB 于点C ，根据垂径定理可得C 是AB 的中点，所以AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CO ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2， 所以AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ 的大小只跟|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |有关， 故已知弦长|AB|可以确定AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的大小．故选：B ．根据AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2即可得到结果． 本题考查向量的线性运算和数量积运算，考查学生的运算求解能力和转化与化归的数学思想，属于中档题．12.【答案】D【解析】【分析】本题考查了三角函数的周期性质，以及构成三角形的三边所满足的条件，三角形中任意两边大于第三边，需要学生准确无误的使用公式，属于中档题．根据已知条件，可得周期为π，解出ω，并结合三角形的性质，三角形中任意两边大于第三边，即可求解．【解答】解：函数f(x)=2sin(ωx −π6)+t(ω>0)，∵2|PQ|=|QR|=2π3， ∴|PQ|=π3，∴T =|PQ|+|QR|=2π3+π3=π，∴ω=2πT =2，f(x)=2sin(2x−π6)+t，∵x∈[0,π2]，2x−π6∈[−π6,5π6]，∴−1≤2sin(2x−π6)≤2，−1+t≤f(x)≤2+t，∵对∀a、b、c∈[0,π2]，以f(a)、f(b)、f(c)的值为边长可以构成一个三角形，∴对任意的a、b、c∈[0,π2]，f(a)+f(b)>f(c)，∴(f(a)+f(b))min>f(c)max，∴−2+2t>t+2，解得t>4，故选：D．13.【答案】y2=8x【解析】解：∵抛物线y2=2px(p>0)上一点P(2,y0)到其准线的距离为4，∴p2+2=4，解得p=4，∴抛物线的标准方程为y2=8x．故答案为：y2=8x．由已知条件，利用抛物线的性质得到p2+2=4，求出p的值，由此能求出抛物线的标准方程．本题考查抛物线的标准方程的求法，是基础题，解题时要熟练掌握抛物线的性质．14.【答案】[45,8 5 ]【解析】解：设点P(x0,y0)，由题意可设渐近线l1：x−2y=0，渐近线l2：x+2y=0，由P到直线l1的距离d1=00√5，P到直线l2的距离d2=00√5，则d1d2=00√500√5=|x02−4y02|5，由x024−y02=1，即x02−4y02=4，则d1d2=45，即d2=45d1，由d2与d1成反比例，且d1∈[12,1]，所以d2∈[45,8 5 ].故答案为：[45,8 5 ].设点P(x0,y0)，由双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式，结合P的坐标满足双曲线的方程，可得P 到两渐近线的距离之积为定值，由反比例的性质，可得所求范围．本题考查双曲线的方程和性质，以及点到直线的距离公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．15.【答案】434√3π【解析】解：如图，∵平面PQS⊥平面QRS，且平面PQS∩平面QRS=QS，QS⊥SR，∴SR⊥平面PQS，从而SR⊥PQ，∵PQ⊥PS，且PS∩SR=S，∴PQ⊥平面PRS，得PQ⊥PR，∴QR是三棱锥P−QRS的外接球的直径，在Rt△QSR中，QR=√QS2+SR2=2√3，则球的半径R=√3，则外接球的体积为43πR3=4√3π；四面体PQRS的体积为13S△PQS×SR=13×12×2×2×2=43．故答案为：43；4√3π．由已知结合面面垂直的性质可得RS⊥平面PQS，可得RS⊥PQ，再由PQ⊥PS，利用直线与平面垂直的判定可得PQ⊥平面PRS，得到PQ⊥PR，可得QR是三棱锥P−QRS的外接球的直径，求解三角形得到QR，进一步可得多面体外接球的半径，代入球的体积公式可得三棱锥P−QRS的外接球的体积；再直接由棱锥体积公式求三棱锥P−QRS的体积．本题考查多面体及其外接球体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．16.【答案】263【解析】解：∵数列{a n}为正项等比数列，∴q>0，∵S2，S4−S2，S6−S4成等比数列且公比为q2，∴q2=S4−S2S2=15−33=4，∴q=2．∴S6−15=3×42，得S6=63．故答案为：2，63．数列{a n}为正项等比数列，故q>0，根据S n，S2n−S n，S3n−S2n成公比为q n的等比数列，可得q的值，再求S6．本题主要考查等比数列的性质的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，是基础题．17.【答案】解：(1)数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n−1．当n=1时，得a1=2−1=1，当n≥2时，S n−1=2n−1−1，所以a n=S n−S n−1=2n−1，上式对n=1也成立，故a n=2n−1；(2)b1=2，b n+1−2b n=8a n=2n+2，所以b n+12n+1−b n2n=2(常数)，所以数列{b n2n}是以b121=1为首项，2为公差的等差数列．所以b n2n=1+2(n−1)，即b n=(2n−1)⋅2n，则T n=1⋅21+3⋅22+⋯+(2n−1)⋅2n①，2T n=1⋅22+3⋅23+⋯+(2n−1)⋅2n+1②，①−②得−T n=2(2+22+⋯+2n)−2−(2n−1)⋅2n+1=2·2(1−2n)1−2−2−(2n−1)·2n+1=(3−2n)2n+1−6，解得T n=(2n−3)⋅2n+1+6．【解析】本题考查数列的通项公式，错位相减法求和，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．(1)直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式．(2)利用错位相减法求和，即可得解．18.【答案】解：(1)证明：∵底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴AB=AD=AC=2，在△AA1B中，由AA12+AB2=A12知AA1⊥AB，同理AA1⊥AD，又∵AB ∩AD =A ，∴AA 1⊥平面ABCD ．(2)解，设AC 与BD 交于点O ，点E 为A 1D 的中点时，连接OE ，则OE//A 1B ，∴A 1B//平面EAC ， 直线A 1B 与平面EAC 之间的距离等于点A ，到平面EAC 的距离，可转化为点B 到平面EAC 的距离， 过点E 作EF ⊥AD 于F ，∵点E 为A 1D 的中点，∴EF ⊥平面ABCD ，F 为AD 的中点，连接CF ，则CF =√3，在Rt △EFC 中，CE =2，又AE =√2，AC =2，∴S △ADC =√72，V A 1−EAC =V B−EAC =V E−ABC ，设d 表示点B 到平面EAC 的距离，则d =2√217． ∴点A 1到平面EAC 的距离为2√217．【解析】(1)先证AA 1⊥AB ，AA 1⊥AD ，再根据直线与平面垂直的判定定理可证AA 1⊥平面ABCD ；(2)利用等体积法可得点到平面的距离．本题考查了点、线、平面间的距离的计算，属中档题．19.【答案】解：(1)根据已知条件完成2×2列联表，如下：计算：：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(20×30−5×45)225×75×65×35≈3.297因为：3.297>2.706； 所以据此列联表判斷，能在犯错误的慨奉不超过ω.10的前提下，认为网购迷与年龄不超过40岁有关；(2)由频教分布直方图知，网购迷共有25人，现从网购迷中按分层抽样选5人代表，记其中年龄超过40岁的1名市民为A.其余4名年龄不超过40岁的市民为c 、d ，e 、f ，现从5人中任取2人基本事件是：Ac ，Ad ， Ae ，Af 、cd 、ce 、cf 、de 、df 、ef 共有10种．其中有布民年龄超过40岁的基本事件是Ac 、Ad 、Ae 、Af 共4种；故所求的概率为P═410=25．【解析】(1)根据题目所给的数据填写2×2列联表即可；再计算K 的观测值K 2，对照题目中的表格，得出统计结论．(2)利用古典概型的定义找出概率的分子分母求概率即可．本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是中档题目．20.【答案】解：(Ⅰ)由题意，f′(x)=a(1+lnx)−2bx −a =alnx −2bx ，由f′(1)=−2b =−1，得b =12，又f(1)=−b −a =−32，∴a =1．即a =1，b =12；(Ⅱ)当a ≤0，b =12时，f′(x)=alnx −x <0，x ∈(1,e)，f(x)在(1,e)上单调递减，不妨设x 1<x 2，则f(x 1)>f(x 2)，|f(x 1)−f(x 2)||x 1−x 2|<3即为f(x 1)−f(x 2)x 2−x 1<3．即f(x 1)−f(x 2)<3x 2−3x 1，即f(x 1)+3x 1<f(x 2)+3x 2，可得：∀x 1，x 2∈(1,e)，都有f(x 1)+3x 1<f(x 2)+3x 2，令g(x)=f(x)+3x ，则g(x)在(1,e)上为单调增函数，∴有g′(x)=f′(x)+3=alnx −x +3≥0在(1,e)上恒成立．即a ≥x−3lnx 在x ∈(1,e)上恒成立，令ℎ(x)=x−3lnx ，x ∈(1,e)，ℎ′(x)=lnx+3x −1(lnx)2， 令t(x)=lnx +3x −1，x ∈(1,e)，t′(x)=1x −3x 2=x−3x 2<0，∴t(x)在(1,e)上单调递减，t(x)>t(e)=3e ，则ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(1,e)上为单调增函数，∴ℎ(x)<ℎ(e)=e −3，即a ≥e −3．综上，e −3≤a ≤0．【解析】本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化思想方法，属较难题．(Ⅰ)求出原函数的导函数，利用f′(1)=−2b =−1，求得b ，再由f(1)=−b −a =−32求解a ；(Ⅱ)当a ≤0，b =12时，f′(x)=alnx −x <0，f(x)在(1,e)上单调递减，不妨设x 1<x 2，则f(x 1)>f(x 2)，可得：∀x 1，x 2∈(1,e)，都有f(x 1)+3x 1<f(x 2)+3x 2，构造函数g(x)=f(x)+3x ，得到g′(x)=f′(x)+3=alnx −x +3≥0在(1,e)上恒成立，进行求解即可．21.【答案】解：(1)由题设知k AB =32，设直线方程为y =kx ，则k ⋅k AB =−34，则k =−12，所以共轭直径所在直线的方程为y =−12x ，联立椭圆与y =−12x ，可得x 2=3，x =±√3，所以端点坐标为(√3,−√33)和(−√3,√32). (2)由题设知，l 不与x 轴重合，设直线l 的方程为x =my −√3，联立{x =my −√3x 24+y 23=1，得(3m 2+4)y 2−6√3my −3=0， 所以y 1+y 2=6√3m3m 2+4，y 1y 2=−33m 2+4，x 1x 2=12−12m 23m 2+4，S =√32|y 1−y 2|=√32⋅4√3⋅√3m 2+13m 2+4=6√3m 2+13m 2+4=6√3m 2+13m 2+4=√3m 2+1+3√3m 2+1≤2√3=√3．当且仅当3m 2+1=3，即m 2=23时取等号，此时k A 1A 2⋅k B 1B 2=y 1y 2x 1x 2=−312−12m 2=−34=−b 2a 2， 所以直径A 1A 2与直线B 1B 2共轭．(3)设C(x 1,y 1)，M(x 2,y 2)，则T(x 1+x 22,y 1+y 22)， 代入OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOT ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得P(x 1+x 22⋅λ,y 1+y 22⋅λ)， 若P 在椭圆E 的外部，则有：(x 1+x 22⋅λ)24+(y 1+y 22⋅λ)23>1，所以λ2[3(x 1+x 2)2+4(y 1+y 2)2]>48⇒λ2[(3x 12+4y 12)+(3x 22+4y 22)+6x 1x 2+8y 1y 2]>48，因为C ，M 均在椭圆E 上，则3x 12+4y 12=3x 22+4y 22=12，又CD 和MN 为椭圆E 的一对共轭直径，所以k CD ⋅k MN =y 1y 2x 1x 2=−34，即4y 1y 2+3x 1x 2=0， 所以24λ2>48，即λ>√2或λ<−√2．所以λ的取值范围为(−∞,−√2)∪(√2,+∞)．【解析】(1)设直线方程为y=kx，则k⋅k AB=−34，解得k，推出共轭直径所在直线的方程为y=−12x，联立椭圆的方程，解得x，进而可得端点坐标．(2)设直线l的方程为x=my−√3，联立椭圆的方程，结合韦达定理可得y1+y2，y1y2，x1x2，结合基本不等式可得S=√32|y1−y2|取得最大值时，m的值，再计算k A1A2⋅k B1B2，即可得出答案．(3)设C(x1,y1)，M(x2,y2)，则由中点坐标公式可得T(x1+x22,y1+y22)，代入OP⃗⃗⃗⃗⃗ =λOT⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得P点坐标，由若P在椭圆E的外部，解得λ的取值范围．本题考查“共轭直径”新定义，直线与椭圆的相交问题，向量问题，属于中档题．22.【答案】解：(1)由ρcos2θ=sinθ得ρ2cos2θ=ρsinθ得曲线C2的直角坐标方程为：x2=y，(2)射线l的极坐标方程为θ=α，π6<α≤π4，把射线l的极坐标方程代入曲线C1的极坐标方程得|OA|=ρ=4cosα，把射线l的极坐标方程代入曲线C2的极坐标方程得|OB|=ρ=sinαcos2α，∴|OA||OB|=4cosα⋅sinαcos2α=4tanα，∵π6<α≤π4，∴tanα∈(√33,1]，∴|OA||OB|的取值范围是(4√33,4]．【解析】(1)由ρcos2θ=sinθ得ρ2cos2θ=ρsinθ得曲线C2的直角坐标方程为：x2=y，(2)把射线l的极坐标方程代入曲线C1和C2，得到|OA|和|OB|，然后相乘，利用三角函数的性质可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：(1)∵f(x)=|x+1|+|x−2|≥|(x+1)−(x−2)|=3，当且仅当(x+1)(x−2)≤0，即−1≤x≤2时等号成立，∴f(x)的最小值a=3；(2)证明：由(1)知p+q=3．∵p，q是正实数，∴1p+1q=(1p+1q)(p3+q3)=23+q3p+p3q≥23+2√q3p⋅p3q=43，当且仅当p=q=32时，取等号．【解析】(1)由f(x)=|x+1|+|x−2|≥|(x+1)−(x−2)|可得f(x)的最小值；(2)由(1)知p+q=3，然后根据1p +1q=(1p+1q)(p3+q3)利用基本不等式求出最小值即可．本题考查了求绝对值三角不等式最值和基本不等式，考查了转化思想，属基础题．。

一、单选题二、多选题1.已知过点可作双曲线的两条切线，若两个切点分别在双曲线的左、右两支上，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ）A．B．C．D．2.已知在等比数列中，，则A．B．C．D．3. 某大学，，三个专业的在校学生人数见下表：专业类别合计学生人数现采用分层抽样的方法，调查这三个专业学生对参加某项社会实践活动的意向．在抽取的样本中，专业的学生有人，则样本中专业的学生人数为（ ）A．B．C．D．4. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D．5. 如图，在四棱锥中，，其余的六条棱长均为2，则该四棱锥的体积为（）A．B．C．D．6. 将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，并沿轴向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数的图象．若对于任意的，总存在，使得，则的值可能是（ ）A．B．C．D．7. 设，则（ ）A．B．C．D．8. 如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A ．4β+4cos βB ．4β+4sin βC ．2β+2cos βD ．2β+2sin β湖南省长沙市长郡中学、长沙一中、雅礼中学、湖南师大附中2023届高三下学期5月“一起考”数学湖南省长沙市长郡中学、长沙一中、雅礼中学、湖南师大附中2023届高三下学期5月“一起考”数学三、填空题四、解答题9.已知抛物线：的焦点在直线上，点在抛物线上，点在准线上，满足轴，，则（ ）A．B ．直线的倾斜角为C．D ．点的横坐标为10.已知函数是定义域为的奇函数，，若，，，则（ ）A．的图象关于点对称B ．是周期为4的周期函数C．D．11. 下列说法正确的是（ ）A ．若，则B．若，，且，则的最大值是1C ．若，，则D ．函数的最小值为912. 已知向量，是平面α内的一组基向量，O 为α内的定点，对于α内任意一点P，当＝x +y 时，则称有序实数对（x ，y ）为点P 的广义坐标．若点A 、B 的广义坐标分别为（x 1，y 1）（x 2，y 2），关于下列命题正确的是：A ．线段A 、B 的中点的广义坐标为（）；B ．A 、B 两点间的距离为；C ．向量平行于向量的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1；D ．向量垂直于的充要条件是x 1y 2+x 2y 1＝013. 已知曲线C ：，点M 与曲线C 的焦点不重合．已知M 关于曲线C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在曲线C 右支上，则的值为______．14.在中，已知，则面积的最大值是___________15. 某学校有男生400人，女生600人.为了调查该校全体学生每天睡眠时间，采用分层抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间均值为7.5小时，方差为1，女生每天睡眠时间为7小时，方差为0.5.若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为__________.16. 已知椭圆的离心率为，分别是的上、下顶点，，分别是的左、右顶点．(1)求的方程；(2)设为第二象限内上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：．17.等差数列的前n 项和为，已知．（1）求的通项公式及；（2）求数列的前n项和．18. 已知函数（a 为常数）.(1)求函数的单调区间；(2)证明：当且时，.19. 已知函数．(1)讨论的单调性．(2)是否存在实数a使得不等式恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．20. 近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选出条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的列联表如下：对优惠活动好评对优惠活动不满意合计对车辆状况好评对车辆状况不满意合计（1）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？（2）为了回馈用户，公司通过向用户随机派送每张面额为元，元，元的三种骑行券.用户每次使用扫码用车后，都可获得一张骑行券.用户骑行一次获得元券，获得元券的概率分别是，，且各次获取骑行券的结果相互独立.若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为，求随机变量的分布列和数学期望.参考数据：参考公式：，其中.21. 甲、乙、丙为完全相同的三个不透明盒子，盒内均装有除颜色外完全相同的球.甲盒装有4个白球，8个黑球，乙盒装有1个白球，5个黑球，丙盒装有3个白球，3个黑球.(1)随机抽取一个盒子，再从该盒子中随机摸出1个球，求摸出的球是黑球的概率；(2)已知（1）中摸出的球是黑球，求此球属于乙箱子的概率.。

2008-2009届长沙一中，雅礼中学联考文科数学试卷（第七次月考） 高三数学联考试题（文科）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．将正确答案的代号填入答卷的表格中)1．设全集为U ，集合U P M =⋃，则下列关系一定正确的是（ ） A ．⊆P U M B ．⊇P U MC ．φ=M PD ． U M U P = U2．设Rb a ∈,，则a ＞b 的充分不必要条件是（ ）A ．a 3＞b 3B ．2log ()a b -＞0C ． a 2 ＞b 2 D.11a b< 3．函数33sin()cos()44y x x ππ=++（ ） A ．周期为π的偶函数 B ．周期为π的奇函数 C ．周期2π的奇函数 D ．周期为2π的偶函数4．设a ，b ，c 表示三条不同直线，βα,表示两个不同平面，则下列命题中逆命题不成立的是:（ ） A ．β⊂b ，c 是a 在β内的射影，若c b ⊥，则a b ⊥ B ．α⊂b ，α⊄c ，若α//c ，则c b // C ．α⊥c ，若β⊥c ，则βα//D ．β⊂b ，若α⊥b ，则αβ⊥5． 在1[,2]2x ∈上，函数2()f x x px q =++与33()22x g x x=+在同一点取得相同的最小值，那么p 、q的值分别为（ ） A ．1,3B ．2,0C ．-2,4D ．-2,06．已知{}n a 为等差数列，若761,a a <-且它的前n 项和n S 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n =（ ）A ．10B ．11C ．12D ．137．如右图，在平面直角坐标系xOy 中，两个非零向量OA 、OB 与x 轴正半轴的夹角分别为3π 和56π，向量OC 满足OA OB OC ++=0，则OC 与x 轴正半轴夹角的取值范围是（ ）A ．0,3π⎛⎫⎪⎝⎭B ．5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．2,23ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭8. 某舞步每一节共六步，其中动作A 两步，动作B 两步，动作C 两步，同一种动作不一定相邻。

题!!答!!要!!不!!内!!线!!封!!"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""密!号!学!名!姓!级!班!校!学炎德 英才大联考雅礼中学#$#$届高三月考试卷!一"数!学!文科"#李!斑!!审题人#丁正光得分#!!!!!!!!!本试卷分第 卷!选择题"和第 卷!非选择题"两部分$共"页%时量!#$分钟%满分!%$分%第 卷一&选择题#本大题共!#个小题$每小题%分$共&$分!在每小题给出的四个选项中$只有一个选项是符合题目要求的!!!已知集合"''###!#(#"$$($$''##(!$#$!($则"%$')*'##(!$#$#(+*'###$(!或#&#(,*'##$$#$!(-*'###$$或#&!(#!已知复数%./#(/是纯虚数!/是虚数单位"$则实数%等于)*(#+*#,*!#-*(!0!)#$&$&*是)方程##&(#.'#&(&'!为椭圆*的)*充分不必要条件+*必要不充分条件,*充要条件-*既不充分也不必要条件1!如果(!#"'%##(!#(%"#.!在区间(2$!+!#上为减函数$则%的取值范围是)*!$$!++*,$$!",*,$$!+-*!$$!"%!已知函数(!#"'3/4! #. " &$$ $ !"#图象相邻两条对称轴之间的距离为 #$将函数''(!#"的图象向左平移 0个单位后$得到的图象关于'轴对称$那么函数''(!#"的图象)*关于点 !#$!"$对称+*关于点( !#$!"$对称,*关于直线#' !#对称-*关于直线#'( !#对称&!在'"$)中$若*563)+563$'!.563#)!.563#$$则'"$)的形状是)*等腰三角形+*直角三角形,*等腰直角三角形-*等腰三角形或直角三角形7!若抛物线'#'#,#!,&$"的焦点是椭圆##0,.'#,'!的一个焦点$则,')*#+*0,*1-*""!如图所示$在斜三棱柱"$)("!$!)!中$($")'8$9$$)!)")$则点)!在底面"$)上的射影-必在)*直线"$上+*直线$)上,*直线")上-*'"$)内部8!函数'':#;4##(##(!#的图象大致是)*+*,*-*!$!已知两点"!(!$$"$$!!$$"以及圆)#!#(0"#.!'(1"#'.#!.&$"$若圆)上存在点/$满足*+"/-*+/$'$$则.的取值范围是)*,0$&++*,0$%+,*,1$%+-*,1$&+!!!已知##.'#'1$在这两个实数#$'之间插入三个实数$使这五个数构成等差数列$那么这个等差数列后三项和的最大值为)*!#槡槡!$+*!$,*0#槡槡!$-*#!$!#!已知三棱锥"($)0的所有顶点都在球1的球面上$"0)平面"$)$($")'8$9$"0'#$若球1的表面积为#8$则三棱锥"($)0的侧面积的最大值为槡)*%#.#%1槡+*%#.槡%1!1槡,*&0.#7#槡-*!$#.#%#选择题答题卡题!号!#1%&7"8!$!!!#答!案第 卷本卷包括必考题和选考题两部分!第!0 #!题为必考题$每个试题考生都必须作答!第##&#0题为选考题$考生根据要求作答!二&填空题#本大题共1小题$每小题%分$共#$分!!0!已知向量 '!#$0"$ '!0$#"$则# ( #'!!!!!!1!在曲线(!#"'#0(1#的所有切线中$斜率最小的切线方程为!!!!!!%!已知 ,$$ !"#$#3/4# '563# .!$则3/4 '!!!!!!&!奇函数(!#"是定义在 上的单调函数$若函数2!#"'(!##".(!%(####"恰有1个零点$则%的取值范围是!!!!!三&解答题#本大题共7$分!解答应写出文字说明&证明过程或演算步骤!!7!!本小题满分!#分"已知数列'%3(是等差数列$且%"'!$4!&'#1!!!"求数列'%3(的通项公式%3.!#"若数列'*3(是递增的等比数列$且*!.*1'8$*#*0'"$求!%!.*!".!%0.*0".!%%.*%"./.!%#3(!.*#3(!"!如图$四棱锥4("$)0中$40)底面"$)0$"$-)0$"0)0)$"$' "0'!$0)'#$40槡'#$5为棱4$的中点!!!"求证#4))平面"05.!#"求点$到平面"5)的距离$某市房管局为了了解该市市民#$!"年!月至#$!8年!月期间购买二手房情况$首先随机抽取其中#$$名购房者$并对其购房面积&!单位#平方米$&$.&.!0$"进行了一次调查统计$制成了如图!所示的频率分布直方图$接着调查了该市#$!"年!月(#$!8年!月期间当月在售二手房均价'!单位#万元0平方米"$制成了如图#所示的散点图!图中月份代码!(!0分别对应#$!"年!月至#$!8年!月"!!!"试估计该市市民的平均购房面积/&.!#"现采用分层抽样的方法从购房面积位于!!$$,+!0$的1$位市民中随机抽取1人$再从这1人中随机抽取#人$求这#人的购房面积恰好有一人在!#$$,+!0$的概率.!0"根据散点图选择6''6%.6槡*#和6''6+.67;4#两个模型进行拟合$经过数据处理得到两个回归方程$分别为6''$!80&8.$!$#"%槡#和6''$<8%%1.$!$0$&;4#$并得到一些统计量的值$如表所示#6''$!80&8.$!$#"%槡#6''$!8%%1.$!$0$&;4#0!08'!'8(6!"'#$!$$$%8!$!$$$!&10!08'!'8(1!"'#$!$$&$%$请利用相关指数9#判断哪个模型的拟合效果更好$并用拟合效果更好的模型预测#$!8年&月份的二手房购房均价!精确到$!$$!"!参考数据#;4#2$!&8$;402!!!$$;4!72#!"0$;4!82#<81$槡#2!<1!$槡02!!70$槡!721!!#$槡!821!0&!参考公式#相关指数9#'!(038'!'8(6'!"8#038'!'8(1!"'#!从抛物线'#'0&#上任意一点/向#轴作垂线段$垂足为:$点;是线段/:上的一点$且满足*+/;'#*+;:!!!"求点;的轨迹)的方程.!#"设直线#'&'.!!&, "与轨迹)交于"$$两点$<为)上异于"$$的任意一点$直线"<$$<分别与直线#'(!交于0$5两点$以05为直径的圆是否过#轴上的定点1若过定点$求出符合条件的定点坐标.若不过定点$请说明理由!已知函数(!#"'##(##(%;4#$2!#"'%#!!!"求函数=!#"'(!#".2!#"的极值.!#"对#3$恒成立$求%的取值范围! !#"若不等式3/4##.563#.2!!请考生在第##&#0两题中任选一题作答!注意#只能做所选定的题目!如果多做$则按所做的第一个题目计分!##!!本小题满分!$分"选修1(1#坐标系与参数方程在直角坐标系#1'中$倾斜角为 的直线>的参数方程为#'#.?563 $'槡'0.?3/4456 !?为参数"!在以坐标原点为极点$#轴正半轴为极轴的极坐标系中$曲线)的极坐标方程为 #'# 563 ."!!!"求直线>的普通方程与曲线)的直角坐标方程.!#"若直线>与曲线)交于"$$两点$且"$槡'1#$求直线>的倾斜角!#0!!本小题满分!$分"选修1(%#不等式选讲已知函数(!#"'##(##.###.1#!!!"解不等式#(!#"3(0#.1.!#"若函数(!#"的最小值为%$且&.3'%!&&$$3&$"$求!&.!3的最小值!。

……装………_______姓名：_______……装………2019届湖南省长沙一中、师大附中、雅礼中学、长郡中学 高三下学期5月联考数学(文)试题 第I 卷（选择题) 一、单选题 1．已知集合{}20A x x =-≥，{}1,2,3B =，则A B =I ( ) A ．{}1 B ．{}2 C ．{}2,3 D ．{}1,2,3 2．已知a 为实数，若复数()()12a i i +-为纯虚数，则a =（ ） A ．12- B ．2 C ．12 D ．2- 3．已知p ：2x <；q ：220x x --<，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．如图所示的风车图案中，黑色部分和白色部分分别由全等的等腰直角三角形构成.在图案内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ） A ．14 B ．13 C ．23 D ．34 5．空气质量指数AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：………外…………○…………………○……※※请※※不………内…………○…………………○…… 下列叙述错误的是（ ） A ．这20天中AQI 指数值的中位数略高于100 B ．这20天中的中度污染及以上的天数占14C ．该市10月的前半个月的空气质量越来越好D ．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好6．已知实数x ，y 满足不等式组140x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，记2z x y =-的最大值为m ，则函数22x y a m -=+（0a >，1a ≠）的图象所过定点坐标为( )A ．()1,4B ．()2,1C ．()2,3D ．()2,47．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n ，x 的值分别为4，2，则输出v 的值为( )A ．5B ．12C ．25D ．50外…………○……………订…………○…………线……学校:级：___________考号：___________内…………○……………订…………○…………线……8．如图，一高为H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为.T 若鱼缸水深为h 时，水流出所用时间为t ，则函数()h f t =的图象大致是( )A ．B ．C ．D ． 9．要得到函数2cos(2)3y x π=+的图象，只需将函数sin 22y x x =+的图象（ ） （A ）向左平移4π个单位 （B ）向右平移2π个单位 （C ）向右平移3π个单位 （D ）向左平移8π个单位 10．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为( ) A ．132π B ．7π C ．152π D ．8π 11．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0x ≥时，()1e e x x f x =-.若不等式()()242f t f m mt ->+对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是( )○……………○………※※请※※○……………○………A ．(,-∞ B ．() C ．()),0-∞+∞U D ．(),-∞+∞U 12．设1F ，2F 是双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左，右焦点，O 是坐标原点.过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若1PF OP ，则C 的渐近线方程为（ ） A ．2y x =± B ．y =C ．y =D ．3y x =±第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．已知函数()22log f x x a x =+，若()25f =，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______.14．已知点()1,1A -，点()2,B y ，向量()1,2a =r ，若//AB a u u u r r ，则实数y 的值为______. 15．如图，在平面四边形ABCD 中，60ABC ∠=︒，AD DC ⊥，2BC =，AD =60ACB ACD ∠=∠+︒，则tan ACD ∠=______.16．如图，在棱长为1的正方体1111D ABC A B C D -中，点,E F 分别是棱1,BC CC 的中点,P 是侧面11BCC B 内一点，若1A P 平行于平面AEF ,则线段1A P 长度的取值范围是_________.…订…………○____考号：__________…订…………○三、解答题 17．已知{}n a 是等差数列，且1lg 0a =，4lg 1a =． （1）求数列{}n a 的通项公式 （2）若1a ，k a ，6a 是等比数列{}n b 的前3项，求k 的值及数列{}n n a b +的前n 项和． 18．如图，在三棱锥A BCD -中，ABC V 是等边三角形，90BAD BCD ∠=∠=o ，点P 是AC 的中点，连接BP ，DP ()1证明：平面ACD ⊥平面BDP ； ()2若BD =cos BPD ∠=，求三棱锥A BCD -的体积． 19．某网络平台从购买该平台某课程的客户中，随机抽取了100位客户的数据，并将这100个数据按学时数，客户性别等进行统计，整理得到如表； （1）根据上表估计男性客户购买该课程学时数的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果保留小数点后两位）； （2）从这100位客户中，对购买该课程学时数在20以下的女性客户按照分层抽样的方式随机抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求这2人购买的学时数都不低于15的概率. （3）将购买该课程达到25学时及以上者视为“十分爱好该课程者”，25学时以下者视，为“非十分爱好该课程者”.请根据已知条件完成以下22⨯列联表，并判断是否有99．9%的把握认为“十分爱好该课程者”与性别有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b cd =+++20．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的一个焦点为)F ，点)P 在C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,0且斜率不为0的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，椭圆长轴的两个端点分别为1A ，2A ，1A M 与2A N 相交于点Q ，求证：点Q 在某条定直线上.21．已知函数()()211e x f x x ax -=+-，()()2e x g x x ax ax b =+--.（1）若2x =-是函数()f x 的极值点，求()f x 的极小值；（2）若对任意的实数a ，函数()()()e F x f x g x =-+在()0,+?上总有零点，求实数b 的取值范围.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的的参数方程为4x aty ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（其中t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点A 的极坐标为2,6π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 经过点A ．曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=. （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）过点)P 作直线l 的垂线交曲线C 于,D E 两点(D 在x 轴上方)，求11PD PE -的值. 23．已知函数()21f x x x =+--.(1)求()f x 的值域; (2)设()233(0)ax x g x a x -+=>若对于任意()0,s ∞∈+,任意t ∈R ,恒有()()g s f t ≥成立,试求实数a 的取值范围.参考答案1．C【解析】【分析】先求出集合A ，进而与集合B 取交集即可.【详解】 由题意，{}2A x x =≥，{}1,2,3B =，则{}2,3A B =I .故选：C.【点睛】本题考查集合间的交集，考查学生对基础知识的掌握.2．D【解析】【分析】根据复数的运算法则进行化简，结合复数是纯虚数，进行求解即可．【详解】 ()()12a i i +-＝()212a a i ++-，∵复数是纯虚数，∴20a +=且120a -≠得2a =-且a ≠12，即2a =-， 故选D ．【点睛】本题主要考查复数的运算以及复数的概念，根据复数是纯虚数建立条件关系是解决本题的关键，属于基础题．3．B【解析】【分析】分别求出p 、q 对应的不等式的解，进而可选出答案.【详解】 由题意，222x x <⇔-<<，即p ：22x -<<； 22012x x x --<⇔-<<，即q ：12x -<<，所以q p ⇒，p q ¿，即p 是q 的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查绝对值不等式及一元二次不等式的解法，考查命题的充分性与必要性，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于基础题.4．B【解析】分析：设小黑色三角形面积为S ，则整个在图案面积为12S ，黑色部分总面积为4S ，根据几何概型概率公式可得结果.详解：设小黑色三角形面积为S ，则整个在图案面积为12S ，黑色部分总面积为4S ，由几何概型概率公式可得， 在点取自黑色部分的概率是41123=，故选B. 点睛：本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误. 5．C【解析】【分析】根据所给图象，结合中位数的定义、AQI 指数与污染程度的关系以及古典概型概率公式，对四个选项逐一判断即可.【详解】对A ，因为第10天与第11天AQI 指数值都略高100，所以中位数略高于100，正确； 对B ，中度污染及以上的有第11，13，14，15，17天，共5天占14，正确； 对C ，由图知，前半个月中，前4天的空气质量越来越好，后11天该市的空气质量越来越差，错误；对D ，由图知，10月上旬大部分AQI 指数在100以下，10月中旬大部分AQI 指数在100以上，所以正确，故选C. 【点睛】与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答. 6．D 【解析】 【分析】作出不等式组对应的可行域，当目标函数2z x y =-过点()2,2A 时，z 取得最大值，可求出2m =，结合指数函数的图象过定点()0,1，可得函数222x y a -=+（0a >，1a ≠）的图象所过定点. 【详解】作出不等式组对应的可行域，如下图阴影部分，联立04x y x y -=⎧⎨+=⎩，可得()2,2A ，目标函数2z x y =-可化为2y x z =-，当目标函数过点()2,2A 时，z 取得最大值2，故2m =.因为函数xy a =（0a >，1a ≠）的图象过定点()0,1，所以函数222x y a -=+（0a >，1a ≠）的图象过定点()2,4.故选：D.【点睛】本题考查线性规划，考查函数图象过定点问题，考查学生的计算能力与推理能力，属于基础题. 7．D 【解析】 【分析】根据程序框图依次运行，直到0i <，结束循环，输出v 的值，得出结果. 【详解】由题意，运行该程序，输入4n =，2x =，则1v =，4130i =-=≥，判断框成立； 则1235v =⨯+=，3120i =-=≥，判断框成立； 则52212v =⨯+=，2110i =-=≥，判断框成立； 则122125v =⨯+=，1100i =-=≥，判断框成立；则252050v =⨯+=，0110i =-=-<，判断框不成立，输出50v =. 故选：D. 【点睛】本题考查程序框图，关键在于准确识别循环结构和判断框语句，属于基础题. 8．B【解析】 【分析】根据时间和h 的对应关系分别进行排除即可． 【详解】函数()h f t =是关于t 的减函数，故排除C ，D ，则一开始，h 随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h 随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B ， 故选B ． 【点睛】本题主要考查函数与图象的应用，结合函数的变化规律是解决本题的关键． 9．A 【解析】试题分析：根据题意，由于将函数sin 22y x x =+=2sin(2+)3x π的图象向左平移4π个单位可以得到函数y=52sin[2(++]2sin(2+)2cos(2+)4363x x x ππππ==）也就是函数2cos(2)3y x π=+的图象，故选A.考点：三角函数图象变换点评：主要是考查了三角函数的图象的平移变换的运用，属于基础题。

湖南省长沙市雅礼中学高三数学文科2月质检测试卷 新课标人教版本试题卷分选择题和非选择题(包括填空题和解答题)两部分,时量为120分钟，满分150分. 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．若集合{}2,1m A =，{}4,2=B ，则“2=m ”是“{}4=B A ”的 A.充分不必要条件. B. 必要不充分条件. C.充要条件. D. 既不充分也不必要条件.2．定义在R 上的函数)(x f y =的值域为[]b a ,，则函数)1(+=x f y 的值域为 A ．[]b a ,B ．[]1,1++b aC ．[]1,1--b aD ．无法确定3．老师为研究男女同学数学学习的差异情况，对全班50名同学（其中男同学30名，女同学20名），采用分层抽样的方法抽取一个样本容量为10的样本进行研究，某女同学甲被抽取的概率为 A ．41B ．51 C ．101 D ．501 4．已知函数()()2111f x x x =<--，则113f -⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是（ ） A ．2B ．－3C ．－2D ．35．已知函数()cos 3f x x x =，则这一函数的一个递减区间是 A ．（5,66ππ-） B ．（7,66ππ） C ．（2,33ππ-） D ．（25,33ππ） 6．下面是高考第一批录取的一份志愿表。

现有4所重点院校，每所院校有3 个专业是你较为满意的选择，如果表格填满且规定学校没有重复，同一学校的专业也没有重复的话，你将有（ ）种不同的填写方法.志 愿 学 校 专 业 第一志愿 1 第1专业 第2专业 第二志愿 2 第1专业 第2专业 第三志愿 3 第1专业 第2专业)( C. )(4 B. )(4.3233432333233C A C A A ⋅⋅⋅32334)(D. A A ⋅7．已知椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞0)，双曲线12222=-b y a x 和抛物线px y 22= (p ＞0 )的离心率分别为e 1、e 2、e 3，则Ａ.e 1e 2＞e 3 Ｂ.e 1e 2＝e 3 Ｃ.e 1e 2＜e 3 Ｄ.e 1e 2≥e 38．过ABC ∆重心G 作一直线分别交AB 、AC 于D 、E ，若AB x AD =，AC y AE =，0≠xy ，则yx 11+的值为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 9．设m 、n 是异面直线，则(1).一定存在平面α，使m ⊂α且n∥α(2).一定存在平面α，使m ⊂α且n⊥α (3).一定存在平面α，使m ，n 到α的距离相等(4).一定存在平面α、β，使m ⊂α，n ⊂β，且α⊥β 上述4个命题中正确的个数为A.1B.2C.3D.410．给出下列定义；连结平面点集内两点的线段上的点都在该点集内，则这种线段的最大长度就叫做该平面点集的长度。

长沙雅礼中学高三第三次月考文科数学雅礼中学高三数学备课组组稿命题人：唐丙乾审题人：薛祖山常军时量： 120 分钟满分： 150 分（考试范围：会合与逻辑、函数与导数、数列与不等式、三角函数与平面向量、立体几何）一、选择题：本大题共10 小题，每题 5 分，共 50 分。

在每题给出的四个选项中，只有 一项为哪一项切合题目要求的。

1．曲线 y ＝x 3－3x 2－ 3 x ＋ 1 在 x ＝ 1 处的切线的倾斜角为（ D ）2A ． 30°B ． 60°C ．150°D ． 120°【分析】 对函数 y ＝ x 3－3x 2－ 3 x ＋ 1 求导得，曲线在 x ＝ 1 处的切线的斜率为 － 3 ，则2它的倾斜角为 120°． 选 D ．2．已知会合P ＝ { x ││ x ＋ 1 ≤ 2} ， Q ＝ { x │ x ＜ a } ，则会合P Q ≠的充要条件是（ C ）A ． a ≤－ 3B ． a ≤1C ． a ＞－ 3D ． a ＞ 1【分析】 化简得：会合 P ＝[ －3，1]，利用数轴剖析得 ：P Q ≠ ，当且仅当 a ＞－ 3．选 C ．3．等差数列 { an } 中， a ＋ 3 a ＋ a ＝ 120，则 2 a －a10＝（ A ）18159A ．24B.22C ． 20D. －8【分析】利用等差数列性质得： a 1＋ 3a 8＋ a 15＝5 a 89－ a 108＝ 120，则 2 a ＝ a ＝ 24，选 A.4.已知点 A （2， 1）， B （ 0， 2）， C （－ 2， 1）， O （0， 0）．给出下边的结论：①OC//BA ；② OAAB ；③ OA ＋OC ＝ OB ；④AC ＝ OB －2 OA ．此中正确结论的个数是（ B ）A.1 个B.2 个C.3个D.4个【分析】 ③④ 正确，选 B ．5. 长方体 ABCD － A 1B 1 C 1D 1 中， AA 1＝AD ＝ 4， AB ＝ 3，则直线 A 1B 与平面 A 1B 1CD 所成角的正弦值是（ C ）A. 4B.42 22 C.5 D.4152专心爱心专心【分析】由条件知， BC 1平面 A 1B 1CD ，设 BC 1 B 1C ＝ O ，则 ∠BA 1O 为所求角，其正弦值为BO ＝2 2．选C ．A 1B56. 若函数f （ x ）＝ a x( ＞0，a ≠ 1 )的部分对应值如表：则不等x －2 0 a－f （ x ）0.5921式f 1（ │ x │ ＜ 0 ）的解集是（ D ）A. {x │－ 1＜ x ＜ 1}B. { x │ x ＜－ 1 或 x ＞1}C. {x │ 0＜ x ＜ 1}D. { x │－ 1＜ x ＜ 0 或 0＜ x ＜ 1}【分析】由表中条件得 ：a ＞ 1，则解不等式 f －1（│ x │）＝ log a │ x │＜ 0，得选 D.7.函数 f （x ）＝ sinx 在区间 [a ， b]上是增函数，且f （ a ）＝－ 1，f （b ）＝ 1，则 cosab 的2值为（ C ）A. 0B.2C. 1D. －12【分析】由条件得： a ＝ 2k π－， b ＝ 2k π＋( k ∈ Z) ，于是 cos ab＝ 1，选 C2228. 已知 m ，l 是异面直线，给出以下命题：①必定存在平面α过直线 l 且与直线 m 平行 .②必定存在平面α与直线 l 、m 都垂直 . ③必定存在平面α过直线 l 且与直线 m 垂直 .④必定存在平面α与直线 l 、 m 的距离相等 . 此中，正确的命题个数有 （ B ）A.1B.2C.3D.4 个【分析】 ①④ 正确，选 B.9. 设函数 f （ x ）定义在实数集R 上，它的图像对于直线x ＝ 1 对称，且当 x ≥ 1 时，f （ x ）＝ 3x － 1，则有（ B ）A. f （ 1 ）＜ f （ 3 ）＜ f （ 2） B. f （ 2）＜ f （ 3 ）＜ f （ 1）32 33 2 3 C. f （ 2）＜ f （ 1）＜ f （ 3）D. f （ 3）＜ f （ 2）＜ f （ 1）332233【分析】由条件得 ： x ≥ 1 时， f （ x ）递加，且 f （ 2）＝ f （ 4 ）， f （ 1 ）＝ f （ 5），得选 B.3 3 3 310. 设 f （ x ）是定义是 R 上恒不为零的函数， 对随意 x ，y ∈ R ，都有 f （ x ）·f （ y ）＝ f （ x ＋ y ）,若 a 1＝ 1，a n ＝ f （ n ） (n 为正整数 ) ，则数列 { a n } 的前 n 项和 S n 的取值范围是（D ）2A.1≤ S n＜ 2 B.1≤ S n≤2 C.1≤ S n≤ 1 D.1≤ S n＜ 1 2222【分析】由条件得： f（ n）· f（ 1）＝ f （n＋ 1），即 a n+1＝ a n·1，得数列 { a n } 是首项与公比 2均为1的等比数列，乞降得n＝1－（1）n，得选 D .2S2选择题答题卡题号12345678910答案D C A B C D C B B D二、填空题：本大题共 5 小题，每题 5 分，共25 分 .把答案填在横线上 .11.如图，函数 f（ x）的图像是折线段 ABC ，此中 A， B， C 的坐标分别为（ 0， 4），（ 2，0），（ 6， 4），则 f（ f（ 0））＝ 2 ；函数 f（ x）在 x＝ 3处的导数 f ′（ 3）＝ 1 .【分析】 f （f（0））＝ 2，及 f′（ 3）即线段BC 在 x＝ 3 处的切线的斜率，得 f′（ 3）＝ 1.12. 如图，丈量河对岸的塔高AB 时，能够选与塔底 B 在同一水平面内的两个观察点 C 与 D. 现测得∠ BCD ＝ 15°，∠BDC ＝ 30°， CD ＝30 米，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60°，则塔高 AB ＝ 15 6 米.【分析】△ BCD 中，由正弦定理得 BC＝ 15 2 ，在直角△ BCA 中，求得 AB＝ 15 6 .13. 将锐角为∠ BAD ＝ 60°且边长是 2 的菱形 ABCD ，沿它的对角线 BD 折成 60°的二面角，则：①异面直线 AC 与 BD 所成角的大小是90°. ②点 C 到平面 ABD 的距离是3. 2【分析】设 BD 中点为 O，则有 BD平面 AOC ，则 BD AC. 及平面 ABD 平面 AOC. 且△ AOC 是边长为 3 的正三角形，作CE AO，则 CE平面 ABD ，于是异面直线 BD 与 AC所成的角是： 90°，点 C 到平面 ABD 的距离是 CE＝3 .214. 一个人喝了少许酒后，血液中的酒精含量快速上涨到0.3mg/mL ，在停止饮酒后，血液中规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超出 0.09 mg/mL ，那么，一个喝了少许酒后的驾驶员，起码经过5 小时，才能开车？（精准到1 小时） .【分析】设 x 小时后，血液中的酒精含量不超出0.09 mg/ml ，则有 0.3·（ 3） x ≤ 0.09，即4（ 3） x ≤0.3，估量或取对数计算得： 5 小时后，能够开车.4 15. 给出以下四个结论：①“ k ＝ 1”“是函数 y ＝cos 2 k x － sin 2 k x 的最小正周期为π”的充要条件 .②函数 y ＝ sin （ 2 x －）沿向量 a ＝（， 0）平移后所得图象的函数表达式是：66y ＝ cos2 x.③函数 y ＝ lg(a x 2－ 2 a x ＋1) 的定义域是 R ，则实数 a 的取值范围是（ 0， 1） .④单位向量 a 、b 的夹角是 60°，则向量 2a － b 的模是 3 .此中不正确结论的序号是①②③ .（填写你以为不正确的全部结论序号）【分析】正确的选项是 ④ .三、解答题：本大题共6 小题，共 75 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .16. （本小题满分 12 分）已知 α是锐角，且 tan(α＋)＝ 2. 求： 4（ 1） tan α的值 . （2） sin 2 cos sin的值 .sin 2 cos 2解：（ 1）由 tan( ＋)＝ tan1＝2，解得 tan ＝ 1. （3 分）41tan3 （ 2）由 tan ＝ sin ＝ 1.及 sin 2 ＋ cos 2＝ 1cos 3并注意到是锐角，得 cos＝ 3 .（7 分）10sin 2 cos sin＝ 2 sin cos 2 sin（9 分）sin 2 cos 22 sin cos cos 2sin 2 cos 21 ＝ 1 ＝ 10（12 分）＝coscos 2 6 .2 sin2 cos17. （本小题满分 12 分）P ABCD ABCD PAB O AB PO AC.1 PAB ABCD2 PACB .1PAB O ABPO AB.2PO AC PO ABCD .4 PO PAB PAB ABCD .6 2OEACEPE,PE AC.PEO P AC B.8 AB 2a， PO3 aAOEOE 2POEtan PEO PO6 .a2OEPACB612 18.12Rf xa x4 b x3 c x x22. 23y f′x y. 1f x2f x[ 1 1 ]3x1 x222 [ 1 1 ]│ f x1f x2│≤.3f′x4a x33b x2 c.y f′x f ′x8a x30x a 0.23bc 02f22f ′2 0 2322b 2c 242 3b 2c1.3f x2x 3 x.5321f ′ x2 x 21 02x 2 .22f x[ 12 ] [ 21] 22.2 222[ 1 1]f xf2223f22 .92 332x 122≤ f x 122 ≤ f x 2x[11] ≤33322≤ f x 1f x 2 ≤2233122 212│ f xf x │≤.319. 13DABCBCD、AMABACMNm AB AN n AC AC a AC b.m 0 n 0.1 a b MD MN 21 1mn3m n . 1DABMDADAM1ABACm · AB1m a 1·b.222MNAN AM nb ma42MNDMD ·MN .1m a 1 ·bnb ma .1m m 1n.2222m n 2mn.112.9mn32m n 1 m n1111mn≥ 1 1 ·m ? n22mn2nm 2n mm n 1.m n2. 1320. 13R f x f x y f x f y x 0 f x 0.1f xR2xf mx 22f xf m 2 x2f m m 0m .1x 1 x 2 R x 1 x 2 t t 0f t 0.fx 1 f x 2 tf x 2 f t f x 2x xf xf xf xR.612122 2 f m f m f m f 2m .2f xf 2 xf mx 22f xf m 2 x2f m f mx 2f 2mf m 2xf 2xfmx 2 2mf m 2x 2xmx 2 2m m 2x 2xmx 2m 2 2 x 2m 0m 0x 2m 2 x 2m 0x 2x m010mm2mm2 { x │x 2x m}当 2 ＞ m ，即 0＜ m ＜ 2 时，不等式的解集为 { x │ x ＜ m 或 x ＞2}. mm当 m ＝ 2，即 m ＝2 时，不等式的解集为 { x │ x ≠2 ，xR }. （ 13 分）m21. （本小题满分 13 分）数列 { a n } 中 a 1＝ t ， a 2＝ t 2（ t ＞ 0 且 t ≠1）. x ＝ t 是函数 f （ x ）＝ a n-1 x 3－ 3[ （ t ＋ 1）a n － a n+1 ] x ＋ 1（n ≥ 2）的一个极植点 . （ 1）证明数列 { a n-1－ a n } 是等比数列，并求数列{ a n } 的通项公式；（ 2）记 b n ＝ 2（ 1－ 1），当 t ＝ 2 时，数列 { b n } 的前几 n 项和为 S n ，求使 S n ＞ 2008 的 n 的a n最小值；（ 3）当 t ＝ 2 时，能否存在指数函数 g （ x ），使得对于随意的正整数 n 有n g (k)k 1( a k1)( a k 1n＜ 1建立？若存在，求出知足条件的一个 g （ x ）；若不存在，请说1) 3明原因（说明：k 1f （ k ）＝ f （ 1）＋ f （ 2）＋ ＋ f （n ） .解：（ 1） f ′（ x ）＝ 3a n-1 x 2－ 3[ （t ＋ 1） a n － a n+1 ] （n ≥ 2） .由题意 f ′（ t ）＝ 0，即 3an-1（t ） 2－ 3[ （ t ＋ 1） a n － a n+1] ＝0（ n ≥ 2），a n+1－ a n ＝ t （ a n － a n —1 ）（ n ≥ 2），t ＞ 0 且 t ≠1，且 a 2－ a 1＝ t （t － 1） ≠0 .数列 { a n+1 － a n2－ t 为首项 ， t 为公比的等比数列 ，} 是以 ta n+1nt2－ ）n －1＝（ －1）n，a 21t1 t－＝（ttt·t－＝（－ ），a 3－a 2＝（ t － 1）·t 2＝（ tn － 1， ， a n －a n — 1 －1） t以上各式两边分别相加得 n － 1＝（ t － ）（ ＋ 2 ＋ t n－1），a n ＝ n（n ≥ 2），a a 1 t tt当 n ＝ 1 时，上式也建立 ， a n ＝ t n （5 分）n ＝ 2(2nn1)＝2－ 1 ，（ 2）当 t ＝ 2 时， b2n 1211＋ ＋111＝ 2 n － 2（ 1－1＋）＝ 2 n －2 n ）＝nS ＝2n －（＋22 2n 1 1 2n21212 n －2＋ 2· 2n .S n 20082 n 2 2 1n2008 n1 n10052 2n ≤ 1004n1 n1005 n ≥1005 n 1n 10052 2n1005. 931k(a k 1)( a k 1 1)(2gk2k(a k111 1k 11)2k2k1 2 k 1 11)( 2 g( k)112 k 1)( a k 1 1) 1 2 k 11ng (k )n11(a k1)( a k 12 kk 11)k 112k 111111112 1 2 2 1 2312 n2 n 12 1 211111 g x2x .133n 1321。

一、单选题二、多选题1. 已知函数，若时，在处取得最大值，则实数a 的取值范围是（ ）A．B．C．D．2. 已知四棱锥，底面为矩形，点在平面上的射影为的中点.若，，，则四棱锥的表面积等于（）A．B．C．D．3.在等比数列中，，，则（ ）A．B．C．D ．114. 若复数z 满足，则（ ）A．B ．1C．D ．25. 某种产品的广告支出与销售额（单位：万元）之间有下表关系，与的线性回归方程为，当广告支出6万元时，随机误差的效应即离差（真实值减去预报值）为（ ）．245683040607080A ．1.6B ．8.4C ．11.6D ．7.46.已知向量，，若，则（ ）A．B．C．D．7. 已知一个几何体的三视图如图所示，俯视图为等腰三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C ．2D．8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为（ ）A．B．C．D．湖南省长沙市长郡中学、长沙一中、雅礼中学、湖南师大附中2023届高三下学期5月“一起考”数学湖南省长沙市长郡中学、长沙一中、雅礼中学、湖南师大附中2023届高三下学期5月“一起考”数学三、填空题9. 已知双曲线（，）的上、下焦点分别为、，过点且与一条渐近线垂直的直线l 与C 的上支交于点P ，垂足为A，且，O 为坐标原点，则（ ）A ．双曲线C的渐近线方程为B ．双曲线C的离心率为C ．三角形的面积为D ．直线l 被以为直径的圆截得的弦长为10. 如图是2010-2019年这十年我国硕士研究生报考人数统计图，则下列说法正确的是（）A ．2010年以来我国硕士研究生报考人数逐年增多B ．这十年中硕士研究生报考人数的极差超过150万人C ．这十年中，2019年硕士研究生报考人数增速最快D ．这十年中硕士研究生报考人数增速最快的三年分别是2019年，2018年，2017年11. 如图，在三棱锥中，⊥，，D 为AB 的中点，且为等边三角形，，，则下列判断正确的是（）A ．平面SBCB ．平面⊥平面SAC C．D．12. 将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再将所得图象向右平移是个单位长度后得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．函数是奇函数B ．函数的一个对称中心是C ．若，则D ．函数的一个对称中心是13.设复数，满足，，则__________．14. 在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知，则________；若，，点P 是的中点，点M ，N 分别在线段，上，，，则的面积为________.15. 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象潮汐．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码四、解答题头：卸货后，在落潮时返回海洋．下表是某港口某天的时刻与水深关系的预报，我们想选用一个函数来近似描述这一天港口的水深与时间之间的关系，该函数的表达式为__________________________．已知一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与洋底的距离），则该船可以在此港口停留卸货的时间最长为_____________小时（保留整数）．时刻水深m时刻水深m时刻水深m0：00 5.09：18 2.518：36 5.03：067.512：24 5.021：42 2.56：125.015：307.524：004.016. （本小题满分１2分）　已知ABC 的三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、Ｃ(c,0) （１） 若c=5，求sin ∠A 的值；（２） 若∠A 为钝角，求c 的取值范围；17. 已知椭圆Γ：的左､右焦点分别为，，点在Γ上，动直线l 交Γ于B ，C 两点，且与y 轴交于点D .当直线l 经过点时，四边形的周长为8.(1)求Γ的标准方程；(2)若是的垂心，求.18. 生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标，，，，，元件甲81240328元件乙71840296（Ⅰ）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件甲，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件乙，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（Ⅰ）的 前提下（1）记为生产1件甲和1件乙所得的总利润，求随机变量的分布列和数学期望；（2）求生产5件元件乙所获得的利润不少于140元的概率．19. 已知点，动点到直线的距离与动点到点的距离之比为.（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点作任一直线交曲线于，两点，过点作的垂线交直线于点，求证：平分线段.20. 黄河鲤是我国华北地区的主要淡水养殖品种之一，其鳞片金黄、体形梭长，尤以色泽鲜丽、肉质细嫩、气味清香而著称．为研究黄河鲤早期生长发育的规律，丰富黄河鲤早期养殖经验，某院校研究小组以当地某水产养殖基地的黄河鲤仔鱼为研究对象，从出卵开始持续观察20天，试验期间，每天固定时段从试验水体中随机取出同批次9尾黄河鲤仔鱼测量体长，取其均值作为第天的观测值（单位：），其中，．根据以往的统计资料，该组数据可以用Logistic 曲线拟合模型或Logistic 非线性回归模型进行统计分析，其中a ，b ，u 为参数．基于这两个模型，绘制得到如下的散点图和残差图：(1)你认为哪个模型的拟合效果更好？分别结合散点图和残差图进行说明：(2)假定，且黄河鲤仔鱼的体长与天数具有很强的相关关系．现对数据进行初步处理，得到如下统计量的值：，，，，，，其中，，根据（1）的判断结果及给定数据，求关于的经验回归方程，并预测第22天时仔鱼的体长（结果精确到小数点后2位）．附：对于一组数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，；参考数据：．21. 第24届冬季奥林匹克运动会（The XXIV Olympic Winter Games），即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕．2022年北京冬季奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项．北京赛区承办所有的冰上项目，延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目，张家口赛区承办除雪车、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上项目．为调查学生对冬季奥运会项目的了解情况，某中学进行了一次抽样调查，统计得到以下列联表．了解不了解合计男生60200女生110200合计(1)完成列联表，并判断有超过多大的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关；(2)为弄清学生不了解冬季奥运会项目的原因，按照性别采用分层抽样的方法、从样本中不了解冬季奥运会项目的学生中随机抽取5人，再从这5人中抽取2人进行面对面交流，求“男、女生各抽到一名”的概率．附表：0.0250.0100.0050.0015.0246.6357.87910.828附：．。