第7讲 容斥原理

容斥原理公式大全容斥原理是组合数学中常用的一种计数方法，可以用于解决涉及多个集合的计数问题。

它的基本思想是通过求解包含或排除一些元素的方式来计算所需的数量。

1. 容斥原理的基本形式：如果A₁，A₂，...，Aₙ是有限集合，并且S表示它们的并集，则有：|S| = |A₁∪A₂∪...∪Aₙ| = Σ|Aᵢ| - Σ|Aᵢ∩Aₙ| + Σ|Aᵢ∩Aₙ∩Aₙ| - ... + (-1)ⁿ⁻¹|A₁∩A₂∩...∩Aₙ|，其中|X|表示集合X中元素的个数。

2. 两个集合的容斥原理：如果A和B是两个有限集合，则有：|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|。

3. 三个集合的容斥原理：如果A，B和C是三个有限集合，则有：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C|。

4. 四个集合的容斥原理：如果A，B，C和D是四个有限集合，则有：|A∪B∪C∪D| = |A| + |B| + |C| + |D| - |A∩B| - |A∩C| - |A∩D| -|B∩C| - |B∩D| - |C∩D| + |A∩B∩C| + |A∩B∩D| + |A∩C∩D| +|B∩C∩D| - |A∩B∩C∩D|。

5. n个集合的容斥原理：如果A₁，A₂，...，Aₙ是n个有限集合，则有：|A₁∪A₂∪...∪Aₙ| = Σ|Aᵢ| - Σ|Aᵢ∩Aₙ| + Σ|Aᵢ∩Aₙ∩Aₙ| - ... + (-1)ⁿ⁻¹|A₁∩A₂∩...∩Aₙ|。

容斥原理的思想可以扩展到更多个集合的情况，通过求解交集和补集的方式来计算复杂集合的数量。

它在组合数学中具有广泛的应用，特别是在计数问题中常常能够提供简洁有效的解决方案。

高考数学冲刺复习容斥原理考点速记在高考数学的复习冲刺阶段，容斥原理是一个不可忽视的重要考点。

它虽然不是高频出现的重难点，但一旦出现，往往能成为区分考生水平的关键。

为了帮助同学们在高考中应对自如，下面我们就来对容斥原理进行一次全面且深入的速记梳理。

一、容斥原理的基本概念容斥原理是指，先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。

简单来说，就是在计算多个集合的并集时，要减去它们的交集，以避免重复计算。

举个例子，假设一个班级里有喜欢数学的同学集合 A，喜欢语文的同学集合 B。

那么既喜欢数学又喜欢语文的同学就是 A 和 B 的交集，而喜欢数学或者喜欢语文的同学总数就是 A 和 B 的并集。

但在计算并集时，如果直接把 A 的人数和 B 的人数相加，就会把既喜欢数学又喜欢语文的同学重复计算一次，所以需要减去交集的人数，这就是容斥原理的基本应用。

二、容斥原理的公式1、两个集合的容斥原理公式：｜A∪B| ＝｜A| ＋｜B| ｜A∩B|其中，｜A|表示集合 A 的元素个数，｜B|表示集合 B 的元素个数，｜A∪B|表示 A 和 B 的并集的元素个数，｜A∩B|表示 A 和 B 的交集的元素个数。

2、三个集合的容斥原理公式：｜A∪B∪C| ＝｜A| ＋｜B| ＋｜C| ｜A∩B| ｜B∩C| ｜C∩A| ＋｜A∩B∩C|这个公式相对复杂一些，但原理是一样的，都是在计算并集时，减去两两集合交集的元素个数，然后再加上三个集合交集的元素个数，以保证计算结果的准确性。

三、容斥原理的应用场景1、计数问题比如计算在一定范围内满足多个条件的元素个数。

例如，在 1 到100 的自然数中，能被 3 整除或者能被 5 整除的数有多少个？2、概率问题在计算某些事件发生的概率时，如果涉及多个条件，可以运用容斥原理来准确计算。

3、图形问题在计算图形的面积或周长等问题时，如果图形之间存在重叠部分，也可以使用容斥原理来求解。

容斥原理的三个公式容斥原理是数学中一个挺有意思的概念，它有三个重要的公式，今天咱们就来好好聊聊这三个公式。

我先跟您说啊，这容斥原理在解决集合相关的问题时，那可真是大显身手。

就拿咱们生活中的例子来说吧，比如说学校组织活动，有参加书法比赛的同学，有参加绘画比赛的同学，还有既参加书法又参加绘画比赛的同学。

那怎么算总共有多少同学参加了这两类比赛呢？这时候容斥原理就派上用场啦！咱们先来说说容斥原理的第一个公式。

这个公式可以表述为：两个集合 A 和 B 的并集的元素个数，等于 A 的元素个数加上 B 的元素个数，再减去 A 和 B 的交集的元素个数。

简单来说就是：|A∪B| = |A| + |B| -|A∩B| 。

举个例子哈，一个班级里，喜欢语文的有 20 个同学，喜欢数学的有 30 个同学，既喜欢语文又喜欢数学的有 10 个同学。

那喜欢语文或者喜欢数学的同学一共有多少个呢？咱们就可以用这个公式来算。

|A|就是喜欢语文的 20 个同学，|B|就是喜欢数学的 30 个同学，|A∩B|就是既喜欢语文又喜欢数学的 10 个同学。

把数字带进去，那就是 |A∪B| = 20 + 30 - 10 = 40 个同学。

您瞧，是不是很清楚明了？再来说说第二个公式。

如果是三个集合 A、B、C ，那它们的并集的元素个数就是：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |B∩C| - |C∩A| +|A∩B∩C| 。

咱们还是拿例子来说事儿。

比如说在一个班级里，喜欢体育的有 25 个同学，喜欢音乐的有 15 个同学，喜欢美术的有 20 个同学，既喜欢体育又喜欢音乐的有8 个同学，既喜欢音乐又喜欢美术的有6 个同学，既喜欢体育又喜欢美术的有 9 个同学，三个都喜欢的有 3 个同学。

那喜欢体育或者音乐或者美术的同学一共有多少个呢？咱们就把数字往公式里带：|A|是 25 ，|B|是 15 ，|C|是 20 ，|A∩B|是 8 ，|B∩C|是 6 ，|C∩A|是 9 ，|A∩B∩C|是 3 。

容斥原理及其应用容斥原理是组合数学中一种重要的计数技巧，被广泛运用于排列组合、概率统计等领域。

它的核心思想是通过求出多个集合的交集和并集来计算所需的数量，从而避免重复计数，确保准确性和全面性。

本文将介绍容斥原理的基本概念、推导过程以及其在实际问题中的应用。

一、容斥原理的基本概念容斥原理是根据集合的性质和运算规则推导出的一种计数方法。

在给定一组集合时，容斥原理可以帮助我们计算这些集合的交集和并集的元素个数。

在具体运用中，我们将问题转化成求解几个集合的元素个数之和的问题。

容斥原理表达式如下：∣A1∪A2∪⋯∪An∣=∣A1∣+∣A2∣+⋯+∣An∣−∣A1∩A2∣−∣A1∩A3∣−⋯−∣An−1∩An∣+⋯+（−1）^n−1∣An−1∩An∣其中，∣A∣表示集合A的元素个数，∪表示集合的并集，∩表示集合的交集，n表示集合的数量。

二、容斥原理的推导过程容斥原理的推导过程可以通过数学归纳法来实现，下面简要介绍：首先，我们给定两个集合A和B，我们用∣A∣表示集合A的元素个数，用∣B∣表示集合B的元素个数。

如果我们要计算A和B的并集∣A∪B∣，那么可以采取如下步骤：1. 首先，我们直接将∣A∣和∣B∣相加，得到∣A∣+∣B∣。

2. 然后，我们需要减去重复计算的部分，即集合A和B的交集∣A∩B∣。

因为∣A∩B∣这部分元素已经在∣A∣和∣B∣中被计算了一次，所以需要减去∣A∩B∣。

通过以上步骤，我们得到了∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣。

这就是容斥原理的基本推导过程。

接下来，我们将容斥原理推广到更多集合的情况。

假设我们有三个集合A、B和C，我们想要计算它们的并集∣A∪B∪C∣，我们可以按照以下步骤进行：1. 首先，我们将∣A∣、∣B∣和∣C∣相加，得到∣A∣+∣B∣+∣C∣。

2. 然后，我们需要减去两两集合的交集部分，即∣A∩B∣、∣A∩C∣和∣B∩C∣。

这是因为这些部分元素在∣A∣、∣B∣和∣C∣中都被计算了一次，所以需要减去。

第七讲容斥定理1两集合容斥定理如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。

（A∪B = A+B - A∩B) 2三集合容斥定理如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。

三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A +A∩B∩C教学重点：两集合容斥定理找对A BA∪B A∩B教学难点：三集合容斥定理例1.某区100个外语教师懂英语或俄语,其中懂英语的75人,既懂英语又懂俄语的20人,那么懂俄语的教师为人.答案45解析：依题意，被计数的事物懂英语的教师和懂俄语的教师有两类，懂英语的教师称为“A 类元素”，懂俄语的教师称为“B类元素”，设懂俄语的教师为x人A∪B = A+B - A∩B=75+x-20=100X=45例2.有长8厘米,宽6厘米的长方形与边长为5厘米的正方形,如图,放在桌面上(阴影是图形的重叠部分),那么这两个图形盖住桌面的面积是平方厘米.依题意，被计数的事物长方形的面积与正方形的面积有两类，长方形的面积称为“A A∪B = A+B - A∩B=6×8+5×5-4×3×1/2=67例3. 求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少个。

答案 13例7对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。

其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则有既喜欢看球赛又喜欢看电影的有多少人?答案3解析记A类元素为：喜欢看球赛的人；记B类元素为：喜欢看戏剧的人；记C类元素为：喜欢看电影的人。

什么是容斥原理容斥原理是组合数学中一种重要的计数方法，它常常被用来解决包含排列组合、集合运算等问题。

容斥原理的应用范围非常广泛，它可以帮助我们解决各种复杂的计数问题，因此对于学习组合数学的同学来说，掌握容斥原理是非常重要的。

首先，容斥原理是什么呢？简单来说，容斥原理是一种通过排除重复计数来得到准确计数结果的方法。

在解决问题时，我们常常会遇到需要计算某个集合的元素个数的情况，而有时候直接计算会非常复杂甚至不可行。

这时，我们就可以利用容斥原理来简化计数过程，从而得到准确的结果。

容斥原理的核心思想是利用集合的互斥性质，通过排除重复计数来得到准确的计数结果。

具体来说，对于给定的若干个集合，我们可以利用容斥原理来计算它们的并集的元素个数。

容斥原理的表达式可以用一个简单的公式来表示：|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| |A ∩ B| |A ∩ C| |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|。

其中，|A| 表示集合 A 的元素个数，A ∪ B 表示集合 A 和集合 B 的并集，A ∩B 表示集合 A 和集合 B 的交集。

通过这个公式，我们可以利用容斥原理来计算任意若干个集合的并集的元素个数，从而解决各种复杂的计数问题。

容斥原理的应用非常灵活，我们可以将其应用于各种不同类型的问题中。

例如，在排列组合问题中，容斥原理可以帮助我们计算满足某些条件的排列或组合的个数；在集合运算问题中，容斥原理可以帮助我们计算多个集合的并集的元素个数；在概率统计问题中，容斥原理可以帮助我们计算多个事件的概率之和等等。

总之，容斥原理是组合数学中一种非常重要的计数方法，它通过排除重复计数来得到准确的计数结果。

掌握容斥原理可以帮助我们解决各种复杂的计数问题，因此对于学习组合数学的同学来说，深入理解和灵活运用容斥原理是非常重要的。

希望本文对你有所帮助，谢谢阅读！。

什么是容斥原理容斥原理是组合数学中的一种重要方法，它常常被用来解决计算某种特定情况下的元素个数的问题。

容斥原理的核心思想是通过排除重复计数的方法，来计算不同集合的交集和并集的元素个数。

在实际应用中，容斥原理常常被用来解决排列组合、概率统计等问题，具有广泛的应用价值。

首先，我们来看一个简单的例子来理解容斥原理的基本思想。

假设有三个集合A、B、C，我们需要计算它们的并集的元素个数。

根据容斥原理，我们可以通过如下的公式来计算，|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| |A∩B| |A∩C| |B∩C| + |A∩B∩C|。

这个公式的意义是，先将A、B、C三个集合的元素个数相加，然后减去它们两两交集的元素个数，最后再加上它们三个集合的交集的元素个数。

这样计算得到的结果，就是A、B、C三个集合并集的元素个数。

通过这个简单的例子，我们可以看到容斥原理的核心思想是通过加减交替的方式，来排除重复计数，最终得到不重复的元素个数。

在实际应用中，容斥原理常常被用来解决各种组合数学问题。

例如，在排列组合中，我们常常需要计算满足某种条件的排列或组合的个数，这时就可以运用容斥原理来进行计算。

在概率统计中，容斥原理也常常被用来计算事件的概率，特别是在计算事件的互斥和独立性方面，容斥原理能够提供简洁而有效的计算方法。

除了上面提到的例子，容斥原理还可以应用于更加复杂的情况。

例如，在计算某个集合的补集元素个数时，容斥原理同样可以提供便利的计算方法。

在实际问题中，我们常常需要计算满足一定条件的集合的补集的元素个数，这时就可以利用容斥原理来简化计算过程，提高计算效率。

总的来说，容斥原理是组合数学中一种非常重要的计数方法，它通过排除重复计数的方式，来计算不同集合的交集和并集的元素个数。

在实际应用中，容斥原理常常被用来解决排列组合、概率统计等问题，具有广泛的应用价值。

通过深入理解和灵活运用容斥原理，我们可以更加高效地解决各种计数问题，提高数学问题的解决能力。

容斥原理【知识点讲解】1、原理容斥原理指把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

2、解释由图可以直接看出各部分之间的关系由Venn图可知：（A∪B=A+B-A∩B)由Venn图可知：（A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C）3、应用两类如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和=属于A类元素个数+属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。

三类如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和=A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。

4、解题导语使用容斥原理一般用于集合相关问题中，但是此类思想在数学学习中仍有巨大作用。

例如在计数原理中使用间接法等等。

因此学习此类问题对数学能力的提升是有很大帮助的，它可以帮助你换一个角度看数学题，从而找到更简单的办法。

【例题详析】例1、（2020宁夏）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，六盘水市第七中学为了解我校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则在调查的100位同学中阅读过《西游记》的学生人数为（）A ．80B ．70C ．60D ．50【参考答案】B【详解】因为阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，所以《西游记》与《红楼梦》两本书中只阅读了一本的学生共有90-60=30位，因为阅读过《红楼梦》的学生共有80位，所以只阅读过《红楼梦》的学生共有80-60=20位，所以只阅读过《西游记》的学生共有30-20=10位，故阅读过《西游记》的学生人数为10+60=70位，【方法解析】由两类的容斥原理得：总人数=阅读过《西游记》+阅读过《红楼梦》-阅读过《红楼梦》和《西游记》的，由此得阅读过《西游记》的学生人数=90+60-80=70（位）例2：某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96名学生喜欢足球或游泳，60名学生喜欢足球，82名学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生有（）名．A ．62B ．56C ．46D ．42【参考答案】C【详解】喜欢足球的学生、喜欢游泳的学生形成的集合分别记为A ，B ，依题意，集合A ，B ，A B 中元素个数分别为：()60,()82,()96n A n B n A B ==⋃=，则()()()()60829646n A B n A n B n A B ⋂=+-⋃=+-=，所以中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生有46名.例3．某小学对小学生的课外活动进行了调查.调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有46人，不参加其中任何一种课外活动的有15人.问接受调查的小学生共有多少人？（）A ．120B ．144C ．177D ．192【参考答案】A 【详解】如图所示，用韦恩图表示题设中的集合关系，不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合,,A B C 表示，则()63,()89,()47,()24card A card B card C card A B C ===⋂⋂=不妨设总人数为n ，韦恩图中三块区域的人数分别为,,x y z即()24,()24,()24card A B x card A C y card B C z ⋂=+⋂=+⋂=+46x y z ++=，由容斥原理：15()()()()()()()n card A card B card C card A B card A C card B C card A B C -=++-⋂-⋂-⋂+⋂⋂638947(24)(24)(24)24x y z =++-+-+-++解得：120n =【跟踪训练】一、单选题1．某校高三（1）班有50名学生，春季运动会上，有15名学生参加了田赛项目，有20名学生参加了径赛项目，已知田赛和径赛都参加的有8名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为（）A ．27B ．23C ．15D ．72．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店这三天售出的商品最少有（）．A．25种B．27种C．29种D．31种3．为了丰富同学们的课外生活，某班58名同学在选课外兴趣小组时，选择篮球小组的有28人，选择乒乓球小组的有36人，既没有选择篮球小组又没有选择乒乓球小组的有12人，那么选择篮球小组但没有选择乒乓球小组的人数为（）A．8B．10C．18D．204．某班有50名同学，有20名同学既不选修足球课程也不选修篮球课程，有18名同学选修了足球课程，28名同学选修了篮球课程，则既选修了足球课程也选修了篮球课程的同学有（）名A．10B．12C．14D．165．中共一大会址、江西井冈山、贵州遵义、陕西延安是中学生的几个重要的研学旅行地.某中学在校学生3000人，学校团委为了了解本校学生到上述红色基地研学旅行的情况，随机调查了500名学生，其中到过中共一大会址或井冈山研学旅行的共有40人，到过井冈山研学旅行的20人，到过中共一大会址并且到过井冈山研学旅行的恰有10人，根据这项调查，估计该学校到过中共一大会址研学旅行的学生大约有（）人A．240B．180C．120D．606．某班45名学生参加“3·12”植树节活动，每位学生都参加除草､植树两项劳动.依据劳动表现，评定为“优秀”､“合格”2个等级，结果如下表：等级优秀合格合计项目除草301545植树202545若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为（）A．5B．10C．15D．207．高考“33 ”模式指考生总成绩由语文、数学、外语3个科目成绩和高中学业水平考试3个科目成绩组成．计入总成绩的高中学业水平考试科目，由考生根据报考高校要求和自身特长，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择．某中学为了解本校学生的选择情况，随机调查了100位学生的选择意向，其中选择物理或化学的学生共有40位，选择化学的学生共有30位，选择物理也选择化学的学生共有10位，则该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为（）A．0.1B．0.2C．0.3D．0.48．移动支付、高铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明”，某中学为了解本校学生中新“四大发明”的普及情况，随机调查了100位学生，共中使用过移动支付或共享单车的学生共90位，使用过移动支付的学生共有80位，使用过共享单车的学生且使用过移动支付的学生共有60位，则该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A．0.5B．0.6C．0.7D．0.89．某地对农户抽样调查，结果如下：电冰箱拥有率为45％，电视机拥有率为55％，洗衣机拥有率为65％，拥有上述三种电器的任意两种的占35％，三种电器齐全的为25％，那么一种电器也没有的农户所占比例是（）A．20％B．10％C．15％D．12％10．某学校高三教师周一、周二、周三开车上班的人数分别是8，10，14，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A．8B．7C．6D．5二、填空题11．学校运动会，某班所有同学都参加了羽毛球或乒乓球比赛，已知该班共有23人参加羽毛球赛，35人参加乒乓球赛，既参加羽毛球又参加乒乓球赛有6人，则该班学生数为______．12．某校高三（1）班有50名学生，春季运动会上，有15名学生参加了田赛项目，有20名学生参加了径赛项目，已知田赛和径赛都参加的有8名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为__________．13．某单位共有员工85人，其中68人会骑车，62人会驾车，既会骑车也会驾车的人有57人，则既不会骑车也不会驾车的人有___________人.14．高一某班有学生45人，其中参加数学竞赛的有32人，参加物理竞赛的有28人，另外有5人两项竞赛均不参加，则该班既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有___.人．15．某班有学生48人，经调查发现，喜欢打羽毛球的学生有35人，喜欢打篮球的学生有20人.设既喜欢打羽毛球，又喜欢打篮球的学生的人数为x，则x的最小值是_________.16．网络流行词“新四大发明’’是指移动支付､高铁､网购与共享单车.某中学为了解本校学生中“新四大发明”的普及情况，随机调查了100名学生，其中使用过移动支付或共享单车的学生共90名，使用过移动支付的学生共有80名，使用过共享单车的学生且使用过移动支付的学生共有60名，则该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为___________. 17．某班有39名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同学至多参加两个小组.已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参见数学和化学小组有多少人__________. 18．某班共40人，其中24人喜欢篮球运动，16人喜欢乒乓球运动，6人这两项运动都不喜欢，则只喜欢其中一项运动的人数为________19．某班有45名同学参加语文、数学、英语兴趣小组.已知仅参加一个兴趣小组的同学有20人，同时参加语文和数学兴趣小组的同学有9人，同时参加数学和英语兴趣小组的同学有15人，同时参加语文和英语兴趣小组的同学有11人，则同时参加这三个兴趣小组的同学有人___________.20．某班进行集体活动，为活跃气氛，班主任要求班上60名同学从唱歌、跳舞、讲故事三个节目中至少选择一个节目、至多选两个节目为大家表演，已知报名参加唱歌、跳舞、讲故事的人数分别为40，20,30，同时参加唱歌和讲故事的有15人，同时参加唱歌和跳舞的有10人，则同时只参加跳舞和讲故事的人数为__________．21．对班级40名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成，另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A、B都赞成的学生有________人. 22．2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为________【参考答案】1．B【详解】设高三（1）班有50名学生组成的集合为U ,参加田赛项目的学生组成的集合为A ，参加径赛项目的学生组成的集合为B由题意集合A 有15个元素，B 有20个元素，A B 中有8个元素所以A B 有15+20827-=个元素.所以该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为5027=23-故选：B2．C【详解】解：因为前两天都售出的商品有3种，因此第一天售出且第二天没有售出的商品有19316-=（种)；同理第三天售出的商品中有14种第二天未售出，有1种商品第一天未售出；所以三天商品种数最少时，是第三天中14种第二天未售出的商品都是第一天售出过的，此时商品总数是1416129+-=（种)；分别用集合A 、B 、C 表示第一、第二和第三天售出的商品，则商品数最少时，如图所示．故选：C ．3．B【详解】设既选择篮球小组又选择乒乓球小组的有x 人，则选择篮球小组但没有选择乒乓球小组的有()28x -人，选择乒乓球小组但没有选择篮球小组的有()36x -人.由题意可得()()12283658x x x +-+-+=，解得18x =，所以选择篮球小组但没有选择乒乓球小组的人数为2810x -=.【详解】设既选修了足球课程也选修了篮球课程的同学有x 名，由容斥原理得20182850x ++-=，解得16x =.故选：D.5．B【详解】如下图所示，设调查的学生中去过中共一大会址研学旅行的学生人数为x ，由题意可得()102040x -+=，解的30x =，因此，该学校到过中共一大会址研学旅行的学生的人数为303000180500⨯=.6．C【详解】用集合A 表示除草优秀的学生，B 表示植树优秀的学生，全班学生用全集U 表示，则U A ð表示除草合格的学生，则U B ð表示植树合格的学生，作出Venn 图，如图，设两个项目都优秀的人数为x ，两个项目都是合格的人数为y ，由图可得203045x x x y -++-+=，5x y =+，因为max 10y =，所以max 10515x =+=．故选：C ．【详解】选择物理的学生人数为40301020-+=，即该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为200.2100=．故选：B8．C【详解】根据题意使用过移动支付、共享单车的人数用韦恩图表示如下图，因此，该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值700.7100=，故选C.9．A【详解】解：设农户总共为100家，则有55家农户有电视机，45家农户有电冰箱，65家农户有洗衣机，有25家农户同时拥有这三种电器，另外75家只有其中两种或一种或没有电器．设只有电冰箱和电视机的农户有a 家，只有电冰箱和洗衣机的农户有b 家，只有洗衣机和电视机的农户有c 家，只有电视机、电冰箱、洗衣机的分别有d 、e 、f 家，没有任何电器的农户有x 家．那么对于拥有电冰箱的农户可得出：2545a b e +++=①那么对于拥有电视机的农户可得出：2555a c d +++=②那么对于拥有洗衣机的农户可得出：2565b c f +++=③把上面三个式子相加可得：()290a b c d e f +++++=④对于拥有上述三种电器的任意两种的占35%，得到：35a b c ++=⑤把⑤代入④可得到20d e f ++=⑥因为农户共有100家，所以25100a b c d e f x +++++++=，把⑤和⑥代入上式得到20x =，即一种电器也没有的农户所占比例为20%，10．C【详解】解：设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为A ，B ，C ，集合A ，B ，C 中元素个数分别为n A ．，n B ．，n C ．，则n A ．14=，n B ．10=，n C ．8=，()20n A B C ⋃⋃=，因为()n A B C n ⋃⋃=A ．n +B ．n +C ．()()()()n A B n A C n B C n A B C -⋂-⋂-⋂+⋂⋂，且()()n A B n A B C ⋂⋂⋂ ，()()n A C n A B C ⋂⋂⋂ ，()()n B C n A B C ⋂⋂⋂ ，所以1410820()3()n A B C n A B C ++-+⋂⋂⋂⋂ ，即1410820()62n A B C ++-⋂⋂= ．故选：C ．11．52【详解】解：设参加羽毛球赛为集合A ，参加乒乓球赛为集合B ，依题意可得如下韦恩图：所以该班一共有1762952++=人；故答案为：5212．23【详解】由题意，15名参加田赛的同学中有7名没有参加径赛，20名参加径赛的同学中有12名没有参加田赛，所以参加田赛和径赛的同学共有781227++=人，综上，该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为502723-=人.13．12【详解】设会骑车的人组合的集合为A ，会驾车的人组成的集合为B ，既会骑车也会驾车的人组成的集合为集合C ,易知A B C = ，记card()A 表示集合A 中的元素个数，则有()()()()68625773card A B card A card B card A B =+-=+-= ，所以既不会骑车也不会驾车的人为857312-=.故答案为：1214．20【详解】设该班既参加数学竞赛又参加物理竞赛的学生人数为x ，以集合U 表示该班集体，集合A 表示参加数学竞赛的学生组成的集合，集合B 表示参加物理竞赛的学生组成的集合，如下图所示：由题意可得()()322856545x x x x -++-+=-=，解得20x =.故答案为：20.15．7【详解】设既不喜欢打羽毛球，又不喜欢打篮球的学生的人数为y ，则352048x y +-+=，即7x y -=，因为0y，所以7x .因为20x ，所以720x .故答案为：7.16．710##0.7【详解】根据题意，将使用过移动支付､共享单车的人数用如图所示的韦恩图表示，所以该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为6010710010+=.故答案为：710.17．5【详解】设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为A ，B 、C ，同时参加数学和化学小组的人数为x ，因为每名同学至多参加两个小组，所以同时参加三个小组的同学的人数为0，如图所示：由图可知：20654939x x x -+++++-=，解得5x =，所以同时参加数学和化学小组有5人.故答案为：5.18．28【详解】6 人这两项运动都不喜欢，∴喜欢一项或两项运动的人数为40634-=人；∴喜欢两项运动的人数为：2416346+-=人，∴喜欢篮球的人数为24618-=人；喜欢乒乓球的人数为16610-=人；∴只喜欢其中一项运动的人数为181028+=人.故答案为：28.19．5【详解】以集合A 、B 、C 表示分别参加语文、数学、英语兴趣小组的学生，如下图所示：设同时参加这三个兴趣小组的同学有x 人，由图可得()()()209111555245x x x x x +-+-+-+=-=，解得5x =.故答案为：5.20．5【详解】参加唱歌、跳舞、讲故事的人分别用集合,,A B C 表示，作出Venn 图，如图，图中字母表示相应区域人数，则0n =，又40a b m ++=，20b c d ++=，30d e m ++=，15m =，10b =，60a b c d e m +++++=，则()()()a b m b c d d e m b m ++++++++--2a b c d e m =+++++，∴4020301510605d =++---=，∴同时只参加跳舞和讲故事的人数为5人．故答案为：5．21．18【详解】赞成A 的人数为340245⨯=，赞成B 的人数为24327+=，设对A 、B 都赞成的学生有x ，则112724403x x x x ++-++-=，解得18x =.故答案为：18.22．3【详解】把大学社团50人形成的集合记为全集U ，观看了《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频的人形成的集合分别记为A，B，C，依题意，作出韦恩图，如图，观察韦恩图：因观看了《青春之歌》的有21人，则只看了《青春之歌》的有214638---=(人)，因观看了《建党伟业》的有23人，则只看了《建党伟业》的有234739---=(人)，因观看了《开国大典》的有26人，则只看了《开国大典》的有2667310---=(人)，因此，至少看了一支短视频的有3467891047++++++=(人)，-=所以没有观看任何一支短视频的人数为50473。

1、先包含——A ＋B 重叠部分A ∩B 计算了2次，多加了1次；2、再排除——A ＋B －A ∩B小学奥数总复习第七讲《容斥原理》练习容斥原理1：两量重叠问题计算公式：A ∪B=A ＋B-A ∩B说明：A ∪B 读作：“A 并B ”，表示A 、B 情况的总和。

A ∩B 读作：“A 交B ”，表示A 、B 的公共部分。

容斥原理2：三量重叠问题计算公式： A ∪B ∪C= A ＋B ＋C －A ∩B －B ∩C －A ∩C －A ∩B ∩C说明：A ∪B ∪读作：“A 并B 并C ”，表示A 、B 、C 情况的总和。

A ∩B ∩C 读作：“A 交B 交C ”，表示A 、B 、C 的公共部分。

1、有两块一样长的木板，各长130厘米，中间钉在一起后成了一块长木板，中间钉在一起的重叠部分时10厘米，长木板的长度是多少？2、把两块一样长的木板钉在一起，钉成一块长35厘米的木板。

中间重叠部分长11厘米。

这两块木板各长多少厘米？3、老师出了两道数学题，在40人中，做对第一题的有31人，做对第二题的有28人，每人至少做对一道，两道题都做对的有几人？4、三（1）班有学生55人，每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一种，已知参加赛跑的有36人，参加跳绳的有38人。

问两项比赛都参加的有几人？5、某班共有42人，参加美术小组的有11人，参加陶艺小组的有15人，有6人两个小组都参加。

这个班既没参加美术小组也没参加陶艺小组的有多少人？6、三（2）班订《数学报》的有32人，订《阅读报》的有30人，两份报纸都订的有10人，全班每人至少订一种报纸，三(1)班有学生多少人？7、校运动会上，四个年级共有118人参加跑步比赛。

其中一、二年级共有70人参加，一、三年级共有65人参加，二、三年级共有59人参加。

问:四年级有多少学生参加跑步比赛？8、某校三年级共有三个班级128名学生，一班和二班共有89人，二班和三班共有87人。

三年级各班有多少名学生？A ∩C A ∩B ∩C B ∩C A ∩B 图中小圆表示A 的个数，中圆表示B 的个数，大圆表示C 的个数 1、先包含——A ＋B ＋C 重叠部分A ∩B 、 B ∩C 、 A ∩C 重叠了2次， A ∩B ∩C 重叠了3次。