2019-2020学年高中数学选修4-4人教版练习：第一讲二极坐标系Word版含解析

第一讲 1.2一、选择题1．(2015·湖南大学附中期末)在极坐标系中与点A ⎝⎛⎭⎫6，4π3重合的点是( C ) A ．⎝⎛⎭⎫6，π3 B ．⎝⎛⎭⎫6，7π3 C ．⎝⎛⎭⎫6，－2π3D ．⎝⎛⎭⎫6，2π3 解析：在极坐标系中与点A ⎝⎛⎭⎫6，43π重合的点是⎝⎛⎭⎫6，－2π3，故选C ． 2．(2015·北京东城一模)已知点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫5，2π3，那么将点M 的极坐标化成直角坐标为( D )A ．⎝⎛⎭⎫－532，－52B ．⎝⎛⎭⎫－532，52C ．⎝⎛⎭⎫52，532D ．⎝⎛⎭⎫－52，532解析：由点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫5，2π3，得x M ＝5cos 23π＝－52，y M ＝5sin 2π3＝532，∴M 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫－52，532.3．(2015·福建泉州一中期末)点M 的直角坐标是(3，－1)，在ρ≥0,0≤θ<2π的条件下，它的极坐标是( A )A ．⎝⎛⎭⎫2，11π6 B ．⎝⎛⎭⎫2，5π6 C ．⎝⎛⎭⎫3，π6D ．⎝⎛⎭⎫2，11π6 解析：∵点M 的直角坐标是(3，－1)， ∴在ρ≥0,0≤θ<2π的条件下，ρ＝(3)2＋(－1)2＝2，tan θ＝－13＝－33，又点M 是第四象限的点，∴θ＝116π，∴其极坐标为⎝⎛⎭⎫2，116π，选A ． 4．点M (2，3)经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y后所得点的极坐标为( C )A ．⎝⎛⎭⎫2，π6B ．⎝⎛⎭⎫1，π3 C ．⎝⎛⎭⎫2，π3D ．⎝⎛⎭⎫1，π4 解析：点M (2，3)经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y 后所得点的直角坐标为(1，3)，因为ρ＝12＋(3)2＝2，tan θ＝31＝3，又因为(1，3)在第一象限，所以θ＝π3，故选C ． 5．在极坐标系中，点(ρ，θ)与点(ρ，π－θ)的位置关系是( D ) A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称 C ．重合D ．关于过极点且垂直于极轴的直线对称解析：两点的极径相等，且极径所在射线关于过极点且垂直于极轴的直线对称，故选D ． 6．(2016·北京高三模拟)在极坐标下，圆C ：ρ2＋4ρsin θ＋3＝0的圆心坐标为( D ) A ．(2,0) B ．⎝⎛⎭⎫2，π2 C ．(2，π)D ．⎝⎛⎭⎫2，－π2 解析：圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＋4y ＋3＝0， 圆心坐标为(0，－2)，圆心的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，－π2. 二、填空题7．(2016·广东汕头二模)在极坐标系中，定点A ⎝⎛⎭⎫2，32π，点B 在直线ρcos θ＋3ρsin θ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，116π. 解析：直线ρcos θ＋3ρsin θ＝0的直角坐标方程 为x ＋3y ＝0①，定点A ⎝⎛⎭⎫2，3π2的直角坐标为(0，－2)， 动点B 在直线x ＋3y ＝0上运动，当线段AB 最短时，直线AB 垂直于直线x ＋3y ＝0， 则直线AB ：y ＝3x －2②联立①②可得B ⎝⎛⎭⎫32，－12，化成极坐标为⎝⎛⎭⎫1，116π. 8．(2016·广东惠州中学期末)在极坐标系中，已知两点A ，B 的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫3，π3，⎝⎛⎭⎫4，π6，则△AOB (其中O 为极点)的面积为3.解析：A ，B 的直角坐标分别为⎝⎛⎭⎫32，323，(23，2)，则S △AOB ＝3. 9．将点M 的直角坐标⎝⎛⎭⎫－π2，π2化为极坐标(ρ>0，θ∈[0,2π))为⎝⎛⎭⎫22π，34π. 解析：ρ＝⎝⎛⎭⎫－π22＋⎝⎛⎭⎫π22＝22π，又∵tan θ＝y x ＝－1，θ∈[0,2π)且点⎝⎛⎭⎫－π2，π2在第二象限，∴θ＝34π，∴极坐标为⎝⎛⎭⎫22π，34π. 三、解答题10．在极坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为A ⎝⎛⎭⎫2，π3，B (2，π)，C ⎝⎛⎭⎫2，53π. (1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积．解析：(1)由极坐标系中两点间的距离公式得到||AB ＝||AC ＝||BC ＝23，故△ABC 是等边三角形．(2) 由(1)得S △ABC ＝34×(23)2＝3 3. 11．在极坐标系中，如果A ⎝⎛⎭⎫2，π4，B ⎝⎛⎭⎫2，54π为等腰直角三角形ABC 的两个顶点，求直角顶点C 的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．解析：设直角顶点C 的极坐标为(ρ，θ)， 由题意可知||AC ＝||BC ＝22||AB ， 故22＋ρ2－2×2×ρ×cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4 ＝22＋ρ2－2×2×ρ×cos ⎝⎛⎭⎫θ－5π4＝22||AB ＝2 2. 所以θ＝74π或θ＝34π，ρ＝2.所以直角顶点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，34π或⎝⎛⎭⎫2，74π. 12．(2016·湖北团风中学高二月考)在极坐标系中，已知三点M ⎝⎛⎭⎫2，－π3，N (2,0)，P ⎝⎛⎭⎫23，π6.(1)将M ，N ，P 三点的极坐标化为直角坐标； (2)判断M ，N ，P 三点是否在一条直线上．解析：(1)由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得M 的直角坐标为(1，－3)；N 的直角坐标为(2,0)；P 的直角坐标为(3，3)． (2)∵k MN ＝32－1＝3，k NP ＝3－03－2＝3，∴k MN ＝k NP ，∴M ，N ，P 三点在一条直线上．。

二极坐标系1．理解极坐标系的概念．2．能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别．3．掌握极坐标和直角坐标的互化关系式，能进行极坐标和直角坐标的互化．1．极坐标系的概念(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做________；自极点O引一条射线Ox，叫做______；再选定一个__________、一个角度单位(通常取弧度)及其________(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标系内一点的极坐标的规定：对于平面上任意一点M，用ρ表示______，用θ表示________，ρ叫做点M的______，θ叫做点M的______，有序数对________就叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．(1)极点的极坐标：极点的极径ρ＝0，极角θ可以是任何实数．所以极点的极坐标为(0，θ)(θ∈R )，也就是说极点有无数个极坐标．(2)点的极坐标的多样性：平面上给定一点，可以写出这个点的无数多个极坐标．根据点的极坐标(ρ，θ)的定义，对于给定的点的无数个极坐标，可分为两类：一类为(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z )；另一类为(－ρ，θ＋2k π＋π)(k ∈Z )．【做一做1－1】 关于极坐标系的下列叙述： ①极轴是一条射线； ②极点的极坐标是(0,0)； ③点(0,0)表示极点；④点M (4，π4)与点N (4，5π4)表示同一个点；⑤动点M (5，θ)(θ∈R )的轨迹是以极点为圆心，以5为半径的圆．其中，叙述正确的序号是________．【做一做1－2】 若ρ1＋ρ2＝0(ρ1≠0，ρ2≠0)，θ1＋θ2＝π，则点M 1(ρ1，θ1)与点M 2(ρ2，θ2)的位置关系是( )．A ．关于极轴所在的直线对称B ．关于极点对称C ．关于过极点垂直于极轴的直线对称D ．两点重合 2．极坐标和直角坐标的互化(1)互化的前提条件：①极坐标系中的______与直角坐标系中的______重合；②极轴与____________重合；③两种坐标系取相同的__________．(2)互化公式①直角坐标化为极坐标__________ ②极坐标化为直角坐标____________(1)极坐标与直角坐标的互化，常用方法有代入法、平方法等，还经常用到同乘(或除以)ρ等技巧．(2)通常情况下，由tan θ确定角θ时，应根据点P 所在象限取最小正角．在这里要注意：当x ≠0时，角θ才能由tan θ＝yx 按上述方法确定．当x ＝0时，tan θ没有意义，这时又分三种情况：①当x ＝0，y ＝0时，θ可取任何值；②当x ＝0，y ＞0时，可取θ＝π2；③当x ＝0，y ＜0时，可取θ＝3π2.【做一做2－1】 点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可以是( )． A ．(2，π4) B ．(2，3π4) C ．(2，5π4) D ．(2，7π4)【做一做2－2】 将极坐标(2，3π2)化为直角坐标为( )．A ．(0,2)B ．(0，－2)C ．(2,0)D ．(－2,0)答案：1．(1)极点 极轴 长度单位 正方向 (2)|OM | 角xOM 极径 极角 (ρ，θ)【做一做1－1】 ①③⑤ 设极点为O ，极轴就是射线Ox ，①正确；极点O 的极径ρ＝0，极角θ是任意实数，极点的极坐标应为(0，θ)，②错误；给定极坐标(0,0)，可以在极坐标平面内确定惟一的一点，即极点，③正确；点M 与点N 的极角分别是θ1＝π4，θ2＝5π4，二者的终边互为反向延长线，④错误；由于动点M (5，θ)(θ∈R )的极径ρ＝5，极角是任意角，故点M 的轨迹是以极点O 为圆心，以5为半径的圆，⑤正确．【做一做1－2】 A2．(1)极点 原点 x 轴的正半轴 长度单位(2)①⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ； ②⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x(x ≠0).【做一做2－1】 B【做一做2－2】 B极坐标和直角坐标的相同点和不同点剖析：极坐标系是用距离和角度来表示平面上点的位置的坐标系，它由极点O与极轴Ox组成．对于平面内任意一点P，若|OP|＝ρ(ρ≥0)，以Ox为始边，OP为终边的角为θ，则点P可用有序数对(ρ，θ)表示．直角坐标系是在数轴的基础上发展起来的，首先定义原点，接着用两条互相垂直的直线分别构成x轴和y轴，点的坐标用有序数对(x，y)来表示．在平面直角坐标系内，点与有序实数对即坐标(x，y)是一一对应的，但在极坐标系内，显然一个有序数对(ρ，θ)只能与一个点对应，但一个点P却可以与无数多个有序数对(ρ，θ)对应，也就是说平面上一点的极坐标是不惟一的，极坐标系中的点与有序数对(ρ，θ)不是一一对应的．题型一由点的位置确定极坐标【例1】写出图中各点的极坐标，其中θ∈[0,2π)．分析：欲确定点的位置，需先确定ρ和θ的值．反思：(1)写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能把顺序颠倒了． (2)点的极坐标是不惟一的，但若限制ρ＞0，0≤θ＜2π，则除极点外，点的极坐标是惟一确定的．题型二 对称问题【例2】 点M 的极坐标是(－2，－π6)，它关于直线θ＝π2的对称点的极坐标是( )．A ．(2，11π6)B ．(－2，7π6)C ．(2，－π6)D ．(－2，－11π6)反思：极坐标系中的(ρ，θ)关于极轴所在的直线的对称点的极坐标为(ρ，2k π－θ)(k ∈Z )．题型三 极坐标与直角坐标的互化【例3】 (1)将下列各点的极坐标化为直角坐标： ①(2，π4)； ②(6，－π3)；③(5，π)．(2)将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)．①(3，3)；②(－1，－1)；③(－3,0)．答案：【例1】 解：由点A 在极坐标系中的位置知，它的极径为4，极角为0，所以它的极坐标为A (4,0)，同理，得B (2，π4)，C (3，π2)，D (1，5π6)，E (4，π)，F (6，4π3)，G (5，5π3)，而极点O 的坐标为(0，θ)，θ∈[0,2π)．【例2】 B 当ρ＜0时，我们找它的极角应在反向延长线上去找．如图描点(－2，－π6)时，先找到角－π6的终边，又因为ρ＝－2＜0，所以再在反向延长线上找到离极点2个单位的点即是点(－2，－π6)．直线θ＝π2，就是极角为π2的那些点的集合．故M (－2，－π6)关于直线θ＝π2的对称点为M ′(2，π6)，但是选项没有这样的坐标．又因为M ′(2，π6)的坐标还可以写成M ′(－2，7π6)，故选B.【例3】 解：(1)①x ＝2·cos π4＝1，y ＝2·sin π4＝1，所以点(2，π4)的直角坐标为(1,1)．②x ＝6·cos(－π3)＝3，y ＝6·sin(－π3)＝－3 3.所以点(6，－π3)的直角坐标为(3，－33)．③x ＝5·cos π＝－5， y ＝5·sin π＝0，所以点(5，π)的直角坐标为(－5,0)．(2)①ρ＝(3)2＋32＝23，tan θ＝33＝ 3.又因为点在第一象限，所以θ＝π3.所以点(3，3)的极坐标为(23，π3)．②ρ＝(－1)2＋(－1)2＝2， tan θ＝1.又因为点在第三象限，所以θ＝5π4.所以点(－1，－1)的极坐标为(2，5π4)．③ρ＝(－3)2＋02＝3，极角为π，所以点(－3,0)的极坐标为(3，π)．1下列各点中与极坐标(5，7π)表示同一个点的是( )． A ．(5，67π) B ．(5，157π)C ．(5，67π-)D ．(5，7π-)2在直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系．若点P 的直角坐标与其极坐标在数值上相同，则点P 在( )．A ．x 轴上B ．y 轴上C ．射线Ox 上D ．射线Oy 上3在极坐标系中，已知A (2，6π)，B (6，6π-)，则OA ，OB 的夹角为( )．A.6π B ．0 C.3πD.56π4点M (6，56π)到极轴所在直线的距离为________．5已知极坐标系中，极点为O,0≤θ＜2π，M (3，3π)，在直线OM 上与点M 的距离为4的点的极坐标为________．6(1)已知点的极坐标分别为A (3，4π-)，B (2，23π)，C π)，D (－4，2π)，求它们的直角坐标．(2)已知点的直角坐标分别为A (3，B (0，3-，C (－2，-，求它们的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．答案：1．B 2.C3．C 如图所示，夹角为3π.4．3 依题意，点M (6，56π)到极轴所在的直线的距离为d ＝6×sin 56π＝3. 5．(7，3π)或(1，43π) 如图，|OM |＝3，∠xOM ＝3π，在直线OM 上取点P ，Q ，使|OP |＝7，|OQ |＝1，显然有|PM |＝|OP |－|OM |＝7－3＝4， |QM |＝|OM |＋|OQ |＝3＋1＝4. 点P ，Q 都满足条件，且∠xOP ＝3π，∠xOQ ＝43π.6．解：(1)根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得A (22-，B (－1)，C (2-，0)，D (0，－4)(2)根据ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx得A (6π)，B 3)6π，C (4，43π)．。

极坐标系练习1．点M的极坐标为25,π3⎛⎫⎪⎝⎭，化成直角坐标形式是__________．2．点A的极坐标为π2,3⎛⎫--⎪⎝⎭，化成直角坐标形式是__________．3．点P的直角坐标为，化成极径是正值，极角在0到2π之间的极坐标为__________．4．已知两点的极坐标π3,2A⎛⎫⎪⎝⎭，π3,6B⎛⎫⎪⎝⎭，则|AB|＝________，直线AB的倾斜角为________．5．直线l过点π7,3A⎛⎫⎪⎝⎭，π7,6B⎛⎫⎪⎝⎭，则直线l与极轴所在直线的夹角等于________．6．在极坐标系中，若π3,3A⎛⎫⎪⎝⎭，7π4,6B⎛⎫⎪⎝⎭，则△ABO的面积为__________．7．点π5,3A⎛⎫⎪⎝⎭在条件：(1)ρ＞0，θ∈(－2π，0)下的极坐标是__________；(2)ρ＜0，θ∈(2π，4π)下的极坐标是__________．8．已知极点在点(2，－2)处，极轴方向与x轴正方向相同的极坐标系中，点M的极坐标为π4,6⎛⎫⎪⎝⎭，求点M在直角坐标系中的坐标．9．在极坐标系中，(1)求7π5,36A⎛⎫⎪⎝⎭，43π12,36B⎛⎫⎪⎝⎭两点间的距离；(2)已知点P的极坐标为(ρ，θ)，其中ρ＝1，θ∈R，求满足上述条件的点P的位置．10．将下列极坐标化成直角坐标．(1)π4⎫⎪⎭；(2)π6,3⎛⎫-⎪⎝⎭；(3)(5，π)．参考答案1. 答案：5,22⎛- ⎝⎭解析：255cosπ32x ==-，25sin π3y ==所以点M 的直角坐标为52⎛- ⎝⎭.2. 答案：(－1解析：因为点A 的极坐标又可以写成2π2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以2π1cos 2cos 2132x ρθ⎛⎫===⨯-=- ⎪⎝⎭，2πsin 2sin23y ρθ====.所以点A 的直角坐标为(－1．3. 答案：⎛ ⎝解析：ρ==tan θ==， 又点P 在第一象限，得π6θ=，因此点P 的极坐标是π6⎛⎫ ⎪⎝⎭. 4. 答案：3 5π6 解析：根据极坐标的定义可得|AO |＝|BO |＝3，∠AOB ＝π3， 即△AOB 为等边三角形，所以|AB |＝|AO |＝|BO |＝3，5π6ACx ∠=(O 为极点，C 为直线AB 与极轴的交点)． 5. 答案：π4 解析：如图所示，先在图形中找到直线l 与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A ，B 的位置分析夹角大小．因为|AO |＝|BO |＝7，πππ366AOB ∠=-=， 所以ππ5π6.212OAB -∠== 所以π5πππ3124ACO ∠=--=. 6. 答案：3解析：由题意可知，在△AOB 中，|OA |＝3，|OB |＝4，7ππ5π636AOB ∠=-=， 所以△ABO 的面积为 12|OA |·|OB |·sin ∠AOB 15π34sin 261134322⨯⨯⨯⨯⨯⨯＝＝＝ 3. 7. 答案：(1) 55,π3⎛⎫- ⎪⎝⎭ (2)105,π3⎛⎫- ⎪⎝⎭解析：(1)当ρ＞0时，点A 的极坐标形式为⎝⎛⎭⎫5，2k π＋π3(k ∈Z )， ∵θ∈(－2π，0)，令k ＝－1，点A 的极坐标为55,π3⎛⎫- ⎪⎝⎭，符合题意．(2)当ρ＜0时，π5,3⎛⎫ ⎪⎝⎭的极坐标的一般形式是π5,(21)π3k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭(k ∈Z )． ∵θ∈(2π，4π)，当k ＝1时，点A 的极坐标为105,π3⎛⎫- ⎪⎝⎭，符合题意． 8. 解：设M (x ，y )，则π2cos 4cos 6x ρθ-===∴2x ＝＋y －(－2)＝ρsin θ＝π4sin 6＝2. ∴y ＝2－2＝0.∴点M 的直角坐标为(2＋0)．9. 解：(1)A ，B 在过极点且与极轴夹角为7π36的直线上，它们位于极点的两侧，∴|AB |＝5＋12＝17.(2)由于点P 的极径恒为ρ＝1，且θ∈R ，因此，点P 在以1为半径，极点为圆心的圆上．10. 解：(1)πcos 14x ==，πsin 14y ==，所以点π4⎫⎪⎭，的直角坐标为(1,1)．(2)π6cos33x⎛⎫=⋅-=⎪⎝⎭，π6sin3y⎛⎫=⋅-=-⎪⎝⎭所以点π6,3⎛⎫-⎪⎝⎭的直角坐标为(3，-．(3)x＝5·cos π＝－5，y＝5·sin π＝0，所以点(5，π)的直角坐标为(－5,0)．。

姓名，年级：时间：二极坐标系课时过关·能力提升基础巩固1将点的极坐标（π，—2π）化为直角坐标为(）A.（π，0)B.(π,2π)C。

（—π,0)D.（—2π，0)x=πcos（—2π)=π,y=πsin(-2π)=0,所以点的极坐标(π,-2π)化为直角坐标为(π,0).2下列各点中与极坐标(5,π7)表示同一个点的是()A.(5,6π7)B.(5,15π7)C.(5,-6π7)D.(5,-π7)3在平面直角坐标系xOy中,点P的直角坐标为(1，−√3).若以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点P的极坐标可以是()A.(2,π3)B.(2,4π3)C.(2,-π3)D.(2,-4π3)ρ=√x2+y2=2,tan θ=−√3,且在平面直角坐标系中,点P位于第四象限，所以点P的极坐标可以是(2,-π3).故选C。

4在极坐标系中，已知A(2,π6),B(6,-π6),则OA,OB的夹角为()A.π6B.0C.π3D.5π6,OA，OB的夹角为π3.5在极坐标系中，点A的极坐标是(3,π6),则（1）点A关于极轴的对称点的极坐标是；（2)点A关于极点的对称点的极坐标是;（3)点A关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是.(本题中规定ρ〉0,θ∈［0,2π))1)(3,11π6)(2)(3,7π6)(3)(3,5π6)6已知点A(3,4π3),则适合ρ>0,−π<θ≤π的点A的极坐标为。

ρ>0，-π<θ≤π时,根据4π3与−2π3是终边相同的角，可得满足题意的点A的极坐标为(3,-2π3).7点M(6,5π6)到极轴所在直线的距离为.点M(6,5π6)到极轴所在直线的距离为d=6×sin5π6=3.8已知在极坐标系中，极点为O,0≤θ<2π,M(3,π3),在直线OM上与点M距离为4的点的极坐标为.如图,｜OM|=3，∠xOM=π3.在直线OM上取点P，Q,使|OP|=7,｜OQ|=1。

二 极坐标系练习1若ρ1＝ρ2≠0，θ1－θ2＝π，则点M 1(ρ1，θ1)与点M 2(ρ2，θ2)的位置关系是( )．A ．关于极轴所在的直线对称B ．关于极点对称C ．关于过极点垂直于极轴的直线对称D ．重合2下列的点在极轴上方的是( )．A ．(3,0)B ．(3，76π) C ．(4，74π) D ．(4，174π) 3已知点M 的极坐标为(－5，3π)，下列所给出的四个坐标中不能表示点M 的坐标的是( )．A ．(5，3π-)B ．(5，43π)C ．(5，23π-)D ．(－5，53π-) 4点P 的直角坐标为(2,2-)，那么它的极坐标可表示为( )．A ．(2，4π) B ．(2，34π) C ．(2，54π) D ．(2，74π) 5已知两点的极坐标A (3，2π)，B (3，6π)，则|AB |＝________，直线AB 的倾斜角为________．6若A (3，3π)，B (4，6π-)，则|AB |＝__________，S △AOB ＝________.(其中O 是极点) 7极坐标系中，点A 的极坐标是(3，6π)，则 (1)点A 关于极轴的对称点的极坐标是________；(2)点A 关于极点的对称点的极坐标是________；(3)点A 关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是________．(本题中规定ρ＞0，θ∈[0,2π))8已知边长为2的正方形ABCD 的中心在极点，且一组对边与极轴Ox 平行，求正方形的顶点的极坐标(限定ρ≥0,0≤θ＜2π)．9某大学校园的部分平面示意图如图用点O ，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别表示校门，器材室，操场，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，其中|AB |＝|BC |，|OC |＝600 m ．建立适当的极坐标系，写出除点B 外各点的极坐标(限定ρ≥0,0≤θ＜2π且极点为(0,0))．10在极坐标系中，若A (3，3π)，B (4，76π)，求△ABO (O 为极点)的面积． 参考答案1. 答案：B2. 答案：D 建立极坐标系，由极坐标的定义可得点(3,0)在极轴上，点(3，76π)，(4，74π)在极轴下方，点(4，174π)在极轴上方，故选D.3．答案：A 化为直角坐标可知，点M 在第三象限，而选项A 中的点在直角坐标系中的第四象限．4. 答案：D ∵ρ＝22(2)(2)-+＝2，tan θ＝22-＝－1，点P 在第四象限， ∴θ＝74π.∴点P 的极坐标为(2，74π)． 5. 答案：356π根据极坐标的定义可得|AO |＝|BO |＝3，∠AOB ＝60°，即△AOB 为等边三角形，所以|AB |＝|AO |＝|BO |＝3，∠ACx ＝56π(O 为极点，C 为直线AB 与极轴的交点)． 6. 答案：5 67. 答案：(1)(3，116π) (2)(3，76π) (3)(3，56π) 8. 答案：解：由题意知，|OA |＝|OB |＝|OC |＝|OD |＝2，∠xOA ＝4π，∠xOB ＝34π，∠xOC ＝54π，∠xOD ＝74π. ∴正方形的顶点的极坐标分别为A (2，4π)，B (2，34π)，C (2，54π)，D (2，74π)．9. 答案：解：以点O 为极点，OA 所在的射线为极轴Ox (单位长度为1 m)，建立极坐标系，由|OC |＝600 m ，∠AOC ＝6π，∠OAC ＝2π，得|AC |＝300 m ，|OA |＝3003m ，又|AB |＝|BC |，所以|AB |＝150 m. 同理，得|OE |＝2|OG |＝3002m ，所以各点的极坐标分别为O (0,0)，A (3003，0)，C (600，6π)，D (300，2π)，E (3002，34π)，F (300，π)，G (1502，34π)． 10. 答案：解：在△ABO 中，|OA |＝3，|OB |＝4，∠AOB ＝75636πππ-=，∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |sin ∠AOB ＝12×3×4×sin 56π＝3.。

姓名，年级：时间：1.2 极坐标系1。

2。

1 平面上点的极坐标1.2。

2 极坐标与直角坐标的关系学习目标：1.了解极坐标系的意义，能用极坐标系刻画点的位置．（难点）2。

了解极坐标系与直角坐标系的联系,能进行极坐标与直角坐标的互化．（重点）1．平面上点的极坐标（1)极坐标系：在平面上取一个定点O，由O点出发的一条射线Ox,一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系,O点称为极点,Ox 称为极轴．（2）极坐标:平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画．这两个数组成的有序数对（ρ，θ)称为点M的极坐标．ρ称为极径，θ称为极角．2．点与极坐标的关系（ρ,θ)和(ρ,θ＋2kπ)代表同一个点，其中k为整数．特别地，极点O的坐标为(0,θ)（θ∈R)．如果限定ρ≥0,0≤θ<2π,则除极点外，平面上的点就与它的极坐标构成一一对应关系．3．极坐标与直角坐标的关系(1）互化背景：设在平面上取定了一个极坐标系，以极轴作为直角坐标系的x轴的正半轴，以θ＝π2的射线作为y 轴的正半轴,以极点为坐标原点，长度单位不变，建立一个直角坐标系（如图1。

2。

1所示)．（2）互化公式：设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是（x ，y )，极坐标是(ρ,θ），于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：点M 直角坐标（x ，y )极坐标(ρ，θ）互化公式错误!ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝错误!(x ≠0)［提示］ 极坐标系以角这一平面图形为几何背景，而直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景；平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系，而极坐标系则不可．但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系,用来刻画平面内点的位置．思考2：极坐标系所在平面内的点与极坐标是否能建立一一对应关系?［提示］ 建立极坐标系后，给定数对（ρ，θ），就可以在平面内惟一确定一点M ；反过来，给定平面内一点M ,它的极坐标却不是惟一的．所以极坐标系所在平面内的点与极坐标不能建立一一对应关系．思考3：联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带是什么？［提示] 任意角的三角函数的定义及其基本关系式是联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带．事实上，若ρ〉0,则sin θ＝错误!，cos θ＝错误!， 所以x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝错误!.1．极坐标系中,点M （1,0)关于极点的对称点为( ) A ．（1,0) B ．(－1，π) C ．（1，π)D ．(1,2π）［解析] ∵（ρ，θ)关于极点的对称点为(ρ，π＋θ)，∴M (1，0)关于极点的对称点为(1，π）．[答案] C2．极坐标系中,到极点的距离等于到极轴的距离的点可以是( ）A．(1,0） B．（2,错误!) C．（3，错误!) D．(4，π)[答案］C3．点A的极坐标是（2，错误!)，则点A的直角坐标为( )A．(－1，－错误!）B．(－错误!，1)C．（－3，－1）D．(错误!，－1)[解析] x＝ρcos θ＝2cos错误!π＝－错误!，y＝ρsin θ＝2sin错误!π＝－1.［答案] C4．点M的直角坐标为(0，错误!)，则点M的极坐标可以为( ）A．（错误!，0） B．(0,错误!) C．（错误!，错误!） D．（错误!，－错误!)［解析] ∵ρ＝x2＋y2＝错误!，且θ＝错误!，∴M的极坐标为（错误!，错误!)．［答案] C确定极坐标系中点的坐标），直线l为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A 【例1】设点A（2，3关于极轴,直线l，极点的对称点的极坐标(限定ρ〉0，－π<θ≤π）．［思路探究］欲写出点的极坐标,首先应确定ρ和θ的值．［解] 如图所示，关于极轴的对称点为B(2，－错误!）．关于直线l 的对称点为C （2，23π)．关于极点O 的对称点为D (2，－错误!π）．四个点A ，B ，C ，D 都在以极点为圆心,2为半径的圆上．1．点的极坐标不是惟一的，但若限制ρ〉0,0≤θ〈2π，则除极点外,点的极坐标是惟一确定的．2．写点的极坐标要注意顺序:极径ρ在前,极角θ在后．1．在极坐标系中,B (3，错误!），D (3，错误!π）,试判断点B ，D 的位置是否具有对称性，并求出B ，D 关于极点的对称点的极坐标（限定ρ>0，θ∈［0,2π))．[解] 由B （3，错误!)，D （3,错误!)，知｜OB ｜＝|OD |＝3，极角π4与错误!的终边关于极轴对称．所以点B ，D 关于极轴对称．设点B （3，错误!）,D (3，错误!）关于极点的对称点分别为E (ρ1，θ1）,F （ρ2，θ2)，且ρ1＝ρ2＝3。

二 极坐标系一、基础达标1.点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，74π，则点P 的直角坐标为( ) A.(2，2) B.(2，－2) C.(2，2)D.(－2，2)解析 x ＝ρcos θ＝2，y ＝ρsin θ＝－ 2. 答案 B2.点M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则点M 的极坐标可以为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0B.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π2 D.⎝⎛⎭⎪⎫π2，－π2解析 ∵ρ＝x 2＋y 2＝π2，且θ＝π2，∴M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π2.答案 C3.下列各点与⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3表示极坐标系中同一点的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3B.(2，π)C.⎝⎛⎭⎪⎫2，7π3 D.(2，2π)解析 与极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3相同的点可以表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3＋2k π(k ∈Z )，只有⎝⎛⎭⎪⎫2，7π3适合.答案 C4.在极坐标系中，已知点P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π4、P 2⎝⎛⎭⎪⎫8，3π4，则|P 1P 2|等于( )A.9B.10C.14D.2解析 ∠P 1OP 2＝3π4－π4＝π2，∴△P 1OP 2为直角三角形，由勾股定理可得|P 1P 2|＝10.答案 B5.在极坐标系中，已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，34π，B ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，则A 、B 两点间的距离为________.解析 由公式|AB |＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos （θ1－θ2）， 得|AB |＝1＋4－2×1×2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－π4＝1＋4－0＝ 5.答案56.平面直角坐标系中，若点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π2经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝13y 后的点为Q ，则极坐标系中，极坐标为Q 的点到极轴所在直线的距离等于________.解析 ∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π2经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝13y 后的点为Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，7π6，则极坐标系中，极坐标为Q 的点到极轴所在直线的距离等于6⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 7π6＝3.答案 37.在极轴上求与点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4距离为5的点M 的坐标.解 设M (r ，0)，∵A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4，∴（42）2＋r 2－82r cos π4＝5，即r 2－8r ＋7＝0，解得r ＝1或r ＝7. ∴点M 的坐标为(1，0)或(7，0). 二、能力提升8.下列的点在极轴上方的是( ) A.(3，0)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π6C.⎝⎛⎭⎪⎫4，7π4D.⎝⎛⎭⎪⎫4，17π4解析 建立极坐标系，由极坐标的定义可得点(3，0)在极轴上，点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π6，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，7π4在极轴下方，点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，17π4在极轴上方，故选D.答案 D9.点M ⎝⎛⎭⎪⎫6，5π6到极轴所在直线的距离为________.解析 依题意，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，5π6到极轴所在的直线的距离为d ＝6×sin 5π6＝3.答案 310.已知极坐标系中，极点为O ，0≤θ<2π，M ⎝⎛⎭⎪⎫3，π3，在直线OM 上与点M 的距离为4的点的极坐标为________.解析 如图，|OM |＝3，∠xOM ＝π3，在直线OM 上取点P ，Q ，使|OP |＝7，|OQ |＝1，显然有|PM |＝|OP |－|OM |＝7－3＝4，|QM |＝|OM |＋|OQ |＝3＋1＝4.点P ，Q 都满足条件，且∠xOP ＝π3，∠xOQ ＝4π3.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫7，π3或⎝⎛⎭⎪⎫1，4π311.(1)已知点的极坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2π3，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－3π4，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，11π6，求它们的直角坐标.(2)已知点的直角坐标分别为A (3，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－53，C (－1，－3)，求它们的极坐标(ρ≥0，0≤θ<2π).解 (1)根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，532，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，C (－2，－2)，D (23，－2).(2)根据ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x 得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，3π2，C ⎝⎛⎭⎪⎫2，4π3.12.在极坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，B (2，π)，C ⎝⎛⎭⎪⎫2，5π3.(1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积.解 (1)如图所示，由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，B (2，π)，C ⎝⎛⎭⎪⎫2，5π3得|OA |＝|OB |＝|OC |＝2，∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝2π3.∴△AOB ≌△BOC ≌△AOC ，∴AB ＝BC ＝CA ， 故△ABC 为等边三角形. (2)由上述可知，AC ＝2OA sin π3＝2×2×32＝2 3. ∴S △ABC ＝34×(23)2＝33(面积单位). 三、探究与创新13.某大学校园的部分平面示意图如图：用点O ，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别表示校门，器材室，操场，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，其中|AB |＝|BC |，|OC |＝600 m.建立适当的极坐标系，写出除点B 外各点的极坐标(限定ρ≥0，0≤θ<2π且极点为(0，0)).解 以点O 为极点，OA 所在的射线为极轴Ox (单位长度为1 m)，建立极坐标系. 由|OC |＝600 m ，∠AOC ＝π6，∠OAC ＝π2，得|AC |＝300 m ，|OA |＝300 3 m ，又|AB |＝|BC |，所以|AB |＝150 m.同理，得|OE |＝2|OG |＝3002m ，所以各点的极坐标分别为O (0，0)，A (3003，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫600，π6，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫300，π2，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫3002，3π4，F (300，π)，G ⎝⎛⎭⎪⎫1502，34π.。

第一讲 1.2
1．已知M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5，π3，下列所给出的能表示该点的坐标的是( D ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫5，－π3B ．⎝
⎛⎭⎪⎫5，4π3 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫5，－2π3D ．⎝
⎛⎭⎪⎫5，－5π3 解析：M (ρ，θ)也可以表示为(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z )，M (5，π3)也可以表示为(5，π3
＋2k π)(k ∈Z )，故选D ． 2．在极坐标系中，与(ρ，θ)关于极轴对称的点是( B )
A ．(ρ，θ)
B ．(ρ，－θ)
C ．(ρ，θ＋π)
D ．(ρ，π－θ)
解析：在极坐标系中，与(ρ，θ)关于极轴对称的点的极径不变，极角关于极轴对称．故选B ．
3．点M 的直角坐标是(－1，3)，则点M 的极坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫2，2π3. 解析：ρ＝x2＋y2＝错误!＝2，tan θ＝错误!＝－错误!，因为点M 在第二象限，所以取θ＝错误!，
故点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3. 4．(2016·湖北黄冈检测)在极坐标系中，点A 和点B 的极坐标分别为⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，π3，(3,0)，O 为极点，求： (1)|AB |；(2)求△AOB 的面积．
解析：(1)△AOB 中，|OA |＝2，|OB |＝3，∠AOB ＝π3
由余弦定理得 |AB |＝
|OA|2＋|OB|2－2|OA|·|OB|cos π3＝ 22＋32－2×2×3×12＝7.
(2)S △AOB ＝12
|OA |·|OB |·sin ∠AOB ＝
1
2×2×3×
3
2＝
33
2.。

课后训练1．下列各点中与极坐标π57⎛⎫⎪⎝⎭，表示同一个点的是( )． A ．6π57⎛⎫ ⎪⎝⎭， B ．15π57⎛⎫ ⎪⎝⎭， C ．6π57⎛⎫- ⎪⎝⎭， D ．π57⎛⎫- ⎪⎝⎭， 2．在极坐标系内，点π32⎛⎫ ⎪⎝⎭，关于直线π6θ＝(ρ∈R )的对称点的坐标为( )． A ．(3,0) B ．π32⎛⎫ ⎪⎝⎭， C ．2π33⎛⎫- ⎪⎝⎭， D ．11π36⎛⎫ ⎪⎝⎭， 3．已知点M 的极坐标为π53⎛⎫- ⎪⎝⎭，，下列所给出的四个坐标中不能表示点M 的坐标的是( )．A ．π53⎛⎫- ⎪⎝⎭，B ．4π53⎛⎫ ⎪⎝⎭， C ．2π53⎛⎫- ⎪⎝⎭， D ．5π53⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 4．已知A ，B 的极坐标分别是π33⎛⎫ ⎪⎝⎭，和⎝⎛⎭⎫3，13π12，则A 和B 之间的距离等于( )．A ．2B ．2C ．2D ．25．写出与直角坐标系中的点(－表示同一个点的所有点的极坐标__________．6．直线l 过点π33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，π36B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则直线l 与极轴的夹角等于________． 7．已知A ，B 的极坐标分别为2π83⎛⎫ ⎪⎝⎭，，π63⎛⎫ ⎪⎝⎭，，求线段AB 的中点的极坐标． 8．在极轴上求与点π4A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，的距离为5的点M 的坐标． 9．(1)将下列各点的极坐标化为直角坐标：①π4⎫⎪⎭；②π6,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；③(5，π)． (2)将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)：①；②(－1，－1)；③(－3,0)．10．△ABC 的顶点的极坐标为4π43A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，5π66B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，7π86C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.(1)判断△ABC 的形状；(2)求△ABC 的面积；(3)求△ABC 的边AB 上的高．参考答案1. 答案：B2. 答案：D3. 答案：A解析：化为直角坐标可知，点M 在第三象限，而选项A 中的点在直角坐标系中的第四象限．4. 答案：C解析：A ，B 在极坐标中的位置，如图，则由图可知13ππ5π1246AOB ∠＝－＝. 在△AOB 中，|AO |＝|BO |＝3， 所以，由余弦定理，得 |AB |2＝|OB |2＋|OA |2－2|OB |·|OA |·cos5π6＝9＋9－2×9×2⎛- ⎝⎭＝2918(12＋＝.∴||AB 5. 答案：2π42π3k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，＋(k ∈Z )解析：4ρ，tan 2y x θ-＝＝ ∴2π3θ＝.∴点(－用极坐标表示为2π42π3k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(k ∈Z )． 6. 答案：π4解析：如图所示，先在图形中找到直线l 与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A ，B 的位置分析夹角大小．因为|AO |＝|BO |＝3， πππ 366AOB ∠＝－＝， 所以ππ5π6212OAB ∠－＝＝， 所以π5πππ3124ACO ∠＝－－＝. 7. 解：A ，B两点的直角坐标分别为(－，．线段AB的中点的直角坐标为12⎛- ⎝⎭.则ρtan θ-＝所以线段AB的中点的极坐标为)θ，其中tan θ＝－8. 解：设M (r,0)，则M 的直角坐标为(r,0)． 因为π4A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则A 的直角坐标为(4,4)，5，即r 2－8r ＋7＝0.解得r ＝1或r ＝7.所以点M 的坐标为(1,0)或(7,0)．9.解：(1)①πcos 14x＝， πsin 14y ＝， 所以点π4⎫⎪⎭的直角坐标为(1,1)． ②x ＝6·cos π3⎛⎫- ⎪⎝⎭＝3， y ＝6·sin π3⎛⎫-⎪⎝⎭＝－所以点π3⎫-⎪⎭的直角坐标为(3，－． ③x ＝5·cos π＝－5，y ＝5·sin π＝0，所以点(5，π)的直角坐标为(－5,0)．(2)①ρtan θ又因为点在第一象限，所以π3θ＝.所以点的极坐标为π3⎛⎫ ⎪⎝⎭，.②ρtan θ＝1．又因为点在第三象限， 所以5π4θ＝.所以点(－1，－1)的极坐标为5π4⎫⎪⎭.③3ρ，极角为π，所以点(－3,0)的极坐标为(3，π)．10. 解：4π5ππ362AOB ∠＝－＝，7π5ππ663BOC ∠＝－＝，4π7ππ366COA ∠＝－＝.(O 为极点)(1)||AB |BC |＝＝|AC |＝＝∴△ABC 是等腰三角形．(2)S △AOB ＝12|OA |·|OB |＝12，S △BOC ＝12|OB |·|OC |sin ∠BOC ＝ S △COA ＝12|OC |·|OA |sin ∠COA ＝8.∴S △ABC ＝S △BOC ＋S △COA －S △AOB ＝ 4.(3)设AB 边上的高为h ，则2||13ABC S h AB ∆＝＝.。

【2019-2020年度】人教B 版高中数学-选修4-4教学案-第一章球坐标系（Word ）[读教材·填要点]1．球坐标系设空间中一点M 的直角坐标为(x ，y ，z)，点M 在xOy 坐标面上的投影点为M0，连接OM 和OM0，设z 轴的正向与向量的夹角为φ，x 轴的正向与0的夹角为θ，M 点到原点O 的距离为r ，则由三个数r ，θ，φ构成的有序数组(r ，θ，φ)称为空间中点M 的球坐标．在球坐标中限定r≥0，0≤θ<2π，0≤φ≤π.OM OM2．直角坐标与球坐标的转化空间点M 的直角坐标(x ，y ，z)与球坐标(r ，φ，θ)之间的变换关系为⎩⎨⎧x ＝rsin φ·cos θ，y ＝rsin φ·sin θ，z ＝rcos φ. [小问题·大思维]球坐标与平面上的极坐标之间有什么关系？提示：空间某点的球坐标中的第二个坐标θ就是该点在xOy 平面上投影点的极坐标中的第二个坐标θ.[例1][思路点拨] 本题考查球坐标与直角坐标的变换关系．解答本题需要先搞清球坐标中各个坐标的意义，然后代入相应的公式求解即可．[精解详析] ∵M 的球坐标为，∴r ＝5，φ＝，θ＝.由变换公式⎩⎨⎧ x ＝rsin φcos θ，y ＝rsin φsin θ，z ＝rcos φ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5sin 5π6cos 4π3＝－54，y ＝5sin 5π6sin 4π3＝－534，z ＝5cos 5π6＝－532.故它的直角坐标为. 已知球坐标求直角坐标，可根据变换公式直接求解，但要分清哪个角是φ，哪个角是θ.1．已知点P 的球坐标为，求它的直角坐标．解：由变换公式得x ＝rsin φcos θ＝4sin cos ＝2，y ＝rsin φsin θ＝4sin sin ＝2，z ＝rcos φ＝4cos ＝－2.∴它的直角坐标为(2,2，－2).[例[思路点拨] 本题考查直角坐标与球坐标的变换关系．解答本题只需将已知条件代入变换公式求解即可，但应注意θ与φ的取值范围．[精解详析] 由坐标变换公式，可得r ＝＝＝2.由rcos φ＝z ＝，得cos φ＝＝，φ＝.又tan θ＝＝1，θ＝(x>0，y>0)，所以知M点的球坐标为.由直角坐标化为球坐标时，我们可以先设点M的球坐标为(r，θ，φ)，再利用变换公式求出r，θ，φ代入点的球坐标即可；也可以利用r2＝x2＋y2＋z2，tan θ＝，cos φ＝求解．特别注意由直角坐标求球坐标时，θ和φ的取值应首先看清点所在的象限，准确取值，才能无误．2．设点M的直角坐标为，求它的球坐标．解：由变换公式得r＝＝＝1.由rcos φ＝z＝－得cos φ＝－，φ＝.又tan θ＝＝(r>0，y>0)，得θ＝，∴M的球坐标为.[例3] O为端点且与零子午线相交的射线Ox为极轴，建立坐标系．有A，B两个城市，它们的球坐标分别为AR，，，BR，，.飞机沿球的大圆圆弧飞行时，航线最短，求最短的路程．[思路点拨] 本题考查球坐标系的应用以及球面上的最短距离．解答本题需要搞清球的大圆的圆心角及求法．[精解详析] 如图所示，因为A，B，可知∠AOO1＝∠O1OB＝，∴∠O1AO＝∠O1BO＝.又∠EOC＝，∠EOD＝，∴∠COD＝－＝.∴∠AO1B＝∠COD＝.在Rt△OO1B中，∠O1BO＝，OB＝R，∴O1B＝O1A＝R.∵∠AO1B＝，∴AB＝R.在△AOB中，AB＝OB＝OA＝R，∴∠AOB＝.故飞机沿经过A，B两地的大圆飞行，航线最短，其路程为R.我们根据A，B两地的球坐标找到纬度和经度，当飞机沿着过A，B两地的大圆飞行时，飞行最快．求所飞行的路程实际上是要求我们求出过A，B两地的球面距离．3.用两平行面去截球，如图，在两个截面圆上有两个点，它们的球坐标分别为A，B8，θB，，求出这两个截面间的距离．解：由已知，OA＝OB＝8，∠AOO1＝，∠BOO1＝.∴在△AOO1中，OO1＝4.在△BOO2中，∠BOO2＝，OB＝8，∴OO2＝4，则O1O2＝OO1＋OO2＝8.即两个截面间的距离O1O2为8.一、选择题1．已知一个点P的球坐标为，点P在xOy平面上的投影点为P0，则与的夹角为( )OPA．－ B.3π4C.D.π3解析：选A ∵φ＝，∴OP 与OP0之间的夹角为＝. 2．点M 的球坐标为(r ，φ，θ)(φ，θ∈(0，π))，则其关于点(0,0,0)的对称点的坐标为( )A ．(－r ，－φ，－θ)B ．(r ，π－φ，π－θ)C ．(r ，π＋φ，θ)D ．(r ，π－φ，π＋θ)解析：选D 设点M 的直角坐标为(x ，y ，z)，则点M 关于(0,0,0)的对称点M′的直角坐标为(－x ，－y ，－z)，设M′的球坐标为(r′，φ′，θ′)，因为⎩⎨⎧ x ＝rsin φcos θ，y ＝rsin φsin θ，z ＝rcos φ，所以⎩⎨⎧ r′sin φ′cos θ′＝－rsin φcos θ，r′sin φ′sin θ′＝－rsin φsin θ，r′cos φ′＝－rcos φ，可得⎩⎨⎧ r′＝r ，φ′＝π－φ，θ′＝π＋θ，即M′的球坐标为(r ，π－φ，π＋θ)．3．点P 的球坐标为，则它的直角坐标为( )A ．(1,0,0)B ．(－1，－1,0)C ．(0，－1,0)D ．(－1,0,0)解析：选D x ＝rsin φcos θ＝1·sin ·cos π＝－1， y ＝rsin φsin θ＝1·sinsin π＝0，z ＝rcos φ＝1·cos＝0，∴它的直角坐标为(－1,0,0)．4．已知点P 的柱坐标为，点B 的球坐标为，则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为( )A ．P(5,1,1)，B ⎝⎛⎭⎪⎫364，324，62 B ．P(1,1,5)，B ⎝⎛⎭⎪⎫364，324，62 C ．P ，B(1,1,5)D ．P(1,1,5)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫62，364，324 解析：选B 球坐标与直角坐标的互化公式为⎩⎨⎧ x ＝rsin φcos θ，y ＝rsin φsin θ，z ＝rcos φ，柱坐标与直角坐标的互化公式为⎩⎨⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z.设P 点的直角坐标为(x ，y ，z)，则x ＝cos ＝×＝1， y ＝sin ＝1，z ＝5.设B 点的直角坐标为(x′，y′，z′)，则x′＝sin cos ＝××＝，y′＝sin sin ＝××＝，z′＝cos ＝×＝.所以点P 的直角坐标为(1,1,5)，点B 的直角坐标为.二、填空题5．以地球中心为坐标原点，地球赤道平面为xOy 坐标面，由原点指向北极点的连线方向为z 轴正向，本初子午线所在平面为zOx坐标面，如图所示．若某地在西经60°，南纬45°，地球的半径为R ，则该地的球坐标可表示为________．解析：由球坐标的定义可知，该地的球坐标为R ，，.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫R ，5π3，3π4 6．已知点M 的球坐标为，则它的直角坐标为________，它的柱坐标是________．解析：由坐标变换公式直接得直角坐标和柱坐标．答案：(－2,2,2) ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4，22 7．设点M 的直角坐标为(－1，－1，)，则它的球坐标为________． 解析：由坐标变换公式，得r ＝＝＝2，cos φ＝＝，∴φ＝.∵tan θ＝＝＝1，又∵x<0，y<0，∴θ＝.∴M 的球坐标为.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，π4 8．在球坐标系中，方程r ＝1表示________，方程φ＝表示空间的________．解析：数形结合，根据球坐标的定义判断形状．答案：球心在原点，半径为1的球面 顶点在原点，轴截面顶角为的圆锥面三、解答题9．如图，请你说出点M 的球坐标．解：由球坐标的定义，记|OM|＝R ，OM 与z 轴正向所夹的角为φ.设M 在xOy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ.这样点M 的位置就可以用有序数组(R ，θ，φ)表示．∴M 点的球坐标为M(R ，θ，φ)．10．已知点P 的球坐标为，求它的直角坐标．解：根据坐标变换公式⎩⎨⎧ x ＝rsin φcos θ，y ＝rsin φsin θ，z ＝rcos φ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2sin 3π4cos 7π6＝2·22·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－62，y ＝2sin 3π4sin 7π6＝2·22·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－22，z ＝2·cos 3π4＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－2，∴点P 的直角坐标为. 11．如图，建立球坐标系，正四面体ABCD 的棱长为1，求A ，B ，C ，D 的球坐标．(其中O 是△BCD 的中心)解：O 是△BCD 的中心，则OC ＝OD ＝OB ＝，AO ＝.∴C ，D ，B，A.[对应学生用书P19][对应学生用书P19]1的对称性，尽量使图形的对称轴(对称中心)正好是坐标系中的x 轴，y 轴(坐标原点)．2．坐标系的建立，要尽量使我们研究的曲线的方程简单．[例1] 线段AB 与CD 互相垂直且平分于点O ，|AB|＝2a ，|CD|＝2b ，动点P 满足|PA|·|PB|＝|PC|·|PD|，求动点P 的轨迹方程．[解] 以AB 的中点O 为原点，直线AB 为x 轴建立直角坐标系，如图所示．设P(x ，y)，则A(－a,0)，B(a,0)，C(0，－b)，D(0，b)，由题设，知|PA|·|PB|＝|PC|·|PD|.∴ ·错误!＝ ·.化简得x2－y2＝，∴动点P 的轨迹方程为x2－y2＝.设点点P(X ，Y)对应点P′(x′，y′)，称这种变换为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．[例2] 在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C 变为曲线(X －5)2＋(Y ＋6)2＝1，求曲线C 的方程，并判断其形状．[解] 将代入(X －5)2＋(Y ＋6)2＝1中，得(2x －5)2＋(2y ＋6)2＝1.化简，得⎝⎛⎭⎪⎫x －522＋(y ＋3)2＝. 该曲线是以为圆心，为半径的圆.1F(ρ，θ)＝0.如果曲线C 是由极坐标(ρ，θ)满足方程的所有点组成的，则称此二元方程F(ρ，θ)＝0为曲线C的极坐标方程．2．平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处．一条曲线上的点的极坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足方程，这里要求至少有一组能满足极坐标方程．3．求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入法，其在极坐标中仍然适用．注意求谁设谁，找出所设点的坐标ρ，θ的关系．[例3] △ABC的底边BC＝10，∠A＝∠B，以B为极点，BC为极轴，求顶点A的轨迹的极坐标方程．[解] 如图，令A(ρ，θ)．△ABC内，设∠B＝θ，∠A＝，又|BC|＝10，|AB|＝ρ，所以由正弦定理，得＝.化简，得A点轨迹的极坐标方程为ρ＝10＋20cos θ.1x轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位．2．互化公式为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ3．直角坐标方程化极坐标方程可直接将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入即可，而极坐标方程化为直角坐标方程通常将极坐标方程化为ρcos θ，ρsin θ的整体形式，然后用x，y代替较为方便，常常两端同乘以ρ即可达到目的，但要注意变形的等价性．[例4] 把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并指出它们分别表示什么曲线．(1)ρ＝2acos θ(a＞0)；(2)ρ＝9(sin θ＋cos θ)；(3)ρ＝4；(4)2ρcos θ－3ρsin θ＝5.[解] (1)ρ＝2acos θ，两边同时乘以ρ，得ρ2＝2aρcos θ，即x2＋y2＝2ax.整理得x2＋y2－2ax＝0，即(x－a)2＋y2＝a2.它是以(a,0)为圆心，以a为半径的圆．(2)两边同时乘以ρ得ρ2＝9ρ(sin θ＋cos θ)，即x2＋y2＝9x＋9y，又可化为2＋2＝.它是以为圆心，以为半径的圆．(3)将ρ＝4两边平方得ρ2＝16，即x2＋y2＝16.它是以原点为圆心，以4为半径的圆．(4)2ρcos θ－3ρsin θ＝5，即2x－3y＝5.它是一条直线.1M0，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)来表示点M0在平面xOy上的极坐标．这时点M的位置可由有序数组(ρ，θ，z)表示，叫做点M的柱坐标．2．球坐标：建立空间直角坐标系O ­xyz，设M是空间任意一点，连接OM，记|OM|＝r，OM与Oz轴正向所夹的角为φ，设M在xOy平面上的射影为M0.Ox轴按逆时针方向旋转到OM0时，所转过的最小正角为θ，则M(r，θ，φ)为M点的球坐标．[例5] 在柱坐标系中，求满足的动点M(ρ，θ，z)围成的几何体的体积．[解] 根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足ρ＝1,0≤θ<2π，0≤z≤2的动点M(ρ，θ，z)的轨迹是以直线Oz 为轴，轴截面为正方形的圆柱，如图所示，圆柱的底面半径r ＝1，h ＝2，∴V＝Sh ＝πr2h ＝2π.[例6] 如图，长方体OABC —D′A′B′C′中，OA ＝OC ＝a ，BB′＝OA ，对角线OB′与BD′相交于点P ，顶点O 为坐标原点，OA ，OC 分别在x 轴，y 轴的正半轴上．试写出点P 的球坐标．[解] r ＝|OP|，φ＝∠D′OP，θ＝∠AOB，而|OP|＝a ，∠D′OP＝∠OB′B，tan ∠OB′B＝＝1，∴∠OB′B＝，θ＝∠AOB＝.∴点P 的球坐标为.[对应学生用书P21]一、选择题1．点M 的直角坐标是(－1，)，则点M 的极坐标为( )A.B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3C.D.，k∈Z解析：选C ρ2＝(－1)2＋()2＝4，∴ρ＝2.又∴⎩⎪⎨⎪⎧ cos θ＝－12，sin θ＝32.∴θ＝π＋2k π，k ∈Z.即点M 的极坐标为，k∈Z.2．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为( )A．x2＋y2＝0或y＝1 B．x＝1C．x2＋y2＝0或x＝1 D．y＝1解析：选 C ρ(ρcos θ－1)＝0，ρ＝＝0，或ρcos θ＝x ＝1.3．极坐标方程ρcos θ＝2sin 2θ表示的曲线为( )A．一条射线和一个圆B．两条直线C．一条直线和一个圆D．一个圆解析：选C ρcos θ＝4sin θcos θ，cos θ＝0，或ρ＝4sin θ(ρ2＝4ρsin θ)，则x＝0，或x2＋y2＝4y.4．极坐标系内曲线ρ＝2cos θ上的动点P与定点Q的最近距离等于( )A.－1B.－1C．1 D.2解析：选A 将曲线ρ＝2cos θ化成直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，点Q的直角坐标为(0,1)，则P到Q的最短距离为点Q与圆心的距离减去半径，即－1.二、填空题5．极坐标方程5ρ2cos2θ＋ρ2－24＝0所表示的曲线焦点的极坐标为________________．解析：原方程化为直角坐标方程为－＝1，∴c＝＝，双曲线在直角坐标系下的焦点坐标为(，0)，(－，0)，故在极坐标系下，曲线的焦点坐标为(，0)，(，π)．答案：(，0)，(，π)6．点M的球坐标为，则它的直角坐标为________．解析：x＝6·sin·cos ＝3，y＝6sinsin＝3，z＝6cos＝0，∴它的直角坐标为(3,3，0)．答案：(3,3，0)7．在极坐标系中，若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cos θ于A，B两点，则|AB|＝________.解析：过点(3,0)且与极轴垂直的直线的直角坐标方程为x＝3，曲线ρ＝4cos θ化为直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0，把x＝3代入上式，得9＋y2－12＝0，解得，y1＝，y2＝－，所以|AB|＝|y1－y2|＝2.答案：238．在极坐标系中，过点A(6，π)作圆ρ＝－4cos θ的切线，则切线长为________．解析：圆ρ＝－4cos θ化为(x＋2)2＋y2＝4，点(6，π)化为(－6,0)，故切线长为＝＝2.答案：23三、解答题9．求由曲线4x2＋9y2＝36变成曲线X2＋Y2＝1的伸缩变换．解：设变换为将其代入方程X2＋Y2＝1，得a2x2＋b2y2＝1.又∵4x2＋9y2＝36，即＋＝1，∴又∵a>0，b>0，∴a＝，b＝.∴将曲线4x2＋9y2＝36变成曲线X2＋Y2＝1的伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧ X ＝13x ，Y ＝12y.10．已知A ，B 两点的极坐标分别是，，求A ，B 两点间的距离和△AOB 的面积．解：求两点间的距离可用如下公式：|AB|＝＝＝2.S△AOB＝|ρ1ρ2sin(θ1－θ2)|＝2×4×sin＝×2×4＝4.11．在极坐标系中，已知圆C 的圆心C ，半径为1.Q 点在圆周上运动，O 为极点．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)若P 在直线OQ 上运动，且满足＝，求动点P 的轨迹方程．解：(1)如图所示，设M(ρ，θ)为圆C 上任意一点．在△OCM 中，可知|OC|＝3，|OM|＝ρ，|CM|＝1，∠COM ＝.根据余弦定理，得1＝ρ2＋9－2·ρ·3·cos .化简整理，得ρ2－6·ρcos ＋8＝0为圆C 的轨迹方程．(2)设Q(ρ1，θ1)，则有ρ－6·ρ1cos ＋8＝0.①设P(ρ，θ)，则OQ∶QP＝ρ1∶(ρ－ρ1)＝2∶3⇒ρ1＝ρ， 又θ1＝θ，所以⎩⎨⎧ ρ1＝25ρ，θ1＝θ.代入①得ρ2－6·ρcos ＋8＝0，整理得ρ2－15ρcos ＋50＝0为P 点的轨迹方程．。