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选修44极坐标系的概念ppt课件

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人教版高中数学选修4-4 第一讲 坐标系 二 极坐标系 (共34张PPT)教育课件

人教版高中数学选修4-4 第一讲 坐标系 二 极坐标系 (共34张PPT)教育课件

A. y 1
sin t
1
x t2
C.
1
yt 2
x cos t
B. y 1
cos t
x tan t
D. y 1
tan t
7.极坐标方程
2
arcsin化(为 直0)角坐标方程的形
式是 （ ）
A. x2 y2 x 0
B．y x(1 x)
C. 2x 1 4y2 1 D.．y (x 1)
2.极坐标（,）与(ρ，2kπ+θ)( k )表z 示 同一个点.即一点的极坐标的统一的表达式 为(ρ，2kπ+θ)
3.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除 极 点外,平面内的点和极坐标就可以一一对 应了。
我们学了直角坐标,也学了极坐 标，那么这两种坐标有什么关系呢? 已知点的直角坐标为,如何用极坐标 表示这个点呢?
M (, )
0
x
2
4
5
6
C
1.如图，在极坐标系中，写出点 AF(,6B, ,4C3 ,)D的, G极(坐5, 标53，所) 并在标的出位E置( 72 , ) ,
E D BA
O
X
4 F
3
G 5
3
解：如图可得A,B,C,D的坐标分别为
(4,0)
(2, )
(3, )
(1, 5 )
4
2
6
点E,F,G的位置如图所示
1
4.极坐标方程ρ=cosθ与ρcosθ= 的2 图形是（ ） B
A
B
C
D
解x=：12把，ρc故os排θ=除A，、12 化D；为又直圆角ρ坐=c程os，θ显得然: 过点 (0,1)，又排除C，故选B。
5、若A、B的两点极坐标为A(4,

选修4-4极坐标与参数方程-极坐标系课件

选修4-4极坐标与参数方程-极坐标系课件

从教学楼出发沿东偏北 90 方向 50m
走 60 3 米到达实验楼 从教学楼出发沿东偏北 135 方向走 50米到达办公楼
A 教
学12Biblioteka m60° 60m B体 育
楼
馆
（某校园的平面示意图）
一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点。
引一条射线OX，叫做极轴。
再选定一个长度单位
和角度单位及它的正
应用导练
题组一：在极坐标系里描出下列各点
点的极坐标确定，在坐标平面内点的位置唯一确定
A(3, 0)
4
D(5, ) 3
G(6, 5 )
3
B(6, 2 ) 5
E(3, ) 6
C(3, ) 2
F (4, )
应用导练
题组二：说出下图中各点的极坐标
2
4
5
6
C
E
D
B
A
O
X
4 F
3
G 5
3
想一想：
①平面上一点的极坐标是否唯一？
在生活中人们经常用方向和距离来表示 一点的位置。这种用方向和距离表示平 面上一点的位置的思想，就是极坐标的 基本思想。
探究导学
某同学在教学楼处， （1）向东偏北60 °方向走
120m到达什么位置？
D实验楼 C图书馆
（2）如果有人打听实验楼和 办
办公楼的位置，他应如何
公
描述？
楼
解：通过计算可得
E 45°
②若不唯一，那有多少种表示方法？
③坐标不唯一是由谁引起的？
④不同的极坐标是否可点以的极写坐出标统可以一有表多种达表式示？
方法;其中极径相同，不同的 是极角；这些极角它们是终 边相同的角，极坐标统一的 表达式为

人教A版高中数学选修4-4课件 极坐标系的概念(人教A 版)

人教A版高中数学选修4-4课件 极坐标系的概念(人教A 版)
[2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？ 无数，极角有无数个.
[3]一点的极坐标有否统一的表达式？
有。（ρ，2kπ+θ）
1、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点. 引一条射线OX，叫做极轴。 再选定一个长度单位和计算角度的正方向。 （通常取逆时针方向）.
O X
这样就建立了一个极坐标系.
2、极坐标系内一点的极坐标的规定
人民教育出版社 高中/选修4-4
对于平面上任意一点M,用表示线段OM的长度, 用表示以射线OX为始边,射线OM为终边所成的 角,叫做点M的极径, 叫做点M的极角,有序数对 (,)就叫做M的极坐标。
点M：在角终边的反向延长线上，且|OM|=||
5 M(-2, 5)
6
6
O°
x
° O
x•
•M(-2, 5) M (, )
6
小结： 从比较来看, 负极径比正极径多了一个操作,
将射线OP“反向延长”.
2
3•
F
5
6 B•
A•
2
D
•
。 O1
- 人民教育出版社 高中/选修4-4
A( 4,0)
4
B(3, 56)
（1）已知两点P（5、 ），Q（1， ），求线段PQ的长度。
4
4
（2）已知两点P（5、5 ），Q（1， ），求线段PQ的长度。
4
,4
（3）说明满足条件 , 0的点M（，）所组成的图形
3
思考：在本节开头关于修建高速公路的问题中能否
在极坐标系中解题。
人民教育出版社 高中/选修4-4
数学运用
例3. 已知点Q(, )，分别按下列条件求出点P的坐标：

极坐标系 课件

极坐标系 课件

ρ
;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做
点M的极角,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记为M(ρ,θ).
一般地,不作特殊说明时,我们认为ρ≥0,θ可取任意实数.
名师点拨
(1)极点的极坐标:
极点的极径ρ=0,极角θ可以是任何实数.所以极点的极坐标为(0,θ)(θ∈R),也就
是说极点有无数个极坐标.
= cos,
.
= sin
做一做2
将点的极坐标(π,-2π)化为直角坐标为(
)
A.(π,0) B.(π,2π)
C.(-π,0) D.(-2π,0)
解析:x=πcos(-2π)=π,y=πsin(-2π)=0,所以极坐标(π,-2π)化为直角坐标为(π,0).
答案:A
做一做3
将点的直角坐标(-2,2 3)化为极径ρ是正值,极角在0到2π之间的极坐标是(
11π
A. 2,− 6
13π
B. 2, 6
11π
C. 2, 6
23π
D. 2,− 6
)
思路分析:在极坐标系中,终边相同的角可以表示为α=2kπ+θ(k∈Z).极径相等、
极角的终边相同的点为同一个点.
π
π
11π
解析:与极坐标 2, 6 相同的点可以表示为 2, 6 + 2π (k∈Z),只有 2, 6 不
π
ቁ(k∈Z),只有B满足.
3
答案:B
探究三极坐标与直角坐标的互化
= cos,
将极坐标化为直角坐标,只需利用公式ቊ
已知点的直角坐标求极坐标时,
= sin;
关键是确定θ的值,此时要注意点在平面直角坐标系中的位置及θ的取值范围.

极坐标系的概念 课件

极坐标系的概念 课件
极坐标系的概念
1．极坐标系的概念
图 1－2－1 如图 1－2－1 所示，在平面内取一个定点 O，叫作极点， 从 O 点引一条射线 Ox，叫作极轴，选定一个单位长度和角 的正方向(通常取逆时针方向)．这样就确定了一个平面极坐 标系 ，简称 极坐标系 ．
2．极坐标的概念 对于平面内任意一点 M，用 ρ 表示 线段OM的长 ，θ 表 示以Ox为始边、OM为终边的角度 ，ρ 叫作点 M 的极径，θ 叫作点 M 的 极角，有序实数对 (ρ，θ) 叫作点 M 的极坐标， 记作 M(ρ，θ) . 特别地：当点 M 在极点时，它的极径 ρ＝ 0 ，极角 θ 可以取 任意值 ．
在极坐标系中，由点的位置求极坐标时，随着极角的范 围的不同，点的极坐标的表示也会不同，只有在 ρ＞0，θ∈ [0,2π)的限定条件下，点的极坐标才是唯一的．
【思路探究】 欲写出点的极坐标，首先应确定 ρ 和 θ 的值．
【自主解答】 如图所示，关于极轴的对称点为 B(2， 53π)． 关于直线 l 的对称点为 C(2，23π)． 关于极点 O 的对称点为 D(2，43π)． 四个点 A，B，C，D 都在以极点为圆心，2 为半径的圆 上．
1．点的极坐标不是唯一的，但若限制 ρ>0,0≤θ<2π，则 除极点外，点的极坐标是唯一确定的．
【自主解答】 以点 O 为极点，OA 所在的射线为极轴 Ox(单位长度为 1 m)，建立极坐标系，如图所示．
由|OB|＝600 m，∠AOB＝30°，∠OAB＝90°，得 |AB|＝300 m，|OA|＝300 3 m， 同样求得|OD|＝2|OF|＝300 2m， 所以各点的极坐标分别为 O(0,0)，A(300 3，0)，B(600，6π)，C(300，π2)， D(300 2，34π)，E(300，π)，F(150 2，34π)．

极坐标系 课件

极坐标系 课件

ρ2＝x2＋y2，
tan
θ＝xyx≠0.
.
[例 1] 已知点 Q(ρ，θ)，分别按下列条件求出点 P 的极 坐标．
(1)点 P 是点 Q 关于极点 O 的对称点； (2)点 P 是点 Q 关于直线 θ＝π2的对称点． [思路点拨] 确定一点的极坐标关键是确定它的极径和 极角两个量，为此应明确它们的含义．
设点M的极坐标是(ρ，θ)，则M点关于极点的对称点的 极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M点关于极轴的对称点的 极坐标是(ρ，－θ)；M点关于过极点且垂直于极轴的直线的 对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．
另外要注意，平面上的点与这一点的极坐标不是一一 对应的．
[例 2] (1)把点 A 的极坐标(2，76π)化成直角坐标； (2)把点 P 的直角坐标(1，－ 3)化成极坐标．(ρ>0， 0≤θ<2π)． [思路点拨] 依据极坐标与直角坐标互化的公式解 题．
1．极坐标系的概念
(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做 极点 ，自极点O引一条射线Ox，叫做 极轴 ；再选定一个 长度单位 ，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向 (通常取
逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
(2)极坐标系内一点的极坐标的规定：对于平面上任意一 点M，用ρ表示 线段OM长度，用θ表示 射线Ox到OM的
[解] (1)x＝2cos76π＝－ 3，
y＝2sin76π＝－1，
故点 A 的直角坐标为(－ 3，－1)．
(2)ρ＝
12＋－
32＝2，tan
－ θ＝ 1
3＝－
3.
又因为点 P 在第四象限且 0≤θ<2π，得 θ＝53π.
因此点 P 的和直角坐标互化的前提条件有三，即极点 与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，有相同的长度单位， 三者缺一不可．

坐标系极坐标系的概念ppt

坐标系极坐标系的概念ppt

在几何学中的应用
地球物理学
在地球物理学中，坐标系被用于描述地球的形状和大小，以及地球上的物理现象，例如地震、火山和气候变化。
地图学
在地图学中，坐标系被用于将地球表面上的点和现象映射到平面地图上，以便进行测量、分析和可视化。
在实际生活中的应用
相关数学工具及方法
04
向量
向量是指具有方向和大小的几何量，可以表示空间中的位置和位移等。
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，在数学、物理、计算机等领域得到广泛应用
直角坐标系的应用
极坐标系的概念
极坐标与直角坐标的转换
极坐标系的应用
极坐标系
球面坐标系
球面坐标系的概念
以原点为球心，以正半轴为Z轴，建立球面坐标系
球面坐标与直角坐标的转换
使用球面坐标和直角坐标之间的转换公式进行转换
球面坐标系的应用
在物理学、地球物理学、天文学等领域有着广泛的应用
球面坐标系与直角坐标系的转化
球面坐标系：在三维空间中，以球心为原点，以球面为x、y、z轴，建立的坐标系称为球面坐标系。
转化公式：x=ρcosθsinφ，y=ρsinθsinφ，z=ρcosφ，其中(ρ,θ,φ)为球面坐标，(x,y,z)为直角坐标。
其中，θ为极角，φ为方位角。
坐标系的应用
03
坐标系在牛顿力学中有着广泛的应用，通过坐标系可以将复杂的运动和力关系简化为简单的数学模型，方便进行计算和分析。
03
存在唯一性定理
存在唯一性定理是指对于初值问题，如果微分方程满足某些条件，则该初值问题一定存在唯一解。
常微分方程的基本概念及方法

极坐标系的概念ppt课件

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:极径 :极角
M(,)
一 般 地 ,0, R . O
数学的学习方法是严格 、严肃、严密——苏步
青
M
x
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4
典型例题1
数学的学习方法是严格 、严肃、严密——苏步
青
在图1-9中，用点A,B,C,D,E表示教学楼,图
书馆实验楼办公楼的我只建立适当的极坐标系
写出各点的极坐标系ABCDE
解 以点A为极点 , AB所在射
教学楼
体育馆
图1 9
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2
极坐标系的概念
数学的学习方法是严格 、严肃、严密——苏步
青
1.在平面内取一个定点O，叫做极点.
2.过点O引一条射线Ox，叫做极轴.
3.再选定一个长度单位和角度单位及它的正
方向（通常取逆时针方向）.
这样就建立了一个极坐标系.
O
x
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3
极坐标系中点的表示
11
D
C
线为极(轴 单位长度1m为),建 立极坐标(图 系113).
点 A, B ,C , D, E 的极坐标分
别为0,0
,
60,0,
120,
3
,
120m
E
45 0
50m
60 0
AO 60m
60 3m
Bx
60
3,
2
,
50,
3
4
.
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5
1.说出各点所表示的坐标
数学的学习方法是严格 、严肃、严密——苏步
数学的学习方法是严格严肃严密苏步数学的学习方法是严格严肃严密苏步4560m50m单位长度为线为极轴所在射为极点别为的极坐标分在图19中用点abcde表示教学楼图书馆实验楼办公楼的我只建立适当的极坐标系写出各点的极坐标系abcde典型例题1数学的学习方法是严格严肃严密苏步1
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计__算__角__度_的__正__方__向_______；O
(2) 平面内点的极坐标用_(_,__)_表示.
X
极点的极坐标为 (0, ), 可为任意值. ____________________
数学运用
例1、 如图，写出各点的极坐标：
5
6 D• E•
2
4
•C
。
B•
O1
•A
x
4 F•
G
• 5
3
3
有。（ρ，2kπ+θ）
课后作业
思考:
极坐标系中, 点M的坐标为(-10, 坐标中, 不是M点的坐标的是(
3
), )
则下列各
(A) (10,4 ) (B) (-10, 5- ) (C) (102, - ) (D)(210,
3
3
3
3
谢谢观看
共同学习相互提高
F
5
6 B•
A•
2
D
•
。 O1
A(-4,0)
4
B(3, 56)
C(-2,
2
)
x
D(-1, 5)
3
5 4
[小结] (, )
•
•
E
C
3
5
2
3
(-, +)
E(3,- )
6
11 6
F(-4,-
3
)
都是同一点的
(, 2k+) (-, +(2k+1))
极坐标.
数学运用
例3. 已知点Q(, )，分别按下列条件求出点P的坐标：
这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们 是终边相同的角。
4、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
P
[1]给定（,）,就可以在极坐标平 面内确定唯一的一点M
M (ρ,θ)
O
X
[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。 原因在于：极角有无数个。
如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π
那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.
A(4,0)
B(3, )
4
C(2,
2
)
D(5,56 )
E(4.5, )
F(6,4) 3
G(7,5 ) 3
[变式训练 ] 在学案的图上描下列点：
A(3,0)、B(6,2)、C(3,)、D(5,4)、
2
3
E(3,5)、F(4,)、G(6,5)
6
3
[小结]由极坐标描点的步骤： (1) 先按极角找到点所在射线； (2) 在此射线上按极径描点.
(1) P是点Q关于极点O的对称点；
(2) P是点Q关于直线 的对称点.
(3) P是点Q关于极轴的对2称点。
注意点M的极坐标具有多值性.
课堂小结
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素? 极点；极轴；长度单位；计算角度的正方向.
[2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？ 无数，极角有无数个.
[3]一点的极坐标有否统一的表达式？
思考: ①平面上一点的极坐标是否唯一？
若不唯一，那有多少种表示方法？ ②不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
3、点的极坐标的表达式的研究
M
如图：OM的长度为4，
4
O
请说出点M的极坐标的表达式？ 思考：这些极坐标之间有何异同？
4
，π 4
+2kπ
X
极径相同，不同的是极角.
思考：这些极角有何关系？
数学运用
例2、在极坐标系中，
（1）已知两点P（5、），Q（1，），求线段PQ的长度。
4
4
（2）已知两点P（5、5），Q（1，），求线段PQ的长度。
4
,4
（3）说明满足条件 ,0的点M（，）所组成的图形
3
若（ 3）中的R，则 M表示什么样的图形
5、关于负极径 在一般情况下，极径都是取正值。但在某些必要的
O X
这样就建立了一个极坐标系.
2、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M,用表示线段OM的长度, 用表示以射线OX为始边,射线OM为终边所成的 角,叫做点M的极径, 叫做点M的极角,有序数对 (,)就叫做M的极坐标。
M
思考: 对比直角坐标系，比较异同。
(1)要素：_极__点__、_极__轴__、__长__度_单__位__、_
情况下，也允许取负值(<0): 当<0时如 ，何 点规M(定,(,)的)位对置应规的定点：的位置？
点M：在角终边的反向延长线上，且|OM|=||
5 M(-2, 5)
6
6
° O
x
° O
x
•
•M(-2, 5) M (, )
6
小结： 从比较来看, 负极径比正极径多了一个操作,
将射线OP“反向延长”.
2
3•
选修44极坐标系的概念ppt课件
单击此处输入你的副标题，文字 是您思想的提炼，为了最终演示 发布的良好效果，请尽量言简意 赅的阐述观点。
极坐标系的概念
问题情境
情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷， 如何确定它们的位置以便将它们引爆？
情境2：请问到江山怎么走？
问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置， 应创建怎样的坐标系呢？
问题2：如何刻画这些点的位置？
情境2：请问到江山怎么？ 请分析这句话，他告诉了问路人什么？
从这向西走1000米！
出发点 方向 距离
在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。 这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是 极坐标的基本思想。
建构数学
1、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点. 引一条射线OX，叫做极轴。 再选定一个长度单位和计算角度的正方向。 （通常取逆时针方向）.