高中数学选修4—4(坐标系与参数方程)知识点总结

高中数学选修4­4坐标系与参数方程知识点总结第一讲一平面直角坐标系1．平面直角坐标系(1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系．(2)平面直角坐标系：①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系；②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向；③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴，x轴或y 轴统称为坐标轴；④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点；⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一对应关系．(3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点为P，填表：2.设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．二极坐标系(1)定义：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．(3)图示2．极坐标(1)极坐标的定义：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．(2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O的极坐标是(0，θ)，(θ∈R)，若点M的极坐标是M(ρ，θ)，则点M的极坐标也可写成M(ρ，θ＋2kπ)，(k∈Z)．若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系．3．极坐标与直角坐标的互化公式如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，(ρ，θ)．(1)极坐标化直角坐标＝ρcosθ，＝ρsinθＷ.(2)直角坐标化极坐标2＝x2＋y2，θ＝yx（x≠0）.三简单曲线的极坐标方程1．曲线的极坐标方程一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．2．圆的极坐标方程(1)特殊情形如下表：圆心位置极坐标方程图形圆心在极点(0，0)ρ＝r (0≤θ<2π)圆心在点(r ，0)ρ＝2r cos_θ(－π2≤θ<π2)圆心在点(r ，π2)ρ＝2r sin_θ(0≤θ<π)圆心在点(r ，π)ρ＝－2r cos_θ(π2≤θ<3π2)圆心在点(r ，3π2)ρ＝－2r sin_θ(－π<θ≤0)(2)一般情形：设圆心C (ρ0，θ0)，半径为r ，M (ρ，θ)为圆上任意一点，则|CM |＝r ，∠COM ＝|θ－θ0|，根据余弦定理可得圆C 的极坐标方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0即)cos(2002022θθρρρρ--+=r 3．直线的极坐标方程00△OPM 中利用正弦定理可得直线l 的极坐标方程为ρsin(α－θ)＝ρ0sin(α－θ0)．四柱坐标系与球坐标系简介（了解）1．柱坐标系(1)定义：一般地，如图建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为Q ，用(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ<2π)表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标，这时点P 的位置可用有序数组（ρ，θ，z ）(z ∈R )表示．这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z )之间的一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点P 的柱坐标，记作P (ρ，θ，z )，其中ρ≥0，0≤θ<2π，z ∈R ．(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )x ＝ρcos θy ＝ρsin θz ＝z．2．球坐标系(1)定义：一般地，如图建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点，连接OP ，记|OP |＝r ，OP 与Oz 轴正向所夹的角为φ，设P 在Oxy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ，这样点P 的位置就可以用有序数组(r ，φ，θ)表示，这样，空间的点与有序数组(r ，φ，θ)之间建立了一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r ，φ，θ)，叫做点P 的球坐标，记作P (r ，φ，θ)，其中r ≥0，0≤φ≤π，0≤θ<2π．(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与球坐标(r ，φ，θ)之间x ＝r sin φcos θy ＝r sin φsin θz ＝r cos φ．第二讲：一曲线的参数方程1．参数方程的概念1．参数方程的概念(1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数：＝f （t ）＝g （t ）①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．(2)参数的意义：参数是联系变数x ，y 的桥梁，可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．2．参数方程与普通方程的区别与联系(1)区别：普通方程F (x ，y )＝0，直接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有x ，y ＝f （t ）＝g （t ）(t 为参数)间接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有三个变量t ，x ，y ，其中x 和y 都是参数t 的函数．(2)联系：普通方程中自变量有一个，而且给定其中任意一个变量的值，可以确定另一个变量的值；参数方程中自变量也只有一个，而且给定参数t 的一个值，就可以求出唯一对应的x ，y 的值．这两种方程之间可以进行互化，通过消去参数可以把参数方程化为普通方程，而通过引入参数，也可把普通方程化为参数方程．2．圆的参数方程1．圆心在坐标原点，半径为r 的圆的参数方程如图圆O 与x 轴正半轴交点M 0(r ，0)．(1)设M (x ，y )为圆O 上任一点，以OM 为终边的角设为θ，则以θ为参数的圆O 的参数其中参数θ的几何意义是OM 0绕O 点逆时针旋转到OM 的位置时转过的角度．(2)设动点M 在圆上从M 0点开始逆时针旋转作匀速圆周运动，角速度为ω，则OM 0经过时间t 转过的角θ＝ωt ，则以t 为参数的圆O 其中参数t 的物理意义是质点做匀速圆周运动的时间．2．圆心为C (a ，b )，半径为r 的圆的参数方程圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的参数方程可以看成将圆心在原点，半径为r 的圆通过坐3．参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是在同一平面直角坐标系中表示曲线的方程的两种不同形式，两种方程是等价的可以互相转化．(2)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型．参数方程通过消去参数就可得到普通方程．(3)普通方程化参数方程，首先确定变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，其次将x ＝f (t )代入普通方程解出y ＝g (t )(4)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．二圆锥曲线的参数方程1．椭圆的参数方程椭圆的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．(3)中心在(h ，k )的椭圆普通方程为（x －h ）2a 2＋（y －k ）2b 2＝1，则其参数方程为φ是参数)．2．双曲线的参数方程和抛物线的参数方程1．双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1规定参数φ的取值范围为φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠3π2．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2b 2＝12．抛物线的参数方程(1)抛物线y 2＝2px (2)参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．三直线的参数方程1．直线的参数方程经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l t 为参数)．2．直线的参数方程中参数t 的几何意义(1)参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0的距离．(2)当M 0M →与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数．当M 0M →与e 反向时，t 取负数，当M 与M 0重合时，t ＝0．3．直线参数方程的其他形式对于同一条直线的普通方程，选取的参数不同，会得到不同的参数方程．我们把过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线，选取参数t ＝M 0M ＝x 0＋t cos α＝y 0＋t sin α(t 为参数)称为直线参数方程的标准形式，此时的参数t 有明确的几何意义．一般地，过点M 0(x 0，y 0)，斜率k ＝ba (a ，b 为常数)＝x 0＋at ＝y 0＋bt(t 为参数)，称为直线参数方程的一般形式，此时的参数t 不具有标准式中参数的几何意义．四渐开线与摆线（了解）1．渐开线的概念及参数方程(1)渐开线的产生过程及定义把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，铅笔画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．(2)圆的渐开线的参数方程以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设基圆的半径为r ，绳子外端M 的坐标为(x ，y )φ是参数)．这就是圆的渐开线的参数方程．2．摆线的概念及参数方程(1)摆线的产生过程及定义平面内，一个动圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个固定点所经过的轨迹，叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线．(2)半径为r的圆所产生摆线的参数方程为φ是参数)．。

选修4-4坐标系与参数方程资料极坐标与参数方程知识点（一）伸缩变换设点P （x,y ）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅='),0(,),0(,:μμλλϕy y x x 的作用下，点P(x,y)对应到点),(y x P '''，ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 （二）极坐标系的建立在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线OX ，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。

（其中O 称为极点，射线OX 称为极轴。

） （三）极坐标系内一点的极坐标的规定对于平面上任意一点M ，用 ρ 表示线段OM 的长度，用 θ 表示从OX 到OM 的角度，ρ 叫做点M 的极径， θ叫做点M 的极角，有序数对（ρ，θ）就叫做M 的极坐标。

特别强调：由极径的意义可知ρ≥0;当极角θ的取值范围是[0,2π)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标（ρ，θ）建立一一对应的关系 .们约定,极点的极坐标是极径ρ=0,极角是任意角. （四）负极径的规定在极坐标系中，极径ρ允许取负值，极角θ也可以去任意的正角或负角 当ρ＜0时，点M （ρ，θ）位于极角终边的反向延长线上，且OM=ρ。

M （ρ，θ）也可以表示为))12(,()2,(πθρπθρ++-+k k 或 )(z k ∈（五）如果规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示，同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。

（六） 极坐标与直角坐标的互化（1） 互化的前提：①极点与直角坐标的原点重合；②极轴与X 轴的正方向重合；③两种坐标系中取相同的长度单位。

（2）互化公式⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=0,tan 222x x y y x θρ。

（ρ≥0，0≤θ≤π2）（七） 常见的曲线极坐标方程(１)圆心在Ｃ(a ,0)，半径为a 的圆的方程：ρ＝2acos θ (２)圆心在(a,π/2)，半径为a 的圆的方程；ρ＝2asin θ(３)圆心在Ｃ(a ,θ0)，半径为a 的圆的方程；0cos()a ρθθ-＝２（4）圆心在极点，半径为r 的圆的方程：ρ＝r（5）过点(a ,0)且垂直于极轴的直线方程：ρcos θ＝a （6）过点(a , π/2)且平行于极轴的直线方程：ρsin θ＝a (7)过极点且倾斜角为ϕ的直线方程：θ＝ϕ（八）曲线的参数方程在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数t 的函数，⎩⎨⎧==)()(t g y t f x (1) 并且对于t 的每一个允许值，由方程组(1)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程组(1)叫做这条曲线的参数方程.联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数. （九） 求曲线的参数方程 求曲线参数方程一般程序：(1) 设点：建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点M 的坐标； (2) 选参：选择合适的参数；(3) 表示：依据题设、参数的几何或物理意义，建立参数与x ，y 的关系 式，并由此分别解出用参数表示的x 、y 的表达式. (4) 结论：用参数方程的形式表示曲线的方程 （十） 曲线的普通方程相对与参数方程来说，把直接确定曲线C 上任一点的坐标（x,y ）的方程F （x,y ）＝0叫做曲线C 的普通方程. （十一） 参数方程的几个基本问题 (1) 消去参数，把参数方程化为普通方程. (2) 由普通方程化为参数方程. (3) 利用参数求点的轨迹方程. (4) 常见曲线的参数方程.（十二） 几种常见曲线的参数方程 1． 直线的参数方程(ⅰ)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ααs i n c o s 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,)为直线上任意一点.(ⅱ)过点P 0(00,y x )，斜率为a bk =的直线的参数方程是⎩⎨⎧+=+=bty y at x x 00 （t 为参数）（2）圆的参数方程(ⅰ)圆222r y x =+的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos r y r x (ϕ为参数)ϕ的几何意义为“圆心角”(ⅱ)圆22020)()(r y y x x =-+-的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ϕϕsin cos 00r y y r x x （ϕ为参数）ϕ的几何意义为“圆心角” （3）椭圆的参数方程(ⅰ)椭圆12222=+b y a x (0>>b a ) 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （ϕ为参数）(ⅱ)椭圆1)()(220220=-+-by y a x x (0>>b a )的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ϕϕsin cos 00b y y a x x （ϕ为参数）ϕ的几何意义为“离心角” (4)双曲线的参数方程(ⅰ)双曲线12222=-b y a x 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕbtg y a x sec （ϕ为参数）(ⅱ)双曲线1)()(220220=---b y y a x x 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ϕϕbtg y y a x x 00sec （ϕ为参数）ϕ的几何意义为“离心角”（5） 抛物线的参数方程px y 22= (p>0) 的参数方程为⎩⎨⎧==pty pt x 222（t 为参数） 其中t 的几何意义是抛物线上的点与原点连线的斜率的倒数（顶点除外）.极坐标与参数方程练习题一．选择题[C]A ．(2，-7)B ．(1，0)A ．20°B ．70°C ．110°D ．160°[C]A ．相切B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆B[A ]C．5 D．66．设椭圆的参数方程为()πθθθ≤≤⎩⎨⎧==sincosbyax，()11,yxM，()22,yxN是椭圆上两点，M，N对应的参数为21,θθ且21xx<，则 [B]A．21θθ< B．21θθ> C．21θθ≥ D．21θθ≤7.直线：3x-4y-9=0与圆：⎩⎨⎧==θθsin2cos2yx，(θ为参数)的位置关系是[ D ]A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心8.经过点M(1，5)且倾斜角为3π的直线，以定点M到动点P的位移t为参数的参数方程是[ A ]A.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=tytx235211B.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=tytx235211C.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=tytx235211D.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=tytx2352119.参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=+=21yttx (t为参数)所表示的曲线是[ B ]A.一条射线B.两条射线C.一条直线D.两条直线10．已知曲线C的参数方程为)(1232为参数ttytx⎩⎨⎧+==则点)4,5(),1,0(21MM与曲线C的位置关系是[ A ]A．1M在曲线C上，但2M不在。

极坐标知识集结知识元极坐标知识讲解1．极坐标系【知识点的认识】极坐标系与点的极坐标在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系．其中，点O称为极点，射线Ox称为极轴．设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角．那么，有序数对（ρ，θ）称为点M的极坐标．显然，每一个有序实数对（ρ，θ）决定一个点的位置．其中，ρ称为点M 的极径，θ称为点M的极角．由极径的意义可知ρ≥0，当极角θ的取值范围是[0，2π）时，平面上的点（除去极点）就与极坐标（ρ，θ）（ρ≠0）建立一一对应的关系，我们约定，极点的极坐标是极径ρ＝0，极角θ可取任意角．2．简单曲线的极坐标方程【知识点的认识】一、曲线的极坐标方程定义：如果曲线C上的点与方程f（ρ，θ）＝0有如下关系（1）曲线C上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）符合方程f（ρ，θ）＝0；（2）以方程f（ρ，θ）＝0的所有解为坐标的点都在曲线C上．则曲线C的方程是f（ρ，θ）＝0．二、求曲线的极坐标方程的步骤：与直角坐标系里的情况一样①建系（适当的极坐标系）②设点（设M（ρ，θ）为要求方程的曲线上任意一点）③列等式（构造△，利用三角形边角关系的定理列关于M的等式）④将等式坐标化⑤化简（此方程f（ρ，θ）＝0即为曲线的方程）三、圆的极坐标方程（1）圆心在极点，半径为r，ρ＝r．（2）中心在C（ρ0，θ0），半径为r．ρ2+ρ02﹣2ρρ0cos（θ﹣θ0）＝r2．四、直线的极坐标方程（1）过极点，θ＝θ0（ρ∈R）（2）过某个定点垂直于极轴，ρcosθ＝a（3）过某个定点平行于极轴，r sinθ＝a（4）过某个定点（ρ1，θ1），且与极轴成的角度α，ρsin（α﹣θ）＝ρ1sin（α﹣θ1）五、直线的极坐标方程步骤1、据题意画出草图；2、设点M（ρ，θ）是直线上任意一点；3、连接MO；4、根据几何条件建立关于ρ，θ的方程，并化简；5、检验并确认所得的方程即为所求．3．点的极坐标和直角坐标的互化【知识点的认识】坐标之间的互化（1）点的极坐标和直角坐标的互化以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位（如图）．平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为（x，y）和（ρ，θ），则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：，．通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0，0≤θ＜2π．（2）空间点P的直角坐标（x，y，z）与柱坐标（ρ，θ，z）之间的变换公式为：．（3）空间点P的直角坐标（x，y，z）与球坐标（r，φ，θ）之间的变换关系为：．例题精讲极坐标例1.在极坐标系中，已知M（1，），N，则|MN|=（）A．B．C．1+D．2例2.在极坐标系中，已知A（3，），B（4，），O为极点，则△AOB的面积为（）A．3B．C．D．2例3.已知直线l：（t为参数）与曲线ρ2=的相交弦中点坐标为（1，1），则a等于（）A．-B．C．-D．当堂练习单选题练习1.已知曲线C的极坐标方程为：ρ=2cosθ-4sinθ，P为曲线C上的动点，O为极点，则|PO|的最大值为（）A．2B．4C．D．2练习2.在极坐标中，O为极点，曲线C：ρ=2cosθ上两点A、B对应的极角分别为，则△AOB 的面积为（）A．B．C．D．练习3.已知直线l过点P（-2，0），且倾斜角为150°，以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ=15．若直线l交曲线C于A，B两点，则|PA|∙|PB|的值为（）A．5B．7C．15D．20练习4.在平面直角坐标系中，记曲线C为点P（2cosθ-1，2sinθ+1）的轨迹，直线x-ty+2=0与曲线C 交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）A．2B．C．D．4练习5.在极坐标系中，直线ρcosθ=2与圆ρ=4cosθ交于A，B两点，则|AB|=（）A．4B．C．2D．练习6.在同一平面直角坐标系中，将直线x-2y=2按φ：变换后得到的直线l，若以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程为（）A．4ρcosθ-ρsinθ=4B．ρcosθ-16ρsinθ=4C．ρcosθ-4ρsinθ=4D．ρcosθ-8ρsinθ=4填空题练习1.在极坐标系中，圆ρ=1上的点到直线的距离的最大值是___．练习2.在极坐标系中，点（2，）到直线ρsinθ-ρcosθ-6=0的距离为___．练习3.在极坐标系下，已知圆，则圆O的直角坐标方程是_________________练习4.在极坐标系中，若点A（3，），B（3，），则△AOB的面积为___解答题练习1.'在平面直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，曲线C的方程是，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α<π），设P （1，2），直线l与曲线C交于A，B两点．（1）当α=0时，求|AB|的长度；（2）求|PA|2+|PB|2的取值范围．'练习2.'在直角坐标xOy中，直线l的参数方程为{（t为参数）在以O为极点．x轴正半轴为极轴的极坐标系中．曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ-2cosθ．（I）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程：（Ⅱ）若直线l与y轴的交点为P，直线l与曲线C的交点为A，B，求|PA||PB|的值．'。

选修4-4数学坐标系与参数方程一、基础知识与考点梳理坐标系是解决几何问题的工具之一，包括平面直角坐标系和极坐标系。

参数方程是通过参数的变化来描述图形的方程，常用于描述曲线的运动或变化。

考点：1. 平面直角坐标系：了解坐标系的定义、坐标轴的性质、平面点的坐标表示方法以及表示直线和曲线的方程的求解方法。

2. 极坐标系：了解极坐标系的定义、坐标轴的性质、平面点的极坐标表示方法以及表示曲线的方程的求解方法。

3. 参数方程：了解参数方程的定义和解题步骤，熟练掌握参数方程求交点和极值点的方法。

二、典型例题解析例1、已知函数y=x²-2x+3，求其图像与x轴、y轴、直线x=1、y=3所围成的面积。

【解析】：1. 求该函数的根，即当y=0时x满足的条件：x=1±√2。

2. 绘制函数图像。

由于该函数为二次函数，故开口向上，图像开口向上，存在顶点，而顶点的横坐标为x=-b/2a，即x=1。

当x=0时，y=3，即函数在y轴上截距为3，因此y轴上的一点为(0，3)。

3. 按要求计算所求面积=△x=1△x=-∫1√2(y-3)dx+∫√2^3(y-x²+2x)dx=2-2√2/3例2、考虑曲线x=2cost+cos2t，y=2sint-sin2t的形状和特征，求其极坐标方程，指出极点和极轴，找出曲线上各点的对称点。

【解析】：1. 观察曲线方程，发现x的系数为2，y的系数为-1。

而2cos2t+1=2cos²t-2sin²t+1，故有x=4cos²t-1-y。

2. 代入x²+y²=r²，消去t，即得其极坐标方程r=4cos2θ-3。

3. 极点为(θ=r=0)，为对称中心，且曲线轨迹在极轴之上。

4. 若要求曲线上一点的对称点，可先求该点的极坐标系(r,θ)，则其对称点的极坐标系为(r,-θ)，再用x=rcosθ,y=rsinθ回代直角坐标系。

选修4－4 坐标系与参数方程第一节坐标系1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x (λ＞0)，y ′＝μ·y (μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系. 极坐标系的四要素：极点、极轴、长度单位、角度单位和它的正方向.四者缺一不可. (2)极坐标①极径：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ.由极径的意义知ρ＞0时，当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)建立一一对应关系.约定极点的极坐标是极径ρ＝0，极角可取任意角.②极角：以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ. ③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ). 一般不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数. ④极坐标与直角坐标的重要区别：多值性. 3.极坐标与直角坐标的互化设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为： x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0).这就是极坐标与直角坐标的互化公式. 把直角坐标化为极坐标时，一定要明确点所在的象限(即极角的终边的位置)和极角的范围，以便正确求出极角，否则点的极坐标将不唯一. 4.简单曲线的极坐标方程[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系.( ) (2)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是⎝⎛⎭⎫2，－π3.( ) (3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的.( ) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× 二、选填题1.若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( ) A.ρ＝1cos θ＋sin θ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2B.ρ＝1cos θ＋sin θ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π4C.ρ＝cos θ＋sin θ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2 D.ρ＝cos θ＋sin θ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π4 解析：选A ∵y ＝1－x (0≤x ≤1)， ∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)，∴ρ＝1sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2.2.在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫1，π2 B.⎝⎛⎭⎫1，－π2 C.(1,0)D.(1，π)解析：选B 由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，－π2. 3.在极坐标系中，已知点P ⎝⎛⎭⎫2，π6，则过点P 且平行于极轴的直线方程是( ) A.ρsin θ＝1 B.ρsin θ＝ 3 C.ρcos θ＝1D.ρcos θ＝ 3解析：选A 先将极坐标化成直角坐标表示，P ⎝⎛⎭⎫2，π6转化为直角坐标为x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1，即(3，1)，过点(3，1)且平行于x 轴的直线为y ＝1，再化为极坐标为ρsin θ＝1.4.若点P 的直角坐标为(3，－3)，则点P 的极坐标为______.解析：因为点P (3，－3)在第四象限，与原点的距离为23，且OP 与x 轴所成的角为－π6，所以点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫23，－π6. 答案：⎝⎛⎭⎫23，－π6 5.在极坐标系中A ⎝⎛⎭⎫2，－π3，B ⎝⎛⎭⎫4，2π3两点间的距离为________.解析：法一：(数形结合)在极坐标系中，A ，B 两点如图所示，|AB |＝|OA |＋|OB |＝6.法二：∵A ⎝⎛⎭⎫2，－π3，B ⎝⎛⎭⎫4，2π3的直角坐标为A (1，－3)，B (－2,23). ∴|AB |＝(－2－1)2＋(23＋3)2＝6. 答案：6考点一 平面直角坐标系中的伸缩变换 [基础自学过关][题组练透]1.在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y .(1)求点A ⎝⎛⎭⎫13，－2经过φ变换所得点A ′的坐标； (2)求直线l ：y ＝6x 经过φ解：(1)设点A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝y2，∴⎩⎨⎧x ′＝13×3＝1，y ′＝－22＝－1.∴点A ′的坐标为(1，－1).(2)设P ′(x ′，y ′)是直线l ′上任意一点.由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′3，y ＝2y ′.代入y ＝6x ，得2y ′＝6×x ′3＝2x ′，即y ′＝x ′，∴y ＝x 为所求直线l ′的方程.2.将圆x 2＋y 2＝1变换为椭圆x 225＋y 216＝1的一个伸缩变换公式φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，y ′＝μy (λ，μ＞0)，求λ，μ的值.解：将变换后的椭圆x 225＋y 216＝1改写为x ′225＋y ′216＝1，把伸缩变换公式φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，y ′＝μy (λ，μ＞0)代入上式，得λ2x 225＋μ2y 216＝1，即⎝⎛⎭⎫λ52x 2＋⎝⎛⎭⎫μ42y 2＝1， 与x 2＋y 2＝1比较系数，得⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫λ52＝1，⎝⎛⎭⎫μ42＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝5，μ＝4.[名师微点]伸缩变换后方程的求法及注意点(1)平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ＞0)，y ′＝μy (μ＞0)的作用下的变换方程的求法是将⎩⎨⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x )，整理得y ′＝h (x ′)即为所求.(2)解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用求解；二是明确变换前的点P (x ，y )与变换后的点P ′(x ′，y ′)的坐标关系，用方程思想求解. 考点二 极坐标与直角坐标的互化 [师生共研过关][典例精析]在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22(ρ≥0,0≤θ＜2π). (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标. [解] (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 故圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2－x －y ＝0， 直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1， 则直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0. (2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0,1)， 转化为极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2， 故直线l 与圆O 的公共点的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2. [解题技法]1.极坐标方程与直角坐标方程的互化方法(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入直角坐标方程并化简即可. (2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，再应用公式进行代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧. 2.极角的确定方法由tan θ确定角θ时，应根据点P 所在象限取最小正角.在这里要注意：当x ≠0时，θ角才能由tan θ＝yx 按上述方法确定.当x ＝0时，tan θ没有意义，这时可分三种情况处理：当x ＝0，y ＝0时，θ可取任何值；当x ＝0，y ＞0时，可取θ＝π2；当x ＝0，y ＜0时，可取θ＝3π2.[过关训练]已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρ·cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2. (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程. 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以圆O 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4. 因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2， 所以ρ2－22ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2， 所以圆O 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0. (2)将两圆的直角坐标方程相减， 得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1.化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22. 考点三 极坐标方程的应用 [师生共研过关][典例精析](2019·安徽名校联考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为x 2＋(y －2)2＝4.以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，且在两坐标系下长度单位相同.M 为曲线C 1上异于极点的动点，点N 在射线OM 上，且|ON |·|OM |＝20，记点N 的轨迹为C 2. (1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)根据极坐标方程，判断曲线C 1，C 2的位置关系. [解] (1)曲线C 1的直角坐标方程是x 2＋(y －2)2＝4， 即x 2＋y 2＝4y .将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得ρ2＝4ρsin θ. 故曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ. 设N (ρ，θ)，M (ρ1，θ)，由|ON |·|OM |＝20， 即ρ·ρ1＝20，得ρ1＝20ρ.又ρ1＝4sin θ，所以20ρ＝4sin θ，所以ρsin θ＝5. 故曲线C 2的极坐标方程为ρsin θ＝5.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ρsin θ＝5，ρ＝4sin θ得sin 2θ＝54，无实数解，因此曲线C 1和曲线C 2没有公共点，易知曲线C 1是圆，曲线C 2是直线，所以C 1与C 2相离.[解题技法]利用极坐标系解决问题的技巧(1)用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决.(2)已知极坐标方程解答最值问题时，通常可转化为三角函数模型求最值问题，这种方法比在直角坐标系中求最值的运算量小.(3)根据极坐标方程判断曲线的位置关系时，只需联立曲线的极坐标方程得方程组，判断方程组解的情况即可. [提醒] 在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性.[过关训练](2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0. (1)求C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程.解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得C 2的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4. (2)由(1)知C 2是圆心为A (－1,0)，半径为2的圆.由题设知，C 1是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线.记y 轴右边的射线为l 1，y 轴左边的射线为l 2. 由于点B 在圆C 2的外面，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点.当l 1与C 2只有一个公共点时，点A 到l 1所在直线的距离为2，所以|－k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝－43或k ＝0.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－43时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点.当l 2与C 2只有一个公共点时，点A 到l 2所在直线的距离为2，所以|k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝0或k ＝43.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点； 当k ＝43时，l 2与C 2没有公共点.综上，所求C 1的方程为y ＝－43|x |＋2.[课时跟踪检测]1.在平面直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积.解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2， C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2. 故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.2.(2019·黄冈调研)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝2.已知点Q 为曲线C 1上的动点，点P 在线段O Q 上，且满足|O Q |·|OP |＝4，动点P 的轨迹为C 2. (1)求C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△AOB 面积的最大值. 解：(1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，由题意知，|OP |＝ρ，|O Q |＝ρ1＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6.由|O Q |·|OP |＝4得C 2的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6(ρ＞0)，化简得ρ＝3cos θ＋sin θ，因此C 2的直角坐标方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋⎝⎛⎭⎫y －122＝1，但不包括点(0,0). (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB ＞0)， 由题意知，|OA |＝2，ρB ＝2cos ⎝⎛⎭⎫α－π6， 于是△AOB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB＝2cos ⎝⎛⎭⎫α－π6·⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝2⎪⎪⎪⎪sin 2α－34≤32. 当α＝0时，S 取得最大值32.所以△AOB 面积的最大值为32.3.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t(t 为参数，a ＞0).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ. (1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a . 解：(1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2，则C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆. 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中， 得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0. (2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上. 所以a ＝1.4.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(3cos θ＋sin θ)＝5. (1)求圆C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程；(2)在圆上找一点A ，使它到直线l 的距离最小，并求点A 的极坐标. 解：(1)x 2＋(y －1)2＝1即x 2＋y 2－2y ＝0， 因为ρ2＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ，所以圆C 的极坐标方程为ρ2＝2ρsin θ，即ρ＝2sin θ.ρ(3cos θ＋sin θ)＝5即3ρcos θ＋ρsin θ＝5， 因为ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，所以直线l 的直角坐标方程为y ＝－3x ＋5.(2)曲线C ：x 2＋(y －1)2＝1是以C (0,1)为圆心，1为半径的圆.设圆上点A (x 0，y 0)到直线l ：y ＝－3x ＋5的距离最小，所以圆C 在点A 处的切线与直线l ：y ＝－3x ＋5平行. 即直线CA 与l 的斜率的乘积等于－1， 即y 0－1x 0×(－3)＝－1.①因为点A 在圆上，所以x 20＋(y 0－1)2＝1，②联立①②可解得x 0＝－32，y 0＝12或x 0＝32，y 0＝32. 所以点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫－32，12或⎝⎛⎭⎫32，32. 又因为圆上点A 到直线l ：y ＝－3x ＋5的距离最小， 所以点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，32， 点A 的极径为⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫322＝3，极角θ满足tan θ＝3且θ为第一象限角，则可取θ＝π3.所以点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫3，π3. 5.(2019·山西八校第一次联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋5cos α，y ＝4＋5sin α(α为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. (1)求曲线C 的极坐标方程；(2)设l 1：θ＝π6，l 2：θ＝π3，若l 1，l 2与曲线C 分别交于异于原点的A ，B 两点，求△AOB 的面积.解：(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25， 即x 2＋y 2－6x －8y ＝0.∴曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋8sin θ. (2)设A ⎝⎛⎭⎫ρ1，π6，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，π3. 把θ＝π6代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ1＝4＋33，∴A ⎝⎛⎭⎫4＋33，π6. 把θ＝π3代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ2＝3＋43，∴B ⎝⎛⎭⎫3＋43，π3. ∴S △AOB ＝12ρ1ρ2sin ∠AOB＝12()4＋33()3＋43sin ⎝⎛⎭⎫π3－π6 ＝12＋2534.6.(2018·福州四校联考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝2＋sin α(α为参数)，直线C 2的方程为y ＝3x .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程； (2)若直线C 2与曲线C 1交于A ，B 两点，求1|OA |＋1|OB |. 解：(1)由曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝2＋sin α(α为参数)，得曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋(y －2)2＝1，则C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0. 由于直线C 2过原点，且倾斜角为π3，故其极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R ).(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，θ＝π3， 得ρ2－(23＋2)ρ＋7＝0，设A ，B 对应的极径分别为ρ1，ρ2， 则ρ1＋ρ2＝23＋2，ρ1ρ2＝7，∴1|OA |＋1|OB |＝|OA |＋|OB ||OA |·|OB |＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝23＋27. 7.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，曲线C 2：x 28＋y 24＝1.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)射线l ：θ＝α(ρ≥0)与曲线C 1，C 2分别交于点A ，B (且A ，B 均异于原点O )，当0＜α＜π2时，求|OB |2－|OA |2的最小值.解：(1)易知曲线C 1的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ， C 2的极坐标方程为ρ2＝81＋sin 2θ.(2)联立θ＝α(ρ≥0)与C 1的极坐标方程得|OA |2＝4cos 2α， 联立θ＝α(ρ≥0)与C 2的极坐标方程得|OB |2＝81＋sin 2α，则|OB |2－|OA |2＝81＋sin 2α－4cos 2α＝81＋sin 2α－4(1－sin 2α)＝81＋sin 2α＋4(1＋sin 2α)－8 ≥281＋sin 2α×4(1＋sin 2α)－8＝82－8， 当且仅当sin α＝2－1时取等号，所以|OB |2－|OA |2的最小值为82－8.8.(2019·湖南长郡中学模拟)在直角坐标系中，已知曲线M 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋22cos β，y ＝1＋22sin β(β为参数)，在极坐标系中，直线l 1的方程为α1＝θ，直线l 2的方程为α2＝θ＋π2.(1)写出曲线M 的普通方程，并指出它是什么曲线；(2)设l 1与曲线M 交于A ，C 两点，l 2与曲线M 交于B ，D 两点，求四边形ABCD 面积的取值范围.解：(1)由⎩⎨⎧x ＝1＋22cos β，y ＝1＋22sin β(β为参数)，消去参数β，得曲线M 的普通方程为(x －1)2＋(y －1)2＝8，∴曲线M 是以(1,1)为圆心，22为半径的圆. (2)设|OA |＝ρ1，|OC |＝ρ2， ∵O ，A ，C 三点共线，则|AC |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2(*)，将曲线M 的方程化成极坐标方程，得ρ2－2ρ(sin θ＋cos θ)－6＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＋ρ2＝2(sin θ＋cos θ)，ρ1ρ2＝－6， 代入(*)式得|AC |＝28＋4sin 2θ. 用θ＋π2代替θ，得|BD |＝28－4sin 2θ，又l 1⊥l 2，∴S 四边形ABCD ＝12|AC |·|BD |＝12(28＋4sin 2θ)(28－4sin 2θ) ＝249－sin 22θ，∵sin 22θ∈[0,1]，∴S 四边形ABCD ∈[83，14].第二节参数方程1.曲线的参数方程在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎨⎪⎧x ＝f (t )，并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F (x ，y )＝0叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化(1)参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数.(2)普通方程化参数方程：如果x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，则得曲线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t ).参数方程与普通方程互化的注意点(1)在参数方程与普通方程的互化中，一定要注意变量的范围以及转化的等价性.(2)普通方程化为参数方程，参数方程的形式不唯一，即如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同.3.直线、圆与椭圆的普通方程和参数方程[熟记常用结论]经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数).若A ，B 为直线l 上的两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到： (1)t 0＝t 1＋t 22； (2)|PM |＝|t 0|＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22； (3)|AB |＝|t 2－t 1|； (4)|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )中的x ，y 都是参数t 的函数.( )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α⎝⎛⎭⎫α≠π2的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数).参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M 的数量.( )(3)方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆.( )(4)已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM的斜率为 3.( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)× 二、选填题1.曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A.在直线y ＝2x 上B.在直线y ＝－2x 上C.在直线y ＝x －1上D.在直线y ＝x ＋1上解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2.所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1,2)，在直线y ＝－2x 上.2.若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1－4t (t 为参数)与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝m ＋5sin θ(θ为参数)相切，则实数m 的值为( )A.－4或6B.－6或4C.－1或9D.－9或1解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1－4t (t 为参数)，得直线l ：2x ＋y －1＝0，由⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝m ＋5sin θ(θ为参数)，得曲线C ：x 2＋(y －m )2＝5，因为直线l 与曲线C 相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即|m －1|22＋12＝5，解得m ＝－4或m ＝6.故选A.3.在平面直角坐标系中，若曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)，则其普通方程为____________.解析：依题意，消去参数可得x －2＝y －1，即x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝04.已知两曲线的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，则它们的交点坐标为________.解析：消去参数θ得普通方程为x 25＋y 2＝1(0≤y ≤1)，表示椭圆的一部分.消去参数t 得普通方程为y 2＝45x ，表示抛物线，联立两方程，可知两曲线有一个交点，解得交点坐标为⎝⎛⎭⎫1，255.答案：⎝⎛⎭⎫1，2555.曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ＋1(θ为参数)，则曲线C 的普通方程为____________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ＋1(θ为参数)消去参数θ，得y ＝2－2x 2(－1≤x ≤1).答案：y ＝2－2x 2(－1≤x ≤1)考点一 参数方程与普通方程的互化 [基础自学过关][题组练透]1.已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数).(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围. 解：(1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点， 故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4， 解得－25≤a ≤2 5.即实数a 的取值范围为[－25，2 5 ].2.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数)，设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值. 解：直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0. 因为点P 在曲线C 上，设P (2s 2,22s )， 从而点P 到直线l 的距离d ＝|2s 2－42s ＋8|12＋(－2)2＝2(s －2)2＋45，当s ＝2时，d min ＝455.因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上的点P 到直线l 的距离取到最小值455.[名师微点]将参数方程化为普通方程消参的3种方法(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数. (2)利用三角恒等式消去参数.(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数.[提醒] 将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围. 考点二 参数方程的应用 [师生共研过关][典例精析](2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点. (1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程. [解] (1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点.当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点需满足21＋k 2＜1， 解得k ＜－1或k ＞1， 即α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4或α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. 综上，α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α⎝⎛⎭⎫t 为参数，π4＜α＜3π4.设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ， 则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0. 于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α⎝⎛⎭⎫α为参数，π4＜α＜3π4.[解题技法]一般地，如果题目中涉及圆、椭圆上的动点或求最值范围问题时可考虑用参数方程，设曲线上点的坐标，将问题转化为三角恒等变换问题解决，使解题过程简单明了.[过关训练]已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数).(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值.解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数).直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为 d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|， 其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.考点三 参数方程与极坐标方程的综合应用 [师生共研过关][典例精析](2019·柳州模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝2sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6. (1)求曲线C 的极坐标方程以及曲线D 的直角坐标方程；(2)若过点A ⎝⎛⎭⎫22，π4(极坐标)且倾斜角为π3的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，弦MN 的中点为P ，求|AP ||AM |·|AN |的值.[解] (1)由题意可得曲线C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入曲线C 的普通方程可得，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ9＋ρ2sin 2 θ4＝1，即ρ2＝364＋5sin 2θ . 因为曲线D 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6，所以ρ2＝4ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝4ρ⎝⎛⎭⎫32sin θ－12cos θ， 又ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以x 2＋y 2＝23y －2x ， 所以曲线C 的极坐标方程为ρ2＝364＋5sin 2θ，曲线D 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －23y ＝0. (2)由点A ⎝⎛⎭⎫22，π4，得⎩⎨⎧x ＝22cos π4＝2，y ＝22sin π4＝2，所以A (2,2).因为直线l 过点A (2,2)且倾斜角为π3，所以直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t cos π3，y ＝2＋t sin π3(t 为参数)，代入x 29＋y 24＝1可得，314t 2＋(8＋183)t ＋16＝0， 设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－32＋72331，t 1t 2＝6431，所以|AP ||AM |·|AN |＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22|t 1t 2|＝4＋9316.[解题技法]参数方程与极坐标方程综合问题的解题策略(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.[过关训练](2018·合肥质检)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ. (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)已知直线l 过点 P (1,0)且与曲线C 交于A ，B 两点，若|PA |＋|PB |＝5，求直线l 的倾斜角α.解：(1)由ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝2(cos θ＋sin θ)⇒ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)⇒x 2＋y 2＝2x ＋2y ⇒(x －1)2＋(y －1)2＝2， 故曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)由条件可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，代入圆的方程，有t 2－2t sin α－1＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝2sin α， t 1t 2＝－1，|PA |＋|PB |＝|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4sin 2α＋4＝5， 解得sin α＝12或sin α＝－12(舍去)，故α＝π6或5π6.[课时跟踪检测]1.设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数).(1)若直线l 经过圆C 的圆心，求直线l 的斜率；(2)若直线l 与圆C 交于两个不同的点，求直线l 的斜率的取值范围. 解：(1)由已知得直线l 经过的定点是P (3,4)，而圆C 的圆心是C (1，－1)， 所以，当直线l 经过圆C 的圆心时，直线l 的斜率k ＝52.(2)由圆C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数)，得圆C 的圆心是C (1，－1)，半径为2.由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，得直线l 的普通方程为y －4＝k (x －3)(斜率存在)， 即kx －y ＋4－3k ＝0.当直线l 与圆C 交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径， 即|5－2k |k 2＋1＜2，解得k ＞2120.即直线l 的斜率的取值范围为⎝⎛⎭⎫2120，＋∞.2.(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数). (1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率.解：(1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α；当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内， 所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0. 又由①得t 1＋t 2＝－4(2cos α＋sin α)1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.3.(2019·沈阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t(t 为参数).以坐标原点O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝2a cos θ(a ＞0).(1)求曲线C 的直角坐标方程，直线l 的普通方程；(2)设直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，点P (－2,0)，若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求实数a 的值. 解：(1)由ρsin 2θ＝2a cos θ(a ＞0)两边同乘以ρ得， 曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2ax (a ＞0).由直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，消去t ，得直线l 的普通方程为x －y ＋2＝0.(2)将⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t代入y 2＝2ax ，得t 2－22at ＋8a ＝0，由Δ＞0得a ＞4，设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝22a ，t 1t 2＝8a ， ∵|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，∴|t 1－t 2|2＝|t 1t 2|，∴(22a )2－4×8a ＝8a ，∴a ＝5.4.(2019·青岛调研)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数).以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|P Q |的最小值及此时P 的直角坐标. 解：(1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α).因为C 2是直线，所以|P Q |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－2. 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z)时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，12. 5.(2018·辽宁五校联合体模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数).在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ. (1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)若射线l ：y ＝kx (x ≥0)分别交C 1，C 2于A ，B 两点(A ，B 异于原点)，当k ∈(1，3]时，求|OA |·|OB |的取值范围.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α，可得(x －1)2＋y 2＝cos 2α＋sin 2α＝1，即C 1的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1.方程ρcos 2θ＝sin θ可化为ρ2cos 2θ＝ρsin θ (*)，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(*)式，可得x 2＝y ， 所以C 2的直角坐标方程为x 2＝y . (2)因为A ，B 异于原点，所以联立⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2＋y 2＝1，y ＝kx ，可得A ⎝⎛⎭⎫2k 2＋1，2k k 2＋1；联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝x 2，可得B (k ，k 2). 故|OA |·|OB |＝1＋k 2·2k 2＋1·1＋k 2·|k |＝2|k |.又k ∈(1，3]，所以|OA |·|OB |∈(2,23].6.(2019·惠州调研)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2－35t ，y ＝－2＋45t (t 为参数).以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos θ＝tan θ. (1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2交于A ，B 两点，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，－π4，求1|PA |＋1|PB |的值. 解：(1)由曲线C 1的参数方程消去参数t 可得，曲线C 1的普通方程为4x ＋3y －2＝0. 由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得，曲线C 2的直角坐标方程为y ＝x 2.(2)由点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，－π4，可得点P 的直角坐标为(2，－2)，∴点P 在曲线C 1上.将曲线C 1的参数方程⎩⎨⎧x ＝2－35t ，y ＝－2＋45t (t 为参数)代入y ＝x 2，得9t 2－80t ＋150＝0，设t 1，t 2是点A ，B 对应的参数， 则t 1＋t 2＝809，t 1t 2＝503＞0.∴1|PA |＋1|PB |＝|PA |＋|PB ||PA |·|PB |＝|t 1＋t 2||t 1t 2|＝815. 7.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a ，且l 过点A ，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数).(1)求曲线C 1上的点到直线l 的距离的最大值；(2)过点B (－1,1)且与直线l 平行的直线l 1与曲线C 1交于M ，N 两点，求|BM |·|BN |的值. 解：(1)由直线l 过点A ，得2cos ⎝⎛⎭⎫π4－π4＝a ，故a ＝2， 则易得直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.由点到直线的距离公式，得曲线C 1上的点到直线l 的距离d ＝|2cos α＋3sin α－2|2＝|7sin (α＋φ)－2|2，⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝233，∴d max ＝7＋22＝14＋222.即曲线C 1上的点到直线l 的距离的最大值为14＋222. (2)由(1)知直线l 的倾斜角为3π4，则直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋t cos3π4，y ＝1＋t sin 3π4(t 为参数).易知曲线C 1的普通方程为x 24＋y 23＝1.把直线l 1的参数方程代入曲线C 1的普通方程， 得72t 2＋72t －5＝0， 设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝－107， 根据参数t 的几何意义可知|BM |·|BN |＝|t 1t 2|＝107.8.(2019·郑州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－32t ，y ＝m ＋12t (t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝8cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6，直线l 与圆C 交于A ，B 两点.(1)若OA ⊥OB ，求直线l 的普通方程；(2)设P (3，1)是直线l 上的点，若|AB |＝λ|PC |，求λ的值.解：(1)消去参数t ，得直线l 的普通方程为x ＋3y ＝3＋3m ，将圆C 的极坐标方程ρ＝8cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6的两边同时乘ρ，得ρ2＝43ρcos θ＋4ρsin θ，则圆C 的直角坐标方程为(x －23)2＋(y －2)2＝16，所以圆C 的圆心C (23，2)，半径为4，且经过原点O ，数形结合得，若OA ⊥OB ，则直线l 经过圆心C ， 即23＋3×2＝3＋3m ，解得m ＝3， 即直线l 的普通方程为x ＋3y －43＝0. (2)由P (3，1)是直线l 上的点，得m ＝1，此时直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－32t ，y ＝1＋12t (t 为参数)，代入到圆C 的方程(x －23)2＋(y －2)2＝16中，得t 2＋2t －12＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－2，t 1t 2＝－12，所以|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4＋48＝213， 又|PC |＝2，|AB |＝λ|PC |，所以λ＝13.。

坐标系与参数方程 知识点1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩g g 的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M直角坐标(,)x y极坐标(,)ρθ互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩222tan (0)x y yx xρθ=+=≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程曲线 图形 极坐标方程圆心在极点,半径为r 的圆(02)r ρθπ=≤<圆心为(,0)r ,半径为r 的圆2cos ()22r ππρθθ=-≤<圆心为(,)2r π,半径为r 的圆2sin (0)r ρθθπ≤<过极点,倾斜角为α的直线(1)()()R R θαρθπαρ=∈=+∈或 (2)(0)(0)θαρθπαρ=≥=+≥和过点(,0)a ,与极轴垂直的直线cos ()22a ππρθθ=-<<过点(,)2a π,与极轴平行的直线sin (0)a ρθθπ=<<注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44M ππ可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=.二、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。