高二数学新人教版选修A版选修44课件：第1章坐标系整合

x
y
2x 3y
后的图形.
(2)x2＋y2＝1.
(1)变成直线x′＋y′＝0.
【例3】在平面直角坐标系中，求下列方程
所对应的图形经过伸缩变换 (1)2x＋3y＝0；
x
y
2x 3y
后的图形.
(2)x2＋y2＝1.
(1)变成直线x′＋y′＝0.
(2)变成椭圆 x2 y2 1. 49
【例4】求伸缩变换φ，使得曲线4x2＋9y2＝36 变成曲线x′2＋y′2＝4.
平面直角坐标系中任意一点，将横坐标缩短到原来的 1 ，
2
纵坐标伸长到原来的3倍，得到点P′(x′，y′)，那么x与x′，y
与y′的关系如何？
思考5：根据图象变换原理，怎样由正弦曲线y＝sinx
得到曲线y＝3sin2x？ 图象上各点的横坐标缩短到原来的
1
倍，纵坐标伸长
到原来的3倍.
2
思考6：这是一种伸缩变换，一般地，设点P(x，y)为
P的位置更方便？
P(680 5，680 5)
y
北
PC 东
B ГO l A x
位置：西北方向距离中心 680 10m 处.
思考5：一般地，用坐标法解决几何问题的基本 思路是什么？
思考5：一般地，用坐标法解决几何问题的基本 思路是什么？
建立直角坐标系
思考5：一般地，用坐标法解决几何问题的基本 思路是什么？
思考8：在伸缩变换φ中，若λ，μ不同时为1， 则共可产生多少种不同的伸缩变换类型？
λ＞1，u＞1； λ＞1，u＝1； λ＞1，u＜1；
λ＜1，u＞1； λ＜1，u＝1； λ＜1，u＜1；
思考8：在伸缩变换φ中，若λ，μ不同时为1， 则共可产生多少种不同的伸缩变换类型？

φ称为高低角.
3.坐标系是联系数与形的桥梁，利用坐标系可以实现几何
问题与代数问题的相互转化.但不同的坐标系有不同的特点，
在实际应用时，要根据问题的特点选择适当的坐标系，使
研究过程方便、简捷.
提高训练
设地球的半径为R，在球坐标系中，点A的坐标为(R，45°，
70°)，点B的坐标为(R，45°，160°)，求A，B两点间的球
故点 M 的柱坐标为
π
1, ,5
2
2
.
[A
基础达标]
5π
4， ，3
1．点 P 的柱坐标是
4
，则其直角坐标为(
)
A ． 2 2，2 2，3
B ． －2 2，2 2，3
C ． －2 2，－2 2，3
D ． 2 2，－2 2，3
5π
5π
解析：选 C．x＝ρcos θ＝4cos
＝－2 2，y＝ρsin θ＝4sin
π
6
.故点 M 的球坐标为 2 2, ,
6
7π
4

.
B基础训练达标
4．已知点
则|P1P2|＝(



π 5π
π
P1 的球坐标为4， 2， 3 ，P2 的柱坐标为2， 6，1，




)
A． 21
B． 29
C． 30
D．4 2
解析：选 A．设点 P1 的直角坐标为(x1，y1，z1)，

数学选修4-4：坐标系与参数方程
第一章 坐标系
1.1.6 柱坐标系与球坐标系
学习目标
思维脉络
1.了解在柱坐标系、
球坐标系中刻画空间 柱坐标系与球坐标系

实数m的取值范围是m≤ 或m≥5. 3 2
2.四边形ABCD为矩形,P为矩形ABCD所在平面内的任意 一点,求证:PA2+PC2=PB2+PD2.
【证明】如图所示, 以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在 直线为y轴,建立平面直角坐标系,设 A(0,0),B(a,0),C(a,b),D(0,b),P(x,y), 则PA2=x2+y2,PB2=(x-a)2+y2, PC2=(x-a)2+(y-b)2,PD2=x2+(y-b)2.
x ＝ 2 0 1 6 x ， 2与.直将线曲x线=0y,=xs=iπn(,2y0=106围x)成按图φ形: 的y ＝面12 积y 为__变__换__后__的.曲线
【解析】设曲线y=sin(2016x)上任意一点的坐标为 P(x,y),按φ变换后的对应点的坐标为P′(x′,y′),
由代入φy: =xys＝ ＝ in212(0y2106x1， 6得 x),xy得＝ ＝222yy01， ′1=6xsi， nx′,所以y′=
2.伸缩变换的类型与特点 伸缩变换包括点的伸缩变换,以及曲线的伸缩变换,曲 线经过伸缩变换对应的曲线方程就会变化,通过伸缩变 换可以领会曲线与方程之间的数形转化与联系. 特别提醒:实数与数轴上的点是一一对应的,所以一个 实数就能确定数轴上一个点的位置.
类型一 坐标法求轨迹方程 【典例】已知△ABC的边AB长为2a,若BC的中线为定长m, 求顶点C的轨迹方程.
【解析】曲线x2+y2=1经过φ:x 3 x变, 换后,
即
x
代x3 ，入到圆的方程,可得
即所பைடு நூலகம்y 求 新y4 ， 曲线的方程为
y
4y
x2 y2 1， 9 16

由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程ρ=4cos θ(ρ>0). 因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).
1234567
知识建构
综合应用
真题放送
(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0).
由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,
于是△OAB
面积
S=
1 2
|������������|·ρB·sin∠AOB
由直线与圆相切,可知
|1+0-������| 1+1
=
1,
即|1-a|= 2, 解得a=1± 2.
∵a>0,∴a= 2 + 1.
答案: 2 + 1
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综合应用
真题放送
3(2017·北京高考,理11)在极坐标系中,点A在圆ρ2-2ρcos θ-4ρsin
θ+4=0上,点P的坐标为(1,0),则|AP|的最小值为
在直线 x− 3������ − 1 = 0 上,故|AB|=2.
答案:2
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综合应用
真题放送
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6(2018·全国Ⅰ高考,理22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为
y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
C2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-3=0. (1)求C2的直角坐标方程; (2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程. 解:(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4. (2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆. 由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的 射线为l1,y轴左边的射线为l2,由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅 有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点, 或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点. 当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,

������ 6
������������������
������ 3
=
1 2
,
y
=
r������������������φ������������������θ
=
2������������������
������ 6
������������������
������ 3
=
3 2
,
z
=
r������������������φ
=
2������������������
������ 3
=
1,
y
=
r������������������θ
=
2������������������
������ 3
=
3,
z = 7.
所以点 P 的直角坐标为(1, 3,7).
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四 柱坐标系与球坐标系简介
-1-
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S 随堂练习 UITANG LIANXI
课程目标
学习脉络
1.借助具体实例了解柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点 的位置的方法. 2.与空间直角坐标系中刻画点的位置方法相比较,体会它 们的区别与联系.
探究一
探究二
探究三
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探究四
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S 随堂练习 UITANG LIANXI
(2)设点 P 的直角坐标为(x,y,z),

• 思维导引：已知直角坐标系中点M旳直角坐 标公解析式，：设，联点 M代想的入空柱坐求间标为解直(ρ，．角θ，坐z)，标则有系22＝＝与ρρcsi柱ons θ，θ坐， 标系旳转化
2＝z，
解得 ρ＝2 2，θ＝π4，z＝2.
因此，点 M 的柱坐标为2
2，π4，2.
【变式 1】 已知点 P 的柱坐标为8，π6，4，求它的直角坐标．
•考点三 空间坐标系中两点间旳距离
空间坐标系中两点间距离的解法 在球坐标系与柱坐标系中没有研究两点间的距离，应先把它们化成直角坐标，再 运用空间两点间的距离公式 d＝ x2－x12＋y2－y12＋z1－z22求解．
【例题 3】 已知点 M 的柱坐标为
2，π4，3，点
N
的球坐标为
2，π4，π2，求线
得到 x＝2sin 34πcos 34π＝－1，y＝2sin 34πsin 34π＝1，z＝2cos 34π＝－ 2. 因此点 M 的直角坐标为(－1,1，－ 2)．
【变式 2】 设点 M 的直角坐标为 42， 46，－ 22，求它的球坐标． 解析：由变换公式得
r＝ x2＋y2＋z2＝ 126＋166＋24＝1， 由 rcos φ＝z＝－ 22得 cos φ＝－ 22，φ＝34π. 又 tan θ＝yx＝ 3(x＞0，y＞0)，得 θ＝π3. 则 M 的球坐标为1，34π，π3.
φcos θ φsin θ
z＝rcos φ
r2＝x2＋y2＋z2 与tan θ＝xyx≠0
cos
φ＝zr
，可实现点的球坐标与点的
直角坐标的互化．特别注意在由直角坐标求球坐标的时候，θ，φ 应根据点所在的象限 准确取值，才能无误．
【例题 2】 已知点 M 的球坐标为2，34π，34π，求它的直角坐标． 思维导引：已知点 M 的球坐标，求它的直角坐标联想到公式

【分析】
解决这一问题的关键，在于确定遗址 W 与地下管
线 m 的位置关系， 即求出 W 到直线 m 的距离 d 与 100 米进行比较．
【解】 依题意，以 A 点为原点，正东方向和正北方向分别为 x 轴和 y 轴的正方向，建立平面直角坐标系．如下图．
则 A(0,0)，B(－1 000,0)，由|AW|＝400，得
∴水面与抛物线拱顶相距 3 5 3 |y|＋ ＝ ＋ ＝2(m)． 4 4 4 即水面上涨到与抛物线形拱顶相距 2 m 时，船开始不能通航．
【例 2】 用解析法证明：任意四边形两组对边中点连线及两 对角线中点连线三线共点，且互相平分．
【证明】 如下图所示，建立直角坐标系．设四边形各点的坐 标分别为 A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，(d，e)．
2 2 2 2 2
1 1 ∴λ＝3，μ＝2. 1 x′＝3x， ∴ y′＝1y， 2 1 即将椭圆 4x ＋9y ＝36 上的所有点的横坐标变为原来的 ，纵 3
2 2
1 坐标变为原来的 ，即可得到圆 x′2＋y′2＝1. 2
规律技巧
求满足图象变换的伸缩变换， 实际上是让我们求出
变换公式，将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然后比较系数 可得．
2．坐标法的应用 (1)坐标法的基本思想就是在平面上引进“坐标”的概念，建 立平面上的点和坐标之间的一一对应，从而建立曲线的方程，并通 过方程研究曲线的性质． (2)坐标法解决几何问题的“五步骤”： ①建立适当的平面直角坐标系，设动点 M(x，y)； ②根据题设条件，找出动点 M 满足的等量关系式；
第一讲 坐标系
一 平面直角坐标系
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础

[变式训练] 线段 AB 的两个端点分别在两条互相垂 直的直线上滑动，且|AB|＝4，求 AB 中点 P 的轨迹方程．
解：法一 以两条互相垂直的直线分别为 x 轴，y 轴， 建立直角坐标系，如图所示．
设 P(x，y)，由于△OAB 是直角 三角形，P 为 AB 的中点， 所以，|OP|＝12|AB|，
高二数学PPT之人教版高中数学选修4-4课件：第一讲四柱坐标系与球坐标系简介
第一讲 坐标系
一、 平面直角坐标系
[学习目标] 1.体会直角坐标系的作用，掌握平面直 角坐标系中刻画点的位置的方法和坐标法的解题步 骤． 2.会运用坐标法解决实际问题与几何问题 (难 点)． 3.通过具体例子，了解在平面直角坐标系伸缩变 换下平面图形的变化情况及作用(重点)．
则 x2＋y2＝12×4，即 x2＋y2＝4. 故点 P 的轨迹方程为 x2＋y2＝4. 法二 建立直角坐标系，同法一． 设 P(x，y)，A(x1，0)，B(0，y2)， 则 x21＋y22＝16.①
又 P 为 AB 的中点，所以 x1＝2x，y2＝2y. 代入①，得 4x2＋4y2＝16. 故点 P 的轨迹方程为 x2＋y2＝4.
(3)若曲线 C 经过伸缩变换 φ：xy′′＝＝32yx，变换后得 到的曲线方程为 x2－y2＝1，则曲线 C 的方程是 4x2－9y2 ＝1.( )
(4)椭圆1x62＋y92＝1 经过伸缩变换 φ 变换后得到的图形 仍为椭圆，并且焦点一定还在 x 轴上．( )
解析：(1)正确．
x＝3， 3x′＝5x， x′＝5，
(1)DP⊥EF； (2)DP＝EF.
证明：如图所示，以 A 为原点，AB，AD 所在直线
分别为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系．

z
注：坐标与点的位置有关 o
x
y
练习：
1、设点M的直角坐标是(1, 3,3),则它的柱 坐标是？
(2, 4 ,3)
3
2、设点M的柱坐标为(2, ,7),求它的直角坐标。
6
( 3,1,7)
阅读课本P18 了解球坐标系的概念以及在球坐标 系中点的确定
z 设P是空间任意一点，
在oxy平面的射影为Q， 连接OP，记| OP |=r，

z
P(r,φ,θ)
z r cos
oφ r θ
y
x
Q
设点的球坐标为(2，3 ，3 )，求
它的直角坐标.
44

x

2sin
3
4
cos
3
4
2
2 （－
2
2）－1
2

y

2sin
3
4
sin
3
4
2
2 2
2 1 2

z

2cos
高中数学课件
（鼎尚图文*****整理制作）
阅读课本P16---17 了解柱坐标系的定义, 以及如何用 柱坐标系描述空间中的点.
设P是空间任意一点， 在oxy平面的射影为Q，
z P(ρ,θ,Z)
用(ρ ,θ )(ρ ≥0,
0≤θ上的极坐标， θ
y
点P的位置可用有 序数组(ρ ,θ ,z)表示. x
oφ
r
OP与OZ轴正向所
θ
夹的角为φ. 设P x
在Oxo轴xy按平逆面时上的射影为Q，
P(r,φ,θ)
y
Q
针方向旋转到OQ时所转过的最小正角

乐观者在灾祸中看到机会，悲观者在机会中看到灾祸。 有志始知蓬莱近，无为总觉咫尺远。 知道自己目的地的人，才是旅行得最远的人。 对于攀登者来说，失掉往昔的足迹并不可惜，迷失了继续前时的方向却很危险。 人的一生，可以有所作为的时机只有一次，那就是现在。 崇高的理想就象生长在高山上的鲜花。如果要搞下它，勤奋才能是攀登的绳索。 别拿自己的无知说成是别人的愚昧！ 为你制造一些困难和障碍的人未必是你的敌人，把你从困境里拉出来的人未必是你的朋友。不要用眼前的利益得失看人，要看长远，所谓路 遥知马力，日久见人心！ 付出了不一定有回报，但不付出永远没有回报。 觉得自己做得到和做不到，其实只在一念之间。 每个人的一生都有许多梦想，但如果其中一个不断搅扰着你，剩下的就仅仅是行动了。 大器不必晚成，趁着年轻，努力让自己的才能创造最大的价值。 道德修养能达到的最高价段，是认识到我们应该控制我们的思想。--达尔文 天空的高度是鸟儿飞出来的，水无论有多深是鱼儿游出来的。 当你无法从一楼蹦到三楼时，不要忘记走楼梯。要记住伟大的成功往往不是一蹴而就的，必须学会分解你的目标，逐步实施。 善良的人永远是受苦的，那忧苦的重担似乎是与生俱来的，因此只有忍耐。 你既然认准一条道路，何必去打听要走多久。 不要因为众生的愚疑，而带来了自己的烦恼。不要因为众生的无知，而痛苦了你自己。 钱可以帮穷人思维的人解决温饱，却可以帮富人思维的人制造财富。