高二数学新人教版选修A版选修44课件：第1章坐标系1.2极坐标系
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高二数学选修44教案01极坐标系页数:4
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选修44极坐标系的概念ppt课件页数:17
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选修44极坐标系页数:16
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人教高中数学 选修4-4-第一讲-坐标系(实用资料)ppt
设P(x, y)是平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标
x不变，将纵坐标y伸长为原来的3倍，得到点P’(x’, y’),
坐标对应关系为：
x x
y
3
y
②
我们把②式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换.
怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?
y
在正弦曲线y=sinx上任取一
点P(x, y)，保持纵坐标不变，将
故|PA|－ |PB|=340×4=1360
由双曲线定义P点在以A, B为焦点的双曲线
x2 a2
y2 b2
1
上
a=680, c=1020, b2=c2-a2=10202-6802=5×3402.
所以双曲线的方程为： 6x2 82 05y3242 0 1(x0)
用y=－x代入上式，得 x6850,y6850,
例2 圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|=4，过动点P 分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN (M、N分别为切点), 使得PM= 2 PN，试建立适当的坐标系，求动点P的轨迹
方程。
解：以直线O1O2为x轴，线段 O1O2的垂直平分线为y轴，建立平 M 面直角坐标系，
yP NX
则两圆的圆心坐标分别为
坐标法 建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系，
注意以下原则：
(1)如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；
(2)如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；
(3)使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
例1.已知△ABC的三边a, b, c满足yb2+c2=5a2,BE,CF分
别为边AC, CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系探
x
1
人教版高中数学选修4-4 第一讲 坐标系 二 极坐标系 (共34张PPT)教育课件
A. y 1
sin t
1
x t2
C.
1
yt 2
x cos t
B. y 1
cos t
x tan t
D. y 1
tan t
7.极坐标方程
2
arcsin化(为 直0)角坐标方程的形
式是 （ ）
A. x2 y2 x 0
B．y x(1 x)
C. 2x 1 4y2 1 D.．y (x 1)
2.极坐标（,）与(ρ，2kπ+θ)( k )表z 示 同一个点.即一点的极坐标的统一的表达式 为(ρ，2kπ+θ)
3.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除 极 点外,平面内的点和极坐标就可以一一对 应了。
我们学了直角坐标,也学了极坐 标，那么这两种坐标有什么关系呢? 已知点的直角坐标为,如何用极坐标 表示这个点呢?
M (, )
0
x
2
4
5
6
C
1.如图，在极坐标系中，写出点 AF(,6B, ,4C3 ,)D的, G极(坐5, 标53，所) 并在标的出位E置( 72 , ) ,
E D BA
O
X
4 F
3
G 5
3
解：如图可得A,B,C,D的坐标分别为
(4,0)
(2, )
(3, )
(1, 5 )
4
2
6
点E,F,G的位置如图所示
1
4.极坐标方程ρ=cosθ与ρcosθ= 的2 图形是（ ） B
A
B
C
D
解x=：12把，ρc故os排θ=除A，、12 化D；为又直圆角ρ坐=c程os，θ显得然: 过点 (0,1)，又排除C，故选B。
5、若A、B的两点极坐标为A(4,
高中数学第一讲坐标系本讲整合课件新人教A版选修4_4
由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程ρ=4cos θ(ρ>0). 因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).
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知识建构
综合应用
真题放送
(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0).
由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,
于是△OAB
面积
S=
1 2
|������������|·ρB·sin∠AOB
由直线与圆相切,可知
|1+0-������| 1+1
=
1,
即|1-a|= 2, 解得a=1± 2.
∵a>0,∴a= 2 + 1.
答案: 2 + 1
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知识建构
综合应用
真题放送
3(2017·北京高考,理11)在极坐标系中,点A在圆ρ2-2ρcos θ-4ρsin
θ+4=0上,点P的坐标为(1,0),则|AP|的最小值为
在直线 x− 3������ − 1 = 0 上,故|AB|=2.
答案:2
知识建构
综合应用
真题放送
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6(2018·全国Ⅰ高考,理22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为
y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
C2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-3=0. (1)求C2的直角坐标方程; (2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程. 解:(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4. (2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆. 由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的 射线为l1,y轴左边的射线为l2,由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅 有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点, 或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点. 当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,
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知识建构
综合应用
真题放送
(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0).
由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,
于是△OAB
面积
S=
1 2
|������������|·ρB·sin∠AOB
由直线与圆相切,可知
|1+0-������| 1+1
=
1,
即|1-a|= 2, 解得a=1± 2.
∵a>0,∴a= 2 + 1.
答案: 2 + 1
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3(2017·北京高考,理11)在极坐标系中,点A在圆ρ2-2ρcos θ-4ρsin
θ+4=0上,点P的坐标为(1,0),则|AP|的最小值为
在直线 x− 3������ − 1 = 0 上,故|AB|=2.
答案:2
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综合应用
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6(2018·全国Ⅰ高考,理22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为
y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
C2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-3=0. (1)求C2的直角坐标方程; (2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程. 解:(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4. (2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆. 由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的 射线为l1,y轴左边的射线为l2,由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅 有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点, 或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点. 当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,
人教A版高中数学选修4-4课件1.1.2极坐标系
如果规定 0, 0 2 ，那么除极点外，平面内 的点可用唯一的极坐标 ， 表示. 同时，极坐标 ， 表示的点也是唯一确定的.
默认： 0， R. 第9页
负极径
默认： 0， R. 第9页
对称点
思考：设P , 是平面内一点，则点P关于 极轴、极垂线 过极点且垂直于极轴的直线 、 极点对称的点的坐标是什么？
2 B 5， 6
例5 把下列点的直角坐标化成极坐标：
0, 0 2
4 1 A 1, 1； 2 B 4， 3 ;
3 3 3 , 2 2
x cos y sin
x y
2 2
2
y tan x 0 x
例4 把下列点的极坐标化成直角坐标： 14 1 A 4， ； 3
2 B 5， 6
例4 把下列点的极坐标化成直角坐标： 14 1 A 4， ； 3
60m
A教学楼 B体育馆
思考：在极坐标中 4， ， 4 ， 2 ， 4 ， 4 ， 6 6 6 2 表示的点有什么关系？ 4， 6
一般地，极坐标 ， 与 ， 2k k Z 表示 同一个点.平面内一个点的极坐标有无数种表示.
（ ， ） M
x
注意：（1）一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0， 可取任意实数。 （2）当M在极点时，它的极坐标为（0，θ），可取任 意值。
例1 如图，在极坐标系中，写出点A, B , C的极坐标.
A 1， 0
B 4， 2
高中数学 1.2 第一讲 坐标系课件 新人教A版选修44
第十七页，共47页。
3．极坐标与直角坐标的互化 我们把极轴与平面直角坐标系 xOy 的 x 轴的正半轴重合，且两 种坐标系取相同的长度单位，设 P(x，y)是平面上的任意一点，如 下图：
第十八页，共47页。
则有换算公式：
x＝ρcosθ， y＝ρsinθ，
①
ρ＝ x2＋y2， 或tanθ＝yxx≠0. ② 在换算公式①和②中，一般 θ∈[0,2π)就可以了.
第十九页，共47页。
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
第二十页，共47页。
典例剖析 【例 1】 在极坐标系中作出下列各点，并说明每组中各点间 的位置关系． (1)A(2,0)，B(2，π6)，C(2，4π)，D(2，π2)，E(2，32π)，F(2，54π)， G(2，161π)． (2)A(0，π4)，B(1，4π)，C(2，54π)，D(3，54π)，E(3，94π)．
第九页，共47页。
自我 校对
1.极点 极轴 2.极径 极角 3.ρsinθ x2＋y2
第十页，共47页。
思考探究 1 极坐标系与平面直角坐标系有什么区别和联系？ 提示 平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景，而 极坐标系以角这一平面图形为几何背景；极坐标系和平面直角坐标 系都由两个量构成，都是平面坐标系．
ρ2＝x2＋y2， (2)由坐标变换公式tanθ＝yxx≠0， 得 ρ＝ － 32＋－12＝2，
第三十五页，共47页。
tanθ＝－－13＝
3 3.
∵点 M 在第三象限，ρ>0，
∴最小正角 θ＝76π.
因此，点 M 的极坐标是(2，76π)．
第三十六页，共47页。
规律技巧 极坐标与直角坐标互化时，必须符合以下三个条 件：
3．极坐标与直角坐标的互化 我们把极轴与平面直角坐标系 xOy 的 x 轴的正半轴重合，且两 种坐标系取相同的长度单位，设 P(x，y)是平面上的任意一点，如 下图：
第十八页，共47页。
则有换算公式：
x＝ρcosθ， y＝ρsinθ，
①
ρ＝ x2＋y2， 或tanθ＝yxx≠0. ② 在换算公式①和②中，一般 θ∈[0,2π)就可以了.
第十九页，共47页。
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
第二十页，共47页。
典例剖析 【例 1】 在极坐标系中作出下列各点，并说明每组中各点间 的位置关系． (1)A(2,0)，B(2，π6)，C(2，4π)，D(2，π2)，E(2，32π)，F(2，54π)， G(2，161π)． (2)A(0，π4)，B(1，4π)，C(2，54π)，D(3，54π)，E(3，94π)．
第九页，共47页。
自我 校对
1.极点 极轴 2.极径 极角 3.ρsinθ x2＋y2
第十页，共47页。
思考探究 1 极坐标系与平面直角坐标系有什么区别和联系？ 提示 平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景，而 极坐标系以角这一平面图形为几何背景；极坐标系和平面直角坐标 系都由两个量构成，都是平面坐标系．
ρ2＝x2＋y2， (2)由坐标变换公式tanθ＝yxx≠0， 得 ρ＝ － 32＋－12＝2，
第三十五页，共47页。
tanθ＝－－13＝
3 3.
∵点 M 在第三象限，ρ>0，
∴最小正角 θ＝76π.
因此，点 M 的极坐标是(2，76π)．
第三十六页，共47页。
规律技巧 极坐标与直角坐标互化时，必须符合以下三个条 件：
第一讲 坐标系 知识归纳 课件(人教A选修4-4)
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利用问题的几何特征，建立适当坐标系，主要就是兼
顾到它们的对称性，尽量使图形的对称轴(对称中心)正好
是坐标系中的x轴，y轴(坐标原点)． 坐标系的建立，要尽量使我们研究的曲线的方程简 单．
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[例1]
已知圆的半径为6，圆内一定点P离圆心的距离
为4，A、B是圆上的两动点且满足∠APB＝90°，求矩形 APBQ的顶点Q的轨迹方程． [解] 如图，以圆心O为原点，OP
(2)点 M 的直角坐标为(1， 3)，直线 l 过点 M 和原点， ∴直线 l 的直角坐标方程为 y＝ 3x. 曲线 C 的圆心坐标为(1,1)，半径 r＝ 2，圆心到直线 l 的 3－1 距离为 d＝ ，∴|AB|＝ 3＋1. 2
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方程为ρcos θ－2ρsin θ＋7＝0，则圆心到直线的距离为
________．
[解析] 将 ρ＝2cos θ 化为 ρ2＝2ρcos θ，即有
x2＋y2－2x＝0，亦即(x－1)2＋y2＝1. 将 ρcos θ－2ρsin θ＋7＝0 化为 x－2y＋7＝0， |1＋7| 8 5 故圆心到直线的距离 d＝ 2 ＝ . 5 1 ＋－22
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在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程F(ρ，
θ)＝0 如果曲线C是由极坐标(ρ，θ)满足方程的所有点组成的， 则称此二元方程F(ρ，θ)＝0为曲线C的极坐标方程． 由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线 的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处，一条曲线上 的点的极坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足
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3．(2011· 江西高考)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，
高中数学第1章坐标系二第二课时极坐标和直角坐标的互化课件
人教A版数学 ·选修4－4
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二 极坐标系
第二课时 极坐标和直角坐标的互化
人教A版数学 ·选修4－4
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考纲定位
重难突破
1.掌握点的极坐标与直角 重点：点的极坐标与直角
坐标的互化公式.
坐标的互相转化.
2.能进行点的极坐标与直 难点：将点的直角坐标转
角坐标的互相转化.
化为极坐标.
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极坐标与直角坐标互化的应用
[典例] 在极坐标系中，点2，π3和圆(x－1)2＋y2＝1 的圆心的距离为(
)
A. 3
B．2
C. 1＋π92
D. 4＋π92
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[解析] 方法一 ∵(x－1)2＋y2＝1 的圆心坐标为(1,0)，化为极坐标是(1,0)， ∴点(2，π3)到圆心的距离 d＝ ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2cosθ1－θ2 ＝ 22＋12－2×2×1×cosπ3＝ 4＋1－2＝ 3. 方法二 将点(2，π3)化为直角坐标是(1， 3) 又(x－1)2＋y2＝1 的圆心的坐标是(1,0)， ∴点(2，π3)到圆心的距离 d＝ 1－12＋ 3－02＝ 3. [答案] A
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探究二 点的直角坐标化为极坐标
[例 2] 将下列点的直角坐标化为极坐标(ρ≥0，θ∈[0,2π))：
(1)(－2,2)；(2) 23，－12；(3)(0，－ 6)． [解析] (1)由 ρ＝ x2＋y2＝2 2，tan θ＝xy＝－1，且角 θ 的终边经过点(－2,2)，
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二 极坐标系
第二课时 极坐标和直角坐标的互化
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考纲定位
重难突破
1.掌握点的极坐标与直角 重点：点的极坐标与直角
坐标的互化公式.
坐标的互相转化.
2.能进行点的极坐标与直 难点：将点的直角坐标转
角坐标的互相转化.
化为极坐标.
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极坐标与直角坐标互化的应用
[典例] 在极坐标系中，点2，π3和圆(x－1)2＋y2＝1 的圆心的距离为(
)
A. 3
B．2
C. 1＋π92
D. 4＋π92
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[解析] 方法一 ∵(x－1)2＋y2＝1 的圆心坐标为(1,0)，化为极坐标是(1,0)， ∴点(2，π3)到圆心的距离 d＝ ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2cosθ1－θ2 ＝ 22＋12－2×2×1×cosπ3＝ 4＋1－2＝ 3. 方法二 将点(2，π3)化为直角坐标是(1， 3) 又(x－1)2＋y2＝1 的圆心的坐标是(1,0)， ∴点(2，π3)到圆心的距离 d＝ 1－12＋ 3－02＝ 3. [答案] A
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探究二 点的直角坐标化为极坐标
[例 2] 将下列点的直角坐标化为极坐标(ρ≥0，θ∈[0,2π))：
(1)(－2,2)；(2) 23，－12；(3)(0，－ 6)． [解析] (1)由 ρ＝ x2＋y2＝2 2，tan θ＝xy＝－1，且角 θ 的终边经过点(－2,2)，
选修4-4 1.2 极坐标系
y x y , tan ( x 0) x
2 2 2
x=ρcosθ, y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件：
1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.
例1. 将点M的极坐标
2 (5, ) 3
5 5 3 ) 所以, 点M的直角坐标为( , 2 2
( 3, 1)
化成极坐标.
（ ） 解: ( 3 ) 1 2
2 2
1 3 tan 3 3 7 因为点在第三象限, 所以 6 7 因此, 点M的极坐标为( 2, ) 6
练习: 已知点的直角坐标, 求它们 的极坐标.
A ( 3, 3 )
B (1, 3 )
[1]给定（,）,就可以在极坐 标平面内确定唯一的一点M。 [2]给定平面上一点M，但却 有无数个极坐标与之对应。
原因在于：极角有无数个。
如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π 那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一 对应了.
M O (ρ,θ)… X
极坐标和直角坐标的互化
平面内的一个点的直角坐标是(1, 3 )
C (5,0) E ( 3,3)
D (0,2)
π），（3， ） π 例3 已知两点（2，
求两点间的距离.
用余弦定理求 AB的长即可.
3
π 解：∠AOB =
6
B
A
2
推广： 在极坐标下，任意两点P ( 1 ,1 ), P2 ( 2 , 2 ) 1
o
x
之间的距离可总结如下：
2 PP2 12 2 2 1 2 cos(1 2 ) 1
这个点如何用极坐标表示?
人教版数学高二A版选修4-4第一讲二极坐标系
更上一层楼基础·巩固1点P 的直角坐标为(-2,2)，那么它的极坐标可表示为( )A.(2,4π) B.(2,43π)C.(2,45π)D.(2,47π)思路解析： 因为点P(2,2-)在第二象限,与原点的距离为2,且OP 的倾斜角为43π.故选B. 答案：B2图1-2-8是某校园的平面示意图.假设某同学在教学楼处，试以此点为极点建立坐标系，说出教学楼、体育馆、图书馆、实验楼、办公楼的极坐标来.图1-2-8思路分析：如图所示,以AB 所在直线为极轴,点A 为极点建立极坐标系.找AB 、AC 、AD 、AE 的距离为各点的极径,分别以x 轴为始边,AB 、AC 、AD 、AE 为终边找在0到2π之间的极角.解：教学楼点A(0,0),体育馆点B(60,0),图书馆点C(120,3π),实验楼点D(360,2π),办公楼点E(50,43π). 3已知过曲线⎩⎨⎧==θθsin 4,cos 3y x (θ为参数，且0≤θ≤π)上一点P 与原点O 的直线PO 的倾斜角为4π，则P 点坐标是( )A.(3,4)B.(223,22) C.(-3,-4) D.(512,512)思路解析：因为点P 与原点O 的直线PO 的倾斜角为4π，即点P 的极角θ=4π，直接代入已知曲线方程，即可求出点P 的直角坐标来. 答案：B4极坐标系中，点A 的极坐标是(3,6π)，则 (1)点A 关于极轴对称的点是_______________；(2)点A 关于极点对称的点的极坐标是_______________； (3)点A 关于直线θ=2π的对称点的极坐标是_______________.（规定ρ>0,θ∈［0,2π］） 思路解析：如图所示,在对称的过程中极径的长度始终没有变化,主要在于极角的变化.另外,我们要注意：极角是以x 轴正向为始边,按照逆时针方向得到的.答案：(1)(3,611π) (2)(3,67π) (3)(3,65π) 5直线l 过点A(3,3π)、B(3,6π)，则直线l 与极轴夹角等于_______________.思路解析：如图所示,先在图形中找到直线l 与极轴夹角,另外要注意到夹角是个锐角.然后根据点A 、B 的位置分析夹角的大小.∵|AO|=|BO|=3,∠AOB=3π-6π=6π, ∴∠OAB=分 π-12526πππ=-. ∴∠ACO=π-3π-125π=4π.答案：4π6极坐标方程ρ=θθ2sin cos 22+所对应的直角坐标方程为__________. 思路解析：因为ρ=θθ2sin 2cos 2+可化为ρ=θθ2cos 1)cos 2(1-+,即ρ=θcos 12-, 去分母,得ρ=2+ρcos θ.将公式代入得x 2+y 2=(2+x)2.整理可得.答案：y 2=4(x+1)7在极轴上求与点A(24,4π)距离为5的点M 的坐标_________. 思路分析：题目要求是点在极轴上,可设点M(r,0),由于极坐标中有一个量是关于角的,A 、M两点之间的距离为5,所以可以根据余弦定理求出点M 的坐标来. 解：设M(r,0), ∵A(24,4π),∴4cos 28)24(22πr r -+=5,即r 2-8r+7=0.解得r=1或r=7.∴M 点的坐标为(1,0)或(7,0).在极坐标系下,任意两点P 1(ρ1,θ1),P 2(ρ2,θ2)之间的距离可总结如下： |P 1P 2|=)cos(221212221θθρρρ--+,此式可直接利用余弦定理证得.8已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为A(5,6π),B(5,2π),C(34-,3π),判断△ABC 的形状，并求出它的面积.（提示：对于点M(ρ,θ)，当极径小于零时，此时M 点在极角θ终边的反向延长线上，且OM=|ρ|） 思路分析：判断△ABC 的形状，就需要计算三角形的边长或角，在本题中计算边长较为容易，不妨先计算边长.解：∵∠AOB=3π,∠BOC=65π,∠AOC=65π,又∵|OA|=|OB|=5,|OC|=34,∴由余弦定理，得|AC|2=|OA|2+|OC|2-2|OA|·|OC|·cos ∠AOC=52+(34)2-2×5×34·cos65π=133. ∴|AC|=133.同理,|BC|=133. ∴|AC|=|BC|.∴△ABC 为等腰三角形.又|AB|=|OA|=|OB|=5,∴AB 边上的高h=2313|)|21(||22=-AB AC . ∴S △ABC =21×436552313=⨯. 综合·应用9二次方程x 2-ax+b=0的两根为sinθ、cosθ，求点P(a,b)的轨迹方程（其中|θ|≤4π）. 思路分析：这是一道三角函数知识与极坐标知识的综合运用题,尤其对三角要求比较高,还要注意三角函数的有界性,求出轨迹方程的限制条件. 解：由已知,得⎩⎨⎧•=+=,cos sin ,cos sin θθθθb a .①②①2-2②,得a 2=2(b+21). ∵|θ|≤4π,由sin θ+cos θ=2sin(θ+4π),知0≤a ≤2. 由sin θ·cos θ=21sin2θ,知|b|≤21.∴P(a,b)的轨迹方程是a 2=2(b+21)（0≤a ≤2）.10舰A 在舰B 的正东6 km 处，舰C 在舰B 的北偏西30°且与B 相距4 km 处，它们围捕海洋动物.某时刻A 发现动物信号，4秒后B 、C 同时发现这种信号.A 发射麻醉炮弹.设舰与动物均为静止的,动物信号的传播速度是1 km/s,炮弹运行的初速度是3320gkm/s ，其中g 为重力加速度.若不计空气阻力与舰高，问若以舰A 所在地为极点建立极坐标系，求舰A 发射炮弹的极坐标.思路分析：先建立直角坐标系,分析出点P 在双曲线上,又在线段的垂直平分线上,求出交点P 的坐标,然后求出P 、A 两点之间的距离和PA 与x 轴正向所成的角,即可确定点P 的极坐标.解：对舰B 而言,A 、C 两舰位置如图所示.为方便起见,取B 所在直线为x 轴,AB 的中点O 为原点建立平面直角坐标系,则A 、B 、C 三舰的坐标分别为(3,0)、(-3,0)、(-5,32).由于B 、C 同时发现动物信号,记动物所处位置为P,则|PB|=|PC|.于是P 在BC 的中垂线l 上,此直线的倾斜角为30°,则其斜率为tan30°=33,设此直线为y=33x+b,将B,C 的中点(-4,3)代入上式,得b=337,则求得其方程为3x-3y+37=0. 又由A 、B 两舰发现动物信号的时间差为4秒,知|PB|-|PA|=4.∴a=2.又A 、B 的坐标分别为(3,0)、(-3,0),可知c=3.∴549=-.于是知P 应在双曲线4422y x -=1的右支上.由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-,03733,14422y x y x 得直线l 与双曲线的交点P(8,53)即为动物的位置,至此问题便可获解.据已知两点的斜率公式,得直线PA 的倾斜角为60°.于是舰A 发射炮弹的方位角应是北偏东30°.利用两点间的距离公式,可得|PA|=7525)035()38(22+=-+-=10.所以,以舰A 所在地为极点,舰A 发射炮弹的极坐标为(10,3π). 11我们已经熟悉了极点在直角坐标系的原点、极轴与x 轴正向相同的极坐标系下直角坐标与极坐标的互化,那么当极点不在坐标原点,以与x 轴平行的直线的正向为极轴时，又怎么求出点的极坐标来呢？(1)极坐标系的极点在直角坐标系的O′(-3+32,3)，极轴的方向与x 轴正向相同，两个坐标系的长度单位相同，则点P(-3,3)的极坐标是____________.(2)极点在点O′(3,5)处，极轴与y 轴正方向一致，两个坐标系的长度单位相同，求点M(9,-1)的极坐标.思路分析：不管哪种建系原则,我们只要从定义出发,就能够解决问题.需要的量是极径、极点与点P 的距离、极角,从极轴开始逆时针旋转到OP 所得到的角.解：(1)如图(1),在Rt △PAO ′中,O ′A=-3+3-（-3）=3,AP=32-3=3.则tan α=33=1,α=4π,θ=∠x ′O ′P=π+4π=45π, ρ=|O ′P|=6)332()]3()33[(22=-+--+-.在极坐标系O ′x ′中,P 点的极坐标是(6,45π).(2)利用定义求出点的极坐标.如图(2),过O ′点作O ′A ∥Ox 轴,过M 点作MA ∥Oy 轴,与O ′A 交于A 点,连结O ′M,则 ρ=|O ′M|=26)51()39(22=--+-,在Rt △MAO ′中,|O ′A|=9-3=6,cos ∠AO ′M=22, ∴∠AO ′M=4π. ∴θ=23π-4π=45π.（注:极角是极轴按照逆时针方向旋转的）∴M(45,26π).12如图1-2-9所示是某防空部队进行射击训练时的示意图，以O 为极点，OA 所在直线为极轴，已知A 点坐标为(1,0)（千米），直升飞机位于D 点向目标C 发射防空导弹，D 点坐标为(35,2π)，该导弹运行与地面最大高度为3千米，相应水平距离为4千米(即图中E 点)，在地面O 、A 两个观测点测得空中固定目标C 的仰角分别为α和β，tanα=289，tanβ=83，不考虑空气阻力，导弹飞行轨道为一抛物线，那么按轨道运行的导弹能否击中目标C?说明理由.图1-2-9思路分析：能否击中C 点，关键是看一下C 点是否在导弹飞行的轨迹上，需要算出它的轨迹方程来.先把极坐标化为直角坐标，然后建立直角坐标系：以地面为x 轴，以点D 向地面作的垂线为y 轴,并且求出C 点坐标，再验证该点是否满足轨迹方程.解：A 点化为(1,0)，D 点化为(0,35)，由已知E 点为(4,3), 设抛物线为y=a(x-4)2+3.由抛物线过点(0,35)，求得a=121-.所以y=121-(x-4)2+3=121-x 2+32x+35.设C 点坐标为(x 0,y 0)，过C 作CB ⊥Ox 于B ，tan α=28900=x y ,tan β=83100=-x y ,则289x 0=83(x 0-1). 解得x 0＝7，求出y 0＝49,即C 点坐标为(7,49)，经计算121-x 02+32x 0+35=121-·72+32·7+35=49. 所以C 点在抛物线上.故依轨道运行的导弹可以击中目标C.。
2014-2015学年高中数学(人教版选修4-4)配套课件第一讲 1.2 极 坐 标 系
ρsin θ
或
x2＋y2 ，
y x
栏 目 链 接
x≠0.
预习 思考
1.写出下图中各点的极坐标：
栏 目 链 接
π π 3， 2， 4 A________，B________ ，C________. 2
(4,0)
预习 思考
2．回答下列问题： (1)平面上一点的极坐标是否唯一？ (2)若不唯一，那有多少种表示方法？ (3)坐标不唯一是由谁引起的？
第一讲
坐 标 系
1.2 极 坐 标 系
栏 目 链 接
1.理解极坐标的概念. 2.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐
栏 目 链 接
标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.
3.能进行极坐标与平面直角坐标的互化.
栏 目 链 接
1．极坐标系的建立． 在平面上取一个定点 O，自点 O 引一条射线 Ox，同时确
栏 目 链 接
栏 目 链 接
题型1
极坐标的概念
例1 写出下图中各点的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)．
栏 目 链 接
分析：根据极坐标定义，若 M 是平面上任一点， ρ 表示 OM 的长度，θ 表示以射线 Ox 为始边，射线 OM 为终边所成的角，则 M 的极坐标为(ρ，θ)．
π π 3π 解析： A(5,0)， B2，6， C4，2， D5， 4 ， E(2， 4π 5π π)，F5， 3 ，G3.5， 3 .
栏 目 链 接
为直角坐标为( 3，－1)． ∴A、B 两点间的距离 d＝
(
3－ 3)2＋[1－－1]2＝2.
变式 训练
π π 2．已知两点的极坐标 A3，2，B3，6 ，求：
或
x2＋y2 ，
y x
栏 目 链 接
x≠0.
预习 思考
1.写出下图中各点的极坐标：
栏 目 链 接
π π 3， 2， 4 A________，B________ ，C________. 2
(4,0)
预习 思考
2．回答下列问题： (1)平面上一点的极坐标是否唯一？ (2)若不唯一，那有多少种表示方法？ (3)坐标不唯一是由谁引起的？
第一讲
坐 标 系
1.2 极 坐 标 系
栏 目 链 接
1.理解极坐标的概念. 2.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐
栏 目 链 接
标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.
3.能进行极坐标与平面直角坐标的互化.
栏 目 链 接
1．极坐标系的建立． 在平面上取一个定点 O，自点 O 引一条射线 Ox，同时确
栏 目 链 接
栏 目 链 接
题型1
极坐标的概念
例1 写出下图中各点的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)．
栏 目 链 接
分析：根据极坐标定义，若 M 是平面上任一点， ρ 表示 OM 的长度，θ 表示以射线 Ox 为始边，射线 OM 为终边所成的角，则 M 的极坐标为(ρ，θ)．
π π 3π 解析： A(5,0)， B2，6， C4，2， D5， 4 ， E(2， 4π 5π π)，F5， 3 ，G3.5， 3 .
栏 目 链 接
为直角坐标为( 3，－1)． ∴A、B 两点间的距离 d＝
(
3－ 3)2＋[1－－1]2＝2.
变式 训练
π π 2．已知两点的极坐标 A3，2，B3，6 ，求：
选修4-4 1.2 极坐标系
y x y , tan ( x 0) x
2 2 2
x=ρcosθ, y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件：
1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.
例1. 将点M的极坐标
2 (5, ) 3
5 5 3 ) 所以, 点M的直角坐标为( , 2 2
题组一：说出下图中各点的极坐标
2
5 6
C E D O B A X
4
4 3
F
G
5 3
特别规定： 当M在极点时，它的 极坐标=0，可以取任意值。
想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？
④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
三、点的极坐标的表达式的研究
如图：OM的长度为4， 4 请说出点M的极坐标的其 他表达式。 O X 思：这些极坐标之间有何异同？ 极径相同，不同的是极角 思考：这些极角有何关系？ 这些极角的始边相同，终边也相同。也 就是说它们是终边相同的角。
π 2kπ+ 4 本题点M的极坐标统一表达式：4，
C (5,0) E ( 3,3)
D (0,2)
π），（3， ） π 例3 已知两点（2，
求两点间的距离.
用余弦定理求 AB的长即可.
3
π 解：∠AOB =
6
B
A
2
推广： 在极坐标下，任意两点P ( 1 ,1 ), P2 ( 2 , 2 ) 1
o
x
之间的距离可总结如下：
2 PP2 12 2 2 1 2 cos(1 2 ) 1
2018学年高中数学人教A版课件选修4-4 第一章 坐标系 第1讲 2 精品
[再练一题] 1．分别把下列点的极坐标化为直角坐标： (1)2，π6；(2)3，π2；(3)(π，π)．
【解】 (1)∵x＝ρcos θ＝2cosπ6＝ 3， y＝ρsin θ＝2sinπ6＝1， ∴点的极坐标2，π6化为直角坐标为( 3，1)． (2)∵x＝ρcos θ＝3cosπ2＝0， y＝ρsin θ＝3sinπ2＝3， ∴点的极坐标3，π2化为直角坐标为(0,3)．
【思路探究】 欲写出点的极坐标，首先应确定 ρ 和 θ 的值．
【自主解答】 如图所示，关于极轴的对称点为 B2，－π3， 关于直线 l 的对称点为 C2，23π， 关于极点 O 的对称点为 D2，－23π. 四个点 A，B，C，D 都在以极点为圆心，2 为半径的圆上．
1．点的极坐标不是惟一的，但若限制 ρ>0,0≤θ<2π，则除极点外，点的极 坐标是惟一确定的．
1．点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件：(1)极点与直角坐标 系的原点重合；(2)极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合；(3)两种坐标系的长 度单位相同．
2．将点的极坐标(ρ，θ)化为点的直角坐标(x，y)时，运用到求角 θ 的正弦值 和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键．
(2)ρ＝ －22＋－2 32＝4，tan θ＝－－223＝ 3，又由于 θ 为第三象限角，
故 θ＝43π，所以 B 点的极坐标为4，43π.
(3)ρ＝ 02＋－22＝2，θ 为32π，θ 在 y 轴负半轴上，所以 C 点的极坐标为 2，32π.
(4)ρ＝ 32＋02＝3，tan θ＝03＝0，故 θ＝0， 所以 D 点的极坐标为(3,0)．
2．写点的极坐标要注意顺序：极径 ρ 在前，极角 θ 在后，不能颠倒顺序．
高二数学人教版人教A版选修44课件第一讲二极坐标系
(1)∵x＝ρcos θ＝4·cos 53π＝2. y＝ρsin θ＝4sin 53π＝－2 3. ∴A 点的直角坐标为(2，－2 3)．
(2)∵ρ＝ x2＋y2＝ 22＋－22＝2 2， tan θ＝－22＝－1.
且点 B 位于第四象限内，∴θ＝74π.
∴点 B 的极坐标为2
2，74π.
又∵x＝0，y＜0，ρ＝15，
法二：∵ρ1＝3，ρ2＝1，θ1＝－π3，θ2＝23π， 由两点间的距离公式得 |AB|＝ ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2cos θ1－θ2 ＝ 32＋12－2×3×1×cos－π3－23π ＝ 10－6cos π＝ 10＋6 ＝ 16＝4.
法三：将 A3，－π3，B1，23π由极坐标化为直角坐标，
提示：如果我们规定 ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外， 平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)来表示，这时，极坐标 与平面内的点之间就是一一对应的关系．
3．若点 M 的极坐标为(ρ，θ)，则 M 点关于极点、极轴、 过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是什么？ 提示：设点 M 的极坐标是(ρ，θ)，则 M 点关于极点的 对称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M 点关于极轴的对 称点的极坐标是(ρ，－θ)；M 点关于过极点且垂直于极轴的 直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．
2．极坐标与直角坐标的互化
(1)互化的前提条件
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极
轴与x轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位．
(2)互化公式
x＝ ρcos θ ， y＝ ρsin θ ；
tρa2n＝θ＝x2xy＋ yx2≠，0 .
[问题思考]
1．平面上的点与这一点的极坐标是一一对应的吗？为 什么？
(2)∵ρ＝ x2＋y2＝ 22＋－22＝2 2， tan θ＝－22＝－1.
且点 B 位于第四象限内，∴θ＝74π.
∴点 B 的极坐标为2
2，74π.
又∵x＝0，y＜0，ρ＝15，
法二：∵ρ1＝3，ρ2＝1，θ1＝－π3，θ2＝23π， 由两点间的距离公式得 |AB|＝ ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2cos θ1－θ2 ＝ 32＋12－2×3×1×cos－π3－23π ＝ 10－6cos π＝ 10＋6 ＝ 16＝4.
法三：将 A3，－π3，B1，23π由极坐标化为直角坐标，
提示：如果我们规定 ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外， 平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)来表示，这时，极坐标 与平面内的点之间就是一一对应的关系．
3．若点 M 的极坐标为(ρ，θ)，则 M 点关于极点、极轴、 过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是什么？ 提示：设点 M 的极坐标是(ρ，θ)，则 M 点关于极点的 对称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M 点关于极轴的对 称点的极坐标是(ρ，－θ)；M 点关于过极点且垂直于极轴的 直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．
2．极坐标与直角坐标的互化
(1)互化的前提条件
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极
轴与x轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位．
(2)互化公式
x＝ ρcos θ ， y＝ ρsin θ ；
tρa2n＝θ＝x2xy＋ yx2≠，0 .
[问题思考]
1．平面上的点与这一点的极坐标是一一对应的吗？为 什么？
人教A版高中数学选修4-4课件：第一讲 坐标系 (共6份)
乐观者在灾祸中看到机会，悲观者在机会中看到灾祸。 有志始知蓬莱近，无为总觉咫尺远。 知道自己目的地的人，才是旅行得最远的人。 对于攀登者来说，失掉往昔的足迹并不可惜，迷失了继续前时的方向却很危险。 人的一生，可以有所作为的时机只有一次，那就是现在。 崇高的理想就象生长在高山上的鲜花。如果要搞下它，勤奋才能是攀登的绳索。 别拿自己的无知说成是别人的愚昧！ 为你制造一些困难和障碍的人未必是你的敌人，把你从困境里拉出来的人未必是你的朋友。不要用眼前的利益得失看人，要看长远，所谓路 遥知马力，日久见人心！ 付出了不一定有回报，但不付出永远没有回报。 觉得自己做得到和做不到，其实只在一念之间。 每个人的一生都有许多梦想，但如果其中一个不断搅扰着你，剩下的就仅仅是行动了。 大器不必晚成，趁着年轻，努力让自己的才能创造最大的价值。 道德修养能达到的最高价段，是认识到我们应该控制我们的思想。--达尔文 天空的高度是鸟儿飞出来的，水无论有多深是鱼儿游出来的。 当你无法从一楼蹦到三楼时，不要忘记走楼梯。要记住伟大的成功往往不是一蹴而就的，必须学会分解你的目标，逐步实施。 善良的人永远是受苦的，那忧苦的重担似乎是与生俱来的，因此只有忍耐。 你既然认准一条道路，何必去打听要走多久。 不要因为众生的愚疑，而带来了自己的烦恼。不要因为众生的无知，而痛苦了你自己。 钱可以帮穷人思维的人解决温饱，却可以帮富人思维的人制造财富。