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选修44极坐标系

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湘教版高中数学选修4-4课件--1.4极坐标与平面直角坐标的互化(共17张PPT)

湘教版高中数学选修4-4课件--1.4极坐标与平面直角坐标的互化(共17张PPT)

例2. 将点M的直角坐标 化成极坐标.
解:
因为点在第三象限， 所以 因此， 点M的极坐标为
练习: 已知点的直角坐标， 求它们 的极坐标.
例3 已知两点(2，π )，(3，π )
求两点间的距离.3 B 2
解：∠AOB = π
用余弦定理求6
A
AB的长即可.
o
推广：在极坐标下，任意两点P1(1,1
),
其中
2、点 M(ρ，θ) 关于极点的对称点的一个坐标为(-ρ， θ) 或(ρ，π+θ) ；
3、点 M(ρ，θ) 关于极轴的对称点的一个坐标为(ρ， -θ) 或(-ρ，π-θ) ；
4、点 M(ρ，θ) 关于直线
的对称点的一个
坐标为(-ρ，-θ) 或(ρ，π-θ) ；
极坐标系与直角坐标的互化
问题：若点M的直角坐标为
用极坐标如何表示？
在直角坐标系中， 以原点作为极 y M (1，3)
点，x轴的正半轴作为极轴，两种
坐标系中取相同的长度单位.
θ
O
x
设点M的极坐标为(ρ，θ)
点M的极坐标为(2， )
3
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)
直角坐标化为极坐标：
思考：极坐标如何化为直角坐标？ y M (ρ，θ)
P2
(
2
,
2
x
)
之间的距离可总结如下：
P1P2 12 22 212 cos(1 2 )
练习：
1.把点M
的极坐标 (8, 2 ),
3
(4,11 ),
6
(2, )
化成直角坐标；
2.把点P的直角坐标( 6, 2) (2,2)和(0,15) 化成极坐标.

人教版高中数学选修4-4 第一讲 坐标系 二 极坐标系 (共34张PPT)教育课件

人教版高中数学选修4-4 第一讲 坐标系 二 极坐标系 (共34张PPT)教育课件

A. y 1
sin t
1
x t2
C.
1
yt 2
x cos t
B. y 1
cos t
x tan t
D. y 1
tan t
7.极坐标方程
2
arcsin化(为 直0)角坐标方程的形
式是 （ ）
A. x2 y2 x 0
B．y x(1 x)
C. 2x 1 4y2 1 D.．y (x 1)
2.极坐标（,）与(ρ，2kπ+θ)( k )表z 示 同一个点.即一点的极坐标的统一的表达式 为(ρ，2kπ+θ)
3.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除 极 点外,平面内的点和极坐标就可以一一对 应了。
我们学了直角坐标,也学了极坐 标，那么这两种坐标有什么关系呢? 已知点的直角坐标为,如何用极坐标 表示这个点呢?
M (, )
0
x
2
4
5
6
C
1.如图，在极坐标系中，写出点 AF(,6B, ,4C3 ,)D的, G极(坐5, 标53，所) 并在标的出位E置( 72 , ) ,
E D BA
O
X
4 F
3
G 5
3
解：如图可得A,B,C,D的坐标分别为
(4,0)
(2, )
(3, )
(1, 5 )
4
2
6
点E,F,G的位置如图所示
1
4.极坐标方程ρ=cosθ与ρcosθ= 的2 图形是（ ） B
A
B
C
D
解x=：12把，ρc故os排θ=除A，、12 化D；为又直圆角ρ坐=c程os，θ显得然: 过点 (0,1)，又排除C，故选B。
5、若A、B的两点极坐标为A(4,

数学北师大版高中选修4-4极坐标与直角坐标系互化

数学北师大版高中选修4-4极坐标与直角坐标系互化

化成直角坐标. 2 5 解: x 5 cos 3 2 2 5 3 y 5 sin 3 2
θ o x
已知下列点的极坐标，求它们的直 角坐标。
3 A ( 3, ) B ( 2, ) C (2, ) 4 6 2


3 3 11 D ( , ) E (1, ) F (2, ) 4 2 3 2
教学目标:
1、如何建立一种联系，实现极坐标与直 角坐标的转化；
2、联系三角函数的定义，导出极坐标与 直角坐标互化公式的关键．
教学重点及教学难点
教学重点难点： 极坐标与直角坐标互化公式。
M
M
y sin r x cos r
M
M
平面内的一个点的直角坐标是(1, 3 )
这个点如何用极坐标表示?
A ( 3, 3 ) B (1, 3 ) C (5,0)
D (0,2) E ( 3,3) F (2, 2 3)
例3 已知两点 A(2, ), B(3, ) 3 2 求两点间的距离. B 提示: 方法一:余弦定理
o 方法二:两点间距离公式 AFra bibliotekx
小结：
• 注意互化的前提,点所在象限或角的大小. • 借助三角函数定义，将M的极坐标(ρ,θ)转化 为直角坐标(x,y)的关系式:
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位
y
M (1, 3)
θ
O
x
点M的直角坐标为 (1, 3) 设点M的极坐标为(ρ,θ)
M ( 2, π / 3)
1 （ 3 ）2
2 2
3 tan 3 1
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y) 极坐标是 (ρ,θ)

数学极坐标系课件新人教版A版选修44市公开课金奖市赛课一等奖课件

数学极坐标系课件新人教版A版选修44市公开课金奖市赛课一等奖课件
轴重叠; 3. 两种坐标系单位长度相同.
第18页
例1. 将点M极坐标 (5, 2 )
3
化成直角坐标.
解: x 5cos 2 5
32
y 5sin 2 5 3
32 因此, 点M直角坐标为
( 5 , 5 3) 22
第19页
已知下列点极坐标, 求它们直 角坐标。
A (3, )
B (2, )
C (1, )
D(5, 4 )
3
G(6, 5 )
3
B(6, 2 ) E(3, 5 )
6
C(3, )
2
F (4, )
第9页
2
4
5
6
C E
F
A O
B X
4
D
3
G 5
3
第10页
四、极坐标系下点与它极坐标相应
情况
P
[1]给定（,）,就能够在 极坐标平面内拟定唯一一 点M。
M (ρ,θ)…
O
X
[2]给定平面上一点M, 但 却有无数个极坐标与之相 应。
第1页
从这向北 米。
请问：去试验 中学怎么走？
第2页
请分析上面这句话，他告诉了问路人 什么？
从这向北走米！
出发点 方向
距离
在生活中人们经惯用方向和距离来
表示一点位置。这种用方向和距离表示 平面上一点位置思想, 就是极坐标基本 思想。
第3页
一、极坐标系建立:
在平面内取一个定点O, 叫做极点。
引一条射线OX, 叫做极轴。
有。（ρ, 2kπ+θ）
第13页
极坐标和直角坐标互化
第14页
平面内一个点直角坐标是(1, ) 3 这个点如何用极坐标表示?

极坐标与参数方程知识讲解

极坐标与参数方程知识讲解
把上述对应关系的坐标系叫做球坐标系（或空间 极坐标系），有序数组(r , , )叫做点P的球坐标， 记作P(r , , ), 其中r 0,0 ,0 2
x o θ φ
z P(r,φ,θ) r y Q
空间点P的直角坐标( x, y, z )与柱坐标(r , , ) 之间的变换公式为 x r sin cos { y r sin sin z r cos
一般地，建立空间直角坐标系Oxyz, 设P是空间 任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q, 用( , ) ( 0,0 2 )表示点Q在平面Oxy上的极坐 标，这时点P的位置可用有序数组( , , z )( z R) 表示。这样，我们建立了空间的点与有序数组 ( , , z )之间的一种对应关系。
( x, y ) ,极坐标是 ( , ) ( 0 ),于是极坐标与直角坐标的互化
公式如表:
点M
直角坐标 ( x, y )
极坐标 ( , )
互化公式
x cos y sin
2 x2 y 2
tan y ( x 0) x
注：在一般情况下,由 tan 确定角时,可根据点 M 所在的象限最小正角. 极坐标和直角坐标的两组互化公式必须满足三个条件才能使用：(1)原点和极点重合；(2)x 轴正
第 5 页 共 17 页
半轴与极轴重合；(3)两坐标系中长度单位相同．极坐标和直角坐标的互化中，更要注意等价性。 直角坐标方程转化为极坐标方程很方便，直接带入
x cos 即可。反之，则比较麻烦，所以 y sin
直线和圆的极坐标方程对应的直角坐标方程需要记住，直接可以应用。由曲线的极坐标方程判 断曲线的类型，通常是将极坐标方程化为直角坐标方程再去判断．而求曲线的极坐标方程的常 用方法是直接法、转化法和待定系数法． 6、柱坐标系与球坐标系： 柱坐标：

人教版高中数学选修4-4课件：第一讲二极坐标

人教版高中数学选修4-4课件：第一讲二极坐标

4．写出下图中各点的极坐标：
A________，B________，C________． 答案：(4，0) 2，π4 3，π2
5．极坐标系中，与点3，－π3关于极轴所在直线对 称的点的极坐标是________．
答案：3，π3
类型 1 极坐标系与点的极坐标(自主研析) [典例 1] (1)写出下图中各点的极坐标(ρ>0，0≤ θ<2π，且各线之间间距相等)．
法二 将点 A 化为直角坐标为( 3，1)，点 B 化为直 角坐标为( 3，－1)．所以 A、B 两点间的距离
d＝ （ 3－ 3）2＋[1－（－1）]2＝2. (2)如下图所示：
关于极轴的对称点为 B2，－π3. 关于直线 l 的对称点为 C2，23π. 关于极点 O 的对称点为 D2，－23π.
归纳升华 1．点(ρ，θ)关于极轴的对称点是(ρ，－θ)或(ρ，2π－ θ)，关于极点的对称点是(ρ，π＋θ)，关于过极点且垂直 于极轴的直线的对称点是(ρ，π－θ)．
2．求极坐标系中两点间的距离应通过由这两点和极 点 O 构成的三角形求解，也可以运用两点间距离公式|AB| ＝ ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos（θ1－θ2）求解，其中 A(ρ1，θ1)， B(ρ2，θ2)．注意当 θ1＋θ2＝2kπ(k∈Z)时，|AB|＝|ρ1－ρ2|； 当 θ1＋θ2＝2kπ＋π(k∈Z)时，|AB|＝|ρ1＋ρ2|.
2．点的极坐标
一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一 个点．特别地，极点 O 的坐标为(0，θ)(θ∈R)．和直角坐 标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示方法．
如果规定 ρ>0，0≤θ<2π，那么除极点外，平面内的 点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表 示的点也是唯一确定的．

高考数学一轮复习选修44坐标系与参数方程课件新人教A版理


3
cos +sin
(2)C3 是一条过原点且斜率为正值的直线,
C3 的极坐标方程为 θ=α,α∈ 0,
π
2
,
= 2cos,
联立 C1 与 C3 的极坐标方程
= ,
得 ρ=2cos α,即|OA|=2cos α.
3
= cos +sin ,
联立 C1 与 C2 的极坐标方程
= ,
-11知识梳理
1
双基自测
2
3
4
5
2.若原点与极点重合,x 轴正半轴与极轴重合,则点(-5,-5√3)的极
坐标是(
)
π
A. 10, 3
2π
C. -10,- 3
4π
B. 10, 3
2π
D. 10, 3
关闭
设点(-5,-5√3)的极坐标为(ρ,θ),
-5 √3
则 tan θ=
-5
= √3.
4π
因为 x<0,所以最小正角 θ= ,
由圆 C1 与圆 C2 的方程相减可得公共弦所在的直线方程为
4x-2y+1=0.
圆心(1,1)到直线 4x-2y+1=0 的距离 d=
故弦长|AB|=2 1-
3 2
√20
=
√55
5
.
|4-2+1|
42 +(-2)2
=
3
,
√20
-24考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
(2)解 ①圆 O:ρ=cos θ+sin θ,即 ρ2=ρcos θ+ρsin θ,
3
3
得 ρ=cos +sin ,即|OB|=cos +sin ,

高考数学冲刺讲义选修4-4坐标系与参数方程(选考)

解:把直线的参数方程代入圆的方程，得
(1 t ) (1 t ) 4,
2 2
因此t1 1, t2 1
t 1
2
x1 0 分别代入直线方程，得 y1 2 交点为A(0，2)和B(2，0)。
x2 2 y2 0
选修4-4
六.圆锥曲线的参数方程
x x0 lt ,t R y y0 mt
例10:直线过点A(1，3)，且与向量(2，-4)共线: (1)求出直线的参数方程；(2)练习:求点P(-2，-1) 到此直线的距离。
x 1 2t y 3 4t
解:(1)
(2)解第二问的方法很多，最简单的方法就是把直线才 参数方程转换为直线的一般方程，然后利用点到直线 的距离公式求解。 答案: 2 2
又因为(t以s为单位)，得参数方程
x 2 cos 60 t ,t 0 y 2 sin t 60

O
A 2 x
曲线的直角坐标方程常常可以转化为参数方程，转化的 关键是找到一个适当的参数。
曲线的普通方程和参数方程之间有些容易转化，有些则 较困难，有些无法转化。
由此可见，平面上的点与它的极坐标不是一一对应关系。这是极 坐标与直角坐标的 0 ，此时极坐标 ( , ) 对应的点M 的位置下面规则确定:点M在与极轴成 角的射线的反向 延长线上， 它到极点O的距离为 ，即规定当 0 时，点
M ( , ) 就是点M ( , ) 。
选修4-4
坐标系 与 参数方程
选修4-4
一.坐标系 在生产实践中，随着活动范围的扩大和对精度要 求的提高，为了更快，更准确的表述物体的位置， 我们通常要建立新的坐标系，叫做极坐标。

高中新课程数学(新课标人教A版)选修4-4《1.2.1极坐标系的的概念》课件2


2 ＋ y2 x ρ ＝________
2
y tan θ ＝x（x≠0）
在一般情况下，由tan θ确定角时，可根据点M所在的象限
取最小正角．
课前自主学习
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名师点睛
1．极坐标系的概念
极坐标系的建立有四个要素：①极点；②极轴；③长
度单位；④角度单位和它的正方向．四者缺一不可． 极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置． 2．点的极坐标：每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的 位置．其中，ρ是点M的极径，θ是点M的极角． 平面上给定一点，可以写出这个点的无数多个极坐 标．根据点的极坐标(ρ，θ)的定义，对于给定的点 (ρ，θ)有无数个极坐标，可分为两类，一类为(ρ，θ＋
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(2)极坐标系内一点的极坐标的规定： 设M是平面内一点，极点O与点M的距离 极径 ，记为ρ；以极轴Ox |OM|叫做点M的_____
为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点
(ρ，θ) 叫做点M的极坐标，记 极角 ，记为θ.有序数对_________ M的_____ M(ρ，θ) 为___________ ．
极角θ在后，不能把顺序搞错了． (2)点的极坐标是不唯一的，但若限制ρ>0，0≤θ<2π，则除
极点外，点的极坐标是唯一确定的．
课前自主学习
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【变式1】 写出下列各点的极坐标．
解
π A(4，0)，B1， 3
2 13 5 C3， π ，D4， π ，E2， π ， ， 3 12 4
对应关系？
定一点M；反过来，给定平面内一点M，它的极坐标却不是唯 一的．所以极坐标系所在平面内的点与极坐标不能建立一一 对应关系，这是极坐标系与平面直角坐标系的主要区别．

北师大版高中数学选修4-4《点的极坐标和直角坐标的互化》课件(共13张PPT)


3.已知A，B两点的极坐标A(2, )，B(4, 5 )，求A, B两点间
3
6
距离和AOB的面积。
4.已知两点的极坐标A(3, )，B(3, )，求A, B两点间
2
6
距离和AB与极轴正方向的夹角.
课时小结
1.点的极坐标的理解，极坐标的不唯一性； 2.点的极坐标与直角坐标的互化； 3.极坐标系下，两点间距离公式及应用。
(1)当极径 0，以OX为始边作角，在角的终边上截取| OM | ; (2)当极径 0,以OX为始边作角，在角的终边的反向延长线上 截取 | OM || |； （3）极点的极坐标为（0，），其中为任意角。
M
O
X

° O
x
(, )
3.极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
P
[1]给定（,）,就可以在极坐标平
M (ρ,θ)
面内确定唯一的一点M；
O
X
[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。
（，），(， 2k ), (, 2k )(k Z)表示同一点
如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π 那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.
(ρ,θ)
(ρ,θ +2kπ)
(-ρ,θ +π) (-ρ,θ +（2k+1）π)
[3]对称性：
点（，）关于极轴的对称点为(，2 ); 点(, )关于极点对称点为(, ); 点(， )关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点为(, ).

新课探究
1.点的极坐标与直角坐标的互化：
(

R);
(2)点M的直角坐标(x, y)为极坐标(, )的关系式：
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4，π 4
+2kπ
思考1：这些极坐标之间有何异同？ 极径相同，不同的是极角.
思考2：这些极角有何关系？ 这些极角的始边相同，终边也相 同。也就是说它们是终边相同的角。
三、点的极坐标的表达式
关于极径
在一般情况下，极径都是取 正值。但在某些必要的情况
下，也允许取负值(<0)
当<0时，点M(, )的位置规定：
O
X
这样就建立了一个极坐标系.
二、极坐标系的建立
表示线段OM的长度，叫做点M的极径; 表示以OX为始边，射线OM为终边的 角,叫做点M的极角; 有序数对(,)就叫做点M的极坐标.
M.
O
X
强调：不做特殊说明时,≥0,∈R 当
=0时，表示极点(0,) 。
例1： 如图，写 出二七广场、武 警河南总队医院 、银基商贸城的 极坐标
➢都是用有序实数对来表示平面上的点. ➢其中坐标的意义不同. ➢直角系的坐标与平面上点是一一对应的;
极坐标系的坐标与平面上点多对一的;
问题2：有没有办法使极坐标与点之间一一对应？
0, 且0 2（或 ）（除极点外）
四、极坐标与直角坐标的互化
y
互化公式的三个前提条件：
1. 极点与直角坐标系的
原点重合;
O1
x
2. 极轴与直角坐标系的
x轴的正半轴重合;
3. 两种坐标系的单位长 度相同.
四、极坐标与直角坐标的互化
y
P(x,y)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
O1
x
极坐标化为直角坐标：
x cos, y sin
直角坐标化为极坐标：
2 x2 y2 , tan y (x 0)
x
例3：互化下列直角坐标与极坐标
直角坐标 极坐标 直角坐标 极坐标
一、情境引入
问题：视频中 是如何确定目 标位置的？
问题：视频中是如何确定目 标位置的？
十二点方向，距离270米
出发点、方位、距离
请大家描述 二七广场相 对于郑州站 的位置？
二、极坐标系的建立
在平面内取一个定点O，叫做极点.
引一条射线OX，叫做极轴。
再选定一个长度单位和计算角度的正方向
（通常取逆时针方向）.
(2 3,2)
(4, ) 6
(0,1)
(1, )
2
(3, 3) ( 3,1)
(2 3, 5 ) (2, 7 )
6
6
(3,0)
(3, )
(5,0)
(5,0)
小结：
• 建立一个极坐标系需要哪些要素 • 极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正 方向
• 极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？ • 无数，极角有无数个
关于负极径的思考
负极径就是将极角终边反向延长， 用“负”表示“反向 ”。而反向 延长也可以看成是旋转
° O
x
•
M (, )
极径变为负，极角增加
例2：说出下图中当极径取负值时各点
的极坐标
2C
11
6
12
DE
A
O
5
4
3
2
X
B
23
12
思考：与直角坐标系的联系与区别
问题1：极坐标系与直角坐标系的异同是什么？
4
O
x
7
11
6
6
练一练：如图，写出各点的极坐标：
5 6D
•
E
•
2
4
•C B•
O1
•A
x
A(4,0)
B(3, )
4
C(2,
2
)
5 D(5, 6 )
E(4.5, )
F
4 •
3
G
• 5
3
F(6, 4) 3
G(7, 5) 3
三、点的极坐标的表达式
关于极角
如图：OM的长度为4，
M
4
O X
请说出点M的极坐标的表达式？
• 一点的极坐标有否统一的表达式？
• 有，(ρ，2kπ+θ)
• 极坐标与直角坐标的互化
极坐标化直角坐标： 直角坐标化极坐标：
x cos , y sin 2 x2 y2,tan y ( x 0)
x