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6.2 黄金分割教学目标1．知识与技能目标：（1）了解黄金分割的概念，求作任意线段的黄金分割点；（2）进一步理解线段的比，增强知识的综合运用能力．教学重点了解黄金分割的意义，并能作出线段的黄金分割点．教学难点会用线段的黄金分割来解决一些实际问题．教学过程（教师）学生活动设计思路谈一谈同学们，请问你们去过上海吗？参观过东方明珠电视塔吗？谈谈你的感想！上海东方明珠电视塔设计巧妙，整个塔体挺拔秀丽，现请你度量出图中线段AB、BC、AC的长度，并计算线段AB与AC的比值和线段BC与AB的比值．通过观察、思考现实情境，结合学生已有知识，引起学生的注意，激发好奇心和求知欲望，使学生能从数学的角度去探讨存在的奥秘．赏一赏、思一思同学们，你们喜欢芭蕾舞吗？请欣赏一段芭蕾舞！芭蕾舞演员身体各部分之间适当的比例给人以匀称、协调的美感．请你量出图中线段AB、BC、AC的长度，并计算线段AB与AC的比值和线段BC与AB的比值．通过计算，你有何发现？辨一辨观察习题6.1第5题“你最喜欢的矩形”的调查结果，看看多数同学喜欢哪一个矩形？你能说明喜欢的理由吗？不直接介绍黄金矩形的概念，而是让学生观察、思考，交流亲身活动过程，自己感悟到合乎美的矩形和黄金分割的内在联系；讲一讲例1 如图，点B 在线段AC 上，且AC ABAB BC =．设AC ＝1，求AB 的长．解：设AB ＝x ，则BC ＝AC －AB ＝1－x ．由AC ABAB BC =，得 1xx x=－， 即012=-+x x ． 解这个方程，得1512x =－，2512x =－－（不合题意，舍去）． 于是，AB 的长为215-． 教师给出例题，鼓励学生大胆尝试解决问题，师生共同合作完成．九年级的学生已经学习了开平方和一元二次方程，部分学生能够理解这个推算过程，大部分学生只要知道黄金比的准确值是可以求解出来的，只要知道黄金比即可．通过自主探索、合作交流，得出AB 的长及512BC AB AB AC ==－，同时培养学生自主学习的能力，体现教学目标层次化，使不同的学生得到不同的发展．说一说像上图那样，点B 把线段AC 分成两部分，如果较好地发挥了“情景导入”的作用，在好奇心的驱动之下，学生欲罢不能，很容易就产生了继续ACABAB BC =，那么称线段AC 被点B 黄金分割（golden section ），点B 为线段AC 的黄金分割点．AB 与AC （或BC 与AB ）的比值215-称为黄金比．在计算中，通常取它的近似值0.618． 学习、探索新知识的欲望．议一议1．如图：点B 是线段AC 的黄金分割点，线段AC 还有黄金分割点吗？若有，你能找出它吗？这两个黄金分割点有何特点？注：一条线段有两个黄金分割点，它们是对称存在的．2．如果把AC ABAB BC =化为乘积式是怎么样的？结合图形你怎么理解它？3．你对多数同学选择喜欢这个矩形找到原因了吗？长与宽的比为黄金比的矩形称为黄金矩形，这种矩形给人以美感．你能举例说一说生活中有哪些黄金矩形吗？ 这些问题主要考察学生对基本概念的掌握．“线段上有几个黄金分割点？”是一个触及学生最近发展区的问题，其中蕴涵了对称的思想．由计算可知，B 、D 两点在AC 大约三分之一处即可．这为下面生活中的黄金分割作了铺垫，学生自然而然就能心领神会．做一做1．如果点C 是线段AB 的黄金分割点，AC ＞BC ，AB ＝100cm ，则BC ＝_______________cm .2．如图，点B 在线段AC 上（AB ＞BC ）若AB ＝2，BC ＝a －1，则当a 为何值时，点B 是检测学生对本节课知识的掌握程度，考查学生解决问题的实际应用能力，又让学生在实践中体验“学以致用”的道理．线段AC 的黄金分割点？想一想“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．你能举例说明黄金分割在生活中的应用吗？目的是根据所教学生知识面的现状、心理特点，发挥个人的优势，以上网、查阅图书等方式收集材料，拓宽学生知识面；培养了他们对数学学习的兴趣、对知识的向往和积极向上的人生态度；使学生体会黄金分割的应用价值和人文价值，激发学生的创造欲．用一用1．写作业时，要想使写出来的作业看起来美观，写字大小约占格子的（ ）．A ．31B ．43C ．21D ．322．据有关测定，当气温处于人体正常体温的黄金比值时，人体感到最舒适．因此，夏天使用空调时室内温度调到什么温度最合适（人的正常体温36.2℃～37.2℃）？3．在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比值越接近0.618，越给人以美感．A 女士原本身体躯干（脚底到肚脐的长度）与身高的比为0.60，她的身高为1.60m ，她应该选择穿多高的高跟鞋学生分组讨论交流，并将结果进行展示． 学生了解了黄金分割的相关知识以后，可以更深刻地体会黄金分割在大自然中的广泛应用，体会大自然的神奇和数学的美，使学生既学到了数学知识，又欣赏到了数学美，真是一举两得，妙趣横生！。
黄金分割一．选择题（共12小题）1．下列说法不正确的是（）A．对角线互相垂直平分且有一个角为直角的四边形是正方形B．3x2﹣4x+1＝0的两根之和为43ABC．若点P是线段AB的黄金分割点（P A＞PB），则P A=√5−12D．当a+c＝b时，一元二次方程ax2+bx+c＝0必有一根为1【分析】A．根据正方形的判定方法即可判断；B．根据一元二次方程根与系数的关系即可判断；C．根据黄金分割的定义进行计算即可判断；D．将b＝a+c代入方程，解方程即可判断．【解答】解：A．对角线互相垂直平分且有一个角为直角的四边形是正方形．所以A选项正确，不符合题意；B.3x2﹣4x+1＝0的两根之和为4．3所以B选项正确，不符合题意；C．点P是线段AB的黄金分割点（P A＞PB），则P A2＝PB•AB＝（AB﹣P A）AB＝AB2﹣P A•AB即P A2+P A•AB﹣AB2＝0AB解得P A=√5−12所以C选项正确，不符合题意；D．将b＝a+c代入方程，得ax2+（a+c）x+c＝0，必有一根为﹣1．解得x1＝﹣1，x2=−ca所以D选项符号题意．故选：D．【点评】本题考查了黄金分割、一元二次方程的解、根与系数的关系、正方形的判定，解决本题的关键是掌握以上知识，并综合运用．2．已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP．记以AP为一边的正方形面积为S1，以BP、AB为邻边矩形的面积为S2，则（）A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．S1、S2大小不能确定【分析】根据黄金分割的概念知AP：AB＝PB：AP，变形后求解即可得出答案．【解答】解：根据黄金分割的概念得：AP：AB＝PB：AP，即AP2＝PB•AB，则S1：S2＝AP2：（PB•AB）＝1，即S1＝S2．故选：B．【点评】此题主要考查了线段黄金分割点的概念，根据概念表示出比例式，再结合正方形的面积进行分析计算．3．《周髀算经》原名《周髀》，是中国最古老的天文学和数学著作，约成书于公元前1世纪，主要阐明当时的盖天说和四分历法．唐初规定它为国子朱实监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（）A．黄金分割B．垂径定理C．余弦定理D．勾股定理【分析】先证出四边形ABDG和四边形EFCH是正方形，分别用两种方法求出大正方形的面积，即可得出答案．【解答】解：如图，根据题意可知：△ABC、△BDH、△DEG、△AGF是全等的四个直角三角形，∴AD＝DC＝BC＝AB，∠DAH+∠BAE＝∠DAH+∠ADH＝180°﹣90°＝90°，∴四边形ABDG是正方形，∵∠BHD＝∠DEG＝∠GF A＝∠ACB＝90°，∴∠EHC＝90°，∵CH＝HE＝EF＝FC＝b﹣a，∴四边形EFCH是正方形，∴大正方形的面积是c×c＝c2，大正方形的面积也可以是：ab+（b﹣a）2＝2ab+a2﹣2ab+b2＝a2+b2，4×12∴a2+b2＝c2，即在直角三角形中，两直角边（a、b）的平方和等于斜边（c）的平方．所以它解决的数学问题是勾股定理．故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的证明，主要考查学生观察图形的能力和计算能力，勾股定理的证明就是利用图形的面积进行说明，题目比较好．4．黄金分割数√5−1是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算√5−1的值（）2A．在1.1和1.2之间B．在1.2和1.3之间C．在1.3和1.4之间D．在1.4和1.5之间【分析】根据√5≈2.236，可得答案．【解答】解：∵√5≈2.236，∴√5−1≈1.236，故选：B ．【点评】本题考查了估算无理数的大小，利用√5≈2.236是解题关键．5．如图，点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），下列结论错误的是（ ）A ．BCAC =ACABB ．BC 2＝AB •ACC ．ACAB =√5−12D ．BCAC ≈0.618【分析】根据根据黄金分割的定义：如图所示，把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ）， 且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC ＝AC ：BC ）， 叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点． 其中AC =√5−12AB ≈0.618AB ，即可得结论． 【解答】解：设AB 为整体1，AC 的长为x ，则BC ＝1﹣x ， 根据黄金分割定义，得BC AC =ACAB ， 所以选项A 正确，不符合题意； ∵AC 2＝AB •BC ，所以B 选项错误，符合题意； x 2＝1×（1﹣x ） 整理，得x 2+x ﹣1＝0， 解得x 1=√5−12，x 2=−1−√52（不符合题意，舍去）． ∴ACAB =√5−12所以C 选项正确，不符合题意； ∵BC AC=AC AB=√5−12≈0.618所以D 选项正确，不符合题意． 故选：B ．【点评】本题考查了黄金分割，掌握黄金分割的定义是解题关键．6．如图，在黄金矩形ABCD 中，四边形ABFG 、GHED 均为正方形，ABAD =CEDE ，现将矩形ABCD 沿AE 向上翻折，得四边形AEC 'B '，连接BB '，若AB ＝2，则线段BB '的长度为（ ）A ．2√15+2√33B ．√15+√33C ．2D ．3+√52【分析】BB ′交AE 于M ，作EH ⊥AB ′于H ，连接B ′E ，如图，利用黄金矩形的定义得到BC =√5+1，再利用正方形的性质得到AG ＝AB ＝2，DE ＝DG =√5−1，则利用勾股定理得到AE ＝2√3，接着利用折叠的性质得到C ′B ′＝CB =√5+1，EC ′＝EC ＝3−√5，AB ′＝AB ＝2，BB ′⊥AE ，B ′M ＝BM ，则EH ＝C ′B ′=√5+1，然后利用面积法求出B ′M ，从而得到BB ′的长． 【解答】解：BB ′交AE 于M ，作EH ⊥AB ′于H ，连接B ′E ，如图， ∵四边形ABCD 为黄金矩形， ∴AB =√5−12BC ， ∴BC =√5−12=√5+1，∵四边形ABFG 、GHED 均为正方形， ∴AG ＝AB ＝2，DE ＝DG =√5+1﹣2=√5−1， 在Rt △ADE 中，AE =√(√5−1)2+(√5+1)2=2√3， ∵矩形ABCD 沿AE 向上翻折，得四边形AEC 'B '，∴C ′B ′＝CB =√5+1，EC ′＝EC ＝3−√5，AB ′＝AB ＝2，BB ′⊥AE ，B ′M ＝BM ， 易得四边形B ′C ′EH 为矩形，则EH ＝C ′B ′=√5+1， ∵12B ′M ×AE =12AB ′×EH ，∴B ′M =√5+1)2√3=√15+√33， ∴BB ′＝2B ′M =2√15+2√33． 故选：A ．【点评】本题考查了黄金分割：黄金矩形的宽与长之比确切值为√5−12．也考查了正方形、矩形和折叠的性质．7．黄金分割比在实际生活中有广泛的应用，比如在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感，按此比例，如果雕像的高为2m，它的下部为x米，则下列关于x的方程正确的是（）A．x2+2x﹣4＝0 B．x2﹣2x﹣4＝0 C．x2﹣6x+4＝0 D．x2﹣6x﹣4＝0【分析】设它的下部为x米，利用雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比可得2−xx =x2，然后把方程化为整式方程即可．【解答】解：设它的下部为x米，根据题意得2−xx =x2，整理得x2+2x﹣4＝0．故选：A．【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．8．如图，已知线段AB，过点B作AB的垂线，并在垂线上取BC=12AB；连接AC，以点C为圆心，CB为半径画弧，交AC于点D；再以点A为圆心，AD为半径画弧，交AB于点P，则APAB的值是（）A．√5−12B．√5+12C．3−√52D．√22【分析】设AB＝2a，BC＝a，则AC=√5a，利用勾股定理求得AP的长，即可得出APAB的值．【解答】解：∵BC⊥AB，∴∠ABC＝90°，设AB＝2a，BC＝a，则AC=√5a，∵CD＝BC＝a，∴AD＝AC﹣CD＝（√5−1）a，∵AP＝AD，∴AP＝（√5−1）a，∴APAB =√5−12．故选：A．【点评】本题考查了勾股定理以及黄金分割的运用，正确掌握勾股定理是解题的关键．9．如图，顶角为36°的等腰三角形，其底边与腰之比等于k，这样的三角形称为黄金三角形，已知腰AB ＝1，△ABC为第一个黄金三角形，△BCD为第二个黄金三角形，△CDE为第三个黄金三角形以此类推，第2020个黄金三角形的周长（）A．k2018B．k2019C．k20182+kD．k2019（2+k）【分析】根据相似三角形对应角相等，对应边成比例，求出前几个三角形的周长，进而找出规律：第n个黄金三角形的周长为k n﹣1（2+k），从而得出答案．【解答】解：∵AB＝AC＝1，∴△ABC的周长为2+k；△BCD的周长为k+k+k2＝k（2+k）；△CDE的周长为k2+k2+k3＝k2（2+k）；依此类推，第n个黄金三角形的周长为k n﹣1（2+k），∴第2020个黄金三角形的周长为k2019（2+k）．故选：D．【点评】本题考查了黄金三角形，用到的知识点是黄金分割的定义和相似三角形的性质，找出各个三角形周长之间的关系，得出规律是本题的关键．10．已知点P是线段MN的黄金分割点（MP＞PN），如果线段MN＝4，那么MP的长是（）A．√5−1B．3−√5C．2√5−1D．2√5−2MN，把MN＝2代入计算即可．【分析】根据黄金分割的概念得到MP=√5−12MN【解答】解：MP=√5−12×4=√5−12＝2√5−2．故选：D．【点评】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；较长线段倍．是整个线段的√5−1211．已知如图，线段AB＝60，AD＝13，DE＝17，EF＝7，请问在D，E，F，三点中，哪一点最接近线段AB的黄金分割点（）A．D点B．E点C．F点D．D点或F点【分析】先计算出BD＝60﹣13＝47，AE＝BE＝30，AF＝37，则E点为AB的中点，则计算BD：AB和AF：AB，然后把计算的结果与0.618比较，则可判断哪一点最接近线段AB的黄金分割点．【解答】解：∵线段AB＝60，AD＝13，DE＝17，EF＝7，∴BD＝60﹣13＝47，AE＝BE＝30，AF＝37，∴BD：AB＝47：60≈0.783，AF：AB＝37：60＝0.617，∴点F最接近线段AB的黄金分割点．故选：C．【点评】本题考查了黄金分割的定义：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．中AC=√5−1212．如图，线段AB＝1，点P1是线段AB的黄金分割点（且AP1＜BP1，即P1B2=AP1⋅AB），点P2是线段AP1的黄金分割点（AP2＜P1P2），点P3是线段AP2的黄金分割点（AP3＜P2P3），…，依此类推，则线段AP2020的长度是（）A ．(3−√52)2020B ．(√5−12)2020C ．(12)2020D ．(√5−2)1010【分析】根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值√5−12叫做黄金比进行解答即可． 【解答】解：根据黄金比的比值，BP 1=√5−12， 则AP 1＝1−√5−12=3−√52，AP 2＝（3−√52）2， AP 3＝（3−√52）3，…依此类推，则线段AP 2020的长度是（3−√52）2020故选：A ．【点评】本题考查的是黄金分割的知识，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．二．填空题（共10小题）13．已知点P 是线段AB 的黄金分割点，且较长的线段AP 的长等于10厘米，那么较短的线段BP 的长为 5√5−5 厘米． 【分析】根据黄金比值是√5−12计算，得到答案． 【解答】解：设线段AB 的长为x ，∵点P 是线段AB 的黄金分割点，较长的线段AP 的长等于10厘米， ∴√5−12x ＝10， 解得，x ＝5√5+5，∴较短的线段BP 的长＝5√5+5﹣10＝5√5−5（厘米）， 故答案为：5√5−5．【点评】本题考查的是黄金分割的概念和黄金比值，掌握黄金比值是√5−12是解题的关键．14．A、B两点都在反比例函数y=kx（k＞0）位于第一象限内的图象上，过A、B两点分别作坐标轴的垂线，垂足分别为C、D和E、F，设AC与BF交于点G，已知四边形OCAD和CEBG都是正方形．设FG、OC 的中点分别为P、Q，连接PQ．给出以下结论：①四边形ADFG为黄金矩形；②四边形OCGF为黄金矩形；③四边形OQPF为黄金矩形，以上结论中，正确的是②．【分析】根据题意设BE＝a，AD＝b，求出ba =√5+12，分别求出四边形ADFG、四边形OCGF、四边形OQPF的宽与长的比，根据黄金矩形的概念判断即可．【解答】解：∵OCAD和CEBG都是正方形．∴设BE＝a，AD＝b，∴B（a+b，a），A（b，b），∵A、B两点都在反比例函数y=kx，∴a（a+b）＝b•b，解得，ba =√5+12，①四边形ADFG的宽与长的比=b−ab =1−ab=3−√52，则四边形ADFG不是黄金矩形；②四边形OCGF的宽与长的比=ab =√5−12，则四边形OCGF为黄金矩形；③四边形OQPF的宽与长的比=12ba=1+√54，则四边形OQPF不是黄金矩形；故答案为：②．【点评】本题考查反比例函的图象和性质，矩形的性质；熟练掌握长方形的性质，平面内点的坐标和边长的关系是解题的关键．15．如图，已知舞台AB 长10米，如果报幕员从点A 出发站到舞台的黄金分割点P 处，且AP ＜BP ，那么报幕员应走 (15−5√5) 米报幕．【分析】根据黄金分割的定义，先求出PB =√5−12AB ，再根据AP ＝AB ﹣PB 计算即可得解．【解答】解：∵点P 为AB 的黄金分割点，AP ＜BP ， ∴PB =√5−12AB =√5−12×10＝5√5−5（米），∴AP ＝AB ﹣PB ＝10﹣（5√5−5）＝15﹣5√5（米）， 故答案为（15﹣5√5）．【点评】本题考查了黄金分割的应用．关键是明确黄金分割所涉及的线段的比．16．线段AB 为80cm ，点C 为线段AB 的黄金分割点，线段AC 的长度为 40（√5−1）cm 或40（3−√5）cm ．【分析】根据黄金分割的定义：如图所示，把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ）， 且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC ＝AC ：BC ）， 叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点． 分AC ＞BC 或AC ＜BC 两种情况讨论求解即可． 【解答】解：根据 黄金分割定义，得如图所示，把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ）， 且使AC 是AB 和BC 的比例中项． 设AC 的长为xcm ，则BC ＝（80﹣x ）cm ． ∴AC 2＝AB •BC 即x 2＝80（80﹣x ） 整理，得x 2+80x ＝6400解得x 1＝40（√5−1），x 2＝﹣40√5−40（不符合题意，舍去） 所以线段AC 的长为40（√5−1）cm ． 若AC ＜BC ，则AC＝80﹣（40√5−40）＝40（3−√5）故答案为40（√5−1）cm或40（3−√5）cm．【点评】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义：黄金分割的定义：如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC ＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．17．在人体躯和身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即（下半身长m与身高l）比例越接近0.618越给人以美感，某女士身高165cm，下半身长（脚底到肚脐的高度）与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应该选择约8 cm的高跟鞋看起来更美．（结果保留整数）【分析】根据黄金分割定义：下半身长与全身的比等于0.618即可求解．【解答】解：根据已知条件可知：下半身长是165×0.6＝99cm，设需要穿的高跟鞋为ycm，则根据黄金分割定义，得99+y=0.618，165+y解得：y≈7.8≈8，经检验y≈7.8是原方程的根，答：她应该选择大约8cm的高跟鞋．故答案为8．【点评】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．18．把10cm长的线段进行黄金分割后得两条线段，其中较长的线段的长为5（√5−1）cm．AB时，则称点P 【分析】如果线段上一点P把线段分割为两条线段P A，PB，当P A2＝PB•AB，即P A=√5−12是线段AB的黄金分割点．×10cm＝5（√5−1）cm．【解答】解：较长线段的长度=√5−12故答案为5（√5−1）．【点评】此题考查了黄金分割点的概念，熟悉黄金比的值．19．已知线段AB ＝10cm ，点C 是线段AB 的黄金分割点，则较长线段AC ＝ 6.2cm （精确到0.1cm ）． 【分析】根据黄金分割点的定义可知，较长线段AC =√5−12×原线段，从而求出结果． 【解答】解：∵线段AB ＝10cm ，C 为AB 的黄金分割点， ∴较长线段AC ＝10×√5−12=（5√5−5）≈6.2（cm ）．故答案为：6.2cm ．【点评】此题考查了黄金分割，如果点C 为AB 的黄金分割点，那么较长线段AC =√5−12AB ，较短线段BC =3−√52AB ，是应该熟记的内容．20．相邻两边长的比值是黄金比的矩形，叫做黄金矩形，从外形看，它最具美感．现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20厘米，那么相邻一条边的边长等于 （10√5−10） 厘米．（保留根号）【分析】根据黄金比值列出方程，解方程即可． 【解答】解：设相邻一条边的边长为x 厘米， 由黄金分割的定义可知，x 20=√5−12， 解得，x ＝10√5−10， 故答案为：10√5−10．【点评】本题考查的是黄金分割的定义，把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割．21．已知点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP ＞BP ，AB ＝4，那么AP ＝ 2√5−2 ． 【分析】根据黄金分割点的定义，知AP 是较长线段；则AP =√5−12AB ，代入数据即可得出AP 的长．【解答】解：由于P 为线段AB ＝4的黄金分割点， 且AP 是较长线段； 则AP =√5−12AB =√5−12×4＝2√5−2．故答案为2√5−2．【点评】本题考查了黄金分割的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段＝原线段的3−√52，较长的线段＝原线段的√5−12． 22．若点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC ＜BC ，若AB ＝10，则BC ＝ 5 √5−5 ．【分析】根据黄金分割点的定义，知BC为较长线段；则BC=√5−12AB，代入数据即可得出AC的值．【解答】解：由于C为线段AB＝10的黄金分割点，且AC＜BC，BC为较长线段；则BC＝10×√5−12=5 √5−5．故答案为：5 √5−5．【点评】本题考查了黄金分割，应该识记黄金分割的公式：较短的线段＝原线段的3−√52倍，较长的线段＝原线段的√5−12倍．三．解答题（共7小题）23．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，AB2＝BD•BC（1）求证：△ABC∽△DBA；（2）试证明CA＝CD；（要求：证明过程注明理由）【分析】（1）根据两边成比例夹角相等即可判断．（2）证明∠CAD＝∠CDA＝72°即可．【解答】（1）证明：∵AB2＝BD•BC，∴ABDB =BCAB，∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△DBA．（2）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝108°，∴∠B＝∠C＝36°（等边对等角），∵△ABC∽△DBA（已证）∴∠BAD＝∠C＝36°（相似三角形的对应角相等）∴∠CAD＝72°（角的和差定义）∴∠CDA═180°﹣∠C﹣∠CAD＝72°（三角形内角和定理），∴∠CAD＝∠ADC（等量代换）∴CA＝CD（等角对等边）．【点评】本题考查黄金分割，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24．如图，点R是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AR＞RB，S1表示AR为边长的正方形面积，S2表示以BC为长，BR为宽的矩形面积，S3表示正方形ABCD除去S1和S2剩余的面积，求S3：S2的值．【分析】根据黄金分割的定义：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=√5−12AB，进行计算即可．【解答】解：如图，设AB＝1，∵点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，∴AE＝GF=√5−12，∴BE＝FH＝AB﹣AE=3−√52，∴S3：S2＝（GF•FH）：（BC•BE）＝（√5−12×3−√52）：（1×3−√52）=√5−12．故答案为：√5−12．【点评】本题考查了黄金分割、矩形的性质、正方形的性质，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．25．（1）已知a2=b3≠0，求代数式5a−2ba+2b的值；（2）已知线段AB＝10cm，点C、点D是线段AB的两个不同黄金分割点，求C、D之间的距离．【分析】（1）设a2=b3=k，利用比例性质得a＝2k，b＝3k，然后把a＝2k，b＝3k代入所求的代数式计算分式的运算即可．（2）根据黄金比值是√5−12，求出AD、BC的长，根据CD＝AD+BC﹣AB代入计算得到答案．【解答】解：（1）设a2=b3=k，可得：a＝2k，b＝3k，把a＝2k，b＝3k代入5a−2ba+2b =10k−6k2k+6k=12．（2）∵C、D是AB上的两个黄金分割点，∴AD＝BC=√5−12AB＝5√5−5，∴CD＝AD+BC﹣AB＝10√5−20cm．【点评】本题考查了比例的性质：常用的性质有：内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．26．如图，在矩形ABCD中，CD＝2，AD＝4，点P在BC上，将△ABP沿AP折叠，点B恰好落在对角线AC上的E点，O为AC上一点，⊙O经过点A，P（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）在边CB上截取CF＝CE，点F是线段BC的黄金分割点吗？请说明理由．【分析】（1）通过“连直径、证垂直”的方法，证明∠BAP＝∠OP A，即可求解；（2）CF＝CE＝AC﹣AE=√20−2＝2√5−2，即可求解．【解答】解：（1）连接OP，则∠P AO＝∠APO，而△AEP是由△ABP沿AP折叠而得：故AE＝AB＝2，∠OAP＝∠P AB，∴∠BAP＝∠OP A，∴AB∥OP，∴∠OPC＝90°，∴BC是⊙O的切线；（2）CF＝CE＝AC﹣AE=√20−2＝2√5−2，CF BC =√5−12，故：点F是线段BC的黄金分割点．【点评】本题考查了圆的切线的性质与证明、黄金分割的应用，题目的关键是明确黄金分割所涉及的线段的比．27．若等腰三角形的顶角为36°，则这个三角形称为黄金三角形．如图，在△ABC中，BA＝BC，D在边CB上，且DB＝DA＝AC．（1）如图1，写出图中所有的黄金三角形，并证明；（2）若M为线段BC上的点，过M作直线MH⊥AD于H，分别交直线AB，AC于点N，E，如图2，试写出线段BN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．【分析】（1）由等腰三角形的性质和黄金三角形的定义即可得出结论；（2）证明△ANH≌△AEH（ASA），得出AN＝AE，借助已知利用线段的和差可得CD＝BN+CE．【解答】解：（1）△ABC和△ADC都是黄金三角形，理由如下：∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∵DB＝DA，∴∠BAD＝∠B，∵DA═AC，∴∠ADC＝∠C＝∠BAC＝2∠B，又∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∴∠B+2∠B+2∠B＝180°，∴∠B ＝∠DAC ＝36°，∴△ABC 和△ADC 都是黄金三角形； （2）CD ＝BN +CE ，理由如下；由（1）知，∠BAD ＝∠B ＝36°，∠CAD ＝36°＝∠BAD ， ∴AD 是∠BAC 的平分线，在△ANH 和△AEH 中{∠BAD =∠CAD∠AHN =∠AHE AH =AH∴△ANH ≌△AEH （ASA ）， ∴AN ＝AE ，即AB ﹣BN ＝AC +CE ，又∵BA ＝BC ＝BD +DC ，AC ＝AD ＝BD ， ∴BC ﹣BN ＝AD +CE ∴BD +CD ﹣BN ＝AD +CE ， 又∵AD ＝BD ， ∴CD ﹣BN ＝CE ， 即CD ＝BN +CE ．【点评】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、黄金三角形的定义、全等三角形的判定与性质等知识；掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．28．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AC 的垂直平分线交AC 于点D ，交AB 于点E ，若AE ＝BC ，则点E 是线段AB 的黄金分割点吗？说明你的理由．【分析】连接EC ，根据线段垂直平分线的性质得到EA ＝EC ，根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理证明△CEB ∽△ACB ，得到BEBC =BCAB ，根据黄金分割的概念证明结论． 【解答】解：点E 是线段AB 的黄金分割点． 证明如下：连接EC ，∵DE是AC的垂直平分线，∴EA＝EC，又∵AE＝BC，∴EC＝BC，∴∠BEC＝∠B，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B，∴∠BEC＝∠ACB，又∠B＝∠B，∴△CEB∽△ACB，∴BEBC =BCAB，即BC2＝BE•AB，又∵AE＝BC，∴AE2＝BE•AB，即点E是线段AB的黄金分割点．【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．29．如图1，我们已经学过：点C将线段AB分成两部分，如果ACAB =BCAC，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某校的数学拓展性课程班，在进行知识拓展时，张老师由黄金分割点拓展到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果S1 S =S2S1，那么称直线l为该图形的黄金分割线．如图2，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠C的平分线交AB于点D．（1）证明点D是AB边上的黄金分割点；（2）证明直线CD是△ABC的黄金分割线．【分析】（1）易证△BCD ∽△BAC ，则有BC AB=BD BC，再由BC ＝CD ＝AD 可得AD AB=BD AD，由此可得D 是AB 边上的黄金分割点；（2）设△ABC 的边AB 上的高为h ，则S △ADC =12AD •h ，S △DBC =12DB •h ，S △ABC =12AB •h ，即可得到S △ADC S △ABC=AD AB，S △DBC S △ADC=BDAD ．由（1）得ADAB =BDAD ，即可知S△ADC S △ABC=S △DBC S △ADC，由此可得CD 是△ABC 的黄金分割线．【解答】解：（1）点D 是边AB 上的黄金分割点，理由如下： ∵∠A ＝36°，AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ＝72°． ∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD ＝∠DCB ＝36°， ∴∠BDC ＝∠B ＝72°，∠ACD ＝∠A ＝36°， ∴BC ＝DC ＝AD ．∵∠A ＝∠BCD ，∠B ＝∠B ， ∴△BCD ∽△BAC ， ∴BCAB =BD BC．∴AD AB =BDAD ．∴D 是AB 边上的黄金分割点；（2）直线CD 是△ABC 的黄金分割线，理由如下： 设△ABC 的边AB 上的高为h ，则S △ADC =12AD •h ，S △DBC =12DB •h ，S △ABC =12AB •h ， ∴S △ADC S △ABC=AD AB，S △DBC S △ADC=BD AD．∵D 是AB 的黄金分割点， ∴AD AB =BDAD ， ∴S △ADC S △ABC=S△DBC S △ADC．∴CD 是△ABC 的黄金分割线．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的面积公式，需要注意的是：当比例顺序不确定时，应分情况讨论，避免出现漏解的现象．。
如图所示，点B把线段AC分成两部分，如果，那么称线段AC被点B黄金分割，点B为线段AC的黄金分割点，AB与AC（或BC与AB，近似值为0.618.1.黄金分割是以线段的比例中项来定义的；2.一条线段有两个黄金分割点，它们是对称存在的；3.数约等于0.618，这个数又被称为黄金数；4.边长之比等于黄金数的图形叫做“黄金图形”.例：点C是AB的黄金分割点，AB＝4，则线段AC的长为 ．【解答】22或6﹣2【解析】①当AC＞BC时，∵点C是线段AB的黄金分割点，∴AC＝AB＝2﹣2；②当AC＜BC时，∵点C是线段AB的黄金分割点，∴BC＝AB＝2﹣2，∴AC＝AB﹣BC＝6﹣2综上所述，线段AC的长为22或6﹣2故答案为22或6﹣2一．选择题1．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝10，那么AP的长是（ ）A．5B．5C．1D【解答】A【解析】由于P为线段AB＝10的黄金分割点，且AP是较长线段；则AP＝―5．故选A．2．如图，已知点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，若S1表示AE为边长的正方形面积，S2表示以BC为长，BE为宽的矩形面积，S3表示正方形ABCD除去S1和S2剩余的面积，则S3：S2的值为（ ）A B C D 【解答】A【解析】如图，设AB＝1，∵点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，∴AE＝GF∴BE＝FH＝AB﹣AE∴S3：S2＝（GF•FH）：（BC•BE）：（1故选A ．3．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G 将一线段MN 分为两线段MG ，GN ，使得其中较长的一段MG 是全长MN 与较短的一段GN 的比例中项，即满足MGMN =GNMG =“黄金分割”数，把点G 称为线段MN 的“黄金分割”点．如图，在△ABC 中，已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若D ，E 是边BC 的两个“黄金分割”点，则△ADE 的面积为（ ）A B ．―5C D 【解答】A【解析】作AH ⊥BC 于H ，如图，∵AB ＝AC ，∴BH ＝CH =12BC ＝2，在Rt △ABH 中，AH ∵D ，E 是边BC 的两个“黄金分割”点，∴BE ＝2―1）＝―2，∴HE ＝BE ﹣BH ＝―2﹣2＝―4，∴DE ＝2HE ＝8∴S △ADE =12×（8）=故选A ．4．21）的值（ ）A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间【解答】B又∵2―1）＝―2，∴4＜5，∴2＜2＜3，∴21）的值在2和3之间；故选B．5．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2，AC＜BC，则AC长是（ ）A B―1C．3―D【解答】C【解析】∵点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2，AC＜BC，BC2＝AC•AB（2﹣AC）2＝2ACAC2﹣6AC+4＝0解得AC＝3+3则AC长是3―故选C．6．如果一个矩形的宽与长的比等于黄金比，则称该矩形为黄金矩形．如图，已知矩形ABCD是黄金矩形，且AD＞AB，AD＝2，点E是AD上一点，点G是CD上一点，将△ABE沿直线BE折叠，使点A落在BC边上的点F处，再将△DEG沿直线EG折叠，使点D落在EF上的点H处，则FH的长为（ ）A1B C．3―D．4【解答】D【解析】∵矩形ABCD 是黄金矩形，且AD ＞AB ，AD ＝2，∴AB =―1，∵△ABE 沿直线BE 折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，∴AB ＝BF 1，∠BFE ＝∠A ＝90°，∴四边形ABFE 为正方形，∴AE ＝EF ＝AB =―1，同理可得四边形DEHG 为正方形，∴EH ＝DE ＝AD ﹣AE ―1）＝3∴HF ＝EF ﹣EH =―1﹣（34．故选D ．7．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加美感，按此比例，如果雕像的身高为3米，设雕像的上部为x 米，根据其比例关系可得其方程应为（ ）A ．x 2﹣9x +9＝0B ．x 2﹣3x +9＝0C ．x 2+9x ﹣9＝0D ．x 2﹣6x +9＝0【解答】A【解析】根据题意得x ：（3﹣x ）＝（3﹣x ）：3，整理得x 2﹣9x +9＝0．故选A ．8．已知，P 是线段AB 上的点，且AP 2＝BP •AB ，那么AP ：AB 的值是（ ）A B C D 【解答】A【解析】设AB 为1，AP 为x ，则BP 为1﹣x ，∵AP 2＝BP •AB ，∴x 2＝（1﹣x ）×1解得x 1x 2．∴AP ：AB 故选A ．9．如图，Rt △OAB 的直角边OA ＝2，AB ＝1，OA 在数轴上，在OB 上截取BC ＝BA ，以原点O 为圆心，OC 为半径画弧，交数轴于点P ，则OP 的中点D 对应的实数是（ ）A B C 1D 1【解答】A【解析】在Rt △OAB 中，∠OAB ＝90°，AB ＝1，OA ＝2，由勾股定理得：OB =∵BC ＝AB ，AB ＝1，∴BC ＝1，∴OC ＝OB ﹣BC =―1，即OP =―1，∵OP 的中点是D ，∴OD =12OP =12×―1）即点D 故选A ．10．点P 把线段AB 分割成AP 和PB 两段，如果AP 是PB 和AB 的比例中项，那么下列式子成立的是（ ）A ．PBAP =B ．APPB C ．PBAB D ．APAB 【解答】D【解析】∵点P 把线段AB 分割成AP 和PB 两段，AP 是PB 和AB 的比例中项，∴根据线段黄金分割的定义得：APAB =故选D ．11．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b （b ＞a ）以及实数x （0＜x ＜1）确定实际销售价格c ＝a +x （b ﹣a ），这里x 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得b ac a=c ab c ，据此可得，最佳乐观系数x 的值等于（ ）A ．12B C D【解答】D【解析】∵c﹣a＝x（b﹣a），b﹣c＝（b﹣a）﹣x（b﹣a），b ac a =c ab c，∴[x（b﹣a）]2＝（b﹣a）2﹣x（b﹣a）2，∴x2+x﹣1＝0，解得x∵0＜x＜1，∴x=故选D．12．下列说法：①关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，当a、c异号时，方程一定有实数根；②关于x的方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0有一个根是x＝0，则a＝±2；x＝﹣4或1；④数4和9的比例中项是6；⑤若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝10，则AC＝―5．其中正确的说法的个数是（ ）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】C【解析】①关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，当a、c异号时，方程一定有实数根；正确，此时△＞0；②关于x的方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0有一个根是x＝0，则a＝±2；正确；x＝﹣4或1；错误，x＝﹣4不符合题意，不是最简二次根式；④数4和9的比例中项是6；错误，数4和9的比例中项是±6，⑤若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝10，则AC＝5．错误，若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝10，则AC＝5或BC＝5．故选C．二．填空题130.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐27cm，则其身高大约是 cm．（结果保留整数）【解答】185．【解析】设咽喉至肚脐的长度为xcm，肚脐至足底的长度为ycm，由题意得，27x≈0.618，解得，x≈43.7，∴人体的头顶至肚脐的长度为：27+43.7＝70.7，∴70.7y≈0.618，解得，y≈114.4，其身高＝114.4+70.7≈185（cm），故答案为185．14．如图，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，设以AP为边长的正方形面积为S1，以PB为宽，以AB为长的矩形面积为S2，S1 S2（填“＞”或“＝”或“＜”）．【解答】＝【解析】∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，∴AP2＝BP×AB，又∵S1＝AP2，S2＝PB×AB，∴S1＝S2．故答案为＝．15．如图，C、D是线段AB的两个黄金分割点，且CD＝1，则线段AB的长为 ．【解答】2+【解析】∵线段AB＝x，点C是AB黄金分割点，∴较小线段AD＝BC=，则CD＝AB﹣AD﹣BC＝x﹣2×=1，解得：x＝2+故答案为2+16．点P在线段AB上，且BPAP =APAB．设AB＝4cm，则BP＝ cm．【解答】【解析】∵BPAP =APAB．∴P点为AB的黄金分割点，∴AP4＝2，∴BP＝4﹣（2cm．．17．已知点P是线段AB上的一点，且BP2＝AP•AB，如果AB＝10cm，那么BP＝ cm．【解答】（5）【解析】∵点P是线段AB上的一点∴AP＝AB﹣BP＝10﹣BP，∵BP2＝AP•AB，AB＝10cm，BP2＝（10﹣BP）×10，解得BP＝―5．故答案为（5）．18．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为 cm．【解答】（5）【解析】∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），∴AP10＝―5（cm），故答案为（5）19．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台AB长为20米，主持人现站在A处，请问主持人应走到离A点至少多少米处才最自然得体？（结果精确到0.1米） ．【解答】7.6米【解析】根据黄金比得：20×（1﹣0.618）≈7.6米，∵黄金分割点有2个，∴20﹣7.6＝12.4，由于7.6＜12.4米∴主持人应走到离A点至少7.6米处才最自然得体．故答案为7.6米．20．如图，以边长为4的等边三角形AOB的顶点O为坐标原点，边OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，点B在第一象限，在边OB上有一点P为OB的黄金分割点（PO＞PB），那么点P的坐标是 ．【解答】（4，【解析】如图，作BD⊥OA，PE⊥OA于点D、E，∵△ABC为边长为+4的等边三角形，∴∠OBD＝∠ODE＝30°，设OE＝x，则OP＝2x，PE，则PB＝+4﹣2x，∵点P为OB的黄金分割点（PO＞PB），根据黄金分割定义，得OP2＝OB•PB4x2＝（4）（4﹣2x）解得x＝4，＝所以P点坐标为（4，．故答案为（4，．21．把长为10cm的线段黄金分割后，其中较短的线段长度是 cm．【解答】5（3―【解析】由题意知，则较短线段＝10×（15（3―．故本题答案为：5（3―．三．解答题22．如图，在△ABC中，点D在边AB上，且BD＝DC＝AC，已知∠ACE＝108°，BC＝2．（1）求∠B的度数；（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；②求AD的长．【解答】（1）∠B的度数为36°；（2）①△ABC、△DBC、△CAD都是黄金三角形；②3―【解析】（1）设∠B＝x，∵BD＝DC，∴∠DCB＝∠B＝x，∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝2x，∵AC＝DC，∴∠A＝∠ADC＝2x，∵∠ACE＝∠B+∠A，∴x+2x＝108°，解得x＝36°，即∠B的度数为36°；（2）①△ABC、△DBC、△CAD都是黄金三角形．理由如下：∵DB＝DC，∠B＝36°，∴△DBC为黄金三角形；∵∠BCA＝180°﹣∠ACE＝72°，而∠A＝2×36°＝72°，∴∠A＝∠ACB，而∠B＝36°，∴△ABC为黄金三角形；∵∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝72°﹣36°＝36°，而CA＝CD，∴△CAD为黄金三角形；②∵△BAC为黄金三角形，=∴ACBC而BC＝2，∴AC=―1，∴CD＝CA1，∴BD＝CD1，∴AD＝AB﹣BD1）＝3―23ABCD剪掉一个正方形ADFE后，剩余的矩形BCFE（BC＞BE）是黄金矩形，则原矩形ABCD是否为黄金矩形？请说明理由．【解答】见解析【解析】原矩形ABCD是为黄金矩形．理由如下：设矩形BCFE的长BC为x，∵四边形BCFE为黄金矩形，∴宽FC，∵四边形AEFD是正方形，∴AB＝x，则BCAB∴原矩形ABCD是为黄金矩形．24．（1）已知ab =35，求（2）已知点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，AB＝2，求PA、PB的长．【解答】（1）85；（2）PA―1，PB=3―【解析】（1）∵ab =35，∴可设a＝3k，则b＝5k，∴a bb =3k5k5k=85；（2）∵点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，AB＝2，∴PA=―1，PB＝3―25．如图，用纸折出黄金分割点：裁一张边长为2的正方形纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置F，因而EF＝EB．类似的，在AB上折出点M使AM＝AF．则M是AB的黄金分割点吗？若是请你证明，若不是请说明理由．【解答】见解析【解答】证明：∵正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，∴BE＝1∴AE=∵EF＝BE＝1，∴AF＝AE﹣EF=―1，∴AM＝AF1，∴AM：AB1）：2，∴点M是线段AB的黄金分割点．26．如图，点C将线段AB分成两部分，若AC2＝BC•AB（AC＞BC），则称点C为线段AB的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行抛物线课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金抛物线”，类似地给出“黄金抛物线”的定义：若抛物线y＝ax2+bx+c，满足b2＝ac（b≠0），则称此抛物线为黄金抛物线．（1）若某黄金抛物线的对称轴是直线x＝2，且与y轴交于点（0，8），求y的最小值；（2）若黄金抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点P为（1，3），把它向下平移后与x轴交于A+3，0），B（x，0），判断原点是否是线段AB的黄金分割点，并说明理由．【解答】（1）6；（2）见解析【解析】（1）∵黄金抛物线的对称轴是直线x＝2，=2，∴―b2a∴b＝﹣4a，又b2＝ac∴16a2＝ac．且与y轴交于点（0，8），∴c＝8．∴a =12，b ＝﹣2．∴y =12x 2﹣2x +8=12（x ﹣2）2+6，∵12＞0，∴y 有最小值为6．答：y 的最小值为6．（2）原点是线段AB 的黄金分割点．理由如下：∵黄金抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ＞0）的顶点P 为（1，3），把它向下平移后与x 轴交于A 3，0），B （x 0，0），∴x 0＝﹣1∴OA ＝3OB ＝1+AB ＝OA 2＝（32＝OB •AB ＝（1+）（∴OA 2＝OB •AB ．答：原点是线段AB 的黄金分割点．27．如图，要设计一座高为2米的人体雕像AB ，使雕像的上部AC （腰点C 以上）与下部（腰点C 以下）的高度之比等于下部BC 与全部AB （身高）的高度之比，雕像的下部BC 的长应设计为多少米？【解答】（﹣1+【解析】设下部应设计为x 米，则上部的长度为（2﹣x ）米，根据题意得，2x x =x 2，整理得，x 2+2x ﹣4＝0，解得，x 1＝﹣1+x 2＝﹣1―，所以，雕像的下部应设计为（﹣1+28．如图1，点B 在线段AC 上的黄金分割点，且AB ＞BC ．（1）设AC ＝2，①求AB 的长；填空：设AB ＝x ，则BC ＝2﹣x∵点B 在线段AC 上的黄金分割点，且AB ＞BC ，∴ ，可列方程为 ，解得方程的根为 ，于是，AB 的长为 ．②在线段AC （如图1）上利用三角板和圆规画出点B 的位置（保留作图痕迹，不写作法）；（2）若m 、n 为正实数，t 是关于x 的方程x 2+2mx ＝n 2的一正实数根，①求证：（t +m ）2＝m 2+n 2；②若两条线段的长分别为m 、n （如图2），请画出一条长为t 的线段（保留作图痕迹，不写作法）．【解答】（1）①AB AC =BC AB ，x 2=2x x ，x 1＝﹣1x 2＝﹣1+（2）①见解析，②见解析【解析】（1）①设AB ＝x ，则BC ＝2﹣x∵点B 在线段AC 上的黄金分割点，且AB ＞BC ，∴AB AC =BC AB ，可列方程为：x 2=2x x ，解得：x 1＝﹣1+x 2＝﹣1―∴AB 的长为：﹣1故答案为AB AC =BC AB ，x 2=2x x ，x 1＝﹣1x 2＝﹣1②作图见下图1：（2）①证明：解关于x的方程x2+2mx＝n2：x2+2mx+m2＝m2+n2（x+m）2═m2+n2，∵t是关于x的方程x2+2mx＝n2的一正实数根，∴（t+m）2＝m2+n2；②作图见下图。
苏科版数学九年级下册《6.2 黄金分割》说课稿一. 教材分析《苏科版数学九年级下册》第六章第二节“黄金分割”是本节课的主要内容。
黄金分割是指将一条线段分为两部分，使得整体长度与较长部分的长度之比等于较长部分的长度与较短部分的长度之比，其比值约为1:1.618。
这一概念在数学、艺术、建筑等领域有着广泛的应用。
教材通过黄金分割的定义、黄金比的计算以及黄金分割在实际生活中的应用，使学生了解并掌握黄金分割的相关知识。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对比例、线段等概念有一定的了解。
但是，对于黄金分割这一较为抽象的概念，学生可能难以理解。
因此，在教学过程中，需要通过生动的实例和丰富的活动，帮助学生直观地感受黄金分割，从而更好地理解和掌握相关知识。
三. 说教学目标1.知识与技能：了解黄金分割的定义，掌握黄金比的计算方法，能运用黄金分割知识解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的空间想象能力和创新能力。
3.情感态度与价值观：感受数学与生活的密切联系，提高学生对数学的兴趣，培养学生的审美观念。
四. 说教学重难点1.重点：黄金分割的定义，黄金比的计算方法。
2.难点：黄金分割在实际生活中的应用，黄金分割的美学价值。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用启发式教学法、讨论式教学法和案例教学法，引导学生主动探究、积极思考。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、几何画板等辅助教学，提高教学效果。
六. 说教学过程1.导入新课：通过展示一些著名的黄金分割作品，如达芬奇的《蒙娜丽莎》、帕台农神庙等，引导学生感受黄金分割在艺术、建筑等领域的魅力，激发学生的学习兴趣。
2.探究黄金分割：让学生观察、分析这些作品，发现其中的共同规律，引导学生自主探究黄金分割的定义和计算方法。
3.实践操作：让学生分组进行实践活动，利用几何画板或手工工具，自己动手绘制黄金分割图形，加深对黄金分割的理解。
2021年苏科版九年级数学下6.2黄金分割同步练习一．选择题（共2小题）1．（2019秋•瑶海区期中）点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＜CB ），若AC ＝2，则CB ＝（ ）A ．√5+1B ．√5+3C ．√5−12D ．3−√522．（2020秋•长丰县期末）如图，乐器上的一根弦AB ＝80cm ，两个端点A ，B 固定在乐器板面上，支撑点C 是靠近点B 的黄金分割点，支撑点D 是靠近点A 的黄金分割点，则C ，D 之间的距离为（ ）A ．（40√5−40）cmB ．（80√5−40）cmC ．（120﹣40√5）cmD ．（80√5−160）cm二．填空题（共5小题）3．（2014秋•泾县校级期中）报幕员在台上时，若站在黄金分割点处，会显得活泼而生动，已知舞台长10米，那么报幕员要至少走 米报幕．4．（2020秋•射阳县期末）如图，东方明珠电视塔高468m ，如果把塔身看作一条线段AC ，中间的球体看作点B ，那么点B 是线段AC 的黄金分割点，则AB 的长为 m ．（精确到0.1m ）5．（2017秋•秦淮区期末）据有关测定，当气温处于人体正常体温的黄金比值时人体感到最舒适．因此夏天使用空调时，如果人的体温按36.5度算，那么室内温度约调到 ℃最适合．（结果保留到个位数字）6．（2018秋•崇明区期末）已知线段AB 的长为10cm ，点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝cm．（结果保留根号）7．（2015秋•泰州校级月考）科学研究表明，当人的下肢与身高比为0.618时，看起来最美，某成年女士身高为160cm，下肢长为98cm，该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度约为cm（精确到0.1cm）．2021年苏科版九年级数学下6.2黄金分割同步练习参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．（2019秋•瑶海区期中）点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＜CB ），若AC ＝2，则CB ＝（ ）A ．√5+1B ．√5+3C ．√5−12D ．3−√52【解答】解：点C 是线段AB 的黄金分割点，AC ＜CB ，∴CB =√5−12×AB =√5−12×（AC +BC ）， ∴CB =√5−12×（2+BC ），解得，CB =√5+1，故选：A ．2．（2020秋•长丰县期末）如图，乐器上的一根弦AB ＝80cm ，两个端点A ，B 固定在乐器板面上，支撑点C 是靠近点B 的黄金分割点，支撑点D 是靠近点A 的黄金分割点，则C ，D 之间的距离为（ ）A ．（40√5−40）cmB ．（80√5−40）cmC ．（120﹣40√5）cmD ．（80√5−160）cm【解答】解：∵点C 是靠近点B 的黄金分割点，点D 是靠近点A 的黄金分割点， ∴AC ＝BD ＝80×√5−12=40√5−40，∴CD ＝BD ﹣（AB ﹣BD ）＝2BD ﹣AB ＝80√5−160，故选：D ．二．填空题（共5小题）3．（2014秋•泾县校级期中）报幕员在台上时，若站在黄金分割点处，会显得活泼而生动，已知舞台长10米，那么报幕员要至少走 （15﹣5√5） 米报幕．【解答】解：报幕员要走的路程为：10×（1−√5−12）＝15﹣5√5（米）．故答案为：（15﹣5√5）．4．（2020秋•射阳县期末）如图，东方明珠电视塔高468m ，如果把塔身看作一条线段AC ，中间的球体看作点B，那么点B是线段AC的黄金分割点，则AB的长为289.2m．（精确到0.1m）【解答】解：AB=√5−12AC≈468×0.618≈289.2（m）．故答案为289.2．5．（2017秋•秦淮区期末）据有关测定，当气温处于人体正常体温的黄金比值时人体感到最舒适．因此夏天使用空调时，如果人的体温按36.5度算，那么室内温度约调到23℃最适合．（结果保留到个位数字）【解答】解：36.5℃×0.618＝23℃．所以如果人的体温按36.5度算，那么室内温度约调到23℃最适合．故答案为23．6．（2018秋•崇明区期末）已知线段AB的长为10cm，点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝5√5−5cm．（结果保留根号）【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，∴AC=√5−12AB＝（5√5−5）cm，故答案为：5√5−5．7．（2015秋•泰州校级月考）科学研究表明，当人的下肢与身高比为0.618时，看起来最美，某成年女士身高为160cm，下肢长为98cm，该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度约为 2.3 cm（精确到0.1cm）．【解答】解：设该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度为xcm，由题意得，98+x160+x=0.618，解得x≈2.3．该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度为2.3cm。
苏科版数学九年级下册6.2《黄金分割》教学设计一. 教材分析苏科版数学九年级下册6.2《黄金分割》是本节课的主要内容。
黄金分割是指将一条线段分为两部分，使得整体长度与较长部分的长度之比等于较长部分的长度与较短部分的长度之比，其比值约为1:0.618。
这个概念在数学、艺术、建筑等领域有着广泛的应用。
教材通过引入黄金分割的概念，让学生了解并掌握其几何性质和应用。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了相似三角形的性质、比例的计算等知识。
但他们对黄金分割的概念和应用可能较为陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、操作等活动，自主探索黄金分割的性质和应用，提高他们的空间想象能力和解决问题的能力。
三. 教学目标1.了解黄金分割的概念，掌握黄金分割的性质。
2.能运用黄金分割解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.培养学生的空间想象能力、观察能力和思维能力。
四. 教学重难点1.黄金分割的概念和性质。
2.黄金分割在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入生活中的实例，激发学生的学习兴趣，提高他们的实践能力。
2.启发式教学法：引导学生通过观察、思考、操作等活动，自主探索黄金分割的性质和应用。
3.小组合作学习：鼓励学生相互讨论、交流，培养团队合作精神。
六. 教学准备1.课件：制作黄金分割的相关课件，包括图片、动画等。
2.教学素材：准备一些与黄金分割相关的实例，如建筑、艺术作品等。
3.练习题：设计一些有关黄金分割的练习题，巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）–利用课件展示一些生活中的黄金分割实例，如建筑、艺术作品等。
–引导学生观察并思考：这些实例有什么共同特点？–学生回答后，教师总结并引入黄金分割的概念。
2.呈现（10分钟）–教师简要介绍黄金分割的定义和性质。
–学生通过观察、操作等活动，自主探索黄金分割的性质。
–教师引导学生总结黄金分割的性质，并进行讲解。
3.操练（10分钟）–学生分组讨论，思考如何运用黄金分割解决实际问题。
