比例线段及黄金分割（基础） 知识讲解
【学习目标】
1、了解两条线段的比和比例线段的概念并能根据条件写出比例线段；
2、会运用比例线段解决简单的实际问题；
3、掌握黄金分割的定义并能确定一条线段的黄金分割点.
【要点梳理】
要点一、比例线段
【： 394495 图形的相似 预备知识】
1．成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．
2．比例的性质：
（1）基本性质：如果
a c
b d
=，那么ad bc =. （2）合比性质：如果++==.a c a b c d b d b d
，那么 如果--==.a c a b c d b d b d ，那么 要点诠释：
（1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比；
（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；
（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数．
要点二、黄金分割
1.定义： 点C 把线段AB 分割成AC 和CB 两段,如果AC BC AB AC
=,那么线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.
要点诠释：
AC AB =≈叫做黄金分割值). 2.作一条线段的黄金分割点：
图4－7
如图，已知线段AB ，按照如下方法作图：
（1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD =
2
1AB . （2）连接AD ，在DA 上截取DE =DB .
（3）在AB 上截取AC =AE .则点C 为线段AB 的黄金分割点.
要点诠释：
一条线段的黄金分割点有两个.
【典型例题】
类型一、比例线段
1. （2016•兰州模拟）若a ：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（ ）
A ．2a=3b
B ．3a=2b
C ．
D ．
【思路点拨】根据比例的性质，对选项一一分析，选择正确答案．
【答案】B ．
【解析】A 、2a=3b ⇒a ：b=3：2，故选项错误；
B 、3a=2b ⇒a ：b=2：3，故选项正确；
C 、=⇒b ：a=2：3，故选项错误；
D 、=⇒a ：b=3：2，故选项错误．
故选B ．
【总结升华】考查了比例的性质．在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积． 举一反三：
【变式】（2015•崇明县一模）已知=，那么下列等式中，不一定正确的是（ ）．
A ．2a=5b B.
a b 52= C. a+b=7 D.a b b 72
+= 【答案】C ．
2. 设432z y x ==，求2222232z
xy x z yz x --+-的值． 【思路点拨】由已知条件利用解方程的思想不能求出x ，y ，z 的值，因此用设参数法代入化简．
【答案与解析】设4
32z y x ==＝k 则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k 原式＝2222)4(322)2()4(433)2(2k k k k k k k k -⨯⨯-+⨯⨯-⨯＝222412k k --＝2
1 【总结升华】解此类题学生容易误认为设k 后，未知数越多更不易解出，实际上分子、分母能产生公因式约去．
类型二、黄金分割
3. 如图所示，矩形ABCD 是黄金矩形（即BC AB ＝2
15-≈0.618），如果在其内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE ，试问矩形ABFE 是否也是黄金矩形？
【思路点拨】（1）矩形的宽与长之比值为2
15-，则这种矩形叫做黄金矩形．
（2）要说明ABFE 是不是黄金矩形只要证明
AB AE ＝215-即可． 【答案与解析】矩形ABFE 是黄金矩形． 理由如下：因为AB AE ＝AB
ED AB AD AB ED AD -=- ＝2
1512151)15)(15()
15(21152
-=-+=-+-+=-- 所以矩形ABFE 也是黄金矩形．
【总结升华】判断四边形是否是黄金矩形，要根据实际条件灵活选择判断方法. 举一反三：
【变式】以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF ＝PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，如图所示，
（1）求AM ，DM 的长，
（2）试说明AM 2=AD ·DM
（3）根据（2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？
【答案】（1）∵正方形ABCD 的边长是2，P 是AB 中点，
∴AD ＝AB ＝2，AP ＝1，∠BAD ＝90°，
∴PD ＝522=+AD AP 。
∵PF ＝PD ，
∴AF ＝15-
，在正方形ABCD 中，AM ＝AF ＝15-，MD ＝AD －AM ＝3－5
（2）由（1）得AD ×DM ＝2（3－5）＝6－25，
526)15(22-=-=AM
∴AM 2=AD ·DM ．
（3）如图中的M 点是线段AD 的黄金分割点．
4. （2015•慈溪市一模）如图，扇子的圆心角为x°，余下扇形的圆心角为y°，x 与y 的比通常按黄金比来设计，这样的扇子外形比较美观，若黄金比取0.6，则x 为（ ）.
A. 144°
B. 135°
C. 136°
D. 108°
【答案】B.
【解析】由扇子的圆心角为x °，余下扇形的圆心角为y °，黄金比为0.6，
根据题意得：x ：y=0.6=3：5，
又∵x+y=360，
则x=360×=135
【总结升华】此题考查了黄金分割，以及比例的性质，解题的关键是根据题意列出x 与y 的关系式.
