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27.1.2 黄金分割基础训练知识点1 比例中项1.若x是2,18的比例中项,则x=___________.2.若线段a=6 cm,b=3 cm,且c是a,b的比例中项,则线段c的长度为( )A.3错误!未找到引用源。
cmB.±3错误!未找到引用源。
cmC.±18 cmD.18 cm3.如果a∶b=3∶2,且b是a,c的比例中项,那么b∶c等于( )A.4∶3B.3∶2C.2∶3D.3∶44.如图,有三个直角三角形,其中OA=AB=BC=CD=1,则线段OA,OD的比例中项线段的长度为( )A.错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。
C.±错误!未找到引用源。
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知识点2 黄金分割5.如果点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC),则下列比例式正确的是( )A.AB∶AC=AC∶BCB.AB∶BC=BC∶ACC.AC∶BC=BC∶ABD.AC∶AB=AB∶BC6.若点C为线段AB的黄金分割点,且AC>BC,则①AB=错误!未找到引用源。
AC;②AC=错误!未找到引用源。
AB;③AB∶AC=AC∶CB;④AC≈0.618AB.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个7.从美学角度来说,人的上身长与下身长之比为黄金比例,可以给人一种协调的美感.某女老师上身长约61.80 cm,下身长约93.00 cm,她要穿约___________cm的高跟鞋才能达到黄金比的美感效果(精确到1 cm).提升训练考查角度1 利用比例性质求解比例中项问题8.已知线段a,b,c满足错误!未找到引用源。
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,且a+2b+c=26.(1)求a,b,c的值;(2)若线段x是线段a,b的比例中项,求x.考查角度2 利用黄金分割的定义找黄金分割点(计算法、定义法)9.以长为2的线段AB为边作正方形ABCD,取AB的中点P,连接PD,在BA的延长线上取点F,使PF=PD,以AF为边作正方形AMEF,点M在AD上.(1)求MA,DM的长;(2)求证:AM2=AD·DM.(3)根据(2)的结论你能找出图中的一个黄金分割点吗?考查角度3 利用黄金分割的定义证明黄金矩形(计算法、定义法)10.宽与长的比是错误!未找到引用源。
2024年新课标中考数学二轮专题黄金分割及其应用1如图，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点A,B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，C,D之间的距离为．2在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2=AE⋅AB．已知AB为2米，则线段BE的长为米．3在设计人体雕像时，使雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是()(结果精确到0.01m．参考数据：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236)A.0.73mB.1.24mC.1.37mD.1.42m4古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5-12≈0.618，称为黄金比例)，如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此，此外，最美人体的头顶与咽喉至肚脐的长度之比也是5-12，若某人的身材满足上述两个黄金比例，且头顶至咽喉的长度为26cm，则其身高可能是()A.165cmB.178cmC.185cmD.190cm5人们把5-12这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设a=5-12，b=5+12得ab=1，记S1=11+a+11+b，S2=11+a2+11+b2，⋯，S10=11+a10+11+b10，则S1+S2+⋯+S10=．6黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．如图1，我们已经学过，点C将线段AB分成两部分，如果AC：AB=BC：AC，那么称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．(1)求证：点D是线段AC的黄金分割点；(2)求出线段AD的长．7两千多年前，古希数学家欧多克索斯(Eudoxus，约公元前400年一公元前347年)发现；将一条线段AB分割成长、短两条线段AP、PB，若短线段与长线段的长度之比等于长线段的长度与全长之比，即PBAP=APAB，则点P叫做线段AB的黄金分割点．如图，在△ABC中，点D是线段AC的黄金分割点，且AD< CD，AB=CD．(1)求证：∠ABC=∠ADB；(2)若BC=4cm，求BD的长．8以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上，如图所示，(1)求AM，DM的长，(2)试说明AM2=AD·DM(3)根据(2)的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？2024年新课标中考数学二轮专题黄金分割及其应用1如图，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点A,B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，C,D之间的距离为．【答案】(805-160)cm【解析】【分析】黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比．其比值是一个无理数，用分数表示为5-12，由此即可求解．【详解】解：弦AB=80cm，点C是靠近点B的黄金分割点，设BC=x，则AC=80-x，∴80-x80=5-12，解方程得，x=120-405，点D是靠近点A的黄金分割点，设AD=y，则BD=80-y，∴80-y80=5-12，解方程得，y=120-405，∴C,D之间的距离为80-x-y=80-120+405-120+405=805-160，故答案为：(805-160)cm．【点睛】本题主要考查线段成比例，掌握线段成比例，黄金分割点的定义是解题的关键．2在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2=AE⋅AB．已知AB为2米，则线段BE的长为米．【答案】(5-1)或者-1+5【解析】根据点E是AB的黄金分割点，可得AEBE=BEAB=5-12，代入数值得出答案．∵点E是AB的黄金分割点，∴AE BE =BEAB=5-12．∵AB=2米，∴BE=(5-1)米．【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键．3在设计人体雕像时，使雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是()(结果精确到0.01m．参考数据：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236)A.0.73mB.1.24mC.1.37mD.1.42m 【答案】B 【解析】设雕像的下部高为x m ，由黄金分割的定义得x 2=5-12,求解即可．设雕像的下部高为x m ，则上部长为(2-x )m ，∵雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，雷锋雕像为2m ，∴x 2=5-12, ∴x =5-1≈1.24，即该雕像的下部设计高度约是1.24m ．【点睛】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键．4古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5-12≈0.618，称为黄金比例)，如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此，此外，最美人体的头顶与咽喉至肚脐的长度之比也是5-12，若某人的身材满足上述两个黄金比例，且头顶至咽喉的长度为26cm ，则其身高可能是()A.165cmB.178cmC.185cmD.190cm【答案】B 【解析】设某人的咽喉至肚脐的长度为xcm ，则26x≈0.618，解得x ≈42.072，设某人的肚脐至足底的长度为ycm ，则26+42.072y≈0.618，解得y ≈110.149，∴其身高可能是110.149÷0.618≈178(cm)。
第4課時 黃金分割學習目標：1、認識線段的黃金分割，理解黃金分割的概念.2、會運用黃金分割進行相關計算和證明.學習重點：比例性質的應用和黃金分割的概念.學習難點：運用黃金分割解決實際問題.【預習案】一、鏈接請寫出比例的基本性質.二、導讀閱讀課本P95-96，回答下列問題：（1） 叫做黃金分割．（2）黃金分割點是如何確定的？一條線段有幾個黃金分割點？叫做線段的黃金分割點， 叫做黃金比.【探究案】㈠、黃金分割的定義：1、動手操作，然後算一算，完成下麵的填空：度量線段AC 、BC 的長度，線段AC= ，BC= ， 計算AB AC = 、AC BC = , AB AC 與ACBC 的值 A B C相等嗎？※線上段AB 上，點C 把線段AB 分成兩條線段 和 ，如果 = ，那麼稱線段AB 被點C ，點C 叫做線段AB 的 ，AC 與AB 的比叫做 。
其中ABAC = ≈ ※⑴、黃金分割是一種分割線段的方法，一條線段的黃金分割點有 個。
⑵、黃金比是兩條線段的比，沒有單位，它的比值為 ，精確到0.001為 。
2、想一想：點C 是線段AB 的黃金分割點，則AB AC = 。
㈡、確定黃金分割點：如圖，已知線段AB ，按照如下方法作圖：（1）經過點B 作BD ⊥AB ，使BD=21AB.（2）連接AD ，在DA 上截取DE=DB.（3）在AB 上截取AC=AE.點C 就是線段AB 的黃金分割點。
㈢、黃金矩形：寬與長的比是：的矩形叫做黃金矩形。
【訓練案】1、若點C 是線段AB 的黃金分割點，且AC ＞CB ，則AB ：AC= ；BC ：AB= .2、若在四邊形ABCD 和四邊形A 1B 1C 1D 1中，=11B A AB =11C B BC 1111CD DA C D D A ==58且四邊形A 1B 1C 1D 1的周長為80cm ，求四邊形ABCD 的周長.A B 5−13、已知，如圖在 △ABC 中DB AD =求證：(1)EC AC DB AB =; (2)EC AE AB AD =4、設點C 是長度為2cm 的線段AB 的黃金分割點，則AC 的長為 .。
专题27.14 黄金分割（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．生活中到处可见黄金分割的美．如图，点C 将线段AB 分成AC 、CB 两部分，且AC ＞BC ，如果AB AC AC CB=，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．若C 是线段AB 的黄金分割点，AB ＝2，则分割后较短线段长为（ ）A 51B ．35C ．253D 522．世界上最有名的建筑物中几乎都包含“黄金分割”，如成都广播电视塔同样蕴含着“黄金分割”，如图，塔高AB 为339米，观光区P 为塔AB 的黄金分割点(AP ＞PB)，那么AP 的高度大约为（ ）米．A ．200B ．210C ．300D ．1303．点C 是线段AB 的黄金分割点，且6AB cm =，则BC 的长为（ ）A ．()353cmB ．(935cm -C ．()353cm 或(935cm -D ．(935cm -或()656cm 4．已知点P 是线段AB 的黄金分割点，AP PB >，则:AP PB 的值为（ ）A 51-B 51+C ．0.618D 515．如图，线段AB ＝1，点P 1是线段AB 的黄金分割点(且AP 1＜BP 1，即P 1B 2＝AP 1•AB )，点P 2是线段AP 1的黄金分割点(AP 2＜P 1P 2)，点P 3是线段AP 2的黄金分割点(AP 3＜P 2P 3)，…，依此类推，则线段AP 2017的长度是( )A ．(3−√52)2017B ．(√5−12)2017C ．(12)2017D ．(√5﹣2)1008 6．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN 分为两线段MG ，GN ，使得其中较长的一段MG 是全长MN 与较短的段GN 的比例中项，即满足51MG GN MN MG -==51-这个数称为“黄金分割”数，把点G 称为线段MN 的“黄金分割”点．如图，在ABC 中，已知3AB AC ==，4BC =，若D ，E 是边BC 的两个“黄金分割”点，则ADE 的面积为（ ）A ．105-B ．355C 525-D ．2085-7．有以下命题： ①如果线段d 是线段a ，b ，c 的第四比例项，则有a c b d=； ①如果点C 是线段AB 的中点，那么AC 是AB 、BC 的比例中项；①如果点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC BC >，那么AC 是AB 与BC 的比例中项； ①如果点C 是线段AB 的黄金分割点，AC BC >，且2AB =，则51AC =．其中正确的判断有（ ）A ．①①B ．①①①①C ．①①①D ．①①①8．采用如下方法可以得到线段的黄金分割点：如图，设AB 是已知线段，经过点B 做BD ①AB ，使12BD AB =；连接DA ，在DA 上取DE ＝DB ，在AB 上截取AC ＝AE ．点C 即为线段AB 的黄金分割点，若BD ＝2，则BC 的长为（ ）A 51-B ．65-C 51-D ．52951-510.618-≈，称为黄金分割比例），如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美51-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是（ ）A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm二、填空题 10．大自然巧夺天工，一片小小树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P 为AB 的黄金分割点()AP PB >，如果AP 的长度为8cm ，那么AB 的长度是______cm ．1151-这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设51a -=，51b +=则1ab =，记11111S a b =+++，2221111S a b =+++，…，1010101111S a b =+++．则1210S S S +++=____．12．点P 是线段AB 的黄金分割点，AP BP >，若5BP =，则AP =__．13．如图，线段AB ＝1，点P 1是线段AB 的黄金分割点（AP 1<BP 1），点P 2是线段AP 1的黄金分割点（AP 2<P 1P 2），点P 3是线段AP 2的黄金分割点（AP 3<P 2P 3），…，依次类推，则AP n 的长度是______．14．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P 为AB 的黄金分割点()AP PB >，如果AB 的长度为8cm ，那么AP 的长度是_____________．15．已知线段=AB 6，点c 是线段AB 的黄金分割点，AC BC >．那么AC BC -=________． 16．“黄金分割”被视为最美丽的几何学比率，在建筑、艺术和日常生活中处处可见．如图，D 、E 是①ABC 中边BC 的两个“黄金分割”点，则①ADE 与①ABC 的面积之比是_____．17．若线段5AB cm =，C 是AB 的黄金分割点，且AC BC >，则55________AC =．（判断对错） 18．已知点C 为线段AB 的黄金分割点，且1AC cm =，则线段AB 的长为________． 19．点 C 是线段 AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），若 AC ＝2则AB ⋅BC ＝______．20．（如图1），点P 将线段AB 分成一条较小线段AP 和一条较大线段BP ，如果，那么称点P 为线段AB 的黄金分割点，设=k ，则k 就是黄金比，并且k≈0.618．（1）以图1中的AP 为底，BP 为腰得到等腰①APB （如图2），等腰①APB 即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足≈0.618的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义： ；（2）如图1，设AB=1，请你说明为什么k约为0.618；（3）由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为S1和面积为S2的两部分（设S1＜S2），如果，那么称直线l为该矩形的黄金分割线．（如图3），点P是线段AB的黄金分割点，那么直线CP是①ABC的黄金分割线吗？请说明理由；（4）图3中的①ABC的黄金分割线有几条？21．如图，正五边形ABCDE的各条对角线的交点为M，N，P，Q，R，它们分别是各条对角线的黄金分割点．若AB＝2，则MN的长为__．三、解答题22．如图1所示，点C将线段AB分成两部分，如果ACAB =BCAC，那么点C为线段AB的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、S2，如果S1S =S2S1，那么称直线l为该图形的黄金分割线.(1)研究小组猜想：在①ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点，如图2所示，则直线CD 是①ABC的黄金分割线，你认为对吗？说说你的理由；(2)请你说明：三角形的中线是否是该三角形的黄金分割线.23．如图①，点C将线段AB分成两部分，如果AC BCAB AC，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为1S ，2S ，如果121S S S S =，那么称直线l 为该图形的黄金分割线． （1）研究小组猜想：在ABC 中，若点D 为AB 边上的黄金分割点（如图①），则直线CD 是ABC 的黄金分割线．你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）在（1）中的ABC 中，研究小组在进一步探究中发现：过点C 任作一条直线交AB 于点E ，再过点D 作直线//DF CE ，交AC 于点F ，连接EF （如图①），则直线EF 也是ABC 的黄金分割线．请你说明理由；（4）如图①，点E 是平行四边形ABCD 的边AB 的黄金分割点，过点E 作//EF AD ，交DC 于点F ，显然直线EF 是平行四边形ABCD 的黄金分割线．请你画一条平行四边形ABCD 的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD 各边黄金分割点．24．一般地，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC BC AB AC=，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．请计算黄金比．25．阅读与思考黄金分割黄金分割起源于古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了黄金分割比例这一问题，并建立起比例理论．后来欧几里得进一步系统论述了黄金分割，其《几何原本》成为最早的有关黄金分割的论著．黄金分割指的是把一条线段分成两部分，使其中较长部分与线段总长之比等于较短部分与较长部分之比．黄金分割在美学、艺术、建筑和日常生活方面有看广泛的应用．如埃及的金字塔、印度的泰姬陵等，都可发现与黄金比有联系的数据.20世纪70年代，这种方法经过我国著名数学家华罗庚的倡导在我国得到大规模推广，取得了很大的成就如图1的作法是由《几何原本》中给出：（1）以线段AB为边作正方形ABCD．（2）取AD的中点E，连接BE．（3）在DA的延长线上取点F，使FE EB=．（4）以线段AF为边作正方形AFGH．点H就是线段AB的黄金分割点．以下是证明点H是线段AB的黄金分割点的部分过程．证明：设正方形ABCD的边长为1，则1AB AD==．①点E是AD的中点，①1122 AE AD==．在Rt ABE△中，由勾股定理得：2221512BE AE AB⎛⎫=++=⎪⎝⎭…任务：（1）请根据上面的操作步骤，将上述证明过程补充完整．（2）如图2，点C，D是线段AB的两个黄金分割点，且252AC=，则AB=_____，BC= _____．参考答案1．B【分析】根据黄金分割点的概念进行计算，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较5-1解：根据黄金分割点的概念得：5-15-1251 AB=①BC=AB-AC=2(51)35-=故选：B．【点拨】本题考查了黄金分割点的概念，熟悉黄金比的值是解题的关键．2．B【分析】根据黄金分割比代入求值即可．【详解】由题意知：51BPPA-=，①AB=339，①BP=AB-PA=339-PA，代入得：33951PAPA--=解得：210PA≈，故选：B．【点拨】此题考查黄金分割比的定义及比值，难度一般．3．C【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分51-，据此进行解答即可得答案.【详解】①点C是线段AB的黄金分割点，且AB=6cm，51-51-53，或BC=651-AB=9-5故选C．【点拨】本题考查了黄金分割点的概念，熟记黄金比的值是解题的关键. 4．B根据黄金分割比求出AP ，PB 计算即可；【详解】①点P 是线段AB 的黄金分割点，AP PB >，①51AP AB -= 令AB x =， ①51AP x -=， 51352PB x x x --=-=， ①515135AP PB -+==-； 故答案选B ．【点拨】本题主要考查了黄金分割的知识点，准确计算是解题的关键． 5．A【分析】根据黄金分割的定义的BP 1=√5−12AB ，则AP 1=AB -BP 1=3−√52AB=3−√52，利用同样的方法可得到AP 2=3−√52AP 1=(3−√52)2，AP 3=(3−√52)3，按此规律易得AP n 的长度=(3−√52)n【详解】解答：解：①线段AB=1，点P 1是线段AB 的黄金分割点（AP 1＜BP 1）， ①BP 1=√5−12AB ①AP 1=AB -BP 1=3−√52AB=3−√52， ①点P 2是线段AP 1的黄金分割点（AP 2＜P 1P 2），①P 1P 2=√5−12AP 1 ①AP 2=AP 1-P 1P 2=(3−√52)2同理可得AP 3=(3−√52)3①AP 2017=(3−√52)2017 故选A.【点拨】此题重点考察学生对黄金分割的理解，理解黄金分割点是解题的关键.6．A【分析】作AF①BC ，根据等腰三角形ABC 的性质求出AF 的长，再根据黄金分割点的定义求出BE 、CD 的长度，得到ADE 中DE 的长，利用三角形面积公式即可解题.【详解】解：过点A 作AF①BC ，①AB=AC ，①BF=12BC=2，在Rt ABF 2222325AB BF --①D 是边BC 的两个“黄金分割”点，①51CD BC -=即514CD -= 解得CD=52，同理BE=52，①CE=BC -BE=4-(252)=6-25①DE=CD -58， ①S①ABC=12DE AF ⨯⨯=()145852⨯1045- 故选：A.【点拨】本题考查了“黄金分割比”的定义、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及三角形的面积公式，求出DE 和AF 的长是解题的关键。
黄金分割的应用一、什么是黄金分割？1、点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果 那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比. 如果把化为乘积式是 ，AC 叫做AB 和BC 的比例中项二、黄金分割的发现：黄金分割是古希腊哲学家毕达哥拉斯发现。
一天，毕达哥拉斯从一家铁匠铺路过，被铺子中那有节奏的叮叮当当的打铁声所吸引，便站在那里仔细聆听，似乎这声音中隐匿着什么秘密。
他走进作坊，拿出一把尺量了一下铁锤和铁砧的尺寸，发现它们之间存在着一种十分和谐的关系。
回到家里，毕达哥拉斯拿出一根线，想将它分为两段。
怎样分才最好呢？经过反复比较，他最后确定1：0.618的比例截断最优美。
后来，德国的美学家泽辛把这一比例称为黄金分割律。
这个规律的意思是，整体与较大部分这比等于较大部分与较小部分之比。
无论什么物体、图形，只要它各部分的关系都与这种分割法相符，这类物体、图形就能给人最悦目、最美的印象。
三、黄金分割的应用：1、古埃及胡夫金字塔：文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异。
但这些金字塔底面的边长与高这比都接近于0.618.2、蒙娜丽莎的微笑：著名画家达•芬奇的蒙娜丽莎构图就完美的体现了黄金分割在油画艺术上的应用。
通过下面两幅图片可以看出来，蒙娜丽莎的头和两肩在整幅画面中都处于完美的体现了黄金分割，使得这幅油画看起来是那么的和谐和完美.3、据有关测定，当气温处于人体正常体温（36 ℃ ~37℃)的黄金比值时，人体感到最舒适。
因此夏天使用空调时室内温度调到22.3 ℃~22.8℃最适合。
4、伟大的数学家华罗庚曾致力于推广“0.618优选法”，把黄金分割原理应用于生产、生活实际以及科学实验中，为国家节约了大量的人力和能源。
ACBC AB AC =AC BCAB AC =BC AB AC •=2C5、如图是古希腊时期的巴台农神庙, 如果把图中虚线表示的矩形画成下图中的ABCD ，以矩形ABCD 的宽为边在其内部作正方形AEFD,那么我们可以惊奇的发现 点E 是AB 的黄金分割点，矩形ABCD 的宽与长的比是黄金比。
教学过程
教学内容个案调整教师主导活动
学生主体
活动
6、如下图，若点P是AB的黄金分割点，则线段A P、PB、
AB满足关系式，即AP是________与________
的比例中项.
7、黄金矩形的宽与长的比大约为（精确到
0.001）
8、如图，电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄
金分割点处最自然得体，若舞台AB长为20m，试计算主
持人应走到离A点至少多少m处是比较得体的位置？（精
确到0.1m
五．小结反思：
通过本节课的学习，你有何收获？
你还存在什么疑惑？
学生独立完成，
后小组交流。
教师巡视，检
查，分析讲解
学生分组讨论
交流，总结归
纳。
教师补充
板书设计
§6.2 黄金分割
1.黄金分割点：
2.黄金比：
3.黄金三角形：
4.黄金矩形：
布置作业补充习题教学札记B
P A。
黄金分割点的求法礼师所谓黄金分割，就是把一条线段（AB ）分成两条线段，使其中较长的线段（AC ）是较短线段（BC ）和整个线段（AB ）的比例中项（如图1所示）。
图1下面介绍它的若干求法，供同学们学习时参考。
1. 黄金分割点的代数求法已知：线段AB求作：线段AB 的黄金分割点C 。
分析：设C 点为所求作的黄金分割点，则AC AB CB 2=·即AC AB AB AC 2=-() AC AB AC AB 220+-=·解这个方程，得AC AB AB =-≈5120618.所以C 点可作。
注意：方程AC AB AB AC 2=-()的解法是初三的数学内容。
2. 黄金分割点的几何求法已知：线段AB求作：线段AB 的黄金分割点C 。
作法：如图2所示，（1）过B 点作BD ⊥AB ，使BDAB =12； （2）连结AD ，在AD 上截取DE=BD ；（3）在AB 上截取AC=AE 。
图2则点C 就是所求的黄金分割点。
证明：ΘAC AE AD AB ==-12而AD AB BD =+22∴=+⎛⎝ ⎫⎭⎪-AC AB AB AB 22212 =-=-5212512AB AB AB ∴C 点是线段AB 的黄金分割点。
3. 黄金分割点的近似求法已知：线段AB求作：线段AB 的黄金分割点。
分析：若不限于尺规作图，用量角器可以作以线段AB 为一腰，顶角∠A=36°的等腰三角形ABC ，如图3所示，然后作∠ACB 的平分线CD 交AB 于点D 。
图3则点D 就是线段AB 的黄金分割点。
证明：在△ABC 中∵AB=AC ，∠A=36°∴∠=∠=-=∠∴∠=∠=∠=∠+∠=∴==ACB B CD ACB A BC CD AD1803627212363172°°°又平分°，°∆∆CDB ABCDB BC BC AC BC AC DB AD AB DBD AB ~∴===∴22·，即·点是线段的黄金分割点。
27.1 比例性质、黄金分割一、教学目标 1．核心素养通过图形相似的学习，初步形成基本的几何直观、运算能力、推理能力． 2. 学习目标（1）掌握比例的基本性质及其简单应用，能推导并理解合比性质和等比性质．能运用比例的性质解决与比例线段有关的几何问题． （2）知道黄金分割的定义，并能运用. 3．学习重点（1）掌握比例的基本性质及其简单应用，能推导并理解合比性质和等比性质． （2）了解黄金分割的意义，并能运用. 4．学习难点运用比例的基本性质解决有关问题；黄金比，找黄金分割点. 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务任务1 上网学习，思考：什么是比例的基本性质？什么是合比性质？什么是等比性质？怎么推导？任务2 上网学习，思考：什么是黄金分割？黄金比是多少，怎么得来？黄金分割有怎样的应用？ 2．预习自测1.已知23a b =，则a b b +的值为（ ） A.23 B.34 C.53 D.35【知识点:比例性质】 答案：C 解析：略2.已知点M 是线段AB 的黄金分割点(AM>BM)，若AB=8cm ，则AM 的长为（ ） A.(4 5 –4)cm B.(12-4 5 )cm C.(2 5 –2)cm D.(6-2 5 )cm 【知识点:黄金分割】答案：A 解析：略3.若x ：6=(5+x)：8,则x=______. 【知识点:比例基本性质】 答案：x=15 解析：略 （二）课堂设计 1．知识回顾（1）比的意义：两个数相除又叫做两个数的比.（2）比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（0除外），比值不变。
（3）比例：表示两个比相等的式子叫做比例. 2．问题探究问题探究一 什么是比例的基本性质？●活动1 交流学习，合作探究探究：已知80：2=200∶5，仔细观察：两个外项和两个内项，你发现了什么？ 两外项积是：80×5＝400 两内项积是：2×200＝400验证：6:10=9:15，463121：：=，644530=，2.4：3=5.6：7. 归纳：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积．这叫做比例的基本性质. 比例的基本性质：若四条线段满足a cb d=，则有ad=bc ． ●活动2 探究：已知 a·d=b·c ，你能得到哪些比例式?a c ab b dcd d b d c c a b a c d c a a b d b b d b a a c dc======== 对调内项或外项后，比例依然成立!!80 × 5=2 ×200归纳：更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d cb d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩交换内项交换外项同时交换内外项反比性质(把比的前项、后项交换)：a cb d b d a c=⇔=． ●活动3 例题讲解，比例基本性质的应用 例1：判断：5x=6y ，则x ：y=5：6（ ） 【知识点:比例基本性质】解：× 由比例的基本性质得6x=5y ，与已知5x=6y 不符，所以错误.点拨：在改写比例时，x 作外项，和x 相乘的5一定也作外项。
我们常常听说有“黄金分割”这个词，“黄金分割”当然不是指的怎样分割黄金，这是一个比喻的说法，就是说分割的比例像黄金一样珍贵。
那么这个比例是多少呢？是0.618。
人们把这个比例的分割点，叫做黄金分割点，把0.618叫做黄金数。
并且人们认为如果符合这一比例的话，就会显得更美、更好看、更协调。
在生活中，对“黄金分割”有着很多的应用。
最完美的人体：肚脐到脚底的距离/头顶到脚底的距离=0.618最漂亮的脸庞：眉毛到脖子的距离/头顶到脖子的距离=0.618做馒头时放的发酵粉的量与面粉的比值是0.618那做的馒头最好吃。
发现历史由于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。
公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。
公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著。
中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数家帕乔利称中末比为神圣比例，并专门为此著书立说。
德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割。
到19世纪黄金分割这一名称才逐渐通行。
黄金分割数有许多有趣的性质，人类对它的实际应用也很广泛。
最著名的例子是优选学中的黄金分割法或0.618法，是由美国数学家基弗于1953年首先提出的，70年代在中国推广。
在分割时．在长度为全长的约0.618处进行分割．就叫作黄金分割．这个分割点就叫做黄金分割点把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
其比值是一个无理数，用分数表示为(√5-1)/2，取其前三位数字的近似值是0.618。
由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。
这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似表示，通过简单的计算就可以发现：这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。
