第5讲抛物线
考点一 抛物线的定义及运用
1．已知抛物线2y x =上的点M 到其焦点的距离为2，则M 的横坐标是 。
2．已知抛物线2:12C x y =上一点P ，直线:3l y =-，过点P 作PA l ⊥，垂足为A ，圆22
:(4)1
M x y -+=上有一动点N ，则||||PA PN +最小值为 。
3．已知第四象限内抛物线216y x =上的一点M 到y 轴的距离是该点到抛物线焦点距离的1
5
，则点M 的坐标为 。
4．若点A 为抛物线24y x =上一点，F 是抛物线的焦点，|6|AF =，点P 为直线1x =-上的动点，则
||||PA PF +的最小值为 。
考点二 抛物线的标准方程
1．抛物线()2
20y px p =>的焦点是双曲线22x y p -=的一个焦点，则p = 。
2．已知A ，B 是过抛物线22y px =（0p >）焦点F 的直线与抛物线的交点，O 是坐标原点，且满足
2AF FB =，||3
OAB S AB ?=
，则抛物线的标准方程为 。
考点三 直线与抛物线的位置关系
1．已知抛物线的方程为24y x =，直线l 过定点()2,1P -，斜率为k ，k 为何值时，直线l 与抛物线24y x = （1）只有一个公共点； （2）有两个公共点；
（3）没有公共点?
2．设双曲线x 2a 2?y 2
b 2=1(a >0,b >0)的渐近线与抛物线y =1
2x 2+2相切，则该双曲线的离心率为 。
3．已知抛物线C 的方程为2
1
2
x y =，过点(0,1)A -和点(3)B t ，
的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t 的取值范围是 。
4．过点()0,1与抛物线22(0)y px p =>只有一个公共点的直线的条数是 。
4．已知直线:4=-l y mx 和抛物线2:8C y x =，若l 与C 有且只有一个公共点，则实数m 的值为_________．
5．若直线1y kx =+与抛物线24y x =有且只有一个公共点,则k 的值是_______.
6．若直线210x cy -+=是抛物线2x y =的一条切线，则c =__________．
7．已知直线()11y a x =+-与抛物线()20y ax a =≠恰有一个公共点，则a =_______.
第5讲 抛物线
考点一 抛物线的定义及运用
1．已知抛物线2y x =上的点M 到其焦点的距离为2，则M 的横坐标是 。 【答案】
74
【解析】抛物线2y x =焦点1(,0)4
F ，准线方程为1
4x =-，
设点M 的横坐标为0x ，根据抛物线的定义，0017
||2,44
MF x x =+
=∴=. 2．已知抛物线2:12C x y =上一点P ，直线:3l y =-，过点P 作PA l ⊥，垂足为A ，圆22
:(4)1
M x y -+=上有一动点N ，则||||PA PN +最小值为 。 【答案】4
【解析】设抛物线C 的焦点为F ，则(0,3)F ，因为直线:3l y =-为抛物线的准线，所以||||PA PF =，所
以||||PA PN +||||PF PN =+||FN ≥||1FM ≥-14==，当且仅当N 为线段FM 与圆M 的交点时，等号成立.
3．已知第四象限内抛物线216y x =上的一点M 到y 轴的距离是该点到抛物线焦点距离的1
5
，则点M 的坐标为 。 【答案】()1,4-
【解析】设(,)M x y ，则根据题意及抛物线的定义可得:1
(4)5
x x =
+，解得1x =， 代入抛物线方程得：4y =±，又点M 在第四象限，所以4y =-，故(1,4)M -.
4．若点A 为抛物线24y x =上一点，F 是抛物线的焦点，|6|AF =，点P 为直线1x =-上的动点，则
||||PA PF +的最小值为 。
【答案】【解析】由抛物线的定义得： |162
=+
=+=A A p
|AF x x ，5A x =，
代入2
4y x =得：220=A y ，不妨设(5,A ，
点F 关于直线1x =-的对称点为()3,0E -，
||||||||+=+≥=
=PA PF PA PE AE 考点二 抛物线的标准方程
1．抛物线()2
20y px p =>的焦点是双曲线22x y p -=的一个焦点，则p = 。
【答案】8
【解析】抛物线()2
20y px p =>的焦点为,02p ??
???
,
双曲线2
2
x y p -=,为22
1x y p p
-=,则22c p =,c =焦点为：)或()
,所以有
2
p
=,解得0p =或8p =,又因为0p >,所以8p =. 2．已知A ，B 是过抛物线22y px =（0p >）焦点F 的直线与抛物线的交点，O 是坐标原点，且满足
2AF FB =，||OAB S AB ?=
，则抛物线的标准方程为 。 【答案】2
4y x =
【解析】设1122(,),(,)A x y B x y , 2AF FB =，
则122y y =-，又由抛物线焦点弦性质， 2
12y y p =-，
所以22
22y p -=-，得21,2
y p y =
=， 11322AF BF BF p
+== ， 得339
,,424
BF p AF p AB p =
==．
21219(|))22834
OAB p S y y p p ?=
??+==? ， 得2p = ，抛物线的标准方程为2
4y x =
考点三 直线与抛物线的位置关系
1．已知抛物线的方程为24y x =，直线l 过定点()2,1P -，斜率为k ，k 为何值时，直线l 与抛物线24y x = （1）只有一个公共点； （2）有两个公共点； （3）没有公共点?
【答案】（1）0k =或12k =
或1k =-，（2）112k -<<且0k ≠，（3）1
2
k >或1k <- 【解析】设直线l 的方程为：1(2)y k x -=+，即(2)1y k x =++. 联立2222
2
(2)1(424)44104y k x k x k k x k k y x
=++??++-+++=?
=? （1）因为直线与抛物线只有一个公共点，
等价于方程2222(424)4410k x k k x k k ++-+++=只有一个根. 当0k =时，410x -+=，符合题意.
当0k ≠时，2
2
2
2
(424)4(441)0k k k k k ?=+--++=， 整理得：2210k k +-=，解得1
2
k =或1k =-. 综上可得：0k =或1
2
k =
或1k =-. （2）因为直线与抛物线有两个公共点，
等价于方程2222(424)4410k x k k x k k ++-+++=只有两个根. 所以0k ≠，2
2
2
2
(424)4(441)0k k k k k ?=+--++>， 即2210k k +-<，解得1
12
k -<<
且0k ≠. （3）因为直线与抛物线没有公共点，
等价于方程2222(424)4410k x k k x k k ++-+++=无根. 所以0k ≠，2
2
2
2
(424)4(441)0k k k k k ?=+--++<， 即2210k k +->，解得1
2
k >
或1k <-. 2．设双曲线x 2
a 2?y 2
b 2=1(a >0,b >0)的渐近线与抛物线y =1
2x 2+2相切，则该双曲线的离心率为 。 【答案】√5
【解析】双曲线渐近线为y =±b
a x ，不妨取y =b
a x ，联立渐近线与抛物线方程得 x 2?
2b a
x +4=0∵ 渐近线与抛物线相切∴(?
2b a
)2
?4×1×4=0∴
4b 2a 2
=16∴b 2=4a 2
∴c 2=a 2
+b 2
=5a 2
∴e =√c 2
a 2=√5。
3．已知抛物线C 的方程为2
1
2
x y =，过点(0,1)A -和点(3)B t ，
的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t 的取值范围是 。
【答案】(,)-∞?+∞
【解析】据已知可得直线AB 的方程为41y x t
=-，联立直线与抛物线方程，得241
{12
y x t
x y
=
-=，消元整理，
得2
4210x x t -+=，由于直线与抛物线无公共点，即方程24210x x t -+=无解，故有24
()80t
--<，解
得t >
或t <
4．过点()0,1与抛物线22(0)y px p =>只有一个公共点的直线的条数是 。 【答案】3
【解析】易知点(0,1)在抛物线2
2(0)y px p =>外，过(0,1)可作抛物线的两条切线，过(0,1)与对称轴（x
轴）平行的直线与抛物线也只有一个公共点．共有3条．
4．已知直线:4=-l y mx 和抛物线2:8C y x =，若l 与C 有且只有一个公共点，则实数m 的值为_________． 【答案】0或1
2
-
【解析】当斜率0m = 时，直线:4=-l y mx 平行于x 轴，与抛物线2
8y x =仅有一个公共点．当斜率不
等于0时，把4y mx =-代入抛物线2
8y x =得 ()2288160m x m x +--+=，
由题意可得，此方程有唯一解，
故判别式()2
2884160m m ?=---?=，12
m ∴=-， 故答案为：0或12
-
． 5．若直线1y kx =+与抛物线24y x =有且只有一个公共点,则k 的值是_______. 【答案】0或1
【解析】①当直线1y kx =+与x 平行时，方程为1y =，0k =，与抛物线2
4y x =只有一个公共点，坐标
为1,14??
???
， ②当0k ≠时，方程1y kx =+与抛物线方程联立，消去y 得
()222410k x k x +-+=，
()2
22440k k ?=--=，解得1k =，
切线方程为1y x =+， 综上，0k =或1， 故答案为：0或1.
6．若直线210x cy -+=是抛物线2x y =的一条切线，则c =__________． 【答案】1-
【解析】联立直线和抛物线得到2210
x cy x y
-+=??=?2210cx x ?--=01c ??=?=-．
故答案为：1-.
7．已知直线()11y a x =+-与抛物线()20y ax a =≠恰有一个公共点，则a =_______. 【答案】4
5
-
或1- 【解析】当10a +=时，即当1a =-时，直线的方程为1y =-，抛物线的方程为2
y x =-，
联立直线与抛物线的方程2
1y y x =-??
=?，解得1
1
x y =??=-?，此时直线与抛物线只有一个交点； 当10a +≠且0a ≠时，即当1a ≠-且0a ≠时，联立()2
11y a x y x
?=+-?
=?，
得()2
10a y ay a +--=，则()()2
41540a a a a a ?=++=+=，解得45
a =-. 因此，45a =-或1-.故答案为：4
5
-或1-.