考点13 三角函数定义
【思维导图】
【常见考法】
考点一：终边相同的角
1．终边在第二、四象限的角平分线上的角可表示为 。 【答案】180135,k k Z ??+?∈
【解析】角的终边在第二象限的角平分线上，可表示为：13601352180135k k α=??+?=??+?，k Z ∈， 角的终边在第四象限的角平分线上，可表示为：
2360315(21)180135k k α=??+?=+??+?，k Z ∈．故当角的终边在第二、四象限的角平分线上时，可表示为：
180135k α=??+?，k Z ∈．
2．下列各组角中，终边相同的角是 。 A ．
2k π与()2
k k Z π
π+∈ B ．3
±
k π
π与
()3
k k Z π
∈ C ．()21+k π与 ()()41k k Z π±∈ D ．6
k ππ+与()6k k Z π
π±∈
【答案】C
【解析】对于A 选项，
()2k k Z π∈表示2π的整数倍，()()2122
k k k Z πππ++=∈表示2π的奇数倍，2k π
与()2
k k Z π
π+
∈的终边不一定相同；
对于B 选项，
()()313
3
k k k Z π
π
π±±
=
∈，()31k k Z +∈表示除3余数为1的整数，
()()31312k k k Z -=-+∈表示除3余数为2的整数，而()3
k k Z π∈表示3π
的整数倍， 所以，,,33k x x k k Z x x k Z ππ
π????=±∈=∈??
????
??
，
则3
±
k π
π与
()3
k k Z π
∈的终边不一定相同； 对于C 选项，对于()41k π±，取1k k Z =∈得()()14141k k ππ±=±，对于()21+k π，取2k k Z =∈得
()()22121k k ππ+=+，
()()()()12121241214222k k k k k k ππππ+-+=-=-，
()()()()1212124121422221k k k k k k ππππ--+=--=--均为2π的整数倍，
则()21+k π与 ()()41k k Z π±∈的终边相同； 对于D 选项，显然,,66x x k k Z x x k k Z π
π
ππ????=+
∈=±∈?????
???
，
则6
k π
π+
与()6
k k Z π
π±
∈的终边不一定相同.故选：C.
3．已知集合|22,4
2k k k Z π
π
απαπ??
+
≤≤+
∈???
?
则角α的终边落在阴影处(包括边界)的区域是 。 A ． B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】令0k =，则ππ
42α≤≤，故B 选项符合.故选：B 4．集合M={|,24k x x k ππ=+∈Z}，N={|,4
k x x k π
=∈Z}，则 。
A ．M ?N
B ．N ?M
C ．M N=?
D ．M
N=R
【答案】A
【解析】∵k ∈Z ；∴k ＝2n 或2n+1，n ∈Z ； ∴{|}224n n N x x x n Z πππ==
=+∈或，；又{|}24
k M x x k Z ππ==+∈，； ∴M ?N ．故选A ．
考点二：三角函数定义
1．角α的终边经过点（2，﹣1），则2sinα+3cosα的值为 。
【解析】由角α的终边经过点(2,-1),可得
sin 5α=
=-
,
cos 5α==,
所以2323sin cos αα?+=?+= ??
2．已知角θ的终边经过点P （4，m ），且sinθ=3
5
，则m 等于 。 【答案】3 【解析】
3
sin 5
θ=
=
，解得3m =. 3．若点(),P x y 是330角终边上异于原点的任意一点，则
y
x
的值是 。
【答案】【解析】由三角函数的定义可得
()3
tan 330tan 36030tan 303
y x ==-=-=-
. 4．在平面直角坐标系中,点()1,2A 是角α终边上的一点,点()1,1B -是角β终边上的一点,则()cos αβ-的值是 。
【答案】
10
【解析】因为r OA ===，所以sin
y x r r αα=
=== sin
ββ=
=，所以
()cos cos cos sin sin
10
αβαβαβ?-=+=
= ?． 5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，第一象限内的点11(,)A x y 和第二象限内的点22(,)B x y 都在单位圆O 上，AOx α∠=，3
AOB π
∠=
.若212
13
y =
，则1x 的值为 。
【解析】由三角函数的定义有1cos x α=，212
sin ()313
y k πα??=+
=∈ ??
?Z ， 因为B 点在第二象限内，所以5cos 313
πα??
+
=- ??
?， 所以1cos cos cos cos sin sin 333333x ππππππαααα??
?
????
?==+
-=+++ ? ? ????
????
???
511213213=-
?+=
， 6．0,t <设点2,12t P t ??
+ ???
是角α终边上一点，当OP 最小时，cos α的值是 。
【答案】
【解析】t OP ?==≥=
当且仅当224
4t t
=时取等号，∵0,2t t <∴=-，因为OP 最小值为
所以此时，点()2,1P -，cos
α=
=
7．已知β为锐角，角α的终边过点（3，4），sin （α+β）＝
2
，则cosβ＝ 。
【答案】
10
【解析】β为锐角，角α的终边过点（3，4），∴sinα45=
，cosα35=，sin （α+β）2
=sinα，∴α+β为
钝角，∴cos （α+β）==
则cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos （α+β） cosα+sin （α+β） sinα2=-
352+?4510
=， 考点三：三角函数值的正负（或象限）判断
1．若sin tan 0θθ?>，则θ所在的象限是( )
A ．二、四
B ．一、二
C ．一、四
D ．二、三
【答案】C 【解析】
sin tan 0θθ
?>，sin 0tan 0θθ>?∴?
>?或sin 0
tan 0
θθ
且tan 0θ>，则角θ为第一象限角； 若sin 0θ<且tan 0θ<，则角θ为第四象限角. 综上所述，角θ为第一或第四象限角.故选：C.
2．若α是第二象限角，则点()sin ,cos P αα在 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】D
【解析】因为α是第二象限角，所以sin 0,cos 0αα><， 所以点()sin ,cos P αα在第四象限，故选D 3．若cos 0θ<且tan 0θ<，则2
θ
终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第一或第三象限
D ．第三或第四象限
【答案】C 【解析】
cos 0θ<．∴3222
2k k π
ππθπ+
<<+
，k Z ∈∴3424
k k πθπππ+<<+，k Z ∈ 即3|,424A x k k k Z πθπππ??
=+<<+
∈????
， tan 0θ<．∴2
k k π
πθππ+
<<+，k Z ∈∴
24222
k k ππθππ
+<<+，k Z ∈ 即tan 0θ<的解集为|,24222k k B x k Z ππθππ??
=+<<+∈????
， 则3|,|,|,24222424422k k A
B x k Z x k k k Z x k k k Z ππθπππθππθπππππ??
????
=+<<+∈+<<+
∈=+<<+∈??
??????
????
可得2
θ
终边在第一或第三象限．故选：C ． 4．若α是第三象限角，则y ＝sin 2sin 2α＋cos
2
cos
2
α的值为( )
A ．0
B ．2
C ．－2
D ．2或－2
【答案】A
【解析】∵α是第三象限角，∴
2α是第二或第四象限角．当2α为第二象限角时，y ＝1＋(－1)＝0；当2
α为第四象限角时，y ＝－1＋1＝0.∴y ＝0. 5．如果sinα＜0，tanα＞0，那么角
2
α
的终边在（ ） A ．第一或第三象限 B ．第二或第四象限 C ．第一或第二象限 D ．第三或第四象限 【答案】B
【解析】由sinα＜0，则角α的终边在第三、四象限或y 轴的非正半轴上， 由tanα＞0，则角α的终边在第一、三象限，所以角α的终边在第三象限, 即322,2k k k αππ+π<<π+∈Z ,所以3,224
k k k Z παπππ+<<+∈ 当k 为偶数时，2α的终边落在第二象限，当k 为奇数时，2
α
的终边落在第四象限， 所以
2
α
的终边落在第二或第四象限.故选：B
6．如果θ是第二象限角,且cos sin 22
θθ-=那么2θ
所在象限为第几象限
A ．一
B ．二
C ．三
D ．四
【答案】C
cos sin 22
θθ
==-，
因为是第二象限角，故
，则
，
，
2θ
在一、三象限，又因为，所以
2
θ
在第三象限，故选C ． 考点四：三角函数线
1．若MP 和OM 分别是角76
π
的正弦线和余弦线，则（ ） A ．0MP OM << B ．0OM MP >>
C ．0OM MP <<
D ．0MP OM >>
【答案】C
【解析】在单位圆中画出角76
π
的正弦线MP 和余弦线OM ，如图所示，则0OM MP <<. 故选：C.
2．在()0,2π内,使sin cos x x >成立的x 的取值范围为( ) A ．(,)4
π
π
B ．5(
,)44
ππ C ．5(
,)424
ππ
ππ??
? ???
， D ．53(
,)444
π
πππ??
? ???
， 【答案】B
【解析】在()0,2π内，画出sin x 与cos x 对应的三角函数线是MT ，OM ，如图：
满足在()0,2π内，使sin cos x x >的即MT OM >，所以所求x 的范围是：
5(
,
)44ππ
，故选：B.
3．若点(),P sin cos tan ααα-在第一象限， 则在[0,2)π内α的取值范围是（ ）. A ．5,,424ππππ????
? ?????
B ．35,,
244ππππ???? ?
???
?
?
C ．353,,2442ππππ????
?
???
??
D ．33,,244ππππ????
?
? ?????
【答案】A
【解析】点(),P sin cos tan ααα-在第一象限，sin cos 0,tan 0.ααα->???>?sin cos ,
tan 0.ααα>???>?
，如下图所示：
在[
)0,2π内α的取值范围是5,,424ππππ????
?
? ??
???
，本题选A. 4．比较大小，正确的是（ ）． A ．sin(5)sin3sin5-<< B ．sin(5)sin3sin5->> C ．sin3sin(5)sin5<-< D ．sin3sin(5)>sin5>-
【答案】B 【解析】因为
3π
52π2
<<，所以sin50<． 而sin(5)sin(2π5)-=-，sin3sin(π3)=-， 由π
0π32π52
<-<-<
，所以，sin(2π5)sin(π3)0->->． 综上，sin(5)sin(3)sin5->>，故选B ． 5．函数
y =
的定义域为____________.
【答案】2,2,4
2k k k Z π
πππ??
+
+
∈???
?
【解析】要使
y =
，则有sin 0x >且tan 1x >
由sin 0x >得(),2,2k x k k Z πππ∈∈+ 由tan 1x >得,,4
2x k k k Z π
πππ??
∈∈???
?
+
+
因为(),2,2,2,4
2422k k k k k k k Z π
ππππππππππ???=???
??
?
++
+
++∈???? 所以原函数的定义域为2,2,4
2k k k Z π
πππ??
+
+
∈???
?
故答案为：2,2,4
2k k k Z π
πππ??
++
∈???
?