2021高考数学考点精讲精练《04 单调性》(讲解)(解析版)

函数的单调性与奇偶性知识集结知识元函数的单调性与奇偶性知识讲解1．奇偶性与单调性的综合【知识点的认识】对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用．在重复一下它们的性质①奇函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f （﹣x）＝﹣f（x），其图象特点是关于（0，0）对称．②偶函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），其图象特点是关于y轴对称．【解题方法点拨】参照奇偶函数的性质那一考点，有：①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反例题：如果f（x）＝为奇函数，那么a＝．解：由题意可知，f（x）的定义域为R，由奇函数的性质可知，f（x）＝＝﹣f（﹣x）⇒a＝1【命题方向】奇偶性与单调性的综合．不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题的时候多多总结，一定要重视这一个知识点．例题精讲函数的单调性与奇偶性例1.（2021春∙沙坪坝区校级月考）下列函数为奇函数且值域为R的是（）A．y=x+B．y=xD．y=ln（x+）C．y=【答案】D【解析】题干解析:根据题意，依次分析选项：对于A，y=x+，为奇函数，但其值域为（-∞，-2]∪[2，+∞），不符合题意；对于B，y==，为偶函数，不符合题意；对于C，y=，为奇函数，其值域为（-1，1），不符合题意；对于D，y=ln（x+），为奇函数且值域为R，符合题意；例2.（2021春∙南关区校级月考）下列函数，既是偶函数，又在（-∞，0）上单调递增的是（）A．f（x）=-（x-1）2B．C．f（x）=3|x|D．f（x）=cos x【答案】B【解析】题干解析:根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）=-（x-1）2，为二次函数，不是偶函数，不符合题意；对于B，f（x）=log2，既是偶函数，又在（-∞，0）上单调递增，符合题意；对于C，f（x）=3|x|，是偶函数但在（-∞，0）上单调递减，不符合题意；对于D，f（x）=cos x是余弦函数，是偶函数但在（-∞，0）上不是单调函数，不符合题意；例3.（2021∙栖霞市模拟）已知函数f（x）和f（x+2）都是定义在R上的偶函数，当x∈[0，2]时，f （x）=2x，则=（）A．2 B．D．C．【答案】B【解析】题干解析:∵f（x）和f（x+2）都是定义在R上的偶函数，∴f（-x+2）=f（x+2）=f（x-2），即f（x+4）=f（x），则f（x）的周期T=4，则=f（）=f（1010-）=f（252×4+2-）=f（2-）=f（）=2=2∙=2，当堂练习单选题练习1.（2021秋∙张家口期末）已知是（-∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是（）A．B．C．（0，1）D．【答案】A【解析】题干解析:因为f（x）为（-∞，+∞）上的减函数，所以有，解得≤a<，练习2.（2021∙3月份模拟）已知函数f（x）=（x2-2x）sin（x-1）+x+1在[-1，3]上的最大值为M，最小值为m，则M+m=（）A．4 B．2 C．1 D．0【答案】A【解析】题干解析:∵f（x）=（x2-2x）sin（x-1）+x+1=[（x-1）2-1]sin（x-1）+x-1+2令g（x）=（x-1）2sin（x-1）-sin（x-1）+（x-1），而g（2-x）=（x-1）2sin（1-x）-sin（1-x）+（1-x），∴g（2-x）+g（x）=0，则g（x）关于（1，0）中心对称，则f（x）在[-1，3]上关于（1，2）中心对称。

培优4 抽象函数及应用一、抽象函数单调性的应用例1：（多选题）函数()f x 为奇函数且当0x ≤时，()f x 单调递减，若2(6)(5)f a f a ->，则下列满足不等式的实数a 的取值范围有（ ） A ．(,3)-∞- B ．(,6)-∞-C ．(1)+∞D ．(6,1)-【答案】BC【解析】依题意，()f x 是单调递减函数，265a a -<，解得(,6)(1)a ∈-∞-+∞．二、抽象函数奇偶性的应用例2：已知()f x 是定义在[]10,10-上的奇函数，且()(4)f x f x =-，则函数()f x 的零点个数至少为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】∵()f x 是定义在[]10,10-上的奇函数，∴(0)0f =，且()f x 的零点关于原点对称，∴零点个数为奇数，排除B 、D ； 又()(4)f x f x =-，∴(0)(4)0f f ==，(4)(4)0f f -=-=， ∴(4)(44)(8)0f f f -=+==，(8)(8)0f f -=-=， ∴()f x 的零点至少为0，4±，8±，共5个．三、抽象函数周期性的应用例3：已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=（ ）A ．50-B ．0C ．2D ．50【答案】C【解析】(4)(2)(2)()()f x f x f x f x f x +=--=-+=--=， ∴函数周期为4．∵(1)2f =，(2)0f =，(3)2f =-，(4)0f =，∴(1) (2) (3) (4)0f f f f +++=，∴(1)(2)(50)(1)(2)2f f f f f +++=+=．增分训练 一、选择题1．命题p ：若存在a ∈R 且0a ≠，对任意的x ∈R ，有()()()f x a f x f a +<+恒成立；已知命题1q ：()f x 单调递减，且()0f x >恒成立；命题2q ：()f x 单调递增，且存在00x <使0()0f x =．则下列说法正确的是（ ） A ．1q ，2q 都是p 的充分条件 B ．1q ，2q 都不是p 的充分条件 C ．只有1q 是p 的充分条件 D ．只有2q 是p 的充分条件【答案】A【解析】若1q 成立，取12x x >，则12()()f x f x <，取120a x x =-≠，则()0f a >， 故1222()()()()()f x f x a f x f x f a =+<<+成立，所以1q 是p 的充分条件； 若2q 成立，取00x <，使0()0f x =， 由于0x x x +<且()f x 单调递增，取0a x =，有00()()()()()()()f x a f x x f x f x f x f x f a +=+<=+=+， 即()()()f x a f x f a +<+，所以2q 是p 的充分条件．2．若定义在R 的奇函数()f x 在(,0)-∞单调递减，且(2)0f =，则满足(1)0xf x -≥的x 的取值范围是（ ）A ．[1,1]3,)[-+∞B ．[3,1][0,1]--C ．[1,0]1,)[-+∞D ．[1,0][1,3]- 【答案】D【解析】∵()f x 为R 上奇函数，在(,0)-∞单调递减，∴(0)0f =，在(0,)+∞上单调递减． ∵(2)0f =，∴(2)0f -=，由(1)0xf x -≥，得0(1)0x f x ≥-≥⎧⎨⎩或0(1)0x f x ≤-≤⎧⎨⎩，解得13x ≤≤或10x -≤≤，∴x 的取值范围是[1,0][1,3]-，∴选D ．3．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，则（ ）A ．0.63(3)(log 13)(2)f f f -<-< B ．0.63(3)(2)(log 13)f f f -<<- C ．0.63(2)(log 13)(3)f f f <-<-D ．0.63(2)(3)(log 13)f f f <-<-【答案】C【解析】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，则(3)(3)f f -=，33(log 13)(log 13)f f -=，有0.63322log 13log 273<<<=，又由()f x 在(0,)+∞上单调递增，则有0.63(2)(log 13)(3)f f f <-<-，故选C ．4．设函数()f x 对不为零的一切实数x 均有2016()2()3f x f x x+=，则(2)f 等于（ ）A ．2013B ．2014C ．2015D ．2016【答案】B【解析】∵2016()2()3f x f x x+=，把2x =代入得(2)2(1008)6f f +=①， 把1008x =代入得(1008)2(2)31008f f +=⨯②，∴(2)2014f =．5．函数()y f x =为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()f x 单调递增．若(1)1f =， 则满足1(2)1f x -≤+≤的x 的取值范围是（ ） A ．[2,2]- B ．[3,1]--C ．[]2,0-D ．[1,3]【答案】B【解析】函数()y f x =为定义在R 上的奇函数，由(1)1f =，可知(1)1f -=-， 当0x ≥时，函数单调递增，∵()y f x =为定义在R 上的奇函数，∴()y f x =在R 上单调递增， 由1(2)1f x -≤+≤，可得121x -≤+≤，即31x -≤≤-．6．设()f x 是定义在R 上的增函数，()()()F x f x f x =--，那么()F x 必为（ ） A ．增函数且是奇函数 B ．增函数且是偶函数 C ．减函数且是奇函数 D ．减函数且是偶函数【答案】A【解析】∵()()()()F x f x f x F x -=--=-，∴()F x 为定义在R 上的奇函数， 设21x x >，则212211()()()()()()F x F x f x f x f x f x -=---+-， ∵21x x >，∴21x x -<-，∵()f x 为定义在R 的增函数，∴21()()f x f x >，12()()f x f x ->-， ∴212112()()[()()][()()]0F x F x f x f x f x f x -=-+--->， ∴()F x 为定义在R 上的增函数， 综上所述：()F x 必为增函数且为奇函数．7．（多选题）若()f x ，()g x 分别为定义在R 上的奇函数，偶函数，则（ ） A ．()()f x g x +为奇函数 B ．()()f x g x ⋅为奇函数 C ．[()]f g x 为偶函数 D ．[()]g f x 为偶函数【答案】BCD【解析】对于A 选项，()()()()f x g x f x g x -+-=-+，不满足题意； 对于B 选项，()()()()f x g x f x g x -⋅-=-⋅，满足题意； 对于C 选项，[()][()]f g x f g x -=，满足题意；对于D 选项，[()][()][()]g f x g f x g f x -=-=，满足题意．8．（多选题）函数()f x 定义域为R ，满足：存在12x x ≠，12()()f x f x ≠，对任意x ，y ，()()()f x y f x f y +=⋅，则（ ）A ．(0)0f =B ．(0)1f =C ．()0f x <D ．()0f x >【答案】BD【解析】令0y =，()()(0)f x f x f =⋅．若(0)0f =，对任意12x x ≠，12()()0f x f x ==，不符合题意， 故()0f x >，(0)1f =， 令y x =，2(2)()0f x f x =≥，又()0f x ≠，∴(2)0f x >，()0f x >，故选B 、D ．二、填空题9．设a ∈R ，若存在定义域为R 的函数()f x 满足：①对任意0x ∈R ，0()f x 的值为0x 或20x ；②关于x 的方程()f x a =无实数解，则a 的取值范围是__________．【答案】(,0)(0,1)(1,)-∞+∞【解析】考虑()f a ，关于x 的方程()f x a =无实数解，则2()f a a a =≠， 故0a ≠且1a ≠，注意此为必要条件． 同时构造出2,(),x x af x x x a≠⎧=⎨=⎩是满足条件的函数，故(,0)(0,1)(1,)a ∈-∞+∞．10．把函数(2)y f x =的图象向右平移_______个单位得到函数(23)y f x =-的图象． 【答案】32【解析】由于函数3(23)[2()]2y f x f x =-=-，故把函数(2)y f x =的图象向右平移32个单位， 可得到函数3(23)[2()]2y f x f x =-=-的图象．11．已知定义在(,)-∞+∞上的偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，1(1)2f -=-． 若1(21)2f x -≥-，则x 的取值范围为________． 【答案】[0,1]【解析】因为1(1)(1)2f f =-=-，1(21)2f x -≥-，所以(21)(1)f x f -≥． 又偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，所以(21)(1)f x f -≥可化为(|21|)(1)f x f -≥，所以|21|1x -≤，解得01x ≤≤．12．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，(1)f x +是偶函数，则(1)(2)(3)(4)f f f f +++=__________．【答案】0【解析】由(1)f x +是偶函数得(1)(1)f x f x -+=+， 又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(1)(1)f x f x -+=--， 即(1)(1)f x f x --=+，所以(2)()f x f x +=-，即()(2)0f x f x ++=，所以(1)(3)0f f +=，(2)(4)0f f +=， 因此(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=．13．已知函数()y f x =是R 上的奇函数，则函数(4)2y f x =-+的图象经过的定点 为__________． 【答案】(4,2)【解析】函数()y f x =是R 上的奇函数， 根据奇函数性质可知，()y f x =过(0,0)，()y f x =向右平移4个单位，向上平移2个单位，可得(4)2y f x =-+，所以(4)2y f x =-+过的定点为(4,2)．14．已知函数2()2()f x g x x =-为奇函数，若(1)1g -=-，则(1)g =__________，(1)f =__________．【答案】2，3【解析】因为函数2()2()f x g x x =-为奇函数，且(1)2(1)1f g =-，(1)2(1)1f g -=--， 所以(1)(1)2(1)2(1)20f f g g +-=+--=，所以22(1)(1)22g -⨯-==．所以(1)2(1)12213f g =-=⨯-=．。

高考数学复习典型题型与知识点专题讲解4 函数的基本性质一、典型例型解题思维（名师点拨）知识点1 ()(0)af x x a x =+>的单调性知识点2 二次函数区间求最值知识点3 已知一半求另一半（奇偶性） 知识点4单调奇偶联袂 二、题型归类练专练一、典型例型解题思维（名师点拨）知识点1 ()(0)af x x a x=+>的单调性例1．（2021·宁夏·平罗中学高一期中）已知4()f x x x=+. （1）判断()f x 的奇偶性；（2）判断函数()f x 在(2,)+∞的单调性并用定义证明. 【答案】（1）函数()f x 为奇函数；（2）()f x 在区间()2,+∞上是增函数；证明见详解. （1）解：由题可知，4()f x x x=+，则函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠ ，关于原点对称，又44()()()f x x x f x x x-=--=-+=-， 所以函数()f x 为奇函数.（2）解：()f x 在区间()2,+∞上是增函数， 证明：12,(2,)x x ∀∈+∞且12x x <， 有12121244()()()()f x f x x x x x -=+-+ 121244()()x x x x =-+-121212(4)x x x x x x -=-， 122x x <<，1212124,40,0x x x x x x >->-<∴,121212(4)0x x x x x x -∴-<，即12()()f x f x <， ∴函数()f x 在区间()2,+∞上是增函数.名师点评：对于函数()(0)af x x a x =+>主要性质如下：①定义域(,0)(0,)-∞+∞； ②奇偶性：奇函数；③单调性：当0x >时；()(0)af x x a x =+>在上单调递减；在)+∞的单调增；④值域与最值：当0x >时；()(0)af x x a x =+>值域为)+∞，当x =小值特别提醒同学们函数()(0)af x x a x =+>我们称为对钩函数（耐克函数），注意需要0a >这个大前提，当0a ≤时都不再是对钩函数，此时不具有对钩函数的性质。

第4题正弦型函数的单调性及应用一、原题呈现【原题】下列区间中,函数 π7sin 6x x f单调递增的区间是（）A.π0,2B.π,π2C.3ππ,2D.3π,2π2【答案】A 【解析】解法一：因为函数sin y x 的单调递增区间为 ππ222π,2πk k kZ ,对于函数 π7sin 6x x f,由 πππ2π2π262k x k kZ ,解得 π2π2π2π33k x k k Z ,取0k ,可得函数 f x 的一个单调递增区间为π2π,33,则ππ2π0,,233 ,ππ2π,π,233,A 选项满足条件,B 不满足条件；取1k ,可得函数 f x 的一个单调递增区间为5π8π,33,3ππ2ππ,,233 且3π5π8ππ,,233 ,3π5π8π,2π,233,CD 选项均不满足条件.,故选A.解法二：利用复合函数的单调性逐个验证.设π6t x 对于A,当π0,2x时ππ,63t ,由7sin y t 在ππ,63上是增函数,可得A 满足条件；对于B,当π,π2x时π5π,36t ,由7sin y t 在π5π,36上不单调,可得B 不满足条件；对于C,当3ππ,2x时5π4π,63t ,由7sin y t 在5π4π,63上是减函数,可得C 不满足条件；对于D,当3π,2π2x 时4π11π,36t ,由7sin y t 在4π11π,36上不单调,可得D 不满足条件；故选A.解法三： π7sin 6x x f在区间 ,a b 上单调递增,则 ,x a b 时 π7cos 06f x x恒成立.对于A,当π0,2x时πππ663x , 0f x 恒成立,A 满足条件；对于B,当π,π2x时,由5π2π1cos 0632f,可得B 不满足条件；对于C,当3ππ,2x时,由7πcos π106f,可得C 不满足条件；对于D,当3π,2π2x时,由19π17πcos 01212f,可得D 不满足条件；故选A.【就题论题】本题以正弦型函数为载体,考查三角函数的单调性,试题简洁流畅,属于常规题型,侧重对重要基础知识的考查.三角函数单调性是三角函数的一个重要性质,也是高考考查的热点,对于求正弦型函数的单调性课本有不少类似的题,这说明课本是高考试题的生长点,复习时不要丢掉课本.二、考题揭秘【命题意图】本题考查三角函数的单调性,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：容易.【考情分析】三角函数与解三角形在新高考全国卷中一般有2道客观题,1道解答题,解答题一般考查解三角形,客观题考查热点是三角变换及三角函数的图象与性质.【得分秘籍】(1)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时,要视“ωx ＋φ”为一个整体,通过解不等式求解；(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解；如已知ω>0,函数f (x )＝cos(ωx ＋π4)在(π2,π)上单调递增,求ω的取值范围．可先根据函数y ＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2k π,2k π],k ∈Z ,＋π4≥－π＋2k π，＋π4≤2k π，k ∈Z ,解得4k －52≤ω≤2k －14,k ∈Z ,再根据4k －52－kk ∈Z 且2k －14＞0,k ∈Z ,得k ＝1,求得ω的取值范围是32，74.(3)求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在区间 ,a b 上的值域或最值,一般根据y ＝A sin(ωx ＋φ)在区间 ,a b 上的单调性来求；(4)研究sin cos y a x b x 的单调性,要先利用辅助角公式把函数化为构造y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)的形式；(5)研究22sin sin cos cos y a x b x x c x d的单调性,要先利用21cos21sin ,sin cos 2,22x x x x x21cos 2cos 2xx降幂,再利用辅助角公式把函数化为构造y ＝Asin(2x ＋φ)+B 的形式.【易错警示】(1)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调性时,如果ω＜0,一定先借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错；(2)把sin cos y a x b x 化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)时忽略φ所在象限,导致φ值求错.(3)单调区间表示不规范,如没有用区间表示,没有写k Z 等.三、以例及类（以下所选试题均来自新高考Ⅰ卷地区2020年1-6月模拟试卷）单选题1．（2021福建省宁德市高三质量检查）若偶函数())cos(2)f x x x 在,04上为减函数,则φ的可能取值为（）A ．6B ．3C ．56D ．23【答案】D【解析】因为())cos(2)2sin(2)6f x x x x为偶函数,所以62k,k Z ,即3k ,k Z ,故A ,C 错误,当23时,()2cos 2f x x 在[4,0]上为减函数,故D 正确；当3时,()2cos 2f x x 在[4 ,0]上为增函数,故B 错误；故选D2．（2021广东省燕博园高三3月数学综合能力测试）已知函数 sin f x A x （A , , 均为正常数）,相邻两个零点的差为π2 ,对任意x , 2π3f x f恒成立,则下列结论正确的是（）A ． 220f f f ＜＜B ． 022f f f ＜＜C ．202f f f ＜＜D ．202f f f ＜＜【答案】A【解析】函数sin f x A x （A , , 均为正常数）,相邻两个零点的差为π2,所以πT ,所以2 ,对任意x , 2π3f x f 恒成立,即2πsin 23A A,故π6所以πsin 26f x A x ．故 ππ2sin 4sin 42π066f A Aπ2sin 406f A, π5π0sin sin 066f A A ,由于3ππ5π42π26π2 ,函数在π3π,22上单调递减,故 220f f f ．故选A ．3．（2021河北省沧州市高三三模）把函数2sin 2y x 的图象向左平移3个单位长度,再将所得图象向上平移1个单位长度,可得到函数 f x 的图象,则（）A ． 2sin 213f x xB ． f x 的最小正周期为2C ． f x 的图象关于直线6x对称D ． f x 在5,612上单调递减【答案】D【解析】将函数2sin 2y x 图象向左平移3 个单位长度得到22sin 22sin 233y x x的图象,再向上平移1个单位长度可得到 22sin 213f x x的图象,故A 错误.22T ,故B 错误；令22,32x k kZ ,得,122k x k Z ,当0k 时,12x ；当1k 时,512x ,故C 错误.令23222,232k x k k Z ,5,1212k x k k Z ,所以 f x 在5,612上单调递减,故D 正确.故选D.4．（2021湖北省武汉市蔡甸区汉阳一中高三下学期二模）已知函数()sin (0)f x x x 的零点依次构成一个公差为π2的等差数列,把函数()f x 的图象沿x 轴向右平移π6个单位,得到函数()g x 的图象,则函数()g x （）A ．是偶函数B ．其图象关于直线π2x 对称C ．在ππ,42 上是增函数D ．在区间π2π,63上的值域为 【答案】D【解析】 sin 2sin 3f x x x xQ ,由于函数 y f x 的零点构成一个公差为2的等差数列,则该函数的最小正周期为 ,0 ∵,则22,所以 2sin 23f x x,将函数 y f x 的图象沿x 轴向右平移6个单位,得到函数 2sin 22sin 263g x x x的图象.对于A 选项,函数 y g x 的定义域为R , 2sin 22sin 2g x x x g x ,函数 y g x 为奇函数,A 选项错误；对于B 选项,2sin 022g,所以,函数 y g x 的图象不关于直线2x对称,B 选项错误；对于C 选项,当,42x 时,22x ,则函数 y g x 在,42上是减函数,C 选项错误；对于D 选项,当263x 时,4233x,则sin 212x , 2g x .所以,函数 y g x 在区间2,63 上的值域为 ,D 选项正确.故选D.5．（2021湖南省三湘名校教育联盟高三下学期第三次大联考）函数f (x )=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则f (x )的单调递增区间为（）A ．[kπ﹣512 ,k 12],k ∈Z B ．[kπ+12,kπ+712],k ∈ZC ．[kπ﹣2 ,kπ+2],k ∈Z D ．[kπ+12,kπ+512],k ∈Z 【答案】A 【解析】由图象知,74123T ,∴T =π,∴2 ,ω=2,∴())f x x过点7,12 ,∴722,122k k Z,所以223k ,k Z ,且|φ|<π,∴23,∴2()23f x x,当23222232k x k ,k Z ,即7131212k x k,k Z 时,函数单调递增,∴ f x 的单调递增区间为713,,1212k k k Z,∴ f x 的单调递增区间为5,,1212k k k Z.故选A .6．（2021湖南省怀化市高三联考）已知函数()sin (0)6f x x在区间2,43上单调递增,则 的取值范围为（）A ．80,3B ．10,2C ．18,23D ．3,28【答案】B【解析】由函数解析式知：()f x 在 2,222k k k Z上单调递增,∴121(2)(2),33k x k k Z,()f x 单调递增,又∵()f x 在区间2,43上单调递增,∴12(23412(233k k,解得8831320k k k Z,所以当0k 时,有102 ≤,故选B7．（2021江苏省镇江市四校高三联考）函数()sin()0,0,||2f x A x A的部分图象如图所示,将函数()f x 的图象向左平移3个单位长度后得到()y g x 的图象,则下列说法正确的是（）A ．函数()g x 为奇函数B ．函数()g x 的最小正周期为2C ．函数()g x 的图象的对称轴为直线()6x k kZ D ．函数()g x 的单调递增区间为5,()1212k k kZ 【答案】D【解析】由图象可知3A ,33253441234T ,∴2 ,则()3sin(2)f x x .将点5,312的坐标代入()3sin(2)f x x 中,整理得5sin 2112,∴522,Z 122k k ,即2,Z 3k k ；||2,∴3,∴()3sin 23f x x.∵将函数()f x 的图象向左平移3 个单位长度后得到()y g x 的图象,∴()3sin 23sin 2,333g x x x x R. ()3sin 23sin 233g x x x g x,∴()g x 既不是奇函数也不是偶函数,故A 错误；∴()g x 的最小正周期22T,故B 不正确.令2,32x k k Z ,解得,122k x k Z ,则函数()g x 图像的对称轴为直线,122k x k Z .故C 错误；由222,232k x k kZ ,可得5,1212k x k k Z ,∴函数()g x 的单调递增区间为5,,1212k k k Z.故D 正确；故选D.8．（2021山东省淄博市高三一模）已知cos cos f x x x x 在区间,3m上的最大值是32,则实数m 的最小值是（）A ．12B ．3C ．12D ．6【答案】D【解析】cos cos f x x x x 2cos cos x x x1cos 211sin 2sin 2cos 222222x x x x1sin 262x .由于1131sin 21,sin 262622x x,即 f x 的值域为13,22,211sin 33622f ,即 f x 在3x 处取得最小值,而 f x 的最小正周期为22 ,其一半为2 ,则326,所以 f x 在,36上递增,且在6x 处取得最大值32,故m 的最小值为6 .故选D9．（2021山东省日照第一中学高三第二次联合考试）已知函数 f x 在定义域上是单调函数,且 20202021xf f x,当 sin g x x x kx 在,22上与 f x 在R 上的单调相同时,实数k 的取值范围是（）A ． ,1B ．C ．, D ．【答案】C【解析】∵函数 f x 在定义域上是单调函数,且 20202021x f f x ,2020x f x 为定值,设 2020x f x t ,则 2021f t ,且 2020t f t t ,20212020t t ,解之得1t , 20201xf x , f x 在R 上的单调递增,sin 2sin3g x x x kx x kx ∵, 2cos 3g x x k,sin g x x x kx ∵在,22上与 f x 在R 上的单调性相同,2cos 03g x x k在,22 上恒成立,2cos 3x k在,22 上恒成立,5636x ,3cos 123x,2cos 23x ,k .故选C10．（2021广东省惠州市高三下学期一模）切割是焊接生产备料工序的重要加工方法,各种金属和非金属切割已经成为现代工业生产中的一道重要工序.被焊工件所需要的几何形状和尺寸,绝大多数是通过切割来实现的.原材料利用率是衡量切割水平的一个重要指标.现需把一个表面积为28π的球形铁质原材料切割成为一个底面边长和侧棱长都相等的正三棱柱工业用零配件,则该零配件最大体积为（）A ．6B ．C ．18D ．2二、多选题11．（2021广东省珠海市高三二模）已知函数 22cos cos sin f x x x x x ,则（）A ． 是函数 f x 的一个周期B ．6x是函数 f x 的一条对称轴C ．函数 f x 的一个增区间是,36D ．把函数2sin 2y x 的图像向左平移12个单位,得到函数 f x 的图像【答案】ACD【解析】依题意： 2cos 22sin(26f x x x x,对于A 选项： f x 的周期22T,即A 正确；对于B 选项：因2sin[2(]2sin(16666f,则6x 不是函数 f x 的对称轴,即B 不正确；对于C 选项：222()262k x k k Z 得()36k x k k Z,即 f x 单调递增区间是(,)()36k k k Z,k =0时,,36是 f x 的一个增区间,即C 正确；对于D 选项：函数2sin 2y x 的图像向左平移12 个单位得2sin 2()2sin(2)126y x x,即D 正确.故选ACD12．（2021广东省汕头市高三三模）已知函数 sin cos 0f x a x b x ab ,且对任意x R 都有66f x f x,则以下正确的有（）A ． f x 的最小正周期为2B ． f x 在7,66上单调递减C ．23x是 f x 的一个零点D ．33a b 【答案】ACD【解析】由题意可知函数 f x 的图象关于直线6x对称,则6f即1322a b ,整理可得2230a b ,即20b,所以,b,0ab ∵,所以,33a b ,D 选项正确；sin cos 2sin 3f x a x x a x,故函数 f x 的最小正周期为2 ,A 选项正确；当766x 时,可得3232x ,若0a ,则函数 f x 在7,66上单调递增,B 选项错误；22sin 03f a,故23x 是 f x 的一个零点,C 选项正确.故选ACD.13．（2021河北省石家庄市高三下学期质检）函数 2sin 0,0f x x 的图象如图,把函数 f x 的图象上所有的点向右平移6个单位长度,可得到函数 y g x 的图象,下列结论正确的是（）A ．3B ．函数 g x 的最小正周期为C ．函数 g x 在区间,312上单调递增D ．函数 g x 关于点,03中心对称【答案】BC【解析】由图可知：1112113124T T,所以11211129 ,所以18241111 ,又因为02sin f ,0 ,所以3或23,又因为11112sin 21212f,所以112,122k k Z ,又因为113,2122 ,所以113,3122,所以1k ,当3时,1113126 ,解得2611 ,这与18241111 矛盾,不符合；当23 时,1111126,解得2 ,满足条件,所以 22sin 23f x x,所以 22sin 22sin 2633g x x x,A ．由上可知A 错误；B ．因为 2sin 23g x x,所以 g x 的最小正周期为2=2,故B 正确；C ．令222,232k x k k Z,所以5,1212k x k k Z,令0k ,此时单调递增区间为5,1212,且5,,3121212,故C 正确；D ．因为2sin 20333g,所以,03 不是对称中心,故D 错误；故选BC.14．（2021湖北省武汉市武昌区高三下学期5月质量检测）已知函数 sin sin 03f x x x在 0, 上的值域为,12,则实数 的值可能取（）A ．1B ．43C ．53D ．2【答案】ABC 【解析】1sin sin sin sin cos cos sin sin cos 33322f x x x x x x x xsin 3x,因为 0,x ,所以,333x,又函数 f x 在 0, 上的值域为,12, 02f ,所以由正弦函数的对称性,只需4233 ,则5563,因此ABC 都可能取得,D 不可能取得.故选ABC.15．（2021湖北省十堰市高三下学期4月调研）已知函数2()2sin cos 2cos 1f x a x x x (0,0)a ,若()f x 的最小正周期为 ,且对任意的x R , 0()f x f x 恒成立,下列说法正确的有（）A ．2B ．若06x,则aC ．若022f x,则a D ．若()()2|()|g x f x f x 在003,4x x上单调递减,则324 【答案】BCD【解析】因为2()2sin cos 2cos 1f x a x x x sin 2cos2)a x x x ,其中cossin．因为()f x 的最小正周期为 ,所以1 ,故A 错误．因为对任意的x R , 0()f x f x 恒成立,以 0f x 是()f x 的最小值．若06x,则22()62k kZ ,2()6k k Z ．所以3cos 2,a 故B 正确．因为 0f x 是()f x 的最小值,所以02f x为最大,2 ,所以a 故C 正确．因为当003,42x x x时,()0f x ,所以()() g x f x ．因为()f x 在003,42x x 上单调递增,所以()g x 在003,42x x上单调递减．当00,24x x x时,()0f x ,所以()() g x f x ．因为()f x 在00,24x x 上单调递减,所以()g x 在00,24x x上单调递增,所以000342x x x,所以324,故D 正确．故选BCD16．（2021湖南省长沙市雅礼中学高三下学期月考）将曲线23sin )sin()2y x x x ,上每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）,得到 g x 的图像,则下列说法正确的是（）A ．213gB ． g x 在 0, 上的值域为30,2C ． g x 的图像关于点(,0)6对称D ． g x 的图像可由1cos 2y x 的图像向右平移等23个单位长度得到【答案】BD【解析】223sin )sin sin cos 2y x x x x x x11111cos 2sin 2sin 2cos 2sin 22222262x x x x x,所以 1sin 62g x x,所以对于A 选项,2213sin 133622g,故A 选项错误；对于B 选项,当 0,x 时,5,666x,所以 30,2g x,故B 选项正确；对于C 选项, g x 的图像关于点1,62对称,故C 选项错误；对于D 选项,1cos 2y x的图像向右平移等23个单位长度得到2111cos cos sin 3262262y x x x,故D 选项正确.故选BD17．（2021江苏省南通学科基地2021届高三下学期高考全真模拟）已知函数()sin (0)3f x x在 0, 上有且只有三个零点,则下列说法中正确的有（）A ．在 0, 上存在1x ,2x ,使得 122f x f xB ． 的取值花围为710,33C ．()f x 在0,4上单调递增D ．()f x 在(0,) 上有且只有一个最大值点【答案】ABC【解析】对于A,由题意可知 f x 的最小正周期T ,所以在(0,) 上既可以取得最大值也可以取得最小值,故A 正确.对于B,函数 f x 图象在y 轴右侧与x 轴交点的横坐标分别为3 ,43 ,73 ,103,要使 f x 在 0, 上有且只有三个零点,只需73103,解得71033 ,故B 正确.对于C,函数 f x 在50,6上单调递增,因为71033,所以55,6414 ,故C 正确.对于D,考虑到710173326的取值范围为1717,2014 ,显然1720 ,所以可能存在两个最大值点,故D 错误.故选ABC.三、填空题18.（2021湖北省部分重点中学高三联考）已知函数()2sin 23f x x在区间173a，上是单调函数,则实数a 的最大值为__________.【答案】7312【解析】sin y x 的单调增区间为2,2,22k k k Z当6k 时,sin y x 的单调增区间为12,1222由于1735212,1233322则要使函数()2sin 23f x x在区间173a，上是单调函数必须732123212a a即实数a 的最大值为7312 ,故答案为731219．（2021河北省唐山市高三模拟）若函数()sin()f x x （0 ,02 ）的图像关于点(,0)6对称,且()f x 在[0,]6上单调递减,则 __________．【答案】3【解析】因为 sin f x x 的图像关于点,06 对称,且 f x 在0,6上单调递减,所以有246T,即ω3 ,又 2k Z 6k，,因为0 ,02 ，所以有26662k,所以312k 612k ,因为03k Z ，,所以k 0,36 ,故ω3 .。

2021届高考数学（理）考点复习函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f (x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f (x1)<f (x2)，那么就说函数f (x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f (x1)>f (x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f (x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f (x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f (x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有f (x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M (1)对于任意的x∈I，都有f (x)≥M；(2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M结论M为最大值M为最小值概念方法微思考1．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？提示对∀x1，x2∈D，x1≠x2，f(x1)－f (x2)x1－x2>0⇔f (x)在D上是增函数；对∀x1，x2∈D，x1≠x2，(x1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f (x )在D 上是增函数．减函数类似． 2．写出函数y ＝x ＋ax (a >0)的增区间．提示 (－∞，－a ]和[a ，＋∞)．1．（2020·新课标Ⅱ）设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ） A. 是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B. 是奇函数，且在11(,)22-单调递减C. 是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D. 是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减【答案】D 【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--， ()ln 21y x =+在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭， 2121x μ=+-在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上单调递减，D 正确. 2．（2018·北京卷）能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________． 【答案】23()()2f x x =-- （答案不唯一）【解析】对于23()()2f x x =--，其图象的对称轴为32x =， 则f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立， 但f （x ）在［0，2］上不是单调函数.1．（2019•平谷区一模）下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是( ) A ．1y x=B ．y lnx =C ．sin y x =D ．2x y -=【答案】B【解析】根据题意，依次分析选项： 对于A ，1y x=，为反比例函数，在(0,)+∞上为减函数，不符合题意； 对于B ，y lnx =，为指数函数，在区间(0,)+∞上为增函数，符合题意； 对于C ，sin y x =，为正弦函数，在(0,)+∞上不是单调函数，不符合题意； 对于D ，12()2x x y -==，是指数函数，在(0,)+∞上为减函数，不符合题意；故选B ．2．（2019•西城区一模）下列函数中，值域为R 且在区间(0,)+∞上单调递增的是( ) A ．22y x x =+ B ．12x y += C ．31y x =+D ．(1)||y x x =-【答案】C【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，222(1)1y x x x =+=+-，其值域为[1-，)+∞，不符合题意； 对于B ，12x y +=，其值域为(0,)+∞，不符合题意；对于C ，31y x =+，值域为R 且在区间(0,)+∞上单调递增，符合题意； 对于D ，22,0(1)||,0x x x y x x x x x ⎧-=-=⎨-+<⎩，在区间1(0,)2上为减函数，不符合题意；故选C ．3．（2016•安庆三模）若函数2()||2f x x a x =++，x R ∈在区间[3，)+∞和[2-，1]-上均为增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．11[3-，3]- B ．[6-，4]- C ．[3-，22]- D ．[4-，3]-【答案】B【解析】2()||2f x x a x =++，22()()||2||2()f x x a x x a x f x -=-+-+=++=，()f x ∴为实数集上的偶函数，由2()||2f x x a x =++在区间[3，)+∞和[2-，1]-上均为增函数，知()f x 在[3，)+∞上为增函数，在[1，2]上为减函数，∴函数22(0)y x ax x =++>的对称轴[2,3]2a x =-∈，得[6a ∈-，4]-．故选B ．4．（2016•天津二模）若221,0()(1)(1),0axax x f x a a e x ⎧+=≠⎨-<⎩，在定义域(,)-∞+∞上是单调函数，则a 的取值范围是( ) A ．2]B ．[2,1)[2,)--+∞C ．(,2]2]-∞⋃D ．2(0,)[2,)3+∞【答案】C【解析】()f x 在定义域(,)-∞+∞上是单调函数时，①函数的单调性是增函数时，可得当0x =时，22(1)11ax a e ax -+=， 即211a -，解之得22a0x 时，21y ax =+是增函数，0a ∴>又0x <时，2(1)ax a e -是增函数，210a ∴->，得1a <-或1a >因此，实数a 的取值范围是：12a <②函数的单调性是减函数时，可得当0x =时，22(1)11ax a e ax -+=， 即211a -，解之得2a -或2a．0x 时，21y ax =+是减函数，0a ∴<又0x <时，2(1)ax a e -是减函数，210a ∴->，得1a <-或1a >因此，实数a 的取值范围是：2a - 综上所述，得(,2]2]a ∈-∞⋃故选C ．5．（2020春•天津期末）下列函数中，在(0,)+∞上为增函数的是( ) A ．()3f x x =- B ．2()3f x x x =-C ．1()f x x=-D ．()||f x x =-【答案】C【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，()3f x x =-为一次函数，在(0,)+∞上为减函数，不符合题意； 对于B ，2()3f x x x =-为二次函数，在3(0,)2上为减函数，不符合题意；对于C ，1()f x x=-为反比例函数，在(0,)+∞上为增函数，符合题意； 对于D ，()||f x x =-，当0x >时，()f x x =-，则函数()f x 在(0,)+∞上为减函数，不符合题意； 故选C ．6．（2019秋•武昌区期末）下列函数在(0,2)上是增函数的是( ) A ．2y x =- B ．12y x =-C ．21()2x y -=D ．12log (2)y x =-【答案】D【解析】对于A ，函数在(0,2)递减，不合题意； 对于B ，函数在(0,2)递减，不合题意； 对于C ，函数在(0,2)递减，不合题意； 对于D ，函数在(0,2)递增，符合题意； 故选D ．7．（2020春•郑州期末）函数2()2f x x lnx =-的单调减区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,)+∞ C ．(,1)-∞ D ．(1,1)-【答案】A【解析】函数2()2(0)f x x lnx x =->的导数为 2()2f x x x'=-， 令()0f x '<，解得01x <<． 即有单调减区间为(0,1)． 故选A ．8．（2020•北京模拟）下列函数中，在(0,)+∞内单调递增，并且是偶函数的是( ) A ．2(1)y x =-- B ．cos 1y x =+C ．||2y lg x =+D ．2x y =【答案】C【解析】A ．2(1)y x =--的对称轴为1x =，为非奇非偶函数，不满足条件．B ．cos 1y x =+是偶函数，但在(0,)+∞内不是单调函数，不满足条件．C ．||2y lg x =+为偶函数，在(0,)+∞内单调递增，满足条件，D ．2x y =，(0,)+∞内单调递增，为非奇非偶函数，不满足条件．故选C ．9．（2019春•武邑县校级期中）函数()af x x x=+在区间(2,)+∞上单调递增，那么实数a 的取值范围是( ) A ．02a < B ．04a <C ．4aD ．4a【答案】D【解析】根据题意，函数()af x x x=+，其导数222()1a x a f x x x -'=-=， 若()af x x x=+在区间(2,)+∞上单调递增，则22()0x a f x x -'=在(2,)+∞上恒成立，则有2a x 在(2,)+∞上恒成立， 必有4a ， 故选D ．10．（2019秋•东海县期中）函数1()f x x=的单调减区间是( ) A ．(0,)+∞B ．(,0)-∞C ．(-∞，0)(0⋃，)+∞D ．(,0)-∞和(0,)+∞【答案】D【解析】根据题意，函数1()f x x =，其定义域为{|0}x x ≠其导数21()f x x'=-， 分析可得：当0x >时，()0f x '<，即函数()f x 在(0,)+∞上为减函数， 当0x <时，()0f x '<，即函数()f x 在(,0)-∞上为减函数； 综合可得：函数1()f x x=的单调减区间是(,0)-∞和(0,)+∞； 故选D ．11．（2019秋•钟祥市校级期中）函数||1y x =-的单调递减区间为( ) A ．(0,)+∞ B ．(,0)-∞ C ．(,1)-∞- D ．(1,)-+∞【答案】B【解析】当0x 时，||11y x x =-=-，此时函数为增函数， 当0x <时，||11y x x =-=--，此时函数为减函数， 即函数的单调递减区间为(,0)-∞， 故选B ．12．（2019秋•金凤区校级期中）下列函数在(0,)+∞上单调递增的是( ) A ．2||y x = B ．1y x =C ．1()2x y =D ．2y x x =-【答案】A【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，2,02||2,0x x y x x x ⎧==⎨-<⎩，在(0,)+∞上单调递增，符合题意；对于B ，1y x=，为反比例函数，在(0,)+∞上单调递减，不符合题意； 对于C ，1()2x y =，为指数函数，在(0,)+∞上单调递减，不符合题意；对于D ，2y x x =-，为二次函数，在1(0,)2上单调递减，不符合题意；故选A ．13．（2019秋•赫章县期中）下列函数在[1-，)+∞上单调递减的是( ) A ．2()3f x x x =-- B ．()14x f x =+ C ．()(2)f x lg x =+ D ．()|21|f x x =-+【答案】A【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，2()3f x x x =--，为二次函数，其开口向下且对称轴为32x =-，在[1-，)+∞上单调递减，符合题意；对于B ，()14x f x =+，在R 上为增函数，不符合题意； 对于C ，()(2)f x lg x =+，在R 上为增函数，不符合题意；对于D ，121,2()|21|121,2x x f x x x x ⎧---⎪⎪=-+=⎨⎪+<-⎪⎩，在1(1,)2--上为增函数，不符合题意；故选A ．14．（2019秋•香坊区校级月考）已知函数21()2x f x x +=+，则函数()y f x =的单调增区间是( ) A ．(,)-∞+∞B ．(,2)-∞-C ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞D ．(,2)-∞-和(2-．)+∞【答案】D【解析】根据题意，函数213()222x f x x x +-==+++，其导数23()(2)f x x '=+， 易得在区间(,2)-∞-和(2,)-+∞上，()0f x '>， 即函数()f x 在区间(,2)-∞-和(2-．)+∞为增函数， 故选D ．15．（2019春•温州期中）函数(21)y m x b =-+在R 上是减函数．则( ) A ．12m >B ．12m <C ．12m >-D ．12m <-【答案】B【解析】根据题意，函数(21)y m x b =-+在R 上是减函数， 则有210m -<，解可得12m <， 故选B ．16．（2019•湖南模拟）定义在R 的函数3()f x x m =-+与函数32()()g x f x x x kx =++-在[1-，1]上具有相同的单调性，则k 的取值范围是( ) A ．(-∞，2]- B ．[2，)+∞C ．[2-，2]D ．(-∞，2][2-，)+∞【答案】B【解析】根据题意，函数3()f x x m =-+，其定义域为R ，则R 上()f x 为减函数，322()()g x f x x x kx x kx m =++-=-+在[1-，1]上为减函数， 必有12kx =，解可得2k ， 即k 的取值范围为[2，)+∞； 故选B ．17．（2019秋•金台区期中）函数221()2x x y -+=的单调递增区间是( )A ．[1-，)+∞B ．(-∞，1]-C ．[1，)+∞D ．(-∞，1]【答案】C【解析】令22t x x =-+， 则1()2t y =，由22t x x =-+的对称轴为1x =，可得函数t 在(,1)-∞递增，[1，)+∞递减， 而1()2t y =在R 上递减，由复合函数的单调性：同增异减，可得函数221()2x x y -+=的单调递增区间是[1，)+∞，故选C ．18．（2019秋•天津期中）函数254y x x =-+( ) A ．5[,)2+∞B ．5[,4)2C ．[4，)+∞D ．5[1,),[4,)2+∞【答案】C【解析】令2540x x -+， 解得：4x 或1x ，而函数254y x x =-+的对称轴是：52x =， 由复合函数同增异减的原则，故函数254y x x =-+[4，)+∞， 故选C ．19．（2019秋•项城市校级月考）下列函数中，在区间(0,1)上是递增函数的是( ) A ．|1|y x =+ B ．3y x =-C ．1y x=D ．24y x =-+【答案】A【解析】A ．(0,1)x ∈时，|1|1y x x =+=+，∴该函数在(0,1)上是递增函数，；所以该选项正确B ．3y x =-是一次函数，在(0,1)上是递减函数，所以该选项错误；C ．1y x=是反比例函数，在(0,1)上是递减函数，所以该选项错误； D ．24y x =-+是二次函数，在(0,1)上是递减函数，所以该选项错误．故选A ．20．（2019•西湖区校级模拟）函数()2f x lnx x =-的定义域为___________；单调递减区间是___________．【答案】(0,)+∞；1(2，)+∞【解析】函数()f x 的定义域为(0,)+∞；112()2xf x x x-'=-=， 令()0f x '<，得12x >， ∴函数的单调递减区间为1(2，)+∞．故答案为：(0,)+∞；单调递减区间为1(2，)+∞．21．（2019•西湖区校级模拟）函数42y x x=+的单调递增区间为___________，值域为___________． 【答案】(,2)-∞和(2，)+∞，(-∞，42][42-，)+∞ 【解析】24()20f x x '=->，解得2x >或2x <-函数42y x x=+的单调递增区间为(,2)-∞和(2，)+∞，单调递减区间为[2-0)，(02]，即函数在2x =-(2)42f -=-，在2x =处有极小值(2)42f = 所以函数的值域为(-∞，42][42-，)+∞．故答案为：(,2)-∞和(2)+∞，(-∞，42][42-，)+∞．22．（2018•浙江模拟）已知函数已知函数222,2()1,2x x x f x log x x ⎧-+⎪=⎨->⎪⎩，则(f f （4）)___________；函数()f x 的单调递减区间是___________．【答案】1，[1，2]【解析】f （4）2log 411=-=； (f f ∴（4）)f =（1）21211=-+⨯=；2x 时，2()2f x x x =-+，对称轴为1x =；()f x ∴在[1，2]上单调递减； ()f x ∴的单调递减区间为[1，2]．故答案为：1，[1，2]．23．（2017•河东区一模）已知函数32()1f x x ax x =-+--在R 上是单调函数，则实数a 的取值范围是___________． 【答案】[3,3]-【解析】由题意知，32()1f x x ax x =-+--， 则2()321f x x ax '=-+-，32()1f x x ax x =-+--在R 上是单调函数， 2()3210f x x ax ∴'=-+-在R 上恒成立， 则△2(2)4(3)(1)0a =-⨯-⨯-，解得33a-，∴实数a 的取值范围是[3,3]-，故答案为：[3,3]．24．（2016•永康市模拟）设函数21,1()2,1x x x f x ax x ⎧+=⎨+>⎩，若(f f （1）)4a =，则实数a =___________，函数()f x 的单调增区间为___________． 【答案】2，(0,)+∞【解析】函数21,1()2,1x x x f x ax x ⎧+=⎨+>⎩，可得f （1）2=，(f f （1）)f =（2）424a a =+=， 解得2a =；21,1()22,1x x x f x x x ⎧+=⎨+>⎩的增区间为(0,1)[1，)+∞(0,)=+∞．故答案为：2，(0,)+∞25．（2019秋•徐汇区校级期中）函数2()2f x x x =-+的单调递增区间为___________． 【答案】(-∞，1]【解析】根据题意，22()2(1)1f x x x x =-+=--+，是开口向下的二次函数，其对称轴为1x =， 故()f x 的单调递增区间为(-∞，1]；故答案为：(-∞，1]．26．（2019秋•香坊区校级月考）函数224y x x =--+的值域是___________，单调递增区间是___________．【答案】[0，2]；[2，4]【解析】根据题意，函数224y x x =-+设24t x x =-+，必有240t x x =-+，解可得04x ， 必有04t ，则2042x x -+，则有02y ，即函数的值域为[0，2]；又由24t x x =-+，必在区间[0，2]上为增函数，则[2，4]上为减函数，则函数()f x 的递增区间为[2，4]；故答案为：[0，2]；[2，4]．27．（2019春•江阴市期中）已知2()(2)2f x x m x =-++在[1，3]上是单调函数，则实数m 的取值范围为___________． 【答案】0m 或4m【解析】根据题意，2()(2)2f x x m x =-++为二次函数，其对称轴为22m x +=， 若()f x 在[1，3]上是单调函数，则有212m +或232m +， 解可得0m 或4m ，即m 的取值范围为0m 或4m ； 故答案为：0m 或4m ．28．（2018秋•驻马店期末）已知()f x 是定义在[1-，)+∞上的单调递增函数，则不等式2()(2)2x xf e f --的解集是___________．【答案】[2，6]【解析】根据题意，()f x 是定义在[1-，)+∞上的单调递增函数， 则22()(2)2122x x x xf e f e ---⇒--，解可得：26x ，即不等式的解集为[2，6]； 故答案为：[2，6]．29．（2019秋•秦州区校级月考）已知函数|1|1()()2x f x -=，则()f x 的单调递增区间是___________．【答案】(,1)-∞【解析】1|1|11()11()()2221x x x x f x x ---⎧⎪==⎨⎪<⎩；()f x ∴在(,1)-∞上单调递增；即()f x 的单调递增区间为(,1)-∞． 故答案为：(,1)-∞．30．（2019秋•思明区校级期中）函数()|2|f x x x =-的单调减区间为___________． 【答案】[1，2]【解析】当2x >时，2()2f x x x =-， 当2x 时，2()2f x x x =-+，这样就得到一个分段函数222,2()2,2x x x f x x x x ⎧->=⎨-+⎩．2()2f x x x =-的对称轴为：1x =，开口向上，2x >时是增函数； 2()2f x x x =-+，开口向下，对称轴为1x =， 则1x <时函数是增函数，12x <<时函数是减函数． 即有函数的单调减区间是[1，2]． 故答案为：[1，2]．31．（2018秋•定远县期末）若函数()|2|(4)f x x x =--在区间(5,41)a a +上单调递减，则实数a 的取值范围是___________． 【答案】2152a【解析】函数(2)(4)(2)()|2|(4)(2)(4)(2)x x x f x x x x x x --⎧=--=⎨--<⎩ ∴函数的增区间为(,2)-∞和(3,)+∞，减区间是(2,3)．在区间(5,41)a a +上单调递减，(5a ∴，41)(2a +⊆，3)，得25413a a ⎧⎨+⎩，解之得2152a故答案为：2152a．32．（2019•西湖区校级模拟）已知函数22();[1,)x x af x x x++=∈+∞（1）若12a =，求函数()f x 的最小值．（2）求函数()f x 的单调区间． 【解析】（1）1()22f x x x=++，在区间2[)+∞上单调递增，所以()f x 在[1，)+∞上是增函数， 所以7[()](1)2min f x f ==（2）22()2,[1,)x x a af x x x x x++==++∈+∞当0a 时，()f x 在[1，)+∞上是增函数当0a >时，()f x 在)a 上递减，在(,)a +∞递增，所以 ①1,01a a <时，()f x 在[1，)+∞上是增函数；②当1a >时，()f x 在a 上是减函数，在(,)a +∞上是增函数； 综上所述，当1a 时，()f x 在[1，)+∞上是增函数当1a >时，()f x 在)a 上是减函数，在(,)a +∞上是增函数． 33．（2019秋•秦淮区校级期中）（1）求函数()1f x x x =-+ （2）求函数212log (21)y x x =-++的单调区间．【解析】（11(0)x t t +=，则21x t =-， 所以21(0)y t t t =--，因为抛物线21y t t =--开口向上，对称轴为直线12t =， 所以当12t =时，y 取得最小值为54-，无最大值，所以函数()f x 的值域为5[,)4-+∞．（2）设221t x x =-++．令2210x x -++>，解得1212x <+ 所以函数212log (21)y x x =-++的定义域为(12，12)，2(1)2t x =--+，对称轴方程为1x =，221t x x ∴=-++在(12，1)上为单调增函数，而在(1,12)+上为单调减函数，因为12log y t =为单调减函数，∴函数212log (21)y x x =-++的单调增区间为(1,12)+，单调减区间为(12，1)．34．（2018秋•合肥期末）已知函数1()22x x f x =-． （1）判断()f x 在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论； （2）解关于x 的不等式2(log )f x f <（1）． 【解析】（1）1()22(2)()2x x x x f x f x --=-=--=-，则函数()f x 是奇函数， 则当0x 时，设120x x <，则2112121212121122()()22222222x x x x x x x x x x f x f x --=--+=-+121212221(22)22x x x x x x -=-，120x x <，12122x x ∴<，即12220x x -<，12221x x >，则12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <， 则()f x 在[0，)+∞上是增函数， ()f x 是R 上的奇函数， ()f x ∴在R 上是增函数．（2）()f x 在R 上是增函数，∴不等式2(log )f x f <（1）等价为不等式2log 1x <，即02x <<．即不等式的解集为(0,2)．。

2021年高考数学函数的单调性必考知识点高中数学知识点：函数的单调性一般地，设函数fx的定义域为I：如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1fx2.那么就是fx在这个区间上是减函数。

高中数学知识点：函数的单调区间单调区间是指函数在某一区间内的函数值Y，随自变量X增大而增大或减小恒成立。

如果函数y=fx在某个区间是增函数或减函数。

那么就说函数y=fx在这一区间具有严格的单调性，这一区间叫做y=fx的单调区间。

高中数学知识点：函数的单调图像高中数学知识点：函数的单调性的应用高中数学知识点：求函数单调性的基本方法解：先要弄清概念和研究目的,因为函数本身是动态的，所以判断函数的单调性、奇偶性，还有研究函数切线的斜率、极值等等，都是为了更好地了解函数本身所采用的方法。

其次就解题技巧而言，当然是立足于掌握课本上的例题，然后再找些典型例题做做就可以了，这部分知识仅就应付解题而言应该不是很难。

最后找些考试试卷题目来解，针对考试会出的题型强化一下，所谓知己知彼百战不殆。

1、把握好函数单调性的定义。

证明函数单调性一般初学最好用定义用定义谨防循环论证，如果函数解析式异常复杂或者具有某种特殊形式，可以采用函数单调性定义的等价形式证明。

另外还请注意函数单调性的定义是[充要命题]。

2、熟练掌握基本初等函数的单调性及其单调区间。

理解并掌握判断复合函数单调性的方法：同增异减。

3、高三选修课本有导数及其应用，用导数求函数的单调区间一般是非常简便的。

还应注意函数单调性的应用，例如求极值、比较大小，还有和不等式有关的问题。

高中数学知识点：例题判断函数的单调性y = 1/ x的平方-2x-3。

设x^2-2x-3=t，令x^2-2x-3=0，解得：x=3或x=-1，当x>3和x<-1时，t>0，当-1所以得到x^2-2x-1对称轴是1。

专题3.3 利用导数研究函数的单调性-重难点题型精讲函数的单调性与导数的关系条件 恒有 结论函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上可导f ′(x )>0 f (x )在(a ，b )内单调递增 f ′(x )<0 f (x )在(a ，b )内单调递减 f ′(x )＝0f (x )在(a ，b )内是常数函数【思考】“f(x )在区间(a ，b )上是增函数，则f ′(x )>0在(a ，b )上恒成立”，这种说法是否正确？ 提示 不正确，正确的说法是：可导函数f (x )在(a ，b )上是增(减)函数的充要条件是对∀x ∈(a ，b )，都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)且f ′(x )在(a ，b )上的任一非空子区间内都不恒为零．【题型1 不含参函数的单调性】 【方法点拨】确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数f (x )的定义域． (2)求f ′(x )．(3)解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间． (4)解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．【例1】（2021春•鞍山期末）函数f（x）=xx2+1的单调递减区间为．【解题思路】根据题意，求出函数的导数，解f′（x）≤0，利用导数与函数单调性的关系分析可得答案．【解答过程】解：根据题意，函数f（x）=xx2+1，其导数f′（x）=(x2+1)−x×(2x)(x2+1)2=1−x2(x2+1)2，若f′（x）≤0，即1−x2(x2+1)2≤0，解可得：x≤﹣1或x≥1，即函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1]、[1，+∞）；故答案为：（﹣∞，﹣1]、[1，+∞）．【变式1-1】（2021春•资阳期末）函数f（x）=√x•lnx的递增区间为（）A．(1e2，+∞)B．(1e，+∞)C．(0，1e2)D．(0，1e)【解题思路】对f（x）求导，令f′（x）＞0，即可求得函数的递增区间．【解答过程】解：f（x）=√x•lnx的定义域为（0，+∞），f′（x）=12√x lnx+√xx=1√x（12lnx+1），令f′（x）＞0，解得x＞1e2，即函数f（x）=√x•lnx的递增区间为（1e2，+∞）．故选：A．【变式1-2】（2021春•修水县期末）已知函数f(x)=(x−1)e xx2+1．求函数f（x）的单调区间．【解题思路】对f（x）求导，利用导数与单调性的关系即可求解；【解答过程】解：f′（x）=xe x(x2+1)−(x−1)e x(2x)(x2+1)2=x(x2−2x+3)e x(x2+1)2，令f′（x）＞0，可得x＞0，令f′（x）＜0，可得x＜0，∴（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．【变式1-3】（2021•全国四模）已知f（x）＝e x．求关于x的函数g（x）＝f（x）﹣4f（﹣x）﹣5x的单调区间．【解题思路】依题意，得g（x）＝e﹣x（e x﹣1）（e x﹣4），由g′（x）＞0可得g（x）的增区间，g′（x）＜0可得g（x）的减区间；【解答过程】解：g（x）＝e x﹣4e﹣x﹣5x，g′（x）＝e x+4e﹣x﹣5＝e﹣x（e x﹣1）（e x﹣4），∴g′（x）＞0⇔x＞ln4或x＜0，g（x）的增区间为（﹣∞，0），（ln4，+∞）；g′（x）＜0⇔x＞0＜x＜ln4，g（x）的减区间为（0，ln4）；【题型2 含参函数的单调性】【方法点拨】(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．【例2】（2021•湖南模拟）已知函数f（x）＝x3+3a（x+1）（a∈R）．讨论f（x）的单调性．【解题思路】对函数f（x）求导，分a≥0及a＜0讨论导函数与0的大小关系，即可求得单调性；【解答过程】解：f′（x）＝3x2+3a，①当a≥0时，f′（x）≥0，f（x）在R上单调递增；②当a＜0时，令f′（x）＞0，解得x＜−√−a或x＞√−a，令f′（x）＜0，解得−√−a＜x＜√−a，∴f（x）在(−∞，−√−a)，(√−a，+∞)上单调递增，在(−√−a，√−a)上单调递减；综上，当a≥0时，f（x）在R上单调递增；当a＜0时，f（x）在(−∞，−√−a)，(√−a，+∞)上单调递增，在(−√−a，√−a)上单调递减；【变式2-1】（2021•肥城市模拟）已知函数f(x)=ln(x+a)−xx+a，a∈R．讨论f（x）的单调性．【解题思路】求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；【解答过程】解：由已知可得函数f（x）的定义域为（﹣a，+∞），f′(x)=x(x+a)2，当a≤0时，x＞﹣a≥0，故f'（x）＞0，f（x）在（﹣a，+∞）上单调递增；当a＞0时，x∈（﹣a，0）时，f'（x）＜0，f（x）在（﹣a，0）上单调递减，x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；综上所述，当a≤0时，f（x）的单调递增区间是（﹣a，+∞），无单调递减区间；当a＞0时，f（x）的单调递减区间是（﹣a，0），f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．【变式2-2】（2021•庐阳区校级模拟）已知函数f(x)=a2(x−2)2−x+2lnx(a＞0)．讨论f（x）的单调性．【解题思路】可得f′(x)=(x−2)(ax−1)x，分a=12，0＜a＜12，a＞12三类讨论，可得f（x）的单调性；【解答过程】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=a(x−2)−1+2x=(x−2)(ax−1)x，令f'（x）＝0，则x1＝2，x2=1 a．（ⅰ）若a=12，则f'（x）≥0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上是增函数．（ⅱ）若0＜a＜12，则1a＞2，当x∈(0，2)∪(1a，+∞)时，f'（x）＞0；当x∈(2，1a)时，f'（x）＜0．（ⅲ）若a ＞12，则0＜1a ＜2，当x ∈(0，1a )∪(2，+∞)时，f '（x ）＞0；当x ∈(1a，2)时，f '（x ）＜0． 综上所述；当a =12时，f （x ）在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜12，f （x ）在（0，2），(1a，+∞)上是增函数，在(2，1a)上是减函数； 当a ＞12时，f （x ）在(0，1a )，（2，+∞）上是增函数，在(1a ，2)上是减函数． 【变式2-3】（2021•丙卷模拟）已知函数ℎ(x)=a 2x −a −1+lnxx，其中a ∈R ，若函数f （x ）＝x •h （x ），讨论f （x ）的单调性．【解题思路】由条件可得f ′（x ）=(2ax+1)(ax−1)x，然后分a ＝0，a ＞0，a ＜0三类讨论，可得f （x ）的单调情况；【解答过程】解：由题意，得2221()()()1(0)lnxf x x h x x a x a a x ax lnx x x+=⋅=⋅--=--->， 则222121(21)(1)()2a x ax ax ax f x a x a x x x--+-'=--==①当0a =时，1()0f x x'=-<在(0,)+∞上恒成立，()f x ∴在(0,)+∞上单调递减；②当0a >时，110,02x a a-<<>， 令()0f x '>，即(21)(1)0ax ax x +->，解得1x a >；令()0f x '<，即(21)(1)0ax ax x+-<，解得10x a <<，()f x ∴在1(0,)a 上单调递减，在1(,)a+∞上单调递增；③当0a <时，110,02x a a<<->， 令()0f x '>，即(21)(1)0ax ax x +->，解得12x a >-； 令()0f x '<，即(21)(1)0ax ax x +-<，解得102x a<<-，()f x ∴在1(0,)2a-上单调递减，在1(,)2a -+∞上单调递增．综上，当0a =时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，()f x 在1(0,)a 上单调递减，在1(,)a+∞上单调递增；当0a <时，()f x 在1(0,)2a-上单调递减，在1(,)2a -+∞上单调递增．【题型3 利用函数单调性比较大小】【例3】（2021•二模拟）已知a=12ln2+14，b=2e，c=lnπ+1π，则a，b，c之间的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a【解题思路】本题不能直接比较大小，所以先将a，b化为与c一样的形式，即a=12ln2+14+14=2ln2+14=ln4+14，b=2e=lne+1e，然后令f(x)=lnx+1x，利用导数求出函数的单调性，比较大小．【解答过程】解：令f(x)=lnx+1x，则f′(x)=−lnxx2，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，所以f（x）在（0，1）上递增，令f′（x）＜0，解得：x＞1，所以f（x）在（1，+∞）上递减，由题：a=12ln2+14+14=2ln2+14=ln4+14=f（4），b=2e=lne+1e=f（e），c=lnπ+1π=f（π），因为e＜π＜4，所以f（e）＞f（π）＞f（4），即b＞c＞a，故选：B．【变式3-1】（2021•丙卷模拟）已知函数f（x）+f'（x）＝2m x，f（x）﹣f'（x）＝2m﹣x（m＞1），若a＝0.75，b＝70.5，c＝log51，则（）A．f（b）＜f（a）＜f（c）B．f（c）＜f（b）＜f（a）C．f（c）＜f（a）＜f（b）D．f（a）＜f（b）＜f（c）【解题思路】根据条件得到f（x）＝e x+e﹣x，然后判断f（x）的奇偶性和单调性，再结合a＝0.75，b＝70.5，c＝log51，判断a，b，c的大小即可．【解答过程】解：由f（x）+f'（x）＝2m x与f（x）﹣f'（x）＝2m﹣x，得f（x）＝m x+m﹣x，f'（x）＝m x﹣m﹣x，所以m＝e，所以f（x）＝e x+e﹣x，由f（x）＝f（﹣x），知函数f（x）为偶函数．又f'（x）＝e x﹣e﹣x，当x＞0时，f'（x）＞0，当x＜0时，f'（x）＜0，所以函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．因为c=log51=0＜a=0.75＜1＜b=70.5，所以f（c）＜f（a）＜f（b）．故选：C．【变式3-2】（2021•皇姑区校级模拟）已知实数x ，y ，z 满足e y lnx ＝ye x 且e z ln 1x=ze x ，若y ＞1，则（ ）A ．x ＞y ＞zB ．x ＞z ＞yC ．y ＞z ＞xD ．y ＞x ＞z【解题思路】由选项确定比较x ，y ，z 三个字母的大小，题干中只有两个等式及y ＞1，所以先考虑到将等式变形，确定除x ＞1，z ＜0；在比较x 与y 的大小，构造出x ，y 的一个不等式，然后利用函数的单调性求解．【解答过程】解：因为e y•lnx ＝y •e x可e y y=e x lnx，∵y ＞1，e y＞0，∴e y y＞0，∴e x lnx＞0，∴lnx ＞0， ∴x ＞1，∵e z⋅ln 1x =z ⋅e x，∴e z z =e x ln1x=−e x lnx ＜0，∵e z ＞0， ∴z ＜0；（下面比较x ，y 的大小）令f （x ）＝x ﹣lnx ，f′(x)=1−1x =x−1x ，当x ＞1时，f ′（x ）＞0，∴f （x ）在（1，+∞）上单调递增，∴x ＞1时，f （x ）＞f （1），即x ﹣lnx ＞1，一定有x ﹣lnx ＞0，∴x ＞lnx ＞0，∴e x x＜e x lnx①，又∵e xlnx=e x y，①式可化为e x x＜e y y，令g(x)=e xx ，则g′(x)=e x (x−1)x 2， 当x ＞1时，g ′（x ）＞0，∴g （x ）在（1，+∞）上单调递增， ∵x ＞1，y ＞1，e x x＜e y y，∴x ＜y ，综上：y ＞x ＞z 故选：D ．【变式3-3】（2021•渝水区校级模拟）已知x ∈(0，π4)，且a =2cos 2x+1e 2cos 2x，b =cosx+1e cosx ，c =sinx+1e sinx ，则a ，b ，c 的大小关系式为（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b【解题思路】构造函数g （x ）=x+1e x ，利用导数可得g （x ）在区间（0，+∞）单调递减，进一步分析可得2cos 2x ＞cos x ＞sin x ＞0，从而可得答案． 【解答过程】解：令g （x ）=x+1e x ， 则g ′（x ）=−xe x ，所以当x ＞0时，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减．① 因为x ∈(0，π4)， 所以cos x ∈（√22，1），2cos x ∈（√2，2），且cos x ＞sin x ＞0， 又2cos 2x ﹣cos x ＝cos x （2cos x ﹣1）＞0， 所以2cos 2x ＞cos x ＞sin x ＞0， 由①得a ＜b ＜c ， 故选：A ．【题型4 利用函数单调性解不等式】【例4】（2021•大通县一模）已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （2）＝20，且f （x ）的导函数f '（x ）满足f '（x ）＞6x 2+2，则不等式f （x ）＞2x 3+2x 的解集为（ ） A ．{x |x ＞﹣2}B ．{x |x ＞2}C ．{x |x ＜2}D ．{x |x ＜﹣2或x ＞2}【解题思路】令g （x ）＝f （x ）﹣2x 3﹣2x ，结合条件判断g （x ）的单调性，将问题转化为g （x ）＞g （2），然后求出不等式的解集即可．【解答过程】解：令g （x ）＝f （x ）﹣2x 3﹣2x ，则g '（x ）＝f '（x ）﹣6x 2﹣2＞0， 所以g （x ）在R 上单调递增．因为g （2）＝f （2）﹣2×23﹣2×2＝0， 故原不等式等价于g （x ）＞g （2），所以x ＞2， 所以不等式的解集为{x |x ＞2}． 故选：B ．【变式4-1】（2021•全国卷模拟）f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （1）＝0，f '（x ）为f （x ）的导函数，且当x ∈（0，+∞）时f '（x ）＞0，则不等式f （x ﹣1）＞0的解集为（ ）A．（0，1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，1）∪（1，+∞）C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）【解题思路】依题意，作出y＝f（x）的图象，得到f（x）＞0的解集，继而可得不等式f（x﹣1）＞0的解集．【解答过程】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1）＝0，当x∈（0，+∞）时f'（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递增，图形如下：∴f（x）＞0的解集为：（﹣1，0）∪（1，+∞），又y＝f（x﹣1）的图象是y＝f（x）的图象向右平移一个单位，∴不等式f（x﹣1）＞0的解集为（0，1）∪（2，+∞），故选：A．【变式4-2】（2021•长春模拟）已知定义域为R的函数f（x）满足f（x）+xf'（x）＞1（f'（x）为函数f（x）的导函数），则不等式（1+x）f（1﹣x2）＞f（1﹣x）+x的解集为（）A．（0，1）B．（0，1]C．（0，+∞）D．（0，1）∪（1，+∞）【解题思路】构造函数g（x）＝xf（x）﹣x，求出函数的导数，根据函数的单调性求出不等式的解集即可．【解答过程】解：由（1+x）f（1﹣x2）＞f（1﹣x）+x，当x＜1时，可得（1﹣x）（1+x）f（1﹣x2）＞（1﹣x）f（1﹣x）+（1﹣x）x，即（1﹣x2）f（1﹣x2）＞（1﹣x）f（1﹣x）+x﹣x2，即（1﹣x2）f（1﹣x2）﹣（1﹣x2）＞（1﹣x）f（1﹣x）﹣（1﹣x），构造函数g（x）＝xf（x）﹣x，g'（x）＝f（x）+xf'（x）﹣1＞0，所以函数g（x）递增，则1﹣x2＞1﹣x，此时0＜x＜1，即0＜x＜1满足；当x＞1时，可得（1﹣x2）f（1﹣x2）﹣（1﹣x2）＜（1﹣x）f（1﹣x）﹣（1﹣x），由函数g（x）递增，则1﹣x2＜1﹣x，此时x＜0或x＞1，即x＞1满足；当x＝1时，2f（0）＞f（0）+1，即f（0）＞1满足f（x）+x⋅f'（x）＞1．综上，x∈（0，+∞），故选：C．【变式4-3】（2021•香坊区校级三模）设函数f'（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，当x＞0时，lnxf′（x）＜−1x f（x），则使得（x2﹣9）f（x）＜0成立的x的取值范围是（）A．（﹣3，0）∪（3，+∞）B．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）C．（﹣3，0）∪（0，3）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）【解题思路】令g(x)＝f(x)lnx(x＞0),则当x＞0时，g(x)＝f(x)lnx单调递减，而g(1)＝0，于是可得当x∈(0,1)∪(1,+∞)时，f(x)＜0；x∈(﹣1,0)∪(﹣∞,﹣1)时，f(x)＞0，从而可求得（x2﹣9）f（x）＜0的解．【解答过程】解：令g(x)＝f(x)lnx(x＞0),则g′(x)＝f′(x)lnx+1x f(x)＜0,∴当x＞0时，g(x)＝f(x)lnx单调递减．又g(1)＝f(1)ln1＝0,∴当x∈(0,1)时，g(x)＞0,而此时lnx＜0,∴f(x)＜0；当x∈(1,+∞)时，g(x)＜0,而此时lnx＞0,∴f(x)＜0；又f（x）是奇函数,∴当x∈(﹣1,0)时，f(x)＞0；当x∈(﹣∞,﹣1)时，f(x)＞0；∵（x2﹣9）f（x）＜0,∴当x＜0时，x2﹣9＜0，解得﹣3＜x＜0；①当x＞0时，x2﹣9＞0，解得x＞3；②综合①②，得（x2﹣9）f（x）＜0成立的x的取值范围为（﹣3，0）∪（3，+∞），故选：A．【题型5 函数单调性与图像关系】【例5】（2020秋•宝鸡期末）若函数y＝f（x）的导函数图象如图所示，则y＝f（x）的图象可能为（）A．B．C．D．【解题思路】根据f′（x）的图象，分别判断函数的单调性即可．【解答过程】解：设f′（x）＝0的两个根分别为a，b，0＜a＜b，则当x＜a时，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数，排除选项A和D；当a＜x＜b时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数，当x＞b时，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数，∵0＜a＜b，∴选项B不成立，选项C成立，则对应的图象为C，故选：C．【变式5-1】（2021春•葫芦岛期末）设函数f（x）的图象如图所示，则导函数f′（x）的图象可能为（）A．B．C ．D ． 【解题思路】由原函数的单调性确定导函数的函数值的正负，即可得解【解答过程】解：由f （x ）的图象知当x ∈（﹣∞，1）时，f （x ）单调递减，f '（x ）＜0当x ∈（1，4）时，f （x ）单调递增，f '（x ）＞0当x ∈（4，+∞）时，f （x ）单调递减，f '（x ）＜0故选：C ．【变式5-2】（2020秋•南昌期末）已知定义在R 上的函数y ＝f （x ），其导函数y ＝f '（x ）的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）A ．f （b ）＞f （c ）＞f （d ）B ．f （b ）＞f （a ）＞f （e ）C ．f （c ）＞f （e ）＞f （d ）D ．f （c ）＞f （b ）＞f （a ）【解题思路】根据导函数的图象，求出函数f （x ）的单调区间，根据a ，b ，c 的大小以及函数的单调性判断函数值的大小即可．【解答过程】解：显然f （x ）（﹣∞，c ）递增，在（c ，e ）递减，在（e ，+∞）递增，而a ＜b ＜c ，故f （a ）＜f （b ）＜f （c ），故选：D ．【变式5-3】（2020秋•渝中区校级月考）已知函数y ＝f （x ）（x ∈R ）的图象如图所示，则不等式f′(x)x−1＜0的解集为（ ）A ．（﹣∞，0）∪（12，2）B ．（﹣1，1）∪（1，3）C ．（﹣∞，12）∪（12，2） D ．（﹣∞，12）∪（1，2） 【解题思路】根据条件判断函数的单调性，利用数形结合即可解不等式．【解答过程】解：∵f′(x)x−1＜0，即（x ﹣1）•f ′（x ）＜0，∴不等式等价为x ＞1时，f ′（x ）＜0，此时函数单调递减，由图象可知此时解集为：（1，2）． 当x ＜1时，f ′（x ）＞0，此时函数单调递增，由图象可知x ＜12，即不等式的解集为（﹣∞，12）∪（1，2）． 故选：D ．【题型6 利用函数单调性求参数】【方法点拨】根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集．(2)f (x )为增(减)函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)且在(a ，b )内的任一非空子区间上，f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解．(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．【例6】（2021•广东模拟）若函数f(x)=ax 2+1e x（e 为自然对数的底数）是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≤0B ．a ≤1C ．a ＞0D ．0≤a ≤1 【解题思路】对f （x ）求导，由f （x ）是减函数可得f ′（x ）≤0恒成立，令g （x ）＝2ax ﹣ax 2﹣1，则g （x ）≤0恒成立，对a 分类讨论，即可求得a 的取值范围．【解答过程】解：函数f(x)=ax 2+1e x 的定义域为R ，f ′（x ）=2ax−ax 2−1e x， 因为函数f （x ）是减函数，所以f ′（x ）≤0恒成立，令g （x ）＝2ax ﹣ax 2﹣1，则g （x ）≤0恒成立，当a＝0时，g（x）＝﹣1成立；当a＜0时，则g（x）的图象开口向上，g（x）≤0不恒成立，不符合题意；当a＞0时，要使g（x）≤0恒成立，则△＝4a2﹣4a≤0，解得0≤a≤1，又a＞0，所以0＜a≤1．综上可得，实数a的取值范围是0≤a≤1．故选：D．【变式6-1】（2021•湖南模拟）若函数f（x）＝﹣x3+ax2+4x在区间（0，2）上单调递增，则实数a的取值范围为．【解题思路】问题转化为a≥3x2−2x在（0，2）恒成立，令g(x)=3x2−2x，x∈(0，2)，求出函数的导数，根据函数的单调性求出a的取值范围即可．【解答过程】解：f（x）＝﹣x3+ax2+4x，则f′（x）＝﹣3x2+2ax+4，若f（x）在区间（0，2）上单调递增，则﹣3x2+2ax+4≥0在（0，2）恒成立，即a≥3x2−2x在（0，2）恒成立，令g(x)=3x2−2x，x∈(0，2)，则g′(x)=32+2x2＞0，g（x）在（0，2）递增，故g（x）＜g（2）＝2，故a≥2，故实数a的取值范围为[2，+∞），故答案为：[2，+∞）．【变式6-2】（2021•南昌二模）若函数f（x）=x2+ax+1在（﹣1，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为．【解题思路】根据题意，求出函数的解析式，由函数的导数与单调性的关系，可得f′（x）＝1−a+1(x+1)2≥0，即a+1≤（x+1）2的区间（﹣1，+∞）上恒成立，据此分析可得答案．【解答过程】解：根据题意，f（x）=x2+ax+1=x2−1+a+1x+1=x﹣1+a+1x+1，其导数f′（x）＝1−a+1 (x+1)2，若函数f（x）=x2+ax+1在（﹣1，+∞）上单调递增，则f′（x）＝1−a+1(x+1)2≥0，即a+1≤（x+1）2的区间（﹣1，+∞）上恒成立，又由x∈（﹣1，+∞），则（x+1）2≥0，必有a +1≤0即a ≤﹣1恒成立，即a ≤﹣1，则a 的取值范围为（﹣∞，﹣1]． 故答案为：（﹣∞，﹣1]．【变式6-3】（2021•黔江区校级模拟）函数f （x ）＝x 2﹣axlnx 在(2e ，2)上不单调，则实数a 的取值范围是 ．【解题思路】求出函数的导数，问题转化为方程a =2x lnx+1在(2e ，2)上有根，令g （x ）=2x lnx+1，根据函数的单调性求出a 的范围即可．【解答过程】解：f ′（x ）＝2x ﹣a （lnx +1），若函数f （x ）＝x 2﹣axlnx 在(2e ，2)上不单调，则方程f ′（x ）＝0在(2e ，2)上有根即方程a =2x lnx+1在(2e ，2)上有根且方程的根是函数f ′（x ）的变号零点， 令g （x ）=2x lnx+1，则g ′（x ）=2lnx (lnx+1)2， x ∈（2e ，1）时，g ′（x ）＜0，g （x ）递减，x ∈（1，2）时，g ′（x ）＞0，g （x ）递增， 又g （1）＝2，g （2e ）=4eln2，g （2）=4ln2+1，由g （2）﹣g （2e）=4ln2+1−4eln2＞0， 得g （x ）∈（2，4ln2+1），故a ∈（2，4ln2+1），故答案为：（2，4ln2+1）．。

高考数学复习考点题型归类解析专题04一元二次不等式一、关键能力利用二次函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，通过对二次函数图象的描述分析，经历观察、思考、探究建立二次函数图象与一元二次方程与一元二次不等式解集之间的联系. 构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路培养学生的直观想象. 从特殊一元二次不等式的解集的探究过程到探究利用图像归纳到利用图象求一般不等式的解集的方法，培养学生的逻辑推理能力．二、教学建议一元二次不等式、基本不等式是解决问题的基本工具；如利用导数研究函数单调性，往往对函数求导后得到的导函数，对导函数式经过通分、提取公因式等变形后，把导函数正负的判定转化为解一元二次不等式的求解；教学时建议合理选题体现知识间的联系．加强函数与方程思想在不等式中的应用训练，不等式、函数与方程三者密不可分，相互转化．三、自主先学“三个二次”的关系0)四、真题感悟1．（2019•新课标Ⅰ，理1）已知集合{|42}M x x =-<<，2{|60}N x x x =--<，则(MN =)A ．{|43}x x -<<B ．{|42}x x -<<-C ．{|22}x x -<<D ．{|23}x x << 【答案】C【解析】{|42}M x x =-<<，{|23}N x x =-<<，{|22}MN x x ∴=-<<，故选C ．2．（2013陕西）在如图所示的锐角三角形空地中， 欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴影部分)， 则其边长x (单位m )的取值范围是A ．[15，20]B ．[12，25]C ．[10，30]D ．[20，30] 【答案】C【解析】如图△ADE ∽△ABC ，设矩形的另一边长为y ，则240()40ADE ABC S y S ∆∆-=，所以40y x =-，又300xy ≥，所以(40)300x x -≥，即，解得1030x ≤≤． 3．（2013重庆）关于的不等式（）的解集为，2403000x x -+≤x 22280x ax a --<0a >12(,)x x且，则A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】∵由 ()，得(4)(2)0x a x a -+<，即24a x a -<<，∴122,4x a x a =-=，∵214(2)615x x a a a -=--==，∴15562a ==．故选A ． 4．（2017江苏）记函数()f x =D ．在区间[4,5]-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是．【答案】59【解析】由260x x +-≥，解得23x -≤≤，根据几何概型的计算公式得概率为3(2)55(4)9--=--5．（2013重庆）设0απ≤≤，不等式28(8sin )cos 20x x αα-+≥对恒成立，则的取值范围为．【答案】．【解析】不等式对恒成立， 则有22(8sin )48cos 264sin 32cos 20αααα∆=-⨯=-≤ 即2222sin cos 22sin (12sin )αααα-=--24sin 10α=-≤．∴21sin 4α≤．∴11sin 22α-≤≤．又，结合下图可知，α∈π5π0,,π66⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦． 2115x x -=a =527215415222280x ax a --<0a >x R ∈a 5[0,][,]66πππ28(8sin )cos 20x x αα-+≥x R ∈0απ≤≤6．(2018浙江)已知λ∈R ，函数24,()43,x x f x x x x λλ-⎧=⎨-+<⎩≥，当2λ=时，不等式()0f x <的解集是___________．若函数()f x 恰有2个零点，则λ的取值范围是___________． 【答案】(1,4)；(1,3](4,)+∞【解析】若2λ=，则当2x ≥时，令40x -<，得24x <≤；当2x <时，令2430x x -+<，得12x <<．综上可知14x <<，所以不等式()0f x <的解集为(1,4)．令40x -=，解得4x =；令2430x x -+=，解得1x =或3x =．因为函数()f x 恰有2个零点，结合函数的图象（图略）可知13λ<≤或4λ>．7.（2018·浙江高考真题）已知λ∈R，函数f (x )={x −4,x ≥λx 2−4x +3,x <λ，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________． 【答案】 (1,4) 【解析】由题意得{x ≥2x −4<0 或{x <2x 2−4x +3<0 ，所以2≤x <4或1<x <2，即1<x <4，不等式f (x )<0的解集是(1,4),8.（2020·江苏省高考真题）已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，，求h (x )的表达式； 【答案】（1）()2h x x =；【解析】（1）由题设有2222x x kx b x x -+≤+≤+对任意的x ∈R 恒成立. 令0x =，则00b ≤≤，所以0b =.因此22kx x x ≤+即()220x k x +-≥对任意的x ∈R 恒成立，所以()220k ∆=-≤，因此2k =. 故()2h x x =.五、高频考点+重点题型考点一、不等式化为一元二次不等式求解例1、（1）解不等式2311x x -<- （2）已知函数222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩，解不等式()3f x >．【答案】（1）{}12x x <<（2）{}1x x > 【解析】：（1）不等式化为2311x x -<-，化为201x x -<-， ∴12x <<，解集为{}12x x <<． （2）由题意知22002323x x x x x x ≥<⎧⎧⎨⎨+>-+>⎩⎩或解得：x ＞1．故原不等式的解集为{}1x x >对点训练1（高三二模）不等式231122x x -+<的解集是___________. 【答案】(1,2)【解析】23111222xx -+-<=，2311x x ∴-+<-，即2320x x -+<，解得12x <<，故不等式的解集为(1,2).对点训练2x <的解集是（ ） A ．(]0,2B ．(2,)+∞C ．(]2,4D ．(,0)(2,)-∞+∞【解析】由题意得2220404x x x x x x >⎧⎪-≥⎨⎪-<⎩，解得24x <≤，故选：C.对点训练3．对于实数x ，规定[x ]表示不大于x 的最大整数，那么不等式4[x ]2﹣36[x ]+45＜0成立的x 的范围是（ ）A ．（32，152）B ．[2，8]C ．[2，8）D ．[2，7]【解析】解：由4[x ]2﹣36[x ]+45＜0，得32＜[x]＜152， 又[x ]表示不大于x 的最大整数，所以2≤x ＜8． 故选：C ．总结：一元二次不等式是基础，分式不等式、根式不等式、高次不等式等常常要转化为一元二次不等式来解决考点二、三个“二次”之间的关系运用例2、若关于x 的不等式ax b >的解集为1(,)5-∞，则关于x 的不等式2405ax bx a +->的解集为________． 【答案】4(1,)5-【解析】：由已知ax b >的解集为1(,)5-∞，可知0a <，且＝，将不等式2405ax bx a +->两边同除以a ，得2405bx x a +-<，即214055x x +-<，解得415x -<<，故不等式2405ax bx a +->的解集为4(1,)5-．对点训练1、已知2()(1)1(R)f x ax a x a =+--∈.若()0f x ≥的解集为11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，求关于x的不等式301ax x +≤-的解集； 【解析】（Ⅰ）由题意得11(1)211(1)2a a a ⎧-⎛⎫-+-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得2a =-.故原不等式等价于2301x x -+≤-.即(23)(1)010x x x --≥⎧⎨-≠⎩解得：1x <或32x ≥所以不等式的解集为3(,1),2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭.对点训练2．已知关于x 的不等式230x bx c ++-<的解集为(1,2)-．（1）当[2,)x ∈+∞时，求2x bx cx++的最小值；（2）当[1,1]x ∈-时，函数2y x bx c =++的图象恒在直线2y x m =+的上方，求实数m 的取值范围．【解析】（1）因为关于x 的不等式230x bx c ++-<的解集为(1,2)-，解得11b c =-⎧⎨=⎩，所以22111x bx c x x x x x x++-+==+-，令1()1g x x x =+-，2x ≥，则21()10g x x '=->， 所以函数()g x 在[2,)+∞上单调递增，所以min 13()(2)2122g x g ==+-=，所以2x bx cx++的最小值为32．（2）由（1）可知1b =-，1c =，因为当[1,1]x ∈-时，函数2y x bx c =++的图象恒在直线2y x m =+的上方，所以当[1,1]x ∈-时，212x x x m -+>+恒成立，即当[1,1]x ∈-时，231x x m -+>恒成立． 令22()3135()24x h x x x +=--=-，易知函数()h x 在[1,1]-上的最小值为(1)1h =-， 所以1m <-，故实数m 的取值范围为(,1)-∞-．总结：三个“二次”之间的关系(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究.(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：考点三、含参的一元二次不等式例3、(1)解关于实数x 的不等式：2(1)0x a x a -++<．(2)解关于实数x 的不等式：210x ax -+<．【解析】（1）由2(1)0x a x a -++=得()(1)0x a x --=，∴12,1x a x ==， ① 当1a >时，2(1)0x a x a -++<的解集为{}1x x a <<， ② 当1a =时，2(1)0x a x a -++<的解集为∅， ③当1a <时，2(1)0x a x a -++<的解集为{}1x a x <<． （2）对方程210x ax -+= ，当240a ∆=-≤即22a -≤≤时 不等式的解集为∅当240a ∆=->即2a >或2a <-时210x ax -+=的根为12x x ==不等式的解集为x ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭对点训练1、求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R)的解集【解析】原不等式可化为12x 2－ax －a 2＞0， 即(4x ＋a )(3x －a )＞0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0， 解得x 1＝－a 4，x 2＝a3.当a ＞0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞； 当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当a ＜0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4，＋∞.对点训练2、解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )。

高考数学复习基础知识专题讲解与练习专题04函数的性质综合应用一、单选题1．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三月考（文））已知函数(1)f x +的定义域为(－2,0)，则(21)f x -的定义域为（） A ．(－1,0) B ．(－2,0) C ．(0,1)D ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C 【分析】由题设函数的定义域，应用换元法求出()f t 的定义域，进而求(21)f x -的定义域即可. 【详解】由题设，若1t x =+，则(1,1)t ∈-，∴对于(21)f x -有21(1,1)x -∈-，故其定义域为(0,1). 故选：C.2．（2021·湖南·高三月考）已知函数()f x 满足22()()326f x f x x x +-=++，则（） A ．()f x 的最小值为2B ．x R ∃∈，22432()x x f x ++>C ．()f x 的最大值为2D ．x R ∀∈，22452()x x f x ++>【答案】D 【分析】先求得()f x ，然后结合二次函数的性质确定正确选项.【详解】因为22()()326f x f x x x +-=++（i ），所以用x -代换x 得22()()326f x f x x x -+=-+（ii ）. （i ）×2-（ii ）得23()366f x x x =++， 即22()22(1)1f x x x x =++=++，从而()f x 只有最小值，没有最大值，且最小值为1.()2222222221243243122()222222x x x x x x f x x x x x x x ++-++++===-<++++++， ()2222222221245245122()222222x x x x x x f x x x x x x x +++++++===+>++++++. 故选：D.3．（2021·河南·孟津县第一高级中学高三月考（理））若函数()2021x x f x x ππ-=-+，则不等式(1)(24)0f x f x ++-≥的解集为（） A ．[1,)+∞ B ．(,1]-∞ C ．(0,1] D ．[1,1]-【答案】A 【分析】判断出函数的奇偶性和单调性，再利用其性质解不等式即可 【详解】()f x 的定义域为R ,因为()2021(2021)()x x x x f x x x f x ππππ---=-=--+=--， 所以()f x 是奇函数，所以不等式(1)(24)0f x f x ++-≥可化为(1)(42)f x f x +≥-， 因为,,2021x x y y y x ππ-==-=在R 上均为增函数， 所以()f x 在R 上为增函数， 所以142x x +≥-，解得1x ≥， 故选：A.4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x 2+1）＝x 4，则函数y ＝f （x ）的解析式是（ ）A ．()()21,0f x x x =-≥B ．()()21,1f x x x =-≥C ．()()21,0f x x x =+≥D ．()()21,1f x x x =+≥【答案】B 【分析】利用凑配法求得()f x 解析式. 【详解】()()()2242211211f x x x x +==+-++，且211x +≥，所以()()22211,1f x x x x x =-+=-≥. 故选：B.5．（2021·湖南省邵东市第一中学高三月考）已知函数()f x 满足()()()222f a b f a f b +=+对,a b ∈R 恒成立，且(1)0f ≠，则(2021)f =（） A ．1010 B ．20212C ．1011D ．20232【答案】B 【分析】利用赋值法找出规律，从而得出正确答案. 【详解】令0a b ==，则()()()()20020,00f f f f =+=，令0,1a b ==，则()()()()()221021,121f f f f f =+=，由于()10f ≠，所以()112f =.令1a b ==，则()()()221211f f f =+=， 令2,1a b ==，则()()()2133221122f f f =+=+=，令3,1a b ==，则()()()23144321222f f f =+=+=，以此类推，可得()202120212f =.故选：B.6．（2021·安徽·六安二中高三月考）设()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()21x f x =-，则当0x <时，()f x =（） A ．21x -- B ．21x -+C ．21x ---D ．21x --+【答案】D 【分析】根据题意，设0x <，则0x ->，由函数的解析式可得()21x f x --=-，结合函数的奇偶性分析可得答案． 【详解】根据题意，设0x <，则0x ->， 则()21x f x --=-，又由()f x 为奇函数，则()()21x f x f x ---=-+=，故选：D.7．（2021·河南·高三月考（理））||||2()x x x e f x e-=的最大值与最小值之差为（）A ．4-B ．4eC ．44e-D ．0【答案】B 【分析】利用函数为奇函数，且其图像的对称性，利用导数可得函数的单调性和最值. 【详解】22()1xx xx e x f x ee-==-，设2()xx g x e=，则()()1g x f x =+则()g x 为奇函数，图像关于原点对称，其最大值与最小值是互为相反数，max max ()()1g x f x =+min ()()1min g x f x =+ max min ()()0g x g x +=max min max min max min max ()()(()1)(()1)()()2()f x f x g x g x g x g x g x ∴-=---=-=即()f x 的最大值与最小值之差为max 2()g x ， 当0x >时2()xxg x e =，222(1)()x x x x g x e e --'==， 故2()xxg x e =的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,)+∞， 所以max 2()(1)g x g e==，所以()f x 的最大值与最小值之差为4e故选：B.8．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三月考（理））已知减函数()332f x x x =--，若()()320f m f m -+-<，则实数m 的取值范围为（） A ．(),3-∞ B ．()3,+∞ C ．(),3-∞- D ．()3,-+∞【答案】C 【分析】根据函数奇偶性和单调性，列出不等式即可求出范围. 【详解】易知()f x 为R 上的奇函数，且在R 上单调递减， 由()()320f m f m -+-<，得()()()322f m f m f m -<--=， 于是得32m m ->，解得3m <-. 故选:C.9．（2021·陕西·西安中学高三期中）已知函数()(1ln 31xx a x f x x a +=++++-（0a >，1a ≠），且()5f π=，则()f π-=（） A ．5- B ．2 C ．1D ．1-【答案】C 【分析】令()()3g x f x =-，由()()0g x g x -+=，可得()g x 为奇函数，利用奇函数的性质即可求解. 【详解】解：令()()(1ln 13x x a x g x f x x a +++=--+=，因为()()((11ln ln 011xxx x a a g x x x x x x aa g --++-++-++++=---+=，所以()g x 为奇函数，所以()()0g g ππ-+=，即()()330f f ππ--+-=， 又()5f π=， 所以()1f π-=， 故选：C.10．（2021·北京通州·高三期中）已知函数()f x 的定义域为R ，()54f =，()3f x +是偶函数，[)12,3,x x ∀∈+∞，有()()12120f x f x x x ->-，则（）A ．()04f <B ．()14f =C ．()24f >D ．()30f <【答案】B 【分析】根据条件可得()f x 关于直线3x =对称，()f x 在[)3,+∞上单调递增，结合()54f =可判断出答案. 【详解】由()3f x +是偶函数可得()f x 关于直线3x =对称 因为[)12,3,x x ∀∈+∞，有()()12120f x f x x x ->-，所以()f x 在[)3,+∞上单调递增因为()54f =，所以()()064f f =>，()()154f f ==，()()244f f =< 无法比较()3f 与0的大小 故选：B.11．（2021·北京朝阳·高三期中）若函数()()221x f x a a R =-∈+为奇函数，则实数a =（）.A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】D【分析】由奇函数的性质()00f =求解即可 【详解】因为函数()()221x f x a a R =-∈+为奇函数，定义域为R ，所以()00f =，即02021a -=+，解得1a =，经检验符合题意，故选：D.12．（2022·上海·高三专题练习）函数()2020sin 2f x x x =+，若满足()2(1)0f x x f t ++-≥恒成立，则实数t 的取值范围为（） A ．[2,)+∞ B ．[1,)+∞C ．3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．(,1]-∞【答案】C 【详解】∵()2020sin 2()f x x x f x -=--=-，且()20202cos20f x x '=+>， ∴函数()f x 为单调递增的奇函数．于是，()2(1)0f x x f t ++-≥可以变为()2(1)(1)f x x f t f t +--=-，即21x x t +≥-，∴21t x x ≤++，而221331244x x x ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭，可知实数34t ≤， 故实数t 的取值范围为3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．故选：C.13．（2021·江苏·海安高级中学高三月考）已知定义在R 上的可导函数()f x ，对任意的实数x ，都有()()4f x f x x --=，且当()0,x ∈+∞时，()2f x '>恒成立，若不等式()()()1221f a f a a --≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 【答案】D 【分析】由题意可得()()()f x x f x x -=---，令()()2F x f x x =-，根据奇偶性的定义，可得()F x 为偶函数，利用导数可得()F x 的单调性，将题干条件化简可得()2(1)2(1)f a a f a a -≥---，即()(1)F a F a ≥-，根据()F x 的单调性和奇偶性，计算求解，即可得答案.【详解】由()()4f x f x x --=，得()2()2()f x x f x x -=---， 记()()2F x f x x =-，则有()()F x F x =-，即()F x 为偶函数， 又当(0,)x ∈+∞时，()()20F x f x ''=->恒成立， 所以()F x 在(0,)+∞上单调递增，所以由()()()1221f a f a a --≥-，得()2(1)2(1)f a a f a a -≥---， 即()(1)F a F a ≥-(||)(|1|)F a F a ⇔-，所以|||1|a a -，即2212a a a ≥+-，解得12a ，故选：D.14．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（文））设函数222,0()lg ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数()1y f x =-的零点个数为（） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．0个【答案】B【分析】由已知函数()f x 的解析式作出图象，把函数()1y f x =-的零点转化为函数()f x 与1y =的交点得答案． 【详解】由函数解析式222,0()lg ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩由图可知，函数()1y f x =-的零点的个数为2个． 故选：B ．15．（2020·广东·梅州市梅江区嘉应中学高三月考）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足1(2)()f x f x +=，且当3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()2log (31)f x x =-+，则()2021f 等于（） A ．4 B ．2C ．2-D ．2log 7【答案】C 【分析】求得()f x 是周期为4的周期函数，从而求得()2021f . 【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()11(4)(2)2()1(2)()f x f x f x f x f x +=++===+， 其最小正周期为4，所以()()2021450511)()1(f f f f ⨯+===--.因为31,02⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，且当3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()2log (31)f x x =-+， 所以()2()log 13)1(12f -=--+=⨯，所以()202112()f f =--=-. 故选：C.16．（2021·江西·九江市柴桑区第一中学高三月考（文））已知函数()f x 是定义在[3,2]a --上的奇函数，且在[3,0]-上单调递增，则满足()()0f m f m a +->的m 的取值范围是（）A ．5,82⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．5,32⎛⎤⎥⎝⎦C ．[]2,3D ．[]3,3-【答案】B 【分析】根据奇函数的定义可知定义域关于原点对称可得320a -+-=，即可解出a ，由奇函数的性质可得函数()f x 在[]3,3-上递增，再将()()0f m f m a +->等价变形为()()f m f a m >-，然后根据单调性即可解出． 【详解】依题意可得320a -+-=，解得5a =，而函数f x （）在[3,0]-上单调递增，所以函数()f x 在[0,3]上单调递增，又函数()f x 连续，故函数()f x 在[]3,3-上递增，不等式()()0f m f m a +->即为()()5f m f m >-，所以333535m m m m-≤≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪>-⎩，解得532m <≤．故选：B ．17．（2021·浙江·高三期中）已知0a >，0b >，则“2ln 39b a a b>-”是“a b >”成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】构造函数，利用函数的单调性，结合充分性、必要性的定义进行判断即可. 【详解】解：由()22ln ln 2ln 33b a a a b b=->-，得()2ln 23ln 3a b a b +>+，令()ln 3x f x x =+，()f x 在()0,∞+上单调递增，又()()2f a f b >，则2a b >．即当0a >，0b >时，2ln 392b a a a b b>-⇔>．显然，2a b a b >⇒>，但由2a b >不能得到a b >． 故选：B ．18．（2021·重庆市实验中学高三月考）已知函数()()2312,1,1x x a x x f x a x ⎧-++<⎪=⎨≥⎪⎩，若函数()f x 在R 上为减函数，则实数a 的取值范围为（）A ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,3⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【分析】利用二次函数、指数函数的单调性以及函数单调性的定义，建立关于a 的不等式组，解不等式组即可得答案. 【详解】解：因为函数()()2312,1,1x x a x x f x a x ⎧-++<⎪=⎨≥⎪⎩在R 上为减函数，所以()213112011312a a a a +⎧≥⎪⎪<<⎨⎪-++≥⎪⎩，解得1132a ≤≤，所以实数a 的取值范围为11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 故选：B.19．（2021·全国·高三期中）已知()2f x +是偶函数，当122x x <<时，()()()21210f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，设12a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()3b f =，()4c f =，则a 、b 、c 的大小关系为（） A ．b a c << B ．c b a << C ．b c a << D ．a b c <<【答案】A 【分析】分析可知函数()f x 在()2,+∞为增函数，由已知条件可得1722a f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合函数()f x 的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】当122x x <<时，()()()21210f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，则()()12f x f x <， 所以()f x 在()2,+∞为增函数.又因为()2f x +是偶函数，所以，()()22f x f x -+=+，即1722a f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()7342f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即b a c <<.故选：A.20．（2021·宁夏·海原县第一中学高三月考（文））已知()f x 是定义域为()-∞+∞，的奇函数，满足()()11f x f x -=+，若()13f =，则()()()()1232022f f f f ++++=（）A ．2022B ．0C ．3D ．2022-【答案】C 【分析】由条件可得()f x 是周期为4的周期函数，然后利用()()()()()()()()()()1232022505123412f f f f f f f f f f ++++=+++++⎡⎤⎣⎦算出答案即可.【详解】因为()f x 是定义域为()-∞+∞，的奇函数，所以()()f x f x -=-，()00f = 因为()()11f x f x -=+，所以()()()2f x f x f x -=+=-所以()()()42f x f x f x +=-+=，所以()f x 是周期为4的周期函数 因为()13f =，()()200f f ==，()()()3113f f f =-=-=-，()()400f f == 所以()()()()()()()()()()12320225051234123f f f f f f f f f f ++++=+++++=⎡⎤⎣⎦故选：C.21．（2021·河北·高三月考）已知函数()3()21sin f x x x x =+++，则()(32)4f x f x -+-<的解集为（） A ．(,1)-∞ B ．(1,)+∞C ．(,2)-∞D ．(2,)+∞【答案】A 【分析】设3()()222sin g x f x x x x =-=++，然后可得函数()g x 为奇函数，函数()g x 在R 上单调递增，然后不等式()(32)4f x f x -+-<可化为()(32)g x g x -<-+，然后可解出答案. 【详解】设3()()222sin g x f x x x x =-=++，可得函数()g x 为奇函数，2()62cos 0g x x x '=++>，所以函数()g x 在R 上单调递增，()(32)4()2(32)2()f x f x f x f x g x -+-<⇒--<--+⇒-(32)()(32)g x g x g x <--⇒-<-+，所以321x x x -<-+⇒<． 故选：A.22．（2021·河南·高三月考（文））已知函数()()12x x f x e e －＝+，记12a fπ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭＝，1log 2b f π⎛⎫ ⎪⎝⎭＝，()c f π＝，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a【答案】C 【分析】先判断函数的奇偶性，然后根据导函数的符号求出函数的单调区间，利用函数的单调性即可得出答案. 【详解】解：因为()()()12x x f x e e f x --=+=，所以函数()f x 为偶函数，()()12x xf x e e -'=-， 当0x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在()0,∞+上递增，则()1log log 22b f f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以10log 212πππ<<<<， 所以b a c <<. 故选：C ．23．（2021·安徽·高三月考（文））已知定义在R 上的函数()f x 满足：(1)f x -关于(1,0)中心对称，(1)f x +是偶函数，且312f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则92f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（） A ．0 B ．-1 C ．1 D ．无法确定【答案】B 【分析】由于(1)f x -关于(1,0)中心对称，又将函数(1)f x -向左平移1个单位后为()f x ，所以()f x 关于(0,0)中心对称，即()f x 是奇函数；又(1)f x +是偶函数，又将函数(1)f x +向右平移1个单位后为()f x ，所以()f x 关于直线1x =对称，可得函数()f x 的周期4T =， 由此即可求出结果. 【详解】由于(1)f x -关于(1,0)中心对称，又将函数(1)f x -向左平移1个单位后为()f x ，所以()f x 关于(0,0)中心对称，即()f x 是奇函数；又(1)f x +是偶函数，又将函数(1)f x +向右平移1个单位后为()f x ，所以()f x 关于直线1x =对称，即()(2)f x f x =-； 所以()(2)f x f x =--，所以(+2)()f x f x =-，所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=， 所以函数()f x 的周期4T =，911334211222222f f f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==-==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B.24．（2021·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（理））函数()y f x =对任意x ∈R 都有(2)()f x f x +=-成立，且函数(1)y f x =-的图象关于点()1,0对称，(1)4f =，则(2020)(2021)(2022)f f f ++=（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【分析】根据函数(1)y f x =-的图象关于点()1,0对称，得到函数是奇函数，然后结合(2)()f x f x +=-，得到函数的周期为4T =求解. 【详解】因为函数(1)y f x =-的图象关于点()1,0对称， 所以函数()y f x =的图象关于点()0,0对称， 即()()f x f x -=-， 又因为(2)()f x f x +=-，所以(2)()f x f x +=-，即(4)()f x f x +=， 所以函数的周期为4T =， 又(1)4f =，所以(2020)(2021)(2022)(0)(1)(0)4f f f f f f ++=++=. 故选：D.25．（2021·江西·高三月考（文））若定义在R 上的奇函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，且()30f =，则满足0()2f x x -≤的x 的取值范围为（）A ．(][),15,-∞-+∞B ．[][]3,05,-+∞C ．[][]1,02,5-D ．(][),10,5-∞-【答案】C 【分析】根据函数的单调性、奇偶性、函数图象变换，结合图象求得正确答案. 【详解】依题意()f x 是R 上的奇函数，且在(0,)+∞递增，且()30f =，所以()f x 在(),0-∞递增，且()30f -=.()2f x -的图象是由()f x 的图象向右平移2个单位得到，画出()2f x -的大致图象如下图所示，由图可知，满足0()2f x x -≤的x 的取值范围为[][]1,02,5-.故选：C.26．（2022·全国·高三专题练习）定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且在[0，1]上是减函数，则有（） A ．f 3()2<f 1()4-<f 1()4B ．f 1()4<f 1()4-<f 3()2C ．f 3()2<f 1()4<f 1()4-D ．f 1()4-<f 3()2-<f 1()4【答案】C 【分析】首先判断函数的周期，以及对称性，画出函数的草图，即可判断选项. 【详解】因为f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋2＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数的周期为4，并且()()()2f x f x f x +=-=-，所以函数()f x 关于1x =对称，作出f (x )的草图(如图)，由图可知3()2f <1()4f <1()4f -，故选：C.27．（2022·全国·高三专题练习）函数()342221x x f x x x⎧-≤⎪=⎨->⎪-⎩，，则不等式()1f x ≥的解集是（ ）A ．()513⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭，，B ．(]5133⎡⎤-∞⋃⎢⎥⎣⎦，，C ．513⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．533⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】B【分析】将()f x 表示为分段函数的形式，由此求得不等式()1f x ≥的解集. 【详解】()342221x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪-⎩，，443,3434,232,21x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪>⎪-⎩， 当43x <时，431,11x x x -≥≤⇒≤，当423x ≤≤时，55341,233x x x -≥≥⇒≤≤，当2x >时，10x ->，则21,21,3231x x x x ≥≥-≤⇒<≤-，综上所述，不等式()1f x ≥的解集为(]5,1,33⎡⎤-∞⋃⎢⎥⎣⎦.故选：B.28．（2021·安徽省亳州市第一中学高三月考（文））函数()f x 满足()()4f x f x =-+，若()23f =，则()2022f =（）A ．3B ．-3C ．6D ．2022【答案】B 【分析】根据函数()f x 满足()()4f x f x =-+，变形得到函数()f x 是周期函数求解. 【详解】因为函数()f x 满足()()4f x f x =-+，即()()4f x f x +=-， 则()()()84f x f x f x +=-+=，所以函数()f x 是周期函数，周期为8，所以()()()()202225286623f f f f =⨯+==-=-．故选：B ．29．（2021·贵州·贵阳一中高三月考（理））函数2()ln(231)f x x x =-+的单调递减区间为（）A ．3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(1,)+∞【答案】B【分析】先求出函数()f x 的定义域，再求出函数2231u x x =-+在所求定义域上的单调区间并结合复合函数单调性即可作答.【详解】在函数2()ln(231)f x x x =-+中，由22310x x -+>得12x <或1x >，则()f x 的定义域为1(,)(1,)2-∞+∞， 函数2231u x x =-+在1(,)2-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，又ln y u =在(0,)u ∈+∞上单调递增，于是得()f x 在1(,)2-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 所以函数()f x 的单调递减区间为1(,)2-∞. 故选：B.30．（2021·广东·高三月考）已知定义域为R 的函数()y f x =在[0,10]上有1和3两个零点，且(2)y f x =+与(7)y f x =+都是偶函数，则函数()y f x =在[0,2013]上的零点个数为（）A ．404B ．804C ．806D ．402【答案】A【分析】 根据两个偶函数得()f x 的对称轴，由此得函数的周期，10是其一个周期，由周期性可得零点个数．【详解】因为(2)y f x =+与(7)y f x =+都为偶函数，所以(2)(2)f x f x +=-+，(7)(7)f x f x +=-+，所以()f x 图象关于2x =，7x =轴对称，所以()f x 为周期函数，且2(72)10T =⋅-=，所以将[0,2013]划分为[0,10)[10,20)[2000,2010][2010,2013]⋅⋅⋅.而[0,10)[10,20)[2000,2010]⋅⋅⋅共201组，所以2012402N =⨯=，在[2010,2013]中，含有零点(2011)(1)0f f ==，(2013)(3)0f f ==共2个，所以一共有404个零点.故选：A.31．（2021·安徽·池州市江南中学高三月考（理））已知定义域为R 的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x ＋4)，且函数f (x )在区间(2，＋∞)上单调递增，如果x 1<2<x 2，且x 1＋x 2>4，则f (x 1)＋f (x 2)的值（）A ．可正可负B ．恒大于0C ．可能为0D ．恒小于0【答案】B【分析】首先根据条件()(4)f x f x -=-+转化为(4)()f x f x -=-，再根据函数()f x 在区间(2,)+∞上单调递增，将1x 转换为14x -，从而14x -，2x 都在(2,)+∞的单调区间内，由单调性得到它们的函数值的大小，再由条件即可判断12()()f x f x +的值的符号．【详解】解：定义域为R 的函数()f x 满足()(4)f x f x -=-+，将x 换为x -，有(4)()f x f x -=-，122x x <<，且124x x +>，2142x x ∴>->，函数()f x 在区间(2,)+∞上单调递增，21()(4)f x f x ∴>-，(4)()f x f x -=-，11(4)()f x f x ∴-=-，即21()()f x f x >-，12()()0f x f x ∴+>，故选：B ．32．（2021·河南·模拟预测（文））已知非常数函数()f x 满足()()1f x f x -=()x R ∈，则下列函数中，不是奇函数的为（）A ．()()11f x f x -+ B ．()()11f x f x +- C ．()()1f x f x - D ．()()1f x f x + 【答案】D【分析】根据奇函数的定义判断．【详解】因为()()1f x f x -=()x R ∈，所以()1()()1f x g x f x -=+，则11()11()()()()1()11()1()f x f x f xg x g x f x f x f x -----====--+++，()g x 是奇函数， 同理()()1()1f x h x f x +=-也是奇函数，1()()()()()p x f x f x f x f x =-=--，则()()()()p x f x f x p x -=--=-，是奇函数， 1()()()()()q x f x f x f x f x =+=+-，()()()()q x f x f x q x -=-+=为偶函数， 故选：D ．33．（2021·四川郫都·高三月考（文））已知奇函数()f x 定义域为R ，()()1f x f x -=，当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()21log 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则52f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（） A ．2log 3B ．1C ．1-D ．0【答案】D【分析】 根据函数的奇偶性和(1)()f x f x -=可得函数的周期是2，利用周期性进行转化求解即可．【详解】 解：奇函数满足(1)()f x f x -=，()(1)(1)f x f x f x ∴=-=--，即(1)()f x f x +=-，则(2)(1)()f x f x f x +=-+=，所以()f x 是以2为周期的周期函数， 所以225111()()log ()log 102222f f ==+==． 故选：D.34．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R ，且满足()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，且12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()00f ≠，则()2021f =（）．A ．2021B ．1C ．0D ．1-【答案】C【分析】 分别令0x y ==，令12x y ==得到()()110f x f x ++-=，进而推得函数()f x 是周期函数求解． 【详解】令0x y ==，则()()()()00200f f f f +=，故()()()20010f f -=，故()01f =，（()00f =舍） 令12x y ==，则()()1110222f f f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故()10f =．∴()()()()11210f x f x f x f ++-==，即()()()()()()1124f x f x f x f x f x f x +=--⇒+=-⇒+=，故()f x 的周期为4，即()f x 是周期函数．∴()()202110f f ==．故选：C ．二、多选题35．（2021·全国·高三月考）()f x 是定义在R 上的偶函数，对x R ∀∈，均有()()2f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()()2log 2f x x =-，则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 的一个周期为4B ．()20221f =C ．当[]2,3x ∈时，()()2log 4f x x =--D ．函数()f x 在[]0,2021内有1010个零点【答案】AC【分析】 由()()2 x f f x +=-可判断A ，()()()2022450()5220f f f f =⨯+==-，可判断B ，当[]2,3x ∈时，[]20,1x -∈，结合条件可判断C ，易知()()()()()1 35201920210f f f f f ===⋯===，可判断D.【详解】()f x 是定义在R 上的偶函数，对x R ∀∈，均有()()2 x f f x +=-，()()4 (2,f x f x f x ∴+=-+=）故函数的周期为4，故选项A 正确；()()()2022452(05201)f f f f =⨯+==-=-，故选项B 错误；当[]2,3x ∈时，[]20,1x -∈，则()()()()222log 2 2log 4f x f x x x ⎡=--=---=-⎤⎦-⎣，故选项C 正确；易知()()()()()1 35201920210f f f f f ===⋯===，于是函数()f x 在[]0,2021内有1011个零点，故选项D 错误，故选：AC ．36．（2021·重庆市第十一中学校高三月考）关于函数()321x f x x +=-，正确的说法是（） A ．()f x 有且仅有一个零点B ．()f x 在定义域内单调递减C ．()f x 的定义域为{}1x x ≠D ．()f x 的图象关于点()1,3对称【答案】ACD【分析】将函数()f x 分离系数可得5()31f x x =+-，数形结合，逐一分析即可； 【详解】 解：323(1)55()3111x x f x x x x +-+===+---，作出函数()f x 图象如图：由图象可知，函数只有一个零点，定义域为{}|1x x ≠，在(),1-∞和()1,+∞上单调递减，图象关于()1,3对称，故B 错误，故选：ACD ．37．（2021·福建·三明一中高三月考）下列命题中，错误的命题有（）A ．函数()f x x =与()2g x =是同一个函数B ．命题“[]00,1x ∃∈，2001x x +≥”的否定为“[]0,1x ∀∈，21x x +<”C ．函数4sin 0sin 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的最小值为4 D ．设函数22,0()2,0x x x f x x +<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 在R 上单调递增 【答案】ACD【分析】 求出两函数的定义域，即可判断A ；命题的否定形式判断B ；函数的最值判断C ；分段函数的性质以及单调性判断D ；【详解】解：函数()f x x =定义域为R ，函数2()g x =的定义域为[)0,+∞，所以两个函数的定义域不相同，所以两个函数不是相同函数；所以A 不正确；命题“0[0x ∃∈，1]，2001x x +”的否定为“[0x ∀=，1]，21x x +<”，满足命题的否定形式，所以B 正确； 函数4sin sin y x x =+(0)2x π<<，因为02x π<<，所以0sin 1x <<，可知4sin 4sin y x x =+>，所以函数没有最小值，所以C 不正确； 设函数22,0,()2,0,x x x f x x +<⎧⎪=⎨⎪⎩两段函数都是增函数，并且0x <时，0x →，()2f x →，0x 时，函数的最小值为1，两段函数在R 上不是单调递增，所以D 不正确；故选：ACD ．38．（2021·福建·高三月考）已知()f x 是定义域为R 的函数，满足()()13f x f x +=-，()()13f x f x +=-，当02x ≤≤时，()2f x x x =-，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为4B ．()f x 的图象关于直线2x =对称C ．当04x ≤≤时，函数()f x 的最大值为2D ．当68x ≤≤时，函数()f x 的最小值为12- 【答案】ABC【分析】根据抽象函数关系式，可推导得到周期性和对称性，知AB 正确；根据()f x 在[]0,2上的最大值和最小值，结合对称性和周期性可知C 正确，D 错误.【详解】对于A ，()()13f x f x +=-，()()4f x f x ∴+=，()f x ∴的最小正周期为4，A 正确； 对于B ，()()13f x f x +=-，()()22f x f x ∴+=-，()f x ∴的图象关于直线2x =对称，B 正确；对于C ，当02x ≤≤时，()()max 22f x f ==，()f x 图象关于2x =对称，∴当24x ≤≤时，()()max 22f x f ==； 综上所述：当04x ≤≤时，()()max 22f x f ==，C 正确；对于D ，()f x 的最小正周期为4，()f x ∴在[]6,8上的最小值，即为()f x 在[]2,4上的最小值，当02x ≤≤时，()min 1124f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，又()f x 图象关于2x =对称， ∴当24x ≤≤时，()min 711224f x f f ⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x ∴在[]6,8上的最小值为14-，D 错误. 故选：ABC.39．（2022·全国·高三专题练习）设f (x )的定义域为R ，给出下列四个命题其中正确的是（）A ．若y ＝f (x )为偶函数，则y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称；B ．若y ＝f (x ＋2)为偶函数，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称；C ．若f (2＋x )＝f (2－x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称；D ．若f (2－x )＝f (x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称.【答案】BC【分析】根据偶函数的对称性，结合函数图象变换性质、函数图象关于直线对称的性质进行逐一判断即可.【详解】A ：中由y ＝f (x )关于y 轴对称，得y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，所以结论错误；B ：因为y ＝f (x ＋2)为偶函数，所以函数y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称，因此y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以结论正确；C ：因为f (2＋x )＝f (2－x )，所以y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，因此结论正确；D ：由f (2－x )＝f (x )，得f (1＋x )＝f (1－x )，所以y ＝f (x )关于直线x ＝1对称，因此结论错误，故选：BC.40．（2021·广东·湛江二十一中高三月考）已知函数sin ()()x f x e x R =∈，则下列论述正确的是（）A ．()f x 的最大值为e ，最小值为0B ．()f x 是偶函数C ．()f x 是周期函数，且最小正周期为2πD ．不等式()f x ≥5,66xk x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭【答案】BD【分析】由|sin |[0,1]x ∈，得到函数的值域，可判定A 错误；由函数奇偶性的定义，可判定B 正确； 由函数周期的定义，可得判定C 错误；由()f x ≥，得到1|sin |2x ≥，结合三角函数的性质，可判定D 正确.【详解】由|sin |[0,1]x ∈，可得的sin [1,]x e e ∈，故A 错误； 由sin()|sin |()()x x f x e e f x --===，所以()f x 是偶函数，故B 正确；由|sin()||sin ||sin |(=e )()x x x f x e e f x ππ+-+===，所以π是()f x 的周期，故C 错误； 由()f x ≥，即1sin 2x e e ≥，可得1|sin |2x ≥， 解得x 的取值范围是5,66xk x k k ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ，故D 正确. 故选：BD. 41．（2021·全国·模拟预测）已知函数()21x f x x =-，则下列结论正确的是（） A ．函数()f x 在(),1-∞上是增函数B ．函数()f x 的图象关于点()1,2中心对称C ．函数()f x 的图象上存在两点A ，B ，使得直线//AB x 轴D ．函数()f x 的图象关于直线1x =对称【答案】AC【分析】()2,112,11x x x f x x x x ⎧-<⎪⎪-=⎨⎪>⎪-⎩，然后画出其图象可得答案. 【详解】()2,112,11x x x f x x x x ⎧-<⎪⎪-=⎨⎪>⎪-⎩，其大致图象如下，结合函数图象可得AC 正确，BD 错误.故选：AC.42．（2022·全国·高三专题练习）对于定义在R 上的函数()f x ，下列说法正确的是（）A ．若()f x 是奇函数，则()1f x -的图像关于点()1,0对称B ．若对x ∈R ，有()()11f x f x =+-，则()f x 的图像关于直线1x =对称C ．若函数()1f x +的图像关于直线1x =-对称，则()f x 为偶函数D ．若()()112f x f x ++-=，则()f x 的图像关于点()1,1对称【答案】ACD【分析】四个选项都是对函数性质的应用，在给出的四个选项中灵活的把变量x 加以代换，再结合函数的对称性、周期性和奇偶性就可以得到正确答案.【详解】对A ，()f x 是奇函数，故图象关于原点对称，将()f x 的图象向右平移1个单位得()1f x -的图象，故()1f x -的图象关于点（1，0）对称，正确；对B ，若对x ∈R ，有()()11f x f x =+-，得()()2f x f x +=，所以()f x 是一个周期为2的周期函数，不能说明其图象关于直线1x =对称，错误.；对C ，若函数()1f x +的图象关于直线1x =-对称，则()f x 的图象关于y 轴对称，故为偶函数，正确；对D ，由()()112f x f x ++-=得()()()()112,202f f f f +=+=，()()()()312,422,f f f f +-=+-=，()f x 的图象关于（1，1）对称，正确.故选：ACD.第II 卷（非选择题）三、填空题43．（2021·广东·高三月考）请写出一个函数()f x =__________，使之同时具有如下性质：①图象关于直线2x =对称；②x R ∀∈，(4)()f x f x +=． 【答案】()cos 2f x x π=（答案不唯一）. 【分析】根据性质①②可知()f x 是以4为周期且图象关于2x =对称点的函数，即可求解.【详解】解：由题可知，由性质①可知函数()f x 图象关于直线2x =对称；由性质②x R ∀∈，(4)()f x f x +=，可知函数()f x 以4为周期， 写出一个即可，例如：()cos 2f x x π=， 故答案为：()cos 2f x x π=（答案不唯一）. 44．（2021·湖南·高三月考）已知偶函数()f x 满足()()416f x f x +-=，且当(]0,1x ∈时，()[]222()f x f x =，则()3f -=___________.【答案】12【分析】利用函数的奇偶性及赋值法，可以解决问题.【详解】由()()416f x f x +-=，令2x =，可得()28f =.因为[]22(2)(1)16f f ==，212(1)02f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦≥，所以()10f ≥，所以()14f =，由()()416f x f x +-=，令1x =，可得()312f =.因为()f x 是偶函数，所以()()3312f f -==.故答案为：12.45．（2021·北京·中国人民大学附属中学丰台学校高三月考）定义在R 上的函数f (x )满足()()22f x f x -=+，且x ∈（0，1）时，1()24x f x =+，则23(log 8)2f +＝___． 【答案】74【分析】 由条件可得2233(log 8)(log )22f f +=，然后可算出答案. 【详解】因为()()22f x f x -=+，且x ∈（0，1）时，1()24x f x =+， 所以23log 222331317(log 8)(log )2224244f f +==+=+= 故答案为：74. 46．（2021·上海奉贤区致远高级中学高三月考）定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=，2(2),[3,1)(),[1,3)x x f x x x ⎧-+∈--⎪=⎨∈-⎪⎩，数列{}n a 满足(),n a f n n N =∈*，{}n a 的前n 项和为n S ，则2021S =_________．【答案】337【分析】先判断出周期为6，再求出126a a a ++⋅⋅⋅+的值，最后求出2021S 的值【详解】因为函数()f x 满足(6)()f x f x +=，所以函数()f x 是周期为6的周期函数，()()()()12311,22,331a f a f a f f ======-=-，()()()()()456420,511,00a f f a f f a f ==-===-=-==，()()7711a f f ===，1261210101a a a ++⋅⋅⋅+=+-+-+=，因为202163365=⨯+，所以()2021126125336336112101337S a a a a a a =+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=⨯++-+-=故答案为：337.47．（2021·辽宁沈阳·高三月考）若函数()3121x f x m x ⎛⎫=-⋅⎪-⎝⎭为偶函数，则m 的值为________． 【答案】12- 【分析】先根据()()11f f =-求出m 的值，再根据奇偶性的定义证明即可.【详解】解：由已知210x -≠，即0x ≠，故函数定义域为()(),00,-∞⋃+∞，因为函数()3121x f x m x ⎛⎫=-⋅⎪-⎝⎭为偶函数， 则()()11f f =- 即1112121m m -⎛⎫-=-- ⎪--⎝⎭， 解得12m =-， 当12m =-时， ()()()()333331111212221211221x x x x x f x f x x x x x x -⎛⎫⎛⎫--=+⋅--+⋅=⋅--- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭3332102121x x x x x x =⋅--=--. 故12m =-时，函数()3121x f x m x ⎛⎫=-⋅ ⎪-⎝⎭为偶函数 故答案为：12-. 48．（2021·全国·高三月考（理））已知函数2()sin f x x x x =-，则不等式(21)(1)f x f x -<+的解集为______.【答案】(0,2)【分析】利用导数可判断函数在(0,)+∞为增函数，再利用函数奇偶性的定义可判断函数为偶函数，从而将(21)(1)f x f x -<+转化为|21||1|x x -<+，进而可求出不等式的解集【详解】定义域为R ，由题意，()2sin cos (2cos )sin f x x x x x x x x '=--=--，当0x >时，()1sin 0f x x x '≥⋅->，故()f x 在(0,)+∞为增函数.因为22()()()sin()sin ()f x x x x x x x f x -=----=-=，所以()f x 为偶函数，故(21)(1)f x f x -<+即(|21|)(|1|)f x f x -<+，则|21||1|x x -<+，故22(21)(1)x x -<+，解得02x <<，故原不等式的解集为(0,2).故答案为：(0,2).49．（2022·全国·高三专题练习）函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为________. 【答案】2【分析】先利用诱导公式、二倍角公式化简，再将函数零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题，进而画出图象进行判定.【详解】2π()2sin sin()2f x x x x =+- 222sin cos sin 2x x x x x =-=-，函数f (x )的零点个数可转化为函数1sin 2y x =与22y x =图象的交点个数，在同一坐标系中画出函数1sin 2y x =与22y x =图象的（如图所示）：由图可知两函数图象有2个交点，即f (x )的零点个数为2.故答案为：2.50．（2021·河南·高三月考（文））已知偶函数()f x 和奇函数()g x 均定义在R 上，且满足()()224359x f x g x x x +=-++，则()()13f g -+=______．【答案】223【分析】先用列方程组法求出()f x 和()g x 的解析式，代入即可求解.【详解】因为()()224359x f x g x x x +=-++……① 所以()()224359x f x g x x x -+-=+++ 因为()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，所以()()224359x f x g x x x -=+++……② ①②联立解得：()235f x x =+，()249x g x x =-+， 所以()()()22431331532392f g ⨯-+=-+-=+. 故答案为：223.。

全国高考数学复习：专题（含参函数的单调性讨论）重点讲解与练习【方法总结】分类讨论思想研究函数的单调性讨论含参函数的单调性，其本质就是讨论导函数符号的变化情况，所以讨论的关键是抓住导函数解析式中的符号变化部分，即导数的主要部分，简称导主．讨论时要考虑参数所在的位置及参数取值对导函数符号的影响，一般来说需要进行四个层次的分类：(1)最高次幂的系数是否为0，即“是不是”；(2)导函数是否有变号零点，即“有没有”；(3)导函数的变号零点是否在函数定义域或指定区间内，即“在不在”；(4)导函数的变号零点之间的大小关系，即“大不大”．牢记：十二字方针“是不是，有没有，在不在，大不大”．考点一 导主一次型【例题选讲】[例1]已知函数f(x)＝x－a ln x(a∈R)，讨论函数f(x)的单调性．【对点训练】1．已知函数f(x)＝a ln x－ax－3(a∈R)．讨论函数f(x)的单调性．2．已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)，讨论函数f(x)的单调性．考点二 导主二次型【方法总结】此类问题中，导数的解析式通过化简变形后，通常可以转化为一个二次函数的含参问题．对于二次三项式含参问题，有如下处理思路：(1)首先需要考虑二次项系数是否含有参数．如果二次项系数有参数，就按二次项系数为零、为正、为负进行讨论；(2)其次考虑二次三项式能否因式分解，如果二次三项式能因式分解，这表明存在零点，只需讨论零点是否在定义域内，如果x1，x2都在定义域内，则讨论个零点x1，x2的大小；如果二次三项式不能因式分解，这表明不一定存在零点，需讨论判别式Δ≤0和Δ>0分类讨论；【例题选讲】命题点1是不是＋有没有＋在不在[例2](2021ꞏ全国乙节选)已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1．讨论f(x)的单调性．[例3](2018ꞏ全国Ⅰ节选)已知函数f(x)＝1x－x＋a ln x，讨论f(x)的单调性．[例4]设函数f(x)＝a ln x＋x－1x＋1，其中a为常数．讨论函数f(x)的单调性．【对点训练】3．(2020ꞏ全国Ⅲ节选)已知函数f(x)＝x3－kx＋k2．讨论f(x)的单调性．4．已知函数f (x )＝x －2x ＋1－a ln x ，a >0．讨论f (x )的单调性．5．已知函数f (x )＝(1＋ax 2)e x －1，当a ≥0时，讨论函数f (x )的单调性．命题点2 是不是＋在不在＋大不大[例5] 已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2－(2a ＋1)x ．若a >0，试讨论函数f (x )的单调性．[例6] 已知函数f (x )＝x 2e －ax－1(a 是常数)，求函数y ＝f (x )的单调区间．[例7] 已知函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋1x －ax ＋2(a ∈R )．讨论f (x )的单调性．[例8] 已知函数f (x )＝a ln(x ＋1)－ax －x 2，讨论f (x )在定义域上的单调性．[例9] (2016ꞏ山东)已知f (x )＝a (x －ln x )＋2x －1x 2，a ∈R ．讨论f (x )的单调性．【对点训练】6．已知函数f (x )＝122－(a ＋1)x ＋ln x ，a >0，试讨论函数y ＝f (x )的单调性．7．已知函数f (x )＝x 2e ax ＋1＋1－a (a ∈R )，求函数f (x )的单调区间．8．已知函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1，讨论函数f (x )的单调性．9．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫k ＋4k ln x ＋4－x 2x ，其中常数k >0，讨论f (x )在(0，2)上的单调性．10．已知函数f (x )＝ln(x ＋1)－ax 2＋x(x ＋1)2，且1<a <2，试讨论函数f (x )的单调性．考点三 导主指对型 【例题选讲】[例10] 已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，讨论函数f (x )的单调性．[例11] 已知f (x )＝(x 2－ax )ln x －32x 2＋2ax ，求f (x )的单调递减区间．【对点训练】11．已知函数f (x )＝e x －ax －1的定义域为(0，＋∞)，讨论函数f (x )的单调性．12．已知函数f (x )＝(x 2－2ax )ln x －122＋2ax (a ∈R )．(1)若a ＝0，求f (x )的最小值； (2)求函数f (x )的单调区间．考点四 导主正余型【例题选讲】[例12](2017山东理)已知函数f(x)＝x2＋2cos x，g(x)＝e xꞏ(cos x－sin x＋2x－2)，其中e是自然对数的底数．(1)求函数g(x)的单调区间；(2)讨论函数h(x)＝g(x)－af (x)(a∈R)的单调性．【对点训练】13．(2017ꞏ山东)已知函数f(x)＝13x 3－12ax2，其中参数a∈R．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程；(2)设函数g(x)＝f(x)＋(x－a)cos x－sin x，讨论g(x)的单调性参考答案【例题选讲】[例1] 已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )，讨论函数f (x )的单调性．解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x ＝x －ax ，令f ′(x )＝0，得x ＝a ， ①当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ②当a >0时，x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当a >0时，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．【对点训练】1．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )．讨论函数f (x )的单调性． 1．解析 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a (1－x )x ，令f ′(x )＝0，得x ＝1，当a >0时，f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； 当a <0时，f (x )在(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减； 当a ＝0时，f (x )为常函数．2．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )，讨论函数f (x )的单调性． 2．解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x (x >0)，①当a ≤0时，f ′(x )＝1x －a >0，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x ＝0，可得x ＝1a ， 当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－ax x >0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x <0， 故函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． 综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． 考点二 导主二次型 【方法总结】此类问题中，导数的解析式通过化简变形后，通常可以转化为一个二次函数的含参问题．对于二次三项式含参问题，有如下处理思路：(1)首先需要考虑二次项系数是否含有参数．如果二次项系数有参数，就按二次项系数为零、为正、为负进行讨论；(2)其次考虑二次三项式能否因式分解，如果二次三项式能因式分解，这表明存在零点，只需讨论零点是否在定义域内，如果x 1，x 2都在定义域内，则讨论个零点x 1，x 2的大小；如果二次三项式不能因式分解，这表明不一定存在零点，需讨论判别式Δ≤0和Δ>0分类讨论；【例题选讲】命题点1 是不是＋有没有＋在不在[例2] (2021ꞏ全国乙节选)已知函数f (x )＝x 3－x 2＋ax ＋1．讨论f (x )的单调性．解析 由题意知f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝3x 2－2x ＋a ，对于f ′(x )＝0，Δ＝(－2)2－4×3a ＝4(1－3a )． ①当a ≥13时，f ′(x )≥0，f (x )在R 上单调递增；②当a <13时，令f ′(x )＝0，即3x 2－2x ＋a ＝0，解得x 1＝1－1－3a 3，x 2＝1＋1－3a 3， 令f ′(x )>0，则x <x 1或x ＞x 2；令f ′(x )<0，则x 1<x <x 2．所以f (x )在(－∞，x 1)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增．综上，当a ≥13时，f (x )在R 上单调递增；当a <13时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－1－3a 3上单调递增，在⎝ ⎛⎪⎫1－1－3a 3，1＋1－3a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－3a 3，＋∞上单调递增．[例3] (2018ꞏ全国Ⅰ节选)已知函数f (x )＝1x －x ＋a ln x ，讨论f (x )的单调性． 解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－1x 2－1＋a x ＝－x 2－ax ＋1x 2． ①当a ≤2时，则f ′(x )≤0，当且仅当a ＝2，x ＝1时，f ′(x )＝0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减．②当a ＞2时，令f ′(x )＝0，得x ＝a －a 2－42或x ＝a ＋a 2－42． 当x ∈⎝ ⎛⎪⎫0，a －a 2－4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞时，f ′(x )＜0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42时，f ′(x )＞0． 所以f (x )在⎝ ⎛⎪⎫0，a －a 2－4，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42上单调递增． 综合①②可知，当a ≤2时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当a ＞2时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42上单调递增．[例4] 设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数．讨论函数f (x )的单调性． 解析 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝a x ＋2(x ＋1)2＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a x (x ＋1)2．当a ≥0时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a ＜0时，令g (x )＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a ，由于Δ＝(2a ＋2)2－4a 2＝4(2a ＋1)．(1)当a ＝－12时，Δ＝0，f ′(x )＝－12(x －1)2x (x ＋1)2≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．(2)当a ＜－12时，Δ＜0，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减． (3)当－12＜a ＜0时，Δ＞0．设x 1，x 2(x 1＜x 2)是函数g (x )的两个零点， 则x 1＝－(a ＋1)＋2a ＋1a ，x 2＝－(a ＋1)－2a ＋1a． 由x 1＝a ＋1－2a ＋1－a ＝a 2＋2a ＋1－2a ＋1－a ＞0，所以x ∈(0，x 1)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增； x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减．综上可得：当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减； 当－12＜a ＜0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－(a ＋1)＋2a ＋1a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－(a ＋1)－2a ＋1a ，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－(a ＋1)＋2a ＋1a ，－(a ＋1)－2a ＋1a 上单调递增． 【对点训练】3．(2020ꞏ全国Ⅲ节选)已知函数f (x )＝x 3－kx ＋k 2．讨论f (x )的单调性． 3．解析 由题意，得f ′(x )＝3x 2－k ，当k ≤0时，f ′(x )≥0恒成立，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增； 当k ＞0时，令f ′(x )＝0，得x ＝±k 3，令f ′(x )＜0，得－k3＜x ＜k3，令f ′(x )＞0，得x ＜－k3或x ＞k 3，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－k 3，k 3上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－∞，－k 3，⎝⎛⎭⎫k 3，＋∞上单调递增． 4．已知函数f (x )＝x －2x ＋1－a ln x ，a >0．讨论f (x )的单调性．4．解析 由题意知，f (x )的定义域是(0，＋∞)，导函数f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2. 设g (x )＝x 2－ax ＋2，二次方程g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8.①当Δ<0，即0<a <22时，对一切x >0都有f ′(x )>0．此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数． ②当Δ＝0，即a ＝2 2 时，仅对x ＝2有f ′(x )＝0，对其余的x >0都有f ′(x )>0． 此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．③当Δ>0，即a >22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0<x 1<x 2， x ∈(0，x 1)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增； x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增．此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－82上单调递增，在(a －a 2－82，a ＋a 2－82)上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－82，＋∞上单调递增．5．已知函数f (x )＝(1＋ax 2)e x －1，当a ≥0时，讨论函数f (x )的单调性． 5．解析 由题易得f ′(x )＝(ax 2＋2ax ＋1)e x ，当a ＝0时，f ′(x )＝e x ＞0，此时f (x )在R 上单调递增． 当a ＞0时，方程ax 2＋2ax ＋1＝0的判别式Δ＝4a 2－4a ．①当0＜a ≤1时，Δ≤0，ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立，所以f ′(x )≥0，此时f (x )在R 上单调递增； ②当a ＞1时，令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1－1－1a ，x 2＝－1＋1－1a ．x ∈(－∞，x 1)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增； x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增． 所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－1－1－1a 和⎝⎛⎭⎫－1＋1－1a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－1－1－1a ，－1＋1－1a 上单调递减．综上，当0≤a ≤1时，f (x )在R 上单调递增；当a ＞1时，f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－1－1－1a 和⎝⎛⎭⎫－1＋1－1a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－1－1－1a ，－1＋1－1a 上单调递减．命题点2 是不是＋在不在＋大不大[例5] 已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2－(2a ＋1)x ．若a >0，试讨论函数f (x )的单调性． 解析 因为f (x )＝ln x ＋ax 2－(2a ＋1)x ，所以f ′(x )＝2ax 2－(2a ＋1)x ＋1x ＝(2ax －1)(x －1)x． 由题意知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，令f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝12a ， 若12a <1，即a >12，由f ′(x )>0得x >1或0<x <12a ，由f ′(x )<0得12a <x <1， 即函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12a ，(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12a ，1上单调递减；若12a >1，即0<a <12，由f ′(x )>0得x >12a 或0<x <1，由f ′(x )<0得1<x <12a ，即函数f (x )在(0，1)，⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递减； 若12a ＝1，即a ＝12，则在(0，＋∞)上恒有f ′(x )≥0，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．综上可得，当0<a <12时，函数f (x )在(0，1)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递增；当a ＝12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >12时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12a ，1上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．[例6] 已知函数f (x )＝x 2e －ax －1(a 是常数)，求函数y ＝f (x )的单调区间．解析 根据题意可得，当a ＝0时，f (x )＝x 2－1，函数在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减． 当a ≠0时，f ′(x )＝2x e－ax ＋x 2(－a )e －ax ＝e －ax (－ax 2＋2x )． 因为e －ax >0，所以令g (x )＝－ax 2＋2x ＝0，解得x ＝0或x ＝2a(1)当a >0时，函数g (x )＝－ax 2＋2x 在(－∞，0)和⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞上有g (x )<0，即f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减；函数g (x )＝－ax 2＋2x 在⎣⎡⎦⎤0，2a 上有g (x )≥0，即f ′(x )≥0，函数y ＝f (x )单调递增． (2)当a <0时，函数g (x )＝－ax 2＋2x 在⎝⎛⎭⎫－∞，2a 和(0，＋∞)上有g (x )>0，即f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增；函数g (x )＝－ax 2＋2x 在⎣⎡⎦⎤2a ，0上有g (x )≤0，即f ′(x )≤0，函数y ＝f (x )单调递减． 综上所述，当a ＝0时，函数y ＝f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)；当a >0时，函数y ＝f (x )的单调递减区间为(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞，单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，2a ； 当a <0时，函数y ＝f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，2a ，(0，＋∞)，单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2a ，0． [例7] 已知函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋1x －ax ＋2(a ∈R )．讨论f (x )的单调性．解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝－(x －1)(ax －1)x 2．令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝1a ． 当a ≤0时，ax －1＜0，f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；当0＜a ＜1时，f (x )在(0，1)上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减； 当a ＝1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当a ＞1时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1a ，1上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． [例8] 已知函数f (x )＝a ln(x ＋1)－ax －x 2，讨论f (x )在定义域上的单调性．解析 f ′(x )＝a x ＋1－a －2x ＝－2x ⎝⎛⎭⎫x ＋2＋a 2x ＋1， 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－a ＋22，又f (x )的定义域为(－1，＋∞)，①当－a ＋22≤－1，即当a ≥0时，若x ∈(－1，0)，f ′(x )＞0，则f (x )单调递增；若x ∈(0，＋∞)，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减．②当－1＜－a ＋22＜0，即－2＜a ＜0时，若x ∈⎝⎛⎭⎫－1，－a ＋22，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减；若x ∈⎝⎛⎭⎫－a ＋22，0，f ′(x )＞0，则f (x )单调递增； 若x ∈(0，＋∞)，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减．③当－a ＋22＝0，即a ＝－2时，f ′(x )≤0，f (x )在(－1，＋∞)上单调递减．④当－a ＋22＞0，即a ＜－2时，若x ∈(－1，0)，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减；若x ∈⎝⎛⎭⎫0，－a ＋22，f ′(x )＞0，则f (x )单调递增；若x ∈⎝⎛⎭⎫－a ＋22，＋∞，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减． 综上，当a ≥0时，f (x )在(－1，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减；当－2＜a ＜0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫－1，－a ＋22上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－a ＋22，0上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减；当a ＝－2时，f (x )在(－1，＋∞)上单调递减；当a ＜－2时，f (x )在(－1，0)上单调递减，在⎝⎛⎭⎫0，－a ＋22上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－a ＋22，＋∞上单调递减．[例9] (2016ꞏ山东)已知f (x )＝a (x －ln x )＋2x －1x 2，a ∈R ．讨论f (x )的单调性．解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －a x －2x 2＋2x 3＝(ax 2－2)(x －1)x 3． 当a ≤0，x ∈(0，1)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．当a ＞0时，f ′(x )＝a (x －1)x 3⎝⎛⎭⎫x －2a ⎝⎛⎭⎫x ＋2a . ①若0＜a ＜2，则2a ＞1，当x ∈(0，1)或x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫1，2a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．②若a ＝2，则2a ＝1，在x ∈(0，＋∞)内，f ′(x )≥0，f (x )单调递增．③若a ＞2，则0＜2a ＜1，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，2a 或x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．综上所述，当a ≤0时，f (x )在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减；当0＜a ＜2时，f (x )在(0，1)内单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，2a 内单调递减，在⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞内单调递增；当a ＝2时，f (x )在(0，＋∞)内单调递增；当a ＞2时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，2a 内单调递增，在⎝⎛⎭⎫2a ，1内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增． 【对点训练】6．已知函数f (x )＝122－(a ＋1)x ＋ln x ，a >0，试讨论函数y ＝f (x )的单调性．6．解析 函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ax －(a ＋1)＋1x ＝ax 2－(a ＋1)x ＋1x ＝(ax －1)(x －1)x． ①当0<a <1时，1a >1，∴x ∈(0，1)和⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎫1，1a 时，f ′(x )<0， ∴函数f (x )在(0，1)和⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，1a 上单调递减； ②当a ＝1时，1a ＝1，∴f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立，∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ③当a >1时，0<1a <1，∴x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 和(1，＋∞)时，f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，1时，f ′(x )<0， ∴函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 和(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，1上单调递减． 综上，当0<a <1时，函数f (x )在(0，1)和⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，1a 上单调递减； 当a ＝1时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >1时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 和(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，1上单调递减． 7．已知函数f (x )＝x 2e ax ＋1＋1－a (a ∈R )，求函数f (x )的单调区间． 7．解析 f (x )＝x 2e ax ＋1＋1－a (a ∈R )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝x (ax ＋2)e ax ＋1 ． ①当a ＝0时，x >0，f ′(x )>0；x <0，f ′(x )<0，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)．②当a >0时，x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－2a ，f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎫－2a ，0，f ′(x )<0；x ∈(0，＋∞)，f ′(x )>0， 所以函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－2a ，(0，＋∞)，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－2a ，0． ③当a <0时，x ∈(－∞，0)，f ′(x )<0；x ∈⎝⎛⎭⎫0，－2a ，f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎫－2a ，＋∞，f ′(x )<0， 所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫－2a ，＋∞，单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，－2a ． 8．已知函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1，讨论函数f (x )的单调性．8．解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －1x ＋2ax ＝2ax 2＋a －1x． (1)当a ≥1时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增；(2)当a ≤0时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减；(3)当0<a <1时，令f ′(x )＝0，解得x ＝1－a 2a ， 则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 时，f ′(x )<0；当x ∈(1－a 2a ，＋∞)时，f ′(x )>0， 故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 上单调递减，在(1－a 2a ，＋∞)上单调递增． 9．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫k ＋4k ln x ＋4－x 2x ，其中常数k >0，讨论f (x )在(0，2)上的单调性． 9．解 因为f ′(x )＝k ＋4k x －4x 2－1＝⎝⎛⎭⎫k ＋4k x －4－x 2x 2＝－(x －k )⎝⎛⎭⎫x －4k x 2(x >0，k >0)． ①当0<k <2时，4k k >0，且4k >2，所以当x ∈(0，k )时，f ′(x )<0，当x ∈(k ，2)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(0，k )上是减函数，在(k ，2)上是增函数；②当k ＝2时，4k ＝k ＝2，f ′(x )<0在(0，2)上恒成立，所以f (x )在(0，2)上是减函数；③当k >2时，0<4k <2，k >4k ，所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，4k 时，f ′(x )<0；当x ∈⎝⎛⎭⎫4k ，2时，f ′(x )>0， 所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，4k 上是减函数，在⎝⎛⎭⎫4k ，2上是增函数．综上可知，当0<k <2时，f (x )在(0，k )上是减函数，在(k ，2)上是增函数；当k ＝2时，f (x )在(0，2)上是减函数；当k >2时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，4k 上是减函数，在⎝⎛⎭⎫4k ，2上是增函数． 10．已知函数f (x )＝ln(x ＋1)－ax 2＋x (x ＋1)2，且1<a <2，试讨论函数f (x )的单调性． 10．解析 函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝x (x －2a ＋3)(x ＋1)3，x >－1． ①当－1<2a －3<0，即1<a <32时，当－1<x <2a －3或x >0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当2a －3<x <0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．②当2a －3＝0，即a ＝32时，f ′(x )≥0，则f (x )在(－1，＋∞)上单调递增．③当2a －3>0，即32<a <2时，当－1<x <0或x >2a －3时，f ′(x )>0，则f (x )在(－1，0)，(2a －3，＋∞)上单调递增．当0<x <2a －3时，f ′(x )<0，则f (x )在(0，2a －3)上单调递减．综上，当1<a <32时，f (x )在(－1，2a －3)，(0，＋∞)上单调递增，在(2a －3，0)上单调递减；当a ＝32时，f (x )在(－1，＋∞)上单调递增；当32<a <2时，f (x )在(－1，0)，(2a －3，＋∞)上单调递增，在(0，2a －3)上单调递减．考点三 导主指对型【例题选讲】[例10] 已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，讨论函数f (x )的单调性．解析 函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a )．①若a ＝0，则f (x )＝e 2x 在(－∞，＋∞)上单调递增．②若a >0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln a ．当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0. 故f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．③若a <0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln ⎝⎛⎭⎫－a 2．当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，ln ⎝⎛⎭⎫－a 2时，f ′(x )<0；当x ∈⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－a 2，＋∞时，f ′(x )>0；故f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，ln ⎝⎛⎭⎫－a 2上单调递减，在⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－a 2，＋∞上单调递增． [例11] 已知f (x )＝(x 2－ax )ln x －32x 2＋2ax ，求f (x )的单调递减区间．解析 易得f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝(2x －a )ln x ＋x －a －3x ＋2a ＝(2x －a )ln x －(2x －a )＝(2x －a )(ln x －1)，令f ′(x )＝0得x ＝a 2或x ＝e ．当a ≤0时，因为x ＞0，所以2x －a ＞0，令f ′(x )＜0得x ＜e ，所以f (x )的单调递减区间为(0，e)．当a ＞0时，①若a 2＜e ，即0＜a ＜2e ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，a 2时，f ′(x )＞0，当x ∈⎝⎛⎭⎫a 2，e 时，f ′(x )＜0，当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )＞0， 所以f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫a 2，e ；②若a 2＝e ，即a ＝2e ，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≥0恒成立，f (x )没有单调递减区间；③若a 2＞e ，即a ＞2e ，当x ∈(0，e)时，f ′(x )＞0，当x ∈⎝⎛⎭⎫e ，a 2时，f ′(x )＜0，当x ∈⎝⎛⎭⎫a 2，＋∞时，f ′(x )＞0， 所以f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫e ，a 2． 综上所述，当a ≤0时，f (x )的单调递减区间为(0，e)；当0＜a ＜2e 时，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫a 2，e ；当a ＝2e 时，f (x )无单调递减区间；当a ＞2e 时，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫e ，a 2． 【对点训练】11．已知函数f (x )＝e x －ax －1的定义域为(0，＋∞)，讨论函数f (x )的单调性．11．解析 ∵f (x )＝e x －ax －1，∴f ′(x )＝e x －a ．易知f ′(x )＝e x －a 在(0，＋∞)上单调递增．∴当a ≤1时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞1时，由f ′(x )＝e x －a ＝0，得x ＝ln a ，∴当0＜x ＜ln a 时，f ′(x )＜0，当x ＞ln a 时，f ′(x )＞0， ∴f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．综上，当a ≤1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞1时，f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．12．已知函数f (x )＝(x 2－2ax )ln x －122＋2ax (a ∈R )．(1)若a ＝0，求f (x )的最小值；(2)求函数f (x )的单调区间．12．解析 (1)若a ＝0，f (x )＝x 2ln x －12x 2，定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x ln x ＋x 2×1x －x ＝2x ln x ，由f ′(x )＞0可得x ＞1，由f ′(x )＜0可得0＜x ＜1，所以f (x )在(0，1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增，所以f (x )的最小值为f (1)＝－12．(2)f ′(x )＝(2x －2a )ln x ＋(x 2－2ax )ꞏ1x －x ＋2a ＝(2x －2a )ln x ，①当a ≤0时，2x －2a ＞0，由f ′(x )＞0可得x ＞1，由f ′(x )＜0可得0＜x ＜1，此时f (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)；②当0＜a ＜1时，由f ′(x )＞0可得0＜x ＜a 或x ＞1，由f ′(x )＜0可得a ＜x ＜1，此时f (x )的单调递减区间为(a ，1)，单调递增区间为(0，a )和(1，＋∞)；③当a ＝1时，f ′(x )≥0恒成立，此时f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；④当a ＞1时，由f ′(x )＞0可得0＜x ＜1或x ＞a ，由f ′(x )＜0可得1＜x ＜a ，此时f (x )的单调递减区间为(1，a )，单调递增区间为(0，1)和(a ，＋∞)．综上所述：当a ≤0时，f (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)；当0＜a ＜1时，f (x )的单调递减区间为(a ，1)，单调递增区间为(0，a )和(1，＋∞)；当a ＝1时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；当a ＞1时，f (x )的单调递减区间为(1，a )，单调递增区间为(0，1)和(a ，＋∞)．考点四 导主正余型【例题选讲】[例12] (2017山东理)已知函数f (x )＝x 2＋2cos x ，g (x )＝e x ꞏ(cos x －sin x ＋2x －2)，其中e 是自然对数的底数．(1)求函数g(x)的单调区间；(2)讨论函数h(x)＝g(x)－af (x)(a∈R)的单调性．解析 (1)g′(x)＝(e x)′ꞏ(cos x－sin x＋2x－2)＋e x(cos x－sin x＋2x－2)′＝e x(cos x－sin x＋2x－2－sin x－cos x＋2)＝2e x(x－sin x)．记p(x)＝x－sin x，则p′(x)＝1－cos x．因为cos x∈[－1，1]，所以p′(x)＝1－cos x≥0，所以函数p(x)在R上单调递增．而p(0)＝0－sin 0＝0，所以当x<0时，p(x)<0，g′(x)<0，函数g(x)单调递减；当x>0时，p(x)>0，g′(x)>0，函数g(x)单调递增．综上，函数g(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．(2)因为h(x)＝g(x)－af (x)＝e x(cos x－sin x＋2x－2)－a(x2＋2cos x)，所以h′(x)＝2e x(x－sin x)－a(2x－2sin x)＝2(x－sin x)(e x－a)．由(1)知，当x>0时，p(x)＝x－sin x>0；当x<0时，p(x)＝x－sin x<0．当a≤0时，e x－a>0，所以x>0时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增；x<0时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减．当a>0时，令h′(x)＝2(x－sin x)(e x－a)＝0，解得x1＝ln a，x2＝0．①若0<a<1，则ln a<0，所以x∈(－∞，ln a)时，e x－a<0，h′(x)>0，函数h(x)单调递增；x∈(ln a，0)时，e x－a>0，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；x∈(0，＋∞)时，e x－a>0，h′(x)>0，函数h(x)单调递增．②若a＝1，则ln a＝0，所以x∈R时，h′(x)≥0，函数h(x)在R上单调递增．③若a>1，则ln a>0，所以x∈(－∞，0)时，e x－a<0，h′(x)>0，函数h(x)单调递增；x∈(0，ln a)时，e x－a<0，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；x∈(ln a，＋∞)时，e x －a>0，h′(x)>0，函数h(x)单调递增．综上所述，当a≤0时，函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减；当0<a<1时，函数h(x)在(－∞，ln a)，(0，＋∞)上单调递增，在(ln a，0)上单调递减；当a＝1时，函数h(x)在R上单调递增；当a>1时，函数h(x)在(－∞，0)，(ln a，＋∞)上单调递增，在(0，ln a)上单调递减．【对点训练】13．(2017ꞏ山东)已知函数f(x)＝13x 3－12ax2，其中参数a∈R．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程；(2)设函数g(x)＝f(x)＋(x－a)cos x－sin x，讨论g(x)的单调性．13．解析 (1)由题意得f′(x)＝x2－ax，所以当a＝2时，f(3)＝0，f′(x)＝x2－2x，所以f′(3)＝3，因此曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程是y＝3(x－3)，即3x－y－9＝0．(2)因为g(x)＝f(x)＋(x－a)cos x－sin x，所以g′(x)＝f′(x)＋cos x－(x－a)sin x－cos x＝x(x－a)－(x－a)sin x＝(x－a)(x－sin x)．令h(x)＝x－sin x，则h′(x)＝1－cos x≥0，所以h(x)在R上单调递增．因为h(0)＝0，所以当x>0时，h(x)>0；当x<0时，h(x)<0．①当a<0时，g′(x)＝(x－a)(x－sin x)，当x∈(－∞，a)时，x－a<0，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(a，0)时，x－a>0，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(0，＋∞)时，x－a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增．②当a＝0时，g′(x)＝x(x－sin x)，当x∈(－∞，＋∞)时，g′(x)≥0，所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．③当a>0时，g′(x)＝(x－a)(x－sin x)，当x∈(－∞，0)时，x－a<0，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(0，a)时，x－a<0，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(a，＋∞)时，x－a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增．综上所述，当a<0时，函数g(x)在(－∞，a)和(0，＋∞)上单调递增，在(a，0)上单调递减；当a＝0时，函数g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当a>0时，函数g(x)在(－∞，0)和(a，＋∞)上单调递增，在(0，a)上单调递减．。

考点4：单调性【题组一 单调性判断 】1．下列四个函数中，在x ∈(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |2.给定函数：①y ＝x 12，②y ＝log 12(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ 【题组二 求单调区间】1．函数cos 2x y -=的单调递增区间是 。

2．函数22(log 2)y x x =-的单调增区间为_________.3．函数()f x =__________4．函数13ln y x x=+的单调增区间为 。

5.函数221()(1)x f x x x -=-的单调增区间为___________.【题组三 解不等式】1．已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是 。

2.已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(全集为R 。

3．已知函数f (x )＝ln x ＋x ，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则正数a 的取值范围是________．4.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是 。

5．若偶函数()f x 在(-∞，0]上为增函数，则不等式(21)(2)f x f x +>-的解集__________.【题组五 求参数】 1．已知函数3 0(){ 1 0x a x f x x x +>=+≤在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是________．2．若函数()()2212f x x a x =+-+在区间(),4-∞上是单调减函数，则实数a 的取值范围是________．3．若函数f (x )＝|x －2|(x －4)在区间(5a,4a ＋1)上单调递减，则实数a 的取值范围是____．4．已知函数23()2x af x x +=+在(2,)-∞上单调递增，则实数a 的取值范围__________.5．已知(2)1(1)()(1)xa x x f x a x -+<⎧=⎨≥⎩满足对任意121212()(),0f x f x x x x x -≠>-都有成立，那么a 的取值范围是_______6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax －5，x ≤1，a x ，x >1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是 。

专题四 函数及其表示【高频考点解读】1.了解构成函数的要素，会求一些简洁函数的定义域和值域；了解映射的概念．2.在实际情境中，会依据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3.了解简洁的分段函数，并能简洁的应用.通过对近几年高考试题的分析看出，本课时内容也是高考考查的重点之一，题型是选择题、填空题．主要考查函数的概念、解析式及分段函数等，试题难度较小.【热点题型】 题型一 函数定义域例1、(2021年高考安徽卷)函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 【提分秘籍】求函数的定义域时，应留意(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化．(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应当用并集符号“∪”连接．【举一反三】 求函数f (x )＝lgx 2－2x 9－x 2的定义域；(2)已知函数f (2x )的定义域是[－1,1]，求f (x )的定义域． 【热点题型】题型二 函数解析式的求法【例2】 (1)已知f (x ＋1)＝x 2＋4x ＋1，求f (x )的解析式． (2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9，求f (x )． 【提分秘籍】求函数解析式的常用方法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要留意新元的取值范围；(4)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可依据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f (x )．【举一反三】已知函数f (x )满足f (x )＋2f (3－x )＝x 2，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 2－12x ＋18 B ．f (x )＝13x 2－4x ＋6C ．f (x )＝6x ＋9D ．f (x )＝2x ＋3【热点题型】题型三 分段函数求值例3、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x ，x ≥4，f x ＋1，x <4，则f (2＋log 23)的值为A.124B.112C.16D.13【举一反三】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于( )A.12 B.45 C ．2D ．9【热点题型】题型四 分类争辩思想在分段函数中的应用例4、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋1，x >32x －3＋1，x ≤3满足f (a )＝3，则f (a －5)的值为( )A ．log 23 B.1716 C.32 D ．1【提分秘籍】由于分段函数在不同定义区间上具有不同的解析式，在处理分段函数问题时应对不同的区间进行分类求解，然后整合，这恰好是分类争辩的一种体现．1．解决本题时，由于a 的取值不同限制了f (a )的表达，从而对a 进行分类争辩． 2．运用分类争辩的思想解题的基本步骤 (1)确定争辩对象和确定争辩的区域；(2)对所争辩的问题进行合理的分类(分类时需要做到不重不漏，标准统一、分层不越级)； 【举一反三】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ∈－∞，1x 2，x ∈[1，＋∞若f (x )>4，则x 的取值范围是________．【高考风向标】1．（2022·安徽卷）设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝( ) A.12 B.32 C ．0 D ．－122．（2022·北京卷）下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2 C ．y ＝2－x D ．y ＝log 0.5(x ＋1)3．（2022·福建卷）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)4．（2022·江西卷）函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( ) A ．(0，1] B ．[0，1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞) 5．（2022·山东卷）函数f (x )＝1（log 2x ）2－1的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．(2，＋∞) C. ⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) D. ⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞) 6．（2021·江西卷）已知函数f(x)＝a ⎝⎛⎭⎫1－2⎪⎪⎪⎪x －12，a 为常数且a>0. (1)证明：函数f(x)的图像关于直线x ＝12对称；(2)若x 0满足f(f(x 0))＝x 0，但f(x 0)≠x 0，则称x 0为函数f(x)的二阶周期点．假如f (x)有两个二阶周期点x 1，x 2，试确定a 的取值范围；(3)对于(2)中的x 1，x 2和a ，设x 3为函数 f(f(x))的最大值点，A(x 1，f(f(x 1)))，B(x 2，f(f(x 2)))，C(x 3，0)．记△ABC 的面积为S(a)，争辩S(a)的单调性．7．（2021·江西卷）设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(e x )＝x ＋e x ，则f′(1)＝________．10．（2021·江西卷）如图1－3所示，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l 1，l 2之间，l ∥l 1，l 与半圆相交于F ，G 两点，与三角形ABC 两边相交于E ，D 两点．设弧FG 的长为x(0<x<π)，y ＝EB ＋BC ＋CD ，若l 从l 1平行移动到l 2，则函数y ＝f(x)的图像大致是( )图1－3图1－48．（2021·江西卷）函数y ＝xln(1－x)的定义域为( ) A ．(0，1) B ．[0，1) C ．(0，1] D ．[0，1]9．（2021·辽宁卷）已知函数f(x)＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g(x)＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8.设H 1(x)＝max {}f （x ），g （x ），H 2(x)＝min {}f （x ），g （x ）(max {}p ，q 表示p ，q 中的较大值，min {}p ，q 表示p ，q 中的较小值)．记H 1(x)的最小值为A ，H 2(x)的最大值为B ，则A －B ＝( )A ．16B ．－16C ．a 2－2a －16D ．a 2＋2a －1610．（2021·全国卷）已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1，1) B.⎝⎛⎭⎫－1，－12 C ．(－1，0) D.⎝⎛⎭⎫12，111． （2021·陕西卷）设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫x －1x 6，x<0，－x ，x≥0，则当x>0时，f[f(x)]表达式的开放式中常数项为( )A ．－20B ．20C ．－15D ．15 12． （2021·四川卷）函数y ＝x 33x －1的图像大致是( )图1－513． （2021·新课标全国卷Ⅱ] 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．依据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图1－4所示，经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品，以X(单位：t ，100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T 表示为X 的函数；(2)依据直方图估量利润T 不少于57 000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X ∈[100，110)，则取X ＝105，且X ＝105的概率等于需求量落入[100，110)的频率)，求T 的数学期望．图1－4【随堂巩固】1．下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( ) A ．y ＝1sin x B ．y ＝ln xxC ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx2．下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( )A ．f (x )＝|x |B ．f (x )＝x －|x |C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos πx ，x >0，f x ＋1＋1，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43的值等于( ) A ．－2 B ．1 C ．2D ．34．现向一个半径为R 的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h 随时间t 变化的函数关系的是( )5．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (x )＝( )A ．x －1B ．x ＋1C ．2x ＋1D ．3x ＋36．依据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧cx，x <A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,167．具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①8．已知f (x )＝x 2＋px ＋q 满足f (1)＝f (2)＝0，则f (－1)＝________.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x ＋1，x ＜2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．10．设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的是________．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝________.12．若函数的定义域为{x |－3≤x ≤6，且x ≠4}，值域为{y |－2≤y ≤4，且y ≠0}，试在下图中画出满足条件的一个函数的图象．13．已知定义域为R 的函数f (x )满足f (f (x )－x 2＋x )＝f (x )－x 2＋x . (1)若f (2)＝3，求f (1)；又若f (0)＝a ，求f (a )；(2)设有且仅有一个实数x 0，使得f (x 0)＝x 0，求函数f (x )的解析式．14．若函数f (x )＝xax ＋b(a ≠0)，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，求f (x )的解析式．15.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km ，甲10时动身前往乙家．如图所示，表示甲从家动身到达乙家为止经过的路程y (km)与时间x (min)的关系．试写出y＝f (x )的函数解析式．16．如图1是某公共汽车线路收支差额y 元与乘客量x 的图象．(1)试说明图1上点A 、点B 以及射线AB 上的点的实际意义；(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图2、3所示．你能依据图象，说明这两种建议的意义吗？(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？ (4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？17．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )>2x ＋5.。

考点1不含参数函数的单调性求函数单调区间的步骤（1）确定函数f（x）的定义域.（2）求f′（x）.（3）在定义域内解不等式f′（x）＞0、得单调递增区间.（4）在定义域内解不等式f′（x）＜0、得单调递减区间.令f ′（x ）＝x cos x ＞0、则其在区间（－π、π）上的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2、即f （x ）的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.］求函数的单调区间时、一定要先确定函数的定义域、否则极易出错.如T 2.考点2 含参数函数的单调性研究含参数的函数的单调性、要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.即e x ＞－1＋11－a 、解得x ＞ln a 1－a、 由f ′（x ）＜0、得（1－a ）（e x ＋1）＜1、 即e x ＜－1＋11－a 、解得x ＜ln a1－a. ∴当a ∈（0,1）时、函数y ＝f （x ）在⎝ ⎛⎭⎪⎫lna 1－a ，＋∞上单调递增、 在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，lna 1－a 上单调递减. 综上、当a ∈［1、＋∞）时、f （x ）在R 上单调递减； 当a ∈（0,1）时、f （x ）在⎝⎛⎭⎪⎫ln a 1－a ，＋∞上单调递增、 在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，ln a 1－a 上单调递减. 考点3 已知函数的单调性求参数根据函数单调性求参数的一般方法（1）利用集合间的包含关系处理：y ＝f （x ）在（a 、b ）上单调、则区间（a 、b ）是相应单调区间的子集.（2）f （x ）为增函数的充要条件是对任意的x ∈（a 、b ）都有f ′（x ）≥0且在（a 、b ）内的任一非空子区间上、f ′（x ）不恒为零、应注意此时式子中的等号不能省略、否则漏解.所以a ＞－1且a ≠0、即a 的取值范围是（－1,0）∪（0、＋∞）.（2）由h （x ）在［1,4］上单调递减得、当x ∈［1,4］时、h ′（x ）＝1x－ax －2≤0恒成立、 即a ≥1x2－2x恒成立. 所以a ≥G （x ）max 、而G （x ）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1、 因为x ∈［1,4］、所以1x ∈、所以G （x ）max ＝－716（此时x ＝4）、 所以a ≥－716且a ≠0、即a 的取值范围是∪（0、＋∞）. ［母题探究］1.（变问法）若函数h （x ）＝f （x ）－g （x ）在［1,4］上单调递增、求a 的取值范围.［解］ 由h （x ）在［1,4］上单调递增得、当x ∈［1,4］时、h ′（x ）≥0恒成立、所以当x ∈［1,4］时、a ≤1x2－2x恒成立、 又当x ∈［1,4］时、⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2－2x min ＝－1（此时x ＝1）、 所以a ≤－1且a ≠0、即a 的取值范围是（－∞、－1］.2.（变问法）若函数h （x ）＝f （x ）－g （x ）在［1,4］上存在单调递减区间、求a 的取值范围.［解］ h （x ）在［1,4］上存在单调递减区间、则h ′（x ）＜0在［1,4］上有解、所以当x ∈［1,4］时、a ＞1x2－2x有解、已知函数f（x）＝3xa－2x2＋lnx在区间［1,2］上为单调函数、求a的取值范围.［解］f′（x）＝3a－4x＋1x、若函数f（x）在区间［1,2］上为单调函数、即在［1,2］上、f′（x）＝3a－4x＋1x≥0或f′（x）＝3a－4x＋1x≤0、即3a－4x＋1x≥0或3a－4x＋1x≤0在［1,2］上恒成立、即3a≥4x－1x或3a≤4x－1x.令h（x）＝4x－1x、因为函数h（x）在［1,2］上单调递增、所以3a≥h（2）或3a≤h（1）、即3a≥152或3a≤3、解得a＜0或0＜a≤25或a≥1.考点4利用导数比较大小或解不等式用导数比较大小或解不等式、常常要构造新函数、把比较大小或求解不等式的问题转化为利用导数研究函数单调性的问题、再由单调性比较大小或解不等式.常见构造的辅助函数形式有：（1）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数、设函数f （x ）的导函数为f ′（x ）、若对任意x ＞0都有2f （x ）＋xf ′（x ）＞0成立、则（ ）A.4f （－2）＜9f （3）B.4f （－2）＞9f （3）C.2f （3）＞3f （－2）D.3f （－3）＜2f （－2）（2）设f （x ）是定义在R 上的奇函数、f （2）＝0、当x ＞0时、有xf′（x ）－f （x ）x2＜0恒成立、则不等式x 2f （x ）＞0的解集是 . （1）A （2）（－∞、－2）∪（0,2） ［（1）根据题意、令g （x ）＝x 2f （x ）、其导数g ′（x ）＝2xf （x ）＋x 2f ′（x ）、又对任意x ＞0都有2f （x ）＋xf ′（x ）＞0成立、则当x ＞0时、有g ′（x ）＝x （2f （x ）＋xf ′（x ））＞0恒成立、即函数g （x ）在（0、＋∞）上为增函数、又由函数f（x ）是定义在R 上的偶函数、则f （－x ）＝f （x ）、则有g （－x ）＝（－x ）2f （－x ）＝x 2f （x ）＝g （x ）、即函数g （x ）也为偶函数、则有g （－2）＝g（2）、且g （2）＜g （3）、则有g （－2）＜g （3）、即有4f （－2）＜9f（3）.故选A.（2）令φ（x ）＝f （x ）x 、∵当x ＞0时、∴φ（x ）＝f （x ）x在（0、＋∞）上为减函数、又φ（2）＝0、 ∴在（0、＋∞）上、当且仅当0＜x ＜2时、φ（x ）＞0、此时x 2f （x ）＞0.又f （x ）为奇函数、∴h （x ）＝x 2f （x ）也为奇函数.故x 2f （x ）＞0的解集为（－∞、－2）∪（0,2）.］如本例（1）已知条件“2f（x）＋xf′（x）＞0”、需构造函数g（x）＝x2f（x）、求导后得x＞0时、g′（x）＞0、即函数g（x）在（0、＋∞）上为增函数、从而问题得以解决.而本例（2）则需构造函数φ（x）＝f（x）x解决.2.已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）＝1、且f（x）的导函数f′（x）＜12、则不等式f（x2）＜x22＋12的解集为.。

专题4：导数与单调性知识点与典型例题及练习（解析版）函数的单调性：设函数()y f x =在某个区间内可导，（1）'()0f x >⇒()f x 该区间内为增函数； （2）'()0f x <⇒()f x 该区间内为减函数；注意：当'()f x 在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，()f x 在这个区间上仍是递增（或递减）的。

（3）()f x 在该区间内单调递增⇒'()0f x ≥在该区间内恒成立； （4）()f x 在该区间内单调递减⇒'()0f x ≤在该区间内恒成立； 题型一、利用导数证明（或判断）函数f (x)在某一区间上单调性：步骤： （1）求导数 )(x f y '='(2)判断导函数)(x f y '='在区间上的符号 (3)下结论①'()0f x >⇒()f x 该区间内为增函数； ②'()0f x <⇒()f x 该区间内为减函数；1．已知向量()()2,1,1,a x x b x t =+=-，若函数()·f x a b =在区间()1,1-上是增函数，求t 的取值范围. 1．5t ≥ 【分析】先求出()2'32f x x x t =-++，则()'0f x ≥在()1,1-上恒成立，可用参变分离求参数t的取值范围. 【详解】由题意知：()()()23211f x x x t x x x tx t =-++=-+++ ，则()2'32f x x x t =-++，∵()f x 在区间()1,1-上是增函数，∴()'0f x ≥在()1,1-上恒成立， 即232t x x ≥-在区间()1,1-上是恒成立，设()232g x x x =-，则()211333g x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，于是有()1,1x ∈-时，()g x 的值域为1,53⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，故5t ≥. 【点睛】一般地，若()f x 在区间(),a b 上可导，且()()()'0'0f x f x ><，则()f x 在(),a b 上为单调增（减）函数；反之，若()f x 在区间(),a b 上可导且为单调增（减）函数，则()()()'0'0f x f x ≥≤．2．已知函数()2m f x x x =-，且()742f =. （1）求m 的值；（2）判定()f x 的奇偶性；（3）判断()f x 在()0,∞+上的单调性，并给予证明. 2．（1）1；（2）奇函数；（3）增函数，证明见解析. 【分析】 （1）利用()742f =代入可求； （2）利用奇偶性定义进行判定，可得是奇函数； （3）利用导数进行证明. 【详解】（1）因为()274442mf =-=，所以1m =. （2）因为()()()22,f x x f x x f x x x=--=-+=-所以()f x 为奇函数. （3）因为()222,()10f x x f x x x'=-=+> 所以()f x 在()0,∞+为增函数. 【点睛】本题主要考查函数性质，奇偶性判定一般是利用定义来进行，单调性判定可以使用导数或者定义来进行.题型二、利用导数求单调区间求函数)(x f y =单调区间的步骤为：（1）分析 )(x f y =的定义域； （2）求导数 )(x f y '=' （3）解不等式0)(>'x f ，解集在定义域内的部分为增区间 （4）解不等式0)(<'x f ，解集在定义域内的部分为减区间 3．求函数ln ()(0)xf x x x=>的单调区间． 3．增区间为(0e)，，减区间为(e )+∞，. 【解析】 【分析】求函数导数，根据导函数为正得增区间，导函数为负得减区间.【详解】 由()f x 得()()2221·ln ln ''ln 1ln 'x xx x x x x x f x x x x ---===， 令()'0f x =，即21ln 0xx -=，得1ln 0x -=，从而e x =，令()'0fx >，即21ln 0xx->，得e x <，此时()f x 为增函数，又0x >，得增区间为()0e ，，令()'0f x <，即21ln 0xx -<，得e x >，此时()f x 为减函数，减区间为()e +∞，. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，解题时要注意函数的定义域，属于基础题.4．求函数()33f x x x =-的递减区间.4．()1,1- 【分析】对函数进行求导，解不等式()0f x '<得递减区间. 【详解】 ∵233fxx ，∴令2330x ，解得11x -<<.∴函数()33f x x x =-的递减区间为()1,1-. 【点睛】本题主要考查了导数与函数单调性的关系，属于基础题.题型三、利用单调性求参数的取值（转化为恒成立问题）思路一.（1）()f x 在该区间内单调递增⇒'()0f x ≥在该区间内恒成立；（2）()f x 在该区间内单调递减⇒'()0f x ≤在该区间内恒成立；思路二.先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或减区间的子集。

专题40 概率中的单调性与最值问题一、题型选讲题型一 、概率中的单调性问题例1、【2021年高考浙江卷】设0＜a ＜1，那么随机变量X 的分布列是那么当a 在〔0，1〕内增大时， A ．()D X 增大B ．()D X 减小C ．()D X 先增大后减小D ．()D X 先减小后增大【答案】D【解析】方法1：由分布列得1()3aE X +=， 那么2222111111211()(0)()(1)()333333926a a a D X a a +++=-⨯+-⨯+-⨯=-+， 那么当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大．应选D ．方法2：那么222221(1)222213()()()0[()]3399924a a a a D X E X E X a +-+=-=++-==-+，那么当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大．应选D ． 例2、【2021年高考浙江卷】设01p <<，随机变量ξ的分布列是那么当p 在〔0，1〕内增大时， A ．D 〔ξ〕减小 B ．D 〔ξ〕增大C ．D 〔ξ〕先减小后增大D ．D 〔ξ〕先增大后减小【答案】D【解析】∵E(ξ)=0×1−p 2+1×12+2×p 2=p +12，∴D(ξ)=1−p 2(0−p −12)2+12(1−p −12)2+p2(2−p −12)2=−p 2+p +14，∵12∈(0，1)，∴D(ξ)先增大后减小，应选D ．例3、【2021年高考山东】〔多项选择题〕信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,,n ，且1()0(1,2,,),1ni i i P X i p i n p ===>==∑，定义X 的信息熵21()log ni i i H X p p ==-∑.A ．假设n =1，那么H (X )=0B ．假设n =2，那么H (X )随着1p 的增大而增大C ．假设1(1,2,,)i p i n n==，那么H (X )随着n 的增大而增大D ．假设n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+=，那么H (X )≤H (Y ) 【答案】AC【解析】对于A 选项，假设1n =，那么11,1i p ==，所以()()21log 10H X =-⨯=，所以A 选项正确. 对于B 选项，假设2n =，那么1,2i =，211p p =-， 所以()()()121121log 1log 1H X p p p p =-⋅+-⋅-⎡⎤⎣⎦， 当114p =时，()221133log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，当13p 4=时，()223311log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，两者相等，所以B 选项错误. 对于C 选项，假设()11,2,,i p i n n==，那么()222111log log log H X n n nn n ⎛⎫=-⋅⨯=-= ⎪⎝⎭，那么()H X 随着n 的增大而增大，所以C 选项正确.对于D 选项，假设2n m =，随机变量Y 的所有可能的取值为1,2,,m ，且()21j m jP Y j p p +-==+〔1,2,,j m =〕.()2222111log log mmi i i i i iH X p p p p ===-⋅=⋅∑∑ 122221222122121111log log log log m m m mp p p p p p p p --=⋅+⋅++⋅+⋅.()H Y =()()()122221212122211111log log log m m m m m m m m p p p p p p p p p p p p -+-++⋅++⋅+++⋅+++12222122212221221121111log log log log m m m m m mp p p p p p p p p p p p ---=⋅+⋅++⋅+⋅++++由于()01,2,,2i p i m >=，所以2111i i m i p p p +->+，所以222111log log i i m ip p p +->+， 所以222111log log i i i i m ip p p p p +-⋅>⋅+， 所以()()H X H Y >，所以D 选项错误. 应选：AC题型二、概率中的最值问题例4、〔2021·浙江温州中学高三3月月考〕随机变量ξ的可能值有1，2，3，且()131P p ξ==-，()31P p ξ==-，那么()D ξ的最大值为〔 〕A ．89B ．1716C ．2625D ．1【答案】D【解析】随机变量ξ的可能值有1，2，3，且()131P p ξ==-，()31P p ξ==-， 可得：()212P p ξ==-，由0311*******p p p ≤-≤⎧⎪≤-≤⎨⎪≤-≤⎩，可得11,32p ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以()()()()1312123144E p p p p ξ=-+-+-=-．()()()222(144)31(244)12(344)1D P P P P P P ξ=-+⨯-+-+⨯-+-+⨯-（）216184P P =-+-，11,32p ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦当12p =时，()D ξ的最大值为1． 应选：D ．例5、〔2021届浙江省杭州市第二中学高三3月月考〕随机变量的分布列如下：ξ其中，，成等差数列，那么的最大值为〔 〕 A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】因为，，成等差数列，，.那么的最大值为例6、〔2021届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初〕，两个不透明盒中各有形状、大小都相同的红球、白球假设干个，A 盒中有个红球与个白球，盒中有个红球与个白球〔〕，假设从，盒中各取一个球，表示所取的2个球中红球的个数，那么当取到最大值时，的值为〔 〕 A ．3 B ．5C ．7D ．9【答案】B【解析】可能值为，， ， ， 分布列为 a b c D ξ23592934a b c 122b a c,a b c 1,b ,c a,33∴=+++=∴==-2E ξa c 2a 3∴=-+=-+2222222D ξ12a a 2a b 12a a 3333⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-⨯+-⨯++-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22821224a a 439333a ⎛⎫=-++=--+≤ ⎪⎝⎭D ξ23A B m 10m -B 10m -m 010m <<A B ξ()D ξm ξ0,1,210(10)(0)1010100m m m m P ξ--==⋅=221010(10)(1)10101010100m m m m m m P ξ---+==⋅+⋅=10(10)(2)1010100m m m m P ξ--==⋅=ξ，，当且仅当时，等号成立.应选:B.例7、〔2021·浙江省温州市新力量联盟高三上期末〕随机变量的分布列如下：其中，，成等差数列，那么的最大值为〔 〕 A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】因为，，成等差数列，∴，∵，∴，， ∴，那么，当时取等号． 那么的最大值为.应选：D.例8、〔2021届山东省日照市高三上期末联考〕某公司准备投产一种新产品，经测算，每年生产万件的该种产品所需要的总本钱〔万元〕，依据产品尺寸，产品的品质可能出22(10)(10)(10)()0121100100100m m m m m m E ξ--+-=⨯+⨯+⨯=22222(10)(10)(10))(01)(11)(21)100100100(D m m m m m m ξ--+-=-⨯+-⨯+-⨯2(10)1101()505022m m m m -+-≤⨯==5m =X a b c ()D X 29593423a b c 2b a c =+1a b c ++=13b =23c a =-()823E X a =-2422()4969833E X a b c a a a =++=++-=-()()()22D XE X E X =-22821224439333a a a ⎛⎫=-++=--+≤ ⎪⎝⎭13a b c ===()D X 23()515x x ≤≤()32231630910x C x x x =-++现优、中、差三种情况，随机抽取了1000件产品测量尺寸，尺寸分别在，，，，，，〔单位：〕中，经统计得到的频率分布直方图如下图.产品的品质情况和相应的价格〔元/件〕与年产量之间的函数关系如下表所示.以频率作为概率解决如下问题： 〔1〕求实数的值；〔2〕当产量确定时，设不同品质的产品价格为随机变量，求随机变量的分布列； 〔3〕估计当年产量为何值时，该公司年利润最大，并求出最大值.【答案】〔1〕；〔2〕见解析〔3〕年产量时，该公司年利润取得最大值，最大利润为138万.【解析】〔1〕由题意得，解得；〔2〕当产品品质为优时频率为，此时价格为；[)25.26,25.30[)25.30,25.34[)25.34,25.38[)25.38,25.42[)25.42,25.46[)25.46,25.50[]25.50,25.54mm m x a x ξξx 6a =12x =()0.04234 2.5 4.531a ⨯++++++=6a =()10.0446 2.50.5p =⨯++=34x -+当产品品质为中时频率为，此时价格为； 当产品品质为差时频率为，此时价格为；以频率作为概率，可得随机变量的分布列为：〔3〕设公司年利润为，那么整理得，显然当时，，时，， ∴当年产量时，取得最大值.估计当年产量时，该公司年利润取得最大值，最大利润为138万.二、达标训练1、【2021年高考全国Ⅲ卷理数】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，(4)(6)P X P X =<=，那么p = A ． B ． C ．D ．【答案】B【解析】∵()(1)D X np p =-，∴0.4p =或0.6p =，4466641010(4)C (1)(6)C (1)P X p p P X p p ==-<==-，22(1)p p ∴-<，可知0.5p >，故0.6p =．应选B ．2、〔2021届浙江省“山水联盟〞高三下学期开学〕设，随机变量的分布列如下表所示 ()20.04230.2p =⨯+=3255x -+()30.04 4.530.3p =⨯+=3205x -+ξ()f x ()()323323340.5250.2200.3163055910x f x x x x x x x ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+⨯+-+⨯+-+⨯--++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭()323123092x f x x x =-++-()()()21131231233f x x x x x '=-++=-+-[]5,12x ∈()0f x '≥[]12,15x ∈()0f x '≤12x =()f x ()12138f =12x =102b <<X，那么当在内增大时，的变化情况〔 〕A ．先增大再减小B ．先减小再增大C ．增大D ．减小【答案】D【解析】由分布列的性质可得. ， .当在内增大时，减小． 应选：.3、〔2021届浙江省台州市温岭中学3月模拟〕，随机变量，的分布列如表所示，那么〔 〕A ．，B ．，C ．，D ．，【答案】B【解析】，，，由，所以，应选：B.()2E X =b 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()D X 1a b c ++=()2,102b E X <<=()()()222()1222321D X a b c a c b ∴=-⨯+-⨯+-⨯=+=-b 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()D X D c a >ξn E E ξη>D D ξη<E E ξη>D D ξη=E E ξη>D D ξη>E E ξη<D D ξη=234E a b c ξ=++432E a b c η=++()20E E c a ξη-=->6ξη+=()6D D D ξηη=-=4、〔2021届浙江省杭州市高三3月模拟〕随机变量ξ满足P (ξ=0) =x ，P (ξ=1) =1-x ，假设1(0,),2x ∈那么〔 〕 A ．E (ξ)随着x 的增大而增大，D (ξ)随着x 的增大而增大 B ．E (ξ)随着x 的增大而减小，D (ξ)随着x 的增大而增大 C ．E (ξ)随着x 的增大而减小，D (ξ)随着x 的增大而减小 D ．E (ξ)随着x 的增大而增大，D (ξ)随着x 的增大而减小 【答案】B【解析】依题意()0111E x x x ξ=⨯+⨯-=-，在区间1(0,)2上是减函数.()()()2201111D x x x x ξ=--⋅+--⋅-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦2x x =-+，注意到函数2y x x =-+的开口向下，对称轴为12x =，所以2y x x =-+在区间1(0,)2上是增函数，也即D ξ在区间1(0,)2上是增函数. 应选：B5、〔2021·浙江学军中学高三3月月考〕a ，b 为实数，随机变量X ，Y 的分布列如下：假设，随机变量满足，其中随机变量相互独立，那么取值范围的是〔 〕 A ． B ． C ． D ．【答案】B【解析】由，，所以，即，又，故，所以，又随机变量的可能取值为-1，0，1，那么，，，列出随机变量的分布列如下：()()1E Y P Y ==-ξXY ξ=XY ()E ξ3,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1,018⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1,118⎡⎤⎢⎥⎣⎦3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦()E Y c a =-c a a -=2c a =1a b c ++=1b a c =--=13[0,1]a -∈1[0,]3a ∈XY 115(1)366P XY c a a =-=+=11131(0)()36222P XY b b a c a b ==+++=+112(1)363P XY a c a ==+=XY所以. 应选：B.6、〔2021届浙江省十校联盟高三下学期开学〕设，相互独立的两个随机变量，的分布列如下表：那么当在内增大时〔 〕A ．减小，增大B ．减小，减小C ．增大，增大D ．增大，减小【答案】D【解析】，，，，，， ， 当在内增大时，增大，减小，应选：D ．7、〔2021·浙江温州中学3月高考模拟〕随机变量X 的分布列如下表： ()521636E a a a ξ=-+=-∈1,018⎡⎤-⎢⎥⎣⎦112p <<ξηp 1,12⎛⎫⎪⎝⎭()E ξη+()D ξη+()E ξη+()D ξη+()E ξη+()D ξη+()E ξη+()D ξη+112p <<211()333E ξ=-+=-()121E p p p η=-+=-4()23E p ξη+=-2212118()(1)(1)33339D ξ=-+⨯++⨯=222()(2)(1)(22)44D p p p p p p η=--+-=-228117()444()929D p p p ξη+=-+=--+∴p 1(,1)2()E ξη+()D ξη+其中a ，b ，.假设X 的方差对所有都成立，那么〔 〕 A ． B ． C ． D ． 【答案】D【解析】由X 的分布列可得X 的期望为,又,所以X 的方差, 因为,所以当且仅当时,取最大值, 又对所有成立, 所以,解得, 应选:D.8、〔2021届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考〕设，随机变量的分布列是：那么当在内增大时〔 〕 A ．增大B ．减小C ．先增大后减小D ．先减小后增大【答案】A 【解析】根据随机变量的分布列， 0c >()13D X ≤()0,1a b ∈-13b ≤23b ≤13b ≥23b ≥()E X ac =-+1a b c ++=()()()()22211D X a c a a c b a c c =-+-+-++-()()()222a c a b c a c a c =-++--++()2a c a c =--++()2211a b b =--++-21412b a b -⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭()0,1a b ∈-12b a -=()D X 1b -()13D X ≤()0,1a b ∈-113b -≤23b ≥023a <<X a 03⎛⎫ ⎪⎝⎭，()D X ()D X ()D X ()D X ()()21013()E a X a -+⨯-⨯+⨯＝1313a -＝那么 ＝ ＝ 由于函数的图象为关于的开口方向向下的抛物线，且，函数的对称轴为， 故增大.应选：A. ()2211210333X D a a a a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⋅+--⋅-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦＝211133a ⎡⎤⎛⎫--⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦25239a a -++2533636a ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭()D X a 203a ＜＜56a ＝()D X。