第56讲排列与组合思维导图
知识梳理
1．排列、组合的定义
2．排列数、组合数的定义、公式、性质
题型归纳
题型1 排列问题
【例1-1】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．
(1)选5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；
(4)全体排成一排，女生必须站在一起；
(5)全体排成一排，男生互不相邻．
【解】(1)从7人中选5人排列，有A57＝7×6×5×4×3＝2 520(种)．
(2)分两步完成，先选3人站前排，有A37种方法，余下4人站后排，有A44种方法，共有A37A44＝5 040(种)．
(3)法一：(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A66种排列方法，共有5×A66＝3 600(种)．
法二：(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有A26种排法，其他有A55种排法，共有A26A55＝3 600(种)．
(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A44种方法，再将女生全排列，有A44种方法，共有A44·A44＝576(种)．
(5)(插空法)先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A35种方法，共有A44·A35＝1 440(种)．
【跟踪训练1-1】高三要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是()
A．1 800B．3 600
C．4 320 D．5 040
【解析】选B先排除舞蹈节目以外的5个节目，共A55种，再把2个舞蹈节目插在6个空位中，有A26种，所以共有A55A26＝3 600(种)．
【跟踪训练1-2】用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3 000的四位数，这样的四位数有() A．250个B．249个
C．48个D．24个
【解析】选C①当千位上的数字为4时，满足条件的四位数有A34＝24(个)；②当千位上的数字为3时，满足条件的四位数有A34＝24(个)．由分类加法计数原理得满足条件的四位数共有24＋24＝48(个)，故选C.
【跟踪训练1-3】将7个人(其中包括甲、乙、丙、丁4人)排成一排，若甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有()
A．1 108种B．1 008种
C．960种D．504种
【解析】选B将丙、丁两人进行捆绑，看成一人．将6人全排列有A22A66种排法；将甲排在排头，有A22A55种排法；乙排在排尾，有A22A55种排法；甲排在排头，乙排在排尾，有A22A44种排法．则甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两人必须相邻的不同排法共有A22A66－A22A55－A22A55＋A22A44＝1 008(种)．
【名师指导】
求解排列应用问题的6种主要方法
题型2 组合问题
【例2-1】某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．
(1)其中某一种假货必须在内，不同取法有多少种？
(2)其中某一种假货不能在内，不同取法有多少种？
(3)恰有2种假货在内，不同取法有多少种？
(4)至少有2种假货在内，不同取法有多少种？
(5)至多有2种假货在内，不同取法有多少种？
【解】(1)从余下的34种商品中，
选取2种有C234＝561(种)取法，
所以某一种假货必须在内的不同取法有561种．
(2)从34种可选商品中，选取3种，
有C334种或者C335－C234＝C334＝5 984(种)取法．
所以某一种假货不能在内的不同取法有5 984种．
(3)从20种真货中选取1种，
从15种假货中选取2种有C120C215＝2 100(种)取法．
所以恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种．
(4)选取2种假货有C120C215种，选取3种假货有C315种，
共有选取方式C120C215＋C315＝2 100＋455＝2 555(种)．
所以至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种．
(5)法一：(间接法)
选取3种商品的总数为C335，因此共有选取方式
C335－C315＝6 545－455＝6 090(种)．
所以至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种．
法二：(直接法)
共有选取方式C320＋C220C115＋C120C215＝6 090(种)．
所以至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种．
【跟踪训练2-1】从{1,2,3，…，10}中选取三个不同的数，使得其中至少有两个相邻，则不同的选法种
数是()
A．72B．70
C．66 D．64
【解析】选D从{1,2,3，…，10}中选取三个不同的数，恰好有两个数相邻，共有C12·C17＋C17·C16＝56种选法，三个数相邻共有C18＝8种选法，故至少有两个数相邻共有56＋8＝64种选法．【跟踪训练2-2】从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字作答)
【解析】从2位女生，4位男生中选3人，共有C36种情况，没有女生参加的情况有C34种，故共有C36－C34＝20－4＝16(种)．
【答案】16
【跟踪训练2-3】(2019·辽宁五校协作体联考)在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处．那么不同的搜寻方案有________种．【解析】若Grace不参与任务，则需要从剩下的5位小孩中任意挑出1位陪同，有C15种挑法，再从剩下的4位小孩中挑出2位搜寻远处，有C24种挑法，最后剩下的2位小孩搜寻近处，因此一共有C15C24＝30种搜寻方案；若Grace参与任务，则其只能去近处，需要从剩下的5位小孩中挑出2位搜寻近处，有C25种挑法，剩下3位小孩去搜寻远处，因此共有C25＝10种搜寻方案．综上，一共有30＋10＝40种搜寻方案．【答案】40
【名师指导】
