第5讲 函数及其表示(教师版) 备战2021年新高考数学考点精讲与达标测试

第1讲函数及其表示最新考纲 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不超过三段)．知识梳理1．函数的基本概念(1)函数的定义给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都存在唯一的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数，记作f：A→B或y＝f(x)，x∈A，此时x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域，集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域．(2)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．(3)表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图像法．(4)分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫作分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．2．函数定义域的求法类型x满足的条件2nf(x)，n∈N＋f(x)≥01f(x)与[f(x)]0f(x)≠0log a f(x)f(x)＞0四则运算组成的函数各个函数定义域的交集实际问题 使实际问题有意义诊 断 自 测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示(1)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数．( )(2)与x 轴垂直的直线和一个函数的图像至多有一个交点．( )(3)函数y ＝x 2＋1－1的值域是{y |y ≥1}．( )(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( ) 解析 (1)函数y ＝1的定义域为R ，而y ＝x 0的定义域为{x |x ≠0}，其定义域不同，故不是同一函数． (3)由于x 2＋1≥1，故y ＝x 2＋1－1≥0，故函数y ＝x 2＋1－1的值域是{y |y ≥0}． (4)若两个函数的定义域、对应法则均对应相同时，才是相等函数． 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2．(教材改编)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图像可能是( )解析 A 中函数定义域不是[－2,2]，C 中图像不表示函数，D 中函数值域不是[0,2]． 答案 B3．(2017·合肥一模)函数y ＝1－x 22x 2－3x －2的定义域为( )A ．(－∞，1]B ．[－1,1]C ．[1,2)∪(2，＋∞) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1 解析 由题意，得⎩⎨⎧1－x 2≥0，2x 2－3x －2≠0.解之得－1≤x ≤1且x ≠－12. 答案 D4．(2015·陕西卷)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x <0，则f (f (－2))等于( )A ．－1 B.14 C.12 D.32解析 因为－2<0，所以f (－2)＝2－2＝14>0，所以f (f (－2))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－14＝1－12＝12，故选C. 答案 C5．(2015·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图像过点(－1,4)，则a ＝________. 解析 由题意知点(－1,4)在函数f (x )＝ax 3－2x 的图像上，所以4＝－a ＋2，则a ＝－2. 答案 －2考点一 求函数的定义域 【例1】 (1)(2017·郑州调研)函数f (x )＝ln x x －1＋的定义域为( )A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(0,1)D ．(0,1)∪(1，＋∞)(2)若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 017]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是____________． 解析 (1)要使函数f (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧xx －1>0，x ≥0，解得x >1，故函数f (x )＝ln x x －1＋的定义域为(1，＋∞)．(2)∵y ＝f (x )的定义域为[1,2 017]， ∴g (x )有意义，应满足⎩⎨⎧1≤x ＋1≤2 017，x －1≠0.∴0≤x ≤2 016，且x ≠1.因此g (x )的定义域为{x |0≤x ≤2 016，且x ≠1}． 答案 (1)B (2){x |0≤x ≤2 016，且x ≠1} 规律方法 求函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．(3)若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))的定义域可由a ≤g (x )≤b 求出；若已知f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．【训练1】 (1)(2015·湖北卷)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( )A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)∪(3,4]D ．(－1,3)∪(3,6](2)若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________．解析(1)要使函数f (x )有意义，应满足⎩⎨⎧4－|x |≥0，x 2－5x ＋6x －3>0，∴⎩⎨⎧|x |≤4，x －2>0且x ≠3，则2<x ≤4，且x ≠3. 所以f (x )的定义域为(2,3)∪(3,4]．(2)因为函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，则x 2＋2ax －a ≥0恒成立．因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0. 答案 (1)C (2)[－1,0] 考点二 求函数的解析式【例2】 (1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝________；(2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________； (3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，则f (x )＝________.解析 (1)令t ＝2x ＋1(t >1)，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1)．(2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝x －1， 则2ax ＋a ＋b ＝x －1， ∴⎩⎨⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－32.∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.(3)在f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1中，将x 换成1x ，则1x 换成x ， 得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )·1x －1，由⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )·1x －1，解得f (x )＝23x ＋13.答案 (1)lg2x －1(x >1) (2)12x 2－32x ＋2 (3)23x ＋13 规律方法 求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法．(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围． (3)构造法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f (x )．(4)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式．【训练2】 (1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________.(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.(3)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )＝__________. 解析 (1)令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2(t ≥1)，代入原式得f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1， 所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(2)当－1≤x ≤0时，0≤x ＋1≤1， 由已知f (x )＝12f (x ＋1)＝－12x (x ＋1)． (3)当x ∈(－1,1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)．① 将x 换成－x ，则－x 换成x ， 得2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．② 由①②消去f (－x )得，f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)． 答案 (1)x 2－1(x ≥1) (2)－12x (x ＋1)(3)23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )(－1<x <1) 考点三 分段函数(多维探究) 命题角度一 求分段函数的函数值【例3－1】 (2015·全国Ⅱ卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧1＋log 2(2－x )，x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12解析 根据分段函数的意义，f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋2＝3.又log 212>1 ∴f (log 212)＝2(log 212－1)＝2log 26＝6， 因此f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9. 答案 C命题角度二 求参数的值或取值范围【例3－2】 (1)(2015·山东卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －b ，x <1，2x ，x ≥1.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝( )A ．1 B.78 C.34 D.12(2)(2014·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．解析 (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝3×56－b ＝52－b ，若52－b <1，即b >32时，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b －b ＝4，解之得b ＝78，不合题意舍去． 若52－b ≥1，即b ≤32，则－b ＝4，解得b ＝12.(2)当x <1时，e x －1≤2，解得x ≤1＋ln 2， 所以x <1. 当x ≥1时，≤2，解得x ≤8，所以1≤x ≤8.综上可知x 的取值范围是(－∞，8]． 答案 (1)D (2)(－∞，8]规律方法 (1)根据分段函数解析式求函数值．首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．(2)已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围． 提醒 当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论．【训练3】 (1)(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14(2)(2017南京、盐城模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，－(x －1)2，x >0，则不等式f (x )≥－1的解集是________．解析 (1)当a ≤1时，f (a )＝2a －1－2＝－3， 即2a －1＝－1，不成立，舍去； 当a >1时，f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3， 即log 2(a ＋1)＝3，解得a ＝7，此时f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74.故选A. (2)当x ≤0时，由题意得x2＋1≥－1， 解之得－4≤x ≤0.当x >0时， 由题意得－(x －1)2≥－1， 解之得0<x ≤2，综上f (x )≥－1的解集为{x |－4≤x ≤2}． 答案 (1)A (2){x |－4≤x ≤2}[思想方法]1．在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同．2．函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质和图像的基础．因此，我们一定要树立函数定义域优先意识．3．函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、构造解方程组法． 4．分段函数问题要用分类讨论思想分段求解． [易错防范]1．复合函数f [g (x )]的定义域也是解析式中x 的范围，不要和f (x )的定义域相混．2．易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A，B若不是数集，则这个映射便不是函数．3．分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论.基础巩固题组(建议用时：30分钟)一、选择题1．(2017·宜春质检)函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域是()A．[－3,1] B．(－3,1)C．(－∞，－3]∪[1，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)解析使函数f(x)有意义需满足x2＋2x－3>0，解得x>1或x<－3，所以f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．答案 D2．(2017·衡水中学月考)设f，g都是由A到A的映射，其对应法则如下：映射f的对应法则x 123 4f(x)342 1映射g的对应法则x 123 4g(x)431 2则f[g(1)]的值为()A．1 B．2 C．3 D．4解析由映射g的对应法则，可知g(1)＝4，由映射f的对应法则，知f(4)＝1，故f[g(1)]＝1.答案 A3．已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝x＋2，则f(x)＝()A．x＋1 B．2x－1C ．－x ＋1D ．x ＋1或－x －1解析 设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，又f [f (x )]＝x ＋2， 得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2. ∴k 2＝1，且kb ＋b ＝2，解得k ＝b ＝1. 答案 A4．(2017·衡阳八中一模)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x (x ≤0)，log 3x (x >0)，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( )A ．－2B ．－3C ．9D ．－9解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2， ∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9. 答案 C5．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( ) A ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10 B ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310 C ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410 D ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510 解析 取特殊值法，若x ＝56，则y ＝5，排除C ，D ；若x ＝57，则y ＝6，排除A ，选B. 答案 B6．(2016·全国Ⅱ卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝lg x C ．y ＝2x D ．y ＝1x解析 函数y ＝10lg x 的定义域、值域均为(0，＋∞)，而y ＝x ，y ＝2x 的定义域均为R ，排除A ，C ；y ＝lg x 的值域为R ，排除B ，故选D.答案 D7．(2016·江苏卷)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋a ，－1≤x <0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x <1，其中a ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是( ) A.12 B.14C ．－25 D.18解析 由题意f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋a ， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝110， ∴－12＋a ＝110，则a ＝35，故f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.答案 C8．(2017·铜陵一模)设P (x 0，y 0)是函数f (x )图像上任意一点，且y 20≥x 20，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝x －1xB ．f (x )＝e x －1C ．f (x )＝x ＋4xD ．f (x )＝tan x解析 对于A 项，当x ＝1，f (1)＝0，此时02≥12不成立．对于B 项，取x ＝－1，f (－1)＝1e －1，此时⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －12≥(－1)2不成立．在D 项中，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫54π＝tan 54π＝1，此时12≥⎝ ⎛⎭⎪⎫54π2不成立．∴A ，B ，D 均不正确．选C.事实上，在C 项中，对任意x 0∈R ，y 20＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋4x 02有y 20－x 20＝16x 20＋8>0，有y 20≥x 20成立． 答案 C二、填空题9．(2016·江苏卷)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________．解析 要使函数有意义，则3－2x －x 2≥0，∴x 2＋2x －3≤0，解之得－3≤x ≤1.答案 [－3,1]10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________. 解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－tan π4＝－1. ∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2. 答案 －211．已知函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋|x |＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是________． 解析 根据题意知x >0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝log 2x ，则f (x )＝log 21x ＝－log 2x . 答案 f (x )＝－log 2 x12．设函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x ≤0，|log 2x |，x >0，则使f (x )＝12的x 的集合为________． 解析 由题意知，若x ≤0，则2x ＝12，解得x ＝－1；若x >0，则|log 2x |＝12，解得x ＝212或x ＝2－12，故x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，2，22. 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，2，22 能力提升题组(建议用时：15分钟)13．(2015·湖北卷)设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎨⎧ 1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0.则( )A ．|x |＝x |sgn x |B ．|x |＝x sgn|x |C ．|x |＝|x |sgn xD ．|x |＝x sgn x解析 当x >0时，|x |＝x ，sgn x ＝1，则|x |＝x sgn x ；当x <0时，|x |＝－x ，sgn x ＝－1，则|x |＝x sgn x ；当x ＝0时，|x |＝x ＝0，sgn x ＝0，则|x |＝x sgn x .答案 D14．设函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －1，x <1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 B ．[0,1] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞) 解析 由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a <1.当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1.综上，a ≥23.答案 C15．函数f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 解析 要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1x >0，x ≠0，1－x 2≥0⇒⎩⎨⎧ x <－1或x >0，x ≠0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1.∴f (x )的定义域为(0,1]．答案 (0,1]16．(2015·浙江卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2x－3，x ≥1，lg (x 2＋1)，x <1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________．解析 ∵f (－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1，∴f (f (－3))＝f (1)＝0，当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x －3≥22－3，当且仅当x ＝2时，取等号，此时f (x )min ＝22－3<0；当x<1时，f(x)＝lg(x2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x＝0时，取等号，此时f(x)min＝0.∴f(x)的最小值为22－3.答案022－3。

数学派讲义一、指导思想依据《考试大纲》、《考试说明》、《教学大纲》，结合学生实际情景，准确定位起点，立足双基，夯实基础，瞄准高考，培养综合本事，努力提高课堂教学效益，从而全面提高数学教学质量。

重点讲解和练习能够拿分的知识点。

二、学科目标1、构建知识网络体系，经过案例教学提高学习兴趣。

激励学生勇于探索提高运用辨证唯物主义观点分析问题、解决问题的本事。

2。

狠抓一轮专题备考，研究考试表明，抓取中考信息。

本学期的教学任务主要为顺利完成高三第一轮备考。

指导学生出席零诊和一内科考试，顺利完成学校下发的考试目标。

做好模拟训练，减少中考经验，谋求20xx年获得优异成绩。

三、教学方法及其措施(一)制订科学的复习计划。

在认真研究教材、教纲和考纲，分析学生具体情景的基础上，根据教学和学生的实际科学的制定教学计划。

1、时间分配半期考试前基本顺利完成必修课程教材的主体备考，年底前基本顺利完成报读教材的备考，一月并作备考适应性练。

2、知识有所侧重注意向重点章节倾斜，做到重点知识重点复习。

3、特别注意教学分层融合学生不一样层次的实际情景，传授时必须有所区别，在20班搞好辅导班工作，在23班紧要紧盯可以巴戟搞好辅差工作，并在培育学生自学的坚忍性上下功夫，尽可能的调动学生的自学坚忍性，并使每个学生存有显著的不能一样程度的提升;深入细致搞好辅优工作，展开个别辅导，高度关注学生的思想变化，及时鼓励，使他们存有足够多的信心出席中考。

分层学前，建议不一样，谋求每一个学生都存有斩获。

4、整体复习与阶段复习计划相配套整体复习计划精确到月，阶段复习计划应精确到详细列出每周的复习任务和进度5、适度调整，根据已完成的备考情景去调整计划，加强薄弱环节;或者根据考纲的变动而及时修改计划等6、确定模拟测试的时间，次数和分层辅导的安排等7、钻研考纲和教材，研究近5年中考试卷。

总结中考经验，指导不好备考。

(二)建立知识网络，确立教学专题。

在教学中要根据每个章节创建通俗易懂的科学知识网络，然后按照中考题型分割专题，例如单项选择题，计算题，填空题等。

2021年高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第5讲函数的单调性与最值课时作业理1．(xx 年北京)下列函数中，定义域是R ，且为增函数的是( ) A ．y ＝e －x B ．y ＝x 3 C ．y ＝ln x D ．y ＝|x |2．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f x －f －xx<0的解集为( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)3．(xx 年陕西)设f (x )＝x －sin x ，则f (x )( ) A ．既是奇函数又是减函数 B ．既是奇函数又是增函数 C ．是有零点的减函数 D ．是没有零点的奇函数4．(xx 年新课标Ⅱ)若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞) D．(－1，＋∞)5．(xx 年天津)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 6．(xx 年山东)若函数e xf (x )(e ＝2.718 28…，是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是( )A ．f (x )＝2－xB ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝3－xD ．f (x )＝cos x7．已知函数f (x )＝x 3＋sin x ，x ∈(－1,1)，如果f (1－m )＋f (1－m 2)<0，那么m 的取值范围是________________________________________________________________________．8．(xx 年福建)若函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．9．(xx 年上海)已知a ∈R ，函数f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋a .(1)当a ＝5时，解不等式f (x )>0；(2)若关于x 的方程f (x )－log 2[(a －4)x ＋2a －5]＝0的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围；(3)设a >0，若对任意t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．10．(xx 年大纲)函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋3x (a ≠0)．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )在区间(1,2)上是增函数，求a 的取值范围．第5讲 函数的单调性与最值1．B 解析：y ＝e －x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x 在R 上单调递减；y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)；y ＝|x |＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，当x <0时，函数单调递减；只有函数y ＝x 3的定义域是R ，且为增函数．2．D 解析：由f x －f －x x ＝2f xx＜0，得xf (x )＜0.结合图象可求解集为(－1,0)∪(0,1)．3．B 解析：由f (x )＝x －sin x ⇒f (－x )＝(－x )－sin(－x )＝－x ＋sin x ＝－(x －sin x )＝－f (x )，又f (x )的定义域为R ，关于原点对称，所以f (x )是奇函数；由f ′(x )＝1－cos x ≥0⇒f (x )在R 上是增函数．故选B.4．D 解析：若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，即存在正数x 使x －a <12x ，a >x －12x成立，即a >⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x min .又x －12x 在(0，＋∞)上单调递增，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x min ＝0－120＝－1.故a >－1.故选D.5．C 解析：由题意，得f (－2|a －1|)>f (－2)⇒－2|a －1|>－2⇒2|a －1|<2⇒|a －1|<12⇒12<a <32.故选C. 6．A 解析：选项A ：函数e xf (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x 在R 上单调递增，故具有M 性质．故选A ；选项B ：令g (x )＝e x ·x 2，g ′(x )＝e x ·x 2＋e x ·2x ＝e x (x 2＋2x )，在(－∞，－2)，(0，＋∞)上单调递增，在(－2,0)上单调递减，故f (x )＝x 2不具有M 性质．故选A ；选项C:函数e x ·3－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x 在R 上单调递减，故不具有M 性质；选项D ：令g (x )＝e x·cos x ，g ′(x )＝e x ·cos x －e x ·sin x ＝e x ·(cos x －sin x )不能恒大于0，故f (x )＝cos x 也不具有M 性质．7．(1，2) 解析：函数f (x )＝x 3＋sin x ，x ∈(－1,1)是奇函数又是增函数，f (1－m )＋f (1－m 2)<0，f (1－m )<－f (1－m 2)＝f (m 2－1)，有⎩⎨⎧－1<1－m <1，－1<m 2－1<1，1－m <m 2－1，解得1<m < 2.8．(1,2] 解析：当x ≤2时，有－x ＋6≥4，要使得函数f (x )的值域为[4，＋∞)，只需f 1(x )＝3＋log a x (x ＞2)的值域包含于[4，＋∞)，故a ＞1.所以f 1(x )＞3＋log a 2.所以3＋log a 2≥4.解得1＜a ≤2.所以实数a 的取值范围是(1,2]．9．解：(1)由log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋5>0，得1x＋5>1.解得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－14∪()0，＋∞.(2)1x＋a ＝(a －4)x ＋2a －5，即(a －4)x 2＋(a －5)x －1＝0.当a ＝4时，x ＝－1，经检验，满足题意． 当a ＝3时，x 1＝x 2＝－1，经检验，满足题意．当a ≠3，且a ≠4时，x 1＝1a －4，x 2＝－1，x 1≠x 2.x 1是原方程的解当且仅当1x 1＋a >0，即a >2；x 2是原方程的解当且仅当1x 2＋a >0，即a >1.于是满足题意的a ∈(1,2]．综上所述，a 的取值范围为(1,2]∪{3,4}．(3)当0<x 1<x 2时，1x 1＋a >1x 2＋a ，log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋a >log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋a ，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减．函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值与最小值分别为f (t )，f (t ＋1)．f (t )－f (t ＋1)＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋a －log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋1＋a ≤1，即at 2＋(a ＋1)t －1≥0对任意t ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤121成立． 因为a >0，所以函数y ＝at 2＋(a ＋1)t －1在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤121上单调递增，当t ＝12时，y 有最小值34a －12.由34a －12≥0，得a ≥23. 故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.10．解：(1)f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3，f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3＝0的判别式Δ＝36(1－a )．①若a ≥1，Δ≤0，则f ′(x )≥0，且f ′(x )＝0当且仅当a ＝1，x ＝－1， 故此时f (x )在R 上是增函数．②由于a ≠0，故当a <1时，f ′(x )＝0有两个根：x 1＝－1＋1－a a ，x 2＝－1－1－aa.若0<a <1，x 1>x 2，则当x ∈(－∞，x 2)或x ∈(x 1，＋∞)时，f ′(x )>0. 故f (x )在(－∞，x 2)，(x 1，＋∞)上是增函数；当x ∈(x 2，x 1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(x 2，x 1)上是减函数； 若a <0，x 1<x 2，则当x ∈(－∞，x 1)或x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )<0. 故f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上是减函数； 当x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )>0. 故f (x )在(x 1，x 2)上是增函数． (2)当a >0，x >0时，f ′(x )>0.所以当a >0时，f (x )在区间(1,2)上是增函数．当a <0时，f (x )在区间(1,2)上是增函数当且仅当f ′(1)≥0，且f ′(2)≥0，解得－54≤a <0. 综上所述，a 的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－540∪(0，＋∞)．。

2021年新高考数学总复习讲义：函数的定义及表示知识讲解一、函数1.函数的概念概念：设集合A 是一个非空数集，对A 中的任意的数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数．记作()yf x ，xA 其中x 叫做自变量．自变量取值的范围（数集A ）叫做这个函数的定义域．如果自变量取值a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值，记作()y f a ，所有函数值构成的集合{()}y yf x xA ，叫做这个函数的值域．2.函数的三要素：定义域，值域，对应法则3.函数的表示法1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； 3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系．4.求函数定义域注意事项1）分式的分母不应为零； 2）零的零次幂没有意义；3）开偶次方根的被开方数大于或者等于零； 4）对数式的真数大于零； 5）()=tan f x x 的定义域为{|}2x xk kZ ππ，；6）复合函数求定义域要保证复合过程有意义，最后求它们的交集．5.分段函数定义：若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数．6.复合函数定义：若()∈，(),u m n∈，那么[()]x a b=，(),y f u=，()u g xy f x称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是()g x的值域．注意：函数的定义域必须写成集合或区间的形式．二、映射，是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x在B 定义：设A B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射，这时称y是x在映射f的作用下的象，记作()f x，于是y f x()x称为y的原象，映射f也可记为：:f A Bx f x()f x构成的集合叫做映射f的其中A叫做映射f的定义域（函数定义域的推广）．由所有象()f A．值域．通常记作()、以及对应法则，三者缺一不可；:f A B，集合A中每一个元素映射三要素：集合A B在集合B中都有唯一的元素与之对应，从A到B的对应关系为一对一或多对一，绝对不可以一对多，但也许B中有多余元素．三、函数求解析式1.换元法2.方程组法四、函数求值域1.直接法（分析观察法）2.函数单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域．3.配方法：二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解，但在转化的过程中要注意等价性，特别是不能改变定义域．对于形如2y ax bx c (0)a或2()[()]()F x a f x bf x c (0)a类的函数的值域问题，均可使用配方法．4.分离常数法：当分式中分子分母都函数由参数时．可以采用分离常数法．5.换元法（代数/三角）：对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑运用代数或三角代换，将所给函数化成值域简单的熟悉的容易确定的基本函数，从而求得原函数的值域． 对形如的函数，令；形如的函数，令；形如含的结构的函数，可利用三角代换，令，或令．6.判别式法：在函数定义域为R 时，把函数转化成关于的二次方程()0F x y ，；通过方程有实数根，判别式，从而求得原函数的值域．对形如21112222a xb xc ya xb xc （1a 、2a 不同时为零）的函数的值域，通常转化成关于x 的二次方程，由于方程有实根，即从而求得y 的范围，即值域．值得注意的是，要对方程的二次项系数进行讨论．注意：主要适用于定义在R 上的分式函数，但定义在某区间上时，则需要另行讨论．7.基本不等式法：利用基本不等式求函数值域， 其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值．8.数形结合法：如果所给函数有较明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率）或当一个函数的图象易于作出时，可借助几何图形的直观性来求函数的值域．()1y f x =()f x t=,,,,0)y ax b a b c dac =+±≠均为常数t =[]cos ,0,x a θθπ=∈sin ,,22x a ππθθ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦x 0∆≥0≥∆经典例题一．选择题（共12小题）1．（2018春•东安区校级期末）集合A={x|0≤x≤4}，B={y|0≤y≤2}，下列不能表示从A到B的函数的是（）A．f：x→y=12x B．f：x→y=2﹣xC．f：x→y=23x D．f：x→y=√x2．（2018春•青山区校级期末）已知函数y=√(a−1)x2+ax+1的值域为[0，+∞），求a的取值范围为（）A．a≥1B．a＞1C．a≤1D．a＜13．（2016秋•芗城区校级期末）下列图形中可以是某个函数的图象的是（）A．B．C ．D ．4．（2016秋•宁城县期末）下列函数与函数y=x 相等的是（ ） A ．y =(√x)2 B ．y =√x 2C ．y =(√x 3)3D ．y =x 2x5．（2016秋•湖北期末）已知函数f （x ）的定义域为[﹣1，5]，在同一坐标系下，函数y=f （x ）的图象与直线x=1的交点个数为（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．0个或者2个6．（2016秋•天门期末）已知函数f （x ）的定义域为[﹣2，2]，在同一坐标系下，函数y=f （x ）的图象与直线x=1的交点个数为（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．0个或者2个7．（2018•乌鲁木齐二模）若集合A ={x|x(x +1)≥0}，B ={y|y =√x −1}，则（ ）A．A=B B．A⊆BC．A∪B=R D．B⊆A8．（2018•乌鲁木齐二模）若集合A={x|x（x﹣1）＜0}，B={y|y=x2}，则（）A．A=B B．A⊆BC．A∪B=R D．B⊆A9．（2018•河南模拟）已知函数f（x）=5﹣1og3x，x∈（3，27]，则f（x）的值域是（）A．（2，4]B．[2，4）C．[﹣4，4）D．（6，9]10．（2018•济宁一模）已知函数f(x)={lnxx，x＞1e x+1，x≤1，则函数f（x）的值域为（）A．（0，e+1]B．（0，e+1）C．(0，1e]∪(1，e+1)D．(0，1e]∪(1，e+1]11．（2017秋•沂南县期末）若f（lnx）=3x+4，则f（x）的表达式是（）A．3e x+4B．3lnx+4C．3lnx D．3e x12．（2017秋•潮南区期末）若f（x）满足关系式f（x）+2f（1x）=3x，则f（2）的值为（）A．1B．﹣1C．﹣32D．32二．填空题（共4小题）13．（2017秋•杨浦区校级期末）设f(x)=2x−1，g(x)=√x−1x，则f（x）•g（x）=．14．（2018春•海安县校级月考）若f（2x）=3x2+1，则函数f（x）的解析式是．15．（2018•徐汇区二模）函数f（x）=lg（3x﹣2x）的定义域为．16．（2017秋•海陵区校级期中）若g（x）=x2+x，x∈{﹣1，1}的值域为．三．解答题（共2小题）17．求函数y=e x+1e x+2值域．18．求下列函数的值域．（1）y=√x−4√x+3；（2）y=2x﹣3+√13−4x；（3）y=√1+x+√1−x．。

第二章 函数、导数及其应用第五节 对数与对数函数课时规X 练 A 组——基础对点练1．函数y ＝1log 2（x －2）的定义域是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(2，3)∪(3，＋∞)D ．(2，4)∪(4，＋∞)解析：要使函数有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，log 2（x －2）≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2，x －2≠1，解得x ＞2且x ≠3.故选C. 答案：C2．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，b ＝log 132，c ＝log 123，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞c ＞aD ．c ＞a ＞b解析：∵b ＝－log 32∈(－1，0)，c ＝－log 23＜－1，a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213＞0，∴a ＞b ＞c ，故选A.答案：A3．(2020·某某模拟)若函数y ＝a |x |(a ＞0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图像大致是( )解析：若函数y ＝a |x |(a ＞0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则a ＞1，故函数y ＝log a |x |的大致图像如图所示．故选B. 答案：B4．(2020·某某模拟)如果log 12x ＜log 12y ＜0，那么( )A ．y ＜x ＜1B ．x ＜y ＜1C ．1＜x ＜yD ．1＜y ＜x解析：因为y ＝log 12x 在(0，＋∞)上为减函数，所以x ＞y ＞1.答案：D5．(2020·某某联考)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．a ＞c ＞b D ．a ＞b ＞c解析：因为a ＝log 3 6＝log 3 3＋log 3 2＝1＋log 3 2，b ＝log 5 10＝log 5 5＋log 5 2＝1＋log 5 2，c ＝log 7 14＝log 7 7＋log 7 2＝1＋log 7 2，因为log 3 2＞log 5 2＞log 7 2，所以a ＞b ＞c ，故选D. 答案：D6．设函数f (x )＝log a |x |在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是( ) A ．f (a ＋1)＞f (2) B ．f (a ＋1)＜f (2) C ．f (a ＋1)＝f (2) D ．不能确定解析：因为f (x )＝log a |x |在(－∞，0)上单调递增，所以0＜a ＜1，所以1＜a ＋1＜2，而f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以有f (a ＋1)＞f (2)． 答案：A7．(2020·某某模拟)函数y ＝lg|x －1|的图像是( )解析：因为y ＝lg|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧lg （x －1），x ＞1，lg （1－x ），x ＜1.当x ＝1时，函数无意义，故排除B 、D. 又当x ＝2或0时，y ＝0，所以A 项符合题意． 答案：A8．(2020·某某模拟)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，若a ＝－f (log 215)，b ＝f (log 2 4.1)，c＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．c ＜b ＜a D ．c ＜a ＜b解析：依题意a ＝f (－log 215)＝f (log 2 5)且log 25＞log 24.1＞20.8，结合函数的单调性有f (log 25)＞f (log 24.1)＞f (20.8)，即a ＞b ＞c . 答案：C9．已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________． 解析：∵4a ＝2，∴a ＝12，又lg x ＝a ，x ＝10a ＝10.答案：1010．函数f (x )＝log 2(－x 2＋22)的值域为________．解析：由题意知0＜－x 2＋22≤22＝232，结合对数函数图像(图略)，知f (x )∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，32，故答案为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，32.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，32B 组——素养提升练11．(2020·某某双流中学模拟)已知a ＝log 29－log 23，b ＝1＋log 27，c ＝12＋log 213，则( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a 解析：a ＝log 29－log 23＝log 233，b ＝1＋log 27＝log 227，c ＝12＋log 213＝log 226，因为函数y ＝log 2x 是增函数，且27＞33＞26，所以b ＞a ＞c ，故选B.答案：B12．已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A ．f (x )在(0，2)单调递增 B ．f (x )在(0，2)单调递减C ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称D ．y ＝f (x )的图像关于点(1，0)对称 答案：C13．(2020·某某七校联考)若函数f (x )＝log 2(x 2－ax －3a )在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a 的取值X 围是( ) A ．(－∞，4) B ．(－4，4]C ．(－∞，4)∪[2，＋∞)D ．[－4，4)解析：由题意得x 2－ax －3a >0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y ＝x 2－ax －3a 在(－∞，－2]上递减，则a2≥－2且(－2)2－(－2)a －3a >0，解得实数a 的取值X 围是[－4，4)，故选D. 答案：D14．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (2＋x )＝f (2－x )，当x ∈[－2，0]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22x －1，若在区间(－2，6)内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a ＞0且a ≠1)恰有4个不同的实数根，则实数a 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1B ．(1，4) C ．(1，8) D ．(8，＋∞)解析：依题意得f (x ＋2)＝f (－(2－x ))＝f (x －2)，即f (x ＋4)＝f (x )，则函数f (x )是以4为周期的函数，结合题意画出函数f (x )在x ∈(－2，6)上的图像与函数y ＝log a (x ＋2)的图像，结合图像分析可知， 要使f (x )与y ＝log a (x ＋2)的图像有4个不同的交点，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，log a （6＋2）＜1，由此解得a ＞8，即a 的取值X 围是(8，＋∞)．答案：D15．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，若实数a 满足f (2)>f (－2)，则a 的取值X 围是________．解析：∵f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，∴f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减．根据函数的对称性，可得f (－2)＝f (2)，∴f (2)>f (2)．∵2>0，f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减，∴0<2<2⇒log 3a <12⇒0<a <3.答案：(0，3)16．若log 2a 1＋a 21＋a ＜0，则a 的取值X 围是________．解析：当2a ＞1时，∵log 2a 1＋a 21＋a ＜0＝log 2a 1，∴1＋a 21＋a＜1.∵1＋a ＞0， ∴1＋a 2＜1＋a ，∴a 2－a ＜0，∴0＜a ＜1，∴12＜a ＜1. 当0＜2a ＜1时，∵log 2a 1＋a 21＋a ＜0＝log 2a 1，∴1＋a 21＋a ＞1.∵1＋a ＞0，∴1＋a 2＞1＋a .∴a 2－a ＞0，∴a ＜0或a ＞1，此时不合题意．综上所述，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1。

第5讲 函数的综合应用考点1 函数与方程例 1.(1)已知函数2,0,(),0.x a x f x x x ⎧->=⎨-<⎩若()y f x =的图象上存在两个点,A B 关于原点对称，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1,)-+∞ B ．(1,)-+∞ C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞【答案】D【解析】设00x >，则00x -<，()y f x =的图象上存在两个点,A B 关于原点对称， 则0020xa x -+=在()0,∞+上有解，即002xa x =+在()0,∞+上有解，由002xy x =+在()0,∞+上的值域为(1,)+∞，则实数a 的取值范围是(1,)+∞．故选:D ．(2)已知函数()()22log ,2log 4,2x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩，若函数()y f x k =-有两个零点，则k 的取值范围是（ ） A ．(),2-∞ B ．(),1-∞ C ．()2,+∞D ．()1,+∞【答案】D【解析】由函数2log y x =与()2log 4y x =-的图象关于直线2x =对称， 可得()f x 的图象如图所示，所以当1k >时，直线y k =与函数()y f x =的图象有两个交点．故选:D ． 【点睛】解决函数零点(方程有根)的问题常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解． 【跟踪演练】1.(1)对于函数()y f x =与()y g x =，若存在0x ，使()()00f x g x =-，则称()()00,M x f x ，0(,N x -()0)g x -是函数()f x 与()g x 图象的一对“隐对称点”．已知函数()()1f x m x =+，()ln xg x x=，函数()f x 与()g x 的图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数m 的取值范围为（ ） A ．()1,0- B ．(),1-∞- C ．()()0,11,+∞D ．()(),11,0-∞--【答案】A【解析】由题意函数()1y m x =--与ln xy x=的图象有两个交点， 令()ln x h x x =，则()21ln xh x x-'=，∴当()0,x e ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增； 当(),x e ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减； 又()1y m x =--恒过点()1,0，当1x >时，()0h x >， 在同一坐标系中作出函数()1y m x =--、()ln xh x x=的图象，如图，由图象可知，若函数()1y m x =--与ln xy x=的图象有两个交点，则0m >， 当直线()1y m x =--为函数ln xy x=图象的切线时，由()11h '=可得1m -=， ∴01m <-<即()1,0m ∈-．故选:A ．(2)已知函数2(0)()ln (0)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，且关于x 的方程()0f x x a +-=有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围（ ） A ．[0,)+∞ B ．(1,)+∞ C ．(0,)+∞D ．[,1)-∞【答案】B【解析】若要使方程()0f x x a +-=即()f x x a =-+有且只有一个实数根， 则函数()y f x =的图象与直线y x a =-+有且仅有一个交点， 在同一坐标系中作出函数()y f x =及y x a =-+的图象，如图，数形结合可得，若函数()y f x =的图象与直线y x a =-+有且仅有一个交点， 则1a >，所以实数a 的取值范围为(1,)+∞．故选:B ．考点2 函数性质的综合例2.(1)已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()()22f x f x +=-，且()2,0x ∈-时，()()2log 31f x x =-+，则()2021f =（ ）A ．4B ．2log 7C ．2D ．-2【答案】D【解析】因为()()22f x f x +=-，所以函数()f x 是周期为4的周期函数， 则(2021)(50541)f f f =⨯+=（1）22(1)log (31)log 42f =--=-+=-=-，故选:D ．(2)已知函数()13xbf x a a=--（0a >且1a ≠）是奇函数，且(1)2f =． ①求,a b 的值及()f x 的定义域；②设函数()()2g x kf x =-有零点，求常数k 的取值范围； ③若2(2)(3)0f t f t ++->，求t 的取值范围． 【答案】①3a =，6b =-， ()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞；②(2,0)(0,2)-；③(2,1)(1,2)--⋃.【解析】①由(1)2f = 得12ba =-又()f x 是奇函数， (1)(1)2f f ∴-=-=- 即233aba=-,注意到0a > 解得3a =，6b =- 2()131x f x =+- ,由310x -≠ 得0x ≠∴()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞②3,6a b ==-，∴31()()2231x x g x kf x k +=-=--()g x ∴有零点，即关于x 的方程312031x x k +-=-有实数解 ∴2(31)31x x k -=+ (0)x ≠有实数解 2(31)423131x x x-=-++ ， 311x +>且312x +≠ ∴2(31)2231x x --<<+且2(31)031xx -≠+ ∴k 的取值范围是(2,0)(0,2)-③先证明函数2()131x f x =+-在(0,)+∞上单调递减 设0m n >>，则331m n >>31310m n ∴->->223131m n ∴<--，22113131m n+<+--即()()f m f n <∴函数2()131xf x =+-在(0,)+∞上单调递减 由2(2)(3||)0f t f t ++->得2(2)(3||)f t f t +>-- 又()f x 是奇函数2(2)(3||)f t f t ∴+> 223||t t ∴+< ∴1||2t <<所以t 的取值范围是(2,1)(1,2)--⋃【点睛】本题考查了奇函数的性质和单调性的应用以及函数的零点，考查了利用函数的单调性解不等式. 【跟踪演练】2.(1)设()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+，已知当02x <<时，1()21x f x -=+，则(2022)(2023)f f +=（ ）A ．2B ．2-C ．1D ．1-【答案】B【解析】根据题意，()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，则()()f x f x -=-，且(0)0f =；又由(1)(1)f x f x -=+即有(2)()f x f x +=-，则(2)()f x f x +=-，进而得到(4)(2)()f x f x f x +=-+=，()f x 为周期为4的函数， 则(2022)(24505)(2)f f f =+⨯=(0)0f =-=，(2023)(12024)(1)(1)f f f f =-+=-=-，当02x <<时，1()21x f x -=+，则f （1）11212-=+=，则(2023)(1)f f =-2=-，故(2022)(2023)0(2)2f f +=+-=-，故选:B ．(2)已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()00f =，当0x <时，()f x 单调递增．若实数a 满足()13a f f -+⎛> ⎝⎭，则a 的取值范围是（ ）A ．31,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B ．31,,22⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．42,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．42,,33⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B【解析】由题意可知()f x 为偶函数，且在(),0-∞上单调递增，所以()f x 在()0,+∞上单调递减，所以()f x 的图象越靠近y 轴对应的函数值越大，因为()13a f f -+⎛> ⎝⎭，所以13a -+<，所以11233a -+-<， 所以112a -+<-，所以112a +>，所以31,,22a ⎛⎫⎛⎫∈-∞--+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故选:B ． 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性和单调性求解抽象不等式的解集,常见利用函数性质求解抽象不等式的方法：（1）根据奇偶性分析出函数在对称区间上的单调性；（2）将关于函数值的不等式中的自变量通过奇偶性转变到同一单调区间内； （3）通过单调性得到自变量的大小关系，由此求解出不等式的解集．考点3 函数的极值与极值点个数例3.(1)已知函数()f x 的导函数()()()1f x a x x a '=+-，若()f x 在x a =处取得极大值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,0- B ．()2,+∞C ．()0,1D ．(),3-∞-【答案】A【解析】由()f x 在x a =处取得极大值可知，当x a <时，()0f x '>；当x a >时，()0f x '<，其等价于①存在(),,b x b a ∀∈，使得(1)()0a x x a +->， 且②存在(),,c x a c ∀∈，使得(1)()0a x x a +-<；若0a >时，(1)()0a x x a +->的解集为(,1)(,)a -∞-⋃+∞，不满足②即不存在(,)x a c ∈，使得(1)()0a x x a +-<，故0a >时()f x 在x a =不是极大值；若10a -<<时，(1)()0a x x a +->的解集为(1,)a -，(1)()0a x x a +-<的解集为(,1)(,)a -∞-⋃+∞，满足①②，故10a -<<时，()f x 在x a =处取得极大值；若1a =-，(1)()a x x a +-恒小于等于0，不满足①，故1a =-时，()f x 在x a =取不到极大值；若1a <-时，(1)()0a x x a +->的解集为(,1)a -，不满足②，故1a <-时，()f x 在x a =处取不到极大值.综上，a 的取值范围是()1,0-.故选：A.【点睛】本题考查了利用导数极值求参数取值范围,其中求函数()f x 极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数()f x '；(3) 解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；(4)检查()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值。

第二章函数全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式本章在高考中一般为2～3个客观题.2.考查内容高考中基础题主要考查对基础知识和基本方法的掌握．主要涉及函数奇偶性的判断，函数的图象，函数的奇偶性、单调性及周期性综合，指数、对数运算以及指数、对数函数的图象与性质，分段函数求函数值等.3.备考策略(1)重视函数的概念和基本性质的理解：深刻把握函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、零点等概念．研究函数的性质，注意分析函数解析式的特征，同时注意函数图象的作用. (2)重视对基本初等函数的研究，复习时通过选择、填空题加以训练和巩固，将问题和方法进行归纳整理.第一节函数及其表示[最新考纲] 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．1．函数的概念函数映射两集合A，B设A，B是非空的数集设A，B是非空的集合对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)，x∈A 映射f：A→B(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域．若A是函数y＝f(x)的定义域，则对于A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应．所有输出值y组成的集合称为函数的值域．函数的值域可以用集合{y|y＝f(x)，x∈A}表示．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，这样的函数叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但是它表示的是一个函数．[常用结论]1．常见函数的定义域(1)分式函数中分母不等于0.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域为R.(4)零次幂的底数不能为0.(5)y＝a x(a＞0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R.(6)y＝log a x(a＞0，a≠1)的定义域为{x|x＞0}．(7)y＝tan x的定义域为.2．基本初等函数的值域(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R.(2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域：当a ＞0时，值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞；当a ＜0时，值域为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a .(3)y ＝k x(k ≠0)的值域是{y |y ≠0}．(4)y ＝a x(a ＞0且a ≠1)的值域是(0，＋∞)． (5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的值域是R .一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于函数f ：A →B ，其值域是集合B . ( )(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数． ( )(3)函数f (x )＝x 2，x ∈[－1,2]的值域为[0,4]． ( )(4)若A ＝R ，B ＝(0，＋∞)，f ：x →y ＝|x |，则对应f 可看作从A 到B 的映射．( )(5)分段函数是由两个或几个函数组成的． ( ) [答案](1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× 二、教材改编1．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )A B C DB [由函数定义可知，选项B 正确．] 2．函数y ＝2x －3＋1x －3的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ B ．(－∞，3)∪(3，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3∪(3，＋∞) D ．(3，＋∞)C [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x －3≥0，x －3≠0，解得x ≥32且x ≠3.]3．下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( )A ．y ＝(x ＋1)2B ．y ＝3x 3＋1 C ．y ＝x 2x＋1D ．y ＝x 2＋1B [y ＝3x 3＋1＝x ＋1，且函数定义域为R ，故选B.]4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x，x ＞1，则f (f (3))＝________.139 [f (3)＝23，f (f (3))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝49＋1＝139.]5．已知函数f (x )＝2x ＋1，若f (a )＝5，则实数a 的值为________． 12 [由f (a )＝5得2a ＋1＝5，解得a ＝12.]考点1 求函数的定义域已知函数解析式求定义域已知函数的具体解析式求定义域的方法(1)若f (x )是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．1.(2019·济南模拟)函数y ＝x ln(2－x )的定义域为( )A ．(0,2)B ．[0,2)C ．(0,1]D ．[0,2]B [由题意知，x ≥0且2－x ＞0，解得0≤x ＜2， 故其定义域是[0,2)．] 2．函数f (x )＝1log 2x2－1的定义域为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) [要使函数f (x )有意义，则(log 2x )2－1＞0，即log 2x ＞1或log 2x ＜－1，解得x ＞2或0＜x ＜12，故所求函数的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)．][逆向问题] 若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________．－92 [∵函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}． ∴不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}． 可知a ＜0，不等式化为a (x －1)(x －2)≥0， 即ax 2－3ax ＋2a ≥0.∴⎩⎪⎨⎪⎧－3a ＝ab ，2a ＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3，a ＝－32.∴a ＋b ＝－92.]求函数定义域时，对函数解析式先不要化简，求出定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式．若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符合“∪”连接．(如T 2)．抽象函数的定义域 抽象函数的定义域的求法(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出．(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．已知函数f (x )的定义域是[0,4]，则f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域是________．[1,3] [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋1≤4，0≤x －1≤4，解得1≤x ≤3.故f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域为[1,3]．][逆向问题] 已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．[－1,2] [因为y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，所以x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1,2]，所以y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．]函数f (g (x ))的定义域指的是自变量x 的取值范围，而不是g (x )的取值范围．(如本例[逆向问题])1.函数f (x )＝3x 21－x ＋lg(3x ＋1)的定义域是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13A [由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，3x ＋1＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，x ＞－13，∴－13＜x ＜1，故选A.]2．函数f (x －1)的定义域为[0,2 020]，则函数g (x )＝f x ＋1x －1的定义域为________．[－2,1)∪(1,2 018] [∵函数f (x －1)的定义域为[0，2 020]，∴－1≤x －1≤2 019.∴要使函数g (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋1≤2 019，x －1≠0，解得－2≤x ≤2 018且x ≠1.∴函数g (x )的定义域为[－2,1)∪(1,2 018]．]3．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为________． [－2,2] [∵函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为R ， ∴a 2－4≤0，即－2≤a ≤2.]考点2 求函数的解析式求函数解析式的4种方法及适用条件(1)待定系数法先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数．(2)换元法对于形如y ＝f (g (x ))的函数解析式，令t ＝g (x )，从中求出x ＝φ(t )，然后代入表达式求出f (t )，再将t 换成x ，得到f (x )的解析式，要注意新元的取值范围．(3)配凑法由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式．(4)解方程组法已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．(1)[一题多解]已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，求f (x )；(2)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x，求f (x )． [解](1)法一：(待定系数法)因为f (x )是二次函数，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2＋b (2x＋1)＋c ＝4ax 2＋(4a ＋2b )x ＋a ＋b ＋c .因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )． 法二：(换元法)令2x ＋1＝t (t ∈R )，则x ＝t －12，所以f (t )＝4⎝⎛⎭⎪⎫t －122－6·t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R )， 所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )． 法三：(配凑法)因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )．(2)(解方程组法) 由f (－x )＋2f (x )＝2x， ① 得f (x )＋2f (－x )＝2－x， ②①×2－②，得3f (x )＝2x ＋1－2－x，即f (x )＝2x ＋1－2－x3. 故f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋1－2－x3(x ∈R )． 谨防求函数解析式的2种失误(1)在求函数解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域问题．求出解析式后要标注x 的取值范围．(2)利用换元法求解析式时要注意新元的取值范围．如已知f (x )＝x ＋1，求函数f (x )的解析式，可通过换元的方法得f (x )＝x 2＋1，函数f (x )的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．1.如果f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x ，则当x ≠0且x ≠1时，f (x )等于( )A.1xB.1x －1C.11－xD.1x－1B [(换元法求解)令1x ＝t ，得x ＝1t(t ≠0且t ≠1)，∴f (t )＝1t 1－1t＝1t －1(t ≠0且t ≠1)，∴f (x )＝1x －1(x ≠0且x ≠1)．] 2．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( )A ．(x ＋1)2B ．(x －1)2C ．x 2－x ＋1D ．x 2＋x ＋1C [(配凑法求解)f ⎝⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－x ＋1x ＋1，所以f (x )＝x 2－x ＋1.]3．已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝3x ，则f (x )＝________. 2x －1x(x ≠0) [(解方程组法求解)∵2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，①把①中的x 换成1x，得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x.②联立①②可得⎩⎪⎨⎪⎧2f x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f x ＝3x ，解此方程组可得f (x )＝2x －1x(x ≠0)．]4．已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的解析式． [解] (待定系数法求解)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ，又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R )．考点3 分段函数求函数值解决分段函数有关问题的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一段范围，就用哪一段的解析式来解决问题．(1)(2019·合肥模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －2，x ＞2，x 2＋2，x ≤2，则f (f (1))＝( )A ．－12B ．2C ．4D ．11(2)(2019·石家庄模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，a x＋b ，x ≤0(0＜a ＜1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3(1)C (2)B [(1)因为f (1)＝12＋2＝3，所以f (f (1))＝f (3)＝3＋13－2＝4.故选C.(2)由题意得，f (－2)＝a －2＋b ＝5，① f (－1)＝a －1＋b ＝3，②联立①②，结合0＜a ＜1，得a ＝12，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1，x ≤0，则f (－3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12-3＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2，故选B.] 求分段函数的函数值的策略(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值．(2)当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．[教师备选例题]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos πx ，x ≤0，f x －1＋1，x ＞0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43的值为( )A ．－1B ．1 C.32 D.52B [依题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋1＋1＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋2＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2＝1.故选B.]求参数或自变量的值解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可．(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－2，x ≤1，－log 2x ＋1，x ＞1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝________.(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋2，x ≤0，－x 2，x ＞0.若f (f (a ))＝2，则a ＝________.(1)－32 (2) 2 [(1)当a ≤1时，f (a )＝2a－2＝－3，无解；当a ＞1时，由f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3，得a ＋1＝8， 解得a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－1－2＝－32.(2)当a ＞0时，f (a )＝－a 2＜0，f (f (a ))＝a 4－2a 2＋2＝2，得a ＝2(a ＝0与a ＝－2舍去)．当a ≤0时，f (a )＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1＞0，f (f (a ))＝－(a 2＋2a ＋2)2＝2，此方程无解．故a ＝ 2.]求解本题的关键是就a 的取值讨论f (a )的情形，另本题也可作出f (x )的图象，数形结合求解，即f (a )＝0或f (a )＝－2，从而求得a 的值．分段函数与方程、不等式问题解由分段函数构成的不等式，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论．如果分段函数的图象比较容易画出，也可以画出函数图象后，结合图象求解．(2019·深圳模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥2，x 2－4x ＋3，x ＜2.则不等式f (x )＜0的解集是________．(1,4) [不等式f (x )＜0等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －4＜0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜2，x 2－4x ＋3＜0，即2≤x ＜4或1＜x ＜2，故不等式f (x )＜0的解集为(1,4)．]本例借助图象较直观地求解得出不等式的解集，另注意求解时要思考全面，需考虑变量可能落在同一区间，也可能落在不同区间的情况．[教师备选例题]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，x ≤0，2x ，x ＞0则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＞1的x 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ [根据分段函数的性质分情况讨论，当x ≤0时，则f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝x ＋1＋x －12＋1＞1，解得－14＜x ≤0.当x ＞0时，根据指数函数的图象和性质以及一次函数的性质与图象可得，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＞1恒成立，所以x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞.] 1.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，x ＞0，f x ＋1，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43的值等于( )A ．－2B ．4C ．2D ．－4B [由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝2×43＝83， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝2×23＝43， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝4.] 2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，x ≤0，|log 2x |，x ＞0，则使f (x )＝2的x 的集合是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫14，4 B ．{1,4} C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，14 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，14，4 A [由f (x )＝2得①⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝2，x ≤0或②⎩⎪⎨⎪⎧ |log 2x |＝2，x ＞0.由①知无解．由②得x ＝14或x ＝4.故选A.]3．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)D [当x ≤0时，函数f (x )＝2－x是减函数，则f (x )≥f (0)＝1.作出f (x )的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f (x ＋1)<f (2x )，则需⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≥0，2x <0，所以x <0，故选D.] 课外素养提升① 数学抽象——函数的新定义问题念，然后在快速理解的基础上，解决新问题．【典例】 (2019·深圳模拟)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f (x )的图象恰好经过n (n ∈N *)个整点，则称函数f (x )为n 阶整点函数．给出下列函数：①f (x )＝sin 2x ；②g (x )＝x 3； ③h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x；④φ(x )＝ln x . 其中是一阶整点函数的是( )A ．①②③④B ．①③④C ．①④D ．④ C [对于函数f (x )＝sin 2x ，它的图象(图略)只经过一个整点(0,0)，所以它是一阶整点函数，排除D ；对于函数g (x )＝x 3，它的图象(图略)经过整点(0,0)，(1,1)，…，所以它不是一阶整点函数，排除A ； 对于函数h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，它的图象(图略)经过整点(0,1)，(－1,3)，…，所以它不是一阶整点函数，排除B.故选C.][评析] 本题意在考查考生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养．破解新定义函数题的关键是：紧扣新定义的函数的含义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问题顺利获解．如本例，若能把新定义的一阶整点函数转化为函数f (x )的图象恰好经过1个整点，问题便迎刃而解．【素养提升练习】 1.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y＝x2＋1，值域为{1,3}的同族函数有( ) A．1个B．2个 C．3个D．4个C[由x2＋1＝1得x＝0，由x2＋1＝3得x＝±2，所以函数的定义域可以是{0，2}，{0，－2}，{0，2，－2}，故值域为{1,3}的同族函数共有3个．]2．若定义在R上的函数f(x)当且仅当存在有限个非零自变量x，使得f(－x)＝f(x)，则称f(x)为“类偶函数”，则下列函数中为类偶函数的是( )A．f(x)＝cos x B．f(x)＝sin xC．f(x)＝x2－2x D．f(x)＝x3－2xD[A中函数为偶函数，则在定义域内均满足f(x)＝f(－x)，不符合题意；B中，当x ＝kπ(k∈Z)时，满足f(x)＝f(－x)，不符合题意；C中，由f(x)＝f(－x)，得x2－2x＝x2＋2x，解得x＝0，不符合题意；D中，由f(x)＝f(－x)，得x3－2x＝－x3＋2x，解得x＝0或x ＝±2，满足题意，故选D.]。

《函数及其表示》达标检测[A 组]—应知应会1．（2019秋•拉萨期末）下列函数与函数y ＝x 相等的是（ ） A ．y =(√x)2B ．y =√x 2 C ．y =(√x 3)3D ．y =x 2x【分析】已知函数的定义域是R ，分别判断四个函数的定义域和对应关系是否和已知函数一致即可． 【解答】解：A ．函数的定义域为{x |x ≥0}，两个函数的定义域不同． B ．函数的定义域为R ，y ＝|x |，对应关系不一致．C ．函数的定义域为R ，两个函数的定义域和对应关系相同，是同一函数．D ．函数的定义域为{x |x ≠0}，两个函数的定义域不同． 故选：C ．2．（2019秋•河北区期末）集合M ＝{x |﹣2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形，其中能表示以M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】本题考查的是函数的概念和图象问题．在解答时首先要对函数的概念从两个方面进行理解：一是对于定义域内的任意一个自变量在值域当中都有唯一确定的元素与之对应，二是满足一对一、多对一的标准，绝不能出现一对多的现象．【解答】解：由题意可知：M ＝{x |﹣2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，对在集合M 中（0，2]内的元素没有像，所以不对；对不符合一对一或多对一的原则，故不对；对在值域当中有的元素没有原像，所以不对；而符合函数的定义．故选：B ．3．（2019秋•菏泽期末）函数f （x ）＝lg （x ﹣1）+√2−x 的定义域为（ ） A ．{x |1＜x ≤2}B ．{x |1＜x ＜2}C ．{x |1≤x ≤2}D ．{x |x ≤2}【分析】由对数式的真数大于0，根式内部的代数式大于等于0联立不等式组求解． 【解答】解：由{x −1＞02−x ≥0，解得1＜x ≤2．∴函数f （x ）＝lg （x ﹣1）+√2−x 的定义域为{x |1＜x ≤2}． 故选：A ．4．（2019秋•珠海期末）已知函数f （x ）满足f （x +1）的定义域是[0，31），则f （2x ）的定义域是（ ） A ．[1，32） B ．[﹣1，30） C ．[0，5）D ．（﹣∞，log 230）【分析】由f （x +1）的定义域求得f （x ）的定义域，再由2x 在f （x ）的定义域内求得x 的取值范围得答案．【解答】解：∵f （x +1）的定义域是[0，31），即0≤x ＜31，∴1≤x +1＜32， ∴f （x ）有意义须1≤x ＜32，∴f （2x ）有意义须20＝1≤2x ＜32＝25，得0≤x ＜5． 即f （2x ）的定义域是[0，5）． 故选：C ．5．（2019秋•上饶期末）已知f(√x)=x 2−2x ，则函数f （x ）的解析式为（ ）A ．f （x ）＝x 4﹣2x 2（x ≥0）B ．f （x ）＝x 4﹣2x 2C ．f(x)=x −2√x(x ≥0)D ．f(x)=x −2√x【分析】根据f （√x ）解析式可得出f(√x)=(√x)4−2(√x)2，然后把√x 换上x 即可得出f （x ）的解析式． 【解答】解：f(√x)=x 2−2x =(√x)4−2(√x)2， ∴f （x ）＝x 4﹣2x 2（x ≥0）． 故选：A ．6．（2020•广东学业考试）已知函数f （x ）={1−x ，x ≤0a x，x ＞0，若f （1）＝f （﹣1），则实数a 的值等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】由分段函数f （x ），我们易求出f （1），f （﹣1）的值，进而将式子f （1）＝f （﹣1）转化为一个关于a 的方程，结合指数的函数的值域，及分段函数的解析式，解方程即可得到实数a 的值． 【解答】解：∵函数f(x)={1−x ，x ≤0a x ，x ＞0，∴f （﹣1）＝2，f （1）＝a ， 若f （1）＝f （﹣1）， ∴a ＝2， 故选：B ．7．（多选）（2019秋•淮安期末）下列函数中定义域是R 的有（ ） A ．y ＝2xB ．y ＝lgxC ．y ＝x 3D ．y ＝tan x【分析】根据常见的基本初等函数的定义域，判断是否满足题意即可． 【解答】解：对于A ，函数y ＝2x ，定义域为R ，满足题意； 对于B ，函数y ＝lgx ，定义域为（0，+∞），不满足题意； 对于C ，函数y ＝x 3，定义域为R ，满足题意；对于D ，函数y ＝tan x ，定义域为（−π2+k π，π2+k π），k ∈Z ，不满足题意．故选：AC ．8．（2020春•温江区期末）函数y =√x 2−4x −5的定义域是 ．【分析】可看出，要使得原函数有意义，则需满足x 2﹣4x ﹣5≥0，解出x 的范围即可． 【解答】解：要使原函数有意义，则x 2﹣4x ﹣5≥0，解得x ≤﹣1或x ≥5， ∴原函数的定义域为{x |x ≤﹣1，或x ≥5}．故答案为：{x |x ≤﹣1或x ≥5}．9．（2019秋•杨浦区校级期末）设函数f （x ）=√x +1+√x ，g （x ）=√x +1−√x ，则函数f （x ）•g （x ）的定义域为 ．【分析】由根式内部的代数式大于等于0分别求解f （x ）与g （x ）的定义域，取交集可得函数f （x ）•g （x ）的定义域．【解答】解：由{x +1≥0x ≥0，解得x ≥0，∴函数f （x ）的定义域为[0，+∞）； 同理求得函数g （x ）的定义域为[0，+∞）． 则函数f （x ）•g （x ）的定义域为[0，+∞）． 故答案为：[0，+∞）．10．（2020春•新华区校级月考）若函数f （x ）满足f （3x +2）＝9x +8，则f （x ）＝ ． 【分析】利用配凑法或换元法求函数的解析式． 【解答】解：因为f （3x +2）＝9x +8＝3（3x +2）+2， 所以f （x ）＝3x +2．方法2：设t ＝3x +2，则x =t−23，所以f （t ）＝9×t−23+8＝3t +2． 所以f （x ）＝3x +2． 故答案为：3x +2．11．（2019秋•海安市校级月考）已知等腰三角形的周长为a ，一腰长为x ，则函数y ＝f （x ）的定义域为 ． 【分析】根据周长求出第三边，结合两边之和大于第三边建立不等式关系进行求解即可解． 【解答】解：三角形的第三边长度为a ﹣2x ，则a ﹣2x ＞0，得0＜x ＜a 2， 又x +x ＞a ﹣2x ，得x ＞a4， 综上a4＜x ＜a2，即f （x ）的的定义域为（a 4，a2），故答案为：（a 4，a2）12．（2019秋•浦东新区校级期中）若函数f(x)=√mx 2+2(m +1)x +9m +4的定义域为R ，则实数m 的取值范围是 ．【分析】根据函数f （x ）的定义域为R 知mx 2+2（m +1）x +9m +4≥0恒成立，讨论m ＝0和m ≠0时，利用判别式求出m 的取值范围．【解答】解：函数f(x)=√mx 2+2(m +1)x +9m +4的定义域为R ， 则mx 2+2（m +1）x +9m +4≥0恒成立，m ＝0时，不等式为2x +4≥0，解得x ≥﹣2，不满足题意； m ≠0时，有{m ＞0△≤0，即{m ＞04(m +1)2−4m(9m +4)≤0，解得{m ＞0m ≤−12或m ≥14，即m ≥14；所以实数m 的取值范围是[14，+∞）．故答案为：[14，+∞）．13．（2019•禅城区校级学业考试）设函数f （x ）={−x ，x ≤0x 2，x ＞0，若f （α）＝9，则α＝ ．【分析】根据分段函数的解析式，结合f （α）＝9，即可求得α的值． 【解答】解：由题意可得{α≤0−α=9或{α＞0α2=9∴α＝﹣9或α＝3 故答案为：﹣9或314．（2019•怀化三模）f(x)={2e x−1，x ＜2log 3(x 2−1)，x ≥2.则f （f （2））的值为 ．【分析】本题是一个分段函数，且是一个复合函数求值型的，故求解本题应先求内层的f （2），再以之作为外层的函数值求复合函数的函数值，求解过程中应注意自变量的范围选择相应的解析式求值． 【解答】解：由题意，自变量为2， 故内层函数f （2）＝log 3（22﹣1）＝1＜2， 故有f （1）＝2×e 1﹣1＝2，即f （f （2））＝f （1）＝2×e 1﹣1＝2，故答案为 215．（2020•江西模拟）若函数f(x)={x 2，x ≥1a(x +1)，x ＜1的值域为R ，则a 的取值范围是 ．【分析】先求得第一段的值域，再分别讨论a 的取值，结合值域为R ，即可求得结论． 【解答】解：当x ≥1时，f （x ）＝x 2≥1，若a ＝0，x ＜1时，f （x ）＝0，f （x ）的值域不是R ； 若a ＜0，x ＜1时，f （x ）＞2a ，f （x ）的值域不是R ， 若a ＞0，x ＜1时，f （x ）＜2a ， 所以当2a ≥1时，f （x ）的值域为R ， 所以a 的取值范围是[12，+∞)． 故答案为：[12，+∞）．16．（2020春•诸暨市校级期中）设函数f （x ）={2x +a ，x ＞2ax +1，x ≤2，若a ＝1，则f （f （2））＝ ；若f （x ）的值域为R ，则实数a 的取值范围是 ． 【分析】结合分段函数解析式即可直接求解f （f （2）），分别结合指数函数与一次函数的性质分别求出每段函数的值域，然后结合函数值域的性质可求． 【解答】解：若a ＝1，则f （f （2））＝f （3）＝23+1＝9， 当x ＞2时，f （x ）＝2x +a ＞4+a ，当x ≤2时，由函数的值域为R 可知，a ＞0，此时f （x ）≤2a +1， 结合分段函数的性质可知，2a +1≥a +4即a ≥3． 故答案为：9，[3，+∞）17．（2020•黄浦区二模）已知函数f （x ）＝a x +b （a ＞0，a ≠1）的定义域和值域都是[﹣2，0]，则f （﹣1）＝ ．【分析】由题分别讨论0＜a ＜1，a ＞1两种情况，得出关系式，解方程组即可得出a ，再代入f （﹣1）即可．【解答】解：当0＜a ＜1时，由题得{a −2+b =0a 0+b =−2，解得a =√33，b ＝﹣3，则f （﹣1）=√3−3；当a ＞1时，由题意得{a −2+b =−2a 0+b =0，无解；故答案为：√3−318．（2019秋•武汉期末）（1）已知f(x)=xx+1，求f(2x)+f(12x )； （2）已知f(x)+2f(1x )=3x −2，求f （x ）的解析式． 【分析】（1）直接将2x 和12x 分别代入原函数，进行运算，即可求出对应函数的解析式；（2）用构造方程组的思维来求函数的解析式，将1x代入，构造出一个等式，将新等式与原等式可以看作一个关于f （x ）和f(1x )的方程组，然后消去f(1x )，即可得到f （x ）的解析式．【解答】解：（1）f(2x)+f(12x )=2x 2x+1+12x 12x +1=2x 2x+1+12x+1=2x+12x+1=1，x ∈(−∞，−12)∪(−12，+∞)．（2）{f(x)+2f(1x )=3x −2(1)f(1x)+2f(x)=3x−2(2)，（1）﹣2×（2）得−3f(x)=3x −2−6x +4=3x −6x +2，所以f(x)=2x −x −23，x ∈(−∞，0)∪(0，+∞)． 19．（2019秋•柳南区校级期末）已知函数f(x)=√(1−a 2)x 2−(1−a)x +2． （1）若f （x ）的定义域为[−23，1]，求实数a 的值； （2）若f （x ）的定义域为R ，求实数a 的取值范围．【分析】（1）由题意知（1﹣a 2）x 2﹣（1﹣a ）x +2≥0的解集为[−23，1]，然后结合二次不等式与二次方程的根的关系即可求解．（2）由题意可知（1﹣a 2）x 2﹣（1﹣a ）x +2≥0恒成立，然后对1﹣a 2进行分类讨论即可求解． 【解答】解：（1）f （x ）的定义域为[−23，1]，即（1﹣a 2）x 2﹣（1﹣a ）x +2≥0的解集为[−23，1]，故{1−a 2＜0(1−a 2)⋅29−(1−a)(−23)+2=0(1−a 2)−(1−a)+2=0，解得a ＝2；（2）f （x ）的定义域为R ，即（1﹣a 2）x 2﹣（1﹣a ）x +2≥0恒成立， 当1﹣a 2＝0时，a ＝±1，经检验a ＝1满足条件；当1﹣a 2≠0时，{1−a 2＞0(1−a)2−8(1−a 2)≤0解得a ∈[−79，1)， 综上，a ∈[−79，1]．20．（2020•辽宁模拟）已知函数f （x ）＝ln （|x ﹣1|﹣|x +2|﹣m ）． （1）当m ＝2时，求函数y ＝f （x ）的定义域；（2）已知函数f （x ）的定义域为R ，求实数m 的取值范围．【分析】（1）根据真数大于零，分类讨论去绝对值，解含绝对值的不等式即可；（2）函数f （x ）的定义域为R ，转化为m ＜|x +2|﹣|x ﹣1|在x ∈（﹣∞，+∞）上恒成立；只要m ＜[|x +2|﹣|x ﹣1|]min 即可．【解答】解：（1）当m ＝2时，解|x ﹣1|﹣|x +2|＞2，当x ＜﹣2时，得1﹣x ﹣（﹣x ﹣2）＞2，即3＞2恒成立；∴x ＜﹣2； 当﹣2≤x ＜1时，得1﹣x ﹣（x +2）＞2，即x ＜−32；∴﹣2≤x ＜−32； 当x ≥1时，得x ﹣1﹣（x +2）＞2，即﹣3＞2不成立； 综上可得，x ＜−32； ∴定义域为{x |x ＜−32}．（2）由已知|x ﹣1|﹣|x +2|﹣m ＞0，即m ＜|x +2|﹣|x ﹣1|在x ∈（﹣∞，+∞）上恒成立；又因为|x +2|﹣|x ﹣1|＝﹣（|x ﹣1|﹣|x +2|）≥﹣|（x ﹣1）﹣（x +2）|＝﹣3； ∴m ＜﹣3．[B 组]—强基必备1．（2019春•镇海区校级期末）若函数f(x)=1x 2log 24(a+1)a +2xlog 22aa+1+log 2(a+1)24a 2的定义域为R ，则实数a的取值范围为（ ） A ．(0，1)∪(−3231，−1) B ．（0，1）C ．(−3231，−1) D ．（﹣1，0）【分析】由题意可得{a(a +1)＞0①(2log 22a a+1)2−4log 24(a+1)a⋅log 2(a+1)24a2＜0②，再由对数式的运算性质变形，然后求解对数不等式得答案． 【解答】解：由题意，{a(a +1)＞0①(2log 22a a+1)2−4log 24(a+1)a ⋅log 2(a+1)24a2＜0②， 解①得：a ＜﹣1或a ＞0；由②得：(1+log 2a a+1)2−2(2+log 2a+1a )(log 2a+1a −1)＜0，令log 2a+1a=t ， 则（1﹣t ）2﹣2（2+t ）（t ﹣1）＜0， 得t 2+4t ﹣5＞0，解得t ＜﹣5或t ＞1， 则log 2a+1a ＜−5或log 2a+1a＞1， 则0＜a+1a ＜132或a+1a＞2．即−3231＜a ＜0或0＜a ＜1．综上，实数a 的取值范围为(0，1)∪(−3231，−1)． 故选：A ．2．（2019•西湖区校级模拟）已知函数f （x ）＝x 2﹣2|x |+2的定义域为[a ，b ]（a ＜b ），值域为[2a ，2b ]，则a +b 的值为 ．【分析】由函数f （x ）＝x 2﹣2|x |+2的值域为[1，+∞）可得a ≥12，此时函数f （x ）＝x 2﹣2|x |+2＝x 2﹣2x +2＝（x ﹣1）2+1≥1，结合函数f （x ）＝x 2﹣2|x |+2的定义域是[a ，b ]（a ＜b ），值域是[2a ，2b ]及二次函数的图象和性质，分类讨论，可得答案．【解答】解：∵f （x ）＝x 2﹣2|x |+2＝（|x |﹣1）2+1≥1， 故2a ≥1，即a ≥12，此时函数f （x ）＝x 2﹣2|x |+2＝x 2﹣2x +2＝（x ﹣1）2+1≥1，若函数f （x ）＝x 2﹣2|x |+2的定义域是[a ，b ]（a ＜b ），值域是[2a ，2b ]，则 ①当12≤a ＜b ＜1时，∴f （a ）＝2b ，f （b ）＝2a ， 即a 2﹣2a +2＝2b ，b 2﹣2b +2＝2a ，两式相减得：（a ﹣b ）（a +b ）﹣2（a ﹣b ）＝2（b ﹣a ）， 即（a ﹣b ）（a +b ）＝0，∵a ＜b ，a ﹣b ≠0，而b ＞a ≥12，a +b ＞0， ∴不存在满足条件的实数a ，b ； ②当12≤a ＜1＜b 时，函数最小值即为顶点纵坐标，∴2a ＝1，a =12，若 b ﹣1＜1﹣a ，则f （a ）＝2b ，2b =54，b =58（舍去）；若 b ﹣1＞1﹣a ，则f （b ）＝2b ，b 2﹣4b +2＝0，解得b ＝2−√2（舍去）或b ＝2+√2； ③当1＜a ＜b 时， f （b ）＝2b 且f （a ）＝2a ， 即b 2﹣2b +2＝2b ，a 2﹣2a +2＝2a ， 则a ，b 必然有一根小于1，矛盾， ∴不存在满足条件的实数a ，b ， 综上所述a =12，b ＝2+√2， 则a +b =12+2+√2=52+√2． 故答案为：52+√2．3．（2019春•楚雄州期中）设[x ]表示不大于x 的最大整数，如[1.2]＝1，[−√2]＝﹣2，已知函数f （x ）=[x]lnx+ln(4−x)．（1）求函数f （x ）的定义域； （2）求函数f （x ）的值域．【分析】（1）根据使解析式有意义的原则，可得{x ＞04−x ＞0lnx +ln(4−x)≠0，解得函数f （x ）的定义域；（2）分x ∈（0，2−√3）∪（2−√3，1）时，当x ∈[1，2）时，当x ∈[2，3）时，当x ∈[3，2+√3）∪（2+√3，4）时几中情况结合对数函数的图象和性质，可得函数f （x ）的值域． 【解答】解：（1）若使函数f （x ）=[x]lnx+ln(4−x)的解析式有意义，则{x ＞04−x ＞0lnx +ln(4−x)≠0，解得：x ∈（0，2−√3）∪（2−√3，2+√3）∪（2+√3，4）即函数f （x ）的定义域为（0，2−√3）∪（2−√3，2+√3）∪（2+√3，4） （2）当x ∈（0，2−√3）∪（2−√3，1）时，f （x ）=0lnx+ln(4−x)=0恒成立； 当x ∈[1，2）时，lnx +ln （4﹣x ）∈[ln 3，ln 4），f （x ）=1lnx+ln(4−x)∈（1ln4，1ln3]；当x∈[2，3）时，lnx+ln（4﹣x）∈（ln3，ln4]，f（x）=2lnx+ln(4−x)∈[1ln2，ln√3）；当x∈[3，2+√3）∪（2+√3，4）时，lnx+ln（4﹣x）∈（﹣∞，0）∪（0，ln3]，f（x）=3lnx+ln(4−x)∈（﹣∞，0）∪[3ln3，+∞）；综上可得：函数f（x）的值域为（﹣∞，0]∪（1ln4，1ln3]∪[1ln2，ln√3）∪[3ln3，+∞）；11/ 11。

专题二 函数概念与基本初等函数【真题探秘】2.1 函数的概念及表示探考情 悟真题 【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.函数的有关概念及表示①了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域②在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数 2019江苏,4,5分求函数的定义域 一元二次不等式的解法★☆☆2018江苏,5,5分 求函数的定义域 对数函数的性质2.分段函数了解简单的分段函数,并能简单应用 2016北京,14分段函数的应用函数的最值★★★2013北京文,13求分段函数的值域 对数函数、指数函数分析解读 1.理解函数的概念,应把重点放在构成它的三要素上,并会根据定义判断两个函数是不是同一个函数.2.掌握函数的三种表示方法,即图象法、列表法、解析法.3.掌握分段函数及其应用.在解决分段函数问题时,要注意分段函数是一个函数,而不是几个函数,并会求其值域.4.分段函数图象的作法是高考的热点.破考点 练考向 【考点集训】考点一 函数的有关概念及表示1.下列函数为同一函数的是( )A.y=x 2-2x 和y=t 2-2tB.y=x 0和y=1C.y=√(x +1)2和y=x+1D.y=lg x 2和y=2lg x 答案 A2.下列图象可以表示以M={x|0≤x ≤1}为定义域,N={y|0≤y ≤1}为值域的函数的是( )答案 C3.函数f(x)=√xx -1的定义域为 .答案 {x|x ≥0且x ≠1}4.(2019北京民大附中高一期中,11)函数f(x)=√x+2x的定义域为 .答案 {x|x ≤-2或x>0}考点二 分段函数5.(2019北京丰台一模文,7)设函数f(x)={(12)x-1,x <0,x 12,x ≥0.则使得f(x)≥1的自变量x 的取值范围为( )A.[-1,1]B.[-1,0)∪[1,+∞)C.(-∞,-1]∪(0,1]D.(-∞,-1]∪[1,+∞) 答案 D6.(2019 5·3原创冲刺卷四,13)已知函数f(x)={lg|x -1|,x >0,f(-x),x <0,则f (-910)= .答案 -1炼技法 提能力 【方法集训】方法1 求函数定义域的方法1.已知函数y=f(x)的定义域为(-1,0),则函数y=f(2x+1)的定义域为( ) A.(-1,1) B.(-1,-12) C.(-1,0) D.(12,1) 答案 B2.已知函数f(2-x)=√4-x 2,则函数 f(√x )的定义域为( )A.[0,+∞)B.[0,16]C.[0,4]D.[0,2] 答案 B3.(2019北京怀柔一模文,9)函数y=ln(x-1)的定义域是 . 答案 (1,+∞)方法2 确定函数解析式的方法4.(2019北京十五中高一月考,6)设函数f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则g(x)=( ) A.2x+1 B.2x-1 C.2x-3 D.2x+7 答案 B5.甲、乙两地相距500 km,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度v 不能超过120 km/h.已知汽车每小时的运输成本为(9250v 2+360)元,则全程运输成本y 与速度v 的函数关系是y= ,当汽车的行驶速度为 km/h 时,全程运输成本最小. 答案 18v+180 000v(0<v ≤120);100方法3 分段函数问题的解题策略6.(2019北京房山一模文,12)已知函数f(x)={3x ,x ≤0,-x +3,x >0,则f(-1)= ;满足f(x)>1的x的取值范围是 . 答案 13;(0,2)7.(2019北京四中期中,13)已知函数f(x)={x +2x -3,x ≥1,lg(x 2+1),x <1,则f(f(-3))= , f(x)的最小值是 . 答案 0;2√2-3【五年高考】A 组 自主命题·北京卷题组1.(2013北京文,13,5分)函数f(x)={log 12x, x ≥1,2x, x <1的值域为 .答案 (-∞,2)2.(2016北京,14,5分)设函数f(x)={x 3-3x,x ≤a,-2x,x >a.①若a=0,则f(x)的最大值为 ;②若f(x)无最大值,则实数a 的取值范围是 . 答案 ①2 ②(-∞,-1)B 组 统一命题、省(区、市)卷题组考点一 函数的有关概念及表示1.(2018江苏,5,5分)函数f(x)=√log 2x -1的定义域为 . 答案 [2,+∞)2.(2019江苏,4,5分)函数y=√7+6x -x 2的定义域是 . 答案 [-1,7]考点二 分段函数1.(2015课标Ⅱ,5,5分)设函数f(x)={1+log 2(2-x), x <1,2x -1, x ≥1,则f(-2)+f(log 212)=( )A.3B.6C.9D.12 答案 C2.(2017课标Ⅲ,15,5分)设函数f(x)={x +1,x ≤0,2x ,x >0,则满足f(x)+f (x -12)>1的x 的取值范围是 . 答案 (-14,+∞)3.(2018浙江,15,6分)已知λ∈R,函数f(x)={x -4, x ≥λ,x 2-4x +3, x <λ.当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是 .若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是 . 答案 (1,4);(1,3]∪(4,+∞)C 组 教师专用题组考点一 函数的有关概念及表示1.(2014江西,3,5分)已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax 2-x(a ∈R).若f[g(1)]=1,则a=( ) A.1 B.2 C.3 D.-1答案 A2.(2013陕西,1,5分)设全集为R,函数f(x)=√1-x 2的定义域为M,则∁R M 为( ) A.[-1,1] B.(-1,1)C.(-∞,-1]∪[1,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 答案 D3.(2017山东,9,5分)设f(x)={√x,0<x <1,2(x -1),x ≥1.若f(a)=f(a+1),则f (1a )=( )A.2B.4C.6D.8 答案 C4.(2015浙江,7,5分)存在函数f(x)满足:对于任意x ∈R 都有( ) A. f(sin 2x)=sin x B. f(sin 2x)=x 2+xC. f(x 2+1)=|x+1|D. f(x 2+2x)=|x+1|答案 D5.(2011北京,8,5分)设A(0,0),B(4,0),C(t+4,4),D(t,4)(t ∈R).记N(t)为平行四边形ABCD 内部(不含边界)的整点的个数,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则函数N(t)的值域为( ) A.{9,10,11} B.{9,10,12} C.{9,11,12} D.{10,11,12} 答案 C考点二 分段函数1.(2015陕西,4,5分)设f(x)={1-√x,x ≥0,2x , x <0,则f(f(-2))=( )A.-1B.14C.12D.32答案 C2.(2015湖北,7,5分)设x ∈R,定义符号函数sgn x={1,x >0,0,x =0,-1,x <0.则( )A.|x|=x|sgn x|B.|x|=xsgn|x|C.|x|=|x|sgn xD.|x|=xsgn x 答案 D3.(2015山东,10,5分)设函数f(x)={3x -1,x <1,2x ,x ≥1.则满足f(f(a))=2f(a)的a 的取值范围是( )A.[23,1] B.[0,1]C.[23,+∞) D.[1,+∞) 答案 C4.(2014上海,18,5分)设f(x)={(x -a)2,x ≤0,x +1x+a,x >0.若f(0)是 f(x)的最小值,则a 的取值范围为( ) A.[-1,2] B.[-1,0] C.[1,2] D.[0,2]答案 D5.(2014福建,7,5分)已知函数f(x)={x 2+1,x >0,cosx,x ≤0,则下列结论正确的是( )A. f(x)是偶函数B. f(x)是增函数C. f(x)是周期函数D. f(x)的值域为[-1,+∞) 答案 D6.(2011北京,6,5分)根据统计,一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)=√x <A,√A≥A (A,c 为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A 件产品用时15分钟,那么c 和A 的值分别是( )A.75,25B.75,16C.60,25D.60,16 答案 D7.(2018江苏,9,5分)函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x ∈R),且在区间(-2,2]上, f(x)={cos πx2,0<x ≤2,|x +12|,-2<x ≤0,则f(f(15))的值为 . 答案√228.(2014四川,12,5分)设f(x)是定义在R 上的周期为2的函数,当x ∈[-1,1)时,f(x)={-4x 2+2,-1≤x <0,x,0≤x <1,则f (32)= .答案 19.(2014课标Ⅰ,15,5分)设函数f(x)={e x -1,x <1,x 13,x ≥1,则使得f(x)≤2成立的x 的取值范围是 . 答案 (-∞,8]10.(2014浙江,15,4分)设函数f(x)={x 2+x,x <0,-x 2,x ≥0.若f(f(a))≤2,则实数a 的取值范围是 .答案 (-∞,√2]【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共15分)1.(2019中央民大附中月考,6)已知函数f(x)={2x ,x ≥4,f(x +1),x <4,则f(2+log 23)的值为( )A.24B.16C.12D.11 答案 A2.(2020届北京人大附中统练二,2)若f(ln x)=3x+4,则f(x)的表达式为( ) A.3ln x B.3ln x+4C.3e xD.3e x +4答案 D3.(2019首师大附中高考预测二,4)已知函数f(x)=2x 2-a, f(√3)=14,则f(-√2)=( )A.1B.-18 C.12 D.18 答案 D二、填空题(每小题5分,共35分)4.(2020届北京人大附中统练五,9)函数f(x)=1log 2(-x 2+4x -3)的定义域为 .答案 (1,2)∪(2,3)5.(2020届北京八中10月月考,11)已知函数f(x)={2x (x ≥0),log 2(-x)(x <0).若f(x 0)=2,则x 0= .答案 1或-46.(2020届北京一七一中学第一次月考,11)已知函数f(x)={2x ,x <4,f(x -1),x ≥4,那么f(5)的值为 . 答案 87.(2019北京西城期末文,13)设函数f(x)={e x ,x ≤0,-x 2+x +14,x >0,则f(f(0))= ;若方程f(x)=b有且仅有3个不同的实数根,则实数b 的取值范围是 . 答案 14;(14,12)8.(2019北京四中期中,14)对于函数f(x),若存在一个区间A=[a,b],使得{y|y=f(x),x ∈A}=A,则称A 为f(x)的一个“稳定区间”,函数f(x)为“局部稳定函数”,给出下列四个函数:①f(x)=tan π4x;②f(x)=1-x 2;③f(x)=e x -1;④f(x)=ln(x-1),所有“局部稳定函数”的序号是 .答案 ①②9.(2019北京海淀二模,14)已知集合A 0={x|0<x<1}.给定一个函数y=f(x),定义集合A n ={y|y=f(x),x ∈A n-1},若A n ∩A n-1=⌀对任意的n ∈N *成立,则称函数y=f(x)具有性质“φ”. (1)具有性质“φ”的一个一次函数的解析式可以是 ; (2)给出下列函数:①y=1x ;②y=x 2+1;③y=cos πx 2+2,其中具有性质“φ”的函数的序号是 .(写出所有正确答案的序号) 答案 (1)f(x)=x+1 (2)①②10.(2019北京通州一模,14)在平面直角坐标系xOy 中,对于点A(a,b),若函数y=f(x)满足:∀x ∈[a-1,a+1],都有y ∈[b-1,b+1],则称这个函数是点A 的“限定函数”.以下函数:①y=12x,②y=2x 2+1,③y=sin x,④y=ln(x+2),其中是原点O 的“限定函数”的序号是 .已知点A(a,b)在函数y=2x 的图象上,若函数y=2x 是点A 的“限定函数”,则a 的取值范围是 . 答案 ①③;(-∞,0]三、解答题(共10分)11.(2020届首师大附中开学练习,16)有两个投资项目A 、B,根据市场调查与预测,项目A 的利润与投资成正比,其关系如图甲;项目B 的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图乙.(注:利润与投资单位:万元)(1)分别将A 、B 两个投资项目的利润表示为投资x(万元)的函数关系式;(2)现将x(0≤x ≤10)(万元)投资项目A,10-x(万元)投资项目B,h(x)表示投资项目A 所得利润与投资项目B 所得利润之和,求h(x)的最大值,及相应的x 值.图甲图乙解析 本题考查函数的表示方法、函数的最大值,考查学生分析处理问题的能力,运用数形结合的思想方法解决问题的能力,体现数学建模、数学运算的核心素养. (1)设A 、B 项目利润关于投资x(万元)的函数关系式分别为f(x)=k 1x,g(x)=k 2√x ,由f(1)=k 1=0.25,得f(x)=0.25x(x ≥0),由g(9)=k 2√9=3.75,得k 2=54,从而有g(x)=54√x (x ≥0).(2)由(1)得h(x)=0.25x+54√10-x (0≤x ≤10),设t=√10-x (0≤t ≤√10),则x=10-t 2,所以h(t)=14(10-t 2)+54t=-14t 2+54t+104=-14(t -52)2+6516,从而可知当t=52,即x=154时,h(x)取得最大值6516.思路分析 (1)分别设出A 、B 项目利润关于投资x(万元)的函数关系式,然后根据图象求出待定系数,从而得函数关系式.(2)由(1)得出h(x)的函数关系式,用换元法与配方法求出h(x)的最大值及x的值.。

第5讲函数及其表示思维导图知识梳理1．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．2．函数的三种表示法3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．核心素养分析本单元的学习，可以帮助学生建立完整的函数概念，不仅把函数理解为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具，也把函数理解为实数集合之间的对应关系。

重点提升数学抽象、逻辑推理、数学运算素养。

题型归纳题型1 函数的定义域【例1-1】（2020•东城区一模）函数f(x)=√x−2的定义域为（）x2+1A．（﹣1，2]B．[2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）【例1-2】（2020春•邯山区校级月考）函数y＝f（x）的定义域为[﹣1，2]，则函数y＝f（1+x）+f（1﹣x）的定义域为（）A．[﹣1，3]B．[0，2]C．[﹣1，1]D．[﹣2，2]【例1-3】（2019秋•武邑县校级期中）若函数f(x)=xR，则实数m取值范围√mx−mx+2是．【跟踪训练1-1】（2020•北京）函数f（x）=1+lnx的定义域是．x+1【跟踪训练1-2】（2019秋•椒江区校级月考）已知f(x)=x+1的定义域为R，则实数m√−mx+6mx+m+10的取值范围是．【名师指导】1.常见函数的定义域2.求抽象函数定义域的方法题型2 求函数的解析式【例2-1】（2020春•郑州期中）已知函数f （x ）的定义域为（0，+∞），且f(x)=2f(1x)⋅√x −1，则f （x ）＝（ ） A ．13√x +23(x ＞0) B ．23√x +13(x ＞0) C ．√x +1(x ＞0) D ．√x −1(x ＞0)【跟踪训练2-1】（2020春•莲湖区校级期中）已知y ＝f （x ）是一次函数，且有f [f （x ）]＝16x ﹣15，则f （x ）的解析式为 ． 【名师指导】求函数解析式的方法(1)待定系数法先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数．(2)换元法对于形如y ＝f (g (x ))的函数解析式，令t ＝g (x )，从中求出x ＝φ(t )，然后代入表达式求出f (t )，再将t 换成x ，得到f (x )的解析式，要注意新元的取值范围．(3)配凑法由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式． (4)解方程组法已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．题型3 分段函数【例3-1】（2020•汉中二模）设f （x ）={x −2，x ≥10f[f(x +6)]，x ＜10，则f （5）的值为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13【例3-2】（2019秋•连云港期末）已知函数f(x)={lgx(x ＞0)2x (x ≤0)，若f(m)=12，则m ＝ ． 【跟踪训练3-1】（2020•宝鸡二模）若f （x ）={sin πx6(x ≤0)1−2x(x ＞0)，则f [f （3）]＝ ．【跟踪训练3-2】（2020春•和平区期末）设函数f （x ）={x 2+2(x ≤2)2x(x ＞2)，若f （x 0）＝8，则x 0＝ ．【名师指导】1.求分段函数的函数值的步骤(1)先确定要求值的自变量属于哪一个区间．(2)然后代入相应的函数解析式求值，直到求出具体值为止． 2.求参数或自变量的值(范围)的解题思路(1)解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可．(2)如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解．。

2021年高考数学总复习 第2章 第1节 函数及其表示课时跟踪检测 理（含解析）新人教版1．已知a ，b 为实数，集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫b a ，1，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1解析：选C a ＝1，b ＝0，∴a ＋b ＝1.2．(xx·大纲全国高考)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )A ．(－1,1)B ．⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12C ．(－1,0)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1解析：选B 由题意知－1<2x ＋1<0，则－1<x <－12.故选B.3．函数f (x )＝1xln(x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4)的定义域为( )A ．(－∞，－4]∪(2，＋∞)B ．(－4,0)∪(0,1)C ．[－4,0)∪(0,1]D ．[－4,0)∪(0,1)解析：选D 要使函数f (x )有意义，必须且只需⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，x 2－3x ＋2≥0，－x 2－3x ＋4≥0，x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4>0，解得－4≤x <0或0<x <1.故选D. 4．(xx·黄山模拟)若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34 解析：选D 要使函数的定义域为R ，则mx 2＋4mx ＋3≠0恒成立． (1)当m ＝0时，得到不等式3≠0，恒成立； (2)当m ≠0时，要使不等式恒成立，须⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4m 2－4×m ×3<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m 4m －3<0，或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m <0，m4m －3<0.解得0<m <34.综上得m 的范围为0≤m <34.故选D.5．如果f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x，则当x ≠0且x ≠1时，f (x )＝( )A ．1xB ．1x －1C ．11－xD ．1x－1解析：选B 令1x ＝t ，t ≠0且t ≠1，则x ＝1t，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x，∴f (t )＝1t 1－1t，化简得f (t )＝1t －1，即f (x )＝1x －1(x ≠0且x ≠1)．6．(xx·杭州质检)下列各对函数中，是同一个函数的是( ) A ．f (x )＝x 2，g (x )＝3x 3B ．f (x )＝|x |x ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0C ．f (x )＝2n ＋1x 2n ＋1，g (x )＝(2n －1x )2n －1，n ∈N *D ．f (x )＝x ·x ＋1，g (x )＝x x ＋1解析：选C 对于选项A ，由于f (x )＝x 2＝|x |，g (x )＝3x 3＝x ，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一个函数；对于选项B ，由于函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而g (x )的定义域为R ，所以它们不是同一个函数；对于选项C ，由于当n∈N *时，2n ±1为奇数，所以f (x )＝2n ＋1x 2n ＋1＝x ，g (x )＝(2n －1x )2n －1＝x ，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一个函数；对于选项D ，由于函数f (x )＝x ·x ＋1的定义域为[0，＋∞)，而g (x )＝x x ＋1的定义域为(－∞，－1]∪[0，＋∞)，它们的定义域不同，所以它们不是同一个函数．7．(xx·汕头模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ≥10，f f x ＋6，x <10，则f (5)的值为( )A ．10B ．11C ．12D ．13解析：选B f (5)＝f (f (11))＝f (9)＝f (f (15))＝f (13)＝13－2＝11，故选B. 8．(xx·温州模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝( )A ．－3B ．±3C ．－1D ．±1解析：选D 依题意得，f (a )＝2－f (－1)＝2－－－1＝1.当a ≥0时，有a ＝1，则a ＝1；当a <0时，有－a ＝1，a ＝－1综上所述，a ＝±1，选D.9．(xx·昆明模拟)已知f (1－cos x )＝sin 2x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________.解析：34 f (1－cos x )＝sin 2 x ＝1－cos 2x ，令1－cos x ＝t ，则cos x ＝1－t .∵－1≤cos x ≤1，∴0≤1－cos x ≤2.∴0≤t ≤2. ∴f (t )＝1－(1－t )2＝－t 2＋2t (0≤t ≤2)． 故f (x )＝－x 2＋2x (0≤x ≤2)． ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－94＋3＝34. 10．(xx·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________．解析：－10 根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧f －1＝f 1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，即⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＝b ＋22，12b ＋232＝－12a ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4，故a ＋3b ＝－10.11．(xx·安徽高考)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.解析：－12x (x ＋1) ∵－1≤x ≤0，∴0≤x ＋1≤1，∴f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－12x (x ＋1)12．记f (x )＝lg(2x －3)的定义域为集合M ，函数g (x )＝1－2x －1的定义域为集合N ，求：(1)集合M 、N ； (2)集合M ∩N ，M ∪N . 解：(1)由2x －3>0，得x >32∴M ＝{x |x >32}由1－2x －1≥0，得x －3x －1≥0 解得x <1或x ≥3. ∴N ＝{x |x <1或x ≥3} (2)由(1)知M ∩N ＝{x |x ≥3}M ∪N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1或x >32. 13．如果对任意实数x ，y ，都有f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，且f (1)＝2， (1)求f (2)，f (3)，f (4)的值． (2)求f 2f 1＋f 4f 3＋f 6f 5＋…＋f 2 010f 2 009＋f 2 012f 2 011＋f 2 014f 2 013的值． 解：(1)∵对任意实数x ，y ，都有f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，且f (1)＝2， ∴f (2)＝f (1＋1)＝f (1)·f (1)＝22＝4，f (3)＝f (2＋1)＝f (2)·f (1)＝23＝8， f (4)＝f (3＋1)＝f (3)·f (1)＝24＝16.(2)由条件知f n ＋1f n ＝f 1·f nf n＝f (1)＝2∴f 2f 1＝2，f 4f 3＝2，f 6f 5＝2，…f 2 014f 2 013＝2， ∴原式＝1 007×2＝2 014.1．(2011·北京高考)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧c x ，x <AcA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16解析：选D 因为组装第A 件产品用时15分钟，所以c A ＝15，所以必有4<A ，且c4＝c2＝30，解得c ＝60，A ＝16，故选D.2．已知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，且当x ∈(0，＋∞)时，有f (x )＝1x，则当x ∈(－∞，－2)时，f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝－1xB ．f (x )＝－1x －2C ．f (x )＝1x ＋2D ．f (x )＝－1x ＋2解析：选D ∵函数y ＝f (x )的图象关于x ＝－1对称， ∴f (x )＝f (－2－x ) 当x <－2时，－2－x >0∴f (x )＝f (－2－x )＝1－2－x ＝－1x ＋2.故选D.3．(xx·湖北重点中学统考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2x ＋π6x ≥0f －x x <0，则f (－xx)等于( )A ．12B ．－12C ．32D ．－32解析：选B ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2x ＋π6x ≥0f －x x <0，∴f (－xx)＝f (xx)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2 013π2＋π6＝－sin π6＝－12，故选B.4． (xx·宝鸡调研)已知函数f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝log 2 f (x )的定义域是________．解析：(2,8] 当f (x )>0时，函数g (x )＝log 2 f (x )有意义，由函数f (x )的图象，知x ∈(2,8]．5．(xx·荆州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，2x ＋4，x <0，若存在互异的三个实数x 1，x 2，x 3，使f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)，则x 1＋x 2＋x 3的取值范围是________．解析：(3,4) 在平面直角坐标系中画出函数f (x )的图象如图，令f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝a ，则由题意知f (x )＝a 有三个不相等的实根x 1，x 2，x 3即函数f (x )的图象与直线y ＝a 的图象有三个交点，由图象可以看出，只有当2<a <4时，两个图象才有三个交点．这时不妨设x 1<x 2<x 3，则一定有x 2＋x 3＝4，且－1<x 1<0，于是3<x 1＋x 2＋x 3<4，即x 1＋x 2＋x 3的取值范围是(3,4)．6．已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，2－x ，x <0.(1)求f (g (2))和g (f (2))的值； (2)求f (g (x ))和g (f (x ))的解析式． 解：(1)∵g (2)＝1， ∴f (g (2))＝f (1)＝0，∵f (2)＝3，∴g (f (2))＝g (3)＝2. (2)f (g (x ))＝(g (x ))2－1＝⎩⎪⎨⎪⎧x －12－1，x >02－x2－1，x <0.∴f (g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x >0x 2－4x ＋3，x <0.g (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧f x－1，f x >02－fx ，f x <0.＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1－1，x 2－1>02－x 2－1，x 2－1<0.∴g (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x >1或x <－13－x 2，－1<x <1..H]ep39327 999F 馟 27271 6A87 檇#040220 9D1C 鴜39242 994A 饊34693 8785 螅34246 85C6 藆。