考点18 等差数列
【题组一 定义的运用】
1．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，(,1)n a S =，1
(1,22)n n b a +=-+，a b ⊥.求证：{}2n n
a 为等差数列； 【解析】证明：
a b ⊥，∴1
220n n n a b S a +?=-++=，
可得：122n n n S a +=+，1n =时，14a =-．2n 时，11122(22)n n
n n n n n a S S a a +--=-=+-+，
122n n n a a -∴-=-，可得
11
122n n n n a a ---=-．
∴{}2n
n a 为等差数列，公差为1-，首项为2-． 2．已知数列{}n a 中，111
33
n n n a a +=+ *()N n ∈，11a =.设3n n n b a =*()N n ∈，求证：{}n b 是等差数列； 【答案】证明见解析 【解析】（1）*111
()33
n n n a a n N +=
+∈，11333n n n n a a ++∴-=，又*3()n n n b a n N =∈，13n n b b +∴-=， {}n b ∴是等差数列，首项为3，公差为3．
3．在正项数列{}n a 中，已知11121n n n n
a a a a a ++=-=
+,且2
2n n a b =-.证明：数列{}n b 是等差数列；
【答案】证明见解析
【解析】∵112n n n n
a a a a ++-=
+∴22
12n n a a +-=，∴数列{}
2n a 是公差为2的等差数列.
∵11a =∴()2211
121n a a n ==+-，，∴2
21n a n =-，∴22n n a b =-，∴22n n b a =+，∴21n b n =+， ∴()123211n n b b n n +-=+-+=，∴数列{}n b 是等差数列.
4．已知数列{}n a 满足13a =，
()
12
11n n a a n n n n +=+++.证明：数列{}n na 为等差数列；
【答案】证明见解析；
【解析】（1）由()
12
11n n a a n n n n +=+++得()112n n n a na ++-=， 又13a =，所以数列{}n na 首项为3，公差为2的等差数列；
5.已知数列{}n a 满足11a =，且113n n n a a a +-=
+.证明数列11n a ??
??+??
是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式. 【答案】（1）见解析，12
n n
a =
-（2）()121n n S n =-+ 【解析】因为113n n n a a a +-=
+两边都加上1，得()
12113
n n n a a a +++=+ 所以
11
1211
112121n n n a a a +??=+=+ ?+++??，即1111112n n
a a +-=++， 所以数列11n a ????+??是以12为公差，首项为11112a =+的等差数列．所以112n n a =+，即12n
n a =-． 6.数列{}n a 中，113a =，()*
121+-=∈n n n a a n N a ，数列{}n b 满足11n n
b a =-.求证：数列{}n b 是等差数列；
【答案】见解析
【解析】
11
111
11121n n n n n a b a a a ---=
==--??-- ??
?，而11
1
1n n b a --=-， ()*112,n n b b n n N -∴-=≥∈，13
2
b =-.
因此，数列{}n b 是首项为3
2
-，公差为1的等差数列；
【题组二 中项性质】
1．ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若,,a b c 既是等差数列又是等比数列则角B 的值为 。 【答案】60?
【解析】由题意得：2b a c =+，2b ac =
由余弦定理得：()2
2222
222
2431cos 2222
a c ac
b a
c b b b B ac ac b +--+--==== ()0,B π∈ 60B ∴=
2．设0a >，0b >，lg lg 4a
与lg 2b
的等差中项，则21
a b
+的最小值为 。 【答案】9 【解析】
∵lg4a 与lg2b
的等差中项，∴lg 4lg 2a b =+，即2lg 2lg 42lg 2
a
b
a b
+=?=，
∴21a b +=．所以
212122()(2)559b a a b a b a b a b
+=++=++≥+= 当且仅当
22b a a b =即13a b ==时取等号，∴21a b
+的最小值为9． 3．正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2
396150a a a +-+=，则11S = 。
【答案】55
【解析】由{}n a 是等差数列，得3962a a a +=，因为2
396150a a a +-+=，所以
2662150a a -+=，65a =或63a =-，又0n a >，得65a =，所以()1111161
1111552
S a a a =
+?==， 4．在等差数列{}n a 中，已知16112a a a π++=，则6sin a 的值为______.
【解析】由等差中项的性质可得1611632a a a a π++==，623
a π
∴=
，因此，
62sin sin
sin sin 3332a ππππ?
?==-==
??
?故答案为：2. 5．设等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且1352S =，则489a a a ++= 。
【答案】12
【解析】设数列公差为d ，则13111312
1313(6)522
S a d a d ?=+
=+=，164a d +=， ∴48911113783(6)3412a a a a d a d a d a d ++=+++++=+=?=.．
6．已知
2b 是4a 与4的等差中项，则1162a
b +的最小值为______. 【答案】
12
【解析】因为
2
b
是4a 与4的等差中项则44a b += 所以
1162
a b
+441162a a +=+1161616a
a =+?
由基本不等式可得
111616162
a a +≥=? 当且仅当
1161616a a =?时取等号,此时1,22a b =-=所以1162a b
+的最小值为12故答案为:12
【题组三---前n 项和的性质】
1．等差数列前3项的和为30，前6项的和为100，则它的前9项的和为 。 【答案】210
【解析】∵等差数列{a n }的前3项和为30，前6项和为100，即S 3＝30，S 6＝100，
又S 3、S 6﹣S 3、S 9﹣S 6成等差数列，∴2（S 6﹣S 3）＝（S 9﹣S 6）+S 3，即140＝S 9﹣100+30， 解得S 9＝210。
2．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，若1010S =，2060S =，则40S = 。 【答案】280
【解析】
等差数列{}n a 前n 项和为n S ∴10S ，120
0S S -，3020S S -，4030S S -也成等差数列
故1000132020()2()S S S S S -+=- ，30=150S ∴
又
102040303020)(2()()S S S S S S =---+40=280S ∴
3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若488,20S S ==,则13141516a a a a +++= 。 【答案】20
【解析】∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，488,20S S ==，由等差数列的性质得：
4841281612,,,S S S S S S S ---成等比数列又4848,20812,S S S =-=-=
∴128122012416,S S S -=-=+=16121314151616420S S a a a a -=+++=+=．
4．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若361=3S S ，则6
12
S S 为 。 【答案】
3
10
【解析】设
,根据36396129,,,S S S S S S S ---是一个首项为a,公差为a 的等差数列，各项分
别为a,2a,3a,4a.6123323410
S a S a a a a ==+++.
5.已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ,且
3827n n S n T n +=+，则
43
43
22a a b b -=- 。 【答案】7
5
【解析】依题意1111382272
n
n n n n n a a n S a a n b b T b b n n +?++===+++?，故
4343
22a a b b -=-3535193535192398357
2297255
a a a a a a
b b b b b b +-+?+=====+-+?+.
6．已知两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若对任意的正整数n ，都有
2732
n n S n T n -=+，则
57
11139
a a
b b b b +++等于 。
【答案】
37
【解析】∵等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，对任意的正整数n ，都有
2732
n n S n T n -=+， ∴
575757611111574866661111122117153
22223112357
a a a a a a a a a S
b b b b b b b b b b T ++?-+=+=======+++?+．
7．有两个等差数列{}{},n n a b ，若
1212213
n n a a a n b b b n ++
++=++
++，则3
3a b =（ ）
A ．
76
B ．
118 C ．
139
D ．
89
【答案】B
【解析】设等差数列{}{},n n a b 前n 项和分别为n n S T 、，
12122121=33n n n n a a a S n n b b b n T n +++++=?++
+++，
1515
335335)5
(2251112=(253582
)a a a a S b b b b T +?+?+===+?=,故选B. 8．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且745
3n n S n T n +=+，则使得n n
a b 为整数的正整数n 的个数是___． 【答案】5
【解析】解：根据题意，两个等差数列{}n a 和{}n b ，
则n n a b ＝22n n a b ＝121121n n a a b b --++＝()()121121(21)(21)n n n a a n b b ---+-+＝2121n n S T --＝7(21)45(21)3n n -+-+＝7+12
1
n +，
若n
n
a b 为整数，则n+1为12的因数，又n 为正整数， 则
12
1
n +为正整数，验证可得：当n ＝1，2，3，5，11满足题意，故答案为：5. 9．已知等差数列的前n 项和为n S ，且12130,0S S ><，则使n S 取得最大值的n 为_______. 【答案】6
【解析】因为等差数列中，12130,0S S ><，所以()12671376
0,
130S a a S a =+>=<，
6770,0a a a ∴+><，670,0a a ∴><，∴S n 达到最大值时对应的项数n 的值为6．故答案为：6
10．已知{}n a 是等差数列，其公差d 0<，其前n 项和记为n S ，且160S >，170S <，则当n S 取最大值时的n =________. 【答案】8
【解析】()()11689168916160220a a a a a a S ++=
=+∴>>；()()
91711799171022
06a S a a a a ++∴==<<；
故890,0a a ><，即前8项和最大故答案为：8
11．在等差数列{}n a 中，131a =，1020S S =，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值为 。
【答案】15S
【解析】∵等差数列{}n a 中，1020S S =，∴201011122015165()0S S a a a a a -=++
+=+=，
∴15160a a +=，又1310a =>，∴150a >，160a <，即数列的前15项为正值，从第16项开始为负值． ∴数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值为15S ．
12．已知等差数列{}n a 的项数为奇数，且奇数项的和为40，偶数项的和为32，则5
a
= 。
【答案】8
【解析】设等差数列{}n a 有奇数项21k +，*
()k N ∈．公差为d ．
奇数项和为40，偶数项和为32，132140k a a a +∴=++?+，24232k a a a =++?+，
∴1211(21)()
72(21)2
k k k a a k a ++++=
=+，21118k k a kd a kd a ++=-=+=，
921k ∴=+，即等差数列{}n a 共9项，且()1995
99725
a a S a
+?=
==58a ∴=
13．设等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若333
3n n S n T n +=
+，则使n n
a Z
b ∈的n 的个数为 。
【答案】5
【解析】因为等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，所以1212112121
()
2()2
n n n n n n n n n a a a na S n b b b nb T ----+=
==+，
又
3333
n n S n T n +=+，所以21213(21)3363031512
32132211---+++=====+-++++n n n n a S n n n b T n n n n ，
为使n
n a Z b ∈，只需121
∈+Z n ，又n ∈+N ，所以1n +可能取的值为：2,3,4,6,12， 因此n 可能取的值为：1,2,3,5,11. 【题组四 实际运用】
1．我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有如下问题:“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”其意思为：“今有白米180石，甲、乙、丙三人来分，他们分得的白米数构成等差数列，只知道甲比丙多分36石，那么三人各分得多少白米？”.请问：丙应该分得 白米 【答案】42石
【解析】依题意，设甲、乙、丙分得的米的重量分别为1a 石、2a 石、3a 石，并设等差数列1a 、2a 、3a 的公差为d ，则123113
33180236a a a a d a a d ++=+=??
-=-=?，解得178
18a d =??=-?，
()3127821842a a d ∴=+=+?-=，因此，丙应该分得42石白米.
2．据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多
n （n 为常数）盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯 。
【答案】26盏
【解析】设最顶层有x 盏灯，则最下面一层有()8x n +盏，813,813x n x n x x +==-，2
812,3
n x x n ==
， ()()()()23...8126x x n x n x n x n ++++++++=，()9123...8126x n +++++=，936126x n +=，
29361263n n ?+=，636126,42126n n n +==，126423n =÷=，2
323
x =?=（盏），
所以最下面一层有灯，13226?=（盏）.
3．《张丘建算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中卷上第二十三问：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈.问半月积几何？”其意思为“有个女子织布，每天比前一天多织相同量的布，第一天织五尺，一个月(按30天计)共织布9匹3丈.问：前半个月(按15天计)共织多少布？”已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，可估算出前半个月一共织的布约有 。 【答案】133尺
【解析】9匹3丈为390尺，每天的织布数成等差数列，首项15a =，记公差为d
3030295303902
S d ?=?+
=16
29d =
151514161571615716
155757575561312292930S ?????=?+?=+>+=+=，
1515716
7513528S ??<+=．
4．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五间中有如下问题：“今有官司差夫一千九百八十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多八人，每人日支米三升”.其大意为“官府陆续派遣1984人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多8人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升”.在该问题中前5天共分发 升大米。 【答案】1200
【解析】记第一天共分发大米为1643a =?升，由题意，每天分发的大米构成等差数列，公差为83d =?，
因此，前5天共分发大米为115(51)
55105643108396024012002
a d a d ?-+
?=+=??+??=+=升. 5．明代数学家程大位在《算法统宗》中提出如下问题“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次第，孝和休惹外人传.”意思是将996斤绵分给八个人，从第二个人开始，每个人分得的绵都比前一个人多17斤，则第八个人分得绵的斤数为 。 【答案】184
【解析】设第一个孩子分配到a 1斤锦，则由题意得：8187
812
S a ?=+
?7＝996，
解得a 1＝65，∴第八个孩子分得斤数为a 8＝65+7×17＝184．
6．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重 斤？ 【答案】15斤
【解析】因为每一尺的重量构成等差数列{}n a ，14a =，52a =，156a a ∴+=，
数列的前5项和为15
5553152
a a S =?
=?=+．即金锤共重15斤， 7．中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是 。 【答案】184斤 【解析】用128,,
,a a a 表示8个儿按照年龄从大到小得到的绵数， 由题意得数列128,,
,a a a 是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，
∴187
8179962
a ?+
?=，解得165a =．∴865717184a =+?=． 8．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷（gui ）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长）．二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个晷长的变化量相同，周而复始．若冬至晷长一丈四尺五寸，夏至晷长二尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则夏至之后的第三个节气（立秋）晷长是 。
【答案】五尺五寸
【解析】设晷影长为等差数列{}n a ，公差为d ，1145a =，1325a =，则1451225d +=，解得10d =-． 1014510955a ∴=-?=∴夏至之后的第三个节气（立秋）晷长是五尺五寸．
9．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士、凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表达，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则公士得 。 【答案】三分鹿之一
【解析】显然5人所得依次成等差数列，设公士所得为x ，则5
5()
352
x +=，解得13x =．
10．已知从2开始的连续偶数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为2，第一行为46，第三行为12，10，8，第四行为14，16，18，20.如图所示，在宝塔形数表中位于第i 行，第j 列的数记为,i j a ，比如3,210=a ，
4,216=a ，5,424=a ，，若,2020=i j a ，则i j += 。
246
1210
8
1416
18
20
30
28
262422
【答案】71
【解析】由图可知，第一行放1个偶数，第二行放2个偶数，第3行放3个偶数… 又因为,2020=i j a 指图中摆放的第i 行第j 列， 所以先求第m 行的最后一个偶数，
该偶数小于2020且是最接近的，并且还能成为每一行最后一个数字的，
(1)2020
,442
m m m +≤≤２， 当44m ≤时，44(144)1980+=，
第44行的最后一偶数是1980，又第45行的第45个偶数为1982，
利用等差数列的任意两项之间关系可知2020应出在该行的第45-19=26列，故26j =， 所以452671i j +=+=．
11．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问: 五人各得几何?”其意思为: 有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子.这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是 。 【答案】18
【解析】设第一个人分到的橘子个数为1a ，由题意得5154
53602
S a ?=+?=，解得16a =， 则51(51)361218a a =+-?=+=.
12．《九章算术》卷第六《均输》中，有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”若将这五人从上到下分别记为甲、乙、丙、丁、戊，且五人所得依次成等差数列，则乙与丙两人共分得 。
【答案】
136
钱 【解析】设甲、乙、丙、丁、戊五人所得分别为12345,,,,a a a a a ，公差为d ，则有
12345123455
a a a a a a a a a a +=++??
++++=?则141,36a d ==-，所以2318113
23326a a a d +=+=-=. 13．《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有这样一道题：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿．欲以爵次分之，问各得几何?”其译文是“现有从高到低依次为大夫、不更、簪褭、上造、公士的五个不同爵次的官员，共猎得五只鹿，要按爵次高低分配（即根据爵次高低分配
得到的猎物数依次成等差数列），问各得多少鹿?”已知上造分得2
3 只鹿，则大夫所得鹿数为 。
【答案】
5
3
只 【解析】设爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列{}n a ,则423
a =
又512345355S a a a a a a =++++== 31a ∴= 4313
d a a ∴=-=-
13523a a d ∴=-=
，即大夫所得鹿数为53
只 14．“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2019这2019个数中，能被3除余1且被4除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列
{}n a ，则此数列的项数为 。
【答案】169
【解析】由题意得，被3除余1且被4除余1的数就是能被12除余1的数， ∴1211n a n =-，*n N ∈，由2019n a ≤，得1
169
6
n ≤，∵*n N ∈，∴此数列的项数为169. 15．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把120个面包分给5个人，使每个人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的七分之一是较小的两份之和，则最大一份的个数为 。
【答案】46
【解析】根据题意，设递增等差数列{}n a ，首项为1a ，公差d ，则()123453*********
a a a a a a a a a a ++++=??
?++=+??
所以()11
151********a d a d a d +=??+=+?解得12
11a d =??=?所以最大项()52511146a =+-?=.