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高考数学直线的参数方程知识点在高中数学的学习中，直线是一个重要的概念。
直线的表示形式有很多种，其中参数方程是一种常见的表达方式。
在高考数学中，直线的参数方程是一个常考的知识点。
本文将围绕直线的参数方程展开讨论，介绍其相关概念以及解题方法。
一、什么是直线的参数方程？直线的参数方程是通过引入参数来表示直线上各个点的坐标关系的一种方法。
通常情况下，直线的参数方程由两个参数和两个参数函数组成。
其中，参数函数表示直线上点的横坐标与参数的关系，另一个参数函数表示直线上点的纵坐标与参数的关系。
具体地说，对于直线上任意一点P(x, y)，我们可以用参数t来表示这个点的位置。
假设直线上某一点为A(x1, y1)，那么直线上任意一点P(x, y)的坐标可以通过下面的关系式计算得到：x = x1 + aty = y1 + bt其中，a和b是直线的方向向量。
二、直线的参数方程与一般方程的转换在解题过程中，我们有时需要将直线的参数方程转换成一般方程，或者将一般方程转换成参数方程。
下面我们分别介绍这两种转换方式。
1. 参数方程转换成一般方程将直线的参数方程转换成一般方程的关键在于消去参数t。
假设直线的参数方程为：x = x1 + aty = y1 + bt我们可以通过以下步骤将其转换成一般方程：（1）将t表示出来，得到t的表达式：t = (x - x1) / a（2）将t的表达式代入另一个参数函数，得到关于y的表达式：y = y1 + b((x - x1) / a)（3）整理化简，即可得到一般方程。
2. 一般方程转换成参数方程将一般方程转换成参数方程的关键在于引入参数t，并根据直线上任意一点P(x, y)与已知点A(x1, y1)的坐标关系，建立参数方程。
假设一般方程为Ax + By + C = 0，直线上已知点为A(x1, y1)。
我们可以通过以下步骤将其转换成参数方程：（1）建立关于x和t的参数方程：x = x1 + t（2）根据一般方程，将y用x和t表示出来：y = y1 - (A / B)(x1 + t)（3）整理化简，即可得到参数方程。
考点规范练37 直线与方程一、基础巩固1.若直线l与直线y=1,x=7分别交于点P,Q,且线段PQ的中点坐标为(1,-1),则直线l的斜率为()A. B.- C.- D.2.若直线mx+2y+m=0与直线3mx+(m-1)y+7=0平行,则m的值为()A.7B.0或7C.0D.43.若直线l1:kx+(1-k)y-3=0和l2:(k-1)x+(2k+3)y-2=0互相垂直,则k=()A.-3或-1B.3或1C.-3或1D.-1或34.若直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2经过定点()A.(0,4)B.(0,2)C.(-2,4)D.(4,-2)5.在同一平面直角坐标系中,直线l1:ax+y+b=0和直线l2:bx+y+a=0的图象可能是()6.若点(m,n)在直线4x+3y-10=0上,则m2+n2的最小值是()A.2B.2C.4D.27.已知直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是()A.-B.-∪(1,+)C.(-,1)∪D.(-,-1)∪8.已知点P(4,a)到直线4x-3y-1=0的距离不大于3,则a的取值范围是.9.设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,根据下列条件分别求m的值.(1)直线l经过定点P(2,-1);(2)直线l在y轴上的截距为6;(3)直线l与y轴平行;(4)直线l与y轴垂直.10.已知两条直线l1:(3+m)x+4y=5-3m,l2:2x+(5+m)y=8.当m分别为何值时,l1与l2:(1)相交?(2)平行?(3)垂直?二、能力提升11.若m∈R,则“log6m=-1”是“直线l1:x+2my-1=0与l2:(3m-1)x-my-1=0平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12.已知点A(7,-4)关于直线l的对称点为B(-5,6),则该对称直线l的方程为()A.6x+5y-1=0B.5x+6y+1=0C.5x-6y-1=0D.6x-5y-1=013.在直角坐标平面内,过定点P的直线l:ax+y-1=0与过定点Q的直线m:x-ay+3=0相交于点M,则|MP|2+|MQ|2的值为()A. B. C.5 D.1014.已知点P(x,y)到A(0,4)和B(-2,0)的距离相等,则2x+4y的最小值为.15.已知直线l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4,当0<a<2时,直线l1,l2与两坐标轴正半轴围成一个四边形,求当a为何值时,四边形的面积最小?三、高考预测16.设两条直线的方程分别为x+y+a=0,x+y+b=0,已知a,b是方程x2+x+c=0的两个实根,且 ≤c≤,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是()A. B. C. D.考点规范练37直线与方程1.B解析设点P(a,1),Q(7,b),则有-解得--从而可得直线l的斜率为--=-.2.B解析∵直线mx+2y+m=0与直线3mx+(m-1)y+7=0平行,∴m(m-1)=3m×2,∴m=0或m=7,经检验都符合题意.故选B.3.C解析若1-k=0,即k=1,直线l1:x=3,l2:y=,显然两直线垂直.若k≠1,直线l1,l2的斜率分别为k1=-,k2=-.由k1k2=-1,得k=-3.综上k=1或k=-3,故选C.4.B解析直线l1:y=k(x-4)经过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点为(0,2),又直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,故直线l2经过定点(0,2).5.B解析直线l1的方程可化为y=-ax-b,直线l2的方程可化为y=-bx-a.当a>0,b>0时,-a<0,-b<0,选项B符合.6.C解析(方法一)因为点(m,n)在直线4x+3y-10=0上,所以4m+3n-10=0.欲求m2+n2的最小值可先求--的最小值.而--表示4m+3n-10=0上的点(m,n)到原点的距离,如图.当过原点和点(m,n)的直线与直线4m+3n-10=0垂直时,原点到点(m,n)的距离最小,最小值为2.故m2+n2的最小值为4.(方法二)由题意知点(m,n)为直线上到原点最近的点,直线与两坐标轴交于A,B,在Rt△OAB中,|OA|=,|OB|=,|AB|=,斜边上的高h即为所求m2+n2的算术平方根,∴S△OAB=·|OA|·|OB|=|AB|·h,∴h=· =2,∴m2+n2的最小值为h2=4.7.D解析设直线的斜率为k,如图.当过定点A的直线经过点B时,直线l在x轴上的截距为3,此时k=-1;当过定点A的直线经过点C时,直线l在x轴上的截距为-3,此时k=.故所求的直线的斜率的取值范围是(-,-1)∪.8.[0,10]解析由题意得,点P到直线的距离为---.又-≤ 即|15-3a|≤ 解得 ≤a≤ 故a的取值范围是[0,10].9.解(1)由于点P在直线l上,即点P的坐标(2,-1)适合方程(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,把点P的坐标(2,-1)代入方程,得2(m2-2m-3)-(2m2+m-1)=2m-6,解得m=.(2)令x=0,得y=--,根据题意可知--=6,解得m=-或m=0.(3)直线与y轴平行,则有---解得m=.(4)直线与y轴垂直,则有---解得m=3.10.解(1)当m=-5时,显然l1与l2相交但不垂直;当m≠-5时,两条直线l1和l2的斜率分别为k1=-,k2=-,它们在y轴上的截距分别为b1=-,b2=.由k1≠k2,得-≠-,即m≠-7,且m≠-1.则当m≠-7,且m≠-1时,l1与l2相交.(2)由得---解得m=-7.则当m=-7时,l1与l2平行.(3)由k1k2=-1,得--=-1,解得m=-.则当m=-时,l1与l2垂直.11.A解析由log6m=-1,得m=.若l1:x+2my-1=0与l2:(3m-1)x-my-1=0平行,则直线斜率相等或斜率不存在,解得m=0或m=,则“log6m=-1”是“直线l1:x+2my-1=0与l2:(3m-1)x-my-1=0平行”的充分不必要条件.12.D解析由题意可得,直线l是线段AB的垂直平分线.因为A(7,-4),B(-5,6),所以k AB=--=-,所以k l=.又因为线段AB的中点坐标为(1,1),所以直线l的方程为y-1=(x-1),即6x-5y-1=0.13.D解析由题意知P(0,1),Q(-3,0).∵过定点P的直线ax+y-1=0与过定点Q的直线x-ay+3=0垂直,∴点M位于以PQ为直径的圆上.∵|PQ|=,∴|MP|2+|MQ|2=|PQ|2=10.14.4解析由题意得,点P在线段AB的垂直平分线上,则易得点P的轨迹方程为x+2y=3,所以2x+4y≥ · =2=4,当且仅当x=2y=时等号成立,故2x+4y的最小值为4.15.解由--得所以直线l1与l2交于点A(2,2)(如图).易知|OB|=a2+2,|OC|=2-a,连接OA,则S四边形OBAC=S△AOB+S△AOC=×2(a2+2)+×2(2-a)=a2-a+4=-,a∈(0,2),所以当a=时,四边形OBAC的面积最小.16.D解析依题意得|a-b|=--,当 ≤c≤时,≤|a-b|=-≤.因为两条直线间的距离等于,所以两条直线间的距离的最大值与最小值分别是.。
高考直线知识点总结高考是中国学生十分重要的考试，其中数学是高考的一门必考科目。
直线作为数学中的基础知识，是高考数学中的重点考查内容之一。
本文将对高考直线知识点进行总结，以帮助考生更好地备考和应对高考数学考试。
一、直线的一般方程直线的一般方程一般形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，并且A和B不同时为0。
直线的一般方程具有以下特点：1. 直线的斜率为-m，其中m为直线的斜率，m = -A/B。
2. 直线在坐标系中的截距为(-C/A, 0)和(0, -C/B)。
二、直线的点斜式直线的点斜式一般形式为y - y₁ = m(x - x₁)，其中(x₁, y₁)为直线上已知的一点，m为直线的斜率。
直线的点斜式具有以下特点：1. 直线的斜率为m。
2. 直线过已知点(x₁, y₁)。
三、直线的斜截式直线的斜截式一般形式为y = mx + c，其中m为直线的斜率，c为直线在y轴上的截距。
直线的斜截式具有以下特点：1. 直线的斜率为m。
2. 直线与y轴的交点为(0, c)。
3. 直线过点(1, m + c)。
四、直线的两点式直线的两点式一般形式为(y - y₁)/(x - x₁) = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)，其中(x₁, y₁)和(x₂, y₂)为直线上的两个已知点。
直线的两点式具有以下特点：1. 直线过已知点(x₁, y₁)和(x₂, y₂)。
2. 直线的斜率为(y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)。
五、直线的垂直与平行关系两条直线的斜率满足以下关系时，它们之间具有特殊的垂直或平行关系：1. 如果两条直线的斜率相等，且不为无穷大，则它们互相平行。
2. 如果两条直线的斜率乘积为-1，则它们互相垂直。
六、直线的角平分线和垂直平分线直线的角平分线和垂直平分线具有以下特点：1. 直线的角平分线将角平分为两个相等的角。
2. 直线的垂直平分线将线段平分为两个相等的部分。
3. 直线的角平分线和垂直平分线的交点即为对应的角的角平分点和线段的中点。
高中数学直线方程知识点
高中数学直线与方程知识点总结
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
(2)范围：直线l倾斜角的范围是[0°，180°)．
2．斜率公式
(1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝tan_α.
(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率k＝（y2-y1）/(x2-x1).
3．直线方程的五种形式
题组一思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．(√)
(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(×)
(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．(×)
(4)若直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α.(×)
(5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(×)
(6)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(√)
2.若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )
A．1 B．4
C．1或3 D．1或4
综上可知，直线m的方程为x－2y＋2＝0或x＝2.
(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，√3)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为___________________．答案(－∞，－]∪[1，＋∞)
解析如图
直线方程的综合应用
课时作业：。
直线与方程知识点总结一、直线基本知识 1、直线的倾斜角与斜率 1直线的倾斜角① 关于倾斜角的概念要抓住三点：ⅰ.与x 轴相交; ⅱ.x 轴正向; ⅲ.直线向上方向. ② 直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00. ③ 倾斜角α的范围000180α≤<.④ 0,900≥︒≤︒k α； 0,18090 k ︒︒α 2直线的斜率①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值,而倾斜角为090的直线斜率不存在; ②经过两点),(),,(222111y x P y x P 21x x ≠的直线的斜率公式是1212x x y y k --=21x x ≠ ③每条直线都有倾斜角,但并不是每条直线都有斜率; 2、两条直线平行与垂直的判定 1两条直线平行对于两条不重合的直线12,l l ,其斜率分别为12,k k ,则有1212//l l k k ⇔=; 特别地,当直线12,l l 的斜率都不存在时,12l l 与的关系为平行; 2两条直线垂直如果两条直线12,l l 斜率存在,设为12,k k ,则12121l l k k ⊥⇔=-注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1,这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1,可以得出两直线垂直,反过来,两直线垂直,斜率之积不一定为-1;如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,12l l 与互相垂直;二、直线的方程 1、直线方程的几种形式注：过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线是否一定可用两点式方程表示 不一定;1若2121y y x x ≠=且,直线垂直于x 轴,方程为1x x =； （2）若2121y y x x =≠且,直线垂直于y 轴,方程为1y y =； （3）3若2121y y x x ≠≠且,直线方程可用两点式表示 2、线段的中点坐标公式若两点),(),,(222111y x P y x P ,且线段21,P P的中点M 的坐标为),(y x ,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x 3. 过定点的直线系①斜率为k 且过定点),(00y x 的直线系方程为)(00x x k y y -=-；②过两条直线0:1111=++C y B x A l , 0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λλ为参数,其中直线l 2不在直线系中.三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点设两条直线的方程是0:1111=++C y B x A l , 0:2222=++C y B x A l 两条直线的交点坐标就是方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A 的解,若方程组有唯一解,则这两条直线相交,此解就是交点的坐标；若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行；反之,亦成立; 2.几种距离 1两点间的距离平面上的两点),(),,(222111y x P y x P 间的距离公式21221221)()(y y x x P P -+-=特别地,原点)0,0(O 与任一点),(y x P 的距离22y x OP += 2点到直线的距离点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离2200BA C By Ax d +++=3两条平行线间的距离两条平行线0:11=++C By Ax l , 0:22=++C By Ax l 间的距离2212BA C C d +-=注意：① 求点到直线的距离时,直线方程要化为一般式；② 求两条平行线间的距离时,必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后,才能套用公式计算;补充：1、直线的倾斜角与斜率 1直线的倾斜角（2）．已知斜率k 的范围,求倾斜角α的范围时,若k 为正数,则α的范围为(0,)2π的子集,且k=tan α为增函数；若k 为负数,则α的范围为(,)2ππ的子集,且k=tan α为增函数;若k 的范围有正有负,则可所范围按大于等于0或小于0分为两部分,针对每一部分再根据斜率的增减性求倾斜角范围;2、利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或,则有A 、B 、C 三点共线; 注：斜率变化分成两段,090是分界线,遇到斜率要谨记,存在与否需讨论; 3. 两条直线位置关系的判定：已知 0:11=++C By Ax l , 0:22=++C By Ax l ,则：（1）0212121=+⇔⊥B B A A l l2;0,0-//1221122121≠-=⇔C A C A B A B A l l3;0,0-1221122121=-=⇔C A C A B A B A l l 重合与41l 与2l 相交01221≠-⇔B A B A如果2220A B C ≠时,则：11221121-=•⇔⊥B A B A l l 2⇔21//l l ）不为0,,(222212121C B A C CB B A A ≠=；31l 与2l 重合⇔）不为0,,(222212121C B A C CB B A A ==41l 与2l 相交⇔）不为0,(222121B A B BA A ≠4. 有关对称问题 常见的对称问题： 1中心对称①若点),(11y x M 及),(22y x N 关于),(b a P 对称,则由中点坐标公式得⎩⎨⎧-=-=1122y b y x a x②直线关于点的对称,其主要方法是：在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程,或者求出一个对称点,再利用21//l l ,由点斜式得到所求直线方程;2轴对称①点关于直线的对称若两点),(111y x P 与),(222y x P 关于直线0:=++C By Ax l 对称,则线段21P P 的中点在对称轴l 上,而且连接21P P 的直线垂直于对称轴l 上,由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-•--=++++1)(0)2()2(12122121B A x x y y C y y B x x A ⎩⎨⎧==⇒22y x 可得到点1P 关于l 对称的点2P 的坐标),(22y x 其中21,0x x A ≠≠②直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行;注：①曲线、直线关于一直线b x y +±=对称的解法：y 换x ,x 换y . 例：曲线0),(=y x f 关于直线2-=x y 对称曲线方程是0)2,2(=-+x y f②曲线0),(:=y x f C 关于点),(b a 的对称曲线方程是0)2,2(=--y b x a f 5. 两条直线的交角①直线1l 到2l 的角方向角；直线1l 到2l 的角,是指直线1l 绕交点依逆时针方向旋转到与2l 重合时所转动的角θ,它的范围是),0(π,当 90≠θ时21121tan k k k k +-=θ. ②两条相交直线1l 与2l 的夹角：两条相交直线1l 与2l 的夹角,是指由1l 与2l 相交所成的四个角中最小的正角θ,又称为1l 和2l 所成的角,它的取值范围是 ⎝⎛⎥⎦⎤2,0π,当90≠θ,则有21121tan k k k k +-=θ.6. 直线l 上一动点P 到两个定点A 、B 的距离“最值问题”： (1) 在直线l 上求一点P,使PB PA +取得最小值,① 若点B A 、位于直线l 的同侧时,作点A 或点B 关于l 的对称点/A 或/B ,.)(//即为所求点，则点于交或连接P P l AB B A② 若点B A 、位于直线的异侧时,连接AB 交于l 点P ,则P 为所求点;可简记为“同侧对称异侧连”.即两点位于直线的同侧时,作其中一个点的对称点；两点位于直线的异侧时,直接连接两点即可.（2）在直线l 上求一点P 使PB PA -取得最大值,方法与1恰好相反,即“异侧对称同侧连”① 若点B A 、位于直线l 的同侧时,连接AB 交于l 点P ,则P 为所求点;② 若点B A 、位于直线的异侧时,作点A 或点B 关于l 的对称点/A 或/B ,.)(//即为所求点，则点于交或连接P P l AB B A3 22PB PA +的最值：函数思想“转换成一元二次函数,找对称轴”;7. 直线过定点问题：① 含有一个未知参数,12)1(-+-=a x a y 1)2(+-+=⇒x x a y 1 令202-=⇒=+x x ,将3)1(2=-=y x 式，得代入,从而该直线过定点)3,2(-② 含有两个未知参数0)2()3(=-++-n y n m x n m 0)12()3(=-+-++⇒y x n y x m令⎩⎨⎧-+-=+1203y x y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⇒7371y x从而该直线必过定点)73,71(-8. 点到几种特殊直线的距离1点00(,)P x y 到x 轴的距离0||d y =; 2点00(,)P x y 到y 轴的距离0||d x =.3点00(,)P x y 到与x 轴平行的直线y=a 的距离0||d y a =-; 4点00(,)P x y 到与y 轴平行的直线x=b 的距离0||d x a =-. 9. 与已知直线平行的直线系有：1平行于直线)(00//C C C By Ax C By Ax ≠=++=++的直线可表示为2平行于直线)(//b b b kx y b kx y ≠+=+=的所有直线为10. 易错辨析：1 讨论斜率的存在性：解题过程中用到斜率,一定要分类讨论：① 斜率不存在时,是否满足题意；② 斜率存在时,斜率会有怎样关系;2注意“截距”可正可负,不能“错认为”截距就是距离,会丢解； 求解直线与坐标轴围成面积时,较为常见; 3 直线到两定点距离相等,有两种情况：① 直线与两定点所在直线平行； ② 直线过两定点的中点;求解过某一定点的直线方程时,较为常见; 4过点),(00y x A ,平行于x 轴的直线方程为0y y = 过点),(00y x A ,平行于y 轴的直线方程为0x x =。
一、直线方程的概念直线方程是描述平面上一条直线的数学关系式。
通常情况下，直线方程可表示为y = kx + b，其中x和y分别表示直线上的点的横纵坐标，k表示直线的斜率，b表示直线的截距。
直线方程可以用于描述直线的位置、方向等性质，是解决几何和代数问题的基本工具之一。
二、直线方程的常见形式1.点斜式方程点斜式方程是一种常见的直线方程形式，它的形式为y - y1 = k(x - x1)，其中(k,x1,y1)为直线上的已知点，k为直线的斜率。
点斜式方程直观地表示了直线斜率的概念，方便计算直线的位置和方向。
2.斜截式方程斜截式方程是另一种常见的直线方程形式，它的形式为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。
斜截式方程直观地表示了直线截距的概念，方便计算直线与坐标轴的交点。
3.截距式方程截距式方程是直线的截距与坐标轴的关系式，它的形式为x/a + y/b = 1，其中a和b分别表示直线在x轴和y轴上的截距。
截距式方程可以直观地表示直线截距的性质，方便计算直线的位置和方向。
三、直线方程的求解方法1.根据已知点和斜率求解如果已知直线上的一个点和斜率，可以使用点斜式方程来表示直线。
首先找到直线上的一个点(x1,y1)，然后用直线的斜率k计算出直线方程y = kx + b中的截距b，最终得到直线方程。
2.根据已知点和截距求解如果已知直线上的两个点，可以使用截距式方程来表示直线。
首先根据已知的两点(x1,y1)和(x2,y2)计算出直线的斜率k，然后再计算出直线的截距a和b，最终得到直线方程。
3.根据两条直线的关系求解如果已知两条直线的关系，可以使用斜截式方程来表示直线。
首先根据两条直线的关系计算出直线的斜率k，截距b，最终得到直线方程。
1.几何问题中的应用直线方程可以用来描述几何问题中的直线性质，比如直线的位置、方向等。
例如，可以使用直线方程来描述平面上两点之间的连线，计算直线的斜率和截距等，从而解决几何问题。
教课资料范本2020新课标高考艺术生数学复习：直线的倾斜角与斜率、直线的方程含分析编辑： __________________时间： __________________第 1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程最新考纲中心修养考情聚焦1.理解直线的倾斜角与斜率1.直线的倾斜角与斜率的 2020 年高考估计波及直线方程的学习与理解、完成直观想 的观点、掌握过两点的直线求法、两条直线平行于垂直的位象和数学建模的修养． 的斜率的计算公式．置关系的判断、或许由两条直线2.直线的方程的成立、增 2.掌握确立直线地点的几何平行于垂直的地点求参数或参数强数学抽象和数学运算的 因素．的取值范围．多与圆锥曲线相结修养． 3.掌握直线方程的几种形式 ( 合、有时也会命制新定义题型． 3.直线方程的综合利用、 点斜式、两点式及一般式)、既有选择题、填空题、又有解答 提高逻辑推理和数学运算 认识斜截式一次函数的关系题的某一小问、一般难度不会太 的修养大、属中低档题型1．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角①定义： x 轴 正向 与直线 向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x 轴平行或重合时、规定它的倾斜角为0°.②倾斜角的范围为 0°≤ α＜ 180° .(2)直线的斜率①定义：当直线 l 的倾斜角 α≠π 时、其倾斜角 α的正切值tan2α叫做这条直线的斜率、斜率往常用小写字母 k 表示、即 k ＝ tan_α ；②斜率公式：经过两点 P 1(x 1、 y 1) 、P 2( x 2、y 2)(x 1≠ x 2)的直线的斜率公式为 k ＝y2－ y1 . x2 － x12．直线方程的五种形式名称 几何条件 方程 合用条件斜截式 纵截距、斜率y ＝ kx ＋ b 与 x 轴不垂直的直线点斜式 过一点、斜率y －y 0＝k(x － x 0)两点式过两点y － y1 x － x1 与 两坐标轴y2－ y1 ＝x2－ x1均不垂直的直线xy可是原点 且与截距式纵、横截距a ＋b ＝ 1两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax ＋By ＋ C ＝ 0(A 2＋全部直线B 2≠ 0)1.直线的斜率 k 与倾斜角 θ之间的关系θ 0° 0°<θ<90 ° 90° 90°<θ<180 °k0 k>0 不存在k<02.线段的中点坐标公 式：若点 P 1、P 2的坐标分别为 (x 1、 y 1)、 ( x 2、 y 2)、且线段 P 1P 2的中点 M 的坐标为 (x 、 y)、则x1 ＋ x2x ＝2y1 ＋ y2y ＝2、此公式为线段 P 1P 2的中点坐标公式．[思虑辨析 ]判断以下说法能否正确、正确的在它后边的括号里打“√”、错误的打“×”．(1)依据直线的倾斜角的大小不可以确立直线的地点．( )(2) 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．()(3) 直线的斜率为 tan α、则其倾斜角为 α.( )(4) 过点 P(x 、 y )的直线方程必定可设为 y － y ＝ k(x － x )．()1111(5) 不经过原点的直线都能够用x ＋ y＝ 1表示． ()a b(6) 经过随意两个不一样的点 P 1(x 1、 y 1)、 P 2(x 2、 y 2) 的直线都能够用方程(y －y 1 )(x 2－ x 1)＝ (x －x 1)(y 2－ y 1)表示． ()答案： (1) √ (2)×(3)×(4) ×(5)× (6)√[小题检验 ]1．直线 l ： xsin 30 ＋°ycos 150 ＋°a ＝0的斜率为 ()33A. 3B.3C ．－3D ．－ 3分析： A[ 设直线 l 的斜率为 k 、则 k ＝－ sin 30 ° 3cos 150 ＝应选 A.]° 3 .2．假如 A ·C ＜ 0、且 B ·C ＜0、那么直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0不经过 ()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限分析： C[ 由题意知 A ·B ·C ≠ 0、AC直线方程变成 y ＝－ x － B .B∵A ·C ＜ 0、 B ·C ＜0、∴ A ·B ＞ 0、∴其斜率k ＝－ AB ＜ 0.又 y 轴上的截距b ＝－CB ＞ 0、∴直线过第一、二、四象限．]3．已知直线 l ： ax ＋ y － 2－a ＝ 0在 x 轴和 y 轴上的截距相等、则 a 的值是 ( )A ．1B ．－ 1C ．－ 2或－ 1D ．－ 2或 1分析： D [ ①当 a ＝0 时、 y ＝ 2 不合题意．②当 a ≠ 0 时、令 x ＝ 0、得 y ＝2＋ a 、令 y ＝0、得 x ＝a ＋ 2、则a ＋ 2＝ a ＋ 2、得 a ＝ 1 或 aa a＝－ 2.]4．[人教 A 版 教 材 P100A 组T9改编 ]过点 P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为____________ ．分析： 截距为 0时、直线方程为 3x － 2y ＝ 0；当截距不为 0时、设直线方程为 x ＋ y ＝ 1、a a则2a ＋ 3a ＝ 1、解得 a ＝ 5.所以直线方程为 x ＋ y － 5＝ 0.答案： 3x － 2y ＝0或 x ＋ y －5＝ 05．若 m>0、 n>0、点 (－ m 、 n)对于直线 x ＋ y － 1＝ 0的对称点在直线 x － y ＋ 2＝ 0上、那么 m1＋4n 的最小值等于 ________．分析： 由题意知 (－ m 、 n)对于直线 x ＋ y － 1＝ 0 的对称点为 (1－ n,1＋m)．依题意可知1－n － (1＋ m)＋ 2＝ 0、即 m ＋ n ＝ 2.1 4 1 1 4 1 n 4m191 4 9于是 m ＋ n ＝ 2(m ＋ n) m ＋n ＝ 2× 5＋ m ＋ n ≥ 2× (5 ＋2× 2)＝ 2、即 m ＋ n 的最小值为2.答案：92考点一直线的倾斜角与斜率(自主练透 )[ 题组集训 ]1．若经过两点 A(4,2y ＋ 1)、 B(2、－ 3)的直线的倾斜角为3π 、则 y 等于 ()4A ．－ 1B ．－ 3C ． 0D ． 2－ 3－2y － 13π4/13得－ 4－ 2y ＝ 2、∴ y ＝－ 3.]2．假如直线 l 经过 A(2,1)、 B(1 、m 2)(m ∈ R )两点、那么直线 l 的倾斜角 α的取值范围是 ( )A ． 0≤ α≤ ππ πB ． 0≤ α≤ 或 <α<π4 2 C ． 0≤ α≤ππ π π4D. ≤ α< 或 <α<π422解析：B[ 由题意可知、直线 l 的斜率 k ＝m2－ 1 1－ 2＝ 1－ m 2≤ 1.又直线 l 的倾斜角为 α、则有 tanα≤1、即 tanα<0或0≤ tanα≤ 1、所以π 2π<α<π或 0≤ α≤ 4.应选 B.]3．直线 l 过点 P(1,0) 、且与以 A(2,1)、 B(0、3 )为端点的线段有公共点、则直线l 斜率的取值范围为 __________ ．分析： 如图、∵ k AP ＝1－ 0＝ 1, k BP ＝3－ 0＝－ 3、∴ k ∈ (－∞、－ 3]∪ [1、＋∞ )．2－ 10－ 1答案： (－∞、－ 3]∪ [1、＋∞ )π1． 在解决斜率或倾斜角的取值范围问题时、应先考虑斜率能否存在或倾斜角能否为这2一特别情况．2．求倾斜角 α的取值范围的一般步骤(1)求出斜率 k ＝ tan α的取值范围；(2)利用三角函数的单一性、借助图象、数形联合、确立倾斜角α的取值范围．考点二 直线的方程 (师生共研 )1[典例 ] (1) 求过点 A(1,3)、斜率是直线 y ＝－ 4x 的斜率的 3的直线方程； [分析 ] 设所求直线的斜率为 k 、1＝－ 4A(1,3) 、依题意 k ＝－ 4×.又直线经过点334所以所求直线方程为y －3＝－ 3(x － 1)、即 4x ＋ 3y － 13＝ 0.5/13(2)求经过点 A(－ 5,2)、且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的 2倍的直线方程．[分析 ] 当直线可是原点时、设所求直线方程为x＋ y＝ 1、将 ( － 5,2)代入所设方程、解2a a1得 a ＝－ 2、所以直线方程为 x ＋ 2y ＋1＝ 0；当直线过原点时、设直线方程为y ＝kx 、则－ 5k ＝2 22、解得 k ＝－ 、所以直线方程为 y ＝－ x 、即 2x ＋ 5y ＝ 0.55故所求直线方程为2x ＋5y ＝ 0 或 x ＋2y ＋ 1＝ 0.求直线方程的常用方法(1)直接法：依据已知条件灵巧采纳直线方程的形式、写出方程．(2)待定系数法：先依据已知条件设出直线方程、再依据已知条件结构对于待定系数的方程 (组 )求系数、最后辈入求出直线方程．提示 ：求直线方程时、要注意直线的斜率不存在的状况或斜率为零的状况．在解题时、若采纳截距式、应注意分类议论、判断截距能否为零、若采纳点斜式、应先考虑、斜率不存在的状况．[追踪训练 ]依据所给条件求直线的方程：(1) 直线过点 (－ 4,0)、倾斜角的正弦值为10；10(2) 直线过点 (5,10) 、到原点的距离为 5.解： (1) 由题设知、该直线的斜率存在、故可采纳点斜式．设倾斜角为 α、则 sin α＝1010 (0<α<π)、3 101 进而 cos α＝ ±10、则 k ＝ tan α＝ ± .3故所求直线方程为1y ＝ ± (x ＋ 4)．3即 x ＋ 3y ＋ 4＝0 或 x － 3y ＋4＝ 0.(2)当斜率不存在时、所求直线方程为x － 5＝ 0；当斜率存在时、设其为k 、则所求直线方程为y － 10＝ k(x － 5)、即 kx － y ＋ (10－ 5k)＝ 0.由点到直线的距离公式、得|10－5k| 3 k2＋ 1＝5、解得 k ＝ .4故所求直线方程为 3x －4y ＋ 25＝ 0.综上可知、所求直线方程为x － 5＝ 0 或 3x － 4y ＋ 25＝ 0.考点三直线方程的综合利用 (多维研究 )[命题角度 1]与基本不等式相联合的最值问题1．直线 l 过点 P(1,4) 、分别交 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴于 A 、 B 两点、 O 为坐标原点、求： (1) 当 |OA |＋|OB |最小时、直线 l 的方程；(2)当 |PA| ·|PB|最小时、直线l 的方程．解： (1) 依题意、 l 的斜率存在、且斜率为负、设直线 l 的斜率为 k 、则直线 l 的方程为 y －4＝ k(x － 1)(k ＜ 0)．4令 y ＝ 0、可得 A 1－ k ， 0 ； 令 x ＝ 0、可得 B(0,4－ k)．|OA|＋ |OB|＝ 1－ 4＋ (4－ k)＝ 5－ k ＋ 4k k ＝5＋ － k ＋ 4≥ 5＋4＝ 9. －k∴当且仅当－ k ＝4且 k ＜ 0、－ k即 k ＝－ 2 时、 |OA|＋ |OB|取最小值．这时 l 的方程为 2x ＋y － 6＝ 0.4(2)|PA| |PB|·＝ k 2＋ 16 · 1＋ k2＝－ 4(1＋ k 2)＝41 ＋ － k ≥ 8(k ＜ 0)．－ k k1∴当且仅当 － k ＝－ k 且 k ＜0、即 k ＝－ 1 时、 |PA| ·|PB|取最小值．这时 l 的方程为 x ＋ y － 5＝ 0.先求出斜率或设出直线方程、正确地求出有关数据、列出不等式、并正确的利用不等关系、特别注意要做到： “ 一正、二定、三相等 ”．[追踪训练 ]已知直线 l 过点 P(3,2)、且与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交于 A 、B 两点、如下图、当△ABO 的面积取最小值时、求直线 l 的方程．解：法一：设 A(a,0)、 B(0、 b)(a ＞0、 b ＞ 0)、xy则直线 l 的方程为 ＋ ＝ 1.因为 l 过点 P(3,2) 、所以3a ＋ 2b ＝ 1.因为 1＝ 3＋2≥ 26、整理得 ab ≥24、a bab1所以 S △ ABO ＝ 2ab ≥ 12、32当且仅当 ＝ 、即 a ＝6、 b ＝ 4 时取等号．此时直线 l 的方向是x＋ y＝ 1、即 2x ＋ 3y － 12＝ 0.6 4法二：依题意知、直线l 的斜率 k 存在且 k ＜ 0、可设直线 l 的方程为 y － 2＝ k(x － 3)(k ＜ 0)、2则 A 3－ k ，0 、 B(0,2－ 3k)、1 2 S△ABO ＝2(2－ 3k) 3－ k＝142 12＋ － 19k ＋ －k≥ 112＋ 242 － 9k ·－k＝ 1× (12＋ 12)＝ 12、2当且仅当－ 9k ＝ 4、即 k ＝－ 2－ k 3时、等号成立． 所以所求直线 l 的方程为 2x ＋ 3y － 12＝0.[命题角度 2] 与导数几何意义相联合的问题12．已知曲线 y ＝ ex ＋ 1、则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 ________．－ex－ 1x ＋1≥ 21分析： y ′ ＝＝、因为 e xex · ＝e x ＋ 12 1>0、所以 e exexex ＋ ex ＋ 22 当且仅当 ex ＝ 1，即 x ＝ 0时取等号 、所以 e x＋ 1＋ 2≥ 4、故 y ′ ＝－ 1≥ －1(当ex ex1＋ 2 4ex ＋ ex且仅当x ＝ 0 时取等号 )．所以当x ＝ 0 时、曲线的切线斜率获得最小值、此时切点的坐标为1110， 2 、切线的方程为y －2＝－4(x － 0)、即 x ＋ 4y － 2＝ 0.该切线在 x 轴上的截距为2、在 y 轴上的截距为 1、所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S ＝1× 2× 1＝1.22 2 2答案：12与直线有关的最值问题的解题思路(1)借助直线方程、用y 表示 x 或用 x 表示 y.(2)将问题转变成对于x(或 y)的函数．(3)利用函数的单一性或基本不等式求最值．[追踪训练 ](20xx ·××市模拟 )已知直线 l 1： ax－2y＝ 2a－ 4、l 2： 2x＋ a2y＝ 2a2＋ 4、当 0<a<2时、直线 l1、 l 2与两坐标轴围成一个四边形、当四边形的面积最小时、a＝ ________.解析：由题意知、直线 l1、 l2恒过定点 P(2,2)、直线 l 1的纵截距为2－ a、直线 l 2的横截距为 a2＋ 2、所以S＝1× 2× (2－ a)＋1× 2×(a2＋2) ＝a2－ a＋ 4＝12＋15、当 a＝1四边形的面积22a－242时、面积最小．答案：121．如图中的直线l1、 l 2、 l 3的斜率分别为k1、 k2、 k3、则 ()A ． k ＜ k ＜ k3B． k ＜ k ＜ k21231C． k3＜ k2＜ k1D． k1＜ k3＜ k2解析：D [直线 l 1的斜率角α1是钝角、故 k1＜ 0、直线 l 2与 l 3的倾斜角α2与α3均为锐角、且α2＞α3、所以 0＜k3＜ k2、所以 k1＜ k3＜ k2、应选 D.]2．(20xx ××·市模拟 )直线 ax＋by＋ c＝ 0同时要经过第一、第二、第四象限、则a、 b、 c应知足 ()A ． ab>0、 bc<0B． ab>0 、bc>0C． ab<0、bc>0D． ab<0、 bc<0解析：A[因为直线 ax＋ by＋ c＝0经过第一、二、四象限、所以直线存在斜率、将方程变形为y＝－a b9/13c a cx － b .易知－ b <0 且－ b >0 、故 ab>0、 bc<0.应选 A.]3．(20xx ××·市模拟 )直线 MN 的斜率为 2、此中点 N(1、－ 1)、点 M 在直线 y ＝x ＋ 1上、则 ()A ． M(5,7)B ． M(4,5)C ． M(2,1)D ． M(2,3)分析： B[ 设 M 的坐标为 ( a 、 b)、若点 M 在直线 y ＝ x ＋1上、则有 b ＝ a ＋ 1.①若直线 MN 的斜率为 2、则有 b ＋ 1＝ 2.②a － 1联立①②解可得 a ＝ 4、 b ＝ 5、即 M 的坐标为 (4,5)；应选 B.] 4．直线 3x － y ＋ a ＝ 0(a 为常数 )的倾斜角为 ()A ．30°B ．60°C ．150 °D ． 120 °分析： B[ 由直线方程得 y ＝ 3x ＋ a 、所以斜率 k ＝ 3、设倾斜角为 α、所以 tan α＝ 3、又因为 0°≤ α＜ 180°、所以 α＝60°.]5．(20xx · 湘 西 州 模拟 )已知点 P 在直线 x ＋ 3y － 2＝ 0上、点 Q 在直线 x ＋3y ＋ 6＝ 0上、线段 PQ 的中点为 M(x 0、 y 0)、且 y 0＜ x 0＋ 2、则 y0的取值范围是()x01A. －3， 01B.－，01C. －3，＋ ∞1D. － ∞，－ 3 ∪ (0、＋∞ ) 解析：D[∵点 P 在直线 x ＋ 3y － 2＝ 0上、点 Q 在直线 x ＋ 3y ＋ 6＝ 0上、线段 PQ 的中点为 M(x 0、 y 0)、∴|x0＋ 3y0－ 2|＝|x0＋ 3y0＋ 6|、化为 x 0＋ 3y 0＋ 2＝0.又 y 0＜ x 0＋ 2、设y01010x0＝ k OM 、当点 M 位于线段 AB(不包含端点 )上时、则 k OM ＞ 0、当点位于射线 BM (不包含端点 B)时、 k OM ＜－ 1 y0 的取值范围是－ ∞，－1∪ (0、＋∞ )．应选 D.]3.∴x0 36．已知线段 PQ 两头点的坐标分别为P(－ 1,1)和Q(2,2)、若直线 l ：x ＋ my ＋ m ＝ 0与线段 PQ10/13有交点、则实数m的取值范围是 ________．3分析：如下图、直线l ：x＋ my＋ m＝ 0 过定点A(0、－ 1)、当 m≠ 0 时、 k QA＝、 k PA＝－2、k l＝－1、∴－1≤ － 2 或－1≥3.解得 0<m≤1或－2≤m<0；m m m223当 m＝0 时、直线 l 的方程为x＝ 0、与线段 PQ 有交点．∴实数 m 的取值范围为－21≤ m≤ . 322 1答案：－3，27．一条直线经过点 A( －2,2)、而且与两坐标轴围成的三角形的面积为 1、则此直线的方程为________．分析：设所求直线的方程为x＋y＝1、a b∵A(－ 2,2)在直线上、∴－2a＋2b＝ 1.①又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1、1∴ |a| |b|·＝ 1.②2a－b＝ 1，a－ b＝－ 1由①②可得 (1)或 (2).ab＝ 2，ab＝－ 2a＝ 2，a＝－ 1，由(1) 解得或方程组 (2)无解．b＝ 1，b＝－ 2.故所求的直线方程为x＋ y＝ 1 或x＋y＝1、2 1－ 1 －2即 x＋ 2y－ 2＝0 或 2x＋ y＋2＝ 0 为所求直线的方程．答案： x＋ 2y－2＝ 0或 2x＋y＋ 2＝ 08．过点 M(－ 3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为__________________ ．分析： (1) 当直线过原点时、直线方程为y＝－5x；3(2)当直线可是原点时、设直线方程为x＋y a－ a＝ 1、即 x－ y＝ a、代入点 (－ 3,5)、得 a＝－ 8、即直线方程为x－ y＋8＝ 0.11/13答案： y ＝－ 5x 或 x － y ＋ 8＝ 039．已知直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 3、分别求知足以下条件的直线 l 的方程．(1)过定点 A(－ 3,4)；1(2)斜率为 6.解： (1) 法一：设直线 l 的方程为 y ＝k( x ＋ 3)＋ 4、它在 x 轴、 y 轴上的截距分别是－4－ 3,3k ＋ 4、k4由已知得 (3k ＋ 4) k ＋ 3 ＝ ±6、解得 k ＝－ 2或 k ＝－8.33故直线 l 的方程为 2x ＋ 3y － 6＝0 或 8x ＋ 3y ＋12＝ 0.法二：由题知直线l 在 x 轴、 y 轴上的截距均不为0、设直线 l 的方程为 x ＋ y＝1、a b12|ab|＝3，ab ＝ 6，则由题意得即①－ 3＋4＝ 1， 4a － 3b ＝ ab ，abab ＝－ 6，或②4a － 3b ＝ab ，a ＝ 3， 3，解①得或 a ＝－2b ＝2，b ＝－ 4，②无解．x y x y 所以直线方程为 3＋2＝1或－ 3＋－4＝ 1、 2即 2x ＋ 3y － 6＝0 或 8x ＋ 3y ＋ 12＝ 0. (2)设直线 l 在 y 轴上的截距为 b 、1则直线 l 的方程为 y ＝6x ＋ b 、 它在 x 轴上的截距为－ 6b 、由已知得 |－ 6b ·b|＝ 6、∴ b ＝±1.∴直线 l 的方程为 x －6y ＋ 6＝ 0 或 x － 6y － 6＝0.10．已知△ ABC 的三个极点分别为 A(－ 3,0)、 B(2,1)、 C(－ 2,3)、求：(1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线 AD 所在直线的方程；12/13(3)BC边的垂直均分线 DE的方程．解： (1) 因为直线 BC 经过 B(2,1)和 C(－ 2,3)两点、由两点式得BC 的方程为y－1＝x－2、3－1－ 2－2即 x＋ 2y－4＝ 0.(2)设 BC 边的中点 D 的坐标为 (x、 y)、2－ 21＋ 3则 x＝2＝ 0、 y＝2＝2.BC 边的中线 AD 过点 A( －3,0)、 D(0,2) 两点、由截距式得AD 所在直线方程为x＋y＝ 1、－ 32即 2x－ 3y＋ 6＝ 0.(3)由 (1)知、直线11、BC 的斜率 k ＝－2则直线 BC 的垂直均分线DE 的斜率 k2＝ 2.由(2) 知、点 D 的坐标为 (0,2)．可求出直线的点斜式方程为y－ 2＝ 2(x－ 0)、即 2x－ y＋ 2＝0.13/13。
讲义：直线与方程内容讲解：1、直线的倾斜角和斜率：（1）设直线的倾斜角为0180，斜率为k ，则tan2k.当2时，斜率不存在. （2）当090时，0k ；当90180时，0k.（3）过111(,)P x y ，222(,)P x y 的直线斜率212121()y y k x x x x .2、两直线的位置关系：两条直线111:l y k x b ，222:l y k x b 斜率都存在，则：（1）1l ∥2l 12k k 且12b b ；（2）12121l l k k ；（3）1l 与2l 重合12k k 且12b b 3、直线方程的形式：（1）点斜式：00y y k x x （定点，斜率存在）（2）斜截式：y kx b （斜率存在，在y 轴上的截距）（3）两点式：1121212121(,)y y x x y y x x y y x x （两点）（4）一般式：2200x y C A B （5）截距式：1xya b（在x 轴上的截距，在y 轴上的截距）4、直线的交点坐标：设11112222:0,:0l Ax B y c l A x B y c ，则：（1）1l 与2l 相交1122A B A B ；（2）1l ∥2l 111222A B C A B C；（3）1l 与2l 重合111222A B C A B C .5、两点111(,)P x y ，222(,)P x y 间的距离公式22122121()()PP x x y y 原点0,0与任一点,x y的距离22OPxy6、点000(,)P x y 到直线:0l xy C 的距离022Ax By CdA B（1）点000(,)P x y 到直线:0l x C 的距离0Ax CdA （2）点000(,)P x y 到直线:0l y C 的距离0By CdB （3）点0,0到直线:0l x y C 的距离22C dAB7、两条平行直线10xy C 与20xy C 间的距离1222C C dAB8、过直线1111:0l A x B y c 与2222:0l A xB y c 交点的直线方程为111222()()A xB yC A x B y c R9、与直线:0l x y C 平行的直线方程为0x y D C D与直线:0l xy C 垂直的直线方程为xy D 10、中心对称与轴对称：（1）中心对称：设点1122(,),(,)P x y E x y 关于点00(,)M x y 对称，则12012022x x x y y y （2）轴对称：设1122(,),(,)P x y E x y 关于直线:0l x y C 对称，则：a 、0B 时，有122x x C A且12y y ；b 、0A 时，有122y y C B且12x xc 、0A B 时，有1212121222y y B x x A x x y y AB C 典型例题例1.已知直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m)y ＝4m －1．①当m ＝时，直线的倾斜角为45°．②当m ＝时，直线在x 轴上的截距为1．③当m ＝时，直线在y 轴上的截距为－23．④当m ＝时，直线与x 轴平行．⑤当m ＝时，直线过原点．变式训练 1.（1）直线3y ＋ 3 x ＋2=0的倾斜角是（）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°（2）设直线的斜率k=2，P 1（3，5），P 2（x 2，7），P （－1，y 3)是直线上的三点，则x 2，y 3依次是（）A ．－3，4B ．2，－3C ．4，－3D ．4，3（3）直线l 1与l 2关于x 轴对称，l 1的斜率是－7 ，则l 2的斜率是（）A ．7B ．－77C ．77D ．－7（4）直线l 经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是．例2.已知三点A （1，-1），B （3，3），C （4，5）.求证：A 、B 、C 三点在同一条直线上.变式训练 2.设a ，b ，c 是互不相等的三个实数，如果A （a ，a 3）、B （b ，b 3）、C （c ，c 3）在同一直线上，求证：a+b+c=0.例3．直线3y x 绕原点逆时针旋转090，再向右平移１个单位，所得到的直线为( )（Ａ）1133yx（Ｂ）113yx （Ｃ）33yx （Ｄ）113yx 例4．（全国Ⅰ文）若直线m 被两平行线12:10:30l xy l xy 与所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15②30③45④60⑤75其中正确答案的序号是.（写出所有正确答案的序号）例5.已知三角形的顶点是A(－5,0)、B(3,－3)、C(0,2) ，求这个三角形三边所在的直线方程.例6.一条直线从点A(3,2)出发,经过x轴反射,通过点B(－1,6),求入射光线与反射光线所在的直线方程例7、已知点A(－3,5) 和B(2,15) , 在直线l：3x－4y+4=0上找一点P, 使|PA|+|PB|最小, 并求这个最小值.例8、在等腰直角三角形中,已知一条直角边所在直线的方程为2x-y=0,斜边的中点为A(4,2),求其它两边所在直线的方程.例9、求过点P(－5,－4)且与坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程.PA的值为最小.例10、已知点A(2,5)与点B(4,－7),试在y轴上求一点P,使及PB例11、过点A(0,1)做一直线l,使它夹在直线1l:x-3y+10=0和2l:2x+y-8=0间的线段被A点平分,试求直线l的方程.巩固训练，则m的值是（）1、直线(2m2-5m-3)x-(m2-9)y＋4=0的倾斜角为4A、3B、2C、-2D、2与32、点(a,b)关于直线x+y=0对称的点是 ( )A、 (－a,－b) B 、 (a,－b) C、 (b,a) D、 (－b,－a)3、已知l 平行于直线3x+4y－5=0, 且l和两坐标轴在第一象限内所围成三角形面积是24,则直线l的方程是 ( )A、3x+4y－122=0B、 3x+4y+122=0C、 3x+4y－24=0D、3x+4y＋24=04、若直线l经过点(1,1),且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2,则直线l的条数为( )A、1B、2C、3D、45、已知菱形的三个顶点为（a,b ）、（－b,a ）、（0，0），那么这个菱形的第四个顶点为（）A 、(a －b,a ＋b) B、(a ＋b, a －b) C、(2a,0) D、(0,2a)6、若点(4，a)到直线4x-3y=1的距离不大于3，则a 的取值范围是（）A 、010， B、(0，10)C 、13313，D 、(-∞，010，＋∞）7、过定点P(2,1)作直线l ,交x 轴和y 轴的正方向于A 、B ，使△ABC 的面积最小，那么l的方程为（）A 、x-2y-4=0 B、x-2y+4=0 C、2x-y+4=0 D、x+2y-4=08、若直线Ax ＋By ＋C=0与两坐标轴都相交，则有（）A 、A ·Ｂ0 B、A 0或B 0 C、C 0 D、A 2＋B 2=09、已知直线l 1：3x ＋4y=6和l 2：3x-4y=-6，则直线l 1和l 2的倾斜角是（）A 、互补 B、互余 C、相等 D、互为相反数10、直线(2m 2-5m-3)x-(m 2-9)y ＋4=0的倾斜角为4，则m 的值是（）A 、3 B、2 C、-2 D、2与311、△ABC 的一个顶点是A(3,-1),∠B 、∠Ｃ的平分线分别是x=0,y=x ，则直线BC 的方程是（） A、y=2x+5 B 、y=2x+3 C、y=3x+5 D、y=-252x 12、直线kx －y=k －1与ky －x=2k 的交点位于第二象限，那么k 的取值范围是( )A 、k ＞1 B、0＜k ＜21 C 、k ＜21 D 、21＜k ＜113、直线(m+2)x+m y m m 2)32(2在x 轴上的截距是3,则实数m 的值是( )A 、52 B 、6 C 、-52 D、-614、若平行四边形三个顶点的坐标为(1，0)，(5，8)，(7，4),则第四个顶点坐标为。
高二数学直线与方程知识点直线和方程是高中数学中常见的知识点，对于学习数学的同学来说是非常重要的基础内容。
本文将对高二数学中与直线和方程相关的知识点进行详细介绍。
一、直线的一般方程在平面直角坐标系中，一条直线可以由其一般方程表示，即Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A和B不同时为0。
这个方程表示了所有直线上的点的集合。
二、直线的斜截式方程直线的斜截式方程表示为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b 为直线与y轴的截距。
斜截式方程直观地表示了直线与y轴交点的位置以及直线的斜率。
三、直线的点斜式方程直线的点斜式方程表示为y - y₁ = k(x - x₁)，其中(x₁, y₁)是直线上的一点，k为直线的斜率。
点斜式方程表示了直线上两点之间的关系，通过已知一点和斜率可以确定一条直线。
四、直线的截距式方程直线的截距式方程表示为x/a + y/b = 1，其中a、b分别为直线与x轴和y轴的截距。
截距式方程可以快速确定直线与坐标轴的交点位置。
五、直线的平行和垂直关系两条直线平行的充要条件是它们的斜率相等，而两条直线垂直的充要条件是它们的斜率的乘积为-1。
平行和垂直关系是直线之间的重要性质，可以通过斜率的性质进行判断和证明。
六、直线与线段的位置关系直线与线段的位置关系可以分为三种情况：相交，平行和重合。
通过判断直线与线段的交点个数和位置可以确定其位置关系。
七、直线的距离公式直线与平面上任意一点的距离可以通过点到直线的距离公式计算。
设直线的一般方程为Ax + By + C = 0，点P的坐标为(x₁, y₁)，则点P到直线的距离为d = |Ax₁ + By₁ + C| / √(A² + B²)。
八、方程的根与解法在解方程时，我们常用到的方法有因式分解法、配方法、公式法等。
根据方程的形式选择合适的解法，通过化简方程逐步求解来确定方程的根。
九、一次函数方程一次函数方程表示为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
高三直线方程的知识点总结一、直线方程的三种基本形式在高三数学中，我们经常会涉及到直线的方程。
直线方程的形式有三种基本形式，分别是一般式、截距式和斜截式。
1. 一般式：设直线的方程为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A与B不同时为0。
2. 截距式：设直线与x轴和y轴的交点分别为(A, 0)和(0, B)，直线的方程可表示为x/A + y/B = 1。
3. 斜截式：设直线与y轴的交点为(0, B)，直线的斜率为k，直线的方程可表示为y = kx + B。
二、直线的斜率与截距1. 斜率：直线的斜率表示了直线的倾斜程度。
斜率可以通过两点之间的纵坐标差与横坐标差的比值来计算。
设点(x1, y1)和点(x2, y2)在直线上，则直线的斜率k为k = (y2 - y1) / (x2 - x1)。
2. 截距：直线与y轴相交的点称为截距。
斜截式方程中的B即为直线的截距，表示直线与y轴的交点的纵坐标。
三、直线方程的相互转换在高三的学习中，我们需要掌握直线方程的相互转换方法，便于在不同形式的方程之间进行转换和运用。
1. 一般式与截距式的转换：已知直线方程为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A与B不同时为0。
将其转换为截距式，只需做一些简单的变形即可得到截距式方程。
2. 斜截式与截距式的转换：已知直线方程为y = kx + B，将其转换为截距式，只需将k和B带入截距式的公式即可。
四、直线的性质和应用1. 平行和垂直关系：两条直线平行，意味着它们的斜率相等；两条直线垂直，意味着它们的斜率的乘积为-1。
2. 直线的交点：两条直线的交点即为其方程组的解，可以通过联立方程组求解来确定交点的坐标。
3. 直线的应用：直线的方程在解决实际问题时有着广泛的应用，例如在经济学、物理学、工程学等领域，直线方程常被用于描述和分析物体的运动、表达经济模型等。
综上所述，高三直线方程的知识点主要包括直线方程的三种基本形式、斜率与截距的概念、直线方程的相互转换方法以及直线的性质和应用。
直线与方程知识点总结第1篇空间两条直线只有三种位置关系。
1、按是否共面可分为两类：（1）共面：平行、相交（2）异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。
异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。
两异面直线xxx的角：范围为（0，90）esp。
空间向量法两异面直线间距离：公垂线段（有且只有一条）esp。
空间向量法2、若从有无公共点的角度看可分为两类：（1）有且仅有一个公共点相交直线；（2）没有公共点平行或异面直线与方程知识点总结第2篇常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
有些学生仍然在遇到三角函数题目的时候画直角三角形协助理解，这是十分危险的，也是我们所不提倡的。
三角函数的定义在引入了实数角和弧度制之后，已经发生了革命性的变化，sinA中的A不一定是一个锐角，也不一定是一个钝角，而是一个实数弧度制的角。
有了这样一个思维上的飞跃，三角函数就不再是三角形的一个附属产品（初中三角函数很多时候依附于相似三角形），而是一个具有独立意义的函数表现形式。
既然三角函数作为一种函数意义的理解，那么，它的知识结构就可以完全和函数一章联系起来，函数的精髓，就在于图象，有了图象，就有了所有的性质。
对于三角函数，除了图象，单位圆作为辅助手段，也是非常有效就好像配方在二次函数中应用广泛是一个道理。
三角恒等变形部分，并无太多诀窍，从教学中可以看出，学生听懂公式都不难，应用起来比较熟练的都是那些做题比较多的同学。
题目做到一定程度，其实很容易发现，高一考察的三角恒等只有不多的几种题型，在课程与复习中，我们也会注重给学生总结三角恒等变形的统一论，把握住降次，辅助角和万能公式这些关键方法，一般的三角恒等迎刃而解。
关键是，一定要多做题。
直线与方程知识点总结第3篇①定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率xxx 表示。
艺术生高考数学专题讲义考点37直线及其方程直线及其方程是数学中的重要知识点，在高考中也经常会涉及到。
对于艺术生来说，虽然数学不是重点科目，但掌握直线及其方程的基本内容仍然很有必要。
下面，我们将为艺术生准备一份专题讲义，帮助大家系统地学习直线及其方程。
一、直线的定义与性质1.直线的定义：直线是两个不在同一直线上的点确定的集合。
2.直线上的两点确定直线，直线上的两点还确定直线的斜率。
3.直线的斜率：设直线上两点的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），则直线的斜率k为：k=(y2-y1)/(x2-x1)。
4.直线的特殊性质：a.斜率相等的直线平行；b.斜率之积为-1的两直线垂直；c.两直线平行，则其上任意一点到另一直线的距离相等；d.两直线相交，则相交点到两直线的距离相等；e.直线的截距：若直线与x轴和y轴的交点坐标分别为（a,0）和（0,b），则直线的截距分别为a和b。
二、直线的方程及性质1.一般式方程：直线的一般形式为Ax+By+C=0，其中A、B、C为常数，且A和B不同时为0。
注意：若直线方程为Ax+By+C=0，其中A和B都是整数，则称为整数系数直线方程。
2. 斜截式方程：直线的斜截式方程为y=kx+b，其中k为斜率，b为y轴截距。
注意：斜率k的倒数称为直线的斜率的相反数。
3.点斜式方程：直线的点斜式方程为y-y1=k(x-x1)，其中（x1，y1）是直线上的一点，k是直线的斜率。
注意：点斜式方程中的（x1，y1）可由直线上的任意一点获得。
4.两点式方程：直线的两点式方程为(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)，其中（x1，y1）和（x2，y2）是直线上的两点。
注意：两点式方程中的两点可由直线上的任意两点获得。
5.截距式方程：直线的截距式方程为x/a+y/b=1，其中a和b分别是x轴和y轴的截距。
三、解直线方程的基本方法1.一般式方程：将直线方程化为标准形式或截距式即可。
直线方程知识点归纳总结（高中）1. 直线的一般方程直线的一般方程可以表示为Ax + By + C = 0，其中A、B和C是实数，且A和B不同时为0。
例如，2x + 3y - 5 = 0就是一条直线的一般方程。
2. 直线的斜截式方程直线的斜截式方程可以表示为y = mx + b，其中m是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距。
例如，y = 2x + 3就是一条直线的斜截式方程，斜率为2，截距为3。
3. 直线的点斜式方程直线的点斜式方程可以表示为y - y₁ = m(x - x₁)，其中m是直线的斜率，(x₁, y₁)是直线上的一点。
例如，y - 2 = 3(x - 4)就是一条直线的点斜式方程，斜率为3，通过点(4, 2)。
4. 直线的两点式方程直线的两点式方程可以表示为(y - y₁)/(x - x₁) = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)，其中(x₁, y₁)和(x₂, y₂)是直线上的两个点。
例如，(y - 1)/(x - 2) = (3 - 1)/(5 - 2)就是一条直线的两点式方程，通过点(2, 1)和(5, 3)。
5. 直线的垂直平行关系如果两条直线的斜率相等且截距不同，那么它们是平行的。
如果两条直线的斜率互为倒数，那么它们是垂直的。
6. 直线的角平分线直线的角平分线是指将一个角平分成两个相等的角的直线。
对于两条直线l₁和l₂，如果l₁和l₂的斜率之积为-1，那么l₁和l₂是互相垂直的。
7. 直线的距离公式直线Ax + By + C = 0到点(x₁, y₁)的距离可以用公式d = |Ax₁ + By₁ + C| / √(A² + B²)来计算。
8. 直线与坐标轴的交点直线与x轴的交点可以通过令y = 0来求解。
直线与y轴的交点可以通过令x = 0来求解。
这些交点可以作为直线的特殊点，用于确定直线的方程。
9. 直线的平移与旋转直线的平移可以通过改变直线的截距来实现。
高三数学直线方程的知识点高三数学关于直线方程的知识点导语：尽管一路上会有无数的挫折与失败，只要努力勤奋，将会克服一个个困难，磨平一个个棱角，自己多了一份坚定，多了一份坚持，多了一份耐心，人生的路会越走越远，越走越宽。
下面是小编为大家整理的，数学知识，更多相关信息请关注CNFLA相关栏目!高中数学直线方程知识点总结如下：1：一般式:Ax+By+C=0(A、B不同时为0)适用于所有直线K=-A/B,b=-C/BA1/A2=B1/B2≠C1/C2←→两直线平行A1/A2=B1/B2=C1/C2←→两直线重合横截距a=-C/A纵截距b=-C/B2：点斜式:y-y0=k(x-x0)适用于不垂直于x轴的直线表示斜率为k，且过(x0,y0)的直线3：截距式:x/a+y/b=1适用于不过原点或不垂直于x轴、y轴的直线表示与x轴、y轴相交，且x轴截距为a，y轴截距为b的直线点击查看：高中数学知识点4：斜截式:y=kx+b适用于不垂直于x轴的直线表示斜率为k且y轴截距为b的直线5：两点式:适用于不垂直于x轴、y轴的直线表示过(x1,y1)和(x2,y2)的直线(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)(x1≠x2，y1≠y2)6：交点式:f1(x,y)*m+f2(x,y)=0适用于任何直线表示过直线f1(x,y)=0与直线f2(x,y)=0的交点的直线7：点平式:f(x,y)-f(x0,y0)=0适用于任何直线表示过点(x0,y0)且与直线f(x,y)=0平行的直线8：法线式：x·cosα+ysinα-p=0适用于不平行于坐标轴的直线过原点向直线做一条的垂线段，该垂线段所在直线的倾斜角为α，p是该线段的长度9：点向式：(x-x0)/u=(y-y0)/v(u≠0,v≠0)适用于任何直线表示过点(x0,y0)且方向向量为(u,v)的直线10：法向式：a(x-x0)+b(y-y0)=0适用于任何直线表示过点(x0，y0)且与向量(a，b)垂直的直线11:点到直线距离点P(x0,y0)到直线Ι:Ax+By+C=0的距离d=|Ax0+By0+C|/√A²+B²两平行线之间距离若两平行直线的'方程分别为：Ax+By+C1=OAx+By+C2=0则这两条平行直线间的距离d为：d=丨C1-C2丨/√(A²+B²)12:各种不同形式的直线方程的局限性：(1)点斜式和斜截式都不能表示斜率不存在的直线;(2)两点式不能表示与坐标轴平行的直线;(3)截距式不能表示与坐标轴平行或过原点的直线;(4)直线方程的一般式中系数A、B不能同时为零.13:位置关系若直线L1:A1x+B1y+C1=0与直线L2:A2x+B2y+C2=01.当A1B2-A2B1≠0时,相交2.A1/A2=B1/B2≠C1/C2,平行3.A1/A2=B1/B2=C1/C2,重合4.A1A2+B1B2=0,垂直。
考点三十七 直线及其方程知识梳理1．直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把x 轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，叫作直线l 的倾斜角．当直线l 和x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)倾斜角的范围为[0°，180°)． 2．直线的斜率(1)定义：当直线l 的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k 表示，即k ＝tan α.(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) (x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1. (3) 直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率，倾斜角是90°的直线斜率不存在．它们之间的关系如下：3．直线方程的五种形式4．过P 1(11222(1)若x 1＝x 2，且y 1≠y 2时，直线垂直于x 轴，方程为x ＝x 1； (2)若x 1≠x 2，且y 1＝y 2时，直线垂直于y 轴，方程为y ＝y 1； (3)若x 1＝x 2＝0，且y 1≠y 2时，直线即为y 轴，方程为x ＝0； (4)若x 1≠x 2，且y 1＝y 2＝0时，直线即为x 轴，方程为y ＝0.5．线段的中点坐标公式若点P 1、P 2的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x22y ＝y 1＋y 22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．典例剖析题型一 直线的倾斜角和斜率例1 已知两点A (－3，3)，B (3，－1)，则直线AB 的倾斜角等于__________． 答案 56π解析 斜率k ＝－1－33－(－3)＝－33，又∵θ∈[0，π)， ∴θ＝56π.变式训练 经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y ＝__________．答案 －3解析 由2y ＋1－(－3)4－2＝2y ＋42＝y ＋2，得y ＋2＝tan 3π4＝－1.∴y ＝－3.解题要点 求斜率的常见方法：1．若已知倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率．2．若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率．3．若已知直线的一般式方程ax ＋by ＋c ＝0，一般根据公式k ＝－ab 求斜率．题型二 直线方程的求解例2 已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2，1)，C (－2,3)，求： (1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 的方程．解析 (1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)设BC 边的中点D 的坐标为(x ，y )，则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 边的中线AD 过点A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12，则直线BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2.由(2)知，点D 的坐标为(0,2)．由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0. 变式训练 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.解析 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式． 设倾斜角为α，则sin α＝1010(0<α<π)， 从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)．即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a ＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. (3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0；当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)，即kx －y ＋(10－5k )＝0. 由点线距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.解题要点 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．题型三 直线的截距式方程有关的易错题例3 过点P (－2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为__________________． 答案 x ＋y －1＝0或3x ＋2y ＝0解析 (1)当截距不为0时，设所求直线方程为x a ＋ya ＝1，即x ＋y －a ＝0.∵点P (－2，3)在直线l 上，∴－2＋3－a ＝0， ∴a ＝1，所求直线l 的方程为x ＋y －1＝0.(2)当截距为0时，设所求直线方程为y ＝kx ，则有3＝－2k ，即k ＝－32，此时直线l 的方程为y ＝－32x ，即3x ＋2y ＝0.综上，直线l 的方程为x ＋y －1＝0或3x ＋2y ＝0.变式训练 过点M (－3，5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________． 答案 y ＝－53x 或x －y ＋8＝0解析 (1)当直线过原点时，直线方程为y ＝－53x ；(2)当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y－a ＝1，即x －y ＝a .代入点(－3，5)，得a ＝－8.即直线方程为x －y ＋8＝0.解题要点 1.弄清截距和距离的区别：截距不是距离，而是一个坐标值，纵截距是直线与y 轴交点的纵坐标值，横截距是直线与x 轴交点的横坐标值．截距可为一切实数，而距离是一个非负数．2.在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解．3.常见的与截距问题有关的易误点有：“截距互为相反数”“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形，注意分类讨论思想的运用.当堂练习1．已知直线l ：y ＝x ，则直线l 的倾斜角为__________． 答案 π4解析 ∵k ＝1.故倾斜角为π4.2．过点(－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为__________． 答案 2x ＋y －1＝0解析 因所求直线与直线x －2y ＋3＝0垂直，故可设为2x ＋y ＋m ＝0. 又因为所求直线过点(－1,3)，所以有2×(－1)＋3＋m ＝0，解得m ＝－1.故所求直线方程为2x ＋y －1＝0.3. 如图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则k 1、k 2、k 3 的大小关系是__________．答案 k 1<k 3<k 2解析 直线l 1的斜率角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2>α3，所以0<k 3<k 2，因此k 1<k 3<k 2.4．（2015山东理）一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为__________． 答案 －43或－34解析 由已知，得点(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切，则有d ＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，解得k ＝－43或k ＝－34.5．过点(2,1)且在x 轴上截距与在y 轴上截距之和为6的直线方程为________． 答案 x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0解析 由题意可设直线方程为x a ＋yb ＝1.则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，2a ＋1b＝1，解得a ＝b ＝3，或a ＝4，b ＝2.课后作业一、 填空题1．过两点(－1,1)和(0,3)的直线在x 轴上的截距为__________． 答案 －32解析 过两点(－1,1)和(0,3)的直线方程为y －13－1＝x －(－1)0－(－1) ，即y ＝2x ＋3，令y ＝0得x ＝－32，即为所求．2．已知直线l 1：(a －1)x ＋2y ＋1＝0与l 2：x ＋ay ＋3＝0平行，则a 等于__________． 答案 －1或2解析 由l 1∥l 2，得(a －1)×a －2×1＝0，即a 2－a －2＝0，解得a ＝－1或a ＝2. 当a ＝－1时，l 1：－2x ＋2y ＋1＝0，即2x －2y －1＝0， l 2：x －y ＋3＝0，显然l 1∥l 2. 当a ＝2时，l 1：x ＋2y ＋1＝0， l 2：x ＋2y ＋3＝0，显然l 1∥l 2， 综上，a ＝－1或2.3．已知A (3,4)，B (－1,0)，则过AB 的中点且倾斜角为120°的直线方程是__________． 答案 3x ＋y －2－3＝0解析 由题意可知A 、B 两点的中点坐标为(1,2)，且所求直线的斜率k ＝tan120°＝－ 3 ∴直线方程为y －2＝－3(x －1)，即3x ＋y －2－3＝0.4．直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是__________． 答案 －2或1解析 由题意，知a ≠0，令x ＝0，得y ＝2＋a ；令y ＝0，得x ＝a ＋2a ，故2＋a ＝a ＋2a ，解得a ＝－2或a ＝1.5．直线x cos140°＋y sin40°＋1＝0的倾斜角是__________． 答案 50°解析 将直线x cos140°＋y sin40°＋1＝0化成x cos40°－y sin40°－1＝0，其斜率为k ＝cos40°sin40°＝tan50°，倾斜角为50°.6．直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0平行，则l 的方程是_________________． 答案 2x －3y ＋8＝0解析 ∵2x －3y ＋4＝0的斜率为k ＝23，∴所求的直线方程为y －2＝23(x ＋1)，即2x －3y ＋8＝0.7．若过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为__________． 答案 1解析 ∵k MN ＝m －4－2－m＝1，∴m ＝1.8．已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率为__________． 答案3解析 直线PQ 的斜率为－3，则直线PQ 的倾斜角为120°，所求直线的倾斜角为60°， tan60°＝ 3.9．若过点P (1－a,1＋a )与Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是__________． 答案 (－2,1)解析 k ＝tan α＝2a －(1＋a )3－(1－a ) ＝a －1a ＋2. ∵α为钝角，∴a －1a ＋2＜0，即(a －1)(a ＋2)＜0，故－2＜a ＜1. 10．过两直线x ＋3y －10＝0和y ＝3x 的交点，并且与原点距离为1的直线方程为__________． 答案 x ＝1或4x －3y ＋5＝0解析 设所求直线为(x ＋3y －10)＋λ(3x －y )＝0， 整理得(1＋3λ)x ＋(3－λ)y －10＝0. 由点到直线距离公式得|－10|(1＋3λ)2＋(3－λ)2＝1，解得λ＝±3.∴所求直线为x ＝1或4x －3y ＋5＝0.11．直线x cos θ＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是________． 答案 [0，π6]∪[56π，π)解析 由题知k ＝－33cos θ，故k ∈[－33，33]，结合正切函数的图象，当k ∈[0，33]时，直线倾斜角α∈[0，π6]，当k ∈[－33，0)时，直线倾斜角α∈[56π，π)，故直线的倾斜角的范围是[0，π6]∪[56π，π)．二、解答题12．求经过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l 的方程． 解析 设所求直线方程为x a ＋yb ＝1，由已知可得⎩⎨⎧－2a ＋2b＝1，12|a ||b |＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.，∴所求直线方程为2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0． 13．已知△ABC 中，A (1，－4)，B (6,6)，C (－2,0)．求： (1)△ABC 的平行于BC 边的中位线的一般式方程和截距式方程； (2)BC 边的中线的一般式方程，并化为截距式方程．解析 (1)平行于BC 边的中位线就是AB 、AC 中点的连线．因为线段AB 、AC 中点坐标为⎝⎛⎭⎫72，1，⎝⎛⎭⎫－12，－2，所以这条直线的方程为y ＋21＋2＝x ＋1272＋12，整理得6x －8y －13＝0，化为截距式方程为x 136－y138＝1.(2)因为BC 边上的中点为(2,3)，所以BC 边上的中线方程为y ＋43＋4＝x －12－1，即7x －y －11＝0，化为截距式方程为x 117－y11＝1.。
高中数学重点知识点讲解：直线与方程高中数学重点知识点讲解：直线与方程高中数学在学习的过程中，有很多知识点难点。
如何不及时解决，接下来的高中数学学习会越来越难。
下面是整理的高中数学知识点整理与分析，希望能对大家有所帮助。
高中数学重点知识点讲解：直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α<180°高中数学重点知识点讲解：直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
在高中数学里直线的斜率常用k表示。
即。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当时，。
当时，;当时，不存在。
②过两点的直线的斜率公式：注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°;(2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后高中数学涉及到求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
高中数学重点知识点讲解：直线方程①点斜式：直线斜率k，且过点注意：高中数学在关于直线方程解法中，当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。
②斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b③两点式：()直线两点，④截矩式：其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。
⑤一般式：(A，B不全为0)⑤一般式：(A，B不全为0)注意：○1各式的适用范围○2特殊的方程如：平行于x轴的直线：(b为常数);平行于y轴的直线：(a为常数);高中数学重点知识点讲解：直线系方程(一)平行直线系平行于已知直线(在高中数学里被称为是不全为0的常数)的直线系：(C为常数)(二)过定点的直线系(ⅰ)斜率为k的直线系：，直线过定点;(ⅱ)过两条直线，的交点的直线系方程为(为参数)，其中直线不在直线系中。
考点三十七 直线及其方程知识梳理1．直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把x 轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，叫作直线l 的倾斜角．当直线l 和x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)倾斜角的范围为[0°，180°)． 2．直线的斜率(1)定义：当直线l 的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k 表示，即k ＝tan α.(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) (x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1. (3) 直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率，倾斜角是90°的直线斜率不存在．它们之间的关系如下：3．直线方程的五种形式4．过P 1(11222(1)若x 1＝x 2，且y 1≠y 2时，直线垂直于x 轴，方程为x ＝x 1； (2)若x 1≠x 2，且y 1＝y 2时，直线垂直于y 轴，方程为y ＝y 1； (3)若x 1＝x 2＝0，且y 1≠y 2时，直线即为y 轴，方程为x ＝0； (4)若x 1≠x 2，且y 1＝y 2＝0时，直线即为x 轴，方程为y ＝0.5．线段的中点坐标公式若点P 1、P 2的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x22y ＝y 1＋y 22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．典例剖析题型一 直线的倾斜角和斜率例1 已知两点A (－3，3)，B (3，－1)，则直线AB 的倾斜角等于__________． 答案 56π解析 斜率k ＝－1－33－(－3)＝－33，又∵θ∈[0，π)， ∴θ＝56π.变式训练 经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y ＝__________．答案 －3解析 由2y ＋1－(－3)4－2＝2y ＋42＝y ＋2，得y ＋2＝tan 3π4＝－1.∴y ＝－3.解题要点 求斜率的常见方法：1．若已知倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率．2．若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率．3．若已知直线的一般式方程ax ＋by ＋c ＝0，一般根据公式k ＝－ab 求斜率．题型二 直线方程的求解例2 已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2，1)，C (－2,3)，求： (1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 的方程．解析 (1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)设BC 边的中点D 的坐标为(x ，y )，则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 边的中线AD 过点A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12，则直线BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2.由(2)知，点D 的坐标为(0,2)．由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0. 变式训练 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.解析 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式． 设倾斜角为α，则sin α＝1010(0<α<π)， 从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)．即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a ＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. (3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0；当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)，即kx －y ＋(10－5k )＝0. 由点线距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.解题要点 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．题型三 直线的截距式方程有关的易错题例3 过点P (－2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为__________________． 答案 x ＋y －1＝0或3x ＋2y ＝0解析 (1)当截距不为0时，设所求直线方程为x a ＋ya ＝1，即x ＋y －a ＝0.∵点P (－2，3)在直线l 上，∴－2＋3－a ＝0， ∴a ＝1，所求直线l 的方程为x ＋y －1＝0.(2)当截距为0时，设所求直线方程为y ＝kx ，则有3＝－2k ，即k ＝－32，此时直线l 的方程为y ＝－32x ，即3x ＋2y ＝0.综上，直线l 的方程为x ＋y －1＝0或3x ＋2y ＝0.变式训练 过点M (－3，5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________． 答案 y ＝－53x 或x －y ＋8＝0解析 (1)当直线过原点时，直线方程为y ＝－53x ；(2)当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y－a ＝1，即x －y ＝a .代入点(－3，5)，得a ＝－8.即直线方程为x －y ＋8＝0.解题要点 1.弄清截距和距离的区别：截距不是距离，而是一个坐标值，纵截距是直线与y 轴交点的纵坐标值，横截距是直线与x 轴交点的横坐标值．截距可为一切实数，而距离是一个非负数．2.在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解．3.常见的与截距问题有关的易误点有：“截距互为相反数”“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形，注意分类讨论思想的运用.当堂练习1．已知直线l ：y ＝x ，则直线l 的倾斜角为__________． 答案 π4解析 ∵k ＝1.故倾斜角为π4.2．过点(－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为__________． 答案 2x ＋y －1＝0解析 因所求直线与直线x －2y ＋3＝0垂直，故可设为2x ＋y ＋m ＝0. 又因为所求直线过点(－1,3)，所以有2×(－1)＋3＋m ＝0，解得m ＝－1.故所求直线方程为2x ＋y －1＝0.3. 如图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则k 1、k 2、k 3 的大小关系是__________．答案 k 1<k 3<k 2解析 直线l 1的斜率角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2>α3，所以0<k 3<k 2，因此k 1<k 3<k 2.4．（2015山东理）一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为__________． 答案 －43或－34解析 由已知，得点(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切，则有d ＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，解得k ＝－43或k ＝－34.5．过点(2,1)且在x 轴上截距与在y 轴上截距之和为6的直线方程为________． 答案 x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0解析 由题意可设直线方程为x a ＋yb＝1.则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，2a ＋1b ＝1，解得a ＝b ＝3，或a ＝4，b ＝2.课后作业一、 填空题1．过两点(－1,1)和(0,3)的直线在x 轴上的截距为__________． 答案 －32解析 过两点(－1,1)和(0,3)的直线方程为y －13－1＝x －(－1)0－(－1) ，即y ＝2x ＋3，令y ＝0得x ＝－32，即为所求．2．已知直线l 1：(a －1)x ＋2y ＋1＝0与l 2：x ＋ay ＋3＝0平行，则a 等于__________． 答案 －1或2解析 由l 1∥l 2，得(a －1)×a －2×1＝0，即a 2－a －2＝0，解得a ＝－1或a ＝2. 当a ＝－1时，l 1：－2x ＋2y ＋1＝0，即2x －2y －1＝0， l 2：x －y ＋3＝0，显然l 1∥l 2. 当a ＝2时，l 1：x ＋2y ＋1＝0， l 2：x ＋2y ＋3＝0，显然l 1∥l 2， 综上，a ＝－1或2.3．已知A (3,4)，B (－1,0)，则过AB 的中点且倾斜角为120°的直线方程是__________． 答案 3x ＋y －2－3＝0解析 由题意可知A 、B 两点的中点坐标为(1,2)，且所求直线的斜率k ＝tan120°＝－ 3 ∴直线方程为y －2＝－3(x －1)，即3x ＋y －2－3＝0.4．直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是__________． 答案 －2或1解析 由题意，知a ≠0，令x ＝0，得y ＝2＋a ；令y ＝0，得x ＝a ＋2a ，故2＋a ＝a ＋2a ，解得a ＝－2或a ＝1.5．直线x cos140°＋y sin40°＋1＝0的倾斜角是__________． 答案 50°解析 将直线x cos140°＋y sin40°＋1＝0化成x cos40°－y sin40°－1＝0，其斜率为k ＝cos40°sin40°＝tan50°，倾斜角为50°.6．直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0平行，则l 的方程是_________________． 答案 2x －3y ＋8＝0解析 ∵2x －3y ＋4＝0的斜率为k ＝23，∴所求的直线方程为y －2＝23(x ＋1)，即2x －3y ＋8＝0.7．若过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为__________． 答案 1解析 ∵k MN ＝m －4－2－m＝1，∴m ＝1.8．已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率为__________． 答案3解析 直线PQ 的斜率为－3，则直线PQ 的倾斜角为120°，所求直线的倾斜角为60°， tan60°＝ 3.9．若过点P (1－a,1＋a )与Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是__________． 答案 (－2,1)解析 k ＝tan α＝2a －(1＋a )3－(1－a ) ＝a －1a ＋2. ∵α为钝角，∴a －1a ＋2＜0，即(a －1)(a ＋2)＜0，故－2＜a ＜1. 10．过两直线x ＋3y －10＝0和y ＝3x 的交点，并且与原点距离为1的直线方程为__________． 答案 x ＝1或4x －3y ＋5＝0解析 设所求直线为(x ＋3y －10)＋λ(3x －y )＝0， 整理得(1＋3λ)x ＋(3－λ)y －10＝0. 由点到直线距离公式得|－10|(1＋3λ)2＋(3－λ)2＝1，解得λ＝±3.∴所求直线为x ＝1或4x －3y ＋5＝0.11．直线x cos θ＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是________． 答案 [0，π6]∪[56π，π)解析 由题知k ＝－33cos θ，故k ∈[－33，33]，结合正切函数的图象，当k ∈[0，33]时，直线倾斜角α∈[0，π6]，当k ∈[－33，0)时，直线倾斜角α∈[56π，π)，故直线的倾斜角的范围是[0，π6]∪[56π，π)．二、解答题12．求经过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l 的方程． 解析 设所求直线方程为x a ＋yb ＝1，由已知可得⎩⎨⎧－2a ＋2b＝1，12|a ||b |＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.， ∴所求直线方程为2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0． 13．已知△ABC 中，A (1，－4)，B (6,6)，C (－2,0)．求： (1)△ABC 的平行于BC 边的中位线的一般式方程和截距式方程； (2)BC 边的中线的一般式方程，并化为截距式方程．解析 (1)平行于BC 边的中位线就是AB 、AC 中点的连线．因为线段AB 、AC 中点坐标为⎝⎛⎭⎫72，1，⎝⎛⎭⎫－12，－2，所以这条直线的方程为y ＋21＋2＝x ＋1272＋12，整理得6x －8y －13＝0，化为截距式方程为x 136－y138＝1.(2)因为BC 边上的中点为(2,3)，所以BC 边上的中线方程为y ＋43＋4＝x －12－1，即7x －y －11＝0，化为截距式方程为x 117－y11＝1.。
