2021高考数学考点精讲精练《08 指数、对数的运算》(讲解)(解析版)
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考点8：指数、对数的运算【思维导图】
【常见考法】
考法一：指数运算
1．化简2
5
31433(2)(3)(4)a b a b a b -----⋅-÷(,0)a b >= 。 【答案】232
b -
【解析】依题意，原式()()251314233233
42
a b b -++----⋅-=⋅⋅=-.
2．计算：
（6
+4
3-
（0.2508) 【答案】109
【解析】原式＝（1132
23⨯）6
+3443
(2)⨯-1＝22×33
+2﹣1＝108+2﹣1＝109．
3．计算：(
)(123
12
103
43
10.02762563π4-
--⎛⎫
-++-+ ⎪⎝⎭
= 。
【答案】66 【解析】(
)
(1231
2
103
4
310.02762563π4-
--⎛⎫
-++-+ ⎪⎝⎭
()
1232312
43234
3510.34
2
123
⨯
⎛⎫⎛⎫⨯-⨯
⎪⨯- ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎛⎫=-++-+ ⎪⎝⎭
10511
6413223
=
-++-+66= 4．已知
1122
x x -+＝3，求332
2
2223
x x
x x -
-++++的值为 ．
【答案】
2
5
【解析】解法一 ∵1122x x -+＝3，∴两边平方，得(11
22x x -+)2＝9，即x ＋x －1＝7.
两边再平方得x 2＋x －2＝47，将等式1
1
22x x -+＝3两边立方，得3
3
1
1
222233x x x x --+++＝27，
即33
22x x -+＝18.∴原式＝
1822
4735
+=+. 解法二 设12
x ＝t ，则12
1x
t
-=，2
2113,7t t t t +=+=
∴原式＝23
232
4242111
12
211323t t t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫++-+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫+++-+ ⎪⎝
⎭＝()3712249235⨯-+=-+.
6.已知0a >，23x
a =，求33x x
x x
a a a a
--++的值为 。． 【答案】
73
【解析】原式()()2222117
13133
x
x x x x x x x
a
a a a a a a a ----+-+=
=-+=-+=+.
7．程4220x x --=的解为______.
【答案】1x =
【解析】设20x t =>,即转化为求方程220t t --=的正实数根由220t t --=得2t =或1t =-(舍)所以
=22x t =，则1x =故答案为：1x =
考法二：对数的运算
1.
= 。
【答案】-4
【解析】由对数的运算性质,
81251g
25
110(110)2
lg g ⨯⨯=⨯-2
104
12lg ==-- 2．计算4839(log 3log 3)(2log 2)log +⋅+= ______________ 【答案】
54
【解析】48392233111(log 3log 3)(2log 2)log 3log 3log 2log 2232log ⎛⎫⎛⎫
+⋅+=++
⎪⎪
⎝⎭⎝⎭
32535
log 2log 3624
=⨯⨯= 3.计算3log 225334log 3
log 25log 36log 4lg5lg3log 9
+--++= 。 【答案】4
【解析】由对数的运算及换底公式,展开化简可得
3log 225334log 3
log 25log 36log 4lg 5lg 3log 9
N =+--
++
()225333322log 3log 5log 4log 9log 4lg5lg3log 2
1
log 32
=++--
++⨯⨯
23lg 2
2log 31lg5lg3lg3
=+-++⨯
()221lg 52=+-+⨯2211=+-+4=. 4.计算2（
）2
•lg5
= 。
【答案】1
【解析】
2（
）2
•lg5=
2（
）2•lg5+1
﹣
＝
（
++1
﹣
＝+
1﹣＝1．
5
．
lg8lg 0.3lg1.2
-=⋅______.
【答案】32
-
【解析】原式33
3
223lg3lg 2lg10(1lg3)(lg3lg 41)
2312lg 0.3lg1.2lg lg 1010
⎛⎫+- ⎪-⋅+-⎝⎭=
=⋅⋅ 3101210lg lg lg
33231033121022lg lg lg 10103
⋅⋅==-⋅=-⋅.故答案为：32- 6．已知()732log log log 0x =⎡⎤⎣⎦，那么x 等于______. 【答案】8
【解析】因为()732log log log 0x =⎡⎤⎣⎦，所以()32log log 1x =，所以2log 3x =，所以8x =. 故答案为：8
7．已知lg6a =，lg15b =，试用a 、b 表示lg 48=________． 【答案】()1
5332
a b -+ 【解析】
lg6lg 2lg3a =+=，30310lg15lg
lg lg3lg 2122
b ⨯===-+=，