结识抛物线JA

抛物线知识点总结抛物线是数学函数中的基础，而相关的知识点也有一定的难度。

下面是小编推荐给大家的抛物线知识点总结，希望能带给大家帮助。

抛物线知识点总结1.抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线x=-b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上;当=b^2-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a0时，抛物线向上开口;当a0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时(即ab0)，对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab0)，对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于(0，c)6.抛物线与x轴交点个数=b^2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。

=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

=b^2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点。

X的取值是虚数(x=-bb^2-4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a) 抛物线y = ax^2 + bx + c (a≠0)就是y等于a乘以x 的平方加上 b乘以x再加上 c置于平面直角坐标系中a > 0时开口向上a < 0时开口向下(a=0时为一元一次函数)c>0时函数图像与y轴正方向相交c< 0时函数图像与y轴负方向相交c = 0时抛物线经过原点b = 0时抛物线对称轴为y轴(当然a=0且b≠0时该函数为一次函数)还有顶点公式y = a(x+h)* 2+ k ,(h,k)=(-b/(2a),(4ac-b^2)/(4a)) 就是y等于a乘以(x+h)的平方+k-h是顶点坐标的xk是顶点坐标的y一般用于求最大值与最小值和对称轴抛物线标准方程：y^2=2px (p>0)它表示抛物线的焦点在x的正半轴上，焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2由于抛物线的焦点可在任意半轴，故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py。

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校结识抛物线（1）亮标明学教学目标：1.会用描点法画二次函数y=x2和y= -x2的图象；2、根据函数y=x2和y=-x2的图象，直观地了解它的性质教学重点:1 .会用描点法画二次函数y=x2和y= -x2的图象；2、根据函数y=x2和y=-x2的图象，了解它的性质教学难点: 掌握函数y=x2和y=-x2的图象的性质并且应用性质解题.预习导学（1）正比例函数的图象是过的一条，（2）一般的一次函数的图象是，当k＞0时，y随x的增大而；当k ＜0时，y随x的增大而。

（3）反比例函数的图象是。

当k＞0时，图象在象限，当k＜0时，图象在象限。

（4）二次函数的一般形式为 (其中a，b，c是常数且a≠0)．2、作函数y＝x2的图象．画函数图象的一般步骤是，， ,按上面的步骤作出y=x2的图象．(2)在直角坐标系中描点．(3)用光滑的曲线连接各点，便得到函数y＝x2的图象．合作互学1、对于二次函数y＝x2的图象，(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流．(2)图象与x轴有交点吗?如果有，交点坐标是什么?(3)当x<0时，随着x值的增大，y的值如何变化?当x>0时呢?(4)当x取什么值时，y的值最小?最小值是什么?你是如何知道的?(5)图象是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?请你找出几对对称点，并与同伴进行交流．2、y=x2的图象的性质．(1)抛物线的开口方向是．(2)它的图象有最点（填高或低），最点坐标是( )．(3)它是对称图形，对称轴是．在对称轴左侧，y随x的增大而；在对称轴的右侧，y随x的增大而．(4)图象与x轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，称为抛物线的，同时也是图象的最低点，坐标为(0，0)．(5)因为图象有最低点，所以函数有最值(填大或小)，当x＝0时，y最小=0．3、二次函数y=-x2的图象是什么形状?先想一想，然后作出它的图象．它与二次函数y=x2的图象有什么关系?与同伴进行交流．4、试着讨论y=-x2的图象的性质：(1)它的开口方向．(2)它的图象有最点，最点坐标为( )．(3)它是对称图形，对称轴是，在对称轴左侧，y随x的增大而，在对称轴右侧x随x的增大而．(4)图象与x轴有交点，也叫抛物线的顶点，还是图象的，这点的坐标为(0，0)． (5)因为图象有最高点，所以函数有，当x=0时，y最大＝0．示意助学1、函数y=x2与y＝-x2的图象的比较．联系：它们的图象关于 对称．精练独学1．下列函数中是二次函数的是 ( )A. y=2+5x 2B ．y=322+x C ．y ＝3x(x+5)2 D. y=5232++x x 2．说出抛物线y=4x 2与y ＝- 41 x 2的开口方向，对称轴与顶点坐标．3、点A (2,4) 在二次函数y=x 2的图象上吗？请分别写出点关于 x 轴的对称点B 的坐标、关于y 轴的对称点C 的坐标、关于原点O 的对称点D 的坐标。

2.2结识抛物线教学目标(一)教学知识点1．能够利用描点法作出函数y＝x2的图象．能根据图象认识和理解二次函数y＝x2的性质．2．猜想并能作出y＝－x2的图象，能比较它与y＝x2的图象的异同．(二)能力训练要求1．经历探索二次函数y＝x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．2．由函数y＝x2的图象及性质，对比地学习y＝－x2的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维．(三)情感与价值观要求1．通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解．2．在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质．教学重点1．能够利用描点法作出函数y＝x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y＝x2的性质．2．能够作出二次函数y＝－x2的图象，并能比较它与y＝x2的图象的异同．教学难点经历探索二次函数y＝x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．并把这种经验运用于研究二次函数y＝－x2的图象与性质方面．实现“探索——经验——运用”的思维过程．教学方法探索——总结——运用法．教学过程Ⅰ．创设问题情境，引入新课[师]我们在学习了正比例函数，一次函数与反比例函数的定义后，研究了它们各自的图象特征．知道正比例函数的图象是过原点的一条直线，一般的一次函数的图象是不过原点的一条直线，反比例函数的图象是两条双曲线．上节课我们学习了二次函数的一般形式为y＝ax2＋bx＋c．(其中a，b，c是常数且a≠0)，那么它的图象是否也为直线或双曲线呢？本节课我们将一起来研究有关问题．Ⅱ．新课讲解一、作函数y＝x2的图象．[师]一次函数的图象是一条直线，二次函数的图象是什么形状呢？让我们先看最简单的二次函数y＝x2．大家还记得画函数图象的一般步骤吗？[生]记得，是列表，描点、连线．[师]非常正确，下面就请大家按上面的步骤作出y＝x2的图象．[生](1)列表：x－3 －2 －1 0 1 2 3y9 4 1 0 1 4 9(2)在直角坐标系中描点．(3)用光滑的曲线连接各点，便得到函数y＝x2的图象．[师]画的非常漂亮．二、议一议投影片：(§2．2A)对于二次函数y＝x2的图象，(1)你能描述图象的形状吗？与同伴进行交流．(2)图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？(3)当x＜0时，随着x值的增大，y的值如何变化？当x＞0时呢？(4)当x取什么值时，y的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？(5)图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点，并与同伴进行交流．[生](1)图象的形状是一条曲线．就像抛出的物体所行进的路线的倒影．(2)图象与x轴有交点，交于原点，交点坐标是(0，0)．(3)当x＜0时，图象在y轴的左侧，随着x值的增大，y的值逐渐减小；当x＞0时，图象在y轴的右侧，随着x值的增大，y的值逐渐增大．(4)观察图象可知，当x＝0时，y的值最小，最小值是0．(5)由图可知，图象是轴对称图形，它的对称轴是y轴，从刚才的列表中可找到对应点(－1，1)和(1，1)；(－2，4)和(2，4)；(－3，9)和(3，9)．[师]大家的分析判断能力很棒，下面我们系统地总结一下．三、y＝x2的图象的性质．投影片：(§2．2B)[师]从图象来看抛物线的开口方向向上．下面请大家讨论之后系统地总结出y＝x2的图象的所有性质．[生](1)抛物线的开口方向是向上．(2)它的图象有最低点，最低点坐标是(0，0)．(3)它是轴对称图形，对称轴是y轴．在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．(4)图象与x轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，称为抛物线的顶点，同时也是图象的最低点，坐标为(0，0)．(5)因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝0时，y最小＝0．四、做一做．投影片：(§2．2C)二次函数y＝－x2的图象是什么形状？先想一想，然后作出它的图象．它与二次函数y＝x2的图象有什么关系？与同伴进行交流．[师]请大家按照画图象的步骤作出函数y＝－x2的图象．[生]y＝－x2的图象如下图：形状还是抛物线，只是它的开口方向向下，它与y＝x2的图象形状相同，方向相反，这两个图形可以看成是关于x轴对称．[师]下面我们试着讨论y＝－x2的图象的性质．[生](1)它的开口方向向下．(2)它的图象有最高点，最高点坐标为(0，0)．(3)它是轴对称图形，对称轴是y轴，在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减小．(4)图象与x轴有交点，也叫抛物线的顶点，还是图象的最高点，这点的坐标为(0，0)．(5)因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝0时，y最大＝0．[师]大家总结得非常棒．五、函数y＝x2与y＝－x2的图象的比较．我们分别作出函数y＝x2与y＝－x2的图象，并对图象的性质作系统的研究．现在我们再来比较一下它们图象的异同点．投影片：(§2．2D)不同点：1．开口方向不同，y＝x2开口向上，y＝－x2开口向下．2．函数值随自变量增大的变化趋势不同，在y＝x2图象中，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大．在y＝－x2的图象中正好相反．3．在y ＝x 2中y 有最小值，即x ＝0时，y 最小＝0，在y ＝－x 2中y 有最大值．即当x ＝0时，y 最大＝0．4．y ＝x 2有最低点，y ＝－x 2有最高点．相同点：1．图象都是抛物线．2．图象都与x 轴交于点(0，0)．3．图象都关于y 轴对称．联系：它们的图象关于x 轴对称．Ⅲ．课堂练习1．在同一直角坐标系中画出函数y ＝x 2与y ＝－x 2的图象．2．下列函数中是二次函数的是[ ]A ．y ＝2＋5x 2B ．y ＝322+x C ．y ＝3x (x ＋5)2 D ．y ＝5232++x x 3．分别说出抛物线y ＝4x 2与y ＝－41x 2的开口方向，对称轴与顶点坐标． 答案：1．略 2．A3．解：抛物线y ＝4x 2的开口向上，对称轴是y 轴，顶点是原点，坐标为(0，0)．抛物线y ＝－41x 2的开口向下，对称轴是y 轴，顶点坐标为(0，0)． Ⅳ．课时小结本节课我们学习了如下内容：1．画函数y ＝x 2的图象，并对图象的性质作了总结．2．画函数y ＝－x 2的图象，并研究其性质．3．比较y ＝x 2与y ＝－x 2的图象的异同点及联系．Ⅴ．课后作业习题2．2Ⅵ．活动与探究已知函数y ＝m ·m m x -2．m 取何值时，它的图象开口向上．当x 取何值时，y 随x 的增大而增大．当x 取何值时，y 随x 的增大而减小．x 取何值时，函数有最小值．解：由题意得：⎩⎨⎧=+≠202m m m 解得⎩⎨⎧-==≠210m m m 或 当m ＝－2时，y ＝－2x 2开口向下∴m ＝1即当m ＝1时，它的图象是开口向上的抛物线．函数关系式为y ＝x 2．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小．当x ＝0时，函数有最小值．《2.2结识抛物线》说课稿今天我说课的内容是北师大版数学九年级下册第二章《二次函数》第二节“结识抛物线”。

2.2结识抛物线知识点一：函数图象性质1.学会画2x y =的图象，掌握作法2.函数2x y =的图象是一条开口向上的抛物线，当0<x 时，Y 随X 的增大而减小；当0>x 时，Y 随X 的增大而增大；当0=x 时，Y 取最小值为0；即抛物线2x y =的顶点坐标是（0,0） 该点也是图象的最低点，抛物线关于Y 轴对称3.函数2x y -=的图象是一条开口向下的抛物线，当0<x 时，Y 随X 的增大而增大；当0>x 时，Y 随X 的增大而减小；当0=x 时，Y 取最大值为0；即抛物线2x y -=的顶点坐标是（0,0）该点也是图象的最高点，抛物线关于Y 轴对称4.函数2x y =和2x y -=是关于X 轴对称的【例1】已知函数42)1(-+-=k k x k y 是二次函数，且当0>x 时，Y 随X 的增大而增大（1）求K（2）画出函数图象（3）根据图象指出该函数的对称轴和顶点坐标练习：1.观察函数2x y =的图象，下列判断正确的是（ ）A 若b a ,互为相反数，则b x a x ==,的函数值相同B 对于同一个自变量X ，有两个函数与它对应C 对任意一个实数Y ，有两个X 与之对应D 对任意实数X ，都有0>y2.已知点),2(),,2(),,1(321y C y B y A ---在函数2x y -=的图象上，则321,,y y y 的大小关系是（ ）A 321y y y >>B 231y y y >>C 123y y y >>D 312y y y >>3.若某函数图象最低点为原点（0,0)则这个函数是（ ） A 321+=x y B 2x y -= C 2x y = D x y -= 4.在抛物线上2x y -=有两个点)641,(),641,(--n B m A =+≠n m n m ),(（ ） A 0 B 81 C 161 D 641 5.如图所示，在直角坐标系中，函数23x y x y =-=与的图象大致是（ ）6.已知1-<a，点),1(),,(),,1(321y a y a y a +-都在函数2x y =的图象上，则（ ） A 321y y y << B 231y y y << C 123y y y << D 312y y y <<知识点二：二次函数2x y ±=与一次函数b kx y +=的综合1.二次函数2x y ±=与一次函数b kx y +=图象的交点坐标即是方程组⎩⎨⎧+=±=b kx y x y 2的解2.求坐标平面内的点围成的几何图形的面积应将其转化为以轴为其边长的几何图形的面积和或差。

抛物线知识点总结(通用3篇)抛物线知识点总结第1篇高三数学知识点之导数公式(c为常数) y'=0y'=nx^(n-1)y'=a^xlnay=e^x y'=e^xy'=logae/xy=lnx y'=1/xy'=cosxy'=-sinxy'=1/cos^2xy'=-1/sin^2xy'=1/√1-x^2y'=-1/√1-x^2y'=1/1+x^2y'=-1/1+x^2三角函数公式锐角三角函数公式sin α=∠α的对边 / 斜边cos α=∠α的邻边 / 斜边tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边倍角公式Sin2A=2SinA?CosA抛物线知识点总结第2篇一、教材分析（一）教学内容的特点本节课是“抛物线及其标准方程”的第一节课，主要学习内容为抛物线的定义和标准方程。

它是学生学习解析几何部分的重要基础知识。

这一节课是在学完“椭圆”和“双曲线”的基础上，将研究求曲线方程的方法拓展到抛物线，又是继续学习抛物线的几何性质的基础，同时还为后面学习抛物线的性质做好准备。

（二）教学重点、难点、关键点分析教学重点：抛物线定义及其标准方程。

教学难点：抛物线标准方程的推导。

（三）教学目标分析1.知识与技能目标（1）掌握抛物线的定义和标准方程，明确p的几何意义；（2）能用抛物线的定义解决一些简单的问题。

2.过程与方法目标（1）通过抛物线与椭圆、双曲线的类比，培养学生类比归纳能力。

（2）在抛物线定义的获得和其标准方程的推导过程中进一步渗透数形结合等数学思想和方法。

3.情感、态度与价值观目标（1）通过对抛物线定义的诠释，培养学生探索数学的兴趣。

（2）增强学生团队协作能力以及主动与他人合作交流的意识。

（3）感受四种形式的抛物线的美。

二、学生分析（一）学生的知识储备分析学生已学习了求曲线方程的一般方法和步骤以及椭圆和双曲线的方程，但学生仍对坐标法解决几何问题还存在障碍。

抛物线知识点归纳总结抛物线是高中数学中的一个重要概念，也是一种具有特殊性质的曲线。

在本文中，我们将对抛物线的定义、性质、方程及应用进行归纳总结。

一、定义抛物线是指平面上的一条曲线，它的几何定义是到定点距离与到定直线距离相等的点的轨迹。

具体来说，抛物线是以定点为焦点、定直线为准线的所有点的轨迹。

二、性质1. 对称性：抛物线关于准线对称。

2. 焦点和准线：焦点是抛物线上的凹点（开口向上的抛物线）或凸点（开口向下的抛物线），准线与抛物线相切于焦点。

3. 焦半径：抛物线上任意一点到焦点的距离称为焦半径，焦半径相等的点构成的线段称为焦径。

4. 直径：垂直于准线且通过焦点的线段称为直径。

5. 焦弦：与抛物线相交于两点且经过焦点的弦称为焦弦，焦弦的中点恰好是抛物线上的高点。

6. 切线：抛物线上任意一点处的切线与焦半径垂直。

7. 弦长公式：焦弦的弦长等于焦点到抛物线顶点的距离的两倍。

三、方程在平面直角坐标系中，一般式的抛物线方程形式为y=ax²+bx+c。

其中，参数a决定了抛物线的开口方向，当a大于0时，抛物线开口向上，当a小于0时，抛物线开口向下。

根据抛物线的特殊性质，我们可以得出以下常用的抛物线方程：1. 焦点在y轴上的抛物线方程：y²=4ax。

2. 焦点在x轴上的抛物线方程：x²=4ay。

3. 顶点在原点的抛物线方程：y²=4ax。

4. 顶点在坐标轴上的抛物线方程：x²=4ay。

四、应用抛物线在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。

以下列举了几个常见的应用场景：1. 抛物线轨迹：在自然界中，很多物体的运动轨迹都可以用抛物线来描述，例如自由落体运动、抛射运动等。

2. 抛物天线：抛物面具有聚焦的特点，因此在通信工程中常用抛物天线来进行信号的发射和接收。

3. 抛物线反射：当光线或声波垂直照射到抛物面上时，会被反射到焦点上，因此抛物面常被用于反射镜和声学聚焦器的设计。