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北师大版九年级数学下册第二章二次函数教案：二次函数讲义（不含答案）二次函数讲义【基础知识精讲】1、二次函数的定义： 一般地 ,形如y2bx．(0)的函数，叫做二次函数。
axc a2、二次函数的性质：当 a ﹥ 0 时，① 抛物线张口向，且向上无穷延长② 极点坐标（b , 4ac b 2 ） 对称轴是直线： xb 。
2a4a2a③ 当 xb 时， y 随 x 增大而增大；当 x b时， y 随 x 增大而减小。
2a2a当 xb4ac b 2. ④时， y 最小值 4a2a当 a ﹤ 0 时，① 抛物线张口向下，且向下无穷延长② 极点坐标（b , 4ac b 2）对称轴是直线： x b .2a 4a 2a③ 当 xb b 时， y 随 x 增大而减小；当 x2a 2a④当 xb4ac b 2时， y 最大值.2a 4a时， y 随 x 增大而增大。
3、二次函数的三种表示方式 : ①.分析法； ②.列表法； ③ .图像法。
4、求二次函数分析式的三种基本方法:① 一般式 yax 2 bx c ．② 极点式 y a( x h) 2 k ③ 交点式 y a(x x 1 )(x x 2)5、抛物线 y=ax 2+bx+c （a ≠0）与系数 a 、 b 、 c 的关系以下：① a 的正负决定抛物线张口方向和增减性，a 决定抛物线张口大小② c 确立抛物线与 y 轴交点的地点，交点坐标（ 0 ，c ）③ xb。
决定对称轴地点，对称轴为直线xb 。
2a2a④ b 24ac : 决定抛物线与 x 轴交点个数⑤ bb 2 4acx 轴交点坐标 A(x 1， 0) 、 B （x 2 ，0 ）x 1,2: 决定抛物线与2ab 2 4 a cx 轴两交点 A 、 B 间的距离 AB x 1x 2⑥a : 决定抛物线与 a3、二次函数的三种表示方式 : 1.分析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 ;2.列表法：用列出表格来表示两个变量之间的对应关系 ;3.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系。
北师大版九年级数学下册《二次函数》说课稿一、说课目标本节课的主要教学目标是让学生理解并掌握二次函数的基本概念、图像特征和性质，通过实例分析帮助学生练习解决与二次函数相关的问题。
让学生能够运用所学知识解决实际问题，培养其数学建模能力和问题解决能力。
二、说课内容1. 二次函数概念和定义首先，我们将引导学生回顾一元二次方程的相关知识，复习一元二次方程的一般形式与解的求法。
然后，我们将引入二次函数的概念，让学生了解二次函数的定义：y=ax2+bx+c（a≠0）。
2. 二次函数的图像特征和性质接下来，我们将重点介绍二次函数的图像特征和性质。
通过对二次函数图像的观察和分析，学生将掌握以下几个关键概念：•顶点：二次函数图像的最低点或最高点，可以通过公式 $x=-\\frac{b}{2a}$ 和 $y=c-\\frac{b^2}{4a}$ 求得；•对称轴：过二次函数图像顶点的直线，是图像的对称轴，对称轴方程为 $x=-\\frac{b}{2a}$；•平移与伸缩：二次函数图像可以通过改变参数 a、b 和c 实现平移和伸缩，学生需要学会根据参数的变化来预测图像的变化；•图像开口方向：通过观察二次函数的系数 a 的正负值，可以判断图像的开口方向（上开口还是下开口）；3. 二次函数的应用在掌握二次函数基本特征后，我们将引导学生运用二次函数解决实际问题。
通过具体的示例，如抛物线运动问题、最值问题等，教师将引导学生将实际问题转化为二次函数，并通过解方程、绘制图像等方式来求解问题。
通过这样的练习，学生将进一步巩固对二次函数的理解和应用能力。
三、教学重点•二次函数的定义和基本概念；•二次函数图像的特征和性质；•运用二次函数解决实际问题的方法和思路；四、教学方法和过程1. 教学方法本课采用多种教学方法，包括讲授、示范、引导和练习相结合的方法。
2. 教学过程Step 1：导入新知通过复习一元二次方程和解方程的方法，导入二次函数的概念。
2.1二次函数说课稿一、说课内容：北师版九年级数学下册第二章第一节的二次函数的概念及相关习题二、教材分析：1、教材的地位和作用这节课是在学生已经学习了一次函数、正比例函数、反比例函数的基础上，来学习二次函数的概念。
二次函数是初中阶段研究的最后一个具体的函数，也是最重要的，在历年来的中考题中占有较大比例。
同时，二次函数和以前学过的一元二次方程、一元二次不等式有着密切的联系。
进一步学习二次函数将为它们的解法提供新的方法和途径，并使学生更为深刻的理解“数形结合”的重要思想。
而本节课的二次函数的概念是学习二次函数的基础，是为后来学习二次函数的图象做铺垫。
所以这节课在整个教材中具有承上启下的重要作用。
2、教学目标和要求：（1）知识与技能：使学生理解二次函数的概念，掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法，并了解如何根据实际问题确定自变量的取值范围。
（2）过程与方法：复习旧知，通过实际问题的引入，经历二次函数概念的探索过程，提高学生解决问题的能力．（3）情感、态度与价值观：通过观察、操作、交流归纳等数学活动加深对二次函数概念的理解，发展学生的数学思维，增强学好数学的愿望与信心．3、教学重点：对二次函数概念的理解。
4、教学难点：由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围。
三、教法学法设计：1、从创设情境入手，通过知识再现，体现教学过程2、从学生活动出发，通过以旧引新，顺势教学过程3、利用探索、研究手段，通过思维深入，领悟教学过程四、教学过程：（一）复习提问1、九年级学习的.一元二次方程一般形式是什么？ax2+bx+c=0(a≠0)2.函数是刻画现实问题中变量之间关系的重要数学模型，八九年级共学习两种我们形式，分别是哪些函数？一般形式分别是什么？【设计意图】复习这些问题是为了帮助学生弄清自变量、函数、常量等概念，加深对函数定义的理解．强调k≠0的条件，以备与二次函数中的a进行比较．（二）引入新课利用章前图的有关例子和背景导课。
1、地位和作用本节课是新北师版九年级下册第二章二次函数的第5节，是学生在学习和掌握了二次函数的图象和性质以及一元二次方程的基础上来研究二次函数与一元二次方程的关系。
本节课和一次函数：用函数观点看方程（组）与不等式比较类似，因此学生对函数与方程之间的联系已不再陌生。
通过本节课的学习，学生可以进一步加深对二次函数的图象和性质的理解，是后面学习二次函数与实际问题的基础，同时让学生进一步体会数形结合思想，也是以后高中学习一元二次不等式的基础。
2、教材内容在这节课中，首先通过小球飞行高度问题展示二次函数与一元二次方程的联系，然后进一步举例说明，从而得出二次函数与一元二次方程的关系，最后通过例题介绍用函数的图象求一元二次方程的根的方法。
二、学情分析根据学生现状，在八年级时已接触过用函数观点看方程（组）与不等式，因此学生对函数与方程之间的联系已不再陌生，且二次函数和一元二次方程是初中数学的难点问题。
因此，在教学中，我抓住这些特点，从学生已学的知识入手，引导学生在充分理解函数和一元二次方程关系的基础上，体会数形结合的思想。
三、教学目标四、教学重点难点程与二次函数的关系，是解二次方程的关键．本节课从实际问题出发，利用二次函数及图象特征探讨一元二次方程根的问题．这样设计，既激发了学生学习热情，同时使学生积极主动地投入到探究活动中．在探究一元二次方程与二次函数的关系中，教师引导学生，帮助学生建立数与形的结合，体会数形结合的思想．通过例题巩固用函数图象判断方程根的情况，提高学生的解题能力，激发他们对问题的探索精神，并且体会函数在方程中的应用．最后师生共同总结归纳，加深对二次函数与一元二次方程的理解与应用，提高应用数学的能力．以学生为主体，通过学生自主探索和合作交流，真正理解和掌握二次函数与一元二次方程之间的关系。
六、教学流程安排七、教学过程设计2021年春季小学数学复习题 练习 试卷 测试题小球沿与地面成30°角的方向击出时,球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,球的飞行高度 h (单位: m)与飞行时间 t (单位: s)之间具有关系：2520t t h -=．（1）球的飞行高度能否达到15 m? 若能,需要多少时间?（2）球的飞行高度能否达到20 m? 若能,需要多少时间? （3）球的飞行高度能否达到20.5 m? 若能,需要多少时间?（4）球从飞出到落地要用多少时间?分析： （1） h 是t 的二次函数； （2） 当h 取具体值时，得到关于t 的一元二次方程； （3） 如何求解一元二次方程的根呢？（4）如何理解一元二次方程与二次函数的关系？从小球飞行问题寻找一元二次方程与二次函数的关系，为学生能够积极主动地投入到探索活动创设情境，激发学生学习热情．问题与情境师生行为设计意图。
2.2二次函数的图像和性质（第二课时）§2.2.2 二次函数的图像及性质教学目标知识与技能1、能作出2ax y =和c ax y +=2的图像，并研究它们的性质.2、比较2ax y =和c ax y +=2的图像与2x y =的异同.理解a 与c 对二次函数图像的影响. 过程与方法1、经历探索二次函数2ax y =和c ax y +=2的图像的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图像三者联系起来的经验.2、通过比较2ax y =, c ax y +=2与2x y =的图像和性质的比较，培养学生的比较、鉴别能力.情感、态度与价值观让学生积极投身于数学学习活动中，有助于培养他们的好奇心与求知欲.经过自己的努力得出的结论，不仅使他们记忆犹新，还能建立自信心.由学生自己思考在经过合作交流完成的数学活动，不仅能使学生学到知识，还能使他们互相增进友谊.学情分析教学重点、难点教学重点：描点法画出二次函数c ax y +=2的图象，理解二次函数c ax y +=2的性质，理解函数c ax y +=2与函数2ax y =的相互关系是教学重点会用描。
教学难点：正确理解二次函数c ax y +=2的性质，理解抛物线c ax y +=2与抛物线2ax y =的关系是教学的难点。
关键：掌握2ax y =和c ax y +=2的图像与2x y =的异同.理解a 与c 对二次函数图像的影响. 突破方法： 根据设问层层深入逐个破解，然后进行类比、归纳、总结的探索模式学习，最后得出2ax y =和c ax y +=2的图像与2x y =的异同及a 与c 对二次函数图像的影响三．教法与学法导航教学方法：采用问题教学法和对比教学法，用层层推进的提问启发学生深入思考，主动探究主动获取知识.同时注意与学生已有知识的联系，减少学生对新概念接受的困难，给学生充分的自主探索时间.让学生在课堂上多活动，多观察，组织学生参与“探究--讨论--交流--总结”的学习活动过程，同时在教学中，还充分利用多媒体教学，通过演示、操作、观察、练习等师生的共同活动来启发学生，让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生的直观思维能力。
北师大版数学九年级下册2.2.2《二次函数的图象与性质》说课稿一. 教材分析北师大版数学九年级下册2.2.2《二次函数的图象与性质》这一节的内容，是在学生已经掌握了二次函数的一般形式和自变量与函数值的关系的基础上进行讲解的。
二次函数的图象与性质是二次函数的重要内容，对于学生来说，理解二次函数的图象与性质有助于更好地理解和应用二次函数。
本节课的主要内容包括二次函数的图象、顶点的性质、开口方向的性质、对称轴的性质和增减性。
这些内容是理解二次函数图象的关键，也是学生学习本节课的重点。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次函数的一般形式和自变量与函数值的关系已经有了一定的了解。
但是，对于二次函数的图象与性质的理解还需要进一步的引导和讲解。
此外，学生的空间想象能力和逻辑思维能力还需要进一步的培养。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生掌握二次函数的图象与性质，能够通过图象理解和应用二次函数。
2.过程与方法：通过观察、分析和推理，培养学生空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的探究精神和合作精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次函数的图象与性质。
2.教学难点：二次函数的图象与性质的理解和应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
2.教学手段：利用多媒体课件和数学软件进行教学。
六. 说教学过程1.导入：通过复习二次函数的一般形式和自变量与函数值的关系，引导学生进入本节课的学习。
2.讲解：讲解二次函数的图象与性质，通过多媒体课件和数学软件进行演示，让学生直观地理解二次函数的图象与性质。
3.练习：让学生通过练习题目的方式，巩固对二次函数图象与性质的理解。
4.总结：对本节课的内容进行总结，强调二次函数的图象与性质的重要性。
5.作业：布置相关的作业，让学生进一步巩固对二次函数图象与性质的理解。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够突出二次函数的图象与性质的重点内容。
第二章 二次函数第1节 二次函数所描述的关系本节内容：二次函数的定义 列函数关系式（重点）一般地，形如的二次函数。
的函数叫做是常数，x a c b a c bx ax y )0,,(2≠++= 例如：的二次函数。
等等都是x x y x x y x x y 13,2,32222+-=+=--= 在理解二次函数的定义时，应注意以下几点：（1）任何一个二次函数的关系式都可以化成)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，的形式，因此，把)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式，其中c bx ax 、、2分别是二次项、一次项和常数项。
（2）二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 中，y x 、是变量，c b a 、、是常量。
自变量x 的取值范围是全体实数，b 和c 可以是任意实数，要特别注意a 必须是不等于0的实数。
因为当a =0时，c bx ax y ++=2就是c bx y +=，若0≠b ，则c bx y +=是一次函数；若0=b ，则c y =，就是一个常数函数。
（3）二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 与一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有密切联系，如果将变量y 换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次方程。
■例1下列函数中，y 是x 的二次函数的是（ ）A ．012=++y x B.2)1()1)(1(---+=x x x y C.242x y ++= D.022=-+y x函数关系式其实是一个等式，左边字母表示的量随右边的字母变化而变化，所以左边的字母（因为右边的的字母变化它才变化）叫因变量，右边的字母是自己不断的变化，所以叫自变量。
（1）在实际问题中，要表示两个变量间的关系，需找到问题中的等量关系，列出含有这两个变量的二元方程，再按要求化成用含一个变量的式子表示另一个变量的形式。
（2）用尝试求值的方法解决实际问题，可以列出表格，依次对自变量取值，求出它们对应的函数值，然后取得符合题意的值。
■例2正方形的边长为3cm ，若它的边长增加xcm ，则它的面积就增加ycm 2。
试列出y 与x 之间的关系式。
典型例题：题型1根据二次函数的定义确定字母的取值 例1已知72)3(--=m xm y 是y 关于x 的二次函数，则m 的值是________。
题型2根据变量之间的关系列函数关系式例2将一根长20cm 的铁丝折成一个矩形，设矩形的一边长为xcm ，矩形的面积为y cm 2。
（1） 写出y 与x 之间的关系式，并指出它是一个什么函数？ （2） 当边长x=1，2时，矩形的面积分别是多少？题型3列函数关系式解决实际问题例3某广告公司欲设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形的一边长为x 米，所花费用为y 元。
（1） 请你写出y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围； （2） 估计当x 取何值时，y 有最大值。
例4如图，在宽为20m ，长为32m 的矩形地面上修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下的部分作为耕地，要使耕地的面积为y m 2，道路的宽为xm ，你能写出y 与x 之间的函数关系式吗？题型4二次函数与几何图形的综合应用例5如图，已知△ABC 是一个等腰三角形铁板余料，其中AB=AC=20cm ，BC=24cm 。
若在△ABC 上截出一个矩形零件DEFG ，使EF 在边BC 上，点D 、G 分别在边AB 、AC 上，设EF=xcm ，S DEFG 矩形=y cm 2。
你能写出y 与x 之间的函数关系式吗？第2节 结识抛物线本节内容：二次函数=y 2ax 的图象的画法（重点） 二次函数=y 2ax 的图象的性质（难点）1、 二次函数=y 2ax 的图象的画法（重点）描点法：列表——描点——连线列表——取原点（0，0），然后在原点两侧对称地取4个点描点——先将y 轴右侧的两个点描出来，然后按对称关系找到y 轴左侧的两个对应点连先——按从左到右的顺序将这5个点用平滑的曲线连接起来。
注意要“平滑”，且图象不能到“两端”为止，应画成延伸的形状 ■ 例1作出二次函数y=2x 的图象。
2、 二次函数=y 2ax 的图象的性质（难点）■ 例2在同一直角坐标系中，画出函数2222x y x y -==和的图象，并根据图象回答下列问题：（1） 说出这两个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2） 抛物线221x y =，当x______时，抛物线上的点都在x 轴上方，当x>0时，曲线自左向右逐渐______；它的顶点是图象的最____点；（3） 函数22x y -=，对于一切x 的值，总有函数值y_____0；当x<0时，y 随x 的增大而____；当x____时，y 有最______值，是_______。
典型例题：例1已知抛物线y=2x -与直线y=3x+m 都经过点（2，n ）。
（1） 求m 、n 的值。
（2） 是否存在另一个交点？若存在，请求出。
例2已知mm mxy +=2，当m=________时，它的图象是开口向下的抛物线，当x______时，y随x 的增大而增大。
例3已知，如图，直线l 经过A （4，0）和B （0，4）两点，它与抛物线y=2ax 在第一象限内相交于点P ，又知△AOP 的面积为4，求a 的值。
第3节 刹车距离与二次函数本节内容： 比较225011001v s v s ==和的图象的异同（重点） 比较)0()0(22≠+=≠=a c ax y a ax y 与的图象的异同（难点） 1、比较225011001v s v s ==和的图象的异同（重点） 二次函数2ax y =中的a 的作用：（1）a 的符号决定抛物线的开口方向：a >0时，开口向上；a <0时，开口向下；（2）a 的值决定抛物线的形状和开口大小，|a |相同，抛物线的形状和开口大小相同；|a |越大，抛物线开口反而越小，图象越靠近y 轴。
21001v s =确定；雨天行驶时，这一公式为2501v s =。
在同一直角坐标系中作出21001v s =和2501v s =的图象。
（1） 完成下表：（2） 在图中作出2501v s =的图象。
（3） 解答下列问题：① 21001v s =和2501v s =的图象有什么相同点与不同点？ ② 如果行车速度是60km/h ，那么在雨天行驶和在晴天行驶相比，刹车距离相差多少？你是怎么知道的？ （4）根据上述两点分析，你想对司机师傅说些什么？2、比较)0()0(22≠+=≠=a c ax y a ax y 与的图象的异同（难点）■ 例2在同一直角坐标系中画出函数2x y -=和12+-=x y 的图象，并根据图象回答下列问题。
（1） 抛物线12+-=x y 经过怎样的平移才能得到抛物线2x y -=？（2） 函数12+-=x y ，当x______时，y 随x 的增大而减小，当x_____时，函数有最大值，最大值y 是______，其图象与y 轴的交点坐标是_________，与x 轴的交点坐标是________。
（3）试说出抛物线3212-=x y 的开口方向，对称轴和顶点坐标。
典型例题：例1不画图象，说出抛物线24x y -=和241x y =的对称轴、顶点坐标和开口方向。
例2已知函数42)2(-++=m m xm y 是关于x 的二次函数，求：（1） 满足条件的m 值；（2） m 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？（3） m 为何值时，函数有最大值，最大值是什么？这时当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？例3心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x (分钟)之间满足函数关系：y =－0.1x 2+2.6x +43(0≤x ≤30)，y 值越大表示接受能力越强.(1)x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增加？x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？(2)第10 分钟时，学生的接受能力是多少？几分钟时，学生的接受能力最强？ (3)结合本题针对自己的学习情况有何感受？第4节 二次函数c bx ax y ++=2的图象本节内容：二次函数的图象的平移 配方法及二次函数c bx ax y ++=2的图象的基本特征（重点） 二次函数c bx ax y ++=2的性质（重点）二次函数c bx ax y ++=2的图象特征与c b a 、、的符号之间的关系（难点）1、二次函数c bx ax y ++=2的图象的平移（1）二次函数k ax y +=2的图象可由抛物线2ax y =向上（或向下）平移而得到。
当k>0时，抛物线2ax y =向上平移|k|个单位，得k ax y +=2的图象； 当k<0时，抛物线2ax y =向下平移|k|个单位，得k ax y +=2的图象。
（2）二次函数2)(h x a y -=的图象可由抛物线2ax y =向左（或向右）平移而得到。
当h>0时，抛物线2ax y =向右平移|h|个单位，得到2)(h x a y -=的图象； 当h<0时，抛物线2ax y =向左平移|h|个单位，得到2)(h x a y -=的图象； （3）二次函数k h x a y +-=2)(的图象可由抛物线2ax y =向左（或向右）平移|h|个单位，再向上（或向下）平移|k|个单位而得到。
注意：①平移时与上、下、左、右平移的先后许无关。
既可先左右后上下，也可先上下后左右； ②抛物线的移动主要看顶点的移动，即在平移时只要抓住顶点的位置变化就可以了； ③抛物线k h x a y +-=2)(经过反向平移也可得到抛物线2ax y =的图象。
■ 例1已知k h x a y +-=2)(是由抛物线22x y -=向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到的抛物线。
（1） 求出k 、、h a 的值；（2） 在同一直角坐标系中，画出k h x a y +-=2)(与221x y -=的图象； （3） 观察k h x a y +-=2)(的图象，当x______时，y 随x 的增大而增大，当x______时，函数y 有最____值，最_____值是y______；（4） 观察k h x a y +-=2)(的图象，你能说出对于一切x 的值，函数y 的取值范围吗？2、配方法及二次函数c bx ax y ++=2的图象的基本特征（重点）■ 例2求抛物线7522+--=x x y 的对称轴和顶点坐标。
3、二次函数c bx ax y ++=2的性质（重点）■ 例3画出二次函数253212---=x x y 的图象，并根据图象说出x 取何值时，y 随x 的增大而增大；x 取何值时，y 随x 的增大而减小？函数y 有最大值还是最小值，最值是多少？4、二次函数c bx ax y ++=2的图象特征与c b a 、、的符号之间的关系（难点）■ 例4如图，坐标系中抛物线是函数c bx ax y ++=2的图象，则下列式子能成立的是（ ）A.0>abc c a b B +<.0.<++c b a C b c D 32.< b c E 2.>典型例题：例1指出下列二次函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标。
