2.2 结识抛物线 课件3(数学北师大版九年级下册)

x
y=－x2
探究二次函数y=-x2的性质
y 说说二次函数y=－x2的图象 有哪些性质？与同伴交流。 （1）图象与x轴交于原点(0，0) （2） y ≤0 （3）当x <0时，y 随x 的增大 而增大； 当x >0时，y 随x 的增大 而减小。 o
小结
y=x2
x
（4）当 x = 0时， y最大值 = 0
(4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？ (5)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？ 你是如何知道的？
o x
y x2
二次函数y=x2的 图象形如物体抛射 时所经过的路线,我 们把它叫做抛物线. 这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴. 对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
y x2
顶点坐标
对称轴 位置 开口方向
y轴 在x轴的上方(除顶点外)
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
增减性 最值
当x=0时,最小值为0.
当x=0时,最大值为0.
课后作业 ：
P41习题2．2 1,2题.
祝你成功！
结束寄语:
•有不断的思考,才会有 新的发现;有量的变化, 才会有质的进步.
（5）图象关于 y 轴对称。
y=－x2
练习与提高 ：
1、已知函数
y (m 1) x
m2 2 m
是关于x 的二次函数。求：
（1）满足条件的m 的值； （2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点， 这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？ （3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？ 这时当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？

复习填空： 1、一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0） 二次函数 的函数叫做x 的___________. 2、画函数图象的主要步骤是什么？ 描点 ； 连线 。 （2）_____ （3）______ （1）列表 _____ ；
3、请你画出二次函数 y=x2 的图象。 列表：
作业 2、已知点A(1，a)在抛物线y = x2 上。 （1）求A的坐标； （2）在x 轴上是否存在点P，使得△OAP是等腰三角形？ 若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。 y
A
o
x
小结：二次函数y=±
１.顶点坐标与对称轴
x2的性质
y x2
２.位置与开口方向
３.增减性与最值 根据图形填表： 抛物线 y=x2 （0，0） y= -x2 （0，0） y轴 在x轴的下方( 除顶点外) 向下
习题2．2 1,2题.
结束寄语:
•有不断的思考,才会有
新的发现;有量的变化, 才会有质的进步.
; /18_18034/ 元尊
stb03rus
奶奶即使变成了鬼，我也不害怕！”刚到半上午时分，一个宽敞的大坑就挖好了。他们把大坑的一头做成了一面斜坡，兄妹三 人合力，把两副寿棺稳稳地推入坑里摆放整齐，心酸的眼泪再一次流淌下来„„良久，耿正说：“我们把梁爷爷和梁奶奶掩埋 起来吧，让他们从此安息，不再有痛苦和烦恼„„”在一堆红土前，耿正兄妹三人并排跪下来磕头。耿正说：“梁爷爷，梁奶 奶，安息吧！只要我们在景德镇，就会经常来看你们„„”耿英说：“梁爷爷，梁奶奶，我们会给你们做七、做百日、做周 年„„”耿直说：“梁爷爷，梁奶奶，我们会永远想念你们„„”75第六十七回 梁爷爷临终赠宅店|（回光返照凝余力，梁爷 爷临终赠宅店；喜有儿孙给送终，梁奶奶含笑赴九泉。）却说老梁头的病情加重，到后来竟然发展到水米不进了。他自己又不 让给灌药汤和灌米粥面糊，因此只能是干咳一会儿，喘息一会儿，昏昏沉沉地躺在床上痛苦着。但是，就这么着苦苦挨到晚上 的时候，老人家的精神忽然大有好转，自己提出来要喝米粥。兄妹三人很高兴，认为梁爷爷这热病看来要大好了！耿英马上去 厨房热了晚上刚熬的米粥，盛一大碗端过来。耿正小心地扶老人坐起来，耿英用木头小勺慢慢地喂他喝了半碗，老人的脸上渐 渐泛起少见的红晕。看到老人摇头表示不再喝了，耿正又小心地扶他躺下。他喘息着干渴几声后，对耿正兄妹三人说：“娃儿 们，爷爷有话，要跟你们说。”耿正说：“梁爷爷，那您先少说几句吧。等身体养好了，咱们再慢慢说！”老梁头摇摇头，轻 轻地说：“不，爷爷现在有点儿精神，要把想说的话，全部和你们说完。我怕万一哪天，我去了，就没有机会说，说了啊！” 耿直说：“爷爷您说什么呢？有我们三个照顾着，您和奶奶一定会好起来的！”老梁头无力地笑了，说：“那当然好了，可这， 生生死死的事情，谁又能够知道啊！”说完这话，老人歇息一会儿，将目光转向耿正，又看看耿英和耿直，慢慢地说：“爷爷 和你们的奶奶，来到这景德镇，整整五十年了，从给人家钉鞋、洗衣服做起，好不容易置下了，这个窄条条的小院子，为的就 是前，前面的三间门面房。开了这个小，小饭店的前几年，咱薄利多销的，生意还算，说得过去，也积攒了一些银子。想的是 我们俩，没儿没女的，积攒点儿钱，等老了的时候，能有个花的。但最近几年，我们实在，干不动了，只能靠熬粥和，和打烧 饼赚，赚点儿小钱。可恨的是，那些银子都，都被那窃贼抢，抢走了„„”又是一阵干咳之后，老人哽咽着说不下去了。耿英 说：“爷爷您别太伤心了。有我们兄妹三人在，您和奶奶就不会缺少吃穿的。歇息一会儿再说吧！”耿正也说：“爷爷您别伤 心，我们一定会一直照顾您和奶奶的！”老人流着眼泪继

•2
•3
•4 •x
•-2
•
•y
•10
•y=
•8
x2
•6
•4
•2 •1
•-4 •- •-2 •-1 •o •1 •2 •3 •4 •x
3
•-
2
•如图，二次函数Y=X2的图象是一条抛 物线，它的开口向上，且关于Y轴对称。 对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点
，它是图象的最低点。
•
•
•
•做一做
• 二次函数y=-x2的图象是什么形状？ • 先想一想，然后作出它的图象． • 它与二次函数y=x2的图象有什么关系？
初三数学下册第二章《结识 抛物线》课件北师大版
•
•问题 ：
• 在二次函数y=x2中，y随x的变化而变化 的规律是什么？
• 你想直观地了解它的性质吗?
•
作二次函数y=x2的图象
• (1)观察y=x2的表达式，选择适当x值，并计算 相应的y值，完成下表：
x -3 -2 -1 0 1 2 3 ...... y=x2 9 4 1 0 1 4 9 ......
2.4m。在图中直角坐标系内，求涵洞所在抛物线的
表达式。
•y
•o •x
•A
•B
•
•小结：
•这节课你和同学一起学到什么？的一种重要模型。 •请看下面的一些例子：
•1。某一物体的质量为m，它运动时的能量E与它的运动速度v之间的关系
是： •
•（m为定值）
•2。导线的电阻为R，当导线中有电流通过时，单位时间所产生的热量Q与
电流强度I之间的关系是：
•（R为定值）
•3。g表示重力加速度，当物体自由下落时，下落的高度h与下落时间t

九年级数学(下)第二章 二次函数 第二节
2020/11/24
1
说 一、教材分析 课 二、教法分析
流 三、学法指导
程 四、教学过程 图
五、板书设计
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2
(一). 教材的地位及作用 (二). 教学目标
(三). 教学重点、难点
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3
(一). 教材的地位及作用
本节内容是学生学习了正比例函数、一次函数和 反比例函数以后，进一步学习的函数知识，是函数知 识螺旋发展的一个重要环节.二次函数曲线——抛物线 ，也是人们最为熟悉的曲线之一.喷泉的水流、标枪的 投掷等都形成抛物线路径.同时抛物线形状在建筑上也 有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等. 本节课研究最简单的二次函数y=±x2的图象,是学生学 习函数知识的过程中的一个重要环节，既是前面所学知 识的延续，又是探究其它二此函数的图象及其性质的 基础，起到承上启下的作用.
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返回7Байду номын сангаас
(三). 教学重点、难点
教学重点： 经历探索二次函数y=±x2的图象的作法和性
质的过程，理解二次函数y=±x2的性质．
教学难点： 描点法画y=x2的图象，体会数与形的相互联
系.
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返回8
针对本节课的特点，采用“创设情境—作图探 索—总结归纳—知识运用”为主线的教学方法.
画一画:你 能试着用描 点法画二次 函数y=x2的 图象吗?
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师生行为：两名学生上台板演 ，其他学生在下面尝试画图． 在学生画图时，教师溶入到学 生中，了解并搜集学生可能出 现的各种问题．比如：学生可 能会画成折线、半个抛物线、 没画出延伸的趋势……等情形 ，这时正好针对问题鼓励小组 间互相讨论、相互比较，交流 各自的观点．以下是学生在作 图过程中可能出现的几种情况.

2.填空:(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是（0，0） ,对称轴是 y轴 ,在对称轴的右 侧,y随着x的增 大而增大；在对称轴的左侧,y随着x的增大而
减小,当x= 0时,函数y的值最小,最小值是 0 , 抛物线y=2x2在x轴的 上 方(除顶点外).
(2)抛物线 y 2 x2在x轴的 下 方(除顶点外),在对
-3 -2 -1 O 1 2 3 x
(6)图象与对称轴有交点吗？
y
9
抛物线与对称轴的交
8 7
y=x2
点叫做抛物线的顶点．
6
5
二次函数y=x2的图象
4
的顶点是原点，它是图象
3 2
的最低点．
1
-3 -2 -1 O 1 2 3 x
二次函数 y=x2 的图
y
9
象是一条抛物线，它的 特点是：
8 7
y=x2
3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称 轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小. 当a<0时，在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称 轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.
例题欣赏
1.已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）. （1）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上. （3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.
6
y随着x的增
5 4
当 x>0 时，
大而减小．
3
y随着x的增
2 1
大而增大．
-3 -2 -1 O 1 2 3 x
(4) 当 x 取 什 么 值 时 ,y 的
值最小？最小值是什么 ？你是如何知道的？

解得x1＝10，x2＝－10.
20
∴地毯的总长度为AB＋2OC＝20＋2×5＝30(m)．
∴30×1.5×20＝900(元)．
∴购买地毯需要900元．
第十一页，共二十四页。
新课讲解
(3)可设G的坐标为
a
,
1 20
a2
5 其，中a＞0，
则EF＝2a m，GF＝
1 20
a
2
5
m
.
由已知得2(EF＋GF)＝27.5 m，即2
新课讲解
分析：解决问题的关键是建立适当的平面直角坐标系，把
实际问题中的长度转化为点的坐标，从而利用待定
系数法求二次函数关系式．
第十四页，共如图所示的平面直角坐标系，则抛物 线的顶点为O(0，0)，且经过点B(－1，－1)．于是 设所求二次函数关系式为y＝ax2， 则有－1＝a·(－1)2，得a＝－1. ∴抛物线型水流对应的二次函数关系式为y＝－x2.
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20 m；②足球飞行路
线的对称轴是直线t＝ ；③足球9被踢出9 s时落地；④足球
2
被踢出1.5 s时，距离地面的高度是11 m．其中正确结论的个
数是( ) A．1
B
B．2
C．3
D．4
第二十四页，共二十四页。
25
C
A．－20 m B．10 m C．20 m D．－10 m
第九页，共二十四页。
新课讲解
典例分析
例 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如
图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线对应的函 数表达式为y＝－ x12＋c且过点C(0，5).(长度单位：m)
20
(1)直接写出c的值；

九年级数学(下)第二章 二次函数
2.结识抛物线
有的放矢
数形结合,直观感受
在二次函数y=x2中,y随x的变化而变图象吗?它包括哪些步
骤？ <列表>
描点,连线
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表:
<列表>
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
祝你成功！
(2)图象是轴对称图形吗？如果8 是,它的对称轴是什么?请你找出几对
对称点。
6
(1)你能描述图象的形状吗?
4
2
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
做一做
(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？ (2)先想一想，然后作出它的图象． (3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
最值
当x=0时,最小值为0.
a＜0
向下
y轴（或X=0）
在x轴的下方( 除顶点外)
（0，0）
当X<0时,y随着x的增大而增大. 当X>0时, y随着x的增大而减小.
当x=0时,最大值为0.
• 你能根据你对抛物线的认识，画出以下函数的大 致图象，并说出的开口方向，对称轴，顶点坐标， 最值，以及它的增减性吗？
顶点坐标 增减性
最值
（0，0）
（0，0）
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x=0时,最小值为0.
当x=0时,最大值为0.
独立
作业
知识的升华
作业、 《基础巩固与能力突破》P189页 第 4、5、6题； P190页 第8题

∴点M在二次函数y=x2的图象上.
由题意得点N(-3,-9),点P(3,9),点Q(3,-9).
∴点P在二次函数y=x2的图象上,N,Q两点均在二次函数y=-x2
的图象上.
第1课时
抛物线的认识
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-12-
2
12.已知 A1,A2,A3 是抛物线 y= x 上的三点,A1B1,A2B2,A3B3 垂直于
-13-
第1课时
抛物线的认识
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
拓展探究突破练
-14-
13.有这样一个问题:探究函数 y1=x2(x≥0)和函数 y2= (x≥0)的
图象之间的关系,小东根据所学知识,画出两个函数图象,并观察
研究.
下面是小东的探究过程,请补充完整.
第1课时
抛物线的认识
知识要点基础练
抛物线y=x2的最低点
点A(-2,4)在抛物线y=x2上,也在抛物线y=-x2上
由题意得点N(-3,-9),点P(3,9),点Q(3,-9).
点A(-2,4)在抛物线y=x2上,也在抛物线y=-x2上
(填“增大”或“减小”)
直线y=-2与抛物线y=-x2的交点有 2 个.
如图,A,B为抛物线y=x2上的两点,且直线AB⊥y轴.
在二次函数y=-x2的图象上吗?
二次函数y=-x2与一次函数y=-x-1的图象在同一平面直角坐标系中的大致位置是( C )
已知正方形的边长为x cm,面积为y cm2,则下列图象能表示y与x之间的函数关系的是( C )
抛物线y=x2和y=-x2有相同的顶点和对称轴
抛物线y=-x2的最低点

第二十九页，编辑于星期五：十三点 四十分。
变式训练，稳固提高
1．在二次函数y=x2的图象上，与点A(-5，25)对称的点的坐标是
．
2．点(x1，y1)、 (x2，y2)在抛物线y=-x2上，且x1 ＞ x2＞0，那么
y1_____y2 . 3．设边长为xcm的正方形的面积为ycm2，y是x的函数，该函数的图象是
3.探究抛物线y=-x2 的性质
想一想:
师生行为：让学生先猜测再画图验
〔1〕二次函数y=-x2的 证，在学生画图时可让每一小组局
图象是什么形状？先想 一想，然后作出它的图 象．
部同学将y=x2与y=-x2的图象画在 一个坐标系内,而后学生通过讨论 交流得出结论，教师只给以必要的 引导．
(2) 类似的你能说出 它的性质吗?
过程，理解二次函数y=±x2的性质．
教学难点： 描点法画y=x2的图象，体会数与形的相互联系.
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第八页，编辑于星期五：十三点பைடு நூலகம்四十分。
二、教法分析
针对本节课的特点，采用“创设情境—作图探 索—总结归纳—知识运用〞为主线的教学方法.
把教学的重心放在如何促进学生的“学〞上，引导 学生采用观察、实验、自主探索、小组活动、集体交流 等多样化的学习方式.教学过程中始终坚持学生为主体, 教师为主导的方针，使探究知识和培养能力融为一体, 让学生不仅学到科学探究的方法,而且体验到探究的甘 苦,领会到成功的喜悦.
第十八页，编辑于星期五：十三点 四十分。
合作交流，探究新知
1．认识抛物线
问题：通过刚刚的分析你认为在画y=x2的图象时： 〔1〕列表取值应注意什么问题？ 〔2〕点和点之间用什么样的线连接?
第十九页，编辑于星期五：十三点 四十分。