【真题】15年河南省实验中学高三(上)数学期中试卷含答案(理科)

河南省实验中学--上期期中试卷高三数学(理)(时间:120分钟,满分:150分) 第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将所选答案填在答题卷上.1．若复数()1a ia R i+∈+是纯虚数，则实数a 的值为A ．1-B ． 1C ．2-D ．22．设集合S = {0 , 1 , 2 , 3 } , T = { x | | x –3 | ≤2}，则S ∩T =A ．{0 , 1, 2 , 3 }B ．{1 , 2 , 3 }C ．{0 ,1 }D ．{1}3．在等比数列{a n }中，若321a a a = 2 , 432a a a = 16，则公比q =A ．21B ．2C ．22D ．84．定义集合M 与N 的新运算：M+N=M x x ∈|{或N x ∈且}N M x ⋂∉，则(M+N)+N 等于A ．MB ．NC ．N M ⋂D ．N M ⋃5．若()x f 是Ｒ上的增函数，且()(),22,41=-=-f f 设Ｐ＝(){}31|<++t x f x ,Ｑ＝(){}4|-<x f x ．若“P x ∈”是“Q x ∈”的充分不必要条件，则实数ｔ的取 值范围是Ａ．ｔ≤－１ Ｂ．ｔ＞－１ Ｃ．ｔ≥３ Ｄ．ｔ＞３ 6．设函数()2(0)x f x x =≥,则其反函数1()f x -的图象是7．已知函数)(x f 满足)()(x f x f -=π，且当)2,2(ππ-∈x 时，x x x f +=sin )(，设)3(),2(),1(f c f b f a ===，则A.c b a <<B.a c b <<C. a b c <<D.b a c << 8．随机变量ξ服从标准正态分布)1,0(N ，025.0)96.1(=-Φ，则=<)96.1|(|ξPA ．025.0B ．050.0C ．950.0D ．975.09．若一系列函数的解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为221y x =+，值域为{3,19}的“孪生函数”共有A ．15个B ．12个C ．9个D ．8个10．函数=y sin -x cos x 与函数=y sin +x cos x 的图象关于Ａ.x 轴对称 Ｂ.y 轴对称 Ｃ.直线2π=x 对称 Ｄ.直线4π=x 对称11．方程θθcos 2sin =在［０，)2π上的根的个数为A ．０B ．1C ．２D ．４12．已知)()(x 、g x f 都是定义在R 上的函数, g (x )≠0, )()()()(''x g x f x g x f <, )()(x g a x f x =，25)1()1()1()1(=--+g f g f ，在有穷数列()()f n g n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭( n =1,2,…,10）中，任意取前k 项相加，则前k 项和大于1615的概率是 A ．51 B ．52 C ．54D ．53第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.13．设⎪⎩⎪⎨⎧≥+<--=)0()0(11)(2x •••••x a x ••xxx f ，要使函数)(x f 在),(+∞-∞内连续，则a 的值为 14．已知l 是曲线x x y +=331的切线中倾斜角最小的切线，则l 的方程为 ． 15．已知命题P ：关于x 的不等式a x x >-+-20082006恒成立；命题Q ：关于x 的函数()ax y a -=2log 在[0,1]上是减函数．若Ｐ或Ｑ为真命题，Ｐ且Ｑ为假命题，则实数a 取值范围是 ．16．给出定义：若1122m x m -<≤+（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x ，即 {}x m =．在此基础上给出下列关于函数|}{|)(x x x f -=的四个命题：①函数)(x f y =的定义域是R ，值域是[0，21]； ②函数)(x f y =的图像关于直线2kx =（k ∈Z）对称； ③函数)(x f y =是周期函数，最小正周期是1；C.OOOOxx x x yyyy22 22A.B.D.④ 函数()y f x =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是增函数；则其中真命题是__ ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）函数)0(21cos )cos sin 3()(>-+=ωωωωx x x x f 的最小正周期为π4. （Ⅰ）求)(x f 的单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中,角A,B,C 的对边分别是c b a ,,,且满足C b B c a cos cos )2(=-,求角B 的值，并求函数)(A f 的取值范围．18．（本小题满分12分）设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知11,2(1)(1,2,3,).n n a S na n n n ==--=（Ⅰ）求证：数列}{n a 为等差数列，并分别写出n a 和n S 关于n 的表达式； （Ⅱ）求12231111lim n n n a a a a a a →∞-⎛⎫+++⎪⎝⎭． 19．（本小题满分12分）已知袋中装有若干个均匀的红球和白球，从中摸出一个红球的概率是31．现从中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止． （Ⅰ）求恰好摸5次停止的概率；（Ⅱ）记5次之内摸到红球的次数为ξ,求ξ的分布列及数学期望．20．（本小题满分12分）设R a ∈，函数e a ax e x f x)(1(2)(2++=-为自然对数的底数）． （Ⅰ）判断)(x f 的单调性； （Ⅱ）若]2,1[1)(2∈>x ex f 在上恒成立，求a 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列}{n a ，)2(1>=a a a ，)1(221-=+n n n a a a 其中*n ∈N . （I ）证明 ：2>n a ； （Ⅱ）设2-=n n n a a b ，①证明 ：21n n b b =+；②若数列}{n c 满足n n b c lg =，求数列}{n c 的前n 项和n S .22 ．(本小题满分12分)设函数x axxx f ln 1)(+-=在),1[+∞上是增函数． （Ⅰ）求正实数a 的取值范围；（Ⅱ）设1,0a b >>，求证：.ln 1bba b b a b a +<+<+高三数学(理)参考答案 一.选择题ＡＢＢＡＤ ＣＤＣＣC ＣＤ 二.填空题 13.2114.ｙ＝ｘ 15. 1≤a 16. ①②③ 三.解答题17. 解：（Ⅰ） )62sin()0(21cos )cos sin 3()(πωωωωω+=>-+=x x x x x f π4=T ,41=∴ω )621sin()(π+=∴x x f )](324,344[Z k k k ∈+-∴ππππ单调增区间为 5分(Ⅱ)C b B c a cos cos )2(=- , C B B C B A cos sin cos sin cos sin 2=-A CB B A sin )sin(cos sin 2=+= 321cos π=∴=∴B B )621sin()(π+=A A f 320π<<A2626πππ<+<∴A )1,21()(∈∴A f 10分18. 解：（Ⅰ）当n ≥2时，)1(4)1(11----=-=--n a n na S S a n n n n n ， 得14(2,3,4,)n n a a n --==.∴数列}{n a 是以11a =为首项，4为公差的等差数列.∴.34-=n a n211()22n n S a a n n n =+=-. 6分（Ⅱ） lim n →∞12231111n n a a a a a a -⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=()()1111lim 155********n n n →∞⎛⎫++++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯--⎝⎭=111111111lim ()()()()415599134743n n n →∞⎛⎫-+-+-++- ⎪--⎝⎭=11lim1443n n →∞⎛⎫- ⎪-⎝⎭=41. 12分 19. 解：（Ⅰ）由题意知前4次中有两次摸到了红球，第5次摸到的也是红球，所以概率为：8183132312224=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯C 4分（Ⅱ）随机变量ξ的聚会为0 , 1 , 2 , 3 .其中，当ξ= 3时，又分三种情况，则()24332311055=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯==C P ξ()24380311311415=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯==C P ξ()243803113123225=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛*==C P ξ ()8117313113131311313113132242230333=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==C C C P ξ随机变量ξ的分布列是10分ξ的数学期望为：E ξ=24332× 0 + 24380× 1 +24380× 2 + 8117× 3 =81131 12分20．解：（1）由已知)2(21)1(21)(2ax e a ax e x f x x ⋅+++-='--),12(212--+-=-a ax ax e x 2分 令.12)(2--+-=a ax ax x g①当)(,0)(,01)(,0x f x f x g a ∴<'∴<-==时在R 上为减函数. ②当,04)(440)(,022<-=+-=∆=>a a a a x g a 的判别地)(0)(,0)(x f x f x g ∴<'<∴即在R 上为减函数. 4分③当0<a 时，由,0122>--+-a ax ax 得,1111ax ax -+>--<或由,0122<--+-a ax ax 得,1111ax a-+<<--),(),,()(+∞---+-∞∴aaa a a a x f 在上为增函数； ),()(aa a a a a x f ---+在上为减函数 6分 （2）①当]2,1[)(,0在时x f a ≥上为减函数..511215.215)2()(222min >>++==∴a ee a e af x f 得由 10分 ②当2221215)2(,0ee af a <+=<时 21)(ex f >∴在[1，2]上不恒成立，∴a 的取值范围是).,51(+∞ 12分21.解：（I ）运用数学归纳法证明如下： ξ0 1 2 3P2433224380 24380 8117①当1=n 时，由条件知21>=a a ，故命题成立； ②假设当*()n k k =∈N 时，有 2>k a 成立那么当1+=k n 时，0)1(2)2(2)1(22221>--=--=-+k k k k k a a a a a 故命题成立综上所述，命题2>n a 对于任意的正整数n 都成立. 4分（II ）①22222111442)1(2)1(22n n n n n n n nn n n b a a a a a a a a a b =+-=---=-=+++ 8分 ②n n n n c b b c 2lg lg 211===++ 且02lg1≠-=a ac ∴数列}{n c 是以2lg1-=a ac 为首项，以2为公比的等比数列. 2lg)12(--=∴a aS n n . 12分 22. 解： （Ⅰ）01)(2'≥-=ax ax x f 对),1[+∞∈x 恒成立， xa 1≥∴对),1[+∞∈x 恒成立． 又11≤x， 1≥∴a 为所求． 4分 （Ⅱ）取b b a x +=，1,0,1>+∴>>bba b a ，一方面，由（Ⅰ）知x axxx f ln 1)(+-=在),1[+∞上是增函数，0)1()(=>+∴f b b a f ， 0ln 1>+++⋅+-∴b b a bb a a b b a ． 即ba b b a +>+1ln ． 8分 另一方面，设函数)1(ln )(>-=x x x x G ，)1(0111)('>>-=-=x xx x x G ， ∴)(x G 在),1(+∞上是增函数，又01)1(>=G ． ∴当1>x 时，0)1()(>>G x G ，∴x x ln >， 即bb a b b a +>+ln ． 综上所述，1ln a b a ba b b b++<<+． 12分。

河南省实验中学2015届高三上学期期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2]C．|0，2| D．{0，1，2}2．（5分）记cos（﹣80°）=k，那么tan100°=（）A．B．﹣C．D．﹣3．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={a，b，c}，f：A→B为集合A到集合B的一个函数，那么该函数的值域C的不同情况有（）A．7种B．4种C．8种D．12种4．（5分）设向量=（1，2），向量=（﹣3，4），向量=（3，2），则向量（）•=（）A．（﹣15，12）B．0C．5D．﹣115．（5分）设{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A．d＜0 B．a7=0C．S9＞S5D．S6与S7均为S n的最大值6．（5分）在△ABC中，a=2，A=45°，若此三角形有两解，则b的范围为（）A．2＜b＜2B．b＞2 C．b＜2 D．＜b＜7．（5分）已知函数y=3sinωx（ω＞0）的周期是π，将函数y=3cos（ωx﹣）（ω＞0）的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数y=f（x）的图象，则函数f（x）=（）A．3sin（2x﹣）B．3sin（2x﹣）C．3sin（2x+）D．3sin（2x+）8．（5分）设△ABC的三内角A、B、C成等差数列，sinA、sinB、sinC成等比数列，则这个三角形的形状是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形9．（5分）函数y=lncosx（）的图象是（）A．B．C．D．10．（5分）O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若，则△ABC是（）A．以AB为底边的等腰三角形B．以BC为底边的等腰三角形C．以AB为斜边的直角三角形D．以BC为斜边的直角三角形11．（5分）设p：f（x）=e x+lnx+2x2+mx+1在（0，+∞）内单调递增，q：m≥﹣5，则p是q 的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件12．（5分）已知两条直线l1：y=m和l2：y=（m＞0），l1与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点A，B，l2与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点C，D．记线段AC和BD在X 轴上的投影长度分别为a，b，当m变化时，的最小值为（）A．16B．8C．8D．4二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共20分）．13．（5分）计算=．14．（5分）已知A、B、C三点在同一条直线l上，O为直线l外一点，若=0，p，q，r∈R，则p+q+r=．15．（5分）若数列x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则的取值范围是．16．（5分）已知函数f（x）=，若函数y=f（f（x））+1有4个不同的零点，则实数a的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共70分）.17．（12分）设函数的定义域为A，若命题p：3∈A与q：5∈A有且只有一个为真命题，求实数a的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）=，其中，=（cosωx ﹣sinωx，2sinωx），其中ω＞0，若f（x）相邻两对称轴间的距离不小于．（Ⅰ）求ω的取值范围；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a=，b+c=3，当ω最大时，f（A）=1，求△ABC的面积．19．（12分）若对任意x∈R，不等式＞sinθ﹣1恒成立，求θ的取值范围．20．（12分）已知二次函数y=f（x）的图象经过坐标原点，其导函数为f′（x）=6x﹣2，数列{a n}的前n项和为S n，点（n，S n）（n∈N*）均在函数y=f（x）的图象上．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，T n是数列{b n}的前n项和，求使得对所有n∈N*都成立的最小正整数m．21．（12分）设函数f（x）=lnx﹣px+1（1）求函数f（x）的极值点；（2）若对任意的x＞0，恒有f（x）≤0，求p的取值范围；（3）证明：++＜（n∈N*，n≥2）【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，满分10分）22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．【选修4-4：坐标系与参数方程】（共1小题，满分0分）23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）M是C1上的动点，P点满足=2，P点的轨迹为曲线C2（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．河南省实验中学2015届高三上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2]C．|0，2| D．{0，1，2}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：由题意可得A={x|﹣2≤x≤2}，B={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}，从而可求解答：解：∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}B={x|≤4，x∈Z}={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}则A∩B={0，1，2}故选D点评：本题主要考查了集合的交集的求解，解题的关键是准确求解A，B，属于基础试题2．（5分）记cos（﹣80°）=k，那么tan100°=（）A．B．﹣C．D．﹣考点：弦切互化．专题：计算题．分析：法一：先求sin80°，然后化切为弦，求解即可．法二：先利用诱导公式化切为弦，求出求出结果．解答：解：法一，所以tan100°=﹣tan80°=．：法二cos（﹣80°）=k⇒cos（80°）=k，=点评：本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用．3．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={a，b，c}，f：A→B为集合A到集合B的一个函数，那么该函数的值域C的不同情况有（）A．7种B．4种C．8种D．12种考点：判断两个函数是否为同一函数．专题：函数的性质及应用；集合．分析：值域C只可能是集合B的真子集，求出B的真子集的个数即可．解答：解：值域C可能为：只含有一个元素时，{a}，{b}，{c}3种；有两个元素时，{a，b}，{a，c}，{b，c}3种；有三个元素时，{a，b，c}1种；∴值域C的不同情况有3+3+1=7种．故选：A．点评：本题考查了函数的定义的应用问题，也考查了集合的应用问题，是基础题．4．（5分）设向量=（1，2），向量=（﹣3，4），向量=（3，2），则向量（）•=（）A．（﹣15，12）B．0C．5D．﹣11考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：平面向量及应用．分析：由向量的坐标运算可得的坐标，由数量积的坐标运算可得．解答：解：∵=（1，2），=（﹣3，4），=（3，2），∴=（1，2）+（﹣6，8）=（﹣5，10），∴（）•=﹣5×3+10×2=5故选：C点评：本题考查平面向量的数量积的坐标运算，属基础题．5．（5分）设{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A．d＜0 B．a7=0C．S9＞S5D．S6与S7均为S n的最大值考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：利用结论：n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1，易推出a6＞0，a7=0，a8＜0，然后逐一分析各选项，排除错误答案．解答：解：由S5＜S6得a1+a2+a3+…+a5＜a1+a2++a5+a6，即a6＞0，又∵S6=S7，∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7，∴a7=0，故B正确；同理由S7＞S8，得a8＜0，∵d=a7﹣a6＜0，故A正确；而C选项S9＞S5，即a6+a7+a8+a9＞0，可得2（a7+a8）＞0，由结论a7=0，a8＜0，显然C选项是错误的．∵S5＜S6，S6=S7＞S8，∴S6与S7均为S n的最大值，故D正确；故选C．点评：本题考查了等差数列的前n项和公式和s n的最值问题，熟练应用公式是解题的关键．6．（5分）在△ABC中，a=2，A=45°，若此三角形有两解，则b的范围为（）A．2＜b＜2B．b＞2 C．b＜2 D．＜b＜考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：利用正弦定理列出关系式，把a，sinA的值代入，表示出b，B+C，根据B为两值，得到两个值互补，确定出B的范围，进而求出sinB的范围，即可确定出b的范围．解答：解：∵在△ABC中，a=2，A=45°，且此三角形有两解，∴由正弦定理==2，∴b=2sinB，B+C=180°﹣45°=135°，由B有两个值，得到这两个值互补，若B≤45°，则和B互补的角大于等于135°，这样A+B≥180°，不成立；∴45°＜B＜135°，又若B=90，这样补角也是90°，一解，∴＜sinB＜1，b=2sinB，则2＜b＜2，故选：A．点评：此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键．7．（5分）已知函数y=3sinωx（ω＞0）的周期是π，将函数y=3cos（ωx﹣）（ω＞0）的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数y=f（x）的图象，则函数f（x）=（）A．3sin（2x﹣）B．3sin（2x﹣）C．3sin（2x+）D．3sin（2x+）考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件根据诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解答：解：∵函数y=3sinωx（ω＞0）的周期是=π，∴ω=2．将函数y=3cos（ωx﹣）（ω＞0）的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数y=f（x）=3cos[2（x﹣）﹣]=3cos（2x﹣﹣）=3sin（2x﹣）的图象，故选：B．点评：本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．8．（5分）设△ABC的三内角A、B、C成等差数列，sinA、sinB、sinC成等比数列，则这个三角形的形状是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形考点：数列与三角函数的综合；三角形的形状判断．专题：计算题；综合题．分析：先由△ABC的三内角A、B、C成等差数列，求得∠B=60°，∠A+∠C=120°①；再由sinA、sinB、sinC成等比数列，得sin2B=sinA•sinC，②，①②结合即可判断这个三角形的形状．解答：解：∵△ABC的三内角A、B、C成等差数列，∴∠B=60°，∠A+∠C=120°①；又sinA、sinB、sinC成等比数列，∴sin2B=sinA•sinC=，②由①②得：sinA•sin（120°﹣A）=sinA•（sin120°cosA﹣cos120°sinA）=sin2A+•=sin2A﹣cos2A+=sin（2A﹣30°）+=，∴sin（2A﹣30°）=1，又0°＜∠A＜120°∴∠A=60°．故选D．点评：本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求得∠B=60°，∠A+∠C=120°，再利用三角公式转化，着重考查分析与转化的能力，属于中档题．9．（5分）函数y=lncosx（）的图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象与图象变化．专题：数形结合．分析：利用函数的奇偶性可排除一些选项，利用函数的有界性可排除一些个选项．从而得以解决．解答：解：∵cos（﹣x）=cosx，∴是偶函数，可排除B、D，由cosx≤1⇒lncosx≤0排除C，故选A．点评：本小题主要考查复合函数的图象识别．属于基础题．10．（5分）O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若，则△ABC是（）A．以AB为底边的等腰三角形B．以BC为底边的等腰三角形C．以AB为斜边的直角三角形D．以BC为斜边的直角三角形考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：设BC的中点为D，由条件可得•2=0，故⊥，故△ABC的BC边上的中线也是高线，△ABC是以BC为底边的等腰三角形．解答：解：设BC的中点为D，∵，∴•（2﹣2）=0，∴•2=0，∴⊥，故△ABC的BC边上的中线也是高线．故△ABC是以BC为底边的等腰三角形，故选B．点评：本题考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量垂直的条件，三角形形状的判定，得到△ABC的BC边上的中线也是高线，是将诶提的关键．11．（5分）设p：f（x）=e x+lnx+2x2+mx+1在（0，+∞）内单调递增，q：m≥﹣5，则p是q 的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：利用导数研究函数的单调性；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：压轴题．分析：首先求出函数的导数，然后根据导数与函数单调性的关系求出m的范围．解答：解：由题意得f′（x）=e x++4x+m，∵f（x）=e x+lnx+2x2+mx+1在（0，+∞）内单调递增，∴f′（x）≥0，即e x++4x+m≥0在定义域内恒成立，由于+4x≥4，当且仅当=4x，即x=时等号成立，故对任意的x∈（0，+∞），必有e x++4x ＞5∴m≥﹣e x﹣﹣4x不能得出m≥﹣5但当m≥﹣5时，必有e x++4x+m≥0成立，即f′（x）≥0在x∈（0，+∞）上成立∴p不是q的充分条件，p是q的必要条件，即p是q的必要不充分条件故选B．点评：本题考查函数导数与单调性的关系．属于函数恒成立问题，难度较大，综合性强，尤其是充分条件的证明是本题的难点，本题易因为判断不出最值而导致无法下手，本解答通过给出e x++4x＞5这一条件避免了利用导数求最值，从而达到判断两个命题之间关系的目的．做题时要注意掌握此类变通的技巧．12．（5分）已知两条直线l1：y=m和l2：y=（m＞0），l1与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点A，B，l2与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点C，D．记线段AC和BD在X 轴上的投影长度分别为a，b，当m变化时，的最小值为（）A．16B．8C．8D．4考点：基本不等式在最值问题中的应用；对数函数图象与性质的综合应用；平行投影及平行投影作图法．专题：计算题；综合题；压轴题．分析：设A，B，C，D各点的横坐标分别为x A，x B，x C，x D，依题意可求得为x A，x B，x C，x D的值，a=|x A﹣x C|，b=|x B﹣x D|，利用基本不等式可求得当m变化时，的最小值．解答：解：设A，B，C，D各点的横坐标分别为x A，x B，x C，x D，则﹣log2x A=m，log2x B=m；﹣log2x C=，log2x D=；∴x A=2﹣m，x B=2m，x C=，x D=．∴a=|x A﹣x C|，b=|x B﹣x D|，∴==||=2m•=．又m＞0，∴m+=（2m+1）+﹣≥2﹣=（当且仅当m=时取“=”）∴≥=8．故选B．点评：本题考查对数函数图象与性质的综合应用，理解平行投影的概念，得到=是关键，考查转化与数形结合的思想，考查分析与运算能力，属于难题．二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共20分）．13．（5分）计算=．考点：定积分．专题：导数的综合应用．分析：因为被积函数表示以（﹣2，0）为圆心，1为半径的半圆，所以表示（x+2）2+y2=1与x轴围成的上半圆的面积．解答：解：因为被积函数表示以（﹣2，0）为圆心，1为半径的半圆，所以表示圆（x+2）2+y2=1与x轴围成的上半圆的面积，所以=；故答案为：．点评：本题考查了定积分的计算以及其运用定积分的几何意义求曲边梯形的面积．14．（5分）已知A、B、C三点在同一条直线l上，O为直线l外一点，若=0，p，q，r∈R，则p+q+r=0．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：计算题．分析：将三个点共线转化为两个向量共线，利用向量共线的充要条件列出方程，利用向量的运算法则将方程的向量用以O为起点的向量表示，求出p，q，r的值，进一步求出它们的和．解答：解：∵A、B、C三点在同一条直线l上，∴，∴，．∵，∴P=λ﹣1，q=1，r=﹣λ，∴p+q+r=0．故答案为0．点评：本题主要考查平面向量基本定理的应用，解决三点共线的问题，一般先转化为以这三点为起点、终点的两个向量共线，利用向量共线的充要条件解决，属于基础题．15．（5分）若数列x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则的取值范围是[4，+∞）或（﹣∞，0]．考点：等差数列的性质；基本不等式；等比数列的性质．专题：计算题；压轴题．分析：由题意可知===++2．由此可知的取值范围．解答：解：在等差数列中，a1+a2=x+y；在等比数列中，xy=b1•b2．∴===++2．当x•y＞0时，+≥2，故≥4；当x•y＜0时，+≤﹣2，故≤0．答案：[4，+∞）或（﹣∞，0]点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细思考．16．（5分）已知函数f（x）=，若函数y=f（f（x））+1有4个不同的零点，则实数a的取值范围是（0，+∞）．考点：函数零点的判定定理．专题：数形结合；分类讨论；函数的性质及应用．分析：函数y=f[f（x）]+1的零点个数，即为方程f[f（x）]=﹣1的解的个数，结合函数f（x）图象，分类讨论判断，求解方程可得答案．解答：解：函数y=f（f（x））+1的零点，即方程f[f（x）]=﹣1的解个数，（1）当a=0时，f（x）=，当x＞1时，x=，f（f（x））=﹣1成立，∴方程f[f（x）]=﹣1有1解当0＜x＜1，log2x＜0，∴方程f[f（x）]=﹣1无解，当x≤0时，f（x）=1，f（f（x））=0，∴，∴f（f（x））=﹣1有1解，故a=0不符合题意，（2）当a＞0时，当x＞1时，x=，f（f（x））=﹣1成立，当0＜x＜1，log2x＜0，∴方程f[f（x）]=﹣1有1解，当＜x≤0时，0＜f（x）≤1，∴f（f（x））=﹣1有1解，当x时，f（x）＜0，∴f（f（x））=﹣1有1解，故，f（f（x））=﹣1有4解，（3）当a＜0时，当x＞1时，x=，f（f（x））=﹣1成立，∴f（f（x））=﹣1有1解，当0＜x≤1时，f（x）≤0．f（f（x））=﹣1，成立∴f（f（x））=﹣1有1解，当x≤0时，f（x）≥1，f（f（x））=﹣1，成立∴f（f（x））=﹣1有1解，故f（f（x））=﹣1有3解，不符合题意，综上；a＞0故答案为：（0，+∞）点评：本题考查的知识点是函数零点的判定，其中将函数的零点问题转化为方程根的个数问题，分类讨论求解．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共70分）.17．（12分）设函数的定义域为A，若命题p：3∈A与q：5∈A有且只有一个为真命题，求实数a的取值范围．考点：命题的真假判断与应用．分析：由题意可得．由3∈A，5∈A分别可求P，q所对应的a的范围，由命题p：3∈A与q：5∈A有且只有一个为真命题，可讨论：P真q假；P假q真，可求解答：解：由题意可得．…（1分）若，…（3分）若．…（5分）若P真q假，则a无解；…（8分）若P假q真，则，解可得1或9≤a＜25…（12分）综上，．…（14分）点评：本题主要考查了对数函数的定义域，分式不等式的解法，要注意分类讨论思想的应用．18．（12分）已知函数f（x）=，其中，=（cosωx ﹣sinωx，2sinωx），其中ω＞0，若f（x）相邻两对称轴间的距离不小于．（Ⅰ）求ω的取值范围；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a=，b+c=3，当ω最大时，f（A）=1，求△ABC的面积．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；平面向量数量积的运算；解三角形．专题：计算题．分析：（I）利用向量的数量积的坐标表示及二倍角公式对函数整理可得，，根据周期公式可得，根据正弦函数的性质相邻两对称轴间的距离即为，从而有代入可求ω的取值范围．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知ω的最大值为1，由f（A）=1可得，结合已知可得，由余弦定理知可得b2+c2﹣bc=3，又b+c=3联立方程可求b，c，代入面积公式可求也可用配方法求得bc=2，直接代入面积公式可求解答：解：（Ⅰ）f（x）=cosωx•sinωx=cos2ωx+sin2ωx=∵ω＞0∴函数f（x）的周期T=，由题意可知，解得0＜ω≤1，即ω的取值范围是{ω|0＜ω≤1}（Ⅱ）由（Ⅰ）可知ω的最大值为1，∴∵f（A）=1∴而π∴2A+π∴A=由余弦定理知cosA=∴b2+c2﹣bc=3，又b+c=3联立解得∴S△ABC=（或用配方法∵∴bc=2∴．点评：本题综合考查了向量的数量积的坐标表示，由函数的部分图象的性质求解函数的解析式，正弦函数的周期公式，由三角函数值求解角，余弦定理及三角形的面积公式等知识的综合，综合的知识比较多，解法灵活，要求考生熟练掌握基础知识并能灵活运用知识进行解题．19．（12分）若对任意x∈R，不等式＞sinθ﹣1恒成立，求θ的取值范围．考点：函数恒成立问题．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：原不等式变形为：（cosθ﹣sinθ+1）x2﹣（cosθ﹣sinθ﹣4）x+cosθ﹣sinθ+4＞0，令t=cosθ﹣sinθ得：（t+1）x2﹣（t﹣4）x+t+4＞0，求出t的范围，即可求θ的取值范围．解答：解：原不等式变形为：（cosθ﹣sinθ+1）x2﹣（cosθ﹣sinθ﹣4）x+cosθ﹣sinθ+4＞0令t=cosθ﹣sinθ得：（t+1）x2﹣（t﹣4）x+t+4＞0，∴∴cosθ﹣sinθ＞0，∴cosθ＞sinθ，∴2kπ﹣＜θ＜2kπ+，k∈Z所以θ得范围是（2kπ﹣，2kπ+）k∈Z点评：本小题主要考查函数恒成立问题、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．20．（12分）已知二次函数y=f（x）的图象经过坐标原点，其导函数为f′（x）=6x﹣2，数列{a n}的前n项和为S n，点（n，S n）（n∈N*）均在函数y=f（x）的图象上．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，T n是数列{b n}的前n项和，求使得对所有n∈N*都成立的最小正整数m．考点：数列的求和；导数的运算．专题：计算题；压轴题．分析：（Ⅰ）设这二次函数f（x）=ax2+bx（a≠0），根据导函数求得f（x）的表达式，再根据点（n，S n）（n∈N*）均在函数y=f（x）的图象上，求出a n的递推关系式，（Ⅱ）把（1）题中a n的递推关系式代入b n，根据裂项相消法求得T n，最后解得使得对所有n∈N*都成立的最小正整数m．解答：解：（Ⅰ）设这二次函数f（x）=ax2+bx（a≠0），则f′（x）=2ax+b，由于f′（x）=6x﹣2，得a=3，b=﹣2，所以f（x）=3x2﹣2x．又因为点（n，S n）（n∈N*）均在函数y=f（x）的图象上，所以S n=3n2﹣2n．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（3n2﹣2n）﹣[3（n﹣1）2﹣2（n﹣1）]=6n﹣5．当n=1时，a1=S1=3×12﹣2=6×1﹣5，所以，a n=6n﹣5（n∈N*）（Ⅱ）由（Ⅰ）得知==，故T n===（1﹣）．因此，要使（1﹣）＜（n∈N*）成立的m，必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10．点评：本题主要考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力．21．（12分）设函数f（x）=lnx﹣px+1（1）求函数f（x）的极值点；（2）若对任意的x＞0，恒有f（x）≤0，求p的取值范围；（3）证明：++＜（n∈N*，n≥2）考点：函数在某点取得极值的条件；函数恒成立问题；不等式的证明．专题：计算题；导数的综合应用．分析：（1）对f（x）进行求导，令f′（x）=0，解方程，求出f（x）的极值点；（2）由（1）利用导数研究函数的单调区间，求出f（x）的极大值，再求出f（x）的最大值小于0，即可求出p的范围；（3）可以令p=1，得出不等式lnx≤x﹣1，将x换为n2，利用不等式lnn2≤n2﹣1，进行放缩证明；解答：解：（1）∵f（x）=lnx﹣px+1，∴f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=﹣p=当p≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上无极值点，当p＞0时，令f′（x）=0，∴x=∈（0，+∞），f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：x （0，）（，+∞）f′（x）+0 ﹣f（x）递增极大值递减从上表可以看出：当p＞0时，f（x）有唯一的极大值点x=，（2）当p＞0时，在x=处取得极大值f（）=ln，此极大值也是最大值，要使f（x）≤0恒成立，只需f（）=ln≤0；∴p≥1，∴p的取值范围为[1，+∞）（3）令p=1，由（2）知，lnx﹣x+1≤0，∴lnx≤x﹣1，∵n∈N，n≥2，∴lnn2≤n2﹣1，∴≤=1﹣，∴++…+≤（1﹣）+（1﹣）+…+（1﹣）=（n﹣1）﹣（+++…+）＜（n﹣1）﹣（++…+）=（n﹣1）﹣（++…+）=（n﹣1）﹣（）=即证；点评：此题主要考查函数的单调性以及函数在极值点取得极值点条件，第三问利用不等式进行放缩，同学们要认真看放缩的过程，这类题比较难，是2015届高考的压轴题；【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，满分10分）22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；立体几何．分析：（Ⅰ）利用四边形ABCD是⊙O的内接四边形，可得∠D=∠CBE，由CB=CE，可得∠E=∠CBE，即可证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，证明AD∥BC，可得∠A=∠CBE，进而可得∠A=∠E，即可证明△ADE为等边三角形．解答：证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D=∠CBE，∵CB=CE，∴∠E=∠CBE，∴∠D=∠E；（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC，∴O在直线MN上，∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，∴OM⊥AD，∴AD∥BC，∴∠A=∠CBE，∵∠CBE=∠E，∴∠A=∠E，由（Ⅰ）知，∠D=∠E，∴△ADE为等边三角形．点评：本题考查圆的内接四边形性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】（共1小题，满分0分）23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）M是C1上的动点，P点满足=2，P点的轨迹为曲线C2（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．考点：简单曲线的极坐标方程；轨迹方程．专题：计算题；压轴题．分析：（I）先设出点P的坐标，然后根据点P满足的条件代入曲线C1的方程即可求出曲线C2的方程；（II）根据（I）将求出曲线C1的极坐标方程，分别求出射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1，以及射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2，最后根据|AB|=|ρ2﹣ρ1|求出所求．解答：解：（I）设P（x，y），则由条件知M（，）．由于M点在C1上，所以即从而C2的参数方程为（α为参数）（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ．射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1=4sin，射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2=8sin．所以|AB|=|ρ2﹣ρ1|=．点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及轨迹方程的求解和线段的度量，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法；带绝对值的函数．专题：计算题；压轴题．分析：（1）不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．解答：解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即①，或②，或③．解①可得x≤1，解②可得x∈∅，解③可得x≥4．把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。

河南省实验中学高三年级—上期期中考试 数学（理）(时间:120分钟,满分:150分) 第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将所选答案填在答题卷上.1．若复数()1a ia R i +∈+是纯虚数，则实数a 的值为A ．1-B ． 1C ．2-D ．22．设集合S = {0 , 1 , 2 , 3 } , T = { x | | x –3 | ≤2}，则S ∩T = A ．{0 , 1, 2 , 3 } B ．{1 , 2 , 3 } C ．{0 ,1 }D ．{1}3．在等比数列{an}中，若321a a a = 2 ,432a a a = 16，则公比q =A ．21B ．2C ．22D ．84．定义集合M 与N 的新运算：M+N=M x x ∈|{或N x ∈且}N M x ⋂∉，则(M+N)+N 等于 A ．MB ．NC ．N M ⋂D ．N M ⋃5．若()x f 是Ｒ上的增函数，且()(),22,41=-=-f f 设Ｐ＝(){}31|<++t x f x ,Ｑ＝(){}4|-<x f x ．若“P x ∈”是“Q x ∈”的充分不必要条件，则实数ｔ的取 值范围是Ａ．ｔ≤－１ Ｂ．ｔ＞－１ Ｃ．ｔ≥３ Ｄ．ｔ＞３6．设函数()20)f x x =≥,则其反函数1()f x -的图象是7．已知函数)(x f 满足)()(x f x f -=π，且当)2,2(ππ-∈x 时，x x x f +=sin )(，设)3(),2(),1(f c f b f a ===，则A.c b a <<B.a c b <<C. a b c <<D.b a c << 8．随机变量ξ服从标准正态分布)1,0(N ，025.0)96.1(=-Φ，则=<)96.1|(|ξPC.A.B.D.A ．025.0B ．050.0C ．950.0D ．975.09．若一系列函数的解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为221y x =+，值域为{3,19}的“孪生函数”共有 A ．15个 B ．12个 C ．9个 D ．8个10．函数=y sin -x cos x 与函数=y sin +x cos x 的图象关于Ａ.x 轴对称 Ｂ.y 轴对称 Ｃ.直线2π=x 对称 Ｄ.直线4π=x 对称11．方程θθcos 2sin =在［０，)2π上的根的个数为A ．０B ．1C ．２D ．４12．已知)()(x 、g x f 都是定义在R 上的函数, g(x)≠0,)()()()(''x g x f x g x f <, )()(x g a x f x=，25)1()1()1()1(=--+g f g f ，在有穷数列()()f n g n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭( n=1,2,…,10）中，任意取前k 项相加，则前k 项和大于1615的概率是A ．51B ．52C ．54D ．53第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.13．设⎪⎩⎪⎨⎧≥+<--=)0()0(11)(2x •••••x a x ••xxx f ，要使函数)(x f 在),(+∞-∞内连续，则a 的值为14．已知l 是曲线x x y +=331的切线中倾斜角最小的切线，则l 的方程为 ．15．已知命题P ：关于x 的不等式ax x >-+-20082006恒成立；命题Q ：关于x 的函数()ax y a -=2log 在[0,1]上是减函数．若Ｐ或Ｑ为真命题，Ｐ且Ｑ为假命题，则实数a 取值范围是 ．16．给出定义：若1122m x m -<≤+（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x ，即 {}x m =．在此基础上给出下列关于函数|}{|)(x x x f -=的四个命题：①函数)(x f y =的定义域是R ，值域是[0，21]；②函数)(x f y =的图像关于直线2k x =（k ∈Z ）对称； ③函数)(x f y =是周期函数，最小正周期是1；④ 函数()y f x =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是增函数；则其中真命题是__ ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）函数)0(21cos )cos sin 3()(>-+=ωωωωx x x x f 的最小正周期为π4.（Ⅰ）求)(x f 的单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中,角A,B,C 的对边分别是c b a ,,,且满足C b B c a cos cos )2(=-,求角B 的值，并求函数)(A f 的取值范围．18．（本小题满分12分） 设数列}{n a 的前n 项和为nS ，已知11,2(1)(1,2,3,).n n a S na n n n ==--=（Ⅰ）求证：数列}{n a 为等差数列，并分别写出na 和nS 关于n 的表达式；（Ⅱ）求12231111lim n n n a a a a a a →∞-⎛⎫+++⎪⎝⎭．19．（本小题满分12分）已知袋中装有若干个均匀的红球和白球，从中摸出一个红球的概率是31．现从中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止． （Ⅰ）求恰好摸5次停止的概率；（Ⅱ）记5次之内摸到红球的次数为ξ,求ξ的分布列及数学期望． 20．（本小题满分12分）设R a ∈，函数ea ax e x f x)(1(2)(2++=-为自然对数的底数）．（Ⅰ）判断)(x f 的单调性；（Ⅱ）若]2,1[1)(2∈>x e x f 在上恒成立，求a 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列}{n a ，)2(1>=a a a ，)1(221-=+n nn a a a 其中*n ∈N .（I ）证明 ：2>n a ；（Ⅱ）设2-=n n n a a b ，①证明 ：21nn b b =+；②若数列}{n c 满足nn b c lg =，求数列}{n c 的前n 项和nS .22 ．(本小题满分12分)设函数x ax xx f ln 1)(+-=在),1[+∞上是增函数．（Ⅰ）求正实数a 的取值范围；（Ⅱ）设1,0a b >>，求证：.ln 1b ba b b a b a +<+<+参考答案 一.选择题ＡＢＢＡＤ ＣＤＣＣC ＣＤ 二.填空题13. 2114.ｙ＝ｘ 15. 1≤a 16. ①②③三.解答题17. 解：（Ⅰ）)62sin()0(21cos )cos sin 3()(πωωωωω+=>-+=x x x x x f π4=T ,41=∴ω )621sin()(π+=∴x x f)](324,344[Z k k k ∈+-∴ππππ单调增区间为 5分(Ⅱ)C b B c a cos cos )2(=- , C B B C B A cos sin cos sin cos sin 2=-A CB B A sin )sin(cos sin 2=+=321cos π=∴=∴B B)621sin()(π+=A A f2626πππ<+<∴A )1,21()(∈∴A f 10分18. 解：（Ⅰ）当n ≥2时，)1(4)1(11----=-=--n a n na S S a n n n n n ，得14(2,3,4,)n n a a n --==.∴数列}{n a 是以11a =为首项，4为公差的等差数列.∴.34-=n a n211()22n n S a a n n n=+=-. 6分（Ⅱ）lim n →∞12231111n n a a a a a a -⎛⎫+++⎪⎝⎭=()()1111lim 155********n n n →∞⎛⎫++++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯--⎝⎭=111111111lim ()()()()415599134743n n n →∞⎛⎫-+-+-++- ⎪--⎝⎭=11lim 1443n n →∞⎛⎫- ⎪-⎝⎭=41. 12分 19. 解：（Ⅰ）由题意知前4次中有两次摸到了红球，第5次摸到的也是红球，所以概率为：8183132312224=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯C4分（Ⅱ）随机变量ξ的聚会为0 , 1 , 2 , 3 .其中，当ξ= 3时，又分三种情况，则()24332311055=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯==C P ξ()24380311311415=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯==C P ξ320π<<A()243803113123225=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛*==C P ξ ()8117313113131311313113132242230333=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==C C C P ξ随机变量ξ的分布列是10分ξ的数学期望为：E ξ=24332× 0 + 24380× 1 +24380× 2 + 8117× 3 =8113112分20．解：（1）由已知)2(21)1(21)(2ax e a ax e x f x x ⋅+++-='-- ),12(212--+-=-a ax ax e x2分令.12)(2--+-=a ax ax x g ①当)(,0)(,01)(,0x f x f x g a ∴<'∴<-==时在R 上为减函数.②当,04)(440)(,022<-=+-=∆=>a a a a x g a 的判别地 )(0)(,0)(x f x f x g ∴<'<∴即在R 上为减函数. 4分③当0<a 时，由,0122>--+-a ax ax 得,1111a x ax -+>--<或由,0122<--+-a ax ax 得,1111a x a-+<<--),(),,()(+∞---+-∞∴a aa a a a x f 在上为增函数；),()(a aa a a a x f ---+在上为减函数 6分（2）①当]2,1[)(,0在时x f a ≥上为减函数..511215.215)2()(222min >>++==∴a e e a e a f x f 得由 10分 ②当2221215)2(,0e e a f a <+=<时21)(e x f >∴在[1，2]上不恒成立，∴a 的取值范围是).,51(+∞ 12分21.解：（I ）运用数学归纳法证明如下：①当1=n 时，由条件知21>=a a ，故命题成立；②假设当*()n k k =∈N 时，有 2>k a 成立 那么当1+=k n 时，0)1(2)2(2)1(22221>--=--=-+k k k k k a a a a a 故命题成立综上所述，命题2>n a 对于任意的正整数n 都成立. 4分（II ）①22222111442)1(2)1(22nn n n n n n nn n n b a a a a a a a a a b =+-=---=-=+++ 8分②n nn n c b b c 2lg lg 211===++ 且02lg1≠-=a ac∴数列}{n c 是以2lg1-=a ac 为首项，以2为公比的等比数列.2lg)12(--=∴a aS n n . 12分22. 解：（Ⅰ）01)(2'≥-=ax ax x f 对),1[+∞∈x 恒成立，x a 1≥∴对),1[+∞∈x 恒成立．又11≤x ， 1≥∴a 为所求． 4分（Ⅱ）取b b a x +=，1,0,1>+∴>>b ba b a ，一方面，由（Ⅰ）知x ax xx f ln 1)(+-=在),1[+∞上是增函数，0)1()(=>+∴f b b a f ， 0ln 1>+++⋅+-∴b b a b b a a b ba ．即b a b b a +>+1ln． 8分另一方面，设函数)1(ln )(>-=x x x x G ，)1(0111)('>>-=-=x x x x x G ，∴)(x G 在),1(+∞上是增函数，又01)1(>=G ．∴当1>x 时，0)1()(>>G x G ，∴x x ln >， 即b b a bb a +>+ln． 综上所述，1ln a b a ba b b b ++<<+． 12分。

河南省实验中学2015届高三上学期第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A={x|0＜log4x＜1}，B={x|x≤2}，则A∩∁R B=（）A．（1，2]B．[2，4）C．（2，4）D．（1，4）2．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=x+1 B．y=﹣x2C．D．y=x|x|3．（5分）如图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．4．（5分）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=3x﹣2x+a（a∈R），则f（﹣2）=（）A．﹣1 B．﹣4 C．1D．45．（5分）下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．f（x）=x和g（x）=B．f（x）=|x|和g（x）=C．f（x）=x|x|和g（x）= D．f（x）=和g（x）=x+1，（x≠1）6．（5分）不等式成立的一个充分不必要条件是（）A．﹣1＜x＜0或x＞1 B．x＜﹣1或0＜x＜1 C．x＞﹣1 D．x＞17．（5分）奇函数f（x）满足对任意x∈R都有f（4+x）+f（﹣x）=0，且f（1）=9则f+f+f的值为（）A．6B．7C．8D．08．（5分）已知函数f（x）是定义在区间[﹣2，2]上的偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）是减函数，如果不等式f（1﹣m）＜f（m）成立，则实数m的取值范围是（）A．B．[1，2]C．[0，）D．（）9．（5分）已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是（）A．﹣3≤a＜0 B．﹣3≤a≤﹣2 C．a≤﹣2 D．a＜010．（5分）函数的图象大致是（）A．B．C．D．11．（5分）若定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f'（x）＞f（x），则f与fe2的大小关系为（）A．f＜fe2B．f=fe2C．f＞fe2D．不能确定12．（5分）若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数是（）A．3B．4C．5D．6二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数f（x）=的定义域为．14．（5分）对任意两个实数x1，x2，定义若f（x）=x2﹣2，g（x）=﹣x，则max（f（x），g（x））的最小值为．15．（5分）设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f（2﹣x）=f（x+2），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞1）在区间（﹣2，6）内恰有三个不同实根，则实数a的取值范围是．16．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（x+5）=16，当x∈（﹣1，4]时，f（x）=x2﹣2x，则函数f（x）在[0，2013]上的零点个数是．三、解答题（本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤.）17．（12分）已知集合，集合B={x|y=ln（4﹣3x﹣x2）}，集合C={x|m+2＜x＜2m﹣3}．（Ⅰ）设全集U=R，求（∁U A）∩B；（Ⅱ）若C∩（∁R A）=∅，求实数m的取值范围．18．（12分）已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f （1）=1，若m，n∈[﹣1，1]，m+n≠0时有＞0．（1）判断f （x）在[﹣1，1]上的单调性，并证明你的结论；（2）解不等式：f（x+）＜f（）；（3）若f（x）≤t2﹣2at+1对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求实数t的取值范围．19．（12分）对于函数f（x），若存在x0∈R，使方程f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点，已知函数f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣1（a≠0）．（1）当a=1，b=﹣2时，求函数f（x）的不动点；（2）当a=1，b=﹣2时，求f（x）在[t，t+1]上的最小值g（t）．（3）若对任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的取值范围．20．（12分）已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（1）若a=﹣1，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x3+x2[f′（x）+]（f′（x）是f（x）的导数）在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（3）求证：×××…×＜（n≥2，n∈N*）．21．（12分）设函数f（x）=lnx+，m∈R．（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；（Ⅲ）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，作答时请写清题号．【选修4-1几何证明选讲】22．（10分）已知：直线AB过圆心O，交⊙O于AB，直线AF交⊙O于F（不与B重合），直线l与⊙O相切于C，交AB于E，且与AF垂直，垂足为G，连接AC．求证：（1）∠BAC=∠CAG；（2）AC2=AE•AF．【选修4--4；坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xoy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（）=2．（Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标；（Ⅱ）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为（t∈R为参数），求a，b的值．【选修4--5；不等式选讲】24．已知函数f（x）=|x﹣a|，其中a＞1（1）当a=2时，求不等式f（x）≥4﹣|x﹣4|的解集；（2）已知关于x的不等式|f（2x+a）﹣2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，求a的值．河南省实验中学2015届高三上学期第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A={x|0＜log4x＜1}，B={x|x≤2}，则A∩∁R B=（）A．（1，2]B．[2，4）C．（2，4）D．（1，4）考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：求出集合A中其他不等式的解集，确定出A，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．解答：解：集合A中的不等式变形得：log41＜log4x＜log44，解得：1＜x＜4，即A=（1，4），∵B=（﹣∞，2]，∴∁R B=（2，+∞），则A∩∁R B=（2，4）．故选C点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=x+1 B．y=﹣x2C．D．y=x|x|考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：探究型．分析：对于A，非奇非偶；对于B，是偶函数；对于C，是奇函数，但不是增函数；对于D，令f（x）=x|x|=，可判断函数既是奇函数又是增函数，故可得结论．解答：解：对于A，非奇非偶，是R上的增函数，不符合题意；对于B，是偶函数，不符合题意；对于C，是奇函数，但不是增函数；对于D，令f（x）=x|x|，∴f（﹣x）=﹣x|﹣x|=﹣f（x）；∵f（x）=x|x|=，∴函数是增函数故选D．点评：本题考查函数的性质，考查函数的奇偶性与单调性的判断，属于基础题．3．（5分）如图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：求阴影部分的面积，先要对阴影部分进行分割到三个象限内，分别对三部分进行积分求和即可．解答：解：直线y=2x与抛物线y=3﹣x2解得交点为（﹣3，﹣6）和（1，2）抛物线y=3﹣x2与x轴负半轴交点（﹣，0）设阴影部分面积为s，则==所以阴影部分的面积为，故选C．点评：本题考查定积分在求面积中的应用，解题是要注意分割，关键是要注意在x轴下方的部分积分为负（积分的几何意义强调代数和），属于基础题．4．（5分）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=3x﹣2x+a（a∈R），则f（﹣2）=（）A．﹣1 B．﹣4 C．1D．4考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：根据奇函数的性质f（0）=0，求得a的值；再由f（﹣2）=﹣f（2）即可求得答案．解答：解：∵f（x）为定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，解得a=﹣1．∴当x≥0时，f（x）=3x﹣2x﹣1．∴f（﹣2）=﹣f（2）=﹣（32﹣2×2﹣1）=﹣4．故选B．点评：本题考查了奇函数的性质，充分理解奇函数的定义及利用f（0）=0是解决此问题的关键．5．（5分）下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．f（x）=x和g（x）=B．f（x）=|x|和g（x）=C．f（x）=x|x|和g（x）= D．f（x）=和g（x）=x+1，（x≠1）考点：判断两个函数是否为同一函数．专题：计算题．分析：若两个函数是同一个函数，则函数的定义域以及函数的对以关系都得相同，所以只要逐一判断每个选项中定义域和对应关系是否都相同即可．解答：解；对于A选项，f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为[0，+∞），∴不是同一函数．对于B选项，由于函数y==x，即两个函数的解析式不同，∴不是同一函数；对于C选项，f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为{x|x≠0}，∴不是同一函数对于D选项，f（x）的定义域与g（x）的定义域均为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），且f（x）==x+1∴是同一函数故选D．点评：本题主要考查了函数三要素的判断，只有三要素都相同，两函数才为同一函数，属基础题．6．（5分）不等式成立的一个充分不必要条件是（）A．﹣1＜x＜0或x＞1 B．x＜﹣1或0＜x＜1 C．x＞﹣1 D．x＞1考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：由选项D：x＞1 能推出x﹣＞0，但由x﹣＞0不能推出x＞1，从而得出结论．解答：解：由x＞1 能推出x﹣＞0；但由x﹣＞0不能推出x＞1（如x=﹣时），故不等式成立的一个充分不必要条件是x＞1，故选D．点评：本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于基础题．7．（5分）奇函数f（x）满足对任意x∈R都有f（4+x）+f（﹣x）=0，且f（1）=9则f+f+f的值为（）A．6B．7C．8D．0考点：函数的周期性；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由f（4+x）+f（﹣x）=0，得f（4+x）=﹣f（﹣x）=f（x），得函数的周期，然后利用周期性分别进行求解即可．解答：解：因为f（x）为奇函数，所以由f（4+x）+f（﹣x）=0，得f（4+x）=﹣f（﹣x）=f（x），即函数的周期是4．所以f=f（503×4﹣1）=f（﹣1）=﹣f（1），f=f（503×4）=f（0），f=f（503×4+1）=f（1），所以f+f+f=﹣f（1）+f（0）+f（1）=f（0），因为f（x）为奇函数，所以f（0）=0，所以f+f+f=f（0）=0．故选D．点评：本题主要考查函数周期性的判断以及函数奇偶性的应用，利用条件求出函数的周期是解决本题的关键．8．（5分）已知函数f（x）是定义在区间[﹣2，2]上的偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）是减函数，如果不等式f（1﹣m）＜f（m）成立，则实数m的取值范围是（）A．B．[1，2]C．[0，）D．（）考点：奇偶性与单调性的综合．专题：计算题；综合题．分析：由题设条件知，偶函数f （x）在[0，2]上是减函数，在[﹣2，0]是增函数，由此可以得出函数在[﹣2，2]上具有这样的一个特征﹣﹣自变量的绝对值越小，其函数值就越小，由此抽象不等式f（1﹣m）＜f（m）可以转化为，解此不等式组即为所求．解答：解：偶函数f （x）在[0，2]上是减函数，∴其在（﹣2，0）上是增函数，由此可以得出，自变量的绝对值越小，函数值越大∴不等式f（1﹣m）＜f（m）可以变为解得m∈[﹣1，）故选A．点评：本题考查偶函数与单调性，二者结合研究出函图象的变化趋势，用此结论转化不等式，这是解本题的最合适的办法，中档题．9．（5分）已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是（）A．﹣3≤a＜0 B．﹣3≤a≤﹣2 C．a≤﹣2 D．a＜0考点：函数单调性的性质；二次函数的性质．专题：计算题．分析：由函数f（x）上R上的增函数可得函数，设g（x）=﹣x2﹣ax﹣5，h（x）=，则可知函数g（x）在x≤1时单调递增，函数h（x）在（1，+∞）单调递增，且g（1）≤h（1），从而可求解答：解：∵函数是R上的增函数设g（x）=﹣x2﹣ax﹣5（x≤1），h（x）=（x＞1）由分段函数的性质可知，函数g（x）=﹣x2﹣ax﹣5在（﹣∞，1]单调递增，函数h（x）=在（1，+∞）单调递增，且g（1）≤h（1）∴∴解可得，﹣3≤a≤﹣2故选B点评：本题主要考查了二次函数的单调性的应用，反比例函数的单调性的应用，主要分段函数的单调性应用中，不要漏掉g（1）≤h（1）10．（5分）函数的图象大致是（）A．B．C．D．考点：指数函数的图像变换．专题：函数的性质及应用．分析：分别根据函数的定义域，单调性，取值符号进行排除判断．解答：解：要使函数有意义，则3x﹣1≠0，解得x≠0，∴函数的定义域为{x|x≠0}，排除A．当x＜0时，y＞0，排除B．当x→+∞时，y→0，排除D．故选C．点评：本题考查函数的图象的判断，注意函数的值域，函数的图形的变换趋势，考查分析问题解决问题的能力．11．（5分）若定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f'（x）＞f（x），则f与fe2的大小关系为（）A．f＜fe2B．f=fe2C．f＞fe2D．不能确定考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：构造函数F（x）=e﹣x f（x），求导，判断函数的单调性，得到2011与2009的函数值大小，从而得到所求．解答：解：令F（x）=e﹣x f（x），则F'（x）=e﹣x f'（x）﹣e﹣x f（x）＞0，所以F（x）单调递增，于是F＞F，即e﹣2011f＞e﹣2009f，所以f＞fe2．故选：C．点评：本题考查了导数的运算以及构造函数判断单调性，利用函数单调性判断函数值的大小．12．（5分）若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数是（）A．3B．4C．5D．6考点：函数在某点取得极值的条件；根的存在性及根的个数判断．专题：综合题；压轴题；导数的综合应用．分析：求导数f′（x），由题意知x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，从而关于f（x）的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0有两个根，作出草图，由图象可得答案．解答：解：f′（x）=3x2+2ax+b，x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，不妨设x2＞x1，由3（f（x））2+2af（x）+b=0，则有两个f（x）使等式成立，x1=f（x1），x2＞x1=f（x1），如下示意图象：如图有三个交点，故选A．点评：考查函数零点的概念、以及对嵌套型函数的理解，考查数形结合思想．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数f（x）=的定义域为（﹣3，0]．考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：直接由根式内部的代数式大于等于0，分母不等于0联立不等式组求解．解答：解：由，得，解得：﹣3＜x≤0．∴函数f（x）=的定义域为：（﹣3，0]．故答案为：（﹣3，0]．点评：本题考查了函数的定义域及其求法，考查了指数不等式的解法，是基础题．14．（5分）对任意两个实数x1，x2，定义若f（x）=x2﹣2，g（x）=﹣x，则max（f（x），g（x））的最小值为﹣1．考点：函数的图象与图象变化．专题：新定义．分析：通过求解不等式x2﹣2≥﹣x，得出f（x）≥g（x）和f（x）＜g（x）的x的取值范围，结合新定义得到分段函数max（f（x），g（x））的解析式，在平面直角坐标系中作出分段函数的图象，则分段函数的最小值可求．解答：解：因为对任意两个实数x1，x2，定义，又f（x）=x2﹣2，g（x）=﹣x，由x2﹣2≥﹣x，得x≤﹣2或x≥1，则当x2﹣2＜﹣x时，得﹣2＜x＜1．所以y=max（f（x），g（x）），其图象如图，由图象可知函数max（f（x），g（x））的最小值为﹣1．故答案为﹣1．点评：本题考查了新定义，考查了函数的图象与图象的变化，考查了分段函数图象的画法，分段函数的值域要分段求，最后取并集，是基础题．15．（5分）设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f（2﹣x）=f（x+2），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞1）在区间（﹣2，6）内恰有三个不同实根，则实数a的取值范围是（，2]．考点：函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：由已知中可以得到函数f（x）的图象关于直线x=2对称，结合函数是偶函数，及x∈[﹣2，0]时的解析式，可画出函数的图象，将方程f（x）﹣log a x+2=0恰有3个不同的实数解，转化为函数f（x）的与函数y=log a x+2的图象恰有3个不同的交点，数形结合即可得到实数a的取值范围．解答：解：∵对于任意的x∈R，都有f（2﹣x）=f（x+2），∴函数f（x）的图象关于直线x=2对称又∵当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，若在区间（﹣2，6）内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0恰有3个不同的实数解，则函数y=f（x）与y=log a（x+2）在区间（﹣2，6）上有三个不同的交点，如下图所示：又f（﹣2）=f（2）=3，则有log a（2+2）＜3，且log a（6+2）≥3，解得：＜a≤2，故答案为（，2]．点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，指数函数与对数函数的图象与性质，其中根据方程的解与函数的零点之间的关系，将方程根的问题转化为函数零点问题，是解答本题的关键，体现了转化和数形结合的数学思想，属于中档题．16．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（x+5）=16，当x∈（﹣1，4]时，f（x）=x2﹣2x，则函数f（x）在[0，2013]上的零点个数是604．考点：根的存在性及根的个数判断；函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：根据y=x2与y=2x的函数曲线在区间（0，4]有两个交点，在区间（﹣1，0]区间有一个交点，f（x）=x2﹣2x=16无根，可得x∈（﹣1，4]时，f（x）=x2﹣2x有3个零点，且x∈（﹣6，﹣1]时，f（x）=x2﹣2x无零点，进而分析出函数的周期性，分段讨论后，综合讨论结果可得答案．解答：解：y=x2与y=2x的函数曲线在区间（0，4]有两个交点，在区间（﹣1，0]区间有一个交点，但当x∈（﹣1，4]时，f（x）=x2﹣2x=16无根即当x∈（﹣1，4]时，f（x）=x2﹣2x有3个零点由f（x）+f（x+5）=16，即当x∈（﹣6，﹣1]时，f（x）=x2﹣2x无零点又∵f（x+5）+f（x+10）=f（x）+f（x+5）=16，∴f（x+10）=f（x），即f（x）是周期为10的周期函数，在x∈[0，2013]，分为三段x∈[0，4]，x∈（4，2004]，x∈在[0，2013]上的零点个数是604故答案为：604点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的零点，其中熟练掌握对数函数和二次函数的图象和性质，分析出一个周期上函数的零点个数是解答的关键．三、解答题（本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤.）17．（12分）已知集合，集合B={x|y=ln（4﹣3x﹣x2）}，集合C={x|m+2＜x＜2m﹣3}．（Ⅰ）设全集U=R，求（∁U A）∩B；（Ⅱ）若C∩（∁R A）=∅，求实数m的取值范围．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：（I）求出函数和y=ln（4﹣3x﹣x2）的定义域A，B，集合交集，并集，补集的定义，可得答案．（Ⅱ）若C∩（∁R A）=∅，则C=∅或C与∁R A没有公共元素，即C⊆A，进而可得实数m的取值范围．解答：解：（Ⅰ）∵集合=（﹣∞，﹣2]∪[9，+∞），集合B={x|y=ln（4﹣3x﹣x2）}=（﹣4，1），∴∁U A=（﹣2，9），∴（∁U A）∩B=（﹣2，1）．（Ⅱ）∵C∩（∁R A）=∅，∴C⊆A，当C=∅时，m+2≥2m﹣3，解得m≤5，当C≠∅时，则或，解得：m≥7，综上：实数m的取值范围是m≤5或m≥7．点评：本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集及其运算，难度不大，属于基础题．18．（12分）已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f （1）=1，若m，n∈[﹣1，1]，m+n≠0时有＞0．（1）判断f （x）在[﹣1，1]上的单调性，并证明你的结论；（2）解不等式：f（x+）＜f（）；（3）若f（x）≤t2﹣2at+1对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求实数t的取值范围．考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；函数恒成立问题．分析：（1）由单调性定义判断和证明；（2）由f（x）是奇函数和（1）的结论知f（x）在上[﹣1，1]是增函数，再利用定义的逆用求解；（3）先由（1）求得f（x）的最大值，再转化为关于a的不等式恒成立问题求解．解答：解：（1）任取﹣1≤x1＜x2≤1，则f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）=∵﹣1≤x1＜x2≤1，∴x1+（﹣x2）≠0，由已知＞0，又x1﹣x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x）在[﹣1，1]上为增函数；（2）∵f（x）在[﹣1，1]上为增函数，故有（3）由（1）可知：f（x）在[﹣1，1]上是增函数，且f（1）=1，故对x∈[﹣l，1]，恒有f（x）≤1．所以要使f（x）≤t2﹣2at+1，对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，即要t2﹣2at+1≥1成立，故t2﹣2at≥0成立．即g（a）=t2﹣2at对a∈[﹣1，1]，g（a）≥0恒成立，只需g（a）在[﹣1，1]上的最小值大于等于零．故解得：t≤﹣2或t=0或t≥2．点评：本题主要考查单调性和奇偶性的综合应用及函数最值、恒成立问题的转化化归思想．19．（12分）对于函数f（x），若存在x0∈R，使方程f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点，已知函数f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣1（a≠0）．（1）当a=1，b=﹣2时，求函数f（x）的不动点；（2）当a=1，b=﹣2时，求f（x）在[t，t+1]上的最小值g（t）．（3）若对任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的取值范围．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）首先利用信息要求解出结果．（2）二次函数的轴固定区间不固定的讨论．（3）恒成立问题的应用．解答：解：（1）由题意得：f（x）=x2﹣x﹣3 由于x0是不动点因此得：即：解得：x0=﹣1或3即3和﹣1是f（x）的不动点．（2）①当t≤时，g（t）=t2+t﹣3②当﹣＜t＜时，g（t）=﹣③当t≥时，g（t）=t2﹣t﹣3（3）因为f（x）恒有两个不动点f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣1=x即：ax2+bx+b﹣1=0恒有两个不等实根即对于任意的实数都有△=b2﹣4a（b﹣1）＞0恒成立进一步得：对任意的实数b，b2﹣4ab+4a＞0恒成立．得到：a2﹣a＜00＜a＜1故答案为：（1）3和﹣1是f（x）的不动点（2））①当t≤时，g（t）=t2+t﹣3②当﹣＜t＜时，g（t）=﹣③当t≥时，g（t）=t2﹣t﹣3（3）0＜a＜1点评：本题考查的知识点：信息抽象函数的应用，二次函数的轴固定区间不固定的讨论，恒成立问题的应用及一元二次不等式和一元二次方程的解法．20．（12分）已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（1）若a=﹣1，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x3+x2[f′（x）+]（f′（x）是f（x）的导数）在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（3）求证：×××…×＜（n≥2，n∈N*）．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）a=﹣1时，，由此能求出f（x）的单调增区间和单调减区间．（2）由，（2，f（2））点切线倾斜角为45°，求出f'（x）=﹣+2，由此能求出m的取值范（3）构造函数f（x）=x﹣ln（x+1），x＞1，由导数性质求出当n≥2，n＞ln（n+1），由此能证明×××…×＜（n≥2，n∈N*）．解答：（1）解：a=﹣1时，f（x）=﹣lnx+x﹣3，∴x＞0，，由，得x=1．x＞1时，f′（x）＞0；0＜x＜1时，f′（x）＜0．∴f（x）的单调增区间为（1，+∞），单调减区间为（0，1）．（2）解：∵f（x）=alnx﹣ax﹣3，∴，∵（2，f（2））点切线倾斜角为45°，∴f'（2）=1，即﹣2=1，则a=﹣2，f'（x）=﹣+2，则g（x）=x3+x2（﹣+2+）=x3+（2+）x2﹣2x，g'（x）=3x2+（4+m）x﹣2，∵函数不单调，也就是说在（t，3）范围内，g'（x）=0有解，∵g'（0）=﹣2＜0，∴当且仅当g'（t）＜0且g'（3）＞0时方程有解，∴3t2+（4+m）t﹣2＜0且3×32﹣3（4+m）﹣2＞0，解得﹣＜m＜﹣3t﹣4，又∵t∈[1，2]，∴﹣＜m＜﹣9，∴m的取值范围（﹣，﹣9）．（3）证明：先证明当n≥2，n∈Z时，n＞lnn构造函数f（x）=x﹣ln（x+1），x＞1则f′（x）=1﹣=，∵x＞1，∴f′（x）＞0，∴f（x）＞f（1）=1﹣ln（1+1）＞0∴当n≥2，n∈N*时，n＞ln（n+1），∴，，…，，，∴＜=．点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意导数性质和构造法的合理运用．21．（12分）设函数f（x）=lnx+，m∈R．（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；（Ⅲ）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）m=e时，f（x）=lnx+，利用f′（x）判定f（x）的增减性并求出f（x）的极小值；（Ⅱ）由函数g（x）=f′（x）﹣，令g（x）=0，求出m；设φ（x）=m，求出φ（x）的值域，讨论m的取值，对应g（x）的零点情况；（Ⅲ）由b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；即h（x）=f（x）﹣x在（0，+∞）上单调递减；h′（x）≤0，求出m的取值范围．解答：解：（Ⅰ）当m=e时，f（x）=lnx+，∴f′（x）=；∴当x∈（0，e）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，e）上是减函数；当x∈（e，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（e，+∞）上是增函数；∴x=e时，f（x）取得极小值f（e）=lne+=2；（Ⅱ）∵函数g（x）=f′（x）﹣=﹣﹣（x＞0），令g（x）=0，得m=﹣x3+x（x＞0）；设φ（x）=﹣x3+x（x≥0），∴φ′（x）=﹣x2+1=﹣（x﹣1）（x+1）；当x∈（0，1）时，φ′（x）＞0，φ（x）在（0，1）上是增函数，当x∈（1，+∞）时，φ′（x）＜0，φ（x）在（1，+∞）上是减函数；∴x=1是φ（x）的极值点，且是极大值点，∴x=1是φ（x）的最大值点，∴φ（x）的最大值为φ（1）=；又φ（0）=0，结合y=φ（x）的图象，如图；可知：①当m＞时，函数g（x）无零点；②当m=时，函数g（x）有且只有一个零点；③当0＜m＜时，函数g（x）有两个零点；④当m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；综上，当m＞时，函数g（x）无零点；当m=或m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；当0＜m＜时，函数g（x）有两个零点；（Ⅲ）对任意b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；设h（x）=f（x）﹣x=lnx+﹣x（x＞0），∴h（x）在（0，+∞）上单调递减；∵h′（x）=﹣﹣1≤0在（0，+∞）上恒成立，∴m≥﹣x2+x=﹣+（x＞0），∴m≥；对于m=，h′（x）=0仅在x=时成立；∴m的取值范围是[，+∞）．点评：本题考查了导数的综合应用问题，解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法来解答问题，是难题．请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，作答时请写清题号．【选修4-1几何证明选讲】22．（10分）已知：直线AB过圆心O，交⊙O于AB，直线AF交⊙O于F（不与B重合），直线l与⊙O相切于C，交AB于E，且与AF垂直，垂足为G，连接AC．求证：（1）∠BAC=∠CAG；（2）AC2=AE•AF．考点：圆周角定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质．专题：证明题．分析：（1）连接BC，根据AB为⊙O的直径得到∠ECB与∠ACG互余，根据弦切角得到∠ECB=∠BAC，得到∠BAC与∠ACG互余，再根据∠CAG与∠ACG互余，得到∠BAC=∠CAG；（2）连接CF，利用弦切角结合（1）的结论，可得∠GCF=∠ECB，再用外角进行等量代换，得到∠AFC=∠ACE，结合∠FAC=∠CAE得到△FAC∽△CAE，从而得到AC是AE、AF的比例中项，从而得到AC2=AE•AF．解答：证明：（1）连接BC，∵AB为⊙O的直径…（2分）∴∠ACB=90°⇒∠ECB+∠ACG=90°…（1分）∵GC与⊙O相切于C，∴∠ECB=∠BAC∴∠BAC+∠ACG=90°…（4分）又∵AG⊥CG⇒∠CAG+∠ACG=90°∴∠BAC=∠CAG…（6分）（2）由（1）可知∠EAC=∠CAF，连接CF∵GE与⊙O相切于C，∴∠GCF=∠CAF=∠BAC=∠ECB∵∠AFC=∠GCF+90°，∠ACE=∠ECB+90°∴∠AFC=∠ACE…（8分）∵∠FAC=∠CAE∴△FAC∽△CAE…（10分）∴∴AC2=AE•AF…（12分）点评：本题综合考查了弦切角、三角形的外角定理和相似三角形的性质等知识点，属于中档题．解题时要注意充分利用互余的角和弦切角进行等量代换，方可得到相似三角形．【选修4--4；坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xoy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（）=2．（Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标；（Ⅱ）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为（t∈R为参数），求a，b的值．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程．专题：压轴题；直线与圆．分析：（I）先将圆C1，直线C2化成直角坐标方程，再联立方程组解出它们交点的直角坐标，最后化成极坐标即可；（II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），从而直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0，由参数方程可得y=x﹣+1，从而构造关于a，b的方程组，解得a，b的值．解答：解：（I）圆C1，直线C2的直角坐标方程分别为x2+（y﹣2）2=4，x+y﹣4=0，解得或，∴C1与C2交点的极坐标为（4，）．（2，）．（II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），故直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0，由参数方程可得y=x﹣+1，∴，解得a=﹣1，b=2．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为普通方程的方法，方程思想的应用，属于基础题．【选修4--5；不等式选讲】24．已知函数f（x）=|x﹣a|，其中a＞1（1）当a=2时，求不等式f（x）≥4﹣|x﹣4|的解集；（2）已知关于x的不等式|f（2x+a）﹣2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，求a的值．考点：带绝对值的函数；绝对值不等式的解法．专题：压轴题；不等式的解法及应用．分析：（1）当a=2时，f（x）≥4﹣|x﹣4|可化为|x﹣2|+|x﹣4|≥4，直接求出不等式|x﹣2|+|x ﹣4|≥4的解集即可．（2）设h（x）=f（2x+a）﹣2f（x），则h（x）=．由|h（x）|≤2解得，它与1≤x≤2等价，然后求出a的值．解答：解：（1）当a=2时，f（x）≥4﹣|x﹣4|可化为|x﹣2|+|x﹣4|≥4，当x≤2时，得﹣2x+6≥4，解得x≤1；当2＜x＜4时，得2≥4，无解；当x≥4时，得2x﹣6≥4，解得x≥5；故不等式的解集为{x|x≥5或x≤1}．（2）设h（x）=f（2x+a）﹣2f（x），则h（x）=由|h（x）|≤2得，又已知关于x的不等式|f（2x+a）﹣2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，所以，故a=3．点评：本题是中档题，考查绝对值不等式的解法，注意分类讨论思想的应用，考查计算能力，常考题型．。

河南实验中学高三（上）期中考试数 学 试 题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页。

共150分。

考试时间120分。

参考公式：三角函数的积化和差公式αsin +βsin =2sin2βα+cos2βα- αsin －βsin =2cos2βα+sin2βα-cos α+cos β=2cos 2βα+cos 2βα- cos α－cos β=－2sin 2βα+sin 2βα-第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的．）1．已知集合M={1，3}，N={x x |2－}Z x x ∈<,03，又P=M ⋃N ，那么集合P 的真子集共有 （ ）A ．3个B ．7个C ．8个D ．9个 2．设βα,是同一象限角，下列判断正确的是（ ）A ．若βα>，则αsin >βsinB ．若αsin >βsin ，则βα>C ．若βα=，则αsin =βsinD ．若αsin =βsin ，则βα=3．点A （0，1）在直线x+ay －b=0上的射影是点B （1，0），则a ，b 的值依次为 （ ）A ．－1，1B ．－1，－1C ．1，1D ．1，－1 4．设函数2)(=x f x ，则函数y=f－1（x －1）的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．５．平行六面体ＡＢＣＤ—Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１的体积为Ｖ，Ｅ、Ｆ分别是ＤＣ、ＢＣ的中点，则几何体ＣＥＦ－Ｃ１Ｄ１Ｂ１的体积等于（ ）A ．247Ｖ B ．41Ｖ C ．1223+Ｖ D ．85Ｖ６．若命题“非p ”与命题“ｐ或ｑ”都是真命题，那么 （ ）Ａ．命题ｐ与ｑ命题的真值相同 B ．命题ｑ一定是真命题 C ．命题ｑ不一定是真命题D ．命题ｐ不一定是假命题７．设非零向量a 与b的方向相反，那么下面给出的命题中，正确的个数是 （ ）（１）a ＋b ＝０ （２）a —b 的方向与a一致（３）a ＋b 的方向与a一致 （４）若a ＋b 的方向与b 一致，则｜a ｜＜｜b ｜A ．１个B ．２个C ．３个D ．４个８．二项展开式（ａ＋ｂ）ｎ中与其第ｋ（ｋ≤ｎ）项的二项式系数相同的项是（ ）Ａ．第（ｎ－ｋ＋１）项 B ．第（ｎ－ｋ）项C ．第（ｎ－ｋ＋２）项D ．第（ｎ－ｋ－１）项 ９．已知轴截面是正方形的圆柱的侧面积等于一个球的表面积，那么这个圆柱与球的体积之比是（ ）A ．３∶２B ．２∶３C ．４∶３D ．２∶210．已知等差数列{a n}与等比数列{b n }的首项均为1，且公差d ≠1，公比q ＞0且q ≠1，则集合{n| a n = b n}的元素最多有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 11．已知ab ≠0，点M （a ，b ）是圆x 2+y 2=r 2内一点，直线m 是以点M 为中点的弦所在的直线，直线L 的方程是a x +by=r 2，则下列结论正确的是（ ）A ．m ∥L ，且L 与圆相交B ．L ⊥m ，且L 与圆相切C ．m ∥L ，且L 与圆相离D ．L ⊥m ，且L 与圆相离12．设)(),(x g x f 都是定义在R 上的奇函数，不等式)(x f ＞0的解集为（m ，n ），不等式)(x g ＞0的解集为（,2m 2n），其中0＜2m ＜n ，则不等式)(x f ·)(x g ＞0的解集为（ ）A ．（,2m 2n） B ．（,2m 2n ）⋃（－2n ，－2m） C ．（－n ，－m ）D ．（m ，2n ）⋃（－2n，－m ）2002——2003学年度上学期期中考试高三数学试卷第Ⅱ卷（非选择题，共90分）一、选择题答题栏二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上）13．若P 是双曲线32x －y 2=1右支上一个动点，F 是双曲线的右焦点，已知点A 的坐标是（3，1），则|PA|+|PF|的最小值是 ．14．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，有如下四个结论：①AC ⊥BD ； ②△ADC是等边三角形； ③AB 与面BCD 成60°角； ④AB 与CD 成60°角；请你把正确的结论的序号都填上 ． 15．若对实数x ∈[)+∞,10，恒有|log m x|≥2，则实数m 的取值范围是 。

省实验中学2015届高三上学期阶段性测试（一）数学（理科）一．选择题(5*8=40分)1．设集合A ＝{(x ，y )|x 24＋y 216＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x }，则A ∩B 的子集的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 2． 22log sinlog cos1212ππ+的值为（ ）A .-2B .–l C. 12D .13．已知x ，y ∈R ，则“1x y +=”是“14xy ≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．已知函数cos21()sin 2x f x x-=，则有（ ）A ．函数()f x 的图像关于直线2x π=对称 B ．函数()f x 的图像关关于点(,0)2π对称C ．函数()f x 的最小正周期为2πD ．函数()f x 在区间(0,)π内单调递减5．已知0<a<b<l ．则（ ） A.11b a > B. 11()()22a b < C. 22(lg )(lg )a b < D. 11lg lg a b>6．已知函数 2()2cos f x x x =+，若 '()f x 是 ()f x 的导函数，则函数 '()f x 在原点附近的图象大致是（ ）A B C D7.已知函数213,1()log , 1x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩ ，若对任意的R x ∈，不等式23()4f x m m ≤-恒成立，则实数m的取值范围是（ ）111.(,].(,][1,).[1,).[,1]444A B C D -∞--∞-+∞+∞-AB C D P ME O 1 O 28．已知关于x 的方程cos xk x=在(0,)+∞有且仅有两根，记为,()αβαβ<，则下列的四个命题正确的是（ ）A ．2sin 22cos ααα= B ．2cos 22sin ααα= C ．2sin 22sin βββ=- D ．2cos22sin βββ=-二．填空题（6*5=30分）（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答。

河南省实验中学2015届高三上学期第一次月考数学理试题【试卷综析】总体上看，整份试卷的阅读量、运算量和思维量都比较大，难度也稍偏大，区分度不是十分明显。

客观地说试题的设计、考查的要求和复习的导向都比较好，结构稳定。

整套试卷的题型设置，试题总体结构、考点分布、题型题量、赋分权重等方面均与历年考题保持一致，充分体现了稳定的特点。

试题紧紧围绕教材选材，注重基础知识和基本能力的检测。

考查了必要数学基础知识、基本技能、基本数学思想；考查基本的数学能力，以及数学的应用意识、创新意识、科学态度和理性精神等要求落到实处，模拟试卷有模仿性，即紧跟上一年高考试卷的命题，又有预见性，能够预测当年试卷的些微变化，具有一定的前瞻性，对学生有所启发，提高学生的应试备考能力，提升得分。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【题文】1、已知集合}1log0|{4<<=xxA，}2|{≤=xxB，则=BCAR（）A．(]12，B．)4,2[ C．)4,2( D．)4,1(【知识点】交、并、补集的混合运算．A1【答案解析】C 解析：集合A中的不等式变形得：log41＜log4x＜log44，解得：1＜x＜4，即A=（1，4），∵B=（﹣∞，2]，∴∁RB=（2，+∞），则A∩∁RB=（2，4）．故选C【思路点拨】求出集合A中其他不等式的解集，确定出A，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．【题文】2、下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．1y x=+ B．2y x=- C．||y x x=【知识点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明。

B3 B4【答案解析】D 解析：对于A，非奇非偶，是R上的增函数，不符合题意；对于B，是偶函数，不符合题意；对于C，是奇函数，但不是增函数；对于D，令f（x）=x|x|，∴f（﹣x）=﹣x|﹣x|=﹣f（x）；∵f（x）=x|x|=，∴函数是增函数故选D．【思路点拨】对于A ，非奇非偶；对于B，是偶函数；对于C，是奇函数，但不是增函数；对于D，令f（x）=x|x|=，可判断函数既是奇函数又是增函数，故可得结论．【题文】3．如图，阴影部分的面积是( )A ．．2【知识点】定积分在求面积中的应用。

河南省实验中学2014——2015学年上期期中试卷高三物理命题人：赵传亮审题人：王俊萍（时间：90分钟，满分：110分）一、选择题（本题共10小题，总分40分。

每小题所列四个选项中，有一个或多个正确选项，全部选对得4分，少选、漏选得2分，错选、多选或不选得0分）1．伽利略为了研究自由落体的规律，将落体实验转化为著名的沿斜面运动的实验，当时利用斜面做实验主要是考虑到：( )A．实验时便于测量小球运动的速度B．实验时便于测量小球运动的路程C．实验时便于测量小球运动的时间D．实验时便于测量小球运动的加速度2．一质点沿x轴做直线运动，其v—t图像如图所示．质点在t＝0时位于x＝5 m处，开始沿x轴正向运动．当t＝8 s时，质点在x轴上的位置为()A．x＝3 m B．x＝8 mC．x＝9 m D．x＝14 m3．如图所示，从同一条竖直线上两个不同点P、Q分别向右平抛两个小球，平抛的初速度分别为v1、v2，结果它们同时落到水平面上的M点处(不考虑空气阻力)。

下列说法中正确的是( )A．一定是P先抛出的，并且v1＝v2B．一定是P先抛出的，并且v1＜v2C．一定是Q先抛出的，并且v1＝v2D．一定是Q先抛出的，并且v1＞v24．如图所示，一质量为M的光滑大圆环，用一细轻杆固定在竖直平面内；套在大环上质量为m的小环(可视为质点)，从大环的最高处由静止滑下．重力加速度大小为g.当小环滑到大环的最低点时，大环对轻杆拉力的大小为()A．Mg＋5mg B．Mg＋mgC．Mg－5mg D．Mg＋10mg5．如图所示，真空中O点有一点电荷，在它产生的电场中有a、b两点，a点的场强大小为E a，方向与ab连线成60°角，b点的场强大小为E b，方向与ab连线成30°。

关于a、b两点场强E a、E b的关系，正确的是（）A．2 B．C．D．6．如图所示，竖直墙面与水平地面均光滑且绝缘，两个带有同种电荷的小球A、B分别处于竖直墙面和水平地面，且处于同一竖直平面内，若用图示方向的水平推力F作用于小球B，则两球静止于图示位置，如果将小球B向左推动少许，两个小球将重新达到平衡，电量不变，则两个小球的受力情况与原来相比（）A．推力F将增大B．竖直墙面对小球A的弹力变大C．地面对小球B的弹力一定增大D．两个小球之间的距离增大7．小球自由下落，与地面发生碰撞后以原速率反弹。

2014-2015学年河南省洛阳市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合M={x|x2﹣2x＜0}，N={x||x|＜1}则M∩N=（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（0，2）考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：根据题意，由一元二次不等式的解法可得集合M，由绝对值不等式的解法可得集合N，进而有交集的意义可得答案．解答：解：集合M={x|x2﹣2x＜0}={x|0＜x＜2}，N={x||x|＜1}={x|﹣1＜x＜1}，则M∩N={x|0＜x＜1}=（0，1），故选B．点评：本题考查集合的交集运算，关键是求出集合M、N．2．已知（1+）2=a+bi（a，b∈R，i为虚数单位），则a+b=A．﹣4 B．4C．﹣7 D．7考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数相等，求出a，b的值，然后利用复数的几何意义即可得到结论．解答：解：由（1+）2=a+bi得1+﹣4=a+bi，即﹣3﹣4i=a+bi，则a=﹣3，b=﹣4，解得a=1，b=2，则a+b=﹣3﹣4=﹣7，故选：C点评：本题主要考查复数的基本运算，利用复数相等求出a，b是解决本题的关键，比较基础．3．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6=18﹣a7，则S12=（）A．18 B．54 C．72 D．108考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解．解答：解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a6=18﹣a7，∴S12=（a1+a12）=6（a6+a7）=6×18=108．故选：D．点评：本题考查等差数列的前12项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．4．已知双曲线﹣=1的实轴长、虚轴长、焦距依次成等比数列，则其离心率为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由实轴长、虚轴长、焦距成等比数列可得b2=ac再结合b2=c2﹣a2可得c2﹣a2=ac即e2﹣e﹣1=0则可求出e解答：解：∵双曲线﹣=1的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列∴（2b）2=（2a）•（2c）∴b2=ac又∵b2=c2﹣a2∴c2﹣a2=ac∴e2﹣e﹣1=0∴e=又在双曲线中e＞1∴e=故选A．点评：此题主要考查了求双曲线的离心率．关键是要利用题中的条件建立a，b，c的关系式再结合c2=a2+b2和两边同除ab即得到关于e的方程求解即可，但要注意双曲线中e＞1，椭圆中0＜e＜1这一隐含条件！5．已知向量=（2，0），向量=（2，2），向量=（cosα，sinα），则向量与向量的夹角范围为（）A．[0，]B．[，]C．[，]D．[，]考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题；数形结合．分析：利用CA是常数，判断出A的轨迹为圆，作出A的轨迹；数形结合求出两个向量的夹角范围．解答：解：||=，∴A点在以C为圆心，为半径的圆上，当OA与圆相切时对应的位置是OA 与OB所成的角最大和最小的位置OC与x轴所成的角为；与切线所成的为所以两个向量所成的最小值为；最大值为故选D点评：本题考查圆的定义、数形结合求两个向量的夹角范围．6．执行如图所示的程序框图，若输出的S是127，则条件①可以为（）A．n≤5 B．n≤6 C．n≤7 D．n≤8考点：程序框图．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加2n的值到S并输出S．解答：解：循环前，S=1，n=1第一次循环：S=1+2=3，n=1+1=2，继续循环；第二次循环：S=3+22=7，n=2+1=3，继续循环；第三次循环：S=7+23=15，n=3+1=4，继续循环；第四次循环：S=15+24=31，n=4+1=5，继续循环；第五次循环：S=31+25=63，n=5+1=6，继续循环；第六次循环：S=63+26=127，n=6+1=7，停止循环，输出S=127．故选B．点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．7．已知p：≤2x≤，q：﹣≤x+≤﹣2，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：首先对p，q两个命题进行整理，得到关于x的范围，把两个条件对应的范围进行比较，得到前者的范围小于后者的范围，即属于前者一定属于后者，但是属于后者不一定属于前者，得到结论．解答：解：p：≤2x≤，即为﹣2≤x≤﹣1，q：﹣≤x+≤﹣2，即为﹣2≤x≤﹣∴属于前者一定属于后者，但是属于后者不一定属于前者，∴前者是后者的充分不必要条件，故选：A点评：本题考查必要条件，充分条件与充要条件的判断，本题解题的关键是对于所给的条件进行整理，得到两个条件对应的集合的范围的大小，本题是一个基础题8．已知x、y都是区间[0，]内任取的一个实数，则使得y≤sinx的取值的概率是（）A．B．C．D．考点：几何概型；定积分．专题：概率与统计．分析：根据几何概型的概率公式，结合积分的应用求出对应的面积即可得到结论．解答：解：此题为几何概型，事件A的度量为函数y=sinx的图象在内与x轴围成的图形的面积，即，则事件A的概率为，故选A点评：本题主要考查几何概型的概率计算以及利用积分求面积，要求熟练掌握几何概型的求解方法．9．的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A．﹣40 B．﹣20 C．20 D．40考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：给x赋值1求出各项系数和，列出方程求出a；将问题转化为二项式的系数和；利用二项展开式的通项公式求出通项，求出特定项的系数．解答：解：令二项式中的x为1得到展开式的各项系数和为1+a∴1+a=2∴a=1∴==∴展开式中常数项为的的系数和∵展开式的通项为T r+1=（﹣1）r25﹣r C5r x5﹣2r令5﹣2r=1得r=2；令5﹣2r=﹣1得r=3展开式中常数项为8C52﹣4C53=40故选D点评：本题考查求系数和问题常用赋值法、考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．10．若f（x）=2cos（ωx+φ）+m，对任意实数t都有f（t+）=f（﹣t），且f（）=﹣1则实数m的值等于（）A．±1 B．﹣3或1 C．±3 D．﹣1或3考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：通过f（t+）=f（﹣t），判断函数的对称轴，就是函数取得最值的x值，结合f（）=﹣1，即可求出m的值．解答：解：因为f（x）=2cos（ωx+φ）+m，对任意实数t都有f（t+）=f（﹣t），所以函数的对称轴是x=，就是函数取得最值，又f（）=﹣1，所以﹣1=±2+m，所以m=1或﹣3．故选B．点评：本题是基础题，考查三角函数的对称轴的应用，不求解析式，直接判断字母的值的方法，考查学生灵活解答问题的能力．11．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|=3，则△AOF 的面积为（）A．B．C．D．2考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用抛物线的定义，求出A的坐标，再计算△AOF的面积．解答：解：抛物线y2=4x的准线l：x=﹣1．∵|AF|=3，∴点A到准线l：x=﹣1的距离为3∴1+x A=3∴x A=2，∴y A=±2，∴△AOF的面积为=．故选：B．点评：本题考查抛物线的定义，考查三角形的面积的计算，确定A的坐标是解题的关键．12．设f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f′（x），若f（x）+f′（x）＞1，f（0）=2015，则不等式e x f（x）＞e x+2014（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（2014，+∞）B．（﹣∞，0）∪（2014，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（0，+∞）考点：函数单调性的性质．专题：导数的综合应用．分析：构造函数g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值即可求解．解答：解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+2014，∴g（x）＞2014，又∵g（0）=e0f（0）﹣e0=2015﹣1=2014，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：D．点评：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键，属于中档题．二、填空题（每小题5分，共20分）13．若等比数列{a n}满足a2+a4=20，a3+a5=40．则a5+a7=160．考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：设出等比数列的首项和公比，由已知列方程组求出首项和公比，即可求出a5+a7．解答：解：设等比数列的公比为q，∵a2+a4=20，a3+a5=40，∴a1q+a1q3=20，a1q2+a1q4=40，解得a1=q=2∴a n=a1q n﹣1=2n，∴a5+a7=160，故答案为：160．点评：本题考查的知识点是等比数列的前n项和，等比数列的通项公式，其中根据已知构造关于首项和公比的方程组，是解答的关键．14．（2014•嘉定区三模）若实数x，y满足如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣1，则实数m=5．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：画出不等式组表示的平面区域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数m的方程组，消参后即可得到m的取值解答：解：画出x，y满足的可行域如下图：可得直线y=2x﹣1与直线x+y=m的交点使目标函数z=x﹣y取得最小值，由可得，代入x﹣y=﹣1得∴m=5故答案为：5点评：如果约束条件中含有参数，先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组），代入另一条直线方程，消去x，y后，即可求出参数的值．15．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体的体积为．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：三视图复原的几何体是四棱锥，利用几何体的数据求解几何体的体积即可．解答：解：由题意可知三视图复原的几何体是底面为边长为2的正方形，一条侧棱垂直底面正方形的顶点的四棱锥，并且棱锥的高为2，所以几何体的体积为：=．故答案为：．点评：本题考查三视图与几何体的直观图的关系，考查空间想象能力与计算能力．16．函数f（x）=的最大值与最小值之积等于﹣．考点：函数的最值及其几何意义．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：分类讨论，利用基本不等式，求出函数f（x）=的最大值与最小值，即可得出结论．解答：解：f（x）==，x=0时，f（0）=0，x≠0时，f（x）=，x＞0时，x+≥2，∴0＜f（x）≤，x＜0时，x+≤﹣2，∴﹣≤f（x）＜0，综上，∴﹣≤f（x）≤，∴函数f（x）=的最大值与最小值之积等于﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查函数的最值及其几何意义，考查基本不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且∠A满足：2cos2A﹣2sinAcosA=﹣1．（Ⅰ）若a=2，c=2，求△ABC的面积；（Ⅱ）求的值．考点：余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）已知等式左边利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式变形，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，进而得到sinA的值，再由a 与c的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积；（Ⅱ）原式分子分母利用正弦定理变形，再利用两角和与差的余弦函数公式化简，约分即可得到结果．解答：解：（Ⅰ）∵2cos2A﹣2sinAcosA=﹣1，∴1+cos2A﹣sin2A=1﹣2（sin2A﹣cos2A）=1﹣2sin（2A﹣）=﹣1，即sin（2A﹣）=1，∵A为三角形内角，即0＜A＜π，∴2A﹣∈（﹣，），∴2A﹣=，即A=，在△ABC中，由余弦定理得：cosA===，解得：b=4或b=﹣2（舍去），∴S△ABC=bcsinA=×4×2×=2；（Ⅱ）已知等式，利用正弦定理===2R，变形得：=====2．点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．（12分）某旅行社为3个旅游团提供甲、乙、丙、丁共4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条．（1）求恰有2条线路没有被选择的概率；（2）设选择甲旅行线路的旅游团数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）利用等可能事件概率计算公式能求出恰有两条线路没有被选择的概率．（Ⅱ）设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ=0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．解答：（Ⅰ）恰有两条线路没有被选择的概率为：P==．（Ⅱ）设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ=0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==．∴ξ的分布列为：ξ0 1 2 3P∴期望Eξ=0×+1×+2×+3×=．点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．19．（12分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．考点：与二面角有关的立体几何综合题；异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出异面直线A1B与C1D所成角的余弦值．（2）分别求出平面ABA1的法向量和平面ADC1的法向量，利用向量法能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的余弦值，再由三角函数知识能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．解答：解：（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，则由题意知A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，4），D（1，1，0），C1（0，2，4），∴，=（1，﹣1，﹣4），∴cos＜＞===，∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为．（2）是平面ABA1的一个法向量，设平面ADC1的法向量为，∵，∴，取z=1，得y=﹣2，x=2，∴平面ADC1的法向量为，设平面ADC1与ABA1所成二面角为θ，∴cosθ=|cos＜＞|=||=，∴sinθ==．∴平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为．点评：本题考查两条异面直线所成角的余弦值的求法，考查平面与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．20．（12分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）利用两点间的距离公式可得c，再利用椭圆的标准方程及其性质即可得出a，b；（Ⅱ）把直线l的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D，可得k AD•k BD=﹣1，即可得出m与k的关系，从而得出答案．解答：解：（Ⅰ）∵左焦点（﹣c，0）到点P（2，1）的距离为，∴，解得c=1．又，解得a=2，∴b2=a2﹣c2=3．∴所求椭圆C的方程为：．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣3）=0，△=64m2k2﹣16（3+4k2）（m2﹣3）＞0，化为3+4k2＞m2．∴，．y1y2=（kx1+m）（kx2+m）==．∵以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），k AD•k BD=﹣1，∴，∴y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4=0，∴．化为7m2+16mk+4k2=0，解得m1=﹣2k，．，且满足3+4k2﹣m2＞0．当m=﹣2k时，l：y=k（x﹣2），直线过定点（2，0）与已知矛盾；当m=﹣时，l：y=k，直线过定点．综上可知，直线l过定点，定点坐标为．点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、圆的性质、两点间的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣ex3+e x（x﹣1）（其中e为自然对数的底数），记f（x）的导函数为f′（x）．（1）求函数y=f（x）的单调区间；（2）求证：当x＞0时，不等式f′（x）≥1+lnx恒成立．考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）利用导数判断函数的单调性，求出单调区间；（2）当x＞0时，令h（x）=1+lnx+ex2﹣x﹣e x x，求出导数h′（x），当x=1时，h′（x）=0，由（1）得，e x﹣ex≥0，讨论当x＞1时，当0＜x＜1时，导数的符号，从而得到h（x）的最大值，即可得证．解答：（1）解：）∵f（x）=x2﹣ex3+e x（x﹣1），∴f′（x）=﹣ex2+x+e x（x﹣1）+e x=x（e x+1﹣ex），令y=e x+1﹣ex，则y′=ex﹣e，y′＞0，得x＞1，y′＜0，得x＜1，则x=1取极小，也是最小，则y≥1．即e x+1﹣ex＞0恒成立，则g′（x）＞0得x＞0；g′（x）＜0得x＜0．故g（x）的增区间为（0，+∞），减区间为（﹣∞，0）．（2）证明：当x＞0时，1+lnx﹣f′（x）=1+lnx+ex2﹣x﹣e x x，令h（x）=1+lnx+ex2﹣x﹣e x x，h′（x）=+2ex﹣1﹣e x x﹣e x，当x=1时，h′（x）=0，由（1）得，e x﹣ex≥0，当x＞1时，h′（x）＜0，当0＜x＜1时，h′（x）＞0，故x=1为极大值，也为最大值，且为h（1）=0．故当x＞0时，h（x）≤h（1），即有h（x）≤0，故当x＞0时，1+lnx﹣f′（x）≤0，即f′（x）≥1+lnx．点评：本题考查导数的应用：求单调区间、求极值，求最值，考查构造函数证明不等式恒成立问题，转化为求函数的最值问题，应用导数求解，本题属于中档题．下面的三个选作题，考生选择一个题作答【选修4—1】几何证明选讲22．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．（1）证明：AE是⊙O的切线；（2）如果AB=2，AE=，求CD．考点：与圆有关的比例线段．专题：几何证明．分析：（1）首先通过连接半径，进一步证明∠DAE+∠OAD=90°，得到结论．（2）利用第一步的结论，找到△ADE∽△BDA的条件，进一步利用勾股定理求的结果解答：（1）证明：连结OA，在△ADE中，AE⊥CD于点E，∴∠DAE+∠ADE=90°∵DA平分∠BDC．∴∠ADE=∠BDA∵OA=OD∴∠BDA=∠OAD∴∠OAD=∠ADE∴∠DAE+∠OAD=90°即：AE是⊙O的切线（2）在△ADE和△BDA中，∵BD是⊙O的直径∴∠BAD=90°由（1）得：∠DAE=∠ABD又∵∠BAD=∠AED∵AB=2求得：BD=4，AD=2∴∠BDA=∠ADE=∠BDC=60°进一步求得：CD=2故答案为：（1）略（2）CD=2点评：本题考查的知识点：证明切线的方法：连半径，证垂直．三角形相似的判定，勾股定理的应用．【选修4—4】坐标系参数方程23．已知直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半径为极轴）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（1）分别将直线l和曲线C的方程化为直角坐标系下的普通方程；（2）设直线l与曲线C交于P、Q两点，求|PQ|．考点：参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：选作题；坐标系和参数方程．分析：（1）消去参数，可得直线l的普通方程，圆ρ=4cosθ，等式两边同时乘以ρ，可得曲线C的方程化为直角坐标系下的普通方程；（2）求出圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，即可求|PQ|．解答：解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），普通方程为y=x+2﹣2；圆ρ=4cosθ，等式两边同时乘以ρ得到ρ2=4ρcosθ，即x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4；（2）x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4，表示以（2，0）为圆心，半径等于2的圆．圆心到直线的距离为=1，∴|PQ|=2=2．点评：本题考查参数方程化成普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程，考查直线与圆的位置关系，比较基础．【选修4—5】不等式选讲24．设函数f（x）=+的最大值为M．（Ⅰ）求实数M的值；（Ⅱ）求关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M的解集．考点：二维形式的柯西不等式；绝对值不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）根据函数f（x）=+=•+≤•=3，求得实数M的值．（Ⅱ）关于x的不等式即|x﹣1|+|x+2|≤3，由绝对值三角不等式可得|x﹣1|+|x+2|≥3，可得|x﹣1|+|x+2|=3．根据绝对值的意义可得x的范围．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=+=•+≤•=3，当且仅当=，即x=4时，取等号，故实数M=3．（Ⅱ）关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M，即|x﹣1|+|x+2|≤3．由绝对值三角不等式可得|x﹣1|+|x+2|≥|（x﹣1）﹣（x+2）|=3，∴|x﹣1|+|x+2|=3．根据绝对值的意义可得，当且仅当﹣2≤x≤1时，|x﹣1|+|x+2|=3，故不等式的解集为[﹣2，1]．点评：本题主要考查二维形式的柯西不等式的应用，绝对值的意义，绝对值三角不等式，属于基础题．。