重庆市铜梁县第一中学2021届高三数学上学期期中试题 理

重庆市第一中学2021届高三数学上学期期中试题 理数学试题共4页.满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.一、选择题（本大题共12个小题，每个小题5分，共60分，每个小题只有一个正确答案）1.在平面直角坐标系中，点)002cos ,100(sin P 位于第（ ）象限.A ．一B ．二C ．三D ．四2.设R z y x ∈,,，条件22:yz xz p >，条件y x q >:，则p 是q 的（ ）条件.A ．充分不必要B ． 必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要3.设n m ,为两条不同的直线，βα,为两个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ）A ．若βα⊆⊆n m ,，则n m ,为异面直线.B ．若αα//,n m ⊥，则n m ⊥C ．若βα//,//m m ，则βα//D ．若βα⊥，βα⊆⊆n m ,，则n m ⊥4.已知正数b a ,满足1=+b a ，则abb a +9的最小值为（ ） A ．4 B ．6 C ．16 D ．255.设函数x x x f cos sin 1)(+=，则下列说法中正确的是（ ）A ．)(x f 为奇函数B ．)(x f 为增函数C ．)(x f 的最小正周期为2πD ．)(x f 图像的一条对称轴为4π-=x 6.设正项等比数列{}n a 的前n 项之和为n S ，若365S a S +=，则{}n a 的公比=q （ ）A ．215-B ．1C ．215+D ．215-或215+ 7. 已知集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-==)12(log 21x y x M ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧+==x y y N 232，则=N M （ ）A ．]1,0(B ．]1,21(C ． )32,21(D ．)(0,+∞8.已知向量b a ,满足4,3,2=+==b a b a ，则=-b a （ ）A ．6B ．32C ．10D ．39.某几何体的三视图如右图所示,其中俯视图与左视图中的圆的半径均为2,则该几何体的体积为（ ）A ．π8B ．π328 C ．π D ．π67 10.王老师是高三的班主任，为了在寒假更好的督促班上的学生完成学习作业，王老师特地组建了一个QQ 群，群的成员由学生、家长、老师共同组成.已知该QQ 群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该QQ 群人数的最小值为（ ）A ．20B ．22C ．26D ．2811.如下图，正方体1111D C B A ABCD -中，E 为AB 中点，F 在线段1DD 上.给出下列判断： ①存在点F 使得⊥C A 1平面EF B 1；②在平面1111D C B A 内总存在与平面1B EF 平行的直线；③平面EF B 1与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点F 的位置无关；④三棱锥EF B B 1-的体积与点F 的位置无关.其中正确判断的有（ ）A ． ① ②B ．③ ④C ．① ③D ．② ④12.已知函数x x x f πcos 4)(-=，等差数列{}n a 满足条件4)()(93=+a f a f ，则=++981a a a （ ）A ．6B ．3C ．43 D ．23二、填空题（本大题共4个小题，每个小题5分，共20分） 正视图 俯视图左视图13.实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-+002204y y x y x ，则y x 23+的最大值为 14.大衍数列，来源于我国的《乾坤谱》，是世界数学史上最古老的数列，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.其前11项依次是：60,50,40,32,24,18,12,8,4,2,0，则大衍数列的第41项为15.已知正三棱锥的底面边长为34，体积为332，则其外接球的表面积为16.设函数⎩⎨⎧<≥=)0()0()(2x x x e x f x，若方程λ=))((x f f 恰有两个不相等的实根21,x x ，则21x x +的最大值为三、解答题（本大题共6个小题，共70分，将解答过程填写在答题卡上的相应位置）17.（原创）（本题满分12分）法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名.对ABC ∆而言，若其内部的点P 满足 120=∠=∠=∠CPA BPC APB ，则称P 为ABC ∆的费马点.如下图所示，在ABC ∆中，已知 45=∠BAC ,设P 为ABC ∆的费马点，且满足 45=∠PBA ，2=PA .（1）求PAC ∆的面积； （2）求PB 的长度.18.（本题满分12分）数列{}n a 满足n n n a a 3231⨯+=+，31=a（1）证明：⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a 3为等差数列，并求{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项之和为n S19.（原创）（本题满分12分）已知四棱锥ABCD P -的底面为正方形，且该四棱锥的每条棱长均为2，设CD BC ,的中点分别为F E ,,点G 在线段PA 上，如下图.（1）证明：GC EF ⊥（2）当//BG 平面PEF 时，求直线GC 和平面PEF 所成角的正弦值.20.（原创）（本题满分12分）已知函数x x x f ln 2)(+=（1）经过点)2,0(-作函数)(x f 图像的切线，求切线的方程.（2）设函数)()1()(x f e x x g x--=，求)(x g 在),0(+∞上的最小值.21.（原创）（本题满分12分）已知椭圆方程为13622=+y x （1）设椭圆的左右焦点分别为21,F F ，点P 在椭圆上运动，求2121PF PF PF ⋅+⋅的值.（2）设直线l 和圆222=+y x 相切，和椭圆交于B A ,两点，O 为原点，线段OB OA ,分别和圆222=+y x 交于D C ,两点，设COD AOB ∆∆,的面积分别为21,S S ，求21S S 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4－4：坐标系与参数方程（本题满分10分） 已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧-=+=ααααcos sin cos sin y x ，（α为参数） （1）若点),22(m M 在曲线C 上，求m 的值； （2）过点)0,1(P 的直线l 和曲线C 交于B A ,两点，求PB PA 11+的取值范围.23. （原创）选修4－5：不等式选讲（本题满分10分）已知正实数b a ,满足)lg(lg lg b a b a +=+（1）证明：822≥+b a ； （2）证明：425)1)(1(22≥+++b a b a2021年重庆一中高2021级高三上期11月月考试题参考答案数 学（理）二、填空题.(每题5分,共20分) 13. 12 14. 840 15. π100 16. 22ln 2-三、解答题.(共70分)17.解：（1）由已知 1545120180=--=∠PAB ，所以 301545=-=∠PAC 在PAC ∆中， 3030120180=--=∠PCA ，故2==PC PA 所以PAC ∆的面积3232221sin 21=⨯⨯⨯=∠⋅⋅=PAC PC PA S （2）在PAB ∆中，由正弦定理45sin 15sin 245sin 15sin =⇒=PB PA PB （*） 而42621222322)3045sin(15sin -=⨯-⨯=-= ,2245sin = 代入（*）式得=PB 13- 18.解：（1）由已知32333233323311111=-⇒+=⨯+=+++++n n n n n n n n n n n a a a a a 由定义知⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a 3为等差数列，且公差为32，首项为1311=a 故13)12(31232)1(13-+=⇒+=-+=n n n n n a n n a （2）由已知12103)12(373533-++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=n n n S故n n n S 3)12(3735333321++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=错位相减得n n n n S 3)12()333(23321210+-+⋅⋅⋅+++⨯=--即n n n n n n S 323)12(31)31(3233210⋅-=+---⨯+⨯=--，所以n n n S 3⋅= 19.解：（1）证明：由已知ABCD P -为正四棱锥，设BD AC ,交于点O ，由正棱锥的性质可知⊥PO 平面ABCD ，所以EF PO ⊥，由于正方形ABCD 满足BD AC ⊥，EF 为BCD ∆的中位线，故BD EF //，所以AC EF ⊥ 所以⊥EF 平面PAC ，而⊆CG 平面PAC ，所以GC EF ⊥（2）分别以OP OC OB ,,为坐标轴建立如图坐标系， 此时)0,21,21(),0,21,21(),1,0,0(),0,1,0(--F E P A 设),,(z y x G ，且PA PG λ=，其中10≤≤λ即)1,,0()1,1,0()1,,(λλλ--⇒--=-G z y x ，设平面PEF 的法向量为),,(c b a m =，由于)1,21,21(--=EP ,)0,0,1(-=EF 由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00EF m EP m 解得)1,2,0(=m 由//BG 平面PEF 知031)1,2,0()1,,1(0=-=⋅---⇒=⋅⇒⊥λλλm BG m BG 解得31=λ，此时)32,31,0(-G ，由于)0,1,0(C ，故)32,34,0(-=GC 所以直线GC 的方向向量)1,2,0(-=n ，设GC 和平面PEF 所成角为θ，则531401401)1(2200,cos sin =++⋅++⨯-+⨯+⨯=⋅⋅=><=m n mn m GC θ 20.解：（1）由于x x f 21)('+=，设切点坐标为),(00y x ，则000ln 2x x y += 切线斜率00x 21)x ('+==f k ；另一方面000002ln 22x x x x y k ++=+= 故310ln 2ln 221000000=⇒=⇒=⇒++=+k x x x x x x ，此时切点坐标为)1,1( 所以切线方程为)1(31-=-x y ，即23-=x y（2）由已知x x xe x g x ln 22)(--=，故)2)(1()11(2)1()('x e x x e x x g x x -+=+-+=由于),0(+∞∈x ，故01>+x ，由于xe x h x 2)(-=在),0(+∞单调递增 同时+∞=-∞=+∞→→)(lim ,)(lim 0x h x h x x ，故存在00>x 使得0)(0=x h 且当),0(0x x ∈时0)(<x h ，当),(0+∞∈x x 时0)(>x h ，所以当),0(0x x ∈时0)('<x g ，当),(0+∞∈x x 时0)('>x g ，即函数)(x g 先减后增.故)ln (2)()(0000min 0x x ex x g x g x +-== 由于2ln ln 202)(0000000=+⇒=⇒=-=x x e x x e x h x x ，所以2ln 22)(min -=x g 21.解：（1）由已知)0,3(),0,3(21F F -，设),(y x P 由焦半径公式221216)226()226(x x x PF PF -=-⋅+=⋅ 3),3(),3(2221-+=--⋅---=⋅y x y x y x PF ，结合2222213136x y y x -=⇒=+ 故22221213)213(x x x PF =--+=⋅，故621216222121=+-=⋅+⋅x x PF PF PF （2）当直线l 斜率不存在时，其方程为2±=x ，由对称性，不妨设为2=x ， 此时)1,1(),1,1(),2,2(),2,2(--D C B A ，故21221==S S 若直线l 斜率存在，设其方程为m kx y +=，由已知)1(221222k m k m+=⇒=+ 设),(),,(2211y x B y x A ，将直线l 与椭圆联立得0624)12(222=-+++m kmx x k 由韦达定理1262,1242221221+-=+-=+k m x x k km x x 结合2==OD OC 及22222121213,213x y x y -=-=可知： 22222121212121sin 21sin 21y x y x OB OA COD OD OC AOB OB OA S S +⋅+=⋅=∠⋅⋅∠⋅⋅= 221212212221)(41]2)[(23921)213)(21(321x x x x x x x x +-++=++= 将韦达定理代入整理得2222222221)12()3(1836612921+-+++-+=k m k m m k S S 结合)1(222+=k m 知222421)12(74428921++++=k k k S S ，设1122≥+=k t ，]1,0(1∈=t u则]223,2[1688-21168821887921222221∈++=++-=-++=u u t t t t t S S 综上21S S 的取值范围为]223,2[ 22.解：（1）已知等价于y x y x -=+=ααcos 2,sin 2，由于1cos sin 22=+αα所以等价于4cos 4sin 4)()(2222=+=-++ααy x y x整理得曲线C 的普通方程为222=+y x ，将),22(m M 代入解得26±=m （2）设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=θθsin cos 1t y t x （t 为参数，θ为倾斜角）与222=+y x 联立得： 01cos 22=-⋅+t t θ，由韦达定理1,cos 22121-=-=+t t t t θ由于21,t t 异号，故21212212121214)(1111t t t t t t t t t t t t PB PA -+=-=+=+ 将韦达定理代入，并结合]1,0[cos 2∈θ得]22,2[4cos 4112∈+=+θPB PA 23.证明：（1）由已知b a ab +=，均值不等式422≥⇒≥⇒≥+=ab ab ab b a ab由均值不等式ab b a 222≥+，结合4≥ab 可知822≥+b a （2）欲证425)1)(1(22≥+++b a b a ，只需证)(25)1)(1(422b a b a +≥++ 只需证)(25]1)()[(4222b a b a ab +≥+++；即证)(25]12)()[(422b a ab b a ab +≥+-++ 结合ab b a =+，只需证ab ab ab ab 25]12)()[(422≥+-+，即0433)(82≥+-ab ab ， 即证0)18()4(≥-⋅-ab ab ，因为4≥ab ，故这是成立的.从而原不等式得证.。

1．已知集合{}{}22,01242>=<-+=x x B x x x A ，则（ ） A ． B ． C ． D ． 2．已知，则（ ）A ．B ．C ．D ． 3．设,则下列不等式中恒成立的是 ( ) A ． B ． C ． D ． 4．下列命题的说法错误．．的是 （ ） A ．若为假命题，则均为假命题. B ．“”是“”的充分不必要条件.C ．对于命题2:,10,p x R x x ∀∈++> 则2:,10p x R x x ⌝∃∈++≤.D ．命题“若，则”的逆否命题为：“若, 则” 5．已知等差数列的公差若462824,10,a a a a ⋅=+=则该数列的前项和的最大值为 （ ）A ．B ．C ．D ． 6．（原创）在△ABC 中，已知，，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．7．函数在[0，2]上单调递增，且函数是偶函数，则下列结论成立的是（ ） A ．f （1）＜f （）＜f （） B ．f （）＜f （1）＜f （） C ．f （）＜f （）＜f （1） D ．f （）＜f （1）＜f （） 8．（原创）若点P 是函数上任意一点，则点P 到直线的最小距离为 ( )A ．B ．C ．D ．39、（原创）在约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥4200y x s y x y x 下，当时，目标函数的最大值的变化范围是 （ ）A.［6，15］B.［7，15］C.［6，8］D.［7，8］10. （原创）已知O 为坐标原点，，, ，，记、、中的最大值为M ，当取遍一切实数时，M 的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 二．填空题：（本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分）． 11.在等比数列中，若公比q=4，且前3项之和等于21，则该数列的通项 公式_____．12已知若，则___________13．（原创）若正实数满足，且不等式2(2)22340x y a a xy+++-≥恒成立，则实数的取值范围是16．若关于的不等式存在．．实数解，则实数的取值范围是___.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程17．（本题满分13分）已知等差数列的首项为23，公差为整数，且第6项为正数，从第7项起为负数。

重庆市第一中学2021届高三数学上学期期中试题 文注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答卷上。

2. 作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。

3. 考试结束后，将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分. 在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题意的）1．设全集U Z =，集合{}2|20A x Z x x =∈--≥，则U A =（ ） A ．{0} B ．{1} C ．{0,1} D ．{}1,0,1,2-2．若复数z 满足(1)12z i i +=+，则z 在复平面内对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 3．等比数列{}n a 中，5a 、7a 是函数()243f x x x =-+的两个零点，则39=a a ⋅（ ）A.3-B. 3C.4-D. 44．已知向量()2,1a =，()2,sin 1b α=-，()2,cos c α=-，若()a b +//c ，则tan α的值为（ ）A. 2B. 12C.12-D. 2-5．(原创）“26m <<”是“方程22126x y m m-=--表示的曲线为双曲线”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．过点(12)A ，的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ） A ．10x y -+= B ．30x y +-=C ．20+30x y x y -=-=或D ．2010x y x y -=-+=或 7．已知()2145f x x x -=+-，则()1f x +=（ ）A.287x x ++B.26x x +C.223x x +-D.2610x x +-8．(原创）定义域为R 的奇函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，且(1)2018f =，(2)2019f =，则(2018)(2019)f f +=（ ）A. 4035B. 4036C. 4037D. 40389．如图，正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB =，D 是1BB 的中点，则AD 与平面11AAC C 所成角的正弦值等于（ ） A.22 B.326 10 10．已知正实数,x y 满足3x y xy ++=，若对任意满足条件的,,x y 都有2()()60x y a x y +-++≥恒成立，则实数a 的最大值为（ ）A ．26B ．7C ．46．811．(原创）已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，ABC ∆的外接圆的面积为3π，且222cos cos cos A B C -+1sin sin A C =+，则ABC ∆的最大边长为（ ）A. 2B. 332312.设函数2()sin f x x ππ=-在(0,)+∞上最小的零点为0x ，曲线()y f x =在点0(,0)x 处的切线上有一点P ，曲线23ln 2y x x =-上有一点Q ，则||PQ 的最小值为（ ） A.105 5 31035 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．cos 27cos18sin 27sin18︒︒︒︒-= __________.14．已知(2)n a a n a =-+,若数列{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是________.15.(原创）在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ︒∠=且3AB =14BB =，设其外接球的球心为O ，且球O 的表面积为28π，则ABC ∆的面积为__________.16．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的右支于M ，N 两点，且线段AM 的垂直平分线经过点N ，则C 的离心率为_________.三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.)17．(12分）(原创）已知函数22()332sin cos f x x x x x =-+. （1）求()f x 的对称轴；（2）当[0,]απ∈时，若()1f α=，求α的值.18．(12分）已知数列{}n a 中，11a =，()*121n n a a n N +=+∈. （1）求n a 的通项公式；（2）设()()21log 1n n n b a a =+⋅+，求{}n b 的前n 项和.19．(12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，,P Q 分别是1AA 、11A C 的中点.（1）设棱1BB 的中点为D ，证明：1//C D 平面1PQB ；（2）若2AB =，114AC AA AC ===，1160AA B ∠=且平面11AA C C ⊥平面11AA B B ，求三棱柱111ABC A B C -的高.20．(12分）已知点()1,0F 和直线1:1l x =-，直线2l 过直线1l 上的动点M 且与直线1l 垂直，线段MF 的垂直平分线l 与直线2l 相交于点P .（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）设直线PF 与轨迹C 相交于另一点Q ，与直线1l 相交于点N ，求NP NQ ⋅的最小值.21．(12分）已知函数()()2e 2R R x f x mx m x m =--∈∈，．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1m =，不等式()ln ln2f x x bx -≥+对一切0x >恒成立，求实数b 的取值范围.选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分.22．(10分）在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C的参数方程为4,x y t⎧=⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），曲线2C的参数方程为,sin 2x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，射线3πθ=与曲线1C 交于点M ，射线6πθ=与曲线2C 交于点N ，求MON ∆的面积（其中O 为坐标原点）.23．(10分）已知函数()13f x x x =-+-.（1）解不等式()1f x x ≤+；（2）设函数()f x 的最小值为c ，实数ab 满足0a >，0b >，a b c +=， 求证：22111a b a b +≥++.2021年重庆一中高2021级高三上期半期考试参考答案1-12 CA B D C D A C C B B D13.2 14. 2a <15. 2 16. 43 17．（1）()fx sin 222sin 23x x x π⎛⎫==+⎪⎝⎭ ...............2分 得：2()32x k k Z πππ+=+∈ ...............4分 所以对称轴为：()212k x k Z ππ=+∈ ...............6分 （2）因为0απ≤≤，所以72333πππα≤+≤， ...............8分 又因为()1f α=，即1sin 232πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ...............10分所以5236ππα+=或136π，则4πα=或1112π ................12分 18．（1）因为()*121n n a a n N +=+∈，所以112(1)n n a a ++=+，...............2分 则数列{1}n a +是首项为2公比为2的等比数列，...............4分则：12n n a +=即21n n a =-；...............6分（2）()()21log 12nn n n b a a n =+⋅+=⋅，...............7分 则：123122232...2n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅，23412122232...2n n S n +=⋅+⋅+⋅++⋅， (9)分 两式相减：1231112(12)1222 (22)22(1)212n n n n n n S n n n +++-=-⋅----+⋅=-+⋅=+-⋅-. 则{}n b 的前n 项和为：12(1)2n n ++-⋅. ...............12分19．（1）连接AD ，在三棱柱111ABC A B C -中，11//AA BB ， D 是1BB 的中点，P 是1AA 的中点，1//AP DB ∴，∴四边形1ADB P 是平行四边形， ...............2分1//AD PB ∴，AD ⊄平面1PQB ，1PB ⊂平面1PQB ，//AD ∴平面1PQB . P 、Q 分别是1AA 、11A C 的中点，1//AC PQ ∴，又1AC ⊄平面1PQB ，PQ ⊂平面1PQB ，1//AC ∴平面1PQB ， ...............4分 1AD AC A =，AD 、1AC ⊂平面1AC D ，∴平面1//AC D 平面1PQB . 1C D ⊂平面1AC D ，1//C D ∴平面1PQB ； ...............6分（2）三棱柱的高转化成三棱锥1C ABC -的高，过点B 作1BM A A ⊥交1A A 于点M ， 因为平面11AA C C ⊥平面11AA B B ，平面11AAC C 平面111AA B B A A =， 又因为1BM A A ⊥，BM ⊂平面11AA B B ，所以BM ⊥平面1ACC ，...............8分在ABM ∆中，1160BAM AA B ∠=∠=，sin BM AB BAM ∴=∠=又因为122ABC S ∆=⨯=114442ACC S ∆=⨯⨯=................10分 所以11C ABC B ACC V V --=，所以1133ABC h S ∆⨯⨯=解得h =................12分 20．（1）l 为线段MF 的垂直平分线 PF PM ∴= ...............2分 即点P 到定点()1,0F 的距离等于点P 到定直线1 : =-1l x 的距离由抛物线的定义可知，点P 的轨迹为：24y x =...............4分（2）由已知得直线PF 斜率存在，且斜率不为零,设()11,P x y ，()22,Q x y ， 将直线():1PF y k x =-代入抛物线方程得()2222240k x k x k -++= 则()224224416160k k k ∆=+-=+> ...............5分212212241k x x k x x ⎧++=⎪∴⎨⎪=⎩...............8分又()1,2N k -- ()111,NP x kx k ∴=++，()221,NQ x kx k ∴=++ ()()()()()()2212121212111111NP NQ x x k x x k x x x x ∴⋅=+++++=++++⎡⎤⎣⎦()242222222448441248816k k k k k k k k ⎛⎫+++=+⋅+==++≥= ⎪⎝⎭........10分 当且仅当2244k k =，即1k =±时取等号 ()min 16NP NQ ∴⋅= ...............12分21．（1）()f x 的定义域是R ，()2'2e 2x f x m =-．..............1分①0m ≤时，()'0f x >，()f x 在R 上单调递增：...............3分 ②0m >时，()2'2e 20x f x m =-=，解得1ln 2x m =，当1ln 2x m <时，()'0f x <，则()f x 在1ln 2m ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，上递减； 当1ln 2x m >时，()'0f x >，则()f x 在1ln 2m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上递增．...............5分 （2）当1m =时，()2e 21x f x x =--，依题意知不等式()ln ln2f x x bx -≥+，即2e 21ln ln 2x x x bx ---≥+在()0+∞，上恒成立， 即()2e ln 2ln2e x x b x --+≥在()0+∞，上恒成立，设()()2e ln 2x g x x b x =--+，()()21'2e 2x g x b x =--+， 令()()02001'2e 20x g x b x =--+=，()020012e 20x b x x -=+>，...............7分 易知()g x 在()00x ，上递减，在()0,x +∞上递增，则()()()()002200000min e ln 212e ln 1ln2e x x g x g x x b x x x ==--+=--+≥，.........9分即()020021e ln20x x x -+≤，设020t x =>，则()()1e ln 0t h t t t =-+≤，()1'e 0t h t t t =+>，则()h t 递增，又()10h =，故0021t x <=≤，0102x <≤，........10分 ∴020122e 2e 2x b x +=-≤-，解得2e 4b ≤-．...............12分22．（1）由曲线1C：4,,x y t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），消去参数t得：4x += 化简极坐标方程为：sin 26πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭...............2分曲线2C：,,2x y sin θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）消去参数θ得：224177x y += 化简极坐标方程为：()2213sin 7ρθ+=...............5分 （2）联立263sin πρθπθ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩ 23ρπθ=⎧⎪⇒⎨=⎪⎩即2,3M π⎛⎫ ⎪⎝⎭...............7分 联立()2213sin 76ρθπθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ 26ρπθ=⎧⎪⇒⎨=⎪⎩即2,6N π⎛⎫ ⎪⎝⎭...............9分 故11··sin 22sin 12236MON S OM ON MON ππ∆⎛⎫=∠=⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭...............10分 23．（1）①当1x <时，不等式可化为421x x -≤+，1x ≥．又∵1x <，∴x 无解；...............1分②当13x ≤≤时，不等式可化为21x ≤+，1x ≥．又∵13x ≤≤，∴13x ≤≤．...............2分③当3x >时，不等式可化为241x x -≤+，5x ≤．又∵3x >，∴35x <≤...............3分∴原不等式的解集为[]1,5................5分（2）证明：由绝对值不等式性质得，()()13132x x x x -+-≥-+-=， ∴2c =，即2a b +=．.............7分令1a m +=，1b n +=，则1m >，1n >，1,1a m b n =-=-，4m n +=， ()()22221111m n a b a b m n --+=+++ 114m n m n =+-++ 4mn = 2412m n ≥=+⎛⎫ ⎪⎝⎭......10分。

2020-2021学年重庆一中高三上学期期中数学试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.已知sin(π−α)=34，则sinα=( )A. −34B. 34C. −√74D. √742.条件p ：“a ≤0或a ≥4”是条件q ：“f(x)=13ax 3+12ax 2+x +1有极值点”成立的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.11、从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有( )A. 24对B. 30对C. 48对D. 60对4.抛物线y 2=2px 的焦点为F ，点A 、B 在抛物线上，且，弦AB 的中点M 在其准线上的射影为N ，则的最大值为A.B.C.D.5.在三角形ABC 中，已知AC =6，BC =10，cos(A −B)=35，则cos(A +B)=( )A. 45B. −45C. 35D. −356.一艘轮船从海面上从A 点出发，以40nmile/ℎ的速度沿着北偏东30°的方向航行，在A 点正西方有一点B ，AB =10nmile ，该船1小时后到达C 点并立刻转为南偏东60°的方向航行，小时后到达D 点，整个航行过程中存在不同的三点到B 点的距离构成等比数列，则以下不可能成为该数列的公比的数是( )A.B.C.D.7.已知集合A ={x ∈N|x(x −2)≤0}，B ={−2,−1,0}，则A ∪B =( )A. {−2,−1}B. {0,1}C. {−2,−1,0，1，2}D. {0,1，2}8.已知直线AB 与抛物线y 2=2x 交于A ，B 两点，M 是AB 的中点，C 是抛物线上的点，且使得CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 取最小值，抛物线在点C 处的切线为l ，则( )A. CM ⊥ABB. CM ⊥lC. CA ⊥CBD. CM =12AB9.一个空间几何体的三视图如图，其中正视图是边长为2的正三角形，俯视图是边长分别为1，2的矩形，则该几何体的侧面积为()A. √3+4B. √3+6C. 2√3+4D. 2√3+610.已知A={x|x+1x−1≤0}，B={−1,0，1}，则card(A∩B)=()A. 0B. 1C. 2D. 311.现规定：A是一些点构成的集合，若连接点集A内任意两点的线段，当该线段上所有点仍在点集A内时，则称该点集A是连通集，下列点集是连通集的是()A. 函数y=2x图象上的点构成的集合B. 旋转体表面及其内部点构成的集合C. 扇形边界及其内部点构成的集合D. 正四面体表面及其内部点构成的集合12.已知数列{a n}是从第二项起各项均为正数的等差数列，其前13项和S13=132，则1a5+4a9的最小值为()A. 8B. 9C. 12D. 16二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设x，y满足约束条件{3x−y−6≤0x−y+2≥0x≥0,y≥0，则目标函数z=x+y最大值与最小值的和为______ ．14.已知数列2，√10，4，…，√2(3n−1)，…，那么8是这个数列的第______ 项．15.如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面是ABCD正方形，侧棱AA1⊥底面ABCD.已知AB=1，E为AB上一个动点，当D1E+CE取得最小值√10时，三棱锥D1−ADE的外接球表面积为______ ．16.直线y=a与曲线y=x2−2|x|−3有四个交点，则a的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且√3(a−ccosB)=bsinC．(1)求角C的大小；(2)若c =2，则当a ，b 分别取何值时，△ABC 的面积取得最大值，并求出其最大值．18. 已知数列{a n }的前n 项和S n ，且S n =4a n −3(n ∈N ∗)． (1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)令b n =(n +1)a n ，n ∈N ∗，求证：数列{b n }为递增数列．19. 如图，在底面为直角梯形的四棱锥P −ABCD 中AD//BC ，∠ABC =90°PD ⊥平面ABCD ，AD =1，AB =√3，BC =4． (1)求证：BD ⊥PC ；(2)求直线AB 与平面PDC 所成的角；(3)在线段PC 上是否存在一点E ，使得DE//平面PAB ？若存在，确定点E 的位置；若不存在，请说明理由．20. 已知函数f(x)=ln(ax)x+1，曲线y =f(x)在x =1处的切线与直线x −2y =0平行．(1)求a 的值；(2)若f(x)≤b −2x+1恒成立，求实数b 的最小值．21. 设O 为坐标原点，a >b >0，椭圆E 1：x 2a 2+y 2b 2=1，椭圆E 2：x 24a 2+y 24b 2=1，P 是椭圆E 2上一点． (Ⅰ)若直线OP 与椭圆E 1的一个交点Q ，求|OP||OQ|；(Ⅱ)已知点B(0,2)在椭圆E 1上，椭圆E 1的离心率为√22，过点P 的直线l 交于椭圆E 1于A ，B 两点，且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线l 的方程．22. 已知曲线C 的参数方程为{x =2√2cosθy =√2sinθ(θ为参数)，点P 是曲线C 上一动点，过点P 作PN ⊥y 轴于点N ，设点Q 为NP 的中点(O 为坐标原点)． (Ⅰ)求动点Q 的轨迹C 1的参数方程；(Ⅱ)过M(1,√3)的直线交曲线C 1于不同两点A ，B ，求1|MA|2+1|MB|2的取值范围．23.已知函数f(x)=(log12x)2−12log12x+5，求在区间[2,4]上f(x)的最大值与最小值．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵sin(π−α)=sinα， ∴sinα=34， 故选：B ．利用诱导公式化简即可．本题主要考查了诱导公式，是基础题．2.答案：B解析：解：“f(x)=13ax 3+12ax 2+x +1有极值点”，则等价为f′(x)=ax 2+ax +1有两个不同的零点，即{a ≠0△=a 2−4a >0得{a ≠0a >4或a <0，即a >4或a <0，则a ≤0或a ≥4是a >4或a <0成立的必要不充分条件， 故选：B ．根据函数极值的性质，转化为f′(x)=0有两个不同的零点，利用判别式△>0进行求解即可． 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数极值与导数之间的关系求出等价条件是解决本题的关键．3.答案：C解析：利用正方体的面对角线形成的对数，减去不满足题意的对数即可得到结果． 解： 在正方体 中，与上平面中一条对角线 成的直线有 ，，，共八对直线，与上平面中另一条对角线的直线也有八对直线，所以一个平面中有16对直线，正方体6个面共有 对直线，去掉重复，则有 对.故选 C .。

2021年高三上学期期中练习数学理试题 Word版含答案数学（理） xx.11本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）设集合，，则（）（A）（B）（C）（D）（2）已知向量，. 若，则（）（A）（B）（C）（D）（3）若等比数列满足，且公比，则（）（A）（B）（C）（D）（4）要得到函数的图象，只需将函数的图象（）（A）向左平移个单位（B）向左平移个单位（C）向右平移个单位（D）向右平移个单位（5）设，，，则（）（A）（B）（C）（D）（6）设，则“且”是“”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）已知函数若关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）（8）设等差数列的前项和为.在同一个Array坐标系中，及的部分图象如图所示，则（）（A）当时，取得最大值（B）当时，取得最大值（C）当时，取得最小值（D）当时，取得最小值二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）设复数，则______．（10）已知函数的图象关于轴对称，则实数的值是.（11）________.（12）为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度（单位：）随时间（单位：）的变化关系为，则经过_______后池水中药品的浓度达到最大.（13）如图所示，在△ABC中，为边上的一点，且.若，则.（14）已知函数（是常数，）的最小正周期为,设集合{直线为曲线在点处的切线，}.若集合中有且只有两条直线互相垂直，则= ；= .三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

（15）（本小题满分13分）已知函数.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的单调递增区间.（16）（本小题满分13分）D CBA已知是各项均为正数的等比数列，，且成等差数列. （Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和.（17）（本小题满分13分）如图所示，在四边形中，，且.（Ⅰ）求△的面积；（Ⅱ）若，求的长.（18）（本小题满分14分）已知函数.（Ⅰ）若,求函数的单调递减区间；（Ⅱ）若，求函数在区间上的最大值；（Ⅲ）若在区间上恒成立，求的最大值.（19）（本小题满分13分）已知数列的前项和.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）判断数列是否为等差数列，并说明理由.（20）（本小题满分14分）设函数，为曲线在点处的切线.（Ⅰ）求L的方程；（Ⅱ）当时，证明：除切点之外，曲线C在直线L的下方；（Ⅲ）设，且满足，求的最大值．D CBA海淀区高三年级第一学期期中练习数学（理）答案及评分参考 xx.11一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）D （3）C （4）B （5）B （6）A （7）D （8）A 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。

2021年高三数学第一学期期中试题理一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合，，则=（）A． B． C． D．2．已知角的终边均在第一象限，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．函数周期为，其图像的一条对称轴是，则此函数的解析式可以是（）A．B．C．D．4．设、都是非零向量,下列四个条件中,一定能使成立的是（）A．B．C．D．5．方程的根存在的大致区间是（）A．B．C．D．6．已知向量的夹角为，且，，则（）A．B．C．D．7．已知函数，若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．8．设向量，，定义一种向量积：．已知向量，，点P在的图象上运动，点Q在的图象上运动，且满足（其中O为坐标原点），则在区间上的最大值是（）A．2 B．C．D．4第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：(本大题共７小题，作答６小题，每小题5分，共30分.)（一）必做题（9～13题）9．函数的定义域为。

10．图中阴影部分的面积等于．第10题图11．已知函数在是单调函数．．．．．，则实数的取值范围是 。

12．如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是 ．13．已知函数,在区间内任取两个实数,且,若不等式恒成立，则实数的取值范围为 。

（二）选做题（14、15题，只能从中选做一题，两题都选只计算14题得分）14．（几何证明选讲选做题）如图，P A 是圆O 的切线，切点为A ，PO 交圆O 于B ,C 两点，，则= 。

15．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的极坐标为，曲线C 的参数方程为(为参数)，则点M 到曲线C 上的点的距离的最小值为 。

三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16．（本小题满分12分）某同学用“（1（2）将的图象沿轴向右平移个单位得到函数的图象，、分别为函数图象的最高点和最低点（如图），求的大小.17．（本小题满分12分） 设函数（1）求的最大值，并写出使取最大值时的集合； （2）已知中，角的对边分别为若，求的最小值。

重庆市铜梁县2021届高三上第一次月考数学(理)试题含答案数学（理）试卷考试范畴：集合简易逻辑，函数概念，表示，解析式，定义域，值域，函数的性质，指对函数，函数图象，函数与方程；考试时刻：120分钟；命题人：朱文平 审题人：王伦注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息。

2．请将答案正确填写在答题卡上。

第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.已知全集U=R ，A={x|x 2﹣2x ＜0}，B={x|x ≥1}，则A ∪（∁U B ）=（ ）A ．（0，+∞）B ．（﹣∞，1）C ．（﹣∞，2）D ．（0，1） 2.已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x ﹣2，x ∈A}，则A ∩B=（ ）A ．{1}B ．{4}C ．{1，3}D ．{1，4}3.在△ABC 中，“AC AB ⋅＞0”是“△ABC 为锐角三角形”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4.下列说法错误的是（ ）A ．命题“若x 2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题是：“若x ≠3，则x 2﹣4x+3≠0”B ．“x＞1”是“|x|＞0”的充分不必要条件C ．若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题D ．命题p ：“∃x ∈R 使得x 2+x+1＜0”，则¬p：“∀x ∈R ，均有x 2+x+1≥0”5.已知0＜a ＜1，则a 2、2a、log 2a 的大小关系是（ ）A ．a 2＞2a ＞log 2aB ．2a ＞a 2＞log 2aC ．log 2a ＞a 2＞2aD ．2a ＞log 2a ＞a 26.函数y=log a （x+2）﹣1（a ＞0，a ≠1）的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny+1=0上，其中m ＞0，n ＞0，则+的最小值为（ ）A ．3+2B ．3+2C ．7D ．11 7.已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，在[0，+∞）上是增函数，若a=f （sin 712π），b=f （cos 75π），c=f （tan 72 ），则（ ） A ．a ＞b ＞c B ．c ＞a ＞b C ．b ＞a ＞c D ．c ＞b ＞a8.若函数y=f （x ）对x ∈R 满足f （x+2）=f （x ），且x ∈[-1，1]时，f （x ）=1﹣x 2， g （x ）=，则函数h （x ）=f （x ）﹣g （x ）在区间x ∈[-5，11]内零点的个数为（ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．149设f （x ）是定义在R 上的恒不为零的函数，对任意实数x ，y ∈R ，都有f （x ）•f（y ）=f （x+y ），若a 1=，a n =f （n ）（n ∈N *），则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范畴是（ ） A ．[，2） B ．[，2] C ．[，1） D ．[，1] 10.如图所示，点P 从点A 处动身，按逆时针方向沿边长为a 的正三角形ABC 运动一周，O 为ABC 的中心，设点P 走过的路程为x ，△OAP 的面积为f （x ）（当A 、O 、P 三点共线时，记面积为0），则函数f （x ）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．11.设函数f （x ）=（x ﹣a ）|x ﹣a|+b ，a ，b ∈R ，则下列叙述中，正确的序号是（ ） ①对任意实数a ，b ，函数y=f （x ）在R 上是单调函数；②对任意实数a ，b ，函数y=f （x ）在R 上都不是单调函数；③对任意实数a ，b ，函数y=f （x ）的图象差不多上中心对称图象；④存在实数a ，b ，使得函数y=f （x ）的图象不是中心对称图象．A ．①③B ．②③C ．①④D ．③④12.已知函数，如在区间（1，+∞）上存在n （n ≥2）个不同的数x 1，x 2，x 3，…，x n ，使得比值==…=成立，则n 的取值集合是（）A．{2，3，4，5} B．{2，3} C．{2，3，5} D．{2，3，4}第II卷（非选择题）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是．14.定义在R上的奇函数f（x）以2为周期，则f（1）= ．15.设有两个命题，p：关于x的不等式a x＞1（a＞0，且a≠1）的解集是{x|x＜0}；q：函数y=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R．假如p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范畴是．16.在下列命题中①函数f（x）=在定义域内为单调递减函数；②已知定义在R上周期为4的函数f（x）满足f（2﹣x）=f（2+x），则f（x）一定为偶函数；③若f（x）为奇函数，则f（x）dx=2f（x）dx（a＞0）；④已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），则a+b+c=0是f（x）有极值的充分不必要条件；⑤已知函数f（x）=x﹣sinx，若a+b＞0，则f（a）+f（b）＞0．其中正确命题的序号为（写出所有正确命题的序号）．三、解答题（本题共7道小题,第1题12分,第2题12分,第3题12分,第4题12分,第5题12分,第6题10分,第7题10分,共70分）17.已知集合A={x|x2﹣4x﹣5≤0}，函数y=ln（x2﹣4）的定义域为B．（Ⅰ）求A∩B；（Ⅱ）若C={x|x≤a﹣1}，且A∪（∁R B）⊆C，求实数a的取值范畴．18.已知关于x的不等式ax2﹣3x+2≤0的解集为{x|1≤x≤b}．（1）求实数a，b的值；（2）解关于x 的不等式：bax c x --＞0（c 为常数）． 19.已知函数f （x ）=是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f （）=．（1）确定函数f （x ）的解析式；（2）证明f （x ）在（﹣1，1）上是增函数；（3）解不等式f （t ﹣1）+f （t ）＜0．20.已知关于x 的不等式x 2﹣（a 2+3a+2）x+3a （a 2+2）＜0（a ∈R ）．（Ⅰ）解该不等式；（Ⅱ）定义区间（m ，n ）的长度为d=n ﹣m ，若a ∈R ，求该不等式解集表示的区间长度的最大值． 21.设关于x 的方程2x 2﹣ax ﹣2=0的两根分别为α、β（α＜β），函数（1）证明f （x ）在区间（α，β）上是增函数；（2）当a 为何值时，f （x ）在区间[α，β]上的最大值与最小值之差最小．选做第22或23题，若两题均选做，只计第22题的分。

2021年高三上学期期中统考数学（理）试题含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 共 4页.满分150分，考试时间120分钟. 考试结束，将试卷答题卡交上，试题不交回.第Ⅰ卷选择题（共60分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号涂写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.3.第Ⅱ卷试题解答要作在答题卡各题规定的矩形区域内，超出该区域的答案无效.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.若，则＝A. B. C. D.2.已知集合，，则A. B. C. D.3.已知向量, ，如果向量与垂直，则的值为A. B. C. D.4.函数的图像为5.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：①；②；③；④．其中“同簇函数”的是A.①②B.①④C.②③D.③④6.若数列的前项和，则数列的通项公式A. B. C. D.7.已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是A. B. C. D.8.已知，满足约束条件，若的最小值为，则A. B. C. D.9.在中,角的对边分别为,且.则A．B．C．D．10.函数是上的奇函数，,则的解集是A . B. C. D.11.设函数，若实数满足，则A． B．C． D．12.给出下列四个命题，其错误的是①已知是等比数列的公比，则“数列是递增数列”是“”的既不充分也不必要条件.②若定义在上的函数是奇函数，则对定义域内的任意必有.③若存在正常数满足，则的一个正周期为 .④函数与图像关于对称.A. ②④B. ④C.③D.③④第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．13.＝．（）14. ．15.在中，，，，则．16.设, 则当 ______时, 取得最小值.三、解答题：本大题共6小题，共74分. 把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分）已知,.(Ⅰ)若,求的值;(Ⅱ)设,若,求的值.18.(本小题满分12分）已知函数和的图象关于轴对称，且.(Ⅰ)求函数的解析式；(Ⅱ)解不等式19. (本小题满分12分）设是首项为,公差为的等差数列,是其前项和.(Ⅰ) 若，求数列的通项公式；(Ⅱ) 记,，且成等比数列,证明:().20.(本小题满分12分）如图,游客在景点处下山至处有两条路径.一条是从沿直道步行到,另一条是先从沿索道乘缆车到,然后从沿直道步行到.现有甲、乙两位游客从处下山,甲沿匀速步行,速度为.在甲出发后,乙从乘缆车到,在处停留后,再从匀速步行到.假设缆车匀速直线运动的速度为,索道长为,经测量,,.(Ⅰ) 求山路的长;(Ⅱ) 假设乙先到，为使乙在处等待甲的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?21．（本小题满分12分）新晨投资公司拟投资开发某项新产品，市场评估能获得万元的投资收益.现公司准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于万元，同时不超过投资收益的.（Ⅰ）设奖励方案的函数模型为，试用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型的基本要求.（Ⅱ）下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型：C B A①；②试分别分析这两个函数模型是否符合公司要求.22．(本小题满分14分)设函数(Ⅰ)当时，求函数的最大值；(Ⅱ)令（），其图象上存在一点，使此处切线的斜率，求实数的取值范围；(Ⅲ)当，，方程有唯一实数解，求正数的值．xx.11理科数学 参考答案及评分标准一、二、13. 14. 15. 16.三．解答题17解: (Ⅰ)∵∴又∵,……3分 ∴ , ………………5分∴.…………………6分(Ⅱ)∵a 2b (2cos 2cos ,2sin 2sin )(2,0)αβαβ+=++= ∴即 …………………8分两边分别平方再相加得: ∴ ∴ ……10分∵且 ∴ …………………12分18.解：(Ⅰ)设函数图象上任意一点，由已知点关于轴对称点一定在函数图象上，…………………2分代入，得 …………………4分(Ⅱ)方法1或 ………8分或 …………………10分或不等式的解集是…………………12分方法2：等价于或解得或所以解集为19解(Ⅰ)因为是等差数列，由性质知，…………2分所以是方程的两个实数根，解得，………4分∴或即或.……………6分(Ⅱ)证明:由题意知∴∴ …………7分∵成等比数列，∴ ∴ …………8分∴ ∴ ∵ ∴ ∴…10分 ∴a n a n n na d n n na S n 222)1(2)1(=-+=-+= ∴左边= 右边=∴左边=右边∴()成立. ……………12分20解: (Ⅰ) ∵,∴∴, …………………2分∴[]6563sin cos cos sin sin sin sin =+=+=+-=C A C A C A C A B ）（）（π …………4分 根据得所以山路的长为米. …………………6分(Ⅱ)由正弦定理得() …………8分甲共用时间：，乙索道所用时间：，设乙的步行速度为 ，由题意得，………10分整理得∴为使乙在处等待甲的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在内. …………………12分21．解：（Ⅰ）由题意知，公司对奖励方案的函数模型的基本要求是：当时，①是增函数；②恒成立；③恒成立………3分（Ⅱ）①对于函数模型：当时，是增函数，则显然恒成立 ……4分而若使函数在上恒成立，整理即恒成立，而，∴不恒成立．故该函数模型不符合公司要求． ……7分②对于函数模型：当时，是增函数，则．∴恒成立． ………8分设，则． 当时，()24lg 12lg 1lg 10555e e e g x x --'=-≤=<，所以在上是减函数， ……10分从而．∴，即，∴恒成立．故该函数模型符合公司要求． ……12分22.解：(Ⅰ)依题意，的定义域为，当时，，……………………2分由 ，得，解得由 ，得，解得或，在单调递增，在单调递减；所以的极大值为，此即为最大值……………………4分(Ⅱ)，则有在上有解，∴≥，所以 当时，取得最小值……………8分(Ⅲ)方法1由得，令，令，∴在单调递增，……………10分而，∴在，即，在，即，∴在单调递减，在单调递增，……………12分∴极小值=,令，即时方程有唯一实数解. 14分方法2：因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解，设，则令，因为所以（舍去），，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，当时，取最小值. ……………10分若方程有唯一实数解，则必有即所以因为所以……………12分设函数，因为当时，是增函数，所以至多有一解.∵，∴方程(*)的解为，即，解得………14分€qmS34758 87C6 蟆G!/32972 80CC 背`31548 7B3C 笼U31186 79D2 秒y。

一、选择题（每小题5分，共50分）1．已知集合{|01}A x x =∈<<R ，{|(21)(1)0}B x R x x =∈-+≤，则()R C A B ⋂（ ）A ． 1[0,]2 B ． [1,0]- C ．1[,1]2D ．(,1][0,)-∞-⋃+∞【答案】B考点：集合的交、补集运算. 2．复数12ii+-在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A考点：复数的几何意义.3．曲线34x x y -=在点（－1，－3）处的切线方程是A ．47+=x yB ．27+=x yC ．4-=x yD ．2-=x y【答案】D 【解析】试题分析：∵21'43'|1x y x y =-=-∴= ，∴切线方程为2-=x y ，故选D .考点：导数在切线方程中的应用. 4．下列判断错误．．的是( ) A .“22am bm <”是“a b <”的充分不必要条件B .“3210x x --≤对x R ∈恒成立”的否定是“存在0x R ∈使得32010x x -->”C .若“p q Λ”为假命题,则,p q 均为假命题D .若随机变量ξ服从二项分布:ξ～1(4,)4B ,则1E ξ=【答案】C考点：命题的真假判断与应用． 5．12(x -展开式中的常数项为（ ） A 1320- B 1320 C 220- D 220【答案】C考点：二项式定理的应用．6．如果把个位数是1,且恰好有3个数字相同的四位数叫做“好数”,那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中,“好数”共有( ) (A )9个 (B )3个 (C )12个 (D )6个 【答案】C 【解析】试题分析：由题意知本题是一个分类计数问题，当组成的数字有三个1，三个2，三个3，三个4共有4中情况；当有三个1时：2111，3111，4111，1211，1311，1411，1121，1131，1141；当有三个2，3，4时2221，3331，4441；根据分类计数原理得到共有12种结果；故答案为：C .考点： 计数原理的应用．7．俊、杰兄弟俩分别在P 、Q 两篮球队效力，P 队、Q 队分别有14和15名球员，且每个队员在各自队中被安排首发上场的机会是均等的，则P 、Q 两队交战时，俊、杰兄弟俩同为首发上场交战的概率是（首发上场各队五名队员）（ ）A ．2101B ．425C ．4225D ．41【答案】B考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．8．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是( )A ．(7,5)B ．(5,7)C ．(2,10)D ．(10,1)【答案】B考点：1.归纳推理；2.进行简单的合情推理．9．已知函数f （x ）（x ∈R ）满足()f x ＞f （x ），则 （ ）A ． f （2）＜2e f （0）B ．f （2）≤2e f （0）C ．f （2）＝2e f （0）D ．f （2）＞2e f （0）【答案】D【解析】试题分析：函数f （x ）（x ∈R ）满足()()f x f x '>，则函数为指数函数，可设函数2()xf x e =，则导函数'2()2x f x e =，显然满足()()f x f x '>，4(2)f e =，22(0)e f e =，2(2)(0)f e f >显然 42e e >，即，故选 B ．本题入手点是根据函数导数运算法则，构造满足条件函数，从而解题。