重庆市第一中学2019届高三上学期期中考试理科数学试卷(含答案)

2018年重庆一中高2019级高三上期半期考试理科综合能力测试试题卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将答题卡交回。

可能用到的相对原子质量：H 1 N 14 O 16 Cl 35.5 Fe 56 Cu 64 I 127 Ag 108 一、选择题：本题共13个小题，每小题6分，共78分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．细胞的形态、结构和功能多种多样，下列叙述错误的是 A ．人体成熟的红细胞核退化，有利于提高氧气运输效率 B ．草履虫细胞中有伸缩泡，有利于收集和排出代谢废物 C ．心肌细胞没有血红蛋白，但有与血红蛋白合成有关的基因 D ．卵细胞体积较大，能为受精卵提供更多的核DNA2．多数生命活动离不开能量，下列反应或过程不需要能量的是 A ．蔗糖溶液中洋葱表皮细胞的液泡体积逐渐缩小 B ．葡萄糖和果糖在酶的催化下生成蔗糖C ．在叶绿体中水分解生成O 2和NADPHD ．硝化细菌将CO 2和H 2O 转变成有机物3．下列关于物质X 跨膜运输的描述，错误的是 A ．若X 是水分子，则其既能通过磷脂双分子层又能通过相应通道进入细胞 B ．若X 是葡萄糖，则在顺浓度梯度的情况下可通过协助扩散进入细胞 C ．若X 是钠离子，则其进入细胞的方式一定是主动运输且与氧气浓度有关 D ．若X 是尿素分子，则其跨膜运输的方式是自由扩散且与氧气浓度无关 4．下列曲线表示密闭容器中氧气含量随时间的变化情况，分析正确的是A ．甲图中AB 段形成的原因是酶数量有限 B ．乙图中AB 段有机物合成速率达到最大值C ．增加装置中的H 2O 2浓度后甲图达到氧气最大含量的时间将缩短D ．剪掉装置中幼苗的部分叶片后乙图达到氧气最大含量的时间将延长 5．下列关于蛋白质的叙述中正确的是 A ．在DNA--蛋白质复合物中的蛋白质不可能是RNA 聚合酶 B ．在底物--蛋白质复合物中的蛋白质一定是起催化作用的酶甲图：过氧化氢酶催化H 2O 2分解时间乙图：光照、温度适宜，密闭玻璃钟罩中的幼苗氧气含量时间氧气含量 氧气含量时间C．在糖--蛋白质复合物中的蛋白质有识别、润滑和保护作用D．在抗原--蛋白质复合物中的蛋白质可能由记忆细胞产生6．右图为某动物细胞分裂的示意图，其中字母代表基因。

2018年重庆一中高2019级高三上期半期考试理科综合能力测试试题卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将答题卡交回。

可能用到的相对原子质量：H 1 N 14 O 16 Cl 35.5 Fe 56 Cu 64 I 127 Ag 108一、选择题：本题共13个小题，每小题6分，共78分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．细胞的形态、结构和功能多种多样，下列叙述错误的是A．人体成熟的红细胞核退化，有利于提高氧气运输效率B．草履虫细胞中有伸缩泡，有利于收集和排出代谢废物C．心肌细胞没有血红蛋白，但有与血红蛋白合成有关的基因D．卵细胞体积较大，能为受精卵提供更多的核DNA2．多数生命活动离不开能量，下列反应或过程不需要能量的是A．蔗糖溶液中洋葱表皮细胞的液泡体积逐渐缩小B．葡萄糖和果糖在酶的催化下生成蔗糖C．在叶绿体中水分解生成O2和NADPHD．硝化细菌将CO2和H2O转变成有机物3．下列关于物质X跨膜运输的描述，错误的是A．若X是水分子，则其既能通过磷脂双分子层又能通过相应通道进入细胞B．若X是葡萄糖，则在顺浓度梯度的情况下可通过协助扩散进入细胞C．若X是钠离子，则其进入细胞的方式一定是主动运输且与氧气浓度有关D．若X是尿素分子，则其跨膜运输的方式是自由扩散且与氧气浓度无关4．下列曲线表示密闭容器中氧气含量随时间的变化情况，分析正确的是氧气含量时间甲图：过氧化氢酶催化H2O2分解A．甲图中AB段形成的原因是酶数量有限B．乙图中AB段有机物合成速率达到最大值C．增加装置中的H2O2浓度后甲图达到氧气最大含量的时间将缩短D．剪掉装置中幼苗的部分叶片后乙图达到氧气最大含量的时间将延长5．下列关于蛋白质的叙述中正确的是A．在DNA--蛋白质复合物中的蛋白质不可能是RNA聚合酶B．在底物--蛋白质复合物中的蛋白质一定是起催化作用的酶C．在糖--蛋白质复合物中的蛋白质有识别、润滑和保护作用D．在抗原--蛋白质复合物中的蛋白质可能由记忆细胞产生6．右图为某动物细胞分裂的示意图，其中字母代表基因。

2019年重庆市高三数学上期中试卷含答案一、选择题1．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形2．已知关于x 的不等式()224300x ax a a -+<<的解集为()12,x x ，则1212a x x x x ++的最大值是（ ） ABCD． 3．定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a ,若(){}nf a 仍是比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()(),00,-∞⋃+∞上的如下函数： ①()3f x x =；②()xf x e =；③()f x =④()ln f x x =则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为（ ） A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④4．若正数,x y 满足20x y xy +-=，则32x y+的最大值为（ ） A ．13B ．38C ．37D ．15．已知0,0x y >>，且91x y +=，则11x y+的最小值是 A ．10 B ．12? C ．14D ．166．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的取值范围是（ ）A ．()8,10B．(C．()D．)7．已知：0x >，0y >，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()4,2-B ．(][),42,-∞-+∞UC ．()2,4-D ．(][),24,-∞-⋃+∞8．数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1，则122019111a a a ++⋯+=（ ） A ．20202019B ．20191010C ．20171010D ．403720209．若a ，b ，c ，d∈R，则下列说法正确的是（ ） A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd B ．若a ＞b ，c ＞d ，则a+c ＞b+d C ．若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则c d a b> D ．若a ＞b ，c ＞d ，则a ﹣c ＞b ﹣d10．等比数列{}n a 的前三项和313S =，若123,2,a a a +成等差数列，则公比q =（ ） A ．3或13- B ．-3或13C ．3或13D ．-3或13-11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若341118a a a ++=则11S =（ ） A ．9B ．22C ．36D ．6612．两个等差数列{}n a 和{}n b ，其前n 项和分别为n S ，n T ，且723n n S n T n +=+，则220715a ab b +=+（ ）A ．49B ．378C ．7914D ．14924二、填空题13．若变量x ，y 满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则z ＝2x +y 的最大值是_____．14．设不等式组30,{230,1x y x y x +-<--≤≥表示的平面区域为1Ω，平面区域2Ω与1Ω关于直线20x y +=对称，对于任意的12,C D ∈Ω∈Ω，则CD 的最小值为__________．15．已知关于x 的一元二次不等式ax 2+2x+b ＞0的解集为{x|x≠c}，则227a b a c+++（其中a+c≠0）的取值范围为_____．16．设0x >，则231x x x +++的最小值为______.17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且1n n S a λ=-（λ为常数）．若数列{}n b 满足2n n a b n =-920n +-，且1n n b b +<，则满足条件的n 的取值集合为________．18．设2a b +=，0b >，则当a =_____时，1||2||a a b+取得最小值. 19．设a ∈R ，若x ＞0时均有[(a －1)x －1]( x 2－ax －1)≥0，则a ＝__________．20．设变量,x y 满足约束条件：21y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =-的最小值为__________．三、解答题21．在ABC V 中，3B π∠=，7b =，________________，求BC 边上的高．从①21sin 7A =， ②sin 3sin A C =， ③2a c -=这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．22．在ABC V 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,已知()sin sin sin B C m A m +=∈R ,且240a bc -=．(1)当52,4a m ==时,求,b c 的值; (2)若角为锐角,求m 的取值范围．23．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =.（Ⅰ）求b 和sin A 的值； （Ⅱ）求πsin(2)4A +的值. 24．如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距()533+海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？25．已知函数()sin 2cos (0)f x m x x m =+>的最大值为2. （Ⅰ）求函数()f x 在[0,]π上的单调递减区间； （Ⅱ）ABC ∆中,()()46sin sin 44f A f B A B ππ-+-=,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且060,3C c ==，求ABC ∆的面积．26．已知数列{}n a 满足111,221n n n a a a a +==+. （1）证明数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足12n nnb a =g ，求数列{}n b 的前n 项和n S .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角形，由，得2121212{22A AB BC C πππ=-=-=-，那么，2222A B C π++=，矛盾，所以222A B C ∆是钝角三角形，故选D.2．D解析：D 【解析】：不等式x 2-4ax +3a 2＜0（a ＜0）的解集为（x 1，x 2），根据韦达定理，可得：2123x x a =，x 1+x 2=4a ，那么：1212a x x x x ++=4a +13a．∴-（4a +13a ），即4a +13a ≤故1212a x x x x ++的最大值为． 故选D ．点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.3．C解析：C 【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，验证()()1n n f a f a +是否为非零常数，由此可得出正确选项. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则1n na q a +=. 对于①中的函数()3f x x =，()()3313112n n n n n n f a a a q f a a a +++⎛⎫=== ⎪⎝⎭，该函数为“保等比数列函数”；对于②中的函数()xf x e =，()()111n n n n a a a n a n f a e e f a e++-+==不是非零常数，该函数不是“保等比数列函数”； 对于③中的函数()f x =()()1n n f a f a +===，该函数为“保等比数列函数”；对于④中的函数()ln f x x =，()()11ln ln n n n na f a f a a ++=不是常数，该函数不是“保等比数列函数”.故选：C. 【点睛】本题考查等比数列的定义，着重考查对题中定义的理解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.4．A解析：A【分析】根据条件可得出2x >，212y x =+-，从而33222(2)52x y x x =+-++-，再根据基本不等式可得出3123x y ≤+，则32x y +的最大值为13.【详解】0x Q >，0y >，20x y xy +-=， 2122x y x x ∴==+--，0x >， 333222212(2)522x y x x x x ∴==+++-++--，22(2)5592x x -++≥=-Q ， 当且仅当122x x -=-，即3x =时取等号， 31232(2)52x x ∴≤-++-，即3123x y ≤+，32x y ∴+的最大值为13. 故选：A. 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值的方法，注意说明等号成立的条件，考查了计算和推理能力，属于中档题.5．D解析：D 【解析】 【分析】通过常数代换后，应用基本不等式求最值. 【详解】∵x ＞0，y ＞0，且9x+y=1， ∴()111199911016y x x y x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+=+++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当9y x x y =时成立，即11,124x y ==时取等号. 故选D.本题考查了应用基本不等式求最值；关键是注意“1”的整体代换和几个“=”必须保证同时成立.6．B解析：B 【解析】 【分析】根据大边对大角定理知边长为1所对的角不是最大角，只需对其他两条边所对的利用余弦定理，即这两角的余弦值为正，可求出a 的取值范围． 【详解】由题意知，边长为1所对的角不是最大角，则边长为3或a 所对的角为最大角，只需这两个角为锐角即可，则这两个角的余弦值为正数，于此得到2222221313a a ⎧+>⎨+>⎩，由于0a >，解得a <<C ． 【点睛】本题考查余弦定理的应用，在考查三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，一般由最大角来决定，并利用余弦定理结合余弦值的符号来进行转化，其关系如下：A 为锐角cos 0A ⇔>；A 为直角cos 0A ⇔=；A 为钝角cos 0A ⇔<.7．A 解析：A 【解析】 【分析】若222x y m m +>+恒成立,则2x y +的最小值大于22m m +,利用均值定理及“1”的代换求得2x y +的最小值,进而求解即可. 【详解】 由题,因为211x y+=,0x >,0y >,所以()2142224448x y x y x y y x ⎛⎫++=+++≥+=+=⎪⎝⎭,当且仅当4x y y x =,即4x =,2y =时等号成立,因为222x y m m +>+恒成立,则228m m +<,即2280m m +-<,解得42m -<<, 故选:A 【点睛】本题考查均值不等式中“1”的代换的应用,考查利用均值定理求最值,考查不等式恒成立问题.8．B解析：B【分析】由题意可得n ≥2时，a n -a n -1=n ，再由数列的恒等式：a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -1），运用等差数列的求和公式，可得a n ，求得1n a =()21n n +=2（1n -11n +），由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和． 【详解】解：数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1， 即有n ≥2时，a n -a n -1=n ，可得a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -1） =1+2+3+…+n =12n （n +1），1n =也满足上式 1n a =()21n n +=2（1n -11n +）， 则122019111a a a ++⋯+=2（1-12+12-13+…+12019-12020） =2（1-12020）=20191010．故选:B ． 【点睛】本题考查数列的恒等式的运用，等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．9．B解析：B 【解析】 【分析】利用不等式的性质和通过举反例否定一个命题即可得出结果. 【详解】A 项，虽然41,12>->-，但是42->-不成立，所以不正确；B 项，利用不等式的同向可加性得知，其正确，所以成立，即B 正确；C 项，虽然320,210>>>>，但是3221>不成立，所以C 不正确； D 项，虽然41,23>>-，但是24>不成立，所以D 不正确； 故选B. 【点睛】该题考查的是有关正确命题的选择问题，涉及到的知识点有不等式的性质，对应的解题的方法是不正确的举出反例即可，属于简单题目.10．C【解析】很明显等比数列的公比1q ≠，由题意可得：()231113S a q q =++=，①且：()21322a a a +=+，即()211122a q a a q +=+，②①②联立可得：113a q =⎧⎨=⎩或1913a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，综上可得：公比q =3或13. 本题选择C 选项.11．D解析：D 【解析】分析：由341118a a a ++=，可得156a d +=，则化简11S =()1115a d +，即可得结果. 详解：因为341118a a a ++=， 所以可得113151856a d a d +=⇒+=， 所以11S =()111511666a d +=⨯=，故选D.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式与等差数列的求和公式， 意在考查等差数列基本量运算，解答过程注意避免计算错误.12．D解析：D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质前n 项和的性质进行求解即可. 【详解】因为等差数列{}n a 和{}n b ,所以2201111715111122a a a a b b b b +==+,又211121S a =,211121T b =,故令21n =有2121721214921324S T ⨯+==+,即1111211492124a b =,所以111114924a b = 故选：D. 【点睛】本题主要考查等差数列的等和性质：若{}n a 是等差数列,且(,,,*)m n p q m n p q N +=+∈,则m n p q a a a a +=+ 与等差数列{}n a 前n 项和n S 的性质*21(21),()n n S n a n N -=-∈二、填空题13．5【解析】【分析】由约束条件作出可行域化目标函数为直线方程的斜截式数形结合得到最优解联立方程组求得最优解的坐标把最优解的坐标代入目标函数得结论【详解】作出变量满足的可行域如图由知所以动直线的纵截距取解析：5 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】作出变量,x y 满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩的可行域如图，由2z x y =+知,2y x z =-+，所以动直线2y x z =-+的纵截距z 取得最大值时， 目标函数取得最大值，由2239x y x y +=⎧⎨-=⎩得()3,1A -， 结合可行域可知当动直线经过点()3,1A -时， 目标函数取得最大值2315z =⨯-=，故答案为5. 【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14．【解析】作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分由三角形ABC 构成其中作出直线显然点A 到直线的距离最近由其几何意义知区域内的点最短距离为点A 到直线的距离的2倍由点到直线的距离公式有：所以区域内的点与区解析：25【解析】作出不等式组所表示的可行域1Ω ，如图阴影部分，由三角形ABC 构成，其中(11),(30),(12)A B C -，，， ，作出直线20x y += ，显然点A 到直线20x y +=的距离最近，由其几何意义知，区域12,ΩΩ 内的点最短距离为点A 到直线20x y +=的距离的2倍，由点到直线的距离公式有：22215521d -==+ ，所以区域1Ω 内的点与区域2Ω 内的点之间的最近距离为25，即25CD = .点睛：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题. 巧妙识别目标函数的几何意义是解答本题的关键.15．（﹣∞﹣6∪6+∞）【解析】【分析】由条件利用二次函数的性质可得ac=﹣1ab=1即c=-b 将转为（a ﹣b ）+利用基本不等式求得它的范围【详解】因为一元二次不等式a x2+2x+b ＞0的解集为{x|x解析：（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞） 【解析】 【分析】由条件利用二次函数的性质可得ac=﹣1，ab=1, 即c=-b 将227a b a c +++转为（a ﹣b ）+9a b -，利用基本不等式求得它的范围． 【详解】因为一元二次不等式ax 2+2x+b ＞0的解集为{x|x≠c}，由二次函数图像的性质可得a ＞0，二次函数的对称轴为x=1a-=c ，△=4﹣4ab=0，∴ac=﹣1，ab=1，∴c=1a-，b=1a ，即c=-b,则227a b a c +++=()29a b a b-+-=（a ﹣b ）+9a b -，当a ﹣b ＞0时，由基本不等式求得（a ﹣b ）+9a b-≥6， 当a ﹣b ＜0时，由基本不等式求得﹣（a ﹣b ）﹣9a b -≥6，即（a ﹣b ）+9a b-≤﹣6, 故227a b a c+++（其中a+c≠0）的取值范围为：（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞），故答案为（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞）． 【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，考查利用基本不等式求最值.16．【解析】【分析】利用换元法令将所给的代数式进行变形然后利用均值不等式即可求得最小值【详解】由可得可令即则当且仅当时等号成立故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值的方法换元法及其应用等知识意在解析：1【解析】 【分析】利用换元法，令1t x =+将所给的代数式进行变形，然后利用均值不等式即可求得最小值. 【详解】由0x >，可得11x +>.可令()11t x t =+>，即1x t =-，则()()22113331111t t x x t x t t -+-+++==+-=+≥，当且仅当t =1x =时，等号成立.故答案为：1． 【点睛】本题主要考查基本不等式求最值的方法，换元法及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17．【解析】【分析】利用可求得；利用可证得数列为等比数列从而得到进而得到；利用可得到关于的不等式解不等式求得的取值范围根据求得结果【详解】当时解得：当且时即：数列是以为首项为公比的等比数列解得：又或满足 解析：{5,6}【解析】 【分析】利用11a S =可求得2λ=；利用1n n n a S S -=-可证得数列{}n a 为等比数列，从而得到12n n a -=，进而得到n b ；利用10n n b b +-<可得到关于n 的不等式，解不等式求得n 的取值范围，根据n *∈N 求得结果. 【详解】当1n =时，1111a S a λ==- 11λ∴-=，解得：2λ=21n n S a ∴=-当2n ≥且n *∈N 时，1121n n S a --=-1122n n n n n a S S a a --\=-=-，即：12n n a a -=∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列 12n n a -\=2920n n a b n n =-+-Q 219202n n n n b --+-∴= ()()222111912092011280222n n n n nn n n n n n b b +--+++--+--+∴-=-=< 20n >Q ()()21128470n n n n ∴-+=--<，解得：47n <<又n *∈N 5n ∴=或6∴满足条件的n 的取值集合为{}5,6本题正确结果：{}5,6 【点睛】本题考查数列知识的综合应用，涉及到利用n a 与n S 的关系求解通项公式、等比数列通项公式的求解、根据数列的单调性求解参数范围等知识；关键是能够得到n b 的通项公式，进而根据单调性可构造出关于n 的不等式，从而求得结果.18．【解析】【分析】利用代入所求式子得再对分并结合基本不等式求最小值【详解】因为所以又因为所以因此当时的最小值是；当时的最小值是故的最小值为此时即故答案为：【点睛】本题考查基本不等式求最值考查转化与化归 解析：2-【解析】 【分析】利用2a b +=代入所求式子得||4||4||a b a a a b++，再对a 分0a >，0a <并结合基本不等式求最小值. 【详解】 因为2a b +=， 所以1||||||2||4||4||4||a a b a a b a a b a b a a b++=+=++，又因为0b >，||0a >， 所以||||214||4||b a b a a b a b+⋅=…， 因此当0a >时，1||2||a a b +的最小值是15144+=； 当0a <时，1||2||a a b +的最小值是13144-+=. 故1||2||a a b +的最小值为34，此时,42,0,ab a b a b a ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪<⎪⎪⎩即2a =-. 故答案为：2-. 【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对a 的分类讨论及基本不等式求最值时，要验证等号成立的条件.19．【解析】【分析】【详解】当时代入题中不等式显然不成立当时令 都过定点考查函数令则与轴的交点为时均有也过点解得或（舍去）故 解析：32a =【解析】 【分析】 【详解】 当时，代入题中不等式显然不成立 当时，令，，都过定点考查函数，令，则与轴的交点为时，均有也过点解得或（舍去），故20．-10【解析】作出可行域如图所示：由得平移直线由图象可知当直线经过点时直线的截距最大此时最小由得此时故答案为解析：-10 【解析】作出可行域如图所示：由3z x y =-得33x z y =-，平移直线33x zy =-，由图象可知当直线经过点A 时，直线33x zy =-的截距最大，此时z 最小由1{2x x y =-+=得(1,3)A -，此时13310z =--⨯=-故答案为10-三、解答题21．选择①，33h =；选择②，3h =；选择③，3h =【解析】 【分析】 （1）选择①21sin A =，可由sin sin a b A B =解得2a =，再由2222cos b a c ac B =+-解得3c =，最后由sin h c B =可得解；（2）选择②sin 3sin A C =，由sin sin()3sin A B C C =+=得5sin 3C C =，结合22sin cos 1C C +=得21sin 14C =，最后由sin h b C =可得解. （3）选择③2a c -=，由2222cos b a c ac B =+-可得：227a c ac +-=，结合2a c -=解得1c =，最后由sin h c B =可得解. 【详解】（1）选择①sin 7A =，解答如下： 在ABC V ，由正弦定理得：sin sin a b A B=，=2a =， 由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，2212222c c =+-⨯⨯，解得1c =-（舍去）或3c =，则BC边上的高sin h c B = （2）选择②sin 3sin A C =，解答如下：在ABC V 中，[]sin sin ()sin()A B C B C π=-+=+， 由sin 3sin A C =可得：sin()3sin 3C C π+=，整理得5sin C C =┄①， 又22sin cos 1C C +=┄②，由①②得sin 14C =， 则BC边上的高sin h b C ===. （3）选择③2a c -=，解答如下：在ABC V 中，由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，3B π∠=Q，b =227a c ac ∴+-=┄①，又2a c -=┄②， 由①②解得1c =， 则BC边上的高sin h c B =. 【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形，考查了计算能力，属于中档题.22．(1)2 12b c =⎧⎪⎨=⎪⎩或122b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩; (2) 2m <<．【解析】试题分析: 本题考查正弦定理和余弦定理;(1)先利用正弦定理将角角关系转化为边边关系,再通过解方程组求解;(2)利用余弦定理进行求解. 试题解析：由题意得2,40b c ma a bc +=-=． (1)当52,4a m ==时,5,12b c bc +==, 解得212b c =⎧⎪⎨=⎪⎩或122b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩; (2)()222222cos 22b c bc a b c a A bc bc+--+-===()222222232a ma a m a --=-, ∵为锐角,∴()2cos 230,1A m =-∈,∴2322m <<,又由b c ma +=可得0m >, 62m << 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.23．（Ⅰ）13b =sin A =31313.（Ⅱ）226. 【解析】试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系2a b =，再根据余弦定理求出cos A ， 进而得到sin A ，由2a b =转化为sin 2sin A B =，求出sin B ，进而求出cos B ，从而求出2B 的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果. 试题解析：（Ⅰ） 解：在ABC V 中，因为a b >，故由3sin 5B =，可得4cos 5B =.由已知及余弦定理，有2222cos 13b a c ac B =+-=，所以13b =. 由正弦定理sin sin a b A B =,得sin 313sin a B A b == 所以，b 13sin A 313. （Ⅱ）解：由（Ⅰ）及a c <，得213cos A =，所以12sin22sin cos 13A A A ==，25cos212sin 13A A =-=-.故πππ72sin 2sin2cos cos2sin 444A A A ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭. 考点：正弦定理、余弦定理、解三角形【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题. 24．救援船到达D 点需要1小时． 【解析】 【分析】 【详解】5(33)906030,45,105sin sin •sin 5(33)?sin 455(33)?sin 45sin AB DBA DAB ADB DB ABDAB DAB ADB AB DAB DB ADB =+∠=︒-︒=︒∠=︒∴∠=︒∆=∠∠∠+︒+︒∴===∠解：由题意知海里，在中，由正弦定理得海里又海里中，由余弦定理得,海里，则需要的时间答：救援船到达D 点需要1小时 25．（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】 【分析】 【详解】(1)由题意，f(x)2m 2+，2m 2 2.+=而m>0，于是2，f(x)=2sin(x+4π).由正弦函数的单调性可得x 满足32k x 2k (k Z)242πππππ+≤+≤+∈，即52k x 2k (k Z).44ππππ+≤≤+∈所以f(x)在［0,π］上的单调递减区间为,.4ππ［］(2)设△ABC 的外接圆半径为R ，由题意，得c 32R 2 3.sin?C sin60===︒化简f (A )f (B )46sinAsin?B 44ππ-+-=，得6sin Asin B.由正弦定理，得()2R a b b +=+=① 由余弦定理，得a 2+b 2-ab=9，即(a+b)2-3ab-9=0②将①式代入②，得2(ab)2-3ab-9=0，解得ab=3或3ab 2=-(舍去)，故ABC 1S absinC 2∆== 26．（1）12n a n=；（2）1242n n nS -=-+.【解析】分析：（1）121n n n a a a +=+两边取倒数可得1112n na a +-=，从而得到数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，进而可得{}n a 的通项公式；（2）22n n nb =，利用错位相减法求和即可. 详解：（1）∵121n n n a a a +=+，∴1112n na a +-=， ∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列， ∴()111122n n n a a =+-=， 即12n a n=； （2）∵22n nn b =， ∴1221231222n n n nS b b b -=+++=++++L L ， 则23112322222n n nS =++++L ， 两式相减得23111111112122222222n n n n n n nS L -⎛⎫=+++++-=-- ⎪⎝⎭， ∴1242n n nS -+=-. 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.。

重庆市第一中学校2019届高三3月月考数学（理）试题考生注意：1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。

2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。

第Ⅰ卷（共60分）一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出集合A，B的补集，找出A补集与补集的交集即可．【详解】∵全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合，集合B＝{2，4，6，8}，∴（∁U A）＝{5，6，7，8}，（∁U B）＝{1，3，5，7}，∴（∁U A）∩（∁U B）＝{5，7}，故选：A．【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.若复数（，是虚数单位）是纯虚数，则复数的虚部为（）A. B. C. 3 D.【答案】C【解析】【分析】化简复数为，利用纯虚数的定义可得a﹣6＝0 且2a+3≠0，求出a值，可得复数z的虚部．【详解】∵复数为纯虚数，∴a﹣6＝0 且2a+3≠0，∴a＝6，复数z3i，则复数的虚部为3，故选：C．【点睛】本题考查纯虚数及虚部的定义，复数代数形式的除法，属于基础题．3.实数数列为等比数列，则等于（）A. B. 4 C. 2 D. 或4 【答案】B【解析】【分析】由实数数列是等比数列，可得q3＝8，利用等比数列通项公式即可求出的值【详解】∵实数数列是等比数列，∴q3＝8，∴q=2，∴a2＝1．故选B．【点睛】本题考查等比数列的通项公式的应用，比较基础．4.某几何体的三视图如图所示（图中半圆.圆的半径均为2），则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三视图可判断几何体为半球的内部挖空了一个圆锥，运用球与圆锥的体积公式计算即可．【详解】∵几何体的三视图可得出几何体为半球的内部挖空了一个圆锥，如图：∴该几何体的体积为π23π×22×2＝=，故选：B．【点睛】本题考查了空间几何体的三视图，考查了球体与锥体的体积公式，属于基础题.5.如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的分别为15，18，则输出的为（）A. 12B. 6C. 3D. 1【答案】C【解析】【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．【详解】由a＝15，b＝18，不满足a＞b，则b变为18﹣15＝3，由b＜a，则a变为15﹣3＝12，由b＜a，则a变为12﹣3＝9，由b＜a，则a变为9﹣3＝6，由b＜a，则a变为6﹣3＝3，由a＝b＝3，则输出的a＝3．故选：C．【点睛】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．6.设表示三条不同的直线，表示三个不同的平面，下列四个命题正确的是（）A. 若，则B. 若，是在内的射影，，则C. 若是平面的一条斜线，，为过的一条动直线，则可能有D. 若，则【答案】B【解析】【分析】由题意逐一考查所给命题是否正确即可.【详解】逐一分析所给的选项：A中，在如图所示的正方体中，若取直线为，为，平面为，平面为，满足，但是不满足，题中的说法错误；由射影定理可知选项B正确；选项C中，若，结合线面垂直的性质定理可知，平面或，题中的说法错误；选项D中，在如图所示的正方体中，若取平面为，平面为，平面为，满足，但是不满足，题中的说法错误.本题选择B选项.【点睛】本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.7.函数的值域为，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】函数的值域为R，等价于真数a能取遍一切正实数，由a＝0时，显然成立，a≠0时，利用二次函数的图象性质得关于a的不等式，即可解得a的范围【详解】若函数的值域为R，故函数y＝ax2+2x+a能取遍所有的正数．当a＝0时符合条件；当a＞0时，应有△＝4﹣4a2≥0，解得-1≤a≤1，故0<a≤1，综上知实数a的取值范围是．故选D.【点睛】本题考查了对数函数的值域及性质，二次函数的性质，考查了分类讨论的思想，属于中档题，关键利用二次函数性质得出△≥0的条件．8.过抛物线焦点的直线交于点，若线段中点的纵坐标为1，则（）A. 3B. 4C.D. 5【答案】D【解析】【分析】设出直线方程，利用只需与抛物线联立，利用条件求得直线方程，再利用弦长公式求解即可．【详解】抛物线C：y2＝4x，直线l过抛物线焦点F（1，0），直线l的方程为：x＝my+1，则可得y2﹣4my﹣4＝0，l与C有两个交点A（）、B（），线段AB的中点M的纵坐标为1，可得4m＝2，解得m，所以y2﹣2y﹣4＝0的两根满足，，由弦长公式可得=5，故选D.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，涉及弦长公式，考查了计算能力，属于中档题．9.（）A. B. 1 C. D. 2【答案】C【解析】【分析】直接利用两角和的正弦函数及诱导公式化简求解即可.【详解】∵=====.【点睛】本题考查了两角和与差的三角函数，诱导公式的应用，特殊角的三角函数值的求法，考查了计算能力，属于基础题.10.已知是定义在上且以4为周期的奇函数，当时，（为自然对数的底），则函数在区间上的所有零点之和为（）A. 6B. 8C. 12D. 14【答案】D【解析】【分析】根据已知，利用导数分析函数的单调性与极值，画出函数f（x）的图象，数形结合，可得函数f（x）在区间[0，4]上的所有零点的和．【详解】∵f（x）是定义在R上且以4为周期的奇函数，∴f（0）=0，f（-2）=f（-2+4）= f（2），又f（-2）=-f（2），∴f（2）=0，且当x∈（0，2）时，，则==0,则x=1，且在x∈（0，1）时，单调递减，在x∈（1，2）时，单调递增，，=f(2)>0,故函数f（x）的图象如下图所示：由图可得：函数f（x）在区间区间上共有7个零点，故这些零点关于x＝2对称，故函数f（x）在区间区间上的所有零点的和为3×4+2＝14，故选：D．【点睛】本题考查的知识点是函数的周期性及奇偶性的应用，考查了函数的零点与函数图象和性质的综合应用，数形结合是解决函数零点问题的常用方法，属于中档题．11.一个盒中装有大小相同的2个黑球，2个白球，从中任取一球，若是白球则取出来，若是黑球则放回盒中，直到把白球全部取出，则在此过程中恰有两次取到黑球的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先分析出基本事件的所有情况，再求出相应基本事件个数，利用分类计数加法原理可得结果．【详解】要满足题意，共有三种取法：（白黑黑白），（黑白黑白）（黑黑白白），其中（白黑黑白）的取法种数为=，（黑黑白白）的取法种数为=，（黑白黑白）的取法种数为=，综上共有，故选A.【点睛】本题考查独立事件概率的求法，考查了分类计数原理的应用，解题时要认真审题，注意相互独立概率计算公式的合理运用．12.若三次函数（）的图象上存在相互平行且距离为的两条切线，则称这两条切线为一组“距离为的友好切线组”.已知，则函数的图象上“距离为4的友好切线组”有（）组？A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】设出切点，求导求得斜率，写出切线方程，利用距离公式得到关于的方程，解得共有3解，即可得到结论.【详解】∵，则=，设两切点分别为A(,)，B(,)，若两切线平行，则的两根为，，且+=2，不妨设>，过A的切线方程为y=x-, 过B的切线方程为y=x-,∴两条切线距离为d==,化简得=1+9，令，显然u=1为一解，又-8u+10=0有两个异于1的正根，∴这样的u有3解，而，>，且+=2，即与是一一对应的，∴这样的，有3组，故选D.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了新定义的理解与应用，考查了运算能力及推理能力，属于难题.二.填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在的展开式中的常数项为_______.【答案】【解析】【分析】写出通项公式，给r赋值即可得出．【详解】的通项公式为：T r+1（-1）r x6﹣2r．令6﹣2r＝0解得r＝3，∴（-1）320，所以常数项为-20．故答案为：-20．【点睛】本题考查了二项式定理的应用，写出通项是关键，属于基础题．14.已知实数满足，则的最大值是______.【答案】6【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【详解】作出不等式对应的平面区域如图，由z＝3x+y，得y＝﹣3x+z，平移直线y＝﹣3x+z，由图象可知当直线y＝﹣3x+z，过点A时，直线y＝﹣3x+z的截距最大，代入得6，此时z最大为6．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．15.的内角的对边分别为，已知，，_____. 【答案】【解析】【分析】由cos（A﹣C）+cos B＝cos（A﹣C）﹣cos（A+C）＝1，可得sin A sin C，由a＝2c及正弦定理可得sin A ＝2sin C，联解得到sin C的值，从而得到角C的大小【详解】由B＝π﹣（A+C）可得cos B＝﹣cos（A+C）∴cos（A﹣C）+cos B＝cos（A﹣C）﹣cos（A+C）＝2sin A sin C＝1∴sin A sin C①由可得，得到2sin(A+B)=sinA，即2sinC=sinA，…②，由正弦定理可得可得a＝2c，①②联解可得，sin2C∵0＜C＜π，∴sin C结合a＝2c即a＞c，得C为锐角，∴C故答案为．【点睛】本题考查了两角和与差的余弦公式及正弦定理的应用，合理选择公式是解题的关键，属于中档题．16.直线与圆相交于两点，若，为圆上任意一点，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】取MN的中点A，连接OA，则OA⊥MN．算出OA＝1，得到∠AON，可得∠MON，计算出•的值，运用向量的加减运算和向量数量积的定义，可得2﹣4cos∠AOP，考虑，同向和反向，可得最值，即可得到所求范围．【详解】取MN的中点A，连接OA，则OA⊥MN，∵c2＝a2+b2，∴O点到直线MN的距离OA1，x2+y2＝4的半径r＝2，∴Rt△AON中，设∠AON＝θ，得cosθ，得θ=，cos∠MON＝cos2θ＝，由此可得，•||•||cos∠MON＝2×2×（）＝﹣2，则（）•（）•2•（）＝﹣2+4﹣2•2﹣2||•||•cos∠AOP＝2﹣4cos∠AOP，当，同向时，取得最小值且为2﹣4＝﹣2，当，反向时，取得最大值且为2+4＝6．则的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题考查向量的加减运算和向量的数量积的定义，着重考查了直线与圆的位置关系和向量数量积的运算公式等知识点，注意运用转化思想，属于中档题．三.解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤．）17.已知数列的前项和满足：，（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）分n＝1与n≥2讨论，即可求通项公式；（2）化简可得利用裂项求和法求解．【详解】（1）令，，，当时，，，两式作差可得，又n=1时满足，综上，，.（2），∴=.【点睛】本题考查了数列通项公式的求法，同时考查了裂项求和法的应用，属于基础题．18.为调查某校学生每周课外阅读的情况，采用分层抽样的方法，收集100位学生每周课外阅读时间的样本数据（单位：小时）.根据这100个数据，制作出学生每周课外阅读时间的频率分布直方图（如图）. （1）估计这100名学生每周课外阅读的平均数和样本方差（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；（2）由频率分布直方图知，该校学生每周课外阅读时间近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.①求；②若该校共有10000名学生，记每周课外阅读时间在区间的人数为，试求.参数数据：，若，，. 【答案】（1），；（2）①②.【解析】【分析】（1）直接由频率分布直方图结合公式求得样本平均数和样本方差s2；（2）①利用正态分布的对称性即可求得P（0.8＜X≤8.3）；②由①知位于（0.8，8.3）的概率为0.8186，且ξ服从二项分布，由二项分布的期望公式得答案．【详解】（1）,+.（2）①由（1）知X服从正态分布N（5.8，6.16），且σ＝≈2.5，∴P（0.8＜X≤8.3）0.8186；②依题意ξ服从二项分布，即，.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查了二项分布、正态分布的知识，着重考查运算求解能力以及数据处理能力，是中档题．19.如图，在四棱锥中，平面，，，底面为菱形，为的中点，分别线段，上一点，，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）推导出EF∥PA，根据中位线定理推导出OG∥PA，从而EF∥OG，由此能证明EF∥平面BDG．（2）分别以为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）设交于点，在中，，所以，连结AC，交BD于点O，连结OG，分别为的中点，所以，故，平面，平面；（2），，取中点，分别以为轴建立如图所示的坐标系，，，，，，，，设平面的法向量为，由，可得，所求线面角的正弦值.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间向量法的合理运用．20.已知椭圆的左.右焦点分别为，为坐标原点.（1）若斜率为的直线交椭圆于点，若线段的中点为，直线的斜率为，求的值；（2）已知点是椭圆上异于椭圆顶点的一点，延长直线，分别与椭圆交于点，设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）设出A，B点坐标，代入椭圆方程作差并整理，则可求出的值．（2）设（），，先计算有一条直线斜率不存在对应的斜率之积的值，再讨论一般情况，求出B，D坐标，化简斜率得出结论．【详解】（1）设，将，作差可得，，，所以；（2）设（），，当直线的斜率不存在时，设，则，直线的方程为代入，可得∴，，则，∴直线的斜率为，直线的斜率为，∴，当直线的斜率不存在时，同理可得.当直线，的斜率存在时，，设直线的方程为，则由消去可得：，又，则，代入上述方程可得，∴，∴，则∴，设直线的方程为，同理可得∴直线的斜率为，∵直线的斜率为，∴所以直线与的斜率之积为定值，即.【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的应用，考查了直线与椭圆的位置关系中的定值问题．考查运算求解能力，推理论证能力，属于中档题．21.已知函数.（1）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）若有两个极值点，，求证：.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）根据不等式构造函数，通过函数的导数，对a分类讨论，分别求解函数的单调性及极值，求出满足条件的实数a的取值范围．（2）求出x1x2，只需证明，不妨设x1＞x2，只需证明，令t（t＞1），原不等式转化为lnt，结合（1）利用不等式的传递性证明即可．【详解】（1）令，，，令，当时，，且对称轴，所以当时，，在上单调递增，所以恒成立，当时，，可知必存在区间，使得，当时，有，即在上单调递减，由于，此时不合题意，综上；（2），令在有两个不同的零点，，若，则，不合题意；若，设两个零点分别为，则，可得，要证，即证，即证，即证，即证，即证，令，即证由（1）可得时，，只需证，即证，故原不等式得证.【点睛】本题考查函数的单调性以及函数最值的求法，考查了不等式的证明，考查构造法以及转化思想的应用，难度比较大．请考生在22.23题两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系中，直线，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于两点.（1）求曲线的直角坐标方程，以及的取值范围；（2）若过原点的直线交曲线于两点，求的最大值.【答案】（1）曲线的直角坐标方程：，；（2）.【解析】【分析】（1）直接把极坐标方程与直角坐标方程进行转化，结合圆的性质求得的取值范围．（2）将直线的极坐标方程代入曲线的极坐标方程，利用一元二次方程根和系数的关系与极径的定义，求得结果．【详解】（1）将代入，曲线的直角坐标方程：，由于直线过圆内定点，注意直线的斜率一定存在，所以.（2）设过原点的直线的极角为，则，，所以的最大值为.【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用，极径的应用，属于中档题．23.已知函数（1）解不等式；（2）若，且，证明：，并求时，的值. 【答案】(1);(2).【解析】分析：(1) 通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；(2)利用绝对值三角不等式证明不等式，同时可知=，在结合均值不等式即可得到的值详解：(1)当时,不等式为,；当时,不等式为,不成立；当时,不等式为,,综上所述,不等式的解集为；（2）解法一:，，当且仅当，即时“”成立；由可得：.解法二：，当时，；当时，；当时，的最小值为，，当且仅当，即时“”成立；由可得：. 点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。

2019届重庆市第一中学高三上学期期中考试数学（理）试题一、单选题 1．已知集合则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 化简集合，根据并集运算即可.【详解】 因为，，所以，故选D.【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，属于容易题. 2．等比数列中，若，则（ ）A ． 6B ．C ． 12D ． 18【答案】A 【解析】根据等比数列可知，，所以，故可求出.【详解】 因为，所以，故，所以选A.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，属于中档题. 3．计算的结果是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】利用诱导公式及二倍角公式计算即可. 【详解】因为，故选B.【点睛】本题主要考查了诱导公式及二倍角公式，属于中档题.4．下列函数为奇函数的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据奇函数的定义逐项检验即可.【详解】A选项中故不是奇函数，B选项中故不是奇函数, C选项中故不是奇函数, D选项中，是奇函数，故选D.【点睛】本题主要考查了奇函数的判定，属于中档题.5．已知非零向量的夹角为，且则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据数量积的性质，，展开计算即可.【详解】因为，所以选B.【点睛】本题主要考查了数量积的运算性质，属于中档题.6．圆半径为，圆心在轴的正半轴上，直线与圆相切，则圆的方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设圆心为，则圆心到直线的距离，可解出圆心，即可写出圆的方程.【详解】设圆心为,因为圆与直线相切，所以圆心到直线距离等半径，即，解得，所以圆的方程为，即，故选C.【点睛】本题主要考查了直线和圆的相切，属于中档题.7．过抛物线的焦点作斜率为的直线，与抛物线在第一象限内交于点，若，则（）A．4 B．2 C．1 D．【答案】B【解析】设A，根据抛物线的定义知，又，联立即可求出p.【详解】设A，根据抛物线的定义知,又，联立解得，故选B.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及斜率公式，属于中档题.8．已知双曲线过点且其渐近线方程为，的顶点恰为的两焦点，顶点在上且，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为，由过点，可得双曲线方程，利用正弦定理可知,根据双曲线方程即可求出.【详解】设双曲线方程为，因为过点，代入得，即双曲线方程为，故，由正弦定理可知，故选A.【点睛】本题主要考查了双曲线的方程和简单性质以及正弦定理，属于中档题.9．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】令得出，在同一坐标系内画出和，利用图象求出曲线过原点的切线方程，即可求出.【详解】函数，其中，令得出，在同一坐标系内画出和的图象，如图所示：设曲线上点，则，所以过点P的切线方程为，因为直线过原点，所以，解得，所以切线斜率为，所以实数的取值范围是，故选C.【点睛】本题主要考查了函数零点的应用问题，也考查了直线与对数函数图象交点的应用问题，属于中档题.10．已知，的导函数的部分图象如图所示，则下列对的说法正确的是（）A．最大值为且关于点中心对称B．最小值为且在上单调递减C．最大值为且关于直线对称D．最小值为且在上的值域为【答案】D【解析】根据函数图象与性质，求出A、T、与的值，写出函数的解析式，判断选项即可.【详解】,由图象可知,,，所以，又又，所以，所以，最小值为，，则，所以在上的值域为，故选D.【点睛】本题主要考查了函数的图象与性质的应用问题，也考查了导数的应用，属于中档题.11．已知双曲线的右顶点为, 以为圆心的圆与双曲线的某一条渐近线交于两点.若,且（其中为原点），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】双曲线一条渐近线为，求出Q坐标，得PQ的中点坐标，由两直线垂直可得，应用圆的弦长公式计算即可得的关系，即可求出离心率.【详解】设双曲线一条渐近线为，由，可得Q,圆的半径为，PQ的中点为H，由可得解得，A到渐近线的距离为，则，即，即有，可得，，故选A.【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的求法，注意应用中点坐标公式和直线垂直斜率之积为以及圆的弦长公式，属于中档题.12．已知的内角满足，且的面积等于，则外接圆面积等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】化简条件可得,化简可得,由正弦定理可得：,根据面积公式,代入可知，即可求出R.【详解】由三角形内角和定理可得：，即，即，所以，由正弦定理可得：，根据面积公式可得：，即，所以，外接圆面积,故选C.【点睛】本题主要考查了三角函数的和差化积公式，三角恒等变换，正弦定理，三角形面积公式，属于中档题.二、填空题13．直线的倾斜角为__________；【答案】【解析】把直线的一般方程化为斜截式方程，得到斜率，即可求出倾斜角.【详解】由可得：，所以斜率，即，所以倾斜角为，故填.【点睛】本题主要考查直线的斜率及倾斜角，属于中档题.14．已知是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点且满足，则的值为_________；【答案】36【解析】根据椭圆的定义知,,再由余弦定理可得，即可解出.【详解】由椭圆定义可知，且，根据余弦定理得：，所以解得，故填36.【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆方程，余弦定理，属于中档题.15．数列满足前项和为，且，则的通项公式____；【答案】【解析】根据递推关系式可得，两式相减得：，即，可知从第二项起数列是等比数列，即可写出通项公式.【详解】因为所以两式相减得：即所以从第二项起是等比数列，又，所以故，又所以.【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式，等比数列，数列的通项公式，属于中档题.16．已知函数满足，且对任意恒有，则_________．【答案】【解析】根据可归纳出函数为周期函数，利用周期函数的性质求解即可.【详解】令,可得，所以令，可得，所以令，可得，所以令，可得，所以令，可得，所以令，可得，所以令，所以故函数是6为周期的周期函数所以，.【点睛】本题主要考查了抽象函数的周期性，属于中档题.三、解答题17．在中，角所对的边分别为，且.（Ⅰ）证明：成等比数列；（Ⅱ）若，且，求的周长.【答案】(1)见解析；（2）的周长为.【解析】（1）根据正弦定理可得，化简得，由正弦定理即证（2）由条件可得利用余弦定理及于即可求解.【详解】（1）证明：由正弦定理得：所以成等比数列(2)由由余弦定理得：，又，所以于是得：所以的周长为.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题.18．已知数列满足，数列满足，且.（Ⅰ）求及；（Ⅱ）令，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据题意判断等差数列，等比数列，联立方程即可求解（2）根据数列通项公式，可用错位相减法求和即可.【详解】（1）由题意可得为等差数列，为等比数列，设的公差为，则由题意可得：于是，而，（2）由题意：，由错位相减法，得：两式相减，得：于是：【点睛】本题主要考查了等差数列，等比数列的定义及通项公式，错位相减法求和，属于中档题. 19．如图1，在直角中，，分别为的中点，连结并延长交于点，将沿折起，使平面平面，如图2所示．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）根据条件证明平面即可（2）建立空间直角坐标系，写出坐标，利用公式计算二面角余弦值即可.【详解】（1）证明：由条件可知，而为的中点，，又面面，面面，且，平面又因为平面，．（2）由（1）可知，两两相互垂直，如图建立空间直角坐标系，则：易知面的法向量为，设平面的法向量为，则：，易得设平面与平面所成锐二面角为，则【点睛】本题主要考查了面面垂直的性质，线面垂直的判定，二面角的向量求法，属于中档题.20．已知椭圆的左、右焦点分别为，且为抛物线的焦点，的准线被椭圆和圆截得的弦长分别为和. （Ⅰ）求和的方程；（Ⅱ）已知动直线与抛物线相切（切点异于原点），且与椭圆相交于两点，若椭圆上存在点，使得，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）根据题意，，即可求出方程（2）设出直线，联立直线与椭圆、抛物线方程，运用韦达定理及向量运算即可求解.【详解】（1）由题得，故（2）由题知存在斜率且不为0，设联立，因为与相切，故联立，两根为，所以，又，因此由，由韦达定理，代入计算得而点在椭圆上，即，代入得令，则【点睛】本题主要考查了椭圆、抛物线的方程的求法，考查存在性问题的处理方法，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，属于中档题.21．已知函数.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若，证明：（其中是自然对数的底数，）．【答案】(1) 在上单调递减，在上也单调递减；(2)见解析.【解析】（1）求导后分析导数的分子的正负，构造，利用导数可分析的正负，即可得到函数单调区间（2）因故，因此只需证明，先证明时的情况，构造可证明，再证明时的情况,证明即可.【详解】（1）定义域，令，则，所以在，故时，，也即，因此，在上单调递减，在上也单调递减；（2）因故，因此只需证明（记为）①先证明时的情况：此时，令令，故在，故在，于是在，因此，时，即②下面证明时的情况：令，故在，于是时，令，故在故时，即即，证毕；【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调区间，利用导数证明不等式，属于难题.解决不等式的证明问题，主要是构造合适的函数，利用导数研究其单调性，求其最值，分析函数的正负，得到所研究的不等式.22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为，曲线的极坐标方程为，设直线与曲线相交于两点．（Ⅰ）写出直线和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）求的值．【答案】(1)见解析；（2）1.【解析】（1）对直线的参数方程消参数t即可，曲线C根据转化即可（2）利用参数的几何意义得，利用的意义可得，即可求解.【详解】（1），曲线，即（2）点的直角坐标为，发现在直线上且，直线的极坐标方程为联立的参数方程与的直角方程得：，则联立及曲线的极坐标方程得：，则，故所求=1.【点睛】本题主要考查了直线的参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，参数的几何意义及极径的几何意义，属于中档题.23．已知函数．（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）记函数的最大值为，若，证明：．【答案】(1) 解集为;(2)见解析.【解析】（1）去绝对值号转化为分段函数即可求解（2）由（1）知，根据，构造后利用均值不等式即可.【详解】（1），易得的解集为.（2）由（1）知，于是因为，移项即得证.【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的解法，均值不等式在证明中的应用，属于中档题.。