2021届重庆市第一中学高三上学期期末考试数学(理)试题

重庆市第一中学2021届高三数学上学期期中试题 理数学试题共4页.满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.一、选择题（本大题共12个小题，每个小题5分，共60分，每个小题只有一个正确答案）1.在平面直角坐标系中，点)002cos ,100(sin P 位于第（ ）象限.A ．一B ．二C ．三D ．四2.设R z y x ∈,,，条件22:yz xz p >，条件y x q >:，则p 是q 的（ ）条件.A ．充分不必要B ． 必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要3.设n m ,为两条不同的直线，βα,为两个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ）A ．若βα⊆⊆n m ,，则n m ,为异面直线.B ．若αα//,n m ⊥，则n m ⊥C ．若βα//,//m m ，则βα//D ．若βα⊥，βα⊆⊆n m ,，则n m ⊥4.已知正数b a ,满足1=+b a ，则abb a +9的最小值为（ ） A ．4 B ．6 C ．16 D ．255.设函数x x x f cos sin 1)(+=，则下列说法中正确的是（ ）A ．)(x f 为奇函数B ．)(x f 为增函数C ．)(x f 的最小正周期为2πD ．)(x f 图像的一条对称轴为4π-=x 6.设正项等比数列{}n a 的前n 项之和为n S ，若365S a S +=，则{}n a 的公比=q （ ）A ．215-B ．1C ．215+D ．215-或215+ 7. 已知集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-==)12(log 21x y x M ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧+==x y y N 232，则=N M （ ）A ．]1,0(B ．]1,21(C ． )32,21(D ．)(0,+∞8.已知向量b a ,满足4,3,2=+==b a b a ，则=-b a （ ）A ．6B ．32C ．10D ．39.某几何体的三视图如右图所示,其中俯视图与左视图中的圆的半径均为2,则该几何体的体积为（ ）A ．π8B ．π328 C ．π D ．π67 10.王老师是高三的班主任，为了在寒假更好的督促班上的学生完成学习作业，王老师特地组建了一个QQ 群，群的成员由学生、家长、老师共同组成.已知该QQ 群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该QQ 群人数的最小值为（ ）A ．20B ．22C ．26D ．2811.如下图，正方体1111D C B A ABCD -中，E 为AB 中点，F 在线段1DD 上.给出下列判断： ①存在点F 使得⊥C A 1平面EF B 1；②在平面1111D C B A 内总存在与平面1B EF 平行的直线；③平面EF B 1与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点F 的位置无关；④三棱锥EF B B 1-的体积与点F 的位置无关.其中正确判断的有（ ）A ． ① ②B ．③ ④C ．① ③D ．② ④12.已知函数x x x f πcos 4)(-=，等差数列{}n a 满足条件4)()(93=+a f a f ，则=++981a a a （ ）A ．6B ．3C ．43 D ．23二、填空题（本大题共4个小题，每个小题5分，共20分） 正视图 俯视图左视图13.实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-+002204y y x y x ，则y x 23+的最大值为 14.大衍数列，来源于我国的《乾坤谱》，是世界数学史上最古老的数列，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.其前11项依次是：60,50,40,32,24,18,12,8,4,2,0，则大衍数列的第41项为15.已知正三棱锥的底面边长为34，体积为332，则其外接球的表面积为16.设函数⎩⎨⎧<≥=)0()0()(2x x x e x f x，若方程λ=))((x f f 恰有两个不相等的实根21,x x ，则21x x +的最大值为三、解答题（本大题共6个小题，共70分，将解答过程填写在答题卡上的相应位置）17.（原创）（本题满分12分）法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名.对ABC ∆而言，若其内部的点P 满足 120=∠=∠=∠CPA BPC APB ，则称P 为ABC ∆的费马点.如下图所示，在ABC ∆中，已知 45=∠BAC ,设P 为ABC ∆的费马点，且满足 45=∠PBA ，2=PA .（1）求PAC ∆的面积； （2）求PB 的长度.18.（本题满分12分）数列{}n a 满足n n n a a 3231⨯+=+，31=a（1）证明：⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a 3为等差数列，并求{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项之和为n S19.（原创）（本题满分12分）已知四棱锥ABCD P -的底面为正方形，且该四棱锥的每条棱长均为2，设CD BC ,的中点分别为F E ,,点G 在线段PA 上，如下图.（1）证明：GC EF ⊥（2）当//BG 平面PEF 时，求直线GC 和平面PEF 所成角的正弦值.20.（原创）（本题满分12分）已知函数x x x f ln 2)(+=（1）经过点)2,0(-作函数)(x f 图像的切线，求切线的方程.（2）设函数)()1()(x f e x x g x--=，求)(x g 在),0(+∞上的最小值.21.（原创）（本题满分12分）已知椭圆方程为13622=+y x （1）设椭圆的左右焦点分别为21,F F ，点P 在椭圆上运动，求2121PF PF PF ⋅+⋅的值.（2）设直线l 和圆222=+y x 相切，和椭圆交于B A ,两点，O 为原点，线段OB OA ,分别和圆222=+y x 交于D C ,两点，设COD AOB ∆∆,的面积分别为21,S S ，求21S S 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4－4：坐标系与参数方程（本题满分10分） 已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧-=+=ααααcos sin cos sin y x ，（α为参数） （1）若点),22(m M 在曲线C 上，求m 的值； （2）过点)0,1(P 的直线l 和曲线C 交于B A ,两点，求PB PA 11+的取值范围.23. （原创）选修4－5：不等式选讲（本题满分10分）已知正实数b a ,满足)lg(lg lg b a b a +=+（1）证明：822≥+b a ； （2）证明：425)1)(1(22≥+++b a b a2021年重庆一中高2021级高三上期11月月考试题参考答案数 学（理）二、填空题.(每题5分,共20分) 13. 12 14. 840 15. π100 16. 22ln 2-三、解答题.(共70分)17.解：（1）由已知 1545120180=--=∠PAB ，所以 301545=-=∠PAC 在PAC ∆中， 3030120180=--=∠PCA ，故2==PC PA 所以PAC ∆的面积3232221sin 21=⨯⨯⨯=∠⋅⋅=PAC PC PA S （2）在PAB ∆中，由正弦定理45sin 15sin 245sin 15sin =⇒=PB PA PB （*） 而42621222322)3045sin(15sin -=⨯-⨯=-= ,2245sin = 代入（*）式得=PB 13- 18.解：（1）由已知32333233323311111=-⇒+=⨯+=+++++n n n n n n n n n n n a a a a a 由定义知⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a 3为等差数列，且公差为32，首项为1311=a 故13)12(31232)1(13-+=⇒+=-+=n n n n n a n n a （2）由已知12103)12(373533-++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=n n n S故n n n S 3)12(3735333321++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=错位相减得n n n n S 3)12()333(23321210+-+⋅⋅⋅+++⨯=--即n n n n n n S 323)12(31)31(3233210⋅-=+---⨯+⨯=--，所以n n n S 3⋅= 19.解：（1）证明：由已知ABCD P -为正四棱锥，设BD AC ,交于点O ，由正棱锥的性质可知⊥PO 平面ABCD ，所以EF PO ⊥，由于正方形ABCD 满足BD AC ⊥，EF 为BCD ∆的中位线，故BD EF //，所以AC EF ⊥ 所以⊥EF 平面PAC ，而⊆CG 平面PAC ，所以GC EF ⊥（2）分别以OP OC OB ,,为坐标轴建立如图坐标系， 此时)0,21,21(),0,21,21(),1,0,0(),0,1,0(--F E P A 设),,(z y x G ，且PA PG λ=，其中10≤≤λ即)1,,0()1,1,0()1,,(λλλ--⇒--=-G z y x ，设平面PEF 的法向量为),,(c b a m =，由于)1,21,21(--=EP ,)0,0,1(-=EF 由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00EF m EP m 解得)1,2,0(=m 由//BG 平面PEF 知031)1,2,0()1,,1(0=-=⋅---⇒=⋅⇒⊥λλλm BG m BG 解得31=λ，此时)32,31,0(-G ，由于)0,1,0(C ，故)32,34,0(-=GC 所以直线GC 的方向向量)1,2,0(-=n ，设GC 和平面PEF 所成角为θ，则531401401)1(2200,cos sin =++⋅++⨯-+⨯+⨯=⋅⋅=><=m n mn m GC θ 20.解：（1）由于x x f 21)('+=，设切点坐标为),(00y x ，则000ln 2x x y += 切线斜率00x 21)x ('+==f k ；另一方面000002ln 22x x x x y k ++=+= 故310ln 2ln 221000000=⇒=⇒=⇒++=+k x x x x x x ，此时切点坐标为)1,1( 所以切线方程为)1(31-=-x y ，即23-=x y（2）由已知x x xe x g x ln 22)(--=，故)2)(1()11(2)1()('x e x x e x x g x x -+=+-+=由于),0(+∞∈x ，故01>+x ，由于xe x h x 2)(-=在),0(+∞单调递增 同时+∞=-∞=+∞→→)(lim ,)(lim 0x h x h x x ，故存在00>x 使得0)(0=x h 且当),0(0x x ∈时0)(<x h ，当),(0+∞∈x x 时0)(>x h ，所以当),0(0x x ∈时0)('<x g ，当),(0+∞∈x x 时0)('>x g ，即函数)(x g 先减后增.故)ln (2)()(0000min 0x x ex x g x g x +-== 由于2ln ln 202)(0000000=+⇒=⇒=-=x x e x x e x h x x ，所以2ln 22)(min -=x g 21.解：（1）由已知)0,3(),0,3(21F F -，设),(y x P 由焦半径公式221216)226()226(x x x PF PF -=-⋅+=⋅ 3),3(),3(2221-+=--⋅---=⋅y x y x y x PF ，结合2222213136x y y x -=⇒=+ 故22221213)213(x x x PF =--+=⋅，故621216222121=+-=⋅+⋅x x PF PF PF （2）当直线l 斜率不存在时，其方程为2±=x ，由对称性，不妨设为2=x ， 此时)1,1(),1,1(),2,2(),2,2(--D C B A ，故21221==S S 若直线l 斜率存在，设其方程为m kx y +=，由已知)1(221222k m k m+=⇒=+ 设),(),,(2211y x B y x A ，将直线l 与椭圆联立得0624)12(222=-+++m kmx x k 由韦达定理1262,1242221221+-=+-=+k m x x k km x x 结合2==OD OC 及22222121213,213x y x y -=-=可知： 22222121212121sin 21sin 21y x y x OB OA COD OD OC AOB OB OA S S +⋅+=⋅=∠⋅⋅∠⋅⋅= 221212212221)(41]2)[(23921)213)(21(321x x x x x x x x +-++=++= 将韦达定理代入整理得2222222221)12()3(1836612921+-+++-+=k m k m m k S S 结合)1(222+=k m 知222421)12(74428921++++=k k k S S ，设1122≥+=k t ，]1,0(1∈=t u则]223,2[1688-21168821887921222221∈++=++-=-++=u u t t t t t S S 综上21S S 的取值范围为]223,2[ 22.解：（1）已知等价于y x y x -=+=ααcos 2,sin 2，由于1cos sin 22=+αα所以等价于4cos 4sin 4)()(2222=+=-++ααy x y x整理得曲线C 的普通方程为222=+y x ，将),22(m M 代入解得26±=m （2）设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=θθsin cos 1t y t x （t 为参数，θ为倾斜角）与222=+y x 联立得： 01cos 22=-⋅+t t θ，由韦达定理1,cos 22121-=-=+t t t t θ由于21,t t 异号，故21212212121214)(1111t t t t t t t t t t t t PB PA -+=-=+=+ 将韦达定理代入，并结合]1,0[cos 2∈θ得]22,2[4cos 4112∈+=+θPB PA 23.证明：（1）由已知b a ab +=，均值不等式422≥⇒≥⇒≥+=ab ab ab b a ab由均值不等式ab b a 222≥+，结合4≥ab 可知822≥+b a （2）欲证425)1)(1(22≥+++b a b a ，只需证)(25)1)(1(422b a b a +≥++ 只需证)(25]1)()[(4222b a b a ab +≥+++；即证)(25]12)()[(422b a ab b a ab +≥+-++ 结合ab b a =+，只需证ab ab ab ab 25]12)()[(422≥+-+，即0433)(82≥+-ab ab ， 即证0)18()4(≥-⋅-ab ab ，因为4≥ab ，故这是成立的.从而原不等式得证.。

2020-2021重庆市高三数学上期末一模试卷(及答案)一、选择题1．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若2342S S S =+，12a =，则2a =（ ）A ．2B ．-4C ．2或-4D ．42．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1142n n a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若对任意*N n ∈，都有()143n p S n ≤-≤成立，则实数p 的取值范围是（ ）A ．()2,3B ．[]2,3C ．92,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．92,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭3．数列{}n a 满足()11nn n a a n ++=-⋅，则数列{}n a 的前20项的和为( ) A ．100B ．-100C ．-110D ．1104．已知正数x 、y 满足1x y +=，且2211x y m y x +≥++，则m 的最大值为（ ） A ．163B ．13C ．2D ．45．在ABC ∆中,,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边,若 2?a bcos C =,则此三角形一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形6．已知实数x 、y 满足约束条件00134x y x ya a⎧⎪≥⎪≥⎨⎪⎪+≤⎩，若目标函数231x y z x ++=+的最小值为32，则正实数a 的值为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．17．若ABC ∆的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则ABC ∆（ ）A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1112n n a S a +＝，＝， 则n S ＝( )A ．12n -B ．13()2n -C ．12()3n - D ．112n - 9．在ABC ∆中，,,a b c 是角,,A B C 的对边，2a b =，3cos 5A =，则sin B =（ ）A ．25B ．35C ．45D ．8510．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，若26442,S 6a S a =-=，则5a =A ．4B ．10C ．16D ．3211．若变量x ，y 满足约束条件1358x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，，则2yz x =-的取值范围是（ ） A ．113⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B ．11115⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，C ．111153⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D ．3153⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，12．在等差数列 {}n a 中， n S 表示 {}n a 的前 n 项和，若 363a a += ，则 8S 的值为（ ）A ．3B ．8C ．12D ．24二、填空题13．已知数列{}n a 的前n 项和为21nn S =-，则此数列的通项公式为___________．14．计算：23lim 123n n nn→+∞-=++++________15．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知)3cos cos ,60a C c A b B -==︒，则A 的大小为__________．16．已知数列{}n a 的首项12a =，且满足()*12n n n a a n N +=∈，则20a =________．17．已知数列{}n a 的前n 项和为2*()2n S n n n N =+∈，则数列{}n a 的通项公式n a =______．18．设,x y 满足约束条件0{2321x y x y x y -≥+≤-≤，则4z x y =+的最大值为 .19．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且13a =，131n n a S +=+，*n ∈N ，则5S =______.20．已知数列{}n a (*n ∈N )，若11a =，112nn n a a +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2lim n n a →∞= ． 三、解答题21．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角A ，B ，C 的对边，且3sin cos 20b A a B a --=.（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）若b =ABC ∆的面积为2，求a c +的值． 22．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求角B 的大小；（2）若D 为AC 的中点，且1BD =，求ABC S ∆的最大值. 23．设数列{}n a 满足()*164n n n a a n a +-=∈-N ，其中11a =. （Ⅰ）证明：32n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是等比数列； （Ⅱ）令112n n b a =--，设数列{}(21)n n b -⋅的前n 项和为n S ，求使2019n S <成立的最大自然数n 的值.24．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：2(1)n n S na n n =--，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，公比为1a ，且5352T T b =+．（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n M ，求证：1154n M ≤<．25．已知函数f(x)＝x 2－2ax －1＋a ，a∈R. (1)若a ＝2，试求函数y ＝()f x x(x>0)的最小值； (2)对于任意的x∈[0，2]，不等式f(x)≤a 成立，试求a 的取值范围． 26．在△ABC 中，已知AC ＝4，BC ＝3，cosB ＝－14. (1)求sin A 的值； (2)求·BA BC 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】利用等比数列的前n 项和公式求出公比，由此能求出结果． 【详解】∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2342S S S =+，12a =，∴()()()34212122211q q q qq--+=+--，解得2q =-，∴214a a q ==-，故选B ． 【点睛】本题主要考查等比数列的性质以及其的前n 项和等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．B解析：B 【解析】11111444222n n S -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+⋅⋅⋅++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11221244133212nnn n ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭=+=+-⋅- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭()143n p S n ≤-≤即22113332n p ⎛⎫⎛⎫≤-⋅-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对任意*n N ∈都成立， 当1n =时，13p ≤≤ 当2n =时，26p ≤≤当3n =时，443p ≤≤ 归纳得：23p ≤≤故选B点睛：根据已知条件运用分组求和法不难计算出数列{}n a 的前n 项和为n S ，为求p 的取值范围则根据n 为奇数和n 为偶数两种情况进行分类讨论，求得最后的结果3．B解析：B 【解析】数列{a n }满足1(1)nn n a a n ++=-⋅，可得a 2k ﹣1+a 2k ＝﹣（2k ﹣1）．即可得出．【详解】∵数列{a n }满足1(1)nn n a a n ++=-⋅，∴a 2k ﹣1+a 2k ＝﹣（2k ﹣1）．则数列{a n }的前20项的和＝﹣（1+3+……+19）()101192⨯+=-=-100．故选：B ． 【点睛】本题考查了数列递推关系、数列分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．B解析：B 【解析】 【分析】由已知条件得()()113x y +++=，对代数式2211x y y x +++变形，然后利用基本不等式求出2211x y y x +++的最小值，即可得出实数m 的最大值. 【详解】正数x 、y 满足1x y +=，则()()113x y +++=，()()()()()()222222221212111111111111y x y x y x x y y x y x y x y x +-+-⎡⎤⎡⎤----⎣⎦⎣⎦+=+=+=+++++++++444444141465111111y x x y y x x y x y =+-+++-+=+++-=+-++++++()()14441111525311311y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++=++++-=++-⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦++++⎝⎭⎝⎭412533⎛≥⨯+-= ⎝， 当且仅当12x y ==时，等号成立，即2211x y y x +++的最小值为13，则13m ≤. 因此，实数m 的最大值为13. 故选：B. 【点睛】本题考查利用基本不等式恒成立求参数，对代数式合理变形是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.5．C【解析】在ABC ∆中，222222cos ,2cos 222a b c a b c C a b C b ab ab+-+-=∴==⋅，2222a a b c ∴=+-，,b c ∴=∴此三角形一定是等腰三角形，故选C.【方法点睛】本题主要考查利用余弦定理判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.6．D解析：D 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的可行域，根据目标函数的几何意义，利用直线斜率的几何意义以及数形结合进行求解即可. 【详解】 目标函数()12123112111x y x y y z x x x ++++++===+⨯+++， 设11y k x +=+，则k 的几何意义是区域内的点与定点(1,1)D --连线的斜率， 若目标函数231x y z x ++=+的最小值为32，即12z k =+的最小值是32， 由3122k +=，得14k =，即k 的最小值是14，作出不等式组对应的平面区域如图：由斜率的意义知过D 的直线经过()3,0B a 时，直线的斜率k 最小，此时011314k a +==+， 得314a +=，得1a =.【点睛】本题考查利用线性规划中非线性目标函数的最值求参数，解题时要结合非线性目标函数的几何意义寻找最优解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.7．C解析：C 【解析】 【分析】由sin :sin :sin 5:11:13A B C =，得出::5:11:13a b c =，可得出角C 为最大角，并利用余弦定理计算出cos C ，根据该余弦值的正负判断出该三角形的形状. 【详解】由sin :sin :sin 5:11:13A B C =，可得出::5:11:13a b c =， 设()50a t t =>，则11b t =，13c t =，则角C 为最大角，由余弦定理得2222222512116923cos 022511110a b c t t t C ab t t +-+-===-<⨯⨯，则角C 为钝角，因此，ABC ∆为钝角三角形，故选C. 【点睛】本题考查利用余弦定理判断三角形的形状，只需得出最大角的属性即可，但需结合大边对大角定理进行判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.8．B解析：B 【解析】 【分析】利用公式1n n n a S S -=-计算得到11323,2n n n n S S S S ++==，得到答案. 【详解】由已知1112n n a S a +==，，1n n n a S S -=- 得()12n n n S S S -=-，即11323,2n n n n S S S S ++==， 而111S a ==，所以13()2n n S -=.故选B. 【点睛】本题考查了数列前N 项和公式的求法，利用公式1n n n a S S -=-是解题的关键.9．A解析：A 【解析】试题分析：由3cos 5A =得，又2a b =，由正弦定理可得sin B =.考点：同角关系式、正弦定理．10．C解析：C 【解析】由64S S -=6546a a a +=得，()22460,60q q a q q +-=+-=，解得2q，从而3522=28=16a a =⋅⨯，故选C.11．A解析：A 【解析】 【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合2yz x =-的几何意义求出其范围，即可得到答案. 【详解】由题意，画出满足条件的平面区域，如图所示：由358y x x y =⎧⎨+=⎩，解得11A (，)，由1x y x=-⎧⎨=⎩，解得(11)B --，， 而2yz x =-的几何意义表示过平面区域内的点与0(2)C ，的直线斜率， 结合图象，可得1AC k =-，13BC k =， 所以2y z x =-的取值范围为113⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，， 故选：A.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，其中解答中作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定出目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及计算能力，属于基础题.12．C解析：C 【解析】 【分析】由题意可知，利用等差数列的性质，得18363a a a a +=+=，在利用等差数列的前n 项和公式，即可求解，得到答案。

2020年重庆一中高2020级高三上期期末考试数学(文科)试题卷一、选择题1.已知集合{1,2,3}A =，{|(1)(2)0,}B x x x x Z =+-<∈，则A B ⋃= A. {1} B. {12}， C. {0123}，，， D. {10123}-，，，， 2.复数341iz i-=-(其中i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.设3434a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，243b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，23log 2c =，则a ，b ，c的大小顺序是( )A. b a c <<B. c a b <<C. b c a <<D. a c b <<4.设a 为实数，直线1:10l ax y +-=，()2:120l x a y a +--=，则“12a =”是“12l l ⊥”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.执行如下图所示的程序框图，输出的结果是( )A.89B.910C.1011D.11126.一个几何体的三视图如图所示(单位：m )，则该几何体的体积为( )3mA. 6π+B. 5π+C. 62π+D. 52π+7.正三角形ABC 中，D 是线段BC 上的点，3AB =，2BD =，则AB AD ⋅=( ) A. 3B. 6C. 9D. 128.已知函数()()sin 0,0,22f x A x A ωϕωϕππ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数()f x 在,44x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上的值域为( )A. 2,2⎡-⎣B. (2,2-C. 2⎡⎤-⎣⎦D. (2⎤-⎦9.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>离心率为2，其焦点到渐近线的距离为3()2,1P 的直线m 与双曲线E 交于A ，B 两点.若P 是AB 的中点，则直线m 的斜率为( )A. 2B. 4C. 6D. 810.一次猜奖游戏中，1，2，3，4四扇门里摆放了a ，b ，c ，d 四件奖品(每扇门里仅放一件).甲同学说：1号门里是b ，3号门里是c ；乙同学说：2号门里是b ，3号门里是d ；丙同学说：4号门里是b ，2号门里是c ；丁同学说：4号门里是a ，3号门里是c .如果他们每人都猜对了一半，那么4号门里是( ) A. aB. bC. cD. d11.在锐角三角形ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若2a =，且()()cos sin 2sin 22A B C C ππ⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭，则c 的取值范围为( )A. 2⎫⎪⎪⎝⎭B. 2,23⎛⎫⎪⎝⎭C. ⎝⎭D. 23⎛⎝⎭12.定义在R 上且周期为4的函数()f x 满足：当[)1,3x ∈-时，()1,102ln 2,03xx f x x x ⎧⎛⎫-≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<<⎩，若在区间[]0,4上函数()()1g x f x ax =--恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A. 1ln 310,,143+⎡⎤⎛⎫⋃⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭B. 1ln 310,,133+⎡⎤⎛⎫⋃⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ C. 1ln 310,,243+⎡⎤⎛⎫⋃⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭D. 1ln 310,,233+⎡⎤⎛⎫⋃⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭二、填空题13.等比数列{}n a 中，已知15a =，91040a a =，则18a =________.14.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若0x >时，()2ln 2f x x =+，则曲线()y f x =在点()1,2--处的切线斜率为______.15.设不等式组0x y x y y ⎧-≤⎪⎪+≥-⎨⎪≤⎪⎩M ，函数y =x 轴所围成的区域为N ，向M 内随机投一个点，则该点不落在N 内的概率为______.16.已知一个圆锥，其母线与底面的夹角的余弦值为13.圆锥内有一个内接正方体，该内接正方体的顶点都在圆锥的底面或侧面上，则这个正方体的外接球表面积为_________.三、解答题17.已知数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=+-，n n b a n =+.(1)求证：数列{}n b 是等比数列; (2)求数列{}n a 的前n 项和n S .18.对某居民最近连续几年的月用水量进行统计，得到该居民月用水量T (单位：吨)的频率分布直方图，如图一.(1)求a 的值，并根据频率分布直方图估计该居民月平均用水量T 月；(2)已知该居民月用水量T 与月平均气温t (单位：℃)的关系可用回归直线0.42ˆTt =+模拟.2019年当地月平均气温t 统计图如图二，把2019年该居民月用水量高于和低于T 月的月份作为两层，用分层抽样的方法选取5个月，再从这5个月中随机抽取2个月，求这2个月中该居民恰有1个月用水量超过T 月的概率. 19.已知四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，5SA SD ==，7SB =.点E 是棱AD 的中点，点F 在棱SC 上，且SFSCλ=，SA 平面BEF .(1)求实数λ的值；(2)求四棱锥F EBCD -的体积.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过圆22:4230Q x y x y +--+=的圆心Q ，且右焦点与抛物线23y x =的焦点重合.(1)求椭圆C 的方程;(2)过点()0,1P 作直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若tan AQBSAQB =∠，求直线l 的方程.21.已知函数()ln f x x m x =-，m R ∈，()f x '是()f x 的导函数. (1)讨论函数()f x 的极值点个数；(2)若0m >，120x x <<，若存在0x ，使得()()()12012f x f x f x x x --'=，试比较12x x +与02x 的大小.22.在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为212222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，曲线2C 的极坐标方程为：()23cos24ρθ-=.(1)求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的参数方程;(2)若点M 在曲线2C 上运动，求点M 到曲线1C 距离的最小值及对应的点M 的坐标. 23.已知函数()()0,0f x x a x b a b =-++>>. (1)当1ab =时，证明：()2f x ≥；(2)若()f x 的值域为[)2,+∞，且()35f =，解不等式()4f x ≥.百度文库精品文档1、想想自己一路走来的心路历程，真的很颓废一事无成。

2020-2021重庆市高三数学上期末一模试卷带答案一、选择题1．在ABC ∆中,,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边,若 2?a bcos C =,则此三角形一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形2．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2，n S ，3n a 成等差数列，则5S 的值是（ ） A ．243- B ．242-C ．162-D ．2433．已知在中，，，分别为角，，的对边，为最小角，且，，，则的面积等于（ ） A ．B ．C ．D ．4．已知x ，y 满足2303301x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，z ＝2x +y 的最大值为m ，若正数a ，b 满足a +b ＝m ，则14a b+的最小值为（ ） A ．3B ．32C ．2D ．525．“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称，把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、癸等十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥等十二个符号叫地支，如公元1984年农历为甲子年，公元1985年农历为乙丑年，公元1986年农历为丙寅年，则公元2047年农历为 A ．乙丑年B ．丙寅年C ．丁卯年D ．戊辰年6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,3)n n S +*()n N ∈在函数32xy =⨯的图象上，等比数列{}n b 满足1n n n b b a ++=*()n N ∈，其前n 项和为n T ，则下列结论正确的是（ ）A ．2n n S T =B ．21n n T b =+C ．n n T a >D ．1n n T b +<7．在ABC V 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2cos 22C a b a+=，则ABC V 的形状一定是( ) A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形8．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()cos 4cos a B c b A =-，则cos2A =（ ）A ．78B ．18C ．78-D ．18-9．已知数列{}n a 满足112,0,2121,1,2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若135a =，则数列的第2018项为 （ ）A ．15B ．25C ．35D ．4510．设2z x y =+，其中,x y 满足2000x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，若z 的最小值是12-，则z 的最大值为（ ） A ．9-B ．12C ．12-D ．911．已知x ，y 均为正实数，且111226x y +=++，则x y +的最小值为（ ） A ．20B ．24C ．28D ．3212．在R 上定义运算：A()1B A B =-，若不等式()x a -()1x a +<对任意的实数x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．11a -<<B ．02a <<C ．1322a -<< D ．3122a -<< 二、填空题13．关于x 的不等式a 34≤x 2﹣3x +4≤b 的解集为[a ，b ]，则b －a ＝________． 14．若变量,x y 满足约束条件12,{20,20,x y x y x y +≤-≥-≤ 则z y x =-的最小值为_________.15．已知数列{}n a 的前n 项和为21nn S =-，则此数列的通项公式为___________．16．(广东深圳市2017届高三第二次（4月）调研考试数学理试题)我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法---“三斜求积术”，即ABC △的面积222222142a c b S a c ⎡⎤⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，其中a b c 、、分别为ABC△内角、、A B C 的对边.若2b =，且3sin tan 13cos BC B=-，则ABC △的面积S 的最大值为__________．17．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对应的边长分别为a ，b ，c ，且22cos C =，cos cos 2b A a B +=，则ABC ∆的外接圆面积为__________．18．设，，若，则的最小值为_____________.19．设122012(1)(1)(1)n nn x x x a a x a x a x ++++++=++++L L ，其中n *∈N ，且2n ≥，若0121022n a a a a ++++=L ，则n =_____20．若直线1(00)x ya b a b+=＞，＞过点（1,2）,则2a+b 的最小值为______. 三、解答题21．在数列{}n a 中, 已知11a =，且数列{}n a 的前n 项和n S 满足1434n n S S +-=, n *∈N . （1）证明数列{}n a 是等比数列；（2）设数列{}n na 的前n 项和为n T ，若不等式3()1604nn aT n+⋅-<对任意的n *∈N 恒成立, 求实数a 的取值范围.22．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC V 的外接圆半径为R ，且23sin sin cos 0R A B b A --=.（1）求A ∠；（2）若tan 2tan A B =，求sin 2sin 2sin b Ca b B c C+-的值.23．在△ABC 中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知3cos()16cos cos B C B C --=，（1）求cos A （2）若3a =，△ABC 的面积为22求b c 、24．ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知ABC V 的面积21tan 6S b A = (1)证明: 3 b ccos A =; (2)若1,3c a ==求S .25．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，222sin 2cos 22B Aa b b c +=+． （1）求B ；（2）若6c =，[2,6]a ∈，求sin C 的取值范围． 26．已知函数()2sin(2)(||)2f x x πϕϕ=+<部分图象如图所示.（1）求ϕ值及图中0x 的值；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知7,()2,c f C ==-sin B =2sin A ，求a 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】在ABC ∆中，222222cos ,2cos 222a b c a b c C a b C b ab abQ +-+-=∴==⋅，2222a a b c ∴=+-，,b c ∴=∴此三角形一定是等腰三角形，故选C.【方法点睛】本题主要考查利用余弦定理判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.2．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】因为2,,3n n S a 成等差数列，所以223n n S a =+，当1n =时，111223,2S a a =+∴=-；当2n ≥时，1113333112222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--=-，即11322n n a a -=，即()132nn a n a -=≥，∴数列{}n a 是首项12a =-，公比3q =的等比数列，()()55151213242113a q S q---∴===---，故选B.3．C解析：C 【解析】 【分析】根据同角三角函数求出；利用余弦定理构造关于的方程解出，再根据三角形面积公式求得结果. 【详解】由余弦定理得：，即解得：或为最小角本题正确选项： 【点睛】本题考查余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用、同角三角函数关系，关键是能够利用余弦定理构造关于边角关系的方程，从而求得边长.4．B解析：B 【解析】 【分析】作出可行域，求出m ，然后用“1”的代换配凑出基本不等式的定值，从而用基本不等式求得最小值． 【详解】作出可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线:20l x y +=，平移该直线，当直线l 过点(3,0)A 时，2x y +取得最大值6，所以6m =．1411414143()()(5)(5)6662b a b a a b a b a b a b a b +=++=++≥+⨯=，当且仅当4b a a b =，即12,33a b ==时等号成立，即14a b +的最小值为32． 故选：B. 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查用基本不等式求最值，解题关键是用“1”的代换凑配出基本不等式的定值，从而用基本不等式求得最小值．5．C解析：C 【解析】记公元1984年为第一年，公元2047年为第64年，即天干循环了十次，第四个为“丁”，地支循环了五次，第四个为“卯”,所以公元2047年农历为丁卯年. 故选C.6．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】由题意可得：332,323n nn n S S +=⨯=⨯- ，由等比数列前n 项和的特点可得数列{}n a 是首项为3，公比为2的等比数列，数列的通项公式：132n n a -=⨯ ，设11n nb b q -= ，则：111132n n n b q b q --+=⨯ ，解得：11,2b q == ，数列{}n b 的通项公式12n nb -= ，由等比数列求和公式有：21nn T =- ，考查所给的选项：13,21,,n n n n n n n n S T T b T a T b +==-<< .本题选择D 选项.7．A解析：A 【解析】 【分析】利用平方化倍角公式和边化角公式化简2cos22C a b a+=得到sin cos sin A C B =，结合三角形内角和定理化简得到cos sin 0A C =，即可确定ABC V 的形状． 【详解】22cos 2a baC +=Q 1cos sin sin 22sin C A BA ++\=化简得sin cos sin A C B = ()B A C p =-+Qsin cos sin()A C A C \=+即cos sin 0A C =sin 0C ≠Qcos 0A ∴=即0A = 90ABC ∴V 是直角三角形 故选A 【点睛】本题考查了平方化倍角公式和正弦定理的边化角公式，在化简2cos22C a b a+=时，将边化为角，使边角混杂变统一，还有三角形内角和定理的运用，这一点往往容易忽略．8．C解析：C 【解析】 【分析】根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得sin A ，进而利用二倍角余弦公式得到结果. 【详解】∵()cos 4cos a B c b A =-． ∴sin A cos B ＝4sin C cos A ﹣sin B cos A 即sin A cos B +sin B cos A ＝4cos A sin C ∴sin C ＝4cos A sin C ∵0＜C ＜π，sin C ≠0． ∴1＝4cos A ，即cos A 14=， 那么27cos2218A cos A =-=-． 故选C 【点睛】本题考查了正弦定理及二倍角余弦公式的灵活运用，考查计算能力，属于基础题．9．A解析：A 【解析】 【分析】利用数列递推式求出前几项，可得数列{}n a 是以4为周期的周期数列，即可得出答案. 【详解】1112,0321521,12n n n n n a a a a a a +⎧≤<⎪⎪==⎨⎪-≤<⎪⎩Q ， 211215a a =-=，32225a a ==，43425a a ==，5413215a a a =-==∴数列{}n a 是以4为周期的周期数列，则201845042215a a a ⨯+===. 故选A . 【点睛】本题考查数列的递推公式和周期数列的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.10．B解析：B 【解析】 【分析】作出不等式对应的可行域，当目标函数过点A 时，z 取最小值，即min 12z =-，可求得k 的值，当目标函数过点B 时，z 取最大值，即可求出答案. 【详解】作出不等式对应的可行域，如下图阴影部分，目标函数可化为2y x z =-+， 联立20x y y k+=⎧⎨=⎩，可得()2,A k k -，当目标函数过点A 时，z 取最小值，则()2212k k ⨯-+=-，解得4k =，联立0x y y k-=⎧⎨=⎩，可得(),B k k ，即()4,4B ，当目标函数过点B 时，z 取最大值，max 24412z =⨯+=.故选：B.【点睛】本题考查线性规划，考查学生的计算求解能力，利用数形结合方法是解决本题的关键，属于基础题.11．A解析：A 【解析】分析：由已知条件构造基本不等式模型()()224x y x y +=+++-即可得出.详解：,x y Q 均为正实数，且111226x y +=++，则116122x y ⎛⎫+= ⎪++⎝⎭(2)(2)4x y x y ∴+=+++-116()[(2)(2)]422x y x y =++++-++ 22226(2)46(22)4202222y x y x x y x y ++++=++-≥+⋅-=++++ 当且仅当10x y ==时取等号.x y ∴+的最小值为20. 故选A.点睛：本题考查了基本不等式的性质，“一正、二定、三相等”.12．C解析：C 【解析】 【分析】根据新运算的定义, ()x a -()x a +22x x a a =-++-,即求221x x a a -++-<恒成立,整理后利用判别式求出a 范围即可【详解】Q A()1B A B =-∴()x a -()x a +()()()()22=11x a x a x a x a x x a a --+=--+-=-++-⎡⎤⎣⎦Q ()x a -()1x a +<对于任意的实数x ∈R 恒成立,221x x a a ∴-++-<,即2210x x a a -++--<恒成立,()()2214110a a ∴∆=-⨯-⨯--<,1322a ∴-<<故选：C 【点睛】本题考查新定义运算,考查一元二次不等式中的恒成立问题, 当x ∈R 时,利用判别式是解题关键二、填空题13．4【解析】【分析】设f （x ）x2﹣3x+4其函数图象是抛物线画两条与x 轴平行的直线y ＝a 和y ＝b 如果两直线与抛物线有两个交点得到解集应该是两个区间；此不等式的解集为一个区间所以两直线与抛物线不可能有解析：4【解析】【分析】设f（x）3 4=x2﹣3x+4，其函数图象是抛物线，画两条与x轴平行的直线y＝a和y＝b，如果两直线与抛物线有两个交点，得到解集应该是两个区间；此不等式的解集为一个区间，所以两直线与抛物线不可能有两个交点，所以直线y＝a应该与抛物线只有一个或没有交点，所以a小于或等于抛物线的最小值且a与b所对应的函数值相等且都等于b，利用f （b）＝b求出b的值，由抛物线的对称轴求出a的值，从而求出结果．【详解】解：画出函数f（x）＝34x2﹣3x+4＝34（x－2）2＋1的图象，如图，可得f（x）min＝f（2）＝1，由图象可知，若a>1，则不等式a≤34x2－3x＋4≤b的解集分两段区域，不符合已知条件，因此a≤1，此时a≤x2－3x＋4恒成立．又不等式a≤34x2－3x＋4≤b的解集为[a，b]，所以a≤1<b，f（a）＝f（b）＝b，可得2233443344a a bb b b⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩由34b2－3b＋4＝b，化为3b2－16b＋16＝0，解得b＝43或b＝4.当b＝43时，由34a2－3a＋4－43＝0，解得a＝43或a＝83，不符合题意，舍去，所以b＝4，此时a＝0，所以b－a＝4.故答案为：4【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，解题时应灵活应用函数的思想解决实际问题，是中档题．14．【解析】由约束条件作出可行域如图联立解得化目标函数得由图可知当直线过点时直线在y 轴上的截距最小有最小值为故答案为点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值属简单题求目标函数最值的一般步骤 解析：4-【解析】由约束条件12,20,20,x y x y x y +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩作出可行域如图，联立12 {20x y x y +=-=，解得()84A ，，化目标函数z y x =-，得y x z =+，由图可知，当直线y x z =+过点()84A ，时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为4-，故答案为4-. 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15．【解析】【分析】由数列的前项和为得时得出;验证时是否满足即可【详解】当时当时又所以故答案为:【点睛】本题考查了由数列的前项和公式推导通项公式的计算问题;解题时需验证时是否满足是基础题解析：12n n a -=【解析】【分析】由数列{}n a 的前n 项和为23n n S =-，得2n >时1123n n S --=-,，得出1n n n a S S -=-;验证1n =时11a S =是否满足n a 即可.【详解】当1n =时,11211a S ==-=,当2n ≥时,()11121212n n n n n n a S S ---=-=---=,又1121-=,所以12n n a -=.故答案为:12n n a -=. 【点睛】本题考查了由数列{}n a 的前n 项和公式n S 推导通项公式n a 的计算问题;解题时，需验证1n =时11a S =是否满足n a ，是基础题.16．【解析】由题设可知即由正弦定理可得所以当时故填解析：3 【解析】 由题设可知()sin 3sin sin 3sin cos cos sin cos 13cos C B C B C B C C B=⇒=+-，即sin 3sin C A =，由正弦定理可得3c a =，所以224421441384222a S a a a ⎛⎫-=-=-+- ⎪⎝⎭，当242a a =⇒=时， 4max 1284432S =-+⨯-=，故填3. 17．【解析】【分析】根据正弦定理得到再根据计算得到答案【详解】由正弦定理知：即即故故答案为【点睛】本题考查了正弦定理外接圆面积意在考查学生的计算能力解析：9π【解析】【分析】根据正弦定理得到()1sin sin A B C R +==，再根据22cos C =计算1sin 3C =得到答案. 【详解】由正弦定理知：cos cos 2sin cos 2sin cos 2b A a B R B A R A B +=⋅⋅+⋅=， 即()1sin sin A B C R +==，22cos 3C =，1sin 3C =， 即3R =.故29S R ππ==.故答案为9π【点睛】本题考查了正弦定理，外接圆面积，意在考查学生的计算能力.18．3+22【解析】【分析】由已知可得a-1+b=1从而有2a-1+1b=(2a-1+1b)(a-1+b)展开后利用基本不等式即可求解【详解】由题意因为a>1b>2满足a+b=2所以a-1+b=1且a-解析：【解析】【分析】由已知可得，从而有，展开后利用基本不等式，即可求解.【详解】由题意，因为满足，所以，且， 则， 当且仅当且，即时取得最小值.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题的应用，其中解答中根据题意配凑基本不等式的使用条件，合理利用基本不等式求得最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 19．9【解析】【分析】记函数利用等比数列求和公式即可求解【详解】由题：记函数即故答案为：9【点睛】此题考查多项式系数之和问题常用赋值法整体代入求解体现出转化与化归思想解析：9【解析】【分析】记函数122012()(1)(1)(1)n n n f x x x x a a x a x a x =++++++=++++L L ，012222(1)2n n f a a a a =+++=++++L L ，利用等比数列求和公式即可求解.【详解】由题：记函数212012()(1)(1)(1)n n n f x a a x a x a x x x x =++++=++++++L L ，021222(12)(21)212n nn f a a a a -=++++++=-=+L L ， 即1221022n +-=，121024,9n n +==故答案为：9【点睛】 此题考查多项式系数之和问题，常用赋值法整体代入求解，体现出转化与化归思想. 20．【解析】当且仅当时取等号点睛：在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等式中正(即条件要求中字母为正数)定(不等式的另一边必须为定值)等(等号取得的条件)的条件才能应用否则会出现解析：8【解析】12124412(2)()448b a b a a b a b a b a b a b a b+=∴+=++=++≥+⋅=Q ，当且仅当2b a = 时取等号.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.三、解答题21．(1)见解析(2) (,20)-∞【解析】分析：（1）利用1434n n S S +-=推出134n n a a +=是常数，然后已知2134a a =，即可证明数列{}n a 是等比数列；（2）利用错位相减法求出数列{}n na 的前n 项和为n T n ，化简不等式31604nn a T n⎛⎫+⋅-< ⎪⎝⎭，通过对任意的*n N ∈恒成立，求实数a 的取值范围． 详解：(1) Q 已知*1434,n n S S n N +-=∈, ∴ 2n ≥时, 143 4.n n S S --=相减得1430n n a a +-=. 又易知0,n a ≠134n n a a +∴=. 又由*1434,n n S S n N +-=∈得()121434,a a a +-= 22133,44a a a ∴=∴=. 故数列{}n a 是等比数列.(2)由(1)知1133144n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 01133312444n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L , 123333124444n n T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L . 相减得213113333341344444414nn n n n T n n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=++++-⨯=-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-L , 331616444n nn T n ⎛⎫⎛⎫∴=-⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴不等式31604n n a T n ⎛⎫+⨯-< ⎪⎝⎭为33316164160444n n n a n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯+⨯-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.化简得2416n n a +>.设()2416f n n n =+, *n N ∈Q ()()120min f n f ∴==.故所求实数a 的取值范围是(),20-∞.点睛：本题考查等比数列的判断，数列通项公式与前n 项和的求法，恒成立问题的应用，考查计算能力．22．（1）6π；（2）. 【解析】【分析】（1）由正弦定理化简已知三角等式，根据sin 0B ≠可得tan A =，即可求出角A ；（2）由（1）可得tan 6B =，利用2sin 1A =及正弦定理将分式化简，再利用余弦定理化简分式得()1tan 2A B -+，最后利用正切和角公式代入tan A ，tan B ，可求出结果. 【详解】（1）∵sin sin cos 0A B b A -=，由正弦定理得：sin sin 2sin cos 0A B R B A -=，即)sin cos 0B A A -=， ∵()0,B π∈，∴sin 0B ≠，cos A A =，tan 3A =， ∵()0,A π∈，∴6A π∠=.（2）由（1）知：tan A =，tan B =，1sin 2A =， ∴2sin 1A =， ∴sin 2sin sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin b C Ab C a b B c C Aa b B c C=+-+- 222sin ab Ca b c =+- 由余弦定理得：()sin sin 11tan tan 2sin 2sin 2cos 22b C C C A B a b Bc C C ===-++-1tan tan 21tan tan A B A B +=-⨯=- 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查学生数形结合、转化与化归以及运算求解能力，解决此类问题的关键是灵活运用正、余弦定理进行边角的互化，属于中等题.23．：（1）1cos 3A =（2）3{2b c ==或23b c =⎧⎨=⎩ 【解析】：（1）由3cos()16cos cos B C B C --=得3(cos cos sin sin )1B C B C -=- 即1cos()3B C +=-从而cos A 1cos()3B C =-+=（2）由于0,A π<<1cos 3A =，所以sin A =又ABC S =V 1sin 2bc A =6bc =由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得2213b c += 解方程组2213{6b c bc +==，得3{2b c ==或23b c =⎧⎨=⎩24．(1)证明解析,(2)2 【解析】【分析】（1）由正弦定理面积公式得：211sin tan 26S bc A b A ==，再将sin tan cos A A A =代入即可.（2）因为1c =，a =3b cosA =.代入余弦定理2222cos a b c bc A =+-得22cos 3A =，cos 3A =tan 2A ⇒=，b =⇒16622S =⨯⨯=. 【详解】 （1）由211sin tan 26S bc A b A ==，得3sin tan c A b A = 因为sin tan cos A A A =，所以sin 3sin cos b A c A A=， 又0A π<<，所以sin 0A ≠，因此3cos b c A =.（2）由（1）得3b ccosA =.因为1c =，a =3b cosA =.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得：2229cos 16cos A A =+-,解得：22cos 3A =.因为3b cosA =，所以cos 0A >，cos A =.tan 2A ⇒=，b .211tan 66622S b A ==⨯⨯=. 【点睛】本题第一问主要考查正弦定理中的面积公式和边角互化，第二问考查了余弦定理的公式应用，属于中档题.25．（1）3B π=；（2）⎤⎥⎣⎦. 【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和正弦定理以及两角和与差的正弦公式进行化简，求解出cos B 的值后即可求出B 的值；（2）根据余弦定理先求解出b 的取值范围，然后根据sin sin c B C b =求解sin C 的取值范围. 【详解】（1）已知得2(1cos )12cos 2A a B c b ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭， 由正弦定理得sin sin cos sin sin cos A A B C B A -=-，即sin sin sin()sin()A C A B A B =+-=++sin()2sin cos A B A B -=， ∴1cos 2B =，解得3B π=． （2）由余弦定理得222222cos 636(3)27b a c ac B a a a =+-=-+=-+，∵[2,6]a ∈，∴b ∈，sin sin c B C b ⎤=∈⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查解三角形的综合应用，难度一般.（1）解三角形的边角化简过程中要注意隐含条件A B C π++=的使用；（2）求解正弦值的范围时，如果余弦值的范围容易确定也可以从余弦值方面入手，若余弦值不容易考虑则可以通过正弦定理将问题转化为求解边与角的正弦的比值范围.26．（1）6π=ϕ,076x π=（2）1a = 【解析】试题分析：（1）根据图象可得()01f =，从而求得ϕ得值，再根据()02f x =，可得022,62x k k Z πππ+=+∈，结合图象可得0x 的值；（2）根据（1）的结论及()2f C =-，可得C 的值，将sin B = 2sin A 根据正弦定理角化边得2b a =，再根据余弦定理即可解得a 的值.试题解析：（1）由图象可以知道：()01f =. ∴1sin 2ϕ=又∵2πϕ<∴6πϕ=∵()02f x = ∴0sin 216x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，022,62x k k Z πππ+=+∈, 从而0,6x k k Z ππ=+∈. 由图象可以知道1k =, 所以076x π= （2）由()2f C =-,得sin 216C π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,且()0,C π∈. ∴23C π= ∵sin 2sin B A =∴由正弦定理得2b a =又∵由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得：2227422cos ,3a a a a π=+-⨯ ∴解得1a =。

2021-2022学年重庆市高一上学期期末数学试题一、单选题 1．780︒=（ ） A ．116πB ．136πC ．113πD ．133π【答案】D【分析】根据给定条件利用角度与弧度互化关系直接转化计算作答. 【详解】因1180π=，所以137********3ππ︒=⨯=. 故选：D2．命题“0x ∃>，21x <”的否定是（ ） A ．0x ∃>，21x ≥ B ．0x ∀<，21x ≥ C ．0x ∀>，21x ≥ D ．0x ∃<，21x <【答案】C【分析】根据给定条件利用含有一个量词的命题的否定方法写出结论作答. 【详解】命题“0x ∃>，21x <”是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 命题“0x ∃>，21x <”的否定是0x ∀>，21x ≥. 故选：C3．已知集合()(){}230A x x x =-+<，(){}2log 11B x x =-<，则A B =（ ） A ．()1,2 B ．()1,3C ．()3,2-D ．()3,3-【答案】A【分析】解一元二次不等式化简集合A ，解对数不等式化简集合B ，再用交集的定义直接计算作答.【详解】解不等式()()230x x -+<得：32x -<<，则有(3,2)A =-， 解不等式()2log 11x -<得：012x <-<，即13x <<，则有(1,3)B =， 所以(1,2)A B ⋂=. 故选：A4．“0x >且0y >”是“x y +≥的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用充分条件、必要条件的定义即得.【详解】由0x >且0y >，可得x y +≥由x y +≥0x =，0y ≥，即由x y +≥0x >且0y >.故“0x >且0y >”是“x y +≥的充分不必要条件. 故选：A.5．已知函数()22,12,1x x ax a x f x x ⎧-+-≤=⎨>⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞B ．[]1,3C ．[)3,+∞D ．(][),13,-∞⋃+∞【答案】B【分析】由题可得21122a a a ≥⎧⎨-+-≤⎩，解之即得.【详解】∵()22,12,1x x ax a x f x x ⎧-+-≤=⎨>⎩在R 上单调递增，∴21122a a a ≥⎧⎨-+-≤⎩，解得13a ≤≤.故选：B.6．已知0.32=a ，0.43b =，0.2log 0.3c =，则（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．b a c >>【答案】D【分析】比较大小，可先与常见的常数0,1进行比较，然后根据函数的单调性进行比较大小【详解】0.20.2log 0.3log 0.21c =<=0.321a =>0.431b =>则有：,a c b c >>0.30.30.4233a =<<故有：b a c >> 故选：D7．已知1sin()33πα-=，则sin(2)6πα-=（ ）A ．79-B ．19-C ．19D ．79【答案】D【分析】利用诱导公式变形，再借助二倍角的余弦公式计算作答.【详解】依题意，1cos()cos[()]sin()62333ππππααα+=+-=--=-，所以27sin(2)sin[(2)]cos 2()[2cos ()1]632669πππππαααα-=+-=-+=-+-=.故选：D8．中国早在八千多年前就有了玉器，古人视玉为宝，玉佩不再是简单的装饰，而有着表达身份、感情、风度以及语言交流的作用.不同形状、不同图案的玉佩又代表不同的寓意.如图1所示的扇形玉佩，其形状具体说来应该是扇形的一部分（如图2），经测量知4AB CD ==，3BC =，7AD =，则该玉佩的面积为（ ）A ．49936πB ．49933πC ．496πD ．493π【答案】A【分析】延长AB 、DC ，交于点O ，如图，根据相似三角形的性质求出3BO =，7AO =，进而得出OAD △为等边三角形，利用扇形的面积和三角形的面积公式即可求出结果.【详解】延长AB 、DC ，交于点O ，如图，由//BC AD ， 得OBC OAD ，所以BC BOAD AO=，又43AB CD BC ===，，7AD =, 所以374BO BO BO AB BO ==++，解得3BO =，所以7AO =， 所以OAD △为等边三角形，则3AOB π∠=，故22114972236S r παπ==⨯⨯=扇形，11393sin 33232BOCSOB OC π=⨯⨯=⨯⨯=所以玉佩的面积为49936π故选：A二、多选题 9．函数3sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象是由函数sin y x =的图象经过变换得到，则这个变换可以是（ ）A ．先将图象向左平移34π个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍 B ．先将图象向右平移54π个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍 C ．先将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍，再将图象向左平移38π个单位 D ．先将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将图象向左平移34π个单位【答案】ABC【分析】利用三角函数图象变换逐项判断即得. 【详解】对于A ，先将图象向左平移34π个单位得到函数3sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍得到函数3sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故A 正确； 对于B ，先将图象向右平移54π个单位函数53sin sin 44y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍得到函数3sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，故B 正确； 对于C ，先将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍得到函数sin 2y x =的图象，再将图象向左平移38π个单位得到函数3sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故C 正确；对于D ，先将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍得到函数1sin 2y x =的图象，再将图象向左平移34π个单位得到函数13sin 28y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故D 错误.故选：ABC.10．已知全集为U ，A ，B 是U 的非空子集且UA B ⊆，则下列关系一定正确的是（ ）A ．x U ∃∈，x A ∉且xB ∈ B ．x A ∀∈，x B ∉C ．x U ∀∈，x A ∈或x B ∈D ．x U ∃∈，x A ∈且x B ∈【答案】AB【分析】根据给定条件画出韦恩图，再借助韦恩图逐一分析各选项判断作答. 【详解】全集为U ，A ，B 是U 的非空子集且UA B ⊆，则A ，B ，U 的关系用韦恩图表示如图，观察图形知，x U ∃∈，x A ∉且x B ∈，A 正确； 因A B =∅，必有x A ∀∈，x B ∉，B 正确； 若AUB ，则()()U U A B ⋂≠∅，此时x U ∃∈，[()()]U U x A B ∈⋂，即x A ∉且x B ∉，C 不正确；因A B =∅，则不存在x U ∈满足x A ∈且x B ∈，D 不正确. 故选：AB11．下列说法正确的是（ ） A ．若0a b >>，则22ln ln c a c b > B ．若0x >，则44x x+≥ C ．不等式2232x x-≥的解集为)3,⎡+∞⎣ D ．若2a b +=，则224a b +≥【答案】BD【分析】根据0c 判断选项A 的不等式即可； 根据基本不等式的应用判断选项B 、D ；根据分式不等式和一元二次不等式的解法解出不等式，即可判断选项C. 【详解】A ：当0c 时，不等式不成立，故A 错误； B ：当0x >时，444x x x x +≥⨯=，当且仅当2x =时等号成立，故B 正确； C ：由题意知，0x ≠且20x >，不等式24222322303x x x x x-≥⇒--≥⇒≥或21x ≤-(舍去)， 解得3x ≥3x ≤-C 错误；D ：由2020a b >>，得2222=22=4a b a b a b ++≥⨯， 当且仅当2=2a b 即1a b ==时等号成立，故D 正确. 故选：BD12．已知α，β是一锐角三角形的内角，则下列不等关系一定正确的是（ ）A ．1sin sin 2αβ<B ．1cos cos 2αβ≤C ．sin sin 1αβ+>D ．cos cos 2αβ+<【答案】BD【分析】令3παβ==可判断A ；由2παβ>-及110sin 222β<≤cos cos sin cos αβββ<可判断B ；由sin sin cos sin 2cos 4παββββ⎛⎫+>+=+ ⎪⎝⎭，可判断C ；由cos cos sin cos 2sin 4παββββ⎛⎫+<+=+ ⎪⎝⎭，可判断D.【详解】因为α，β是一锐角三角形的内角，所以0,2παβ<<，令3παβ==，所以31sin sin sinsin3342ππαβ==>，故A 错误； 可得2παβ+>，2παβ>-，022ππβ<-<，因为022βπ<<，所以0sin 21β<≤， 110sin 222β<≤，11cos cos sin cos sin 222αββββ<=≤，故B 正确；sin sin cos sin 2cos 4παββββ⎛⎫+>+=+ ⎪⎝⎭，由02βπ<<得3444πππβ<+<，所以12cos 14πβ⎛⎫-<+< ⎪⎝⎭，故C 错误；cos cos sin cos 2sin 4παββββ⎛⎫+<+=+ ⎪⎝⎭，因为12sin 24πβ⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：BD. 三、填空题13．已知幂函数()f x 的图象如图所示，则()f x =______．（写出一个正确结果即可）【答案】2x -（答案不唯一）【分析】根据给定图象可得幂函数的性质，再结合性质写出函数式即可作答. 【详解】由幂函数图象知，函数()f x 的定义域是(,0)(0,)-∞+∞，且在(0,)+∞单调递减，于是得幂函数的幂指数为负数，而函数()f x 的图象关于y 轴对称，即幂函数()f x 是偶函数，则幂函数()f x 的幂指数为偶数，综上得：2()f x x -=. 故答案为：2x -14．将函数()f x 的图象先向左平移一个单位、再向上平移一个单位得到函数()g x 的图象，若()g x 为奇函数，则()()02f f +=______． 【答案】-2【分析】根据题意可得知()f x 与()g x 之间的关系式，然后利用函数的奇函数性质，计算可得答案.【详解】由函数()f x 的图象先向左平移一个单位、再向上平移一个单位得到函数()g x 的图象，可得：()(1)1g x f x =++ ， 故()(1)1f x g x =--，所以()()02(1)1(1)1(1)(1)22f f g g g g +=--+-=-+-=-, 故答案为：-2.15．已知0x >，0y >，24xy x y =++，则x y +的最小值为______． 【答案】4【分析】先利用基本不等式实现积与和的转化，而后解一元二次不等式即可.【详解】解：由题知0,0,x y >>由基本不等式得22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即2422x y x y +⎛⎫++≤⨯ ⎪⎝⎭， 令t x y =+，0t >，则有2422t t ⎛⎫+≤⨯ ⎪⎝⎭，整理得2280t t --≥，解得2t ≤-(舍去)或4t ≥，即4x y +≥，当且仅当2x y ==时等号成立， 所以x y +的最小值为4. 故答案为：4.16．设{},? ,max ,,? .a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩函数(){}1max 2,42xf x x -=--，若关于x 的方程()f x t=有三个不相等的实数解，则实数t 的取值范围是______． 【答案】24t <<【分析】根据函数新定义求出函数()f x 解析式，画出函数()f x 的图象，利用转化的思想将方程的根转化为函数图象的交点，根据数形结合的思想即可得出t 的范围.【详解】由题意知，令1242xx-=--，解得20x x x ==，，根据{}max a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，，，，得121220()4202x x x f x x x x x x--⎧≤⎪=--<<⎨⎪≥⎩，，，， 作出函数()f x 的图象如图所示，由方程()0f x t -=有3个不等的根，得函数()y f x =图象与直线y t =有3个不同的交点，由图象可得，当24t <<时函数()y f x =图象与直线y t =有3个不同的交点， 所以t 的取值范围为24t <<. 故答案为：24t << 四、解答题17．（1）求值：223log 34138log 27log 2427⎛⎫⋅+⋅ ⎪⎝⎭； （2）已知角α的终边经过点()2,3P ，求()3cos sin sin 22παπαα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的值．【答案】(1)52；(2)2113.【分析】(1)根据给定条件利用指数、对数运算法则，对数换底公式计算作答.(2)利用三角函数的定义求出tan α，再结合诱导公式、二倍角的正弦公式化简计算作答. 【详解】(1)22223log 3log 3322334121223log 3812log 27log 2()4[()](2)27log 2log 33-⋅+⋅=⋅+⋅2223log 314532log 392=⨯+⨯=-. (2)因角α的终边经过点()2,3P ，则由三角函数的定义得：3tan 2α=， 所以()2223sin 2sin cos cos()sin sin 2sin (sin )2sin cos 2sin cos αααπαπαααααααα+-++=--+=+222233()2tan 2tan 21223tan 113()12ααα+⨯+===++. 18．已知函数()2sin cos f x x x x =． (1)求()f x 的单调递增区间； (2)求不等式()12f x >在()0,π上的解集． 【答案】(1)2[,](Z)63k k k ππππ++∈； (2)511,1212ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【分析】(1)利用二倍角的正弦、余弦公式及辅助角公式化简函数()f x 即可求解；(2)由题可得sin(2)06x π+<，再利用正弦函数性质即可求解.(1)∵()2sin cos f x x x x =∴11()(1cos2)2sin(2)226f x x x x π=-=-+， 由3222,Z 262k x k k πππππ+≤+≤+∈，得2,Z 63k x k k ππππ+≤≤+∈， 即()f x 在2[,](Z)63k k k ππππ++∈上单调递增， 所以函数()f x 单调递增区间是2[,](Z)63k k k ππππ++∈； (2) 由()12f x >得，11sin(2)262x π-+>，即sin(2)06x π+<，又()0,x π∈，()132,666x πππ+∈，∴()2,26x πππ+∈，即511,1212x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴不等式()12f x >在()0,π上的解集为511,1212ππ⎛⎫⎪⎝⎭. 19．已知函数()()10af x x x x=++>． (1)若()f x 的最小值为5，求正实数a 的值；(2)求证：“()f x 在()2,+∞上单调递增”的充要条件是“4a ≤”． 【答案】(1)a =4； (2)证明见解析.【分析】(1)利用基本不等式求出()f x 的最小值为1，令其值为5，解方程即可； (2)先证充分性，再证必要性；对a 的取值分类讨论，利用复合函数和对勾函数的单调性分别讨论函数()f x 的单调性即可. (1)因为00x a >>，，所以()111a f x x x =++≥=，当且仅当ax x=即x =所以15=，解得4a =； (2)先证充分性：若4a ≤， 当0a <时，()1af x x x=++， 因为y x =在(2)+∞，上单调递增，ay x=在(2)+∞，上单调递增， 所以()f x 在(2)+∞，上单调递增. 当0a =时，()1f x x =+，显然()f x 在(2)+∞，上单调递增. 当04a <≤时，()1af x x x=++由对勾函数的性质可知函数()f x 在)+∞上单调递增，由04a <≤，得02<，所以()f x 在(2)+∞，上单调递增. 再证必要性：若()f x 在(2)+∞，上单调递增， 当0a <时，()1af x x x=++， 因为y x =在(2)+∞，上单调递增，ay x=在(2)+∞，上单调递增， 所以()f x 在(2)+∞，上单调递增，所以0a <符合题意. 当0a =时，()1f x x =+，显然()f x 在(2)+∞，上单调递增，所以0a =符合题意. 当0a >时，()1af x x x=++由对勾函数的性质可知函数()f x 在)+∞上单调递增，2，得04a <≤， 综上所述，a 的取值范围为4a ≤.所以“()f x 在(2)+∞，上单调递增”的充要条件是“4a ≤”.20．已知0a >且1a ≠，函数()()2log a f x x x a =-+的定义域为R ．(1)求a 的取值范围；(2)讨论关于x 的不等式()1log a f x x >+的解集．【答案】(1)1(,1)(1,)4⋃+∞； (2)分类求解，答案见解析.【分析】(1)利用对数函数定域可得20x x a -+>恒成立，再用判别式列式计算作答.(2)由(1)的结论结合对数函数单调性分类讨论，求解关于x 的一元二次不等式作答.(1)因函数()()2log a f x x x a =-+的定义域为R ，则R x ∀∈，20x x a -+>成立，即有：140a ∆=-<，解得14a >，又0a >且1a ≠，因此，114a <<或1a >， 所以a 的取值范围是1(,1)(1,)4⋃+∞. (2)由(1)知，114a <<或1a >，不等式2()1log log ()log a a a f x x x x a ax >+⇔-+>， 当114a <<时，函数log a y x =在(0,)+∞上单调递减，于是得20x x a ax <-+<，即(1)()0x x a --<，解得1<<a x ，当1a >时，函数log a y x =在(0,)+∞上单调递增，于是得20x x a ax -+>>，即(1)()0x x a -->，且0x >，解得01x <<或x a >，所以，当114a <<时，原不等式的解集为(,1)a ， 当1a >时，原不等式的解集为()()0,1,a ∞⋃+.21．如图有一块半径为4，圆心角为2π的扇形铁皮AOB ，P 是圆弧AB 上一点（不包括A ，B ），点M ，N 分别半径OA ，OB 上．(1)若四边形PMON 为矩形，求其面积最大值；(2)若PBN 和PMA △均为直角三角形，求它们面积之和的取值范围．【答案】(1)8； (2)[828,8)-.【分析】(1)连接OP ，令(0)2AOP πθθ∠=<<，用θ表示出矩形PMON 的面积，再借助三角函数计算作答.(2)利用(1)中信息，用θ表示出PBN 和PMA △的面积和，再换元变形结合二次函数性质计算作答.(1)连接OP ，如图，令(0)2AOP πθθ∠=<<，因四边形PMON 为矩形，则cos 4cos ,sin 4sin OM OP PM OP θθθθ====， 于是得矩形PMON 的面积4cos 4sin 8sin 2PMON S OM PM θθθ=⋅=⋅=，而02θπ<<， 则当22=πθ，即4πθ=时，sin 2θ取最大值1，即有max ()8PMON S =，所以矩形PMON 面积最大值为8.(2)由(1)知，4cos ,4sin PN OM ON PM θθ====，则44sin BN θ=-，44cos AM θ=-，Rt PBN 和Rt PMA △的面积和：11114cos (44sin )4sin (44cos )2222PBN PMA S SS PN BN PM AM θθθθ=+=⋅+⋅=⨯⨯-+⨯⨯- 8(sin cos )16sin cos θθθθ=+-，令sin cos t θθ+=，即2)4t πθ=+，而3444πππθ<+<，则12t < 22222sin cos (sin cos )(sin cos )1t θθθθθθ=+-+=-， 则2221()88(1)8888()102S f t t t t t t ==--=-++=--+，显然()f t 在2]上单调递减， 当2t ，即4πθ=时，min ()(2)828f t f ==，而(1)8f =，因此，8288S ≤<，所以Rt PBN 和Rt PMA △的面积和的取值范围是：[828,8).【点睛】思路点睛：涉及图形上的点变化引起的线段长度、图形面积等问题，若点的运动与某角的变化相关，可以设此角为自变量，借助三角函数解决.22．已知函数()29f x x ax a =-+-，a R ∈．(1)若()f x 在[]0,1上的值域为[]4,6，求a 的值；(2)若关于x 的不等式()0f x <只有一个正整数解，求a 的取值范围．【答案】(1)3a =． (2)13932⎛⎤ ⎥⎝⎦，． 【分析】（1）二次函数()29f x x ax a =-+-的对称轴2a x =，讨论02a <， >12a ，012a ≤≤，分析二次函数的单调性，最值，建立方程组，求解即可；（2）将问题等价于2+9>+1x a x 只有一个正整数解，令()2+9+1x g x x =，利用基本不等式求得最小值，并得出取等号的条件，由此可得答案.(1)解：因为函数()29f x x ax a =-+-，a R ∈，对称轴2a x =，且()09f a =-，()1102f a =-，21924a f a a ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭， 当02a <时，函数()f x 在0,1上单调递增，所以 ()()0416f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即941026a a -=⎧⎨-=⎩，此时无解； 当>12a 时，函数()f x 在0,1上单调递减，所以 ()()0614f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即961024a a -=⎧⎨-=⎩，解得3a =； 当012a ≤≤，即02a ≤≤时，函数()f x 在2a x =取得最小值，所以42a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即21944a a --+=，方程在02a ≤≤上无解， 综上得：3a =；(2)解：关于x 的不等式()0f x <只有一个正整数解，等价于2+9>+1x a x 只有一个正整数解，令()2+9+1x g x x =，则()()2+910+1+222+1+1g x x x x x ==-≥=，当且仅当10+1+1x x =，即1x =，()2+9+1x g x x =在(1⎤-⎦上递减，在)1,+∞递增，而213<<，()21+9151+1g ==，()29g =，()2+913222+13g ==，()2+999133,5>>3+12233g ==，当a 13932⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，不等式只有一个正整数解2x =， 所以a 的取值范围为13932⎛⎤ ⎥⎝⎦，．。

重庆一中高2021级高三10月月考数学试题〔理科〕第一卷〔选择题共50分〕一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分。

在每题给出的四个备选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的。

1．函数 f(x) sinxcosx的是A．周期为的奇函数B．周期为的偶函数C．周期为 2 的奇函数D．周期为 2 的偶函数2．函数f(x)11)的大概图像是(常数alog a x3．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是CC1、C1D1的中点，那么异面直线EF 与BD所成的角的大小为A．75oB．60oC．45oD．30o4．以下命题中正确的选项是．底面是矩形的平行六面体是长方体；B．棱长都相等的直四棱柱是正方体；C．侧棱垂直于底面两条边的平行六面体是直平行六面体；D．对角线相等的平行六面体是直平行六面体；5．两个正数a,b的等差中项是5，等比中项是x2y24，且a>b，那么椭圆1的离心率ea b等于A ．513 2 2B ．C ．D ．2226．函数ysin(2x ) 的图像按向量a( ,3)平移后的图像的一此中心对称点为36A ．(,0) B ．(,3)C ．(,0)D ．(,3)33227．设地球的半径为R ，赤道上两地A 、B 间的球面距离为R ，假设北半球的C 地与A 、2B 两地的球面距离均为R ，那么C 地的纬度为3A ．北纬45oB ．北纬60oC ．北纬30oD ．北纬75o8．有以下四个命题：①“直线a b 〞的充足不用要条件是 “a 垂直于b 在平面 内的射影〞。

②“OM ∥O 1M 1且ON ∥O 1N 1〞是“∠MON=∠M 1O 1N 1〞的必需不充足条件。

③“直线l 平面 〞的充要条件是“直线l 平面 内的无数条直线〞。

④“平面的斜线段AB ，AC 在 的射影A ′B 与′A ′C 相′等〞是“AB=AC 〞的充要条件。

此中正确命题的个数是A ．3B ．2C ．1D ．09．为O 原点，点P(x,y)在单位圆x 2y 2 1上,点Q(2cos,2sin)知足PQ(4, 2)，3 3那么OPOQ2516C ．525A ．B ．16D ．18253610∥平面， 直线l,且P l,平面、平面间的距离为5，那么在 内．平面到点P 的距离为13且到直线l 的距离为5 2的点的轨迹是A ．四个点B ．两条直线C ．双曲线的一支D ．一个圆第二卷〔非选择题共100分〕二、填空题：本大题共 6小题，每题 4分，共24分。

2021届重庆市第一中学高三上学期期中考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数()sin cos f x x x =的最小正周期等于（ ）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π2.已知向量(1,2)a =，(,2)b x =-，且a b ⊥，则||a b +=（ ）A ．5BC ．D 3.已知x ，y 均为非负实数，且满足1,42,x y x y +≤⎧⎨+≤⎩则2z x y =+的最大值为（ ） A ．1 B ．12 C ．53 D ．24.《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺?该问题的答案为（ ）A ．829尺B ．1629尺C ．3229尺D ．12尺 5.设函数()2sin(2)6f x x π=+，将()f x 图象上每个点的横坐标缩短为原来的一半之后成为函数()y g x =，则()g x 图象的一条对称轴方程为（ ）A ．24x π=B ．512x π=C ．2x π=D ．12x π= 6.已知函数()x x f x e ae-=+为偶函数，若曲线()y f x =的一条切线的斜率为32，则切点的横坐标等于（ ）A ．ln 2B ．2ln 2C ．2 D7.若“1,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得2210x x λ-+<成立”是假命题，则实数λ的取值范围为（ ）A ．(,-∞B ．⎡⎤⎣⎦C ．⎡⎤-⎣⎦D ．=3λ8.若函数()f x x λ=-+在[]1,1-上有两个不同的零点，则λ的取值范围为（ ）A ．B ．(C ．(1]-D ．[1,1]-9.设椭圆2211612x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，且满足129PF PF ⋅=，则12||||PF PF ⋅的值为（ ）A ．8B ．10C ．12D ．1510.已知函数21()1214x x f x =+++满足条件(log 1))1a f =，其中1a >，则(log 1))a f -=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 11.已知(0,)2x π∈，则函数()sin tan cos cot f x x x x x =+的值域为（ ）A ．[1,2)B ．)+∞C ．D ．[1,)+∞12.设A ，B 在圆221x y +=上运动，且||AB =点P 在直线34120x y +-=上运动，则||PA PB +的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．175D ．195第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.点(1,3)P 关于直线220x y +-=的对称点为Q ，则点Q 的坐标为 ．14.已知(,)2παπ∈，且sin α=，则tan(2)4πα+= ．15.设正实数1x y +=，则22x y +的取值范围为 ．16.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足条件2221b c a bc +-==，1cos cos 8B C =-，则△ABC 的周长为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知等比数列{}n a 单调递增，记数列{}n a 的前n 项之和为n S ，且满足条件26a =，326S =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n n b a n =-，求数列{}n b 的前n 项之和n T ．18.根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如图．（1）已知[30,40)、[40,50)，[50,60)三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求a ，b 的值；（2）该电子商务平台将年龄在[30,50)之间的人群定义为高消费人群，其他的年龄段定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放80元的代金券．已经采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取了10人，现在要在这10人中随机抽取3人进行回访，求此三人获得代金券总和X 的分布列与数学期望．19.已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的菱形，且3BAD π∠=，1AA ⊥平面ABCD ，11AA =，设E 为CD 的中点．（1）求证：1D E ⊥平面1BEC ；（2）点F 在线段11A B 上，且//AF 平面1BEC ，求平面ADF 和平面1BEC 所成锐角的余弦值．20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22，椭圆C 和抛物线2y x =交于M ，N 两点，且直线MN 恰好通过椭圆C 的右焦点。

2021届重庆一中高三上学期开学数学（理科）试题一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1． cosxdx=（）A．1 B．0 C．﹣1 D．22．已知集合M={x|x2﹣3＞0}，N={n|1≤2n≤13且n∈Z}，则N∩M=（）A．{2，3} B．{3} C．[0，）D．[2，+∞）3．已知函数f（x）=e|x﹣1|在区间[a，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（）A．a≥1 B．a≤1 C．a≤﹣1 D．a≥﹣14．已知f（x）=x3+x﹣4，则函数f（x）的零点位于区间（）内．A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）5．若f（x）=1﹣2x，g[f（x）]=2x+x，则g（﹣1）的值为（）A．1 B．3 C．﹣ D．66．△ABC的内角A、B、C所对的边是a、b、c．若b=a•cosC+c•sinA，则内角A=（）A．30° B．45° C．60° D．90°7．下列说法中错误的是（）A．“|x|＞1”是“x＞1”的必要不充分条件．B．若命题p：∀x∈R，2x＜3．则￢p：∃x∈R，2x≥3．C．若p∧q为假命题，则p∨q也为假命题．D．命题“若x+y≠5，则x≠2或y≠3”是真命题8．某正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）的正视图和俯视图如图所示．若它的体积为2，则它的侧视图面积为（）A．2 B．3 C．2 D．49．sin（﹣10°）cos160°﹣sin80°sin=（）A．﹣B．C．﹣ D．10．在区间（0，1）内随机抽取两个数x和y，恰好满足y≥2x的概率是（）A．B．C．D．11．在直角坐标系中，A、B分别是x轴和y轴上的动点，若以线段AB为直径的圆C与直线x+y﹣4=0相切，则圆C面积的最小值为（）A．4πB．2πC．πD．π12．已知函数，若对任意三个实数a、b、c，均存在一个以f（a）、f（b）、f （c）为三边之长的三角形，则k的取值范围是（）A．﹣2＜k＜4 B．C．﹣2＜k≤1 D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知2a=5b=，则+= ．14．已知角α的终边落在直线y=﹣2x上，则sin2α= ．15．△ABC的内角为A、B、C，其中A=，cosC=，BC=．点D是边AC的中点，则中线BD的长为．16．定义在R上的函数f（x）满足下列三个条件：（1）f（x﹣2）+f（﹣x）=0；（2）f（2﹣x）=f（x）；（3）在（﹣1，1]上的表达式为f（x）=．已知函数g（x）=，则方程f（x）=g（x）在区间[﹣5，3]内共有个解．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知f（x）=（x﹣a）2+4ln（x+1）的图象在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直．（1）求实数a的值；（2）求出f（x）的所有极值．18．我国政府对PM 2.5采用如表标准：PM 2.5日均值m（微克/立方米）空气质量等级m＜35 一级35≤m≤75 二级m＞75 超标某市环保局从一年365天的市区PM 2.5监测数据中，随机抽取10天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．（1）用样本数据来估计全年大概有多少天空气质量超标？（2）求样本数据的中位数；（3）从样本数据中任取2天的数据，记ξ为这2天里空气质量达到一级的天数，求ξ的分布列和期望．19．如图（1）所示，在边长为12的正方形AA′A A1中，点B、C在线段AA′上，点B1、C1在线段A1A1′上，且有CC1∥BB1∥AA1，AB=3，BC=4．连结对角线AA1′，分别交BB1和CC1于点P和点Q．现将该正方形沿BB1和CC1折叠，使得A′A1′与AA1重合，构成如图（2）所示的三棱柱ABC﹣A1B1C1，连结AQ．（1）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，求证：AP⊥BC；（2）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，求直线A1Q与面APQ所成角的正弦值．20．已知椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点B恰好是抛物线x2=4y的焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C交于M，N两点，那么椭圆C的右焦点F是否可以成为△BMN的垂心？若可以，求出直线l的方程；若不可以，请说明理由．（注：垂心是三角形三条高线的交点）21．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（a∈R），函数g（x）=ln（e x﹣1）﹣lnx．（1）求出f（x）的单调区间；（2）若x∈（0，+∞）时，不等式f（g（x））＜f（x）恒成立，求实数a的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题作答。

2021届重庆市第一中学高三上学期第一次月考（9月）数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】集合是某些实数组成的数集，集合是平面的点集，因此，故选D．【点睛】集合的问题中确定集合的元素是解决问题的基础，本题中集合是数集，集合是点集，两者当然没有公共元素，交集为空集．易犯错误：联立方程组，解得，得．2. 函数图像的一个对称中心可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】把各点横坐标代入，只有，因此是图象的一个对称中心，故选D．【点睛】正弦函数的对称中心为（），对称轴为（）．解决正弦型函数的问题是把作为一个整体，与中的等同．3. 下列函数为奇函数的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由奇函数的定义，只有当时，，故选B．4. 已知，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知得，所以．故选A．5. 下列说法正确的是（）A. “”是“函数是奇函数”的充要条件B. 若为假命题，则为假命题C. 已知角的终边均在第一象限，则“”是“”的充分不必要条件D. “若，则”是真命题【答案】D【解析】满足，但不是奇函数，A错；为假命题，只要中有一个为假即可，当一真一假时满足为假命题，但为真命题，B错；由于（），因此与之间没有任何关系，C错；因此时，，因此“若，则”是真命题，D正确．故选D．6. 设，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，且，所以，故选B．7. 若是方程的根，则所在的区间为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设，由于，，即，故选C．8. 若函数在区间内有极小值，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，由题意在区间上有零点，又，在上是增函数，所以，解得，故选C．9. 已知函数是偶函数，则在上是减函数的一个值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知为偶函数，，即，故排队，当，时，，递减，当，时，，递增，故选A．10. 函数的部分图像如图所示，若将图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），在向右平移得到的图像，则的解析式为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意，，则，又，而，所以，即，所以，即，故选B．【点睛】已知三角函数图象求函数解析式，主要依据是“五点法”，要掌握正弦函数图象的“五点”：，这五点间可以得出函数的周期、振幅、相位．11. 给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作，在此基础上给出下列关于函数的四个命题：①函数的定义域为，值域为；②函数在上是增函数；③函数是周期函数，最小正周期为；④函数的图像关于直线对称，其中正确命题的个数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】的定义域要求真数大于0，则要，因此定义域为，①错误；当时，且，，当时，且，，显然的图象是由的图象向右平移1个单位而得，一般地当时，且，，于是可画出的图象，由图象知②、③、④正确． ... ... ... ... ... ... ...12. 记函数在点处的切线为，若直线在轴上的截距恒小于，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，切线方程为，令得截距为，由题意对，恒成立，即，令，则，∵，∴，①若，即时，，所以当时，，即在上单调递增，所以恒成立，所以满足题意；②若，即时，，即在上单调递减，所以，所以不满足题意；③若即时，，则的关系如下表：－0 +递减极小值递增所以，所以不满足题意．综合①②③，可得当时，，此时切线在轴上的截距恒小于．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知角的终边经过点，且，则__________．【答案】【解析】由题意，解得．14. 若，且，则__________．【答案】【解析】∵，∴，∴，∴．【点睛】三角函数求值中，要注意“角”的变换，而不是随便应用两角和与差的正弦余弦公式变形，象本题，观察出“已知角”与“待求角”之间的差为，因此可用诱导公式求解，从而减少运算．15. 学校艺术节对同一类的四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:甲说：“作品获得一等奖”；乙说：“作品获得一等奖”丙说：“两项作品未获得一等奖”丁说：“是或作品获得一等奖”若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 __________．【答案】C【解析】若是一等奖，则甲丙丁都对，不合题意；若是一等奖，则甲乙丁都错，不合题意；若是一等奖，则乙丙正确，甲丁错，符合题意；若是一等奖，则甲乙丙错，不合题意，故一等奖是．16. 设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为__________．【答案】【解析】设，则，由题意，所以在上是增函数，所以由得，即，所以．【点睛】已知条件中含有导数函数与的关系式时，可构造新函数，新函数的导数可利用已知不等式确定正负，从而确定单调性，这类新函数一般有，，，等等．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知二次函数满足以下要求：①函数的值域为；②对恒成立.（1）求函数的解析式；（2）设，求时的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）已知条件提供了二次函数的对称轴与最小值，因此二次函数解析式可配方为顶点式，从而列出关于的方程组，从而解得，得解析式；（2）是分式函数，由于分母是一次的，分母是二次的，可用换元法设，转化后易得函数的单调性，从而得值域．试题解析：（1）又对称轴为值域为且，则函数（2）令，则所求值域为.18. 已知函数，若对恒成立，且（1）求的解析式和单调递增区间；（2）当时，求的值域；【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由已知得出函数图象的一条对称轴是，结合正弦函数的图象的对称性可求得值，再由正弦函数的单调性与复合函数的单调性可得单调增区间；（2）由，求得，把作为一个整体利用正弦函数性质可得的值域．试题解析：（1）由，可知为函数的对称轴，则，由，可知或又由，可知，则验证或，则，所以由得：递增区间：（2）当则所以，值域为：【点睛】函数满足或，则直线是其图象的对称轴．19. 已知函数（1）若函数存在与轴垂直的切线，求的取值范围；（2）若恰有一个零点，求的取值集合；【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）存在与轴垂直的切线，说明存在导数值为0的点，即在上有解，由此可得的范围；（2）求出导数，由导数的知识求得有唯一最大值，结合函数的单调性知，只有当最大值时，函数才有唯一零点．试题解析：（1）的定义域为在上有解得：所以，的取值范围为（2），令，得当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，故①当，即时，因最大值点唯一，故符合题设；②当，即时，恒成立，不合题设；③当，即时，一方面，；另一方面，（易证：），于是，有两零点，不合题设，综上，的取值集合为20. 如图，直线与椭圆交于两点，与轴交于点，为弦的中点，直线分别与直线和直线交于两点.（1）求直线的斜率和直线的斜率之积；（2）分别记和的面积为，是否存在正数，使得若存在，求出的取值；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）存在满足题意.【解析】试题分析：（1）设，由点差法可推出，由两直线相交可求得交点坐标，从而得，计算即可；（2）是直线的交点，由两直线方程联立可解得各点坐标，求得，再由求得值即可，若不能求得，则说明不存在．试题解析：（1）设，由点差法可推出：在联立可接出所以，（2）假设这样的存在，联立，在（1）问中已解得，所以；在中令得；在联立所以；由当时，点坐标为，经检验在椭圆内，即直线与椭圆相交，所以存在满足题意.21. 已知函数，其中，且（1）当时，求函数的单调区间；（2）设，若存在极大值，且对于的一切可能取值，的极大值均小于，求的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）【解析】试题分析：（1）计算出导数，由不等式得增区间，由得减区间，注意要按的正负分类讨论，的正负对定义域有影响；（2）求出导数，因此必须有，才能有两个不等实根，的两实根为，，极大值为，由求根公式得，令（作为的函数），同理由导数知识得在上单调递减，从而，由可得的范围．试题解析：（1）时，，故当时，，由，得得因此的单调递增区间为：，单调递减区间为：当时，，由得，由得因此单调递增区间为，单调递减区间为（2）由题，显然，设的两根为，则当或时，，当时，，故极大只可能是，且，知，又，故，且，从而令，则，故在单减，从而，因此，解得请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程直角坐标系中曲线的参数方程（为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，点的极坐标，在平面直角坐标系中，直线经过点，倾斜角为（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的参数方程；（2）设直线与曲线相交于两点，求的值.【答案】（1）（为参数）；（2）．【解析】试题分析：（1）利用同角关系及二倍角公式消去参数可得的直角坐标方程，把的极坐标化为直角坐标，由直线的标准参数方程可得直线参数方程；（2）把直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，可得，利用参数的几何意义，有，代入计算可得．试题解析：（1）曲线的直角坐标方程点的极坐标为，化为直角坐标为，直线的参数方程为，即（为参数）（2）将的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得：，显然有，则，所以23. 选修4-5：不等式选讲已知函数（1）求不等式的解集；（2）若函数的最小值为，正数满足，求证：【答案】（1）或；（2）见解析．【解析】试题分析：（1）解这个绝对值不等式，可按绝对值的定义去掉绝对值符号，化绝对值不等式为一元一次不等式，从而求得解．（2）利用绝对值三角不等式可求得的最小值为，求和后，再得用基本不等式可证题中结论．试题解析：（1）当时，得当时，得无解当时，得所以，不等式的解集为或；（2），即又由均值不等式有：两式相加得。

2020-2021学年重庆秀山县第一中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 将四名大学生全部分配到、、三个单位，则单位恰好分得名大学生的概率是（A）；（B）；（C）；（D）参考答案：B略2. 设b，c表示两条直线，表示两个平面，则下列命题正确的是A.若B.若C.若D.若参考答案：DA中，与也有可能异面；B中也有可能；C中不一定垂直平面；D中根据面面垂直的判定定理可知正确，选D.3. 函数的部分图象如图，设是图象的最高点，是图象与轴的交点，则（A）（B）（C）（D）参考答案：B因为函数的平移不改编图象的大小，所以将图图象向右平移个单位，此时函数为，A点平移到O点，因为函数的周期,此时,,,所以,，所以，所以，即，选B.4. 已知cos（α+）＝，，则sin2α＝（）A．﹣B．C．﹣D．参考答案：D，选D.5. 某连队身高符合建国60周年国庆阅兵标准的士兵共有45人，其中18岁～21岁的士兵有15人，22岁～25岁的士兵有20人，26岁～29岁的士兵有10人，若该连队有9个参加国庆阅兵的名额，如果按年龄分层选派士兵，那么，该连队年龄在26岁～29岁的士兵参加国庆阅兵的人数为（）A．5 B．4 C．3 D．2参考答案：D考点：分层抽样方法．专题：计算题．分析：先求出每个个体被抽到的概率，用该层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数．解答：解：每个个体被抽到的概率等于=，该连队年龄在26岁～29岁的士兵参加国庆阅兵的人数为10×=2，故选D．点评：本题主要考查分层抽样的定义和方法，用该层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，属于基础题．6. 一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔的南偏西距塔68海里的处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的处，则这只船航行的速度为（）A.海里/小时B. 海里/小时C. 海里/小时D. 海里/小时参考答案：A7. 已知函数f（x）=（2﹣x）e x﹣ax﹣a，若不等式f（x）＞0恰有两个正整数解，则a的取值范围是（）A．[﹣e3，0）B．[﹣e，0）C．[﹣e3，）D．[﹣e3，2）参考答案：A 【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】利用构造的新函数g（x）和h（x），求导数g′（x），从而可得a的范围．【解答】解：令g（x）=（2﹣x）e x，h（x）=ax+a，由题意知，存在2个正整数，使g（x）在直线h（x）的上方，∵g′（x）=（1﹣x）e x，∴当x＞1时，g′（x）＜0，当x＜1时，g′（x）＞0，∴g（x）max=g（1）=e，且g（0）=2，g（2）=0，g（3）=﹣e3，直线h（x）恒过点（﹣1，0），且斜率为a，由题意可知，，故实数a的取值范围是[﹣e3，0），故选A．【点评】本题考查导数的综合应用，及数形结合思想的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．8. 如果命题“”为假命题，则（）A、中至多有一个为假命题B、均为假命题C、均为真命题D、中恰有一个为真命题参考答案：B9. 在中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若，则的值是（）(A) (B) (C) (D)参考答案：C10. 函数的图象大致是（）A．B．C．D．参考答案：D函数的图象．【分析】先判断函数的奇偶性，再判断当﹣1＜x＜1时，得到y＞0，即可判断．【解答】解：y=f（﹣x）===f（x），且定义域为{x|x≠±1}∴f（x）为偶函数，当﹣1＜x＜1时，cosx＞0，ln|x|＜0，∴y＞0，故选：D【点评】本题考查了函数的图象的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数值的变化趋势，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知向量满足，，.若对每一确定的，的最大值和最小值分别是，则对任意，的最小值是_____________.参考答案：略12. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为实数，a≠0）的图象过点C（t，2），且与x轴交于A，B两点，若AC⊥BC，则a的值为．参考答案：﹣【考点】二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】设A（x1，0），B（x2，0），由题意可得t2+bt+c=2，由AC⊥BC，可得=（x1﹣t，﹣2）?（x2﹣t，﹣2）=0，代入根据方程的根与系数关系可求a【解答】解：设A（x1，0），B（x2，0）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过点C（t，2），∴at2+bt+c=2∵AC⊥BC，∴=（x1﹣t，﹣2）?（x2﹣t，﹣2）=0∴∴即at2+bt+c+4a=0∴4a+2=0∴故答案为：﹣【点评】本题主要考查了利用二次函数的性质求解函数中的参数，解题中注意整体思想的应用．13. 已知向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是.参考答案：14. 如图所示，y=f （x ）是可导函数，直线l ：y=kx+3是曲线y=f （x ）在x=1处的切线，若h （x ）=xf （x ），则h （x ）在x=1处的切线方程为 ．参考答案：x ﹣y+1=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由切点以及导数的关系可得f′（1）=﹣1，f （1）=2，由乘积的导数求导函数，代值计算可得h （x ）在x=1处的切线斜率，求出h （1），由点斜式方程即可得到所求切线的方程． 【解答】解：∵直线l ：y=kx+3是曲线y=f （x ）在x=1处的切线， ∴点（1，2）为切点，故f′（1）=k ，f （1）=k+3=2， 解得k=﹣1，故f′（1）=﹣1，f （1）=2，由h （x ）=xf （x ）可得h′（x ）=f （x ）+xf′（x ）， ∴h′（1）=f （1）+f′（1）=1，h （1）=f （1）=2， 则h （x ）在x=1处的切线方程为y ﹣2=x ﹣1，即为x ﹣y+1=0．故答案为：x ﹣y+1=0．15. 已知点在曲线上，曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为 。

重庆一中2021届高三上学期第一次月考数 学 试 题 卷（理科）【试卷综析】这套试题大体符合高考温习的特点,稳中有变,变中求新,适当调整了试卷难度,表现了稳中求进的精神.,重视学科基础知识和大体技术的考察,同时偏重考察了学生的学习方式和思维能力的考察,有相当一部份的题目灵活新颖,知识点综合与迁移.以它的知识性、思辨性、灵活性,基础性充分表现了考素养,考基础,考方式,考潜能的检测功能.一. 选择题: 本大题共10小题，每题5分，共50分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.【题文】1. 已知复数z 知足(1)i i z +=, 那么z =( )A. 1122i +B. 1122i -C. 1122i -+D. 1122i --【知识点】复数代数形式的乘除运算．L4【答案解析】A 解析：由(1)i i z +=，得．应选：A ．【思路点拨】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求值． 【题文】2. 设0.53a =,3log 2b =, 0.5log 3c =, 那么（ ）A. c b a <<B. c a b <<C. a b c <<D. b c a <<【知识点】对数值大小的比较．B7【答案解析】A 解析：∵a=30.5＞1，0＜b=log32＜1，c=log0.53＜0， ∴三个数字的大小依照三个数字的范围取得c ＜b ＜a ，应选A ．【思路点拨】依照指数函数和对数函数的性质，取得三个数字与0，1之间的大小关系，利用两个中间数字取得结果．【题文】3. 函数22x xye(03x) 的值域是（ ）A. 3(,1)eB. 3[,1)eC.3(,]e e D. (1,]e【知识点】指数函数的概念、解析式、概念域和值域．菁优B6 【答案解析】C 解析：∵函数v==，当0≤x＜3时，﹣3＜﹣（x ﹣1）2+1≤1，∴e ﹣3＜≤e1，即e ﹣3＜v≤e；∴函数v 的值域是（e ﹣3，e]．应选：C ． 【思路点拨】先求出03x时﹣x2+2x 的取值范围，再依照指数函数的单调性求出值域.【题文】4. 把ln(1)yx 的图像的纵坐标不变，横坐标伸长为原先的三倍，再向右移动一个单位，取得的函数解析式是（ ）A. ln 3y xB.ln3xy C.2ln3x yD. ln(32)yx【知识点】函数的图象与图象转变．B9【答案解析】C 解析：把y=ln （x+1）的图象的纵坐标不变，横坐标伸长为原先的三倍，取得函数y=ln （），再向右移动一个单位，取得y=ln （）=ln，应选：C【思路点拨】依照函数图象之间的转变关系即可取得结论． 【题文】5. 函数2ln 25f x x x 的零点个数为（ ）A. 1B. 2C. 0D. 3【知识点】函数零点的判定定理．菁B9【答案解析】A 解析：函数f （x ）的概念域为（0，+∞），且函数f （x ）单调递增， ∵f （1）=2ln1+2﹣5=﹣3＜0，f （3）=2ln3+1＞0， ∴在（1，3）内函数存在唯一的一个零点，故函数f （x ）=2lnx+2x ﹣5的零点个数为1个，应选：A【思路点拨】依照函数f （x ）的单调性和函数零点的判定条件即可取得结论．【题文】6．假设概念在实数集R 上的偶函数)(x f 知足0)(>x f , )(1)2(x f x f =+, 对任意R x ∈恒成立, 那么(2015)f （ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【知识点】函数奇偶性的性质．B4【答案解析】D 解析：∵f（x）＞0，f（x+2）=，∴f（x+4）==f（x），∴函数f（x）的周期是4．∴f（2021）=f（504×4﹣1）=f（﹣1），∵函数f（x）为偶函数，∴f（﹣1）=f（1），当x=﹣1时，f（﹣1+2）=f（1）==，∴f2（1）=1，即f（1）=1，∴f（2021）=f（1）=1．应选：D．【思路点拨】由f（x）＞0，f（x+2）=，对可得函数的周期是4，然后利用函数的奇偶性和周期性即可求值．【题文】7. 假设某程序框图如右图所示, 当输入50时, 那么该程序运算后输出的结果是( )A. 8B. 6C. 4D. 2【知识点】程序框图．L1【答案解析】B 解析：由程序框图知，n=50，S=0，i=1S=1，i=2，S＜n，继续执行循环；S=4，i=3，S＜n，继续执行循环；S=11，i=4，S＜n，继续执行循环；S=26，i=5，S＜n，继续执行循环；S=57，i=6，现在S＞n，退出循环，输出i的值为6；故答案为：B．【思路点拨】因为n=50，由程序框图写出每次循环S，i的值，判定当S≥n时，退出循环，即可求得输出i的值．【题文】8. 如下图, 医用输液瓶能够视为两个圆柱的组合体. 开始输液时, 滴管内匀速淌下液体(滴管内液体忽略不计), 设输液开始后x 分钟, 瓶内液面与进气管的距离为h 厘米, 已知当0x =时,13h =. 若是瓶内的药液恰好156分钟滴完. 那么函数()h f x =的图像为（ ）A. B. C. D. 【知识点】函数模型的选择与应用．B10【答案解析】A 解析：由题意知，每分钟淌下πcm3药液， 当4≤h≤13时，xπ=π•42•（13﹣h ），即h=13﹣，现在0≤x≤144；当1≤h＜4时，xπ=π•42•9+π•22•（4﹣h ），即，现在144＜x≤156．∴函数单调递减，且144＜x≤156时，递减速度变快． 应选：A ．【思路点拨】每分钟淌下πcm3药液，当液面高度离进气管4至13cm 时，x 分钟淌下液体的体积等于大圆柱的底面积乘以（13﹣h ），当液面高度离进气管1至4cm 时，x 分钟淌下液体的体积等于大圆柱的体积与小圆柱底面积乘以（4﹣h ）的和，由此即可取得瓶内液面与进气管的距离为h 与输液时刻x 的函数关系．【题文】9. 函数|1|,1()21,1xa x f x x, 假设关于x 的方程22()(25)()50f x af x a有五个不同的实数解, 那么a 的取值范围是（ ）A.55(2,)(,)22+∞ B.(2,) C.[2,) D. 55[2,)(,)22【知识点】根的存在性及根的个数判定；分段函数的应用．B9 B10 【答案解析】A 解析：由方程2f2（x ）﹣（2a+5）f （x ）+5a=0解得， f （x ）=或f （x ）=a ，那么x=1时，方程2f2（x ）﹣（2a+5）f （x ）+5a=0的一个解，那么2|x ﹣1|=﹣1与2|x ﹣1|=a ﹣1还要在（﹣∞，1）∪（1，+∞）上有四个不同的解， 那么a ﹣1=2|x ﹣1|＞1且a ﹣1≠﹣1，即a ＞2且a．应选A ．【思路点拨】先化简方程，从而简化问题，转化为2|x ﹣1|=﹣1与2|x ﹣1|=a ﹣1在（﹣∞，1）∪（1，+∞）上有四个不同的解．【题文】10. 假设概念域在[0,1]的函数()f x 知足： ① 关于任意12,[0,1]x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x ;②(0)0f ;③1()()32x f f x ;④(1)()1f x f x ,则19()()32014f f +=（ ） A.916 B ．1732 C ．174343 D ．5121007【知识点】函数的值．B1【答案解析】B 解析：∵f（1﹣x ）+f （x ）=﹣1，令x=0； ∴f（1）+f （0）=﹣1，又∵f（0）=0；∴f（1）=﹣1； 令x=可得，2f （）=﹣1，∴f（）=﹣； 在f （x ）中令x=1，那么f （）=f （1）=﹣，又∵关于任意x1，x2∈[0，1]，当x1＜x2时，都有f （x1）≥f（x2）； ∴在[，]上，f （x ）≡﹣． f （）=•f（）=f （）=（）3•f（）=（）4•f（），=﹣．故=﹣﹣=﹣；应选B ．【思路点拨】由题意给出的四个性质可推出在[，]上，f （x ）≡﹣；从而求出的值．二. 填空题: 本大题共6小题，考生作答5小题，每题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上。

重庆市第一中学2021届高三数学上学期期中试题 文（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答卷上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题意的）1.已知集合{}2|20A x x x =∈--≥Z ，则z C A =（ ） A. {0}B. {1}C. {0,1}D.{-1,0,1,2}【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次不等式解出集合A ，利用补集的运算即可求出z C A 。

【详解】由集合{}2|20A x x x =∈--≥Z ，解得：{}|21A x x x =∈≥≤-Z 或∴}{z 0,1C A =，故答案选C 。

【点睛】本题考查一元二次不等式的求解以及集合补集的运算，属于基础题。

2.若复数z 满足()112z i i +=+，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】将z 分离出来得到121iz i+=+，然后分子分母同乘以1i -，化简即可得到答案. 【详解】()112z i i +=+()()()()12133111222i i i z i i i +-+∴===++-，则复平面内对应的点31,22⎛⎫ ⎪⎝⎭位于第一象限.故选:A.【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及几何意义，属于基础题.3.等比数列{}n a 中，5a 、7a 是函数()243f x x x =-+的两个零点，则39a a ⋅等于( )A. 3-B. 3C. 4-D. 4【答案】B 【解析】分析：利用根与系数的关系求得573a a ⋅=，再由等比数列的性质得答案. 详解：57,a a 是函数()243f x x x =-+的两个零点，∴57,a a 是方程243x x -+=0的两个根， ∴573a a ⋅=，由等比数列的性质可得393a a ⋅=. 故选：B.点睛：本题考查等比数列的性质，是基础的计算题.4.已知向量()2,1a =，()2,sin 1b α=-，()2,cos c α=-，若()a b c +，则tan α的值为（） A. 2 B.12C. 12-D. -2【答案】D 【解析】 【分析】 由()a bc +表示出sin α与cos α基本关系，化简求解即可【详解】()4,sin a b α+=，()4cos 2sin tan 2a bc ααα+⇒=-⇒=-答案选D【点睛】本题考查向量平行的坐标表示法、三角函数的化简求值，需熟记向量平行的坐标表示法为：1221x y x y =或1122x y x y =5.“26m <<”是“方程22126x y m m-=--表示的曲线为双曲线”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】分别判断充分性和必要性，26m <<得到表示焦点在x 轴上的双曲线；表示双曲线，则(2)(6)0m m -->，计算判断得到答案.【详解】若26m <<，则20,60m m ->->，22126x y m m-=--表示焦点在x 轴上的双曲线，充分性；若22126x y m m-=--表示双曲线，则(2)(6)026m m m -->∴<<，必要性. 故选：C【点睛】本题考查了充分必要条件，意在考查学生的推断能力.6.过点(12)A ，的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ） A. 10x y -+=B. 30x y +-=C. 20x y -=或+30x y -=D. 20x y -=或10x y -+=【答案】D 【解析】 【分析】设直线方程为(1)2y k x =-+，计算截距得到2210k k--+=，计算得到答案.【详解】易知斜率不存在时不满足；设直线方程为(1)2y k x =-+，则截距和为：2210k k--+=解得1k =或2k = 故直线方程为：1y x =+和2y x = 故选：D【点睛】本题考查了直线方程，意在考查学生的计算能力. 7.已知()2145f x x x -=+-，则()1f x +=（ ）A. 287x x ++B. 26x x +C. 223x x +-D.2610x x +-【答案】A 【解析】 【分析】由已知中f （x ﹣1）=x 2+4x ﹣5，我们利用凑配法可以求出f （x ）的解析式，进而再由代入法可以求出f （x+1）的解析式。

重庆市第一中学2021届高三数学上学期10月考试试题 理数学试题共4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1. 设集合{}3,2,1=A ，{}034|22=+-=m mx x x B ，若{}1=B A ，则集合=B （ ） A. {}31， B. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧331， C. {}31-， D. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧311， 2. 函数x x f x+=2)(的零点所在的一个区间为（ ）A. )1,2(--B. )0,1(-C. )1,0(D. )2,1( 3. 已知向量)1,3(=a ，)3,5(2=+b a ，则=b （ ）A. 1B. 2C. 0D. 2 4. 中国古代数学名著《九章算术》中记载：今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？其意是：今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，他们共猎获五只鹿，欲按以上顺序依次递减相同的量来分配，问各得多少.若五只鹿的鹿肉共500斤，则不更、簪袅、上造这三人共分得鹿肉斤数为（ ） A. 200 B. 300 C.5003D. 400 5. 实数0.4353,log 18,log 50a b c ===的大小关系为（ ）A. c b a <<B. c a b <<C. b c a <<D. a b c <<6. 已知非零向量c b a ,,满足0c b a =++，b a ,的夹角为120，且a b 2=，则向量c a ,的数量积为（ ）A. 0B. 22a - C. 22a D. 2a - 7. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23a ，32a ，4a 成等差数列，则=33a S （ ） A.913 B. 3或913 C. 3 D. 97或913 8. 设ABC ∆的内角C B A ,,所对边分别为c b a ,,，已知)cos cos (21cos A b B a A c +=，ABC ∆的面积为3，62=+c b ，则ABC ∆的外接圆面积为（ ）A. π4B. π16C. π24D. π48 9. 在直角坐标系xOy 中，曲线22-+=x x y 与x 轴交于B A ,两点，点C 的坐标为(0,1)，则过C B A ,,三点的圆截y 轴所得的弦长为（ ）A. 3B. 2C.23D. 1 10. 如图，在所有棱长均为2的直三棱柱111C B A ABC -中，E D ,分别为 111,C A BB 的中点，则异面直线AD ，CE 所成角的余弦值为（ ） A.21 B. 23 C. 51 D. 5411. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个圆心在原点，半径为R 的水车，一个水斗从点()33,3A -出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设P 的坐标为(),x y ，其纵坐标满足()()sin y f t R t ωϕ==+(0,0,)2t πωϕ≥><.则下列叙述错误的是（ ）A. 6,,306R ππωϕ===-B. 当[]35,55t ∈时，点P 到x 轴的距离的最大值为6C. 当[]10,25t ∈时，函数()y f t =单调递减D. 当20t =时， 63PA =12. 已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于直线(0) x a a =>对称，且当x a ≥时，2()xa e f x e=. 过点(,0)P a 作曲线()y f x =的两条切线. 若这两条切线相互垂直，则函数()f x 的最小值为( )A ．12e- B ．1e - C ．32e-D ．2e -二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知圆锥的母线长为5，侧面积为π15，则该圆锥的体积为__________.14. 已知向量)3,21(sin --=θa ，)1,(cos θ=b ，)0,2(πθ-∈，且b a //，则=θcos ________.15. 设锐角ABC ∆的内角C B A ,,所对边分别为c b a ,,，且1=a ，A B 2=，则b 的取值范围为________.16. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ， 满足21=a ，),()(3R m N n a m n S n n ∈∈+=*，且1+=n b a n n . 若对任意n n T T N n -≤∈*2,λ恒成立，则实数λ的最大值为______．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出演算步骤或证明过程. （一）必考题：共60分 17．（12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21=a 且)(21*+∈=N n S S n n .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n S b 2log =，求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n b b 的前n 项和n T .18.（12分）如图，在ABC ∆中，3π=B ，2=BC .（1）若7=AC ,求AB 的长；（2）若AC 的垂直平分线DE 与AC AB ,分别交于E D ,两点，且26=DE ，求角A 的大小.19.（12分）某超市计划销售某种食品，现邀请甲、乙两个商家进场试销10天.两个商家向超市提供的日返利方案如下：甲商家每天固定返利60元，且每卖出一件食品商家再返利3元；乙商家无固定返利，卖出不超出30件(含30件)的食品，每件食品商家返利5元，超出30件的部分每件返利10元. 经统计，试销这10天两个商家每天的销量如下茎叶图（茎为十位数字，叶为个位数字）：（1）现从甲商家试销的10天中随机抽取两天，求这两天的销售量都小于30件的概率； （2）根据试销10天的数据，将频率视作概率，用样本估计总体，回答以下问题： ①记商家乙的日返利额为X (单位：元)，求X 的分布列和数学期望；②超市拟在甲、乙两个商家中选择一家长期销售，如果仅从日返利额的数学期望考虑，请利用所学的统计学知识为超市作出选择，并说明理由.20.（12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点分别为点21,F F ，左、右顶点分别为B A ,，长轴长为4，椭圆上任意一点P （不与B A ,重合）与B A ,连线的斜率乘积均为43-. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，过点1F 的直线1l 与椭圆C 交于N M ,两点，过点2F 的直线2l 与椭圆C 交于Q P ,两点，且21//l l ，试问：四边形MNPQ 可否为菱形？并请说明理由.21.（12分）已知函数()()()212ln f x ax a x x a R =+--∈．（1）若()f x 在1=x 处取极小值，求实数a 的取值范围；（2）若),(),,(),,(002211y x C y x B y x A 是函数()f x 图象上不同的三点，且1202x x x +=，试判断()0f x '与1212y y x x --之间的大小关系，并证明．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ()22sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设B A ,为曲线C 上不同两点（均不与O 重合），且满足4π=∠AOB ，求OAB ∆的最大面积.23. 选修4－5：不等式选讲已知c b a ,,为正实数.（1）求证：abc a c c b b a 8))()((≥+++；（2）求c b a a c c b b a z 222222log log log )(log )(log )(log ---+++++=的最小值.2021年重庆一中高2021级高三上期月考试题参考答案数 学（理）二、填空题.(每题5分,共20分) 13. π12 14. 8315+ 15. )3,2( 16.21 三、解答题.(共70分)17．解：（1）当1=n 时，22212=⇒=a S S当2≥n 时，12-=n n S S ……① n n S S 21=+……② ②—①得n n a a 21=+，因为122a a ≠故从第二项起，{}n a 为等比，12222--=⨯=n n n a a ，所以⎩⎨⎧≥==-2,21,21n n a n n（2）易知{}n S 是首项为2，公比为2的等比数列，故nn S 2=，则n S b n n ==2log ，故111)1(111+-=+=+n n n n b b n n 故11111113121211)1(1321211+=+-=+-+⋯+-+-=++⋯+⨯+⨯=n n n n n n n T n18.解：(1)在ABC ∆中，由余弦定理有B BC AB BC AB AC cos 2222⋅-+=，即0322=--AB AB ，解得3=AB（2）如图，连接CD ，由题设，有∠BDC ＝2A ，在BCD ∆中，由正弦定理有CD sin 60°＝BCsin 2A ＝2sin 2A ，故CD ＝3sin 2A .在直角DEC ∆中，DE ＝CD sin A ＝32cos A ＝62，所以cos A ＝22，而A ∈(0，π)，故A ＝π419.解：(1)记“抽取的两天销售量都小于30件”为事件A ，则31)(21026==C C A P .（2）①设乙商家的日销售量为a 件，则当a=28时，X=28×5=140；当a=29时，X=29×5=145；当a=30时，X=30×5=150；当a=31时，X=30×5+1×10=160.所以X 的所有可能取值为：140，145，150，160. 所以X 的分布列为X 140 145 150 160P101 51 51 21 所以E (X )=140×101+145×51+150×5+160×2=153②依题意，甲商家的日平均销售量为：28×0.2+29×0.4+30×0.2+31×0.2=29.4.所以甲商家的日平均返利额为：60+29.4×3=148.2元.由①得乙商家的日平均返利额为153元>148.2元，所以推荐该超市选择乙商家长期销售. 20.解：（1）由题意，2=a ，则)0,2(-A ，)0,2(B 。

2021年重庆市高三上册数学试卷与答案（一）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若点(),9a 在函数3x y =的图象上，则tan 6a π的值为（ ）A ．0B ．33C ．1D ．32．命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是（ ） A ．所有不能被2整除的数都是偶数 B ．所有能被2整除的数都不是偶数 C ．存在一个不能被2整除的数是偶数 D ．存在一个能被2整除的数不是偶数3．曲线21xy e=+在点()0,2处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为（ ）A ．1B ．12C ．23D ．134．设0.3212log 0.3,log 0.4,0.4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．c a b <<C ．a c b <<D ． b c a <<5．根据统计，一名工作组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为(),cx A xf x c x A A⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，（A ，c 为常数）．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是 A ．60，16 B ．75，16 C ．60，25 D ． 75，256．已知函数21(),()sin 4f x xg x x =+=，则图象为如图的函数可能是（ ）A ．1()()4y f x g x =+-B ．1()()4y f x g x =--C ．()()y f x g x =D ．()()g x y f x =7．设集合22{cos sin |,}M y y x x x R ==-∈，1{|2N x x i=-<，i 为虚数单位，x ∈R }，则M N ⋂为A ．（0，1）B ．(0，1]C ．[0，1)D ．[0，1]8．已知偶函数()f x 满足(3)(3)f x f x +=-，且当[0,3]x ∈时，()2xf x xe -=，若关于x 的不等式2()()0f x tf x ->在[150,150]-上有且只有150个整数解，则实数t 的取值范围是（ ）A ．120,e -⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1322,3e e --⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3123,2e e --⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．112,2e e --⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．） 9．下列结论中正确的是（ ）A ．若02πα<<，则sin tan αα<B ．若a 是第二象限角，则2a为第一象限或第三象限角C ．若角a 的终边过点P （3k ，4k ）(k ≠0），则4sin 5αD ．若扇形的周长为6，半径为2，则其中心角的大小为1弧度10．在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，并构成一般不动点的基石，它得名与荷兰教学家鲁伊兹⋅布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得00()f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ）A ．()2x f x x =+B ．2()3f x x x =-- C．()1f x = D ．2()log 1f x x =- 11．若4455x y x y ---<-，则（ ）A ．x y <B ．33y x --> C ．()lg 0y x -> D ．133yx-⎛⎫< ⎪⎝⎭12．已知函数f (x )=x e +x ，对于曲线y =f （x ）上横坐标成等差数列的三个点P ，Q ，R ，则（ ） A ．△PQR 一定是钝角三角形； B ．△PQR 可能是直角三角形； C ．△PQR 可能是等腰三角形 D ．△PQR 不可能是等腰三角形．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．函数y ＝log a (2x －3)＋8的图象恒过定点A ，且点A 在幂函数f (x )的图象上，则f （3）＝________.14．已知tan 2θ=，则sin cos(2)23cos sin()2πθπθπθπθ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭________． 15．写出一个定义域为R 值域为(]0,2的偶函数________．（答案不唯一）16．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数()(0)x f x e x =>的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是________．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）在△sin cos()6a C c A π=+，△2cos cos cos c A a B b A =+，△222b c a bc +=+，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题．问题：在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若已知6b =，ABC S ∆=_____，求a 的值． 18．（12分）已知等比数列{}n a 是递增数列，满足432a =，3580a a +=． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，若n b 为数列{}n c 的前n 项积，证明：111n nb c +=．19．（12分）如图，在平行四边形ABCD 中，60D ∠=︒，E 为CD 的中点，且AE CE =，现将平行四边形沿AE 折叠成四棱锥P ABCE -．（1）已知M 为AB 的中点，求证：AE PM ⊥；（2）若平面PAE ⊥平面ACBE ，求二面角B PE C --的余弦值． 20．（12分）公元1651年，法国学者德梅赫向数学家帕斯卡请教了一个问题：设两名赌徒约定谁先赢满4局，谁便赢得全部赌注a 元，已知每局甲赢的概率为(01)p p <<，乙赢的概率为1p -，且每局赌博相互独立，在甲赢了2局且乙赢了1局后，赌博意外终止，则赌注该怎么分才合理？帕斯卡先和费尔马讨论了这个问题，后来惠更斯也加入了讨论，这三位当时欧洲乃至全世界著名的数学家给出的分配赌注的方案是：如果出现无人先赢4局且赌博意外终止的情况，则甲、乙按照赌博再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比:P P 乙甲分配赌注． （1）若243a =，23p =，甲、乙赌博意外终止，则甲应分得多少元赌注？ （2）若45p，求赌博继续进行下去乙赢得全部赌注的概率()f p ，并判断“赌博继续进行下去乙赢得全部赌注”是否为小概率事件（发生概率小于0．05的随机事件称为小概率事件）．21．（12分）如图，椭圆2222:1(0)bx y a b a Γ+=>>的离心率为32，左焦点为F ，若椭圆上有一动点M ，△12MF F 面积最大值为3． （1）求椭圆Γ的标准方程； （2）设直线:(0,0)l y kx m k m =+<≠与椭圆Γ交于A ，B 两点，且线段AB 的中点P 恰好在抛物线218y x k=-上，过A ，B 点作直线433x =-的垂线，垂足分别为C ，D ，记ABF CDFSS λ∆∆=，求λ的取值范围．22．（12分）已知函数()(2)(1)2f x a x lnx =---． （1）若1a =-求()y f x =在1x =处的切线方程．（2）函数()f x 的图象上是否存在两点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，使得12012()()()()f x f x f x x x '-=-（其中1202x x x +=）成立？请说明理由．参考答案1．D 【详解】由题意知:9=3a ,解得a =2,所以2tan tan tan 663a πππ==故选D ． 2．D 【详解】命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是“存在一个能被2整除的数不是偶数”．故选D ． 3．A 【解析】2022xx y ey =''=⇒=，所以在点()0,2处的切线方程为22y x =+，它与y x=的交点为()2,2--，与0y =的交点为()1,0-，所以三角形面积为12112⨯⨯= 4．C 【详解】22log 0.3log 10<=，0a ∴<，122225log 0.4log 0.4log log 212=-=>=，1b ∴>，0.3000.40.41<<=，01c ∴<<，a c b ∴<<．故选：C ．5．A 【详解】由条件可知，x A ≥时所用时间为常数，所以组装第4件产品用时必然满足第一个分段函数，即(4)3060f c ==⇒=，()1516f A A ==⇒=，选A ． 6．D 【详解】对于A ，()()21sin 4y f x g x x x =+-=+，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A ；对于B ，()()21sin 4y f x g x x x =--=-，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B ；对于C ，()()21sin 4y f x g x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，则212sin cos 4y x x x x ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭，当4x π=时，2102164y ππ⎛⎫'=+> ⎪⎝⎭，与图象不符，排除C ．故选：D ． 7．C 【详解】22cos sin cos 2[0,1]y x x x =-=∈，所以[0,1]M =；因为1x i-<x i +()x i --<x ∈R ，所以11x -<<，即(1,1)N =-；所以[0,1)M N ⋂=，故选C ．8．当[0,3]x ∈时，-2()x f x xe =，22211122()x x xf x e e e x x ---⎛⎫-=- ⎪⎝⎭'=，当(2,3]x ∈时，()0f x '<，当[0,2)x ∈时，()0f x '>， 所以函数()f x 在(2,3]x ∈单调递减，在2(]0,x ∈单调递增，(0)0f =，32(3)30f e -=>，又(3)(3)f x f x +=-，函数()f x 关于3x =对称，且是偶函数，所以()()f x f x =-，所以(3)(3)(3)f x f x f x +=-=-，所以函数周期6T =，关于x 的不等式2()()0f x tf x ->在[150,150]-上有且只有150个整数解，即()f x t >在[150,150]-上有且只有150个整数解，所以每个周期内恰有三个整数解结合草图可得：1322,3t e e --⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：B.B 【详解】由于函数f （x ）=e x +x ，对于曲线y=f （x ）上横坐标成等差数列的三个点A ，B ，C ，且横坐标依次增大,由于此函数是一个单调递增的函数，故由A 到B 的变化率要小于由B 到C 的变化率．可得出角ABC 一定是钝角故△对，△错,由于由A 到B 的变化率要小于由B 到C 的变化率，由两点间距离公式可以得出AB ＜BC ，故三角形不可能是等腰三角形，由此得出△不对，△对．故选B9．ABD 【详解】解：对于A ，由三角函数的定义可知，sin ,tan y yr xαα==，其中22r x y =+，因为02πα<<，所以0,0x y >>，所以0r x >>，所以sin tan αα<，所以A正确；对于B ，由于a 是第二象限角，所以22,2k k k απ+π<<π+π∈Z ，所以,422k k k αππ+π<<+π∈Z ，当2()k n n Z 时，22,422n n n Z παπππ+<<+∈，则 2a为第一象限的角；当21()k n n Z =+∈时，5322,422n n n Z παπππ+<<+∈，则 2a 为第三象限的角，综上2a为第一象限或第三象限角，正确；对于C ，由于角a 的终边过点P （3k ，4k ）(k ≠0），所以2243sin 5(3)(4)k kk k k α==+，错误；对于D ，设扇形的圆心角为α，则由题意得2226α++=，得1α=，正确， 故选：ABD10．BCD 【详解】对于A ：0002xx x +=无解，所以A 不满足；对于B ：20003x x x --=，解得：03x =或01x =-，所以B 满足题意；对于C ：12001x x +=，解得：03502x ±=>，所以C 满足题意； 对于D ：200log 1x x -=，在同一直角坐标系下画出函数()f x 以及y x =的图像，可确定两个函数的图像有交点，即方程有解，所以D 满足题意；故选：BCD ． 11．AD 【详解】A ．设()45x x f x -=-，因为4455x y x y ---<-可化为4545x x y y ---<-，则()()f x f y <， 根据指数函数的性质，可得4x y =单调递增，5-=x y 单调递减，因此()45x x f x -=-在R 上单调递增，所以x y <，故正确；B ．由A 项得x y <，当2x =-，1y =-时，3(1)1--=-，31(2)8--=-，此时33y x --<，故错误；C ．由A 项得x y <，当1y =，0x =时，lg()0y x -=，故错误；D ．因为133xx y -⎛⎫== ⎪⎝⎭在R 上是减函数，由x y <，可得1133xy⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即133yx-⎛⎫< ⎪⎝⎭，故正确；故选：AD.12．AD 【详解】由于函数f （x ）=e x +x ，对于曲线y=f （x ）上横坐标成等差数列的三个点P ，Q ，R ，且横坐标依次增大,由于此函数是一个单调递增的函数，故由P 到Q 的变化率要小于由Q 到R 的变化率．可得出角PQR 一定是钝角故A 对，B 错,由于由P 到Q 的变化率要小于由P 到Q 的变化率，由两点间距离公式可以得出PQ ＜QR ，故三角形不可能是等腰三角形，由此得出C 不对，D 对．故选AD13．27【详解】由题意231x -=，2x =，则8y =，定点A 为(2,8)，设f (x )＝x α，则2α＝8，α＝3，△f (x )＝x 3，△f （3）＝33＝27.故答案为：2714．12-【详解】因为tan 2θ=，所以sin()cos(2)cos cos 1123sin sin tan 2cos()sin()2πθπθθθπθθθθπθ-+-+==-=------．故答案为：12-． 15．22()1f x x =+【详解】这样的函数可以为22()1f x x =+，验证：22=1()()f x x f x +-=，即函数()f x 为偶函数 当0x ≥时，容易得到函数22()1f x x =+为减函数，max ()(0)2f x f ==x →+∞时，()0f x →，结合奇偶性可得出()f x 的值域为(]0,2故答案为：22()1f x x =+ 16．max 11()2t e e =+【解析】设切点(,)a P a e ，因/()x f x e =，故切线的斜率a k e =，切线l 的方程为()a ay e e x a -=-，令0x =得(0,(1))a M e a -；过点(,)a P a e 与切线l 垂直的直线方程为()a a y e e x a --=--，令0x =得(0,)a a N e ae -+，则MN 中点的纵坐标为11()[(2)]22a a a a a a t e ae e ae a e ae --=-++=-+，因/11(2))(1)()22a a a a a a t a e e e ae a e e ---=--+-=-+，故当1a <时，0t '>，函数1[(2)]2a a t a e ae -=-+单调递增；故当1a >时，0t '<，函数1[(2)]2a a t a e ae -=-+单调递减，故当1a =时，函数11max 11[(21)]()22t e e e e --=-+=+，应填答案11()2e e -+．17．【解答】解：若选△：因为sin cos()6a C c A π=+，所以sin sin sin cos()6A C C A π=+，因为0C π<<，所以sin 0C ≠，所以1sin cos()sin 62A A A A π=+=-，即3sin 2A A，所以tan A 因为0A π<<，所以6A π=．所以1113sin 6222ABC S bc A c c ∆==⨯⨯==，所以c =所以222222cos 62612a b c bc A =+-=+-⨯⨯=，所以a =若选△：因为2cos cos cos c A a B b A =+，所以2sin cos sin cos sin cos C A A B B A =+， 所以2sin cos sin()sin()sin C A A B C C π=+=-=因为0C π<<，所以sin 0C ≠，所以1cos 2A =，因为0A π<<，所以3A π=，所以11333sin 6332222ABC S bc A c c ∆==⨯⨯==，所以2c =，所以2222212cos 62262282a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，所以27a =．若选△：因为222b c a bc +=+，所以222b c a bc +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，因为0A π<<，所以3A π=，所以11333sin 6332222ABC S bc A c c ∆==⨯⨯==，所以2c =，所以2222212cos 62262282a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，所以27a =．18．【解答】解；（1）设等比数列{}n a 的公比为(1)q q >，由432a =，得35323280a a q q+=+=．解得2q =或12q =（舍去）．所以41422n n n a a -+=⋅=．（2）证明：由2log 1n n b a n ==+，得112c b ==，当2n 时，121n c c c n ⋅=+△，121n c c c n -⋅=△，由△△得1(2)n n c n n+=，当1n =时，1221c ==满足上式，故1n n c n+=，∴111111n n n b c n n +=+=++． 19．【解答】（1）证明：取AE 的中点N ，连接PN ，MN ，BE ，AE CE DE ==，60D ∠=︒，ADE ∴∆为等边三角形，即PAE ∆为等边三角形， PN AE ∴⊥，设AE CE DE a ===，则3BE a =，2AB a =， 222AB AE BE ∴=+，即AE BE ⊥，M ，N 分别为AB ，AE 的中点，//MN BE ∴，AE MN ∴⊥， 又PN M N N =，PN 、MN ⊂平面PMN ，AE ∴⊥平面PMN ，PM ⊂平面PMN ，AE PM ∴⊥． （2）解：由（1）知，PN AE ⊥，平面PAE ⊥平面ACBE ，平面PAE ⋂平面ACBE AE =，PN ∴⊥平面ACBE ，以N 为原点，NE ，NM ，NP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则1(2B a ，3a ，0)，(0P ，0，3)2a ，1(2E a ，0，0)，(C a ，32a ，0)，∴1(2PE a =，0，3)2a -，1(2PB a =，3a ，3)2a -，(PC a =，32a ，3)2a -， 设平面PBE 的法向量为(m x =，y ，)z ，则00m PE m PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即13022133022ax az ax ay az ⎧-=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，令3x =，则0y =，1z =，∴(3m =，0，1)， 同理可得，平面PCE 的法向量为(3n =，1-，1)，cos m ∴<，31||||25m n n m n ⋅+>===⋅⨯，由图知，二面角B PE C --为锐角，故二面角B PE C --． 20．【解答】解：（1）设赌博再继续进行X 局且甲赢得全部赌注，则最后一局必然甲贏， 由题意知，最多再进行4局，甲、乙必然有人赢得全部赌注．当2X =时，甲以4:1赢，所以224(2)()39P X ===，当3X =时，甲以4:2赢，所以122228(3)(1)33327P X C ==⨯⨯-⨯=， 当4X =时，甲以4:3赢，所以1232224(4)(1)33327P X C ==⨯⨯-⨯=， 所以，甲赢的概率为4848927279P =++=．所以，甲应分得的赌注为82432169⨯=元．（2）设赌注继续进行Y 局乙赢得全部赌注，则最后一局必然乙赢，则Y 的可能取值有3,4， 当3Y =时，乙以4:2贏，3(3)(1)P Y p ==-，当4Y =时，乙以4:3贏，1333(4)(1)3(1)P Y C p p p p ==-=-， 所以，乙赢得全部赌注的概率为()333(1)3(1)(13)(1)f p p p p p p =-+-=+-，求导322()3(1)(13)3(1)(1)12(1)f p p p p p p '=+-+⋅--=--，因为415p <，所以()0f p '<，所以()f p 在4[,1)5上单调递减，于是max 4()()0.05562517f p f ==<．故是小概率事件．21．【解答】解：（1）由题意可得2221bc ca a ab ⎧=⎪⎪=⇒=⎨⎪+=⎪⎩，1b =，c =，所以22:14x y Γ+= （2）由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得222(41)8440k x kmx m +++-=，△22222(8)4(41)(44)16(41)0km k m k m =-+-=+->，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，0(P x ，0)y ，则122841kmx x k -+=+，21224441m x x k -=+．因为线段AB 的中点为P ，所以12024241x x kmx k +-==+，所以002244141km my kx m k m k k -=+=⨯+=++． 又点P 在抛物线218y x k =-上，所以22214()()41841m kmk k k -=-⨯++，所以0m =（舍去）或2241m k =+，由△2216(41)0k m =+->，2241m k =+可得(k ∈，设直线AB 与x 轴的交点为(E E x ，0)，211()||2ABF E F S x x y y ∆=--，211||2CDF S y y ∆=-，所以13)3[3)ABF CDF mS k S k λ∆∆-+=====++∈++∞． 22．【解答】解：（1）若1a =-，则()3(1)2f x x lnx =--，2()3f x x'=-，f （1）0=，f '（1）1=，()1y f x x ∴==处的切线方程为1y x =-，即10x y --=；（2）若12012()()()()f x f x f x x x '-=-成立，其中1202x x x +=，则曲线()y f x =在点0(x ，0())f x 处的切线的斜率等于直线MN 的斜率，不妨设120x x <<，12121212121212(2)()2()2()2MN y y a x x lnx lnx lnx lnx k a x x x x x x ------===-----，002()2f x a x '=--， 则12120122()24lnx lnx x x x x x --=-+，即11122121222(1)2()1x x x x x ln x x x x x --==++， 令12x t x =，则01t <<，上式化为2(1)4211t lnt t t -==-++，即4201lnt t +-=+， 令4()21h t lnt t =+-+，01t <<，则22(1)()0(1)t h t t t -'=>+，可得()h t 在(0,1)上单调递增，则()h t h <（1）0=，∴方程4201lnt t +-=+没有实数根，故12012()()()()f x f x f x x x '-=-不成立，其中1202x x x +=．。

重庆市第一中学2021届高三数学下学期期中试题 理第I 卷（选择题)一、选择题：（本大题 12个小题，每小题5分，共60分,每小题有且只有一个选项是正确的）. 1.已知集合{}0123A =，，，，2{|230},B x x x =--≥则()R AB =（ ）A. (-1,3)B. (-1,3]C. (0,3)D. (0,3]2．已知复数z 满足i z z a i ⋅=+⋅（i 为虚数单位），且2z =a 的值为（ ）A.2B.12D.123.已知某超市2021年中的12个月的收入与支出数据的折线图如图所示,则下列说法中，错误的是（ ）. 注：收益=收入-支出A.该超市在2021年的12个月中，7月份的收益最高；B.该超市在2021年的12个月中，4月份的收益最低；C.该超市在2021年7月至12月的总收益比2109年1月至6月的总收益增长了90万元；D.该超市在2021年1月至6月的总收益低于2109年7月至12月的总收益.(3题图) 4.冰雹猜想也称奇偶归一猜想：对给定的正整 数进行一系列变换，则正整数会被螺旋式吸入 黑洞(4,2,1)，最终都会归入“4－2－1”的模式.该结论至今既没被证明，也没被证伪. 右边程序 （4题图） 框图示意了冰雹猜想的变换规则，则输出的i =（ ） A.4 B.5 C.6 D.75.在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是11,AD C D 的中点，O 为正方形ABCD 的中心，则（ ） A.直线1,EF OD 是异面直线，且1EF OD = B.直线11,OD B B 是异面直线且11OD B B ≠C.直线1,EF OD 是相交直线，且1EF OD =D.直线11,OD B B 是相交直线且11OD B B = 6.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2533a a a =，且4a 与79a 的等差中项为2，则5S =（ ） A.1123 B.112 C.12127D.121 7.空间直角坐标系中的点(,,)P x y z 满足,,x y z {2,4,6}∈，则恰有两个坐标相同的点P 有（ ） A.18个B.12个C.9 个D.6个8.“3a ≥”是“1x =为函数321()(3)12f x x a x ax =-++--的极小值点”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.函数22()41x x x f x ⋅=-的图像大致为（ ）A B C D10. 函数()2sin(),(0,)f x x ωϕωϕπ=+><的部分图像如右图所示,且()f x 的图像过(,1),(,1)2A B ππ-两点,为了得到()2sin g x x ω=的图像，只需将()f x 的图像（ ）A.向右平移56π B.向左平移56πC.向左平移512πD.向右平移512π11．已知,O F 分别是双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的中心和右焦点，以OF 为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于B A ,两点（B A ,异于原点O ），若3AB b =，则双曲线C 的离心率e 为（ ）A.2B.3C.233D.2 12.已知四棱锥P ABCD -的棱长都是12，,,E F M 为,,PA PC AB 的中点，则经过,,E F M 的平面截四棱锥P ABCD -所得截面的面积为（ ）A.542B.452C.72D.96第II 卷（非选择题)二、填空题：（本大题4个小题，每小题5分，共20分）.13.若(,2),(1,1)a x b x ==-，若()()a b a b +⊥-，则x = ．14.在第35届全国中学生数学冬令营中，某市甲、乙两所学校数学冬令营成绩的茎叶图05≤≤≤≤∈()，89，,x y x y N 如下图：已知甲校成绩的中位数、平均分都比乙校成绩的中位数、平均分少1分，则x y +=_____________.15.设数列{}n a 满足*112(1),,2n n a a n n N a +=++∈=，则数列{}(1)n n a -⋅的前40项和是_____________.16.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，过其准线与x 轴的交点E 作直线l ，(1)若直线l 与抛物线相切于点M ，则EMF ∠=_____________.(2)设6p =，若直线l 与抛物线交于点,A B ，且AB BF ⊥，则AF BF -=_____________.三.解答题：（本大题6个小题，共70分.各题解答必须在答题卷上作答，在相应题目指定的方框内必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）. 17.（本小题满分12分）设函数2()sin(2)2cos 6f x x x π=+-.(1)求()f x 的单调增区间；(2)在ABC ∆中，若5()264A f π-=-，且102,10,cos CD DA BD ABD ==∠=，求BC 的值. 18.（本小题满分12分）某次数学测验共有12道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定：每选对1道题得5分，不选或选错得0分. 在这次数学测验中，考生甲每道选择题都按照规则作答，并能确定其中有9道题能选对；其余3道题无法确定正确选项，在这3道题中，恰有2道能排除两个错误选项，另1题只能排除一个错误选项. 若考生甲做这3道题时，每道题都从不能排除的选项中随机挑选一个选项作答，且各题作答互不影响．在本次测验中，考生甲选择题所得的分数记为x (1)求55x =的概率； (2)求x 的分布列和数学期望． 19.（本小题满分12分）如图，在由三棱锥E ADF -和四棱锥F ABCD -拼接成的多面体ABCDEF 中，AE ⊥平面ABCD ,平面BCF ⊥平面ABCD ，且ABCD 是边长为23的正方形，BCF ∆是正三角形. (1)求证：AE 平面BCF ；(2)若多面体ABCDEF 的体积为16，求BF 与平面DEF 所成角的正弦值. 20.（本小题满分12分）已知椭圆C ：2221(0)3x y b b+=>的右焦点为F ，过F 作两条直线分别与圆O ：222(0)x y r r +=>相切于,A B ，且ABF ∆为直角三角形. 又知椭圆C 上的点与圆O 1. (1)求椭圆C 及圆O 的方程；(2)若不经过点F 的直线l ：y kx m =+（其中0,0k m <>）与圆O 相切，且直线l 与椭圆C 交于,P Q ，求FPQ ∆的周长. 21.（本小题满分12分）已知函数121()(1),02x f x x a e x ax x -=---+> (1)若()f x 为单调增函数，求实数a 的值;(2)若函数()f x 无最小值，求整数a 的最小值与最大值之和.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4 - 4 坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，直线1l 的参数方程为4x t y kt=-⎧⎨=⎩，(t 为参数)，直线2l 的普通方程为1y x k =，设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，记点P 的轨迹为曲线1C . 在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线3l 的方程为:sin()4πρθ-=(1)求曲线1C 的普通方程；(2)设点A 在3l 上，点B 在1C 上，若直线AB 与3l 的夹角为4π，求AB 的最大值. 23.（本小题满分10分）选修4 - 5 不等式选讲已知0a >，0b >，23a b +=． (1)求 22a b +的取值范围；(2)求证：3381416a b ab +≤．重庆一中高2021级高三下学期期中考试理科数学参考答案 一.选择题：BACBCD ABACCB;二.填空题：13.1- 14.8 15.840 16.（1）4π；（2）12解：(1) 211cos 2()sin(2)2cos sin 2cos 226222x f x x x x x π+=+-=+-⨯……2分()sin(2)16f x x π⇒=--……………4分 222,26263k x k k x k k Z πππππππππ-+≤-≤+⇒-+≤≤+∈…………5分()f x 的单调增区间为[,],63k k k Z ππππ-++∈……6分（2）由5()264A f π-=-⇒115cos sin 44A A =⇒=……7分 在ABD ∆中，由正弦定理可得：2sin sin BD ADAD A ABD =⇒=∠,2CD DA =可得4DC =……8分11015610cos 44448BDC ∠=⨯-=-10分在BCD ∆中，由余弦定理可得：210161021043668BC BC =++⨯⨯=⇒=……12分 18.解：(1)能排除2个选项的试题记为A 类试题；设选对一道A 类试题为A ，则1()2P A =……1分能排除1个选项的试题记为B 类试题；设选对一道B 类试题为B ，则1()3P B =……2分 该考生选择题得55分的概率为：A 对2道，B 对0道,则概率为222122()2312C ⨯=……3分A 对1道，B 对1道,则概率为122112()2312C ⨯=……4分则221(55)12123P x ==+=……5分 (2)该考生所得分数45,50,55,60x =……6分022121(45)()236P x C ==⨯=;12022212115(50)()()232312P x C C ==⨯+⨯=;022111(60)()2312P x C ==⨯=;……9分（每个概率各1分）∴X 的分布列为：x45 50 55 60P16 512 13 112155455055606123123Ex =⨯+⨯+⨯+⨯=.……12分（其中分布列1分，期望表达式1分，计算期望1分） 19.证明：（1）设点O 为BC 中点，BCF ∆是正三角形OF BC ⇒⊥，平面ABCD ⊥平面BCF ，平面ABCD平面BCF BC =,则OF ⊥平面ABCD ……2分AE ⊥平面ABCD AE OF ⇒，……4分OF ⊂平面BCF ,AE ⊄平面BCF AE ⇒平面BCF ……6分（2）ABCDEF F ABCD E ADF F ABCD F ADE V V V V V ----=+=+21113)3(23)2316332AE =⨯⨯+⨯⨯⨯=2AE ⇒=……7分 由题意可知，建立如图直角坐标系，……8分ABCD 是边长为23BCF ∆是正三角形.则(23,0,0)(0,23,0),(0,0,2)D B E ，,3,23,3)F ， (3,23,3),(23,0,2)DF DE =-=-……10分设平面DEF 的法向量为(,,)n x y z =，则0DF n DE n ⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=⎪⎩(1,1,3)n =-，……11分 又(3,0,3)BF =,若BF 与平面BEF 所成角为θ，则4325sin 523n BF n BFθ⋅===⨯⋅……12分 20.解：（131+311a r r ⇒+=+⇒=；……2分ABF ∆为直角三角形22c r c ⇒=⇒=3分又2231b c b +=⇒=；……4分圆O 的方程为：221x y +=；椭圆C 的方程为：2213x y +=……5分（2）y kx m =+与圆相切：则221m k =+；……6分设11(,)P x y ，22(,)Q x y ,由2213x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(13)6330k x kmx m +++-= ……7分由0∆>，得2231k m +>…（※），且2121222633,1313km m x x x x k k -+=-=++……8分 22222231261313131k m k k PQ k k k -++=+=-++……10分 2122612()23k k PF QF a e x x ++=-+=+……11分 FPQ ∆的周长为23PQ PF QF ++=12分21.解：(1) 1112()()()(1)'()0,1,x x f x x a e x a x a e f x x x a --'=--+=--⇒===……1分函数()f x 为单调函数1a ⇒=……3分经检验，1a =，()f x 为增函数，故1a =适合题意……4分（也可分类讨论） (2)令12'()0,1f x x a x =⇒==，（Ⅰ）当0a ≤时，则(0,1)'()0x f x ∈⇒<⇒()f x 在(0,1]上为减函数(1,)'()0x f x ∈+∞⇒>⇒()f x 在[1,)+∞上为增函数当1x =时，()f x 有最小值1(1)2f =-. 故0a ≤不适合题意……5分 （Ⅱ）当1a =时，则(0,1)'()0x f x ∈⇒>⇒()f x 在(0,1]上为增函数(1,)'()0x f x ∈+∞⇒>⇒()f x 在[1,)+∞上为增函数∴()f x 在(0,)+∞上为增函数，()f x 无最小值，故1a =适合题意……6分（Ⅲ）当1a >时，则(0,1)'()0x f x ∈⇒>⇒()f x 在(0,1]上为增函数(1,)'()0x a f x ∈⇒<⇒()f x 在[,1]a 上为减函数(,)'()0x a f x ∈+∞⇒>⇒()f x 在[,)a +∞上为增函数……7分则()f x 无最小值，故(0)()f f a <21121111(1)022a a a a e e a e a e -----⇒<-⇒--+<……8分由在上恒成立在上为增……9分 且存在唯一的实根在上为减； 在上为增……10分且存在唯一的实根,……11分()f x 无最小值，21a a <<,，综上，21a a ≤<，，a Z ∈，……12分22.解：（1）直线1l 可化为：(4)y k x =--，代入2l ，消去k 可得：222(4)40yx x x y x =--⇒+-= (4)分由直线12,l l 斜率存在且不为零，则0y ≠，曲线1C 的普通方程为：2240(0)x y x y +-=≠……5分（2）3:sin()4l πρθ-=2y x =+……6分设点B 到直线3l 的距离为d ，则AB 与3l 的夹角为4πAB ⇒=……7分max 22d =+=+……9分max 4AB =+10分【考点】普通方程、参数方程、极坐标方程互化，长度最值.23.解：（1）∵0a >，0b >，23a b +=，∴320a b =->，302b <<，……2分 ∴222222699(32)51295()555a b b b b b b +=-+=-+=-+≥，……4分 ∴当65b =，3325a b =-=时，22a b +的最小值为95， ∴22995a b ≤+<；……5分（2）∵0a >，0b >，23a b +=，∴3≥908ab <≤， 当且仅当322a b ==时，取等号，……7分 ∴334a b ab +22(4)ab a b =+2[(2)4]ab a b ab =+-22819(94)94()4()168ab ab ab ab ab =-=-=--，……9分 ∴98ab =时，334a b ab +的最大值为8116，∴3381416a b ab +≤．……10分。