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数学试题 文注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答卷上。
2. 作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回。
第 Ⅰ 卷（选择题，共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的）1. 设集合{}220M x x x =-++≥，{}1N x x =<，则M N =U ( )A ．{}1x x < B ．{}11x x -≤< C ．{}2x x ≤ D ．{}21x x -≤< 2. 已知复数z 满足1z i =+（其中i 为虚数单位），则zz=( ) A．22i - B．22+ C ．3. 已知向量(1,1)a =r ，(1,1)b =-r，则2a b +=r r ( )A ．10 B．5 D4. 已知数列{}n a 是等差数列且0n a >，设其前n 项和为n S . 若2195a a a +=，则9S =( )A ．36B ．27C ．18D ．9 5. 已知平面α，直线,m n 满足,m n αα⊄⊂，则“m n ∥”是“m α∥”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D. 既不充分也不必要条件6. 已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S . 若4233,2 S S a ==，则1a =( )A ．14 B ．12C ．1D ．4 7. 已知函数11,2()2log (0,1),2a x x f x x a a x ⎧+≤⎪=⎨⎪>≠>⎩且在R 上单调递增，则实数a 的取值范围ODCP Q是( )A ．(1,+)∞B ．()2,+∞ C ．)2,⎡+∞⎣ D. (1,2⎤⎦8. 函数2()cos ()x x e e xf x x--=的部分图象大致是( )9. 已知错误!未找到引用源。
2020届重庆市第一中学高三上学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={ x |x -1<0}，则A ∩B = A ．(-∞，1) B ．(-2，1) C ．(-3，-1) D ．(3，+∞)【答案】A【解析】先求出集合A ，再求出交集． 【详解】由题意得，{}{}23,1A x x x B x x ==<或，则{}1A B x x ⋂=<．故选A ． 【点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目． 2．复数21ii-在复平面内对应的点为（ ） A ．()1,1-- B ．()1,1-C ．()1,1-D ．()1,1【答案】B【解析】由除法法则计算复数，化为复数的代数形式，得对应点坐标． 【详解】21i i-2(1)1(1)(1)i i i i i +==-+-+，对应点为(1,1)-． 故选：B. 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的几何意义．属于基础题．3．已知向量()()1,3,2a m b ==-r r ，，且()a b b ⊥r r r+，则m =( ) A ．−8 B ．−6 C ．6 D ．8【答案】D【解析】由已知向量的坐标求出a b +rr 的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．【详解】∵(1,),(3,2),(4,2)a m b a b m ==-∴+=-r r r r ，又()a b b +⊥rr r ，∴3×4+（﹣2）×（m ﹣2）＝0，解得m ＝8．故选D ． 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．4．圆224690x y x y +--+=的圆心到直线10ax y ++=的距离为2，则a =（ ） A ．43-B ．34-CD ．2【答案】B【解析】配方求出圆心坐标，再由点到直线距离公式计算． 【详解】圆的标准方程是22(2)(3)4-+-=x y ，圆心为(2,3)，2=，解得34a =-．故选：B. 【点睛】本题考查圆的标准方程，考查点到直线距离公式，属于基础题．5．现有5人站成一排照相，其中甲、乙相邻，且丙、丁不相邻，则不同的站法有（ ） A ．12种 B ．24种 C ．36种 D ．48种【答案】B【解析】甲、乙相邻捆绑作为一全元素，丙、丁不相邻用插入法． 【详解】由题意不同站法数为：22222322624A A A =⨯⨯=．故选：B. 【点睛】本题考查排列问题．涉及到相邻与不相邻问题，解题方法是相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插入法．6．已知ln3x =，4log 2y =，12z e -=，则（ ） A ．x y z << B ．z x y <<C ．z y x <<D ．y z x <<【答案】D【解析】x 大于1，12y =与z =1，且可比较大小．【详解】1241log 212y e -==<=<，ln3ln 1e >=，∴y z x <<．故选：D. 【点睛】本题考查幂与对数的大小．幂与对数比较大小时，遵循能化同底的对数或幂化为同底比较，幂有时也化为同指数比较，不能转化的与中间值1或0等比较．7．《张丘建算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中卷上第二十三问：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈.问半月积几何？”其意思为“有个女子织布，每天比前一天多织相同量的布，第一天织五尺，一个月(按30天计)共织布9匹3丈.问：前半个月(按15天计)共织多少布？”已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，可估算出前半个月一共织的布约有（ ） A ．195尺 B ．133尺C ．130尺D ．135尺【答案】B【解析】抽象为数列问题，每天的织布数成等差数列，首项15a =，记公差为d ，由30390S =，求出15S ，然后对15S 估算近似值．【详解】解：9匹3丈为390尺，每天的织布数成等差数列，首项15a =，记公差为d3030295303902S d ⨯=⨯+=，1629d =，151514161571615716155757575561312292930S ⨯⨯⨯⨯⨯=⨯+⨯=+>+=+=，15157167513528S ⨯⨯<+=．故选：B 【点睛】本题考查等差数列的应用．解题关键是从实际问题中抽象出数列问题．8．设m ，n 是两条不同的直线，α，β两个不同的平面.若m α⊥，n β⊥，则“m n ⊥”是“αβ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】根据充分条件、必要条件的判定方法进行分析，进而可得结论．【详解】由题意得，当,m n αβ⊥⊥，且m n ⊥时，则必有αβ⊥；反之，当αβ⊥，,m n αβ⊥⊥时，则必有m n ⊥，所以当m α⊥，n β⊥时，则“m n ⊥”是“αβ⊥”的充要条件． 故选C ． 【点睛】判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ；二是由条件q 能否推得条件p ．对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，可借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题． 9．将函数sin(2)3y x π=+的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为()f x ，则函数()f x 的单调递增区间为（ ） A ．ππππk k k ++∈Z 7[,]()1212B ．[,]()63k k k Z ππππ-+∈C ．5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈ D ．[,]()36k k k Z ππππ-+∈ 【答案】B【解析】由题意知()sin[2()]sin(2)436f x x x πππ=-+=-，然后利用正弦函数的单调性即可得到单调区间。
2020年重庆一中高2020级高三上期期末考试数学(文科)试题卷一、选择题1.已知集合{1,2,3}A =，{|(1)(2)0,}B x x x x Z =+-<∈，则A B ⋃= A. {1} B. {12}， C. {0123}，，， D. {10123}-，，，， 2.复数341iz i-=-(其中i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.设3434a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，243b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，23log 2c =，则a ，b ，c的大小顺序是( )A. b a c <<B. c a b <<C. b c a <<D. a c b <<4.设a 为实数，直线1:10l ax y +-=，()2:120l x a y a +--=，则“12a =”是“12l l ⊥”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.执行如下图所示的程序框图，输出的结果是( )A.89B.910C.1011D.11126.一个几何体的三视图如图所示(单位：m )，则该几何体的体积为( )3mA. 6π+B. 5π+C. 62π+D. 52π+7.正三角形ABC 中，D 是线段BC 上的点，3AB =，2BD =，则AB AD ⋅=( ) A. 3B. 6C. 9D. 128.已知函数()()sin 0,0,22f x A x A ωϕωϕππ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数()f x 在,44x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上的值域为( )A. 2,2⎡-⎣B. (2,2-C. 2⎡⎤-⎣⎦D. (2⎤-⎦9.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>离心率为2，其焦点到渐近线的距离为3()2,1P 的直线m 与双曲线E 交于A ，B 两点.若P 是AB 的中点，则直线m 的斜率为( )A. 2B. 4C. 6D. 810.一次猜奖游戏中，1，2，3，4四扇门里摆放了a ，b ，c ，d 四件奖品(每扇门里仅放一件).甲同学说：1号门里是b ，3号门里是c ；乙同学说：2号门里是b ，3号门里是d ；丙同学说：4号门里是b ，2号门里是c ；丁同学说：4号门里是a ，3号门里是c .如果他们每人都猜对了一半，那么4号门里是( ) A. aB. bC. cD. d11.在锐角三角形ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若2a =，且()()cos sin 2sin 22A B C C ππ⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭，则c 的取值范围为( )A. 2⎫⎪⎪⎝⎭B. 2,23⎛⎫⎪⎝⎭C. ⎝⎭D. 23⎛⎝⎭12.定义在R 上且周期为4的函数()f x 满足：当[)1,3x ∈-时，()1,102ln 2,03xx f x x x ⎧⎛⎫-≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<<⎩，若在区间[]0,4上函数()()1g x f x ax =--恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A. 1ln 310,,143+⎡⎤⎛⎫⋃⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭B. 1ln 310,,133+⎡⎤⎛⎫⋃⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ C. 1ln 310,,243+⎡⎤⎛⎫⋃⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭D. 1ln 310,,233+⎡⎤⎛⎫⋃⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭二、填空题13.等比数列{}n a 中，已知15a =，91040a a =，则18a =________.14.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若0x >时，()2ln 2f x x =+，则曲线()y f x =在点()1,2--处的切线斜率为______.15.设不等式组0x y x y y ⎧-≤⎪⎪+≥-⎨⎪≤⎪⎩M ，函数y =x 轴所围成的区域为N ，向M 内随机投一个点，则该点不落在N 内的概率为______.16.已知一个圆锥，其母线与底面的夹角的余弦值为13.圆锥内有一个内接正方体，该内接正方体的顶点都在圆锥的底面或侧面上，则这个正方体的外接球表面积为_________.三、解答题17.已知数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=+-，n n b a n =+.(1)求证：数列{}n b 是等比数列; (2)求数列{}n a 的前n 项和n S .18.对某居民最近连续几年的月用水量进行统计，得到该居民月用水量T (单位：吨)的频率分布直方图，如图一.(1)求a 的值，并根据频率分布直方图估计该居民月平均用水量T 月；(2)已知该居民月用水量T 与月平均气温t (单位：℃)的关系可用回归直线0.42ˆTt =+模拟.2019年当地月平均气温t 统计图如图二，把2019年该居民月用水量高于和低于T 月的月份作为两层，用分层抽样的方法选取5个月，再从这5个月中随机抽取2个月，求这2个月中该居民恰有1个月用水量超过T 月的概率. 19.已知四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，5SA SD ==，7SB =.点E 是棱AD 的中点，点F 在棱SC 上，且SFSCλ=，SA 平面BEF .(1)求实数λ的值；(2)求四棱锥F EBCD -的体积.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过圆22:4230Q x y x y +--+=的圆心Q ，且右焦点与抛物线23y x =的焦点重合.(1)求椭圆C 的方程;(2)过点()0,1P 作直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若tan AQBSAQB =∠，求直线l 的方程.21.已知函数()ln f x x m x =-，m R ∈，()f x '是()f x 的导函数. (1)讨论函数()f x 的极值点个数；(2)若0m >，120x x <<，若存在0x ，使得()()()12012f x f x f x x x --'=，试比较12x x +与02x 的大小.22.在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为212222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，曲线2C 的极坐标方程为：()23cos24ρθ-=.(1)求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的参数方程;(2)若点M 在曲线2C 上运动，求点M 到曲线1C 距离的最小值及对应的点M 的坐标. 23.已知函数()()0,0f x x a x b a b =-++>>. (1)当1ab =时，证明：()2f x ≥；(2)若()f x 的值域为[)2,+∞，且()35f =，解不等式()4f x ≥.百度文库精品文档1、想想自己一路走来的心路历程，真的很颓废一事无成。
重庆市第一中学2020届高三数学上学期10月考试试题 文注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答卷上。
2. 作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回。
第 Ⅰ 卷（选择题，共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的）1. 设集合{}220M x x x =-++≥，{}1N x x =<，则M N =U ( )A ．{}1x x < B ．{}11x x -≤< C ．{}2x x ≤ D ．{}21x x -≤< 2. 已知复数z 满足1z i =+（其中i 为虚数单位），则zz=( ) A．22i - B．22+ C ．3. 已知向量(1,1)a =r ，(1,1)b =-r，则2a b +=r r ( )A ．10 B．5 D4. 已知数列{}n a 是等差数列且0n a >，设其前n 项和为n S . 若2195a a a +=，则9S =( )A ．36B ．27C ．18D ．9 5. 已知平面α，直线,m n 满足,m n αα⊄⊂，则“m n ∥”是“m α∥”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D. 既不充分也不必要条件6. 已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S . 若4233,2 S S a ==，则1a =( )A ．14 B ．12C ．1D ．4 7. 已知函数11,2()2log (0,1),2a x x f x x a a x ⎧+≤⎪=⎨⎪>≠>⎩且在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,+)∞B ．)+∞ C ．)+∞ D. (8. 函数2()cos ()x x e e xf x x --=的部分图象大致是( )9. 已知α为第二象限角，sin()43πα+=，则sin(20192)πα-= ( )A ．3±B ． 3-．13± D. 13- 10. 在正方体1111ABCD A B C D -中，若点M 为正方形ABCD 的中心，则异面直线1AB 与1D M 所成角的余弦值为( )A ．6． 3 C ． 6 D. 311. 已知函数()sin(2)(0,)2f x x πωϕωϕ=+><，其图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π. 将函数()y f x =的图象向左平移38π个单位长度，得到的图象关于原点对称，则下列说法中正确的是( )A ．函数()f x 的图象关于直线8x π=-对称 B ．函数()f x 的图象关于点(,0)8π对称C ．函数()f x 在,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数 D ．函数()f x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数DC12. 如图，三棱锥A BCD -的顶点,,,AB C D 都在同一球面上，BD 过球心O ，BD =ABC ∆是边长为4的等边三角形，点,P Q 分别为线段,AO BC 上的动点（不含端点），且AP CQ =，则三棱锥P QOC -体积的最大值为( )A．23B ． 3C ． 13 D. 43第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 曲线ln y x x =在点(1,0)处的切线方程为_________.14. 若变量,x y 满足约束条件30020x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪--≥⎩，则2z y x =-的最小值为_________.15. 若锐角ABC ∆的面积为5AB =，8AC =，则BC =_________. 16. 已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21(41)n n S a +=，则2168402424684011111(1)11111a a a a a S S S S S +++++-+-++-=-----L _________. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.（12分）已知公差0d ≠的等差数列{}n a 满足11a =，且124,, a a a 成等比数列. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若n S 是{}n a 的前n 项和，求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .18.（12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，1cos (cos cos )2A cB bC a +=-.D（1）求角A 的大小；（2）若4,b a ==，且点D 是BC 边上的一点，AD =，求DC 的长度.19.（12分）如图，等腰梯形MNCD中，1,2,602MD NC MN MD CDM ︒==∠=∥，E 为线段MD 上一点，且3ME =，以EC 为折痕将四边形MNCE折起，使MN 到达AB 的位置，且AE DC ⊥. （1）求证：DE ⊥平面ABCE ； （2）求点A 到平面DBE 的距离.20.（12分）已知O 为坐标原点，F 为椭圆C ：22149x y +=的上焦点，C 上一点A 在第一象限，且OA =（1）求直线AF 的方程； （2）若斜率为12-的直线l 交椭圆C 于不同的两点M N 、，求OMN ∆面积的最大值．21.（12分）已知函数()(1ln )xf x e a x =+，设'()f x 为()f x 的导函数. （1）设2()()xg x ef x x x -=+-在区间[]1,2上单调递增，求a 的取值范围；（2）若2a >时，函数()f x 的零点为0x ，函数'()f x 的极小值点为1x ，求证：01x x >.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分.22. [选修4—4：坐标系与参数方程] （10分）已知曲线1C的参数方程为x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩ (ϕ为参数)，以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()14πρθ-=．（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）若射线:()2OM πθααπ=<<与曲线1C 交于点M ，求21OM的取值范围．23. [选修4—5：不等式选讲] （10分）已知函数()f x x b x a =++-(0,0a b >>)的值域为[1,)+∞. （1）若a b =，求a 的值； （2）证明：2214a b ab +-≥.2019年重庆一中高2020级高三上期10月月考数学（文科）试题卷（参考答案）二、填空题13. 1y x =- 14. 9- 15. 7 16. 4041三、解答题17.（1）由条件知22214111()(3)a a a a d a a d =⇒+=+，又11a =，则有(1)0d d -=，又0d ≠Q ，故1d =，故n a n =. ················· 6分 （2）由（1）可得(1)12112()2(1)1n n n n S S n n n n +=⇒==-++， ················ 9分 即11111112(1)223341122111n n n n T n n =⎛⎫⨯-= ⎪++⎝-+-+-+-=+⎭L ． ············· 12分18. （1）由正弦定理可得1cos (sin cos sin cos )sin 2A CB BC A +=-，即1cos sin sin 2A A A =-， ································· 4分 又0A π<<Q ，sin 0A ∴>，故1cos 2A =-，所以23A π=. ·················· 6分 （2）在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin BC ACBAC ABC=∠∠，所以24sin1sin 2ABC π∠==．因为23BAC π∠=，所以(0,)3ABC π∠∈，所以6ABC π∠=． ················· 8分 故在ABC ∆中，2366ACD ππππ∠=--=. 在ADC ∆中，由余弦定理2222cos AD AC DC AC DC C =+-⋅⋅， 得27168cos6DC DC π=+-⋅，即290DC -+=， ················· 10分解得DC =DC =经检验，都符合题意． ·································· 12分 19.（1）等腰梯形MNCD中，42MD CD MN ===，，601CED CDE ED MD EM ∆∠=︒=-=中，，.则由余弦定理2222cos 603CE DE DC DE C C D E ︒=+-⋅=⇒=⋅，故222CE ED CD CE DE +⇒=⊥.90MEC ︒∴∠=，而折叠后依旧有90AEC ︒∠=，即AE CE ⊥，又AE DC DC CE C ⊥I ，＝，AE ∴⊥平面DCE ， ··································· 3分又DE ⊂平面DCE ，AE ∴⊥DE ，又DE CE ⊥，AE CE E I ＝，DE ∴⊥平面ABCE ； ··································· 6分（2）解法一：（等体积法）11sin 32sin 6022ABE MNE S S ME MN M ︒∆∆==⋅⋅=⨯⨯⨯=Q 且DE ⊥平面ABCE ，∴13D ABE ABE V S DE -∆=⋅= ······························· 8分AE CED BC AE BC CED⊥∴⊥Q 平面，且∥，平面，故Rt BEC BE ∆==中，，又DE ⊥Q 平面ABCE，DE BE ∴⊥， 故11122BDE S BE DE ∆=⋅=⨯=········ 10分 设点A 到平面DBE 的距离为h ，则由13D ABE A DBEBDE V V Sh --∆==⋅，得h＝37=. 故点A 到平面DBE . ···························· 12分 解法二：由（1）得DE ABCE ⊥平面，又DE DEB ⊂平面，DEB ABCE ∴⊥平面平面. 在平面ABE 内作AH EB ⊥，垂足为H ，则AH DEB ⊥平面，等腰梯形MNCD 中,4 MD NC MD =∥，21CD MN CE DE DE ==⊥=，，，则22NC MD DE =-=，故2BC =，···························· 9分BE ==，1122ABE S AE ECBE AH ∆=⋅=⋅，求得7AE EC AHBE ⋅===. 故点A 到平面DBE 的距离为7. ···························· 12分 20.（1）设0000(,)(0,0)A x y x y >>，因为=OA =，①又因为点A 在椭圆上，所以2200149x y +=，② (2)分 由①②解得，005⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩xy ，或005⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ，A Q在第一象限，故A 的坐标为55⎛ ⎝⎭. ············································· 3分又因为F的坐标为(，所以直线AF的方程为12y x=-. ··············· 4分（2）设直线1:2l y x m=-+，()()1122,,,M x y N x y.由221,4912⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩x yy x m得，22522180-+-=x mx m，由0∆>，得m<<由韦达定理得，212122218,,55m mx x x x-+==························ 8分所以12MN x=-==又因为O到直线MN的距离d m==，故12OMNS MN d∆=⋅2233103552m m+-=≤⋅=，当且仅当2210m m=-，即=m.所以OMN∆面积的最大值为3. ······························12分21.（1）22()()1ln,'()2 1xag x e f x x x a x x x g x xx-=+-=++-∴=+-Q. ·········· 2分()g xQ在[]1,2上单调递增，'()0g x∴≥在[]1,2上恒成立，故210axx+-≥，即得(12)a x x≥-在[]1,2上恒成立，即1a≥-. ························ 5分（2）设()'()(1ln)xah x f x e a xx==++，则22'()(1ln)xa ah x e a xx x=++-.设22()1lna aH x a xx x=++-，则223322(22)'()0a a a a x xH xx x x x-+=-+=>，故()H x在(0,)+∞上单调递增.因为2a>，所以1(1)10,()1ln202H a H a=+>=-<，故存在21(,1)2x∈，使得2()0H x=，则()h x在区间2(0,)x上单调递减，在区间2(,)x+∞上单调递增，故2x是()h x的极小值点，因此21x x =.即11(,1)2x ∈且1()0H x =，即121121ln 0a a a x x x ++-=，即121121(ln )1a x x x +-=-① ······· 8分 又()f x 的零点为0x ，故0()0f x =，即00(1ln )=0xe a x +，即0ln 1a x =-② ·········· 10分 由①②得0121121ln ln x x x x =+-，则0121121ln ln x x x x -=-，又11(,1)2x ∈，故211210x x ->， 即01ln ln 0x x ->，因此01x x >. ····························· 12分22.（1）由曲线1C 的参数方程x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩ (ϕ为参数)得：2222cos sin 1ϕϕ+=+=，即曲线1C 的普通方程为22123x y +=. ··········· 2分 又将cos ,sin x ρθρθ=代入曲线1C 的普通方程，得到曲线1C 的极坐标方程为：22223cos 2sin 6ρθρθ+=，即为222cos 26ρθρ+=. ································· 3分 曲线2C 的极坐标方程可化为sin cos ρθρθ-=，可得2C 的直角坐标方程为0x y -+=. ······································ 5分（2）由已知，设点M 的极坐标为1(,)ρα，其中2παπ<<.则22126||cos 2OM ρα==+，则221cos 2||6OM α+=. ···················· 8分 由2παπ<<，得1cos 0α-<<，故21||OM 的取值范围是11,()23. ·············· 10分 23. （1）()|()()|f x x b x a a b ≥+--=+Q ，当且仅当b x a -≤≤时取“=” ··········· 3分1a b ∴+=，又a b =，故12a =. ······························ 5分（2）222()3a b ab a b ab +-=+-Q ，又由（1）知1a b +=， ················· 8分 故22211313()24a b a b ab ab ++-=-≥-=，当且仅当a b =时取得等号，故2214a b ab +-≥. ···································· 10分。
重庆市第一中学2020届高三数学上学期10月考试试题 文注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答卷上。
2. 作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回。
第 Ⅰ 卷（选择题，共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的）1. 设集合{}220M x x x =-++≥，{}1N x x =<，则MN = ( )A ．{}1x x < B ．{}11x x -≤< C ．{}2x x ≤ D ．{}21x x -≤< 2. 已知复数z 满足1z i =+（其中i 为虚数单位），则zz=( ) A．22- B．22+ C ．3. 已知向量(1,1)a =，(1,1)b =-，则2a b += ( )A ．10 B．5 D4. 已知数列{}n a 是等差数列且0n a >，设其前n 项和为n S . 若2195a a a +=，则9S = ( )A ．36B ．27C ．18D ．9 5. 已知平面α，直线,m n 满足,m n αα⊄⊂，则“m n ∥”是“m α∥”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S . 若4233,2 S S a ==，则1a =( ) A ．14 B ．12C ．1D ．4 7. 已知函数11,2()2log (0,1),2a x x f x x a a x ⎧+≤⎪=⎨⎪>≠>⎩且在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,+)∞ B．)+∞ C．)+∞D. (8. 函数2()cos ()x x e e xf x x--=的部分图象大致是( )DC9. 已知错误！未找到引用源。
秘密★启用前 【考试时间：1 月 19 日】2020年重庆一中高2020级高三上期期末考试数 学（理科）试 题 卷 2020.1注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知，，则A ．B ．C ．D ．2．复数在复平面内对应的点为A ．(1,1)--B ．(1,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1)3．已知向量(1,)(3,2)a m b =-r r ，=，且()a b b +⊥r r r，则A ．6- B.6C.8D. 8-4．圆x 2+y 2-4x -6y +9=0的圆心到直线ax +y +1=0 的距离为2，则A.43-B.34- D.25. 现有5人站成一排照相，其中甲、乙相邻，且丙、丁不相邻，则不同的站法有 A ．12 种 B ．24 种 C ．36 种 D ．48 种 6．已知x =ln3，y =log 42，12z e-=，则A.x y z <<B.z x y <<C.z y x <<D.y z x <<7．（原创）《张丘建算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中卷上第二十三问：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈．问半月积几何？”其意思为“有个女子织布，每天比前一天多织相同量的布，第一天织五尺，一个月(按30天计)共织布9匹3丈．问：前半个月(按15天计)共织多少布？”已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，可估算出前半个月一共织的布约有 A ．195尺 B ．133尺 C ．130尺 D ．135尺8．设m,n是两条不同的直线，a,b是两个不同的平面，且m^a,n^b，则“m^n”是“a^b”的A.充分不必要条件B．必要不充分条件C.充要条件D．既不充分也不必要条件9．将函数的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为f(x)，则函数f(x)的单调10ABCD1112.13．若x,y满足约束条件，则的最小值为_______________．14. 在一次体育课定点投篮测试中，每人最多可投篮5次，若投中两次则通过测试，并停止投篮. 已知某同学投篮一次命中的概率是23，该同学心理素质比较好，每次投中与否互不影响. 那么该同学恰好投3次就通过测试的概率是 .15．1+1x 2æèçöø÷1+x ()6展开式中2x 的系数为 . 16.（原创）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足*12(3N )n n nS a n =-∈，S 2020= . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分）在中，D 是BC边上的点，.（1）求sin B 的值； （2）若，求AC 的长.18．（本小题满分12分）某市一中学高三年级统计学生的最近20次数学周测成绩（满分150分），现有甲乙两位同学的20次成绩如茎叶图所示：（1）根据茎叶图求甲乙两位同学成绩的中位数，并据此判断甲乙两位同学的成绩谁更好？（2）将同学乙的成绩的频率分布直方图补充完整；（3）现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，设选出的2个成绩中含甲的成绩的个数为，求的分布列及数学期望.19．（本小题满分12分）已知四棱锥的底面ABCD 是等腰梯形，AB //CD ，，.（1）证明：平面PBD ；（2）点E 是棱PC 上一点，且OE //平面PAD ，求二面角的余弦值.绩9676445914334622173298768758651545021532151413121110 9⼄甲20．（本小题满分12分）P 满足直线PA 与PB 的斜率之积为（其中m 为常数，且）. 记P 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过点A 斜率为k 的直线与曲线C 交于点M ，点N 在曲线C 上，且，若，求k 的取值范围.21．（原创）（本小题满分12分） 已知函数.（1）设，（其中f '(x )是f (x )的导数），求h (x )的最小值；（2）设，若g (x )有零点，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 为参数). 以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为，若直线l 与曲线C 相切．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）在曲线C 上取两点M ,N 与原点O 构成，且满足，求面积的最大值．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知0,0,a b >>且222a b +=. （1）若对任意正数a ,b 恒成立，求x 的取值范围；（2）证明:。
2020届重庆市第一中学高三上学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{1,2,3}A =，{|(1)(2)0,}B x x x x Z =+-<∈，则A B ⋃= A ．{1} B ．{12}， C ．{0123}，，， D ．{10123}-，，，， 【答案】C【解析】试题分析：集合{}{|12,}0,1B x x x Z =-<<∈=，而{}1,2,3A =，所以{}0,1,2,3A B ⋃=，故选C.【考点】 集合的运算【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理. 2．复数341iz i-=-（其中i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】利用复数除法运算化简求得z 再分析即可. 【详解】()()()()341343471111222i i i i z i i i i -+--+====---+.故z 在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算与复平面的理解,属于基础题型.3．设3434a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，243b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，23log 2c =，则a ，b ，c 的大小顺序是（ ）A ．b a c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．a c b <<【答案】B【解析】判断,,a b c 的大致范围再排序即可. 【详解】334434143a -⎛⎫⎛⎫==> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,且3244433b ⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,又223log log 212c =<=. 故c a b <<. 故选：B 【点睛】本题主要考查了利于指数对数函数的单调性对函数值大小进行比较,属于基础题型.4．设a 为实数，直线1:10l ax y +-=，()2:120l x a y a +--=，则“12a =”是“12l l ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据直线垂直的公式求解再分析充分必要条件即可. 【详解】因为直线()12:10,:120l ax y l x a y a +-=+--=, 当12l l ⊥时有()111102a a a ⨯+⨯-=⇒=. 故直线()12:10,:120l ax y l x a y a +-=+--=,则“12a =”是“12l l ⊥”的充要条件. 故选：C 【点睛】本题主要考查了直线垂直的公式以及充要条件的判定,属于基础题型. 5．执行如下图所示的程序框图，输出的结果是（ ）A ．89B ．910C ．1011D ．1112【答案】B【解析】读懂S 求解的量,直接写出结果进行计算即可. 【详解】由框图可知,输出的11111111119 (122334910122391010)S =+++=-+-++-=⨯⨯⨯⨯. 故选：B 【点睛】本题主要考查了程序框图的理解与裂项相消的方法,属于中等题型.6．一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为（ ）3mA ．6π+B ．5π+C ．62π+D ．52π+【答案】A【解析】易得该组合体为长方体上一个圆锥,根据体积公式计算即可. 【详解】易得该组合体为长方体上一个圆锥,体积为211312363V ππ=⨯⨯⨯+⨯⨯=+. 故选：A 【点睛】本题主要考查了根据三视图求解组合体体积的问题,属于基础题型.7．正三角形ABC 中，D 是线段BC 上的点，3AB =，2BD =，则AB AD ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】B【解析】以B 为原点建立平面直角坐标系利用向量的坐标运算求解即可. 【详解】如图建立以B 为原点的空间直角坐标系,易得333(,22A ,(0,0)B ,(2,0)D . 故333,2AB ⎛=- ⎝⎭u u u r ,133,2AD ⎛= ⎝⎭u u u r ,故333133327 ,,6222244AB AD⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅-=-+=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r故选：B【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算,可以选择建立平面直角坐标系求解,属于中等题型. 8．已知函数()()sin0,0,22f x A x Aωϕωϕππ⎛⎫=+>>-<<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数()f x在,44xππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭上的值域为（）A．2,2⎡-⎣B．(2,2-C．2⎡-⎣D．(2-【答案】D【解析】先根据周期与最值求得()f x的解析式,再求解值域即可.【详解】由题,2A=周期T满足4884TTππππ⎛⎫=--=⇒=⎪⎝⎭,故2=2ππωω⇒=.故()()22f x xϕ=+.代入28π⎛⎝有sin14πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭,又22ππϕ-<<,故4πϕ=.故()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,当.44x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,32,444x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭,故(()24f x x π⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭. 故选：D 【点睛】本题主要考查了根据三角函数图像求解解析式与求值域的问题,需要根据周期与最值求解析式,再根据函数单调性求值域.属于中等题型.9．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的离心率为2，其过点()2,1P 的直线m 与双曲线E 交于A ，B 两点.若P 是AB 的中点，则直线m 的斜率为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】根据离心率与焦点到渐近线的距离可求得双曲线E 的方程,再根据点差法求解斜率即可. 【详解】 由题,双曲线E 中2ca=,又焦点(),0c 到渐近线0ax by ±=的距离d b ===且222c a b =+,解得2221,3,4a b c ===.故双曲线22:13y E x -=.设()()1122,,,A x y B x y 则221122221313y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,两式相减得 ()221222121212121233x x y y y yx x x x y y +---=⇒=-+ .又AB 中点()2,1,故()121212123322621x x y y k x x y y +-⨯⨯====-+⨯.故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的方程求解以及点差法求解中点弦的斜率,属于中等题型. 10．一次猜奖游戏中，1，2，3，4四扇门里摆放了a ，b ，c ，d 四件奖品（每扇门里仅放一件）.甲同学说：1号门里是b ，3号门里是c ；乙同学说：2号门里是b ，3号门里是d ；丙同学说：4号门里是b ，2号门里是c ；丁同学说：4号门里是a ，3号门里是c .如果他们每人都猜对了一半，那么4号门里是（ ） A ．a B ．bC ．cD ．d【答案】A【解析】 由题意得，甲同学说：1号门里是b ，3号门里是c ，乙同学说：2号门里是b ，3号门里是d ；丙同学说：4号门里是b ，2号门里是c ；丁同学说：4号门里是a ，3号门里是c c ，若他们每人猜对了一半，则可判断甲同学中1号门中是b 是正确的；乙同学说的2号门中有d 是正确的；并同学说的3号门中有c 是正确的；丁同学说的4号门中有a 是正确的，则可判断在1,2,3,4四扇门中，分别存有,,,b d c a ，所以4号门里是a ，故选A.点睛：本题主要考查了归纳推理问题，通过具体事例，根据各位同学的说法给出判断，其中正确理解题意，合理作出推理是解答此类问题的关键，同时注意仔细审题，认真梳理．11．在锐角三角形ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若2a =，且()()cos sin 2sin 22A B C C ππ⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭，则c 的取值范围为（ ）A ．,25⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．2,23⎛⎫⎪⎝⎭C ．53⎛ ⎝⎭D ．2,33⎛ ⎝⎭【答案】C【解析】根据诱导公式与和差角公式化简可得2b c =,再计算临界条件求解即可. 【详解】由题()sin sin 2sin 2A B C C +-=得()()sin sin 4sin cos B C B C C C ++-=⋅2sin cos 4sin cos B C C C ⇒⋅=⋅,因为锐角三角形ABC ,故cos 0C ≠,所以sin 2sin B C =,即2b c =.再考虑临界条件,当A 为直角时,222245a b c c c ==+=⇒=当B 为直角时,2222433a b c c c =-⇒=⇒=.故c ∈⎝⎭.故选：C 【点睛】本题主要考查了诱导公式以及和差角公式与正弦定理的综合运用,同时与考查了临界条件求取值范围的思想,属于中等题型.12．定义在R 上且周期为4的函数()f x 满足：当[)1,3x ∈-时，()1,102ln 2,03xx f x x x ⎧⎛⎫-≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<<⎩，若在区间[]0,4上函数()()1g x f x ax =--恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1ln 310,,143+⎡⎤⎛⎫⋃⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭B ．1ln 310,,133+⎡⎤⎛⎫⋃⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭C ．1ln 310,,243+⎡⎤⎛⎫⋃ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ D ．1ln 310,,233+⎡⎤⎛⎫⋃ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭【答案】B【解析】画出函数在区间[]0,4上的函数,再分析()1f x ax =+的交点个数即可. 【详解】由题, ()()1g x f x ax =--的零点个数即()1f x ax =+的函数图像交点个数. 画出()f x 的图像,同时1y ax =+恒过定点()0,1,且函数()f x 周期为4.故11(3)(1)22f f -⎛⎫=-== ⎪⎝⎭.01(4)(0)12f f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.故临界条件分别为1y ax =+过()()()4,1,3,2,3,2ln3+和1y ax =+与ln 2y x =+相切.取值分别为11040a -==-,211303a -==-,2ln 31ln 31303a +-+==-. 当1y ax =+与ln 2y x =+相切时,设切点为()00,x y ,又01'y x =,故00001120y y x x -=⇒=-. 000ln 21y x x =+⇒=,故011a x ==.故a ∈1ln310,,133+⎡⎤⎛⎫⋃ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭. 故选：B 【点睛】本题主要考查了函数零点的个数问题,需要根据题意画出对应的图像,再分析临界条件求得对应的斜率的值即可.属于中等题型.二、填空题13．在等比数列{}n a 中，已知15a =，91040a a =，则18a =________. 【答案】8【解析】利用等比数列的等积性质求解即可. 【详解】因为等比数列,故118910a a a a =,故9101814085a a a a ===.故答案为：8 【点睛】本题主要考查了等比数列的等积性质,属于基础题型.14．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若0x >时，()2ln 2f x x =+，则曲线()y f x =在点()1,2--处的切线斜率为______.【答案】2【解析】根据奇函数在关于原点对称位置的切线斜率相等,直接求解()f x 在1x =处的导函数即可. 【详解】因为当0x >时,()2'f x x =故()2'121f ==.根据奇函数的图像知, ()y f x =在点()1,2--处的切线斜率等于()y f x =在点()1,2处的切线斜率为()'12f =.故答案为：2 【点睛】本题主要考查了奇函数对称性的应用以及导数的几何意义.属于中等题型.15．设不等式组0x y x y y ⎧-≤⎪⎪+≥-⎨⎪≤⎪⎩M ，函数y =x轴所围成的区域为N ，向M 内随机投一个点，则该点不落在N 内的概率为______. 【答案】116π-【解析】画出M与半圆y =再利用几何概型的方法分析即可. 【详解】由题,画出0x y x y y ⎧-≤⎪⎪+≥-⎨⎪≤⎪⎩y =.因为()()222210,10y xy x y y =-≤+=≤为半圆.故有易得可行域的面积为142228 2⨯⨯=.半圆面积为211122ππ⨯=.故点不落在N内的概率为1218π-1116π=-故答案为：1116π-【点睛】本题主要考查了几何概型的一般方法,重点是画好所给的函数图像,属于中等题型. 16．已知一个圆锥的底面直径为2，其母线与底面的夹角的余弦值为13.圆锥内有一个内接正方体，该内接正方体的顶点都在圆锥的底面或侧面上，则这个正方体的外接球表面积为_________.【答案】43π【解析】根据题意画出正方体的对角截面,分析正方体的边长再计算外接球表面积即可. 【详解】如图所示,作出圆锥的一个轴截面,其中,AB AC为母线, BC为底面直径,DG,EF是正方体的棱长,,DE GF是正方体的上、下底面的对角线,设正方体的棱长为x,则DG EF x==,2DE GF x==,又2BC=1123BCAC=322AC⇒=故高22322222h⎛⎫⎛⎫=-=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.依题意得ABC ADE ∆∆:,h BC h x DE ∴=-,即2223x x =⇒=-.故正方体的体对角线,即外接球的直径D ==故外接球表面积22443S R D πππ===. 故答案为：43π 【点睛】本题主要考查了空间几何体中的长度计算以及外接球的问题等.需要根据题意画出图像找到对应的关系列式求解计算.属于中等题型.三、解答题17．已知数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=+-，n n b a n =+. （1）求证：数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S . 【答案】（1）证明见解析 （2）()11222n n n n S ++=--【解析】(1)根据n n b a n =+求得1n b +,化简成含n a 的表达式再得12n n b b +=即可. (2)根据(1)中等比数列的首项与公比求得数列{}n b 的通项公式,再代入n n b a n =+即可求得数列{}n a 的通项公式,再根据分组求和求解即可. 【详解】（1）证明：因为121,n n n n a a n b a n +=+-=+所以()()()11121122n n n n n b a n a n n a n b ++=++=+-++=+=, 又因为11120b a =+=≠,则12n nb b +=, 所以数列{}n b 是首项为2,公比为2的等比数列.（2）由（1）知2n n n a n b +==,所以2nn a n =-,所以()()()()232122232nn S n =-+-+-+⋅⋅⋅+-()()232222123n n =+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+()()()121211221222n n n n n n +-++=-=---【点睛】本题主要考查了数列的递推公式证明等比数列的方法,同时也考查了分组求和与等比等差数列求和的公式等.属于中等题型.18．对某居民最近连续几年的月用水量进行统计，得到该居民月用水量T （单位：吨）的频率分布直方图，如图一.（1）求a 的值，并根据频率分布直方图估计该居民月平均用水量T 月； （2）已知该居民月用水量T 与月平均气温t （单位：℃）的关系可用回归直线0.42ˆTt =+模拟.2019年当地月平均气温t 统计图如图二，把2019年该居民月用水量高于和低于T 月的月份作为两层，用分层抽样的方法选取5个月，再从这5个月中随机抽取2个月，求这2个月中该居民恰有1个月用水量超过T 月的概率. 【答案】（1）0.05，10 （2）35【解析】(1)根据频率分布直方图的图形面积之和为1列式求解.再利用频率分布直方图计算平均数的方法求解即可.(2)利用枚举法将所有可能的情况列举,再根据古典概率的求解方法计算即可. 【详解】（1）由图一可知,()0.0375220.07541,0.05a a ⨯++⨯=∴=∴该居民月平均用水T 月量约为()0.037520.0560.075100.05140.037518410T =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=月 （2）由回归直线方程0.42ˆTt =+知,T 月对应的月平均气温刚好为()()1020.420t =-+=℃,再根据图二可得,该居民2019年5月和10月的用水量刚好为T 月,且该居民2019年有4个月每月用水量超过T 月,有6个月每月用水量低于T 月,因此,用分层抽样的方法得到的样本中,有2个月（记为12,A A ）每月用水量超过T 月,有3个月（记为123,,B B B ）每月用水量低于T 月,从中抽取2个,有12111213212223121323,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B B B B B B B 共10种结果,其中恰有一个月用水量超过T 月的有1112212223,,,,A B A B A B A B A B 共6种结果, 设“这2个月中恰有1个月用水量超过T 月”为事件C ,则()63105P C == 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的运用以及分层抽样与古典概型的方法,属于中等题型. 19．已知四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，5SA SD ==，7SB =.点E 是棱AD 的中点，点F 在棱SC 上，且SFSCλ=，SA P 平面BEF .（1）求实数λ的值；（2）求四棱锥F EBCD -的体积. 【答案】（1）13（2）33【解析】(1) 连接AC ,设AC BE G ⋂=,证明//SA FG 再利用相似三角形求解即可. (2)求底面四边形EBCD 的面积,再根据四棱锥F EBCD -的高与SE 的比例求解即可. 【详解】（1）连接AC ,设AC BE G ⋂=,则平面SAC EFB FG ⋂=平面,//,//SA EFB SA FG ∴平面,1,2AG AE GEA GBC GC BC ∴==QV V ∽, 1123SF AG SF SC FC GC ∴==⇒=, 13λ∴=.（2）5,,2SA SD SE AD SE ==∴⊥=Q ,又2,60,3AB AD BAD BE ==∠=︒∴=Q ,222,,SE BE SB SE BE SE ABCD ∴+=∴⊥∴⊥平面,所以()1121212321233333323F EBCD EBCD EBCD V S h S SE -=⋅=⋅=⨯⨯⨯⨯+⨯=四边形四边形.【点睛】本题主要考查了线面平行的性质与证明,同时也考查了锥体体积的计算方法,属于中等题型.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过圆22:4230Q x y x y +--+=的圆心Q ，且右焦点与抛物线243y x =的焦点重合.（1）求椭圆C 的方程;（2）过点()0,1P 作直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若tan AQB S AQB =∠V ，求直线l 的方程.【答案】（1）22163x y +=（2）0x =或440x y -+=【解析】(1)根据焦点与椭圆上的点,列方程求解22,a b 即可.(2)根据三角形的面积公式化简可得cos 2QA QB AQB ⋅∠=,再利用向量的方法可得2QA OB ⋅=u u u v u u u v,再分直线l 有无斜率的情况,联立直线与椭圆的方程,利用韦达定理代入化简向量的关系求得斜率即可. 【详解】解：（1）因为抛物线的焦点为),所以c =,因为()2,1Q 在椭圆C 上,所以22411a b+=,由223a b -=,得226,3a b ==,所以椭圆C 的方程为22163x y +=（2）由tan AQB S AQB =∠V 得：1sin tan 2QA QB AQB AQB ⋅∠=∠,即cos 2QA QB AQB ⋅∠=,可得2QA OB ⋅=u u u v u u u v,①当l 垂直x 轴时,()()12,14132QA OB ⋅=-⋅-=+-=u u u v u u u v ,此时满足题意,所以此时直线l 的方程为0x =;②当l 不垂直x 轴时,设()()1122,,,A x y B x y ,直线l 的方程为1y kx =+,由231631x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得()2212440k x kx ++-=, 所以12122244,1212k x x x x k k--+==++, 代入2QA OB ⋅=u u u v u u u v可得：()()11222,12,12x y x y --⋅--=,代入11221,1y kx y kx =+=+,得()()21212222x x k x x --+=,代入化简得：()222418201212k kk k-+++=++, 解得14k =, 经检验满足题意,则直线l 的方程为440x y -+=综上所述直线l 的方程为0x =或440x y -+= 【点睛】本题主要考查了椭圆的基本量求解以及直线与椭圆的位置关系.通过分情况联立直线与椭圆的方程,利用韦达定理表达出对应的表达式化简,进而求得斜率的方法等.属于难题. 21．已知函数()ln f x x m x =-，m R ∈，()f x '是()f x 的导函数. （1）讨论函数()f x 的极值点个数；（2）若0m >，120x x <<，若存在0x ，使得()()()12012f x f x f x x x --'=，试比较12x x +与02x 的大小.【答案】（1）当0m ≤时，()f x 有0个极值点；当0m >时，()f x 有1个极值点 （2）1202x x x +>【解析】(1)求导后分求导等于0时的根与区间端点0的大小关系分析极值点个数即可. (2)求导后分别计算()()()12012,f x f x f x x x --',再计算()1202x x f x f +⎛⎫-⎪⎝'⎭',构造出关于()211x t t x =>的函数表达式再根据单调性求解分析即可. 【详解】解：（1）()1m x mf x x x'-=-=, 当0m ≤时,()()0,f x f x '>在()0,+∞上单调递增,无极值点；当0m >时,令()0f x '>,则x m >,故()f x 在(),m +∞上单调递增,在()0,m 上单减,故()f x 有1个极小值点,无极大值点.综上：当0m ≤时,()f x 有0个极值点；当0m >时,()f x 有1个极值点. （2）()1m f x x'=-, ()()()()212112210121212lnln ln 1x m f x f x x m x x m x x f x x x x x x x ----===+---',12121221122x x m m f x x x x +⎛⎫=-=-++⎝⎭'⎪,故()212101212ln2112x m x x x m f x f x x x x ⎛⎫+⎛⎫-=+-- ⎪⎪-+⎝⎭⎝'⎭' ()21212121212112ln22ln x m x x x x m m x x x x x x x x x ⎡⎤-=+=+⎢⎥-+-+⎣⎦, 令()()()21211,ln 1t x t t h t t x t-=>=++, 则()()()()222114011t h t t t t t --=+=+'>+,所以()h t 在()1,+∞上单调递增,则()()10h t h >=,()()121220121122ln 02x x x x x m f x f x x x x x ⎡⎤-+⎛⎫∴-=+<⎢⎥ ⎪+⎭⎣'⎦'-⎝,()1202x xf x f +⎛⎫∴< ⎪⎝'⎭',又()f x 'Q 在()0,+∞上单调递增, 1202x x x +∴<,即1202x x x +> 【点睛】本题主要考查了根据根据导函数研究函数的单调性以及构造函数解决极值点偏移的问题,重点在于找到关于两个极值点间的函数关系,再列式构造函数求单调性与最值等.属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C的参数方程为122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，曲线2C 的极坐标方程为：()23cos24ρθ-=.（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的参数方程;（2）若点M 在曲线2C 上运动，求点M 到曲线1C 距离的最小值及对应的点M 的坐标. 【答案】（1）1:30C x y +-=,sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）（233M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】(1)1C 中上下相加消去t ,2C 中利用余弦的二倍角公式以及极坐标与直角坐标的关系求解出直角坐标方程,再化简成参数方程即可. (2)设点),Msin αα再求出点M 到曲线1C 的距离表达式,利用辅助角公式求解表达式的最值以及对应的参数值即可. 【详解】解：（1）132x x y y ⎧=⎪⎪⇒+=⎨⎪=⎪⎩.故1:30C x y +-=;又()2222222232cos 144cos 442442y x x ρθρρθ-+-+-=⇒=⇒=化简得222:12x C y +=,即()x y sin ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数 （2）设点),Msin αα,则点M 到曲线1C的距离d ===sin ϕϕ==）=当()sin 1αϕ+=时,mind==,此时2,2k k Z παϕπ+=+∈,即2,2k k Z παϕπ=-+∈,所以sin sin 2cos sin 233k παϕπϕαϕ⎛⎫=-+====⎪⎝⎭,故,33M ⎛ ⎝⎭【点睛】本题主要考查了坐标系与参数方程的互化以及求曲线上一点到直线距离的最值问题,主要是根据设对应的参数点根据三角函数的表达式求解,属于中等题型. 23．已知函数()()0,0f x x a x b a b =-++>>. （1）当1ab =时，证明：()2f x ≥；（2）若()f x 的值域为[)2,+∞，且()35f =，解不等式()4f x ≥. 【答案】（1）证明见解析 （2）5|2x x ⎧≥⎨⎩或32x ⎫≤-⎬⎭【解析】(1)根据绝对值的三角不等式以及基本不等式证明即可.(2)()f x 的值域为[)2,+∞可利用绝对值的三角不等式得2a b +=,再根据()35f =求得参数的值,再分情况解不等式即可. 【详解】（1）证明：()12x a x b x b x a a b a a-+-≥+--=+=+≥ 当且仅当1a b ==时,取等号（2）(),2f x x a x b a b a b a b =-+-≥+=+∴+=, 又()31333335,,22f a b a b a b =-++=-++=∴==Q 由题意可得3231422x x x ⎧≥⎪⎪⎨⎪-++≥⎪⎩或132213422x x x ⎧-<<⎪⎪⎨⎪++-≥⎪⎩或1231422x x x ⎧≤-⎪⎪⎨⎪---≥⎪⎩ 故原不等式的解集为5|2x x ⎧≥⎨⎩或32x ⎫≤-⎬⎭【点睛】本题主要考查了绝对值不等式中三角不等式的运用以及基本不等式的方法.同时也考查了绝对值不等式分类讨论的解法,属于中等题型.。
秘密★启用前 【考试时间：1月19 日］2A.第一象限 B 第二象限 C.第三象限 D .第四象限3.（原创）设a3234 4 3-,b - , c log 2—，则a,b,c 的大小顺序是(432A. ba cB .c ab C . bc aD . a c b4.( 原 创 ) 设a 为 实 数，直线l 1 : ax y 1 0112:xa 1 y 2a0则 “是“ hI 2 ”的（）2C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.执行如右图所示的程序框图，输出的结果是（ A.10 10116. 一个几何体的三视图如右图所示（单位:11 12m ，则该几何体的体积为（）m 3 A. 6B . 5C. 6 2D. 5 27.正三角形ABC 中，D 是线段BC 上的点，AB 3, BD 2,则AB AD =()A. 3 B . 6 C9 D . 122020年重庆一中高2020级高三上期期末考试数学（文科）试题卷 2020.1注意事项：1 •答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2 •作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3 •考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题，共60分）、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的。
1 •已知集合 A {1,2,3}，B {x|（x 1）（x 2） 0,x Z}，则 AU B （）1,2C .0,1,2,3 D . 1,0,1,2,33 4i2.复数z（其中i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）1 iA. 1B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 )i!沁間其焦点到渐近线的距离为.3，过点P 2,1的直线m 与双曲线E 交于A,B 两点.若P 是AB 的中点，则直线m 的斜率为（）A. 2B. 4 C. 6 D. 810.元旦晚会一次猜奖游戏中， 1、2、3、4四个盒子里摆放了 a b 、c 、d 四件奖品（每个盒里仅放一件）.甲同学说：1号盒里是b , 3号盒里是c ；乙同学说：2号盒里是b , 3号盒 里是d ；丙同学说：4号盒里是b , 2号盒里是c ； 丁同学说：4号盒里是a , 3号盒里是c . 如果他们每人都猜对了一半，那么 4号盒里是（ ）A.aB .b CcD. d11. （原创）在锐角三角形ABC 中， 内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b c .若a 2，且cos -Asin B C2 si n2C ，则c 的取值范围为（)2A.2.5B .2 C.2翻 2/3 D. 2 2 3,2,2—535 , 33 ,312 . 定义 在R 上 且周期为4 的函数fx 满 足 :当x 1,3 时，f x1 x2,1 x，若在区间 0,4上函数g xf x ax 1恰有三个不同的零ln x 2,0 x 3点，则实数a 的取值范围是（ ）A.0=Uln 3 」,1 B-0,3Uln 3 1,33C.1ln 3 11ln3 1U3,2D.U3 ,2第U 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分。
